Polycopie RDM II Licence 2 Genie Civil Harichan Z

Ministre de lEnseignement Suprieur et de la Recherche Scientifique

Universit Hassiba Benbouali de Chlef

Facult de Gnie Civil et dArchitecture Dpartement de Gnie Civil

Polycopi de

Ralis par

Pr. Zamila HARICHANE

Mars 2013

Rsistance des Matriaux

RDM-II

RDM-I

- i -

Prface La dfinition de la rsistance des matriaux, tant donne dans la premire partie dsigne

Polycopi de Rsistance des Matriaux I . Les objectifs de la RDM ainsi que la statique y sont fixs.

Dans la prsent polycopi intitul Polycopi de Rsistance des Matriaux II , qui sadresse galement aux tudiants de deuxime anne LMD en Gnie Civil et les lves ingnieurs des coles prparatoires, laccent est mis sur le dimensionnement des lments dune structure soumis aux sollicitations simples et composes de sorte permettre ltudiant de dimensionner tous types dlments de structures isostatiques simples raliss en bois, en acier ou en bton.

Il est rdig de manire simplifie et beaucoup dexemples sont introduits aprs avoir donn des notions afin que ltudiant puisse assimiler le contenu du cours et ait une vision claire de son application dans la vie courante. Des problmes sont accompagns de leurs

solutions et la fin de chaque chapitre des exercices sans solutions sont donns pour que

ltudiant sy entraine.

Ce polycopi est divis en cinq chapitres. Le contenu du premier chapitre concerne le

calcul des caractristiques gomtriques dune section plane. En effet, pour une sollicitation de traction ou compression simple, seule la donne de l'aire de la section droite

est ncessaire pour tudier ou vrifier la rsistance dune section dune poutre par exemple. Tandis que pour tous les autres types de sollicitations, la forme et les dimensions de la

section droite de la poutre jouent un rle prpondrant sur le comportement aux diffrentes

sollicitations de torsion ou de flexion.

Dans le deuxime chapitre, ltudiant se familiarise avec les notions de sollicitation simple, de diagramme defforts intrieurs, de section dangereuse, de contrainte et enfin de dimensionnement. Il sagit du dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion simples.

Le troisime chapitre fait une entre en sollicitations composes. On y aborde la flexion

compose, droite et gauche. Une mthodologie progressive est trace afin que ltudiant sentraine aux calculs et dimensionnement des poutres la rsistance tout en sachant manipuler des quations un peu plus complexes.

Ayant pris connaissance du calcul des contraintes dans les cas de sollicitations simples et

composes, ltat de contrainte, dabord gnral puis en plan, est abord au chapitre quatre. Ce chapitre permettra ltudiant de manipuler le cercle de Mohr dans la dtermination des contraintes principales ainsi que ltat de contrainte sur un plan inclin. Il permettra galement de dterminer la contrainte qui servira au dimensionnement en cas de

sollicitation compose.

Le cinquime et dernier chapitre est consacr un autre type de sollicitation pour

ltudiant. Il concerne le flambement des barres et poutres lances. En effet, dans le cas du flambement, les dformations ne peuvent plus tre supposes infiniment petites et

ngliges comme dans les chapitres prcdents. De mme, les forces extrieures ne sont

plus proportionnelles aux dformations. Pour tudier le flambage, il faut tenir compte de la

dformation de llment considr et de ce fait abandonner une des hypothses fondamentales de la RDM.

- ii -

Table des Matires Page

Chapitre 1

Caractristiques Gomtriques des

Sections Planes

1.1. Introduction 2

1.2. Aire dune section 2

1.3. Moment statique 4

1.4. Centre de gravit 5

1.5. Moment dinertie 8

1.5.1. Dfinition 8

1.5.2. Moment dinertie polaire 10

1.6. Variations des moments dinertie 11

1.6.1. Translation des axes 11

1.6.2. Rotation des axes 13

1.7. Module de rsistance 17

1.8. Rayon de giration 17

1.9. Conclusion 18

Exercices 19

Chapitre 2

Dimensionnement des Poutres Droites

Isostatiques Sollicites en Flexion Simple

2.1. Systme isostatique, systme hyperstatique, mcanisme 23

2.2. Dfinition 23

2.3. Efforts tranchants, moments flchissants 25

2.4. Diagrammes des Efforts tranchants et des moments flchissants 26

2.5. Relation entre moment flchissant et effort tranchant 28

- iii -

2.6. Relation entre effort tranchant et chargement rparti 29

2.7. Dforme d'une poutre soumise la flexion simple (flche) 31

2.8. Calcul des contraintes 32

2.8.1. Cas de la flexion pure 32

2.8.2. Cas de la flexion simple 37

Exercices 47

Chapitre 3

Dimensionnement des Poutres Droites Isostatiques Sollicites en Flexion Compose

3.1. Introduction 50

3.2. Flexion droite compose 50

3.2.1. Dfinition 50

3.2.2. Calcul des contraintes 50

3.2.3. Position de laxe neutre et noyau central 51

3.3. Cas particulier: Traction (ou compression) droite excentre 52

3.4. Flexion compose oblique 52


3.4.2. Position de laxe neutre 54

3.5. Cas particulier: Traction (ou compression) gauche excentre 54


3.5.2. Position de laxe neutre 55

3.6. Calcul la rsistance 57

Exercices 67

- iv -

Chapitre 4

Etats de Contraintes

4.1. Etat de contrainte en un point 71

4.2. Etat de contrainte plan 73

4.2.1. Dfinition 73

4.2.2. Convention de signe 73

4.2.3. Contraintes sur un plan inclin 76

4.3. Cercle de Mohr 77

4.4. Contraintes principales 81

Exercices 88

Chapitre 5

Flambement des Poutres Droites

5.1. Introduction 91

5.2. Dfinition 91

5.3. Charge critique dEuler 91

5.4. Influence des liaisons aux appuis 95

5.5. Contrainte critique dEuler 97

5.6. Critres de dimensionnement 99

Exercices 103

Rfrences Bibliographiques

107

Annexe 1.1

110

Annexe 1.2 114

- v -

Liste des Figures Fig. 1.1- Section plane. 4

Fig. 1.2- Translation des axes. 4

Fig. 1.3- Aire rectangulaire. 5

Fig. 1.4- Aire triangulaire. 5

Fig. 1.5 Moment quadratique dune section. 8

Fig. 1.6 Moment dinertie dune section et translation des axes. 12

Fig. 1.7- Schmatisation du thorme de Huygens. 12

Fig. 1.8- Moment dinertie dune section et rotation des axes. 14

Fig. 1.9- Cercle de Mohr. 16

Fig. 2.1- Exemples de Poutres: (a) isostatiques, (b) hyperstatiques,

(c) mcanismes.

23

Fig. 2.2- Courbure dune poutre. 24

Fig. 2.3- poutre en flexion simple. 24

Fig. 2.4- Exemple illustratif dune poutre sollicite en flexion simple. 25

Fig. 2.5- Conventions de signe. 26

Fig.2.6- Elment de poutre isol non charg. 28

Fig.2.7- Elment de poutre isol charg par une force uniformment rpartie. 29

Fig.2.8- Elment de poutre isol charg par une force concentre. 31

Fig.2.9- Poutre dforme. 31

Fig.2.10- Exemples de sections usuelles. 32

Fig. 2.11- Illustration de la flexion pure: (a) poutre en flexion pure, (b) tronon de

poutre en flexion pure. 33

Fig.2.12- Contrainte dans une fibre dforme. 33

Fig.2.13- Dformations dans une poutre flchie. 35

Fig.2.14- Distribution des contraintes dans une section dune poutre en flexion pure.

35

Fig.2.15- Tronon de poutre non charg longitudinal (a), transversal (b). 37

Fig.2.16- Exemples de distribution des contraintes tangentielles dans une section

de poutre en flexion simple. 38

Fig.2.17- Distribution des contraintes dans une section de poutre en flexion

simple. 40

49

- vi -

Fig. 3.1- Flexion droite compose.

