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Mathématiques – RAN3 - Trigonométrie

sur 25

RAN3 – Trigonométrie – ExCorr - Rev 2013

Remise à Niveau Mathématiques Troisième partie : Trigonométrie

Corrigés des exercices


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1 TRIGONOMETRIE 3

1.1 APPROCHE HISTORIQUE 3

1.2 DEFINITIONS PREMIERES 3

1.3 QUELQUES FORMULES DE TRIGONOMETRIE 6

1.4 EQUATIONS TRIGONOMETRIQUES 12

2 APPLICATIONS A LA GEOMETRIE DU TRIANGLE 16

2.1 TRIANGLE ET CERCLE 16

2.2 RELATIONS METRIQUES ET TRIGONOMETRIQUES DANS LE TRIANGLE RECTANGLE 17

2.3 RELATIONS METRIQUES ET TRIGONOMETRIQUES DANS LE TRIANGLE QUELCONQUE 19

3 FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 23

3.1 GENERALITES SUR LES FONCTIONS SIN, COS, TAN 23

3.2 FONCTIONS RECIPROQUES 25


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1 Trigonométrie

1.1 Approche historique

1.2 Définitions premières

1.2.1 Placer sur le cercle trigonométrique les points correspondant aux angles suivants :

; ; ; ;π π π π − π2 5 7 29 27

3 8 6 3 4

Le but, dans le cas de grandes valeurs, est d’ajouter ou d’enlever un multiple de 2π pour

trouver la mesure principale de l’angle (dans l’intervalle [0 ; 2π[) ou sa mesure dans l’intervalle

[-π ; π[ (parfois plus pratique). S’il n’y a pas lieu de faire ce qui a été indiqué, on se contentera

d’utiliser nos connaissances sur les lignes trigonométriques d’angles remarquables (0, π/6,

π/4, π/3, π/2).

Pour π2

3, on peut dire qu’il s’agit de

ππ −3

:

π π π= +5

8 2 8, donc le point M correspondant est à mi-chemin entre B(π/2) et N(π/2 + π/4) :


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π π= π +7

6 6 :

A π29

3, nous pouvons enlever 5×2π, soit 10π, soit 30π/3 et nous obtenons la mesure –π/3 :

A − π27

4, nous pouvons ajouter 3×2π, soit 6π, soit 24π/4 et nous obtenons la mesure –3π/4 :


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1.2.2 Donner les mesures principales de : π29

3 ;

− π27

4

A π29

3, nous enlevons 4×2π, soit 8π, soit 24π/3 et nous obtenons la mesure principale 5π/3.

A − π27

4, nous ajoutons 4×2π, soit 8π, soit 32π/4 et nous obtenons la mesure 5π/4.

1.2.3

Soit n un entier relatif. Donner la valeur exacte du cosinus et du sinus de :

2nπ ; (2n+1)π ; π4

+ 2nπ.

Déterminons les mesures principales des angles proposés :

2nπ = 0 + k.2π, où k = n. cos(2nπ) = 1 et sin(2nπ) = 0.

(2n+1)π = ππππ + k.2π, où k = n. cos((2n+1)π) = -1 et sin((2n+1)π) = 0.

π4

+ 2nπ = π4

+ k.2π, où k = n. cos(π4

+ 2nπ) = 2

2 et sin(

π4

+ 2nπ) = 2

2.

1.2.4

Déterminer les cosinus et sinus des arcs ci-dessous en les ramenant à des valeurs plus faibles : π11

6 ;

π19

3 ;

π− 21

4 ;

π31

6 (mesure principale ou dans ]-π ; π], puis transformation, si besoin).

cos cos cos cos ; sin sin sinπ π π π π π π = π − = − = = = − = − = −

11 3 11 12

6 6 6 6 2 6 6 6 2

cos cos cos ; sin sinπ π π π π = × π + = = = =

19 1 19 33 2

3 3 3 2 3 3 2

cos cos cos ; sin sinπ π π π π − = − × π = = − − = =

21 3 3 2 21 3 23 2

4 4 4 2 4 4 2

cos cos cos ; sin sinπ π π π π = × π − = − = − = − = −

31 5 5 3 31 5 13 2

6 6 6 2 6 6 2


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1.2.5

On donne tan(x) = 3, calculer : ( ) ( )

( ) ( )sin cos

sin cos

−+

2 5

3

x x

x x.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( )( )

