Emile Dumont - Trigonométrie rectiligne & sphérique

5/14/2018 Emile Dumont - Trigonom trie rectiligne & sph rique - slidepdf.com

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COURS COMPLET DE MATHEI\IATIQUES

TRIGoITOMÉtnMRECTIIrGNE A. SpUÉRTQUE

PAIT

.ÂEmile DUM0NTc^prÎÀrNE-coMMÀNDÀNT DU GÉNIE, DU oÀDRE DE RÉsERl.E

.\NCINN PNOFESSIUR À L INSTITUT ilICHOT.ITONCENÀSî

à I'usage rtee Catrdidats à l'École ltlilitaire et des Élèves des Athénées royaux

'frolelèrr. e édltlonLa deuaôèqne éd.iliqn de cet ou)rage a eté inseite par le Gouaa,nernant

au nombre d.es publications d,ont I'emploi est autorisédans les clnlces d,e |tv et %le seiaûifquæ des Alhénéæ royauu

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COTIRS

DE

TRIGOI{OiWtrTRItrBectiligne et Sphérique



TRIGONOMÉTRTEREcTrurGiïE &. SPHÉnIQIJE

PAR

Émile DUMONTcaprrarNn-conrraNDANT ou cÉxrn, DU cÀDRE DE nÉsrnvn

,INCIEN PROFESSEUR A I-,INSTITUT MICHOT-MONGENAST

tfoMMAcE DE L'ÉDlTzuR

OOURS COMPLET DE MATHÉMATIQT]ESà I'usage des Candidats à t'Écote lllilitaire et ees Étèves des Athénées royaux

Troisièrne édition

I'a deuæiènte tld,ition d,e cet ouur&ge a été inserite par" Ie Gau'uernem,ent

au nomltrb des publi,cations dont I'emploi, est autorisédans les classes de 'lre et %de sci,entifiques d,es Athénées roya,un

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Sun les bases de I'Analyse vector.ielle, étude écrite au front

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Théonie génénate des nom bros. Défi nitione fondamentates.

- Brochure de g2 pages, publiée en 1915, dans Scientia, no 85. -Paris, Glurumn-YTLLARS & Ctu, éditeurs.

Décomposition des seErnents de dnoite en panties égalês.

-

Étude écrite au front belge de I'Yser en avril lgl7 et publiée

dans l'Ensei,gnement rnathématique (XIX" année, nos 4-5-6).

Tous drolts d.e reprod,uetlon, de tradnetion et dredaptationr{scrvél pour tous les éorits et otlehés dn Cap.-Comdt Enlle l)lnont,



TABTD DUS MATINRES

MÉuonIAL.........,....ienrrnDEsMATIÈrRES . . . . . - . . . . .

Ennere..r....r......Avexr-PRoPos. . . o . . . . . , , . .GryÉneLITÉs..or...r......fNrnopucrroN, llhéorie veotorielle

Sl.Vecteursousegmentsrectilignes . . . . . o 2

S2.Arcstrigonométriques. . . . . . . .llSS..Anglestrigonométriques . . . . . . . . 14

S4,Mgsuredgsarcs . , . . . . . . . . I7SS.Mesuredesangles . . . . . . .21

Eæercices . . . . . . . t' . . . 22

Première pafiie

FONCTIONS CIRCUTAIRES

ilv

vilrIX

Iq

21

24

28

30

3l33

31

35

36

38

39

41

42

12

43

LIVRE PREMIER

f'OR,If Uï/nS (}ÉrÉR,AI/ES

Ctreprrnn PREMIER. IDéfinitlon dee nonbres trigonométriques . .

,S l. Définitions . . . . . . . . . .

Sz.Dusinus . . | . . . o . . .

SS.Ducosinus o . i . . . . . . . .

S4.Delatangente . . . . , . . . . .,SS.Delacotangentg. . . . . . . . . .

56.Delasécantg ? r . . . . . . . e

ST.Delaeosécantg . . . r . o . . . .

Crreprrnnll.Formnlesfond.amentales . . . . . . o

Eæerci,ces.....r..r..CH.rplrnn III. BelationÊ entre les nombres trigonométriqner d?ares

égaux et de signes oontraires, suBplémentaires, etc. .

Eæerci,ces,..........Culplrnn IV' llombres trlgonométriqncÊ do

somnoË et de difié-rcrle,eB d,tare; ; nombreË trllpnenétriqros des mutrttpl;rdtun8r€ . . . . . . . . . . .

S l. Sinus (a*b) . . . . . . . . . .

S 2. Cos (a*b) . . . . . . , . ,o o .



s3.s4.s5.

CrIeptrnns l.s2.s3.

Clraprrnn

,Sl''sz.

TÀBLE DES MATIùRES.

Tg(a*.b).' , . . . . . , . . .Somme de plusieurs

Multiples d'un arc

arcs........44

44

41

46

47

47

49

56

DJ

,57

58

60

6t66

Eæerci,ces

Cneprrnn V. lTombres trlgonométriques des sorrs-multiptes d.tun g,rç.

S l. Cas général.

S2. Casparticuliers. . . . . . . . . .

Eæerci,ces.......r..Cgnplrnn VL Trd,nsfonnation de sornmes en prod.nits . . .

S 1. Transformation en sommes des produits de sinus et d.e cosinus

S 2. Transformation en produits de sommes et de différences de

sinus et de cosinus .

S 3. Transformation en produits de sommes de lignes autres quele sinus et le cosinus

S 4. Transformation en monômes d'expressions quelconques.Emploid'inconnuesauxiliaires . . . . r .

Eæerci,ces

LIVRE IIrf,qunrrous TnreiororrÉTnreu.Eg

rREMITR. Tables trigonométrirlues of logrrithmiques. .Constructiondestables . . . . . . . .

Disposition des tables de Bouvart et Ratinet. . e .

Emploidestables . . . . r . . . .

If.Caleulslogarithmiqueg . t . . . o .

Règlesdecalcul.Approximations. . , . . o

Applications . . r . . . . . . .

Etnercices .. . . . . . . . . . .

Cneplrnn IIL Bésolution d.es équations trigonométriqueË ç . .

S l. Résolution d.'une équation. à une inconnue . . . .

S 2, Équations simultanées à plusieurs inconnues. . . .S 3. Équations circulaires. . r . . . . . .

Eægrcicgs....,......

LIVRE IIIvaBrarroNs DEs Folrcrroils rBrG:oNoilÉTnrQrIEB

CHeptrnn pREMIER. trfaximurm et lflninum . . . . .

Eæerci,ces.

Cseptrnn ff. I,lnltesEæercices

68

68

75

?6

79

79.

93

106

110

110l16rat,\22

..aaa.?e.aa

ou vrales valeurFlr . . . r . ,

126

t37138

t4tata.aara



TABLE DES MATIùRES

.Deuxième partieTRIANOI,ffi BECTII,IGNAS

vil

.'CgepltREpREMIER.TrlanglesreetanEles. i . . . o . I43

Sl. l'ormulesdestrianglesrectangles. . . . . , 143

S 2. Résolution des triangles rectangles . . . . . 145

.Crreprrnnll.Trianglesqueleonqnee . . . o ! . . L "l

S t. Formulgs . .: . . Ç Ç , o . . . L47

S2.Équivalenced.esgroupes. . . . . . , 1 f5t

S 3. Aire, Rayons des cercles circonscrit, inscrit et ex-inscrit, ete. 156.Eæerci,ces . . . . . '. . . . Ç . f59

S 4. Résolution des triangles quelconques. Cas classiques . o f6lS 5. Résolution des triangles. Cas non classiques . . . . 168

Eægrci,cgs.'........o.184CHeptrnnIII.Quadrilatèr'eseonvexes . . . . . . . 187

E&grcî,ces........-f1197.CneplrnnlV.Applicationstopographiques . . . . . . 199

Eæe,yçi,6gg........204

Troisième partie

TBTANGmS SPnBRISU}]S

-CHeplrnr:pREMIER.Trianglesqueleonqueg . . , . . . ZffiSl.Formules . . . . . . . r . . . 206

SL.Équivaleneedesgroupes. . . . . . . . 223

cruprr "- i:ïi::"r"' *.**o*u* .* **..r"*e*u" : : : : i?1,

Sl.Formulesdestrianglesrectangles. . . . , , ZBI

S2.Formulesdestrianglesrectilatères. o . . . . Zgg

s'iiii;"1"'triangres":'*"1*tu': . : : : .luoTCHeprrnn III. Bésolutlon des triangles queleonques . . . . Z4Z

Eoercices....o......Z5gCrnpttnnIV.Âpplications. ô . o . . . . . . 254

Eægrcices...r.......260C,gaPtrnn V. Des trlangles rectrrtgnog ltmites ùes trtangles sphdrlqnes 26LF-eroiocsdeldoaptturatlon . . . . . . . , . 266

Norn L Approxfunatlons d,ans les catcuts lognrtthmiquee. . . 275NornII. ltôrtcdesgrand.eurgdtrtgé,es . . . . 7 . zg8Norn IIf. Appltortion de la théorle des nonbres eornplexet o . 306

'.NornIY.rlenetlonshyperbollqnes. . - . . . . . B0g


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ERRATA

: 21. Théorème l, rectifier les formules:seizième ligne AB.CD : AB.prsCD.

't

dix-septième ligne prrOD : praCD -- CD - BAdix-huitième ligne prsCD - AB

Page 182, rectî,fi,er les formules:,^. .^\

GCAI - d! GAIC: n3 et CGA| : d2

d1 :Bt*Cr d,2:Ar*Ct fl3:Ar*Br.Page 183, première ligne, li,re Les côtés....

Page I88, formule au bas de la pâge, li,re./

(*. rooe done ,i"f t o)

Page 192. Au dixième alinéa, première formule :

au lieu de rn' + ?12 : (a' * b').

lire m, * n2 :2 (a' + b,).

Troisième partie, page 206, âu parâgraphe 26A. tonvention, ajouter i.n fi,ne:Unité de l,ongueur: l,e rayon de la sphère.

3992. I*p. J. CEYSENS, Hasselt.



Avant-propos ile la douxième éilition

f. La Théorie vectorielle, ou tout au moins la partie purementgéométrique de cette théorie, est actuellement devenue classique.Jadis son exposé appartenait exclusivement au cours de Mécaniquerationnelle. Mais rtÊpuis que les cours élémentaires subissent lamême rénovation que les cours supérieurs de Mathématiques, iln'est plus possible de s'en passer en Géométrie analytique, tri mêmeen Géométrie élémentaire. La ptace naturelle de cette théorie est et

doit rester en tête du cours de Trigonométrie, puisque c'est celui-ciqui en fait le premier emploi.

J'ai conservé mes appellations e,ûe et uecteur (,), auxquellesplusieurs auteurs préfèrent semi,-droite et segment.

Je trouve que semi-droite ressemble trop à demi-droite lepréflxe sem'i, signifie d'ailleurs demi (ex. : semi-circulaire); - or,sur un axe, il n'y a généralement pas d'origine fixe ; et même,lorsque par hasard il y en a une, c'est le mot ane qui est employé

par tout le monde ; ainsi on dit un a,fre polaire, des e,fies decoordonnées ; on dit également un afie de rotati,on ; je ne voisdonc rien qui justifie le terme semi-dro'ùte.

Dans mon vocabulaire, un segnzent est une simple portion dedroite; dans segmenter il n'y a en effet aucune idée de direction ;Ie mot oecteur au contraire, qui vient du tatin oectoren?, (conduc-teur, porteur, de aehere) exprime mieux que tout autre l'idée queI'on a en vue.

(t) Ce sont les appellations employées parrnathémati,ques.

l'Encyclopédî.e des Sciences



AVANT-PROPOS.

Je n'aime pas non'plus I'expression grandeu{e" d'un uecteur,

à cause de la signification diftérente que posslde déjà le motgrand,lu,cî ; je préfère et je continue d'employer I'expressionInesu,re d,'un uectezcl", à laquelle on substituera le mot tenseurlorsque l'on fera l'étude des nombres complexes et des quaternions.Le module est la valeur absolue du tenseur d'un vecteur : je n'aipas eu à utiliser ces deux mots.

Enfln, j'âi jugé inutile et même nuisible de définir la notion d'angled'un aecteur et d'un a,fre, ou de deun uecte?rs. La notion si

simple de l'angle de deufi o ffes suffit amplement à tous les besoinset n'amène jamais d'ambiguïté quand on la combine avec les mesures(nombres positifs ou négatifs) des vecteurs.

Comme professeur, mon attention à étê attirée sur I'importancequ'il y a'à bien distinguer un vecteur de sa mesure, si I'on veutéviter des confusions, Qui n'existent d'abord que dans le langage,mais qui s'emparent bientôt des idées mêmes. Le mot segmentemployé dans des ouvrages même récents,

nese pr'êbe

malheureuse-ment que trop à de telles confusions, grâce à la double significationqu'on lui donne : tantôt un segment est un vecteur, tantôt c'est lamesure d'un vecteur ; et il arrive de ce fait qu'on ne sait plus

toujours clairement de quoi I'on parle. Ainsi par exemple, dansle théorème relatif à la projection orthogonale d'un vecteur, c'estla mes?,tî"e de la projection du aecteur" qui est égale a,u produi,tde la nuesLu"e du aecteur 1)q,r" le cos'i,nus de l'angle des afies

qui portent le vecteur et sa projection ; tandis que la projecti,ond,u aecteur est ?,cn uecteur, ltroduit d,u uecteur considéré parlcn nombre complefre. Je précise (t) :

Considérons un vecteur AF porté par un axe u,, et soit À$]'la projection de ce vecteur sur un axe fi ; soit enfin

Zk-r" f a.

(t) Cette explication ne peut être comprise que par les lecteurs au courantde la définition des nombres complexes comme rapports d.e veeteurs. Pour deplus amples détails, voir mon Arithmétique générale, $me partie.

ffiu:



AVANT-PROPOS. XI

On aura ArB, : prrAB : AB . cos a.

et A,rB, - prrffi: IF X cos d..e-io: ÂF x cosa(co*a -isin6r).Donc A"B, * Æ.cosry..

Il ne faut pas oublier Que, dans la notion de vecteur, il y a nonseulement la notion du sens, mais encore la notion de la flirection;cela apparaÎt clairement dans la définition de la sont?ne géométyiquedes vecteurs; et AB.cosa. est un vecteur porté par le même axe quele vecteur AB lui-même.

If. Cette seconde édition (1) de mon cours ne diffère guère de lapremière, malgré de notables augmentations. Quelques modiflcationsne touchent qu'à des détails peu importants.

Les caractéristiques du livre restent donc les suivantes :

l. Défi'ni'tions rationnelles des nont,bres trigonométri,quesd'angles, montrant nettement qu'un sintcs, par exemple, ne dépendpas du rayon de la circonférence portant I'arc dont la mesure estégale à celle de I'angle (pour des étalons correspondants).

2. Emploi systématique de la théorie d,es aecteurs pour lesdémonstrations géométriques, cê qui n'exige aucun efiort demémoire; supprime des généralisations laborieuses, êt prépare lesdémonstrations analogues des principales formules d'Analytique.

3. Énoncé du plus grand nombre possible de règles gé,nérales,permettant aux élèves peu habiles de traiter tous les problèmessans hésitations : ceci conformément aux excellentes méthodessuivies

à l'École Militaire.4. Précision apportée dans I'emploi de la noéthode des limites.5' Prédominance accordée à la subd,,iui,si.on centésimale sur la

subdivision sexagésimale de la circonférence.

6. Suppression des discussions géométri,ques dans les résolutionsde triangles.

Spécialement, à propos des triangles sphériques, emploi systéma-tique d'un nouveau théorème relatif à l'équiaalence des systômes

d'équations employés et du groupe fondamental.

(t) De même que l'édition actuelle. (lIote de l'éditeur.)



xil AVÀNT-PROPOS.

7. Méthodes générales pour les résolutùons de triangles et

pour les disgussions dans les cas non classiques.

8. Théorie nouvelle sur les a,pprouirnatdons dans les calculslogat"ithmi,tl?res, théorie flgurant en note à la fin du livre.

III. J'ai introduit dans le chapitre des calculs logarithmiques unepetite règle très simple pour les réductions au premier quadrant.De plus, cédant aux exigences de s examens officiels acûuels,j'ai introduit également les procédés pratiques de calcul, procédésqui ne tiennent aucun compte des approximations. J'ai montré pardes exemples combien sont fantaisistes les résultats fournis parces procédés.

J'ai traité en détail deux exemples de calculs numériquesanalogues à ceux qui sont proposés aux examens ; le premier, en

adoptant la subdivision centésimale, le second, etr adoptant lasubdivision sexagésimale. Dans ces deux calculs j'ai sacrifié laquestion des approximations et observé le dispositif réglementaireimposé par l'École

Militaire; ce dispositif est extrêmement pratiqueet propre à réduire au minimum les écritures et les causes d'erreurs.IV. Je laisse au cours d'Algèbre - dont la théorie des fonctions

élémentaires devrait être la principale préoccupation le soin de

représenter graphiquement la varialion des fonctions circulairesfondamentales, sinr etc., ainsi que le calcul des dériaées de ces

fonctions et des fonctions composées. Quant aux séri,es h"igono-métriq?,ces, c'est au cours d'Analyse supérieure qu'elles appar-

tiennent; ce que I'on peut en diie dans un cours comme celui-ci nesaurait être qu'incomplet et fort peu rigoureux. Mieux vaut n'enpas parler.

J'ai réuni à la fin du livre quelques énoncés de problèmes,.pouvant servir d'exercices de récapitulation.

Y. On trouvera en Annexe, à la suite de la -D{ote I sur lesapproximations numériques, une Note II qui ne figurait pas à lapremière édition, ot, à première vue, elle semblera faire double

emploi avec la théorie vectorielle du début. Voici la raison d'êtreet la nature de cette note supplémentaire.

En réfléchissant aux bases de l'Arithmétique, j'ai dù constaterquelle place prépondérante devrait tenir, dans le cours de



ÀVANT-PROPOS. XIII

Géométrie, l'étude de certaines grandeurs dites directenomtrnesurables. Les ouvrages classiques actuels ne signalent pas ces

grandeurs. Leur importance est pourtant capitale ; leur consid êra-tion établit un lien solide entre les théories éparses des débuts

des mathématiques élémentaires, of amène celui qui a I'espritsufflsammeut synthétique, à substituer à ces théories isolées une

théorie unique et générale, féconde en résultats inattendus. C'est ce

que j'ai essayé de faire dans un traité d'AnlrHuÉrreun cÉxÉnÀLu,

dont la note II est extraite.Une fois qu'on a subi la fascination de ces idées, il est presque

impossible de s'en affranchir; aussi n'ai-je pu me dispenser d'exposer

cette fois la théorie vectorielle, ou mieux la théorie des grandeursd,iri,gées, dans toute sa généralité.

Je ne me dissimule cependant pas que cet exposé synthétique

n'est pas à la portée de la majorité des élèves. J'ai donc conservé

mon ancien exposé élémentaire en tête du livre, avec toutes les

répétitions qu'il comporte ; et je me suis contenté de développerle nouYcau en annexe.

Outre les différences fondamentales que I'on trouvera à mes

deux thêories vectorielles, il en est une au sujet de laquelle je

dois fournir quelques explications. Il s'agit du théorème de Môbius.

Je dois, pour être bien clair, reprendre la question d,'un peu haut.

Il y a quatre manières de déflnir un nombre qualifié (1).

lo La première est celle qui nous a éfê enseignée, je pense,à tous : par généralisation algébrique de la différence (').qo La deuxième est celle que I'on a adoptée presque partout

aujourd'hui : le nombre qualiflé est un symbole composé d'unnombre absolu précédé d'un signe f ou d'un signe - (t).

1t; Le mot quali,fié, employé par B, NmwnNGLowsKI et par L. Coutune.r,est préférable au mot algëbriçpe. Un nombre algébrique est, dans Iaterminologie scientiûque ac[uelle, ûtr nombre qui peut être raeine d'une

équation algébrieue, e'est-à-dire où les deux membres sont des polynômesentiers en @, à coefficients entiers.

(t) E. IIuTuBERT, Traité d,'Arithméti.que, p.30. Paris, Vuibert et Nony, 1908,

(r) Con et RrnuaNN, Trai,té d,'Algèbre ëlërnentai,re, ibid..

B. NrnwnNer,owsKr, Cours d,'Al,gèbre. Paris, Armand Colin, 1909.



xrv AVÀNT-PROPOS.

On soumet conventionnellement ce symbole à des règles de calcularbitraires. L'une de ces règles est que (+ a) + (- a): g.

30 La troisième manière est Ia suivante : un nombre qualifié estun groupe de deux nombres absolus, auxquels on associe I'ord,redans lequel on les écrit.

On représente ce nombre par les symboles

(a, b) ou a, - b.

On pose, arbi'trairement, les relations suivantes, à titre dedéft.,niti,,ons de l'égalité, de la somme et du produit de cesnombres :

(a,b):(a',b') si a, + b, : &t * b;(a,b) + (c,d):(a+c,b + d);

(a, b) x (c, d): (ac + bd, a,d + bc).

40 La quatrième méthodeest, à mon avis, la seule rationnelle :elle consiste à associer aux grandeurs directement mesurables d'une

môme classe le sens de leur génération, sens que I'on exprimepar I'ordre dans lequel on considèt'e les deux extrémités. Le rapportde deux grandeurs est alors qualifté gtosi,ti,f oa négatif, suivantque ces grandeurs sont de même sens ou de sens opposés (t).

J'estime que c'est la seule méthode rationnelle, parce que seuleelle donne aux nombres qualifiés une raison d.'être suffisamment

plausible. Mais ce n'est pas ici I'endroit qui convient à une tellediscussion.

Sans m'arrêter à Ia première méthode basée sur le fort peurespectable principe de perrnq,nence des formes opératoires,ni à la troisièilo, trop artificielle, j'ai démontré le théorème deMôbius dans I'exposé élémentaire, êo observant la deuxième déflni-tion, et dans ma note annexe, en observant la quatrième. En cela

(t) C. BouRl,tlt, Leçon.s d,'Atgèbre élémentqit.e, pp, g et 10. Paris, Armand.Colin, 1909.

L. CcruruRer, De l'Inf.ni, mathématiq.ue. Paris, Félix Alcan, Ig96,E. DultoNT, Aritlr,métique général,e,2u partie. Paris, Hermann et fils, lgll.



ÀVANT-PROPOS. xv

j'ai été conséquent : I'exllosé élémentaire s'adresse à des élè.resauxquels on a enscigné la deuxième définition des nombres qualiflés;tandis que la nouvelle note est destinée à un public plus âgé, que

I'on peut initier progressivement à toutes ces discussions de prin-cipes et de définitions.

VI. J'ai eu un moment I'intention de donner, également en

annexe, à I'exemple de plusieurs auteurs, la théorie rationnelledes nombres complexes (dits fort improprement i,mugùnaires).

J'ai traité cette question dans mon Arithmétique générale, d'unefaçon fort détaillée, et par conséquent je n'ai pas jugé utile de

dépouiller ce dernier livre au bénéfice d'un ouvrage classique oircette théorie ne serait pas à sa place naturelle. On n'en flni.raitévidemment jamais, s'il fallait exposer, dans un cours de Trigono-métrie, toutes les applications classiques de la Trigonométrie.Il faut laisser aux autres cours le soin de les développer au momentopportun. Je n'ai pourta,nt pas pu résister au plaisir de présenter

dans une l.[ote III des démonstrations fort simples de quelquesformules principales de Trigonométrie, par la méthode des nombrescomplexes et des quaternions. On me pardonnera, je I'espère, cettepetite faiblesse, dont la seule excuse est mon désir de voir mes

collègues de I'enseignement s'initier à l'étude des quaternions.

VII. Enfi.n, dans une l{ote IV, j'ai esquissé une théorie élémen-

taire des fonctions hyperboliques, théorie basée sur I'analogieque présente leur représentation graphique avec celle des fonctionscirculaires.

Les quatre notes qui clôturent ainsi le livre sont, bien entendu,sans aucune influence sur la théorie destinée aux élèves. A celle-cije me suis efforcé de conserver son caractère élémentaire et classique,mais cn même temps rigoureux. Je rtre suis surtout attaché à

développer le jugement et le raisonnement des jeunes gens, €D ne

leur présentant que des solutions naturelles, obtenues toujours parI'emploi

des méthodesgénérales.

Celui quipossède

bien ces priu-cipes peut résoudre avec aisance tous les problèmes qu'on luiproposera, tandis que celui qui a consacré beaucoup de temps àtraiter des centaines de problèmes particuliers au moyen de



xvI AVANT-PROPOS.

procédés ingénieux que I'auteur lui présentait tout trouvés, celui-là,à moins d'être exceptionnellement doué, sera bien souvent incapablede résoudre un exercice imprévu.

J'ai évité avec soin la profusion des théorènes et des formulesque I'on trouve dans la plupart des cours classiques belges. Je pensequ'il est autrement utile de former des esprits judicieur et métho-diques, Que de farcir les cerveaux d'une érudition éphémère, factice,et en déflnitive bien mince.

Éuu,n DUMONT.



GENÉRATITES

l. Définitlon. - Le cours de Trigonométrie a pour but d'établirun ensemble méthodique de formules, permettapt d'introduire lesangles dans les calculs. \

La Trigonométrie est donc un outil mis à la disposition du"calculateur.

On apprend, en Géométrie élémentaire, à mesurer les grandeursgéométriques. Toutes les mesures se ramènent à des mesures de

segments rectilignes et d'angles. Malheureusement il n'existe, dansle domaine élémentaire, aucune relation générale entre les mesures"des angles et les mesures des segments rectilignes d'une môme flgure.Les relations en question sont du domaine de I'Analyse inflnité-simale, parce qu'elles ne contiennent pas un ûombre fi.ni de termes.On a" remédié à cet inconvénient en remplaçant les nombres quiexpriment des mesures d'angles par d'autres nombres qui déter-minent les angles avec autant de précision que leurs mesures, etque I'on a appelês nombres ,ra,pports , ou li,g nes trig onométriques .

2. I)ivlsion drr coursoË

Le cours de Trigonométrie"comprend trois parties, savoir :

I"e partie. - FONCTIONS OIRCULÀIRES.

2e partie. - TRIaNcLES REcTILIGNES.

3e partie. TRIaNGLEs spsÉnleuns.

La prernière partie a pour but de confectionner I'outil ; les.deuxième et troisième parties montrent le parti que I'on peut entirer au point de vue des triangles rectilignes et sphériques.

Avant d'entamer la première partie du cours, il est nécessaire de

donner un aperçu sommaire de la Théorie vectorielle, Qui sera utileégalement au cours de Géométrie analytique. C'est I'objet, de I'Intro-duction. Nous ne donnons de cetie théorie que ce qui est strictementindispensable à ces deux cours; nous laissons au cours de Mécaniquerationnelle le soin de la reprendre dans tous ses détails. '

€ouas os TnrcoxorÉrnrr, I



INTRODUCTION

THÉonrE vEcToRIELLE

s | . vEcTEu Rs ou sEcM ENTS RECTT LtGN Eg.

3. Définitions. Étant donnés une droite et un point A sur cette"droite (fig. l), si I'on veut porter sur la droite un segment AB dontla longueur esl, le nombre absolu a, il est nécessaire de spécifler le"

sens dans lequel on veut porter ce segment.A cet effet, considérant qu'il existe sur la droite deux sens de

parcours possibles, on convient de les distinguer a,u rloyen des mots

ltositif et négatif ; et I'on choisit arbitrairement le sens positif ;I'autre est alors le sens négatif. On place vers I'une des extrêmités"de la droite une petite lettre d, fi, a... ; le sens positif est alors le'sens de parcours vers I'extrémité marquée de la lettre.

IIne droite sur laquelle on a ainsi spécifié le sens positif prend le'nom d'aûe.

On affecte le nombre absolu a; longueur du segment, du signe +orl du signe - suivant que I'on veut porter AB dans le sens positifou dans le sens négatif.

Dans ces conditions, si I'on considère sur Lrn axe deux points A etB, il importe, pour déterminer Ie signe dont la longueur de AB doitêtre afrectêe, dc savoir quel est le point qui a été placé en premierlieu et par rapport auquel on a placé I'autre.

Dans ce but, on convient d'attrlbuer une signification à I'ordredans lequel on énonce les lettres A et B : si on énonce AB, otr stipule

qu'on a porté le segment de A vers B ; si on énonce BA, cela indiquequ'on a porté le segment de B vers A. On est amené ainsi à consi-dérer des segments de droite en attribuant une signification à I'ordredans lequel on énonce les lettres représentant ces segments ; ceux-ciprennent dès lors le nom da aecteurs.



rnÉonrn vEcToRIELLE. 3

4.En résumé,

un aecteur est unsegryt

ent de droite AB auquelon a,ssocie l'o?"dr"e dans lequel on écrit les lettres L et B.

Le point que I'on écrit en premier lieu s'appelle orùgi,ne duvecteur; I'autre point s'appelle entrémâté.

Orr appelle sens du aec{,eur le sens suivant lequel il faudraitdéplacer I'origine pour I'amener sur I'extrémité.

Le vecteur ayant A pour origine et B pour extrémité se représentepar la notation ÂF.

Deux points A et B déterminent deux vecteurs : m et m. ,

!'rc. l.

La rnesznre d,u qsecteou" m se note AB ; c'est un nombre

!rualifré (L) que I'on détermine comme suit :

lo On détermine I'axe qui porte le vecteur ;

lo On détermine la longueur a du segment par rapport à unétalon ;

30 On place devant ce nombre Ie signe * ou le signe - suivantque le sens du vecteur coïncide avec le sens positif ou le sens négatifde. I'axe.

Soit un vecteul' m (flg. l).

Déterminons l'axe n; mesurons le segment AB; nous trouvonsun nombre a,.

Nous avons mesffi:AB: {a.Si nous considérons le vecteur BT, nous avons :

mestsA:BA--a.On a aussi (2)

AB+BA:(+ e)+(-a) -0et tsA r.:

- AB.

(r) Les nombresqu,alifids sont les norhbres positi,fs et,négatefs (l{m\MENGLowsKr,Couruner, etc.).

(r) Voir définition d'une somme de nombres égaux eb de signes contrairesNmwnxcr,owsKr, BounLET, etc.).

B

IV

M



4 couR.s DE rnreoroinf,rnln.

5. VuctebrLdlreeteur. - On convient de mesurer tous lesveeteurs d'une même figure par rapport à un même étalon.

On appelle ùecteur-d,irecteur d'un axe ar, un vecteur ilÎfi portêpar cet axe et tel, quo sa mesuro MN: * l.

Un vectcur-directeur détermine complètement I'axe qui le portgpuisqu'il en indique la direction, le sens positif et I'étalon.

Si nous désignons parôle vecteur-directeur de l'axe o,le veôteurIF pourra se représenter par ô.1n.

8. La noti,on d,e la mesut"e d'un Decteur a,-B nous permet d,e

détermi.ner le point B sur un aûe lorsque le poi,nt A y a étéarbi.tr airetnent placé.

?. Théorème de llôbius. - Étant d,onnés trois points A, B, C

sur un aae, iI eoiste entre les rnesures d,es oecteurs d,éterminéspar ces trois poônts la relation:

AB + BC lr CA:0.En effet, I'un des trois points se trouve nécessairement entre les

deux autres; soit A compris entre B et C.

On aura (') lcAl+ laBl: lCBlD'autre part, il est évident que eÂ, ÂE et ôB sont trois vecteursde même sens. Donc les nombres qualifiés CA, AB et CB ont lemême signe. Par conséquent, le nombre CB est la sornme desnombres CA et AB, puisqu'il a pour valeur absolue la somme deleurs valeurs absolues et que son signe est le signe commun àces deux nombres (t). On peut écrire :

ca + ÀB: cB.Aux deux membres de cetie égalité ajoutons le nombre BC:

cÀ + ÀB + BC: CB + BC:0.On vériflera de la même manière I'exactitude de la formulo sic'est B ou C qui est le point intermédiaire (3).

8. Remarque I. - On utilise souvent les formules suivantes :

AB-AC+CBet BC:AC-ABqui se déduisent immédiatement de la formule

AB+BC+CA:0.

(r) D'après la déflnition tl'une somme de nombres absolus: mesurs de la I

soûrme des grandeurs dont ces nombres sont les mesures.

(!) Définition d'une somme de nombres qualifiés (Nrnwnrar.owsn, Bounr,nr).(8) Ou mieur: ïra formule êtanr, symëtri.que en A, B et C, est généralo.



rrrnonln vEcToBIELLE. 6

9. $emarque If.

-On généralisera aisêment pour le cas de n

lpints :

ÀrÀ, * ÀrAg * ... + L*-rA, + A"Ar : 0.

10. VoeteurË équtpollenls. - Définition, - Deux yecteurs

ÀF et m- (fig. 2) sont dits équipollents lorsque les axes qui lesportent sont parallèles, et qu'ils ont même longueur et même sens.

I-,?équipollence s'écrit : Â3 : ffi.

R-X

Frc. 2.

Remarque. On adopte toujours le même sens positif sur deuxexes parallèles. Il résulte de 1à que si F: ffion aura AB: CD. '

,,t. Sornme géométr.ique, - Définition. - Considérons deuxveeteurs IB- et m (fig. 3).

Par un point O quelconque de I'espace, menons un vecteurffi: IF; puis par M un vecteur MN - ffi; enfin joignons ON.

^/'

FrG. 3.

!e vecteur N est appeté sornrne géomëtri,qoce o\ résultq,nte des

deux vecteurs Æ et ffi; ceux-ci sont appelês comltoscûntes.Le poirrt O est appelé pôle.La somme géométriQue s écrit : _oN-AB+CD.

AD

c

\,lvt



6 couRs DE TnrcoNomtrmq.

Remarque I.- il

résulte de cette définition que0N

est lasomme géométrique de tous les systèmes de vecteurs équipollentsàÂFetffi.

Remarque If. Si I'on change Ie pôle, la somme géométriquereste équipollente à elle-même.

Remarque llf. - L'orâre dans lequel on envisage les deux vecteursn'importe pas. En effet, soit 0F - ffi. Joignons PN. La figureOPMN est un parallélogramme puisque deux côtés MN et OP sontégaux et parallèles;

donc,et par . suite,

devientFN:ffi-TBÔT-6.F+PNON:- CD + AB.

Remarque IV. - Étant donnés trois points A, B, C dans I'espace,oo a, toujours la relatioo _AB: AC + Cts.

12, Remarque V. - On généralisera facilement pour plus dç deuxvecteurs.

'13.

Projeetlons. - I)éfinitions. - Étant donnés (ûg. 4) unaxe fi et un point A non situé Sur I'axe, on appelle projecti,onde L sur l'a,,æer le point de percée de I'axe et d'un plan mené par Aparallèlement à un plan a appelé plan directe?ir. Lorsque leplan directeur est perpendiculaire à loaxeo la projection est' diteorthogonale.

-qp

appelte projecti,on d,'un aecteur ÂFlsur

ArB, déterminé sur I'axe par les projections doDe môme m,. est la projection de m,.On ecrit: æ; : pr,5E

ÀrB, : prrAf,: mes prrffi.

I'axe, le vecteur

AetdeB.

et



\t

tnÉ:oruq vEqroRIELLE. 7

La tlroite qui joint un poùt à sa projeciion s'appelle proietante'

14. Remarque. - Des vecteurs dont Ies mesures sont des nombresqualiflés 6, i p, peuvent se représenter par les notations 5' T; F'

Les projections de ces vècteurs sur un axe û peuvent se repré'.senter par tes notations 8,, T', fi*. Les mesures de ces derniers

oe"trot-t seront alors représentées par les notations 2 6,, In, Fn'

t5. Théorème l. - Lorsqu'on proiette une ft,gure plane surun a,fie situë tlans son plan,toutes les proietantes sont parallèles.à l'i,ntersecti'on d,u plan d,e la fi'gure aaec le plan dàrecteur'

En effet, ces droites sont les intersections du plan de la f'gure avec

'des plans parallèles au plan directeur.f6. Théorème II. - Les proiect'i,ons d'un oecteur sur d'euæ

^aaes parallèles sont d,eun oecteurs équiptollents.

Soient (fig. 5) deux axes parallèles a of y et un vecteur ffiSoient pr,Â-B: ÂFr et PrÂ-B: Âæe.

-/B-A{

#A'.F.fiÉ. 5.

On aura lÀrBrl : lArBrl comme mesures de segments $e parallèles

compris entre deux plans parallèles. De plus, les vecteurs Artsr et

FoB, sont de même sens, sans quoi les plans projetants se

couperaient.

Donc, IS, : IlBs. ou Pr"ÂlE: PrrI5.t?. Théorème ltr. - Les proiect'i'ons sur un même aæe, de

d,eua oecteurs équipollents, sont deuo oecteurs équ$tollents.

Soient (tg. 6) los vecteurs équipollents: ÂB: ilD, et un axe at'

SOient S1- Pr,ffi et @, - Pr'0D.

Je dis que ffir:6Pr.Menons par À et C deux axes Y et z parallèles à æ. Soiont Br et

D, leurs pôints de percée avec les plans p et ô projetant B et D.

On aura (t6) pr"[B: PrrÂ3 et Pr,eD: Pr,ffiou ISr:;3, et @, :65r.Iæs triangles ABB, et CDD' sont semblables comme ayant leuç

côtés parallèles; en effet, les plaus de ces triangles sont parallèles;

.r

j'



Idonc BB, et DD,

parallèles deux à

couns DE TnrcoNouÉTnm.

sont parallèles comme intersections de plans

deux.

ctr'rc. 6.

De plus, puisque lABl : lCn1, les deux triangles sont égaux ;"

donc, lABrl - l0Drl.Enfin, puisque ÀE et m sont de même sens, m, et m, le

sont aussi.

Donc, Â8, : ffi, ou pr*ÂF : pr,CD.

Corollaire. De là résulte que I'on a aussipr*AB - pr*CD.

{.8. Théorème IV. - La (mesure de la) projection d'u,ne résul-tante s?.tr' un a,fre est égale ôL la so?wne des (mesures des),proj ections des coynposa,ntes.

Soient (fi$. 7) deux vecteutr E etÆ, et leur résultante :

ON: AII + CD.

A, e, B, D,

o''n

A

iDtr''rc. 7.

:il suffit de démontrer le théorème pour ôT[, puisque toutes les

résultantes sont équipollentes.il faut prouver que

pr*ON-pr*AB+prr0D.

D2

ts

M

N,vf,,

It



TIIÉJORIE VECTORIELLE. 9

Etr vertu du théorème de Mônrus :

o,M, * MrNr -l- N,O,: Q

ou o,N,: orMr * MrN,ou enc0re prroN : pr*OM + pr#MN.

Or, en vertu du Théorème III (corollaire) :

prrAB : prroM et pr,,CD - prrMN.Donc, pr,ON-.pr*AB+pr',CD.19. Théorème V. Étant d,onnés d,eun ates et ?tn aecteur

si'tués dans un même plan, si l'on. projette le Decteur sulr

chaque afie, parallèIentent ù l'autre a,{te, le uecteut" est tarésulta,nte de ces deun projections.soient (flg. 8) les axes fi et y et le vecteur ffi.il faut prouver qo"_

AB:pr*Atsfpr,rAB.Par A menons un axe æt parallèle à" n et par B un axe yt parailèle

ày.

soit c le point de renconrr*"iàt*, et de a,.on a (ll) IE:.M+CF.Or (16) m-pr*,IE-pr..ffi

et 0B_: pr,,,ffi *- prrÂEle théorème est donc démontré.

2A. Produiû géométriqrreo Définition. On appelle,produit géométrique de deux vecteurs, le produit de la mesure d.el'un par la mesure de la projection de I'autre sur I'axe qui portele premier.

. Soient (flg. 9) deux vecteurs Æ-et CD', portés respectivement parles axes $ et y.Pour que Ia définition donnée soit complète il faut prouver que

AB.prrCD - CD.prnAB.



10

Par un point

vecteurs

Soient

et

couRs DE TRIGoT{ouftuE.

quelconque de I'espace, pal' exemple O, menons deux

Onfr-ffi et N-m.æ:pr,OIi: pn ffiOO : prrOlfi: pfrffi-.

Le quadrilatère PNQM est inscriptible dans une circonférencedont MN est le diamètre.

Le point O peut être à I'cxtérieur ou à I'intérieur de cette

circonférence. Dans les deux cas, it 'est démontré en géométrie

élémentaire que sa puissance est constante :

* Ks : OP.OM : ON.OQ.

AB.prrCD - CD.proAB.onc

Le produit géométrique se représente par la notation AB.OI).

2t.. Théorème I. Le prod,,uit géométràque de deuæ aecteurgégui,pollents est égal 0,u carcé de leur rnes?r?^e.

Soient (fig. I0) ÂE: ffiOn aura m.m'- AB.pr*CD'

CD" T- - - I- - -A3

E+,". 'ï

B

Les axes û et y étant p4ratlèles, prp : prnffi : 6 - ^friF

donc prr0D = AB,

et par suite I3'.CD

-AB.AB

-.Â3:.

22. Théorème II. Le produit géométri,que d'une résultanteet d'un tecteur est égal à la solnrne des gtrodui,ts géométriquesdes cornposontes et de ce uectezcr.



tgrûonrn vEcToRIEr.,r,E.

Soit une somme géométrique :

ÊC:BT +IC.Projetons sur I'axe æ qui porte le vecteur MN:

pr*BC:prrBA+pr,AC.Multiplions les deux membres par Ml\ :

MI{.prrBC - MI.[.pr*BA + MN.pr,AC

ou IIII.BT - W.m + I[N.m. c.q.f.d.

23. Théorème III. - Le carcé d'une résultante de deufr aecteurs

est ëgal à la sowtrne des carcés des co?nposantes et d,e leur'double produit géométrique.Soit une somme géométriquu:

BC:BA+AC.En vertu du théorèm:- tt (22) :i "oî

BC.BC: BU.tsA + BC.AO

d'où

: Ef.m + BEIC + BT.m + ÂC.m.

m'_-M'+Fe' +LBT.ÂT.

S 2. ARcs TBlcoNoM Érnteu Es.

24. I)éfinitions. - Considérons une circonfércnce de centre C ; unpoint A de cette circonférence (fig. ll). Si I'on veut porter à partirde A un arc dont la longr-reur est un nombre déterminé a, on estconduit à faire exactement les mêmes conyentions que lorsqu'ils'agissait d'une droite. On distingue donc les deux sens de parcourspar les noms respectifs positil (ou direct) et négatif. Une fois lesens posi[if choisi, la circonférence est dite orientée; on indique lesens positif à l'aide d'une flèche courbe placée autour du centre.

On convient de prendre sauf avis corr-traire comme sens positif, le sens inversede celui suivant lequel se déplacent les aiguillesd'une montre urarchant normalement ; cetteconvention nous dispense d'indiquer le senspositif à I'aide de la flèche.

On afiecto le nombre q,, longueur de I'arsconsidér,ê, du signe + ou du signe - suivantporté dans le sens positif ou dans le sers

1t

Frc. I J.

que I'arc doit êtrenégatif .



12 couns DE TRTGoNoMÉTRrE.

Si donc, on nous dit gue I'arc AB a pour mesure le nombre + a,

le point B est bien déterminé sur la circonfôrence ; it en serait demême si I'on nous disait que I'arc a pour mesure le nombr e - o,;par exemple, le point A est déterminé par rapport au poinr B, grâceau nombre - a.

Jusqu'ici il n'y a pas de différence avec ce que nous avons dit àpropos d'une droite.

25. Bxpression générale de la rnesure dtun rFGoSupposons qu'un point A ait été placé arbitrairement sur une circon-férence orientée, et qu'un point B ait et"é placé ensuite, grâce à cerenseignement, que I'arc Ats a pour mesure un nombre positif * a;supposons encol'e que ce renseigncmerrt ait étê perdu e[ qu'on veuillele retrouver. Il suffira de mesurer le chemin qu'il faut faire décrireà A pour I'amener sur B et de noter le sens dans lequel ce chemin aêté parcouru. On fera alors précéder la mesure du chemin du signe+ ou du sigrre suivant gue I'on a fait tourner A dans le senspositif ou dans le sens négatif. Mais aussitôt on constate que lacirconférence est unc ligne telle, Que I'on peut faire tourner A dansles deux sens pour I'amener sur B ; et que, de plus, dans chacun de

ces deux sens, il y a une inflnité de' chemins de différentes longueurs,En efiet, soit c la mesure d'une cir,conférence.

Considérons un mobile qui, partant de A, décrive la circonférencedans le sens direct. Il passera au point B après avoir parcouru unchemin a. Il y passerA une deuxième fois après avoir décrit en plusune circonférence, soiû un chemin tota I a * c ; une troisième foisaprès avoir décrit une deuxième circonférence, soit un chemin totala * 2c; d'une façon générale, il passera en Il après avoir décrit un

chemin total a * kc, lt, étant un nombre entier positif. f)e même,si le mobile partant de A décrif la circonférence dans le sens négatif,il passera une première fois en B après avoir décrit un chemirr dontla mesure est - (c - a) ou ct, - c ; une deuxième fois, après unecirconférence de plus dans le sens négatif, soit un chemin totata-c-c ou a-Zc; une troisième fois, après un chemin a,-3c;en général, il pessera en B après avoir décrit un chernin dont lamesure est a- h'c, kt étant un nombre entier positif, ou a * hc,k étant un nombre entier négar,if.

Tous ces nombres, pris individuellement, sont les mesures d'arcsayant A pour origi,ne et B pou r entréntité. Représentons I'ensemblede tous ces arcs par la notation a,rc (AB) et I'ensemble de leursmesures par .G.



THEOR1E V"ECTORIELLE. t3

Ce symbole ÂÈ représente une infinité de nombres, eD progressionarithmétique de raison ci tous cclnteuus dans I'expression hc * a.

C'est à cel, enseinble de nombres, noté &, que nous convenons dedonner le nom de tnesu?"e de l'arc (AB) ; et cela parce que, à cetensemble de nombres ne coruespond qu'un seul point B, biendéterrminé par rapport à A grâce à la connaissance de I'un quel-conque dt;s nombres lzc { a.

Nous dirons que ÂÈ : kc * a est zcn nombre déterminé, si a,

est déterminé, sansque

k le soit, toujoursparce

quc la connaissancede a suffit à fi.xer la position rela[ivc des points A et B ; c'est cetteposition relative qui est caractérisée par L'&rc (AB).

26. En résumé, un a,r"c trigonométrique est une noti,on cornpleuecornprenant :

Io la figuî"e consti,tuée par deur poi,nts d'une c'i,rconférence;20 l'ordre dans lequ,el on énonce ces deuæ points. '

Le point que I'on énonce en premier lieu en est I'or"igine; I'autrepoint est I'entrémité. L'arc trigonométrique ayant A pour origine

et B pour extrémité est noté cLrc (AB).Deux points A et B d'une circonférence déterminent deux arcs

trigonométriques : e,rc (AB) et a?"c (BA).

La mesure de l'a,t^c (AB) se note (È. C'est un ensemble denombres compris dans la formule générale kc { a, qlle I'ondétermine comme suit :

Io On oriente la circonférence ;

20 On mesure I'un des chemins qu'il faut faire décrire à A pour

I'amener surB

;30 On place devant ce nombre a le signe + ou le signe <

suivant que I'on a fait tourner A dans le sens positif ou rlans lesens négatif ;

40 On mesure la circonférence à I'aide du même étalon et I'onmultiplie le nombre obtenu par k.

La mesure cherchée est I'une cles expressions kc * a ov fuç - 6.Soit un o,r"c (AB) ; et soit

mes a,r'c(AB):G:kc*d.Pour I'a,rc (BA) on aura

^'es a,rc (BA) - BA : kc - a,

.^.,^.AB+BA:hc.'où



T4 COURS DE TRIGONOMETRIE.

On a, d'autre part, ÉÀ : - Grelation qui exprime que tout nombre de I'ensemble fi est un des

nombres de I'ensemble ,G, changé de signe, et réciproquement.

Par aualogie avec la formtrle AB + BA : 0, relative aux mesures

de vecteurs, on convient d'écrire iÈ + Éi : 0 au lieu de kc (t),lorsque I'on ne doit pas se servir de cette formule pour des calculsultérieurs

27. Théorème.

férence, on a, la relation :

^Cs'+ É^c + iÀ - I&c:0.Soient ,G:kcfa

I

ÉÈ: kc*gû: hc*"{

d, p et T étant trois nombres positifs, mesures des plus petits arc$AB, BC et CA décrits dans le sens positif, €f chacun moindre qrie cpar conséquent.

On aura évidemmenta*9+T: cauZc

(kc + 4 + (y+ p) + (hc -F T) - kc

ou encore AB + BC f Cr\ : kc - 0.

28. Remarque I. On utilise fréquemment les formules

G:t +.{È.-\AB:OB-OA

déduites directement de la formuleû,.+,.G-rÉô:oet qui signiflent que toute valeur dr-r Ie" membre est une des valeursdu 2d membre, et réciproquement.

29. Remarque II. - On généralisera facilement pour plus de troispoints.

S g. - ANcLES TRTGoNoMÉrnteuEs.

30. Définitions.cette droite, si nous voulons mener par O une droite faisant avec

e) Cela ne signifie done pas quc hc soit nul', mais cela rappelle que l'extré-srité de l'arc hc eoïncid.e avec son origine.

d'où



THEORIE VECTORIRLLE. 15

la droite donnée uD angle donné,faire des conventions analoguesparagraphes précédents.

Nous pouvons faire tourner æ autour de O dans deux sens directe-nent opposés. L'un est appelé sens positif oa direct,' I'autre, sens

nëgatif.Lorsque le sens positif est choisi, le plan est dit orienté. On garde

le nême sens positif pour tous les points du plan.

On prend, sauf avis contraire, comme sens direct, le sens inverse

du sens de rotation des aiguilles d'une montre.Soit fi un axe obtenu en choisissant un sens positif sur la droite

{t,. soit y un deuxième axe passant par O.

On appelle angle trigonométriqzte une notion complexe com-prenant :

lo la figure constituée pa?" les deuæ afres fr et A ;

20 I'or"d?"e dans lequel on énonce ces deuæ affes.

L'axe que I'on énonce en premier lieu en est l'ane ori,gine ;ïautre est l'a,æe efitrême. tr 'âilgle trigonométrique ayant fi pour

axe origine et y pour axe extrême est noté angle (ny); on I'appelleaussi angle q.ue fait y uuec ff,.

Deux axes æ et y dêLerminent deux angles trigonométriques :

angle (ny) et angle (yn).

La lnes'uî'e de l'angle (n-01) se note ;ù. C'estnombres compris dans la formtrle générale kc *mine comme sui[ :

lo On oriente le plan des axes û et y.

20 On mesure I'un des anglcs dont il faut faire tourner fr pourI'amener sur y.30 On place devant le nombre d. ainsi trouvé le signe + ou le

signe suivant que I'on a fait tourner fi dans le sens direct oudans I'autre.

nous sommes encore obligés deà celles faites dans les deux

un ensemble de

a que I'on déter-



L6 couns DE TRTGoNoMÉrnrc.

40 On mesure I'angle d'un tour (quatre droits) par rapport aumôme étalon, et I'on multiplie le nombre c obtenu par I'entier k.La mesure cherchée est I'une des expressions kc * a ou kc - æ.

Soit un angle (oy), êt soit

mes angle (æA) : 6ù : hc * d.

Pour l'angle (yæ) on aura :

mes angle (yæ) : fu: fuç - a,^.d'où fiy

+yfr : kc.

On convient encore d'écrire hc - 0

d'où ûr+fr-o.on a aussi û îù.C'est-à-dire que tout nombre cle l'ensernble fu estun des nombres

de l'ensemble îy cnangé de signe, et réciproquement.

Le nombre A : kc * a et l'angle (rù sont déterminéslorsque æ est déterminé; en effet, a fixe la position de

ypar

rapportà n, et c'est uniquement cette position que les définitions et conven-tions précédentes ont pour but de déterminer.

31. t'héorème. - Êtant d,onnés trois afres x, y et z situés d,ansun mêtne plan,'ùl eniste entre les rnesures des angles déter-mi,nés p&?" ces trois a,tes, ta relation.-

ù +fr + à:o.Menons par un point O quelconque tlu plan, trois axes frr,Ar et zg

parallèles aux axes ,r, y et z.

En vertu d'un théorème de Géométrie nous poumons écrire :,/r ,^..

^rtAr - {fry U$t : yZ Ztfrr: flfr.

soient &r: kc { a

ûr: kc*P,^ïrfrt: kc * T

q., p et T étant trois nombres positifs.On aura évidemment

a{ P*T: kcd'où (kc J- ") * (kc * Pt + (ke + T) : kc

ou bien &, + fti + ûr: kc - o.

nenrésulte ù+ù+à-0.



L7HÉORIE VECTORTELLE.

g2.Remarque I. On utilise

fréquemment les formules

û:'à+â"et fr:à -6ù :

,qui se déduisent directement de la précédente.

33. Remarque II. On généralisera aisément pour plus de trois: âXOS.

s 4. MESURE DES ARCS.

g4. Étrtorls. On rapporte couramment les arcs à trois"étalons distinccs :

lo Considérés comme çyrand,eurs d,irectenzent nùesurables,lesârcs peuvent se mesurer en prenant la circonférence comme étalon.Pour éviter les nombres fractionnaires, on a donné des noms parti-culiers à certaines parties aliquotes de cet étalon ; on a crêê, ainsideux systèmes de sous-multiPles :

A I La circonférence comprend g0O degrés, notés o ; le degré,,60 tninutes (t) ; la minute 60 secondes (tt).

La mesure d'un arc en degrés est représentée de la façon.suivante :

350 42t 26u r7,le dernier chifire (7) exprime des dixièmes de seconde.

Ce système constitue la subdiuision sefiagési,male; il y manqueun échelon initial qui vaut 60 degrés; c'est l'arc dont la corde est.égale au rayon.

Bl La circonférence est subdivisée en 400 grades, notés * ou ";le grade est subdivisé en décigrades, centigra,,des, mi,Ili,grades etc.,

'd'après le système décimal.

La mesure d'un arc en grades sera notée :

L27c,45913.

Originairement, le quart de circonférence ou qlca,drant comprenaitf 00 grades ; le grade, 100 minutes (') ; la minute, 100 secondes (tt) ;I'arc L2"1e,45913 devrait dans ces conditions être noté Lq27"45rgltr,3.

-C'est ce qui explique que ce système s'appelle subdiuision centési-tna,Ie. Seulement la notation décimale est autrement simple.

2o Considérés comme a,rcs de courbe,les arcs sont aussi rapportésau rayon de la circonférence. Le cours de Géométrie élémentaire.définit ce qu'il faut entendre par longueur d'un arc par rapport àL

'Couns nn TnrcoxouÉrnrr.



r8 couRs DE TnrcoNomÉrnm.

un étalon rectiligne. La longueur de la circonférence parrapportau rayon est le nombre Ztr.

L'arc ayant pour longueur le nombre I s'appelle rad,àan (t).La longueur d'un arc quelconque par rapport au rayon est égale.à la mesure de cet arc en radians.

35. Remarque. - La subdivision sexagésimale présente I'avantagede donner des nombres simples pour les arcs des polygones réguliersusuels ; I'arc de 30o en particulier est très utile en Trigonométrie.

La subdivision centésimale est avantageuse en principe, les calculs

se faisant dans le système de numération décimale. Elle a, êtêimaginée par Laczu,NGE, en même temps que I'on adoptait le mètre"comme étalon rectiligne ; sur un grand cercle de la Terre supposéesphériQtro, le centigratle a une longueur de r kilomètre.

Cette relation simple est fort utile en Géodésie.

On a imaginé également un système mixte où le degré est l'étalonprincipal, et on lui a appliqué la subdivision décimale ; seulementle mot grade devrait être préféré au mot degré, car celui-ci se prêtemal à la formation des noms des sous-multiples décimaux. Des

tables de logarithmes ont êté établies pour ce dernier système ;mais cette innovation n'a pas eu de succès.

Dans tous les calculs théoriques, c'est le radian qui est utilisépour mesurer les arcs, à cause de la simplicité que ce choix apporte"dans le calcul des dérivées.

36. Conventions. I.{ous représentons la mesure d'un arc enradians par une petite lettre a; la mesure d'un arc en grades par une.grande lettre A ; la mesure d'un arc en degrés par une grandelettre afrectée de l'exposant o : Ao. Dans la première partie du cours

nous prendrons le radian pour étalon. Dans la deuxième et latroisièrê, nous prendrons le grade. Les lettres grecques serontemployées indifféremment dans les trois systèmes. Dans la troisièmepartie, nous devrons d'ailleurs faire de nouvelles conventionsrelatives à la représentation des mesures des arcs.

37. Problème. Connaissant la rnesure d,'un arc dans u,nsystème, calcu,ler ta rvùesure d,u même a,rc dans un des d,eun'autres systèmes.

Soient a,, Ao et A les mesures d'un arc par rapport au radian"

au degrê et au grade. Le rapport des mcsures de deux grandeqrs demême espèce est indépendant de l'étalon choisi. De là résulte

(t) Néologisme; ce mot n'est pas encore admis par l'Académie. Il ne figureni dans LtrrnÉ ni dans BnscsrRELLE.



THEORIE VECTORIELLE. 19

l'égalité des rapports de la mesure de I'arc à la mesure de la

circonférence. aAoA%: s0: m'

Ces relations donnent la soh-rtion du problème.

Exemple I. Calculer en grades la mesure du radian.1X%: aoo

d,ot\ x

- ry:200

x

*:200

x 0,Br8g0 98861 8g790 6?151...

etenfin X- 63",662.

Exemple I[. - Calculer en raclians I'arc l0rr.æ10%:=ffi

d'ori n :

'|+SOO:

0,00004 84813 68I...

Exemple III. - Calculer en radians I'arc 0",0025.û2ô2, : A.o0o.ooo

d'où ,r :sôË0ô

: 0,00008 92699 08t69 82...

38. Déftnltlons. - Deux arcs sont. ùits égo:u,n et d,e signescontraàres lorsque la somme de leurs mesures en radians vaut2hæ.

Deux arcs sont dits complémentaires lorsque la somme de leurs

mesures est 2kæ g|.Deux a.rcssont aitl sup4ttémentaires lorsque la sommc de leurs

mesures est 2hæ | æ.

Deux arcs sont dits d,iamétralement opgtosés lorsque Ia diffé-rence de leurs mesures est 2àæ * r.

39. Théorème. - Deuæ arcs x et y, ayant même ori,gdne etd,ont la sorwne x * y :2kæ | a, ont leurs eatrémi,tés symé-triques pd,r ra,pport à, ta bi,ssectrice d,e l'angle d.

a étant le plus petit nombre positif de I'ensemble 6À (fig. fS),sera la mesure de I'arc géométrique OÀ décrii dans le scns positif.Soit M lo milieu de cet arc.



20

On aura :

Soient

et enfln

Or,Donc

COURS DE TRIGONOMETRIE.

OM

n-OX et

a

,'u: &.t{l

rc. 13.

on a, par hypothèse , ciÎ + t =- oÀ

ou oî{+ln^x+où+iffy-oÀou encore 2kæ + 3 + MX + 2k- -s- ! L- o^(r - I\[X + Zkr + t + NtY : Zltæ * a

MX+MY

Mi+xùMY: XM

-ofr*

: Zhn.

)

et si I'on pose I\îX - Zhæ * p

P étant un nombre positif, mcsLr re du plus petit arc géomôtriqueMX décrit dans lc sens positif, on allra :

fM : û^y - zkn- p.

De là résulte évidemment qlre les arcs géométriqucs MX et MYayant tous deux pour mesure p, sont symétriques par rapport audiamètre CM, ainsi que les points X et Y.

40. Corollaire f. - Deux arcs égaux et de signes contraires ontleurs extrémités symétriques par rapport au diamètre qui passepar leur origine commune.

En effet, pour ces arcs, d:0, et le point M est confondu avecles points O et A.

Si I'un des arcs a pour mesure & = Zkn * uo - fi

I'autre aura pour mesure & : ?kn - ûo41. Gorollaire II. Deux arcs complémentaires qui ont même

origine, ont leurs extrémités symétriques par rapport à la bissec-trice du premier quadrant.



îHEORIE VECTORINLLE. 2I

pour ces arcs o:!n.Si I'un a pour mesure C,x: Zn" * fro: n

I'autre aura pour mesure îy -zn"+i-no:1,-*.42. Corollaire IU. - Deux arcs supplémentaires ont leurs extré-

mités sur uue parallèle au diamètre de I'origine (a: n).Si I'un a pour mesure

ô.x: zn* * ûo: nI'autre aura pour mesure

6ï:2kæ*ft-ûo:ic-û.43. Remarque. - Les extrémités de deux arcs diamétralement

opposés sont aux extrémites d'un mêmc diamètre.

Soient 6È:æ et ôy -y, aveclacondition û-y:Zkn*n.Il en résulte û:Zhn * n * A,

ce qui démontre le théorème.

S S. _ MESURE DEs ANGLES.

44. Thérème I. - Un angle au centre a la même rnesure erùoaleur absolue et en signe, que l'arc qu'i,l ântercepte sur Ia. circonférence, à, cond,i.tion d,e prendre corntne ëtalon d,'angle,I'angle au centre qui intercepte l'étalon d,'arc, et le même sens

. positi.f pour les angles et pour les arcs.

Itrtalons. - Aux trois étalons d'arc correspondent donc troisétalons d'angle : I'angle radian, I'angle degré et I'angle grade.

Remarque, - Dans la suite du cours, afln d'éviter des complica-

:r tions de discours, Ies expressions angle d, atc q,, mesure de I'angle a,- mesure de l'atc a, devront être considérées comme équivalentes.45. Théorème II. - Si. l'on prend, pour étalon d,'arc un arc

d,e longueur I, et comme étalon d,'angle I'angle radian, larnesure d,'un arc est égale au prod,ui.t d,e la mesure d,e I'anglepar la rnesure d,u rayon.

Soit (tg. 14) un angle ny qui intercepte un arc O'At sur unecirconférenee dont le rayon a pour mesure COr : Re

Àvec l'étalon rectiligne pour rayon, décrivons du point C commecentre une circonférence.



22

I\ous aurons

Or

donc

couRs DE TRIGoNouÉrRm.

proportiona,rc otar orat colffi:oA:m

CO:*lOrAr-OAXCOf.

la

Soit a la mesure de I'angle géométrique fry.En vertu du théorème I (44) on aura

OA : a. Donc, OrAf : s.ft.N. B. - Ce théorème ne sera invoqué que dans le Chapitre Y

de la Trigonométrie sphérique. '

EXENCICES.

1. Traduire en grades :

32" 43t 9", 7

960 27t ffiit, 2

295" 4t 3lrt.