Fig. 3.2- Distribution des contraintes normales dans le cas de la flexion droite

compose. 50

Fig. 3.3- Axe Neutre. 50

Fig. 3.4- Traction (ou compression) droite excentre. 51

Fig. 3.5- Flexion compose oblique. 52

Fig. 3.6- Distribution des contraintes tangentielle. 53

Fig. 3.7- Traction (ou compression) gauche excentre. 54

Fig. 3.8- Traction gauche excentre. 55

Fig. 3.9- Schmatisation de laxe neutre dans le cas dune traction gauche excentre.

56

Fig. 3.10- Schmatisation de laxe neutre dans le cas gnral de la flexion compose.

57

Fig. 3.11- Coordonnes des points les plus loigns de laxe neutre dans le cas gnral de la flexion compose.

58

Fig. 4.1- Etat de contrainte sur une facette.

70

Fig. 4.2- Etat de contrainte sur une facette. 71

Fig. 4.3- Reprsentation de ltat de contrainte en un point. 71

Fig. 4.4- Etat de contrainte plan. 72

Fig. 4.5- Etat de contrainte sur un plan inclin. 76

Fig. 4.6- Cercle de Mohr. 77

Fig. 5.1- Schmatisation du flambage.

91

Fig. 5.2- Poutre droite bi-articule en compression. 91

Fig. 5.3- Allures des dformes associes aux deux premires charges critiques. 94

Fig. 5.4- Influence de la forme de la section. 95

- vii -

Liste des Tableaux

Tableau 2.1- Exemples de valeurs du coefficient de forme K.

38

Tableau 5.1- Influence des liaisons aux appuis. 96

- viii -

Liste des Symboles Sx, Sy Les moments statiques dune section

XG, YG Coordonnes du centre de gravit

G Centre de gravit

Ix, Iy Moments dinertie axiaux

Ixy Moment dinertie centrifuge

Ip Moment dinertie polaire

Imax Moments dinertie axial maximal

Imin Moments dinertie axial minimal

Wmax Module de rsistance maximal

Wmin Module de rsistance minimal

ix, iy Rayons de giration

My, Mz Moments de flexion dans une section

Ty, Tz Efforts tranchants dans une section

Nx Effort normal dans une section

x Contrainte normale selon la direction x

xy, xz Contraintes tangentielles sur la facette de normale x

K Coefficient de forme dune section

Eq Contrainte normale quivalente

[] Contrainte normale admissible

[] Contrainte tangentielle admissible

f Flche dune poutre

Dformation angulaire dune poutre

yn, zn Coordonnes de laxe neutre

max Contrainte normale maximale

min Contrainte normale minimale

max Contrainte tangentielle maximale

min Contrainte tangentielle minimale

Contrainte normale sur les plans secondaires

p Direction dun plan principal

s Direction dun plan secondaire

v(x) Dforme dans un lment de structure due au flambement

E Module de Young

Pc Charge critique dEuler

- ix -

lf Longueur de flambement

c Contrainte critique dEuler

e Limite dlasticit

Llancement dune barre

c Llancement critique dune barre

s Coefficient de scurit

Chapitre 1

Caractristiques Gomtriques des Sections

Planes

Chapitre 1: Caractristiques gomtriques des sections planes

Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 2 -

1.1. Introduction

Pour une sollicitation de traction ou compression simple, seule la donne de l'aire de la

section droite est ncessaire pour tudier ou vrifier la rsistance dune section dune poutre par exemple. Pour toutes les autres sollicitations, la forme et les dimensions de la

section droite de la poutre jouent un rle prpondrant sur le comportement aux diffrentes

sollicitations de torsion ou de flexion. Nous allons nous intresser dans le prsent chapitre

aux caractristiques suivantes :

- Aire dune section

- Moment statique par rapport une droite (ou un axe)

- Centre de gravit

- Moment quadratique d'une section par rapport une droite (ou un axe)

- Moment de rsistance

1.2. Aire dune section

Par dfinition laire A dune section est dfinie par lintgrale:

A

dAA (1.1)

Exemple 1.1

Calculer laire dun triangle.

Solution 1.1

Soit la surface triangulaire plane montre par la figure ci-dessous.

Fig. E1.1

dA

dx

h-

(h/b

)x h

x

b



Considrons une surface lmentaire telle que:

dxb

x1hdA

2

bhdx

b

x1hdAA

b

0A

Remarque

Si la section est compose, nous la dcomposons en sections usuelles et laire est calcule comme:

n

1iiAA

Exemple 1.2

Calculer laire de la section droite de la poutre montre par la figure ci-dessous. On donne b1 = 300 mm, b2 = 150 mm, tw = 10 mm, tf1 = 20mm, tf2 = 15 mm, hw = 1000 mm.

Fig. E1.2

Solution 1.2

A = b1 x tf1 + b2 x tf2 + tw x hw

A = 300 x 20 + 150 x 15 + 10 x 1000 = 18250 mm2



1.3. Moment statique

Le moment statique S dune section par rapport un axe ox ou oy (Fig. 1.1) est donn par lune des expressions suivantes:

A

X ydAS (1.2)

A

Y xdAS (1.3)

Fig. 1.1- Section plane.

Si on procde des translations paralllement aux axes ox et oy, les moments statiques

changent. Soit la section montre par la figure (1.2) telle que SX, SY, A sont connus et on se

propose de dterminer SX et SY.

Fig. 1.2- Translation des axes.

x

y

O

dA

O x

y

a

b

Y Y

X

X

X

Y

O

dA (dS)

r

y

x



De la figure (1.2), on a:

x = x a ; y = y b

Par dfinition, on a:

AA

'X dAbydA'yS

AA

'Y dAaxdA'XS

do:

SX = SX b.A

(1.4)

SY = SY a.A (1.5)

1.4. Centre de gravit

On peut choisir a et b de sorte que SX et SY soient nuls, c--d :

a = SY /A ; b = SX /A

- laxe pour lequel le moment statique est nul sappelle axe central

- le point dintersection de deux axes centraux sappelle centre de gravit dune section.

Ainsi, les coordonnes du centre de gravit dune section scrivent :

xG = SY /A ; yG = SX /A (1.6)

Dfinition

Le centre de gravit G dune section est le point tel que le moment statique de la section par rapport nimporte quel axe passant par ce point est nul.

On peut dire que le moment statique dune section est gal au produit de laire de la section par la distance entre son centre de gravit G et laxe.

Les figures (1.3) et (1.4) montrent des exemples de positions de centres de gravit.

Fig. 1.3- Aire rectangulaire. Fig. 1.4- Aire triangulaire.

G G



Remarque

Pour une section compose, les coordonnes du centre de gravit sont donnes par les

expressions:

Sx = yGi.Ai ; i = 1, n

(1.7)

Sy = xGi.Ai ; i = 1, n (1.8)

Exemple 1.3

Dterminer les coordonnes du centre de gravit de la section triangulaire ci-dessous.

Fig. E1.3

Solution1.3

b

0

b

0

A

AG

xdxb

h

xdxb

hx

dA

xdA

X

Do

b3

2X G

b

0

b

0

A

AG

xdxb

h

xdxb

hx

b

h

2

1

dA

ydA

Y

x

y

x dx

b

h



Do

h3

1YG

Proprits

Si la section possde un axe de symtrie, le centre de gravit G est situ sur cet axe. A

dfaut daxes de symtrie on procde :

- Choisir un rfrenciel (O,x,y)

- Calculer le moment statique S de la section par rapport aux axes du rfrentiel

- Calculer laire totale de la section

- Utiliser la proprit du moment statique SY = XG .A , SX = YG .A

Exemple 1.4

Calculer les coordonnes du centre de gravit de la section plane suivante.

Fig. E1.4

Solution1.4

SX= 2,5(5x10)-4(2x3)-1,5(3x2) = 125-24-9 = 92cm3

SY=5(5x10)-1,5(2x3)-9(3x2) = 250-9-54 = 187cm3

XG = SY / A = 187/38 = 4,9cm

YG = SX / A = 92/38 = 2,4cm

8cm

3cm 7cm

3cm

2cm

2cm X

Y



1.5. Moment dinertie

1.5.1. Dfinition

On dfinit le moment dinertie ou moment quadratique dune section comme le degr de rsistance de cette section aux efforts extrieurs appliqus, en tenant compte de la forme

de cette section.

