Remerciement · Remerciement...

Remerciement

Je tiens à remercier dans un premier temps, Monsieur Michel PIERMAY Président de la sociétéFIXAGE, pour m’avoir ouvert les portes de son cabinet et donné l’opportunité d’apprendre à ses côtés.

J’adresse mes sincères remerciements à mon maître de stage, Jérôme CONTANT pour m’avoiraccordé une disponibilité sans faille et transmis une qualité d’enseignement très enrichissante toutau long de ce mémoire. Je lui suis extrêmement reconnaissante pour sa générosité, son écoute et saconfiance. Un grand merci également à Nabil KAZI TANI pour son implication en tant que tuteuracadémique.

Je remercie les professionnels de FIXAGE, Pierre MATHOULIN, Elisabeth THIOLAS, FatoumataNDOYE, Reda MOUZEYAR et Magali ROUJAS pour leur disponibilité et leur précieux conseils.

Merci également à toute l’équipe FIXAGE et aux co-stagiaires pour leur bonne humeur et leurentraide.

Enfin, j’adresse la concrétisation de mon parcours scolaire à mes parents, pour leur indéfectiblesoutien et présence durant toutes ces années.

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RésuméLe contrat d’épargne euros propose de nombreux avantages en termes de disponibilité, de rentabilité

et de sécurité de placement. Si ce contrat présente une grande simplicité d’utilisation pour les assurés,sa gestion pour l’assureur s’avère être complexe. L’assureur porte intégralement tous les risques defluctuations de marché inhérents à ce type de contrat. L’investissement de l’assureur doit conciliersécurité et rentabilité pour lui permettre de couvrir ses engagements envers ses assurés.

Sous la directive Solvabilité II, les engagements de l’assureur sont évalués par la provision BestEstimate. Cette provision inscrite au passif, dépend directement de la performance de l’actif de l’assu-reur par l’existence de clauses contractuelles telles que la participation aux bénéfices, le taux minimumgaranti et les clauses de rachats. L’estimation de cette provision nécessite la projection de l’actif afinque cette dernière puisse intégrer les risques financiers liés aux fluctuations de marché.

Par la détention d’obligations d’entreprises, l’assureur vie s’expose de manière significative au risquede crédit, c’est-à-dire au risque de pertes liées aux fluctuations de la qualité de crédit de l’émetteur.

L’enjeu de la modélisation du risque de crédit dans le processus de valorisation de l’engagementde l’assureur prend alors son sens.

La volatilité du rendement des obligations d’entreprises provient principalement :• d’un mouvement de spread de crédit, c’est-à-dire d’un écartement entre le rendement de l’obli-

gation et le taux sans risque ;• du risque de défaut de l’émetteur ;• du risque de changement de notation de l’émetteur.

Ce mémoire a pour objectif de développer plusieurs méthodes de prise en compte du risque de créditassocié aux obligations d’entreprises. L’étude se concentre sur deux modèles à intensité permettant demodéliser la volatilité des spread de crédit des obligations d’entreprises :• le modèle de Cox-Ingersoll-Ross qui permet de modéliser une variation des spread de crédit àpartir d’un évènement de défaut en univers risque-neutre ;• le modèle de Jarrow-Lando-Turnbull qui modélise une variation des spread de crédit à partir duchangement possible de notation de l’émetteur en univers risque-neutre.

Une étude spécifique est portée sur les hypothèses et les limites de ces deux modèles. En particulier,les modèles supposent l’indépendance entre les spread de crédit des obligations de notation différentes.Pour pallier cette limite, une méthode de corrélation entre les spread de crédit est alors présentée.

L’application concrète de ces deux modèles est par la suite présentée. Le calibrage en universrisque-neutre est réalisé à partir d’une courbe de référence et des dérivés de crédit. Plusieurs méthodessont alors exploitées afin de reconstruire une courbe de spread de crédit à la date de valorisation.

Enfin la prise en compte du risque de crédit dans l’outil d’interaction actif-passif permet d’acheverl’étude sur le calcul de la provision Best Estimate et des fonds propres de l’assureur. La prise encompte du risque de crédit a pour effet d’augmenter l’engagement de l’assureur et de diminuer sesfonds propres. L’impact est d’autant plus significatif que la volatilité des spread de crédit est impor-tante.

Mots clés : risque de crédit, spread, défaut, dérivés de crédit, assurance vie, SolvabilitéII, Best Estimate, fonds propres, interaction actif-passif

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SummaryThe euro savings contract offers many advantages in terms of availability, profitability and invest-

ment savety. While this contract is very easy to use for insured, its management for the insurer turnsout to be more complex. The insurer assume all financials risks relatead to markets fluctuations. Theinsurer’s investment must reconcile savety and profitability to be enable to cover its commitments toinsured.

Under the directive Solvency II, insurer’s commitments are evaluated by the provision « BestEstimate ». This provision in the liability, depends directly on the performance of the insurer’s assetsthrough the existence of contractual clauses such as profit-sharing, the minimum guaranteed rate andlapse clauses. The assessment of the provision requires the projection of the asset in order to integratethe financial risks related to market fluctuations in its estimation.

By investing in corporate bonds, an insurer may be significantly exposed to credit risk, whichmeans risks of losses due to fluctuations in the credit quality of the issuer.

The challenge posed by the modeling of this credit risk in the valuation of valuation of economicbalance sheet is becoming more significant.

The volatility of the yield on corporates bonds stems mainly from :• a credit spread mouvement, which means a credit spread between the yield bond and the risk-free

rate ;• the default risk of issuer ;• the issuer’s rating change risk.

This memoire aims to develop several methods of tacking into account a company’s credit risk.The study is restricted to two intensity models for modeling the volatility of corporate bond creditspreads :• the Cox-Ingersoll-Ross model, which allows to spread a variation of credit spreads from a defaultevent ;• the Jarrow-Lando-Turnbull which allows to modelling a change in credit spreads based on theissuer’s chaging rating.

A specific study is paid to the assumptions and limitations of these two models. The models implyindependence between credit spreads of different rating bonds. To overcome this limit, a method ofcorrelation between credit spreads is then presented.

The concrete application of these two models is then presented. Calibration in the risk-neutraluniverse is based on a benchmark curve and credit derivatives. Several methods are then used toreconstruct a credit spread curve on the valuation date.

Finally, the credit risk takes into account in the asset-liability interaction tool to complete thestudy on the calculation of both the Best Estimate and insurer’s own funds. Taking credit risk intoaccount increases the insurer’s commitment and reduces its own funds. The impact is all the moresignificant as the volatility of the credit spread is significant.

Key words : credit risk, spread, défault, credit derivates, insurance life , Solvency II,Best Estimate, funds, asset-liability management

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Table des matières

Remerciements i

Résumé ii

Summary iii

Introduction 2

1 Les engagements de l’assureur pour un contrat d’épargne 31.1 L’assurance Vie : le premier placement financier des français . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 La présentation des contrats d’assurance vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Les différents types de supports . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Le contrat d’épargne euro : entre la sécurité, la disponibilité et la rentabilité . . . . . . 41.2.1 La garantie sur l’encours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 La rentabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3 La disponibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.4 Une fiscalité avantageuse réformée depuis le 1er janvier 2018 . . . . . . . . . . . 6

2 La provision Best Estimate en lien avec l’allocation d’actifs de l’assureur 72.1 La définition de la provision Best Estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 La valorisation du bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.2 Le principe de calcul de la meilleure estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 La valorisation des options et des garanties en fonction de l’allocation d’actif de l’assureur 102.2.1 La valorisation de la clause de rachat en lien avec le taux servi par l’assuré . . 102.2.2 Le taux de revalorisation en lien avec l’allocation de l’assureur . . . . . . . . . 10

3 Le risque de crédit 123.1 Le risque de crédit : un seul type de risque ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1.1 La définition du risque de crédit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.1.2 Les risques qui rémunèrent la prime de risque sur les obligations « corporate » . 12

3.2 Le modèle de Cox-Ingersoll-Ross : une première approche à la modélisation du risquede crédit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2.1 La présentation des modèles à intensité de défaut . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2.2 Le spread de crédit dans le modèle CIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2.3 Les hypothèses et les limites du modèles de Cox-Ingersoll-Ross . . . . . . . . . 19

3.3 Le calibrage du modèle CIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3.1 Le calibrage du modèle CIR à partir de la reconstruction de courbes de spread

de crédit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3.2 Le calibrage à partir d’une courbe de spread implicite des marchés . . . . . . . 223.3.3 Le calibrage à partir des produits dérivés de crédit . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4 Le modèle à transition de rating de Jarrow-Landon-Turnull . . . . . . . . . . . . . . . 313.4.1 La matrice de transition de rating . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.4.2 L’expression des spread de crédit dans le modèle JLT . . . . . . . . . . . . . . 34

3.5 Le calibrage du modèle JLT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

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3.5.1 La matrice de transition historique de 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5.2 Le calibrage des paramètres du processus CIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 La mise en place des modèles de risque de crédit 434.1 Le générateur de scénarios économiques utilisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.1.1 La corrélation entre les variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.1.2 La projection de la performance des actifs de l’assureur . . . . . . . . . . . . . 47

4.2 La projection de la performance des obligations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2.1 La risque-neutralisation des obligations avec un modèle de spread de crédit . . 504.2.2 La projection de la valeur comptable, des produits financiers et des flux obligataires 524.2.3 La stratégie de réinvestissement dans de nouvelles obligations . . . . . . . . . . 534.2.4 La projection du passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3 Le mécanisme d’interaction entre l’actif et le passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3.1 Les rachats conjoncturels en fonction du taux servi . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3.2 Le taux servi déterminé par l’ajustement actif-passif . . . . . . . . . . . . . . . 56

5 La sensibilité du Best Estimate à la prise en compte du risque de crédit 605.1 Le choix d’indicateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.1.1 Le Best Estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.1.2 Les fonds propres prudentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.1.3 La Present Value Of Future Profits : une grandeur en lien avec le Best Estimate 62

5.2 La sensibilité de l’engagement de l’assureur avec la prise en compte du risque de créditpar le modèle CIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.3 La sensibilité de l’engagement de l’assureur avec la prise en compte du risque de créditpar le modèle JLT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.4 La sensibilité de l’engagement de l’assureur à la volatilité de spread de crédit historique 695.5 La sensibilité du Best Estimate au risque de crédit avec un changement d’allocation

d’actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Liste des abréviations, des sigles et des symboles 74

Lexique 75

Annexes 77

Bibliographie 78

Table des figures

1.1 Les règles d’imposition avant et après la réforme de 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1 Le bilan pruduentiel sous Solvabilité II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1 Les données pour retrouver les spread de crédit des obligations corporate BBB . . . . 223.2 Evoluation du spread de l’indice iTraxx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3 La courbe de spread des obligations BBB calibrée au 31.12.2017 . . . . . . . . . . . . . 283.4 L’évolution des spread de crédit des obligations de maturité 6 ans sur 30 ans . . . . . 293.5 Average One-Year Letter Rating Migration Rates, 1970-2017 . . . . . . . . . . . . . . . 363.6 La matrice de transition historique 1 an utilisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.7 La courbe des spread AA calibrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.8 L’évolution des spread de crédit de maturité 6 ans sur 30 ans . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1 La validation des tests effectués sur les taux zéro-coupon . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2 La validation des tests effectués sur la performance des actions et la performance im-

mobilière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.3 La convergence des valeurs de marché des obligations risquées vers la valeur de marché

actualisée au taux sans risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.4 La loi de rachats conjoncturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.5 Le mécanisme de versement de la participation aux bénéfices . . . . . . . . . . . . . . 584.6 Le mécanisme de versement de la participation aux bénéfices . . . . . . . . . . . . . . 59

5.1 La convergence du Best Estimate en fonction du nombre de scénarios . . . . . . . . . . 615.2 L’évaluation du Best Estimate avec prise en compte du modèle CIR . . . . . . . . . . 645.3 L’historique des taux de défaut par rating estimé par Moody’s . . . . . . . . . . . . . . 655.4 La lien entre la volatilité des actions et la volatilité des spread de crédit . . . . . . . . 665.5 Zoom sur un historique plus récent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.6 La moyenne des plus ou moins-values réalisées avec et sans spread de crédit . . . . . . 685.7 L’écart de réserve de capitalisation avec et sans spread de crédit, en moyenne au court

de la projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.8 L’évaluation du Best Estimate avec prise en compte du modèle JLT . . . . . . . . . . 685.9 L’évaluation du coût des options et des garanties avec prise en compte du modèle JLT 695.10 La répartition des spread de crédit des obligations BBB du modèle CIR . . . . . . . . 695.11 L’évolution du BE et des FP de l’assureur avec prise en compte d’une volatilité des

spread historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.12 Le coût des options et des garanties augmenté par la volatilité des spread de crédit . . 705.13 Les écarts de BE et de FP entre l’ancienne et la nouvelle allocation . . . . . . . . . . . 715.14 Les écarts de BE et de FP entre l’ancienne et la nouvelle allocation . . . . . . . . . . . 725.15 La reconstruction de la courbe des spread AAA à t=0 par le modèle CIR . . . . . . . 765.16 La reconstruction de la courbe des spread AA à t=0 par le modèle CIR . . . . . . . . 765.17 La reconstruction de la courbe des spread A à t=0 par le modèle CIR . . . . . . . . . 77

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Liste des tableaux

3.1 Les taux de recouvrement estimés par Moody’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Minimisation de l’écart quadratique pour ajuster la courbe de spread du modèle . . . 233.3 Les paramètres du calibrage des spread BBB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4 Le calibrage sur les dérivés de crédit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.5 Historique des spread AAA de maturité 5-7 ans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.6 Les paramètres du calibrage des spread AA du modèle JLT . . . . . . . . . . . . . . . 383.7 Les paramètres du calibrage des spread AA du modèle JLT . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1 La corrélation entre les classes d’actifs sans spread de crédit . . . . . . . . . . . . . . . 444.2 La corrélation entre les spread de crédit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.3 La corrélation entre les spread de crédit et la performance des actions . . . . . . . . . 464.4 La matrice de variance-covariance entre les spread et les actions . . . . . . . . . . . . . 47

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Introduction

Le contrat en support euros est un contrat d’assurance vie qui propose aux assurés les options etles garanties suivantes :• le capital investi est garanti, même si le rendement des actifs de l’assureur ne lui permet pas de

couvrir ce capital ;• le capital est revalorisé chaque année. La revalorisation distribuée dépend du rendement desactifs de l’assureur ;• l’assuré a la possibilité de racheter partiellement ou totalement son capital à tout moment ;• les intérêts et gains perçus sont définitivement acquis par l’assuré grâce à l’effet cliquet.

L’assureur porte intégralement tous les risques de fluctuations des marchés inhérents à ce type decontrat.

La Directive Solvabilité II impose aux organismes d’assurance de provisionner leurs engagementsenvers les assurés par la meilleure estimation appelée « Best Estimate ».L’article R351-2 du Code des Assurances définit le Best Estimate par : « la moyenne pondérée parleur probabilité des flux de trésorerie futurs compte tenu de la valeur temporelle de l’argent estiméesur la base de la courbe des taux sans risque pertinente, soit la valeur actuelle attendue des flux detrésorerie futurs ».

En assurance-vie, la meilleure estimation doit tenir compte en particulier de la valorisation desoptions et des garanties incluses dans le contrat. Dans le scénario moyen, les options et les garantiesdu contrat ne se déclenchent pas. La valeur des ces options et garanties est fonction de la volatilité dela performance de l’actif de l’assureur dans le futur. L’expression du Best Estimate d’un assureur viene peut pas être seulement déterministe.

Pour anticiper le déclenchement des options, il est nécessaire d’utiliser un outil de simulationstochastique pour le rendement des actifs. Cet outil permet de projeter sur un horizon d’intérêt laperformance des actifs de l’assureur en prenant compte de la volatilité de ces derniers.Les options et les garanties sont valorisées sous la probabilité risque-neutre. L’univers risque-neutrepermet de calculer des prix cohérents avec le marché. Sous cette probabilité, le prix d’une option estégal à l’espérance mathématique du gain actualisé au taux sans risque.

En univers risque-neutre, tous les actifs rapportent en moyenne le taux sans risque. La performancemoyenne de l’actif est indépendante de l’allocation d’actifs. En revanche, la volatilité de l’actif provientdes investissements réalisés dans des actifs risqués. La valeur des options et des garanties dépend alorsde l’allocation de l’actif de l’assureur.

L’actif d’un assureur vie se compose principalement d’obligations d’État, d’obligations d’entre-prises et d’actions. En investissant dans des obligations « corporate », l’assureur vie s’expose au risquede crédit c’est-à-dire au risque que l’émetteur ne rembourse pas sa dette. Le spread (ou écart) se définitpar la prime de risque sur le taux d’actualisation sans risque qui permet de retrouver la valeur de mar-ché de l’obligation de crédit. Le spread de crédit mesure en partie le risque de défaut de l’émetteur. Laprime de risque associée aux obligations d’entreprises est plus élevée que celle associée aux obligationsd’État. En investissant dans des obligations « corporate » plus volatiles que les obligations d’État,

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2 LISTE DES TABLEAUX

l’assureur vie augmente le coût de ces options et de ces garanties. L’intérêt de choisir un modèle derisque de crédit pour le calcul du Best Estimate est de prendre en compte la volatilité de la prime derisque associée aux obligations « corporate ».

L’objectif de ce mémoire est dans un premier temps de répondre à la problématique de la modé-lisation d’une prime de risque de crédit dans le calcul du Best Estimate d’un assureur vie en universrisque-neutre.Dans un second temps, il s’agira d’en mesurer l’impact sur le passif de l’assureur.Pour cela, la prise en compte de cette prime du risque sera modélisée par :• le modèle de risque de crédit dit « à intensité » de Cox-Ingersoll-Ross (CIR) : un modèle quipermet de diffuser la probabilité de défaut d’une société émettrice. Le spread de crédit est déduitde cette probabilité de défaut.• Le modèle de Jarrow, Lando et Turnbull (JLT) : une extension du modèle CIR qui permet deprendre en compte le changement possible de la notation de l’entreprise émettrice.

Un premier état des lieux des limites et hypothèses des modèles permettront d’établir un premierarbitrage entre ces deux modèles.

Différentes méthodes de calibrage seront effectuées afin de mettre en évidence l’importance de cetteétape sur la sensibilité de Best Estimate de l’assureur.

Enfin, le risque de crédit sera modélisé par ces deux modèles, du générateur de scénarios écono-miques jusqu’à l’outil d’interaction actif-passif pour en déterminer le Best Estimate.

La sensibilité des différents postes du passif de l’assureur au risque de crédit pourra alors être mesurée.

Mémoire I.S.F.A

Chapitre 1

Les engagements de l’assureur pour uncontrat d’épargne

1.1 L’assurance Vie : le premier placement financier des françaisLe contrat d’assurance vie est un contrat d’épargne qui permet aux souscripteurs de placer un

capital dans le but de répondre à différents types de besoins :• faire fructifier un capital pour financer le court et le moyen terme (projets immobiliers, besoins

d’équipements etc...) ;• compenser des revenus en diminution ;• constituer un revenu supplémentaire à l’approche de la retraite ;• optimiser la transmission du patrimoine...

Les contrats d’épargne présentent de nombreux avantages en termes de simplicité de gestion, derendement financier mais aussi d’avantages fiscaux et de transmission du patrimoine. Ils représententaujourd’hui le placement privilégié des français en termes d’encours.Le montant des cotisations collectées par les assurances en début d’année 2018 s’élève à 36,3 milliardd’euros contre 34,1 milliards d’euros sur la même période en 2017.

1.1.1 La présentation des contrats d’assurance vie

Le contrat d’assurance vie est un contrat par lequel, en l’échange d’une prime, l’assureur s’engageà verser au souscripteur ou à une tiers personne désignée, une somme déterminée (capital ou rentes)en cas de réalisation d’un évènement lié à l’assuré : son décès ou sa survie.La majorité des contrats d’assurance sont des assurances vie mixte, qui juxtaposent dans une mêmepolice une garantie vie et une garantie décès, une seule étant destinée à produire effet. En cas de vie,le souscripteur demeure le bénéficiaire du contrat et gère librement son contrat comme il le souhaite.

En cas de décès du souscripteur, le contrat prend fin et le capital constitués au décès est transmisau(x) bénéficiaire(s) désigné(s) par le contrat.