2. Traduire en degrés, minutes et secondes :

26e,53289

102",2L454

321c,45679,

3. Traduire ces arcs en radians dans la circonférencemétrique.

4, Traduire ces arcs en.lieues belges, à la surface desupposée sphérique et de rayon 6400 kilomètres.

trigono-

la Terre



5. Traduire ennadians sont :

rnÉonm vECToRIELLE.

grades et en degrésles arcs dont

f,6 + VâT'les

23

les mesures en

3,vt2-r_m'arcs dont les

même origine ?

des arcs des nos l,

en degrés est égale

22T' 2,

6. Comment sont placés sur la circonférenc'mesures en radians sont :

d., o + l, a * ';, ces arcs ayant

7. Calculer les compléments et suppléments

2 et 5.8. Évaluer en radians I'arc dont la mesure

à la mesure de son supplément en grades.

L\*"f



PREMIARE PARÎIB

FONCTIONS GIRCULAIRES

LIVRE IC'

s'oRDtuLEs cÉnÉneLES

CHAPITRI PREilIIER

Définition des nombnes tnigonométniques,

46. Les nombres trigonométriques ou foncti,ons circulairesprincipales sont au nombre de six, savoir : le sinus, le cosinus,la tangente, la cotangente, la sécante et la cosécante.

S l. - oÉrlNtTloNg.47. Théorème. - ,Si l'on ltrojette orthogonaletnent un aecteur

Kf, -Ç. KL srtr un q,fre quelconque x et sut" ,ttr,n a,fie y tel, çI,rre.^.A : + ;, les ,"û,pports

pr,KLKL erwsont indépendants du nombre KL.Menons (fig. t5) par le point de rencontre C de æ et y un vecteur

eM-Kt; soient

m, - pr*CM: prrm et Wr: prrffi: prrffi.Le théorème revient à démontrer que les rapports # et #

sont indépendants du nombre CM.

Or les triangles CMMr et CMM, restent homothétiques à eux-mêmes, quelle que soit la position du point M sur I'axe ur. Pour

un point N, le rapport d'homothétie est S.IM



D'où

ou gI:9S' etCI{ CM

Le théorème est donc établi.

DET'INITION DES NOMBRES

CN, : SgCM, CM,

TnrcoNolrÉrnlguns.

CN:- CM

cI{, _ cMr.CN CM

eb sin nu _ prrKH.

25,

48. Définitions. Les rapports consta nr-KL ef. PÉLnts fr- et ffis'appellent respectivement cosinus et sinus de I'angle (uu).

on les représente par les symboles cos ât et sinâc,Les axes fi et y sont appelés afies trigonométriques pour tous

les angles d'origine fi.L'axe æ est l'aæe d,es cos'inus, I'axe y est Y ane d,es s,i,nu,s.

Soit KH - * l, c'est-à-dire Ktr -Tc.on aura cos ;"- pr*KH

. On peut donc dire que :

49. On apgtelle sinus et cosinus d'ren angle, les rnesures desprojecti,ons respectiaes du uecteur-directeou de I'ane entrêmesr,cr" les afres trigonométriques corr"espondant ù l'ane ot"iginede l'a,ngle.' Posons â,

-Zltæf a : e,,.

. On appelle tangente, cotangentg, sécante et cosécante de

I'angle a les nombres respectifs g, 3ry, ==l; et $ tcos 4 stn 4 cos 4 srn A

on les représente par les symboles tga, cotga, sê,ca et coséca.



26 couRs DE TRIcoNoMÉTRIE.

50. Théorème. La lnesure de la projection orthogonaled'orn Decteu,r .s?ri" un a,fie est égale ccu produi,t de la rnesuredu ',*ecteztr pa,r le cosinus de l'angle d,es a,fies.

Ce théorème esb une conséquence immédiate de la définition ducosinus (fig. 16).

On a) en effet, pour It, -Tî.KL,: KL cos n?.1.

bf,. Théorème. Le proar),, iîr*étt i,que de d,euæ uecteurs

est égal au produit de leu,rs rnesures per le cosinus de l'ang\ede leurs aûes.Soient deux vecteurs : ÂE : î.r\B et m -lucD.^.On a: AI}.CD : AB.prrCD : AB.CD.cosl,c'l)

: CD.proAB : CD.AB.cos îr.â2. Remarque. r Il résulte accessoirement de ce théorèreo que

cos uu - cos au.53. Cerele trlgonométrique. - Çe1sidérons un angle (nu\

et menons l'axe y par le point de rencontre des axes æ et u (fr9. I7).Soit fr?,e 'î.- A, - Zkr, * a.

Soit 6.: u le vecteur-directeur de I'axe ?r. Si nous faisonsvarier d. de 0 à 2æ, le point A décrit une circonférence appetéecircanfé,rence trig onont étrique,

Sur cette circonférence, û : âr: e, : ukn f a.

L'arc (OA) et I'angle (mu) sont parfois dits corcespondants.On appelle nombres tri.gonométriques de l'arc (OA) Ies

nombres trigonométriques de I'angle (æu).54. trteprésentation grephlque des nornbres trlgo-lrornôtrtqnoBo

Le nombre a, rnêsure de I'angle géométrique nu,, est représentégraphiquement par I'arc OA à l'échelle CO - l.

pr,KL



pÉrnrrroN DES NoMBREs TRIGoNoUÉrnIQUEs. 2'f

Les six nombres trigonométriques peuvent être représentés graphi-quenent à la même échelle.

En vertu de leur définition,CD

Menons en O et en P deux axes t et z respectivement parallèlesaux axes trigonométriques ; soient T et Z les points de rencontre de

ces axes avec I'axe ?r.

:Iu

7-'

ïù

L

)

7

S B o æ

T

Les triangles COT, CPZ, CÀD, CAB, sont homothétiques; leurscôtés homologues sont des vecteurs de même sens ou de senscontraires; donc les rapports des mesures sont égaur en valeurabsolue et en signe.

oT _ co cf Pz _ cP.CD DA DA CD

Or, DA : CB CO: CP: l;donc cD sinaor: eB

:ô"57

: r8o

et CB cosa*': ol :sitra

: cot8{l'

Les axes t et a s'appellent aoe des tangentes et aoe d,es

cotangentes.

En A menons la tangente à la circonféreûce.Par définition du produit géométrique (r):

CS.CA: CA2 : CS.CB.

(t) Or bim, dans le triangle rectangle CAS.



?Â couRs DE TRIcoNoMÉrnm.

.Donc CS.CB:l ou CS:rL: I : sêca,,CB cosa vvv

De même CR.CA : CAZ - CD.CR.

DOnc CD.CR:I ou CR::: ,I :coséca.CD sin a55. Théorème. Le sinus et le cosinus d'u,n a,ngle ou de

l'arc correspondant sont les mesures des projectdons du rayonentrême de I'arc ,"especti,uement s?rr' les afies des sùnus et descos'incts,

56. Théorème. - La tangente et la cotangente d,'un angle oude l'a,rc corc;espondant sont les rnesures des oecteurs làmi,téspar le rayon eætrême de l'a,rc sur les afies des tangentes etdes cotangentes.

57. Théorème. F La sécante et la cosécante d,'un angle oud,e l'arc corcespondant sont les rnesures d,es aecteurs ti,mitéspar ta tangente géométrique ù l'eutrémi,té d,e I'a,l"c, sur lesa,fies des cos'inus et des s'i'nu,s.

58. Remarque.Cette

représentation graphigue des nombrestrigonométriques fait que souvent ces nombres sont appelês li,gnestri,gonométriques, ou plus simplement lignes d'un arc.

59. Remarque. - En vertu du theorè.* (l9) on a !

KL:pr,KLfprrKlou u.wr - fi.KL cos î" + A.t<nsinâ,c.

En particulier, pour le vecteur Cf - u:

u:CA

-fr..orôÀ

+y sin6À: cosn

+sina.

s 2. DU SINUS.

60. Signe. Lorsque le point A se trouve dans le premierou le deuxième quadrant, sina est positif ; dans le troisième et lequatrième, sina est négatif.

61. Variations. Il résulte de la définition, QUê sina est' indépendant de k; sina - sin(Zkæ * a) : sine.

Lorsque q:0, A est en O, D est en C, sina-

0.

A mesure que d. croît, D s'éloigne de C dans le sens positif de

I'axe U; donc sina croît ; lorsqr-re A arrive en P, * : l, et sina

atteint sa valeur maximum qui est * l.



nÉrnrrroN DES NoMBRES TRrcoNollÉrnreuns , Zg

Lorsque A décrit le second quadrant, le point D revient

sin a diminue.Pour d: ns A est en O', D en C et sinæ - O.

Lorsque A décrit le troisième quadrant, D s'éloigne de Csens négatif , donc sin a est négatif et décroît de 0 à - I,minimum qu'il prend lorsque A est en Pr, c'est-à-dire lorsque

Lorsque A enfi.n décrit le quatrième quadrant, D revientsin a croît, et redevicnt nul lorsque a revient en o.

Le sinus est une fonction périodique de I'arc, continue pour toutesles valeurs ; l'amplitude de la période est 2æ. Sin a peut prendretoutes les valeurs comprises entre + I et - l.

Exercice. Représenter analytiquement la fonction y - sin #.62. Problème. Étant d,,onné un not?zbre m, étabtir les for--

mules des a.,r'cs dont il est le s,irtus.l. lml

2. lml-L.al D?,:+I a,-Zhæ*

bl rn- -I a,-2kæ-;.3. lrnl

des sinus, à partir du point C, dansle sens indiqué par son signe.

Soit CD : fi?,. Par D menons uneparallèle à I'axe lr ; elle coupe lacirconférence trigonométrique endeux points A et Ar qui seuls ont

D pour projection (fig. l8).Les arcs 6À : Zkæ l- a

fir -zkn*æ -aépondent seuls à ta question (a est

I'une des valeurs de 6À;.

63. Remarque f. Le sinus d'un arc

mesure de la corde de I'arc double.

Les sinus de 18o, 30o, 36o, 45o, 54o, 60o, 72o sont les moitiés desmesures des côtés des polygones réguliers étudiés en Géométrieélémentaire-

vers C;

dans levaleur

3æa-Z'vers C,

tt

ç)

Nr'

v

\a

A/it lml

;

D \

\

c

/

aaa

.Lto

Frc. 18.



30 couRs Dn rRlcoNotuÉrntn.

64. Remarque I[. Il faut connaître par cæur les valeurs

suivantes ::

sin 30o - sin

sin 45o : sin 50" - sin

sin 60o

s 3. DU COS|NUS.

65. Signe. - Lorsque le point A se trouve dans le premier oule quatrième quadrant, cos a est positif ; daus le deuxième et letroisièile, cos a est négatif .

66. Var.lations. cos e, -- cos (Zltn + a) - cos a.

Lorsque d:0, A est en O; B est en O, cos a - + l.A mesure que d. croît, B se rapproche de C, donc coS.e décroît;

lorsque À arrive en P, o -_ T, et B est en C, donc cos î : 0.

Lorsque A décrit le aeo"iJme quadrant, le point B .'Joigo, deC dans le sens négatif de I'axe fi, donc cosa décroît de 0 à - l,valeur minimum qu'il prend lorsque A est en Of c'est-à-dire pourcL : TE.

Lorsque A décrit le troisième quadrant, B revient vers C, donc

cosa croît et redevient nul pour o:ff, A étant alors en Pf .

Lorsque enfin, A décrit le quatrième quadrant, B s'éloigne de C

dans le sens positif de l'axe fi, donc cosa croÎt de 0 à + l, valeur

maximum qu'il atteint lorsque A étant revenu en O , d.: 2æ.

Le cosinus est une fonction périodique de I'arc, continue poûrtoutes les valeurs ; I'amplitude de la période est Ztr. Cos a peutprendre toutes les valeurs comprises entre + 1 et - l.

Exercice. Représenter analytiquement la fonction U : cos ri.6?. Probtème. Étant d,onné un nonzbre m, ëtablir les

formules des e,rcs dont il est le cosinzt s.

l. pnl

2. lrnl: l. al tlù: + t & -2kæ.

b/ TJ?,--l a:=Zkn,f æ.

3. lrnlcosinus,' à partir du point C, dans le sens indiqué par son signe.

nl62

-.^ 7r V5SlDo: ù2

T:\1242



nÉn'tNrTloN DES NoMBRES TRIGoNoNTETRIQUES. 3I

So it Qfi, : yy;,. Par B rnenons une parallèle à l'axe y ; elle coupe

la cir.conférence trigonométrique en deux points A et At qui seulsont B pour projection (fig. l9).

Les arcs OA :2kæ * a

OAf :Zkn - d.

répondent seuls à la question (a est

I'une des valeurs de û.;.68. Remarque I.

-En valeur

absolue, le cosinus ù'un arc < T2

est I'apothème de la corde de I'arcdouble.

Frc. 19.

69. Remarque II.suivantes :

et de

on déduit

cos 60o : cos î: *-ùa'

cos Q, - cos (Zkn * "): cos d

tga - tg (Zkn * ") - tgo..

n faut connaître par cæur les valeurs

cos 30o : cos

cos 45o: Cos 50" : cos

r:v562 r -\122

s 4. - DE LA TANGENTE.

70. Signe. Lorsque le point A se trouve dans le premierou le troisième quadrant, sin a et cos a ont le même signe, donctga est positive; dans le deuxième et le quatrième, sina et cosoont des signes contraires, donc tg a est négative.

7r,. Yarlations. De sin a : sin (Zkn * o) : sin a

Faisons varier d. de 0 à 2æ.

Pour or:0, sina:0, cos q.: L, donc tgo: Q.

Lorsque a croît de 0 à Tr, le numérateur sina croît de 0 à + l;Ét

le dénominateur cos a décroît de * I à 0, donc tg o croît.

A

v

r-nr

\

B

\c o

'æ

A



3?, COURS DE TRIGONOMEIRIE.

,n,tt!ÂN

tg ; se présente sous la forme du symbole i. Pour établir sa,

signiflcation, voyons quelle est la limite de tg (: -L) pour ). -. s\É/ /(I étant un nombre positif voisin de 0). Nous savons par I'algèbrequ'une fraction dont le numérateur a une limite flnie, et dont ledénominateur diminue et a pour limite 0, croît en valeur absoluesans limite ; nous dirons donc conaentionnellement :

r*- ).)^ ^: f ooim ts (; - ,.)\*0- ou tgT:+oo..)

t

f)ans le deuxième quadrant, tg o est lrégative ; voyons commentvarie sa valeur absolue : Iorsque c/- diminue et a pour limite æ'

2'le numérateur augmente, le dénominateur diminue en valeur absolueet a pour limite 0.

Donc, lim r* (î * t)r.*o: - oo ou tsi.: E oo.

Lorsque, au contraire, a âugûrente et a pour limite æ, le numéra-teur diminue et a pour limite 0, le dénominateur augmente et rpour limite I (en valeur absolue)

;donc tg

o diminue en valeurabsolue et a pour limite 0 ; par conséquent, dans le deuxièmequadrant, tg o croît de - oo à 0.

Dans le troisième quadrant, sin e prend, dans Ie même ordremais en signe contraire, les mêmes valeurs que dans le premier;cos e également, donc tg o reprend, dans le même ordre et avec Iemême signe, les mêmes valeurs que dans le premier, c'est-à-dire quetgo croît de 0 à + oo.

Dans le quatrième quadrant, sin aet cose., oot, dans le même ordremais en signe contraire, les mêmes

valeurs que dans le deuxième ;donc tgo reprend, dans le même ordre et avec le même signe, lesmême valeurs que dan s le deuxième quadrant ; tg o cr.oît doncde oo à 0. Dottc, tg (tt * a) : tg o. Nous pouvons écrire :

tgO - tgæ - 0 ;

,Tc3æt8Z-tg T: -E oo.

tg (llæ * "): tgcr.

Donc tg o est une fonction périodique et croissante, continue pour

toute valeur autre que kæ a|; l'arnplitude de la période est æ.

Elle peut prendre tous frJ valeurs de - oo à f oo.Exercice. - Représenter analytiquement Ia fonction A : tgn.



b

,_/

ôTI

I

I

I

I

mI

I

III

I

III

I

a\/\/vc

)

o

H

Frc. il.

oÉrrutrroN DES NoMBRES TRIcoNoMÉTRIQUES. 3S

72. Problème.

-Etant donné un nornbre m, établir 'les

formules des a,rcs dont il est la tangente.Portons Ie nombre m,, à partir

de O, sur I'axe des tangentes, àI'échelle du dessin, et dans le sensindiqué par son signe.

Soit (fig. 20)

OT : I/?,.

Joignons TC, qui rencontre la

circonférence trigonométrique en Aet Ar.

Les arcs

û.fi,

admettent

73. Remarque. tg 45o - tg 50' : | ,ttcr --4

-àkn*a-Zkæf æ *aseuls rn pour tangente.

s 5. DE LA COTANGENTE.

7 4. Signe. La cotangente étant I'inverse de la tangente,a. le même signe qu'elle ; elle est donc positive dans le premier,et le troisième quadrant, négative rlans le d.euxième et le quatrième,

?5. I'ariationsr - Puisque cotg o, - &,

cotg (Zhn* o) - cotg c - -1-.

tgaDans le premier et le troisième quadrant, tg a croît de 0 à -f oo,

donc cotg a décroît de * oo à 0.

Dans le deuxième eb le quatrieme quadrant, tge croif fls - oo à 0,donc cotgà décroît de 0 à - c<e.

f tt\cotghæ-,*oo et cotglk"+;) -0. É,r//

La cotangente est une foncfion périodique, décroissante, continue'pour toute valeur autre que kn. L'amplitude de la période est î8.

La cotangente peut prendre toutes les valeurs, de - oo à f o,o.Tlxercice.

- Représenter analytiquement la fonction !/ : coigæ.

3ouns pn TnrcoxouÉrnrn,



g4 couRs DE TRlcoNouÉrnm.

76. Probtème.

- Etantdonné

unnombre

m, étabtir lesformules des arcs dant il est la cotangente.

Cela revient à établir les formules des arcs dont ;} e*t la tangente-ln

Ces arcs sont û.. :Zkn * a

ffr:zknf æ To..'17. Remarque. - cotg5O" - tg50" - l.

s €t. DE LA SECANTE.

78. Slgne. La sécante, inverse du cosinus, a le même signeque lui ; elle est positive dans le premier et le quatrième quadratrt"négative dans le deuxième et le troisième.

79. Variaiions.- séca- I : I :séca.COS A COS æ

Donc séc (Zltæ *".)

: séce..

Faisons varier a de 0 à 2æ.

Dans le premier quadrant, cos e décroît de + I à 0, donc séc acroîtde+1à*oo, Dans le deuxième quadrant, cos e décroit de 0 à - l, donc séc acroît de'- oo à - l.

Dans le troisième quadrant, cos a croît de - I à 0, séc a décroîtde-1à-oo.

Dans le quatrième quadrant, cos oû croît de 0 à + l, séc a décroît,

de -J- oo à + l.Donc

La sécante est une fonction périodique de l'arc, continue pour

toutes les valeurs autres que kæ t |; I'amplitude de la période esùLt

?tr,. Séca peut prendre toutes les valeurs plus grandes que I envaleur absolue.

Exercice. Représenter analytiquement la fonction y - sécfr,

80. Problème. - Iltant d,onnë un nombre m, étabtir les for-mules des &rcs d,ont il est la sécante.

sêc?kæ: * I séc(Zkn * r): - ],

s e" (n.+ 3) : + oo.\ z/



DIIFINITION DES NOMBRES TRIGOI{OMETRIQUES. 35

Cela revient à établir les formules des arcs dont I est le cosinus.rn ,!

l. lml2. lnz,l: l. al m:+l a,-2hæ.

bl m: - I a,,: 2k,æ f æ.

3. lml

ffr -zkæ'a.

S z. - DE LA cosÉcnNTE.81, Siglle. - La cosécante, inverse du sinus, a le même signe

que lui; elle est donc positive dans le premier et le deuxièmequadrant, négative daTls le troisième et le quatrième.

82. Yarirtlonsr - coséca i* l- : , ,= ,l , . : -]-ina sin (2Êæ -F t) sinædonc coséc (Zkn * cr) - coséc z.

Faisons varier a de 0 à 3æ.

Dans le premier quadrant, sin z croÎt de 0 à + I , donc coséc cr

décroît de * oo à + 1.

Dans le deuxième quadrant, sine décroit de + I à 0, donc cosécæcroîtde*1à+oo.

Dans le troisième quadrant, sin t dê,croit de 0 à - I, donc coséc e

croif de - oo à - l.Dans le quatrième quadranb. sine croit de

décroitde-là-oo. - I à 0, donc coséc a

/-\coséc/eæ : * oo; coséc (Zkæ + ; ) : + I /

\ ./coséc (nn,*

- 1\\ - r)La cosêcante est une fonction périodique de I'arc, continue pour

toutes les valeurs autres que kn; l'arnplitude de la période est 2æ.

Coséca peut prendre toutcs les valeurs supôrieures à I ell valeurabsoluc.

Exercice. - Refirésenter analytiqucment la fonctio tr U : cosécn,83. Problème. - Étant donné Qtn nombre m, étalttir les for-ntules des ar"cs dont il est Ia cosécante

t



36 couns DE TRrGoNouÉtRin.

Ces arcs sont ceux dontt

est le sinus.rnl. lnzl

2. lml-I.al rn:+I a,-Zkn +3.bl m: - I e, -, Zkæ -;.

3. lml

fir:zkæ*c

CHAPITBA II

, FoFmules fondamentAles.

84. Théorème f. Sinza + cosea _ l.v

B {,

\\\j

t/t/,lt/t,/

3{tD_/'

En effet (fig. 2L)

CA:proj*CA+proj,,CAou (59)

+I:;ïnrr+coM.Donc, on aura (23)

1 - sinza f cosra * Z m7. ôô;Z..or (5!)

ffia.ffi:0.D'otr

I

,I

Fro. 21.

Remargue.

-Plus simplement, oo apptique au triangle rectangle

caB le théorème relatif aLl carré de I'hypothénuse :

cB-.+nar-çaaou cos?a + sinza : 1.

Théorème I[. Séc?a - tg'a - 1.

trn effet sécza - tgza,, - :-=- (=g)'cos'.a \cos al: *- -

sinza-

t - ï?'o : r (Th. rl.c osz a,, cosza, cosz a \ - l

Théorème"Ill. - Cosécz a, - coLgza : l.cosecza - cot gr&: , ,1, -

cosza I - cosza sinza- sinea ' sin94

: æ- :s;6: I



FORMULES J'ONDAMBNTÀLES.

85. Déftnltlon. - on appelle formulescinq formules suivantes :

sin2a * cos26: I

tg a: :i,1 1cos a

cotg c[-,#

séc a- lcos 4

coséc a, - .l-sm4

Les trois formules suivantes sont également très importantes:

tga.cotg a : Iséce a, -- I + tg'a

cosécz e, :- I + cotgz a

86. Problème f. Calculer les nombres trigonométriquesd,'u,n arc en fonction de l'u,n d'e'u,û.

Les cinq formules fondamentales constituent un système de cinqéquations à cinq inconnues.

A. En fonction de cos a :

sina - e Vt - cosra

e Vt - cos?a

37

fondamentales, les

(r)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

. (8)

(e)

tga:cos a

sécû,- 1- coséca-cos 4On voit qu'il y a deux solutions, I'une

pOUr g--1.

cos acotga,--vwt)w

e!I-COS2a

eVI-coseapour €-*t, I'autre

les conditions deet que I'on n'a pas

Ces deux solutions sont acceptables, puisquerêalité, db grandeur et de signe sont satisfaites,introduit de solutions étrangères.

B. En fonction de tga:

COS ff, --

Il y a deux

eVt +tgresolutions, I'une

(10)

(12)

pour e -

.tcotg

al - *g&séc a,

-r

Vt + tgta (Il)sina:& (tg)

€ Vl + rgza

+ l, I'autre pour E - - l',



38 COURS DE TRIGONOMÉTRIE.

EXERCICES.I . Quelle relation existe-t-il entre n?, et n, si :

l" I cos a, : '?Tt, et tg a : n.2r l séc a - l?L et cotg a, .- n.3'l tga f cotg a, : n?, et tg, a - cotgz a - nz.

2. Vérifier les formules suivantes :

L"l sinza--coszC( '

@

=::==slna'casa'

Zrl sé9e-cosa a^.2

coséc a-sinz:r8oa3"1 cotgz &.cosza, - cotgz & - cosz a,,

4,1 tg a' * tgbcotga+ cfu - tg Q"tgb'

6?l S'Ô z&.cot*z b-t. ,

sinz a. sinff - cotgz a,.cotg' b - I !

3. Calculer les lignes trigonométriques d'un arc en fonction :L'l du siuus, Zrl de la sécante.

4. Démontrer que 2(cos' a * sin6 a) - B(cosa a * sinaa) estindépendant de &.

5. vérifi.er Que, quel que soit n, positif, oo a, pour a ) 0:

Arc*iove:ârc rr/i. '

6. En désignant pâr a un angled'un triangle, on demande dediscuter Ia nature et le signe des racin'es de l'équation

l6nz-24æ sina -

g sina + Z - 0.

7. Déterminer q. de façon que les 4 racines de l'équation :

ç+ ' I I+ ; sincr.æ2 + ft-, cos$ : o

soient en progression arithmétique ; puis calculer ces racines.

8. calculer en fonction de a, et b I'expression :

a'' J- bcos0

-ï-sinT3r;

sactrant que tgO : t 12.Va



RELÀTIONS ENTRE LES LTGNES D'ARCS SUPPLÉMENTAIRES, ETC, s9'.t

CHAPITRE IIIRelations èntne les nornbnes tnigonolnétniques d'arcs

égaux et de signes contnaines,supplémentainesr Gornplémentaines, etc.

87. Remarque. - Nous avons démontré dans le chapitre premierque les arcs ayant même sinus ou même cosécante sont représentéspar les lormules générales :

&L:Zttæ

*a

C[2:7kn f æ -o.'Ceux qui ont même cosinus ou même sécante :

&t:2kæ { a

&?': Zhn - q"

Ceux qui ont même tangente ou même cotangente :

aL: Zkn * a

az:2kæ*æ {a.'

88. Théorème f. Deun ar^cs égauæ et d,e signes contraires,ont le même cosi,nus ; lettt"s sinus sont égauæ et de signes,contraires, ai,nsi que leu,t"s tangentes.

Cela résulte de ce que ces arcs ont leurs extrémités symétriques,par rapport à I'axe des cosinus correspondant à leur originecofllmun€.

On a, donc : cos (- a) : cos 4sin (- û): - sinatg (- a) :

- tga.

Les nombres inverses ont les mêmes propriétés :

séc (- a) : sécacoséc (- a): - cosêcacotg (- a) :

- cotga,.

89. Théorème II. É Deun arcs supryttémentaires ont te mêmes'i,nus; leurs cosinus sont égauæ et de signes contraires, ainsi,que leurs tangentes.

Cela résulte de ce que ces arcs ont leurs extrémités symétriques

Bar rapport à I'axe des sinus correspondant à leur origine commune.On a donc : sin (æ * a,) : sin a

cOS(rr- AI:-COSAtg(,t-a)--tga.



40 . couRs DE TRIcoNoMÉTRIE.

Les nombres inverses ont les mêmes propriétés':

coséc (æ - e) : coséc aséc (æ - a)

cotg(æ- a):-cotga,.90. Théorème II[. Deuæ a,?"cs d,i,amétraletnent otrtposés onf

l"e ntêm,e tangente; leurs sinus sont égaun et de signes con-traires, ainsi çpe leurs cosi.nus.

Cela résulte de ce que les extrémités de ces arcs sont symétriques.par rapport au centre, lorsqu'on leur donne même origine.

On a donc : tg (r + a,) - Iga'sin(** a):-sin4.cos (tt * a) : - cos 4.

Les nombres inverses ont les mêmes propriétés :

cotg (tt * e) : cotg acoséc (tt {- a) : - cos êc a

séc (æ + a): - sëca,.

91. Théorème IV.

-Lorsque deufi a,rcs sont complémenta,ires,.

le sinus et Ia tangente de l'otn sont égauæ respectioement a,u"cosinus et ù la cotangente de l'a,ztt,re.

Nous savons que deux arcs complémentaires, de même origine,ont leurs extrémités A et A' s;'pétriques par rapport à la bissectrice'du premier quadrant. Les vecteurs 0[ et ffit le sont donc aussi.

D'autre part, les axes des sinus et des cosinus sont symétriquesen direction et sens par rapport à cette bissectric€.

Donc, PrrCAr : PrrCA

ou sr"(Z-ô:cos,\a, /

on en déduit : cor fî - ") - sin 0\- //æ\t* [t - a, ) - eotsa

Et pour les nombres inverses :

s coséc (Z -o) : sécq,

\i/ /

,(æ \séc(;- a): coséca:

[æ\,cotg(;-a):tga.' \(/ /



BELATIONS ENTRE LES LTGNES D'ARCS SUPPLÉMENTAIRES, ETC. 4l

Remarque. Le cosinus, la cotangente et la cosécante sontappelés nombres complémentaires du sinus, de la tangente et de

la sécante, et réciproquement.

92. Problème. Réduire un a,rc a,u premier quadro,,nt.

On entend par là, trouver un arc compris entre 0 et 3 qoi ait lesZI

mêmes nombres trigonométriques que I'arc proposé, au signe près.

Soit o, un arc quelconque. On peuù d'abord trouver un arc c

compris entre O et 2æ et ayant même extrémité que a,, en ajoutant

ou en retranchant à a un nombre convenable de fois 2æ.

Quatre cas peuvent alors se présentcr :

Pl 0 q.

fq.,0t î

3"1 n

4't T

llr

3æ€)

2æ.

L'arc 7c - a répond à la question (Th. II).

L'arc æ répond à la question (Th. III).

L'arc 2n - a répond à la question (Th. I).

EXERCICES.

l. Exprimer les nombres trigonométriques Utî * a en fonction

des nombres trigonométriques de a,.

2. Réduire au premier quadrant : sin 740', sin 290", sin 170o,

sin 950o, cos 500o, cos 318", tg 350', cotg 870o, séc 1000o, coséc 1556",

tg (- 50o), séc (- l75o), sin (- 7000").3. Simplifler les expressions :

Lot m sin(; * ") +zsin('-;) + poos (T+ ")

-çrcos(? -")-2" i Zabséc (400c A) + (a * b)'cos (300" - A) - (a - b)'séc A.

s"l msin(æ

-a) cos (;

" ")+ psin (æ * a)cos

e- ")-É/4. Réduire au premier quadrant +, - 500', 2l3o 20',

105",23L2, - 3, ry, ffi.



42 COURS DE TRIGONOI\IBTRIE.

5. Calculer les lignes des arcs n * 5n, æ *tion des lignes de fi.

6. Étant donné un arc a) calculer les arcsayant pour

7nîi, fi Ë'.o fonc-

I\ cosmus, - cosaI.\ smus , cos a,t( cotangente, -tga.

7. Résoudre :

lo sinzel : coszæ

2"sin (a:

+ a)30 tg (n'- I) : cotgæ

sin (n - y) : cos 40".cotg: (n * y) - tg 10c.

séc (2n * SA) : coséc?0o.cos (2n - 3y): sin 600.

fifit: Q.

40

5o

CHAPITRE IY

Nombnes tnigonométnigues de sornmes et dedifféFences d'arcs.

Nombnes tnigonométniques des multiples d'un atrc.

S r. srN (a * B).

93. Soient deux arcs quelconques a, et b. Prenons I'extrémité À,de o, cornme origine de b (flg. 22)

I{ous aurons û,. : a,, ,CB - fi,

et(28) a*b-6À+fB

Soient net y

n, et y,On aura :

1\na: ûtVt:

lesles

axestrigonométriques

desarcs

d'origine O;axes trigonométriques des arcs d'origine A.

+i,i,



SOMMES ET DIF'FÉRENCES D'ARCS. 43

On a égalementsin (a + b): prrCB..

Or, on a vu au no 59 que G peut se décomposer en une sommegéométrique de ses projections sur les axes fir et yr:

0B -âr.cosb + yr.sinb - offi + sm.En appliquant à la projection de ffi sur y le théorème du no 8, oo

obtientsin (a + b): pr,cosb * prysinD.

Les projections des vecteurs r,cosÔ et yrsinô se calculent à I'aidedu théorème du no 50:

prycos b - cosô cos î*, et prrsin b - sinô cos ùr.Ér,aluons les angles fu, û 1ù, en employant la formule du no 3l :

,/-Ufrt * ærrc + ûy: 0

Ufit - a'-i;,,t\ //\ ,rt\

UUt*Ytæt*nrA-0UUt - a"

finalementpr,/cos b - cosô sinaprrsinb - sinôcosa.

D'où on tiresin (a + l)): sin o, cosb + cos a sinb. (l)

Si dans cette formule nous remplaçons b par b, nous obtenons:sin (a - b): sina cos b - cosa sinÔ. (2)

ou

et

ou

On obtient

et

94.

Or,

,d'où

S 2. cos (e * B).

cos (a + b) : pr,CB : pr, cos b + pr* sinÔ

pr*cosb-- cosbcosàr,pr, sinô

-sin b corlyr.

,/rnyr*yr:nr*fitû-0;,^\tUt - Q' +;'



44 couns DE TRIcoNoMÉrnm.

pr, cos b : cos b cos a,pr* sinô : - sinô sina;d'où l'on a

cos (a + b) : cosA cos b - sina sinÔ.

Si, dans cette formule, nous remplaçons b par - b,cos (a - b) : cosa cos b + sina sinô.

S3. Tc(a*B).

On a donc

tg(a+b):

De même

(3)il vient :

(4)

95.

Divisons haut et bas par cos e, cosb.

sina cosô , sinD cosaco$acos,A

-rcosa ôiM

* cos a'sinb a

- si11 a sin ô

tga * tgb_.I - tga tgb, sina sinôI--

cos a cosb

tg (a

-

b) :=tg,o : tgb -.

I +\ga ISb

(5)

(6)

s 4. SOMME DE PLUSTEURS ARCS.

9ô,'On décomposera la somme totale en deux termes, otr appli-quera les formules précédentes, et on opérera de même sur chaqueterme jusqu'à ce qu'il n'y ait plus que des lignes des arcs simplesqui figurent dans la formule. Exemple :

cos (a + b - c) : cos l(" + b) - cl: cos (a

*ô) cos c

*sin (a

+ b) sinc: (cosa cosb = sina sinÔ) cos c * (sina cosb + cosa sinô) sinc

- sin a sin b cosc.

s 5. - MULTIPLES D'UN AHC.

97. Fornnules de Simpson. - Dans les formules de (a +0>faisonsb--a,.Ilvient

sin 2 a,,

-2 sin a, cos'a,.

cos2a, - cosza, -sinza,- I - 2sinza -Zcosza,- I(au moyen de la relation sinza f cosza, : l.)

tg 2a 2 tga': T

-tgza'

(7)(8)

(e)



NoMBREs rRlcoNouÉrnreuns DEs MULTIpLES D'uN aRc, 46

Les différents multiples entiers de & constituent une progression

arithmétique ? a. 2a. 3a... (m - L) a. rna,. (m + t) o,...I{ous pouvons calculer les lignes d'un de ces arcs en fonction des

lignes des arcs précédents. Calculons les lignes de I'arc (m + L) a.

sin (rz + l) a: sin (ma * a) : sin tna cos a * cos rn& sina,sin (rn - I) a, - sin (zz a, - a) - sin ma cos a, - cos rno, sin 4'

Additionnant membre à membrc et faisant passer sin (ra - L) adans le second membre :

sin (m+- I

)o

=2sin rna cos a

-sin (m- l) a.

trn faisant successivement 7v1, - l, 2, 3, etc., otr trouve les sinusde 2a, 3&, etc.

sin 3a :2 sin 2a cos o, - sin a - 4 sin a cosea - sia 4

ou sin 3a - 3 sina - 4 sin3a. (10)

sin 4a - 2 sin 3a cos6u - sin 2a: 2 ('j'i i#.il;'Ii"ffi ?jiiicos 4

De mêDê, cos (m + L) a - cos rna, cos a' - sinma sin a,cos (m - 1) a, --:- cos nua., bos a * sinma sin a ;

d'ou cos (m + 1) a - 2 cos rna cos a, - cos (m - L) a.

ffù-2, cosSa-Z cos 2acosa'-cosad'otr cos3a,-4coszs-Scosa; (tI)

rïù : 3, cos 4a :2 cos 3a cos a' - cos 2a

- 2 cos a, (4 cossa -3 cos a)-2 coszz+ l:8 cos[a., - 8 cosza, * l;et ainsi de suite.

tg(rn+L)a: tgnza + tgaI - tgma tga

Ig2a- 1g2a + tga,donne :

d'où

2Iga,t - rg'&+ tga

I-IgZaIga I_.219'q^I - trg'a

tg'4a

-

tg 3a: t"** o^, 1g'a '=ry'

tg\a + tg,a _9tgq,

-tgsa

* tga

-

3tg3a

I -tgSatge I -3tgza -3lg'a+tgta4tga,-4tg?a

et, ainsi de suito.I-6tgza+tgoe



couRs DE TRIcoNoMÉtRlu.

EXERCICES.

sina sin (ô - c) * sinô sin (c - a) + sinc sin (a - b) - 0.tJ. Vérifier les formules suivantes :

,46

1. Déterminer les nombres trigonométriques de a + b * c ;déduire des formules trouvées, ceux de 3e,.

2. Déduire cos (a + b) de sin (a + b).

3. Déterminer fi à I'aide des formules :

i2Isina*cosb:i

10 (., 3)sinb+cosa-_-l4Itg(a*b)-n.I sin (a + b):0,8

c)o{ sin (a - b) :0,28I sin !,q - s.12.lcosro:i

30 ; , ,\ .3 )cos (a-b):'-I ' -', 4

Icos(a*b):n.4. Calculer les nombres trigonométriques de 15o ,75o, LZo,48o, 3o,

93o i 20", 30", l0:, 40", 5o. ,

50 Calculer les nombres trigonométriques de h,: + - +,r-oæTCæer ûe LZ: Z_l_ O.

6. Sachant que tg a et tg b sont les racines de l'équationnz * pû + q: 0, calculer, en fonction de p et g, I'expression

sina (a + b) +p sin (a

tô) cos (a + b) + q cosz (a * b).

7. Démontrer I'identité

l6 sin 20o.sin 40o.sin 60o.sin 80o - 3,

. t6 cosz0o.cos40o.cos60o.cos80o : l,I - tgz (50' - a) ^:_ î= $ln Z&.

9. Simplifier les expressions

cos(a*b-c)+sin (r + y) -F cos

:

cos (b + c) sin (a - b)sin û

(n-y)sin(æ-y)fcos(n*y)



NoITTBRES TRrcoNouÉrnreuns DES sous-MULTIpLES D'uN aRc. 47

lo. Arc tg à + arc *g * + arc r* à :74,1,1 ,lArc tgi,,-l - arc tï,àp + L

ll. coszæ -Z costr cosa cos (a * n) + cosz (a * æ)

est indépendant de n.

12. Calculer tg 3a en fonction de sina (a est du 3u quadrant).

CHAPITRB Y

Nombnes tnigonométr.iques des sous-multiples d'un erc,

S f. cAs eÉn ÉRAL.

Représentons un nombre trigonométrique quelconquc de l'arc o,

par la notation générale l((a).

98. Problème. - Catculer les sin nombres îC( *\ t" fonction\rn/du nombre lÇ\a).

Règle. - On pose a, - mb oa * - b. On écrit la formule donnantrnïLr(a): T(rlttzb) en fonction des TqD. On joint à cette formuleles cinq formules fondamentales entre les 97,(b). _On a" ainsi unsystème ds six équations à six inconnues, les 9I(b), que I'on résoud.

Discussion. Il y aura, pour chaqtre )L(b), 2M ou /yt, valeursréelles et diftrentes. En effet, à un lÇ(a) donné, correspondentles arcs : qr : Zkæ * q.

Az:2kæ, { P,

p ayant une des trois valeurs : (æ - a), - a. ou (tt * a), suivantque 9(r(a) est sin 0,, cosA ou tga.,.

Donc, b - #a pour expressions :

br-&r.:k'n + a'rnlnrn

ri

b, -0'' : ltzn + P.ernnù'ln

â peut prendre m valeurs différentes pour lesquelles Ô, prend m,valeurs diftrentes ; il suffit de faire successivement :

k: nln, nrn + l, nrù * 2r.,. wïù * pr... nmi{ (m - l).



48 coURS DE TRIGoNoMÉInTn.

bL prend les valeurs successives :

znæ * *, znæ ++ + +, Znæ In rn rn

...ZnT' + P2- t' 4 **ù""Ztt'æ +(m-

6)2æ | q.o rn -r n'"'9æ.t)A+ d'.

'rn.' rn

I'nla précédente, de -::;

b, est 3 : pour b,. 9-'ryù'-

P'

rùdifférentes et sont en

De mème pour bz.

Les rn valeurs de b, difièrent chacune de

celles de b, également; la valeur initiale pour

Or p # a; donc toutes les valeurs sontnombre 2m.

Néanmoins les arcs b, et les arcs brpeuvent être supplémentairesou égaux et de signes contraires, oo encore diamétralement opposés.

Pour prouver ce point, nous devons prendre un cas particulier :

Si lLr(a):sina, p:N-o".Les valeurs générales sont alors ô, : /,y2ç + pfr + #

b,-2næ+ qT +*-a- r'7rù I rnlu Nous allons voir que dans ceriains cas, b, + bz : Zkæ + lE.

bL*b,:Zttæ + (p+t)fi+ #.

+ q) {- L] # ne peut pas être égal à 7Ë

n'est pas entier.

on obtient

Si rn

puisque

est pair, lz (p

2(p + q) + 1

Mais si rn est impair, er prenan t p * q :b, * h, :Zltæ f æ.

Or, si deux valeurs particulières sont supplémentaires, elles leseront toutes deux à deux, puisque, pour pt:F retqt:g*t,on aura encore b, + bz

f)onc, si I'on donne sina, il y a pour sin9,Zmvaleurs difiérentes

si tn est pair, rn valeurs différentes si m est impair.620 bn + br est toujours différent de Zkæ.

Car l'égalité b, * b, : 2kæ * lz (p + q) + rJ,# - Zktæ est,

impossible puisque 2 (p +trq[+ I est impair.

no-l



N6MBRES TRrcoNouÉrnreuos DES sous-MULTIpLES D'uN aRc. 49

I)onc, si I'on donne sin a, it y a toujours 2m valeurs différentesA'pour cos *.

30 br-brpeut être égal àZkn f æ.

b, - bz : Ùkr + LZ (P - q) - Ll:'rn, Si m est pair, cet arc ne peut pas être égal à æ.

Sitttestimpair,€[prenantp_8.:ry,b,_b2-2k,nfæ.fr]

Dans ce cas bt et b, ont même tangente.

Donc, si l'on donne sina, iI y a pour W*,2m valeurs si tn est1??,

pair, m valeurs différentes si ra est impair.

Exercice. - On examinera de la même façon les cas où I'on.donne eosa ou tga.

Remarque. - Si, en même temps que lLr(a), on donne la valeur

particulière au * dont on désire les lignes trigonométriques, unern

seule solution sera admissible.

99. Problème

en fonction de

,d'oti sinf :eV-r:'cos a, - cos 2?- :2 cosz ? - I-2 - vvv

2 ^

cos !-e't l!+""'"'z V-- t '

s 2. cAs PART|cu Ll ERS.

I. - Calculer les nombres trigonométriques

cos a.

cos a- cos22:lJzsin'*-- 2 Z

lL-cosa.

,Qtotz

d' (r)

(z)d.'oùr

n en résulte :.A'tsi:ry-*,Vffi (B)

cost

Jo DtsCuSSIoN Ar,CÉsRIeUE. - A. Réali,té des ra,ci'nes.

[cos a! ( I ; donc les trois valeurs trouvées sont réelles.

Couns nn TnraoNoxÉrnn.



50 couRs DE TRrcoNotuÉrnrn.

B. Sàgnes des ra,cines. Les deux signes conviennentà

des.

nombres trigonométriques.C. Grandeur des raci,ne.s. - Puisque fcos al < l, I * cos a { Z"

lnlDonclsin#l

t t .tlt.-#l < t. Pou' Wl toutes tes vateurs

conviennent.D. Soluti,ons étrangèr"es. Aucune solution étrangère n'a ét6

introduite au cours de la résolution.20 DtscussloN TRIcoNouÉrnIeuE. Quand on donne cos a, on ne

donne pas a.Les arcs a sont représentés par les formules :

At:2kæf a et Az:Lleæ-d.;

d'oir %:k , d' -, Q', 7. d-

Z n*Z et Z:ll,rv-1-k peut être pair ou impair, ce qui donne les quatre valeurs :

(Znn+* tZt a

+':\"''

-r 2 +:\'nn-2 lZn-,-tq. z lyr- t.r_!T:æ-r q r/,næ,t?i-2..

Et par s

Io!"o2

,dt8z

,a_tgz

acos .,

<)

a-cos6)'t io& - "oz

COS;Ét

a

fA.,

cos 2:

u'.

asmz

.a,smz

.asln t

.d.srn tpoLrr

ûte

. 4.,srrr 2

:

-cos2II y a donc

contraires.chaque nombre deux valeurs égales et de signes

3o DrscussloN oÉonrÉTnleun. - Lemme. - Étant donnê un atc

e, - 2kæ * e, les diverses déterminations ' a'des arcs f auront leurs

extrémités au point Br milieu de a et all point Bz diamêtralementopposé à Br (flg. 23). i

En effet, les diverses déterminations de a s'obtiennent en ajoutantà d. un nombre entier dc circonférences ; donc, les diverses déter-

minations de i s'obtiendront en aioutant à i,"" nombre entier de

q._tg z



NoMBRES TRIGoNoUÉrnIeuEs DES sous-MULTTpLES D'uN aRc. 5l

demi-circonférences ; si ce nombre est pair, I'arc

!uur^ son extré-

mité confondue avec celle du *, donc en Br; si ce ol-nre est impair,)ttt

I'extrémité ' ade ; sera distante de I'extrémité

férence, c'est-à-dire en P,2.

Soit cos a,: ?7t, (fig. 23). Les arcsAr et en Az.

de i de Uz circon-

a auront leurs extrémités en

?4,Les arcs E auront donc leurs

extrémités en Br, Rr, Bs et Bn iBr étant au milieu de OAr, Buétant au milieu de OOrAz.

Par conséquent 84 sera aumilieu de OAr, c'est-à-dire symé-

-*.r. trique de Br, et B, B, B, Bo seraun rectangle ; par suite les arcsa"

! auront deux sinus égaux et de

signes contraires, CM, et CMr;

deux cosinus égaux et de signesFrc. 23. 4 contraires, Cl{, et CNs; deux tan-

gentes égales et de signes contraires, OT, et OTr.

Remarq?,ce. Si I'on donne g en même temps que cosa, une

seule solution est admissible.

On verra facilement dans quelle série figure I'arc I "t on prendrah'/

les valeurs correspondantes.Exemple. Calculer les nombres trigonométriques de I'arc

rr, -^-r^--1 ir =Vr-. sacnant que COSn = z

100. Problème IL - Catczrler les nombres trigonométriques dtTen fonction de sina.

(t)

(2)

membre:

e Vl + sina (3)

e'Vl - sina (4)

sina-sinzl:zsinfi"ori

I:sin,fi+cos'T.-Additionnons et soustrayons (l) et (2) membre à

(rio fi+cos i)'-- I f sina, d'oir sinlf cos l,:( a a\2 t . a (r(srnZ-cosZ) - I-slna, smZ -cosZ:

1- --tl.t

I

bx;r--lrll'- |

l---J,,4

11 /

a-

'-: -I'r^ 2



sin$:L(. ln -f;", * er VËffi)a, t(

cos E: z ['et par suite :

n..& _ e Vt + sina * e'\[- sina _ \fTdrna -i- ee'UEZ: :@

10 DrscussloN al,cÉsRleun Il y a quatre valeurs pour sin$,

quatre pour"orf;

et deux pour tgi

A. Réalité. - Toutes les valeurs trouvées sont réelles; en effet,

lsinal ( I ; donc, I t sina > 0.

B. Signe.s. - Les deux signes conviennent à des nombrestrigonométriques.

C. Grande?.rr. - Pour être admissibles, il faut que, etr valeurabsolue, stnf, et

"orf,soient

de ces deux nombres est :

52 couns DE TRrcoNowrÉrnm

Additionnons et soustrayons (3) et (4) membre à membre :

les deux membres aLt carré :

1 + sina + t

-sin a * 2 Vl

-

sinza 142+2lcosal<4

lcosal < l, cc qui est vérifié.

D. Solutions étrangères. - Aucune solution étrangère n'a étéintroduite au cours de la résolution.

20 DrscussroN TRrcoNoivrÉrnreun. - On donpas e,. Les arcs & sont représentés par les

Élevons

ou

ou encore

ne sma;formules

\u"+iI u*+itzkrf a

e:\I --

d,Où *:I zn** æ - d.

\'À \"1{ 2

on ne donnea

a-,

*sinq,-el

lyf - sinaI - sina



SOUS-MULTIPLES D'UN ARC. 53

,4,\92

SID4:

(fig. 24).

q

2

a

2

a,,ht

d.

2

iln

iin

OS

sr:

- si:

co

-co

.ltg:

I

1S:

,1gl

,1si

:l

lco

lcoI

?7?=

.asrDz:

it

'- c)ht

d.

-2

a2d.

2q.

2q.

2

CE

NOMBRES TRIGONOMETRIQUES DES

pouYant être pair ou impair :

lz"*+il(r-- ,' , q

& lznæ* r, +;I2-) znn{: Y

f-'-" ' 2 2

r3æd.lznæ+T-z

leI cost

lu._ l-cost'Icost :1d.I smz

ItaI - srnz

DrscussroN cÉouÉrnreun. - Soo

/

3

//

/Bl'

Frc. 24.

Ar et Az sont les extrémités des

extrémités des"rr, ?,

z

|/ |

itrlt-:i/ t,l/ -'I.z

E

qD.C

ztl'-- rJFftt,

rlri

arcs a; Br Be Bs Rl sont les




Br est le milieu de I'arc géométrique OAr.Bs est le milieu de OAr.

Donc, puisque ArO' : OA, :- OOf - OAr,

oB, : Q*' : 9g - 9& : oP - oBa - PBu ;222et par suite : DrB, : BsBa : CDr.

il y donc quatre valeurs pour sinf, égales deux à deux et de

signes contraires; les mômes quatre valeurs prises dans un autre

ordre, pour"orfi,

et deux valeurs pour tgl, oT, et OTr.

R,emarq2re. Si l'on donnea'

Z, une seule valeur est admissible

pour chaque nombre.

{0t. Problème III. Calculer Wl en fonction d,e tga.

2wltga

d'où tga tgz

De là on tire

1- Wrl,

- tga, - 0.

-t+rVt+tgra.

: tgzqz

fi+zEl,A't8 z: tga

lo DrscussroN ar,cÉeRreun.

L. Réalité. - Les deux racines sont réelles puisque I + tg,a. > 0.B. S'àgnes. L'une des racines est positive et I'autre négative,

puisque leur produit vaut - l.

C. Grand,e?m. - tg l,o'u pas de limite; donc à ce point de vue,

les deux racines conviennent également.

D. Solutions étrangères. En chassant le dénominateur

t - W'1, nous pouvons avoir introduit lcs solutions de l'équation

fu'*-l:Q.o2A ' cc t t., .. . r a,or, tg Z * t n'est pas solution de l'équation qui donne tS

Z;donc nous n'avons pas introduit de solutions étrangères.



\A

NoMBRES TRrcoNouÉrnreuEs DES sous-r\[ULTIpLES D'uN ARc, 56

20 DrscussloNTRIGoNoUÉrnreuE.

- On donne tga. On ne donnepas o. Les arcs a, sont représentés par les formules :

Soit OT : tg a. Les extrémités des arcs

a sont Ar et Az I donc, les moitiés ontpgur extrémités Br et Br, Bs et 84.

Donc

wl=: orr et rsl- orr.

B, Bn est perpendiculaire à Br Br; en efiet,

tOAr: OAr +

;circonférence ;

donc

OBr-OBr+lquadrant.-adonne ;, une seule valeur est admissible

102. Problème IV. - Calcu,ler les nombres tri,gonométri,ques de

.aa a ,

i,;, fr etc., e% foncti,on de I'otn des nombres trigonométriquesde a.

L'application de la méthode générale conduit à des équations d'undegré supérieur au second, qu'il n'est pas possibld de résoudre parles procédés de I'Algèbre élémentaire.

on calculera les 9[(a\ ' rction des '*

/a\lZ ) en fonction des *l; )r QUo I'on connaît

en fonction de !X,(a) ; puis les *G) en fonction des *(i), êt

ainsi de suite.

103. Théorème. Les nombres trigonométri,ques de a, sont

d,es foncti,ons rationnelles d,e tg?,.

: I2kæ* a

d,où g:\u"'+i d,cù r*g-l rgi:I zlzn | æ * t' 2: I n, +T, +îu

Ùu t8 z: I - cots$.

30 DtscussloN cÉouÉrRleun. - Soit tga:r/ù, et par exemple> 0 (fiS. 25).

Remarque. - Si on

,apour tgz

Frc. 25.



56 couns DE TRTGoNoMÉrntn.

Nous connaissons la formule tg a : zwg (r)I W',lD'autre part,

2' a,

sina - z sinficos l,:ztg|ucos=?r: #.(zt

Par suite,

sina t - rg'l,wùSw.: :-.

[gA r , ,rz9rtïgz

EXERCICES.

l. Vérifier fu, égalités suivantes :

tgua-tgQ,:affi.tg}a*séc Za,,:W.cosa-sln4

, tg ra * cotgza : 2? * cos 44.-1-cos4asinàa cos 0 a,

r + cosza x i + cosa - tsZ

sin 7a sin 3a - sinz1a - slnaàa,.

sin Ba

-4sin a sin

[$ + a),in (î

- o)'\o/\o/,'(æ a\ . , (æ. a\** (a + =z)$ cotg (; + ;) : sêca..

2. Sachant que A + B + C : 200o, démontrer les formules :

llIlItts;a tg ;B * tg ;a' ts2c + ts2B tg ;c - l.

sin 2A * sin 28 + sin 2C - 4 sin A sin B sin C.

cos 4A + cos 48 + cos 4C + I - 4 cos 2A cos 28 cos 2C.

3. Calculer sinfr en fonction de tga. - Discuter. È

4. Calculer tr, îombres trigonométriques des arcs l5o et 7o3O

sachant que sin 30o : *.

))

(3)"



TRANST'ORMATION DE SOMMES EN PRODUITS. 57

5. Calculer les nombres trigonométriques de i sachant quel6tgZa - Ë.

6. De la relation cos a

déduire WlrlD fonction de Wg.

7. Les angJ.es 0 et u vérifiant l'égalité :

(1 +ecos0)(l-ecoseo)démontrer la formule :

w,*:-w,1.8. Démontrer que l'on a : Zarc tg à f arc tg

+: î.

CHAPITR}] YI

TnarnsfoFlnation de sommes en pnoduits.

S I. TFANSFORMATION EN SOMME D'UN PRODUITDE SINUS ET DE COSINUS,

104. Des formules :

sin (a + b) : sin a, cosb + cos a sinbsin (a

- b):sina cos

b -eos

a sinbcos (,t * b) : cosa cos b - sina sinô

on déduit ,tos (a - b):- cos(' cosb + sina sinÔ

sirr (a * ô) + sin (a - b) : Zsina cosô.sin(a +b) - siin (a-b): sin(a + b) * sin (b - a):2sinb cosa.

cos (a + b) + cos (a - b): Zcosa cosô.cos (a - b) - cos (a + b) : 2 sin a sinb.

l. Un doub'le produi,t de cosinus est égat à la sornwùe d,ucosinus de la solnrne et du cosinus de la d,ifférence d,es a,rcs.2. Un double prod'uàt de sinus est égat ù ta d,ifférence d,u

cosinus de la différence et du cosinus d,e ta somme d,es a,rcs.



58 COURS DE TRIGONOIIIETRIE.

s 2. TRANSFORMATTON EN PRODUITS DE SOIYIMESET DE DrFrÉnENcEs DE stNUs ET DE costNUs.105. Si dans les formules précédentes on pose

a*b:P et a-b:Id'où e,--P!q et b-P-q2 eu u:

2

on trouve : sinp + sing :2 r6t-8.cos ry

sinp-sing:2sin rycos +)

cosp f cosq : 2cos rycos rycos q

-coslo:2 si"ff rtoÇ.

l. La sorn?ne de deua s'inus est égate au do,uble produit dusinus de la demi,-sorn???,e par le cosinus de la demi-différencedes a?"cs.

2. La di,fférence de deun sinus est égale e,u double. produi,tdu si,nus de la demà-dàfférence par le cosinus de la demi-sornrnedes a,rcs.

3. La solnrne de deun cosinus est égale a,u double pt"odui,td,u cosànus de la demi-sorn'me pa?" le cosinus de la dem'i,-

différence des a,rcs.

4. La différence de deun cosi??,uE est égale au double produitdu si,nus de la demi,-somme per le sinus de la demi-différencedes a,rcs (en ayant so'iu, de soustraire le [ut' erc du 2d).

106. Ces règles permettent de transformer des expressions tellesque les suivantes :

sinp + cosq := sinp + .i" (] - q)\Â/ ./

-.-rio(t ' P-a\ /--E#)'; + TJ cosiit; z )

sinp + cos F : sinp {- si" (} - ôÂ/ ./

:Vt

cos

(î -p).

-'" (î +ï)cos (;z'o,,(î _ l).

: zsin 14 cos

(; -p)

sin [ * sinp - z

2,i",(î * #):-2\,)*sinp:



T&I,NST'ORMATION DE SOMMES EN PRODUITS.

L07. Si nous combinons les formules du no {05 par voiedivision, nous rrbtenons :

59

de

sinp * sin qsinp - sin q

2sinrycosry2sinÇcosry

wryinff rr"ry

"*ff cosryl1sinp * sin q _zsin i(P * q)cosà(P - a)

cos P + cos q2cos àro + q)cos

àro - q)

sinp * sin q _cos çI - cosp

2sinlro + q)cos *W * q)

+oP-Io c)h,

- tgLr, + q)

- cots *fo - q)2sin*o+q)sin|@-q)slnp - sinq ,_L , ^^ffi-tgà(P-q)

sinp - sinq Icos q -cosp

: cotg à(P + q)

cO;S{-cOS/0_to.t tcos q +cosp ".;(P + q)tsà@ - q)'

108. Lorsque I'on a à transformer en produit une somme deplus de deux te:nmes,

or lesgroupe

par deux.Exemple : sin l\ * sin B + sin C - sin (A + B + C) : p.

sina - sin(.\ + B + c) : - zrt"Tcos(n * ry) t

sinlB * sinc - 2sinrycosÇt

P-2sirB+Cl- B-C cos(^+P+C\l'z LcosT \ f)J'B-C / B+C\_6r^:_A+B^._A+Ccos-T -cos[^ + T)-zsin=fsinf

P B+C.A+B A+C- 4stn--sm , stn=f.

d'où

d'où



60 couns DE TnrcoNoruÉrnm.

Appliquons cette formulo aux arcs 100"-4, 100"- B, l00c-CcosA -f- cosB + cos0 + cos(A + B + C)

:4ct À+B a+c B-fc)S Z cOS Z coST'.

Si A+B+Ç:200", ces deux formules deviennent:

sinA * sinB + sin C - 4cos f .orf ror +tcosA + cosB + cosC: I - 4sinf sinf sin +.

s 3, TRANSFORMATTON EN pRODU tTS DE SOM M ES DEL|GN E8 AUTRES QU E LE St N US ET LE COSI N US.

On remltlace ces li,gnes

oin0 , sinÔ*teb-r.*+ffi:

_sin (a

-lâ)

cos acosb

tsa-tg b -?lg-4os acosbtga*Lgb_siq(a*b')W-tg6: sin(a -ô

cotg a +cotg b -+g+ g)'-o" sinasinôtga * tgb__

rE atgb.cotga* cotgb-

u6'

1*tgatgb_cosacosD*sinasinÔ cosa cosô

109. RôgIe.et du cosinus.

Exemples. - tga

en fonction du sinus

sinacosb + cos asinbcos acosb

cos (a * b)ffi

a*b a-bséc a *sécô : * + # : lffi## : = "' HJJ:;Z-

séc a*tEa: I *sina-1-l-sina -"t"'(îÉ) v cos4 cosa cos0 cos4

'{ei'): 'i"(ï=:")v,*tge,-tgi*tga,-cos |"os a cos 4



TRANSF'ORMATION

d'où l+tgat - tga

cos 0cotg a *tga: .ff +

cotg a-tga:[9$-U*rn 4 cos ,,

Posons

il vient

Discussion.déccmpose en

,/ ,B\-^(r +E)Bi : tg'?'

X-A(l+tg'?)-Aséczgcoszca

? est calculé à I'aide de l'équation (1)deux :

ts?- + Vi et ts?:

in

in

S

S

DE SO

/ 'rl

t;+\-r

Tr-\4sin aAOS CL

MMES EN PRoDUITS. 61

").J (æ \j-ts(;+o)'")

\

cosz a, -l- sinzr.r 2:sinacosa

:ffi,'

cosza - sinza ZcosZa:-:-sina cosa stn?a tgZa

s 4. TRANSFORMATTON EN MONOM ES D'EXPRESSIONSQUELCONQUES.

EM PLOI D'I NCON N U ES AUXI LIAI RES.

Proeédés génélr&rrx.ll0. l"u RègIe. Soit à rendre monôme une expression

X : A + B, dans laquelle A et B sont deux monômes de même signe,

(r)

(2)

qui se

R

signe, i .*t positif ;

existe toujours un

tg?o:+VF

-r lB--YÀ

tous les nombres réelsarc ?o compris entre

B et A étant de mêmeétant des tangcntes, il

0 et l, tel qlre)hl

On aura donc toutes

par la formuled'où

Donc

On prendra

relation

les valeurs de g satisfaisant à l'équation (l)?:kæ*?o

cos? - * cos?o et cos29 : cos'?,.

x-- -{os'f o

pour ? la plus petite valeur positivc satisfaisant à IaR

tgzc : =.vrlA



62 couRs DE TnrcoNouÉtun.

2" RôgIe.

-Soit à rendre monôme une expression X

-A

-B,

dans laquelle À et B sont des monômes de même signe.lo Soit

Posons

n vient :

Iliscussion.

d'où COS(D - +t-

DoncX-Acoszgo.

positive satisfaisant à

2" Soit

*\/lreprésentés

lal > lBl.

x- ^(r-P).^ \' L)

I : sinzg (1)

X:A(l -sinz?): Acoszc. (2)g est calculé à I'aide de l'équation (I) qui donne :

siny: + VT et sine: -VÏ.B et A étant de même signe, et lAl /\

donc I

Soit ?o un arc compris entre 0 et f,, tel que sin c9o :Tous les arcs ? satisfaisant à la form.ule (1) seront

par les formules :

?:ktr*focosfo et coszg:cos'?'.On prendra donc pour ? la plus petite valeur

la relation Bstnsç :

À.

lAl

x---B(- a\ onnoseraA\1 - É). on pos*r? f, sineg,

X--Bcoszgo.'où

Remarçlue I. - on peut aussi posut f oo * - coszcg.