( )( )

cos tansin cos tan

sin cos tancos tan

x xx x x

x x xx x

−− −= = =

+ ++2 52 5 2 5 1

3 3 63

1.2.6

Exprimer la relation suivante en fonction de tan(x) :( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )sin sin cos cos

sin sin cos cos

x x x x

x x x x

+ −− +

2 2

2 2

2 3

2.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

cos tan tansin sin cos cos tan tan

sin sin cos cos tan tancos tan tan

tan tan tan tan

tan tan tan tan

x x xx x x x x x

x x x x x xx x x

x x x x

x x x x

+ −+ − + −= =

− + − +− +

− + + − −= = +

− + − +

2 22 2 2

2 2 22 2

2

2 2

2 3 12 3 2 3 1

2 22

2 2 4 5 5 1et encore 2 5

2 2

1.2.7

Montrer que l'expression sin6(x) + cos6(x) + 3sin2(x)cos2(x) a une valeur indépendante de x en

calculant cette valeur.

On peut penser au développement du produit remarquable suivant : (sin2(x) + cos2(x))³, qui

est :

sin6(x) + 3sin4(x)cos2(x) + 3sin2(x)cos4(x) + cos6(x)

= sin6(x) + cos6(x) + 3sin2(x)cos2(x)(sin2(x) + cos2(x))

= sin6(x) + cos6(x) + 3sin2(x)cos2(x)

Or (sin2(x) + cos2(x))³ = 1³ = 1

1.3 Quelques formules de trigonométrie

1.3.1

Vérifier que les points A(0,6 ; -0,8) et B(5/13 ; 12/13) appartiennent au cercle trigonométrique.

Il suffit de montrer que leurs coordonnées peuvent être respectivement le cosinus et le sinus

d’un même angle ; autrement dit : x² + y² = 1, cela se vérifiant facilement sur les coordonnées

de A et sur celles de B.


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1.3.2

Sachant que 02

tπ< < et sin

1

4t = ; calculer cost .

Puisque 02

tπ< < , cos t est positif et vaut donc sin2 1 15

1 116 4

t− = − = .

1.3.3

Sachant que tπ < < π2

et cost = − 1

5 ; calculer sint .

Puisque tπ < < π2

, sin t est positif et vaut donc cos t− = − =2 1 2 61 1

25 5.

1.3.4

On donne sinπ −= 6 2

12 4 ; calculer cos

π12

Cet angle a un cosinus positif. cos π − − + + = − = − = =

2

2 6 2 8 4 3 8 4 3 2 31 1

12 4 16 16 4.

Donc cosπ + =

2 3

12 2

Remarque : on a pu constater que − −=

2

6 2 8 4 3

4 16. Donc il « saute aux yeux » que

cos + + + π = = =

2

26 2 8 4 3 2 3

4 16 4 12. Et ainsi cos

π + =

6 2

12 4.

1.3.5

Montrer que quel que soit le réel a, cos4(a) – sin4(a) = cos2(a) – sin2(a).

cos4(a) – sin4(a) = (cos2(a) – sin2(a))(cos2(a) + sin2(a)) = cos2(a) – sin2(a).

1.3.6

Donner la valeur exacte de cosπ

3

4 et sin

π

5

6.

cos cos cosπ π π = π − = − = −

3 2

4 4 4 2.

sin sin sinπ π π = π − = =

5 1

6 6 6 2.


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1.3.7

Exprimer en fonction de sin(t) et cos(t) : cos(-π - t) ; sin(-π - t) ; sin(3π + t) ; cos(4π + t) ;

sin(4π - t) ; cos(5π + t) ; sin(5π + t) ; cosπ + 2

t ; sin tπ −

3

2.

cos(-π - t) = cos(-(π + t)) = cos(π + t) = - cos(t) ; sin(-π - t) = sin(-π - t + 2π) = sin(π – t) =

sin(t)

sin(3π + t) = sin(π + t) = -sin(t) ; cos(4π + t) = cos(t)

sin(4π - t) = sin(−t) = -sin(t) ; cos(5π + t) = cos(π + t) = -cos(t)

sin(5π + t) = sin(π + t) = -sin(t) ; cos(π/2 + t) = -sin(t)

sin(3π/2 - t) = sin(π + π/2 - t) = -sin(π/2 - t) = -cos(t)

1.3.8

Calculer cosπ π + 4 6

et sinπ π + 4 6

.

cos cos cos sin sinπ π π π π π − + = − = − =

2 3 2 1 6 2

4 6 4 6 4 6 2 2 2 2 4

Remarque :

cos cos cos cos sinπ π π + π π π π π − + = = = − = =

6 4 5 6 2

4 6 24 12 2 12 12 4 (vu au point n°4)

sin sin cos cos sinπ π π π π π + + = + = + =

2 3 2 1 6 2

4 6 4 6 4 6 2 2 2 2 4

1.3.9

Calculer tanπ −

12 en utilisant l’égalité

π π π− = −6 4 12

.