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4 CHAPITRE 1. LES ENGAGEMENTS DE L’ASSUREUR POUR UN CONTRAT D’ÉPARGNE

1.1.2 Les différents types de supports

Le souscripteur d’un contrat d’épargne a la possibilité de choisir le support dans lequel il souhaiteinvestir son capital et ses primes en fonction de ses objectifs et de son profil de risque. Les plusfréquents sont :

• Les contrats mono-support eurosLe capital est placé sur un unique support en euros. Ce type de support est sécurisé et comporteune garantie en capital offerte par l’assureur. Le souscripteur ne peut pas perdre d’argent sur cetype de support. Il convient donc aux assurés qui ne souhaitent prendre aucun risque ;• Les contrats multi-supportsLe souscripteur a la possibilité de répartir son épargne sur différents types de supports (eurosou unités de compte) plus ou moins risqués, en fonction de son objectif de rendement et de sonaversion au risque. Par exemple, l’assuré peut décider d’investir 1000 et de répartir 700 sur uncontrat euros et 300 euros un contrat en unités de compte pour un rendement cible de 1500.L’assuré à la possibilité grâce à la clause d’arbitrage de modifier la répartition de son capitalentre différents supports à tout moment. Dans notre exemple, l’assuré peut sécuriser les plusvalues réalisées sur la portion placée en unités de compte en l’arbitrant sur l’euro.L’assureur peut dans les conditions du contrat limiter le nombre d’arbitrage possible en coursd’année et imposer un certain montant de frais inhérents.

1.2 Le contrat d’épargne euro : entre la sécurité, la disponibilité etla rentabilité

1.2.1 La garantie sur l’encours

L’assuré possédant un contrat d’épargne euros a la possibilité d’effectuer des versements de manière :• périodique : les dates et les montants des versements sont programmés dans le contrat. L’assuré

garde la possibilité d’effectuer des versements complémentaires ou de les arrêter ;• libre : l’assureur effectue des versements dont le montant et la périodicité ne sont pas définispréalablement dans le contrat ;• unique : l’assuré verse une unique prime au moment de la souscription du contrat.

L’une des spécificités du contrat épargne euro est que l’assureur s’engage à restituer la totalité del’encours du contrat à l’assuré. Ainsi, si l’assuré effectue au total un versement de 1000e, il se voitrécupérer au minimum cette somme à la fin du contrat.L’assureur sécurise le contrat en portant intégralement le risque de non performance des actifs finan-ciers.Le capital est restitué net de frais de gestion. La liste des différents frais et taxes soumis à ce type decontrat se situe à l’article R132-3 du code des assurances dont voici une liste non exhaustive :• les frais d’administration ;• les frais de gestion des placements prélevés sur l’encours ;• les frais d’acquisition prélevés sur les versements effectués ;• les frais de commissions

L’encours de l’assuré peut cependant être diminué des frais, dans le cas où ces derniers sont plus élevésque la revalorisation du contrat.

Mémoire I.S.F.A

1.2. LE CONTRAT D’ÉPARGNE EURO : ENTRE LA SÉCURITÉ, LA DISPONIBILITÉ ET LARENTABILITÉ 5

1.2.2 La rentabilité

La revalorisation du contratL’assureur s’engage à reverser chaque année une rentabilité minimale du capital. Cette rentabilitéminimale est définie par le Taux Minimum Garanti (TMG) à l’article A-132 du Code des Assurance.Chaque année, l’encours est revalorisé par un taux minimum garanti (TMG) défini à l’article A-132du code des Assurances. Le taux peut être fixe ou variable par rapport à un indice de référence (parexemple le taux moyen des emprunts d’État français). Dans le cas où ce dernier est fixé annuellementpar l’assureur, il ne peut excéder 85% de la moyenne des taux de rendements des actifs financiers del’assureur calculés sur les deux dernières années de l’exercice. A titre d’exemple, il est dans notre casfixé à 0,05%.

La participation aux bénéficesChaque année, l’assureur partage les bénéfices réalisés sur l’exercice avec ces assurés par la clause departicipation aux bénéfices. La réglementation impose à l’assureur de reverser chaque année :• au moins 85% des produits financiers ;• ainsi que 90% du résultat technique.

L’assureur a le choix chaque année de reverser toute ou une partie de la participation aux bénéfices.Si cette dernière n’est pas incorporée à l’épargne sur l’année de l’exercice, elle est placée en provisionspour participation aux bénéfices. L’assureur est contraint d’écouler cette provision dans les 8 ans.

1.2.3 La disponibilité

Le capital reste entièrement disponible à l’assuré. L’article L.132-21 du code des Assurance permetà l’assuré de racheter son contrat à tout moment et gratuitement.Le rachat peut être :• libre : l’assuré récupère seulement une portion de son épargne. La portion restante doit être

supérieure à une somme fixée par l’assureur pour continuer à produire des intérêts et faireperdurer le contrat ;• partiel et programmé : l’assuré peut à n’importe quel moment de la durée de vie de contratprogrammer des rachats partiels de montant et fréquence souhaités. Cela permet par exempleaux assurés de toucher des revenus complémentaires réguliers pendant leur retraite.• total : dans le cas ou l’assuré récupère intégralement l’épargne placée, le contrat prend fin.• effectué d’avance : l’avance fonctionne comme un prêt. L’assureur verse, contre des intérêts uneavance à l’assuré. Les conditions sont propres à chaque assureur. L’avantage ce celle-ci, contrai-rement au rachat partiel est qu’elle ne diminue pas la valeur du contrat et est non imposable.

L’assuré dispose ainsi d’une épargne disponible et flexible pour répondre à ses besoins.

A travers toutes les clauses et les garanties, l’assureur s’expose de manière significative au risquede fluctuations de marché. Sa stratégie d’investissement doit à la fois être sécurisée et rentable pourlui permettre de couvrir ses engagements.

6 CHAPITRE 1. LES ENGAGEMENTS DE L’ASSUREUR POUR UN CONTRAT D’ÉPARGNE

1.2.4 Une fiscalité avantageuse réformée depuis le 1er janvier 2018Les contrats d’assurance vie sont soumis à deux types de prélèvements :• des prélèvements sociaux ;• des prélèvements fiscaux.

Les prélèvements sociaux ont été initialement mis en place en 1997 sur les contrats mono-supporteuros. Depuis 2011, ils sont également instauré sur les fonds euros des contrats multi-support.Ces prélèvements ont lieu :• à chaque versement des intérêts (sur les fonds euros) ;• lors de la clôture du contrat pour les contrat en unités de comptes.

Les prélèvements fiscaux sont quant à eux appliqués selon les causes de sortie du contrat : le rachatou le décès. Dans le cas de la sortie anticipée, l’assuré a le choix d’intégrer ses produits réalisés dans lerevenu imposable ou de les soumettre à un prélèvement forfaitaire variant selon l’ancienneté du contrat.

Depuis le 27 septembre 2017, les versements effectués sur les contrats sont soumis à un nouveauprélèvement forfaitaire unique : la « Flat tax ».Les taux d’imposition avant et après la réforme sont synthétisés dans le tableau suivant :

Figure 1.1 – Les règles d’imposition avant et après la réforme de 2018

Mémoire I.S.F.A

Chapitre 2

La provision Best Estimate en lienavec l’allocation d’actifs de l’assureur

Le cadre de notre étude se porte sur le calcul du Best Estimate d’un assureur vie avec prise encompte du risque de crédit. Ce chapitre a pour objectif de présenter le principe de l’évaluation de cetteprovision et de mettre en lumière l’importance de l’intégration du risque de crédit dans ce calcul.

2.1 La définition de la provision Best Estimate2.1.1 La valorisation du bilan

La directive Solvabilité II impose aux compagnies d’assurance d’adopter une approche économiquecohérente avec les données de marché pour la valorisation de leur bilan. Cette approche a pour objectifd’intégrer au mieux les risques inhérents et encourus par l’assureur.

L’actif et le passif sont évalués séparément dans une hypothèse de continuité d’exploitation de l’as-sureur en « juste valeur » (fair value). Ces valeurs correspondent au prix pour lequel l’actif ou le passifpourrait être échangé sur un marché liquide et transparent entre des parties informées et consentantes.

Le bilan d’une compagnie d’assurance se décompose de la manière suivante :

Figure 2.1 – Le bilan pruduentiel sous Solvabilité II

7

8CHAPITRE 2. LA PROVISION BEST ESTIMATE EN LIEN AVEC L’ALLOCATION D’ACTIFS

DE L’ASSUREUR

Les provisions techniques correspondent au montant suffisant pour le règlement intégral de la dettede l’assureur envers ses assurés. Selon une approche économique, il s’agit du montant actuel que l’as-sureur devrait payer s’il transférait immédiatement ses engagements vers un autre organisme.

La Directive prévoit deux modes de calcul en distinguant deux catégories de flux de trésorerie :• les flux de trésorerie couvrables ;• les flux de trésorerie non couvrables.

Dans le premier cas, l’engagement de l’assureur peut être couvert parfaitement par un actif équivalentayant une valeur de marché « fiable et observable ». Ce cas demeure marginal car en pratique il estdifficile d’effectuer une couverture parfaite. Dans le cas où les flux de trésorerie contiennent des fluxnon couvrables (dûs à des marchés financiers incomplets ou dûs aux options et garanties), l’assureurprocède en deux temps :• le calcul de la meilleure estimation qui correspond à la moyenne pondérée par leur probabilité

des flux de trésorerie futurs actualisés au taux sans risques ;• le calcul de la marge pour risque : un principe de prudence dans le calcul des provisions tech-niques.

2.1.2 Le principe de calcul de la meilleure estimation

La définition de la meilleure estimationLa meilleure estimation (ou Best Estimate) correspond à « la moyenne pondérée par leur probabilitédes flux de trésorerie futurs compte tenu de la valeur temporelle de l’argent estimée sur la base de lacourbe des taux sans risque pertinente, soit la valeur actuelle attendue des flux de trésorerie futurs ».D’un point de vue théorique, elle correspond à la moyenne de la loi de distribution de la valeur actuelleprobable des flux futurs :

Best Estimate = E[∑k

Fluxk(1 + ik)k)

]Avec :• Fluxk les flux correspondant aux engagements de l’assureur vis-à-vis des assurés augmentés desfrais de gestion pour l’année k ;• ik le taux d’actualisation pour l’année k.

Le calcul du Best Estimate repose sur des méthodes actuarielles robustes qui reflètent de façon appro-priée tous les risques qui affectent les flux de trésorerie de l’assureur.

Les revalorisations, les participations aux bénéfices, les rachats sont notamment des risques finan-ciers qui influent directement les cash-flows de l’assureur.Les options et les garanties doivent nécessairement être prises en compte dans le calcul du Best Esti-mate.

Mémoire I.S.F.A

2.1. LA DÉFINITION DE LA PROVISION BEST ESTIMATE 9

L’utilisation de la probabilité risque-neutreLes méthodes de valorisation en « juste valeur » s’appuient sur un résultat de base en finance obtenusous des conditions d’absences d’opportunité d’arbitrage (AOA) 1 et de marché complet 2. Sous cesconditions, il existe une unique probabilité équivalente à la probabilité historique sous laquelle le pro-cessus de prix actualisé est une martingale 3. Cette probabilité « risque-neutre » permet de calculer leprix d’un actif de manière cohérente par le calcul d’espérance mathématique.

La plupart des options et des garanties financières observées dans les contrats d’assurance vie peuvents’interpréter comme des options financières s’échangeant sur le marché financier (option d’achat ou devente). L’utilisation de la probabilité risque-neutre permet de calculer le prix de ces options.

L’utilisation d’outils stochastiquesPour l’assureur, la valeur des options et des garanties est égale à la moyenne actualisée de la perte oudu gain réalisé à chaque rachat en vendant au prix de marché une part de ses actifs.Dans le scénario central moyen et sous la probabilité risque-neutre, les produits financiers qu’il réaliselui rapportent exactement le taux sans risque. Il n’y a donc pas de notion de prime de risque associéeà la détention d’actifs risqués.

Comme présentées précédemment, les options et les garanties financières proposées dans un contratd’épargne euros dépendent directement de la performance financière réalisée chaque année par l’assu-reur. Cette interaction entre l’actif et le passif de l’assureur doit nécessairement être prise en comptedans le calcul du Best Estimate.Dans le cas déterministe où les actifs rapportent en moyenne le taux sans risque, les options et lesgaranties ne se déclenchent pas. La nature optionnelle du contrat est occultée par la non prise encompte de la variabilité des actifs.

Pour prendre en compte les options et les garanties dans le calcul du Best Estimate, il est néces-saire d’adopter une approche stochastique. Cette approche a pour but de modéliser par une multitudede scénarios possibles plus ou moins risqués, l’incertitude liée à l’évolution des actifs.Par cette approche le coût des options et des garanties est évalué par :

Coût des options et garanties = BEstochastique − BEdéterministe

En pratique, l’ensemble des variables économiques et financières sont projetées en univers risque-neutresur un grand nombre de scénarios à partir d’un générateur de scénarios économique 4. Le taux servi etla proportion de rachat doivent également être déterminés chaque année et dans chacun des scénarios.

1. L’absence d’opportunité d’arbitrage (AOA) se définit par l’impossibilité de réaliser, avec une probabilité strictementpositive, un gain strictement positif à partir d’un investissement nul.

2. Un marché est dit « complet » si chaque flux financier peut être répliqué par un portefeuille composé de l’actif sansrisque et des actifs risqués

3. Une martingale est un processus dynamique noté X tel que son espérance mathématique à l’instant t dépend del’information disponible à une date s, notée Fs avec s ≤ t : E[Xt|Fs] = Xs

4. Cette notation sera définie de manière plus précise dans le chapitre 4

10CHAPITRE 2. LA PROVISION BEST ESTIMATE EN LIEN AVEC L’ALLOCATION D’ACTIFS

DE L’ASSUREUR

2.2 La valorisation des options et des garanties en fonction de l’al-location d’actif de l’assureur

2.2.1 La valorisation de la clause de rachat en lien avec le taux servi par l’assuré

Comme vu précédemment, l’assuré d’un contrat d’épargne euros peut racheter à tout moment soncapital. Les rachats observés sont de deux natures distinctes :• les rachats structurels ;• les rachats conjoncturels

Les rachats structurels correspondent à des rachats déclenchés par des facteurs de risque « antici-pables » (fiscalité, pénalités, âge, réseau de distribution...) qui sont indépendants des conditions demarché. Ils correspondent au comportement moyen des assurés du portefeuille.L’assureur modélise ce type de rachat à partir de son expérience passée, ou à défaut à partir de donnéesde marché.

Les rachats conjoncturels correspondent quant à eux à l’augmentation de rachats dans un contexteconcurrentiel qui incite l’assuré a arbitré son contrat d’assurance vers d’autres produits financiers(produits assurantiels, bancaires ou immobilier).Les rachats conjoncturels peuvent être causés par différents facteurs, comme par exemple :• les fluctuations des taux d’intérêts : si les taux montent, les assurés tendent à racheter leur

contrat pour se tourner vers des contrats proposant des taux plus compétitifs ;• la solvabilité, l’image de réputation de l’assureur... : la détérioration de l’état financier de l’as-sureur peut en effet inciter l’assuré à racheter son contrat.

Les Orientations Nationales Complémentaires (ONC) publiée par l’ACPR proposent une loi afin demodéliser ce type de rachat difficilement observable. La loi de rachat est fonction de l’écart entre letaux servi par l’assureur aux assurés et le taux moyen des emprunts d’État.

2.2.2 Le taux de revalorisation en lien avec l’allocation de l’assureur

Chaque année, l’assureur vie revalorise ses contrats par un taux servi intégrant la part de partici-pations aux bénéfices distribuable aux assurés. La participation aux bénéfices dépend directement desproduits financiers réalisés par l’assureur sur l’année. Ces produits financiers proviennent des opéra-tions de vente et d’achat dans de nouveaux titres.L’assureur décide chaque année de vendre ou d’acheter de nouvelles obligations. Les plus ou moins-values obligataires issues de la vente des obligations se calculent par la différence entre la valeur demarché de l’obligation et sa valeur comptable. L’ajout du spread de crédit dans la valorisation desobligations corporate diminue sa valeur de marché. De ce fait, l’assureur réalise moins de produitsfinanciers.En réalisant des produits financiers moindres par la détention d’actifs risqués, l’assureur vie augmentele coût de ses options et de ces garanties. La notion de risque des actifs s’appréhende par la volatilitéde ces derniers.En implémentant un modèle de risque de crédit pour valoriser les obligations, l’assureur prend encompte la volatilité des spread dans la valorisation de son engagement. Cette volatilité a pour effetd’augmenter le Best Estimate de l’assureur.

Mémoire I.S.F.A

2.2. LA VALORISATION DES OPTIONS ET DES GARANTIES EN FONCTION DEL’ALLOCATION D’ACTIF DE L’ASSUREUR 11

La définition de la provision Best Estimate comme l’espérance sous la probabilité risque-neutre desflux futurs actualisés au taux sans risque suppose l’absence d’une prime de risqué liée à la détentiond’actifs risqués. Pourtant la modélisation du spread de crédit suppose l’ajout d’une prime de risqueaux obligations corporate.Le déroulement du principe de calcul de cette provision a mis en évidence la nécessité de valoriser parune méthode stochastique les options et les garanties cachées. Le coût des options et des garantiesdoivent être intégrer au Best Estimate. Elles évoluent en fonction de la volatilité des actifs de l’assureur.En investissant dans des obligations corporate, l’assureur augmente la volatilité de son portefeuille etpar la même occasion le coût de ces garanties. La modélisation du spread de crédit et notamment lavolatilité des spread des obligations corporate prend alors toute son importance.

Chapitre 3

Le risque de crédit

Ce chapitre a pour objectif de définir dans un premier temps le risque de crédit afin de sensibiliserle lecteur aux causes multiples d’un mouvement de spread de crédit.Les deux modèles de risque de crédit sont par la suite abordés sous leur aspect purement théoriquepour en déduire les principales hypothèses et limites. Les principaux résultats sont résumés aux pages19 et 20.L’application de ces deux modèles est ensuite réalisée. La première étape de calibration est détailléedans ce chapitre à travers différentes méthodes. Les principaux points importants de cette étape sontsynthétisés aux pages 30 et 41.

3.1 Le risque de crédit : un seul type de risque ?

3.1.1 La définition du risque de crédit

La Directive européenne Solvabilité II définit à l’article 13 du règlement délégué le risque de créditpar : « le risque de perte, ou de changement défavorable de la situation financière, résultant de fluc-tuations affectant la qualité de crédit d’émetteurs de valeurs mobilières, de contreparties ou de toutdébiteur, auquel les entreprises d’assurance et de réassurance sont exposées sous forme de risque decontrepartie, de risque lié à la marge ou de concentration du risque de marché. »

Cette définition volontairement large peut se réinterpréter de manière plus concrète en ciblant lesprincipaux évènements liés au risque de crédit par :• un évènement de défaut ;• une variation de son spread de crédit ;• une baisse de notation par les agences de rating dans le cas d’une entreprise cotées ;

Ces trois évènements sont fortement corrélés entre eux. Une anticipation d’un évènement de défautd’une entreprise engendre une augmentation de la prime de risque des obligations qu’elle a émise. Lesagences de notation peuvent en conséquence revoir à la baisse la notation de l’entreprise.

3.1.2 Les risques qui rémunèrent la prime de risque sur les obligations « corpo-rate »

La prime de risque associée aux obligations d’entreprises se mesure par le spread de crédit, c’est-à-dire l’écart de rendement entre les obligations d’entreprises et les obligations d’État.Nous proposons d’analyser dans un premier temps cette notion de prime de risque qui prend sa sourcedans différents types de risque.

Le risque de défautLe risque de défaut est le risque que l’entreprise émettrice soit dans l’incapacité de rembourser totale-ment ou partiellement sa dette. Lorsque l’évènement de défaut survient, l’entreprise ne peut plus faireface à ses engagements envers les créanciers et se situe dans une situation de faillite.

12

3.1. LE RISQUE DE CRÉDIT : UN SEUL TYPE DE RISQUE? 13

En partant du raisonnement par lequel le surplus de rendement d’une obligation de crédit rémunèreexclusivement le risque de perte en cas de défaut, l’espérance de perte est donné par :

E[pertes] = P[défaut] · E[pertes|defaut]= txdéfaut ·N · LGD

Avec : N le nominal et LGD le taux de perte en cas de défaut.Si le surplus de rendement rémunère exclusivement le risque de perte, nous devrions avoir :

N · spreadBBB = txdéfaut ·N · LGDspreadBBB = txdéfaut · LGD

En réalité les taux de défaut observés sur le marché sont inférieurs au taux de défaut implicites déduitsdes spread de crédit par la formule ci-dessus.Prenons par exemple le cas d’une obligations coporate non-financières de maturité 6 ans.En définissant le spread de crédit par l’écart de performance entre les obligations d’États européennesnotées AAA et les obligations corporate, le spread estimé à partir des indices iBoxx est de 1,28%.L’agence de rating Moody’s évalue pour cette année là, un taux de défaut pour les obligations corporatenotées BBB de 0,14%. En supposant un taux de perte à 60%, et un taux de défaut de l’ordre de 48%,la part du spread expliquée par le risque de perte est de l’ordre de 0,1%.Une grande partie des spread de crédit n’est pas expliqué par le risque de défaut seulement.