Remarque If. - n arrive souvent que I'on ne peut pas voir si

lAl >ou<lBl.On passe alors par les logarithmes, ct I'on vérifle si

log lalRemarque III. Si I'on ne connaîb pas les signes de A et B,

on pose x : tg o,À

d'où. X: À * eB - A (l + etga) + AVâtt" (??=l',').

COS a



TRANSF'ORIIATION DE SOMMES EN PRODUITS. 63

Lr,r,. Bu Rôgle. Soit à rendre monôme une expression

x:a*Bto...*K.On rend monômes Xr: A * B

i::1:* 1x - Xr,* K.

Il est évident que I'ordre dans lequel on prend les termes A, B, C...,est indifférent.

{e Règle. Soitp rendre monômc I'expression générale

\r A*B* r... * vw\- Af*Br*....+VWOn rend d'abord monômes les deux radicatlx :

Y-a*bt....Yl- al* bl+....

Puis le numérateur et le dénominateur :

z- a*B*.o..+vY

zt- af* Bt* .... + V7et on a finalement \ZZ

^: zt'Proeédés partieulieFso

,,12. Soit I'expression X - H+'

On aura \r a(t*i)À:ffi on pose *:q?

d,où x:=+Ëi:ffi:ffisin (50" + ca\:ffi:tg(5oc+.9)'

ll3. Soit I'expression X -= A sin a * B cosa.

on aura X - A (sina + * cosa). on pose *

d'où x:a (rioa+*H.oro)\ cos? /: * (sina cosc +os? \ cosa sin,.g) -

e siq (g * ?).cos ?



64 couRs DE TRTGoNoMÉrnru.

1,r,4. Soit I'expression X

-A + sina.

si lal

- 2 sin ? yc cos ?; o.zz

si lal. ll5. Problème. - Rendre monômes les ra,cines de l'équatianaxz * bx * c -- 0, dans taquette x est',un nombre trigonomé-trique d,'un a?"c inconh%, e,t a, b, c, des rnonôtnes tl"igonomé-trùques, foncti,ons d'ar'cs conn'Lcs.

:ïi

,>.t _-b +Vb, - Aac -b -Vm:-r*W ,,:10 bz - 4ae

calcule pas.

20 bz - 4:e,c :0 : ût : firt - - !. Le problème est résolu.2a

30 b2 - 4ac

Ire MÉrHonn. I. c

d'abord monôme le binôme R : bz - ac : bz ( , - g). \^ br)

4acPosons :

d,où #:sinzcs' eû

ï:î:î:;:sre'pr.risque0 ( ff .-I;

I

-bftgglr er nn: ! -bcos?u ær :

-za- z(L

b l-cos? h eouencore (nr:-AX

-

"nsing lb ' lfcosg b _"?fr>:-à x ---:-Acos'..â.

I[. c

posons W:-tgr?; d'où R: bz

cos2g

, lbl , lbl

par suite : :xt - - ' -l *lt et n": --a : t*tl2a 2a

ou ûr: --4 cos? * â et ûz: - Q c:oz? - b2a cosy 2a cosg

ût--ôtl4costi et nr-2a

cos ?l2ab



TRANSFORM.ITTION DE SOMMES EN PRODUITS.

',ou encore lYrwl-I

4 COSaI

ùlw2-I

4 COSQI

116. 2. MÉrHoDE. - fii et ntr satisfont aux relations

r - cos? -b sin'à

-a

-b.l*cos? :-u"o"t,.

n-OD

ætfi, _ 9A,

fi' + fiit : -2. (2)a

l. c > 0, Les deux racines doivent être de même signe.

Posons çt- r\Ærs? (3)

nll-

^tl;w -sVàcotgc (4)

d'où û' + ntt : * li (@ç * cotg'ç) : -2-

- eY=o(rg? * cotgl, a,,

Donc, e - + 1 ou - I suivant que b < 0 ou ô

De cette relation on déduit t Æ . 2 :lblV a, sin 29 a,

ou sin2'9 -W-Les relations (3) (a) et (5) résolvent la question.

(r)

ll. c < 0. Les deux racines seront de signes contraires.Soit ætt la plus grande en valeur absolue.

(5)

(6)!

(7)

Posons ffit- -

e

fitv: f e

lrts?

fgcotgçd'oti

Puisque cotg çb

5ouns on TnrcoNouÉrnlp.

n'+ n'Ït : ,lgcolg?

-tgf) :

-1-



66 couRs DE TRIcoNoMÉrnm.

Cette relation donne

,-r /lslVa rg2ro a

tsz?:?Wl. . (8)o"rlbl

d'où

Les relations (6) (7) et (8) résolvent le problème.

EXERCICES

I, Rendre monômes les expressions

sina * sin 3a * singa - sin 5a;ts (a + b + c)- (tg a * tsb * Isc) ;

I + cosza, f cosz b + coszc * 2 cos e, cosb cosc;ts@-b) *tg (b-c)+tg(c -a);

sin 32c * cos 26";sin 70o * cos 40" ;

sinza - sinzô ;sinzA - coszb ;

sina cos a t sinô cosô;sina*sin?a*sin3a.

2. De la formule sinr * siny - sinæ siny

déduire (*r7-sinry)'-1.3. Prouver que I'on a, quel que soit fi :

,(*+ +) * sin (n **) - o'\ ar/ \ ' 3) -\2

1

/ o-\ / 4æ\cosæ *cos (* *î ) f cos(* + " ) :Q.

\ ù/ \ .r/4. Sachant que A + B + C - 200", rendre monômes les expressions

sinA f sinB * sinC;tgA+tsB+tsC;

sinzA+sinzB-sinzC;

cotg ào * cotgàu * cotglc.



TRANSFORMATION DE SO]VIMES EN PRODUITS.

5. Sachant que A+B+C-100",démontrer la formtrle

tgA tgB + tgB tg0 + tgC tgA: I ;

rendre monôme

cosA+cosB+cos0.6. Rendre monôme I'expression

g'- A cos (rf J- o) + B sin (r/ + p)

dans laquelle t est la seule variable.7. Rendre monôme I'expression

Vt+a-Vt-o

67

dans laquelle

8. Étant donnée

rendre monômes :

VI+alIt-aQ, -: 011234.

une suite d'arcs en progression arithmétique,la somme des sinus,

la sornme des cosinus,

la somme des carrés des sinus,

la sotnme des carrés des cosinus.



LIVRE IIEQUATTONS TRrcOrrOtU ÉTRTQUES

CflAPITRD PREMINR

Tables tniEonométniques et loganithmiques.

s t. coNsTRucTloN DEs TABLES.

l,ll . Déffnitlon. On appelle table trùgonométrique untableau donnant les nombres trigonométriques des arcs. Ceux-ciy fi.gurent mesurés en degrés ou en grades. Dans les calculscourants on ne se sert pas de tables trigonométriques; on emploieptutôt des tables de logat"'i,thmes, qui donnent, en regard desarcs, les logarithmes de leurs nombres trigonométriques. IJne table

de logarithmes trigonométriques se construit à I'aide d'une tabletrigonométrique et d'une table de logarithmes pour les noinbres.Nous allons exposer la construction d'une table trigonométriQuerdans laquelle les arcs sont exprimés en grades. La constructiondes tables repose sLrr les théorèmes suivants :

ll8. Théorème I. - [In a,rc a cornpris entre 0 et f, est compris

entre son sirrus et sa, tangente.

r Soit OA - (L (fiS . 26).I{ous pouvons écrire les inégalités

surf . triangle CAOsect. CAO

Passant aux aires :

11l;CO.BA <:CO.OA <:CO.OTzzz

ou BA<t <orou sina

, sina -,tga?"epports ff tt T ont pou?" limi,te IFrc. 26.

l{9. Théorème II. - Les

lorsque a, a, pour limi,te 0.



TÀBLES TnrcoNouÉtnreuns DT LoGARITHMIQUES. 69

Remarquons d'abord que ces deux rapports sont indépendants du

signe de a lorsqu e lal ai; il suffit donc d'examiner le cas où a > 0.ht

Le théorème I donne

sina ( a {tga;or, sina > 0; donc,

t < ! <tYo ou l>tilo>cosa.sln4 sma a,

On sait que lim (cos a)o*o : I.Or, une variable qui est constamment comprise entre une constante

et une autre variable qui a cette constante pour limite, a la mêmelimite.

Donc,r. /sin a\lim( ----" I :1.

\ a ,/o*oDe même, puisque tg a ) 0,

sina. a, . I r t -tgatga wl<l ou cosa>î

or, lim f+=) : t;\cos e,/ o_.0

donc, lim/l'ff\ -1. e.q.f.d.\ a ./o*o

120. Théorème III. La d,i,fférence entre u,n arc (O a " a î),et son sinus est moindre q.ue le quart du cube de I'a,rc,

C'est-à-dire 0< a-sina aT-

sina - zsinf,cos l: z4f;cos,l,: ztei(r-sinz

?),or, rsl> i et sinfi < 9,

d'où sinz i.iI - sinz i, r-l-

ztei('- si',fi) > zi(, -sin a ) a, - l, d'ailleurs si

0< a,. sina

\

Donc,

ou

donc,i)na,

!I

1a;



70 couRs DE TRrçoNoiuÉrnrn.

Corollaire. a est une valeur approchée par excès de sin a,, avec

une erreur moindre que l.t21,. On établit, dans le cours d'Analyse, le développement de sin;r

en Lrne série, fonction de n:

sinr -nnu +{-{ + ...1-t3-rE-TïL_L_L_

Nous venons, pâr un procédé de fortune, d'obtenir deux valeurs :

f æ3\u 'et ( æ

-7) upptochées de sinæ ; seulement, la seconde valeur

\ +/n'appartient pas au développement de sinff. I{ous allons démontrer,toujours par un procédé de fortune, que I'on a également lesrelations

fiûgfrI _iE

Appliquons à sin æ, ,ir l,: ,o# ... .

la formule sin 3a -- 3 sin a - 4 sin3a.

n vient : sinæ - Ssir fi ^fi5 - 4slnr5

Bsin!:Bzsinfi -,neci^fi

3 132 - 4.ôsln"3'

39Sil 'f ôô '- fi t ôo ' nC)tæ - iiù Sfn

',.q---; +.ô= SIII"

*

}n_I sin #: gnsinS - 4.gn-' sin'

#,.

Additionnons membre à membre :

sinæ -snsinS -42I: (rin'f +Bsina fi+Bzsins fi+...* gn-'sinl

#ùD'où, remplaçant les sinus par les arcs :

r' : [(i)' +'(#)' + "(#)' + + sn-'(#)']ou bien

r' : (i)'[' * ] + (#)' +(])' + {- (*')"-']et B, sin &- 4Z' ( sin æ { B'sin #" a g- # ou æ.



TABLES TRrcoNonrÉrnreuns ET LocaRrrHMreuES . 7I

Faisons croître n sans limite. Le ler membre est une différence de.deux termes ayant chacun une limite :

/ M-,-r\ r gn. æ\ sir filim (B',srn ,r?? / : lim ( **rin $) - ntim -o

s""* \- "t'"/n*a \* tr "n *) w tLu

T- fr i

r- I /r\z rl\ n,-tl I 'nlim l-r + ô + [r, + ... + (r, )**_:,-T _Ë. v \v/ \v/ J, r_o

Donc, ce I"" mernbre a une limite, égale à la différence des limites'de ses 2 termes; or, cette limite ne saurait être sinæ,car la différence>t- > croît avec rL.

on a ennn : æ - 4(i)'$ . sinr ( û,

ou y-fr E\ II22. Théorème IV. Les cas'inus d'u,n a'rc cornpris entre A et

I est tui,-même cornvris entî e r -T et I

-I *#.

Nous saYons que cosa-_l-Zsint*;Z'

et en vertu du théorème précédent :

a, I (a\t a, -az- 4\z)D'où rc -ot\'Z-gz) \v^s z \

4

.et 1- Q'*t-ÆTT i6-@ou enfin r - 4z n2.T

Corollair - &2'€. L - 1 est une valeur approchée par défaut de

.coso, aYec une erreur moindre 6aque16'

tLg. Le dêveloppement de cos rr en série, fonc[ion de fr, est

cos û -g -{ *ry! -guLes premières valeurs approchées de coser sont donc ration-

nellement

?Jo:û, ' 2rr:l- gz *?+t.=-[g-1, t,c\:l-E' ocz:l-É ,E



rl,li#,{r.:.:#.,i

72 couns DE TRIGoNoUÉtnln.

On démontrera les inégalitést -{ ( cos n <r- #*#

V\'v'\rvvv

c r-par le procédé utilisé au no ,,22 qui précède, en employant les.valeurs approchées de sin r trouvées au no 1,21,, au lieu de celles"trouvées au no 1.20.

124, Caleul des nornbres trigonométriques de 26en 26 secondes eentéslmales.

Yoici comment, en se hasant sur ces théorèmes on peut établir

les tables trigonométriques. IrTous avons établi précédemment lesformules de Simpson, qui permettent de calculer les sinus etcosinus d'arcs en progression arithmétique, connaissant le sinuset le cosinus de I'arc raison.

Si nous prenons cette raison suffisamment petite, les corollaires.des théorèmes III et IV nous donnent des valeurs approchées dusinus et du cosinus de cette raison ; supposons que la raison'choisie soit I'arc 0o,0025 ou 25tt.

Nous avons trouvé (Introduction, S 4) pour mesure en radians de

cet arcq - 0.00003 92699 08169 8724L 548...

Si nous adoptons cette valeur pour sinus Zl",l'erreur comrûise par"

excèssera €<*.(o'oooo4)B lr 4\3 16'4 - 4 oua(m/ oumc'

Donc o< q-sinaa#r. (l)

Si à la valeur a, longueur exacie de I'arc 0o,0025, nous substituons'la valeur approchée

nous commettons

Des conditionsà membr.

:

er :0,00003 92699 0816une nouvelle erreur, par défaut cette fois,

JgI0l5- w *rlOrb

(l) et (2) nous déduisons, en soustrayant membre'

d,-sina ( **-# ou #sinz - drt

L'erueur définitive, par excès par défaut, est doncI

€r:lo,-sinal



TaBLES TnlcoNouÉrnreuns ET rocaRrruMreuns. 7g

Si nous prenons pour cos a. la valeur approchée L -* l'emeurest par défaut

f _ C_) . oo .- (0,00004)1 f 6cos"-(t z) \ 16 --1u-

ou rg*.

Seulement, au nombre p : L -l nous devons substituer un

nombre décimal limité 9,.En prenant les 2I premières décimales de a nous pourrons calculer

a,2 par défaut à moins dc # d'ou 9r par excès à moins de U#.On obtient, tous calculs faits :

d12 :0,00000 0001 5 42L25 686

9, : 0,99999 9999228937 L57

avec les conditions

0 < cos 7.-Q z lq-P \ l0*t _\ a a\ 456.

ZJgm 2 Pt-P z 1gn;d'où cos F, < #. #et P, - cosa ( #*. :

L'eI.reurdéfinitive,pardéfautouparexcès,estdonc

€z: lp,-cosel( UjO.Pour le calcul des sinus et cosinus de 251t en

25",les formules

de Simpson sont mises sous uno forme plus pratique :

sin (m + l)A - 2 sinraA cosA - sin (ra - l)4,cos (m + t)A - ?cos mA, cos A - cos (ttt, - I)A.

!'aisons A - 2511.

Nous avons vu que la valeur approchée adoptée pour cos2Stt est

l-{. 2',d'où 2cosA-2*d.72:2-K;

K - 0,00000 00015 42125 686.Les formules deviennent

sin (m * t)25" - 2 sinm2511- sin (m - l)25" - K sinrn2bltcos (m * l)25lt - ?cos m26'\ - cos (ttt, - l)25tt- K cos rn?É\r



74 COURS DE TRIGONOMETRIE.

ousin (rz

+1)25\1'- sinm25\1

: sin m251\ - sin (m - l) 25\1 - K sinm25\1

et cos (m + 1) 25\' - cos m25\l

(3)

Lessinus

On

En

: cos m25" - cos (m - 1)251\ - K cos m25'\ (4)

formules (3) et (4) donnent les difiérences successives deset cosinus de 25 en 25 secondes centésimales.

??e calcule pas au delù de 50 grades.effet, sin (50c + A) : cos (50" -,.A)

cos (50"

+A) : sin (50"

-A).

des formules de Simpson accumule les erreurs ;

directen-rent les sinus et cosinus des arcs deL'emploi répété

aussi calcule-t-on5c en 5":

---tti

coszo"-Vto+zVb et sin2o":V5, I,4

vv v'r'-v4

)

d'où sin I0" et cos l0', puis sin 5" et cos 5";sin 30" - sin (50" - 20"),

d'où sin 15" et cos 15", puis sin 35o et cos 35";

sin 40" - sin (2 x 20').

Pour les tangentes on se sert de la formule tgA - *"+.o -- cosA

t25. Caleul des logarithrnes des nornbres trigotlormétrlques.

Pour établir la table des logarithmes des nombres trigonométri-ques, on peut calculer ces logarithmes par la lormule de Koralek :

log (a

*n):log a*m,

dans laquelle a est le nombre formé par les quatre premiers chiffresà gauche du nombre (& + n) ; a > 103 et n { l;le module M - log e - 0,43429 448L9 0325L 82765....

log tgA : log sinA - log cosA.

log cotgA : log cosA - log sinA.Pour les arcs supérieurs à I00", on fait la réduction au 1"" quadrant.

il existe à la bibliothèque de I'Observatoire de Paris des tablesinédites

etmanuscrites dues

àProny, donnant les logarithmes

des nombres trigonométriques avec 14 décimales.

Remarque. En pratique, I'Analyse infinitésimale met d'autresmoyens à la disposition du calculateur pour l'établissement d'unetable logarithmique.



TÀBLES TRIGONOMETRIQUES ET LOGARITHMIQUES. etleID

s2. DISPOStTtON DES TABLES.

1,26. Tables cle Bouvart et Ratinet, Ces tables sontcelles adoptées pour I'examen d'entrée à l'École militaire. C'estune reproductioq, sous un format plus pratique, des Tables duService géographiqr-re cle I'armée f rançaise, lesquelles sont uneréduction des Tables de Prony. Elles donnent avec cinq décimales leslogarithmes des nombres trigonométriques des arcs du I"" quadrantde minute en minute centésirnale (centigrade). Pour trouver leslogarithmes des nombres trigonométriques d'arcs compris entre 0

et 50 grades, or prend les grades au haut des pages, les minutesdans la première colonne de gauche, et les logarithmes des sinus,tangentes, cotangentes et cosinus, respectivement dans les colonnesmarqltées en haut.'Sin., Tang., Cotg. et Cos. Ainsi I'on a:

Iog sin 34c,67 - l,7l4ggtog tg 34.,67 - 1,78225log cotg 34,67log cos 34c,57

La caractéristique et le premierreproduits que de lOt en l0'.

Pour trouver les logarithmes des nombres trigonométriquesd'arcs compris entre 50" et 100o, on prend les grades au bas despages, les minutes dans la colonne de droite et les logarithmes dessinus, tangentes, cotangentes et cosinus, dans les colonnes marquéesen bas.' Sin., Tang., Cotg. et Cos. Ainsi I'on a:

log sin 72",24 : t,95ZBglog tg 72",24 - 0,8g164

log cotg 72",24 : t,OOggOlog cos 72",24 : T ,6}b6g.

Les colonnes marquées D donnent les différences qui existententre deux logat'ithmes consécutifs; it y a une colonne D pour leslogsin et une pour les logcos ; pour les logtg et les logcotg lacolonne D est commune et marquée D.C. En efiet, de la formule

tgA cotgA : I on déduit log tgA * log cotgA : 0.Donc, si A augmente de I centigrade, log tg A augmente de D et

log cotg A diminue de D.

De même log sin A * log coséc A : 0log cos A + log sécA : 0.

Les tables ne contiennent pas les log séc ni les log coséc.

- 0,2L775

- 1,932L4.

chiflre de la mantisse ne sont



76 couRs DE rRrcoNoMÉTRrE.

Remarque.

- Ilconvient de faire

observerque

les logarithmes dusinus et de la tangente augmentent avec I'arc; I'inverse a lieu pourles logarithmes du cosinus et de la cotangente

En marge se trouvent des tableaux donnant les neuf premiersmultiples de chaque différence D.

S 3. - FMPLOI DES TABLES.

f. fnterpolation linéalre.

127. Pour trouver les logarithmes des nombres trigonométriquesdes arcs qui comportent une fraction de minute, oD admet le principe

fsuivant :

Les di,fférences entre les logarithmes sont proportionnellesa,ut différences entre les &?'cs.

Soit un arc lL + h, A étant un nombre entier de minutes, et la unnombre quelconque compris entre 0 et l.

Soit à calculer log sin (A + h).On trouve dans la table

log sinA - E et D - llog sin(A + l) - log sinA] 105.

En vertu du principe énoncé ci-dessus, on aura:

lossin(a *lz)-E+#'n étant calculé par Ia proportion i:?t

h.Dd'où lossin(a+h)-E+fr;'Ce principe est inexact. En effet, soient L- h, A et lL + h, trois

arcs.

En vertu du principe de la proportionnalité on a:log sin (A + h) - log sin A A+h-L r: :z

log sin (A + h) - log sin (A - h)

, ^.- sin (A + h)rosË I [sin(A + h)1, sin(a +h)re:Z ouencore Lffi:@osffi



TABLES TRIGONOMETRIQUES ET LOGARITHMIQUES, 77

sin (A

+h) sin (A

-h) : sinzA

sinzA coszh - sinzâ coszA : sinzA

et flnalement, en remplaçant les cosinus en fonction des sinus :

sinzA * gi12h: sinzA,

ce qui est faux, à moins que la soit nul.Si I'on représente (fig. 27) la courbe y : log sinX, I'application du

principe de la proportionnalité revient à remplacer, entre les valeursXl - A et Xz: À + l', la courbe par une droite.

On commet donc de ce

fait une erreur surX log sin (A + h).

L'opération de calculqtri consiste à détermi-ner la valeur numérique

d'une fonction F(X) pour une valeur X2' comprise entre deux valeurs X, et X, suffi-

samment rapprochées et pour lesquelleson connaît les valeurs numériques F(Xt)

et ts(Xr), constitue ce qu'on appelle une

roà.

I

rA

___)

NI

àntet"polation,Le procédé d'interpolation adopté pour les calculs

de logarithmes est appelé interpolatian linéa'ire,précisérnent parce que ce procédé revient à remplacerla courbc A : log 9T(X) par une droite entre lespoints Mr et M2.

I[. Procédô des petits ûr€sot28. pour les arcs voisins de 0, les différences tabulaires pour

les logarithmes des sinus et des tangentes sont très grandes et trèsvariables d'un intervalle au suivant. La corde MrM, est presque

parallèle à I'axe A ; par suite, I'erreur commise en prenant le pointD au lieu du point C affecte les logarithmes jusque dans la troisièmedécimale.

il faut donc abandonner le procédé d'interpolation linéaire.On démontre (r'oir Note I, annexe) que ce dernier procédé peut êireconservé jusque I",05 pour les logarithmes des sinus, jusque Ic,07pour les logarithmes des tangentes.

Sans raison plausible on abandonne cependant ce procédé à partirde 3c,0O. En deçà de 3c,00 on interpole de la manière suivante.



78 couRs DE TRrcoNonfÉrnln.

Soit A la mesure de I'arc en centigrades.sina-sinaa-s^.a

AA---d'où log sin A - log So -F log A.

t'o ÀDe mêrne, tgA:ïA-To.À

d'où log tg A : log To * log A.l2g. Remarque f. - Lorsque A augmente, log S diminue et log T

augmente.

Log S et log T sont donnés avec 6 décimales ; de 0 à 8", ils ontles trois premiers chiffres communs : 4,19.En effet, si a, est la mesure de A en radians,

S:siilA:a.sinA _ n .sinA.

Pour oc :A a a' 2oooo a

lim s,-. o : #' rim (Y)a_+ o: 20frô

et lim logSo--0- log limso*0: logri - IogZ- 4 - +,tg6tZ.

Demême 1.,:194- g.tga- r .lgêA A a, 20000 a,

d'ot\ rimTo.*o: *.lim f€ê) - - æ-20000 --*\ & /n_.0 20000

ou lim log T o *o : lim log Sr.* o : 4 ,lg6LZ.

Pour s grades : s -sin3cm-'

log S - log sin 3" - lcrg 800 - 4,l gbg6,

logll - logag 3c - log300 : 4,19644.Ces chiffres oommuns 4,19 ont êté placés dans la table, en hautdes colonnes des log S et log T ; Ies quatre chiffres variables seulsfigurent en regard des centigrades. Les logA se calculent à I'aidede la table des logarithmes des nombres de 103 à 101.

130. Remarque IL - I{ous avons dit que log S diminue lorsque Aaugmente ; il en résulte Quê, pour calculer log Se+h, on prendradans la table log S^ *, auquel on ajoutera le terme correctif(1 - h)D,

ËleIIappelantDlladifférencetabulaire;celle-cir'autO ou 0.1 ; donc,

si Dr : 0, logS^r+h : logsa : lOgSe+r i

si Dr : 0.1 log Sa* h -log Sr*, * I ;3.106



CALCULS LOGARITHMIQUES. 79

Log T, au contraire, augmente avec A

;par conséquent, pour

calculer logT..*z on prendra dans la table logTo auquel on ajoutera

le terme co " ^ hD'rrectif ït I on constate que D, vaut 0, 0.1 ou 0.2.

CHAPITBE IIGalculs loganithmiques.

S | . nÈe LEs DE cALcu L. AppRoxt MATtoNs.

I. Interpolation linéalre.A. Caleul des logarithrn€sol3f . Problème f. - Déternt'i,net" l'appronimation que I'on peut

attei,nd,t"e d,ans le calcul de log %(L + h) en apptiquant Ieprincipe de la proporti,onnalité. (A : nombt"e entier de centi-grades; 0 < h

D'une étude trop étendue pour trouver sa place ici, mais que I'ontrouvera annexée à Ia fin de cet ouvrage, il résulte qu'en se servantdes tables à cinq décimales, on peut toujo't/,?"s obtenir log fL6 + h)

avec une erreur moinr' rlre que fr, si I'on a soin de suivre les règles

énoncées ci-dessous.

|BègIe pour calculer log sin (A + h).3",00<A et A+lf<100",00.

lo On prend dans la table log sinA - Er.; diff. tab.: p;20 On forme le produit lt.D au moyen des tables de parties

proportionnelles ;

30 On fait la somme Er*H;40 Si la partie décirnale qui suit le 5e chiffre est :

a) inférieure ou égale à r (t), otr la supprime ;

p) comprise en 6 et 0.5, on la rernplace par 0.5 ;

y) égale ou supérieure à 0.5, or Ia supprime et on ajoute I àla 5e décimale.

R,ègIe pour calculer log tg (A + h).

I'rcas: 3",00<À et A+trt<50',00.Même règle que pollr le sinus, €D remplaçant 6 par I (t).

(t) Voir les valeurs de o et de s au tableau de la page 81.




qn?'d ca,s: 50c,00<A et A+lf <97t,00.On peut écrire :

log tg X - colog tg (100" - X) ;

On calcule le cologarithme de la tangente du complément.Ou bien :

lo, 2o, 3o, comme pour le sinus ;

40 Si la partie décimale qui suit le 5e chiffre est :

a) inférieure ou égale à 0.5, otr la supprime ;

p) comprise entre 0.5 et"

(t), on la remplace par 0.b;ï) égale ou supérieure à i, on la supprime et on ajoute I au

5e chiffre décimal.

1,32. I{ous croyons utile de formuler ici la règle pour le calculdu logarithme d'un nombre compris entre 103 et l0o, règle telle,

que I'erreur soit également moindre que #,.RègIe pour calculet" log (l{ + â).

103<I{ et }i+l<104; 0(h<1.10 On prend dans la table logl{: Er; diff. tab. : D.2', 3o, 4o, comme pour log sin (A + fL), e tr remplaçant r par tr (t).{33. Remarque f. Afin de pouvoir appliquer facilement les

règles précédentes, le lecteur aura soin d'inscrire dans sa tablede logarithmes, eD tèLe et au bas de chaque pâge, les valeurs de6, r et I données dans le tableau ci-contne.

Remarque IL Le but du tableau cn question est de restreindrele plus possible le nombre des cas où I'on doit conserver une6e décimale. Mais si I'on jugerque son emploi, simplifié considéra-

blement pourtant par la Remarque f, est fastidieLtx, oû prendrao - 0.4; a:0.4 en deça de 50"; î == 0.6 au delà de 50"; et I: 0,4.

134. Exemple I. Calculer log sin 54" ,73469.tog sin 54",73 : 1,879+Z D : 5

pourÙ. . . . .2,00.06 ...0.300.009 . . 0.045

I,87949,345

tog sin 54c,73469 ---' 1,87949

(t) Voir les valeurs de r et de À au tableau

(r: 0.49976\

Ie \105

de la page 81.

l*;*/



CALCULS LOGARITHMIQUES.

Tagr-,EAu DES vaLBURs DE 6, T ET ).,

9000

10000

8l

0.499933000

40005000

0.499119

0.49966

0.49978

0."r9984

5000

60007000

0.49988

9.49991

*.1 *'l *'l 6

3

4

c

6

1

8

I

r0

II

Lol

I3

l4

l5

l617

r8

t9

20

2l

22

23

2+

25

26

27

0.43963

0.46602

0.4i824

0.48487

0.48887

0.49L47

0.49325

0.49452

0.49546

0.496r8

0.4967 4

0.49718

0.497540.49783

0.49807

0.49827

0.49845

0.49859

0.49872

0.49883

0.498920.49901

0.49908

0.499I5

0.43977

0.466r6

0.47837

0.48501

0.48901

0,49160

0.49338

0.49466

0.49560

0.49632

0.49688

0.49i32

0.497680.49797

0,49822

0.49842

0.49859

0.+98i 4

0.49887

0.49898

0.499080.49916

0.4992+

0.4993I

0.49920

0.49926

0.49930

0.49935

0.49938

0.49942

0.49945

0.49948

0.49950

0.49953

0.49955

0.49957

0.499590.4996I

0.49962

0.49964

0.49965

0.49967

0.49968

0.49969

0.499i00.49971

0.49972

0.49937

0.49942

0.49947

0.49951

0.49955

0.49959

0.49963

0.49966

0..19969

CI.49972

0.4997 4

0.49977

0.49979

0.49981

0.49983

0.49985

0.49987

0.4998e

0.4999I

0.49993

0.499940.49996

0.49998

0.49973

0.49973

0.4997 4

0.49975

0.49976

0.49976

0.49977

0.49978

0.49978

0.49979

0.49979

0.49979

0.49980

0.49980

0.49981

0.49981

0.49981

0.49982

0.49982

0.49982

0.499830.49983

0:49963

0.50002

0.50004

0.50006

0.50007

0.5000e

0.50011

0.50013

0.50015

0.50017

0.50019

0.5002I

0.50023

0.50026

0.50028

0.50031

0.50034

0.50037

0.50041

0.50045

0.50049

0.500530.50058

0.50063

0.49983

0.49984

0.49984

0.49984

0.49984

0.49984

0.49985

0.49985

0.49985

0.49985

0.49935

0.49985

0.49985

0.49985

0.49986

0.49986

0.49986

0.49986

0.49986

0.49986

0.49986

0.49986

0.49986

0.49986

0.50069

0.50076

0.50084

0.50092

0.50r02

0.50113

0,50I26

0.50141

0.501à8

0.50r78

0.50203

0.50232

0.50268

0.503t2

0.50368

0.50440

0.50534

0.50662

0.ô0840

0.51099

0.51499

0.52163

0.53384

0.5602q

731

I

741I

751

I

761

ta

78

79

80

81.

82

83

8+

85

86

87

88

89

90

9t

92

9:l

94

ie5I

lgoI

lsz

50

5l

52

53

54

DD

56

c/

58

59

60

ôt

62

63

64

OD

ô6

67

68

69

?0

7L

72

73

27

28

29

30

3l

32

33

34

35

36

37

38

39

40

4L

42

43

44

45

+6

4i

48

49

50

l. NI

Couns nr TnraoxouÉtnrr.


http://slidepdf.com/reader/full/emile-dumont-trigonometrie-rectiligne-spherique 100

82

Exemple

couRs DE TRlcoNoiuÉtntE.

II. -Calculer log tg 63",9781.

log tg 63",97:0,19703pTur 0.8 . . . L2.8

0.0I . . . 0.16

0, L9715.96

lcg tg 63",978| - 0,19716

Exemple IIL Calculer log tg 15",7101718.

log tg l5c,7l : l, 40L24

pour 0.01. . . .0.290.007 . . 0.203

0.0001 . . 0.0029

0.00008. . 0.00232

T,qatz4.4gïz?,

II,02590

oo I r,ozbgr

log tg 15",7101718 - I ,40L24.5 e (

,^\rr I 1, 4o2z4 e (o i T', oLz'Exemple IV. Calculer log tg 94',02007.

log tg 94,02 - 1,02590 D -poul" 0.007. . .0.511

1,02590.51 I

log tg 94,02007 - 1,02590.5

D: 16

i - 0.50027IE(IF'

D :29

r - 0.4976&

Il0t

1.510Ë

73

| :0.52163Ie(rot

1.5e(io;135, RègIe pr.atique. On ne se préoocupe habituellement

pas de I'approximation; dans ce cas, le 40 des règles précédentesdevient :


a) inférieurc à 0.5, on la suPPrime ;

P) égale ou supérieure à 0.5, on la supprime et on ajouteI à la 5e décimale.

On appliquera aisément cet[e règle aux exemples qui précèdentet qui suivent.

136. ôgfas pour calculer log cosX et Iog cotgX.log cos)( : log sin (100c - X) ;



CaLCULS LOGARTTHMTQUES. 83

On calcule Ie logarithme du sinus de I'arc complémentaire.log cotgX - colog tg)( '- log tg(100c - X).

On calcule le cologarithme de la tangente, ou bien le logarithme

. de la tangente de I'arc complémentaire.

137. Exemple V. Oalculer log cos 93",819937.

,.*"ï ::::'î31,;;r60' I 80063

D:70pour 0006. .0.420

0.0003 . . 0.02102,986+g.44Lo r : 0.48482

log cos93",819937 - â,98 643 e ( fI05

Exemple 1r[. Calculer log cotg79",83651.

log tg79',83 : 0,48 4Zg D - 23

pour 0.6 . . 13.8

0.05 . I .15

0.001 . . 0.023

0,48443.973 :0.50125

log cotg79",83651 - 1,5t556 e

B. Caleul des Etresr138. Problème. Détet"miner l'uppr"onimation, g.ue l'on peut

atteindre dans le calcul d'un a,rc X conna'i,ssant une ualeu,r

E approchée d,e tog gT(X) ù rnoins d,e #*l. Cas du sinus et de la tangente.

De la solution de ce problèoo, présentée en annexe à Ia fln decet ouvrage (note I), il résulte que si l'on à :

E'+:L <Ê-L Pt P - Ptt -- I-ZI0r\4/-2.l0Ë kT 2J0É\l'- -t1gr'Êt et Et' étant des logarithmes pris dans la table,

et log%(Xt) - Er < E { Er: log 97,(Xt + l')on peut trouver une valeur de X approchée à moins de ffi,rn étant déterminé par la condition

l0rr, <; l-F*t,t +r (l)

dans laquelle D est la plus petite diftérence tabulaire de Ct à Ett .



84 couns DE TnrçoNouÉrnrn.

A cet effet, on suivra la rôgle suivante :10 On calculei I'approximation sur laquelle on peut compter, au

moyen de la formule (l) ;

20 On calcule la différence

30 On calcule la valeur du

40 On ajoute cette valeurcentigrades).

Remarque f. La formule (l) n'est

donne pour %ù une valeur négative.Dans ce cas on peut déterminer pour

telles, que log fqx) - 13 - J.Iû et

ces logarithmes étant supposés exacts.

Remarque IL - si m- 0, x - x, ou x, suivant que { a} oo ,*.Remarque III. La même méthode s'applique au calcul d'un

nombre dont on connaît une valeur approchée d.u loganithme.

2. Cas du cosinus et de la cotangente.

La même règle est applicable, en remarquant que d-(Er-f,;tgtet que I'arc par défaut est Xr. Mais il est plus simple de transformerles cosinus en sinus et les cotangentes en tangentes.

139. Exemple f. }alculer X sachant que log sin X - 2,8248,g

ù moins d r,tO. Pr"es.

On a 4,25 <X

D_LOzd'où to* < HIog sin 4c,25 : 2,82419

Fzo= 0t.7

dn:D

x - 4",267

Calculer Xgtrès.

70r02

d:(E_8,)lou;-^^-^r d r , -. " I rrapport D a moms d.e ffi près ;

à I'arc par défaut Xr (exprimé en

pas applicablc lorsqu'elle

X deux limites Xf et Xft

rostLçxt1 -E+#

Par conséquent

Eremple II.ù moi,ns d I'e zm;

Ona

F:2et rtu:L489

e ( 0",001.

sachant q.ue

x < 21c,03

P:9

log sinX -ÏI,bI0gO

zLo,02D:20



cal,cuts LoGaRTTHMIQUES. g5

d'où ' l0- < ffi et tîù :090log sin 2t ",02: 1,51083

d, :7h:^t*'

Par conséquent X : 2r",oz e < 0",01 par défaut.Exemple III. E Calculer x sachant que log tgx :0,Zl4n à

moins d,e 9 \

itr P?"es'On a 65",08 < X < 65",10

D:15 p:LBd'où Llm=ffi m<A.

On prendra X.: 65",09 e ( 0",01 .

Exemple Iv. Calculer x sachant que log tgX : I ,64664 ùmoins d.,e

7 '5 a

,gs PTes'

On a 26.,55 <XD minimurn . lg p :15Lom < jg d'où nù - o.- 16,l

Donc X:26156 e(0",01.t'40. RôgIe pratique. - Habituellement on ne se préoccupe

pas de I'approximation que l'on peut atteindre. On énonce la questionde la façon suivante :

Calculer un a,rc X en grades et déci,males, connaissant te

logat"itltme de son si,nus ou de sa, tangente.On considère le logarithme donné comme un logarithme exact,et I'on procède invariablement comme suit :

lo On détermine dans la table les logarithmes consécutifs entrelesquels est compris le logarithme donné; on note la diftrencetabulaire D.

2" On prend le plus petit des deux arcs, ainsi que le logarithmecorrespondant.

30 On calcule la diftérence d, entre ce logarithme et le logarithmedonné.

40 on calcule la valeur la plus approchée à moir ' I. dr,rculeti n:,uo:

l" ll1 approchée à moins de ioô du

nombre f,; (ee calcul se fait c'hiffre par chiffre à I'aide de la tabledes partics proportionnelles).



86 couRs DE TRIcoNoMÉTRIE.

50 On écrit le nombre de deux chiffres ainsi trouvé à la suite des

centigrades de I'arc obtenu au 2o.14r,. Exemple [. - Calcu,ler X sachant que log sinX - 2,82489.

489log sin 4,25 - 2,824L9 D: L02.......:-

d' := 7O

pour 0.6 6I.2

8.80pour 0.09 9.18

x -- 4,2569.Exemple II. - Calculer X sachant'qzce log tgX :0,2L411.

411

log tg 65",09 : 0,21406 D : 15

=our 0.3 4.5

0.5pour 0.03 0.45

X: 65",0933.142. Remarque. - On aura plus vite fait de prendre les deux

derniers chiffres de X au hasard. Le résultat est tout aussi bon (r).

1t1 Si cette affirmation n'était pas justifiée par ma théorie d"es approximations,iI me suffirait peut-être de signaler les résulats suivants :

Cal,culer X sachant que log sinX - t,g8tgl :

Les Tables de BouvaRr et RerrNnr donnent, en appliquant Ia règle pratique

x - 8Ic,?533 et X - J$o ${t {Qr.

Les Tables de Cer,r,nr, à 7 décimales, donnent d.'autre part :

, x:81c,?525 et X - 730 34 38fr,l.

Dans ces dernières tables, pour la subdivision sexagésimale, I'intervalled'interpolation est de l0ff, et lcs résultats obtenus dans les dettx subdivisionssont concord,ants, ce qui permet de leur reconnaître plus d'exactitude qu'auxrésultats di.scord,ants obtenus par les tables à 5 décimales.

D'ailleurs, la formule

L0*< 3rr'dans laquelle D - 3 pour les tables à 5 décimales d'où vv1- Q

D-201,, ,,

7, d.'où.Yv-l

indique que les tables à 5 décigrales ne donneront pour X que l'approximation ded",01 tandis que les tables à ? décimales donneront l'àpproximation de 0c,0001.,'' Encore ai-je supposé que le log sinX donné était exact, ce qui n'arrioe

a a'

,an1,aut.



carcul-,s LOGaRITHMIQUES. 87

II. Proeédédes petits or€sr

A. Caloul des logarithmesot,4g. Problème III. Déterm'i,ner I'appronàmati,,on que I'on

peut atteind,re d,ans te calcul de log fL(L + h) par Ie procédé

"d,et petàts arcs. (A - nombre entier de centigrades; 0 ( h < l.)

Nous rapportant toujours à l'étude annexée à la fin de I'ouYrage,

n6us pouvons dire que l'erreur est mOind Ilre que ftt lorsque I'on

.;procède comme suit :

ft,ôgle pour calculer log sin (A * lt) ou log tg (A + h)7t'ca,,s.' 0",00<A et A+lt<3c,00.10 On calcule log S ou log T correspondant à L * h;20 On prend dans la table log A (diff. - D) ;

Bo On forme le produit h.D au moyen des tables de parties

proportionnelles ;

40 on fait ra somme log s + log a + H'

i r ^ . h.D.ou IogT+logA+F;50 Si la partie décimale qui suit le 5e chiffre est :

a) inférieure ou égale à 0.44, on la supprime;

P) comprise entre 0.44 et 0.56, oû la remplace par 0.5;

T) égale ou supérieure à 0.56, on la supprime et I'on ajoute Ià la 5e décimale.

Zrne ca,s .' 97",00 < A et A + l1 < 100".

on a, tgx:ffi,d'où log tgX =- colog tg(f 00c- X).

On est donc ramené au ler cas.

,,44. F,xemple f. Calculet" log sin 1"122364-

log S (I",22) : Z, tgo09.3 Dt: 0

log L22,3 : 2,08743 D:35pouf 0.6 . . o . 2l

0.04. . . o L.4

2,29314.7

log sin Ic,22364 : 2,28375 e ( +5



88 couRs DE TRIGoNomÉrnrs.

Fxemple IL Calculer log t92c,9l387.log T (2c,91) : +,t9612.3 Dr : 0.2 t

pour 0.387 . . .0,0774logZgl,S:2,46434 D:15

pour 0.8 . , .12.00,07. , . 1.05

2,66099.4274

log tg}c,9l387

-2,66089 Ie<IoÉ

Exempte II[. Calculer log sin 0"68752.

log s (0",69) : +,19il 1.1 Dt - 0.1 ; h -- 0.752; I h: Q. Z4gp0ur0.248. . . 0.0248

1og 69,75: ],83727 D - 7

g)ouro.Z. . . 1.4

2,03339.5249

log sin 0'6 8752:2,0g339.5 e t

{ 2"ogg4o soulz,ogaag e<zJo'

145. I3ôgfe preticlrtre. - Habituellement on ne se préoccupepas de I'approximation. On procède alors d'a,près la règle du no t43,en observant au sujet du 1o, que I'on ne doit faire aucun calculpour écrire immédiatement log S ou log T en tenant compte de h,Quant au 4o,, il devient :


a) inférieure à 0.5, on Ia supprime ;

P) égale ou supérieure à 0.5, on la suppriffic, et I'on ajoute I à.la 5u décimale.

1,46. Exemple I. Yoir no 1,44.

, Exemple II. Calculer log tg 2c,91387

log T (2'915) : 4,L96+2,4 Dr = 0.2log 29L,3 :2,46434 D : Jb

pour 0.8 o . . . . 12.0

0.07. . . . . J.05

2,6609 9.45

log tg 2o,91387 :2,66089.



CALCULS LOGÀRITEMIQUES. 89

Eremple III. - Caleu,ter log sin 0o,687:62logS(0",69):4'19611.1 Dr :0.1log 69,75 : I,83727 D: 7

frou! Je:_:-;_:_J:!2,03339.5

log sin0c,68752 : 2,03ea0.

B. Colcul des anes.147. Problème 11. - Calculer un arcX compris entre Ac et 3ç

connaissant une oaleur approchée d,e log sinX ou de log tgX. .-.-....- r- p& mo?ns ae ffii.

RègIe. - 1o On cherche dans la table la valeur par défaut de

- I'arc à moins tle I centigrade près ;

2o On soustrait du logarithme donné le log S ou le log T corres-pondant à I'arc trouvé au lo; le reste est le log X.

3" On calcule le nombrc X (mesure de I'arc en centigrades)

connaissant son logarithme à moins ae ffi nrès.

t48. Exemple. - Calculer X sachant que log sinX : Z,ZZSOS à,3moins d,e ftOrès.

X est compris entre 1c,20 et 1c,2I.log sinX :2,zl5Ag

IoB S(I",20): a,19609É

log X:2,07960 r <rr0--1-t.

Ona 120\,1 <X<1201,2

D:3ôgt:1

t*.# d'où rm:opar suite X: Ic,20l. e < 0',001.

149. Remarque. - La méthode ordinaire est aussi applicable,puisque X > 1c,05. (Voir Amexe.)

log sinX :2,27569 p:6log sinlc,20 :2,07523

--A-- 4r D: 96o

to- = # d'où l'It,: L

,d4r:;: â?,T: o',r

d'où X: lo,20l e a 0c,001.



90 couns DE TRIGoNoMÉrnln.

150. Remarque, - Connaissant une valeur approchée de log tgX,si I'on constate à I'aide de la table que 97'< X < 100o, on rentredans le cas précédent en posant :

log tg (100c - X) : colog tgX.

{5{. RègIe pratique. - Habituellement on ne se préoccupepas de I'approximatiorr. On opère d'après la règle du no ,,49, saufque dans le calcul du nombre X on ne tient aucun compte de

I'approximation, et que I'on calcule deux chiffres supplémentairespar la table des parties proportionnelles, comme it a étê vu

au no t40.,,52, Exemple f. - Calculeî X sachant que log sinX :237569.

X est compris entre I',20 et L,?L.log sinX :2,2?569

log S (1",20) :2,19609_.4

log X - 2,07959.6

log 120,1 : 2,07954 D :36.05.6

3.6our 0.1 .

pou?" 0.0ô.

2.02.16

X : 1201,116 ou I",20I16.Exemple II. - Calculer X sachant q.ue log tgX -=- !,.

On constate que 99",36 < X < 99c,37.

D'où log tg(100e - X) : colog tgX : -Z - log tgY.

0.63 < 100"-I-Y < 0c,64.2

log T (0",73) =2,L9613.4log J - 1,80386.6

log 631,65 - ],80380 D-7.6.6

6.3our 0.9 .

I)our 0.03.

Y-100c-X:0o,636594[ : 99",363406

0.30

0.28



CALCULS LOGARTTHMTQUES. gl

153. Remarque f.

-Comme nous I'avons

déjà ditprécédemment,

le calcul des deux derniers chiffres est une fumisterie.On a en efiet :

F :0 et L}ri. < fr a l0*+ r d,où yy, _ e.

h:q6tl.7'2Par suite

Y-63t,66:0",6366

et X-9g",9694. e(0",0001.,'54, Remarque II. n peut arriver que I'on ait à calculer un

arc X connaissant son sinus ; lorsque le nombre sin X est voisin del, il ne faut pas calculer X par l'intermédiaire du logarithme deson sinus, car on ne trouverait qu'une valeur très grossièrementapprochée de X.

On posera

sinX - a:

H#-coszy.D'où I'on déduit :'tg'Y :!; o

t *a (I)

et X-100"_Zy. (Z)

Si, au lieu dc connaître sinX : a, on connaît log sinX : f ,on posera

sinX: cos Zy - llg'YI + tg,y :tgz

d'où I'on déduit

log tgZ = log sin X : !3 (l)

ts,y :LiH- tg(bo" _z) (z)r --|- û8I'

X : l00o - 2Y. (g)

155. Exemple f. - Calculer X sachant que sinX : 0,gg74g.Le calcul direct donnerait

g5c,4\ < X < 95",45.

Tandis qu'en appliquant le procédé signalé dans la remarqueprécédente, oD aura

*nz\z _ 0,00257 257ué r -iF0iZg:tggz4g



92, COURS DE TRIGONOMETRIE.

2 log tgY: log257

*colog 199743

log 257 - 2,40993

colog 199743 - 6,69953

log 1997.00 =- 5,30038 D:22pour 0.4 . . . . 8.8

pour0.03. . . . 0.ti6

M2 log tgY - $,10946

log tgY :7,55473Iog T (2,28) === 4,19630.6

,

IogY - 2,35842.4

2,28<y<2129 r

log 2281,2 -- /,,3512 , D: 19

I0.4pour 0.5. . 9.5

0.9'pour 0.05 . . .0.95

Y - 2,28255Par suite

)f : f00" - 4c.56540 : 95o,4349.

Eremple II. Calcuter" X sachant que log sinX : 190982.

Le calcul direct donnerait

98",14<X<98c,20.

En appliquant le procédé de Ia remarque précédente, on obtient :

sinX:cos?Y:tgZ;log tgZ - I,99982

tog tg49",98- t,gggZ3 D- 13

Ipour 0.7 . . . . 9.I

z . 49c,987

log tg'Y . 2log tgY - log tg(50" -Z) - log tg0"'013

logT(0',01)- +,tggtZlog 1,3 : 0,11394

2 log tgY :4,31006



cÀLcuLS LOGÀRITHMIQUES. 93

log tgY - 2,15503log T (0",90) : 4,1961 4.9

log Y - 1,95888.1

log 901,96 - 1,95885

0",90<Y<0",91

D:53.1

. 3.0

0.1

. 0.1

1",8 L9324 - 98", 180676.t

pour 0.6 . . .

pour 0.02, . .

r - 0",909662X-100'-ZY:I00c-

s 2. APPLICATIONS'

156. A I'examen d'entrée à l'École militaire, les caudidats ont à

effectuer deux calculs logarithmiques, I'un en utilisant la subdivisioncentésimale, I'autre en utilisant la subdivision sexagésimale de lacirconférence.

Le problèmepcut

toujours êtreramené à la forme finale suivante :

Calculer l'ar"c x en grades et d,,éei,males (ou en degrés, mi,nuteset secondes), a,lbrnoyen de lu, formule sui,uante :

fL@): F(4, B, C, ... N1, N, ...)

dans laquelle la fonction F esL Lrn monôme, A, B, C,... sont des

arcs donnés ou calculés au préalable, et N,, Nr, ... des nombres

donnés.

Au lieu de cornrnencer par uouloir prendre étourdàment leslogarithmes des deun nzembî es, on a,ut"a so'i,n de suit:re scrz,cf)u,-

leusentent la règle suiuante :,,57. RôgIc génératre.10 Réduction d,es arcs connus. - On réduit tous les nombres

trigonométriques des arcs A, B, C, ... à des sinus et des tangentesd'arcs' du I*" quadrant. A cet effet :

On remplace d'abord les sécantes et cosécantes en foaction des

cosinus et sinus; les cotangentes du dénominateur deviennent des

tangentes au numérateur.

Ensuite, considérant un fL6) quelconque, on le transforme en

un sinus ou une tangente du Iu" quadrant en observant Ie mécani.smesuivant :

a) On détermine les multiples consêcutifs de 100" (ou 90") quicomprennent A ;



I

94 couRs DE TnrcoNoMÉrnrr.

p) On écrit le signe du 9I (i\) en question;T) On écrit si,n (si n est si,n ou cos) ,

tg (si gL est tg ou cotg);ô) On écrit la différence entre A et le multiple pair de 100" (ou g0)

ou entre A et le multiple impair de 100" (ou 90"), suivan[ que ]'on apu conserver ou non gL.

Enemplesf. sin IL2",15I09 - + sin 87",84891

II. cos 237",96716 :-

sin 62""09284

fII. cos 362,4L21 - + sin 62. ,4IZIIV. tg 14L",0225 - - tg 58c,9775V. tg 265c,2483 - + tg 65",2489

Vf . cotg 10I",3304 - - tg l",Bg04VIf. cos 23,4196 - + sin 76",b804

100"<112"<200..

200.<337c<300".300"<362c<400".100"

200"<2$5.<300".I00" < tot

020 Nombres négatifs. on remplace tous les nombres négatifs

en fonction de leurs valeurs absolues, même lorsque ces nombressont affectés d'euposants pairs.

Eæemples :

r.Vtogsin4--@ (o<a,If. (log tg 27c,3), : (colog tg Z7a,g)t.

30 Réduction de I'inconnue. Après lc Io et le 2o on peLlt mettreen évidence le signe résultant pour fL@\ On réduira alors fL@)en un sinus ou une tangente d'un arc du Iu" quadrant en suivan t lemécanisme énoncé au lo, sauf que l'on doit intervertir p) et a) :

connaissant le signe de 7Y(n) on peut en effet établir, âu moyen de

la circonférence et des axes trigonométriques, à quel quadrantappartient û0, la plus petite valeur positive de fi (t).

(r) Les élèr'es peu habiles peuvent procéd.er comme suit :

L" Remplacer cosn pa?' sin (I00c - u); cotgû par* ou pq,r tg (100c - æ)bË .ta

20 s'i la fott.ction réstcltante de æ est < 0, chanyTer le si,gne d,e tr,arc.sinæ

- -fuz donne sin

(- t):+ k,sin(100e-æ):-ftztgæ - - fuz ,, tg (- û): + h,

tg (l00ci- *) - - hz ,, tg (æ - l00c) _ { hz



CALCULS LOGÀRITHMIQUES 95

Eoemgtles :

I. sinæ - - h?' 200" { fio

sinr:-sin(æo-200").II. COSû--+K,

cosfi-fsin(100"-ûo).0 {fio

. IIf. cos æ - - hz 100o { ûo

IV.

cosfi- -sin (no- 100").

tgæ--hz 100" {ûotgæ: - tg (20Cc - nù.

V. cotgfi--k2' 100"{ûo<200",cotgæ

Si les deux membres de ia formule sont alors négatifs, on changeles deux signes.

40 logarithmes. On prend les logarithmes des deux m.embres.

50 Calculs.

-On calcule les différents tet'mes de la formule

obtenue au 4o. Ce calcul se fait en observant un di,spositif réglemen-tai,re qui diminue les causes d'erreurs et permet une lecture aisée

des opérations successives ; puis on calcule I'arc fis.

60 Résultat. On écrit les formules générales qui expriment ûen fonction de fi6.

158. Applieation f. Calcu,ler en grades et décimalesl'q,rc x au rnoAen de Ia formule suiuante :

cos (er * B) :(log coszA)a x

tnx ts'éXr+ lj

sinz2A X cotgSB

A - L49c,r789

B : 113",7614

n - 0,045782

sln L}Y: log cotgz A'

(On prendra pour y la plus petite valeur positive.)

Le calcul comporte deux partics :

r. Calcu| de y.II. Caleul de x.



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CALCULS LOGARITHMIQUES. 97

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r06 couRs DE Tnlcot{ouÉtnm.

EXERCICES.

l. Déterminer en grades et en degrés les valeurs générales de fr,qui satisfont aux formules suivantes, ainsi que les valeurs particu-lières comprises entre les limites indiquées.

sinæ-0,34127 0 {n <200"cosfi- -0,19053 200" <ffi < 400"

tgn--Z 300" <n<400"sinr:-0,18482 200" {n < 300"

sinzr:0,151587100"< m{ 300"

tgrn -1,234 0 <n< 200"3l;

cosn-1/3 0< n{100"v5I ,.284 a,^\^â ^^^,inri_ +____: loo" <fr <zoo.)LL'u\J - i/63JzB

tgn - sin 66",Ib25

cosfi-2sin13",5439

tgm: - Vcos 1905t2. Calculer les nombres trigonométriques des arcs dont les

mesures en radians sont 12, \Æ, tr\6, V;, 2, 5.

3. Calculer en degrés ou en grades I'angle ffi positif et moindre

{lue I droit, donné par la formuletgn-sinasinb

dans laquelle a,, et b ont les valeurs indiquées au rlo 2.

4. Donner en radians I'expression générale des arcs n qui satis-

font à la formuletgun -rl-

Vcos 3'.p

0 < n I 100"

0 < n { 100"

0 < o { 200"

? - 54u26t32tt. Trouver I'arc compris entre i et rr.Ét

en degrés ou en grades les arcs fi compris entresatisfont à la formule

dans laquelle

5. CalculerO et 90o qui

J-- cr ^- sinspt!rT-:'u tcos a

dans laquelle d. - - 36o7t SLtt ; p : 1905o26t 45tt .

6. Calculer I'angle fi en grades et décimales par la formule

cotgæ _ sinz 52"'0001_X g'9jt 1lo.itl.9I x séc 30"856,215 x (0,3)'



CALCULS LOGARITHMIQUES. r07

7. Calculer I'angle fi en grades et décimales au moyen de la

formule '

tg, æ -cos l42c,!?-r57 \ sêc? ?7c,43524 .

sins 7 L",59593

8. Donner I'expression générale en degrés des arcs n qui satisfontà la formule

sachant que p : l32o 25t z1't et que q. est le plus petit arc positiftel, que

cotgsa : 0,35485.

9. Calculer A en grades et décimales par la formule

A 6562",os z:.tz6} \ sinôsinc

a,-8I",0357 b-LL4,I4 e-26,52p:a*b+c.

10. Calculer fr en grades et décimales par la formulea - 38',4957b : 4L',38f 62

O:l 2S sinAsin B sin (A + B)

S : 3846,8

a - 64,2947B - 66",99346

L2. Calculer les arcs compris entre 0 et l80o qui vérifient larelation

^'L o

cos Bfi *\' ,ot=r^u

sln Di.l

Q, -'-Q,075248 Q - 87o }Lt 26t t p : 64ol2t 38tt.

13. Calculer le plus petit arc positif æ qui vérifi.e Ia relation

4l-

n,u*^ fi Vtt";otg t: :'', V cos'p

sin2otg 3fr:

co,s%

ll. Calculer a, par la formule

,frrcotg i: WcossaVsin4F

a., - 0,000653 q. - 98o 2,t 30't p : 34o ôLt 42tt .



f08 couns DE TRIGoNoUÉtnm.

L4. Calculer en radians l'arc fi compris entre 0 et T, à I'aidedes relations

ror I3t: \zfltg'n:.i*? tg?:-I,2345 0<?

15. Calculer les arcs compris entre l80o et 360o qui vériflentla formule

corg (r"+ï):Yffi -/ asCOSf,

a - 0,58609 d. - 4lo53f l?tt p : 243o53t 23tt.

16. Calculer en degrés le plus petit arc positif satisfaisant à larelation

cotgn-ffiQ,- - 0,08562 Q- lSlo 49t25tt p : 36o 43t l6tt.

17. Calcriler a,, b et c au moyen des formules

a, _(a J:_c) cosz?

b : a, sin B tgr?cos BIJ - 45",1743

a*c-5196,38.

t

:- cos B

18. Calculer C en grades et décimales au moyen des formules

cotga sin b_*#9 ts?:;ffica - oô',4820

b : 131o,4448

A : 65o,5L2219. Calculer en grades et décimales le plus petit arc positif fi

à l'aide des formules

cotg n-a cos3 (a?J-a)cos g- *.

Vsrn ? tg'Fr"" r cos T

= zlo l8/3Ltt ; F =: 38".PLt29tt ; ô - 38o2t 2\";T:I2o37'29"; 0<?

20. Calculer en grades ou en degrés les trois angles A, B et C

d'un triangle, à I'aide des formules

cosA: Z ,:3+vtB-Cc'-"D2 ,-

a 122348. sin A: V ag8zb 'B+Cr'gz



CALCULS LOGARITHNIIQUES. 109

ZL. Calculer Ia plus petite valeur positive de n satisfaisant à

l'équationcotg (æ -a)

: tog sinz 2A. A - 73,461g7.

ZZ. Calculer en degrés le plus petit angle positif vérifiant larelation

log sin2r _- (log au)' tg o

a,-I,2405; q. - l46o58f 27tt.

23. Calculer en degrés, minutes et secondes le plus petit arcpositif vériflant la relation

tg (60r * ") :le' log cosz 3ea - 2,0055 q - 56o I6t 43tt ,7.

24. Calculer n en grades et décimales, par la formule

tgr : -L "o=',1sécg

a-56I,1; b-437; ?-I40,8120.25. Calculer fi en degrés, minutes et secondes, par la formule

cos fi -nz-cos.acosb

sln CI

yn- L3,4728; ct,- I29ol7tl0" ; b - - 88o3tZLtt ; V - 153o46t56tt.

26. Calculer fi en degrés, minutes et secondes, par la formule

100, sins fi - tg A (cos B)rosl/F

A - 9lo33r27tt ; B - 343oTt4tt ; I\T - 0,000816435.

On examingra toutes les valeurs entières possibles pour m et I'oncalculera les valeurs de fi correspondant aux valeurs extrêmes

pour rù.27 . Calcul er fi en degrés, minutes et secondes, par Ia formule

ar}'sin(æ+A) f cotg A tÆsB : 0

Â-268'45t5Ltt; B-ll3ol2t1grr; e:170,439.28. Calculer fi par la formule

VcotgA - && cosB

togcosA - t,9+55t; a- g,4lf65; B :323",5335.

29. Calculer û par Ia formule105.VcosA. log ffi : a sinB tg0

B _ Z4g"B6tZZu ; C : LZBoABtAgn .A - 7l"34t28tt; a - 41908.



f I0 couRs DE rRrcoNouÉrnm.

30. Calculer fren degrés, rninutes

et secondes, par la formuleIogYsrnt"r - cos3Ai A:101c,3176.31. Calctrler fr en grades et décirnales par la formule

cossç - logVslnrA; A : 242o3'r.

32. Calculer X en degrés, minutes et secondes, par la formulesinæf -- (losts'À)n

fr est dans cette formule la mesure en radians de l'arc X;

A - 162o27'Ltt.33. Calculer A en degrés, minutes et secondes à I'aide de la

formule du no précédent, sachant que la mesure en radians de I'arcfi est fi - 0,039 146.