( ) ( ) ( )( ) ( )

tan tantan

tan tan

−− =

+1

α βα β

α β. tan

−−

π π − − = = = + ++

212 2

113 2

1 332216 4 2 1 31 12 21 3

3 222

.


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1.3.10

En remarquant que π π π− =2 5

3 4 12, calculer cos

π

5

12 et sin

π

5

12

cos cos cos sin sinπ π π π π π − − = + = − + =

2 2 2 1 2 3 2 6 2

3 4 3 4 3 4 2 2 2 2 4

sin sin cos cos sinπ π π π π π + − = − = − − =

2 2 2 3 2 1 2 6 2

3 4 3 4 3 4 2 2 2 2 4

1.3.11

Démontrer que cos(3a) = 4 cos3(a) – 3 cos(a).

cos(3a) = cos(2a + a) = cos(2a)cos(a) – sin(2a)sin(a)

= (2cos²(a) – 1)cos(a) – 2sin(a)cos(a)sin(a)

= 2cos3(a) – cos(a) – 2cos(a)sin²(a)

= 2cos3(a) – cos(a) – 2cos(a)(1 - cos²(a))

= 4cos3(a) – 3cos(a)

1.3.12

Montrer que cos sin sin= − +4 24a 8 a 8 a 1

cos(4a) = cos(2a + 2a) = cos(2a)cos(2a) – sin(2a)sin(2a)

= (1 – 2sin²(a))² – (2sin(a)cos(a))²

= 1 – 4sin2(a) + 4sin4(a) – 4sin²(a)cos²(a)

= 1 – 4sin2(a) + 4sin4(a) – 4sin²(a)(1 - sin²(a))

= 8sin4(a) – 8sin2(a) + 1

1.3.13

a. Mettre sous forme de produit cos sin sin1 2 3= − + −y x x x

Avec les formules de transformations :

1 – cos(2x) = cos(0) – cos(2x) = -2sinx+

0 2

2sin

x−

0 2

2=2sin²(x) ;

sin(3x) – sin(x) = sin cosx x x x− +

3 32

2 2 = 2sin(x)cos(2x)

Puis :

y = 2 sin2(x) + 2 sin(x)cos(2x) = 2 sin(x) (sin(x) + cos(2x)) = ( ) ( )sin cos cosx x x π − +

2 2

2

( )sin cos cosx x

y xπ π = + −

34

4 2 4 2


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b. Simplifier sin sin sin

cos cos cos

x x xy

x x x

+ +=+ +

3 5

3 5.

sin(x) + sin(5x) = 2 sin(3x) cos(2x) ; N = sin(3x) + 2sin(3x)cos(2x) = sin(3x)(1 + 2cos(2x)) ;

cos(x) + cos(5x) = 2 cos(3x) cos(2x) ; D = cos(3x) + 2cos(3x)cos(2x) = cos(3x)(1 + 2cos(2x))

Puis :

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

sin costan

cos cos

x xNy x

D x x

+= = =

+3 1 2 2

33 1 2 2

1.3.14

Simplifier en utilisant les formules de trigonométrie : ( )cossin

;cos tan

aaA B

a a= =

− −

2

2

2

1 1

( )( )cos cossin coscos

cos cos cos

a aa aA a

a a a

− +−= = = = +− − −

2 2 1 111

1 1 1

( )( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )

( )( )

( )

sincos

coscos cos sincos

sin sintan

cos cos

aa

aa a aB a

a aa

a a

−

− = = = =−

− −

22

22 22

2 22

2 2

12

11 1

1.3.15

En utilisant la valeur de cos(π/3), déterminer cos(π/6).

cos(2a) = 2cos²(a) – 1, donc cos²(a) = ( )cos a +2 1

2.

coscos

π + π = =

2

133

6 2 4, ce qui donne cos

π =

3

6 2.