Le risque de liquiditéPour une obligations d’entreprise, le risque de liquidité se manifeste par le risque que le détenteur del’obligation ne puisse pas réaliser un investissement en la re-vendant sur le marché financier.Les obligations corporate sont moins liquides que les obligations d’État. La crise financière de 2008 anotamment rendu les investisseurs plus averses au risque, privilégiant ainsi leurs investissement dansdes titres très sécurisés.Ercisson et Renault [16] ont mesuré en 2001 l’impact de différents facteurs sur le spread de crédit.L’étude révèle que le mouvement de spread s’explique en grande partie par le risque de liquidité.

Le changement de notationLa notation attribuée par les agences de rating ont pour but d’évaluer la qualité de crédit de l’éta-blissement, c’est-à-dire la capacité de l’entreprise à honorer ses engagements. Une baisse de notationd’une entreprise signifie donc que cette dernière est plus susceptible de faire défaut.La Banque Centrale européenne [5] a notamment publié une revue sur les conséquences que pouvaientavoir la notation des entreprises sur les marchés financiers. Elle souligne la corrélation entre les spreadde crédit observés et le changement de notation.

La connaissance des différentes causes de spread de crédit est importante pour modéliser de ma-nière correcte le risque de crédit.Bien que le mouvement de spread de crédit s’explique par différents facteurs, le défaut de l’entreprisereste le risque le plus extrême.

Les principaux modèles retiennent l’hypothèse que seul le défaut explique un mouvement de spreadde crédit.Nous verrons par la suite que le modèle de Jarrow-Lando-Turnbull permet de prendre en compte lechangement possible de notation de rating.

14 CHAPITRE 3. LE RISQUE DE CRÉDIT

3.2 Le modèle de Cox-Ingersoll-Ross : une première approche à lamodélisation du risque de crédit

Pour modéliser l’instant de défaut, il existe deux principales approches :• l’approche structurelle : le temps de défaut est modélisé par le premier instant où la valeur

de l’entreprise émettrice descend en-dessous d’un certain seuil. Les premiers modèles ont étéintroduits par Merton et Black & Cox dans les années 1970.• les modèles à intensité ou à forme réduite : contrairement à l’approche structurelle, l’évènementde défaut ne s’explique pas à partir de variables économiques. Le défaut arrive de manièretotalement aléatoire.

Le principal inconvénient de l’approche structurelle est qu’elle requiert un certain nombre d’informa-tions sur les sociétés émettrices afin de pouvoir en estimer sa valeur.La mise en oeuvre de le première approche présente de nombreuses difficultés pratiques du fait no-tamment de l’impossibilité de pouvoir évaluer la valeur des actifs d’une entreprise émettrice à toutmoment. Les modèles à intensité ont l’avantage de contourner cette difficulté en s’appuyant sur desdonnées directement observables sur le marché.

3.2.1 La présentation des modèles à intensité de défaut

Soit (Ω,A,P) un espace de probabilité. On suppose que cet espace est muni d’une filtrationF=(Ft)t≥0 de A représentant l’information du marché et d’une probabilité risque-neutre notée P.

Dans le modèle à intensité, l’instant de défaut noté τ n’est pas nécessairement un temps d’ar-rêt dans la filtration F, la filtration standard des marchés engendrée par un mouvement brownien :(Ft)t≥0=σ(Ws, s ≤ t). L’espérance sous la probabilité risque-neutre est notée E.

Il faut alors distinguer deux sources d’informations en introduisant celle concernant l’évènement dedéfaut.

Soit 1τ≥t le processus d’indicateur de défaut. On note Dt la tribu engendrée par ce processus :Dt=σ(1τ≥s, s ≤ t).Cette tribu contient 2 informations :• si un défaut se produit, jusqu’à la date t ;• dans le cas de défaut, son instant exact noté τ ;

Dt admet une autre définition possible : Dt=σ(τ∧t) qui donne les mêmes informations que précédem-ment.En remarque, 1τ≥t est Dt-mesurable donc τ est un D-temps d’arrêt.

On obtient ainsi l’information globale du marché par G=F∨D où Gt= Ft ∨Dt pour tout t ≥ 0. G estl’information utilisée pour calculer le prix des produits financiers qui contiennent un risque de défaut.

Exemple : Pour un zéro-coupon classique de maturité T, son prix à la date t est donné par

D(t, T )= E[e−∫ Ttrsds|Ft]

avec rs le taux sans risque à l’instant s.

Mémoire I.S.F.A

3.2. LE MODÈLE DE COX-INGERSOLL-ROSS : UNE PREMIÈRE APPROCHE À LAMODÉLISATION DU RISQUE DE CRÉDIT 15

Pour un zéro-coupon comportant un risque de défaut, supposé sans taux de recouvrement 1, sonpay-off 2 à la maturité T s’écrit :

1 si τ > T0 si τ ≤ T

Son prix s’écrit

∼B(t, T ) = 1τ≥tE[1τ≥Te−

∫ Ttrsds|Gt] (3.1)

Pour faire le lien entre les Gt - espérances conditionnelles et les Ft - espérances conditionnelles, nousutilisons le résultat 3 suivant :

Proposition : Lemme de Jenlin-YorSoit Y une variable aléatoire Ft-mesurable. Pour tout t≥ 0,

1τ≥tE[Y |Gt] = 1τ≥tE[1τ≥tY |Ft]E[1τ≥t|Ft]

Remarques

Cette formule est applicable sur l’ensemble t < τ, c’est-à-dire l’ensemble avant le défaut. Celanous convient car nous cherchons à évaluer un produit financier avant la date de défaut puisqu’encas de défaut, celui-ci n’a plus de valeur.En termes mathématique, ce lemme nous permet de calculer les Gt-espérances conditionnelles àpartir des Ft-espérances conditionnelles.

Définition de l’instant de défaut dans un modèle à intensité :

Soit (λt, t ≥ 0) un processus F-adapté et positif. Le temps de défaut τ est défini comme le premierinstant où le processus (λt) dépasse une barrière de défaut aléatoire notée Γ :

τ : = inft ≥ 0 :

∫ t0 λsds > Γ

où Γ est une variable aléatoire indépendante de F et de loi exponentielle de paramètre 1 sous P. Leprocessus (λt, t ≥ 0) est appelé intensité de défaut et Λt=

∫ t0 λs.ds le compensateur.

En particulier, (1τ≤t −∫ t

0 λsds, t ≥ 0) est une G-martingale. La probabilité conditionnelle de survieest définie par

St = P(τ > t|Ft) = P(Λt < Γ|Ft)= e−Λt = e−∫ t

0 λsds

1. Le taux de recouvrement se définit par 1 - LGD (le taux de défaut) d’une obligation. Il détermine la part denominal toujours couvert en cas de défaut de l’obligation.

2. Le pay-off d’une obligation correspond aux pertes ou profits réalisés par le détenteur de l’obligation3. Pour plus de précision sur le lemme de Jenlin-Yor, le lecteur peut se référer à la référence « Application d’un lemme

de Jeulin au grossissement de la filtration brownienne » rédigée par Marc YOR.


Calcul du prix d’une obligation comportant un risque de défaut dans un modèle à inten-sité

D’après ce qui précède, le prix d’une obligation comportant un risque de défaut de maturité T àla date t est donnée par la formule (3.1) :

∼B(t,T)=1τ≥tE[1τ≥Te−

∫ Ttrsds|Gt]

En appliquant le lemme de Jenlin-Yor, il en vient que :

∼B(t, T ) = 1τ≥t

E[1τ≥T × 1τ≥te−∫ Ttrsds|Ft]

E[1τ≥t|Ft]= 1τ≥t

E[1τ≥Te−∫ Ttrsds|Ft]

E[1τ≥T|Ft]

= 1τ≥tE[E[1τ≥T|FT ]e−

∫ Ttrsds|Ft

]E[1τ≥t|Ft]

= 1τ≥tE[STSt

e−∫ Ttrsds|Ft

]

= 1τ≥tE[e−∫ T

0 λsds

e−∫ Ttλsds

e−∫ t

0 rsds|Ft

]= 1τ≥tE[e−

∫ Ttλsds × e−

∫ Ttrsds|Ft]

D’où,

∼B(t, T ) = 1τ≥tE[e−

∫ Tt

(rs+λs)ds|Ft] (3.2)

Cette formule montre que le taux des obligations corportates se décompose en rs + λs avec rs le tauxsans risque.L’intensité λs représente ainsi un écart entre le prix d’une obligation sans risque et le prix d’une obli-gation soumise au risque de défaut. Cette formule permet d’établir une analogie entre intensité dedéfaut et spread de crédit.

3.2.2 Le spread de crédit dans le modèle CIR

L’intensité de défaut dans le modèle de Cox-Ingersoll-Ross

Le modèle de Cox-Ingersoll-Ross (CIR) a initialement été introduit en 1985 pour diffuser les tauxd’intérêt à court terme. David Lando a proposé son application pour modéliser le spread de crédit en1998.

Le modèle CIR permet de diffuser l’intensité de défaut notée λt à chaque instant t selon l’équationsuivante :

dλt = κ(µ− λt)dt+ σ√λtdWt

Avec :• κ la vitesse de retour à la moyenne ;• µ la moyenne de l’intensité de défaut ;• σ la volatilité de l’intensité de défaut ;• Wt un mouvement brownien.

κ, µ , σ sont trois constantes positives telles que

σ2 < 2κµ

Avec cette condition, le drift de l’équation est suffisant pour que la solution n’atteigne pas 0 ce quiassure de la stricte positivité du processus λt.

Mémoire I.S.F.A


Le choix de discrétisation du modèle CIR

Il existe plusieurs méthodes pour discrétiser le modèle CIR selon le schéma classique d’Euler à deuxfacteurs. Deelstra et Delbaen [3] propose le modèle de discrétisations suivant :

λti+1 = λti + 1nκ(µ− λti) + σ

√λti · 1λti>0(Wti+1 −Wti)

avec n le pas de temps choisi (12 pour un pas de temps mensuel par exemple) et avec ti = i

n.

Le paramètre initial est choisi tel que λ0 > 0.Avec ce choix de discrétisation, l’intensité de défaut reste toujours bien définie mais peut prendre desvaleurs négatives.Nous avons privilégié le schéma proposé par Diop qui nous assure de la positivité de l’intensité dedéfaut à chaque instant :

λti+1 = |λti + 1nκ(µ− λti) + σ

√λti(Wti+1 −Wti)|

Ce modèle de discrétisation est implémenté dans le générateur de scénarios économiques afind’obtenir pour une année de projection choisie, des spread de crédit dans différents scénarios possibles.

L’expression de l’intensité de défaut et du spread de crédit dans le modèle CIR

Proposition : Dans le modèle CIR, l’intensité de défaut suit une loi du χ2 non-centrée.

Ainsi, il existe une formule fermée pour calculer E[e−∫ Ttλsds|Ft] qui correspond à la probabilité de

survie à la date t d’une obligation corporate de maturité T.

E[e−∫ Ttλsds|Ft] = P(t, T, λt) = A(T − t) · e−B(T−t)λt

Avec :

• A(u) =[ 2γe

(κ+γ)u

2(κ+ γ)(eγu − 1) + 2γ

]2κµσ2

• B(u) = 2(eγu − 1)(κ+ γ)(eγu − 1) + 2γ

• γ =√κ2 + 2σ2

DémonstrationPar application de la formule de Feynman-Kac à f(0, T ) = E

[e−∫ T

0 λtdt], f(0, T ) vérifie l’équationaux dérivées partielles suivantes :

σ2

2 λ∂2f

∂x2 + κ(µ− λ)∂f∂x

+ ∂f

∂T= 0

Sous réserve de la condition aux limites de f(0)=1, une solution de la forme f(T ) = A(T )exp(B(T )λ)est envisagée.

En dérivant cette expression, A(T) et B(T) satisfont les équations :

B′(t) = σ2

2 B2 − β ·B − 1

A′(t) = κ · µ ·A ·B

Ces équation sont résolues par intégration directe.


Pour faire le lien entre les spread des obligations corporate et le spread de notre modèle, nous devonsexprimer la valeur d’une obligation corporate en fonction de sa probabilité de survie.

Pour cela nous appliquons la théorie de la valorisation d’un actif financier à un zéro-coupon com-portant un risque de défaut.Par l’hypothèse d’absence d’opportunité d’arbitrage et sous la probabilité risque-neutre, le prix d’unzéro-coupon est donné par l’espérance mathématique des pay-off futurs actualisés.

Deux cas sont alors envisageables :

• S’il n’y a pas défaut, le nominal reste in-changé ;

• En cas de défaut, une perte est constatéede LGD% avec LGD (Loss Giver Default) letaux de perte en cas de défaut.

En termes mathématiques, le pay-off de l’obligation de maturité T s’écrit :

Nominal · 1τ>T + (1− LGD) · 1τ≤T ·Nominal = Nominal × (1− LGD + LGD · 1τ>T)

En prenant l’espérance sous la probabilité risque-neutre actualisée au taux sans risque, le prix du zéro-coupon de maturité T s’exprime sous l’hypothèse d’indépendance entre le taux et l’intensitéde défaut par :

∼P (t, T ) = E[Nominal × e−

∫ Ttrsds|Ft]× (1− LGD + LDG× P

(τ > (T − t)

)=∼P (t, T ) = P (t, T )× (1− LGD + LGD × P

(τ > (T − t)

)(3.3)

Avec :• P(t,T) le prix d’un zéro-coupon sans risque ;• P(τ > t) la probabilité de survie ;

Le prix d’un zéro-coupon risqué s’exprime également à partir du spread de crédit de la manièresuivante :

∼P (t, T ) = P (t, T )× 1

(1 + s(t, T ))T−t (3.4)

avec s(t,T) le spread à l’instant t pour un zéro-coupon de maturité T.

On en déduit ainsi la relation entre spread et probabilité de survie :

s(t, T ) = (1− LGD + LDG× P(τ > (T − t)))−

1T − t

dans le cas discret ou

= − 1T − t

ln(1− LGD + LDG× P(τ > (T − t))

dans le cas continu.

Mémoire I.S.F.A


Ainsi, les spread sont calculés à partir de la probabilité de survie déduite du modèle et du taux derecouvrement. Nous retiendrons dans notre cas la formule dans le cas continu :

s(t, T ) = − 1T − t

· log(1− LGD + LDG · P(τ > (T − t)) (3.5)

La formule du spread « forward » permet de reconstruire une courbe de spread par maturité et parannée.

3.2.3 Les hypothèses et les limites du modèles de Cox-Ingersoll-Ross

Le choix du modèle CIR a été motivé par plusieurs raisons. Comme nous l’avons vu précédemment,l’intensité de défaut suit une loi du χ2 non centrée, ce qui permet d’obtenir une formule fermée pourl’expression de la probabilité de défaut. Le passage par le prix d’une obligation risquée exprimée enfonction de cette probabilité de défaut permettent d’obtenir une formule fermée pour le spread decrédit. Cette propriété facilite l’implémentation du modèle en minimisant le temps de calcul.Le modèle garantit également la positivité des intensités de défaut et des spread de crédit. Nous notonsque cette propriété peut se révéler être une limite dans la modélisation de titres très peu risqués. Ilest possible sur le marché d’observer des spread négatifs.Les spread constatés sur le marché sont volatils mais ont une tendance à retourner vers une valeurmoyenne après avoir atteint des scénario extrêmes. Les périodes élevées de spread sont plus fréquem-ment suivies par des baisses que par des hausses. L’effet inverse se constate également dans le cas deniveau de spread particulièrement faible : ce cas rend plus favorable l’investissement qui, par le jeu del’offre et de la demande augmente le niveau de risque.Le modèle CIR permet d’appréhender cet effet par le paramètre de vitesse de retour à la moyenne κ.

Le modèle CIR fixe des hypothèses implicites non négligeables. Parmi les hypothèses les plus fortesnous pouvons citer :

1. Le modèle ne prend pas en compte le changement de notation des obligations cor-porate.La dégradation de la notation d’une obligations de crédit n’a aucun impact sur son spread decrédit, ce qui n’est pas le cas dans la réalité.

2. Le risque de liquidité n’est pas pris en compte par le modèle CIRComme nous l’avons vu précédemment, il existe un écart entre le spread de défaut calculé etle spread de crédit observé. Une grande partie de la prime de risque proviendrait du risque deliquidité des obligations corporate.

3. Le modèle est monofactoriel.Il suppose une corrélation parfaite des obligations pour toutes les maturités. Les intensités dedéfaut entre des obligations différentes sont indépendantes. Le défaut d’une entreprise n’a alorsaucune incidence sur le risque de faillite des autres entreprises émettrices.

4. Le spread et le taux court sont indépendants.Longstaff et Schwartz ont mis en évidence une corrélation entre le taux d’intérêt et le spread decrédit : une augmentation du taux d’intérêt aurait tendance à réduire la probabilité de défaut.

5. Les probabilités extrêmes de défaut sont sous-estimées.La loi du χ2 a une queue de distribution faible. 4

6. Le modèle n’explique pas la cause du défaut de l’entreprise émettriceCette caractéristique est propre aux modèles à forme réduite. Ces modèles reposent sur le ca-ractère totalement aléatoire du défaut d’une entreprise. La cause de défaut n’est pas expliqué.Il peut arriver à tout instant.

4. La queue de distribution définit le comportement de la loi de probabilité dans des zones éloignée de sa valeurcentrale. Elle modélise les évènements extrêmes.


Des améliorations peuvent être proposées pour chacune de ces hypothèses et limites du modèle. Uneliste non exhaustive d’axe d’amélioration est présentée dans le tableau suivant pour les premièreslimites :

Limite Amélioration

1 Le modèle de Jarrow-Lando-Turnbull : fondé en 1997 ce modèle est une extension au modèleCIR permettant de prendre en compte le changement possible de notation.

2 Le modèle de Longstaff-Mithal-Nies : l’ajout d’une prime de liquidité à l’intensitéde défaut est modélisé par un processus brownien.

3 La mise en place d’une dépendance entre les spread à l’aide de copules ou d’unedépendance linéaire.

4Le modèle à intensité SSRD (Shifted square-root-diffusions) : les taux courts et l’intensité dedéfaut sont modélisés par deux processus CIR. Le modèle suppose la corrélationentre les deux mouvements brownien.

5 Augmenter le nombre de paramètres du modèle pour étendre la forme possible de la courbedes spread.

Dans le cadre de ce mémoire, nous nous sommes intéressés notamment à la première limite dumodèle par l’implémentation du modèle de Jarrow-Landon-Tunrbull en complément du modèle CIR.Ce modèle sera présenté et implémenté en seconde partie.Une proposition de prise en compte de la dépendance entre les intensités de défaut de différentesobligations sera également proposée.

Mémoire I.S.F.A

3.3. LE CALIBRAGE DU MODÈLE CIR 21

3.3 Le calibrage du modèle CIR

3.3.1 Le calibrage du modèle CIR à partir de la reconstruction de courbes despread de crédit

Le modèle CIR présente cinq paramètres à calibrer :• λ0 qui représente l’intensité de défaut à la date initiale ;• µ le paramètre de moyenne à long terme ;• σ le paramètre de volatilité ;• κ la vitesse de retour à la moyenne.• LDG = (1−R) le taux de perte en cas de défaut avec R le taux de recouvrement.

Le taux de recouvrement

Les agences de rating attribuent chaque année un taux de recouvrement pour les obligations corporate.Plus l’obligation est risquée et plus la perte en cas de défaut est importante. Ainsi, nous constatonsdes taux de recouvrement plus élevés pour les obligations les mieux notées.Pour donner un ordre d’idée, les taux de recouvrement de la dette attribués par l’agence de ratingMoody’s dans son rapport annuel de 2017 sont les suivants :

Période 2016 2017 1987-2017Senior Secured Bonds 52,3% 35,9% 62,3%

Table 3.1 – Les taux de recouvrement estimés par Moody’s

La classe « Senior Secured Bonds » correspond aux obligations les mieux notées. Pour un portefeuilled’actifs constitués d’obligations notées de AAA jusqu’à BBB, le taux de recouvrement historique estestimé à 62,3%. Nous remarquons une forte diminution du taux pour les Senior Secured Bonds entrel’année 2016 et 2017.