Àf. B. Dans ces deux exercices. on se servira dr_r rapport S -ttg-x'f

CIIAPITRN IIRésotution des équations tnigonornétniques,

16l. Définition. On appelle équatiotz trig onométrique, uneéquation qui contient des lignes trigonométriques d'arcs inconnus,et qui ne devient une identité que pour certaines valeurs de cesarcs, valeurs appelées solutions.

En général, une équation trigonométrique admet une infinité desolutions.

En effet,si fi- a estune solution, fi-Zkrc + a est aussi unesolution; or k pouvant recevoir toutes les valeurs entières que l'on

veut, il y a autant de solutions que I'on veut i û :2kæ * a s'appellesolution générale; il n'y a qu'un nombre limité de solutionsgénérales.

s t. nÉsoLUTtoN D'uNE ÉOUAT|ON A UNE tNCONNUE,

L'équation contient en réalité autant d'inconnues que de lignestrigonométriques de I'inconnue ou de fonctions de I'inconnue.

Seulement ces inconnues ne sont pas indépendantes I'une de I'autre.

Il existe entre elles des relations qui, jointes à l'équation proposée,constituent un système algébrique d'autant d'équations que d'incon-nues, lesquelles sont les nombres trigonométriques en question.

^ Le problème est ramené à un problème d'Algèbre.



nÉsol,uTloN DES ÉeuauoNs rRIGot{ouÉrnIQUES.

sinzr +bzsinr -lb' + a2) sinzff Zac

ac + I azcz - (cz - bz) (az * bl) _ ac *a,'+b

les 2 équations

a'-+.b'

on tire

Slnrt -- llltsinæ : fl?z

fir: 2kæ * a

fiz:2k'æ*n-'t;frs: !k'n { p

frt:Zltæ g æ -p.

11I

t62. D'oir la RôgIe génôr'ale :On adjoint a l'éqwation proposëe les relations qui enr,sten,t

entre les nombres trigononoétriclues inconnus qtl elle contient,et on résoud le système obtenu colnrne Lc?? systènte algébriqueordi,na,ire.

L'élimination successive des inconnues conduit finalement à une ouplusieurs équations de la forme ?L(nr * a) - t?L d'où I'on tire les

valeurs de (nr + a) et fi.nalement nr-Zkn * ar ) 1,2-2kæ* ar...

Remarque I. Cette règle conduit parf ois à des calculs très

longs, et même à des équations d'un degré supérieur all 2'1 et quel'on ne peut pas résoudre par les procédés élémentaires.

Le plus souvent on résoud l'équation par des artiflces particuliers.

II faut portr cela connaître le plus possible de formules, et êbre

habile.

Remarque II. Il faut avoir soin de vérifier ohaque sbh-rtion,

parce que souvent, au cours de la résolr"rLion, oû introduit des

solutions étrangères.

163. Exernple f. asinr*Ôcosn-c. (1)

l. Méthode générale: sinæ et cosfr sont reliés par l'équation

sinzæ f cos2fi - l.Éliminons cos n entre (1) et (2).

c-asinnCOSfi-

(c.- a sinn)z

(2)

d'ot\

ou

sin,l:

D'où

:t

tz-'obt;:-Q

(4)

(5)

De (4)

de (5)



'!,L2 COURS DE TRIGONONI}'TRIE.T

Discussion. Candition de réalité : a}

+bz

-c?

)0.

Condi,tion d,e signe: il n'y en a pas.

Conditions de grandeur .. - L < mt 1-j- tet -1(ttt, 1+1.

r' (sin n) :0 étant l'équation (B), formons F (+ t1 et F (- t).f (+ l) - q2 + b, -Zac * c, -bz - (a- c), ) 0,F (- 1) - 62 + b, *Zac * c, -fi2 - (e + c), > 0.

Donc mret lnzsont simultanément compris ou non entre - t et * I

In, * ttt, _ _ Jt_.2 42*b'Pour que les conditions de grandeur soient satisfaites, il faut et il

suffitdoncqueI'onait -L a.=al ^a +Iqz+hr__\

ou -(a,+br)lac1a,+b,ou lacl < qz rr bz

or \e'z + b') az

(a, + b, 2 c, (condition de réalité)donnent (a, * br),

et qz rr $z

Donc les conditions de grandeur sont satisfaiies.Solutions étrangères.

.Stnffr : SlfICfz mafs COStrr :-

COSffiz.

Donc on ne peut avoir simultanémentasinnrfbcosnt:c

et asinrr*bcosnz:c.IJne des 2 solul,ions est donc à rejeter. De même pout ûs et frn.rt y a donc en tout 2 solutions i frr orr fiz et æB ou fr*1,64. 2" Méthode. a sinn + b cosr - c.

zwl 1- W',lSIIIC? : CO S'U: :

d'où

ou

za ts{(b+

1+ Wrl

+w'l)

t+wrl/' .-'rt\ (

+b(t-ts,;):r(t

\t''J/t

\

c)ts,l-zatgf+c- b:0.



nÉsor,urroN DEs ÉeuarroNs TRrcoNonÉrnreurs. 113

t,9-a*|ffi2 -I

\ tgi: rrù, ?: krcf a nt:Zkæ *Za,d'où (

I wi - ?hz *: k'n * 9 ûz:zkæ+ zP.t,

DIscussloN. Il n'y a pas d'autre condition que la condition deréalité, oz+ bz_cz)O.

Remarque. It faut rendre rnr et Dt2 monômes dans les deux,méthodes.

165.$eMéthode. asinn+bcosn-e (l)

a(sinæf !*r*):c.bâ - ts? (2)

a (sinæ+ H cosr) - c

&/t"** (sinæ cos? f sing cosr) - cI

sin (r * f) :*cosg.

De cette équation on déduit :

ær*?-2kæ*a r,^_\ fiL:2kæ*a-?æz *? : 2h,æ* æ d'où û2:Zkæf æ - d.- ?.

DrscussloN. rl n'y a qu'une cond,i,ti,on d,e grand,,az,cr :

-l -aç2 ^^-o I z , ' 6?' t çzou î,coszcpl< + t ou b.fi: m _T,Oz

ou enfi.n a,z + bz

166. Exennple II. tg Zn

I. iléthode générale,

tgzæ:ffi

+ cotgæ - 8 coszfi. (l)

2 cotgnôôtg',tr_,i

Posons

d'où

ou

ou enfi.n

ou tgZæ :

4ouns nn TnrcoNonrÉrnrr.

(3)

coszû :

cossJ' :

I

wcotgzncotgzæ + I



114 couns DE TRlcoNouÉtnm.

L'équation devientZcotgn(cotgzæ + l) * cotg æ(cotgaç - l) : 8cotgzar(cotg'n - T\

ou cotgæ (cotgaer- 8 cotgsæ +Tcotgvæ + 8 cotgn + l):0.D'où les équations cotgn - 0 (2)

et cotg4û-Scotgtæ*2cotg'æ*8cotgæ*I:0. (3)

L'équation (3) est une équation réciproque du 4e degré.

t/r\cotgzæ +

fu-8

fcotsæ - fu )+ 2 : 0.

catEæ- I : 'u. Co-t'$fi "

o y- 4*\FZ.:{*2V5.o: cotgæ -tgæ: #o-- 192fi

tg4æ - (4>

(5)

Posons

Y2-8Y+Or,

d'où

De (2)

4-

v

Iz-f W:2-\6

et tgZn - --f-- - 2+\6. ?-vB ' I

(l) est ramenée aux équations (2) (4) et (5).

fi.:Zkr' +i

fiz : 2kæ -T2

2æt-2kæ{a

Zætt:Zkr*n*a

( Zættt :2k" * P

De (5) { ou

( Znw-Zknf æ+p

L'équati on

I

I

IDe (4) ou

fis-2næ*

fia = Znn J-

ffi, -Znæ*

fi6-Znn*

ffi7 -2næ *

fis :2næ *

fis-Znn*

fito:2næ *

2

tQntz7T tq.z-z3æ r&T-zp,

-*-9r I gl-,

T,,92- ?,

3æ,PT-2

II n'y a pas lieu à discussion.



nÉsor,uTroN ens ÉeuluoNs TRrcoNolnÉrnreuns. fl5

1,67. le Méthode. tg 2n { cotgn - 8 cos,æ (l)ou sin 2æ r gsæ (1ffi+ffi -8cos?æ

ou zsiryl:_o:ar+ïg_8coszæ;

cos zn slnrtd'où cos#-0 (2)

et 2 sinzn * cos Zfi - 8 cosr sinæ cos Zfr - 4 sin 2æ cos 2m

ou I

-cos2æ* cos 2û

-]

-4 sin 2m cos2û:2sin4æ

ou enfin sin 4 I'*: â (3)

De (2) nt:Ùkæ +î nz:ykæ -Tz)

De (3) Ant :2kæ+ â ût :*2* + ùAfitt :2h '!

rc'* *?r - 6 ttr't:2r" +*.

Faisons successivement k - 4Tt,, 4n { I, 4n *2, 4n { 3.fiB:Znæ+ # fi.:2næ+#

ûr:unn+T+i :2næ*i+3æt1-f 24 frs Zf 2n

0s:2næ*æ +# fis:Znæ*æ-5*'24n6:znæ+î +# nro-unæ+l +n

168. Exemple rII. sin ( pn + e) : sin (ræ + s) (l)La méthode générale est inapplicable.

pfr + q et rn { s ayant le même sinus, sont égaux ou s upplé- .

mentaires :

pn+I:Zkæ*rn*s (2)

pn+q*ru *s:Zkæf æ. (3)

Soit F{r; n(p-r):2kæ*s-qn (p + r)

-Zhn *æ

-(s

*q);

d'où ût- k zæ+s-qp-r p-rr,t:+zæ* T -*tq.+r-"'p*r F*r



[16

Faisons k :-

COURS DE

(p-r)m

TRrGoNouÉrnln

et(p-r)m+l(p-t")tn+zaoaaaaa

(p-r)m+p-']. l

wù

:::aaa

m*p+ln-I-.

[(P+r)ï(p +r)

1.::( tp *t)

il vient :

ûtr:Ztnæ+=gp-r'

ûtr:Zmr,+ -2- :+ i;1 p-?a p-rûtr:zmn + =4" -+ i- - q' p-r' p-1.

fr"r+r:Zmæ -l-

Il y a donc (p-r)

(p+r-r)2æF*r

+(p*r)-

û'o-r : 2mæ

fittr:2mæ |

fi" r- Ùtnæ *

fi" r- Ztnæ *

+ (p-')n- I) 2æ

p-rrc .s +qffi-ffi"3æ s +qffi-'p+r5rc s +q

P+r-ffi"

' s -q p- r"

r t- l-t-4.-pa, p+r'

2p solutions.

S 2. ÉguATloNS stMULTAr.rÉes A pLUslEURsINCONNUES.

{69. I{ous ne traiteions que le cas où te nombre des équations estégal au nombre des inconnues. Les autres cas conduisent à desconclusions dont Ie développement fait partie du cours d'Algèbre.

Deux cas peuvent se présenter, suivant que les arcs inconnusfigurent ou non dans les équations.

I"" oosr Les équat'ions ne conti,ennent les inconnues que

sous forme de nombres trigonométriques.BôgIe génénale. on complète te système d,,'équationsdonné a,u moyen des formules qui rel'ient entre eufr lesnontbres tr''i,gonométri,ques de chaque inconnrr,e. On obtientains'i un syçtème contenant autant d'équatiotts que de nombres



nÉsor,urroN DEs ÉeuatroNs rnlcoNouÉrnreuns, lfztrigonométriques inconn?rs. On dëtermine ù I'aide de,ce

système un des nombres trigonométriques de chaque i,nconn,ue,et on est ramené à, un certain nornbre de systèmes tels que :gLt (aræ * br) -- Izrlq (aræ * br) : tp,g

que l'on résout faciletnent.il faut aooir so'i,n de aérifi,er si toutes les solutions sont

admissibles.

Remar(lue. Cette règle n'est qu'un pis-aller.On cherche le plus souvent des procédés particuliers plus rapid,es.,

170. Exemple I. Soit le systènre

tsæ+rsy -2 (l)2 cosæ cos U : I. (2)

lléthode générale. Ajoutons au système les équations

coszæ-= ,1- = cos?y:i--.1 + tg'æ --- '7 I + tg,y

L'équation (2) élevée au camé devient après l'élimination decosfi et de cos7

(l + ts'n) (1 + tsry) - 4

ou tg'n * tg'y * bg'æ tg'A + t - 4. (3)

(1) élevée au carré donne

tg,n * tg'y + 2 tgæ tgy - {. (4)

D'où, en soustrayant (4) de (3)

tg'n tg'A -2tgn tgy + t ,:. 0ou (tga tgy - l)' : 0

tgæ tgY : l. (5)

En vertu des équations (1) et (5) tgn et tgy sont les racines de

l'équation 22-Zz*1:0ou (z - l)': l.

Donc tgæ - I et tgy - t

fi-A' î

et ll-! 'r

7v

'n+i et U:h-,,* n.DtscussloN. - Pour que l'équation (2) soit vériflée, il faut que

cosr et cosy soient de même signe.



u9: Donc

171,.

d'où

tsæ+ ts'y - YI" + Y)vv cos fi eosy

sin (r + y)

-z

"'6-I

-nn*y-Zkæ + i. (6)

cos (n + y) + cos (u - A) - L

cos(m-A):l-0:1fr-a:Zktr'' (?)

et

De (2)

d'où

De (6) et (7) on tireæ

(2n:2(k*h,)n +ôJ

2y:2(k-k')n + i*d'où n-(k+k)n + ï

Y-(k-k')n*Tn'Or, h, + k' et It, - ht sont de même parité, ce qui donne les deux

solutions trouvées]par la méthode générale.

L72. Exomple II. Soit le système :

sinæ * cos7 : a., (1)

cosn * siny: b. (2)

l"u Méthode. Étiminons fi.sinæ: a;cosycosfi - b - siny

d'où sinzæ * cos}ç - sinzy f cos,y * a,' + fiz -àacosy -Zb siny

ou

bienb siny

*acos y

-ry-(B)

. On résout I'équation (3) par un des procédés indiqués précédem-ment, puis on tire sinr ou cos n de (1) ou (2), et enfin on écrit lessolutions.


on obtient les deux solutions

\*,:2kæ +i t ûz:zkæ*æ +i{{-l( ur:2kæ +i I az:\kn * æ +i-

te Méthode.



nÉsor-,urroN DES ÉeuauoNs TRrcoNouÉrnreuns. f 19

173. 2" Méthode. - Additionnons et soustrayons (l) et (2) m. à m.

sinæ * sin y +cos æ *cos y : a + bsinel-siny+ cosy-cosfi- a-b ô

ou 2sin rycos ry +zcos ry cos ry:A*bzsinrycos ry*2sin ry sin ry-(r-b

ou encore 2 cos ry ('io ry* cos ry) : a * b

z sin *-u ("or* ! a {- sin W\::

2 \ z T)-a'-b'En divisantm' àm' :

*^fi-y a - bwË:6q6'Posons X: @? ; il vient

Ery:ffi-tg(î-r).d'où

n;a-I'

7r

Z .?,-,r{n-,t. (1)

L'équation (l) donne sinæ f sin (: - y\ : o\É/d,où z sin (: *"7\cos (:-ry\-e,.

\4.,/\42/or ry+î:kæ+i-e

,,"(T+î)-ecos?;2

-d'où co fn n*a): =ot\.a-- ) 2ecosg

.et par suite ry-- T : zkæ* e,o24gn J- ot"#:zkæ+î*e'a. (b)

(a) et (5) donnent

n-krr*;-?*e'îa

h età' sont àe *u*r'; f;:.+? * e'a'

Il résulte de là quatre solutions.



rza couRs DE TRIGoNoMÉtnln.

DmcussloN. Cottd,iti,on d,e grand,eur.- - L < #< + Di

a2 ' I 42ou ffiç <r i or, coszg: r _l_tgz.g:A&E'La condition devient

q' + b' ..,- r4-s174. 3e Méthode. Élevons (l) et (2) au carré.

sinsei * cosry + 2 sinæ cos T : az

coszæ * sinzq + 2 siny cos fi - b2.

Additionnons et soustrayons m. à m.

2+2sin(n+y):424fi2

ou sin(r +a):a'*2'-2cos 2y-cos 2æ*2sin (r-A):a2-bz

I

ou 2 sin (æ + y) sin (n-ù + 2 sin (n -A): az

-b2;en vertu de (6)sin(r -A\:q1 , ??/ qzqfiz (7)-

D'où æ et y.

DrscussroN. Condi,ti,on de grandeur :

-r ary(J-t ou a,z+bz<A

et -l aaz-bz<*L quip ( * f qui est toujours satisfaite.

Solutions étrangères. L'élévation au carré a introduit des"

solutions étrangères qu'il faut éliminer, en vérifiant les solutionssur les équations proposées.

Remarque. - Ces exemples montreut la multiplicité des procédésparticuliers. Lorsque les équations sont symétriques eî û et U, le-procédé qui consiste à calculer la somme fr + y et la différencefi - y est parfois simple.

De (6) et (7) on tire

n*a:lii:I:_dn_ \2kæ+P-a-lzn**zi p.

.



nÉsor-,urroN DES ÉeuauoNs rÈ,rcoNouÉrnreuns. L?t

176. pe Ga,se Les a,rcs 'inconnusfi,gurent

erplicitementdans les équations, en même temps que leurs nombrestrigonornétriques .

fl n'y a pas de règle générale à suivre, sauf dans Ie cas particulierde deux équations à deux inconnues, lorsque I'une des équations estde la forme æ * A:4, et I'autre équatioû, symétrique en t et y.On calcule dans ce ca s fr T y, comme il a été fait dans les exemplesprécédents. Dans les résolutions de triangles, ce 2u cas se présentefréquemment.

S g. - ÉeuATtoNs ct Rcu LAt REs.

L76. I!éfinitions. - On appelle équation circulaire, une relationentre des arcs dont certains nombres trigonométriques sont desfonctions d'une ou plusieurs inconnues, et qui ne devient uneidentité que pour certaines valeurs de ces inconnues, valeursappelées solutions.

On appelle fonction c'ir"culaire inaerse, une fonction de la forme

U: àrcJL(aæ + b)en langage ordinaire : y est un arc dont Ie 9I, (sin, cos , tg, etc.)est (aæ + b).

Dans les équations circulaires on ne considère que la aaleurpri,ncipale de la fonction, c'est-à-dire le plus peti,t arc positi,fdont le fL est (an + b).

l'17. RôgIe générale. lo On prend, les a,rcs colntneinconnues auniliaires et on écrit les équations entre ces a,rcs.

2" On écrit les équations a,urciliait"es, trigonométriques, entreles lùgnes des arcs et les ,i,nconn?,0es.

3" On élimine les a,res enh"e les équations obtenues ; on obtientai'nsi, les équations algébt"iques entre les inconnues ; ort résoutpat' les procédés connus.

40 On élim'i,ne les solutions étrangères. ,

Un exemple fera mieux comprendre cette règle.

Eremple. Soit l'équation

arc sinr f arc sinæ \6 : g0o. (1)X - arc sinr

Y - arc sinæ V5.

Posons



122

D'où les équations

ÉUminons X et Y.

(4) et (5) donnent

Pour fit: +:'2

Donc ffit: + I'2Pour fiz: -*,

donc

æ, est à rejeter.

couRs DE Tnlcot{ouÉrntn.

X+Y:90ofr - sinXnV3: sinY

(2) et (3) donnentfi - cosY.

ûz +Bnz - t d'où

[:30o, Y - 60o;

(2)

(s)(4)

(5)

4n2:I et fr- *d'où X+Y-90o.

I2

convient.

X-2I0o et Y-240o;

x+Y+90o

EXERCICES.

l. Résouclre les équations

sinæ-sin2n1.sin3artgntgZn-cotgn-Z

siner f sin?m * sinBer - 1 * cos æ * cosZn

sinæ * tgæ,- (5 + }Vfl $gn - sinæ)

in (æ + S9 cos (r - 8") : - sin2lc cos 37'atgæ+bcotgco-,c2 sinzæ f sinz Zfi : 2

sin 4r+

4 sin 3r cosrr

-0

sêcn : sinnr + 2, cosrt(cotgæ - tgn) (l - si11 2æ) : cosZn

I-tgn:2cosZn(l+tgæ)cos n * sinr = (co sfi - sinr) tg60c

2 cos (70o + n) - sin 10' coséc (30" + n)sinsæ

;j,;î îu:: i': : cos*æ

os3r * sin gsp -1fosinæ +?cosfi-sêcn



nÉsor,urroN DES ÉeuerroNs

te@ + n) ts@ - n)

TRIGoNoUÉrnIeuES.

l-2cosZa:- I + 2cosZa

r23

sinr : sin7nsinTn - sin fr - sinSæ

cos ]s6 : sinbel

cos Bfi - =Z}qn=I + tgrn

r r\-*--l -:-+ r): r82cc srnæ

+ î): cos (;-+i)12coszç-5sinrcotg æ -tgn: sinrr f cosæ

At,A

-+-- -blnff costr

sin6r*cosGfi:sin?n *- cos 2n : lZ . sinrt

sinr*cosfr.-tgfrsina f sin (a + n) + sin (a +Zn) - 0cos a {tscos (a + n) * cos (a + Zæ) - 0

89524,67 cosn + 24508,25 sin fi - SgZSb

Stgn+Scotgn:14sina-sinzæ {- sin fr cosæ * cos a caszfi

-Q

a sinzn { b sinrr cos n * c cos fi - d.2. Résoudre-et discuter, suivant les valeurs de m,les équations

suivantes :ts|!n*a),-rntg(u a) "v

sin',ntgæ+?cosfr-?Tt,sin 3æ - rn sinæ

tg'æ * cosz fi : rfù

cos fr - mtgnm coszn * (2m, - rlù + l) sin n -3m + f :0sinæ*cosæ* sinZæ -rn

sinæ sinSæ - rn

23

I

,

sinarfcos4fr-

f sinæ I - sinæ



124 couRs DE TRIGoNotuÉrnm.

cos 3fi : n'ù cos3fi.

ln cosu 4- (m - tlit" ffi : L

siner 1'msin(æ-ï)+2:o\+/cos (n +î) + m stn(" -â) * ,n -I : o

\ !-,// \lJ/

(m -l) cosz m * Zmsinrn cosn + (m- 3) slnzm * m + I : o

(m *, ";Y,*yî,; !; îî, î Y i::i: ; 7n - $',

nz sinzn * (m -2) sin n-#

5: 0

Z sinzæ - ç3m * l) sin n * 4m - 2: 0

(m -2) sina n - 2 (m- 3) sinzæ { m -5 - 0

(m' ryù Z)cos?r -2 (m * 1) cos n * 1 - 0

tg'æ-(m-l)tgnr.'m-2:o(m -Z) sêczn * 2 (m - l) sécar * m: 0

(m - 2) s,écan - 2 (m - l)séczn * m: 0

(3m+l)sinar -2(m* I)sinzer {m-Z-0

tgrn-rnty@+a,)fy@-a)sinrf cos u*tgæ*cotg n*sëcnf cosêcæ:I {a+2"3. Résoudre les sYstèmes suivants :

n * 9/ : a avec chacune des équations

s1n2æ-sinzz:bsinr*cosA:b

sinæ sinY - b

sinel*sinA: sinr sinY

sinæ sinY - rYù coszeisinæffi-Y - rn

Cosrt COSA:b'

4. Résoudre les sYstèmes suivants :

sin (r + Y) - a,, sinr sinY : b;

sinf - yt sin?, tgæ - n tgy;siner * sin a : a' sinæ sinY : b;

sinæ siny - sin (æ lr /) ;e:T:Try:ry:W-?/);



nÉSor,uTIoN DES ÉQuatIoNS TRIcONouÉrnIQUES. r25

sinar - ffi casy, tg'n - rn tgY ;tgu f cotgA: a, fSY f cotgæ: b;

tgn +tgy: a, tga + tg z : b, cotgz -cotgæ - c;Iog tgæ {, log tgY =- 0 2 tgn - 3 sêcY ;

Dans ce dernier systèm o, fr et a sont compris entre 0 et or'

b. Étimin er û et y entre les équations

rnsin æ *ncosû: &t lncosfr- lt sinæ -b;siner * cos fr : &, tg (n + 50") : b;

Asinzæ + bcoszn - In, b sinzy * acoszy - n, atgæ : btgY;sino f cosU : ctr, siny * cos û: b, tg(n + Y): Q'

6. Résoudrearc tgæ * arc tg\æ: 100"-

arc sin?æ f arc sinæ : 60o.

7. Énminer û entre les équations

asinû_bcosn:Lcstn}rc

acos

n *Ô sin æ

-c cos?û.

g. Trouver les arcs fi compris entre 0 et 400" qui vérifient les

inégalités suivantes :

2sinzn - 1l sin û +5 < 0

2sinzn-bcosn* I > 0

4cosn*1 <t

VI-sinstlcosr

cosff -,, 1-costrW\ 1-2*r,sinr+3cosû-2<0.

9. De I'équation

déduire

2cosfi-y+

2cosTnfi-y*+

1_

aI

ynt'

10. Yérifler I'identité

arc 1s -s @Y - arc 1nfi - sina - Itæ { a-"ô1-ûsina *^-'o cos@

I l. Résoudre

-gzrc sinntn f arc sinnæ : ouTC, sin 2



LIVRE IIIYARIATIONS DES T'ONCTIONS

TBrcoiromÉrnreuEs

CHAPITRE PREMIER

Maximum et minimum.

178. Théorème f. La sornrne des sinus de deun a,rcsr.compris entre 0 et æ et dont la so?nnle est canstante, estmaximum lorsque ces a,l"cs sont égaun, si cette égalité estgtossi,ble.

Soient d.eux arcs fi et A compris entre 0 et n, et tels quen*a:û.sinæ f sin y < 2, donc le maximum existe.

sinæ f sin a -2 sin ry cos T - z sinfrcos ryLe maximum de sinæ * siny a lieu en même temps que le

maximum ' æ -I c'est-à-dire lo'sque cos ry - Ie cos2

d'où *:a -zkn.m et y étant compris entre 0 et æ, la seule valeur admissible pour

k est 0; d'où $ - A.Si cette égalité n'est pas possible, le maximum a lieu en même

temps que le minimum de læ - yl.torollaire f. La sornrne des sinus d,'tut nonobre quelconque

d'arcs, cornl)r'is entre 0 et 7r et d.,ottt la sol?xylùe est constante,est maximum lorsque ces a,rcs sont égauæ, si cette égalité est

possi,ble.Soient n arcs dont la somme æ * y + z * ... - e,.

sinæ f siny + sinz +...donc cette somme a une limite.



MÀXIMTIM ET MINTMUM. I27

RemplaçonsnetyparryetlaissonSZ,t,...conStantS.

'Lasomme ry +ry * z+... reste égale à e,.

sinæ * sin y +sin.s + ... Ë 2 sin rycos ry*- sin z + ...

Siæfa,coSry.l,etlaSomInedessinusestinférieureà

2sinry*sinz+...Donc, aussi longtemps q,.'il y a dans la somme {tr + A* : * ...

deux arcs différents, il y a moyen d'augmenter la somme des sinusen remplaçant chacun des deux arcs inégaux par leur demi-somme.

Lorsque tous les arcs sont égaux, lâ somme des sinus est

maximum et vaut n sin ?. no effet, Ie maximum existe ; il n'est pasn

atteint aussi longtemps qu'il y a des arcs inégaux, et il n'y a qu'un

seul système d'arcs égaux puisque leur somme vaut a.Corollaire II. - La sovnrne des cosinus d'u,n nombre quelconque

d'a,rcs, cornpris entre 0 et i et d,ont la sornrne est constante,

est maximum lorsque ces oriæ sont égauæ, si cette égalité estpossible.

;-n *;-v + "' lYLæ: _-=-

q,;.)

*irruJ u lieu lorsque les arcsonc le maximum de la somme dessont égaux, c'est-à-dire lorsque

æ4-av 'JL av

ô-s)- tt-l-^.-etrC.É,242

l7g. Théorème II. Le prçduit d,es s'inus de deun a,rcs,conopris entre 0 et æ, et dont la solzùrha est constante, estmaximum lot"sque ces a,rcs sont égauæ, si cette égali,té est

Tlossible. i

Soient n arcs dont la somme fi -l y * z *... - (t.

cos æ *cos y +cos z ... E -t'(; --) f sin (;-r) + ...

êæv av

|- n, f-a, etc., sont compris entre 0 et T,; leur somme est

constante :

aOU $:A:2r-...:-. n



128 couns DE TRrcoNoMÉrnrn.

Soient deux arcs fr et g/, compris entre0 et n et soumis à lanelation æ*U:&.

sinæ siny ( I, donc ce produit a un maximum.

sinæ siny:Lfcos (æ - ù -cos (æ + a)):] [ror (n-y)-cos aJ.

Le maximum a lieu en même temps que Ie maximum de cos (æ -y'est-à-dire lorsque cos (æ - U) : + I.D'où û - U :2kæ. Si l'égalité entr e æ et A est possible, puisque

ces arcs sont tous deux compris entre 0 et æ, la seule valeur admis*

sible pour & est 0.D'où y.de sin r sin y sin.a ..., lorsque

?, sa cette-Y:Z:.?.:n

Corollaire I. É Le maximum

x * y * 2... - à, a, lieu I)oL,cîég ali,té est possible .

sinr siny,sin z ..

Laissant 3, t, etc. constants, remplaçons chacun des arcs # et yn*upar

ï.La somme totale reste égale à a.

f.,. pioduit des sinus devient :

. ^û*u lF-sin2rysingsinl...Ei|t_coS(æ*ù7sin:sinl...z zLJ â)

or sinr siny sina ... Eà [.o. (a - y) -cos (æ +y)] sin z ...

^.\i n <y, cos (æ - y)

Donc sin r siny sin.a ,.. 'sz

L'r

C'est-à.dire eue, aussi longtemps qu'il y a des arcs difiérents, orpeut augmenter Ie produit des sinus en remplaçant deux des arcspar leur demi-somme.

Le maximum aura donc lieu pour æ - U : z ... =-g.n

Corollaire II. Le maximum du produi,t des casinus d'u,n,

nombre quelconque d,'a,,rcs, co?npris entre 0 et i et d,ont tasornrîùe est constante, a lieu lorsque ces a,rcs roît égaun, sicette égalité est possi,ble.

180. Théorème III. - La slrnlne des tangentes de deuæ arescompr'is entre 0 et T, et d,ont l,a sornrne est constante, est

minimum lorsque ces a,rcs sont égauæ, si cette égu,ti,té estpossible.



:

TIAXIMUM ET MINIMUM. t29

Soitæ*U:&.tgæ + tgy y a" un minimum.

sin (æ -F y) _ sin acos n cosy cosrr cosy

gæ * tBU :Le minimum de tgr + tgy a lieu en même temps que le maximum

'de cos fi cosy, c'est-à-dire pour fr - y (Thêor. rI, coroll . rr).Corollaire f. - La sornrne des tangentes d,'un nombre quel-

conque d,'arcs, coî??,pris entre 0 et * et d,ont la solnrùe est?,

constante,.est minimum lorsque ces &rcs sont égazcæ, si cette,égalité est possible.

Soit æ*y+.sJ-...:d,.tgtn + tgy * tga ...Laissons z, t, etc, constants; donc û + A est constant.c.t:sin;u, Igu+tgvDonc, aussi longtemps qu'il y a des arcs difiérènts, le minimum

'o'est pas atteint; et comme il n'y a qu'un seul système de valeurs",égales, lê minimum a lieu pour fi - y: i -.!. - q.

nCorollaire II. - La sornftce des cotangentes d,'u,n notnbre

quelconque d'arcs, cornprùs entre 0 etiet d,ont ta soy/ù//ùe est"constante, est minimum lot"sqzce les arcs sont égaur, si cetteégali,té est Ttossible.

l8l. Théorème IV. Le produzt des tangentes d,e cleun a,rcs

Ttositifs, dont la sotn?vle est constante et modnd,r n''e que

j,est

maximum lorsque ces a,l"cs sont égaur, si cette égatité esf,gtossible.

Soit n*y-atgæ tgy

tg (n

Donc tgæ tg'y : I-

+gn * rg?/-f- ?/-\

-

vt

' r' L-tgntgytgn + tgygn*tgy _r _tgtltgpt.

w:r_@_. tgetga

Couns on TnrcoNouÉrnrn.

ar

-a,



130 couRs DE TRIGoNoMETRIE.

Donc le maximum de tgn tgy a" Iieu en même temps que leminimum de tgn * tgy, c'est-à-dire pour fr - A.

Corollaire f. Le produit des tangentes d'un nombre quel-conque d'arcs positi,fs, dont Ia somvne est constante et moindt"e

queT, est maximum lorsque les a,rcs sont égaur, si cette égatité

est fossible.

Soit n*A+z*t+...-- a,

tgæ tgA tgi ...Laissant z, t .'.. constants, on peut appliquer le théorème IV aux

arcs n et y, puisque n * Af-,

Donc,si ffi? A tgmtgy "D2

Àussi longtemps qu'il y a des arcs différents, le maximum n'estdonc pas atteint, €t puisqu'il n'y a qu'un seul système de valeurs

égales, lemaximum alieupour ffi-A:z-.1. -4.nCorollaire II. Le produôt des cotangentes d'un nombre

quelconque d'arcs ltositifs, dont la solnrne est constante ef

tnoi,nd,re que;, est minimum lorsque les arcs sont égauæ, sicette ég alité est poss'ible .

Soit mly+z+...

cotg æ cotgy cotgz... -' - I-Xgfi T.,gy tg â...

Le minimum de cotgn cotgy cotgz ... a lieu en même temps quele maximum de tgn tgy tgz ..., c'est-à-dire lorsque

j':!/-;

182. Problème f. Déterminer la plus petite aaleur positi,oede x qui rende a sinx * b cosx maæim?tryù (a et b

U : a sin n *D cos n - a (sin r * ! ror*1.

Posons 2: tg?.

a : a (sinæ + #" cosr) : a' sin (r :f ?).' cos? ' cos(|



MAXIMUM ET MINIMUM. 13I

Le maximum de y a lieu en même temps que le maximum desin (ar f ?), c'est-à-dire pour fi + ?- 2hæ +it

d'où ffi-Zkn r JV

-1- z- ?'

tg?

183. Problème II. Détermzner la plus peti,te aaleut" ltositùaede x qtti, rende Y : a tgx {- b cotgx minimuvn (a et b

Le produit atgn x b cotgm - a,b.

Le minimum a donc lieu pour a, tgfi - b cotgn _ \,1 ab.

Ï,gtr -\Ælhro: arc tg V i et Un,

t84. Problème III. Détermdner le maximum de l'eæpressùon

U : sin'nffi cosnffi.

Nous saYons que sinzr f eoszffi : 1.

Posons

d'où

et

X-sinzr et Y-cosznx+Y:1

lnn;

!/ : Xz Y2.

En vertu d'un théorème d'Algèbre, A es[ maximum pour

X Y \ r. sinzr coszrçrtu+n??, n

sinz.iu :

t77, I

coszfi :tn*n rn+nd,ot\ max ?t - (-?-.1i x ( ry, \î ' I

'nmnn---ù' \m +n/ \nx+n)":VW

185. Problème général. Déterrni,ner les manimutns et mi,ni-m,urns d,'?trne fonction càrcula,ire.

Il n'y a pas de règle fixe pour résoudre ce problème; il pourra se

faire que les maximums et minimums s'obtiennent en utilisantsimplement des théorèmes d'Algèbre, comme dans les Problèmes IIet III ci-dessus ; il pourra aussi se faire que I'on ait I'occa siond'appliquer les quatre théorèmes démontrés précédemment.

Si I'on n'aperçoit aucun moyen d'arriver au résultat de cettemanière, on pourra appliquer le procêdé général suivant.



t32 COURS DE TRIGONOMETRIE.

Soit ! - F (n) I'expression dont on désire le maximum ; etsoit fio la plus petite valeur positive de n qui rende y mafimum.On aura F (ro)

h étant un nombre positif sufLsamment petit et qui a" pour limite 0.De ces relations ou cléduit :

F (no + h) - F (nùF(no-h)-F(nù

Par des transformations trigonométriques, oo peut obtenir

d'où

On pcut transformer ? (no, h) de manière à pouvoir diviser tousles termes par une fonction circulaire de h,, qui ait pour limite 0lorsque h * 0. Le quotient * (nr, h) a une limite f (æù lorsqueh*0; d'où f(nù

La relation (2) traitée de la même manière fournit Lrne relation

f (rùDe (3) et (4) on déduit f (rù : 0.

L'équation (5) donne les valeurs de rno qui rendent F (r) maximum.On opère de même pour le minimum,,êt I'on constate que l'équa-

tion (5) donne également les valeurs de fr pour lesquelles F (r) estminimum. Il faut ensuite, par l'étude de la fonction, distinguer lesmaximums et minimllms. '

Un exemple fera mieux comprendre ce procédé.

{86. Problème IV. - Déterminer le manim?/,n?, de l'enpress'i,on

FËïi; :;ffi?O

olr sin (r + h) [cos (n + lt) - cos A]

- Sintr cos æ * sinr cosADéveloppons :

(sinm coslr, + cosr sinh) (costr cosh - sinr sinfr, - cosA)

- sin,r cos r * sinr cosAsinn cosr coszh + coszr sinâ cosh - siner sinla cosh

- siaff cosr sinzh - sinr cosh cosA - cosr sinh cosA

- sin fi cosr * sinr cosAF'inalement :

- sin 2n sinzh + 2 sinr cosA sinz * * cos 2n sînh coshz

cos.zr sin h cos A

(4)

(5)

I'l

1

I

{

l

{



MAXI1V1UM ET MINIMUM.

Divisons tous les termes par sinb

- sinZæ sin h +sinr cosÀ tg !+cos 2n cosh-cos n eosA < 0.

D'où pour h : 0, cos!,o - cosr cosA

Si on change h en - h, la relation (2) devient :

- sin?r sinzh + d sinæ cos L sin'!

- cos2æ sinh cosh + cosn sin/r, cosA

Divisant par sinh

- sin 2n sinh + sinr cosA tg * - cos 2n cosh + cosælcosA < 0.

Etpour h:0 ontrouve

De (4)et (6) .";;:i;'* cosr cosa

cos4n - cosfr cosA:0 (7)

ou 2coslæ-cosrcosA-l:Q. (8)

Le produit rJes racines vaut],

Oon. elles sont réelles et de

signes contraires. h'

I{ous pouvons donc Poser (lf6)lt

cosnr: + V;.cotg'9 (9)

tîcosnz: - Và.tS? (10)

La somme des racines est

Ir

cosnr + cosrrz : V; (cotgcp - tgf)d'ot\ cotgz''g - :9tê .zIz

Les relations (ll), (9) et (10) permettent de

?, cosffr et cOsfiy

187. Discussion. - Les racines sont réelles ; pour qu'elles convien-nent il faut et iI suffit qu'elles soient comprises entre - I et + l.f (- L): r + cosa

f(+l):l-cosAr;l-tet+lsontextérieursauxracines'ScosA.,ll;: i qui est compris entre - i rL + i.

133

(3)

(4)

I: Z 0OSA;

(r t)

calculer




Donc, cosrtr et cosrtz sont compris entre

-l et + l.

frr et n, sont compris entre 0 et æ.

il s'agit maintenant de déterminer pour quelle valeur de æ il y amaximum et minimum.

A cet effet nous allons étudier la variation de la fonction, ot nousreprésenterons la courbe y : sinr (cos û - cosA) dans un systèmed'axes rectangulairæ frA (flg. 28).

' Lafonction est périodi;;.; la période est Zn.y s'annule pour fr -. krc et pour t - 2kæ * A.Deplus, F(tr* h):-F(n-lt).

ffiDonc it suffira de faire varier fi de 0 à æ.

Nous pouvons supposer 0Bxaminons la position de A par rapport à" æ, et fir.

/(A) - 2 coszA - coszA - I : - sinzA

Donc cosfizLorsque æ croît de 0 à A, sineiLorsqu e fr croît de A à *, sin æ

La fonctioo passe par un maximum entre 0 et A, c'est-à-dire pour* : ûr, et par un minimum entre A et æ, c'est-à-dire pour fi : tz.

Lorsque æ varie de 7r à 2æ, la courbe est symétrique de lal"e branche, par rapport au point s : rc.

Donc la fonction passe par un maximum pour æ : 2æ - û2,

et par un minimum pour, fi - 2æ - fi1.188. Problème V. Étudier la aa,t"'icr,ti,on d,e ta fanction

3 + 5 sin û - 2 sinzæ.

Posons a: F(æ) - 3 + 5 siner -2 sin2rt.



MAXIMUM ET MINIMUM. 135

y est une fonction périodique de n; la période est 2n;de

plus

,(:+fr,): F(:-b)\z/\z),(+:b):r(+-h).\z / \z )

Donc, si nous représentons la courbe y: 3 + 5 sinr - 2 sinzæ,dans un système d'axes rectangulaires ûA (fig. 2g), nous voyons.'qu'elle est symétrique par rapport aux droites

n-(2k+l);.

I1 suffira par conséquenr d* f;;*îuri. r æ de

Cherchons les valeurs de û qui rendent yrrésoudre l'êquation

revient à

2sinzn-5sinn-3-0sinæ, -

5+V+g-3

5 - V4e

æ,.3æ2e v'nul ; cela

7æ ,G6 :-f6

sinfr, -nrrJ I

rv.l.^/ 2

,rllrLl 2

42est imaginaire.

2kæ-Ttt

2kæfæ+T.6Entre

Pour ar

3n2

v-

.P.L

2e7Ê,

2

il n'y a qu'une solution i fiz

6;pours)-T,U --4.




Recherche des manitnu,lns et minimirnts.A toute valeur de fi correspond une valeur pour A; on ne peut.

donc attribuer arbitrairement à y que les valeurs qùi peuvent être"obtenues par des valeurs réelles de fi, c'est-à-dire telles, Qûo si I'onrésout par rapport à æ, on trouve des solutions réelles.

Pour que r soit ré,el, il faut qlil y ait au moins une des racines.de I'équation

2 sinzr - 5 sinr - 3 + A :0comprise entre

-I et + l.

F(-1):2+5-3+V:4+Ar(+t) -2-5- 3+ U: -6 +y.

S524

SDeï

zgrande que + l, et que la plus petite doii donc être seule comprise"entre

-I et + l, c'est-à-dire que + I doit être compris cntre les

racines, et : I extérieur aux racines.D'où f (+l): y-6

et 'T'(- t)

Ces valeurs sont obtenues, la première, pour û - Ç; la seconde-

3æpotn' fr - T-On complète le tracé de la courbe en remarquant que pour

ly - b* !/: + 3Conclusions.

Lorsque fr croît de 0 à i,, y croîtde+3à+6,maximum."

æ,.7æ; à6t ! décroîtde*6à0.

iæ. 3æ

Ë à ï, y décroît de 0 à - 4, minimum.

3æ . llæïàL-f,Ucroitde-4à0.llæ \ a 4, r

î à2æ, A croit de 0 à + 3.



MAXIMUM ET MINIMUM. t37

EXERCICES.

l. Déterminer les maximums et minimums des expressionssuivantes :

sinr (l - sinæ),(5 - sinr) (2 + siner), tgm * 3 cot+ sintr

cosæ*coS2fi,psinu+qcosffi,tgatgn*cotgacotg"(*<

cos 2n * tgr tg 2n, sin r coszr (I + sinar) , tT ?* .tg'æ

2. Déterminer le maximum de sinr { siny, sachant quecostr | cosy est constant et que n et y sont compris entre 0 et I-

23. Étudier les variations des fonctions :

(t + sinr)zlI- sinar (I - sinæ)

y:sécæ+tgn/'- A: sinrf cosr

U: fi

-sinr

sinrtt:vû

u : *'ll*5 ?' 'o" + '' 'a, sin n + b, cosfr * cz

Cas particulier i at: I , a2.:2, bt - 2, bz: l, ct: I, cz:3.N. B. Les exercices suivants ne peuvent être traités qu'après

l'étude des triangles rectilignes.4. Dans un triangle on donne a et b * c; déterminer le maximum

de I'angle que forment la médianc et la bissectrice issues de A.5. Trouver parmi les rectangles ayant les mêmes diagonales :

lo celui de plus grand périmètre ;

20 celui de plus grande surface.

6. Parmi les quadrilatères ayant mêmes diagonales, quel est celuide plus grande surface ?

7. Étant donnés deux cercles qui se coupent aux points A et B,mener par B une sécante DBC, de manière: lo que DC soit maximum;Y que DB x BC soit maximur, et 30 que le triangle ACD ait une

aire maximum.8. Trouver le triangle de plus grande surface parmi tous les

triargles qui ont: Io même périmètre et un angle commun ; 2o mêmepérimètre; 3o même base et même angle au sommet.

gfi

ù



t38 couRs DFI TRIGoT{ouÉrnm.

9. Étantdonné

un trianglerectangle, déterminer entre quelles

limites varient : L.ry ; 2o S et Zq,si a, + h est constante ; 3o b * ca

si I'hypoténuse est donnée.

I0. Dans uû cercle donné, inscrire le triangle dont le périmètreou la surface soit maximum.

I l. A un cercle donné circonscrire le triangle dont le périmètreou la surface soit minirnum.

L2. Déterminer le maximum et le minimum de I'angle du sommet

d'un triangle dont on connaît la base a et 10 la somme des deuxautres côtés ; 2" la difiérence de ces côtés ; 3o la médiane AD.

13. Étant donné un angle dièdre dont I'arête est tangente à unesphère, déterminer la position de cet angle pour laquelle la sommedes zones interceptées est minimum.

L4. Étant donné un triangle ABC, mener 10 la droite minimumqui le divise en deux parties équivalentes ; 2o une droite AD telle,qLle le rectangle des perpendiculaires abaissées des points B et C

sur cette droite soit maximum.15. Trouver le minimum du rapport du rayon du cercle circonscrit

au rayon du cercle inscrit à un même triangle.

16, Trouver le quadrilatère maximum que I'on peut former avecquatre côtés donnés.

L7. On donne les bases d'un trapèze isocèle, déterminer le mini-mum du rayon du cercle circonscrit.

18. L'arête latérale d'un pyramide régulière est donnée, déter-

lniner pour quelle valeur de I'angle au sommet des triangleslatéraux le volume est maximLlm.

19. Dans un secteur circulaire, inscrire le rectangle de plusgrande surface.

CHAPITRA IILirnites ou vFaies valeurs.

189. Étant donnée une fonction d'une, variable indépendantey - F(r) on peut en général, en appliquant les théorèmes particuliersde la Théorie des limites, écrire la relation

timF(r)* +6: F(a).



LIMITES OU VRÀIES VALEURS. r39

Mais I'application de ces théorèmes particuliers est soumiseàquelques restrictions. On ne peut pas écrire la relation qui précède,

lorsque F (a) se présente sous I'un des symboles non définis :

0ooO' ;ô, oo - oo, 0 X oo, et0.

Dans ce cas la limite vers laquelle tend F (n), lorsq ue fr a pourlimite a, doit être déierminée par d.'autres procédés. On lui donneparfois le nom de ura'ie u&leur", mais cette expression n'est pasheureuse et doit être évitée ; elle est d'ailleurs sans signilication.

La limite en question s'appelle la aaleut" n?,crnérique de F (æ)pOUf æ - A.

il est difficile dans un cours élémentaire de donner une règlegénérale pour la détermination des limites.

Parfois il suffit de transformer I'expression de la fonction en uneautre équivalente à laquelle la relation précitée est applicable.

La limite de cebte nottvelle fonction sera la limite de la fonctionproposée en vertu du principe :

Lorsque deuæ fonctions d'une même uariabte i,nd,éltend,ante

x prennent des oaleut^s égales quelle q.ue soit ta aatèur ath",i,-buëe ù x, si' l'ttne tend, oers une timzte lorsque x tend, Ders a,l'autre tend également aers une timite égate ù ta pre//?,,ùère.

Dans cette recherche on fera utilement usage du théorème (llg),€n vertu duquel

rim @\\ t ./*-*oelques exemples.

ssionpOUf fi *4.

Si I'on fait û : A on trouve A :

lim

190. Nous allExemple

f. -

Or I

/sinæ\ rl-f-L\ fr /æ+oons développer qu

Limite de I'expreI - costr,t

- xgfi

00'

cosrt - - sin2æ

I f cosæosmrt cosfr

et tgn : sln ffcosfr

lim A**o : 0.'où

Exemple If.

Y - ï +- cos# et

v

Limite de I'expressionsin (a + ffi) - sina: pour fi*A.



r40

Si on

Or

d'où

d'où

COURS DE

.n(

2sinScos[o+

TRIGoNoUÉrnrn.

ar\ ffi

, ) smtÉ,, )/ Lta: +nfi,)

x ,o* (o

lim U**o :

Exemple II[.

a:

/,lim f

\- Limit

/',*

rs(;-

q\? ) x limcos

) *_,0

ùe I'expression

\ /,*- \)tg(i + *);8,ffi

*'l?

fr2/

te de

-ffiJ--Gï

(.+t

la

ù

- cos 4.

fi+0

æavpour ffi-> -.----- 4

t9 se présentait n - ;, A se présente sous forme 0 x oo,

IU:@ et IimU: l'

Exemple IV. Limite de I'expressionI

p et q. satisfaisant aux relations

P_=# et l-ecosa-o'POur t,r-d.) à:.ooX0.

or E-4sin(g-a)-I - I

costo

p sin(o - a)_ _U X

. (-r)

Z srn Z cosTpe

(cos coso)e . CI

*a. t)-æ

z srn 2 stn -7-

Q:

limà

(')-d-cos--pz,e' . tùJFr--

SID: .)'h)

pl=: -.T-.ù)->c e SlIl a

l9l. Dléthode générale. Lorsque I'on n'aperçoit pas les

transformations à opérer sur la fonction F (r) dont on cherche lalimite pour lim ffi - a.,, on remplace fi par a * h. La limite cherchéeest fournie par la relation

lim F'(o)'-, a: lim F(a * h)o*o



Exemple V. -pour limfr - l.Posons

A: (l -n)tg

LIII{ITES OU VRATES VALEURS.

Détermi,ner la limite de (l -

141

a V.A./, :i

I(li

g:1-h.

htsitr -h): nte(i

\,æffi

n)tg z

rsfr,\I2)

-tr,cotg{- --+gT

æhTngo

,-/,U: Xtr

,v

limz.t n->Olim

EXERCICES.

l. Déterminer les limitcs des expressions suivantes, pour limr - 0

I - cosrt sinrnn sinmm sin mn I - cOStr t - cOStr

@@w@wffi1 - cosrt r sinr tgn I 1

,\././\

,9

/:*h\( z \ zIT

t æhl r\tg v / o*o

frz l-cos{r }-cosrt ffi tgfi2. Déterminer les limites des expressions suivantes, pour lim tr - Q,

sinr-sina sinr-sina sinSa-sin2n sinzæ-sinza

û 4 \gfi -tg& cosa - cosrt @3. Déterminer les limites des expressions suivantes,pour lim fi -

t - sinæ sécfi-tgn I + tgn (1 - sin n)'

tv

,

cos rt I - Igffi cos ,t

4. Déterminer les limites des expressions suivantes, pourlim fr -t - tgn cos 2n cos 2n

wffi5. Déterminer les limites des expressions

cos(r * lr,) - coser tg(n * h) - Ign

cos n - cosisuivantes, pour lim h:0

coigJr * h) - cotg nh



142 couRs DE TRTGoNoMÉrnrn.

6. Déterrniner la limite de I'expression.ffistnt + cosrt

pour limfi:æ.

7. Déterminer la limite du produit

cos a, cos|- ,orfi... torftpour n croissant sans limite.

8. Déterminer les limitesdes

sommes

1.,^^& , I ,-a , , I , a,tsa +;ts; + btsb + ... + btsLy

coséca* coséc f-+ cosécfi+... + cosêcL2n

sin'a + g sin' * + Bz sins$ + ... + g" sin'ftô

pour n croissant sans limite.



DBUXIÈME PARTIB

TRIANGLES RECTANGLES

CHAPITRE PREMIDR

l'niangles nectangles,

s t. FoRMULES DES TRIANGLES RECTANGLES.

1,92. Notations. Nous représentons les mesures des angles engrades par A, B et C (A:100"); les mesures des côtés opposés,l'étalon êtant quelconque, par &, b et c ; a est donc la mesure deI'hypoténuse.

193. Théorème f. Dans tout triangle rectangle la soTyùrnedes angles B et C aaut 1æ grades.

On admettra ce théorème pour le moment.

On en trouvera la démonstration aux nos 205 et 206.

On a donc B+C:100".194. Théorème II. Dans tout tràangle rectangle u,n côté

quelconque de l'angle droi,t est ëgal aoc produàt de I'hypoténusepar le cositzus de l'angle adjacent ou paî le sinus de l'angleopposé.

En eftet, m est la projection orthogonale de BC sur A (flg. 30).

F rc. 30.

Par raison de symé[rieb-

Donc

BA : pr, BC : nC cosffou

Q --= - A, cos (200" - B)

c-AcosB. (2)

D'après le théorème f,

B + 0 - 100" donc cosB sinOd'où c-asinC. (3)

(r)

(4) et (5)cosO:rlsinB.



L44 couRs DE TRIGoNoMÉrnrn.

195. Théorème II[. Davts tout triangle rectangle u,n côtéguelconque de l'angle droit est égal a,u ltrodui,t de l'autrecôté pa?" la tangente de I'angle opltosé, ou par la cotangentede l'angle adjacent.

Desformules b:asinB et c-acosBon déduit b: c tgB ou c - ô cotgB. (6)

D'autre part tgB : cotgC;

donc b-ecotg0 ou c-btgC. (7)

f96. Théorème IV. Dans tout tri,angle rectangle le caméde I'hypoténuse est égal ù la slrlrorne des cat"rés des deuæautres côtés.

Desformules b:asinB et c-acosBon déduit bz + cz - az (sinzB f coszB)

lg7. Théorème V. S, a, b, c, B et C

positifs, solution du système d'équations

( B*C:100"I{ b:asinBI( c - a, cosB,

ces nomby'es sont les éléments d'ttn trdangle rectangle.

Bn efiet, sur les deux côtés d'un angle A - 100', portons b et cet joignons BfOr. Soient &', Bt et Ct les trois autres éléments dece triangle.

On aura a.tz : bz + c2.

, Or sz - bz * c, en vertu du système (2) (3)

donc atz - gz et puisque a et at sont

Deplus c-4rcosBt:acosBlet c-acosB; \

donc cosBr : cosB; et puisque B et B' sont conpris entre 0 et 100",Br: B.

Enfln, Br+Cf :100" ou B+Ct:100";or B + C - l00o;

donc Cr - C

et, par suite, a,b,c,B et C sont les élémenfs cl'un triangle bectangle.

: &2. (8)

sont cinq nombT€S

(r)(2j

(3)



TRIANGLES RECTANGLES. r45

198. Conelrrsion. Entre les cinq éléments variables d'un

triangle rectangle existent les trois formules suivantes, indépen-dantes I'une de I'autre

B+C-100"b: a sinBc - a cosB.

Toute autre formule peut se déduire de ce groupe; en effet, s'ilexistait entre les cinq éléments quatre relations indépendantes I'unede I'autre, il serait possible d'en calculer quatre en fonction du

cinquième, et tous les 616psnts d'un triangle rectangle seraientdéterminés lorsque I'on connaît I'un d'eux ; ce qui est faux.

199. Alre dtun triangle reelangle.Les diftrentes évaluations de I'aire en fonction de deux éléments

sont :

a2 sin?B : olffi

s 2. RESOLUTTON DES TRTANGLES RECTANGLES.

s :àbc _f,0, cotgB:1 1

,)

200. A I'aide du groupe des trois formules

( B*c:roo"{ b: a sinBI( c - a cosB

on peut calculer trois étéments lorsque l'on connaît les deux autres,sauf lorsque les deux éléments donnés sont B et C ; dans ce derniercas, ou bien l'équation B * C : 100" est une identité, et alors le

système se réduit à deux équations à trois inconnues, ou bieu cetteéquation n'est pas vérifiée par les données, et alors le système estincompatible.

il reste donc quatre cas à examiner :

On donne un côté

20r,. | 9" cag. -l'hypoténuse et un

Couns op TnrcoxouÉrRrr.

On donne deux côtés

et un angle

aetbbetcaetBb etB

Résoudre un tràanglecôté de l'angle droi,t.

&, b, (8, C, c).

calculer B, C et c,rrr,

:rrî:::)' C, o, et c.

r ectang le conn a,iss ant



L46 couRs DE TRTGoNoMÉrnrn.

Les inconnues sont calculées par les formules

sinB -- Q0,

C:100"-Bc-acosB ou çz:(a_b)(a+b).

i

Discussion. Pour qu'il y ait solution il faut et il suffit que"

I'on ait0

0

c. Ces conditions se réduisent à

b

Donc, si bpour B l'angle de la table.

sib202. 2" easo - Résoudre un triangle rectangle connq,,issant

Ies deun côtés de l'angle droit.

b, c, (8, C, a,),


rgB:9 c-loo.-B bC - lUU"-b &:fm.

Discussion. - Il y a toujours pour B une valeur unique compriseentre 0 et I00"; par suite, pour C également, et poltr a f;unevaleur

Le problème admet donc toujours une solution.

203. S" oa,s. - Résoudre un triangle recta,ngle clnna,issantI'hypoténu;se et un angle.

&, B, (C, bo c).Les inconnues sont calculées par les formules

C - 100"-B b :a sinB e :a cosB.Iliscussion. Pour qu'il y ait une solution, il faut er il suffit

que B soit inférieur à 100".

SiB204. 4u G&s. Résoudre un triangle rectangle connaissant

un côté de l'angle droit et 2rn.angle.

b, B, (C, a, c)



TRIANGLES QUtrLCONQUES.


bffi

147

C:100"-B a,-

, Discussion. Pour qu'il y aitsoit inférieur à 100".

SiB

solution, iI faut eû iI sufût que B

solution.

e - b cotgB.

CHAPITRT) IITniangles quelcongues.

s t. FoRMULES.

205. Considérons (flg.31) utt triangle ABC, ces trois lettres étantplacées de telle sorte qu'un observateur situé à I'intér'ieur du trianglevoie tourner dans le sens direct un mobile parcourant le contour

de A en B, de B en C, et de Cen A.

Adoptons comme sens positifsur chacun des trois axes quiportent les côtés, précisémentle sens suivant lequel ce mobilese meut.

Désignons par û, b, c les mesu-res des côtés par rapport à unétalon arbitraire, et par A, B et

C les mesures des angles engrades.tr'rc. 31.

Les vecteurs AB, BC etpositifs AB : c, BC - a,,

CA auront porlr mesures les nombreset CA : b.

Quant aux angles des axes, on aura

iU:K.400o+(200"-C),^.AZ: K.400 +(200"-A)

^-f{.400"+(zoo"-B).nfin, oD peut écrire r_BC:BA+AC.




206. Théorème f. - Dans tout triangle, Iasomrne des

anglesaaut 200 gra,des.

En effet, entre les angles déterminés par les trois âxes, on a

û +îà + à:K 4oo'

ou (200'- C) + (200" - A) + (200c - B) : K.400"

ou encore A +B+C:600c-K.400c.D'autre part, puisque chaque angle est compris entre 0 et 200",

ona 0

La seule valeur possible pour K est donc I ; et par suiteA+B+C:200".

Corollaire. Dans tout triangle rectangle, la sotnrne desangles udjacents ù lhypoténuse oaut 100 qrades.

Si A - 100", B + C : 200" - A - 100".

207. Théorème II. Dans tout triangle, les sinus des anglessont proportionnels a,uffi côtés opposés (frg. 3l).

Projetons la résultante BC sur unaxe

t, telque

à:

+100c

pr,BC:pr,BA+prrAC

BC cos à :BA .orâ + ac cosfi.

BC: *a BA: -c AC: _-l).,.tr[s : - 100"

,/\ty -tn * fiU: loo'+zooc-c- looc-c./\ ,/\tz : tfi * ms == - 100" + B - 200" -- B - 300".

On a donc 0: c sinB - b sinO ou L : ,c ^'inB sinC

a,bcDe même ffi: ilB: rioc'208. Corollaires.

. À_I.B A-B A_BZ stn-- tOS-- tOS-z, (, 2 a*b

d'où

Or

sinA + sinBT nfr \-/ \.,

Z Sm= COS.- ---5) ---'

h, hi,

lrioAlBcosA+i sina;9?? sinA - sinB - v'.. 'Z 2 , 3I[. ff: '.-- -

2 sini cosi cosi

.Csmz

c

dr-b



TRIANGLES QUELCONQUES. L49

uI. sinA - sinB

m: , A-B A-Blgztgzj.+-: , cLg 2 cotgz

a-ba,+ b

209. Théorème III.est égal à, la sornine des deun autres, multipliés respecti,oementpar les cos'i,nus des angles adi acents .

Projetons la résultante nC sur l'axe n :

d'où

pr*BC:pr,BAfpr,AC

BC cos fiffi : BA cos nz + LC cosnyou 0,:ccosB+Ôcos0.

21,0. Théorème IV. Dans tout triangle, le carcé d'un côté

est égal ù, la sornrne des carcés des deuæ autres, ffioins leurd,oubte produit p&?" le cosinus d.e l'angle qu'ils cot?xprennent.

Faisons le carré de la résultante BC

BC' : BT'+ AC'+or BA.AC : BA.AC cosy'î - - Ôc cosA.

BA.AC (t 7)

(35)

Donc

Nous

d'où

Caleul des angles en fonetion des eôtés.ztL Si I'on tire cosi\ de la formule e,,2 : bz + cz - Zb;c cosA

on ne trouve pas une formule calculable par logarithmes.

Nous allons calculer sin f et ,o, |.savons que cosA - t - 2 sint4

2

qz

,1 \

42 : b2 + C2 - ZbC COsA.

s2-(b-c)z (a*b-c)(a-b+c)

d'où gz- bz +

sin'1u sln"-2

On a aussi

ou cos'f

Posonsd'où

(r)4bc 4bc

cosA -- z cos'$ t

cz*Zbc_ bccos'f

(b*c)'-sz (a+b + c)(b*c-a)(2),

+bc

a*b+a*a*

4bc

b*cC-Q'b-cc-b

:2p-2(p-a):2(p-c):2(p-b)-



r50 COURS DE TRIGONOIVIETRIE.

Remplaçant ces expressions dans les formules(l) et (Z), et prenantles racines carrées, nous obtenons

Les racines négatives

Divisant ces formules

:irysont à rejeter, ", !

'

membre à membre, on obtient

v@ -b)(p-c)p(p - a),,ct tg , s'écriront par analogie.4/

2t2. Conelusion. Par les théorèmes qui précèdent nousavons établi entre les six éléments du triangle quatre systèmes deformules. Le 1"" système ne comporte qu'une seule formule reliantles trois angles ; le second comporte deux formules reliant chacunedeux angles et les deux côtés opposés ; le troisième est peu impor-tant ; il comporte trois formules reliant chacune les trois côtés et

deux angles; le quairième compo rte également trois formules, reliantchacune les trois côtés et un angle.