1.3.16

En utilisant la valeur de tan(π/3), déterminer sin(2π/3) et cos(2π/3).

Si on pose tan t = 2

α, on a ( )sin

t

tα =

+ 2

2

1 et ( )cos

t

tα −=

+

2

2

1

1.

tan(π/3) = √3 donne : sinπ = =

+2

2 2 3 3

3 21 3 et cos

π − = = − +

2

2

2 1 3 1

3 21 3.


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1.3.17

a. Transformer cos cosπ π +

3 4 puis sin sin

π π + 3 4

.

cos cos cos cos cos cos

π π π π + − π π π π + = =

73 4 3 42 23 4 2 2 24 24

sin sin sin cosπ π π π + =

72

3 4 24 24

b. En déduire une écriture exacte de cosπ

24

.

cos cos sin sin cos sin cos

cos sin cos sin cos cos sin

π π π π π π π + + + = +

π π π π π π π ⇔ + + + + +

2 2

2 2 2

2 2 2 2

7 74

3 4 3 4 24 24 24

2 23 3 4 4 3 4 3

sin cos

cos

cos

cos

π π =

π ⇔ + + + =

+ + π ⇔ =

π + + ⇔ =

2

2

2

44 24

1 2 3 21 1 2 2 4

2 2 2 2 24

4 2 6

8 24

4 2 6

24 8


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1.4 Equations trigonométriques

1.4.1

Résoudre cosπ + = −

22

4 2x

cos cos cos cosx x

x k x k

x k x k

x k x k

π π π π + = − ⇔ + =

π π π π⇔ + = + π + = + π

π⇔ = + π = π + π

π π⇔ = + π = + π

2 3 52 2 ou

4 2 4 4 4

3 52 2 ou 2 2

4 4 4 4

2 2 ou 2 22

ou4 2

1.4.2

Résoudre sin2 2 33

xπ − + =

sin sin sin sinx x

x k x k

x k x k

x k x k

π π π π − + = ⇔ − + =

π π π π⇔ − + = + π − + = + π

π⇔ − = π − = + π

π⇔ = π = − + π

3 22 2 ou

3 2 3 3 3

22 2 ou 2 2

3 3 3 3

2 2 ou 2 23

ou6


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1.4.3

Résoudre sin sin56 6

x xπ π − = +

sin sinx x x x k x x k

x k x k

x k x k

π π π π π π − = + ⇔ − = + + π − = π − + + π

π⇔ = + π = π + π

π π π π⇔ = + = +

5 5 2 ou 5 26 6 6 6 6 6

4 2 ou 6 23

ou12 2 6 3


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1.4.4

Résoudre cos sin3 04

x xπ − + =

( )cos sin cos cos cos cos3 3 ou 34 4 2 4 2

3 2 ou 3 24 2 4 2

32 2 ou 4 2

4 4

3ou

8 16 2

x x x x x x

x x k x x k

x k x k

x k x k

π π π π π − = − ⇔ − = + − = − −

π π π π⇔ − = + + π − = − − + π

π π⇔ = + π = − + π

π π π⇔ = + π = − +

1.4.5

Résoudre : cos sin cos sinx x x x+ + + =2 27 6 3 2 0

On est dans la situation du paragraphe 1.4.3 du cours. Posons u = tan(x) et profitons-en pour

factoriser le premier membre de l’équation par cos²(x) :

cos²(x)(7 + 6√3 u + u² + 2/cos²(x)) = 0

⇔ cos²(x)(7 + 6√3 u + u² + 2(1 + u²)) = 0

⇔ cos²(x)(3u² + 6√3 u + 9) = 0

⇔ 3cos²(x)(u² + 2√3 u + 3) = 0

Rappelons que l’existence de u repose sur un cosinus non nul.

Si le cosinus était nul, l’équation donnerait 0 + 0 + 1 + 2 = 0, ce qui est faux. On peut donc

rejeter ce cas, et vérifier l’équation revient à vérifier : u² + 2√3 u + 3 = 0.

Discriminant : 12 – 12 = 0. Une racine double u = -√3, ce qui est la tangente de 2π/3 et de –π/3.