Par dfinition, les intgrales:

A

2

x dAyI (1.9)

A

2

y dAxI (1.10)

Sappellent moments dinertie de la section A par rapport aux axes ox et oy, respectivement, conformment la figure 1.1. Ces expressions sont dduites de la dfinition suivante.

Le moment dinertie dune surface infiniment petite par rapport un axe loign de cette surface est gal au produit de son aire par le carr de la distance laxe. Il est toujours positif et sexprime en m4(cm4, mm4).

Fig. 1.5 Moment quadratique dune section.

Lintgrale:

A

xy xydAI (1.11)

Sappelle moment centrifuge ou produit dinertie de la section A par rapport au systme xoy.

Iaa = dA. d2

a

dA

a

d



Remarque

Les moments quadratiques Ix et Iy sont toujours positifs, tandis que le moment produit Ixy

peut tre positif, ngatif ou nul.

Exemple 1.5

Calculer les moments quadratiques par rapport aux axes ox et oy et le moment produit pour le rectangle montr par la figure suivante.

Fig. E1.5

Solution 1.5

A

2

'x dA'yI

3

bh'dy.b.'yI

3H

0

2

'x

De la mme manire

3

hbdA'xI

3

A

2

'y

et

A

2

'y'x dA'y'.xI

H

0

B

0

22

'y'x4

hb'dy'.dx'.y'.xI

b

dA

h

dy

y G X

Y

O X

Y



1.5.2. Moment dinertie polaire

Le moment dinertie polaire de la section montre par la figure 1.1 est donn par la relation:

A

2

P dArI (1.12)

Avec

r2 = x

2 + y

2

do

yxP III (1.13)

Le moment dinertie polaire est toujours positif et nest jamais nul.

Thorme

Le moment dinertie polaire dune section par rapport tout point de cette section est gal la somme des moments dinertie par rapport deux axes perpendiculaires passant par ce point.

Exemple 1.6

Pour le quart de cercle montr par la figure (E1.6-a), calculer le moment quadratique

polaire IO.

Fig. E1.6-a

Fig. E1.6-b

Solution1.6

De la dfinition du moment dinertie polaire et la figure (E1.6-b) on crit:

A

2

A

2

O rdrdrdArI

x

O

y

dA

d

r

dr

R

x

O

y



8

RddrrI

42

0

R

0

3

O

ou en terme du diamtre

128

DI

4

O

1.6. Variations des moments dinertie

1.6.1. Translation des axes

Soit une section A, ses moments dinertie dans le systme xoy: Ix, Iy, Ixy sont connus. On se propose de calculer les moments dinertie de la section A dans le systme xoy en procdant aux translations des axes ox et oy conformment la figure 1.6.

x = x + a ; y = y + b

A

2

AA

2

A

2

A

2

'x

dAbydAb2dAy

dAbydA'yI

Do

AbbS2II 2xx'x (1.14)

On suit le mme raisonnement pour Iy et Ixy

Si le point O concide avec le centre de gravit G, les moments statiques Sx et Sy

deviennent nuls et on a:

AbII 2x'x (1.15)

AaII 2y'y (1.16)

abAII xy'y'x (1.17)



Fig. 1.6 Moment dinertie dune section et translation des axes.

Thorme de Huygens

Le moment dinertie dune section par rapport un axe quelconque est gal au moment dinertie de la section par rapport laxe passant par son centre de gravit et parallle augment du produit de laire de la section par le carr de la distance entre les deux axes.

Fig. 1.7- Schmatisation du thorme de Huygens.

AdII 2G (1.18)

A

d

G

G

x

y

O

dA

O x

y

a

b

Y Y

X

X



Exemple 1.7

Dterminer les moments dinertie par rapport au systme xOy pour le rectangle montr par la figure ci-dessous.

Fig. E1.7

Solution 1.7

De la relation de Huygens on crit:

AdII 2'xx

12

bhbh

2

h

3

bh 323

et

AdII 2'yy

12

hbbh

2

b

3

hb 323

De mme

abAII 'y'xxy

0bh2

h

2

b

4

hb 22

Car les axes x et y sont centraux.

1.6.2. Rotation des axes

Soit une section A, ses moments dinertie dans le systme xoy Ix, Iy, Ixy sont connus. On se propose de calculer les moments dinertie de la section A dans le systme uov qui fait un

angle avec le systme xoy (Fig. 1.8).

b

h

h/2

G X

Y

O X

Y



Fig. 1.8- Moment dinertie dune section et rotation des axes.

Daprs la figure (1.8)

sinycosxu

cosysinxv

En utilisant la dfinition du moment dinertite, on crit:

A

2

u dAvI

AA

22

A

22 xydAcossin2dAxsindAycos

xyy

2

x

2 I.cossin2I.sinI.cos

En utilisant les relations trigonomtriques:

2

2cos1cos;

2

2cos1sin 22

lexpression ci-dessus devient:

xyyxu I2sin2

1I

2

2cos1I

2

2cos1I

X

Y

V

U

x

y

x

u v

dA

O



Ou bien,

2sinI2cosII2

1II

2

1I xyyxyxu (1.19)

En suivant le mme raisonnement on obtient:

2sinI2cosII2

1II

2

1I xyyxyxv (1.20)

2cosI2sinII2

1I xyyxuv (1.21)

On remarque que

Ix + Iy = Iu + Iv (1.22)

Cela signifie que la somme des moments quadratiques par rapport deux axes

perpendiculaires reste constante quelque soit la valeur de langle de rotation.

On remarque aussi que Iu et Iv oscillent autour de la valeur moyenne2

II yx .

En drivant Iu et Iv par rapport 2 on obtient:

2ddI

2d

dI vu

Les extrema sont donns pour:

0

2d

d

Do

yx

xy

II

I22tg

(1.23)

Cette relation est satisfaite pour deux valeurs de entre 0 et qui correspondent un maximum I1 (Imax) et un minimum I2 (Imin) qui sont les moments principaux dinertie.

Les axes correspondant aux moments dinertie principaux sont appels axes principaux.

Pour dterminer (Imax) et (Imin), on peut utiliser le cercle de Mohr. Pour tracer le cercle de

Mohr, on suit les tapes suivantes:



1- tracer un repre orthogonal et orthonorm (O, IQ, IQR) (Fig. 1.9)

2- placer les points A(Ix, Ixy) et B(Iy, -Ixy) dans ce repre

3- dduire le point C, point dintersection de la droite AB et laxe des abscisses

4- dduire du cercle de Mohr Imax (I1) et Imin (I2):

on a

ROCII 1max

ROCII 2min

Do

2xy2

yxyx

max I2

II

2

III

(1.24)

2xy2

yxyx

min I2

II

2

III

(1.25)

Fig. 1.9- Cercle de Mohr.

A(Ix, Ixy)

B(Iy, -Ixy)

Ix

Iy

Ixy

-Ixy

O C

2

2P

D(Iu, Iuv)

Imax Imin IQ

IQR

2S

IU

IV

min

max



1.7. Module de rsistance

Le moment de rsistance dune section droite est le rapport entre le moment dinertie axial et la distance la plus loigne de cet axe.

max

ymin

ymax

xmin

xx

IW;

y

IW

(1.25)

Exemple 1.8

Soit pour la figure suivante dterminer le moment de rsistance minimal.

Fig. E1.8

Solution 1.8

Deux cas se prsentent :

Si a b Wxmin

= Ix / b

Si a b Wxmin

= Ix / a

1.8. Rayon de giration

Le rayon de giration dune surface A selon laxe x ou laxe y est dfini par:

A

Iiou

A

Ii

y

yx

x

(1.26)

Exemple 1.9

Calculer les rayons de giration dun rectangle.

G

a

b x

x



Solution 1.9

Soit la surface rectangulaire montre par la figure suivante:

Fig. E1.9

Les rayons de giration sont:

b3,0

bh

12hb

i;h3,0bh

12bh

i

3

y

3

x

1.8. Conclusion

Dans ce chapitre, les caractristiques gomtriques des sections planes manipuler dans le

dimensionnement des lments dune structure sont prsentes avec des exemples illustratifs.