Les spread de crédit calculés à partir des modèles sont très sensibles à ce paramètre qui peut fluctuerde manière importante d’une année à l’autre.L’indice iTraxx 5 sur lequel la volatité et l’intensité de défaut sont calibrées, est calculé avec un tauxde recouvrement fixé à 40%. Afin de garder une cohérence avec les hypothèses retenues pour calculercet indice, nous choisissons de retenir un taux de recouvrement à 40% plutôt que de prendre un tauxde recouvrement historique.

Les autres paramètres

Pour calibrer les autres paramètres du modèle, deux possibilités sont envisageables :• réaliser un calibrage en monde réel en utilisant de données historiques ;• réaliser un calibrage en univers risque-neutre en utilisant des données de marché telles que desindices ou des prix d’instruments financiers.

Le modèle CIR repose sur la valorisation d’un zéro-coupon risqué sous la probabilité risque-neutre pouren déduire l’expression des spread de crédit. L’utilisation de la probabilité risque-neutre est nécessaireégalement dans le calcul du Best Estimate. Ceci justifie le choix d’un calibrage en univers-risque neutre.

5. Cet indice sera présenté en détail dans la partie suivante


Pour calibrer les 4 paramètres du modèle, la démarche adoptée consiste à :1. Reconstruire le courbe de spread des obligations de rating à la date initiale ;2. Retrouver le prix d’un dérivé de crédit à la date initiale.

3.3.2 Le calibrage à partir d’une courbe de spread implicite des marchés

Afin que notre modèle diffuse des spread cohérents avec les spread constatés sur le marché, lapremière étape du calibrage nécessite de reconstruire une courbe de spread de crédit implicite desmarchés.Pour cela, nous nous sommes basé sur un indice de marché : l’indice iBoxx.

La reconstruction d’une courbe de spread avec l’indice iBoxxLes indices iBoxx sont des indices obligataires de référence qui ont l’avantage d’apporter une grandevisibilité du marché obligataire à l’échelle mondiale. La valeur de l’indice iBoxx est associé au rende-ment des obligations.Les indices iBoxx tels qu’ils sont construits permettent d’obtenir le rendement des obligations copo-rates pour différentes classes de notation et par tranches de maturité. Les obligations sont regroupéespar tranche de maturité 1-3, 3-5, 5-7, 7-10 et plus de 10 ans.

Par définition, le spread mesure un écart entre le rendement de deux obligations. Nous choisissonsde définir le spread des obligations corporate par l’écart de performance entres les obligations d’Étatnotées AAA et les obligations d’entreprises.A partir de cette définition, les spread de crédit peuvent être déterminés par la différence entre l’indiceiBoxx corporate non-financials et l’indice iBoxx souverain de la zone euro.

Notre portefeuille obligataire se constitue d’obligations coporates européennes non-financières de no-tation allant du AAA jusqu’à BBB. Nous choisissons la valeur de l’indice iBoxx associé pour chaqueclasse de notations au 31.12.2017. Les émetteurs des obligations proviennent de pays différents de lazone euro, c’est pourquoi nous prenons comme référence des obligations d’État l’indice iBoxx euroZone.

Par exemple pour les obligations corporate non financières notées BBB, nous obtenons les spreadsuivants :

Figure 3.1 – Les données pour retrouver les spread de crédit des obligations corporate BBB

Les indices sont construits sur des tranches de maturités restreintes. Le courbe est reconstruite surtrès peu de points. Afin d’améliorer la courbe de référence, cette dernière est lissée par un ajustementde type logarithmique.

Les paramètres de la moyenne (µ et κ) sont calibrés de manière à minimiser l’écart entre la courbe deréférence et la courbe obtenue via notre modèle.

Pour cela, nous calculons l’écart quadratique entre le spread de l’indice iBoxx et le spread calculéà partir de notre modèle pour chaque tranche de maturité.

Mémoire I.S.F.A


Pour que le calibrage retenu soit en cohérence avec le portefeuille d’actifs, des poids sont attribuésaux écarts quadratiques pour les différentes maturités.Les poids attribués se justifient par un portefeuille majoritairement constitué d’obligations de maturité5 à 7 ans dont l’investissement se réalise chaque année dans des obligations de maturité 10 ans. Notreportefeuille d’obligations notées BBB est constitué d’obligations de maturités court terme. Chaqueannée, le réinvestissement se fait dans des obligations de maturité 10 ans.

Ecart quadratique Poidsmaturité 1-3 (spreadCIR 2ans − spreadIboxx 1−3)2 5%maturité 3-5 (spreadCIR 4ans − spreadIboxx 3−5)2 10%maturité 5-7 (spreadCIR 6ans − spreadIboxx 5−7)2 40%maturité 7-10 (spreadCIR 8ans − spreadIboxx 7−10)2 40%maturité 10+ (spreadCIR 10ans − spreadIboxx 10+)2 5%

Ecart quadratique total∑ecartk · poidsk

Table 3.2 – Minimisation de l’écart quadratique pour ajuster la courbe de spread du modèle

Les deux paramètres qui influencent le plus le comportement de la courbe de spread sont lesparamètres de la moyenne à long terme et la vitesse de retour à la moyenne. L’intensité de défautinitiale et la volatilité impacte que très faiblement la courbe.Dans cette étape du calibrage, nous jouons donc essentiellement sur les paramètres µ et κ afin deminimiser la somme des écarts quadratiques.

La seconde partie du calibrage sur des dérivées de crédit permet quant à elle de déterminer lesdeux autres paramètres qui sont l’intensité de défaut initiale λ0 et la volatilité σ.

3.3.3 Le calibrage à partir des produits dérivés de crédit

Le Credit Default SwapLe Crédit Default Swap (CDS) est un des produits de base sur le marché des dérivés de crédit quipermet à un investisseur de se protéger contre le risque de défaut d’une société émettrice. Ce produitfonctionne comme un swap de taux. Il se caractérise par un échange de flux de paiements fixes et depaiements variables entre l’acheteur et le vendeur. Le CDS génère des flux financiers uniquement encas de défaut du sous-jacent.

Par exemple, une entité A prête une certaine somme à une entité B (le sous-jacent) et souhaite secouvrir contre le risque que l’entité B ne puisse pas rembourser sa dette. L’entité A achète alors unCDS auprès d’un vendeur de protection noté C.


L’entité A paie un montant fixe, noté s, appelé « spread » du CDS à des dates régulières jusqu’àune échéance fixée ou jusqu’au défaut de l’entité B. En cas de défaut, l’entité C s’engage à verser àl’entité A un montant proportionnel au nominal de la dette, appelé « Loss Given Default » (LGD).En revanche, si le défaut n’intervient pas, l’entité C ne rembourse aucun montant à l’entité A qui auraversé des primes à fonds perdus.Les deux cas de figures sont synthétisés par les deux schémas suivants :

Le contrat d’un CDS présente les caractéristiques suivantes :

• L’entité de référence (ou sous-jacent) : un ou plusieurs émetteurs (entreprise, banque, État..)dont la faillite va provoquer l’évènement de défaut de crédit ;• l’actif sous-jacent : l’emprunt émis par l’entité de référence ;• la maturité : la date d’échéance du contrant ;• l’évènement de défaut : tout évènement de défaut susceptible de déclencher le règlement du CDS ;• le paiement en cas de défaut.

Le contrat prévoit une définition de l’évènement de défaut qui peut se manifester par les 6 cas suivants :• la faillite : ce sont les cas où l’entreprise est mise en liquidation, ne peut pas honorer ses engage-

ments, se voit saisie de toute ou partie de ses actifs par un créancier et fait l’objet de procédurespour jugement d’insolvabilité...• le défaut de paiement sur le principal ou les intérêts de l’obligation de référence ;• l’accélération de remboursement d’une dette obligataire de l’entité de référence déclenchée parle défaut de paiement sur une autre de ses obligations ;• la suspension de paiements en raison de certaines circonstances (moratoires) ;• le défaut de paiement sur l’une des obligations de l’entité de référence ;• la restructuration de la dette.

Certains évènements peuvent être inclus ou exclus des clauses du contrat du CDS. La plupart consi-dèrent les deux premiers évènements pour définir le défaut de l’émetteur.Les maturités des contrats de CDS les plus traités sont de 3, 5, 7 et 10 ans. Les contrats de CDS lesplus liquides ont une date d’échéance de 5 ans.

Mémoire I.S.F.A


La valorisation d’un CDSLa valorisation d’un CDS consiste à déterminer le montant de la prime (appelé également spread),que l’acheteur doit payer au vendeur pour être indemnisé en cas de défaut du sous-jacent. Pour cela,certains éléments doivent être spécifiés :• le nominal N : le montant de la dette sous-jacente ;• la maturité T du contrat ;• T1, T2, T3,..., Tp = T les dates de paiements de primes qui sont en général trimestrielles et

rétroactives. La prime versée en Ti permet de protéger l’acheteur sur la période [Ti−1,Ti]. Endésignant par δ la durée entre deux paiements de prime, δ = 1

4 ;

• le spread s : le montant de la prime exprimée en point de base par an (1 bp = 0.01 %). Elle estcalculée à la date initiale et reste fixe sur toute la durée de contrat.• l’instant de défaut τ ;• le taux de recouvrement R.

Les flux de la jambe fixeLes flux de la jambe fixe se composent de paiements des primes de l’acheteur de CDS jusqu’à lamaturité du contrat ou jusqu’au défaut si ce dernier se produit.Les flux s’expriment ainsi par :

Flux jambe fixe = s×N ×p∑i=1

E[D(Ti)δ1Ti<τ +B(τ)(τ − Ti−1)1Ti−1<τ<Ti

](3.6)

= s×N ×p∑i=1

[D(Ti)δ(1− F (Ti) +

∫ Ti

Ti−1(t− Ti−1)D(t)dF (t)

](3.7)

avec F(t) = P(τ ≤ t) la fonction de répartition de l’instant de défaut.

Les flux de la jambe variableLes flux de la jambe variable proviennent du paiement effectué par le vendeur de la protection aucas où le défaut intervient avant la clôture du contrat. En cas de défaut, le vendeur de la protectionindemnise l’acheteur de protection de la valeur non recouvrée de la dette, c’est-à-dire du montant(1-R)× N. Si le défaut n’intervient pas, le vendeur de la protection ne verse aucun flux. La valeuractuelle de la jambe variable est donnée par l’expression :

Flux jambe variable = E[D(τ)× (1−R)N1Ti−1<τ<Ti

](3.8)

= (1−R)N ×∫ T

0D(t)dF (t) (3.9)

Les flux de la jambe fixe et de la jambe variable sont schématisés par le graphique suivant :


La prime de CDSLa valeur théorique de la prime d’un CDS (ou spread) est trouvée de manière à égaliser la valeuractuelle de la jambe fixe et de la jambe variable. L’égalité entre l’expression (4.7) et (4.9) donne lieuà l’expression suivante :

s×N ×∑pi=1 E

[D(Ti)δ(1− F (Ti) +

∫ TiTi−1

(t− Ti−1)D(t)dF (t)]

= (1−R)N ×∫ T0 D(t)dF (t)

]On en déduit ainsi l’expression de la prime du CDS :

s = (1−R)×∫ T

0 D(t)dF (t)∑pi=1

[D(Ti)δ(1− F (Ti) +

∫ TiTi−1

(t− Ti−1)D(t)dF (t)]

Les données sur le marché : l’indice iTraxxITraxx désigne le nom de famille d’indices de CDS couvrant les régions de l’Europe, l’Australie, leJapon et l’Asie hors Japon. Les indices de dérivés sont construits sur un ensemble de règles dont lecritère dominant est celui de la liquidité des CDS. L’indice Itraxx permet d’apporter plus de transpa-rence et de liquidité au marché des CDS en répertoriant les entreprises adossées à un CDS par niveaude risque. Les principales familles d’indices sont les suivantes :

• L’« Itraxx Europe main » : composé de 125 dérivés de crédit proportionnellement répartis surdes entreprises européennes dont la notation est supérieure à BBB- (StandardPoor ′s) ou Baa3(Moody’s). Ils représentent les indices les plus liquides et les plus représentatifs du marché dedérivés de crédit européen ;• L’Itraxx Crossover : composé de 75 CDS dont les sous-jacents sont jugés risqués ;• L’Itaxx Hivol : comprenant 30 CDS à forte volatilité.

La prime de chaque indice des CDS est fixée jusqu’à la maturité du contrat. Elle est approximative-ment égale à la moyenne des contrats CDS de toutes les entités de référence qui composent l’indice àla date de lancement de la nouvelle série (20 mars ou 20 septembre).L’acheteur de protection paye une prime trimestrielle fixe tant qu’il n’y a pas de défaut jusqu’à lamaturité du contrat.

Le calibrage du modèle CIR à partir de l’indice iTraxxNotre portefeuille obligataire se constitue d’obligations européennes de notations élevées majoritaire-ment de maturité 5 à 10 ans.L’indice iTraxx Europe Main 5-Years se compose à plus de 40% d’obligations notées A et de plus de20% d’obligation notées BBB, BBB-, BBB+. Le taux de recouvrement retenu est de 40%.Nous choisissons l’indice iTraxx Europe Main de maturité 5 ans comme indice le plus représentatif denotre portefeuille.

A partir de l’expression de la prime de CDS (ou spread) évaluée au 31.12.2017, nous calculons lespread de l’indice à l’aide de notre modèle.

Mémoire I.S.F.A


Il existe une formule fermée pour évaluer la densité de l’instant de défaut dans le modèle CIR :

E[λte−∫ t

0 λsds] = [G(t) + λ0 ·H(t)]

Avec :

• G(t) = κµ

γ· (eγt − 1) · exp

(κµ(κ+ γ)σ2 · t

)·( 1− β1− βeγ · t

) 2κµσ2 + 1

• H(t) = exp(κµ(κ+ γ) + γσ2

σ2 · t)·( 1− β1− βeγ · t

) 2κµσ2 + 2

• γ =√

2σ2 + κ2

• β = κ+ γ

κ− γ

La prix du CDS théorique s’exprime ainsi par la formule fermée :

s = LGD ·∫ T0 (exp(−λ0B(t))P (0, t)(G(t) + λ0H(t)))∫ T

0 (A(t)exp(−λ0B(t))P (0, t))dt(3.10)

En rappelant que :

• A(u) =[ 2γe

(κ+γ)u

2(κ+ γ)(eγu − 1) + 2γ

]2κµσ2

• B(u) = 2(eγu − 1)(κ+ γ)(eγu − 1) + 2γ

Le spread de l’indice iTraxx évolue de la manière suivante :

Figure 3.2 – Evoluation du spread de l’indice iTraxx

Le spread de l’indice iTraxx a connu une diminution progressive au cours de l’année 2017. Sur l’histo-rique des 2 dernières années le niveau de spread de l’indice iTraxx a atteint son niveau le plus bas enfin d’année. Actuellement, son niveau fluctue autour d’une valeur moyenne de 68 bps. Depuis la fin de


l’année 2017, le spread de l’indice iTraxx a augmenté de plus de 10 bpd.

Nous notons que l’indice iTraxx tel qu’il est construit ne permet pas d’affiner le calibrage par spécificitéde notation. L’indice iTraxx Europe Main regroupe les obligations corporate les mieux notées. Pourun portefeuille obligataire noté de AAA jusqu’à BBB, le calibrage de chaque notation se fait sur uneunique valeur de dérivés de crédit.Notre démarche a été d’attribuer des poids aux spread de CDS théorique obtenu par notation pourqu’en moyenne le spread de CDS de l’ensemble du portefeuille corresponde au spread de l’indiceconstaté au 31.12.2017.

La procédure de validation du calibrageNous présentons à titre d’exemple les résultats du calibrage effectué sur les obligations corporate BBB.Les courbes et paramètres de calibration pour les autres classes de rating se situe en Annexes 5.5.

Paramètresλ0 0,04κ 1,9µ 0,02σ 0,1

Table 3.3 – Les paramètres du calibrage des spread BBB

Figure 3.3 – La courbe de spread des obligations BBB calibrée au 31.12.2017

La courbe en gris est la courbe obtenue par un lissage de type logarithmique sur les données de spreadde marché. Les courbes en pointillés définissent l’intervalle de confiance à 95% du lissage de la courbedes données de marché. Cet intervalle de confiance est le premier test de validation du calibrage.Le second test de validation est effectué sur la somme des écarts quadratiques calculés entre les spreadimplicites et les spread théoriques. Nous nous somme fixés pour objectif que cette somme ne dépassepas l’ordre des 10−6 pour valider les paramètres.Avec le calibrage choisi, la courbe de spread théorique se situe dans l’intervalle de confiance à 95% etla somme des écarts quadratiques obtenue est de 4,23·10−7 .

Mémoire I.S.F.A


CDS PoidsAAA 0,31% 19%AA 0,55% 39%A 0,53% 29%

BBB 0,43% 13%Moyenne 0,48%

Table 3.4 – Le calibrage sur les dérivés de crédit

Le calibrage effectué pour chaque notation permet de retrouver le spread de dérivés de crédit avec unemarge d’erreur évaluée à 10−6.Les prix de CDS des obligations AA et A obtenus à l’issu du calibrage sont supérieurs à celui del’indice iTraxx. Le calibrage effectué sur les dérivés de crédit ne permettait pas de valider les testsde calibration sur la courbe de référence. Ces dernières étant particulièrement linéaires, les courbesobtenues dépassaient l’intervalle de confiance fixé pour les maturités très courtes. L’intensité initialea été réajustée pour que cette dernière se situe dan l’intervalle de confiance fixé.Afin de compenser cette légère hausse, les spread des CDS des obligations AAA et BBB ont été sous-évalués. Les courbes de référence étant moins linéaires et l’intervalle de confiance plus grand, cela nousa permis de diminuer l’intensité initiale tout en restant en moyenne dans l’intervalle de confiance à 95%.

Le calibrage effectué sur le prix d’un indice de dérivée de crédit permet de valider le test de MarketConsistency.

La projection des spread des obligations de maturité 6 ans sont très peu volatils et stagnent autourde leur moyenne à long terme.

Figure 3.4 – L’évolution des spread de crédit des obligations de maturité 6 ans sur 30 ans


Remarques sur le calibrage du modèle• Le calibrage effectué ne permet pas d’anticiper de manière prudente une dégrada-tion des marchés et une hausse brutale des spread de crédit :Le contexte actuel est favorable à une diminution de la volatilité des spread de crédit. La volati-lité des spread obtenus est 3 fois plus faible que la volatilité historique des spread de crédit. Pourune approche plus prudente, il est préférable de calibrer le modèle sur une volatilité historique.

• Les spread de crédit retournent rapidement vers une valeur moyenne à long terme :Ce constat est établi sur le comportement des courbes reconstruites à partir de l’indice iBoxx etest un facteur supplémentaire à la sous-estimation de la volatilité des spread de crédit.Cette vitesse de retour à la moyenne est-elle constatée sur d’autres indices ou d’autres donnéesde marchés ?

• Les courbes de spread de référence reconstruites dépendent des hypothèses fixéeset du choix des indices :Nous aurions pu reconstruire une courbe de spread de crédit différente en prenant par exemplel’indice iBoxx EuroZone Souverains (sans spécificité la notation). Avec cet indice, les spread ob-tenus restent relativement identiques sur des maturités long terme mais moins importants surdes maturités plus courtes. Pour les maturité 1-3 le spread obtenu aurait été de 0,52%.

• Le calibrage du modèle CIR doit être effectué pour chaque classe de notation :Le calibrage du modèle peut s’avérer coûteux en termes de temps si le portefeuille obligataire secompose d’obligations de notation très diversifiées.

• Le modèle peut reconstruire parfaitement la courbe de spread de créditLe nombre de paramètres du modèle est limité pour pouvoir reconstruire une courbe avec defortes fluctuations. Les courbes de référence étant relativement platoniques, le calibrage auraitpu être amélioré par ajout d’un shift déterministe afin de reproduire parfaitement la courbe despread.

Ces remarques serviront de support pour justifier le choix de calibrage du second modèle ainsi que lesrésultats obtenus pour le calcul du Best Estimate.

Nous présentons par la suite un deuxième modèle de risque de crédit : le modèle de Jarrow-Lando-Turnbull. Ce modèle a l’avantage, contrairement au modèle de Cox-Ingersoll-Ross de prendreen compte le changement de notation des obligations. Le calibrage est effectué sur une classe de nota-tion cible ce qui permet d’améliorer l’aspect opérationnel.