Si nous réunissons le l'" et le 2c1' système, nous obtenons troisgroupes de trois formules chacun :

.Asmz:bc

Acos z

,Bt8z

Atgz:

IsinA _ sinB _ sinC \aI( & o c il<b

(a+B+c-200" (t:ôcosC+ccosB

bz * c,

-Zbc cosA

qz * c, - Zac cosB62 + fiz - 2ab cosC

Dans chaque groupe, les trois formules sont indépendantes lesunes des autres.

Toute formule reliant les éléments d.'un triangle peut se déduire deI'un des trois groupes I, II ou III; sans cela,quatre relations indépen-dantes les unes des autres pourraient exister entre ces éléments, etpar suite, on pourrait en déterminer quatre en fonction des deux

autres, cê qui est évidemment faux.Les trois groupes précités sont appelés groupes fondatnenta,u,n.Nous allons démontrer explicitement que chacun de ces groupes

peut servir à démontrer les formules des deux autres.



IRIÀNGLES QUELCONQUES. T51

S 2. - ÉgulvelencE DES cno.upEs.213. Définition. - Deux groupes de trois formules indépendantesles unes des autres, et reliant les élémenis d'un triangle, sont ditséqui,oalents, lorsqu'ils admettent les mêmes solutions répondant aux.conditions suivantes : a, b et c positifs, A, B et C compris entre0 et 200".

214. Théorème I. - Les trois groupes f, If et III sontéguiaalents.

Pour démontrer ce théorème, nous allons prouver que chaque

groupe peut se déduire de chacun des deux autres.Io Du groupe I déduire les groupes II et IILGnoupn IL - Du groupe I on déduit

sinA _ sinB cosC _ sin0 cosBa, ôcosC ccosR

sinB cosO + cosB sinC sin (B + C)

A et B + C étant supplémentaires, sinA : sin(B + C)

-donc a-Ôcosc+ccosB.Gnoupn III. Du groupe I on dédnit encore

inzA sinzB sinz0 2 sinB sinC cosA cln"a sln"5 slfl'L,,:-:æ:

,-:æz bz 62' Zbc cosA

_ sinzB * sinzC -2 sinB sinO cosAbz + ç2,-2bc cosA

.Or sinzA : sinz(B + C) : sinzB cosrC + sinzC coszB

+ 2 sinB sin0 cosB cos0

: siuzB f sinz0 - 2 sinzB sinzC + 2 sinB sinC cosB cosC

: sin''i;l;îi;à"i 'jli$ffi'::, ., ïËcos c)

: sinzB + sinzC - 2 sinB sinC cosA;.donc a,2 : bz + ç2 - 2 bc cosA.

20 Du groupe II dédu'i,re les groupes I et f Il.Gnoupn r. - Pour démontrer

sina-

gfl, éhminons c et c entrea,b,les équations If.Entre la I"" et la 2u éliminons cosO :

az : ab cosC + ac cosB

bz - ab cosO + Dc cosA;



r52 COURS DE TRIGONOMETRIE.

soustrayons membre à membre :

sz - bz : c (a cosB - Ô oosA)

et, par suite de la 3",

&2 - b2: (a cosB + Ô cosA) (a cosB - D cosA)

ou az - bz : a,2 coszB - Ô2 coszA

ou encore a' (L - cos'B) : b' (L - cos'A)

Az SinzB : D2 SinzA

asinB-tÔsinA.

Le signe - est à rejeter, car B e[ A sont compris entre 0 et 200',.donc sinB et sinA sont positifs, de même que b et a.

Pour démontrer que A + B + C :200, il faut éliminer a,,b et centre les trois formules du groupe If.

Remplaçons dans la l'", a, b et c par sinA, sinB et sinO qui leur"sont proportionnels ;

sinA - sinB cos0 + sinC cosB '- sin(B + C).

D'où sinA - sin (B + C)

À+B+C---B+C-A

ou Zcos:.tnff-0.Des inégalités 0

on déduit 0

- 100c

Les sorurions sonr doncI â î:l::3:0"

Des autres équations on déduira de môme( A+B+C:200c { A+C*ts:200ciL+c-B-o er le+B-c-0.

parmi toutes les solutions du système, la seule dont les éléments.

ne vérifi.ent pas la relation A + B + C : 200o est

ta+B-c-o{ A+c-B:0t-..

tB+c-A:0.D'oùondéduitpar addition: A + B + C -0, relationincom-patible avec les conditions A ) 0, B

Les nombres À, B et C vérifient donc la relationA+B+C-200c.



TRIANGLES QUELCONQUES. r53

On peut aussi obtenir cette équation en exprimant la conditionpour que le système de trois équations du groupe If, homogènes ena, b etc admette une solution autre que Ia solution zêro. Cette condi-tion est que le déterminant du système soit nul. D'où

- I cos0 cosB

cosO - I cosAcosB cosA - I

:0

ou coszA * coszB + coszC + 2 cosA cosB cos0 - I - 0.

On déduit facilement de là :

^^_a+B+c ^^^A+B-C ^^_Il+C-A - À+C_BosT' cos T. cos tr. cos--: 0.

D'oùles4solutions: A + B + C:200"À+B-C:200"B+C-A:200"a+c-B:200".

Les solutions de la forme A + B

-C : 200" sont incompatibles

avec les conditions de signe et de grandeur imposées aux nombresa b c A B C; en effet, introduisons une telle solution dans l'équation

cr,=-ÔcosC+ccosB.Il vient, en remplaçant B par 200" - (A - C) :

e, : ô cosO - c cos(A -- C)

ou a- ô cosc - ccosA cosc - c sinA sinC.

a, - cosC (b * c cosA) - c sinA sin0

aetenfin a sin?C: - c sinAsinOce qui est impossible.

Laseulesolutionacceptableest A + B + C - 200o.

Gnoupn IIf. Pour démontrer la formulea2: bz + cz - Zbc cosA

il faut éliminer B et C.

Multiplions la Ir" par a, la 2e par b, et la Be par c.

62 ab cosC + ac cosBo,ô cosO - bz - ôc cosA

ac cosB -: ç2 - ôc cosAd'où a,z - bz + cz - Zbc cosA.



154 couRs DE TRIGoNoMûTRIE.

3' Du groupe III d'éd'uire les groupes I et II.Gnoupn I. - Pour démontrer # : H' éliminons c entre

les deux premières formules.

Par soustraction on a

az - bz - bz - az - 2c(b cosA - a cosB)

ou a2 -bz : c(a cosB - Ô cosA).

Par addition,qz _t, fiz : a, * 6z 12cz _ 2c (a cosB + D cosA)

ou c: a. cosB f Ô cosA car c + O

d'où 2- bz - As coszB - Ds cOs2À

ou o2 sinzB : [z siazA

et enfln sina sinBa, :_T

(la solution négative ne convient pas, puisque c, Ô, sinA ei sinB

soni ) 0).

Pour démontrer la formule À+B+C:200c, éliminons

a,, b et c.Remplaçons dans les deux premières formules qui sont homogèncs

en a,b et c, ces trois nombres par sinA, sinB et sinO, qui leur sontproportionnels :

sinzA - sinzB -F sins0 - 2 sinB sin0 cosA

sin2B : sinzA * sinsO - 2 sinA sinO cosB.

Additionnons membre à membre:sin20 : sinO (sinA cosB f sinB cosÀ)

or, ,sin0#0;

donc, sinC : sinA cosB f sinB cosA : sin (A f B)'La suite est la réPétition du 2o.

Gnoupn II. - Par addition des deux premières formules on

rrouYe',cL : zc(a cosB f ô cosÀ)

or c+O; donc c:ct,cosB{ÔcosA.Le théorème est donc complètement démontré.

215. Théorème ll. - Tout groupe de trois formules i.nd'épen-

d,antes les unes d,es autres, pt"'i'ses parmi les formules d,es", triangles, est équi,oatent aun trois grouptes fond,a,rnentauu, à,

' con(tition que chaque angle pris inaid,uellement ne pui'sse

receaoir qu'une seule Daleur poul" un système d'éterminé' de

oalatrs attri'buées aun auh"es éléments.



TRIANGLES QUELCONQUES.

La démonstration de ce théorème sera faite dans Ia 3"du cours (Triangles sphériques).

a>-

rDD

partie

Nous laissons alr lecteur le soin d'adapter cette démonstrationau cas particulier des triangles rectilignes.

Corollaire f. Si parmi les trois formules considérées flgure la'formule A + B -f C : 200', la condition exigée pour l'équivalenceest satisfaite.

2t6. Théorème III. 8, a, b, c, a, B et c sont sin notnbrespositifs, solution du g?"oupe f , ces sin nombres sont les

rytesul'es des sin éléments d'un triangle.En effet, A, B et C étant positifs et leur somme étant égale à200", chacun d'eux est moindre qLle 200c.

Au moyen des quatre éléments a,A, B et C, on peut construire untriangle, puisque A + B + C - 200". Soient ltt et ct les deuxderniers éléments du triangle. on pourra écrire

sin A sin B sin CT:T _T'Or, par hypothèse, on a aussi

sin A sin B sin Ca:T:T'

Donc b:bt et cLes éléments a,, b, c, A, B et C sont donc bien les éléments d'un

triangle.2L7. Théorème IV. Les solutions d,u gt"oupe fff , répond,ant

auffi conditions; a,. b et c positifs, A, B et C to*piùt erztre'0 et 200", sortt les éléments d,un triangle.

lo Au moyen de trois côtés ayant pour mesures a, b et c, onpeut construire un triangle.En effet , 0,2 : b, + c2 _ Zbc cos A

ou a2: (b * c), - 4bc cos2 +.

Donc a,2

Prenant les racines positives :

De mêmea

b

Les conditions nécessaires et suffisantes pour la construction d,'untriangle étant satisfaites, le triangle peut ôtre construit.

20 Soient At, Br et Cf ses angles.On aura a: - b, + e - Zbc cos Ar.



r56 couRs DE TRIGoNoMÉrnru.

Mais, par hypothèse,az : bz * c, - Zbc cosA.

cosA : cosAr.

A et Ar sont deux angles compris entre 0 et 200' ; ils ont mêmecosinus, donc ils sont égaux; A - Âf ; de même B : Btet C : Cr,

e,, b, c, L, B et C sont donc les éléments d'un triangle.218. Théorème V. - Toute solution positive d.,'rtn groupe de tro'i,s

formules indépendantes oti figlre la formule

A+B*C:200.est constituée par les éléments d'un triangle.Cela résulte du Théorème du no 2t5 et de son corollaire.

s 3. At RE ET RAYONS DES CERCLES Ct RCONSCRIT,I NSCRtT ET EX-t NSCRtTS, ETC.

21,9. Aire.Io En

fonctàon,de deuæ côtés et de l'angle qu'ils cornp?^ennent :

IS - j &hn or, ho : Ô sin C, que C soit aigu ou obtus ;z

I

I

I

Donc

donc S:; absin}l-'l

20 En foncti,on d'tcn côté et des angles :

b : *I d'ot\ b :o tl"Pa srnA slnA

Remplaçons b par cette valeur dans (l) :

I .sinB sinC): z&- sina

(1)

(2)

30 En foncf,ion des trois côtés :

il faut remplacer sin C en fonction des côtés dans la formule (l)

sinc -- 2 s'-c ^^-c Iioz=cos;:2V x\l w

d'où,

sin0 : hV

et S: . (3)40 A I'aide des formules du n" 21.1, on trouve encore la formule

(4): p,tsï r** t**.



220. Ravon duA

Atr'rc. 32.

sinA


eerele elreonserit.

que A

d'où

L67

. B+C?! Sln

-:-.)-t

.B.Csrn 2 srn

"(s)

formule, nous rem-les en fonction des

nons :

Dans Ie triangle rectangle BDC (fig. 32)

BC: BD sinftCt, : 2R sinA,

soit aigu ou obtus ;

^h&bc2R: .'-:-sinA sinB sin0

En fonction des trois côtés :c),:Aa\p @ - a,) (P - b) (P - c)na

d'où p_ _ abcrr' - +l

(6)

(7)3) et (6) donnent 4 RS : abc.

d'où a,- BD + DC

et enfin

r-d'où

22t. Rayon du eerele inserit.Dans les triangles rectangles BID et DIC (fig. 33)

BD:rcotg$ et DC:rcotgl:r(c

\.Ba sln;

Bst$T C\{- cotg ,, ),J /l

A- 1ô COS 5)a

dans cettens les ang

, nous obte

.Csrn'

Si,plaço

cô tés

V(p-a,)(p-b)(p-c)

p

S:pr.(e)

(10)

222. Rayons des cereles GXrttff;tll',,

rayon du cercle ,itoedans I'angle A.

Dans les triangles BEIr et I'EC(fig. 33) on a,

BB : p,\g+ et 'EC : p,W*

,.rlr,- _È_ \



d'or-i a- BE+EC: ?o

.tsini (B + c):P"Ecos 2 cos

Z

etfinalement: a B C AcOS, cOS Z: p" COs,

Remplaçant les angles en fonction des côtés :

Po: le \e ;b!# -')et S: (p-a)pu

223. rlauteuro soit AD - h la hauteurles triangles ADB et ADC on a

lL-csinB -bsinC.on aégalement s I ' I ^sinBsinc

ZCLn - 2a,:=InA

d'où h: osinB sin c

sinA

224. Bisseetriee. - Soient AE - d la bissectrice de I'angle A,Soient Sr et Sz les aires des triangles AEB et AEC. on a :

sr+s2-s

158 couRs DE TRIGoNomÉrntn.

ou encore d, (b * c) : Zbc.or 42

Dans les mêmes triangles ABB et AEC on a

ECd

('*| +'*;)(l 1)

(12)

(13)

issue de A. Dans

Luo sinf + * cd, sin+- * Tut sina

(14)

(15)

(16)

BEd. A:siffi ei

srû;K)

_:. a -ffiertr )

IJ

tl'oùa

. A:sln 5)a

Enfin, dans leconséquent

,(#*ffi)

triangle ADE, I'angle

h - c/ cosP , t.

d (sinB * sinC)sinB

DAtr

sinC

B--C: .)H

(t7)

et par

(18)




le triangle rectangle ADÀ{

h=msina d'où asinB

Enfin, si l'on pose Mig : Ar

aisément que I'on a

159

on a également

sin0 - m slnA sina. (22) (23),^r

et MAC : Ar, on démontre

d'où

et

Si I'on

Or

d'où

Dans

225. médi&ne. Soit AM

-

?yt, la médiane issue de A.

Soit d. I'angle que fait la mêdiane avec la base BC; on a

b2: 1772 +T + cllncosz

ç2': n* + "? - arn cos a4

bz + çz -Zïnz +":2bz - cz : Zam cose.

prolonge AM jusqu'au point Ar symétrique de A,4mz : b2, + c2 * \bc cosA.qz : bz + cz _ Zbc cosA;

4rtzz - 6f : 4bc cosA.

(re)

(20)

ona

(2t)

(24)

avec Ar*Ar-A et t,4+#Remarque. Seules, les tJr.ot.s (t) (2) (3) (5)3 (7) (I0) (13)

(18) et (19) doivent ôtre connues de mémoire ; les autres doiventpouvoir être rapidement établies lorsqu'on en a besoinï dans uneaPPlication'

ExERcIcES.

]' Démontrer les formulesS - ?P..z sinA sinB sin0

I , sinAS:lhz2'- sinB sinC

S : r' cotsf; cotg I -orrl

p : an cosf cosË.or!

R-*V abc2 Y sinA sinB sinC

, A,-Ao B-qtog!rg:z -tg z 'b z

cotg t - | t.otsO - colgB)




a cosA + Ô cosB + c cosO : 4R sinA sinB sin0

, B, C 7 , A, Ctr) - a, - p tst tgz p - o: ptg ? tg2,

P-c:PI

abc cos= a)U

AtST

Icos

z

,Btg2

B cos lc-p

cosA+cosB+cosC R-l-r

4&gtr : abc

It,l,ll,l,lr:%-Po*Po:ErEtE

4R: p" J- p, * pr- r.ap, ç ôp, * cp,:2p (2R - r).

2. trn appelant a, P et 1, lcs angles sous lesquels on voit du centredu cercle inscrit les trois côtés d'un triangle, prouver que I'on a

4 sina sinp sinT - sinA f sinB * sinC.

3. Si dans un triangle on a : b - & - flc, prouver que I'ona aussi

cos(a + àrl: zù coslc cotgà,t -a) -- I * z cosBæ sinB

4. q, p, 1, étant les distances du eentr"e du cercle inscrit auxtrois sommets, prouver qLle I'on a

"Pi':@Tp5. On donne cosL:F,ho:,F + çI;c- 1+pq.. Calculer &

et les cosinus de B et de C.

6. Quelle relation existe-t-il entre les angles d'un triangle dontles côtés sont en progression arithmétique ? Même question pourles hauteurs, ou les rayons dcs cercles ex-inscrits.

7. Si dans un triangle on a

sinA :tine

tsinc r^

', rectanqle cosn a. *g' le triangle est rectangle en A.8. Si dans un triangle on a

sinC - 2 cosA cosB, le triangle est isocèle.

R



TRTANGLES QUEI,COI{QUES,

9. Si, dans un triangle, on a g : *'BTge - ti;u6 'Ie triangle est isocèle ou rectangle.

10. Calculer I'aire d'un triangle en fonction des trois-des trois médianes, des trois bissectrices intérieures,rayons des cercles ex-inscrits.

16I

hauteurs,des trois

s 4. RESOLUTTON DES TRTANcLES QUELCONQUES.cAs cLASStQUES.

226. On entend par ca,s classi,ques,les cas où parmi les données"'ne flgurent que des côtés et des angles du triangle.

Il résulte de l'étude faite dans le paragraphe précédent que la,connaissance de trois éléments est nécessaire et suffisante pourpouyoir résoudre un triangle, sauf lorsque les trois données sont lestrois angles. Dans ce cas, or bien l'équation A + B * C : 200"est une identité, et le système I se réduit à deux équations à troisinconnues, ou bien cette équation n'est pas vériflée, et le système

est incompatible. Il faut donc connaître au moins un côté pour quele système soit déterminé.

D'où résultent quatre cas classiques :

On donne lo les trois côtés i &, b, c; calculer A, B, C.

20 deux côtés et I'angle compris :

a, b, C; calculer

30 deux côtés et I'angle opposé à I'una,b, L; calculer

: 40 un côté et deux angles :

a, A, B; calculer

227. L'" caelo Ré,soudre un triangle connaissant les trois^côtés : a, b, c (4, B, C).

Résolution. - Les inconnues sont calculées au moyen des formules

A, B, c.

d'eux :

B, C, c.

C, b, c.

Atgz: ,Bt8z :t lv

wl:\/(p-a)(p-b)p(p-c)

Couns oe TnrcoxonÉrnrp.



162 couns DE TRIGoNoMÉtntn.

que I'on peut établir directement, en partant dugroupe

III,par

la formule

cos At-,ry**I +@r*

Discussion, Pour que les angles trouvés répondent aux condi-tions de grandeur et de signe, il faut et it suffit que les valeurs de,ABIICtg;, Ig; et tg; soient réelles, c'est-à-dire que I'on ait

La condition de réalitô devient : p - a,

Si cette condition est satisfaite, on trouve pour * 'X et $ au*

valeurs comprises entre 0 et 100"; donc, pour A, B et C, des valeurscomprises entre 0 et 200".

228. pe cas. Résoudr"e un trôangle connadssant deurcôtés et l'angle qu'ils coînprennent :

a) b, B (4, B, c).

Résolution. l. CAlcur, DIREOT.

Du système d'équationsIt c2: a,2 + bz -Zab cos0

, ) sinA sinBl'\ e :TIt A+B+C:200".

On déduit :

sinA _ sin (4.-l- C) d.,où cotgAArb

sin (B * C) sin Ba, . =- T d'où cotgB

e _ Va, +b, _ Znh cos}.

Ces formules doivent être rendues calculables par logarithmes.

(l) Onpose b:axcosC d'où cotgA-(I-l)cotg0.(2) On pose a, - b\tcosC d'où cotgB : ()"- I) cotgC.

Soient

b - a cosC:-a sinO

a - ô cosCô sinC

(r)

(2)

(3)

(B) cosc - 2 cosz lc -I - I - zsinelc : coselc - sinz!c

d'oùr trois procéde, pJ,, ,rrrà', e c calculable par logarithmes .




,?

Onaévidemment B<200".Pour que l'on ait aussi B > 0, it faut

II00" -? -;C

r63

De(b)ondédut#-@ I a:ioo"*ç--3De(a) {+i:too"-: (ou g-roo"-?-9

'av'21 *-vvtz

229. Iliscussion. Les systèmes I et II sont tous deux équiva-lents aux groupes fondamentaux; donc ils ont les mêmes solutions.

Le système I fournit pour A et B des valeurs comprises entre0 et 200c, et pour c urre valeur réelle ; en efÏet :

c2: (a - b), + 4ab rin, !

Z. C^tr,cul, TNDIREcT. - Pour obtenirdes formules calculables par

logarithmes, oD se serb plutôt du groupe des sinus (groupe I) que

I'on transforme (208) de façon à obtenir le système suivant :

iA+B:200" C (4)I

lu#:#cots! (b)IILi ,\ cI @+b)sinilc:6_3 (6)I

\.ore

Donc, la solution du système II, qui est la même, répond aux

conditions de signe et de grandeur.

On doit prendre pour g I'angle de la table; en effet, des conditions

0<A<200"et0<B<200"ondéduit_I00.<T<+l00".D'autre part, si nous supposons a ) b, comme C

C A_8. Acotg o

Donc 0,-2\l

On peut d'ailleurs prouver directement que la solution de II répondaux conditions de signe et do grandeur.

En: effet, on a lC200".

et il suffit que l'on aitI

-:C)',



164 couRs DE rnrcoNonrÉrnln.

I

100" - iC et ? sont deux arcs du lu" quadrant; cette condition

revient donc à cotg ] Ci.H

,ou cotg lcce qui est évident puisque # a1

Enfin cCoxcr-,usloN'. - Le problème admet toujours une solution unique.

Remarque. - Si a et b ne sont connus que par leurs logarithmes,on pose

b L_ _r. I l-tg,a- , c , C

;:tgod'oùtgâ(l-B):fficotg;:tg(50.-a)cotg2.|Pour calculer c on se servira de la formule c: sin C

*irrr\0'

après queI'on aura calculé A.

230. S' easr - Résoatdre un triangle connaissant deuæ côtétet l'angle opposé u l'un d'eu,n :

a,) b, A (8, C, c).

Résolution. Les éléments inconnus sont calculés au moyendu système

( sinA sinB sinCI e:T

( A+B+c:zoo"qui donne sin B : I sin A. (t)&

c -= 200. - (a + B) (2)

c:- sincffio' (3)

231. Discussion. Pour que les solutions du système soientacceptables, il faut et il suffit que les conditions suivantes soient

satisfaites (2f6) t O

0

c



TRIANGLES QUELCONQUES. 165

En vertu des équations (l) (2) et (3),ces conditions se réduisent àsin B

A+BsinB est obtenu sous forme d'un produi! du deux facteurs, dont

I'un, sinA < l. Examinons I'atrtre facteu, o.

r.2a

admet deux valeurs BrBlou

d'où on tire200" - Bl

A+B'a+Bft> 200..

Br satisfait à la condition (5)'.

Bttn'y satisfait pâs, donc il est à rejeter.CoNcr-,usloN. Le problème admet une solution unique corres-

pondant à la valeur Bf (l'angle de la table).hII. \a

admet deux valeurs Bn : A et Bz : 200c - A ; ces valeurspeuvent être confondues si A - 100".

f.,a solution Bo - 200" - A est à.rejeter, parce que A + Bz : 200".

La solution B, convient si A * B, ou 2A < 200" c'est-à-dire A < 100".

CoNcr,usroN : Si ASiA

hill. :'

Si A - 100", sinA - t, €t puisque sinBSi L + 100", on ne peut rien affirmer quant à I'existence de B.Mais, sd B eæi,ste, otr aura Br et Brf tous deux compris entre

A et 200" - A et pouvant être confondus.

.N,)



166 couRs DE TRlcoNotuÉtnln.

'Donc, si AouAce qui donne A + Bt

a+Brf>200".Ni Bf ni Bff ne sont acceptables et il n'y a pas de solution.

SiAd'où A + Bt

a + Brf < 200"

Bt et Brr conviennent tous deux.CoNcrusroN. - Si ASiA

valeurs pour B,c'est-à-dire : si log sinB

si log sinB : 0, Bf - Bff =- 100" I solution;

, si log sinB

292. Tableau résumé de la discussion.

b

a {ae - oln(eI

b, \J(A

It-

233. Discussion algébrique. - On peut calculer c directement en

fonction de a, b et A au moyen de l'équationqz _, bz + Cz _ Zbc cosA.

Ordonnée ea c cette équation devient

c2-2ÔcosA. c*b2-s2-Q.Les racines de cette équation conviennent, à condition d'être

réelles et positives.I.bLes racines sont réelles et de signes contraires; il y en a donc

une positive. Le prOblème admet une solutàon unique. , 4




1I. b-a, ou bz-az-0.L'équation devient

t(c - 2b cosA) : 0

Ct:0cz : 2b cos lY

cr est à rejeter.cz convient si cosA

y a une soluti,on.

SiAilI. b

Les racines sont ou bien réelles et de même signe, ou bien.,imaginaires.

Si leur somme, 2b cosA, est négative ou nulle, c'est-à-dire siA > I00", elles ne sont certainement pas réelles et positives ; doncil n'y a pa,s de solution.

SiAil y a donc, dans ce cas, autant de solutions que de racines.

Le réalisant R - Ô2 coszA _ (bz _ az) : 62 _ ô2 sinzA: (a - ô sin L) (a + b sinA);

-or a*ôsinA"donc, si a, - ô sinA

si a - D sinA : 0, il y a une solutiore : c - ô cosA;si a - ô sinA

Remarque I. Ces conclusions sont identiquement celles de la

-discussion précédente.Remarque II. Pour calculer c par ce procédé :

sibct:g\mtg?cz: eVm; cotgg

z:

? se calcule par la relation

eNb'z - a, (tgf * cotg?) : 2b cosA

r67

sin2pa

e : bcosA d'où sinpo :':On prend e - + I ou - I suivant que A



COURS DE TRIGONOMÉTRIE.68

sib cL:-efiætg?cz: e\m cotgg

d'oùr ,Yr,z - b'z (cotg? - tg'*) :2b cosA

gVd'z-W a , r. \ , ^ gVmou W: Ôcosa d'où ts??: Ë"il-On prend. encore Q : * t suivant que A

294. {e câ,so Résoudt"e lrn tri,angte conna.,issant un côtêet deuæ angles : e, A, B (C, b, c).

Résolution. Les inconnues sont calculées à I'aide du système"

( sinA sin B sinC) e:T:T( a+B+c-zoo"

d'où C - 200'- (A + B) (l), a, sinB

o- dna Q)

c: a sinCsinA (3)

Discussion. Pour que les solutions conviennent, il faut et iI1

suffit qLre I'on ait A + B

CoNcr-,usroN. Le problème admet dans ce cas une soluti,onunique.

S s. nÉsoLUTroN DEs TRTANcLEs.cAs NoN GLASS|QUES.

235. Définitisp. - On entend par ca,s ngn classiques, les cas de

résolution de triangles où les données ne comportent pas unique-ment des côtés et des angles du triangle. Ces données non ciassiquespeuveqt être :

10 Des éléments tels que hauteur, médiane, bissectrice, aire,rayon du cercle inscrit. etc. ;

T Des relations entre des éIéments; telles que la somme ou ladifférence de deux côtés, de deux angles, le produit de deux côtés,.deux côtés égaux, un angle triple d'un autre, le rapport des bissec-trices extérieure et intérieure d'un angle, etc.



TRIANGLES QUELCONQUES. r69

236. Pour résoudre un triangle dans un cas non classique, on aurasoin de suivre rigoureusernent la rôgle générale suivante :

10 On eupriffir, pou?" chaque donnée non classie%e, unerelation enistant entre elle et les éléments du triangle (côtéset angles) ;

20 On adjoi,nt a,,un équations ai,nsi., obtenues le groupe I(des si.nus) ;

30 On résout le système total d'équations obtenu.Remarque I. Il faut avoir soin de vérifier que ce système

comporte autant d'équations que d'inconnucs; si cette vérificationn'a pas lieu, cela prouve qu'on a mal suivi la règle.Remarque IL

À + B + C : 200', garantit l'équivalence du système et des groupesfondamentaux, êt permet par conséquent d'accepter toutes lessolutions positives (218).

237. Pour résoudre le système d'équations obtenu on aura soinde suivre la rôgle suivante (sauf cas exceptionnels) :

1o On élimi,n e les côtés inconn?.t,s ;

2,' On calcule les a,ngles ;30 On calcule un des côtés (ù nzoins qLc'L(,n côté ne soit

donné) ;40 On calcule les deur a,u,tres côtés par la proportion des

s'i,nus ;50 On discute les résultats obtenus.Remarque. Pour le 2o on aura soin d'examiner. si les données

sont symétriques par rapport à deux angles. Dans I'affirmative,les équations obtenues après l'élimination des côtés doivent

également être symétriques.On pourra alors utiliser les méthodes qui ont êtê exposées dansla théorie des équations (somme et difiérence de d.eux angles).

238. Problôme f. - Résoudre un tr"iengle connaissaret umangle, l'aire et le périmètre :

f. Résolution.(1)

(2)

(3) (4)

(5)

A, S, 2p (8, C, û, b, c)., I ,sinBsinC\s:ào=ffih"

lzP-Q+b+clsinA sinB sinCI " :T- cItÀ*R+C-2000.

cinq inconnues.inq équations à



t70 couRs Dn rRrcoNoMÉrnrn.

10 Étiminons les côtés :

, asinB asin0Q- sr,-a Q- .ion-

d,où 2p :o sinL_|- sinP f sin0(6)sinÀ

(l) et (6) donnent :

S (sinA + sinB * sin0)': 2p' sinA sinB sinC. (7)

2o Les équations (5) et (7) vont nous permettre de calculer B et C.

Blles sont symétriques en B et C.(5) donne B+C:200"-4.Calculons B - L). (7) donne

-T A B-C\zS(sinA +2 cos*cc\ ? t'"i):PzsinAfcos(B-C)+cosa]

Remplaçons A et (B - C) en fonction a. f et ?:A

T. A . B-C\z45cos"r[sin7+cosT):: 4p" sin f cos * (.tr'

e-S- sin'â)-

Après division par + cos' $ + 0, cette équation se décompose

€n deux équations :

. A B-Csing*cosT-0

et s (sin f + cos T) - pztsâ(.o' ry- sin *)D'où les solutions :

B_C . A3OS2

Â

er cos#:-: ïî*:sinf . (B)h' prrg;_S

La première solution, étant négative. est à rejeter puisque lesconditions

A -n ^^A^^ ' ^ ,-.0



qt

TRTaNGLES QUELCONQUES. I7l

entraînent - 100"

d'où corà (B - c)

En posant Ë: Wl. la seconde solution devient

. A+ecos"#:':"=siof,

sm--t

ce qui donne l to - c) : d.;

;_ ^ ,d'autre part ; (B + C) : l00c - ZA t

( B:too"-|,r+ cd'où 1 lI c-too'-Lra-e

30 L'équation (I) donne

a:Æ (e)

(3) et (4) donnent b et c.

IL lliscussion. Pour que la valeur trouvée par l'équation (8)soit acceptable, iI faut et it suffi.t que

t

o<P'ztgâAl-ssin+=+lp,ts;A-s h'

d'où S

et (p, rr*a + s) sinla

La seconde condition devient

s (t + sinlelI

d'oùs

<p, tula ts, (bo"

- ie).(u)

Or0et, par suite, la condition (10) rentre dans la condition (tl).



#

172 couRs DE TRIcoNoMETRIE.

Celle-cisera suffisante. En effet,

Iia)hta

d.

C est évidemment

Enfln, pour que I'on ait C

roo" - 1^2,,

Comme ce sont deux arcs du premier quadrant, cela revient à

cos (too" - *^lI

I P'ts;L+S À .ou siniA.' p, tg;A _ S

I.?isl.+--

tConcr,usloN. ,- Dans le cas où S < p'tg;A tg'l(50'-;A),

â t*1,.-* ,*.*ijffliiriiÉ É

le problème admet une solution unique.

si s - p, tslxtg,(boe - i^r, cosltuf .l : 1;

une solution: B-C:100"-lA.z

rlSi S > p'Ig;A tg'(50' -;A), il n'y a pas de solution.

239. Problôme II. Résoudre un triangle conna"issantle rayon d,u cercle 'i,nscrit, la hauteur corcespondant a,,u côtë a

et la, longueur 2d : b + c - a :

ho, r, 2d (4, B, C, a, b, c).

f. Résolution. Les inconnues sont calculées au moyen des

équations suivantes :

ho: Ô sinC

a,: r(co4lnf cotgi.,

2d,,:b + c-a, r

sinA sinBsinC

T:T: C

A+B+c-200".

(r)

(2)

(3)

(4) (5)(6) 'Û\

Six équations à six inconnues.



lo Étiminons

0

les

TRIANGLES QTIELCONQUES.

côtés

- asinB asin00:- C-

sin A sinA

L73

(4) (5)

(7) a,sinB sinCJL:-:

sinA

Icosia,. sinB sinc

llsinA sin iB siniO

/sin B sin CLL, I.'..._-'

lsinAsinA

cosle ro'|c:

tl^ta

-

sinla

_ r)

/

,d,:

I

ou 2d sina : ," lotZ^ , (sinB + sinc - sina). (s). l^ Isin 28 sin20

2o Les équations (6), (7) et (8) vont nous permettre de calculerles angles.

Ces équations sont symétriques en B- et C.

De(6) B*C:200'-4.Éliminons (B + C) et (B - C).

rl(z) donne h sin Ln - ,'[.o*à,u - c) + rir]l.._l

I .- h-r Iou ,cos;(, - c) : 'ï siniA. (9)

(8) donne zd sinla

[.or]tt -c)

-sinà{ :

: zrl rorlte - c) - sin*ol cosla.L.rPJâ,

Cebte équation se décompose en deux équations :

Itcos; (u - C) : sinâA (t0)

et o tsà!y: 7 ou E*L:I (tt)

(9) et (I0) sont incompatibles à moins que h - r - r ou h : 2r.Dans ce cas particulier,

Lr"- c) : too" -àot




IId'autre part â (t + C) : 100" -;Ld'où 0:0 cequiestàrejeter,

Quant à la seconde solution, (11) donne A; (9) donne ensuite

*p-c):a\lr

(6) donne ; (t * C) : 100" - ;Ad'où on déduit

B:roo"-lA+ az

C - 100c -rA - a.

30 (t) d,onnera b: LsinC

etpar suite a=_Ô^'$! c- D=|=iq!- ,h==sinB sinB sinB

L'aire S:#II. Discussion. tglA -: est toujours acceptable.2^^

d

vvw vvsrtvqa v wvvvf uqv^v'

,

Pour que q. existe, iI faut et it suffit que I'on ait

0f '1r

d'où h

et @-r)'sin'|a {r,.

Or', de (ll) on tire *iorlA = "ruz'-: Çç12

La condition devient donc

(h-r), 11, + dz

ou dz

Enfin, otr trouve que les conditions 0

Csont toujours vérifi.ées.

.lil reste la conditiqg. C



TRIANGLES QUELCOI{QUES. T76

Comme ce sont deux arcs du premier quadrant, cela devientsin l a.

d'où

La condition (12) rentre dans (f4).

CoNcr,usroN. Si les conditions (13) et (14) sont vérifiées, leproblème admet une solution.

Si ces conditions ne sont pas vériflées, le prollème n'admet pas

de solution.

240. Problôrne fff. Résoudre ?,,cn triangle connaissantu,n. côtë, la hauteur correspondant au deuni,ème- côté et labissectr'ice de l'angle opposé a,u troisièrne côté, :

a,, ho, d, (4, B, C, b, c).

f. Résolution. (flg. 35)

dffi

h - a sinC

a

dsinlrag;:

h-r

sin A_:a

A+B

d'ot\

(5),

d*a

-:a,-a

Isin (A +;C)

tu

sin B siri:î (3)

+ C : 200'.

tg (a * Ï.,tg 19

- fc.

(14)

(6)

c

(r)

(2>

(4)

(5)

lo ÉUminons les côtés b et c. Il suflit de ne pas tenir comptedes équations (3)

et(4).

20 De (l) sin0 -h a

(2) devient, en tenant compte de

Isin(a+âcl

De (6) on tire a + ]c :Enfin (5) donne B : 200'

30 (3) et (4) donnent b =-

a d'où [:(A -1- C).

a sinB1"" l--=- et c

srn Aa sinC:

-.sin A



II. Discussion.

-lo IJne première condition, relative à I'existence

de C, est hu ( a. Si cette condition est satisfaite, il y a pour C deuxvaleurs Cr et Orf telles, que C' + Crr: 200c.

20 Pour que B soit

donc à fortiori A + ?C+

176

so?nrnet :

I. Résolution.

couRs DE TRIGoNouÉrnm.

L'équation (6) donne totrjours Ar

ct A"

1

Donc à fortiori A +;CI

et en vertu' de (2) sin (A * ; al étant

30 Reste à examiner si A

Il pourra donc y avoir 2, I ou 0 solutions, suivant quea3

ou une seure de ces

kil; ;: fii::,", vérinées

241,. Problôrne IY. Résoudre un triangle conna,issantla haute?rr, la médi,afll, et la bisseotri,ce issues d'ocn même

ho, do, rne (4, B, C, a,) b, c, S).

. sinB sinOll:/'t-

sinA

', a B-ClL:CTCOSz

b2+cz:m2+*L,

(4) (5)

(6)

(7)

équations (4) et (5)

(1)

(2)

(3)

sin A sinB sin C

A+B+C:200"s:*ah.

lo Éliminons les côtés b et c. Au moyen des

a sin0lr:--

STN A, a, sinBrt

-- SIN A



TRI.A,NGLES QUELCONQUES.

L'équation (3) devientnZgfu (2 sinzB + 2 sinzc - sinza) - 4m2.

Le système (l) (2) (6) (8) contient les 4 inconnues A, B, C,

20 Éliminons a entre (I) et (8).

h' (2 sinzB + 2 sin20 - sintA) : 4mz sinzB sinzg.

Le système (2) (6) (9) contient les 3 inconnues A, B, C ; il,symétrique en B et C.

30 ÉUminons (B + C)

t77

(8)

ct,,

B-Ccos2

et (Ilh

(e)

est

(l t)

l2

- C). Il restera une équation en A.

B*C:200'-A. (2)(6)

(9) peut s'écrire

h'z[(sinB + sinC)z + (sinB - sinQ)z - sinzA]: 4mz sinzB sinzg

".ou encore :

4hz(sin.rycos:T*

cose$ sinsÇ9- sin3|cosrâ)

\- nzz lcos (B - C) - cos (B + C)]'

- yytrz(r.orr" 1' - zcoszt â T'ce qui devient 'en' vertu de (2) et (6)

o'l#cossf +(t - Y,)sinz t-sinzf cos'*] : *'ffi-sine+)'u bien

,0,(oz - hz sinz$ + d,z sinzà - h,z sinz,A - d,z sinzf + a, *in'f)

: ,rr, (n4 - zhzd2 sinr| + d* sinaâ)

40 Ordonnons en sin2 I.

t(mz-hr)sina * -Zh}d,z(rtzz - hr)sinz |+fua(yy* - dr)- 0. (10)

D'où on tire

sin,*: i,ç * tmOouns nn TnrcoNouÉrRrB.



178

5o Ayant *, on

De (2) on tire

d'où


B + C r.\.\'a Aa -*-: 100. -:-.rzB-C

À,T-roA

-ty \'"

(t) fournit a, ; (a) et (5) donnent b et c ; (7) donne S.

I[. Discussion. Io Pour que B et C soient compris entre 0 et

zoo", il raut que lfl soit

B le plus grand des deux angles inconnus B et C, puisque les.

données sont symétriques en B et C ;

d'où 0

ou0

Zo Pour que sin, f soit réel it faut que dz - hz ooit positif oum2-hzvnul, c'est-à-dire

D'où h extêrieur aux racines; mais comme on a déjà la conditionh

On doit aussi avoir 0

acceptables, puisque A ne peut être égal ni à 0 ni à 200').

f (0) : ha (tn' - d') même signe que (m - d)'Le le" terme est positif, mais (m - cl) peut être

1"" cas i ?yù

produit et leur somme sont positifs. .

/e cAS i rn - d. Une racine est nulle ; I'autre est positive et'

, 2h2vaut ,tr, si ln

3e cas : ln

pour qu'une racine positive convienne, il faut qu'elle soit ( l.Formons / (l) : (do * zhzdz) (tn' - h') + ha (ttzz - d,') donton ne peut pas déterminer le signe.

D'autre part, une autre condition de grandeur résulte de ce que C

2

B - 100"

c - I00"

(12)

(13)'



doit être

ou si"fFormons

"(h'\ læ ): tua (v7* - h') - 2h4 (m' - h') + tud (vvÛ - d')

ou h4 (m, - dz -yytrz + hr) -- |rt çhz - dz

nooc ff est compris entre les racines ; et par conséquent laplus

grande ne convient jamais; Ia plus pctite seule peut convenir sielle est positive, c'est-à-dire si ln

TRIANGLES QUELCONQUES. 179

Leproblèmepeutdoncadmettreunesolutionsih<Mais si h: d

vertu de (l l).Or I n'est pas acceplable, comme it a êté dit plus haut.

Donc on ne pcut avoir que lù

Si h : d - m, I'équation (10) devient une identité 0 - 0.

L'équation (2) donne B : C, et le triangle est isocèle.

L'équation (3) transformée en (10) rentrc dans les autres équationsdu système. Celui-ci est indéterminé. On peut prendre pour A toutevaleur comprise entre 0 et 20A"; les autres inconnues se calculentalors au moyen des formules :

B-c:roo"-l b-e- h A

z b-c--ffi &-zltiSÇ S:

Remarqlue. On rend monôme la solution acceptablemanière suivante:

Posons g-- h:,n : coszo

ce que I'on peut faire puisque h

d'ori sin,f : #(I - cosg) :# sin'!

etalt'osrtrz :

Y2.dsrnâ.

Conclusion.-Leproblèmeadmetunesoltrtionsih<L'-ne inlinité de solutions si h : d'

Aucune solution dans les autres cas.

I,nu'

de la

(17)

(r8)

: nC.



r80 couRs DE TRIcoNoMÉrnm.

Remarque. Nous avons résolu le triangle en suivant la règlegénérale. Lorsque I'on a acquis quelque habileté, on peut trouverdes solutions plus rapides.

Ainsi, Si I'on désigne par Al et Az les angles BAM et MAC,

ona A1 -l-Ar:,{et h : m sin(a', + c) - jn sin (a, * B) (r 9) et (20)

ou 2h - za[sin(A, + B) + sin(A, + C)]

d'où

car

d'où

On'déduit de là :

h sinAcr - sinB sine

déduites de (1) (4) et (b),

h : rn cos(A' : t'-L B - c)\ 2 '. 2)B+C-lAr*Ar:200".

(21)

Cette équation permet de

B_Cî par l'équation (2).

calculer L7& puisqu'on connaît

D'autre part, on a aussi dans les triangles AMB et aMC :

sin A,a, rn a, rn22

sin A, sin Bsinf;

:sinc '

, A , B+Ctsz ts-f, A,-4.' B_CtSzrgz

-A , A,-Ao , B-Cotr g=;: tg=-f cotg- Z- . (22)

Cette équation permet de calculer A, et remplace avantageusementl'équatioq (tI) .

ayant *: Sè et +, olr calcule a, et Ar, puis

B et C à I'aide de (19) et (20) , a, b et c se c rlculent enfi.n par leséquations

,lLhQ:ffie c:EioT



TRIANGLES QUELCONQUES. 18I

242. Problôme V, Résoudre u,n triangle connaissant'

les trois hauteur,rs :hr, hr, hr, (4, B, c, a,) b, crs).

L'application de la méthode générale conduit à des calculs assezlongs. Voici un procédé simple et rapide :

Considérons les équations

t 25: ah,,:bhz: chr: ZlI{ A:rl

erc.

fts':vffi

D'où S -_

2S 2S.

6 c-6',r\ I_l-rs:ht) -" H

f) : 2s fl, - :) etc.hr) -" \H hr)I

on en déduit a 2S 'T, O:

d'oir p:sfl+'L+\Dt ' h,

p-a-.(à * h-

-v*(+-*) (;- il) (+-à)Aet lg r:

J

etc.

On peut remarquer que H : 2?n, puisque S : Fr : E -2

243. Problôme Yf. Résoudre lrn trian,gle conna,i,ssant

les trois médianes:1%t, rnb thT.

L'application de la méthode générale conduit à des calculs assezlongs. On opérera plus rapidement comme suit :

On connaît les formules

b2*cr:Zttt,rz

sz+çz_Zmr,qzlfie:Zmf

I

V

,&'rT

_b,2-c'z



182

D'où I'on tire

couRs DE TRIGoNoUÉtntn.

\

(Zmrz+Zmrr-lhrr)2

b2 2 +Zmr'-mr')

c2, (2m,,'*2ntz2-mrr)D'autre part,

S: :f, .

Remplaçant &r, b2 et c2, on obtient

s:àEn posant nùr + mz * ms

s:! .

On aurait pu obtcnir immédiatement ce résultat par la considéra-tion du triangle GCA| , G étant le centre de gravité du triangle ABC,

et A', le symétrique de G par rapport au point M, milieu de BC.L'aire du triangle GCA|est le Il3 de I'aire du triangle ABC, et sescôtés sont,les 213 des 3 médianes.

I)ans ce triangle GCA|, oo calculera les angles

6et T dr, GOC: dz, et câ,.t =T crs

au moyen des mêmes logarithmes qui ont servi au calcul de S.

Si I'on désigne les angles déterminés par les médianes d.ans A, Bet C, par A, et Ar, B, et Br, C, et C, dans le sens direct de rotation,

on voit aisément qued2: Br + Cz a.2- Az J- C, q.z- Ar * Br.Appliquant la formule (24) du no 225, otr aura :

, Cr-8, +_o'z-c[s,ry c[,1Ig-T: rgîtgzT, At - B, : t*qz -

dt ,or!3ts z igî tg'i

tgA'tc': WryEl.ces formules nous permettent de calculer Ar, ar, Br,Br, c, et cr.trinalement a : Ar * ar, B'- B, * Brl c : cr + cz.On pouma vérifier si A +- B + Ç -; 200c.

(2m,

4I4

I4

I

(r)

(2)

(3)

(4)




Des côtés pourront se calculer au rnoyeû des

25 sin AffiB sine

etc.

On pourrait aussi calculer les côtés au moyen des formules (t) (2)

et (A) qui précèdent, puis les angles en fonction des côtés ; mais ce

procédé exigera le calcul d'un plus grand nombre de logarithmes.

Pour que le problème admette une solution, iI faut et,il suffit quc

la plus grande médiane soit moindre que la somme des deux autres.

Z44Ppoblème Yll. - Résoud,re un triangle conna,issant UYL

.,,angle ,!r, la bissectrice d de cet angle, et la somrne b * c - 2k.des deun côtés qui le comPr^ennent :

A, b * c - 2k, do (8, C, a,, b, c' S).

Conformément à la règle générale, nous écrivons le système :

À

2S - d(b + c) sin| : Ôc sinA

b*c:2k0,bc

sinA: ffi-B: ffiA+B+C:200".

six inconnues.

et c, on obtient

bc kz dk

!

ISix équations à

ÉIiminant a,, b

(b + c)*

183

formules

(r) (2)

(3)

(4) (5)

(6)

ou

ou a("or''u" -â'

^B-COSzT

A B_Ccosz I cosa"Ë sinB sinC

-: d,coslcos'"#

{sinB + sin0)z

'ou

,en posant

sin B sinC Acosg

sinzâ)

k sin'I sin'IffiT

D'où

Cette équationldonne

on a aussi-

d'où B et C.

k-,A

B_CcosT

B-C2B+C

,Aa, eos

2

& coszg.

.Asu}

2:--.ln?

^t..Â1

A-2 l00c



184 couns DE TRrGoNouÉrRm.

Calculons maintenant a (208) :

.Aa smz

m: :fF:T ou a': 2k sing.cos2-

ia -:- A 2k sing sinB & sinBruts o-E-recos 2 cos

2

et c:2k-b.

Enfin S- k'i ' A0sm2.Pour qu'il y ait solution, il faut et il suffit que

Ë sin'$ :

0 \ i-.a'4et k cosrf;

Cette dernière condition I'emporte.

D'où d

il est aisé de voir que cette condition est suffisante, car B et. iC:

Seront tous deux compris entre 0 et 20A" :

loo" - *ou siAtou sia aozce qui est toujours vérifié.

EXERCTCES.

Résoudre un triangle cornaissant :

l. Deux angles et

:

al le rayon du cercle circonscrit;b I le rayon du cercle inscriû ;cl le rayon d'un cercle ex-inscrit;

I dl le périmètre;e el I'aire ;



TRTaNGLES QUETCONQUES. 185

*

flune hauteur;

g I une bissectrice ;

hl une médiane;il la somme des inverses de trois hauteurs,

2, Un angle A, le côté opposé a, et* al la hauteur hol*

b I la somme des deux autres côtés ;

. * c I la différence ), )) ),

di le produit n n ,,

e

I le rappor t ,, ,, ,,

f i la médiane correspondante;g I la bissectrice de I'angle A ;

hl le rayon du cercle inscrit;il bz * c'.

3. Deux côtés et al la hauteur coruespondant au troisième côté;bl la médiane ,, ,, ,,

cl la bissectrice ), ,, ),

4. Un angle A, Ia hauteur ho etal la bissectrice do)b I le rayon du cercle inscrit ;

cl le rayon du cercle circonscrit;dl I'aire ;

el le périmètre;fl la médiane ffioig I la différence des deux autres hauteurs ;

hl b{c-&5. Le côté a,) la bissectrice do et la somme b + c - 2k.

*6. R, r, h,

7. Les côtés sont en progression arithmétique de raison I ; ondonne de plus la médiane correspondant au côté moyen.

8. Un côté, la hauteur correspondante et

al le rayon du cercle inscrit;b I la somme tles deux autres côtés.

9. A et les hauteurs hb et h,.10. cc, A, h6.

ll. A, le rayon du cercle circonscrit et le périm,ètre 21t.



186 couRs DE TRIGoNoùIBTRTE

L2. Les trois bissectrices intérieures.

13. Les trois rapports des bissectrices intérieure et extérieure

Bour chaque sommet.

14. Les rayons des trois cercles ex-inscrits.

15. a, I'aire S, le rayon du cercle circonscrit R.

16. b + c, lro et R.

L7. L'angle A et les rayons R et r des cercles circonscrit et inscrit.

18. Un côté a, la diftrence B

-

C et

al I'aire S;b I Ie rayon du cercle inscrit r ;

cl le rayon du cercle ex-inscrit p,;dl la hauteur lro;el la médiane ilxo)

f I Ia biss ectrice do.

I9. Iln côt ê a,un angte B, et sachant que les bissectrices intérieureet extérieure de I'angle B sont égales.

20. Connaissant R et les angles, calculer le rayon d'un cercleûangent au cercle circonscrit et aux côtés b et c.

2L. Résoudre un triangle isocèle connaissant :

al la hauteur et le périmètre;bl I'angle A et I'aire;cl la base a et I'aire; .

dl I'angle A et la somme a, + h.

22. Calculer les angles d'un triangle rectangle:

al dont les côtés sont en progression arithmétique ou géométrique;b I dont les hauteurs sont en progression ;

cl dont les rayons des cercles ex-inscrits sont en progression.

23. Résoudre un triangle rectangle connaissant :

aetb + c; aets; aetr; aetdu; aetdoi aetdbd":k2;Betho; Betb * c; Reta ;p b; Beta t h;2peth; reth;

r, et r"; la(cosB + cosO) : k et b + c; ho eL ffiuiaetb+c*h:

24, Résoudre un triangle rectangle connaissant le périmètre et lerapport des volumes engendrés par le triangle tournant autour de

detrx de ses côtés.



QUADRILATERES CONVEXES. 187

25. Les volumes engendrés par un triangle rectangle, en tournantautour de ses trois côtés, forment une progression géométrique.Calculer ld plus petit angle aigu.

Résoudre le triangle orthopédique d'un triangle donné.

CITAPITRI] III

Quad ni latènes eonvexes.

245. Notations. - Nous représentons par A, B, C et'D les mesuresdes angles en grades, les lettres se suivant dans un sens déterminéde rotation ; par Ar et Ar, Br et B, etc., les deux parties déterminéesdans chaque angle par les diag'onales; par a, b, c et d les mesuresdes côtés, I'unité de longueur étant quelconque, le côté a, suivantle sommet A ; par rn et n les mesures des diagonales , m, partantde A et n de B ; par 0 I'angle aigu des diagonales. Les autres notationsR, î', S, 2p, etc., ont la même signiflcation que pour les triangles.

246. Tout quadrilatère peLrt être décomposé en deux triangles

ayant un côté commun; la détermination de chacun de ces deuxtriangles exige la connaissance de trois éléments, ce qui fait untotal de six: à cause du côté commun, un quadrilatère sera déterminépar la connaissance de cinq conditions, éléments ou relations entreéléments.

247. Formules générales (flg. 86).C nzz:qz+bz_

S

I: z*n

,?,2-cz *dz-

n2: Az+dz-y1z _Cz +bz_A+B+C+D

(ad sin A

Zab cos B (1)

Zdc cos D (2)

Zad, cos A (3)Zbc cos C (4)

- 400" (5)

* bc sin C)

sin 0. (6) et (T)Fra. 36.

Il y a sept équations contenant douze éléments. La connaissance

de [cinq d'entre eux, ou I'adjonction au système de cinq nouvelleséquations, en feront généralement un système déterminé.

Remarçlue. - En général, pour i'ésoudre un quadrilatère, il trefaut pas s'en tenir exclusivement aux équations du système; sopvent



188 couns DE TRIGoNouÉtnln.

I'introduction d'une inconnue auxiliaire (par exemple A r, Az, B, etc.)

permet d'arriver rapidement au résultat.On nc peut pas donner de règle ne aat"ietur pour la résolution

des quadrilatères ; aussi les systèmes d'équations que I'on trouveraci-après ne doivent-ils être considérés que comme des exemplesgénéraux.

248. Quadrllatôre inseriptlble.On remplace I'équation (5) par les équations

A+C-B+D:200".Le rayon du cercle circonscrit est introduit dans le système par

l'équation n: 2R sinA ;

ce qui donne neuf équations à treize élémcnts (quatre conditions).

Problème f. - Résoudre un quadràlatèr"e inscràptti,ble conna'i,s-sant les quatre côtés :

"a.,) b, c, cl (A, B, (), D, R, m, n,0, S).

I. Résolution.

Des équationsnz : az + dz _ Zad cosA

nz: bz + cz _Zbc cosC

A+C:200"on déduit sz + dz - àad cos A : bz * c' + Zbc cos A.

Remplaçons cos A successivement par I

-Zsin'$ et Zcosz|

-f .

zzlo az + dz_Zad+

Asinz I

(b+c*a-d

^ad sinz O : fiz + ç2 + Zbc - 4bc sinz

(b + c)'-(a-d1z4 (ad + bc)

(b*c - a + d)_:(p - d) (p - a)ad, + bc

A2

ou

4 (ad, + bc)

et .Asrn z

/LIs

(l)

I00" donc sin *

(p - a) (p_ d)



QUADRTLATÈRES CONVEXES. r89

A-AZo &z + d,, -l Zad,- adcostf :bz * c'-Zbc*Abccoszf

(a*d+b-c)(a-l-

(a+d)'-(b-c)'cos'f :

a (ad, * bc) ad, * bc

et .orf : l (z) tco.f

Divisant les formules (t) et (2) membre à membre, on obtient

tsâ: \lOn peut écrire directement, par analogie

w#: rPuis C-200"-A et D-200"-8.

(3)

Bo nz : a,z + dz - Zad,c6sA : a2 + d2 + Zad,

bc Qtz + d') - arl (bz *- c')arl + bc

d'où

On peut écrire

40

d'ou

fl4

n- 2R sinA

ad*bcpar analogie

,c

)n

G

)me

\/i

v)me

L:

recl

n

dit

+ bd) (arl + bc)

(1)

(5)1?,

ab + cd,

R -t?

-sinA

IXou R: il (6)

I,bo s: '^@a * bc) sinA : V @ - d) (7)

?,

60 sin0- 2S:- ç)'

?nn or lya\'(P - a) (P - b) (P - c) (P - d) (8)

(ac + bd) (ab + cd')



190 couRs DE TRrcoNouÉrnln.

ILDiscussion,

- Laseule

condition nécessaire et suffisante pourque toules les valeurs tt'ouvées soient réelles et admissibles est

(p - a) (p - b) (p - c) ( p - d)

Si on suppose a, le plus grand des trois côtés, cette conditiondevient a

Remarque. Des formules (4) et (b) on déduit :

rnn: ac * bd, (9) et '+ : o( ! bt,n ab + cd

249. Quadrilatôre eireonseriptible.Onajoute systèmegénérall'équation a+c-b+d.Le rayon du cercle inscrit est introduit (flg. 37) par l'équation

a,: r(cots*f cotgï)

Le système suivant sera parfois plus avantageux :

n -r (cot s ,\ f cotg*)

b - r(cotsff cotg;)

c - r(cots*f cotg?)

it -r (.ot s*f cotgâ)

a+B+c+D-400"

Dn'-qz + b,

-ZabcosB

?tz-a,2+d2-ZadcosA

S **rnnsin0Frc. 37.

r S-(aic)r

Soit neuf équations à

250. 'f,rnp èze. -' Ilgénéral par les formules

A+B:

Quatre conditions sont

(8)

(10)

(r)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(e)

treize éléments (quatre conditions).

faut remplacer la formule (5) du système:

200" et C+D

donc nécessaires pour pouvoir résoudreun trapèze.

Problème I[. Résoudre un trapèze connaissant les quatrecôtés: a,, b, c, d,(L, B, C, D, S, rn, nr 0).



QUADRITATÈRES CONVEXES. l9I

f. Résolution. - Si nous menons par le sommet C (flg. 3S) uneparallèle au côté BA, nous obtenons un triangle CDE clans lequelles côtés valent respectivement cL) bL: d - b, êt c.

On peut donc calculer lesangles par les formules

tsBz- tsâ

g-r-d*b---->.Frc. 38.

ou, en posant 2p : a., + b +

B-200"-A et

t/ù2 : a2 + b2

-Zab cosB

n2 : a,2 + dz - Zact cosA

A,-2sin:rY u,b

et, en posant +- sinrpe+o '

rn

-(a + b) cos?

IS:;(b+d)asina:

(p, - c) (P, - br\.

Pr (P, - a)

(p-c-b)(p-d>(p-a-b)(p-b)

E|.: Ic*d,

ts!z: V et ts|: V

ona

c-200c-D;: &z + bz + Zab cosA

A4ab sinz Ir): (a - d,), + 4ad, sint *

{2sin ï Y ad)

la-dlet *,

-1"- Ios

(P

(b + d) asinâ.0'â

d'où s-Hlm -d)(p- a-b)(p-c-b)2Srnn

in 0

II. Discussion. Il n'y a qu'une condition de réalité, c'est

(p - b) (p - d) (p - a, - b) (p - c - b)Soient d

La condition devient :

(p, - a) (P, - br)

F,(F,

-c)



L92 couRs DE TRTGoNoMÉtRtE.

25t. ParalléIogramttle. II faut fa.ire dans les formulesgénérales.

A,: C b:d C-A:200"-B:200c-D.Le plus souvent des procédés particuliers donnent plus rapidement

les résultats.Problème III. Résoudre znn'pe,rallélog?"&rnrne conna,i,ssant

les deuæ côtés et l'angle des diagonales :

a, j br 0 (4, B, flL, n) S).

f. Résolution. Soit a

D&

S : ab sinA: **" sinO (I) (Z)

4a2: rnz + nz * Zrnncos 0 (3)

4bz : nt,z { nz - Ztnn cos 0 (4)

B : 200c - A. (5)

Cinq équations pour calculer cinqinconnues.

Frc. 39.

Soustrayant (4)

Divisant (2) etobtient

de (3) :

4 (a' - bz) : 4mn cosg. (6)

(6) membre à membre pour éliminer mn, on

sin A

yytrz' +Posons nzz -n2:

d'où nùn:2(ar*br)

I)'ot\, oD vertu de (6) ,

sin 2o

_(a*b)(a-h)2ab

(7)

(8)

(e)

(10)

sin 29.

(r r)

tgo

Pour calculer les diagonales, additionnons (3) et (4) membre àmembre :

(7) et (5) donnent les angles A et B.

Remplaçant sinA dans (l) t

S: (u+ô)(a-lt) tg o.

vf - (a' * b').2 (a' + b') sinzg

2 (a' + bz) coszg

sin cg cos ? -- (a, + br)

a2-bz t: q, +Tz'ôô,JF

LAr

Posons : tg+.



QUADRILATÈRES CONVEXES.

(9), (10) et (Il) devinncnt :

trtrZ : Zaz (L + tg'+) sinzg Zaz sinzocosztf

àaz coszq:cos2ù

I

r93

(15)

(l)

(2)

(3)

(3)

(4)

(5) (6)

ft)

(s)

nz : Zaz (L + tg'+) coseg

, ^ l-tgztl.'smz? : I + tgrû'ôosï

:cosÏ

Discussion. It y a deux conditions de grandeur :

sinA ,= (a' - b')_tçg < Imsin29 -m.#"r.

donne az - bz

,0 bt'9

2

d'où tgO - A2-bzLa condition (3) est donc seule nécessaire et suffisante pour que

le problème admette une solution.252. Applieetlorlo - Problème. - Résoud,re un {Iuadrilatère

i,nscrilttible et circonscriptible, conno,issant les ra,yons descercles circonscr'i,t et inscrit et l'aire .'

R, r, S (4, B, C, D, a, b, c, d, rn, n, 0).

f. Résolution.

IT.

et

(2)

ou

À+C:200c (t)B + [ ,- 200" (2)

$ pf :! 2

e, - , (cotgà\b - , (cotsË\c : !'(,.*u*\

il : r (cotsË

\rABp-ftcotgv+cotgE\mn-QC

Couns on TnrcoxouÉrnrr.

ffi -,2R sinBn: 2R sinA

rnn sin0

* cot-#)

+ r"tgrg)

* cot-})

* cot-à)

+cotgl++ hd.