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1.4.6

cos sin2 11 5 0x x+ + =

On ne fait ici que reprendre l’exemple du cours :

On posera u = sin(x) ; u deviendra notre nouvelle inconnue, avec .1u ≤

L’application de formules donne : 1 – 2sin²(x) + 11sin(x) + 5 = 0, soit –2u² + 11u + 6 = 0.

Cette équation du second degré a pour discriminant : ∆ = 11² - 4.(-2).6 = 169 = 13², positif.

L’équation admet deux solutions réelles : u1 = (-11-13)/(-4) = 6 et u2 = (-11+13)/(-4) = -1/2.

Seule la seconde peut nous convenir, puisque u est un sinus ( u ≤ 1 ).

Attention à ne pas oublier de solutions : on visualise les angles de sinus -1/2 sur le cercle

trigonométrique et on cite tous les réels égaux à ces valeurs modulo 2π.

Les solutions sont : x = -π/6 + 2kπ ou x = 7π/6 + 2kπ, k entier relatif quelconque.


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2 Applications à la géométrie du triangle

2.1 Triangle et cercle

2.1.1

Démontrer la propriété de l’angle au centre.

Dans la figure ci-contre, les triangles OAB, OAM et OBM

sont isocèles en O. D’où les égalités d’angles :

OAB = OBA, OAM = OMA et OBM = OMB.

De plus, la somme des angles d’un triangle vaut π.

On a, en angles géométriques :

AOB = π – OAB – OBA

= π – (MAB - MAO) – (MBA – MBO)

= π – (MAB + MBA) + (MAO + MBO)

= π – (π – AMB) + (AMO + BMO)

= π – (π – AMB) + AMB

= 2 AMB

CQFD

Avec un point M’ situé sous le segment [AB] :

AOB = π – OAB – OBA

= π – (M’AO – M’AB) – (M’BO – M’BA)

= π – (M’AO + M’BO) + (M’AB + M’BA)

= π – (AM’O + BM’O) + (π - AM’B)

= π – AM’B + (π - AM’B)

et donc AM’B = π – AOB/2, angle supplémentaire de AMB (M tel que représenté sur la figure).


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2.2 Relations métriques et trigonométriques dans le triangle

rectangle

2.2.1 Queue d’aronde symétrique

Une pièce a été fabriquée, dans laquelle on veut vérifier l’ouverture d’angle de 55°. On place

pour cela deux piges (billes) et on mesure la longueur « x ». Quelle longueur doit-on trouver si

l’angle mesure exactement 55° ?

EAO = 27,5° donc EA = EO / tan(27,5°) = 7,5 / tan(27,5°).

Donc x = 2(7,5 + 7,5/tan(27,5°) + 40) = 95 + 15/tan(27,5°) ≈ 123,815 mm.

2.2.2

Deux troncs d’arbres de même rayon, R, sont posés sur une

plate-forme. On veut placer un troisième tronc, de plus grand

rayon possible, r, entre les deux (voir figure).

Montrer que r est forcément égal au quart de R.

On peut tracer un triangle rectangle reliant deux centres (voir figure) dont les dimensions sont

horizontalement : R, verticalement : R-r, hypoténuse : R+r.

(R-r)² + R² = (R+r)² ⇔ R² - 2Rr + r² + R² = R² + 2Rr + r² ⇔ 4Rr = R² ⇔ r = R/4.

2.2.3

Lorsqu’on déverse sur le sol un sable sec, le tas prend la forme d’un

cône de base circulaire, de demi-angle au sommet 41°. Si on

déverse 5 m3 de ce sable, quels seront le diamètre et la hauteur du

tas formé ?

piges : diamètre 15 mm

80 mm

α = 55°

x E F A B

O


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L’indication sur l’angle donne : R = H.tan(41°) ;

Le volume permet d’écrire : 1/3 . πR²H = 5.

D’où πH²tan²(41°)H = 15, c’est à dire H = ( )

,tan

≈π °

32

151 8487

41 m

et R = H.tan(41°) = ( )tan

,°

≈π

315 41

1 6071 m, d’où un diamètre de 3,2142 m.

2.2.4

Une plaque P doit être découpée suivant un cercle C pour permettre à une bille de diamètre 34

mm, une fois posée, de dépasser d’exactement 8 mm.

a. Quel doit être le diamètre du cercle C ?

b. On choisit un point A sur la surface de la bille et on conçoit le plan vertical (orthogonal à P)

contenant ce point et le centre du cercle C. Dans ce plan, sous quel angle le point A « voit-il » le

diamètre [BC] du cercle C ?

a. Soit O le centre de la sphère, H celui du cercle et M un point du cercle. Le triangle OMH est

rectangle en H. OH = 17 – 8 = 9, OM = 17.