Mémoire I.S.F.A

3.4. LE MODÈLE À TRANSITION DE RATING DE JARROW-LANDON-TURNULL 31

3.4 Le modèle à transition de rating de Jarrow-Landon-Turnull

3.4.1 La matrice de transition de rating

Le modèle de Jarrow-Landon-Turnbull permet de modéliser dans le temps le changement possiblede notation d’une obligation pour en déduire son spread de crédit. Initialement proposé en 1994, cemodèle ne permettait pas au départ de projeter la matrice de transition de rating dans le temps. Landoy a remédié en 1998.Le modèle repose sur une modélisation du changement de notation par une chaîne de Markov entemps continu. La notation de l’obligation apporte par hypothèse toute l’information permettant dequantifier le risque de défaut.

La matrice de transition déterministe en monde réelLa matrice de transition de rating utilisée initialement est une matrice de notation déterministe enmonde réel. Cette matrice est déterminée chaque année par les agences de rating et disponible dansleur rapport annuel.Les différents états se composent des différentes classes de notation des obligations allant de AAAjusqu’à C. Le dernier état situé en dernière ligne ou dernière colonne de la matrice correspond à l’étatde défaut.Elle se présente sous la forme :

Q=

q1,1 ... q1,K... ... ...

qK−1,1 ... qK−1,K0 ... 1

Avec :

• ∀i ∈1, ...,K,K∑j=1

qi,j = 1

• K : l’état de défaut. Dans cette situation seul l’état de défaut est envisageable.

Dans le cas où la matrice historique Q est diagonalisable 6, en notant Σ une matrice inversible et Dune matrice diagonale, cette dernière se réécrit de la manière suivante :

Q = Σ ·D · Σ−1

L’intervalle de temps le plus court de l’estimation de la matrice de transition historique est de 1 an.Les agences de notation publient également des matrices de transition historiques de 5 ans. A ce stade,la matrice de transition historique ne peut qu’être utilisée en temps discret.

Afin d’obtenir une matrice en temps continu, la matrice de transition historique est transformée en ungénérateur d’une chaîne de Markov. Cette étape permet d’obtenir les intensités de défaut à n’importequel instant.

6. Une matrice Q est diagonalisable s’il existe une matrice inversible Σ et une matrice diagonale D telles que Q =Σ ·D · Σ−1. Σ contient les vecteurs propres de Q et D les valeurs propres de Q.


La matrice de transition en temps continuPour déterminer la matrice de transition historique en temps continu, nous utilisons un générateurd’une chaîne de Markov 7.Un générateur d’une chaîne de Markov est une matrice sous la forme :

Λ=

λ1,1 ... λ1,K... ... ...λ1,1 ... λ1,1

0 ... 0

Avec :• λi,j ≥ 0 pour tout i, j ∈ 1, ...,K avec j 6= i ;

• λi,i = −K∑j=1j 6=i

λi,j , λi,i ≤ 0 ∀ i ;

• Les termes non-diagonaux de la matrice représentent l’intensité de passer de la notation i versla notation j ;

Ainsi, si le générateur obtenu vérifie toutes les conditions précédemment citées et que exp(Λ) = Qavec Q la matrice historique déterminée à l’instant initial, alors pour n’importe quel instant t, nousobtenons exp(tΛ) = Q(t).

Dans notre cas, seule la matrice de transition historique est donnée. Nous devons donc à partir de cettematrice de transition historique déterminer le générateur de Markov associé tel que exp(Λ) convergeexactement vers la matrice historique Q.

Dans leur modèle, Jarrow et al. [19] ont reconstruit en 1997 un générateur par la méthode suivante :• ∀i,λi,i = log(qi,i)

• ∀i 6= j , λi,i = pi,i ·log(qi,i)(qi,i − 1)

Remarque (2.1)

Cette méthode permet bien d’obtenir un générateur dont la somme des lignes est égale à 0 avecuniquement des coefficients négatifs sur la diagonale. En revanche, le générateur obtenu ne convergeque de manière approximative vers exp(Q).

Robert B. ISRAEL [12] s’est penché sur la problématique de l’existence et de l’unicité du généra-teur de Markov pour les matrices de transition. Dans son article publié en 2001, il propose notammentune méthode permettant d’obtenir un générateur qui converge exactement vers la matrice de transi-tion initiale. Pour cela, il s’appuie sur le théorème suivant :

Théorème (2.1) :Soit Q une matrice de transition.

Λ = (Q− I)− (Q− I)2

2 + (Q− I)3

3 − (Q− I)4

4 ... =∞∑t=1

(−1)t+1 · (Q− I)t

t

converge rapidement de manière géométrique et donne lieu à une matrice dont la somme des lignesest égale à 0. Ainsi, exp(Λ) = Q de manière exacte.

7. Une chaîne de Markov se définit par un processus aléatoire noté Xt dont les transitions sont observées selon unematrice stochastique Q. Le processus vérifier la propriété de Markov si, observé à un temps d’arrêt T, le processus XT+tne dépend que de XT

Mémoire I.S.F.A


Remarque (2.2)

Le théorème utilise le développement limité à l’ordre 0 du logarithme népérien de (Q-I) avec I lamatrice identité, afin de retrouver de manière exacte exp(Λ)=P. La convergence a l’avantage d’êtretrès rapide. Seulement une vingtaine de termes de la série sont utiles. Malheureusement le théorèmen’assure pas la positivité de tous les coefficients hors-diagonale de la matrice.

Dans le cas où les coefficients hors-diagonale obtenus ne sont pas positifs, ces derniers peuvent êtreremplacés par 0. Les éléments de la diagonale sont recalculés afin de s’assurer que la somme des lignessoit toujours égale à 0. Ainsi, le générateur

∼Λ obtenu après application du théorème est transformé de

la manière suivante :

•∼λi,i = λi,i +

∑j 6=i

min(λi,j , 0)

• ∀ i6=j,∼λi,i = max(λi,j , 0)

La matrice∼Λ répond à toutes les caractéristiques d’un générateur d’une chaîne de Markov et permet

de retrouver de manière exacte la matrice de transition historique initiale.

Cette matrice est diagonalisable et peut se réécrire sous la forme suivante :

∼Λ =

∼Σ·log(Dλ)·

∼Σ−1

Avec :•∼Λ une matrice inversible constituée des vecteurs propres de λ

• Dλ une matrice diagonale constituée des valeurs propres de∼Λ

D =

d1 0 · · · 00 d2 · · · 0... · · · . . . ...0 · · · 0 dK

Remarque (2.3)

Dans le cas où la matrice historique initiale Q est diagonalisable avec des valeurs propres positives,le générateur associé à la matrice peut être directement obtenu par l’égalité

Λ = log(Q) = Σ · log(D) · Σ−1

Cela revient d’abord à diagonaliser la matrice historique initiale et à remplacer les valeurs proprespar leur logarithme népérien.Cette méthode ne garantit pas en revanche d’obtenir des coefficients non-diagonaux positifs.

Le passage de la matrice de transition historique initiale au générateur d’une chaîne de Markov as-socié permet d’obtenir une matrice de transition homogène en temps continu déterminée en monde réel.

La seconde étape consiste à passer de l’univers monde réel à l’univers risque-neutre.


La matrice de transition risque-neutreLa matrice est modifiée par un processus appelé prime de risque πt qui va venir impacter stochasti-quement la matrice de transition.La prime de risque en question suit le processus CIR dont nous rappelons sa diffusion dans le tempspar :

dπt = κ(µ− πt)dt+ σ√πtdWt

L’application d’un tel processus permet de capturer l’effet volatil des spread de crédit. Cette primede risque vient impacter à la hausse ou à la baisse les probabilités de transition ce qui permet demodéliser le risque de changement de notation.

L’application de la prime de risque à la matrice de transition se fait de la manière suivante :∼Λ(t) =

∼Σ ·Π(t) ·Dλ ·

∼Σ−1

avec Π(t) une matrice diagonale de la forme :

Π(t) =

π1(t) 0 · · · · · · 0

0 π2(t) · · · · · · 0... · · · . . . · · ·

...0 · · · 0 πK−1(t) 00 · · · · · · 0 1

Le choc appliqué permet de passer d’une matrice de transition de rating en monde réel à son équivalenten univers risque-neutre.

Une fois la prime diffusée, la matrice de transition est reconstruite sous la probabilité risque-neutrepar la formule suivante :

∼Q(t, T ) = E

[exp(

∫ T

t

∼Λ(s)ds)

]=∼Σ · E

[exp

(Dλ

( ∫ T

tπ(s)ds

))]∼Σ−1

ou encore

=∼Σ · E

[exp

(Dλ

( ∫ T

tπ(s)ds

))− I

]∼Σ−1

(3.11)

3.4.2 L’expression des spread de crédit dans le modèle JLT

Les probabilités de défautLa formule (3.11) déduite précédemment permet d’obtenir l’expression des probabilités de défaut pourchaque classe de notation. Elles correspondent aux K-1 premiers éléments de la dernière colonne de lamatrice et se calculent de la manière suivante :

∼q i,K =

K−1∑j=1

αi,jβi,j(E[exp

(dj∫ Tt π(s)ds

)]− 1

)(3.12)

Avec :• αi,j le coefficient de la i-ième ligne et de la j-ième colonne de la matrice

∼Σ ;

• βi,K le coefficient de la i-ième ligne et de la j-ième colonne de la matrice∼Σ−1

;• dj la valeur propre de la j-ième colonne.

Mémoire I.S.F.A


Comme nous l’avons vu précédemment dans la présentation du modèle CIR, la prime de risque πtsuit une loi du χ2 ce qui permet de fournir une formule fermée pour le calcul de E

[edj∫ Ttπsds].

E[edj∫ Ttπsds] = Aj(t, T )exp(−Bj(t, T )π(t)) (3.13)

Avec :

• Aj(u) =[ 2γj · e(κ+γj)u2

(κ+ γj) · (eγj ·u − 1) + 2γj

]2κµσ2

• B(u) = −2dj · (eγju − 1)(κ+ γj)(eγju − 1) + 2γj

• γj =√κ2 + 2dj · σ2

Les spread de crédit dans le modèle JLTLes spread de crédit sont obtenus par le raisonnement établi précédemment à partir du prix d’unzéro-coupon risqué. Nous rappelons l’expression du spread de crédit en fonction de la probabilité dedéfaut (à partir de la formule 3.5) :

s(t, T ) = − 1T − t

log(1− LGD · P(τ ≤ (T − t))

Avec :• P(τ ≤ t) la probabilité de défaut de l’obligation déduite du modèle ;• LGD le taux de défaut.

Ainsi, dans le modèle JLT les spread de crédit pour une obligation de rating i se calculent de lamanière suivante :

s(t, T ) = − 1T − t

· log(1− LGD · ∼q i,K) (3.14)

Avec qi,K la probabilité de défaut obtenue par la formule (3.12).

Les spread obtenus permettent de prendre en compte le changement de rating des obligations dans letemps.


3.5 Le calibrage du modèle JLT

3.5.1 La matrice de transition historique de 2017

Nous considérons la matrice de transition de rating annuelle publiée par Moody’s de 2017 qui seprésente sous la forme :

Figure 3.5 – Average One-Year Letter Rating Migration Rates, 1970-2017

La colonne «WR » correspond aux obligations non notées. Nous ré-attribuons le poids de cette colonneaux autres notations car par hypothèse, nous travaillons uniquement avec des obligations notées. Ennotant pwr la probabilité associée à la colonne « WR », nous multiplions tous les coefficients de laligne par (1 + pwr

1− pwr).

De cette manière, nous obtenons une matrice de transition historique sous la forme :

Figure 3.6 – La matrice de transition historique 1 an utilisée

Remarques

Il est possible, même à partir de la matrice de transition historique de départ, de ne pas obtenirexactement la somme des lignes égale à 100%, souvent en raison d’un problème d’arrondis. Pour yremédier, la matrice de transition peut être modifiée en réajustant les coefficients de la diagonale.Dans notre cas, nous obtenons directement le résultat attendu sans modification.

Nous choisissons de garder un taux de recouvrement à 40% pour se placer dans un approche plusprudente. Nous devons dans un second temps déterminer le générateur associé à notre matrice detransition historique.Pour cela, nous cherchons dans un premier temps à diagonaliser la matrice de transition historique.Cette dernière présente des valeurs propres négatives, ce qui ne nous permet pas d’obtenir directement

Mémoire I.S.F.A

3.5. LE CALIBRAGE DU MODÈLE JLT 37

via la remarque (2.3) un générateur d’une chaîne de Markov satisfaisant.

Nous obtenons le générateur associé par application du théorème (2.1) en modifiant les paramètreshors diagonales si ces derniers ne sont pas positifs comme expliqué précédemment.

3.5.2 Le calibrage des paramètres du processus CIR

Le modèle JLT présente les mêmes paramètres en entrée à calibrer que le modèle CIR. En re-vanche, les paramètres sont calibrés sur une notation et une maturité d’obligations représentatifs duportefeuille. Les obligations qui constituent majoritairement notre portefeuille sont de notation AA dematurité 5-7 ans. Afin de limiter le temps de calcul et améliorer l’aspect opérationnel, nous choisissonsde générer une seule courbe de spread de crédit de maturité correspondant aux spread d’une obligationde maturité 6 ans représentative de notre portefeuille.

Le taux de recouvrementLe calibrage de la moyenne et de vitesse de retour à la moyenne est effectué, comme pour le modèleCIR sur une courbe implicite des spread de crédit.

Le modèle JLT ne présente pas de formule fermée pour calculer le prix d’un dérivée de crédit demanière précise. Une approximation du prix du CDS peut être réalisée en calculant avec un pas dediscrétisation faible la densité de probabilité de défaut.Comme vu précédemment, dans un contexte économique favorable, la volatilité des spread de dérivésde crédit sont particulièrement bas. Pour se placer dans une approche plus prudente, nous choisissonsde calibrer notre modèle à partir d’une volatilité historique.La volatilité est déterminée sur un historique de spread calculé à partir des indices iBoxx (indice iBoxxcorporate AA et l’indice iBoxx souverain de la zone euros AAA). Les périodes de crises financières(2001-2002 et 2008) ont été retirées de l’historique pour que la volatilité déterminée soit représentatived’un marché économique stable.

spread AAA de maturité 5-7 en %31.12.1999 0,4131.12.2000 0,6531.12.2003 0,2431.12.2004 0,2531.12.2005 0,2331.12.2006 0,2531.12.2007 0,8231.12.2009 0,6431.12.2010 0,7131.12.2011 0,6631.12.2012 0,5131.12.2013 0,7131.12.2014 0,6631.12.2015 0,8431.12.2016 0,7131.12.2017 0,52Volatilité 0,22

Table 3.5 – Historique des spread AAA de maturité 5-7 ans


Le calibrage de la moyenne et de la vitesse de retour à la moyenne

Nous privilégions les paramètres de calibrage qui minimisent l’écart quadratique entre la volatilité desspread historique et la volatilité des spread issue du modèle. L’écart quadratique minimal est fixé à10−6.

Paramètresλ0 19,4κ 0,6µ 2,16σ 2

Table 3.6 – Les paramètres du calibrage des spread AA du modèle JLT

Le choix de privilégier le calibrage de la volatilité des spread se fait au détriment de la qualité d’ajus-tement de la courbe de spread à la courbe de référence.La courbe de spread est reconstruite à partir des données de marché évaluées au 31.12.2017. La volati-lité des spread issue de cette courbe est plus faible que la volatilité des spread historique, ce qui justifiela difficulté d’ajustement. Le modèle présente également peu de paramètres pour déformer facilementla courbe.

Figure 3.7 – La courbe des spread AA calibrée

La reconstruction de la courbe de spread sur l’indice iBoxx permet de reconstruire une courbe despread de manière approximitave sur peu de points mais privilégie la cohérence, la fiabilité et l’acces-sibilité des données.Le risque généré est représentatif du risque de marché global.

Une autre démarche est de calibrer le modèle directement à partir des données du portefeuille obliga-taire détenu par l’assureur. Cela permet d’obtenir un calibrage en adéquation avec le profil de risquede l’asssureur.

Mémoire I.S.F.A


La reconstruction d’une courbe de spread à partir du portefeuille obligataireIl est possible à partir d’obligations de maturités différentes de reconstruire une courbe de spread decrédit.La démarche consiste à retrouver le spread associé à l’obligation à partir de la formule du prix d’uneobligation.Le prix d’une obligation 1 an est donnée par :

VM = (c+ 1)×N1 + r1 + s1

Avec• c le taux de coupon ;• N le nominal ;• r1 le taux sans risque 1 an• s1 le spread 1 an

ce qui permet d’obtenir le spread 1 an par la formule :

s1 = (c+ 1)×NVM

− 1− r1

Pour une obligation de maturité 2 ans son prix est donné par :

VM =2∑i=1

c×N1 + ri + si

+ N

1 + r2 + s2

Connaissant le spread 1 an, on peut en déduire facilement le spread 2 ans.Le processus se réitère sur les maturités supérieures.

La démarche est réalisée sur un portefeuille d’obligations constitué de 500 obligations européennesnotées AA de maturité 1 à 12.

Le phénomène de vitesse de retour à la moyenne s’observe seulement à partir de 7-8 ans.Les fluctuations observées sur les maturités courtes peuvent s’expliquer par des taux sans risque trèsfaibles voire négatifs. Les spread des obligations de maturité courtes sont très sensibles à certainesdonnées telles que la date de tombée de coupon. Ces dernières sont fixées en fin d’année ce qui peutbiaiser le résultat si la date de coupon est en réalité en début d’année.


Cette méthode s’avère être également plus coûteuse en temps.

Le calibrage des paramètres sur cette courbe a particulièrement modifié l’intensité initiale :

Paramètresλ0 5,4κ 0,2µ 2σ 0,75

Table 3.7 – Les paramètres du calibrage des spread AA du modèle JLT

La courbe est très sensible au paramètre d’intensité initiale. L’effet moyenne à long terme (µ) l’impacteque très légèrement. Plus le paramètre de vitesse de retour à la moyenne (κ) augmente, plus la courbegénérée s’aplatie. Quant au paramètre σ il influence essentiellement la volatilité des spread.

Le calibrage permet de retrouver une volatilité des spread historique avec une marge d’erreur inférieureà 10−4. La courbe reconstruite sous-évalue légèrement en moyenne les spread en début de période maisconverge rapidement vers l’intervalle de confiance fixé à 95%.

Figure 3.8 – L’évolution des spread de crédit de maturité 6 ans sur 30 ans

Le phénomène de vitesse de retour à la moyenne s’observe au cours de la projection. Les spread decrédit diminuent au cours du temps. Une interprétation à ce phénomène est que plus l’obligation serapproche de son échéance, plus elle diminue son risque de faire défaut.

Mémoire I.S.F.A


Remarques sur le calibrage du modèle JLT• La méthode de calibrage de modèle JLT sous estime la volatilité de spread des obli-gations de notation plus élevéeLe modèle JLT est calibré à partir d’un état initial représentatif du portefeuille ce qui ne permetpas de modéliser une volatilité par classe de notation. Le calibrage effectué sur la notation AAgénère des spread pour les obligations BBB avec une volatilité de 0,3% contre une volatilitéhistorique estimé à 0,6%.

• Le phénomène de vitesse de retour à la moyenne peut être plus lent selon les don-nées de marchéLa reconstruction d’une courbe de spread à partir d’un portefeuille d’obligations a permis demettre en évidence un comportement plus volatil en début de période que celui observé sur lesindices iBoxx.

• Le calibrage reconstruit approximativement la courbe des spreadLe modèle JLT présente moins de liberté pour obtenir un ajustement très précis de la courbe despread

• La difficulté de retrouver des mesures fiables et précisesLa différence de niveau de spread obtenu entre les données des indices iBoxx et les donnéesdirectement issues du portefeuille d’obligations illustre les propos évoqués lors de la définitiondu risque de crédit : la prime de risque est rémunérée par plusieurs sources de risques. Il estdifficile d’isoler l’écartement de spread dû uniquement au défaut, ou à un risque de changementde notation de l’émetteur.Les obligations choisies pour reconstruire les indices iBoxx sont sélectionnées de manière à obtenirune information relativement précise. Par exemple, le risque le liquidité peut être isolé à partird’indices iBoxx spécifiques. La qualité de l’information est en revanche plus difficile à obtenir àpartir des caractéristiques d’une quelconque obligation.


Synthèse des deux modèles de risque de créditNous proposons de mettre en évidence dans ce tableau de synthèse quelques points de comparaisonentre ces deux modèles.

Le choix d’un modèle est propre à l’assureur et dépend de ses objectifs et de son utilisation.Le modèle JLT, plus sophistiqué que le modèle CIR présente l’avantage de prendre en compte lechangement possible de notation des obligations corporate. L’étape de calibration requiert moins detemps que celle du modèle CIR car ce dernier est effectué sur une notation cible représentant l’étatdu portefeuille à l’instant initial.