(e)

(t0)

.D\cotg; ) (ll)h' r/r

(12)

13



I

Ig4 couRs DE TRrcoNoMÉtnrE.

Douze équations à douze inconnues

:les angles,

les côtés,les

diagonales, 0 et p.

Les équations (7) (S) (9) et (10) deviennent en vertu de (t) et (2) :

a, - , ("ots|,f cot-*) (z)\b - r(.otg| + rs+) (rB)

\ .' P/

/,, A . I B\, c:r(t*Z+ts1)

(t4)

it:, (tu|_* cot-à) (rb)\ â, tul

Étiminons p entre (l l) et (5) :

s:.az(e**corn*+rol . , B\\-z Ëz-r-'uz+cotsi) (16)

Étiminons rn et n entre (3) (4) et (tZ) :

AP"z sinA sinB : ac + bd. (17)

Il reste six équations à six inconnues : les côtés A et B.

Énminons les côfés; (16) et (17) deviennent respectivement :

s :zrz(+ + -l) (rs) -' \sinA ' sinB/

R2 sinA sinB: ,'(r + ^.-|) (Ie)\- ' sinA sinB/d'où S sinA sinB - ZrT(sinA + sinB) (18)

et R2 sinzA sinzB - rz sinA sinB - rz :0. (20)

tr'inalenaent sinA sinB -r' * Vrn + 4R'r': I

2Fù2

et sinA + sinB : #. ( ztlr

Posons 2R : tg?.rrLa racine négative de l'équation (20) étant à rejeter , la racine

positive devient ,', 969, ?sinasinB:#:ffi' (zz]';tnz f



d'où (116) sina -vcose ' ' et sinB = vcosgff tgt|l et sinB - =ar cotgtp (24)sin i sin

$

QUÀDRILATERES

La formule (21) donne donc

sinA * sinB -

t|l se calculant par la relation

2 cos?sin ! sin ZtL)r

ht

ou sin 2tf :

Connaissant A et B, on a C et D

r95

(23)

(25)

m et n, par (3) et (4),

S sin'$

(26)

rÀ 2SSlnl:-:

n'ùn zP"z

CONVEXSS;

S cosp,.!

2rz sin2 =

S cosç-?2rz sinz;

oP4rz sin I

z

-a

æS Vcos g

par (l) et (2);

SDe (6)

Les côtés

Ces résultats vériflent I'équation a * c - b + d.Remarquons en passant la formule simple

S - lûbcdqui résulte des formules

s-v

ln-

ABCOS ^ COS ^) .)1" 1)

fI. Discussion. Les conditions sont

sinA

La première et la deuxième donnent

se calculent par les

r sint\ + B

n,-tT

.A Bsln o slrl oa1'

. A+Br slnz

sinA sinB ?P'z cos?formules (7) (t3) (14) et (15):

b:A-BrcosT

.ts Asltr ., cos o-ra

A_B2" COS=-5)

t-)rl-.A B

sln 2 cos 2

,r, et a+c-b +d.

Vcos aîsrn

â

sit * ts+srn à



196

obtient


Or, on a tg+ cotg+: t et tg+ * cotg+: ffiç: ffit at-- >tu2

tgtl,, et cotgtf sont donc t.=ines de l'équation

U2-SVcSe-'zrzsinË"*l-o'

(27)

2

La condition de réalité des racines de cette équation est précisé-ment la même que la condition sin 2tf

52 cosg \ ,m?*ou (S, + 8r') cos? 2 8rr.

Élevons au carré et remplaçons coszg par , , L . ; puis tenons t+tg?'compte de tg? : ry, et nous obtenons

Rr

<

sl (sl;f

lo'"?(28)

25616Si cette condition est satisfaite, les racines d.e (27) sont réelles et

positives. Il faut exprimer qu'elles sont toutes deux supérieures

ou égales à q; et pour cela on écrirasmâ

Frry\\ sin$ )

É'r ' P

\ É, ./smâ

Cette dernière condition donne S

La précédente donne

/û > (S - zP) cosg.Or, si (29) est vérifiée, on aura S

élever au carré, remplacer cos? en fonction de tgcp : ry , et onrS (S _ zrc) < Rz.

4ra(30)

Il est aisé de vérifier que (28) et (30) ne sont jamais contradictoires,

La condition sin04R2 cos?

rentre dans Ia condition (30).



QUÀDRrLATÈRES CONVEXES. Ig7

Finalement on a les conditions :

S

et0

On peut remarquer que (29) et (30) donnent, en éliminant S,

R

condition que I'on peut aussi obtenir par la condition

sin A sin Bmais qui ne peut être substituée à aucune des conditions précédentesqui seules sont suffisantes pour que le problème admette une solution.

On prendra pour A et pour B; les angles aigus obtenus par leséquations (24). Toutes les autres solutions rentrent en effet danscelles-là, au point de vue géométrique.

EXERCICES.

I. Résoudre un quadrilatère circonscriptibte connaissant le rayondu cercle inscrit, les diagonales et leur angle. f)iscuter.

2. Résoudre un parallélogramme connaissant une diagonale, lepérimètre et I'aire.

3. Résoudre un quadrilatère circonscriptible connaissant I'aire,le rayon du cercle inscrit, utr côté et un des angles adjacents.

4. .L'aire d'un rectangle est S ; elle devient Sr quand l'angle desdiagonales devient double sans que les diagonales changent de

longueur. Calculer les diagonales et leur angle primitif.5. On donne les bases et la hauteur d'un trapèze, ainsi que I'angle

des côtés non parallèles. Calculer ces côtés.

6. Résoudre un trapëze connaissant les angles et les diagonales.

7. Calculer les angles d'un quadrilatèr'e quelconque connaissantl'aire et les quatre côtés .

8. Résoudre un quadrilatère inscriptible connaissant deux côtés,leur angle, et la différence des deux autres côtés.

9. D'un point P on mène à une circonférence O une sécante PAB.

Démontrer que le produit tg ry € ry est constant.



198t"


I:; .

un arc en deux parties telles, que la somme, ou lesomme des carrés des cordes soient maximum ou

10. Résoudre un trapèze inscrit dans un cercle de rayon donné R,

connaissant I'aire et un angle.l1 . Étant donné un quadrilatère ABCD, inscrit et circonscrit,

on prolonge les côtés opposés AD et CB jusqu'à leur rencontreen E ; démontrer que le rayon du cercle inscrit dans le quadrilatèreest moyen proportionnel entre le rayon du cercle inscrit dans letriangle ABE et le rayon du cercle ex-inscrit au triangle DCE dansI'angle E.

12. Inscrire un carré dans un parallélogramme donné.

13. Résoudre un quadrilatère quelconque connaissant les angleset les diagonales.

T4. On rnène les bissectrices des quatre angles d'un quadrilatèreconvexe ; calculer I'aire du quadrilatère ainsi formé, en fonctiondes côtés et des angles du quadrilatère donné.

15. Si dans un cercle on inscrit un quadrilatère convexe dontun côté soit un diamè[re, et un triangle dont deux des anglessoient égaux aux angles du quadrilatère adjacent au côté diamètre,ces deux figures auront même aire.

16. ÉtaUtir pour un quadrilatère quelconque la formule(b' + t) - (a' * c') : Zmn cos 0.

L7. ÉtaUtir les formules suivantes donnant I'aire d'un quadrilatèrequelconque :

S-

(a,-b'+ç2-d,\WA

S

18. Partagerproduit, ou laminimum.

19. Le produit des distances d'un point quelconque d'une circon-férence à deux tangentes à cette circonférence, est égal au carré deIa distance du même point à la corde des contacts.

20. D'un point P on mène à une circonférence une tangente PC etune sécante PAB. On mène le diamètre COD; on joint DA et DB quicoupent le diamètre PO en M et N. Démontrer que OM - ON.

s:l,A+CCOS'---



APPLICATIONS TOPOGRAPHIQUES. 199

CHAPITRE IY

Appl ieations topoE raphiques.

Caloul des hauteurso253. Problème f. - Calculer la hauteur d'une tour d,ont le

pied est a,ccessible.

Soit AB la hauteur d'une tour verticale(fig. 40) dont le pied A est accessible.

D'un point O, situé à une distance d dupoint A, on vise le point A et le point B, etI'on mesure ainsi les angles ct, et F qu. fontles droites OA et OB avec I'horizontale OC.

Dans le triangle OAB on a" :

ædffim:r6

d sin(p - ")-'A'/ cos p tr'rc. 40.

d'wne montagne ou

,^.

A, et on mesure ainsi

c

254. Problème II. - Calculer la hauteurd'une tour dont le peed, est 'inaccessible.

fie.1.{1,

Appelons ;

d'où

ou

d'où

Soit S le sommet de la montagne; A et Bdeux points du terrain environnant, dont onpuisse mesurer la distance rectiligne d,; soientC et D les projections orthogonales de S et Bsur le plan horizontal de A.

Du point A on vise successivement S et B,et ou mesure ainsi les angles (fig. 4L) :

^.AS - a DAB

De B on vise S etI'angle horizontal

CDi\ : $.

la hauteur de S au-dessus du plan horizontal de A,AC AD

:^r1æ ..^'-sinCDA sin ACD

h cotgd d cosp-ffi5-: sinÇ+DL d cosp sinô tgaIL:@'

/l\ l \I i,\

I

ic/\/\d'-



200 couRs DE TRIGoNorvrÉTRIE.

Caleul des dlstarloeso265. Problème II[. Calculer Ia distance d'ttn poi,,nt ù utbaoctr e'i,naccessible .

Soit à calculer la distance AS : n (fr9. 4L),

Dans le triangle rectangle CAS on a

r.ï CSftfi - sin;Dans le cas particulier

a -F : o d'où n -=,9,tt18o..in (y + à)

256. Problème IV. Crr,lcu,ler la distance entre deuæ points'i,naccessi,bles, dans un terrain horizontal.

Soit à calculer la distance XY : æ (fiï. 42).

Des deux points A et B, donton peut mesurer la distance d,on vise les points X et Y, et

on mesure ainsi les angles aet at,9 et F'. Dans les trianglesXAB et YAB, or a:

v_: sin p

d sin(a f æt + p)

,',<) sin (B + p'):d, sin(a'f F+p')

Dans le triangle XAY

gz

On rend cette formule calculable par logarithmes au moyen d'unprocédê connu.

Triangulation257. La triangulation est une opération géodésique ayant pour

but l'établissement de la carte d'un pays.

Sans entrer ici dans des développements qui sont du domainedu cours de Géodésie, nous nous bornerons à exposer le principe

d'une triangulation plane.

Soit un terrain dont on veut lever le plan; on choisit sur ce

terrain un certain nombre de points principaux ou sommets telsque chacun soit visible de deux autres au moins.

rt 1o'ou n-,d,to:FJtnE ..sm(T + o) cos4

d'un terrain horizontal

x

AP

(r)

(2)



APPLICATIONS TOPOGRAPHIQUES. 20r

Si I'on joint les points qui se voient deux i deux, on obtientun certain nombre de triangles. On mesure directement un côtéde I'un de ces triaugles ; ce côté mesuré s'appelle base ; on mesureégalement les angles de tous les triangles; on peut alors de'proche en proche calculer les côtés de tous les triangles, parles procédés de calcul de la Trigonométrie que nous avonsexposés précédemment.

Cette façon d'opérer I'emporte de beaucoup sur un tracé graphiquereposant uniquement sl)r la' base et des angles, parce QUe, pour

construire les triangles par ce secondprocédé,

il faut se servirdu rapporteur qui donne toujours des erreurs notables sur lesangles. Au contraire, on peut construire une échelle des longueurssur le papier avec une très grande précisiorl. C'esf pour cette raisonque le calcul des côtés snimpose.

258. Lorsque la triangulation est faite, et qu'on a reproduit surle papier, à tiéchelle adoptée, des triangles semblables aux trianglesdu teruain, il reste à placer sur le plan les autres points du terrain.

Soit M un point du terrain, situé à I'intérieur du triangle ABC

(fig. 43). Les points A, B et C sont supposés visibles du point M;on peut donc mesurer les angles d., p et ï soLls lesquels on voitde M les trois côtés a, b et c du triangle.

On pourrait alors reporter lepoint M sur le plan, par I'inter-section de deux segments capa-bles de d. et de p décrits sur aet b; mais, comme il à êtê ditplus hauf, il est beaucoup plus

exact de calculerles distances

MA, MB et MC, et de placer M àI'intersection de trois circon-

g férences décrites de A, B et C

cornme centres, avec MA, MBet MC comme rayons.

Le problème qui se pose est donc le suivant :

259. Problème de la carte. (Pothenot). - Calculer les di,,stancesd'un poi,nt M aun trois sùïnvnets d"u,n triungle LBC, connaissant

les angles d. et p sous lesquels on aoi,t de M les côtés a et b dutràangle,le pointM étant supposé pris à I'intéri,eur de l'anglec.

B CL

Frc. 43.

Soient (fig. 43) Am : r/t,1

,^\MAC-fi

BM : Trù2 CM - ?TLa

MtsC - A.



?42 couns DE TRIcoNoMÉrnm.

Écrivons le groupe des sinus pour deux des

MBC par exemple :

a * p + Cr:200cy+a*C,rnr rùg

;1"d,: ffit: sinp

1fr2:|fta_&sin C, siny sin a

Ainsi que l'équation Cl + C, : g.

Norrs obtenons un système de 7 équations à 7rTr,,s, r/1,,s7 û, U, Cl gt Cz.

ftùL et rnz s'éliminent immédiatement :

triangles, MAC et

(5) (6)

(7)

inconnues : Tfùr,

(r)(2)

(3) (4)

asin(A+a)stn cr

mernbre :

et (2) et tenant

400"

+c

Cr et Cz

de (7) :

ou

d'où

Posantcette équation devient

bsin(rfp)17tt: ff /Tù2: (8) (e)

(r0)

(1 l)

compte

(12)

- y)-

n'h s'élimine en divisant (4) et (6) membre à

b sinrrna

sinæ a sinp

-----::_slny 0 srn a

Le système est réduit aux équations (11) (l) (2) (7), à + inconnuesfi) A, Cr et C2.

s'éliminenb en additionnant (I)

(tl) et (12) vont nous permettre de calculer (æ + y) et (æDe (t I) on déduit

u{y-Fa*9+C:æ+y , o + n

2 :200c-

=

L'

,_û-a ô sina- a sinB._ a* p + Cfr .t I InYt)z

a-a sinp

t$,e::- | O SItra

a sinp - D sinaa sin I + ô sina

(13)

(r4)



Appl,rcaTroNs TopocRApHrQuES. 203

Lesformules(12)et(l4)donnentryetry;onendéduitfr et A:fi-2A0o-"+g+c,.1TTYa:200"-d"+p+c-+.

)

Les équations (8) (9) et (10) donnent ensuite rù1, rnz et ws.

Discussion.

-

Pour que la solution soit acceptable, il faut et ilsuffit que thr, mz, nts soient positifs, c'est-à-dire que I'on ait

sinæ

Je dis que fi et y, calculés par les équations (15) et (16), seront'compris entre 0 et 200".

Observons d'abord Qtre, pour que fr et y puissent être comprisentre 0 et 200", il faut prendre

- 100"

En second lieu, otr a toujours

car,si d-,-p.ï"ffi;i:ï;-n.,- csi a*p

400"-("*p)Enfin, tgh êtant

d'où i tg(50'- ?)l

De là résulte

its+l

donc simultanément, en tenant compte des conditions (t),

(r+l<zooc-a+Q*c1

91

lr+l<a*Ê{-c 91

tion(2)indiquequez00c-a* I + c '

-qui est positif (t)

signe à æ et à y en vertu de (lb) et (16).

(t5)

(16)

On aura

La condi

donne son



204 COURS DE TRIGONOMBTRIE.

La condition (3) indique que

donc, 2oo"-(.fq+c+,p)\ 2 -r-

")\

et par suite m et A sont moindres que 200".

Dans le cas particulier où a J--P f C : 100", je dis qu'on aura2

aussi tg(50" - ?):0; en effet, le quadrilatère AMBC est alors

convexe et inscriptible ; si R est le rayon du cercle circonscrit,

on auraa,-SRsine I asinSb-znsin[ I d'où t;;;:1 et ?:50''

Donc, I'équation (14), Qui devrait fournit t|l, perd toute signification.

Remontant aux équations initiales (l l) et (I2) on obtient :

sinrt : siny (Ilt)et n + y: 200o- (12')

Ces deuxéquations rentrent I'une dans I'autre et le problème est

indéterminé, c'est-à-dire que le point M n'est pas déterminé par les

angles e f p : tous les points du cercle circonscrit au triangle ABC,

situés dans i'angle C, voient a ex â sous des angles constants a et p.

EXERCICES.

* l. Prolonger une droite AB au delà d'un obstacle.

* 2. Déterminer le rayon d'une tour inaccessible.

* 3. On a mesuré, à un même moment, de trois stations A, B, C,les angles d'élévation d.'un ballon au-dessus de l'horizon. Calculerla hauteur du ballon.

4. Un observateur voit du haut d'une colline deux bornes kilo-métriques consécutives d'une route horizontale sous des angles

e dépression a et 2q.. Quelle est la hautettr de la colline ? (On

admettra que la route et I'observateur sont situés dans un même

plan vertical. )

5. Sur une rive d'une rivière se trouve une colonne surmontée

d'trne statue ; slrr I'autre rive, un observateur voit la statue et legardien placé au pied du monument sous un même angle. On connaîtIes hauteurs de la colonne, de la statue et la taille du gardien.

On demande la largeur de la rivière.

c[+p+c,)



aPPLICATIONS TOPOGRAPHIQUES. 245

6. Après avoir trouvé a pour la hauteur angulaired'une tour,

un observateur s'avance de a vers la tour; il trouve alors p pourla nouvelle hauteur angulaire. A quelle distance est-il encore du

pied de la tour ?

7. Déterminer le rayon de la Terre supposée sphériQûo, sachantqu'un observateur placé sur un phare de hauteur h au-dessus du

niveau de la mer, voit I'horizon sous un angle de dépression a-



TROISIÈME PARTIE

TRtANcLEs spnÉRtouEs

CHAPITRO PRfiMIEB

Fonmutes des tnianEles quelcongues.

S t. ÉrnBLtssEMENT DEs FoRMuLEs.

260. Convention. I{ous représentons les mesures des angles{en grades) par des grandes lettres, et les mesures des côtés (engrades) par des petites lettres.

26t'. Remarque. L'ordre que nous suivrons dans cette partiedu cours n'est pas le même que celui suivi dans Ia deuxième partie.Au lieu d'établir directement les formules des triangles rectanglesavant celles des triangles quelconques, nous les déduirons decelles-ci; la raison de cette modification est la suivante : en Trigo-nomètrie rectiligne, on retient par cæur les formules des trianglesrectangles et celles des triangles quelconques ; mais en Trigono-métrie sphériQuo, on ne retient que les formules des trianglesquelconques ; la règle pratique de Mauduit dispense de connaîtrepar cæur celles des triangles rectangles

;l'établissement de ces

dernières n'a d'autre but que la vérification de cette règle, et doitdonc se faire le plus simplement et le plus rapidement possible.

262. Forrnules r.eliant rrn anglo et trois eôaôs.Théorème f. Dans tout tri,angle sphét"ique te cosinus d,,'u,n

côté quelconque est ëgal ù la son?,ine d.u prod,ui,t d,es cosi,nusdes deu,n o,u,tres côtés et du pyoduit d,es "sinus d,e ces d,euncôtés par" le cosi,nus de l'angle qu',ils couîùpr"ennent.

cosa : cosÔ cos c * sinô sinc cosA.

Soit un triangle sphérique ABC (flg. 44).Adoptons sur I'arc de grand cercle CB le sens positif de C vers B.On aura par déflnition

(r)OSA, : pfroB.



FORMI'LES DES TRIANGLES QUELTONQUES. 207

B étant considéré comme extrémité de G : c, soient y eta lesaxes trigonométriques pour cet arc:,^.Uz : * 100"

OB : y cos c + s sinc.{'2')

(3)

Par conséquent (18)

on a (59)

cos Q, - pr*OB : pr*cos c * prrosin c.

ou (50) Fto. 44.

cos e, ;- cos c cos fiy + sin c- ,^.

cOS fiA : cos Ô et c's fr'C étant I'extrémité de ft: b, soient U

métriques pour cet arc;

on aura donc (bg) ut : + loo"

OC: y cosb +l sinb

cos 13

: pr"OC.

et t les axes trigono-

et

ou

OIt

,/\cos $z - prrOC : pr"cos Ô + pr.sin ô_ ,r^r ,^.

cos frz - cosô cos zy + sinô cos-zi;,^. ,^COS îA : 0 et COS 3t : COS A.



208 corIRS DE TRrcoNouÉrnrn.

D'où, remplaçant dans (3), il vient

cos a, - cosô cos c * sinô sinc cosA.

263. Corollaire. - De ce théorème on déduit :

( cos a - cosô cos c * sinô sinc cosA

I ( cosÔ : cosa cosc * sina sinc cosB( cosc : cos a cosb + sina sinô cosC.

Ce groupes de formules est appelé groupe fondamental.264. CaIeuI des angles en lonotion des eôtés,

Daps la formulecos a - cosÔ cos c * sinÔ sinc cosA

remplaçons cosA successivement par l - 2 sinzâ *, par Z cosrf - l.

lo cos a, - cosô cos t + sinô sinc - }sinô sinc r ' ^Asmzg

d'où ,

^,-oÀ cos (b - c) -cos, "toon

3-u

s1a? ! 3-3ln"E: :Posons 2p - e, + b f c. Il en résulte en prenant la racine carrée,

.-A fint: v (u

LaracinenégativeneconvientPâS,carsin}>

W cos e, - cosô cos e - sinô sinc + }sinD sinc ( -A:os-2

A cos o,-cs!L:r--c) -z'i"W'ioWos2| :z sinô sinc z sinô sinc

d'où "or|:V 1cos|

Divisons (t) et (2) membre à membre :

*-À : \/ (g)82 V si@a;

Les formules de tg| et tg;- s'émiront par analogie.

On vérifi.era aisément que sinp, sin(p - a), sin(p - b), sin(p - c|sont



FORMULES DES TRIANGLES QUETCONQUES.

Bn multipliant (1) et (2) membre à membre on obtient

sinA : z (4)

eôtés65. Formules€pposés.

Théorème II. Dans tottt triangle sphérique les sinus desa,ng,les sont proportionnels cruæ sùnus des côtés opltosés.

Soit un triangle ABC (fiS . 45). Je dis que I'on a

il 1lê: PP: tiogsin a sin ô sin c

Démontrons par exemple I'égalité sin A sin Ô : sin B sin 4.

Soit un axe p perpendiculaire au plan AOB, son sens positif étantdirigé vers I'hémisphère qui contient le point C.

Adoptons sur les arcs de grands cercles AC et BC des sens

positifs de A et de B Yers C.

,ft:b et Éè:e,.

ffi: sID+ æ@: sîna + cosd.

209

sin ô sinc

reliant deux angles rux dcux

On aura

On a aussi

et

Couns pr TnrcoxonÉrnrn.

(r)(2)

L1



2I0 couns DE TRrcoNoMÉTRrE.

Projetons sur p ces deux sommes géométriques :

pr"OC: prrsinÔ * prpcosÔ : prpsina * precoso. (3)

Soient fi et y les axes trigonométriques de b.

prrsinÔ : sinô"orfu

pr"cos tt - cos ô cos û.p étant perpendiculaire au plan A0B, est perpendiculaire à frr

donc"orfu

- o.

Soit un axe z situé dans le plan AOB, perpendiculaire à æ et sonsens positif dirigé yers la région de ce plan qui contient lc sommet B.

Les trois axes p, y et a sont dans un même plan perpendiculaireà, fi. Adoptons, dans ce plan, trtr sens positif autour de O, de manière.

que â:+I00".onaura fu+îà+â:o

ouù

: î;-

{ù

-A -- rooc

cos fu : sinA.

On a donc prosinÔ*prrocosô:sinôsinA.Par analogie prrsin a * prpcosa - sina sinB.

D'où sinô sinA - sina sinB. c.q.f.d.

266. Remarque. Ces formules peuvent aussi se déduire du, groupe fondamental au moyen de la formule ( ) du no 264.

Ou plus directement :

En additionnant et soustrayant successivement rnembre à membreles deux premières formules de ce groupe, on obtient

(cos a * cosD) (l - cos c) : sinc (sinÔ cosA + sina cosB)

(cosa - cosô) (1 + cosc): sinc (sinô cosA - sina cosB)

d'oir, en multipliant membre à membre, et simpliflant par

sinzc:l-cosrc*0,on a cosz a,

-coszb : sinzD coszA

-sinza coszB

ou sinza sinzB : sinzÔ sinzA ;

et enfin sina sinB : sinÔ sinA

puisque les quatre sinus sont positifs.



F','ORMULES DES TRTANGLES QUELCONQUES. 2rl267. Formules reliant deux eôlés et deux angles

dont ltun est oompris entre les deux eôtés.cotg a sinb: cosô cosO + sinO cotgA.

Pour obtenir cette formule, iI faut éliminer c entre les deuxformules :

cos a - cosô cos c { sinô sinc cosA (t)cos c - cos a cosb + sina sinô cosC. (Z)

Afln de rendre cette élimination plus simple, commençons pardéduire (265) des formules (t) et (2) la formute

sin C sin Affi:.ioo (3)

Remplaçons cosc et sinc dans (l) au moyen de (z) et (g) t

cos a - cos a coszb + sina sinô cosô cosC

+ sinô sina sinC cotgA

ou cos a sinzb

Divisons par sin rz sin ô :

cotg a sinbPar analogie nous pouvons éci.ire les six formules :

ilI

cotg a sinb-=

cos ô cos C

cotga sin c - cosc cosBcotgô sin a, - cosa cosC

cotgô sinc : cosc cosAcotgc sina : cosa cosBcotgc sinÔ : cosD

cosA

+ sinO cotgA

+ sinB cotgA

+ sinC cotgB

+ sinA cotgB

* sinB cotgC

+ sinA cotgO268. Formules reliant trois angles et un eôté.Oonsidérons le triangle polaire du trianglc ABC. Soient a, , b, , c,,

At, Bt, Ct, ses éléments.

gt-200c-a ar:200c-abt -200' -B Bf -200c-[ct:200c-C Cf:200" c.

La formule du no 262 appliquée à ce triangle donnecosa,t : cosbt cosct + sinôf sincr cosAt

ou - cosA - cosB cosC - sinB sin0 cosa.



'rt,

zL? COURS DE TRIGONOMÉTNIT.

D'où les trois formules :

rycosA - - cosB cosC + sinB sinC cosl, (1)

eosB - - cosA cosC + sinA sinO cosô (2)

cosC : - cosA cosll f sinA sinB cosc. (3)

269. Remarqlue. Le procédé qui précède est le plus simple ;

on peut cependant aussi démontrer ces formules à l'aide du groupefondamental.

Les groupes II et III étant établis en partant du groupe fonda-

mental, onpeut éliminer

bentre les équations :

cotg a sinb : cosô cos0 + sin0 cotgAcotg b sina: coso cosC + sinC cotgB

et sinD sinA :- sina sinB.

On obtient, en éliminant d'abord sin ô :

cosa sinBet cosÔ sinA : cosa sinB cos0 + sin0 cosB.

Multipliant la 2e par cos C + 0 et ajoutant membre à membre:

cosa sinB - cosa sinB cos20 + sinO cos0 cosB + sinC cosAou cosa sinB sinzO : sin0 cosC cosB + sinC cosA.

Enfin, divisant tous les termes par sinC # 0,cosA : - cosB cosC + sinB sinC cosa.

279. Cpleul des eôtés en fonetion des angleso

Dans la formule (l) de (268), remplaçons coso, par I - zsinr!:É)

cosA - - cosB cos0 + sinB sin0 - 2 sinB sinC sint*z

ou cosA -F cos(B + C) : - 2 sinB sinC sinrl2

d'ofr

ou sinz!:_2co!*(a * B * cJ cosi(B i- c-A).2 2 sinB sin0

Posons A + B + C - 25;

sinza __cosA*cos(B*C)'s 2 2sinBsinO

on obtient , sin * :\/) V sinB sin0 (1)



FORMULES DES TRTANGLES QUELCONQUES. 2I3

Le signe + seul convient devant le radical, cara

Si dans la même formule on remplace cos a, par 2 cosz fr - t,on obtient

{

cosA : - cosB cosC - sinB sinC + 2 sinB sinO cosr{

d'où __oa, cosA + cos(B - C)coszz:

æine-2cos*(A * B - C) cos*(A * C - B) _ cos(S --- C) cos (S ....- B)2 sinB sin0 sin B sinC

enfin a' t /OSZ:V

Le signe + seul convient devant le radical.

*^a, sinia 1

'8, &: VL- b ' , C .'tg; et tg|- s'écriront par analogie.

En multipliant (l) et (2) membre à membre on obtient

sina : ?sin B sin C

(2)

(3)

(4)

on vérifiera aisément que cos(s - a), cos(s - B), cos(S - C)sont ) 0, tandis que cos S

27r,. Proportlrrn des sinus.Grâce aux formules (a) des no' 264 et 270, nous pouvons ajouter

deux nouveaux rapports à la proportion des sinus. Mais auparavantnous ferons une remarque.

On a 4 sinp sin (p - a) sin (p -. ô) sin (p - c) :: [cos a - cos( b + c)f [cos (b - c) - cos af :: I

-cosza

-coszb

-coszc + zcosa cosô cose-.

I cosa cosD

ensa, I coscl-482.cosD eosc I



214

Iz

d'où

couRs DE TRIcoNoMÉrntn.

De mêre, - 4 coss cos(S - A) cos(S - B) cos(S - C):: - [cos A + cos (B + C)] [cosA + cos (B - C)] :: t - coszA - coszB - coszO -Z cosA cosB cos0

cosB cosA -llcosO -l cosAl:4^2.

I cosC ,o.n I

On aura donc

.!., a sin AIIt /i:--:stn 4

On déduit de

,(\)z:9.

A

sin B sin C

-:-:ln a sln c

là

sinA sinB sinC

2E

-

sln 4 sln o srn csin A sin B sin C

2L

d'où I : ATç-'o

E 1a

Â À";sin a sin ô sin c

On a aussi

4^2 I

-cos2a

-coszB

-cos2c

-2 cosa cosB cosc

-6--

E:4ôz I - coszg - coszô - coszc + 2 cosa cosô coscsinzA sinzB sinz0:-

_ :-

inza sinzô sinzc

I + cosA cosB cosC|z :- I - cos a cosb eosc

Cette dernière formule peut d'ailleurs se démontrer directement :

).2 : sinzA sin B sin C cos a (cos A + cos B cos t)) cos A...'F:-E

sinzA sin a sin ô cos c (cos (r - cos ô cos c) cos acoszA * cosA cosB cosC I * cosA cosB cosO

::o

cosza - cosa cos b cosc I - cos a, cosb cosc

Finalement la proportion des sinus devient

.,, a sin A sin B sin CIlo^--:-:--:

sin a sin ô sin cI -l- cos A cos B cos C

I - cos a cosb coscA

-G-o

(-Â1 r

"l:;Vt- cosza, -coszb- coszc +2cosacosb

[:A{ r-I: ; Vl - coszA - coszB - coszO - ?cosA cosB



F'ORMULES DES TRIANGLES QUELCONQUES. 2L6

212. Analogies de l)elanbre ou ele Gauss, reliant lessix éléments du triangle.. A+B a-bsm-l- cosT

Ccos z

. A_Bsm2-

.CsmtA_Bcos

2

ccos t

. A-bsm2-

ccos

z. a+bsrn 2-

(3)

(4't

premier

(r)

(2)

v

c : .ccos ._ slD ;

zA+B a*bcos cos:?'2

.Csmt .csmz

Ces formules peuvent se démontrer soit en partant dumembre, soit en partant du second membre.

ExnupLES : I. Formule (I):. A+B A B A B

sm --- - srn 2 cos v + cos T rto2

Àppliquons

. A+Bsm__

Vsinpsin(p-c)sin a sinô

les formules du no 264:.

1 /sin (p - b) sin (p - c) \, sinp sin (p - b)v

' sin(p-a)sin(p-c)^ sln 4 smc

Vsinp sin(p - c)

sin a sin ô. A+B'rn:r.. 2 :g(p-ô)*sin(p-a)

C

cos t

d'oùC

cos

2a -l-.ô\ a-bTi eos

zsmc

z sin A-

sinc

^ . c 0,-b a-bz smz cosT cosTc

cos z.cc

Z Srn = COS; I ---'tJ t\t



a2T6 CoURS DE TRIGONOMÉTRIE.

If. Formule (3) :

a*b a bcos T - cos' cos Z-

Appliquons les formules du no 270:

.A,.1)smt sln2

a*bcos-2 cos (S - B) cos (S - C) cos (S - A) cos (S - C)sinB sin0 sinA sin0

ccos

2

ou

r/v. /cos (S - A) cos (S : B)va*br cos_'

cos(s - c) f coss:sinC

(car coss < 0)c

cos 2 -,,

2 cos(s - g) ro.f,CC

2 sinf cosfA+Bcos 2.Csmz

213, Remarque. On peut encore démontrer ces formules enpartan t des groupes précédents ; on observe que tous les termesdes proportions en question étant positifs, il suffira que I'on démontreles formules obtenues en élevant tous les termes au carré i or, ces

formules peuvent alors s'écriro en fonction des cosinus; par exemple,

pour la première, on obtientI - cos(A + B) l*cos(a-b)

I * cosC

Démontrons cette formule.

On a:

t * cosc

I - cos (A + B) : I - cosA cosB + sinA sinB: I - (cosA cosB - sinA sinB cosc) + sinA sinB (l - cosc)

:tfcosO+ sina sinÔ sinsClsin2c (t - cosc)

snT ,]osC(t-

lG.scsina

Y

: (l * cosc) [t +



FORMULES

De là résulteI - cos(A + B) t +

DEs TRIANcLES euELcoNeuES. 2I7

cos c*sinasinô-cos c*cos acosbI * cos0 I f cosc

t + cos(a-b)

Par suite

Simplifiantformule (l).

Les autres formules peuvent se démontrer de la même manière.

274. Remarque permettant de retenir ces formules par cæur.

Dans le premier membre les angles, dans le second les côtés.

Dans le premier membre deux lignes complémentaires, dans lesecond membre deux mêmes lignes.

A une somme daus un membre correspond le cosinus dans I'autre.A une différence dans un membre correspond le sinus dans I'autre.

275. Analogles de Népero reliant cinq éléments du triangle:les trois côtés et deux angles, ou les trois angles et deux côtés.

t + cosc

Zsinra*B { ,17'-fiT 2cos2?

T:æ' cos'l 2 cos'f,

par 2 et prenant les racines carrées on obtient la

VI

, A+B a-brg2cos2

-.-d-: e+6 (l)coLg' cos

2

. A-B . a-btg Z sm-7-rc:m@)otgt sm---

,ct8z

,c,92

tg*À + te*B

, ct+b A-Btg2cos2A+Bcos

2

, a-b A-BoF- SltS-2Ér

. A+Bsrn -ï-

(3)

(4)

La formule (t) s'obtient en divisant membre à membre lesformules (l) et (3) de l)elambre ; les autres formules s'obtiennentd'une manière analbgue.

276. Ces formules peuvent aussi se démontrer au moyen des

formules qui donnent tg*A, tg*B, tSâC en fonction des côtés(3, 264) z

.On a, A+Brgz I - tgâA tgiB



?LB couRs DE TRTGoNoMÉrnrn.

Ces formules donnent, .A + B a, - brg z sin(p-ô)*sin(to-a)_tot z-; T: a+61tg2 '' \' ' cot

2

277 . DÉrvroxsTRatroN DTRECTE.

Éliminons cos c du groupe fondamental et additionnons membre àmembre les équations résultantes; nous obtenons

sin (a + b) (L - cos C) : sin c (cos A + cos B).

Du grollpe des sinus, otr tiresinA + sinB sinCw:Sinc

Éliminons sin c entre ces deux relations ; nous obtiendrons laformule (l).

278. Remarques. - I. Les formules (l) et (2) sont dites : grandesanalogies.'les formules (3) et ( ) sont dites gtetite,s a,na,logies.

If. Dans le premier membre, deux lignes complémentaires pourles grandes analogies, deux mêmes lignes pour les petites.

Dans le second nembre, toujours deux mêmes lignes.A une diftrence dans le premier membre correspond un sinus

dans le second, à une somme dans le premier membre, un cosinusdans le second.

Dans le second membre flgure toujours le rapport de la demi-différence à la demi-somule des arcs.

Aire du trlangle splrériqr.re.279. Définition, On appelle encès sphérique, l'excès de la

somme des angles du triangle sur deux angles droits

Théorème. L'a'ire d'un triangle sphérique est égale ù lalnesure de l'eucès sphérique ù condi,t'ion de pt"endre respec-ti,aement corwne étalons de surface et d'nngle :

70 le triangle trirectangle et l'angle droit;20 le carué construit sur le ra,yon et l'angle radian.Ce théorème est démontré dans le cours de Géométr,ie.

280. Il en résulté que si nous appelons :

iss I'aire du triangle en prenant pour' étalon le triangle tri,rec-

tangle ;o I'aire en prenant pour étalon le car"ré construit sur le rayonde la sphère ;

s I'aire en prenant pour étalon le carré constt"uit sul'-l'étalonrectiligne (le mètre) ;



FORMULES DES TRTANGLES QUETCONQUES, 2lg

2E la mesure de l'excès sphérique en grades ;2, sa mesure en prenant pour étalon l'angle droit ;2e sa mesure en prenant pour étalon l'angle radi,an ;A, B et C les mesures des angles en grades ;

' A1, B, et Cr leurs mesures au moyen de I'angle droit ;q, p et \i leurs mesurcs au moyen du radian;R la longueur du rayon de la sphère en mètres;

nous aurons les relations suivantes :

2E : A + B + C

-200c : 2S

-200"

2Et2e- d. + p + T

,30:2E, 6-2e e[ S:oRzDe plus, nous avons également (37)

2e 28, Ztr',:T, 200 2

d'où

zSL CaIeuI de E. trn- foncti,on des angles :

2F.'

En foncti,on d.,'tr,rz côté et d,es engles adjac;ents I c, A, B.

cosC - - cosA cosB * sinA sinB cosc

c :28 - (A + B) + 200o

cos0: - cos[Zn - (A + B)] : - cosA cosB + sinA sinB cosc

d'où cos

[Zn -(A + B)]

=cosA (cosB

-sinB tgA cosc).

Posons tgA cos c - tg?

il vient cos [zn - (a a n)1cosA cos(e -i- f)

282. En fonction de deuæ côtés et de

De la première analogie de l{éper :

a-bL_a+ B cosTlg_

â-:G6cos--_

COS g.

l'angle cornpris: a,, b,

2E nE rr,ERz.so:m 6-m et s-ffi.

(2)

c.

,Ccorg

2

C

-2rA+B

-100c+E



220 couns DE TRrcoNoMÉTRrE.

d'où *g#: -cotn("- g): cotg(; -Ùa*bou rr(l-Ù:ffu'r* (P)

\\ / cosT283. En fonction d,es trois côtés t &, b, c.

2r.:A+B+C-200"

A+B+CE- - i00"

sinE_ a+B+c a+B c a+B ccosT: sm-7- sln Z - cosT cosz

Des formules de Delambre :

---a,-b - a,+b. A+B COS--r C I A+B COST

CStD;-- J cosZ et cos Z = c smzcost cosz

on tire sin!+ B cz smz

eù cos$.or$:

a-bcos:z- sinC

z cosf,

a*bcos2

--sin.C;z cos$

a*b a*bcos.--T- -cosTd'où sinE : sinC;

z cos9)H

. n ,. sinlsio !ou sinE- o=

o sin0;c

COS =)fr,

or sinc- 2 Vffiv ;

V

(4)

a,bcz cost cos 2 cos1donc sinE -



FORMULES DES TRIANGLES QUELCONQUES.

284. Formule de Lhuilller. - Ilexiste une autre

plus simple permettant le calcul de E en fonction des côtes :

De la formule

on tire

A+A+B

Les analogies de Delambre deviennent donc :

22L

formule

B+C-200":28

: looc - (; - E).

fC -\a-lt

COSI ô -,bj I COS-\^, -) 2T:_osz .u, "2

Appliquant le principe connu sur les proportions : la différencedes deux?premiers est à leur somme comme etc,, of tenant comptede la première et de la dernièr'e formule du no ,,07, otr obtient :

, C-E E , c*a-b,rc*b-ar,g 2 tgi-tg a tg4

, ?) -_A- +op - a:,19= -." z t (o)

^,._C-E, E, cc+ b+ c, a*b-cei cotg 2-tgi-rg 4 tf+

Multiplions (6) et (7) membre à membre

H

E'f;-tgtrrry6+

""(; * E).C c

srn z cosz

, n-c.t'c)É)

wE

a,

+b

cosTet

- 10P+oP - c-o2'o2

(7)

(s)

200"

0

convient pâs, parce que

+B+C-200o0

0

La racine négative ne

donc

100' donc



222 couRs DE TRIGoNoMÉrnIg.

285. Formule dtEuler.

onacosp:rioA*B+C -'-A+B 'C À+B^--C2 - srn 2 cos, + cos-j_ srnr.

Or, des formules de Delambre on tire

a-b. a+B c cos z . ^csm

--cost : c sm:t

cosz

a*bet cos$ ri'f : tot : sin,!.

cos2

D'où_ a b , ^:_^a . b - t1 , - ^cc .b. . .

_cosâcosâ * sinâ sini cosC

_4coszîcos?i* sina sinô coslC

.abc4cost cos2cos?cosE

ccos

z(t + cos ct) (I + cos b) + cos c

-cos a cosb

4 cosI a cos I b cos! cOu enfin

sina -Onaaussi A:

!

l+cosa*cosb+cosccosE : (e)

(r)

(2)

(3)

(4)

4 cosla cos ib cosic286. Remarque f. Les formules qui expriment les côtés en

fonction des angles sont souvent mises sous une autre forme,où intervient I'excès sphérique. On observe que I'on a en effet

2B:2S-200" ou S:100"+E

d'où - coss: sinE, cos(s - A): sin(a - E), etc.Par conséquent, les formules du no 210 deviennent

. u''sltr; :a

acost : 1 /sin(B - E) sin(C - E)

V sinB sinC

wl:

v2vsinB sinC

V

sinE sin(A - E)sin B sin C



F'ORMULES DES TRIÀNGLES QUELCONQUES. 223

287. Remarque II. Si I'on applique au triangle polaire du

triangle ABC les formules (5, 283), (8, 284) et (9, 285), êt si I'onobserve que I'on a

e,t + A : 200", b' + B : 200c,

d'où pt :200" - E, P' .- 61,t -ainsi que Er - 200" - F, on obtient

ct+C:200',A - E, etc.,

sinp :ZsiniA siniB siniO

cow$:v

(10)

(1 l)

(r2)t cos/ocosA+cosB+cosC-l:.

288. Remarque. Les formules (5, 283) et (10, 287) comparéesà la proportion des sinus (27 L) donnent

ô : 2 sinE cos { "orf; "or9,

A - 2 sinp sinf sin| ,in$

sinE _ 2cos*A cos*B cos*CZsinia sin ib srnic sinp[, ). -- '}oA srn4

s 2. EQUTVALENCE DES GROUPES DE FORMULES.

289. Théorème I. Se a) b, c, A, B, C sont si,æ arcs positifs

lnoindres que 200" satisfaisant a,u système des trois formulesfondamentales, ces sir nombr es sont les éléments d'un trianglesphérique.

Sur les deux côtés d'un angle A portons 1ftr : b et Sr - c ;

joignons les poinis Bf et Cr par un arc de grand cercle moindrequ'une demi-circonférence. Appelons &t , Br et Cf les trois nouveauxéléments du triangle ABfCf ainsi formé.

On aura :

cos at

-cosb cosc + sinb sinc cosA (l)

cos Ô : cos af cos c * sin arsin c cos Br (2)

cosc : cos a,,tcosb + sinatsinÔ cos0f . (3)

De (l) résulte cos e, - cos af .



224 couns DE TRTGoNoMÉrRrB.

a, et &t sont deux arcs positifs moindres que 200c; ils ont mêmecosinus, donc ils sont égaux : a,t : a,.

n réstrlte alors de (2) et (3) que Bf : B et C' - C.

a, b, c, A, B et C sont donc bien les éléments d'un triangle.290. Corollaire. Si (a, b, c, A, B, Cr) constitue une solution du

groupe fondamental, chacun de ces nombres étant compris entre 0et 200o. a, est la seule valeur comprise entre 0 et 200" attribuableà a, lorsqu'on attribue aux cinq autres variables les valeurs U cL

Ar Br Cr I et de môme pour chacun dcs six éléments.

zgl Remarque. On peut démontrer directement que lesconditions d'existence du triangle au point de vue des côtés sontsatisfaites par les solutions du groupe fondamental.

Soit a,

n faut prouYer que Io

r (aPar hypothèse :

d'où cos a

Donc

et par suite

ou

cos cc

: cosb cos c - sinÔ sinc -l }sin& sinc.or, $.cosa,-cos(ô +c)+2sinôsir A

lC COSZg

cos a, - cos(ô + c) > 0 (2)

2sinb+c*a, b+c-ct,

-sin,ette inégalité exige que I'on ait :

t ^2_a,+b + c \

tsinf(3) J ^,^b+ c-a(sin-Or, on a par hypothèse :

. a+b t-jln2. b + c-a, , ^srn-

0 aa*b*c2\100"

Les inégalités (3) et (4) exigent donc que I'on ait :

(o(5) { t ou bien (6) {\,lo

h)

0

0

0



F'ORMULES DES TRIANGLES QUELCONQUES. 225

Or, (6) donne par soustraction : 200"'contraire à I'hypothèse.

Les inégalités (5) sont donc seules admissibles ;

d.'o,'( 0ula,

2g2. Définition, - Deux groupes de formules sont dits équiaa-,lents lorsqu'ils sont vériflés par les mêmes systèmes de valeurs"comprises entre 0 et 200".

293. Théorème II.

-Tout groupe de trois fornoules ind,épen-

dantes les unes des au,tres, prises parmi. les formules d,,es

tràangles sphériques, est équiaalent a,Lt, gî"oupe fond,amental,à condition que chaque élément, pris individuellement, ne pu,issereceaoir qu'une seule aaleur compl"ise entt"e 0 et 200" pourun systètn'e détermi,né de ua,leut"s co?npq,tibles attribuées a.,ufi,autres éléments.

Si cette condi,ti,on n'est pes renopl'ie, le groupe est équiaatent ù,un ensernble de groupes, parrïùi, lesquels le groupe fond,c(,lnental.

soit un système de trois formules indépendantes :

( F, @bc aBC) - 0

I { F, (abc ABC) : 0( Fu @bc ABC) : o

fo Étiminons C, puis B ; nous obtenons le système équivalent :

( F, (abc ABC) : 0ili Fn(abcAB)-0

( E', (abc a) - o

L'équation Fb - 0 permettra de tirer A en fonction de abc :

: d1 @bc)

.: o.'!o.ut)

: a",(abc)

Far substitution, l'équation tr''4 -Fn (abc u*B)

(abc)

(abc)

cosA =- fr (abc)cosA - fi (abc)

cosA : fn (abc).

0 devient alors :

-0

d'où

!i(;

al"taYZ

it;

d'où

.ul: 9" @bc)

cosB : g, @bc)cosB : g, @bc)

{ouns or TnrcoxovÉrnrr.

cosB : g* @bc)



226 couns DE TRIGoNoMETRIE.

Puis l'équation FgFt (aba u*pn}) : Q

( C - ^yr(abc)

d'oir I c:ïz@bc)ou

1""..'( C : ^yo@bc)

cosC -cos0 -

hL @bc)h, (abc)

cosC - ho @bc)

A chaque valeur de A, de B ou de C, comprise entre 0 et 200c"

ne correspOnd qu'un cosinus, et rëci,proquernent.

Le système I proposé est donc équivalent à I'ensemble des sys!èmes(n : l, 2, .,. rn)(y : l, 2, ... n)(z : l, 2, .., p)

ffil:::l -T;'e?t

Zo parmi tous cgs systèmes figure le groupe fondamental.En efiet, le groupe fondamental a servi à obtenir les trois formules

du système I. Donc toute solution du groupe fondamental est solution

du système I et doit être fournie par un des systèmes III. D'un autre

côté,cette solution ne peut pas être sQlution d'un des systèmes III

autre que le groupe fondamental, parce qu'elle est constituée parles éléments d'un triangle (2Sg) ; et s'il existait entre les éléments

d'un triangle une formulecosA -- ft (abc)

autre que Ia formule fondamentale coruespondante, a, b et c ne

seraient Pas indéPendants.

Donc les solutions du groupe fondamental ne peuvent être fournies

que par lui, et, par suite, ce groupe fi.gure parmi les systèmes III.

go Si le système I est équivalent au groupe fondamental, il fautque I'on ait rn : n - Pgtoupn fondamental, d.onc ne peut vérifi"er aLrcun autre système III.par conséquent, iI n'y a qu'un seul système III, et c'est le groupe

fondamenbal

Alors, à un système de valeurs comprises entre 0 et 200' attribuées

à cinq des éléments, ne peut correspondre dans le groupe I qu'une

seule valeur pour Ie sixième élément, puisqu'il en est ainsi dans le

groupe fondamental (290)..

40 Si, dans Ie système I, chaque élément pris individuellementn'est susceptible que d'une seule valeur comprise entre 0 et 200c

pour un système déterminé de valeurs comprises entre 0 et 200"

âttriUoées aux cinq autres éléments, Ie système I sera équivalent au

groupe fondamental '



FORMULES DES TRIANGLES QUETCONQUES, 227

En effet, alors ryù - lt : F : l, sans quoi à un système devaleurs 4r brc,B, C, par exemple, pourraient conespondre2valeursdistinctes pour A, fournies par deux équations cos A - f^(abc)et cos A : fr(abc), celles-ci ne pouvant donner deux valeurségales quels que soient arbl cr sans être indentiques, puisque, sinon,on aurait fr(arbrcr) : fi(a,,,brcr), relation impossible entre les3 nombres arbitraires a,L bL et c1.

Le théorème est donc démontré.

294. Théorème [II. SueI que soit le système considéré, un

élément quelconque ne peut receuoit" au manitnurl que deuæaaleurs comprises entt"e 0 et 200" pour un ensemble déterminéde ualeurs attribuées a,ufr autres éIéments.

L'examen des différentes formules des triangles permet de

conclure qu'un élément peut prendre plusieurs valeurs lorsqu'il ne

fi.gure dans le système que par son sinus, otr bien lorsqu'il ne fi.gureque dans une seule équation du système, par son siuus et soncosinus. Dans tous les autres cas, ut élément ne peut prendrequ'une seule valeur comprise entre 0 et 200" pour un groupe

déterminé des autres éléments.Dans le premier cas, l'élément en question peut prendre deux

valeurs dont la somme vaut 200". '

Le groupe étranger qui en résulte s'obtient en remplaQant cetélément par son supplément dans le groupe fondamental.

Dans le second cas, Ia théorie des équations nous a ntontré qu'uneéquation de la forme

Msinæ*cosç:P

perytadmettre au plus deux solutions positives pour ET, c'est-à-diredeux Valeurs comprises entre 0 et 200" poul' ,t. Â

Corollaire. Le nombre total des groupes III, dont l'ensemblefournit les solutions d'un système, est au maximum une puissancede 2 dont I'exposant est le nombre d'éléments susceptibles dedeux valeurs.

295. Conclusion. - LorsQue I'on doit résoudre un triangle, il fautexaminer si Ie groupe de formules employé est équivalent au groupefondamental, or se basant sur le Théorème II (293).

Dans ce cas, toute solution du système est acceptable et estconstituée par les éléments d'ult triangle.

Dans le cas où le groupe en question est équivalent à un ensemblede groupes (parmi lesquels le groupe fondamental), on pourra



228 couRs DE TRIGoNoMÉrnlp.

trouverun

ensemblede solutions dont tous les éléments sontcompris entre 0c et 200".

On pourrait trouver les mêmes solutions en résolvant séparémentles différents gl'oupes du système. Il s'agit d'éliminer de cet ensemblede solutions celles qui ne sont pas les solutions du groupe fonda-mental, sans pour cela devoir résoudre ce groupe ni vérifier toutesles solutions. En effet, une solution dont les éléments conviennentà un triangle doit être solution du groupe fondamental.

On peut à priori éliminer les solutions qui ne vériflent pas les

conditions d'existence des triangles au point de vue'des côtés etau point de vue des angles.

On peut également vérifler les conditions établies par lesThéorèmes IY et Y ci-après.

Dans certains cas, on pourua encore vérifler des conditionsspéciales (exemple : Triangles rectangles).

Mais, êtr général, iI arrivera que I'on ne puisse pas se débarrasserdes solutions êtrangères , et par conséquent on cherchera autant

que possible à n'utiliser que des groupes équivalents au groupefondamental.

296. Théorème IV. Dans tout tri,angle sphér,i,que, la dàffé-rence entr"e deuæ côtés a le nzênze si,gne gue la di,fférence entreles angles opposés.

Considérons la formule de l{éper :

(A-B) (a-b)1tBd .lsln

2

parce que 0

tDonc, tg;(A -Or,

IB) et sini @ -

cotg I c".,

Dans cette formule, cotg;C

I

sini(a + b)h/

o er sin]@*b)>o

ô) ont le même signe.

- l00c

(A- B)

(a - b)

ont le même signe.

100"I2

1

2

Donc, A-B et a-b



FORMULES DES TRTANGLES QUETCONQUES. 229

297. Théorème V.

-Dans tout trdangle sphérique, Ia solnrne

de deuæ côtés et la sornrne des deun angles opposés sont demême nature par ragtpot"t ù 200c.

Considérons la formule de I.[éper :

, I t^ . h\ I ttsà(a + B) cos à(" - b)

cots| c

Dans cette formule cotg| CI\)

parce qrre 0

Donc, te* fa f B) et

6

Or,

(æ + ô) ont le même signe;_"

(a

(a

Icosz

1

I

IIDonc. : (A + B)

"t ; (a + b) sont de même nature par rapportzà 100", ou A + B et a * ô de même nature par rapport à 200".

298. Bemarqrre.Dans les applications, otr se servira du groupe

11ê: lgl: r19sln a srno sm c

que I'on complétera au moyen d'une des formules IIr, IIr, [r, ouune analogie, une formule de I'excès sphériQu€, ou du périmètre,suivant les données de la question.

EXERCICES.

l. Transformer différents groupes de trois formules, de manièreà reproduire le groupe fondamental et les groupes étrangers s'il ya lieu; exemple :

(Uê :sinB

) sina sinô

Jcotga sin b : cosô. cos0 + sin0 cotgA

( cos e, - cosô cos c * sinô sinc cosA.



230 côuns DE rnrcoNouÉrnrn.I

2. La bissectrice d'un angle divise le côtê opposé en segments

dont les sinus sont : 1o proportionnels aux sinus des côtés adja-cents ; 2" réciproquement proportionnels aux sinus des anglesadjacen ts.

3. La médiane divise I'angle au sommet en deux angles dont lessinus sont : lo réciproquement proportionnels aux sinus des côtésadjacents ; 20 directement proportionnels aux sinus des anglesvoisins.

4. Démontrer les formules

,rnlsin!sinE:ff sinAcosg

abccost cos 2cosz

tgA tgB tg0 cosÔ cosc - tgA + tgB cosc * tg0 cosÔ.5. Démontrer que si A et (B + C) *ooi constants, il en est de

urême du produit te*b tgic.6. Si At, Br et Cr sont les points de rencontre des côtés d'un

triangle sphérique avec une circonférence de grand cercle, on a :

sinAtB sinBfC sinOrÀffia-o'ffi.'*ffi l'

Au contraire, si les arcs AAt, BBt, CCt sont concourants en un

point 0, ce produit vaut - 1.7, Étabtir entre les côtés, les diagonales et leur angle, dans un

quadrilatère sphérique convexe, Ia relation suivante

cos a, cos.c - cosÔ cos d : sinm sinn cos0.

8. On donne un petit cercle et un point P. Par ce point on mèneun grand cercle qui coupe le petit cercle en A et B. Démontrer quele produit

tg* tET est constant'229. Dans un triangle sphériQu€, I'al'c de grand cercle qui passe

par les milieux de deux côtés détermine sur le troisième côté deuxarcs supplémentaires.

bccOso cososin(A E):#sinA

aCOS=

z

. p p-a, . p-ll . p-cstni sm=- srn' o- sm-

2Esmt :



TRIANGLES RECTANGLES ET RECTILATÈRtrS. 23L

10. Si I'on appelle d., F ut 1' les longueurs des arcs joignant deux

à deux les milieux des côtés d'un triangle sphériQuê, on a,

I f cosa * cosb + cosc : COSE.4 cos ia cosib coslc

cosc' cos I cosY

-:r-

cosia cosiô cosfc

11. Si I'on prolonge I'arc d. jusqu'à sa rencontre en P avec le

.côtê a, et si I'on porte à partir de P, sur cet atc) un arc t'Îl : d.,

et sur l'arc fr, un arc fr : *, démontrer").

1o que 5È, : E;

20 que B est le pôle de I'arc fi,.12. Si quatre grands cercles issus d'un point P sont coupés par

un arc de grand cercle aux points A, B, C, D, le rapportsin CA sin DA,iffi , ,i"fi est constant.

Si ce rapport vaut - 1, êt si M est le milieu de AB, on a

2 cotgAB : cotgA0 + cotgADtgzMÀ - tgMC tgMD.

CHAPITIÙT] II

TnianEles nectangles et nectilatèrres.

s l. FoRMULES DES TRtANcLES RECTANGLES.

299. Si I'on faft A -- 100" dans les formules des triangles quel-"conques on obtient :

cos Q, - cOS b cOscsinb - sina sinB

sinc :- sina sinO

tgb - tga cos0

tgc : tga cosB

tgb - sinc tgB

tgc : sinô tg0

cos a, - cotgB cotgC

cosB - cosÔ sinC

cos0 : cosc sinB.

ul

"rl

ryl



232 couns DE TRIGoNoMÉrntn.

300. Rôgte de Maudult. IJne règle pratique permet deretrouver facilement ces formules (fig. 4O).

too'- c too"-b

C

Frc. 46.

Si, dans la succession des éléments du triangle, on fait abstractiond,e I'angle droit A, et si I'on remplace c et b par 100'-c et t00e-fi,,on peut dire que:

Le cos,i,nus d,'un étément quelconque est égal au produi't des

cotangentes d,es éIéments adjacents, et a,u ytroduôt des sinusdes éléments ogtgtosés.

Par conséquent, prenant au hasard trois éléments quelconques,

pour trouver la formule qui les relie, onexamine

s'ilssont consé-

cutifs ou non ; dans le premier cas, le cosinus de l'é,\é,ment durnilieu est égal a,u produi,t des cotangentes des deun autres ;dans le second cas , le cos'inus de l'élément qui est seul est éga|a,u prod,uit des si'nus des deun a,zttres.

ggt. Théorème f. - Dans tout triangle rectangle, le nombredes côtës ai,gus est i,,mPair.

Cela résulte de la formule cos Q, - cosb cosc.

Théorème I[. Dans tout triangle rectangle, un côté de

I'angle droit et l'angle opposé, sont de même nature parragtport ù 100".

cela résulte de la formule tsb - sinc tgB.

. 302. Exeôs sphérique. Dans la formule du no 282

/ A -\ cos'#, ats(t-E):WtsicosT

faisons A- 100". ilvient:

tg50" - tgEb*ccos--i-

+tg$Oci of, tg50o-l;.o-ccosTg(50" - E) : I + t950" tgE



TRIANGUES RECTANGLES ET RECTILATÈRES. 239

donc

I

^^_b-c ^^_b*c- cosT -cosjjv tgE - wg+;

s 2. FORMULES

303. Si nous faisons aobtenons :

DEs TRTANGLES REcTtLATÈnEs.

: 100" dans les formules générales, nous

Si dans Ia succession des élémentsde a - 100c, et si I'on remplaceC et 200" - A, la règle de Mauduit

lcotSb cotge - - cosAI { cos b - sinc cosBI( cos c - sinô cos0

il [sinB: sinô sinA

( sin0 - sinc sinA

(cosb*-tg0cotgAt

ï1r ) cos c - - tgB cotgAllt\.^

/sinO: cotgb tgB

I sinB - cotg c tgCry cosA : - cos B cos C.

304. Rôgle pratllfuordu triangle, on fait abstractionB, C et A, par 100'- B, 100" -est applicable (fig. 47).

A aoot-A

rooc-B

305. Théorème r. Dans ,î*'rTnongte rectilatère, les angtesobtus sont en nombre'itnpa,i,t".

cela résulte de la formule cos A - - cos B cos c.Théorème II. - Dans tout tràangle rectilatère, un côté et

l'angle opgtosé sont d,e même natuie p&r rapltot"t ù 100c.

Cela résulte de la formule tg B =- sin C tgb.

B



j

:l

234 COURS DE TRIGONOMETRIE."*

30ô. Exeôs sphérlque. En fonction des angles B et C:

2E':A+B+C-200oa-28-(B+C)+200"

cosA--coslzn-(BAc)l ;

Oft cosA -.-. costs cosC;

S 3. NÉSOLUTION DES TRIANGLES REOTANGLEE.

308. Dans la résolution des triangles rectangles, six cas peuventse présenter :

On donne deux côtés a,, b; calcnler c, B, C;

donc V cos [zn - (B + C)] : cos B cos C.

307. En fonct'ion d,es côtés b et c :

sinE : cos | "orf, "orf,Or, 2p: a*b+c- l00c+b*c

p:50" +ryp-a,-ry-bo"

d'où sinp sin( p

- a):-sin

(uo" +b+)cosfro" "ry): - | sio(100" + b-F c) : - | cos(ô + c).

De même p - b:50" ++',p _,

d'où sin(p

-

b)sin(p

-

c): sin (uo"+ h'\(-,0+ Ô ;')

\ 2 )cos\.o"-* 2 /I . .-^^ l: ;sin (100" + b - c) :i cos (b - c).

Et enfin VI sin E -V- cos (Ô * c) cos (Ô - c)

zVz "or! "orf,

b, c;



TRIANGLES RECTANGLES ET RECTILATERES. 235

On donne un côté et un angle û,8; calculer b, c, C;

: :: ?,2; _1,,7,1"deux angles B, C; a) b, c.

309. f u" Gos. - Résoudre un tri,angle rectangle, conna'i,s-sant I'hypoténuse et un côté de l'angle droi,t :

(1, b (c, B, C).