Ce chapitre est accompagn de deux annexes. Dans la premire annexe, les caractristiques

(aire, coordonnes du centre de gravit et moments quadratiques centraux) pour des

sections usuelles sont donnes. Dans la deuxime annexe, on a prsent sous forme dun tableau les tapes suivre pour dterminer les moments dinertie centraux pour des sections composes en procdant par dcomposition en sections usuelles.

hh

bb

xx

yy

GG



Exercices

Exercice N1

Dterminer laire et le centre de gravit de la section plane ci-dessous.

Exercice N2

Dterminer les moments statique SX et SY

de la section reprsente sur la figure ci-

contre.

En dduire les coordonnes XG et YG du

centre de gravit de section.

x 8 cm

5 cm 3 cm

2cm

3cm

O

y

100 mm

200 mm

16

16

x

y



Exercice N3

Calculer, analytiquement, le

moment quadratique polaire

IO de la section S reprsente

sur la figure ci-contre.

Exercice N4

1- Exprimer le moment d'inertie quadratique (IY) de la section triangulaire montre par la

figure (a).

2- Montrer que le moment d'inertie quadratique (IY) de la section triangulaire montre par

la figure (b) est: 48

hbI

3

y

Figure (a) Figure (b)

Exercice N5

Pour la section plane montre par la figure ci-dessous, sachant que IX'X =2690,44cm4 et

I Y'Y =158,44cm4, dterminer:

le rayon "R"du creux circulaire,

la position "d" du centre de gravit du creux circulaire par rapport l'axe X'X.

D = 150mm

d = 100mm O X

Y

b

h

y

x b/2 b/2

h

G x

y



Exercice N6

Pour chacune des sections planes ci-dessous:

1- Calculer les moments dinertie de la section par rapport aux axes passant par le centre de gravit G de la section.

2- Tracer le cercle de Mohr et dduire les moments dinertie centraux principaux pour cette section.

3- Dessiner les axes centraux principaux dans un plan physique.

4- Dduire du cercle de Mohr le moment quadratique par rapport un axe faisant un angle

de 45 avec laxe GX.

8cm

3cm

6cm

y

x

40

40mm

40mm

10 10

10

20 20

G

Y

X

6 cm

3 cm 3 cm

d

8 cm

R

X

Y

X

Y

Chapitre 2

Dimensionnement des poutres droites isostatiques

Sollicites en flexion simple

Chapitre 2: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion simple


2.1. Systme isostatique, systme hyperstatique, mcanisme

Soit k le nombre d'quations d'quilibre (6 dans l'espace, 3 dans le plan). Soit r le nombre

d'inconnues (rsultantes de liaison et moments de liaison).

Si r = k : Les actions de liaison sont dtermines par les quations de la statique. La

structure est dite isostatique (Fig. 2.1-a).

Si r> k : Le nombre d'quations d'quilibre est alors insuffisant la dtermination des

actions de liaison inconnues. La structure est dite hyperstatique de degr r k (Fig. 2.1-b).

Si r < k : l'quilibre est impossible en gnral. Le systme est hypostatique (mcanisme).

L'tude des mcanismes dborde du cadre de la rsistance des matriaux (Fig. 2.1-c).

Fig. 2.1- Exemples de Poutres: (a) isostatiques, (b) hyperstatiques, (c) mcanismes.

2.2. Dfinitions

Une poutre est soumise la flexion lorsque les forces qui lui sont appliques tendent faire varier sa courbure (Fig. 2.2).



Fig. 2.2- Courbure dune poutre.

On entend par flexion simple un mode de sollicitation tel que dans les sections droites de la poutre il existe deux composantes des efforts intrieurs: le moment flchissant

MfZ (ou MfY) et leffort tranchant TY (ou TZ).

La flexion est aussi dite simple, lorsque la poutre possde un plan de symtrie et que les

forces flchissantes agissent dans ce plan, perpendiculairement au grand axe de la poutre

(Fig. 2.3).

Nous nous limiterons dans ce cours l'tude de la flexion des poutres droites isostatiques,

c'est--dire celles pour lesquelles les quations dquilibre suffisent la dtermination des actions de liaison. Nous nous limiterons galement aux poutres dont le plan de symtrie est

vertical (Gxy).

Fig. 2.3- poutre en flexion simple.

Hypothses

a) Les dformations sont lastiques et suffisamment petites pour ne pas modifier l'intensit

des forces ni leurs distances respectives.

b) Toute fibre contenue dans un plan de symtrie demeure dans ce plan pendant la

dformation.

c) Hypothse de Navier-Bernoulli(1705): les sections droites de la poutre demeurent planes

et perpendiculaires l'axe de celle-ci aprs dformation.



2.3. Efforts tranchants, moments flchissants

Soit la poutre ci-dessous soumise la flexion simple. Imaginons une coupure en un point C

qui divise la poutre en deux parties notes gauche et droite. Chacune de ces deux parties

est en quilibre sous l'action des efforts extrieurs qu'elle reoit et sous l'action des effets

de l'autre partie (efforts intrieurs).

Fig. 2.4- Exemple illustratif dune poutre sollicite en flexion simple.

Chacune des deux partie agit sur lautre de sorte que:

Tous les mouvements horizontaux, verticaux et de rotation dune partie par rapport lautre sont nuls.

Chaque partie est en quilibre

Pour quil y ait concordance en signe entre les deux parties, on utilise la convention de signe montre sur la figure (2.5).

L'effort tranchant T(x) dans une section d'abscisse x, sparant la poutre oriente en une

partie gauche et une partie droite, est la rsultante des forces extrieures s'exerant sur la

partie gauche.

Le moment flchissant M(x) dans une section d'abscisse x, sparant la poutre oriente en

une partie gauche et une partie droite, est la somme des moments extrieurs (dus aux

couples concentrs et aux efforts d'action et de raction) s'exerant sur la partie gauche.



(a)

Fx = 0 N = 0

Fy = 0 TY = Pb/L

M/C = 0 MZ = (Pb/L ).x

Fx = 0 N = 0

Fy = 0 TY = P - Pa/L

TY = Pb/L

M/C = 0 MZ = (Pa/L ).(L-x)

- p(L-x-b)

MZ = (Pb/L ).x

(b)

Fig. 2.5 - Conventions de signe.

2.4. Diagrammes des Efforts tranchants et des moments flchissants

Le diagramme des efforts tranchants est la courbe reprsentative de la fonction T(x) et le

diagramme des moments flchissants est la courbe reprsentative de la fonction M(x), o x

est labscisse de la poutre de lune de ses extrmits.



Exemple 2.1

Exprimer et tracer la variation de leffort tranchant et le moment flchissant le long de la poutre schmatise par la figure ci-dessous.

Fig. E2.1-a

Solution 2.1

Supposons que la poutre soit coupe au point C (1re

partie) puis au pont (D) (2me

partie).

1re

partie : 0 x a

Fig. E2.1-b

Fx = 0 N = 0

Fy = 0 TY = Pb/L

M/C = 0 MZ = (Pb/L ).x

MZ(x=0) = 0

MZ(x=a) = Pab/L

2me partie : a x L

Fig. E2.1-c

Fx = 0 N = 0

Fy = 0 TY = - Pa/L

M/C = 0 MZ = (Pa/L ).(L-x)

MZ(x=a) = Pab/L

MZ(x=L) = 0

Ayant obtenu les expressions des efforts tranchants et moments flchissants pour chacune

des deux parties, traons leurs variations le long de la poutre comme montres par la

figure ci-dessous.



Fig. E2.1-d

2.5. Relation entre moment flchissant et effort tranchant

Considrons un lment de poutre pris entre deux sections () et (') infiniment voisines, distantes de dx (Fig. 2.6).

Fig.2.6 - Elment de poutre isol non charg.

L'influence de la partie gauche sur l'lment est reprsente pat T et M.