HM² = 17² - 9² = 208 cm², donc HM ≈ 14,4222 mm. Diamètre du cercle : 28,84 mm.

b. On a représenté en vert le cercle de section de la sphère par ce plan vertical. Dans ce cercle,

la propriété de l’angle au centre est valable. Donc l’angle BAC est la moitié de l’angle BOC.

Or BOC est lui-même le double de HOC.

BAC = HOC (= HOM) = ,

arctan arctan , = ≈ °

14 422258 03

9

HC

HO.


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2.3 Relations métriques et trigonométriques dans le triangle

quelconque

2.3.1

Un bassin de rétention d’eau est circulaire, de rayon 10 mètres. On doit

y poser trois poutrelles métalliques de même longueur, en triangle

équilatéral, les extrémités des poutrelles se joignant sur le bord du

bassin. Quelle doit être la longueur des poutrelles ? (répondre sans

utiliser de triangle rectangle).

Soit a la longueur d’une poutrelle. La relation des sinus donne : ( )sin

aR= =

°2 20

60,

donc a ≈ 17,32 m.

2.3.2

On veut calculer la largeur CH d'un fleuve en

restant sur la rive.

On considère les 3 points A, B, C.

On donne AB = 120m, α = 55°, β =45°. (croquis

ci-contre)

On peut utiliser les triangles rectangles AHC et BHC, avec trois inconnues : HC, HA et HB ou

encore HC, CA et CB, ce qui n’est pas commode. La relation des sinus permet d’aller plus vite :

( ) ( )sin sin

AC

ACB=

°120

45, ce dernier angle étant connu : 180° - 55° - 45° = 80°.

Donc ( )

,sin

AC = ≈°

12086 1618

2 80 m.

Enfin, dans le triangle rectangle AHC : ( ).sin ,HC AC= ° ≈55 70 58 m.

2.3.3

On souhaite établir la relation d’Al-Kashi sur un triangle

quelconque ABC en s’aidant de la figure ci-contre.

a. Exprimer CC’ en fonction de AC et de Â.

b.Exprimer BC’ en fonction de AB, de AC et de Â.

c.En déduire, à l’aide de la relation de Pythagore sur le

triangle BCC’, une expression de BC² en fonction d’éléments du triangle ABC uniquement.

α

B

A

C

H β

A B

C

C’

Â


sur 25


a. Dans le triangle rectangle ACC’ : CC’ = AC.sin(π-Â) = AC.sin(Â).

b. Dans le triangle rectangle ACC’ : AC’ = AC.cos(π-Â) = -AC.cos(Â). Donc BC’ = AB -AC.cos(Â).

c. BC² = CC’² + BC’² = AC².sin²(Â) + (AB -AC.cos(Â))²

= AC².sin²(Â) + AC².cos²(Â) + AB² - 2AB.AC. cos(Â)

= AC² + AB² - 2AB.AC. cos(Â)

CQFD

2.3.4

Un géomètre mesure la distance de sa station à deux points A et B situés à la même altitude

que lui et obtient 82 m et 125 m. De plus, l’angle horizontal entre ces deux visées vaut 37°.

Quelle est la distance entre les points A et B ?

Al-Kashi : AB² = 82² + 125² - 2.82.125.cos(37°) ≈ 5976,972, donc AB ≈ 77,311 m.

2.3.5

On souhaite établir la relation des sinus dans un triangle

quelconque ABC en s’aidant de la figure ci-contre, qui

montre le cercle circonscrit au triangle ABC (l’unique

cercle contenant A, B et C) et D, un quatrième point du

cercle, diamétralement opposé à C.

a. Grâce à la propriété de l’angle inscrit et à une

relation trigonométrique dans le triangle BCD, établir que

a/sin(α) = 2R.

b. Montrer que cette égalité peut se généraliser aux

rapports côté/sinus(angle opposé) pour B et C.

a. Dans le triangle rectangle BCD : a/2R = sin(BDC). Or BDC = BAC = α. Donc a/sin(α) = 2R.

b. Ce qui a été fait avec la corde [BC] et l’angle inscrit α (construction du triangle rectangle BCD

et établissement de la formule ci-dessus) peut aussi bien être fait avec les cordes [AC] et [AB].