Résolution. La règle de Mauduit donne les trois formules :

(cosc-##sin ô : sin a sin B (2) d'où l'on tire { sin B --

gI SLD'AI

coso - cotg a tgb (3) ( ,orc : !P^rge

Discussion. Le système d'équations utilisé est équivalent à unensemble de deux groupes : le groupe fondamental et un groupeobtenu en y remplaçant B par 200" - B.

La condition: b et B de ntême nature, permet d'écarter lessolutions de ce groupe étranger'

Pour qu'il y ait solutiôn it faut que

-IC'est-à-dire : & compris entre b et 200" - b.

Si cette condition est satisfaite, iI y a pour B deux valeurs :

( B, de même nature que b,I

I B, : 200"

-Br'

Pour C et c iI n'y a qu'une valeur.Le système d'équations admet donc deux solutions :

Br C c et Bz C c.

La première est solution du groupe fondamental , of Ia deuxièmeest solution du groupe étranger puisqu'elle ne vérifi.e pas la condi-tion b et B de mêrne na,t?tr?"e. La 1"" solution seule convient donc.

Si a n'est pas compris entre' b et 200" - b,, it n'y a pas desolution.

Si a,:boua-200t-bi cde solution.Si e,:b:100": sinB:1 d'où B:100".Les formules donnant cos C et cos c deviennent des identités.

I'on ait :

lt ffi



236 couRs DE TRIcoNoMÉtnm.

D'autre part, lâ formule : cos c

-sin Ô cosO

donne cosc-cosO d'où c-C.n est facile de voir géométriquement qu'une inflnité de triangles

répondent aux données.

En résumé :

Remarqlue. Si la diftrence entre a et Ô est relativement faible,de sorte que sinB, cosC et cosc sont voisins de l, au lieu d'employerle procédé de calcul indiqué au no 1,54, il est plus simple d'utiliserles formules suivantes, que le lecteur établira aisément :

.al

's; V,*Tts

z

ts (ro. - 3) :'/r*+cotgry

n faudra choisir le signe de tg (50" - *B) de façon que b et Bsoient de même nature, c'est-à-dire :

::1i :l":

l::"310. Èu easo - Résoudre un triangle rectangle conna.,i,ssant

Ies deun côtés de l'ungle dro'it :

b, c (a, B, C).

Résolution. La règle de Mautluit donne :

cosa:cosbcosc (t) . ( cosa:cosbcoscsinc - cotgB tgb (2) d'oÙr { cotgB : sinc cotgb

sinb-cotgCtgc (3)(cotgC:sinDcotgc

Discussion. - Le système d'équations utilisé est équivalent augroupe fondamental. On a toujours

-l

a, comprls

Q,-bou

Qr-b:ô compris

entre b et 200" - b

a-200"-b ,

I00c.o.entre a et 200' - a

I solution.0 solution.

infinité.0 solution.



TRIANcLES REoTaNGLES F,T REcTILaTÈnns. 237

Il y a pour a,) B et C uns valeur et une seule comprise entreO et 200". il y a donc toujours une solution un'i,que.

3ll. Su rc&se Résoud,re un tiriangle rectangte conna,issantl'hypoténuse et Lcn angle

. a,, B (b, c, C).

Résolutfon. La règle de Mauduit donne les formules :

sinô : sina sinB (I)cosB : tgc cotga (2) d'où

cos a., - cotg B cotg C (3)

sinÔ : sina sinBtgc

-tga cosB

cotgO: cosatgB

Discussion. Le système d'équations utilisé est équivalent àI'ensemble de deux groupes : le groupe fondamental et un groupeétranger obtenu en changeant dans le premier b en 200" - b.

Si B + 100", C et c reçoivent chacun' une valeur.

La condition 0 < sina sin B

" t b, de même nature que B,it y a pour b deux valeurs

J .'rvu^v

I br:200" -br'Le système admet donc les deux solutions

b, C c et b, C c.

La seconde ne satisfait pas à la condition : b et B de mêmena,ture ; donc elle est solution du groupe étranger, et par suite,la première solution est celle du groupe fondamental et est seuleadmissible.

Le problème admet donc alors une solution unique.

Si B-100'et a+I00":On obtient C - c - 0 solution à rejeter. Or, dans ce cas,

sinÔ : sin a

On petrt donc dire que les solutions sont à rejeter parce que b et Bne sont pas de même nature.

Si B : 100" et a: 100' i

(2) et (3) deviennent des identités ; (1) donne : sin b : I et b :100".

Les formules générales se réduisent à

cos0 : cosc et sinC : sinc .d'où Q :, e. It y a dans ce cas une infinité de solutions.



\ r,

238

En résumé :


31.2. 4' eas. - Résoudre un tri,angle rectangle connq,i,ssant'u,n côté de I'angle droit et l'angle opposé :

b, B (a, c, c).Résolution. La règle de Mauduit donne les

sinÔ - sina sinB

sin c - t7b cotg B

cosB : sinC cosô (3)

Discussion. Le système d.'équations employé est équivalent àun ensemble de groupes parmi lesquels le groupe fondamental.Les autres groupes s'obtiennent en remplaçant dans le groups

fondamental a, par 200" a, c par 200" c) C par 200" - C.

On obtient donc I'cnsemble des quatre groupes suivants :

cos Q., - e cos b cos c

cos ô

cosc - s cos a cosb + ef sina sinô cos0.

y ait solution il fautque

I'on ait:

(r)

(2) d'où

formules :

sin D----

-in B

tgBcosBcos ô

sin a

sin c

sin C

Pourqu'il

sinô0<-,-tn lJ +1 o<ffi cos B

0cos a

Ces conditions sont satisfaites si I'on a :

, b et B de même nature

I n compris entre b et 200" - b;c'est-à-dire B compris entre b et 100".

Cette condition étant satisfaite, il y aura pour a, deux valeurs

a, eI az) pour c deux valeurs ct et ctt , et pour C deux valeurs Cr et Crr.La condition : le nombre des côtés gtlus petits que 100" doit

être impai,r, permet d'éliminer les solutions des groupes obtenusen faisant e - - 1.

B+B:B:

100" . , o . . . . . lsolution.100" et &- 100" . o . . . 0 solution,100" et a:100" . . . . infi.nité.



TRr.o'NcLEs REcTaNcLES ET RECTTLatÈnns. 239

- La condition : c et C de même nature permet d'éliminer lessolutions des groupes obtenus en faisant et : - l.II reste donc d,eun solutions qui vérifi.ent le groupe fondamental

puisque I'on a écarté les solutions des autres groupes :

a.,, ct Ct et d, c" Ctt.

(a, et b Sont de même nature.)

Si b:B+100": a,: c-C-100"; unesolution.

Si b + B: 100"

:C

-c

-0

;pas de soluti'on,

Si b -B:l00ci (L- 100c, c et C sont égaux et peuvenù

prendre une infinité de valeurs, puisque cos c - cos0 est la seuleformule qui les relie. Il y a donc alors une i,nft,ni,té de solutions.

En résumé :

Remarque. - Si B et b sont peu différents, de sorte que sinA,sinc et sin0 sont voisins de 1, au lieu d'employer le procédé de

calcul indiqué au no 1,54, on se servira des formules suivantes, que

le lecteur établira aisément :

tg(ro"-):,.Vffisibsib313. 5e Goso - Résoudt"e un h''i,qngle rectatzgle conno,i,ssant

un côté de l'angle dt"oit et l'angle adj acent :

b, C (a, c, R).

IIs (ro " - i):

e,

ts (uo" - 3) : €2

B compris entre b et l00c

B -b+ looo. . .

B-l0oo+b. ,.

B:b:I00" . . .

B non compris entre b et 100"

2 solutions.

I solution.

0 solution.infinité.0 solution.



240 couRs DE TRIGoNoMÉrntn.

Résolution.

-Les formules

obtenuescos0 - cotg a tgb (l)sinô : tgc cotgC (Z) d'oùcosB : sinO cosô (B)

Discussion. Le système d'équatiau groupe fondamental.

La condition: -Ifaite, il y a toujours pour a,) c et B une valeur. Donc le problèmeadmet toujours une solution unique.

31,4. $e G&so Résoudre un tr'iangle rectangle conna,issantles angles :

Discussion. L,,e groupe d'équations utilisé est équivalent augroupe fondamental. Donc, pour qu'il y ait solution, it faut et ilsuffit que I'on ait :

-1t

La première condition donne

- sinB sin0ou cos (B + C)

et cos (B - C)

Or, de ce que B et C sont chacun compris entre 0 et 200", on a

0

Les conditions (4) et (5) deviennent donc

It00c

l - looo

La*condition (2) peut d'autre part s'écrire

- sin0

par la règle de Mauduit sont:( cotg a, - cos0 cotgô

, tgc - sinô tgC( cosB : sinO cosô.

ons employé est équivalent

B, C (a, b, c).Résolution. - Les formules obtenues par la règle de Mauduit sont:

cosa : cotgB cotgO (l) ( cosa : cotgB cotg0

cosB - cosô sinC (z) d,où I cosô : :#cosC : cosc sinB (g) (

cos ^ cos0c :sinT-'

(3)



TRIANGLES RECTANGLES ET RECTILATÈRES. 24L

Or, (6) donne C

-200"

et (7) donne - C

Donc (2) est satisfaite si (6) et (7) le sont.De môro, (3) rentre également dans les conditions simultanées (6)

et (7).Si ces conditions sont satisfaites, il y a pour chacun des nombres

e,, b et c une valeur comprise entre 0 et 200", et par suite il y a untriangle.

Si ces conditions ne sout pas satisfaites, il n'y a pas de solution.

Remarque. Si B + C estpeu

différent de 100", cos a, cos b et^cos c sont peu diftérents de l.Au lieu d'employer le procédé de calcul indiqué au n" 1,54, on se

,servira des formules suivantes, eue le lecteur établira facilement :

cos (B + C)

@ar,gd :V

+o9:ô2

+ob :o2

315. Résolution des triangles reetilatèreso - C'est unereproduction textuelle de la résolution des triangles rectangles.

EXERCICES.

I. La hauteur d'un triangle sphérique divise la base en deuxsegments

dont : Ioles cosinus

sontproportionnels

auxcosinus

des côtés adjacents; 20 les sinus sont proportionnels aux cotan-gentes des angles adjacents.

2. La hauteur divise I'angle au sommet en deux angles dont :lo les cosinus sont proportionnels aux cotangentes des côtésadjacents ; 20 les sinus sont proportionnels aux cosinus desangles voisins.

3. Calculer les hauteurs : lo en fonction des côtés ;

20 en fonction des angles.4. Résoudre un triangle sphérique connaissant

lo la base, la hauteur et I'angle au sommet ;

20 la base, la hauteur et la somme ou la différence desdeux autres côtés.

Couns on TnrcoxouÉrnrn. f6



I

242 couRs DE TRTGoNoMÉrmn.

5. Étant donné un triangle sphérique rectangle ayant les éléments.

a, c, B, démontrer qu'il existe un second triangle rectangle ayant,les éléments

A,t - 100" - C, Ct : 100" - A,, Bt - B.

6. Étabtir les formules (triangles rectangles) :

sirb c l), ccos 2cos}sinE:

t' tttzet cosE.- n

.aa,cost cost

CAAPITRE III

Résolution des tnianEles quetconques.

316. Dans Ia résolution des triangles quelconques six cas peuvent-

se présenter :

On donne les trois côtés a,, b, c; calculer A, B, C;deux côtés et un angle a,, b, C; A, B, c

a)b,A; B,C, cun côté'*..l* angles a,A, B ; - C, b, c

a, B,C; A, b, c

les trois angles A, B, C; ct,) b, c.

317. l"' Goso - Résoudre un triangle sphérique cor.Lnaissantles troi,s côtés :

a) b, c (4, B, C).

Résolution. On calcule les angles à I'aide des formules du' '

groupe fondamental (264,3)que

I'onpeut

établir aussi en remplaçant

dans la formule

On a donc

cosA par l is:â+t J- tg'*a

cos r, : cos Ô cos c * sin Ô sin c cos A.

tsâ

w*tsz.- v



nÉsor,urroN DES TRTaNGLES spuÉnretrns. Z4g

Discussion. Pour qu'il y ait solu[ion il faut et il suffit que

I'on ait :

sinp sin(20 - a) sin(p b) sin(p - c)Soient &

Par hypothèse 0

0

0

d'où 0 -2v2

0 - 2 .vv \.2

Donc sin (p - c)

sin(p - b)

Il reste donc comme condition :

sinp sin(p - a,)

Cette inégalité sera satisfaite par les systèmes :

(t)f sinp

i*i"i p-a)C'est-à-dire

to(3){ h,:_^ ou(+){-'l0 ,. 2 \ \ ^\'v \'

2

Le système (4) donne par soustraction200"

Donc le système (3) seul est admissible; c'est-à-direa+b*ca

Si ces conditions sont remplies, il y a une solution.3f 8. 2" c,a,so - Résoudre un tri,,angle sphérique eonnaissant

deuæ côtés et l'angle qu'ils cornprennent :

a,b,C(A,R,c).Résolution.

-Car,cul DIREcT.

- Les formules à employer sont :

( cotg a sinbI

1cotgô sin a, - cosa cosO + sinC cotgB (Z)

( cos c - cos a cosb + sina sinô cosC. (3)



244

De (e)

De (10)

d'où

n viendra :

couRs DE TRIGoNoUÉrnln.

La formule (3) donne :

cos c - cosa (cos b + tga cos0 sinÔ).

Posons tga cosC : tg?.cos a cos (b - V)cosc- Ë'

(4)

(5)

La formule (l) donne :

cotgA : # (cotga sin b - cosô cosC)

d'où cotga : cotgc (sinb

-- .ora)r.tga cosC ---- ): cotgC (sin b eotg? - cosÔ)

ou cotgA - cotg. sin(?- ?).sln?

Par analogie, cotgB - cotgasin(q-; tl)

en posant t7b cosC : tg+.

(6)

(7)

(s)

Clr,cur, rNDrREcT. Pour éviter I'emploi d'inconnues auxiliaires,on peut résoudre le triangle au moyen des formules suivantes, quisont calculables par logarithmes :

a-b. A-l-B cos

zt'g z : e+6)cosT. a-bsmz

. a*bsm__

cotgf; (e)

il

, A_Br'gz

, c î-

Tç--o2

cotsf; (10)

on tire

A-Bcos_ z_tnolb (lr)a-B-o 2cosTatB:

q.

2

A_Ba*d-

2

A-Br-

p

p

p



I

nÉsolurroN DES TRTaNGLES spsÉnreuns. 245

Iliscussion. Les systèmes I et II sont équivalents au groupefondamental; donc ils admettent les mêmes solutions.

Dans le système T, A et B sont obtenus par des cotangentes ;donc il y a, toujours pour chacun d'eux une valeur et une seulecomprise entre 0 et 200o.

Quant à c,

cos e:cosa cos b _sina sinÔ + }sina sinÔ cosz |, cos (a *b)

cos

e,-cosacos b

+sinasinô

-Zsinasinô sinz9

acos

(a--b).'à

Donc, I

Par conséquent, c admet toujours une valeur unique compriseentre 0 et 200t.

Le calcul par le système II est plus simple, et donne les mêmessolutions. Le problème admet donc toujours une solution un'i,que.

319. Su easo - Résoud,re un trôangle sphér'i,que connaissantdeuæ côtés et l'angle opposé à l'un d,'eun :

&, b, A (8, C, c).Résolution. Cal,cur, DIREcT. - Les inconnues peuvent être

calculées au moyen des trois équations suivantes :

/ ,, sinôI sinu:-sinA, d'oùB; (I)I Sln,&I( ,-I cotg a sinb- cosô cosC + sinC cotgA, d'où C ; (Z)( cosa:cosôcosc* sinbsinccosA, d'où c, (g)

Pour calculer C et c à l'aide de (2) et (3) it faut modifier ces

formules afin de permettre le calcul par logarithmes.Cll,cur, TNDIRECT. I{ous calculerons les inconnues B, C et c à

I'aide du système suivant :

. h sinô . .SI[IJ :

-StnA

sln 4

. a+bsrn-T-

. Ar-bsm_T_

. A+Bsm2-:IT-R

sm- ,-

il, A_B\92ots I

, A-'-b\92

(r)

(4')

wâ (5)



.246 couRs DE TRIcoNoMÉrntu.

Discussion. Le système I n'est pas équivalent au groupe fonda-mental parce que B, C et c peuvent chacun reçevoir individuellementdeux valeurs comprises entre 0 et 200", poltr un système déterminéde valeurs attribuées aux autres éléments. Ce système peut doncadmettre 8 solutions, parmi lesquelles il nous est impossiblede discerner rapidement les solutions qui vérifi.ent le groupefondamental.

En conséquence, or doit abandonner le système I (t).Le système II est équivalent au systèrne fondamental ; la discus-

sion vâ donc porter sur l'existence, dans ce groupe, de solutionsdont tous les éléments soient compris entre 0 et 200".

Pour que ces solutions existent, il faut et il suffit que I'on ait :

sin B

(6) (7) (8)

(') L'auteur anciennemeni recommandé par l'École Militaire donne le sys-tème suivant, transformation du système I en vue d.u caleul par logarithmes :

sin B ;- l* sin Astn 4cos (C - g) - cotg a tgô eos g

cos (c - +): g cos tfcosA '

Or, pour a, - 130c, b 80", A -résultant des combinaisons de :

Br : 96c,5156

Cr : l5lc,32c7 : )54c,L62

(l)(2) cotgg:cosôtgA (2t)

(3) tsg-tsbcosA (s)

123c, ce système admet 8 solutions

Bff : l0ge, 4944

C: : 135c,95

c2 - L40e,482

Ces I solutions vérifient toutes les conditions connues relativement auxéléments des triangles, et pourtant, nous savons par la discussion d.rr système IIque le problème n'admet que d'eun soluti.ons. La question est donc traitée d'unemanière insulfisante par I'auteur précité.

La Tri,gonomëtri,e de BnIor et Bouqunr est plus correcte. Ces auteurs fontobserver que les diflérences C - cg et c - Q doivent être prises de mêmesigne : positives pour A et B de même nature, négatives pour A et B denatures différentes.

Appliquées à I'exemple précédent, ces remarques permettent de ehoisir Iessolutions

Bl, Cr, C7 et Btt, Cs, C2.

Seulement, pour justifi"er ces remarques relatives aux signes de C - g et dec - +, il faudrait faire une assez longue discussion au sujet des pieds de lahauteur issue de C.

Il est beaucoup pltrs simple de résoud,re le problème au moyen d,u système If,



\

nÉsor,urloN DES TRIÀNGLES spnÉmQUES. 247

hTous pouvons mettre les conditions (7) et (S) sous une autreforme. Par hypothèse on a

200.

Si la condition (6) est satisfaite, on aura aussi

200. > B

De ces inégalités nous tirons

100'

r000 '/zD'où .to#

A-B a-bcos-T

Les conditions (7) et (8) deviennent donc, en vertu des équations

(4) et (5) :

,ro#ri"+Les deux arcs étant du premier ou du quatrième quadrant, cette

condition équivaut à la condition finale :

(a - b) et (A - B) de même signe. (9)

Les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'il y ait solutionse réduisent donc aux conditions (6) et (9).

Bien entendu, ces conditions ne sont suffisantes que si les équationsd'où on les a déduites donnent pour C et c des valeurs déterminées.

L'équation (l) montre que sin B est un produit de deux facteurs,dont I'un est tout au plus égal à l.

Nous allons donc comparer I'autre facteur à l.? sinD , a ^r^-L:l'.-

sm4a compris entre b et 200"

-b.

Dans ce cas, sinB

donc B existe et admet deux valeurs :

Bf

\



248

A cesproblème

Of, on

b

b

deuxque

a


valeurs de B ne correspondront deux solutions dusi ces valeurs satisfont à la condition (g).

Bl

exige B

exige B

,C

Concr,usroN. - Le problème admet une solut,ion un,i,que, corues-pondant à la valeur de B, de la même nature que b par rapport,à 1000.

ff. g : l, c'est-à-diresrn 6,

a,:b+100", ou a*b-200c, ou a,:b:100c.On en déduit sinB : sinA.

B existe et admet deux valeurs distinctes ou égales :

Bi:A82-200c-a.

a) a - b + 100o. La solution Br - A introduite dans les équa-

tions (4) et (5) donne pourcots!

et@; des

expressions

3 sanssigniflcation; c'est-à-dire que les formules (a) et (5) sont des identités,Il faut chercher d'autres formules pour calculer C et c.

L'équation (2) devient dans ce cas :

cos & - cosa cos0 + sin0 cotgA

cos a(L - cosC) : sinC cotgA

ou encore 2 cosa sinzf C - 2 sin*C cosiC cotgA.

D'où sini-C : 0 et cotg*C : cos a tg/*. (10)

La première solution est à rejeter.De même, (3) devient : ;

cos a(L - cosc)

ou

&'

Æ



nÉsor,urroN DES TRTaNGLES spnÉnreuns. 249

ou 2 cosa sinzi c -'2 sinf c cosf c sina cosAd'où sinf c : 0 et tgic - tga cosA. (lt)La première solution est à rejeter.

En supposant d'abord A + 100", les condi[ions (7) et (8) appli-quées aux équations (10) et (Il) deviennent :

a, et A de même nature par ràpport à 100c. (12)

La solution Bz: 300" - A introduite dans II donne :

cotgiC : oo et tgicce qui ne convient pas.

Pour Adire que dans ce cas, A et a, ne sont pas de même nature.

9) a + b - 200". La solution Br - A introduite dans II donnecotgfC : 0 et tg*c - ce ou C - c : 200., à rejeter.

La solution Bz: 200" - A, introduite dans (4) et (5), donne :

tStC: cosatg/^ (13)

cotg*c : cosA tga (14)d'où la condition (tZ).

CoNclusroN. - Si a, et A sont de nature différente il n'y a, pasde solution.

Si a et A sont de même nature, il y a une solution correspondantà la valeur de B, de même nature que ô.

T) Si I'on a à la fois a, - b et a + b: 200", c'est-à-dire si

a: b -: 100",ni Br ni Bz ne conviennent, à moins que A : I00" ; alorsBr : Bz: 100c.

C et c ne peuvent pas se calculer au moyen des équations précé-dentes qui prennent la forme d'identités ; les seules formules quisubsistent sont :

sinC - sinc et cosO - cosc; donc C - e.

n semble que toutes les valeurs conviennent pour ces deux

nombres; or, géométriquement, il est aisé de voir que tous lestriangles ayant le sommet C Ap pôle du grand cercle AB satisfontaux données, et que C - c. Le problème admet donc une infinitêde solutions.



250

ilI. wstn 4

couns DE TRIGONoMÉrnm.

l, c'est-à-dire (fig. 49),

b compris entre.a et 200" - a

On en déduit sinB

Si A-100":sinBSi A + 100" : on ne peut rien dire quant à I'existence de B.

Mais si, B eæi,ste, il admet une ou deux valeurs comprises entreA et 200"

-A.

c o nru.ag. c o &

Si a, et A son t d,e nature d,i,fférente, a,

-

b eta

-

B seront de

signes diftrents, et par suite il n'y aura pas de solution.On peut faire rentrer le cas A : I00t sous cette rubrique, car

ayant sin ô

Si a, et A sont de même nature, il suffit que B existe pour quea, - b et A - B soient de même signe ; le nombre de solutions seradonc le même que le nombre de valeurs réelles pour B I il y auraO, I ou 2 soiutions suivant que

log sinô * log sinA - log sina: log sinB

sera supérieur, égal ou inférieur à 0.

320. Tableau résumé de la discussion.

1 solution.

0 solution.I solution.inflnité.

0 solution.0 solution.t solution.2 solutions,

rebet(200"- b). . . . . .

a et A de nature différ'ente (I00.)a et A de même nature. . . ,

A,: A: 100" . . .. . .

a et A cle nature diftrente ..

a eta de ro*[ log sinB

nature (loqsinB-0 .

' {roe sinB

Io a compris ent

20 a,: b ou

a,+b:200"

3o bcompri, uotrufa et (200" - a)l



nÉsol,uTloN DEs TRTaNGLES spsÉnreuns, 25r

32t. 1u oas. - Résoudre un triangle sphéri,que conne,issantdeun atr,gles et le côté opposé ù l'Lcn d'euæ .'

a, A, B (C, b, c).

Résolution. Car,cur DrREcT.

( . , sinB\ sinô: ffi sina d'où ô;II( I cosA - - cosB cos0 + sinB sinC cos ad'où C;I cotga sinc - cosc cosB + sinB cotgA d'où c.

Clr,cur, INDIRECT. Le système suivant est équivalent au groupefondamental ; donc, toutes ses solutions sont acceptables; de plus,les inconnues sont calculables par logarithmes :

sinô :

. o, --brn2

. A+Bsm2_: . A_Bsln2

sera conduite exactement de la même manièreconduira all tableau résumé suivant :

sinB .stn 4

srn A

. cc+bsln2

il,Ccotgt

,c cn-ô2

. A_Brgz

' A,-brgz

Discussion. - Elleque dans le 3' cas et

322.6* oas. - Résoudre un tri,angle sphérique conna,issantdeun angles et le côté adjacent :

a,, B, C (4, b, c).Résolution. Calcur, DrREcr.

t cotgô sin a, -- cosa cos0 + sinC cotgBI { cotgc sina

( cosA - - cosB cos0 + sinB sinC cosa.

I solution.0 solution.

t solution.infinité.0 solution,0 solution.I solution.2 solutions.

AcomprisentreBet(200"-B) . . . . .

A

-B ou \a et A de nature différente (100")

a+B:2oo"l;ii.:i#::u':". : : .

( a et A de nature différente , .

B compris .orr.) a eta dc même (log .1"? > 0 .

A et (200" A) / narure ( log sinÔ - 0 .

Ioatlt.'e

{tug sinô

lo

,o

3o



262 couRs

Car-,cur.. INDIRECT.

DE TRIGoNoUÉrnm.

B_CCOS---?, , a.,: B+ct9zCOS--z

. B-CsrD':za, . B'+ct9zsitr: r)h)

b*c B+Ccos o sln -E-- B-jrTcos_E-

2e cas qu'il y a. toujours

s phéri qu e c onna,,is s ant

A, B, C (a, b, c).Résolution. Les côtés seront calculés par les formules du

groupe IV.

tsT: t tE2: tbz V "rz V

w;:Iliscussion. - Le groupe IV est équivalent au groupe fondamental.Pour que ces valeurs soient réelles, il faut et il suffit que

- cosS cos(S - A) cos(S - B) cos(S - C)

Supposons A

, b + crgz

u , b_cï,92

.Acolg 2 : w'os:.)

l-,

Discussion, On montrera comme auune solution.

323. 6' easr - Résoudre ocn triangleles troi,s angles :

000

ABC

(-

200"

c'est-à-dire (z) I - 13f: 3: i'i 2oo"

I 100"( - loo"



D'ailleurs A

A

B

On a donc fi.nale

(3)

d'où résulte

nÉsor-,urloN DES TRIaNcLES spnnnreuEsa

253

0-B S_BC-A

S_Ament

r0I too"l

)o(ocos (S - A) cos (S - B)

Ilfautdoncetilsuffitquel'onait:coSScos(S_C)<Cette condition combinée avec les inégalités (3) exige

/,\ ( 0(4)

l roo;(4) donne par soustraction C

thèses. Doncil

reste

( 100"{ c'est-à-dire {foSi ces conditions sont satisfaites, il y a une solutàon.

EXERCICES.

l. Résoudre Ie triangle rectiligne obtenu en joignant par desdroites les sommets d'un triangle sphérique.

Étabtir les formules

cosa, : ,ro! sin! + cos!"orf,

cosa

cosA, :"orfi

cos(A - E).

2. Résoudre les triangles sphériques dont on connaît :

lo a,- 5L",29L5 b: 42",T256 C-135",5425;2' a,

-81", LZL6 b : 57',5739 [

-'L4Lc,3647 ;

30 a, - 53",3838 A - 73" 12925 B : 85",1530 ;

40 a, - 39t, 1525 b : 62",4736 c : 52c,3649 ;

50A-13I",3049 R-T20',I507 C:14Ic,07I8.



254 couns DE TRIGoNouËrnm.

3. Calculer en mètres carués I'aiùe de ces triangles, le rayon

de la sphère étant 3 mètres.4. Résoudre un triangle connaissant a,, A, b * c,

5. Lqrsque les éléments d'un triangle sphérique satisfont auxrelations

sin A sin B sin C

sina: rio7: ffi

On a" !r-a,, R:b, C+C:200".6. Sur la surface d'une sphère de rayon R, on trace un petit

cercle de rayon r; on divise cette circonférence en trois arcsproportionnels aux nombres 1, 2 et 3 ; on joint les points d.e

subdivision A, B et C par des arcs de grands cercles.Calculer les côtés du triangle sphérique ABC en mètres; I'aire

en mètres carrés ; les angles en degrés, minutes eû secondes.

On prendra R - 6 366 198 mètres

r.THAPITRE

IYA ppl ications.

324. Problôrme. Ualculer le ra,yon d,zt, cercle inscrit :

lo en fonction des côtés ;20 en fonction des angles.

Dans le triangle ADI ({ig. b0) rectangleA en f),

iù-p, ô:p-&,On a" donc la formule

tgp : sin(p - a) te*2

TûI: *.

(r)

r. tsâ:Fra. 50.

d'où tgp: :* Q)smp \ /

rr. sin (10 - a)- sin'#= sin'# cos i -cos ry sinff .



Des analogies de Delambre on

On obtient sin(p - d) :

APPLICATIONS

stoo :

. b*cttre srn

--et

sin*B sin*C _:_ -.

Esrna;2^ ,

s'inB sinC'

b*c

cosT

25t

(3)

(5)

Oft

donc,

et par suite

Or,

d'ou

II. On a

Remplaçant

cotgP =-

sin( p - e): AsinlA cosiB cosi0

tsP :325. Problème. - Calculer le ra,yon du cet"cle c'i,rconscrit :

lo en fonction des côtés ;20 en fonction des angles.Dans le triangle BPD (fig. 51) rectangle

en D,

fi-P, Éb:i e.:s-a.On adonc la tor*,iu

cotg p .-- cos a cotg l, : cos (S - A) cot Sfrt+l

I. On a cos(S-A)

B+C A B+C A: cos T cosZ -F stn Z Slfi;'

A l'aide des formules de Delambre, on évalue , B + Cros 2 et

. B+C , - -rr.!^--1

sin=;:, êt on obtientcos(s - A) : cosiÔ cos*c sina.

cos* a

sinA: . ?8,sin ô sin c

2

cotg r -

cots$:

Vdans (4) :

E) sin(C - E)B--sin E #.(6)




326. Remarque I.

-Soit pf le rayon polaire du cercle circonscrit

au triangle AfBrCr polaire de ABC. On aura

cotgPf - cos(Sf - A') cot1{

ou cotgPf - sin(p - a)tsâ : tgp.

Donc, Pr et p sont complémentaires.32'î. Remarque II. - Les formules (2) (3) (5) et (6) qui précèdent

combinées avec les formules connues (288)

ô : Z sinE cosf a costnb

cosicet A -}sinlasinfAsinfBsinf0donnent sinn tsp : tsi tsg tsl, g)

et sinp cotgp : cotgf cotsf .otg!. (8)

328. Froblôme. Calculer les haute?rs, les méd,ianes etles b'i,ssectrices d'un triangle sphérique en fonctzon des 'côtés

et d,es angles.

10 Hautelrr. Soit ôDans le triangle rectangle ADB, oD a

sin fr,sin a sinA

20 Méd,i,ane. Soient ft : n?, et A'ûB : d.

Dans les triangles AMB et AMC, on a

cosc : cos

f "or*+ sin$ sintn cosa

l-,

cosô : a a', COSZ COSrn Sln t SrnÏn COS a

d,où cos cosô + cosc _ cqsi(ô * c) cos*(ô - c)iln:W-

On a également

cotg m sinl : cos I "osd.+ sina cotgB

cotg m sin!

- -cos

fi "ore fsina cotgC

d'oùr 2 cotgm sing : sina(cotgB + cotgC) ;'-l

d'autre part sine sinno : sinc sinB ;



aFPLICÀTrONS. 2"57

Remplaçant, il vient

2 cos m sinf:Hg, sin(B f c): :iffi sin(B + c)

ou cos ??z -sin(Ltc)

"orfi' (3)slaJa

30 Bissectrices.

Soient îE - d, et fh : d' les bissectrices intérieures et

extérieures de I'angle A.

Soient encore 6e : p et AîB : 9', le point F étant pris,detellesortequeBsoitsituéent,reEetFsurl,arcfi<

On a, dans les triangles AEB et AEC'

cotgc sin d, : cos d, cosf + sin$ co@P

cotgD sin d, : cosd cosâ - ti"f cotgP.

r)'où cotg d, -cotg-Ô *,lotgc : = ,s*-q + q) ' " (4)

-côqa - ?,, sinô sinc cosia

par les triangles AFB et aFC on obtient de même

cotgd,t: ' (5)

Remplaçant les côtés en fonction {es anglos on obtient

cotg d,:f .or#*sry.otf (6)

et cotg d'|-| riof *tory si"|' (7)

g2g. problôme. Calculer le aolume d'u'n tétraèdre en

foncti,on d,es troi,s faces d,'un des tri,èdres et des arêtes çPi Y

aboutissent.

Soit SABC Ie tétraèdre en question; a.,, b, c, les trois faces du

trièdre S; ffi, rù, 8, les longueurs des trois arêtes SA, SB, SC'

Abaissons de la perpendiculaireCD : h"au plan SAB.

On aura Yrn"" : aire SAB X Lrnr' (l)

,Couns np TnreoxouÉtRrn.



?68

D'autre part,

couRs DE TRTGoNoMÉrnln.

aire SAB - * rnn sin c.n reste à calculer h".

Si I'on mène par D une perpendiculaire à SA dans le plan SAB"et si E est le pied de cette perpendiculaire, on sait, en vertu duthéorème des trois perpendiculaires, QuCI CE sera perpendiculaire àSA. L'angle CED sera I'angle plan du dièdre SA, ou .oo supplément.

Si l'on désigne cet angle par. At, on aura

h" : CD - CE sin Ar. (B),D'autre part, I'angle CSE a pour mesure ô ou 200c - b.

Donc, dans le triangle rectangle CSE, on a

CE-CSsinb_qsinb.

On a donc Vs'*,c : l*"q sinô sinc sinAr.

n suffit maintenant de calculer sin Àf .

De S comme centre, décrivons une sphère arbitraire de rayon.Le trièdre SABC intercepte sur cette sphère un triangle sphérique.AfBfcf dont les côtés ont pour mesures a) b, c.

On a donc

sinar:;*7fu7Vr,rp

(2>,

(4)

(5)

sin (p - a) sin ( p - b) sin ( p - c).

Finalement

v - **"oV (6),

Remarque. Par analogie avec la formule qui donne I'aire d'untriangle rectiligne en fonction de deux côtés et de I'angle qu,ils"comprennent, oû a donné au nombre

Vle nom de s'i,nus de l'angle trdèdre SABC.

Ce nombre est le volume du prisure construit sur l'angle trièdre.

obtenu en joignant les sommets d'un triangle sphérique au centrede la sphère. Ce prisme s'obtient en menant par deux des sommets,des arêtes parallèles et égales au rayon du troisième sommet.

Ce volume est exprimé en cube du rayon.



APPLICATIONS. 259

330. Problôme. Rédui,re ?,tn angle ù I'horàzonOn entend par là, calculer

la projection de cet anglesur un plan horizontal.

Soit O un point d'où I'onobserve des points E, et Ez;soient Z, et Zr les distances

F zênithales observées (fig.52).uz

De O comme centre sup-posons décrite une sphère.Dans le triangle sphériqueABC on a

ÂÈ:u cÀ-'Z,, G-zz et'(,'-ff.On aura donc, en posan b 2p - Z, * Z, * e,

,.n r lstrtign-nstn(p-Z)sz:V@TLe théodolite permet de mesurer Zr, Z, et fr. On peut calculer a

en fonction de ces élements :

cos a - cosZ, cosZ, + sin Zt sinZ, cos fiformule dont on rend aisément le second membre monônte.

331. Freiblôme. - Calculer en lieues la di,sta,nce entre deunpoints du globe, connaissant leur"s coordonnées géographzqutes.

Nous supposerons les longi-iudes B affectées du signe + ct

les longitudes O du signe -; leslatitudes N du signe + et les

""-.,atitudes S du signe -. lss coor-.ddonnées géographiques sont ex-N\primées en degrés.

0Soient deux points A ()., ?,) et

B (I, ?r) (fig. 53).

Soient

æ la mesure de ÂÈ .tt grad,es,a etô les mesures de fr et iÈ undegrés, minutes et secondes.

P la mesure dc I'angle *Gg en

JP"degrés, minutes et

PN

secondes.



260 couns DE TRIcoNoMÉTRrE.

Dans le triangle sphérique APB on a :cos fi - cos a cosb * sina sinô cosp.

Sur le méridien de A :

Ap - Mp - MA ou b - g0o _ fl.De môme a,- ggo

- fz.Sur l'équateur :

Ifi'N:,5ÈI-dil{-rz-},

d'où p:l}r_1,[.Finalement

cos æ - singr siugz * cos?r cosg, cos(I, -- Ir).On rendra cette formule calculable par logarithmes par les

procédés connus.

Soit D la distance en lieues de 5 km. On sait qu'un centigradevaut t km; donci

n l0O-f) :

t wt wt Ùrel

c

EXENCICES.

l. Le lieu géométrique du sommet A d'un triangte sphérique, dontle côté o, est flxe et I'aire constante, se compose Oe deùx petits'cercles égaux et symétriques, s€ coupant aux points Bt et Ct diamé-tralement opposés aux points fixes B et C.

2. Si I'Qn prolonge les côtés d'un triangle sphérique jusqu'auxpoints At, Bf et cr symétriques de A, B et c, et si I'on appqlleP, Po, Pa, F' p, Po, Pa, P' les rayons des cercles inscrits et circon-scrits pour les triangles aBc, A|BC, aB'c et ABCI, démontrerles formules :

tgp sinp - tgpo sin (p - a) = tgpu sin( p - b) : tgp,sin( p _ c);

- cotg P cos S -' cotg p6u cos (S - A) : cotg p6 cos (S _ B): cotgp, cos(S - C).

3. Calculer en kms I'aire d'un triangle sphérique ABC tracé

àla

surface de la Terre supposée sphériQuo, connaissalt les coordonnéesgéographiques des trois sommets. ;

4- Calculer le volume d'un tétraèdre en fonction des longueursdes 6 arêtes.



LES 1n,IÀNGLES RECTILIGNES LIMITES DES TRIANGLES SPHÉRIQUES. 26L

5. Si ABC et ÀtBtCr sont deux triangles polaires, tr, F, v les angles

AOA', BOB',.COC' , o et V les volumes des parallélépipèdes condtruitssur les trièdres OABC et OAtBtCr, on a :

/t) - sina costr : sinÔ cosF : sinc cosv

V - sinA cosl - sinB cosp - sin0 cosv

oV: cosl cosp cosv - sina sinÔ sinc sinA sinB sin0,p?,

î : sina sinÔ sinc

Y: : sinA sinB sin0'l)

sinA sinB sin C Vma - ffi:sïnZ: u'

6. Calculer I'angle dièdre d'un angle solide régulier, connaissantle nombre des faces égales à cc.

7. Calculer les distances du pôle du cercle inscrit aux trois som-mets et les distances du pôle du cercle circonscrit aux trois côtés

d'un triangle sphérique.

8. Calculer en lieues belges la distance de Moscou à PÉrrN

connaissant les coordonnées géographiques de ces deux villes :

Moscou long. 8., 35o I4r 4tt ; lat. N., 55o 45t lgttPÉrrn long. 8., ll4o 8f 40tt; lat. N., 39o 54t l3tt.

CHAPITRE V

Lès tnlahgles nectilignes limites des tnianEles sphéniqucs,

332. Considérons un triangle rectiligne ABC, dont les côtés ont

pour longueurs les nombres e,, b et c, l'étalon étant arbitraire(le mètre par exemple). Soient A, B et C les mesures des anglesen grades.

Considérons aussi une sphère, dont le rayon ait pour longueurun nombre

R2æ

En supposant a

2æP.

Donc les nombres a,, b et c répondent aux conditions nécessaireset suffisantes à l'eristence d'un triangle sphériQue, tracé sur lasphère de rayon R, et dont les côtés aient pour longueurs leS.

nombres a,, b et c. (L'étalon étant toujours le mètre.)



ou ct_

Des formules relatives au triangle sphérique ArBrCf nous allonsdédtrire les formules relatives au triangle recûiligne A.H,C.

A cet effet, supposons que le plan tangent en At à la sphère restefi.xe, ainsi que

le plan du grand cercle AtBt; et que nous fassionscroître sans limite le rayon de cette sphère . La surface sphériqueq.ui porte le triangle AtBtCr a pour limite le plan tangent en A,;et le triangle sphérique A'BtCr a pour limite un triangle égal autriangle aBC, puisque a, b et c restent constants.

On aura limat - limbt: limct - 0

limAt= A, limBr: B, limC'- C.

262 couRs DE TRIcoNoMÉrnm.

Soit AfBtCI ce triangle ; a,, b,, ct les

radians ; At, Bt, C, , lês mesures de ses

On a (45) a, - Puat b

mesures de ses côtés enangles en grades.

c-Rcl

-4,

: k 200o

cR.

'- k bt: *

,. /sin ar\

lim{+}\ a,,' /a,*0rim(uo'Y)im (R sin a') :

R-> oo

nllimR sina a r:-- tY\t /n *^p' -

gt p- a ^r-----z:;; limRtsË: ff; limRtgæ: ,Çerc.

Dans ce qui suit, nous appliquerons le théorème : si d,euæ fonc-ti,ons d'etne même aariable tnd,épendante (ici R) [)rennent d,esaaleurs nu-tnér'i'ques constantment egales, si l'un'e'a, ?tne limite,l'autre & simultanément la mêvne limàte.

333. De la formule

,sgErywry tgp'-c'

lim W+- o.

At+Bt+Cr-200"

,EItg2:

on déduit

Or,r.,Elrim tsî

n en résulte

0u

4

A+B+C-200"4

a+B+c:

tg

k.800" + 200c.



pour k est 0.

Donc A +334. De la formule

cos ar : cos Ôl

LES TRIaNctES RECTTLTGNES Lrivlrrtrs DES TRIaNGLES spsÉnrQUES' 263

A + B + C étant compris entre 0 et 600", la seule valeur adnnissible

B+c-200".

cos cf -l- sin ôt sin cf cos Al

on déduitnt ht At ^bt nl

I

-2sins

y-:I - 2sinz ?, -2sinz i +4sin2 ! sinzi + sinDr sinc'cosAt.Z'_))JLLL?pv-__Z,ZZ

Multiplions tous les termes par R2 et changeons les signes :

nl2R? sin? |

:

: zRz sinzbi + zvzsinz i-4 RP sinz Arsin'i -R sinbr. R sincr. cos at

Si nous faisons croître R sans limite, les limites de ces derx

fonctions sont égales ; donc

, (ù' : r(Q)'-F z(^' - bccosA"V) - '\2) ' 'J \2/ vv

ou az:bz + cz -Zbc cosA.

335. Les formules

sinAr sinBt sin0r 2

-:--:7,:

sinat - sinÔr sinc'

donnent de même

sin Ar sin Bt sinCr

mi;'F:ffi-': n-ù7'

D'où,

sin À

Rsin7'Rsin Ôf .Rsin cr

-3

û

336. . At-Btsm--T-

en prenant les limites

sinB sin-Q-z:T:_ ab:è

Laformule

. at-bt Rsino';b'm-T- lltiurT

-

' Rsiniz,

7:-TOS;; Sln oé' &'



264

donne

Donc

. A_Bsm-- a,-b

couns DE TRIGoNoUÉrntn.

Ccos

2

33?. La formule

,,4'-Bf At-bt ^ A, -b,r--T-_

.ro--r- rùsrn-E--

-Tt-:-:a17:::ffiotg

2

sm--- H'srn--

donne A - B*c'-D 2 a-b. C a*b.srgE

338. Soient S et s les aires des triangles ÀBC et ÀrBr0t, expriméesen me.

o I'aire de a tgrÇr exprimée en carré construit sur le rayon;

2ela mesure de I'excès sphérique en r.adian.

On sait que I'on a 6 - 2e, .g:6.R2:ZeRz et S: lims.

Donc s-lim2eRP-4timRr::4hn Ê "'z - ---:R'tg i- W+,

or lir--e ^ luisoue lir Etn; - 0 puisclue limg : Q. (333)

s - 4lim Rrtg; -;- 4lim Rrtgl-Ou S - 4lim

ou encore s-4

Etfinalement S- .

339. Remarque I. - n résulte de là une nouvelle méthode pourétablir les formules des triangles rectilignes, en partant des formulesdes triangles sphériques, puisque cellles-ci ont êté établies indépen-damment de celles-là.. $

P.P-A.P-b.p-C.2222



r.,Es TRlltNGLEs REcTIr,rGNEs T,TMITES DES Tn,IaNGtEs spuÉmQuEs. Z6b

340. Remarque II. - M' Cesaro, professeur à I'Université de Liége'a imaginé un procédé ingênieux per-

mettant de déduire les formules des

triangles sphériques de celles des

triangles rectilignes. Il démontre I'exis'tence, pour tout triangle sphérique, de

deux triangles rectilignes qu'il appelle

tri,angte des éléments (fig. 54), et

triu,ngle dérioé du triangle des

éléments(fig. 55).

14..

En appliquant à ces triangles les

formules des triangles rectilignes'on reproduit toutes les formulesdes triangles sPhériques.

On peut remarquer que ces deux triangles ont la même aire.

f..Fd..ttalrlr

ilzooo-A\

"ioË'rG.



It


F.XERCICES DE RÉCAPITUf,IITION.

I. Calculer les nombres trigonométriques de a, connaissant I'une desconclitions suivantes :

lo 2 sina: tga20 cosa:tga3o m sina,: n, cosa,

2. Sachant qlue a, b, c sont les ttois côtés d'un triangle rectangle, calculer

les angles æ, y et z, sachant que :

rc":* @s:# vu:#3. Même question, sachant que

.bzbc-bcstnû:E srny: a2 coss:L-A

4. Démontrer I'identité :

I I cosa cosDI

I cosa I cos(a :t A) l:0.ttI cosD cos(a ;[ ô) I I

5. Si I'on projette orthogonalement un point d'une circonférence sur deuxdiamètres ûres, la distance entre les projections est inclépenclante tlu pointchoisi.

6. Démontrer l'iclentité

2 sinra: (2 sina f sin 2a) tg] a.

7. Démontrer les formules

sinISo:1rrÆ-l:sin3

-i.l-----=--* i!

coslSo: i VtO + 2 !5 : cos16.8. Dans tout triangle, on a

tgA * tgB * tgC: tsA tgB tgOtgzA f igzB f tga0 : tgzA. tglB tgâC

.A B C A B Ccotgz. + cotg Z t cotgz : cot'gT corgz colgz

9. Démontrer les formulos suivantes :

sin45o - sin30o séc45o - tg45offli5;+;fi3tr:séca50TÎ-a;

l-

sin54o*.io13o:iV5Isin54o - sinlSo: i

;sin54o X sinlSo:i



EXERcIcEs DE nÉcaPtrur,aTloN. 267

sinSIo f sin27, + singo - sin45o + sin63osin(l8o + û) +cosn f sin(l8o - æ)- sin(5+o - æ)f sin(5ao * n)

sin(72o * *) * sinæ f sin(:t6o - æ) - sin(36o * æ)f sin(7zo - æ)

B cosf"u, f "o"ff: t

tglSo - tgZTo - tg63o * tgSlo: Itgl0o - tg20o tg30o tg40.

10. Consid.éra,nt un pentagone régulier inscrit ABCDtr, la somme des

distances à B et D, d'un point quelconque de I'arc CB, est égale à lasomme des distances de ce point ar-rx sommets A, C et E.

1I. Démontrer que l'équation62

-2a cosæ

{I : 0

entraîne I'identité qa- ?a2 eosZæ * I : 0.

L2. Démontrer les identités

(sin a, -sin &)2 f (cos (r- eos ô)r - Asinz +

(sin a - sin b)'+ (cos a { cos &)2 - 4cos2 +L3. Calculer, pour /e croissant sans limite, les limites des sommes :

I + cos@ f cos2a + .. . { eosna

I + sina f sin2a + ... + sin*aI - tg'a * tgna - tguo + "' * tgzno'

L4, Si A + B + C + D - 400c, démontrer I'identité. a+B .__0+D _..A_._B_._C .-Dsinf sin-7- - srnz srnZ s1n7 srnE.

Lb. Si ABCD est un quatLrilatère ittscrit, démontrer les égalités

sinÂÈ sinô f sinÉè sin,Ol + sinû. sinfi - 0

sinG"o,

ô f sin Éè"o*

Âù + sin û. .o, Éb - 0'

f6. Démontrer les formules

tgza:ffi tsla:

ts-_4a: li1 q| :i" l" J- 'i":" * ""=". Cos a { cos 3a f cos 5a * cosTa

L7. Si dans un triangle on a

2 tsA - tgB + tsC,

on a aussi 2 sin 2.êr : sin 28 f sin 2C

cosr\ - 2 cosB cosC

2 cosA -_ cos(B - C).

18. ÉtaUti" la condition pour çtue Ie système

rn sina: { n casæ - I

ræsiny+ncosy-]sinaa, cosût r_-1-----^sln .6 eos 3

t+g r coV--rsrn' ' cos3

soit compatible.



I


19. Eliminer æ du système(bz

-q2

- l) & cos æ { (\bz - l) asinæ : ab

(2a, - l) b eosa * (a, - Sz - t) a sin æ - a,b.

2A. Calculer les valeurs numériques des fonctionsI û.1 ûzi9 2* 5

cotg tsin o

f+costt-ZeoszæVæ-V4cos"

srn@ - srny

sinsæ - sinay

w2L. Résoudre I'inéquation2 sinræ f sintr - I -_ I u'r^w ^>9 0<æ{180o.

sin rp I22. Diviser un arc æ en deux parties telles que la corde de I'une des parties

soit double de la corde de I'autre. Calculer les cordes et les arcs.

23. Si par un point P on mène quatre sécantes coupant une circonférencee,ux points A et Af, B et Br C et Ct D et Dr, démontrer que l'on a

sin*CA . sinâDA _ sinâCtAf . sin*DtAr-

ffiâcn'@- sinlm';lnm87'24. Calculer les aires des 'zones torride et glaciale de la Terre supposéesphérique (R:6400 km).

25. Si, dans un lriangle rectangle, BM est la méd.iane issue de B, on a

.inffiï. sinrrôD--sin6M.26. Si pour deux triangles ABC et ArBfCf on a

a:ar et B+Bf:200c,-.a, al1o) b: b,

pOur ç - $6

æ:0

0c-y

t -. y.

ona

Za) bbt - ee,t * ct,.27. Si par un sommet A d'un triangle on mène une isécante AD quelconque,on aura

sin A sin BAD , sin CAD.Â5-: --A3-r -lB-

28. Si O est le point de renconbr:e des diagonales d'un quadrilatère ABCD;on a aire AOB 2( aire COD : aire AOD X aire.BOC.

, 29. Calculer la distanee entre les centres des cercles inscrit et circonscrit àun triangle, en fonction d.es rayons de ces cereles.

90. Si ô, ôr, ôr, ôo sont les distances du eentre du cercle cireonscrit auxcentres des cercles inscrit et ex-inscrit, on a :

ôn+ôi+q+ô3:12Re.31. Si ArBrCr est la projeetion orthogonale du triangle ABC sur un

plan faisant avec le plan du triangle un angle g, on a

cosg f sécg - l(cotgA eotgBt * cotgB cotgAr).



ExERcroEs DE nÉcepITurÂTIoN. 269

92. Résourlre le triangle obtenu en menant

par A la droite symétrique de AC par ra,pport à ABpar B BA BCparC - CB CA.

33. Détermirier le lieu géométrique de l'orthocentre d'un triangle inscritdans une circonférence ûIg, le sornmet A et I'angle A restant constapts.

34. Condition pour que trois points At, Ar et As observés de B et C soienfen ligne droite :

br, br, Ds étant les azimuts de BAr, BAr et BAs par rapport à BC,Cb C21 Cg

-CAt, CAr et CAs CB :

I eotg b1 cotg c1|

I eotgb2 cotges l: 0.

t cotg Ôs cotg cr I

35, Si une sécante issue de A rlivise cet angle en deur parties Ar et Az,et le côté opposé & en deux segments a1 et a2, on a

sin Ar . eL _b _sin Bm-6' A: c: sïne '

36. Les symédianes d.ivisent les côtés en segments proportionnels aux ea,rrés- des eôtés adjacents.

37. Si a est I'angle aigu que fait la médiane issue tle A avec le côté BC, on a

cotg d. ---cotg-c :'cotg B

-

38. Si c, F et y sont les angles des *eairnes avec les côtés opposés consi-dérés dans un même sens de parcours, on a

cotga f cotg p + cotgl - 0.

39. Si trois droites issues rles sommefs d'un triangle sont concouranies,leurs isogonales le sont aussi. (Les isogonales sont les symétriques d.e ees

droites par rapport aux bissestrices intérieures correspondantes.)

40. Calculer les coord.onnées normales du point de reneontre de troisdroites concourantes issues des trois sommets d'un triangle. (Les coordonnéesnormales d'un point sont les distances de ce point aux trois côtés du triangle.)

I'bztcrf Tr- r,Application à I'orthocentre, au centre de gravité, &r centre du cercle

inscrit, au point d.e Lnnaotxn (point de rencontre des symédianes).

41. Déterminer, pour un triangle ABC, un point Or tel, que les anglesOrAB, OrBC, OrCA soient égaux; et un point Or tel, que OIAC. O:CB, OzBAsoient égaux.

(Les points Or et Oz sont appelés poi'nts d,,e Bnoceno.)

42. Si p est I'angle constant O1AB: OrAC (l'angle de Bnoceno),

démontrer les formulescots9 -- cotg A + cots B + cotgc -- g+.fg

ltnB:tr' À2 Às

z e, A:6: "(À, : distance du point de LnruoINE au côté a.)



couns DE TRlcoNolrÉrnln.70

43. si ct, est un angle détprminé par la relation

tgcr - tgA+ tgB * rgC,démontrer les forrnules

sinAsinBsinC- =2Scotgp - cotga

\ cosAeosBcoso:=.tg9==ga - tSP

cotg za + cotg 28 + eotg zc : ] q.otg p - tg a).

44- Le produit des rayons des cereles circonscrits aux tr iangles AOB"BOC, COA, est égal au cube rl.u rayon du cercle circonscrit au triangte ABC.

(O

: point de Bnoceno.)45. si a/ est le point de rencontre de Ào et Bc, on a

A'B 62

Âi046- Calculer Ies coordonnées normales des points de Bnoce1.n.47. Si d'un point P on abaisse des perpendiculaires PAr, PBr, pC, sur les

trois côtés d'un triangle ABO, on a

arBf Brcr ctaljffi:PTE:FB.dÂ.48. Les pieds des perpendieulaires abaissées d'un point du cerele cîrconscrit

sur les trois côtés d'ttn triangle appartiennent à une rlroite, que l,on appeped,roi.te de SuvrsoN du point considéré.49. Dans tout quadrilatère, les triangles podaires de chaque sommet par

rapport aux triangles forrnés par les ùrois autres, sont des triangles semblables.50. Dans tout quadrilatère on a

(a, * b2) - (c, * dr) : 2 (alt cosB - cd, cosD).51. Dans tout quadrilatère on a

AB.pr CD __ CD pr À8.52. Dans un quadrilatère inscriptible, calculer l'angle de deux côtés opposés. en fonction des longueurs des 4 côbés.

53- Dans un quadrilatére circonscriptible, les cosinus des moitiés des anglesformés par les cÔtés opposés sont inversement proportionnels âux racinescarrées des rectangles de ces côtés.

54. Dans un quadrilatère circonscriptible, le rectangle de d.eux côtésopposés, multiplié par le carré du cosinus de la moitié de l'angle compris,est égal à la somme des rectangles qu'ils forment avec un d.es deux autrescôtés, multipliés respeetivement par le carré du sinus de la moitié de l,angleadjacent.

55. Dans un quaclrilatère circonscrit, les sinus des moitiés des anglesopposés son[ en raison inverse des racines carrées des produits des côtésqui les comprennent.

56. Résoudre un quadrilatère circonscrit, connaissanb les distances o(, P, ï, âdes sommets A, B, C, D aux points de contaet.

57. Le centre du cerele inscrit dans un quadrilatère se trouve sur la droitequi joint les milieux des diagonales.



ExERCIcES DE nÉcapITULÀTIoN. 271

58. Dans un quadrilatère eireonscrit, Ia somme des produits des deux côtés

opposés par les sinus des angles adjacents à ces côtés, est égale à la sommedes produits des deux autres côtés par les sinus des angles adjacents.59. Partager un angle d.onné moindre que 20Ac en deux parties telles quc

la somme de leurs sinus multipliés respectivement par deux nombres constantssoit maximum.

60. Démontrer la formule

1T îC 1Icost cosg cos*...

61. La somme d.es carrés des distances d'un point quelconque aux sommetsd'un polygone régulier de n eôtés est constante, si la distance de ce point au

centre est constante.62. La somme des projections du vecteur OP sur les rayons qui passenb

par les sommets du polygone est nulle.63. Étan[* la formule

cosA + cos 2A f cos 3A + ... + cos l7A * g si

64. Calculer la limite de la somme

.A't.A.Q',.A"Arsrn5 secd t srn O secg t ... l- srn gyùsecffipour za croissant sans limite.

pour tn etoissant

66. En partant

tgZa-tgq,- Ytocos 2a cos a

calculer Ia sommeI,1ffi*a;z"*g"+""'+

On démontrera d.'abord le lemme æ nZsinyséeffi -=tgæ -tgâ.65. Calculer la limite de

9'r-^

p av4tr

--_

.

r7

l) a cosnq,

du sommet de .l'angleon aura

[*"(;* h)1*L **î

-lans limite.de I'identité

cos (7L-

67. Si, dans un triangle sphérique reciangle, on mènedroit un grand cercle perpendiculaire sur I'hypoténuse,

68. Si,on aura

sinc/a - tg a1 tg a2

tgrb _- tg a tg a1

eotgzft . cotgtb * cotgxc

tgrb tg a,@:{a'

dans un triangle sphérique, Ie c<)té BC est double de la médiane,

sin2 i:sin2U2+

sinr 92



272, couns DE TRTGoNoMÉnnm.

69r Dans un triangle sphérique équilatérsl on a

.a 1,asrng:Zsecg. .

70. Si, d'un point d'un petit cercle, ou mène un arc de g.rap.d. qpfçLe pprpBp,diculaire à un grend cercle passantpar Ie pôle, si ondésigne perp lalonggeïF-de cette perpend.iculaire, par m et n les ares qu'elle détermine sur le diamètfepolaire, on a

tsrl,: rs i rr'i.

7L. Si, d'un point-de la sphère, on mène trois grands cercles perpgndipulriresâux côtes d'un, triangle sphérique ABC, on t

gos A'B cos BtC cos CrAeos7fc' ;6ËEd..' ôoffi : + 1'

"12. Si, dansun triangle sphérique, on a alb+c:tls dénontrer lepformules

sinrf + sins* + sinr*: t.

Cosa:l B ' C

'87-r8 z ' i

73. Calculer les dièdres des einq polyèd,res réguliers convexes.

74. Calculer les rayons des sphères inscrite et circonscrite à un polyèdre

rêgulier conv-exe, en fonction de l'arête a de ce polyèdre, du nombre. r descôiés de ehaque face, €t du nombre m des faees qui forment chaque anglesolid.e.

15. Calculer le volume d'un polyèdre régulier convexe en fonction desmêmes données.

76. Si I'on joint Ie sommet A d'un triangle sphérique ABC à un point Ddu côté BC, en désignant AD pâr d, et I'angle ADB par D, on a

sin a1 sin c: sin Ar@:m.A* /

cos d sin a - cos ô sin at * cos c sin a2

cotgD sin e, - sin a1 cotgC - sinas cotgBcotgd sin a, -- sinAr cotgc f sinA2 cotgbcosD sin.A -;- cosC sinAr - cosB sinAl,

77. Si l'on joint les milieux tT et P des côtés AB et AC d'un trianglesphérique au moyen d'un arc de grand cercle, et si I'on élève au milieu Mde BC un arc perpendiculaire à BC, jusqu'à sa rencontre en 0 avec NP,on aura

sinE : sinl{P sinlllQ.

78. Si I'on mène par le sommet d.'un triangle sphérique ABC un arc A.{| quile d.ivise en deux triangles équivalents, en appelant dr et o,2 les segmentrdéterminés sur a, on aura

sinâar _ cosie .sin * ar cos* ô

79. Les arcs AAr, BBr ei CCt qui divisent chacun le triangle ABC en deurparties équivalentes. sont concourants. (Théorème de Stntxr:n).



ExERCrcEs DE nÉclprrulAtroN. Z7g

80. Calculer les distances du pôle du cercle inscrit aux trois sommets,

ainsi que les distances du pôle du cercle circonscrit aux trois côtés.

81. Si on prolonge deux à deur les côtés d'un triangle sphérique, lasomme des arcs ioignant les milieur de ces prolongements est égale à une-demi-circonférence.

82. Calculer les distances du pôle du cercle inscrit aux pôles des cerclesex-inscrits.

83. Si l'on désigne par c, p. I, ô Ies aires des quatre faces d'un tétraèfueABCD, pat a, ar deux arêtes opposées, par sina, et sinaf les sinus des dièdrescorrespondant à ees arêtes, et par u le volume du tétraèdre, on a

aapyô a.at " 1,.b, c.clT: sEffi7: sinô silt7i:srnc-sinC'

84. Si les arêtes opposées d'un tétraèdre SABC sont égales deux à deux,le tétraèdre est dit isocèle I son volume sera

,:labcvm.85. Une tour de hautevt a est surmontée d.'une flèche de hauteur ô. A quelle

"distance du pied de la tour un observateur doit-it se placer dans le planhorizontal qui contient, eepied, pour qu'il voie la flèche sous I'arrgle maximum?

86. Si e est I'angle des tangentes communes à deux cireonférences, on a

. (R + Rr)' sin a - 4 (R - Rt) VRIrt.

8'1. Dans un parallélépipètle circonscrit à une sphère, chacune d.es irois:arêtes est proportionnelle au sinus de I'angle des deux autres.

88. On donne un cercle et un camé circonscrit; trouver une relation entreles tangentes des angles sous lesquels les deux diagonales du carré sont vuesd'un point quelconque de la circonférence.

89. Étant donné un triangle ABC, mener par le sommet C une droiùe telle{tue la somme des projections de CA et CB sur cette droite soit égale à unelongueur donnée.

90. Un cône dont I'angle au sommet est 2d est circonscrit à une sphère;calculer le rapport des volumes compris entre le sommet du cône et les d.euxcalottes sphériques concave et convexe.