L'influence de la partie droite sur l'lment est reprsente par T et M.

Si aucun effort ne s'exerce sur la poutre entre les sections () et ('), les efforts tranchants de ces deux sections sont gaux (T = T). Par contre les moments flchissants M et M (M=M+dM) diffrent. L'quilibre de l'lment s'crit:



M + T dx - M - dM = 0

Soit:

Tdx

dM (2.1)

Ainsi, sur toute portion de poutre comprise entre des charges, l'effort tranchant est la

drive par rapport labscisse x du moment flchissant.

2.6. Relation entre effort tranchant et chargement rparti

Considrons le cas o une charge rpartie, d'intensit p, s'exerce entre les sections () et (') (Fig. 2.7). La charge totale applique sur l'lment est p dx.

Fig.2.7 - Elment de poutre isol charg par une force uniformment rpartie.

l'quilibre des forces sur l'lment mne :

T - p dx - T - dT = 0

Ce qui veut dire que:

pdx

dT (2.2)

L'quilibre des moments donne:

M + T dx - p dx dx/2 - M - dM = 0

En ngligeant le terme du second ordre (

2

dxp

2

), il reste dx

dMT . Ce qui veut dire que la

relation entre leffort tranchant et le moment flchissant reste valable au premier ordre.

Exemple 2.2

Pour la poutre console schmatise par la figure ci-dessous, exprimer et tracer la

variation de leffort tranchant et le moment flchissant le long de la poutre.



Fig. E2.2-a

Solution 2.2

On a, pour 0 x L :

x.pxT

2

x.pxM

2

Ces expressions montrent la variation de leffort tranchant et du moment flchissant en fonction de labscisse x. Leurs tracs sont montrs sur la figure E2.2-b.

Fig. E2.2-b

Remarque

Lorsqu'une charge concentre s'exerce entre () et (') (Fig. 2.8), lquilibre s'crit:

T' = T F

L

T

M

pL2/2

pL

p

p

O L

y

L x

RO

p

MO



Fig.2.8 - Elment de poutre isol charg par une force concentre.

L'effort tranchant varie d'une quantit F lorsqu'on dpasse le point d'application de la

charge. En ce point, la pente du moment flchissant (dM/dx) varie brusquement (point

anguleux).

2.7. Dforme d'une poutre soumise la flexion simple (flche)

Sous l'effet des sollicitations auxquelles elle est soumise, une poutre se dforme. On

dsigne par flche l'abscisse x, le dplacement du centre de gravit de la section

correspondant cette abscisse. Elle est compte positivement si le dplacement s'effectue

vers le bas. Le nouveau lieu des centres de gravit de toutes les sections de la poutre prend

le nom de dforme (Fig. 2.9).

Fig.2.9 - Poutre dforme.

On admet la relation suivante qui permet le calcul de la dforme

y xM x

EI( )

( ) (2.3)

y x( ) est la drive seconde de la flche par rapport x

M(x), le moment flchissant la section d'abscisse x.

E , le module d'lasticit longitudinale (module d'Young).

I, le moment d'inertie de la section par rapport l'axe passant par le centre de gravit et perpendiculaire au plan moyen de la poutre. La figure (2.10) montre des expressions du

moment dinertie central pour des sections usuelles.

X

Y

L

y(x)



Fig.2.10 - Exemples de sections usuelles.

Pour avoir la flche y (ou v), il faut donc intgrer cette quation deux fois, do lobtention dune quation fonction de deux constantes que lon obtient par les conditions aux limites. Celles-ci scrivent, gnralement:

- Pour un appui : y = 0

- Pour un encastrement: y = 0 et y = 0 (formules de Bresse)

2.8. Calcul des contraintes

2.8.1. Cas de la flexion pure

On dit quune poutre est sollicite en flexion pure si toutes les composantes des efforts

intrieurs sont nulles lexception du moment flchissant (MfZ of Mfy 0) (Fig. 2.11). Autrement dit le moment flchissant est constant,

T=dM/dx do T = 0

Exemples de poutres en flexion pure

Les figures (2.12-a) et (2.12-b) schmatisent une poutre et un tronon de poutre,

respectivement, soumis la flexion pure.

z

y

b b

h

D b

h

h1

b1

h1

Iz = 2[bh13/12 +((h+h1)/2)(bh1)

+ bh3/12

bh3

12 Iz=

R4

4 Iz=

Section

rectangulaire

Section

circulaire Section compose

(en I)



Fig. 2.11 Illustration de la flexion pure: (a) poutre en flexion pure, (b) tronon de poutre en flexion pure.

Pour un point P quelconque, selon lhypothse de Bernouilli, on peut crire:

yI

My

Z

Zx (2.4)

Avec

dSyIS

2

Z (2.5)

yP est la distance laxe et IZ le moment dinertie par rapport laxe de flexion

Fig.2.12- Contrainte dans une fibre dforme.

Dimensionnement

Pour dimensionner la poutre on peut utiliser deux types de critres :

- un critre en contrainte normale (condition de rsistance)

- un critre sur la flche maximale (condition de rigidit)

Y

X Z

P dS

x

y

L

mZ A B A

a a

P P

B D C

mZ

Pa Pa (a) (b)



Le critre sur la flche maximale, traduit le fait que la flche maximale v(P) en un point P

doit rester infrieure une valeur donne dpendante des conditions dutilisation:

Max(v(P)) [v] (2.6)

Pour les poutres ordinaires, la valeur de la flche admissible est de lordre de:

[v] = [f] = L/100 L/1000

o L est la longueur de la poutre. On pourrait aussi imaginer un critre de rotation

maximale de la section droite.

1- Pour les poutres rigides, c d v L/100, la grandeur u est trs petite devant v (Fig. 2.13), do on nglige son influence sur la dformation de la poutre et on ne tient

compte que des deux composantes v et z.

2- Puisque pour les poutres rigides z est petite ( z 1 ), on admet que:

z tgz

Dautre part, on sait que, mathmatiquement, tgz = dv/dx, do:

z = dv / dx (2.7)

Ainsi, la dformation de la poutre flchie est caractrise par les composantes v et Z tel que:

Maxz []

(2.8)

Dimensionnement la condition de rsistance

Le dimensionnement dune poutre flchie la condition de rsistance passe par les tapes suivantes:

1- Trac du diagramme de Mf (MZ ou MY) le long de la poutre,

2- Dtermination de la section dangereuse partir du digramme de Mf,

3- Calcul de la contrainte maximale max, c'est--dire la contrainte au niveau du

point dangereux le long de la section transversale de la poutre,

4- Satisfaction de la condition de rsistance qui scrit selon la mthode des

contraintes admissibles comme suit:

max [] (2.9)

max est obtenue en analysant la variation de x dans une section dangereuse de la poutre. Dans ce cas MZ et IZ sont constants et x dpend linairement de la coordonne y (Fig. 2.14).



Fig.2.13- Dformations dans une poutre flchie.

Fig.2.14- Distribution des contraintes dans une section dune poutre en flexion pure.

x =0 pour les points correspondants laxe z (laxe neutre)

Les valeurs maximales de x correspondent aux points les plus loigns de laxe neutre (les points 1 et 2)

De lquation x (y) = (MZ/ IZ).y (quation de Navier), on obtient:

MZ

y y

z x

2

1

2

1

y2

y1

x+

x-

x

x

y

u

v Z P

k

k

x

x

y

v Z P

k

k

a)

b)



xmax(1)

= MZmax

/ WZ(1)

, WZ(1)

= IZ / y1 = WZ(t)

(2.10-a)

xmax(2)

= MZmax

/ WZ(2)

, WZ(2)

= IZ / y2 = WZ(c)

(2.10-b)

O WZ(t)

et WZ(c)

sont les modules de flexion ou de rsistance, calculs pour le point le plus

tendu (point 1) et le point le plus comprim (point 2), respectivement.