On obtient alors la relation des sinus dans le triangle ABC.


sur 25


2.3.6

Soit un triangle de côtés 10m, 20m, 24m. Calculer son aire par la formule de Héron, puis par la

formule « classique ».

Avec la formule de Héron :

p = (10+20+24)/2 = 27. Donc Aire = ,× × × = ≈27 17 7 3 9639 98 18 m².

Avec la formule classique : il faut connaître un angle formé par deux côtés.

Choisissons par exemple les côtés de longueurs 10 et 20 m et appelons α l’angle qu’ils forment.

La relation d’Al-Kashi nous dit :

24² = 10² + 20² - 2.10.20.cos(α) ⇔ 576 = 500 – 400.cos(α) ⇔ cos(α) = -76/400 ⇔ α ≈ 100,95°.

Alors : Aire = ½ .10.20.sin(α) ≈ 98,18 m².

2.3.7

Pour mesurer la hauteur d’une montagne, le géomètre se place en deux points A et B situés à la

même altitude (ici, 464 m) et mesure à chaque fois l’angle entre l’horizontale et la visée du

sommet (ici, 23° et 38°). Quelle est l’altitude du sommet de cette montagne ?

BAS = 180° - 38° = 142° et ASB = 180° - 142° - 23° = 15°.

Donc, avec le triangle BAS : BS/sin(142°) = AB/sin(15°), d’où BS ≈ 1558,07 m.

Puis, avec le triangle rectangle HBS : HS = BS.sin(23°) ≈ 608,79 m.

L’altitude de S est 464 + 608,79 = 1072,79 m.

655 m A B

S

H

23° 38°


sur 25


2.3.8

Vous devez mesurer la distance AB, mais un

précipice infranchissable ne vous autorise pas

à le faire directement. Vous décidez alors de

prendre un troisième point de station, C, situé

à exactement 50 m de A et vous mesurez les

angles entre les visées AB et AC puis entre les

visées CB et CA.

Quelle est la distance AB ?

Là encore, la relation des sinus donne la solution :

ABC = 180° - 68° - 85° = 27°. AB/sin(85°) = 50/sin(27°). Donc AB ≈ 109,72 m

2.3.9

S est l’un des sommets d’un cube. On a découpé un coin de

cube tel que SA = 3 cm, SB = 2 cm et SC = 1 cm. ([SA], [SB] et

[SC] sont des parties des trois arêtes du cube issues de S).

a. Quelle est l’aire du triangle ABC ?

b. Quelle est la distance entre S et le plan (ABC) ?

a. SAB, SAC et SBC sont trois triangles rectangles en S.

De la relation de Pythagore dans chacun, on déduit : AB ≈ 3,60555, BC ≈ 2,23607 et CA ≈

3,16228.

On appliquera la formule de Héron, avec p ≈ 4,50195 et on trouvera Aire(ABC) = 3,5 cm².

b. Le volume de SABC peut se calculer de deux façons au moins :

* en prenant SAB pour base, SC est sa hauteur, donc V = 1/3 .(1/2.SA.SB).SC = 1 cm³.

* en prenant ABC pour base, la hauteur est la distance cherchée, notons-la d.

V = 1/3 .3,5.d.

Donc 1 = 1/3 .3,5.d et d = 3/3,5 ≈ 0,8571 cm.

B

C

A 68° 85°

C

B A

S


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3 Fonctions trigonométriques

3.1 Généralités sur les fonctions sin, cos, tan

3.1.1

L'intensité I (en Ampère) d'un courant domestique s'exprime en fonction du temps t (en

secondes) par : ( ) ( )cos .= π5 100I t t .

a. Entre quelles valeurs varie I ?

b. Montrer que la fonction I est périodique et déterminez sa période

a. Un cosinus varie entre –1 et 1, donc I varie entre –5 et 5.

b. ( ) ( )( )cos cost t Tπ = π +100 100 est possible lorsque ( )t T tπ + = π + π100 100 2 , cet ajout

étant la période du cosinus. Cela implique que T = 0,02.

L’intensité est périodique, de période 0,02 seconde.