Concernant les résultats obtenus sur le calibrage :Le calibrage du modèle CIR effectué sur les dérivés de crédit dans un contexte économique favorablesous-estime la volatilité des spread de crédit. Le calibrage du modèle JLT a été effectué en universrisque-neutre (reconstruction d’une courbe de spread au 31.12.2017) en captant un volatilité des spreadhistorique. Nous notons que le fait d’avoir calibré les deux modèles de manière différente ne permettrapas de faire une comparaison chiffrée de ces deux modèles sur le Best Estimate de l’assureur. Leshypothèses étant différentes, nous comparons plutôt le Best Estimate avec et sans prise un compted’un risque de crédit et la sensibilité de ce dernier sur la volatilité des spread générés.

La suite de ce mémoire a pour objectif de présenter les étapes d’implémentation de ces deux mo-dèles, du générateur de scénarios économiques jusqu’à l’outil d’ALM afin d’aboutir au calcul du BestEstimate. Nous détaillerons notamment une méthode pour prendre en compte la corrélation entre lesspread de crédit, permettant ainsi de pallier une hypothèse commune des deux modèles. L’étape derisque-neutralisation avec prise en compte d’un modèle de risque de crédit sera également présentée.

Mémoire I.S.F.A

Chapitre 4

La mise en place des modèles de risquede crédit

La mise en œuvre opérationnelle de la prise en compte des spread de crédit pour le calcul du BestEstimate se résume selon le graphique suivant :

• la première étape consiste à implémenter les deux modèles de diffusions des spread de créditdans l’outil de générateur de scénarios économiques.

• les scénarios de spread issus du générateur de scénarios économiques sont utilisés en second lieupour projeter la valeur de marché des obligations.

• ses valeurs de marché seront utilisées comme base d’actif de l’assureur dans l’outil d’interactionactif-passif (ALM) permettant le calcul du Best Estimate.

Ce chapitre a pour objectif de détailler les étapes de calculs réalisés dans les 3 outils et d’expliquercomment ses derniers ont été modifié pour la prise en compte du spread de crédit.

43

44 CHAPITRE 4. LA MISE EN PLACE DES MODÈLES DE RISQUE DE CRÉDIT

4.1 Le générateur de scénarios économiques utiliséLe calcul du Best Estimate d’un contrat d’épargne euros nécessite l’utilisation d’outils stochas-

tiques pour prendre en compte la volatilité et la dépendance des différentes variables économiques. Legénérateur de scénarios économiques a pour but de projeter sur un horizon souhaité, une multituded’états de marché possible permettant une meilleure estimation des fluctuations de marché.

Appliqué à notre étude, le générateur de scénarios économiques comprend, un modèle des taux zérocoupon, un modèle de performance d’actions et d’immobilier.L’outil est complété par les deux modèles de spread de crédit précédemment présentés.Le nombre de scénarios et l’horizon de projection s’est porté sur le choix suivant :

Paramètres d’entréeAnnée de projection 31.12.2017Nombre de scénarios 1000Horizon de projection 30 ans

Pas de temps Annuel

4.1.1 La corrélation entre les variables

Les modèles stochastiques pour la projection des différentes classes d’actifs supposent en amontla projection de mouvements browniens par une loi normale centrée réduite. Pour que les projectionssoient réalistes il est nécessaire de prendre en compte la corrélation entre les différentes variables éco-nomiques.

La dépendance préexistente entre les classes d’actifsLa corrélation entre les taux, la performance des actions et la performance immobilière est mise enplace à partir de la matrice de corrélation suivante :

Matrice de corrélation Taux nominaux Taux réels Actions ImmobilierTaux nominaux 1,00 0,9 0,17 -0,50

Taux réels 0,9 1,00 0,08 -0,60Actions 0,17 0,08 1,00 0,30

Immobilier -0,50 -0,60 0,30 1,00

Table 4.1 – La corrélation entre les classes d’actifs sans spread de crédit

La décomposition de Cholesky permet d’obtenir la matrice de variance-covariance Θ en une matricetriangulaire inférieure : Θ = L.Lt. La matrice X contenant les vecteurs de mouvements brownienscorrélés est obtenue par X = L.Z

X =

X1X2X3

⇔l1,1 0 0l2,1 l2,2 0l3,1 l3,2 l3,3

·Z1Z2Z3

La mise en place d’un modèle de diffusion de spread de crédit suppose en amont d’étudier la dé-pendance possible entre cette variable et les différentes classes d’actifs simulées par le GSE.

Mémoire I.S.F.A

4.1. LE GÉNÉRATEUR DE SCÉNARIOS ÉCONOMIQUES UTILISÉ 45

La corrélation entre les spread et les autres variables économiquesLa liste des hypothèses implicites du modèle CIR a mis en évidence l’indépendance entre les spreaddes obligations de notation différentes et de maturité différentes. Un seul défaut est modélisé ce quine permet pas d’appréhender un phénomène de défauts en cascade.L’effet de contagion est un phénomène souvent observé pendant des périodes de crise financière. Il sedéfinit de manière générale par une baisse simultanée des prix des actifs financiers.

Dans un contexte de crise financière, l’effet contagion est très souvent observable sur le risque decrédit des entreprises. Dans le cas d’entreprises interdépendantes, la situation défavorable voire lafaillite d’une entreprise peut provoquer des pertes importantes pour les autres entreprises.Par le même raisonnement, le défaut d’une entreprise peut entraîner une augmentation de la proba-bilité de défaut des autres entreprises et donc une augmentation des spread des obligations.

Il existe d’ailleurs un produit de dérivé de crédit intégralement construit sur cet effet de corréla-tion entre les défauts des obligations : le Collaterized Debt Obligation (CDO).Ce produit permet aux institutions financières de transférer et ré-attribuer les risques liées à leursdettes et de diminuer les fonds propres associés. Il s’agit d’une transaction spéciale entre des inves-tisseurs et des émetteurs de dettes par l’intermédiaire d’un organisme nommé SPV (Special purposedVehicle).Le sous-jacent d’un CDO est un portefeuille de dettes (obligations, prêts, créances..) qui supporte lesrisques de défaut de chaque nominal.La SPV est chargé de réorganiser les dettes du portefeuille par tranche de CDO correspondant àdifférent niveaux de risques et de le revendre aux investisseurs de marché. Ces derniers investissentdirectement dans une tranche suivant leur appétence au risque plutôt que d’acheter individuellementdes obligations. Les dettes sont réparties sur les tranches Senior, Junior, Mezzanine et Equity, la Se-nior étant la moins risquée. Chaque tranche de CDO a les mêmes caractéristiques qu’une obligation.L’investisseur paie un montant nominal à la date initiale et reçoit des coupons spécifiques à la trancheà des dates régulières.

Le remboursement des coupons respecte un ordre de hiérarchisation : la tranche senior est rem-boursée en premier, les tranches junior et mezzanines ensuite. La tranche equity qui porte le couponle plus élevé est remboursé à la fin.Dans cet ordre, les tranches supérieures sont protégées par les tranches inférieures contre les risquesde défaut du portefeuille sous-jacent. Les premiers défauts induisent d’abord des pertes sur la trancheequity. Quand la tranche equity est complètement perdue, la tranche junior commence à subir despertes. Le CDO est donc typiquement un produit de corrélation.

Pour mettre en évidence l’effet de contagion et modéliser plusieurs défauts, des modèles à inten-sité faisant recours à des copules 1 existent. Ces modèles sont notamment utilisés pour estimer les prixdes dérivés sur paniers comme les CDO (Collateried Debt Obligations).Les paramètres des copules sont calibrés sur ces types de produits. Ne disposant que peu d’informa-

1. Une copule est un objet mathématique qui permet de mettre de la dépendance entre deux variables et ce, quelquesoit leur loi marginale.


tions sur le marché, les familles de copules ayant le moins de paramètres sont privilégiées (copulesgaussiennes par exemple).

Comme nous l’avons vu, le modèle CIR et le modèle JLT ne permettent pas de modéliser plusieursévènements de défaut et ainsi de capter la corrélation entre les spread de crédit des obligations.

Pour obtenir néanmoins un projection réaliste, il est nécessaire de prendre en compte les dépendancesqui existent entre les spread. Une démarche similaire à la mise en place d’une dépendance entre lesdifférentes classes d’actifs est ainsi envisagée.

La corrélation entre les spread des obligations de différentes notations est représenté par une relationde dépendance linéaire. Les mouvements browniens qui régissent l’évolution des spread sont corréléspar une coefficient de corrélation déterminé sur un historique de données.

Dans notre cas, nous avons sélectionné les spread de crédit calculé à partir des indices iBoxx pour lesdifférentes classes de notation. Les indices iBoxx les plus représentatifs de notre portefeuille sont lesindices iBoxx coporates non-financiers de maturité 5-7. Les données disponibles sur le marché per-mettent de constituer un historique de 1999 à 2017.Nous obtenons la matrice de corrélation suivante :

Matrice de corrélation AAA AA A BBBAAA 1,00 0,87 0,75 0,59AA 0,87 1,00 0,84 0,66A 0,75 0,84 1,00 0,85

BBB 0,59 0,66 0,85 1,00

Table 4.2 – La corrélation entre les spread de crédit

La matrice de corrélation présente les résultats attendus. Les spread des obligations sont corrélés po-sitivement : l’augmentation du spread d’une obligation notée AAA tend à augmenter les spread desautres classes de rating. Le coefficient de corrélation est d’autant plus élevé pour les classes de notationvoisines.

Une autre limite du modèle précédemment citée est l’indépendance entre les spread et le taux court.Pourtant, selon Longstaff et Schwartz, une augmentation du taux d’intérêt aurait tendance à réduirela probabilité de défaut. Les taux d’intérêt et les spread de crédit seraient alors corrélés négativement.Un raisonnement plus intuitif porte sur la corrélation entre les spread et la performance des actions.Toute entreprise ayant un portefeuille constitué d’actions aurait tendance à diminuer sa probabilitéde défaut si la performance des actions augmente. L’enrichissement de l’entreprise par l’augmentationde la performance de ses actifs sécurise le remboursement de ses dettes. La modélisation du risque decrédit par le modèle de Merton est d’ailleurs fondée sur l’évaluation de la valeur de l’entreprise pourmodéliser l’instant de défaut : si la valeur de l’entreprise, déterminée à partir de la performance de sesactifs diminue en-dessous d’un certain seuil, le défaut intervient.

Nous avons choisi de privilégier la corrélation entre les spread et les actions. Le coefficient de cor-rélation entre les spread et les actions est déterminé à partir de l’historique de la performance annuelledu CAC 40.

AAA AA A BBBActions -0,23 -0,46 -0,44 -0,52

Table 4.3 – La corrélation entre les spread de crédit et la performance des actions

Mémoire I.S.F.A


La corrélation entre les actions et les spread est bien négatives. Plus la notation est dégradée, plusle spread et la performance des actions sont corrélés.

Une décomposition de Chloskehy est effectuée sur la matrice de corrélation suivante :

Matrice de corrélation AAA AA A BBB ActionAAA 1,00 0,87 0,75 0,59 -0,23AA 0,87 1,00 0,84 0,66 -0,46A 0,75 0,84 1,00 0,85 -0,44

BBB 0,59 0,66 0,85 1,00 -0,52Action -0,23 -0,46 -0,44 -0,52 1,00

Table 4.4 – La matrice de variance-covariance entre les spread et les actions

La mise en place des corrélations entre les différentes variables est résumée par le graphique suivant :

4.1.2 La projection de la performance des actifs de l’assureur

Le modèle de tauxLes taux réel et les taux nominaux sont diffusés à partir du modèle de Vasicek à deux facteurs par leséquations différentielles suivantes :

dr(t) = a1(m(t)− r(t))dt+ σ1dW1(t)dm(t) = a2(µ− r(t))dt+ σ2dW2(t)

avec :• r(t) le taux court en t, avec t(0) le taux court initial ;• m(t) le taux long en t, avec m(0) le taux long initial ;• W1,W2 deux mouvements browniens indépendants ;• µ la moyenne des taux longs ;• a1 la vitesse de retour du taux court vers le taux long ;• a2 la vitesse de retour du taux long vers sa moyenne ;• σ1, σ2 la volatilité du taux court et du taux long.

Les équations qui régissent le modèle permettent d’observer le phénomène de vitesse de retour à lamoyenne. Le modèle est plus souple qu’un modèle à un seul facteur ce qui permet d’étendre les formespossibles des courbes de taux. Le modèle présente également l’avantage de présenter une formulefermée pour calculer le prix d’un zéro-coupon de la forme :

B(t, T ) = exp(A(T − t)−B1(T − t) · r(t)−B2(T − t) ·m(t))

La formule détaillée figure en Annexe 5.5.


Le taux continu zéro-coupon est à la date t pour une obligation de maturité T est déterminé àpartir du prix d’un zéro-coupon par :

R(t, T ) = − lnB(t, T )T − t

Le taux court permet ainsi de reconstruire la courbe des taux.

Le modèle de performance des actionsLa processus de diffusion de la performance des actions est simulé à partir du modèle de k & Scholes.Le modèle est reconstruit à partir de trois lois normales afin d’augmenter la queue de distribution dumodèle et ainsi mieux appréhender les risques extrêmes.Le modèle est la somme :• d’une loi normale pour le coeur de la distribution : cette loi correspond à une situation de périodeéconomique stable ;• d’une loi pour chaque queue de distribution traduisant une période de crise financière, un krachboursier ou une période de forte hausse.

Le passage d’un état se réalise selon une certaine probabilité.

Dans chaque état, la performance des actions est régie par l’équation de Black & Scholes :

dSt = µStdt+ σStdWt

avec :• St le prix de l’action à la date t,• Wt un mouvement brownien de volatilité σ et moyenne µ propre à chaque état.

Le modèle de performance immobilièreLa performance immobilière est simulée à partir du modèle de Black & Scholes comme précédemmentprésenté.Les paramètres utilisés par le GSE sont calibrés en univers risque-neutre. Le passage de l’univers monderéel et risque neutre est réalisé en « risque-neutralisant » le rendement des actions et de l’immobilier.Cette étape consiste à ramener par une loi normalisée la performance des actifs au taux sans risqueet d’augmenter la volatilité par une volatilité implicite. Le calibrage doit également être conforme àla réglementation qui impose :• des scénarios économiques cohérents avec les prix observés sur les marché : le test de Market-Consistency ;• la martingalité de la valeur actualisée des actifs financiers : le test de martingalité

Le test de martingalité et de Market-ConsistencyLe test de martingalité permet de vérifier si les prix actualisés, sous la probabilité risque-neutre desactifs sont bien des martingales.• Pour les actions et l’immobilier, il s’agit de vérifier si la moyenne du prix actualisé à la dateinitiale est égale au prix initial.• Pour le taux nominal, le test consiste à vérifier que la moyenne des intégrales des taux courtsgénérés s’ajuste suffisamment à la courbe de référence de l’EIOPA.

Le test de Market-Consistency pour les scénarios de taux est réalisé sur un put d’une obligation alle-mande.Les tests effectués sont validés à partir des graphiques suivants :

Mémoire I.S.F.A


Figure 4.1 – La validation des tests effectués sur les taux zéro-coupon

Figure 4.2 – La validation des tests effectués sur la performance des actions et la performanceimmobilière

Le modèles de spread de créditLes deux modèles de risque de crédit précédemment présentés sont implémentés dans l’outil de scéna-rios économiques. Les calibrages retenus sont ceux présentés dans le chapitre précédent.

Pour simplifier le temps de calcul et l’aspect opérationnel, nous avons choisi de sélectionner les obli-gations de maturité 6 ans comme représentatif de notre portefeuille. De cette manière, nous projetonsune courbe de spread dans 1000 scénarios sur 30 ans.

Les scénarios issus du GSE permettent d’obtenir la performance des actions et de l’immobilier sur30 ans. Leur valeur de marché évolue chaque année de cette performance.Les scénarios de taux et de spread sont quant à eux utilisés dans un outil de projection permettantd’obtenir les performances obligataires de l’assureur pour chaque scénario sur l’horizon de projectionchoisi. Cette étape constitue la phase 2 2 de la mise en oeuvre opérationnelle du modèle de risque de

2. Nous renvoyons le lecteur à la phase 2 du schéma de mise en oeuvre opérationnelle en début de chapitre.


crédit.

4.2 La projection de la performance des obligations

Le portefeuille obligataire se compose d’obligations européennes investies dans des titres souverainset corporate selon les proportions suivantes :

Portefeuille obligataireObligations d’État 44%

Obligations corporatate AAA 11%Obligations corporatate AA 22%Obligations corporatate A 16%

Obligations corporatate BBB 7%

4.2.1 La risque-neutralisation des obligations avec un modèle de spread de crédit

En univers risque-neutre, chaque actif rapporte en moyenne le taux sans risque. Au même titreque les actions et l’immobilier, les obligations doivent être risque-neutralisées.Pour cela, chaque obligation est réévaluée chaque année pour déterminer sa prime de risque (ou spread),permettant d’égaliser la valeur de marché de l’obligation à la date d’arrêté avec la valeur théoriqueévaluée à t = 0.

Sans la modélisation de la probabilité de défaut des obligations, la risque-neutralisation consiste àsupprimer la prime de risque de crédit inclue dans les coupon afin de répliquer des taux sans risque.Les flux sont réduits de manière proportionnelle par un coefficient 1

1 + sdéterminé par :

VM =T∑t=1

C

((1 + rt))(1 + s))t + R

((1 + rT )(1 + s))T

Cette étape de risque-neutralisation suppose que la prime de risque reste constante au cours du temps.Elle ne tient pas compte de l’évolution du spread de crédit au cours de temps. Pour prendre en comptel’effet volatil des spread de crédit après la risque-neutralisation, les cash-flows sont diminués d’un ré-sidu construit de sorte à ne capter que la variation des spread issus de nos scénarios.

A chaque date t et pour chaque scénario i, le résidu est déterminé par :

résidui,t = spreadi,t − spreadmoyen,t

Le spreadmoyen,t correspond à la moyenne des scénarios de spread pour l’année de projection t :

spreadmoyen,t =1

10001000∑i=1

spreadi,t.

Mémoire I.S.F.A

4.2. LA PROJECTION DE LA PERFORMANCE DES OBLIGATIONS 51

Cette méthode permet de prendre en compte uniquement la volatilité des spread de crédit dans lavalorisation des obligations et d’annuler l’effet « moyenne » . Le résidu étant centré en 0, les pertesprobables en moyenne ne sont pas modifiées.

La projection de la valeur de marché des obligations en portefeuilleLa valeur de marché des obligations est calculé pour chaque année h de la manière suivante :

VM =T∑

t=h+1

C

((1 + rt,i)(1 + s+ résidut,i))t−h+ N

((1 + rT,i)(1 + s+ residuT,i))t−h

Avec :• rt,i le taux sans risque t années pour le scénario i ;• s le spread issu de la risque-neutralisation ;• residut,i le spread résiduel du scénario i à la date t ;• C le coupon ;• N le nominal ;• T la maturité.

Une proposition de test de martingalitéAfin de contrôler que l’ajout du spread résiduel dans la valorisation de nos obligations risquées nemodifie pas en moyenne la valeur de marché actualisée au taux sans risque, nous traçons le graphiquesuivant :

Figure 4.3 – La convergence des valeurs de marché des obligations risquées vers la valeur de marchéactualisée au taux sans risque


• VM déterministe correspond à la somme des valeurs de marché des obligations en portefeuillevalorisées au taux sans risque ;• VM correspond à la somme des valeurs de marché pour chaque scénario, valorisées au taux sansrisque ajouté du spread résiduel.

La convergence est rapide. Le test permet de valider qu’en moyenne, les obligations comportant unrisque de spread rapportent le taux sans risque.

4.2.2 La projection de la valeur comptable, des produits financiers et des fluxobligataires

La valeur comptable des obligations en portefeuilleLa valeur comptable d’une obligation se définit par :

V C =T∑

t=h+1

C

(1 + ta)t−h+ N

(1 + ta)t−h

Avec :• ta le taux actuariel à l’achat de l’obligation• s le spread issu de la risque-neutralisation

Le taux actuariel est corrigé du risque de spread déterminé à la date t=0. Un nouveau taux actuarielnoté t′a est recalculé à partir des flux corrigés :

FRNt = FMRt

(1 + s)t (4.1)

Avec :• FRNi le flux en univers risque neutre ;• FMR

i le flux en monde réel déterminé par les coupons et le remboursement ;• s le spread issu de la risque-neutralisation.