Do, les conditions de rsistance:

xmax(+)

= MZmax

/ WZ(t)

[]+ (2.11-a)

xmax(-)

= MZmax

/ WZ(c)

[]- (2.11-b)

Pour la majorit des poutres utilises en construction:

WZ(t)

= WZ(c)

et

xmax(+)

= xmax(-)

alors les conditions de rsistance ci-dessus peuvent tre exprimes sous la forme:

xmax = MZmax

/ WZ [] (2.12)

Remarques

a) Si WZ(t)= WZ

(c)mais []+ []- , on peut utiliser la dernire condition de rsistance en prenant pour [] la valeur minimale (en module) entre []+ et []-.

b) Si []+= []-mais WZ(t) WZ

(c), on peut utiliser la dernire condition de rsistance en prenant pour WZ la valeur minimale (en module) entre WZ

(t) et WZ

(t)-.

Notons quil existe dautres mthodes de calcul des poutres la rsistance telle que la mthode des tats limites.

2.8.2. Cas de la flexion simple

Pour le cas de la flexion simple, en plus du moment flchissant qui est variable dans ce cas

il existe la composante de leffort tranchant T, c'est--dire en plus de la contrainte normale

on a une contrainte tangentielle .

La contrainte normale sexprime par lquation prcdente (2.4) de Navier (cas de la

flexion pure). La contraint tangentielle xy est donne par lquation de Jouravsky:

yb.I

yS.T

z

z1y

xy (2.13)



Avec

1Sz1 ydSyS

est le moment statique de la surface situe au dessus de la coordonne y et par rapport

laxe z (laxe 3 sur la figure 2.15).

La quantit b(y) est la largeur de la fibre tudie correspondant la coordonne y.

Fig.2.15- Tronon de poutre non charg longitudinal (a), transversal (b).

Remarques

- Dans le cas de la figure ci-dessus (S1z(y) positif), le signe de xy dpend uniquement du signe de Ty.

- xy varie le long de la hauteur de la section en fonction de S1z(y) et b(y). Pour les points les plus loigns de laxe neutre xy = 0.

Pour trouver la valeur maximale de xy il faut (dans le cas gnral) analyser le digramme respectif de xy. Notons que pour la majorit des poutres utilises en construction (section symtrique par rapport laxe z), xy

max a lieu au niveau de la fibre neutre. Cependant, il y a

des exemples o xy est maximale pour une des autres fibres (Fig. 2.16).

Pour les sections ordinaires, il est commode de dterminer xymax

laide de lexpression:

S

TK

ymax

xy (2.14)

O S est laire de la section et K un coefficient dpendant de la forme de la section (Tableau 2.1).

y

x y

z

A1 y

b(y)

(a) (b)



Fig.2.16- Exemples de distribution des contraintes tangentielles dans une section de

poutre en flexion simple.

Tableau 2.1- Exemples de valeurs du coefficient de forme K.

Forme de la section Rectangulaire Ronde Triangulaire

Coefficient K 3/2 4/3 3/2

Dimensionnement

Pour dimensionner la poutre on utilise un critre en contrainte ou en flche maximale

comme dans le cas de la flexion pure.

Dimensionnement la condition de rsistance

Le calcul la rsistance se fait comme dans le cas de la flexion simple (dtermination des

sections dangereuses et des points dangereux, satisfaction des conditions de rsistances).

Pour la slection des sections dangereuses, on distingue, gnralement, trois cas:

Si MZ et TY ont des valeurs maximales dans la mme section le long de la poutre, cette section est considre dangereuse et on y effectue le calcul la rsistance.

Si MZ et TY ont des valeurs maximales dans des sections diffrentes le long de la poutre, on y effectue le calcul la rsistance dans chacune de celles-ci.

Parfois, les sections sont dangereuses sans que les efforts y aient des valeurs maximales. Donc, on doit y effectuer un calcul la rsistance.

z

y

xymax

y

z

xymax

y

z

xymax

y

z

xymax



Pour la satisfaction des conditions de rsistances, on doit considrer les cas suivants:

1- Composer une condition de rsistance pour le point o x est maximale, dans une section o MZ est maximal. En ce point xy est gnralement nul. La condition de rsistance pour ce point scrit:

xmax

[]

2- Composer une condition de rsistance pour le point o xy est maximale. Si la section est symtrique par rapport laxe z, xy

max correspond habituellement laxe

neutre o x = 0 (Fig. 2.17 ). La condition de rsistance pour ce point (dans une section o Ty est maximale) scrit:

xy max

[]

3- Si xy est maximale dans le point qui ne correspond pas laxe neutre et o x 0 (Fig. 2.17), une satisfaction de la condition de rsistance pour ce point doit se faire

dans le cadre des thories de rsistance (--d selon un critre de rsistance). On

utilise habituellement, en flexion plane, le critre de la contrainte tangentielle

maximal (critre de Coulomb) ou le critre de lnergie potentielle de dformation qui ont, respectivement, les deux expressions suivantes:

2

xy

2

xEq 4 (2.15-a)

2

xy

2

xEq 3 (2.15-b)

Et la condition de rsistance est:

Eq [] (2.16)

Remarques

Pour la plus part des cas, on peut montrer que xymax

/xmax

est du mme ordre que h/L.

Donc, la valeur de xymax

peut tre proche de la valeur de xmax

pour les poutres o h est

comparable L (pour les consoles courtes par exemple). Dans ce cas la condition xy max

[] peut tre dterminante en calcul la rsistance.

Cependant, habituellement on utilise en construction des poutres pour les quelles h L

et par consquent, xymax

xmax

. Dans ce cas la condition xy max

[] est satisfaite si la

condition xmax

[] est satisfaite. Cest pourquoi, ordinairement le calcul la rsistance des poutres flchies seffectue selon la condition x

max [] pour la section o MZ est

maximal. La condition xy max

[] compose pour le point o xy est maximale (dans la section o Ty est maximal) sert la vrification.



Fig.2.17 Distribution des contraintes dans une section de poutre en flexion simple.

Exemple 2.3

Calculer les contraintes normale et tangentielle maximales pour une poutre ayant une

section transversale rectangulaire.

Solution 2.3

On a:

min

Z

z

max

z

zmax

x

min

Z

z

max

z

zmax

x

z

zx

W

M

y

I

M

W

M

y

I

M

yI

M

2

3K;

S

TK

S

T

2

3y

2

h

2

1

I

T yymaxxy

2

2

z

y

xy

y y

MZ

z x

2

1

2

1

h/2

x+

x-

3

xymax

Ty h/2

h L

MZ

y y

z x

2

1

2

1

y2

y1

x+

x-

3

xymax

Ty

h L



Sur la figure (E2.3) on trace la distribution des contraintes normale et tangentielle le long

de la section transversale de la poutre.

Fig. E2.3

Exemple 2.4

Pour une poutre simplement appuye, de longueur L et supportant une charge

uniformment rpartie, montrer que le rapport max

x

max

xy

est comparable

L

h.la section

transversale de la poutre est suppose rectangulaire.

Solution 2.4

La figure (E2.4) montre la variation de leffort tranchant et le moment flchissant le long de la poutre.

La contrainte normale maximale correspond la section o le moment flchissant est

maximale (x = L/2, 8

qLM

2max

Z ) et la contrainte tangentielle maximale correspond la

section o leffort tranchant est maximal (x = 0 ou x = L, 2

qLT maxY ).

8

qLM

2max

Z , 2

qLT maxY , S = bh ,

6

bhW

2

Z

2

2

Z

max

zmax

xbh4

qL3

W

M

bh4

qL3

bh2

qL

2

3

S

TK

max

ymax

xy

L

hmax

x

max

xy

y

z

h/2

xmax+

xmax-

xymax

h/2

b



Fig. E2.4

Exemple 2.5

Soit une poutre en acier de section transversale ronde, comme le montre la figure ci-

dessous.

1- Calculer les ractions aux appuis.

2- Tracer les diagrammes des efforts intrieurs tout au long de la poutre.

3- Pour la section o le moment flchissant est maximal, tracer la distribution des

contraintes normale et tangentielle tout au long de la section transversale de la poutre.

4- Dterminer le diamtre D de la section si []=1600 kg/cm2, []=1100 kg/cm2.