3.1.2

La température T (en °C) à Vancouver varie approximativement selon la formule :

( ), sinT tπ = − +

14 8 3 106

où t est exprimé en mois. Le 1er janvier correspond à t = 0.

a. Quelle est, environ, la température le 1er février ? Le 1er novembre ?

b. Quelles sont les températures extrêmes ? A quelles dates correspondent-elles ?

c. Avec quelle périodicité retrouve-t-on des températures analogues ?

a. Le 1er février : ( ), sin , ,T Cπ = − + = − ≈ − °

314 8 1 3 10 10 14 8 2 82

6 2.

Le 1er novembre : ( ), sin , ,T Cπ = − + = − = °

114 8 10 3 10 10 14 8 2 6

6 2.

b. Les températures extrêmes correspondent aux valeurs extrêmes du sinus, soit lorsque :

* ( )t t tπ π− = ⇔ − = ⇔ =3 3 3 66 2

, le premier juillet, T = 10 + 14,8 = 24,8 °C.

* ( )t t tπ π− = − ⇔ − = − ⇔ =3 3 3 06 2

, le premier janvier, T = 10 - 14,8 = -4,8 °C.

c. Appelons ici P la période. Alors : ( ) ( )t P t P Pπ π π+ − = − + π ⇔ = π ⇔ =3 3 2 2 126 6 6

.

La période est 12 mois.


sur 25


3.1.3

Le Japon connaît des raz de marée provoqués par des tremblements de terre sous-marins

(tsunamis). On modélise alors parfois la hauteur h de l'eau en un point donné en fonction du

temps t par une équation de la forme h(t) = a cos(b t), avec h(t) en mètres, t en secondes.

Calculer les nombres a et b dans le cas d'un tsunami où les vagues mesurent 10 m de haut et

présentent une périodicité de 20 minutes.

Mettons que 10 m représente la différence de hauteur entre creux et bosses. La hauteur de

l’eau varie donc entre –5 m et +5 m. a = 5.

Ensuite, b(t + 1200 secondes) = bt + 2π, donc b = π/600.

3.1.4

La courbe ci-contre met en évidence le caractère

semi-diurne des marées en un point donné de la

côte atlantique, au cours d'une période donnée de

l'année. h est la hauteur de l'eau au-dessus du

point choisi et t l'heure de la journée. On suppose

que h s'exprime en fonction de t par :

h(t) = A sin (B t + C) + D.

Calculer les réels A, B, C et D à l'aide du graphique.

Le sinus est minimal à 2h, nul à 5h, maximal à 8h. h(2) = -4, h(5) = 3, h(8) = 10.

* Amplitude des oscillations : 14m, donc A = 7.

* h(5) = 3 avec un sinus nul, donc D = 3.

* Période : 12h, donc B(t+12)+C = Bt+C+2π, donc B = π/6.

* sinus = 1 à 8h, donc B×8+C = π/2 + 2kπ, donc C = -4π/3+π/2 + 2kπ = -5π/6 + 2kπ.

h(t) = 7 sin (ππππ/6.(t -5)) + 3

3.1.5

Donner les domaines de définition des expressions suivantes :

a. tany x= −2 1 ; b. siny x= 3

a. Il faut tan²(x) ≥ 1 : tan(x) ≥ 1 ou tan(x) ≤ -1, donc x ∈ [π/4 + kπ ; 3π/4 + kπ[, en excluant

π/2+kπ, angles pour lesquels la tangente n’est pas définie.

b. Il faut sin³(x) ≥ 0, donc sin(x) ≥ 0, donc x ∈ [2kπ ; π + 2kπ].

h(t), mètres

t, heures


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3.2 Fonctions réciproques

3.2.1

Montrer que : a. tan(arcsin )x

xx

=− 21

; b. sin(arccos )x x= − 21

a. Soit y = arcsin(x), angle dont le cosinus est positif.

( ) ( )( )

( )( )

sin sintan

cos sin ²

y y xy

y y x= = =

− − 21 1.

b. Soit y = arccos(x), angle dont le sinus est positif. ( ) ( )sin cosy y x= − = −2 21 1 .

3.2.2

Donner le domaine de définition des expressions suivantes :

a. y = arccos(x²) ; b. ( )arctan x−1 .

a. x² doit être dans [-1 ; 1], donc x aussi.

b. arctan(x) ≤ 1, donc cet arc peut parcourir [-π/2 ; 1] et sa tangente, c’est à dire x, peut

parcourir ]-∞ ; tan(1)], soit environ ]-∞ ; 1,5574].

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