91. A, B, C, D, étant quatre points d'une sphère, on a:I cos DA cosDB cos DC

cos AD I cos AB cos ACcos BD cos BA I cos BC

cos CD cos CA cos CB I-0.

92. Calculer I'angle d.e deux arêtes opposées

les longueurs des six arêtes.93. Calculer le rayon de la sphère circonscrite

des longueurs des six arêtes.

Couns on TnrcoxoMirtnrn.

d.'un

àun

tétraèdre, connaissant

tétraèdre en fonction



274 COURS DE TRIGONOI\IETRIE.

94. Calculer I'angle de deux droites en fonetion des angles qu'elles fonùo,Yec trois axes rectangulaires :

eosd,dt - cosd eos qt + cos p cos pr f cos^1 cosyf.

En déduire que la somme des canés des cosinus directeurs d'une droiteest égale à l.' 95. Si l'on désigne par ô la distance polaire entre les pôles des cerclesinscrit et circonscrit à un triangle sphérique ABC, otr a:

96. Si dans un quadrilatère sphérique eonvexe on désigne par ô la distancedes points milieux des diagonales, on a :

eosq, f cosb + cosc f cos d - 4 cos f,m eos]æ cos$ô.

Q7. Si Ar. 81, of C1 sont les angles du triangle rectiligne ôbtenu en joignantles sommets d'un triangle sphérique ABC, on a

. ^a . - b esinz; + sins;+ sinz i

- 2 ginfi rin! cos Cr f sin i -ur| cos 81 f sin ! ,in $ "o*ari.

98. Si deux trianglessnhériques

ABC et AfBrCf sont tels que les arcs AA/,BBr, CCf sont concourants, les points Af/, Btt , C// de rencontre rJes côtés BCet BfCf, AC et AfCf, AB et AtBf, sont situés sur un même grand cercle.

' 99. Les arcs de grands cercles, joignant un point de la sphère aux troissommets d.'un triangle trirectangle, reneontrent les côtés opposés en troispoints qui sont les sommets d'un triangle dont le contour est constant etéquivalent à une demi-eirconférence.

100. Si sru le côté AB d'un triangle sphérique ABC on élève un arc perpen-diculaire DE, qui divise le triangle en deux surfaces équivalentes, oû aura

^^_s eosr cosR (sin a I sinb f sinc)COS ô

cosAD _ coslô cosÉc

cos*a^^^r\E, 4siniâ sintc cosfa cosAvvËu

-

1'



NOÏE I

APPROX|MATIONS DANS LES CALCULS LOGARTTHMTQUES,

Problôme I.

Déterm'i,ner l'appt"oæi.,mati,on attei,nte d.,ans le calcul delog97, (X), a,?,c moyen de la formule d'interpolation linéa'ire.

34r,. Considérons trois arcs exprimés en centigrades (t) et rangéspar ordre de grandeur croissantc :

Xp X:Xt*h, Xg:Xt*lt.1"" Gâso Calcul de log sinX.

Soient I : log sin X - log sin X,A : log sin Xr- log sin Xr.

342. Dans un système d'axes rectangulaires Xy (fig. 56),représentons lacourbe

A : log sinX.Soient A, B et

C trois points ayant respectivement potrrcoordonnée's :

(X' log sinXr), (Xr, log sinXr),

(X, log sinX).En principe, l'interpolation linéairerevient à remplacer la collrbe AB parla droite AB, c'est-à-dire, le point C parle point D. On aura :

EC:à, FB:A, BD_hA, DC:â_hL.Calculons f)C : ô - hL.

xlT-

C

ltBt

I

I

rôI

I

I

I

I

__l

F

I

IIII

I

tr'rc. 56,

343. De la formule de Newton, complétée par le restede Cauch.y

:

F(X)-F(x,):(X-X,)wFr,(E) (1)

(x - x,) (x - xr)



276 couRs DE TRIGoNoMÉtntE.

dans laquelle E est une valeur de X comprise entre Xr et Xr, ondéduit :

â _ hL _ tr (r - h) F,,(E). (z)2

Calculons F" (X) :

F(X) - log sinX - M.lg sinx =-. M.lg sinæ (t);

F"(X):McotgerX K

or, +: î"T^ d'où K: #^et par suite, F'(X) : 2ffi cotgæ.

I)e même, F" (X) : -Mrcz

'4.l08.sinzX'

d'où à-ha: (0

944. Manirnurn'd,e (S

-

hL).

h (l - h) a pour maximum +

sinz (X, + 0) a pour maximum sinzXr.

lon'' ïT;^i;:*;#I. Max (D - llL)

345. Cette condition est vérifiée pour tous les arcs Xr, satisfaisantà la relation

sinzX, ' 16.108-*ou logsinXti.*logM+log 2log?+tn-4ou encore log sinX,

Pour n-5 Xr2l05tPour %:7 Xr

346. De lànous pouvons conclure que si les logarithmes de la

table étaient exacts, of si h^ êtait un nombre entier d'unites du

(n) Rappelons que X est la mesure de I'arc en centùgrail,es, et æ sa mesure en raùi,ons.M est le module absolu du système décimal de logarithrnes.lg signifie logarithrne népérien ou naturel.



aPPROXTMATTONS DANS LES CALCUTS LOGARTTITMTQUES. 277

lnième ordre décimal, en adoptant pour log sin (Xr + h) la valeur

log sinXr + hL, l'erreur serait moindre Ique fu, Pour tous

les arcs satisfaisant à la relation (4).

g17. Les logarithmes de la table sont approchés à moins de hSoient EreI .Erces valeurs approchées de log sinXt et de log sinXr.

Nous pouyons représenter graphiquement (fig. 57) les opérations

du calcul. Il suffit pour cela de remplacer la droite AB par une

droite AtBt définie par les points At (Xr , Er) eù Bt (X, Er).

Xo"Xlf'

./'

'/ ^tttot')!..-"""7 .

82

"/ ./

v-p

L€ point A se trouve entre les points Ar et Ar, distants de AfI

de tjtr; de même pour B.La droite AB a donc comme positions limites, ArB, et ArBr; la

courbe g : log sinX a comme positions limites Ies courbes frB,et 4'B z) lepoint C a comme positions limites les points C, et Cr.




348. L'interpolation linéaire consiste à remplacer le point C parle point Dr de la droite ArBt

Ce point a pour coordonnées :

Dl

X:Xr+h

U: Er+ P0"

(5)

en posant G, - Er) LC,: D (différence tabulairo).Nous avons, en vertu des hypothèses (344 et 345) :

max (à

- hL)Portons sur la droite x - xr -l h des distances

GH: IK --- p,nous aurons H et K situés respectivement entre G et Dr et entre fet L.

Posons 0.5-e:olou HDt:

#Reprenons maintenant la valeur de I'ordonnée de Dl

U: Er+HCe nombre a en général plus de n décimales; opérant à l'aide

d'une table à n décimales, on désire limiter tous les logarithmesà n décimales.

g4g. Soit d, la partie entière de âD, êt a sa, partie décimale;C'est:à-dire hD-d*o (0

Io d,

Si I'on suppriltrê o., on remplace le point Df par un point M situéentre DI et H.

Pour u - 0, M est en Dr;Pour or : 6, M est en H.

On a MC,

et MC,

Donc f Ld ô,h + i0" est une valeur approchée de log sin(x, + lù)

avec une orreur moindre que #.



APPROXIMÀTTONS DAI{S LES CALCULS LOGAnrTr{MIQUES. 279

?oa

Si I'on remplace d. par I, on remplace le point Df par un point N,situé entre Df et I.

Pour d. - 0.5, I\ est en I ; pour a voisin de l, N est près de Df .

On a Nb,

NCr.

Donc"E,+#estunevaleurapprochéedelogsin(X,+h)aYec une erreur moindre qLre #, -

30 d. compris entre 6 et 0.5.

Si l'on supprime a, on obtient un point situé entre G et H et dont

la distance à Cz peut surpasru" I .r0n

Si I'on remplace d. par 1, on obtient un point situé entre I et K

et dont la distance à Cr peut surpasser CrC, ou #r.Donc si, dans ce cas, or veut absolument limiter y à n décimales,

on n'obtiendra qu'une valeur de log sin (X, + h) approchée à

moins de lg.10,?

Mais si I'on ne s'astreint pas à n'avoir que n dêcimales, et si I'onpréfère obtenir une valeur approchée de log sin (X, + h) à moins- I . .a rde

Én'on n'a qu'à remplacer a pâr 0.5, ce qui revient à remplacer

Dr par un point P situé entre Df et R.

Pour d. voisin de cl, P est près de R;

Pour d. voisin de 0.5, P est près de Dr.

On a alors PC,

PC,

Donc,f,+#estunevaleurdelogsin(X,+h)aPProchég

à moins de t' I0;' .



280 couns DE TRIcoNoMÉrnrE.

350. Conclusion.

-p6sr tous les arcs X, satisfaisant à

la conditionIog sin X,

on peut obtenir log sin (X, + h) à moins C^ I --\'e i5après, et limité à

n cw à, n + t décimales ; le cas échéant,la"(n + l)e décimale étant 5.It suffit pour cela de connaître le nombre o or un nombre plus faible.

o(0.5: Mæ2(6)'

32.108 -trù.sinzX,

On trouvera page 8t le tableau des valeurs par défaut de cr'

calculées de grade en grade, pour les tables à 5 décimales.

351. Remarque f. - On peut voir facilement que pour obtenir une

valeur de log sin (X, + h) erronée de m( ' ' Ilins de iôE il suffit de'

remplacer Dr par un point quelconque situé entre H et r.On pourra donc énoncer d'autres règles que celle que nous avons'

adoptée et que voici :

s? dans le produi,t hD la partie décimale est

lo i,nfét''i,eu,re o% égale à cr, on la suppl"i,me ;2o comprùse entre 6 et 0.5, orx ta rempla,ce par 0.b ;

30 égale ou supérietu"e à 0.5, on Ia supprime et on ajoute !ù la parti,e entière.

If. Max (E - hL)

352. C'est le cas des arcs ne satisfaisant 'pas à la relation (4),"mais vérifi.ant la condition suivante :

d'où

ou

pOUr î4 : 5

353. Posons

M*, <- Iffi\wsinzx, ;> =%2.10s-r,

log sin X,

xr > 074\xre _ 9.b.|-.t.

(7)

IOna l0fù



appRoxrMaTloNs DaNs LEs CALOLLS LOGÀRITHMTQUES. 281

il faudra, si I'onyeut

obtenir une valeur de log sin (X, + htapprochée à moins dt tr ft, remplacer Dt (fig. 58) par un point situé

entre F et G, dont la distance ' t - eest Jôf .

xlt,n

B2

B'

Bl

aç--A

o*l(',cl

-'it A'I

uoi- A

_u__Ai

' Flc. 58.

Nous rapportant aux notations du cas précédent :

lo02" 0.5$o I-e

un nombre quelconque p tel, que I'on ait

ou *:i::j#p:',,1ïf(8)



28? couns DE TRrGoNouÉtRtn.

On a soin évidemment de prendre pour p un nombre cornprenantle moins de décimales possible, une seule s'il y a moyen.

354. Remarque II. Pour ze : 5, ce cas n'est pas à considérer,parce que I'on calcule log sin (X, + h) par un autre procédé.

355. Remarque III. - Pour n : 7, il y aurait lieu d'appliquer ces'conclusions aux arcs compris entre 7'r39 et 1O,47. Dans cet inter-valle il faudrait calculer de nombreuses valeurs de e qui varie assezrapidernent. Il est plus simple de se contenter d'une approximationplus faible. En supprimant a ct ajoutant l à la ytriëme décirnale, on a,

,uûo valeur approchée à moins dl'o

est nul, or W; si a est nul, oû conserve lavaleur trouvée : I'approximation est Ia même; si a -remplaçant par l, on a, une valeur approchée à moins

ilI. Max (E hL)

356. On trouve comme précédemment que pour ncondition est vérifiée pour les arcs compris entre 6o,00 et 7c,39.

Par une étude analogue aux précédentes on s'aperçoit qu'il est,

impossible d.'avoir touiours log sin (X, + h) à nnoins de # près.

On doit se contenter d'une erreur moindre que #r.On remplace toujours d. par 1, c'est-à-dire que I'on force la

vtrième décimale.

0.5, en le,loe Tdr'

lo0moindre

1.5 .qlre w,

20 0.5 que 10",35?. Remarque [V. - On peut continuer de la même manière, et

L'on trouve comme valeurs successives de séparation :5"124; 4167;4c,26; etc .

On constate aisément que I'intet'polation linéaire ne donne plus,de résultats satisfaisants. Norts n'entrerons pas dans plus de détailsà ce sujet puisque, pour nos tables à 5 décimales, Itinterpolationlinéaire est admissible jusque 1o,05 comme il a été vu précédemment.

Pe Gos. Calcul de log tg X.

A.De0à50o.358. La courbe U : log tgX est convexe pour I'axe des X, comme

la courbe y - log sinX. Elle coupe I'axo au point (X:50", !/ -=0);au delà de 50", la courbure chgnge de sens (point d'inflexion).



APPROXIMATIONS DANS LES CALCULS LOGARITHMIQUES. 283

Si nous appliquons la formule de l{ewton à cette courbe, noustrouvons :

E_hA: _h(I-lL)E

-_

F"(E).

Calculons Ftf (X) t

F (X) : log tgX -_ M.lg tgX : M.lg tgn

F'(x)- .ry .%__5. ,1,sin?n dX 104 iinZà

d'où

et

On aura

si I'on a

à- hL

F"(x):#.ffi*ô - hL : l, (L h).MI=t.cos'2 (X, * 9)2 I08 sinz2(Xr * 0)

max (S - h^))' \ 8.108 sinz2xr l}n '

(e)

(t0)(n)

.1 z.ronMæe cos 2X,

,-I

SLgu'sinrz& s Z^lV

ou cosz zX, + yT',,

4.108 -n' cos 2X, - I

359. Nous obtenons un trinôme du second degré en cos àXr. Les.racines sont réelles, de signes contraires, inverses I'une de I'autreen valeur absolue, la plus grande étant négative. Donc, une desracines est comprise entre 0 et + l, I'autre est inférieure à l.

Pour que le trinôme soit

donc compris entrs - ] et la racine positive; d'ailleurs cos 2X, > 0.Soient îoL et inz les deux racines i Tz

Posons rr - tg ?rz: - cotgg

nous aurons - (r', + rz) : Z: , YTt ,,tg 2? 4.108-'t

d'où logtg219 -3log2+ 8-logM-2logr- nou log tg?? : 8,271016

-n

et log cos ZX,Pour n-5 2g:99c,96654

?



284

d'où

couns DE TRIeoNoMÉrntn.

log cos 2X,2X, > 2131

xr

(12)

Iorsque Xz est inférieur

no 359.

aux précédentes (flg. 59)"

Pour n-f 2?:96c,592 pardéfaut(p

- 48c 1296

log cos 2X,

2X,

xr360. Conclusion. Lorsque n - 5, pour tous les arcs comprisentre 1c,07 et 50o ; lorsque 2 :, J, pour tous les arcs comprisentre 10c33 et 50" :

Nous pouvons utiliser les résultats auxquels nous sommes arrivédans le premier cas (calcul de log sin X) ; il suffira de remplacer6 par I, donné par la relation

r(o.b-tffi'ffi'On trouvera page 81 les valeurs de r calculées de grade en grade"

pou.r les tables à 5 décimales.

B. Au delà de 50c.

361 . La deuxième branche de la courbe y -- log tgX est symé-trique de la première branche par rapport au centre

(X:5000\, A:0).Le maximum de âA - E dans I'intervalle (Xr, Xr) est le même que

le maximum de E - h^ dans I'intervalle (100" - Xz, l00o - Xr).Donc, on aura max (tlA - S)

au complément de I'arc limite trouvé au

Pour nn

362. Reprenant des notations analoguesposoDS

#": Fc + cD' : ffi,+ rnax (hL- E;.

L'ordonnée de Dr est y : E, * #r-



appRoxrMaTroNs DANS LES CALCULS LOGARTTHMTQUES. 285

Soitd

la partie entière de hD, et d. sa partie décimale :

hD:d*o (0

lo a) r. Si I'on remplac,ê a par l, on remplace Dr par un pointM situé entre Dr et H ;

Idonc MCt

MC,

B?

B'

20 0.5un point N

donct

Iou ioa

on remplace

XatX,* I' X

remplace Dt par

D' par P situé

NCt

NC,

supprimant d.,

asitué entre D' et G;

xr

0.5. Enentre Dt

X,*LFtc. 59.

3.,crégalement

donc

et G;II

PC,



1286 couns DE t*tçoNoluÉrRrn.

363, Remarquè V.

--Dans I'intervalle

XrXr, I*

t - I deI'intervalle 100" - Xz, I00c - Xr.364. Remarque VI. - On peut substitller à r une valeur supérieure

à0.5+e.On peut donc adopter pour r le complément à I de la valeur trop

faible admise dans I'intervalle complémentaire.On trou vera page 8l la table des valeurs de r calculées de grade

en grade.

Conclusion. Pottr les arcs compris entre 50" r.t 88",93 on

obtiendra log tg(x, + h), à moins de fr nrèr, en opérant commesuit :

Sz dans le produit hD la partie décimale est10 i,nférieure ou égale ù 0.5, on la supp?"i,me;qo comprise entre 0.5 et r) otz lu renzpla,ce pa?" 0.b;30 égate ou supérieure ù r, o?x Ia suppri,me et on ajoute L ù

la partie entière.365. Remarque VII. I\ous n'cxaminerons pas le cas où

là - h^l

de cette étude aux tables à 5 décimales.

366. Remarque VtrII. La méthode qLle nous avons suivie pourétablir les règles du calcul de log sinX et de log tgX, appliquéeau calcul de logn, condr-rit aux conclusions suivantes :

'lPour les nombres supérieurs à ; Vto 10,?

c'est-à-dire : pour n

pour n:7, frz

on obtient log n - log(nr, + h), à moins de # pr,ès, en opérant

comme suit :

,St dans le produit hD, Ia, partie décimale estIo infér;ieure ou égale a, I, on la supprùme ;qo comprùse entre ), et 0.5, on la remplace par 0.b ;

30 égale ou supéràeure èL 0.5, on la rentplace par I.

).<o.b-ry$.8nt'On trouvera, page 81, les valeurs de l calculées de 1000 en 1000,

pour les nombres compris entre 1000 et 10000 (tables à cinqdécimales).



APPRT)XIMATIONS DANS LES CALCULS LOGARITHMIQUES. 287

Problôme II.Détenni,ner l'appronimatiotz gue l'on IJeLtt atteindre dàns le

ca,lcul de log71,(X) par le procédé relatif aun petits (L?"cs.

367. Nous n'examinerons que le cas des tables à cinq décimales,

I{ous avons vu que I'interpolation linéaire était admissible

jusque 1",05 dans le calcul de log sinX,jusque I",07 dans le calcul de log tgX.

Or, dc 3c à I",05 ou I",07, 6 et r diminuent rapidement et ontpour limite 0. Par conséquent, pour les arcs inférieurs à 3 grades,on emploie un procédé spécial que voici :

on i sinx -= Y'x - s.x

er tgX:*?I-*:T.xÀ

d'oti log sinX : logs + logx

log tgX - lugT + logX.Les logS et logT flgurent dans la table avec six décimales; Ies

différences tabulaires valent 0, 0.I ou 0.2; logX se calcule parla table des nombres de 1000 à 10000.

368. L'erreur commise sur log9T (X) comprend trois parties :

10 I'erreur el commise sur logS (ou logT), (non timité à cinqdécimales) ;

2" I'erreur ez commise sur logX (non limité) ;

30 I'erreur es provenant de ce qu'on limite log97, (X) à cinq

décimales (ou évsntuellement à six décimales, comme nous leverrons ci-après).

Les cas les plus défavorables au point de vue de I'approximationse présentent lorsque les trois erreurs sont dans le même sens :

lo par défaut ; T par exr'ès.

Nous allons donc rechercher le maximum de e, et de es par défautet par excès.

A. Cas du sinus.

369. I. Mani.rùuln de er :

lo Si la diftrence tabulaire pour logS est nulle, on aura

er



288 couns DE TRIGoNoMÉtntE.

20 Si cette diftrence tabulaire n'est pas nulle, on a encore

er (WParexcès.

Mais il n'en est plus de même par défaut; il faut calculer logSpar le procédé d'interpolation linéaire.

maxer se compose donc de deux pat'ties : l'une qui vaut ffi , et

I'autre qui est la flèche maximum de la courbe rr - logS entreles valeurs X, et Xz - Xr + It, et que nous représenterons par g.

370. La formule de Newton dont nous nous sommes déjà servidonne

?:max#F',(E)xr

et

Calculons F" (X).

F(x) - rosY: ros (ry i) - rosffi, + M.rsryr l\dn Mæ ( _r^^^ l\F'(x) - M( cotgr - à)æ.: ffi fcotsæ - i)

F,,(x):-K (+ f).10s \sinzæ û')

D'autrepart -L-l: t,:Îi!'nsinzr gz nz sin?æ

Or, on sait que 0

et que 0

d.'où 0

et par conséqudnt

I I - &z nzXz îcz

ffi- û,

D'ailleurs, h (L - h) <\.Doncn co \ 5EZ;ITI6E

.



aPPROXIMATIONS DANS LES CALCULS LOGÀRrTHMrQUES. 2gg

Le minimum de S a lieu pour B grades.log ?

,d,où e 0'0000 4468 1 0.00005

.donc enfin :

?

\-F-37r* If. Man'i,mum de az.

ona e o'5 r

2

Si E2 est par défaut, max ez se compose de deux parties, I'une'qui vaut ffi' l'autre, ?'flèche maximum de la courbe U -logxentre Xr et X2 (nombres entiers consécutifs).

Par la formule de Newton :

F(X)-logX-M.lgX

F,(X): Il-,r,(X) : _ S.d'où ?'

Finalement: u - 1-I'iIax e2

372. IrTous aurons donc :

par défaut er + ê2105

parexcès

€I

+ez

En conséquence, si nous voulons que la somme er * e, * e3 soit

moindre que *u, nous pouvons commettre une erreur:

par défaut e3 to5 ouf (3)

par excès €3 .,#E ou H. (4)

373. D'où la conclusion :

,Si, dans la son?,rne log s + log x, la gtarti,e déczmale qui suitle 5ième chi,ffre est :Io i,nférieure ou égale ù I - 0.051, orz la suppl"ime;

.Couns nn TnraoxouÉrnrn. lg



Z' comprise entre (I -0.051) et 0.55, orz la remplace par

0.5;30 égale ou supér'i,eur"e ù 0.55, on la suppri,me et on force le5ième chi;ffre de I unité.

B. Cas de la tangente.

374. lo Si la différence tabulaire poLrr logT est nulle, otr aura"

t1

20 Si cette différence n'est pas nulle, on calcule log T par inter-polation linéaire. La courbe A : logT étant convexe pour I'axe X

et U allant en croissant, on a0.05

€1

Quant au maximum de er par excès, otr a encore

-0.05 r Iet

+ : maxh(L - h) F"([)'2 \t/ -

on a tr(x) : togr - log e.g) :M.IE tgærc

-\ fr ^./ L'rg fi Tlogft |

F'(x):ffi.ffi

290

Or,

d'ou

COURS DE TRIGONOMETIE.

Mæ2 sinz 2n - 4mz cos?æElf t /X \ _-_ ^r^ \^^,, 4. I08 æz Sinz 2n

sinz 2r

d'où F"'(x)

et ,1,

Le minimum de cos rt est cos 3".

log *

*

max er par excès105

375. Le maximum de erest le même que dans le cas du sinus, d'où,

par défaut r Er * e,

p€r excès t €r * e, ' 105(6)



APPROXIMATIONS DANS LES CALCULS LOGARITHMIQUES. 29L

D'où, si l'on veut er + ez* es

par défaut eg

par excès eg

376. Conclusion. Si, dans la somî?ze log T + log X la parti,edéci,male q.ui str,it lg $icm" chifft"e est

Io i,nféri,eure ou égale à (I - 0.05), on la supprime ;

20 cornpri,se entre (I - 0.05) et 0.551, on la rempla,ce pûr0.5;30 égale ou supér'ieu,r"e ù 0.551, ot? la supprinze et I'on force

le 5ième chi,ffre de I unité.

Elroblônne fII.

Détertn'iner l'approninoation atteinte dans le calcul d'ztnarc X, co?xna,issant une ualeur a,pprochée de log gT (X) , e%

n?oyen de la formule d'interpolation l'inéaire.

f u" easr - On connaît log sinX à moi; ' P \ns 0e ffi, pres.

377. Supposons que le calcul cle X termine un calcul logarith-mique ; log sin X est une somme de logarithmes erronés chacun de

moins de e, Scient E cette somme, et ry ) Ie.p

on aura E-#' z.lo',Dans la table on trouve E compris entre .8, et E r, logarithmes

approchés de sinX, et de sinX".

On pourra poser Xr

à condition que I'on ait :

E,+ffiSoient D: (Er_Er)l}n

d : (E - .Er) lo,.Les conditions (2) deviennent :

p



292 couRs DE TRTGoNoMÉrnls.

378. f. Supposons que ces conditions soient satisfaites. Reprenons

lesnotations de

la fig. 57pour les arcs supérieurs

auxlimites

trouvées dans le problème I.L'arc X est déterminé par I'abscisse du point C, intersection de la

courbe A : log sin X et de la droite A : log sin X, parallèle àI'axe des X.

Ce point C est reurplacé par le point D', intersection de ArBf etde T:E(fr9.60).

=Ë"{.,2*

Les positions limites de c -orri'i, :t cr. L'erreur est donc moindre

que DfI par excès ou DrE par défaut. Il est aisé de voir que DfE < DrI.[i. Si nous limitons X à m décimales (X est exprimé en centigrades)^nous remplaçons D/ par un point qui en est étoigné de moins de

x2r\l

BJ

B2

nrlo*lcùl

rtrul:1.ol

r.lçt

#rn



appRoxrMÀTroNs DANS LES CALCULS. LOGARTTHMIQUES,

tfu'.Pourquel'erreurcommiseSurxsoitmoindrequeil faut et il suffit que l'on ait DrI

D'G*HI-=

D

g*2(r-o)T\ffil0mv -p+2(I-")

293

ITW

Or,

d'où

ou

Le minimum de 6,

(pour Xt : 3001); la

GH:h

(4)

pour les tables à 5 décimales, est 0.43963...condition (4) sera donc satisfaite si I'on a

Pour X,2 4, on a

379. Conclusion.

Dans le cas où

X-Xr +h àmoinsde#près,tn et h étant fournis par les relations

Dl0r, <e + 2(r-o)

1

E'+#<E-#,

rom

"#i2o ) 0.466; donc (4)

l0'' <-,D=

=

P+1'lxr

(5

sera satisfaite si I'on a

(6)

(7)

(4)

(s)

380. II. Supposons maintenant que les conditions (3) ne soientpas toutôs deux satisfaites.

Ê étant compris entre E, et Er, il se peut que E -# ou

(o t -p -, ou les deux, ne soient pas compris dans le même'T z.Lvintervalle. Soit Et le plus grand logarithme de la table, tel, QUe

I'on ait (e)

et soit .Ett le plus petit logarithme de la table, tel, que I'on ait

P, P -.,ott It;+ Lffi{8" (10)



294 couns DE TRIGoNoUÉrRIn.

38f . A. Les farmules (7), (4) et (8) seî"ont encore (rppli,cables,lnrsque de g ù Ez la "di,fférence tabulaire ne crott Fas, etque de.EL ù.Êttla dàfférence tabula'i,r"e ne décrott pas.

En effet, si de Et à .Ez D ne croÎt pas, le prolongement vers lagauche de la droite AuBu (fig. 60) continue à limiter la positionextrême Cz. De même, si de E L à Et I D ne décroît pâS, le pgolon-gement de ArB, vers la droite continue à limiter la positionextrême Cr i donc, I'erreur par défaut ou par excès est toujoursinférieure à Dff.

382. B. Les formules (7), (4) et (8) ne sont pas appli,cables :

Io lorsque les cond,i,tions énoncées saus le littera A ne sontpas satisfaites ;

20 lorsque la formule (4) donne po?,r,î" m une aaleut" négatiue,c'est-ù-dir"e lorsque D

Dans le premier cas, oû substituera à D la plus petite valeur Dr

de la différence tabulaire dans I'intervalle Êt E" , et on appliquerala formule (4) modifiée :

Lym -p+2(I-o)Dans le second cas, otr peut prendre Xt et Xrf (corre

Et et E") comme valeurs extrêmes de X.

On peut aussi calculer deux arcs Yr et Y z tels, que

logsinY, -!:-#/ (

logsiny, -E+#, 1

Soient D, et Dz les ditrébences tabulaires à considérerYz I on pourra calculer Yr et Y z à moins de # et

't?zL et ffLz étant fournis par les relations

10?l?t

)tw'"#lEn efiet, E-# et E+# sont alors les

exacts de Y, et de Yzi il faut donc faire p - 0 dans laOn aura par conséquent

Y,-#t

spondant à

I'on ait

(r 1)

pour Y, ef1\@ Pres'

(4')

(t2)

logarithmesformule (4).

(13)



APPROXIMÀTIONS DANS LES CÀLCULS LOGARITIIMIQUES' 296

En gênéral, on trouvera vhr:

ttlz: rn;dans ce cast

*_Yr*Yz. , (Yr-Y, 1 \z àmoins d" (? + 1fuJ nre's' (14)

383. Remarque I. - Lorsque rn - 0 (formule 4), c'esf-à-dire

lorsquoDI (

r- a 2ft=6 < ro' (15)

,on aura X : Xr ou X: Xz

.'llsuivant que Ë est inférieur ou supérieur à i'

Dans ce cas, Xr sera une valeur par défaut si

,oI ,ta P'rfZ]tO"1*'-[]ft-rz

ou ",+#,(Er*#-#*ouencore p<\d'-I (lq)

X,sera une valeur

Parexcès, si

E+#,=*,-#, ou P{2(D-d)-I' (17)

T)3g4. Si d a i et si la condition (16) n'est pas satisfaite, iI pou*a

se faire que X1 soit une valeur approchée non seulement à une unité

près, mais à une demi-unité Près.

En effet, on a:

v , d p+z(l-") zy zs , d , P+r I

.or -rD ------:,{- \ ^ \ t, +Ë +W(18)

onauradonc x,-à<x<*,+à (19)

sironâ Xr-à=r,+#-P+zJJ-ù (20)

et *,+ * *L#"

*,+ à (2r)

(20) tlevient P ( D + 2d, -2(l - o)

.oe qui est vérifié en vertu de (15).

(2r)ttevient P(D-ZL-|, (22)

condition qui, conbinée avecp > 2d, - t, exige d a+'



296 couRs DE TRrcoNouÉrnrg.

On trouvera de même, si d t 3 .t sî la cond,ition (17) n,est pas.

vérifiée, que xz est une valeur approchée à moins c Ite Z, Sl

p<zd,-D -z(r-o) (zs>,et p(Bn_Zd_l. (24),

(24) a toujours lieu puisque, en vertu de (rb):p<D-Z(L-o)<D-t

Les conditions(16) et (22), (17) et (23) peuvent être satisfaites.simultanément.

385' Remarque IL, - Les conclusions de la remarque I sont d,unintérêt purement théorique. En pratique, il serait fastidieux devérifi.er toutes ces conditions. D'aiileurt on n'emploie les tables àcinq décimales que lorsqu'on ne désire pas une grande approximalion..

Pe Gû,so On connaît

386. Mêmes conclusions

En decà

lo*<p

log tgX à moins a" ffi près.

que pour log sin X.de 50"

D

+2(l-t)Au delà de b0"

Dr0nP + 2r

(25)

(26)

Pour n : 5,

L0m --p+l.l387. Remarque III. Les diftrences tabulaires pour 1es log tg

valent atr minimum 13, tandis gue pour les log sinus, elles déciois-sent constamment et ont pour limite 0. Il en résulte que I'approxima-tion est plus grande lorsqu'on connaît log tg X que lorsqu,onconnaît log sin X ; cela est surtout sensible au detà de b0 grades.

388. Remarque IV. On aruive aux mêmes conclusions pour ladétermination de I'approximation atteinte dans le calcul de frr

connaissant une valeur approchée de logr à moins ' noe ffi,.n ne faut pas oublier qae fi est supposé compris entre 1000 ef10000. Donc, s'il est inférieur à 1000; I'approximation augmente,puisque Ia virgule se déplace de L, ? .. . rangs vers la gauche.



aPPROXIMATIONS DANS LES CALCULS LOGÀRTTHMIQUES. 297

389. Remarclue V. Toute cette théorie est indépendante dunombre de décimales des logarithmes de Ia table. Plus D est grand,plus I'approximation est grande. Les tables à 5 décimales ne donnentle plus souYent les arcs qu'à moins de I centigrade près. Les tablesà 7 décimales donnent une approximation beaucoup plus grande(parfois le cent-milligrade).

il semble donc qu'il y aurait avantage à rééditer les tables deBorda à 7 décimales, et à les préférer aux tables à b décimales,

Problôqne f û.Déterminet" l'approfrimation atteinte d,ans le calcul d,'un

a'rc x, connaissant une aaleur approchée de log fL 6), p&rle procédé des petits a,l"cs.

390. X est inférieur à 3 grades. Soit 'E compris entre Ê, et .Er.Ona log sinX : logs + logX.On adopte pour logs la valeur approchêe de logS,, I'erreur ainsi

commise êtant moindre que la diflérence tabulaire, c'est - à - dire'

moindre que fr ou ffi puisque les logS sont donnés avec 6 déci-

males et que la différence tabulaire vaut au maximum 2 unités du6ième ordre.

.E logS, est donc une valeur approchée de logX, à moins

rle P*0'4.2. 105

On est ramené au calcul de X.

Si la diftrence tabulaire pour log S est nulle, on aura log X àmoins aeP +o'I \

2.10r pres'

On aruive à des conclusions identiqLres dans le cas de la tangente,



NOTE II

GRANDEURS DIRIGÉES.

391. Déffniûion. On sait par les considérations généralesqui

constituentle début du cours d'Arithmétique, qu'un élément

générateur, partant d'une position fixe dans I'espace et prise commeposition de repère, engendre une grande?,(,r" directenoent ,)tes'u?^ab\e

lorsqu'il est animé d'un mouvement de translation, d'un mollvementde rotation ou d'un mouvement hélicoïdal. 'Ioute position occupéepar cet êlément dans ce mouvement générateur, détermine. concur-remment avec la position initiale, une grand,eur déterminée d'uneclasse déterminée aussi; réciproqLlement , tor,tte g?"a,ndeur directe-ment n?,esu?"able détertnàne la position de l'une de ses efrtrë-mi,tés pûr rappot"t ù l'aLctr^e prise colnrne repère, si l'on connaît

la position de ce repère et le sens de la génération. On a donnédes noms conventionnels aux deux sens possibles ; I'un s'appellesens poseti,f, I'autre, sens négati,f de la figure illimitée qui porte lagrandeur. La position initiale de l'élément générateur, c'est-à-direl'élément de repère, s'appelle I'origine de Ia grandeur ; la positionfi.nale de l'élément générateur, c'est-à-dire l'élément repéré, s'âppellel'eætrént,ité de la grandeur oLr encore l'élément extrênae. IJnegrandeur donnée pcut toujours être considérée comme engendrée

dans I'un ou dans I'autre sens. Pour distinguer I'ot'igine de I'extré-

mité, on les désigne par deux lettres, A et B par exemple, et I'onreprésente la grandeur par ces deux lettres, cclle de I'origineprécédant celle de I'extrémité, surmontées d'une bart't: horizontale.Ainsi une grandeur G limitéc par deux éléments A et B pourra se

représenter par AB ou par BA suivant que I'on considère A ou Bcomme origine. Lorsqu'on distingue ainsi le sens de la générationdes grandeurs, oû les appelle des grandelul"s dirigées. Dans le casparticulier tles segments de droites, otr les appelle ueCteurs.

392. Conclusion. Une grande?ir dirigée est une synthèse de

trois éléments :

10 La figure iltimitée qui la Porte ;

2" La grandeur particulière, limitée par ses deux extrémités;

30 Le sens de la génération.



GRaNDEURS ntntcÉps, 2gg

IJne grandeur diri gêe détermine la position de son extrémité parnapport à son origine.

Le sens de la génération d'une grandeur s'appelle sens de lagrand,e?rr.

393. (Irandeurs dÊrigées reetiligneso eire ulaires,héIierlid&los. - Nous distinguerons ainsi les grandeurs d'aprèsle mouvcment de l'élt':ment qui les errgendre.

394" EiSaIité, - Deux grandeurs dirigées sont dites égates

lorsque, leurs origines étant mises en coïncidence ainsi que les'figures illimitées qui les portent, les grandeurs et les extrémitéscoïncident aussi.

395. Sornrne elirÊgée de plusieurs gra,?ldeurs dirigéesprises s?.tr' u'ne même figut"e illintitée.

Soient les grandeurs dirigées : A"Br, À"&, ... IF,, découpéessur une même figure illimitée de leur classe. Consiclérons un élémentgénérateur M, partant d'une position initiale O et se déplaçant de

façon à engendrer une grandeur OM,

-

frB, ; puis, à partir de la

position nouvelle N{r, une grandeur 'Mù{, : ArBr:.. gl_finalementà partir de la position atteintê M",-r, une.grandeur Mr-rMn: A*Bn.

La granduo1-:]go_ s'appelle soTnrne d,irigée 4u*_grandeursOMr, MrMr,... Mr-rNlr, et aussi des grandeurs AtBt, ArB,,,. AnB*.

.On écrit :

OM,,: OMt * Mrl\fz + ...+ Mr-rMm: ArB, * ArB, * .'. * L*B*.Le signe + utilisé pour séparer les grandeurs cotnposrtntes

s'énonce plus. II ne représente cependant aucune idée d'ensemble nide collection, mais I'idée de succession: ofi devrait l'énoncer ytct'is.

Nous admettrons que la position flnale de M, et par conséquent,la somme dirigée ô,M", sont indépend.antes de I'ordre d.ans lequelon range les grandeurs composantes (t).

396, Itapport de deux grarrdeurs dirigées.Une grandeur directement mesurable est parfaitement déterminée

en elle-rnême par la connaissance d'un étalon et de la, mesure de lagrandeur par rapport à cet étaton. Cette mesure est ce que nousappelons un notnbre absolu. '

Sur la flgure illimitée q.ui porte la grandeur consid êrée, la posotionde celle-ci ne sera déterrninée que si I'on connaît en outre la positionde I'une de ses extrémités et le sens dans lequel I'autre extrémité

(t) Voir la démonstration, Ari.thmëtiqct,e générale, pp. 87 et suivantes.




se présente par rapport à la première. Nous ferons donc de lagrandeur à mesurer Llne grandeur dirigée ; nous prendrons pourétalon une grandeur dirigée également, et la mesure de la premièrepar rapport à cet étalon sera un nombre absolu accompagné d'uneindication quelconque déterminant le sens de la grandeur par rapportau sèns de l'étalon. Lorsque les deux grandeurs sont dirigées dansle même sens, on ajoute au nombre absolu qui est leur rapport

tel qu'il a ()tê déflni jusqu'ici la qualification de positif.Lorsque les deux grandeurs sont dirigées ên sens contraires, leur

rapport est qualiflé néga,ti,f.Enfin, l'étalon restant constant, ainsi que I'origine de la grandeur

à mesurer, si I'extrémité de celle-ci est supposée mobile, et si I'ondéplace cette extrémité d'une manière continue de telle sorte que lagrandeur ayant primitivement pour mesure un nombre positif.diminue, son extrémité coïncidera à un certain moment avec sonorigine, puis la grandeur croitra à nouveau et aura pour mesureun nombre négatif . Lorsque l'extrémité coïncide avec I'origiûo,la grandeur cesse d'exister. Elle est devenue nulle. Nous d.irons,

pour faciliter le langage, qu'à ce moment sa mesure est lenombre zéro.Le rapport de deux grand.eurs dirigêes A,.8, et erBz se représente

par le symbole ++; c'est un nombre positif ou négatif, suivant queA2Bz'

les deux grandeurs sont dirigées dans le même sens ou en sensopposés,

397. Grandeur-direetniee. On convient de mesurertoutes les grandeurs dirigées portées sur une même figure illimitée,par rapport à un même étalon, auquel on donne le norn degrandeur-directrice de la figure illimitée en question. On convient,également rle choisir comme sens positif sur cette figure celtri quicoTncide avec le sens de la grandeur-directrice. Le plus souventmême, on spécifie à priori le sens positif sur la figure illimitée,et I'on indique l'étalon sans se préoccuper de fairo de celui-ci unegrandeur dirigée. Toutes les grande?ir"s dirigëes, dont le sens'coincide auec le sens. positi,f de la ft,gtre illinti,tée, ont alorspour rnesuî"es des nombres positifs ; les a,utt"es ont poul-

lnesures des nombres négatifs Cela n'empêche pas naturellementde considérer éventuellement le rapport d'une grandeur à uneautre quelconque.

La grandeur-directrice a) parle nombre + l.

rapport à elle-même, pour mesure



GRANDEURS DIRIGBES. 301

Lorsque nous parlerons de la mesure d'une grandeur dirigée,

sans spécifi.er la grandeur par rapport à laquelle on considère cettemesure, il faudra sous-entendre que celle-ci est la grandeur-directrice.

398. La mesure d'une grandeurgrandeur-directrice, est représentéele même ordre.

Les nombres AB, et BA, mesures des grandeurs dirigées eg et BA,sont égaux en valeur absolue, mais de signes contraires, c'est-à-dire,sont synzétriques.

399. Déftnition (t)o - La mesure d,'?rne son?,rne d,irigée d,egtlusi,eurs grandeut's par rappot"t ù une grande?r?, d,irigéequelconque de leur classe, s'appelle so,ln?ne des nùesures d,eces gr"and,eïffs.

On a donc

AFr+A€Br+...+A,B-

dirigée AB, par rapport à lapar AB, les lettres mises dans

AB@AB

, AnBnl-_

AB

A*8,I-T-

TE--l-...

400. Veetetri'so Définitions. On appelle aecteur un

segment de droite auquel on associe la directi,on de la droite etle sens de la générat'ion du segment.Les vecteurs constituent donc une classe de grandc.urs dirigées.La droite illimitée qui porte un vecteur prend le nom d'ane

lorsqu'on a qualiflé les deux sens suivant lesquels un point mobilepgut la parcourir. Le sens positif est indiqué par une lettre quidésigne en même temps I'axe, et qu'on place vers une des extrémitéslorsqu'on fait un dessin.

Tout axe divise le plan qr"ri le contient en deux régi,ons ou

demi-plans. L'une quelconque est dite régdon ltositi,ue et I'autre,région négatiae.Si I'ott considère deux axes parallèles r et y, et si I'on a qualifié

les régions pour I'un d'eux, fi pàr exemple, on convient de qualiflerles régions pour y de telle sorte que n et y soient dans des régionsde noms contraires I'un par rapport à I'autre.

Un point placé sur un axe le décompose en deu x d,emi,-d,roi,tes.

(t) Cette définition est conforme au principe qui a servi de base à ladéfinition d'une somme de nombres absolus. Voir les Trai,tës d,'Arithméti,quede E. HuMtrnnr, et de A. Tanulrvrr,l,n, ainsi que mon Ari,thmëti,que générale.

8i I'on a défini la somme de plusieurs nombres qualités d.'une autre manjère,la définition ci-dessus doit être transformée en un théorème.



302 COURS DE TRIGONOTIETRIE.

Lorsque deux axes sont parallèles, on convient dc qualifier les

deux sens sur ces axes de telle manière que si I'on joint par unsdroite deux points pris sur ces axes, les deux demi-droites qui se

développent dans des sens de même nom. soient dans une mêmerégion par rapport à cette droite. On dit alors que les deux axesparallèles ont le môme sens positif.

401,. Thtâorème de Chasles ou de Môbius. - ,Si I'on cons'id,èr"e sur?,ct?, a,æe des gloints qccelcorxques A0ArAz . . ! L* on a, I a relatioT?, :

AoA, -l- ArA, + ... + Ar-rA, * A,oAo

Cette propriété réstrlte de ce que la somme dirigée

At, f r\1A, * ... * Ar- r À* * A"Ao

€st nulle puisque son origine et son extrémité sont confondues en

Ào i on sait (399) quc sa mesure, c'est-à-dire le nombt'e 0, esb pardéfinition Ia somme des mesures des vecteurs qui la composent.

4A2. Veeûettt.s éqrEipollents. Dcux vecteurs AB et Ol)sont dits éguipollents lorsque, portés par lrn même axe ou pardeux axes parallèles, ils sont égaur et de même sens.

L'équipollence s'écrit

AI]Deux vecteurs parallèles sonI dits de mênze sens lorsque leurs

extrémitês sont dans des régions de même nom par rapport à deuxplans parallèles (ou deux axes parallèles) passant par leurs originesrespectives.

Deux vecteurs équipollents à un même troisième sont équipollentsentre eux.

403. Remarqlue. Si lion a AB : CD on en décluit ÀB : CD,

puisque les axes qui portent ces vecteurs ont le même sens positif,404. Sornrrre géorrrétriqrreo On appelle sorw??,e géonoé-

tr"'i,que ou résultante de deux ou plusieurs vecteurs :

A,.Br, Ao&... mrangés d,ans cet ord,re, uû vecteur OM,, ayant pour origineun point arbitraire O et pour extrémité le point Mn où aboutit unpoint mobile M eui, parti de Oo engendre successivement des

vecteurs OMr, m;, ... M"-rU *, êquipollents aux vecteurs respectifs

I;E;, ÀFr, .,. W*.Cette succession s'indique au moyen de

s'énoncer glui,s, mais qu'on énonce plus.signes -F qui devraienù



On a donc

OMl:I-r'€t I'on écrit

GRANDEURS DIRIGÉES.

MrM, : ArBrr .. '.. Mr-rM., :

308

ffi*ôI[,r-ffi, +M,- r*... f Mr-,.i\{,: A.rB, *e*n, a ... +æ":

Les vecteurs Â8, ÂF;, ... A*B* s'appellent les colnposa,ntes

de la résultante ôM,.405. Théorème. Une somnxe géométrique de ltlusi,eurs

oecteurs rangés dans un certain ordre reste équi'pollente ù

elle-même, quelle (lue soit l'ori,gine choisie.

En effet, ôM,,, somme géométrique obtenue en prenant Ot.comme

origine peul s'obtenir en faisant subir à la somme OM,, une trans-

lation égale à ffi'.Donc, OfMr, : OMr.

40ô. Remarque. - Iine somme géométrique ne change pas si I'onremplace des composantes par d'autres qui leur sont équipollentes.

407. Théorème. U'ne sorntne géométràque ne change pessa l'on remplace des aecteurs consécutifs pa?" leztt" sorwne

géométrique.408. Théorème. La somrne géométrique de deun uecteurs

est ind,épendante de l'or^dre dans lequel o??' les consi,dèr'e.

Soient OMr : AJr; Mù{, : AoB, - ffie i

et OM, : ffi, * Mù'{, : A.rB, * A*R..

Je dis que , Ofifr,

Joignons MrMr.

ona, m, - ffi, +

Mslvl, : ArB,

*MuMr-

il sufflt donc de démontrer l'équTpollence M"M, - Fr.Of, la figure OMrMrM, est un parallélogramme, puisque

6Mu : W y ct que par suite, OM, et MrM, sont égaux, parallèles,

et dans la même région par rapport à OMr. Donc OMt et MrM, sontégaux, paratlètes et dans la même région par rapport à OMu. D'où

ôM,--Wr. '

Or, OMr : ArBr.

Donc, MrI\{, : fFr.On a par to51nuent

OM, : A,B, * ArBz: ArB, + AtBt'



304 couRs DE TnlcoNontrÉrntn.

409. Théorème. - La sornrne gé,ométrique d,e ptusieurs aecteurs

est'ind,épendante de l'ot"dre dans lequel on les consid,è? e.Cela résulte de ce clui vient d'êt,re dit aux no' 407 et 408 ci-dessus.

Al'}.Théorème. - La sornrne géoméh'ique d,e plusieurs aecteursparallèles est la solnrne diri,gée de uecteut"s respectiaernentéqui,pollents, ltortés sur un mênze affie.

4t'1,. Mesure des grandeurs eiroulaires. Les grandeurscirculaires présentenl; cette particularité, que l'élément mobile quiles engendre passe, dans son mouvement de rotation, plusieurs foispar des positions

déjà occupées antérieurement. La grandeur engotr:drée par un tour complet du mobile s'appelle : ta gra?1d,eur d,'r,crttour.

On voit que, si I'on se contente de désigner l'origine et l'extrémitéd'une grandeur circulilire, celle-ci n'est pas distinguée de toutes lesautres qui ont la même origine et la môme extrémité . La distinctionne peut être obtenue que si l'on spécifle la mesure de la grandeurpar rapport à une grandeur-directrice connue. Il est d'ailleurs aiséde constater que les mesures de toutes les grandeurs qui ont même

origine et même extrémité peuvent être représentées par une mêmeformule kc * a., quel que soit leur sens de génération , k d,ésignantI'ensemble des nombres enliers qualifiés (y compris 0), c étant Iamesure de la grandeur d'un tour (nombre absolu) et aétant un nombrequaliflé quelconque, constant pour toutes ces grandeurs. LorsqueI'on n'a en vue que de déterminer la position finale du mobile , laconnaissance de I'axe de rotation, de I'origine, du sens positif,et du nombr ê d, y suffisent. C'est pourquoi I'on ne dis[ingue pas lesgrandeurs dirigées circulaires qui ont même origine et mêmeextrémitê; on les appelle grandelu"s cong?"rres,

et I'on désigneleur ensemble par la notation (AB), A désignant l'origine et BI'extrémité ; et I'ensemble des nombres kc -# q., représenté par Ianotation G, est appelé rnesz{r'e d,e (AB). Tous ces nombres sontcongrus (atod. c) à I'un quelconque d'entre eux, a par exemple.On les représente généralement par d. seul et non par kc -F a;de sorte que les relations que I'on écrit entre les mesures de gran-deurs circulaires ne sont jamais que des congruences (ercod . c).

4L2. Si I'on considère un point de l'élément générateur, ce point

décrit autour de I'axe de rotation un arc de circonférence. Ondémontre que toute grandeur circulaire a la même mesure :,errol'arc coruespondant, si I'on prend comme grandeur-directrice cellequi correspond à I'arc-directeur.



GRANDEURS DTRIGfJES. 305

Celui-ci est, dans toutes les théories générales, un arc appelérad,i,an qui a la mêne longueur que le rayon (la longueur d'un arcétant la limite des longueurs des lignes brisées inscrites, lorsquechaque côté a pour limite 0). La mesure de la grandeur d'un tourest, dans ces conditions, le nombre 2æ.

Il convient de remarquer que la mesure d'un arc par rapport auradian est, en valeur absolue, un nombre égal à la longueur del'arc par rapport au rayon d.e la circonférence qui Ie porte.

4t3. On appelle aaleur pri,nci'pale ot rési'd,u (enodulo 2r) d'unensemble

AB:2hæ*cr celledesesvaleurs )-æ et (*æ.Si I'origine et I'extrémité corncident, la valeur principale est 0.

on a donc îL:Zhzc.4t4. Si I'on a 1g:zhn + o,

on aura 6À : Zkr, - o..

Ce qui permet d'écrire

6À:--ÂÈ;relation qui exprine que toute oaleur du premier membre estune d,es aaleurs d,u second tnermbre, et réciproquetnent.

til5. Théorème de Chasles ou de Môbius. - Entre les mesuresd,e plusieurs grandeurs circulai,ras (ÀoA,), (À,AJ ... (Ul,r1appartenant à une même fi,gure i.lli,mitée, eæiste la relati,on

ele, +.q,],, + ... * Çeo : g. (rnorl. zæ)Soient dv a,z, ... d.,, d"s les plus petites valeurs positives de

ces mesures. On aura:

i)., +À],, +... +.{i, = crr + ae *... * a** a6 (Jrcod.2n)

Or l'extrémité Ao de la somme dirigée

coïncide avec son

"d;1.:*;;,

* i,l,î.., zhp, k1éranr un

entier déterminé.Donc, o'* dz +... + a" * eo = 0. (enod.2æ)

Et, par suite, la relation annoncée est démontrée.

Couns nn TnrcoxerrrÉrnrr:.



NOTB III

App LtcATtoNs DE LA Tn ÉoR I E DEs NoM BREs cou p LExEs.

4r,6. Cette note ne peut être ' cortrprise que par les lecteurs au

courant desdéfinitions géométriques

des nombres complexes etdes quaternions (t). Jecrois intéressant de présenter ici trois démon-strations très simples des principales formules de Trigonométrie.

I. sin (a + b) et cos (a + b).

417. Considérons dans un plan orienté trois axes 7", ffi et y (flg. 6I).,'\ ,/\ræ-ct, et fiA:b.a,+ b-îà+âù:;ù.

r, n et y el,al* les vecteurs-directeurs des axes en question, on ay nyi rn

Doncgi (afbl

:,gia

. eibou cos(a+b) + i sin(tr,+ b): (cos û,+ i0u encore

+ i sinô)

cos a cos ô ï :?":-? # ;ti-!i hnî cos a sin ô)

finalement:cos (a * b;): cosa cos b - sina sinÔ (1)

sin (a + b) - sin a cos b + cos a sin Ô. (2)

II. Triangle reetiligne.4t8. Considérons le triangle ABC (fig. 62). On a

ÂE+m+ct\-0. ,

frUr --= == eio Y - eibrfi

et Y:'gà(a*btr

Soient

d'où

:D'oti

bo

20

sin a) (cos ô

(,) \roir mon At'itltmétiry,te gënëral,e, 3*" et 4mc pârties.



APPLICÀTIONS/ DE LA

Adoptons sur lesaxes

tels, Quo I'on ait

AB:V.cOn aura

our,\

Of, ffiA:n-,^..lt: _ F _YQ 'v

^

- fi,uafi,At +

+ a, +

et

ou

d'otr résultent;L : gi(B-æ) : _ COSB - i SinBfi

'L * eù'n.-c) : - cosc + i sinc.ûOn a donc

- (cosB + i sinB) c + a

ou (a - c cosB - Ô cos0) +D'où flnalemont:

Io a * Ô cosC

20 Ô sin0 --=-

IUÉONM DES NOMBRES COMPLEXES. 307

qui portent ces vecteurs dés sens positifs

BC

V.c *;.:,Cæ

c

A

B

y.b

Lofr

et CA : y.b.

-0,:0.

F'rc, 62.

- (cosÇ - i sin C) b : 0

i (b sinC - c sinB) : 0.

* c cosB

c sin B.

(3)

(4)

ilL - Triangle sphérflque.

4lg, Considérons le triangle sphérique ABC (fig. 63).

a, p et T étant trois vecteurs-directeurs ou trois vecteurs-

quaternions, on a"

T-

d. T

P =p';Prenons ap pour plan de repère, d'axe i; a ooIDIDê axe de repère

dans ce plan ; le système de repère est notë ali.



308 couns DE TnrcoNoMÉrnm.

On a,i

*: p-ic: cos c - i sincltP

Yo.A,f : si'be'

--:cosb + i sinD cosA + isinô sinA.

y , - -r1æ-Blteicâ - giae' : cos a -e sina cosB +y sina sinB eos c1P

+ il ,ioa sin B sin c.JLa relation initiale peut donc s'écrire:

cos Q, - i sin a, cosB +y sina sinB cos c + ji sino sinB sinc

::::i';:ï:lfï:,i;î"u cosa +j sin, sina)

+ i (cosc sinô cosA - sinc cosô)

+ j cosc sinô sinA

+ ji sinc sin ô sin A .

Fra. 63. o(

D'où flnalement:

lo cos e, r cosô cos c * sinÔ sinc cosA

Y sinc cosÔ : cosc sinÔ cosA + sina cosB

30 sina sinB =s sinô sinA.

(5)

(6)

(7)



NOTE IV

FoNcrtoNg HypËnEoLteuEs.

420. Définition. + Considérons, dans un système d'axes trigono-métriques æ et y (flg. 64), un angle fiu: 0' engendré par un axemobile dont la position initiale est û et la position flnale u ; lamesul'e 0 de cet angle, par rapport au radian, est un nombre positifsi na a été engendré dans le sens positif ; c'est un nombre rrégatifdans Ie cas contraire.

Les nombres trigonométriques cos 0 et sin 0 sont les coordonneescartésiennos d'un point A de la circonférence de centre C et derayon l.

L'équation de cette circonférence estûz+U":l'

Le nombre 0 est aussi la longueur de I'arc dA correspondantà I'angle m, par rapport à l'étalon rectiligne CO; c'est encore le



3r0 couRs DE TRIeoNoMÉrnIn.

double de l'aire du secteur ci,rcula'i,,re OCA par rapport au carréconstruit sur I'drtalon rectiligne CO, Ie signe de 0 dépendant toujoursdu sens de la génération d.c I'arc OA et du secteur ôm.

Considrârons l'hyperbole équilatère dont l'équation est

X2-Y?:l'Soit M un point quelconque de la branche de droite de cette

hyperbole, et soit t le double de I'aire du secteut" hyperboliquem-, par rapport au carré constrr-rit sur C0, le signe de t dépendant

du sens de la génération de I'arc OM.Les coordonnéês du point M, c'est-à-dire les nombres

X-CS et Y:SMsont appelés respectivement cos'i,nus hyperbolique et s'inocs

hyperboli,que du nombre t. :

On les représente par'des symboles Aht et Shl.

Les rapports H, H' # et # s'appellent respectivement

tangente, cotangenle, sécante et cosécante hyperboli.ques de.d;on les représente par les symboles Tht, Ctht, Schf, Cschf. '

Les six nombres ainsi détinis deviennent les fonctions hyper-ltoliques de t, si I'on fait varier t.

42r,. La formule fondamentale est

On en déduit

chat _ shzl : l.schzl f That : l,

cthzt _ cschzt:1.

422. Variations.passant par 0, Shl varie de oo à f oo en passant par 0; Ch,varie de lr oo à f oo en passant par + t qui est son minimum;Th, varie de t à + I en passant par 0.

La variable t s'appelle I'a,tgttnzent des fonctions hyperboliquesque nous venons de définir. On I'appelle aussi le pararnètre hyper-bolique du point M.

l

423, Relations entre les fonctions hyperboliques et les fonctions

circulaires.Shl : tgO

s'appelle l'amgtlitude hyperbolique de t ; on émit

0 - amhf.



FoNcîIoNs HYPERBoLIQUEs. 3ll

On a,, également les relations

Ch I : sécO

Thl: sin0

Cth t - coséc0

Sch f =- cos 0

Csch t - cotg0.

424. Si I'on pose

æ-cos0A-sin0

et i-tS0on sait que I'on écrit

0

co qui signifle,: 0 est Ia valeur principale de l'ctr"c dont le cosinus

est û, etc.

Posons de même ,

X '-'- Cht ] : Sht Z: Thr.

On écrira inversement

t - arg ChX : arg ShY - arg ThZformules qui signiflent : f usti l'argument dont le cosinus hyper-bolique est X, etc.

425. Calcul de t en fonction de 0.

Nous avons désigné par t le double de I'aire du secteur hyper-bolique OCM.

Nous savons évaluer I'aire

dusegment hyperbolique

OPQM /,

o'tt'

(û9. 65).

OnaOCM + CQM: CPO + OPOM.

Or CPO est équivalent à CQMpuisque CP.PO - CQ.QM.

Donc I'aire du secteur OCM estégale à I'aire du segment OPQM.

D'oùI

-' tcQ'ât : CFF Ir

CpC OS

FrG. 65.

+SM*ffi;na CQ:CS



312 couRs DE TnreoNolmrnru.

d'où, oD projetant sur l'asymptote :

cQ - (cs + sM) cosi: (séc0 + ts0) cosî: rs(î * g) cp.

Par suite

CO lr *9).æ:rg(n ,2,)

On a donc fi.nalement

t:rgtg G*i) ou €(î * g)\1t ÉJ /

426. On déduit encore de là:

f+

,*(î*g)-*-e,r _tgl

d'où €g:t# (z)

Cette formule permet d'établir les suivantes ;

e:sino-Th t-

Ztgz ezt--r et-e-t ,t

rats4:-ry:-ffi' (3)

t-tgrl t cs

cos0: Sch t

- r+€4:a+r:ç'(4)

2

tgo-#:sht:* (e,-e'-,) (b)z

séco - ^: : cht:i@, * e-t). (6)COS U

427 ,.Théorème de Laisant : Ti t 0oZ: tg' (7)

De la formule (3) ci-dessus

Ths : e:=: Ie2**1



FONCTTONS HYPERBOLTQUES. 313

on déduit, êo faisant s : ! ,

,;: ei:!.-z er*IComparant à la formule (Z), on constate l'identité annon cêe.

428. Çalcul de Sh (, + u) et Ch (t + u),

Sh (, + ?4 : * (e'n''n - s-(t*ut) : t(e'e* - s*t e-\Or, st

-Sht + Cht et e-t : Ch t

-Shl.

Donc,

sh(r+ u):*[(snr+cht)(sh u*chu)-(ch t-sht) (ch ?t-shec)]ou d Sh(, + u):- Sht rJhu { Cht Shtz. (g)

De même Ch(, * u) : Ch t Chu + Sht Shec. (g)

n en résulte

rh(r +u):ffi. (lo)

429. Remarque f. De I'homothétie des triangles CSM et CONon déduit OI\T : Thl.

Le théorème de Lets^a,Nt permet de diviser géométriquement le,/ secteur hyperbolique OCM en deux parties équivalentes (flg.

.6a):

Soit B le milieu de l'arc circulaire OA. Joignons CB ; soit R larencontre ayec 0T. On aura

oR0t tsà ,h;430, La droitc CB prolongée divise le secteur hyperbolique OCM

en deux parties OCL et LCM. Or le point L a pour paramètre + t.Donc, aire OCt : aire LCM : tt.De plus, cette droite CB passe par le milieu K de la corde OM:soit en effet, Rt le point où cK coupe I'atre or ;

HK = qr{ORI CO

ou *teO:*(l+séc0).oR,

d'où oRr == , ,lg,o, sin o , - o

I * sécO: i -fmË0 : tgz: oR'



1 '.j

tl4 couns DE TRrGoNomûrRID

431. Remarque IL - On sait qua et déleloppé en série donneL

er:L4t , tz , t" | , tn-r+E*E*...*E*...

D'où e-t:r-t-*!-Lr-i*E-E+...En veriu des formules (5) et (6) tlu no 426 on a donc

shr:'r+#+*+...'t:l'cht:r*#*â*...t:|:

int'rn{lt



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Emile Dumont - Trigonométrie rectiligne & sphérique

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