Fig. E2.5-a

A

L

q

B

qL/2

qL/2

qL2/8

x = L/2



Solution 2.5

1- Ractions aux appuis

0R0F Axx kN44RR0F BAyy

kN24R0/M BA

kN20R0/M AyB

Vrification

442420kN44RR BAy

2- Diagrammes des efforts intrieurs

Section 1-1 0 x 3m

0N0F xx

kN123xT

00xTo'dx4T0F

y

y

yy

m.kN423xM

m.kN600xMo'dx260M0/M

z

z2

zC

Fig. E2.5-b

Section 2-2 3 x 6m

0N0F xx

x420T0F yy

kN46xT

kN83xT

y

y

Fig. E2.5-c

2

zD x2)3x(2060M0/M

m.kN486xM

m.kN423xM

z

z

m5x0Ty

m.kN50m5xMM zmax

z

x

Nx Ty

Mz

20kN

D

x

Nx

Ty

Mz

C



Section 3-3 6 x 8m

0N0F xx

kN24T0F yy

08xM

m.kN486xMo'dx824M0/M

z

z

zE

Fig. E2.5-d

Les diagrammes du moment flchissant et de leffort tranchant sont reprsents sur la figure E2.5-e.

3- Distribution des contraintes (Fig. E2.5-f)

0T;m.kN60M corYmax

Z

0yb.I

yS.T

y

64

D

10.60y

I

My

z

z1y

xy

4

4

Z

Zx

4- Dimensionnement

Le dimensionnement la condition de rsistance se fait selon la condition:

max

cm3,18D1600D

10.55,61113

3

8-x Nx

Ty

Mz

24 kN

E



Fig. E2.5-e

Fig. E2.5-f

6111,55.103/D

3

6111,55.103/D

3

y

z

x O D

0

x (kg/cm2) xy (kg/cm

2)

q P MZ

A B

3m 3m 2m

TY (kN)

MZ (kN.m)

24

4

8

12

48

Mmax= 50

42

60



Exercices Exercice N1

Soit une poutre en acier de section transversale rectangulaire, comme le montre la figure

ci-dessous.

1- Calculer les ractions aux appuis.

2- Tracer les diagrammes des efforts tranchants et des moments flchissant tout au long de

la poutre.

3- Dterminer la section (ou les sections) dangereuse.

4-Tracer la distribution des contraintes normale et tangentielle tout au long de la section

transversale de la poutre, pour la section (ou les sections) dangereuse.

5- Dterminer la dimension b sachant que [] = 1600 kg/cm2, []=1100 kg/cm2, h = 15cm.

Exercice N2

Soit une poutre en bois de section transversale ronde. Dterminer une capacit de

chargement q(t/m). On donne []+=100kg/cm2, []- = 120 kg/cm2 []=20 kg/cm2, d = 20cm.



Exercice N3

Soit une poutre en acier de section transversale triangulaire. Dterminer la dimension b de

la section transversale. On donne [] = 1600 kg/cm2, []=1100 kg/cm2, h = 12cm.

Exercice N4

Soit une poutre en acier profile en I (IPE). Dterminer les dimensions de la section droite.

On donne [] = 1600 kg/cm2, []=1100 kg/cm2.

Exercice N5

Soit une poutre en bois de section transversale triangulaire. Dterminer une capacit de

chargement q(t/m). On donne []+=100kg/cm2, []- = 120 kg/cm2, []=20 kg/cm2.

Chapitre 3

Dimensionnement des poutres droites isostatiques

Sollicites en flexion compose

Chapitre 3: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion compose


3.1. Introduction

Une poutre est dite soumise la flexion compose, si elle est soumise simultanment la

flexion et la traction (ou compression). Un tel mode de sollicitation sappelle aussi une flexion et traction (ou compression).

3.2. Flexion droite compose

3.2.1. Dfinition

Une flexion droite compose (Fig. 3.1), est caractrise par une action commune de la

traction (ou compression) et de la flexion plane. Ce cas particulier de la flexion compose a

lieu, si les charges extrieures sont appliques dans lun des plans de coordonnes. Ici, dans la section droite de la poutre, il existe les efforts: NX, TY et MZ.

Fig. 3.1- Flexion droite compose.

3.2.2. Calcul des contraintes

Les efforts NX et MZ provoquent des contraintes normales (x) dans une section droite de la poutre; leffort TY provoque une contrainte tangentielle (xy).

yI

M

A

N

z

zx

MNx zx (3.1-a)

)y(b

)y(S.

I

TZ1

Gz

y

xy (3.1-b)

x

z

TY

MZ

y



On voit sur le schma que la superposition des deux effets peut donner trois solutions

diffrentes: soit x est positif partout (Fig. 3.2-c), soit il est positif partout mais sannule lextrmit suprieure (Fig. 3.2-b), soit il est positif et ngatif (Fig. 3.2-d).

Fig. 3.2- Distribution des contraintes normales dans le cas de la flexion droite compose.

3.2.3. Position de laxe neutre et noyau central

Dans chacun des trois cas sur les schmas prcdents, on dfinit une coordonne y0 qui est

la distance entre la force applique et la position o x est nulle. Il sagit donc de y0 tel que:

0yI

M

A

N0

z

zx (3.2-a)

Do

A

I.

M

Ny z

z

x

0 (3.2-b)

On peut dcrire cette double sollicitation Mz et Nx comme tant quivalente la mme

force Nx excentre en un point E dune distance e (Fig.3.3). A ce moment l, on a que:

e.NM xz (3.3)

et laxe neutre devient alors :

A.e

Iy Gz0 (3.4)

Fig. 3.3- Axe Neutre.

NX

MZ

x

NX

x

z

E

e

Nx Mz

NX

MZ

=

y0

x

y0 y0

(a) (b) (c) (d)



On dfinit le noyau central comme tant la zone de la section telle que, si E sy trouve, x ne change pas de signe sur toute la section (Fig. 3.2-b, Fig. 3.2-c).

3.3. Cas particulier: Traction (ou compression) droite excentre

Dans le cas de la traction (ou compression) droite excentre, la section droite de la poutre

est sollicite par les efforts NX et MZ. Ici les charges extrieures appartiennent lun des plans de coordonnes (Fig. 3.4).

Fig. 3.4- Traction (ou compression) droite excentre.

Pour viter quil ait flambement de la poutre, nous nous limiterons ltude des poutres (ou barres) courtes dont la longueur nexcde pas 8 fois la plus petite dimension transversale.

La contrainte se calcule par lquation (3.1-a) tandis que la contrainte tangentielle est nulle.

yI

M

A

N

z

zx

MNx zx (3.5-a)

0xy (3.5-b)

3.4. Flexion compose oblique

Une poutre est dite sollicite en flexion compose oblique (ou flexion compose gauche) si

elle est soumise une action commune de la traction (ou compression) et des flexions

planes par rapport aux axes y et z. Donc, dans une section droite de la poutre, il existe les

efforts NX, TY, MZ, TZ et MY (Fig. 3.5).

x

z

TY

MZ

y



La flexion compose oblique peut tre effectue par un systme de charges qui

appartiennent aux plans passant par laxe x; c'est--dire que les charges peuvent tre non perpendiculaires laxe x.

Fig. 3.5- Flexion compose oblique.


Dans ce cas, la contrainte normale est donne par lexpression:

zI

My

I

M

A

N

y

y

z

zx

MMNx yzx (3.6)

Tans disque la contrainte tangentielle peut tre exprime par lquation (3.7) comme montr par la figure Fig.3.6:

2

xz

2

xyx (3.7-a)

)y(b

)y(S.

I

Tz1

z

y

xy (3.7-b)

)z(b

)z(S.

I

T y1

y

zxz (3.7-c)

x

z

TY

MZ TZ

MY

y



Fig. 3.6- Distribution des contraintes tangentielle.

Il faut rappeler que le signe de x dpend des signes des efforts NX, MY et MZ et des coordonnes y et z. Les signes de xy et xz concident avec les signes des efforts TY et TZ.

3.4.2. Position de laxe neutre

Dans le cas gnral de la flexion compose, lquation de laxe neutre (x = 0) peut tre dtermine partir de lquation (3.6):

0zI

My

I

M

A

N0

y

y

0

z

zx (3.8)

O y0 et z0 sont les coordonnes de laxe neutre.