La valeur comptable est déterminé pour chaque année h et après retraitement du risque par :

V C =T∑

t=h+1

C

(1 + t′a)(1 + s))t−h + N

(1 + t′a)(1 + s))t−h

Les produits financiers des obligationsLes produits financiers à la date t sont déterminés par le flux à la date t et la variation de la valeurcomptable entre l’année t - 1 et t :

PF (t) = V C(t)− V C(t− 1) + F (t)

Mémoire I.S.F.A

4.2. LA PROJECTION DE LA PERFORMANCE DES OBLIGATIONS 53

4.2.3 La stratégie de réinvestissement dans de nouvelles obligations

Chaque année, le réinvestissement d’obligation se fait dans des obligations au pair de maturité10 ans. L’arbitrage d’investissement dans des obligations d’État et des obligations corporates est lesuivant :

Les proportions sont fixées à :

Proportion investissementα0 40%

αAAA 20%αAA 20%αA 10%αBBB 10 %

Le taux de coupon des obligations est calculé sur une base de 100 pour chaque génération j par :

100 =10∑t=1

100× cj,N × αN((1 + rj−At,i ))(1 + residui))t

+ 100× αN((1 + rj10,i)(1 + s+ residuN10,i))10

Avec :

• αN la proportion associée à l’investissement dans l’obligation de notation N ;• rj−At,i le taux sans risque t année de la courbe des taux à la date j - A pour le scénario i, Acorrespondant à l’année de projection.• residuNt,i le spread résiduel du scénario i de la tième année pour la notation N ;

La valeur de marché et la valeur comptable des obligations nouvelle générationLa valeur de marché des obligations de rating N à la date t est déterminé par :

VMt =10∑

t=h+1

100× cN × αN((1 + rj−At,i ))(1 + residuNt,i))t−h

+ 100× αN((1 + rj−A10,i )(1 + s+ residut+10,i))10−t

Avec :• αN la proportion associée à l’investissement dans l’obligation de notation N ;• rt+jt,i le taux i année à la date t+j ;• residui le spread résiduel du scénario i de la jième année pour la notation N ;

Par construction la valeur comptable des obligations est égale à 100.


Les coupons sont versés annuellement pendant toute la durée de vie de l’obligation. Les produitsfinanciers pour les obligations de notation N valent donc

Produitsfinanciers(t) = 100× cj,K si j<t<j+10.

Cette étape a permis de calculer les valeurs de marché, les valeurs comptables, les produits financierset les flux des obligations en portefeuille ainsi que les obligations réinvesties.Ces valeurs servent de base en entrée dans l’outil de projection ALM.

4.2.4 La projection du passif

Le portefeuille d’assuré est segmenté par âge et par génération et se compose de :

Portefeuille du passifNombre de contrat 179 950

Provision mathématique 7 776 K

Les prestations en cas de décèsLes décès sont modélisés à partir de la table de mortalité TH00-02. Cette table fournit le taux décèsen fonction de l’âge de l’assuré. Les prestations de décès sont calculées par

prestation DC(t) = tx décès(t)× PMouverture(t)

Avec :• txdécèsi : le taux de décès fournit par la table pour l’année de projection i ;• PMouverturei la provision mathématique au 31.12.2017.

Le calcul des frais de gestion des contrats est déterminé à partir du nombre de décès chaque année :

nb décèsDC(t) = txdécès(t)× nb contratouverture(t)

Les prestations en cas de rachat structurelLe taux de prestation de rachat structurel est déterminé par un historique de données. Les prestationsen cas de rachat structurel sont calculées chaque année par :

prestation RS(t) = txRS montant(t)× PMouverture(t)

Avec : tx RSmontant(t) le taux de rachat structurel en montant de l’année t.

Jusqu’à présent, le projection de l’actif et du passif s’est réalisée de manière indépendante. Ladernière étape consiste à prendre en compte l’interaction entre l’actif et le passif pour déterminerl’engagement de l’assureur.

Mémoire I.S.F.A

4.3. LE MÉCANISME D’INTERACTION ENTRE L’ACTIF ET LE PASSIF 55

4.3 Le mécanisme d’interaction entre l’actif et le passif

4.3.1 Les rachats conjoncturels en fonction du taux servi

Les rachats conjoncturels dépendent du taux servi et du taux moyen des emprunts d’État.La détermination de la loi de rachats conjoncturels suit les mêmes orientations fournies par les ONC.Les paramètres sont les suivants :

Rachat conjoncturelα -5,00%β -1,00%γ 1,00%δ 3,00%

RCmin -5,00%RCmax 30,00%

Le taux de rachat est alors déterminé par :

Taux de rachat =

RCmax si txPB(t− 1)− TMEk(t) < α

RCmax ·txPB(t− 1)− TMEk(t)− β

α− βsi α < txPB(t− 1)− TMEk(t) < β

0 si β < txPB(t− 1)− TMEk(t) < γ

RCmin ·txPB(t− 1)− TMEk(t)− γ

δ − γsi γ < txPB(t− 1)− TMEk(t) < δ

RCmin si txPB(t− 1)− TMEk(t) > γ

Avec :

• txPB(t− 1) le taux de rémunération servi aux assurés à l’année t-1 ;• TMEk(t − 1) le taux attendu par les assurés, supposé égal au taux de marché des emprunts

d’État pour chaque scénario k à l’année t - 1.

Figure 4.4 – La loi de rachats conjoncturels

Chaque année, l’assuré compare le rendement de son placement avec l’offre concurrentielle. Si sonplacement lui rapporte plus que le taux de marché, l’assuré a tout intérêt à le garder. Dans le cascontraire, il a intérêt à racheter son épargne pour l’investir dans un placement plus avantageux.


Le taux de rachat total pour l’année t et pour chaque scénario k est défini selon les règles fixéespar les ONC par :

tx rachat totalt,k = Min[1;Max[0, tx rachat structurelt,k + tx rachat conjoncturelt,k]

4.3.2 Le taux servi déterminé par l’ajustement actif-passif

La réallocation des actifsL’assureur doit chaque année couvrir son engagement à hauteur de 100%. Pour cela, il se fixe unevaleur de marché cible définie par :

VMcible = VMtotal av désin + Soldetrésorerie

Avec :VMtotal av désin la valeur de marché de l’actif avant la vente ou l’achat de nouveaux titres ;Soldetrésorerie : le solde de trésorerie composé des chargements sur l’encours dimiunés des pres-tations de rachats et de décès.

Chaque année, nous supposons que l’assureur se fixe l’allocation cible suivante :• 80 % dans des obligations ;• 15 % en actions ;• 5 % en immobilier ;

La valeur cible des obligations est déterminée par

VMOblig cible(t) = 80%× VMcible(t)

Les montants à investir sur les titres obligataires sont calculés à partir de la valeur de marché cible dela manière suivante :

Montant Obliginv(t) = Max[VM Obligcible(t)− VMtotal av inves(t); 0]

L’investissement se réalise dans des obligations de maturité 10 ans. Pour déterminer la quantité d’obli-gations à chaque nouvelle génération j, nous introduisons le coefficient cfin(t) déterminé de la manièresuivante :

cfin(t) =

0 si j - année d’évaluation < t1 si t = j = 0Montant ObliginvVMOblig cible(t)

si j - année d’évaluation = t

La valeur comptable et la valeur de marché après l’investissement des nouvelles obligations sont dé-terminées par :

V COblig ap aj(t) = cfin(t)× V COblig av aj(t)VMOblig ap aj(t) = cfin(t)× VMOblig av aj(t)

Pour la vente d’obligations, le taux de désinvestissement est déterminé par :

tx désin Oblig(t) = Min

[VM Obligcible(t)− VMtotal av inves(t)

VMtotal av inves(t); 0]

Mémoire I.S.F.A


De cette manière, la valeur comptable finale après l’ajustement réalisé entre l’achat et la vente detitres est déterminée par :

V Cap aj(t) = V Cav aj(t)× (1 + tx désin Oblig(t)) +Montant Obliginv(t))

Les plus ou moins-values réaliséesLes plus ou moins-values obligataires réalisées sur l’exercice proviennent de la vente des obligations.Elles sont déterminées par :

PMV LA(t) = [VM Obligav aj(t)− V C Obligtotal clô(t−1)]− [VM Obligcible(t)− V C Obligap aj(t)]

Les produits financiers des obligationsLes produits financiers des obligations se décomposent par les produits financiers issus de la tombéedes coupons et les plus ou moins-values réalisées. Les produits financiers sont également impactés parles dotations et les reprises de la provisions pour risque d’exigibilité. Ils sont déterminé par :

PFBrut(t) = Coupon(t) + PMV LA(t) +RC(t− 1)−RC(t) + PRE(t− 1)− PRE(t)

Avec :• RC : la réserve de capitalisation ;• PRE : la provision pour risque d’exigibilité.

La réserve de capitalisation est une réserve qui fait partie des fonds propres de l’assureur. Elle permetà l’assureur de se constituer une marge de solvabilité pour se couvrir des potentielles pertes financières.Dans le cas de réalisation de moins-values obligataires, l’assureur peut prélever ce montant dans laréserve de capitalisation.La provision pour risque d’exigibilité est quant à elle constituée dans le cas d’une moins-value netteglobale constatée sur l’ensemble des actifs hors obligataires.

La détermination de la provision pour participation aux bénéficesLa provision de participation aux bénéfices se décompose en deux types de provisions :

• la participation aux bénéfices minimales réglementaire ;• la participation au bénéfices discrétionnaire.

La première correspond à la participation aux bénéfices réglementaire minimale que doit reverserchaque année l’assureur. Elle doit être de 85% du résultat financier et de 90% du résultat technique.La deuxième participation aux bénéfices correspond à la part versée en supplément de la participationaux bénéfices minimale.


La participation aux bénéfices est déterminée par le schéma suivant :

Figure 4.5 – Le mécanisme de versement de la participation aux bénéfices

Le taux de revalorisation cibleLe taux de revalorisation cible est défini en fonction du taux de rémunération distribué l’année précé-dente et du taux de référence modélisé par le taux d’Emprunt d’État français à la clotûre de l’exercicenoté par TME(t− 1).L’assureur se fixe pour objectif de verser le taux de référence tout en restant dans un tunnel à 0,2 %.

[txPBnet(t− 1)− 0, 2; txPBnet(t− 1) + 0, 2]

Avec txPBnet(t− 1) le taux versé l’année précédente.Pour chaque scénario k, le taux et le montant de rémunération cibles sont calculés par :

txciblek(t) = Max[0;max[min(TMEk(t− 1); txPBnetk(t− 1) + 0, 2%); txPBNetk(t− 1)− 0, 2%]+txchg encoursi(t)Mt PBciblek(t) = [PMclôk(t− 1)−Rachatk(t)−Décèsk(t)]× txciblek(t)

La montant de la participation aux bénéfices distribuable correspond au montant de la participationau bénéfice réglementaire à laquelle s’ajoute la reprise pour participation aux bénéfices.

L’assureur a la possibilité d’attribuer aux assurés la participation aux bénéfices réglementaire dansun délai de 8 ans. Si cette dernière n’est pas directement versée aux assurés, elle est dotée à la pro-vision pour participation aux bénéfices (PPB). Lorsque les dotations durent plus de 8 ans elles sont« reprises » pour être versées aux assurés.

Ainsi, plusieurs cas de figure se présentent :

• dans le cas où la PB est immédiatement distribuée aux assurés, elle est incorporée dans laprovision mathématique de l’assureur ;• sinon, elle est dotée en PPB.

Mémoire I.S.F.A


Le mouvement de la PPB est schématisé de la manière suivante :

Figure 4.6 – Le mécanisme de versement de la participation aux bénéfices

Le montant de participation aux bénéfices est déterminé à l’issu des étapes et conditions présentéesdans ce schéma.Le taux de participation aux bénéfices est calculé par :

txPB(t) = Montant participation aux bénéficesPM − Prestations

Avec :1. PM : la provision mathématique en début d’année2. Prestations : les prestations de rachat et de décès de l’exercice

Les provisions mathématiques à la clôtureAprès avoir déterminé la provision pour participation aux bénéfices, nous pouvons en déduire laprovision mathématique à la clôture de l’exercice :

PMclô(t) = PMouverture(t)− prestationRS(t)− prestation DCt + PBservie(t)

Avec :• PMouverture(t) la provision mathématique d’ouverture en t ;• prestationRS(t) les prestations de rachat versées aux assurés sur l’année t ;• prestation DCt les prestations décès versées aux assurés sur l’année t ;• PBservie(t) la provision pour participation aux bénéfices servie à l’année t.

Chapitre 5

La sensibilité du Best Estimate à laprise en compte du risque de crédit

Nous présentons dans un premier temps les grandeurs choisies afin de mesurer l’impact de la priseen compte du risque de risque de crédit pour l’assureur vie.

5.1 Le choix d’indicateurs

5.1.1 Le Best EstimateLa meilleure estimation est calculée par la moyenne sur N scénarios des valeurs actualisées des flux

probables entrants et sortants futurs :

BEcentral = 1N

N∑k=1

tfin∑t=1

Flux Entrantsk(t)− Flux Sortantsk(t)(1 + rt,k)t

(5.1)

Avec :• rt,k le taux sans risque de l’année t pour le scénario k ;• Flux Entrantsk(t) : la somme des flux entrants sur l’exercice t et dans le scénario k ;• Flux Sortantsk(t) : la somme des flux sortants sur l’exercice t et dans le scénario k ;• N : le nombre de scénarios choisi ;• tfin : l’horizon de projection choisi qui dans notre cas est de 30 ans.

Le Best Estimate est calculé pour un portefeuille en run-off. Aucune prime future n’est prise en compte.Les flux entrants sont donc nuls.

Les flux sortants se définissent quant à eux par :• les prestations de rachat ;• les prestations de décès ;• les prélèvements sociaux ;• les frais ;• les commissions payées.

60

5.1. LE CHOIX D’INDICATEURS 61

Afin de connaître le nombre de scénarios suffisant pour obtenir un résultat stable, nous calculonsla provision Best Estimate pour un nombre de scénarios allant de 1 à 1000.

Figure 5.1 – La convergence du Best Estimate en fonction du nombre de scénarios

Le convergence s’observe à partir de 500 scénarios. 1000 scénarios est donc un choix satisfaisantpour l’obtention d’un résultat stable.

5.1.2 Les fonds propres prudentiels

Les fonds propres prudentiels se calculent à partir de l’excédent d’actif sur le passif de l’assureur.

Dans notre cas, ces derniers sont calculés à partir de différentes composantes :

• la valeur de marché de l’actif en représentation des fonds propres en fin d’année de projection ;• l’augmentation en capital qui doit être retirée des fonds propres puisque cette dernière n’est pasdisponible à la date d’évaluation ;• les impôts payés au cours de la projections ;• les frais financiers destinés à la gestion des actifs en représentation des fonds propres.

Les fonds propres sont ainsi déterminés à partir de la moyenne sur

FP = 1N

N∑k=1

[VMclô totale(tfin)

(1 + rtfin,k)t+tfin∑t=1

Impôts(t) + Frais(t)−AugCapital(t)(1 + rt,k)t

](5.2)

Avec :

• tfin l’horizon de projection fixé à 30 ans ;• N le nombre de scénarios ;

L’augmentation en capital est déterminé de manière à ce que les fonds propres ne puissent pas des-cendre en-dessous d’un certain seuil au cours de la projection. Ce seuil est fixé par hypothèse à 200000 000.Chaque année, le niveau de fonds propres est déterminé par le niveau de la réserve de capitalisationet du résultat de l’exercice après impôts 1.

1. Le résultat de l’exercice est présenté dans la partie consacrée à la PVFP

62CHAPITRE 5. LA SENSIBILITÉ DU BEST ESTIMATE À LA PRISE EN COMPTE DU

RISQUE DE CRÉDIT

Nous supposons dans notre cas que la marge de risque associée aux flux non-réplicables est négli-geable. Par l’équilibre du bilan prudentiel, il en vient que :

VM = FP +BE

Avec :• FP la moyenne des fonds propres sur les 1000 scénarios ;• BE le Best Estimate calculé sur 1000 scénarios ;• VM la valeur de marché de l’actif ;La différence entre la valeur de l’actif et la somme de la provision Best Estimate et des fonds

propres peut mener à un écart de convergence.

Cet écart (ou fuites de modèles) peut provenir de plusieurs phénomènes :

• des écarts liés aux modèles (erreur de calcul, d’arrondis...) ;• des écarts de convergence stochastiques, lié aux nombres de scénarios utilisés ;

Cet écart constaté crée une source ou une perte de valeurs qui doit être pris en compte dans lameilleure estimation de la provision. Le règlement délégué préconise de retenir la valeur la plus élevéede la meilleure estimation.

Ainsi :• si l’écart de convergence est positif, il est incorporé au BE• si l’écart de de convergence est négatif, il diminue les fonds propres.

5.1.3 La Present Value Of Future Profits : une grandeur en lien avec le BestEstimate

Pour mettre en évidence l’impact de la prise en compte du risque de crédit, nous avons choisid’étudier un indicateur de rentabilité : la Present Value Of Future Profits (PVFP).

La PVFP représente la valeur actuelle des profits ou pertes futurs, nets d’impôt de l’assureur jus-qu’à l’extinction de son portefeuille.Elle se détermine à chaque pas de temps et dans chaque scénario par :

PV FPt,k = Bénéfices/pertes techniquet,k(1 + rt,k)t

Les bénéfices ou pertes réalisés correspondent au résultat réalisé par l’assureur dans chaque exercice.Le résultat est déterminé à partir du compte financier et du compte de gestion :

Les variables entre parenthèses signifient que les grandeurs sont inscrites en négatif.

Cette grandeur permet de mettre en évidence la part qui reste à l’assureur à chaque fin d’année, unefois ses engagements honorés.

Mémoire I.S.F.A

5.2. LA SENSIBILITÉ DE L’ENGAGEMENT DE L’ASSUREUR AVEC LA PRISE EN COMPTEDU RISQUE DE CRÉDIT PAR LE MODÈLE CIR 63

La valeur de marché des actifs représentative des engagementsLa valeur de marché de l’actif en représentation des engagements de l’assureur peut être déterminéeà partir du taux de plus ou moins-values de l’actif de l’assureur. Le taux de plus ou moins-values secalcule par :

txPMV L = VM

V C− 1

Avec :• VC la valeur comptable des obligations, des actions et de l’immobilier détenus par l’assureur• VM leur valeur de marché ;

La valeur de marché représentative de l’engagement de l’assureur est déterminée par :

VMengagement = Provisions× (1 + txPMV L)

Le lien entre le BE et les PVFPLa PVFP est déterminée au même titre que le BE à chaque pas de temps et dans chaque scénario.La PVFP finale correspond à la moyenne sur les 1000 scénarios de la somme des bénéfices ou pertesprojetés sur une horizon de 30 ans :

PV FP = 11000

1000∑k=1

30∑t=1

résultatst,k(1 + rt,k)t

Il en vient par l’équilibre en actif et passif :

VMengagement +Augmentation capital = BE + PV FP

Des écarts de convergences peuvent être déterminés également à partir de cette égalité.

Ces grandeurs sont par la suite calculées avec et sans prise en compte du risque de crédit.

5.2 La sensibilité de l’engagement de l’assureur avec la prise encompte du risque de crédit par le modèle CIR

Nous réalisons le calcul du Best Estimate, des fonds propres et de la PVFP dans les deux cassuivants :• sans la prise en compte d’un risque de crédit ;• avec la modélisation de la volatilité des spread de crédit par le modèle CIR.

Le modèle CIR est calibré en univers risque-neutre comme présenté précédemment.


RISQUE DE CRÉDIT

Les données initialesLa stratégie d’investissement des actifs est fixée tout au long de la projection par :

Composition ProportionObligations 80%Actions 15%

Immobiliers 5%

Le passif se compose des provisions mathématiques (PM) évaluées à 7 776 K , de la réserve de capi-talisation qui représente 0,8% des PM et de la provisions pour risque d’exigibilité composée de 1,76%des PM.

La présentation des résultats

Figure 5.2 – L’évaluation du Best Estimate avec prise en compte du modèle CIR

La prise en compte du risque de crédit par le modèle CIR augmente le Best Estimate de l’assureur.Cette augmentation est évaluée à 0,04%.Le risque de crédit a pour effet de diminuer les fonds propres de l’assureur de 0,5%.

Les écarts constatés sur le BE sont négligeables. La prise en compte du risque de crédit impactede manière plus importante les fonds propres que le Best Estimate de l’assureur. En modélisant unrisque de crédit pour les obligations risquées, les plus-values réalisées sur les obligations tendraient àdiminuer ce qui reviendrait à diminuer les bénéfices de l’assureur. Ce raisonnement est conforté parles résultats suivants :

L’augmentation en capital traduit le fait que l’assureur demande à ses actionnaires des ressourcessupplémentaires pour faire face à un insuffisance de fonds propres prudentiels.

La demande de ressources de l’assureur est plus importante avec un modèle de risque de crédit.Les bénéfices réalisés sont également moins importants. Le coût des options et des garanties est isolépar différence entre le BEstochastique et le BEdéterministe. La prise en compte d’un modèle de risque decrédit augmente le coût des options et des garanties de 2% pour l’assureur. L’écart est plus importantque sur le BE car elle permet de mieux isoler l’effet volatilité.

Mémoire I.S.F.A


L’analyse des résultatsAu vu de nos résultats, la prise en compte du risque de crédit a augmenté le coût des options et de

des garanties de l’assureur et diminué ses fonds propres. Les variations constatées reste relativementfaibles. Les pertes liées à la prise en compte de ce risque se font plus ressentir sur les fonds propresque sur les engagements de l’assureur.

Ces résultat peut s’expliquer par plusieurs facteurs :• Le contexte de marché actuel

Comme nous l’avons mentionné dans l’étape de calibrage du modèle CIR, la volatilité des spreadconstatée en cette période de taux particulièrement bas est très faible. Actuellement le risque dedéfaut des entreprises corportate est très peu rémunéré.

Figure 5.3 – L’historique des taux de défaut par rating estimé par Moody’s

Depuis 4 ans, aucune entreprise notée du AA à BBB n’a fait défaut. Une interprétation écono-mique possible est qu’en période de taux historiquement bas, les taux d’intérêts des obligationssont plus faibles, ce qui tend à améliorer la capacité des sociétés émettrice à honorer leur dette.Elles remboursent plus facilement par exemple un taux d’intérêt à 1% plutôt qu’un taux d’intérêtà 3%.Les mouvements de spread de crédit dû à un risque de défaut sont donc quasiment inexistants.

Le calibrage effectué en univers risque-neutre génère une situation de marché actuelle. Les spreadissus de nos scénarios sont très peu volatils ce qui tend à diminuer l’impact sur le coût des optionset des garanties et donc sur le BE.

Tel qu’il a été réalisé, le calibrage en univers risque-neutre ne permet pas d’anticiper une haussepotentielle de la volatilité des spread de crédit.

La période de taux bas commence à s’inscrire dans le temps, ce qui peut présumer d’un re-tournement de situation.Comme vu précédemment, il existe une corrélation entre les spread de crédit et la performancedes actions.


RISQUE DE CRÉDIT

Le graphique suivant représente l’évolution de la volatilité des actions avec la volatilité desspread.

Figure 5.4 – La lien entre la volatilité des actions et la volatilité des spread de crédit

En période de risqué élevé, la volatilité des spread de crédit tend à évoluer de manière semblableà la volatilité des actions.Lorsque les obligations portent un risque de défaut important, l’investisseur augmente son risquede ne pas percevoir sa rémunération. Ce dernier est d’autant plus grand que la valeur du recou-vrement de la dette est faible. En investissant dans des actions, l’investisseur perçoit égalementle risque de ne pas percevoir sa rémunération.

Le même graphique est repris sur les périodes actuelles :

Figure 5.5 – Zoom sur un historique plus récent

Mémoire I.S.F.A


Deux points importants peuvent être soulevés de ce graphique :

• les volatilités des spread de crédit des obligations A et BBB sont très faibles depuis le débutde l’année 2017 ;

• la volatilité des actions a augmenté de 5% depuis le début de l’année 2018 alors que lavolatilité des spread de crédit est toujours aussi plate.

Si la volatilité des spread de crédit continue à évoluer comme la volatilité des actions - et ce,depuis plus de 10 ans -, on s’attend à qu’elle augmente prochainement.

• La stratégie d’investissementDans le cadre d’un contrat fond euros, nous modélisons un portefeuille relativement bien sécu-risé en investissant dans les obligations les mieux notées. Le choix d’investir dans des obligationsde type « High Yield » 2, plus risquées et plus volatiles par exemple aurait eu un impact plusimportant sur le passif de l’assureur.

• La modélisation de l’interaction entre l’actif et le passifUne des stratégies de l’assureur en termes de gestion actif-passif est d’avoir un bon adossemententre ses flux entrants et ses flux sortants. Cette stratégie est une stratégie d’investissementdans la durée, de type « buy and hold » : l’assureur tend à garder ses obligations en portefeuillejusqu’à leur échéance.Les pertes dues à la prise en compte du risque de crédit se modélisent lorsque l’assureur réalisedes pertes en vendant ses obligations en portefeuille.Dans notre cas, la duration du passif est de 10 ans. Ce dernier est bien adossé par le choix d’unportefeuille d’obligations de maturité 5 à 7 ans et d’un réinvestissement dans des obligations dematurité 10 ans.La part de ventes obligataires est minimisée par cette stratégie de gestion.

• La réalisation des objectifs de revalorisation par l’écoulement de la réserve de capi-talisationLa proportion de ventes d’obligations est restée relativement semblables avec et sans prise encompte du modèle de risque de crédit puisque l’allocation d’actif reste la même tout au longde la projection. En revanche, les moins-values réalisées sur les titres obligataires ont augmentées.

Comme vu précédemment dans la présentation du modèle d’interaction actif-passif, les produitsfinanciers obligataires sont calculés à partir des plus-values réalisées sur les obligations et dela dotation de la réserve de capitalisation. Les moins-values réalisées sur les obligations sontcompensées par la réserve de capitalisation.Les produits financiers sont donc au global que faiblement impactés ce qui permet à l’assureurde servir un taux de revalorisation en lien avec ses objectifs cibles. La réserve de capitalisationfait partie des fonds propres de l’assurer. En modélisant un risque de crédit, l’assureur compenseses pertes en se servant dans la réserve de capitalisation, ce qui vient à diminuer directement sesfonds propres dans le cas où la réserve de capitalisation est positive.

2. Les obligations « High Yield » sont des obligations émises par des sociétés de notation inférieure à BBB-


RISQUE DE CRÉDIT

Figure 5.6 – La moyenne des plus ou moins-values réalisées avec et sans spread de crédit

Figure 5.7 – L’écart de réserve de capitalisa-tion avec et sans spread de crédit, en moyenneau court de la projection

La prise en compte du risque de crédit par le modèle CIR impacte de manière négligeable le Best Esti-mate de l’assureur dû principalement à une faible volatilité des spread modélisée et à la compensationdes pertes par l’écoulement de la réserve de capitalisation.

5.3 La sensibilité de l’engagement de l’assureur avec la prise encompte du risque de crédit par le modèle JLT

Nous présentons dans cette partie les résultats obtenus avec la modélisation du risque de créditpar le modèle JLT. Les hypothèses d’allocations d’actifs restent inchangées.

Pour rappel, le calibrage a été réalisé sur la courbe des spread de crédit reconstruite au 31.12.2017à partir d’un portefeuille d’obligations. Cette courbe a été reconstruite de manière à retrouver unevolatilité historique des spread.

La présentation des résultatsNous réalisons le calcul du Best Estimate dans les deux cas suivants :• sans la prise en compte d’un risque de crédit ;• avec la modélisation de la volatilité des spread de crédit par le modèle JLT.

Figure 5.8 – L’évaluation du Best Estimate avec prise en compte du modèle JLT

La sensibilité de l’engagement de l’assureur est légèrement plus importante avec la prise en comptedu risque de crédit par le modèle JLT. En effet, le modèle JLT a été calibré de manière à capter une

Mémoire I.S.F.A

5.4. LA SENSIBILITÉ DE L’ENGAGEMENT DE L’ASSUREUR À LA VOLATILITÉ DESPREAD DE CRÉDIT HISTORIQUE 69

volatilité historique des spread. Les scénarios de spread étant plus extrêmes, les pertes constatées sontplus importantes.

Figure 5.9 – L’évaluation du coût des options et des garanties avec prise en compte du modèle JLT

Le coût des options et des garanties augmentent avec la volatilité des spread de crédit.Les pertes réalisées sur les obligations sont compensées par la réserve de capitalisation, ce qui tend àdiminuer les fonds propres et limiter l’impact sur les bénéfices réalisés.

5.4 La sensibilité de l’engagement de l’assureur à la volatilité despread de crédit historique

La répartition des spread de crédit obtenue par le modèle CIR et le modèle JLT suit une loi du χ2

centrée sur le niveau de spread moyen.

Nous montrons à titre d’exemple la répartition des spread de crédit des obligations BBB issus dumodèle CIR :

Figure 5.10 – La répartition des spread de crédit des obligations BBB du modèle CIR

Losque le degré de liberté est suffisamment grand, la loi du χ2 peut être approximée par une loinormale. Une proposition de modèle plus simple serait alors de simuler des spread de crédit à partird’une loi normale.Ce modèle très simplifié est facile en termes d’utilisation et d’implémentation. La moyenne et lavolatilité peuvent être choisies à partir de données historiques.


RISQUE DE CRÉDIT

Cette modélisation permet également de se placer selon un approche prudente. En calibrant à partird’un historique, l’assureur anticipe dans le calcul de ses engagements, des scénarios de risque de créditextrêmes qui se sont déjà produit auparavant. En comparaison du calibrage effectué pour le modèleCIR en univers risque-neutre, l’assureur n’anticipe pas, par exemple une hausse potentielle du risque decrédit dans son calcul du Best Estimate car la volatilité de spread de crédit est actuellement très faible.

Cette méthode est mise en place pour chaque classe de notation de notre portefeuille.Le calibrage est effectué à partir des indices iBoxx des obligations corporate et de l’indice iBoxx desobligations souveraines de la zone euro notées AAA.

Moyenne VolatilitéAAA 0,41% 0,30%AA 0,55% 0,21%A 0,84% 0,29%

BBB 1,41% 0,59%

Les résultats obtenus sont les suivants :

Figure 5.11 – L’évolution du BE et des FP de l’assureur avec prise en compte d’une volatilité desspread historique

L’écart obtenu est d’autant plus important que la volatilité des spread de crédit est importante.

Figure 5.12 – Le coût des options et des garanties augmenté par la volatilité des spread de crédit

L’approche la plus simple et la plus prudente qui consiste à modéliser directement les spread decrédit selon leur volatilité historique a un impact non négligeable sur les fonds propres de l’assureur.La volatilité des spread de crédit diminue les fonds propres de l’assureur de 3%. Le coût des optionset des garanties augmentent de 3%. L’assureur diminue ses bénéfices espérés sur l’année de projectionde 2%. L’impact sur le Best Estimate reste cependant négligeable : l’assureur écoule ses réserves pourcontinuer à revaloriser ses contrats avec ses objectifs fixés.

Mémoire I.S.F.A

5.5. LA SENSIBILITÉ DU BEST ESTIMATE AU RISQUE DE CRÉDIT AVEC UNCHANGEMENT D’ALLOCATION D’ACTIFS 71

La sensibilité de l’engagement de l’assureur au risque de crédit a été mis en évidence à travers plusieursmodèles modélisant un niveau de volatilité différent selon le calibrage effectué.

L’impact du risque de crédit sur le Best Estimate de l’assureur est négligeable. Les fonds propressont quant à eux diminués de manière non négligeable par la prise en compte des spread de crédit.Les fonds propres sont d’autant plus sensibles au risque de crédit que la volatilité des spread est im-portante. L’écart obtenu entre les différents modèles provient essentiellement de la différence de lavolatilité des spread de crédit générés.

5.5 La sensibilité du Best Estimate au risque de crédit avec unchangement d’allocation d’actifs

Plusieurs questions peuvent sous-tenir l’analyse des résultats obtenus. Par exemple, quel seraitl’impact de la prise en compte du risque de crédit si le portefeuille d’actif contenait plus d’obliga-tions ? L’impact du risque de crédit serait-il mieux mesuré sur le Best Estimate si les réserves decapitalisation étaient moins importantes ?

Nous choisissons alors de compléter l’analyse par un changement d’allocation d’actif de l’assureur.La proportion d’obligations est augmentée de la manière suivante :

Composition ProportionObligations 95%Actions 5%

La réserve de capitalisation est également diminuée de moitié et représente 0,4% des PM.

Les résultats obtenus avec le modèle CIRNous présentons dans le tableau suivant la comparaison des écarts obtenus sur le Best Estimate et lesfonds propres avec et sans prise en compte du risque de crédit par le modèle CIR :

Figure 5.13 – Les écarts de BE et de FP entre l’ancienne et la nouvelle allocation

La prise en compte du risque de crédit se mesure de manière légèrement plus significative avecla nouvelle allocation d’actifs. La risque de crédit se mesure essentiellement sur les fonds propres del’assureur. L’écart des fonds propres obtenus avec et sans prise en compte d’un modèle CIR devientplus importante et s’estime à 1%.

L’analyse suit les mêmes logiques précédentes : l’assureur continue à se servir dans ses fonds proprespour pouvoir honorer ses engagements envers ses assurés.


RISQUE DE CRÉDIT

Le Best Estimate est resté relativement stable avec le changement d’allocation d’actifs.Cela peut venir de la compensation de deux effets :• d’une augmentation du coût des options et des garanties : en investissant une part plus impor-tante dans des obligations, l’assureur augmente ses produits financiers par des flux de couponsplus importants. En réalisant plus de produits financiers, l’assureur sert plus aux assurés ce quia pour effet d’augmenter ses engagements.• d’une diminution du coût des options et des garanties dû à une faible volatilité des actifs.

Les résultats obtenus avec le modèle JLTNous réalisons la même étude avec le modèle JLT :

Figure 5.14 – Les écarts de BE et de FP entre l’ancienne et la nouvelle allocation

La nouvelle allocation permet de prendre en compte une part de moins-values réalisées sur les obli-gations plus importante. C’est pourquoi l’impact sur les fonds propres est légèrement plus significatif.

Selon l’approche la plus simple et la plus prudente qui consiste à modéliser les spread de créditpar une loi normale calibrée selon des paramètres historiques, l’impact sur les fonds propres est plusimportant.La prise en compte des scénarios de spread de crédit les plus extrêmes diminue les fonds propres del’assureur de 4%.

Mémoire I.S.F.A

ConclusionL’existence des options et des garanties offertes sur les contrats d’épargne en euros nécessite pour

l’assureur de prendre en compte le risque de crédit dans le processus de valorisation de son passif.Ces options et ces garanties dépendent directement de la volatilité des actifs de l’assureur constituésmajoritairement d’obligations.

Ce mémoire a eu pour objectif de développer plusieurs méthodes de prise en compte du risque decrédit associé aux obligations coporate.L’étude s’est orientée sur deux modèles à intensité de défaut permettant de modéliser la volatilité desspread de crédit des obligations coporate.Le premier modèle classique de modélisation de taux de Cox-Ingersoll-Ross a été sélectionné pournotamment :• la positivité des spread générés ;• l’effet de vitesse de retour à la moyenne des spread ;• l’expression des spread de crédit par une formule fermée.

L’étude des hypothèses de ce modèle a permis de mettre en évidence ses limites et de proposer un axed’amélioration à chacune d’entre elles.Pour pallier notamment la non prise en compte du changement possible de notation, le modèle deJarrow-Landon-Turnbull a été implémenté.La mise en place d’une corrélation linéaire des spread de crédit a permis de modéliser également unedépendance entre les spread de crédit de notation différente.

L’étape de calibration en univers risque-neutre s’est appuyée sur différentes méthodes afin de re-construire une courbe de spread constatée à la date de valorisation. Les produits de dérivés de créditont également été utilisés pour calibrer le modèle de Cox-Ingersoll-Ross.Cette étape a permis d’aborder certains problèmes de mesure des spread de crédit lié notamment à ladifficulté d’isoler le véritable contenu informationnel du spread de crédit et également des différentsécarts possibles suivant les taux utilisés. Les différents calibrages obtenus ont également permis d’éva-luer la sensibilité de la volatilité des spread de crédit aux différents paramètres des modèles.

L’étude s’est achevée sur la sensibilité du Best Estimate de l’assureur avec la prise en compte durisque de crédit à partir de ces deux modèles.

Il ressort de cette étude une augmentation du Best Estimate de l’assureur avec la prise en compte durisque de crédit. Cette augmentation est d’autant plus significative que la volatilité des spread est im-portante. L’écart constaté reste cependant négligeable. Le calibrage effectué en univers risque-neutregénère une situation représentative du marché actuel où les taux de défaut sont au plus bas. Ce choixde calibrage ne permet pas d’anticiper une hausse de la volatilité des spread de crédit qui, dans lecontexte d’annonce de remonté des taux, pourrait être envisagée.

Une meilleure prise en compte de l’impact de scénarios extrêmes d’écartement des spread a alorsété proposé à partir d’un modèle simplifié, calibré sur un historique de volatilité.Par cette approche prudente, la prise en compte du risque de crédit diminue les fonds propres del’assureur de manière significative.

73


RISQUE DE CRÉDIT

La modélisation du risque de crédit peut avoir alors un effet non négligeable sur le passif de l’assureur.Cet effet se mesure essentiellement à partir de pertes constatées sur les fonds propres.

Le changement d’allocation d’actif de l’assureur a permis de mesurer de manière plus importantela prise en compte du risque de crédit. La modification de certaines clauses contractuelles (augmen-tation du TMG, de la participation aux bénéfices...) aurait également pu accroître les écarts obtenusavec et sans prise en compte du risque de crédit.

Enfin, l’étude pourrait s’étendre à l’analyse de la sensibilité d’autres indicateurs au risque de cré-dit tels que le ratio de solvabilité ou le SCR.Une évolution complémentaire de l’outil d’interaction actif-passif pourrait également être proposéedans le choix d’investissement dans des obligations risquées. Par exemple avec le modèle de Jarrow-Landon-Turnbull, le portefeuille obligataire pourrait être réinvesti en fonction des probabilités dechangement de notation issues des matrices de transitions.L’implémentation d’un modèle de risque de crédit pourrait également être envisagée dans d’autrescadres opérationnels afin de déterminer par exemple un Besoin Global de Solvabilité plus précis dansle cadre de l’ORSA.

Mémoire I.S.F.A

Liste des abréviations, des sigles et dessymbôles

ACPR : Autorité de Contrôle Prudentiel et de Résolution

ALM : Interaction actif-passif

BE : Best Estimate

CDO : Collaterized Debt Option

CDS : Dérivés de Crédit

CIR : Cox-Ingersoll-Ross

FP : Fonds Propres

GSE : Générateur de Scénarios Économiques

JLT : Jarrow-Lando-Turnbull

LGD : Taux de pertes en cas de défaut

ONC : Orientations Nationales Complémentaires

ORSA : Own Risk and Solvency Assessment

PB : Participation aux Bénéfices

PVFP : Present Value of Future Profits

R : Taux de recouvrement

RC : Réserve de capitalisation

SCR : Solvency Capital Requirement

TME : Taux Moyen des emprunts d’État

TMG : Taux Minimum Garanti

TS : Taux Servi

VM : Valeur de marché

VC : Valeur comptable

75

Annexes

Annexe A : La reconstruction des courbes de spread des obligationsnotées de AAA à A par rapport aux courbes de références par lemodèle CIR

Figure 5.15 – La reconstruction de la courbe des spread AAA à t=0 par le modèle CIR

Figure 5.16 – La reconstruction de la courbe des spread AA à t=0 par le modèle CIR

76

5.5. LA SENSIBILITÉ DU BEST ESTIMATE AU RISQUE DE CRÉDIT AVEC UNCHANGEMENT D’ALLOCATION D’ACTIFS 77

Figure 5.17 – La reconstruction de la courbe des spread A à t=0 par le modèle CIR

Annexe B : Les formules du modèle de Vasicek à deux facteursLe prix des zéro-coupon de maturité T à la date t est calculé à partir de la formule suivante :

P (t, T ) = exp(A(T − t)−B1(T − t)× rt −B2(T − t)×mt)

avec :

• B1(T − t) = 1−e−α1(T−t)

α1

• B2(T − t) = α1α1−α2

(1−e−α2(T−t)

α2− 1−e−α1(T−t)

α1

)• a = µ− σ2

12α2

2

• b = σ21B1(T−t)2

4α1

• c = T−tα2

2

• d = 2B1(T−t)+B2(T−t)α2

2

• e = 1−e−2α1(T−t)

2α1(α1−α2)2

• f = 2α1(1−e−(α1+α2)(T−t))α2(α1−α2)2(α1+α2)

• g = α21(1−e−2α1(T−t))2α3

2(α1−α2)2

• A(T − t) = a · (B1(T − t)− (T − t)) + µ ·B2(T − t)− b+ σ222 (c− d+ e− f + g)

Bibliographie

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