3.5. Cas particulier: Traction (ou compression) gauche excentre

Si les charges extrieures sont dans lespace et parallles laxe x, la sollicitation est dite traction (ou compression) gauche excentre (Fig. 3.8).

xz

xy

TY

TZ

x

z

y y

x

z



Fig. 3.7- Traction (ou compression) gauche excentre.


Dans ce cas, la contrainte normale est donne par lexpression (3.6) et les contraintes

tangentielles sont nulles (X = 0):

3.5.2. Position de laxe neutre

Dans ce cas il est commode de reprsenter la contrainte x (Eq. 3.6) sous une autre forme. Considrons le cas de la figure 3.8. Dans une section droite de la poutre, les efforts sont:

NX; MY = NX.eZ ; MZ = NX.eY

O eY et eZ sont les coordonnes du centre de chargement (point dapplication de leffort NX ou P).

En introduisant ces expressions des efforts dans lquation (3.6), nous obtenons:

zI

e.Ny

I

e.N

A

N

y

zx

z

yxx

x

Pour trouver la position de laxe neutre (x = 0), on dtermine ses coordonnes telles que:

0zI

ey

I

e

A

1N

y

z

z

y

xx

c--d

(3.9)

x

z

MY

MZ

y

NX



0i

ze

i

ye1

A

N2

z

z

2

z

yx

x

Avec iy = IY / A ; iz = IZ / A sont les rayons de giration. Do, les coordonnes de laxe neutre yN et zN (Fig. 3.10) sobtiennent:

y

2

zN

e

iy0z

(3.10-a)

z

2

y

Ne

iz0y

(3.10-b)

Remarque

Dans le cas de la flexion compose, laxe neutre ne passe pas par le centre de gravit de la section.

3.6. Calcul la rsistance

Le calcul la rsistance se fait selon les tapes considres en flexion simple.

Les contraintes normales sont maximales pour les points les plus loigns de laxe neutre (Fig. 3.10-a).

Ordinairement, pour ces points, les contraintes tangentielles sont assez petites et mme nulles (traction ou compression droite ou gauche, ou pour les sections rectangulaires et

qui peuvent tre inscrites dans un rectangle (Fig. 3.10-a)).

Pour cette raison, on nglige habituellement linfluence de X sur la rsistance pour les points les plus loigns de laxe neutre et les conditions de rsistance scrivent:

xmax(+)

[]+ (3.11-a)

xmax(-)

[]- (3.11-b)

On dtermine xmax(+)

et xmax(-)

laide de lquation:

e

y

y

e

z

zxmax

x zI

My

I

M

A

N

(3.12)

O ye et ze sont les coordonnes des points A et B (Fig. 3.11).



Dans le cas de la flexion compose (droite ou oblique), les contraintes tangentielles

peuvent influencer la rsistance de la poutre. Ordinairement, X est maximale au centre de gravit de la section o x 0. Donc le calcul la rsistance se fait selon une des thories de la rsistance mentionnes dans le chapitre prcdent. Cependant,

lexprience montre que la condition (3.11) est suffisante.

Fig. 3.8- Traction gauche excentre.

Fig. 3.9- Schmatisation de laxe neutre dans le cas dune traction gauche excentre.

z

C

y

ZP

YP

Zn

Yn A.N

(b)

z

x

y

P

ZP

YP

(a)

MZ 0

MY 0 x

z

y

Nx

x

z

y

Nx

G

E

ey ez

(a) (b)



Fig. 3.10- Schmatisation de laxe neutre dans le cas gnral de la flexion compose.

A.N A.N A.N

(b)

A

B

A.N

y

z

(a)



Fig. 3.11- Coordonnes des points les plus loigns de laxe neutre dans le cas gnral de la flexion compose.

Exemple 1.3

Soit une poutre en acier de section transversale rectangulaire (4cm x h) encastre son

extrmit gauche et porte une charge de 8 tonnes son extrmit droite, comme le montre

la figure ci-dessous.

1- Donner le type de sollicitation.


3-Tracer la distribution des contraintes le long d'une section transversale de la poutre.

4- Dterminer la dimension h de la poutre. On donne [] = 1600 kg/cm2.

Fig. E3.1-a

2cm 2cm

x

y

z h /2

h/2

P=8 t

L

A

B

A.N

y

z

e1

e2

Ye+

Ze+

Ze-

Ye-



Solution 3.1 1- Compression droite excentre.

2- Digrammes de leffort tranchant et du moment flchissant.

Le schma correspondant la poutre est reprsent sur la figure E3.1-b.

Fig. E3.1-b

Avant de tracer les diagrammes des efforts intrieurs, dterminons leurs expressions. Soit

la section montre par la figure E3.1-c:

x [0 , L]

Fx = 0 Nx = -8t

Fy = 0 TY = 0

M/C = 0 MZ = mZ = 4h

Fig. E3.1-c

Les expressions ainsi obtenues sont traces sur la figure E3.1-d.

3- Distribution des contraintes.

Lx

0

MN

xy

zxxxx

yh

12000

h

2000y

12

bh

10.h4

h4

800023

3

x

Ces quations sont traces sur la figure E3.1-e.

mZ

Ty

Nx

Mz

L-x C

8t

L mZ = 4h (t.cm)

8t h/2

2cm 2cm

h/2 z

y



Fig. E3.1-d

4- Dimensionnement

On dimensionne la conditions de rsistance:

max

1600h

6000

h

2000

cm5h

Fig. E3.1-e

h/2

h/2

2cm

2

2cm

2 Y

Z

G

2000/h 6000/h 0

x(Nx) x(Mz) xy

L mZ = 4h (t.cm)

8t

NX [t]

8 -

TY [t] 0

MZ [t.cm]

4h

-



Exemple 1.2

Soit une poutre en bois de section transversale rectangulaire (6 x 10cm) encastre son

extrmit gauche et sollicite comme le montre la figure ci-dessous. On donne Px = 1,2P,

Py = 0,86P, Pz = 0,5P (P en Kg), L = 200 cm, []+= 100 kg/cm

2 et []-= 120 kg/cm2.

1- Donner le mode de sollicitation.


3-Tracer la distribution des contraintes la section dangereuse.

4- Tracer laxe neutre.

5- Dterminer une capacit de charge P partir des conditions de rsistance.

Fig. E3.2-a

Solution 3.2

La poutre est schmatise sur la figure (E3.2-b).

Fig. E3.2-b

x

z

y

Py Px

Pz L

Px x

y

z

h

Py

L

b

Pz



1- Flexion compose dvie

2- Diagrammes des efforts intrieurs

Pour 0 x L (Fig. E3.2-c)

Fig. E3.2-c

Nx = Px = 1,2 P (kg)

Plan xoy

Ty = Py =0,86P (kg)

Mz = -Py(x) = -0,86P(x) (kg.cm)

Plan xoz

Tz = -Pz =-0,5P (kg)

My = Pz(x) = 0,5P(x) (kg.cm)

Les digrammes des efforts intrieurs sont tracs sur la figure (E3.2-d).

3- Distribution des contraintes la section dangereuse

La section dangereuse est lencastrement avec:

Nx = 1,2 P (kg), Ty = 0,86P (kg), Mz = -0,86P(x) (kg.cm), Tz = -0,5P (kg),

My = 0,5P(x) (kg.cm)

Nous avons un cas de flexion compose oblique, le calcl de la contrainte normale se fait

selon lquation (3.6):

zI

My

I

M

A

N

y

y

z

zx

x

A = bh = 60 cm2

433

z cm50012

10.6

12

bhI

433

y cm18012

10.6

12

hbI

z180

100y

500

172

60

P2,1x

Pz556,0Py344,0P02,0x

Ty

Nx

Mz

L-x

C Py

Px Pz Py

My

Tz



Fig. E3.2-d

Puisque la section droite de la poutre est rectangulaire, nous calculons les contraintes aux

quatres points A, B, C, D, nous obtenons les valeurs:

P07,03P556,05P344,0P02,0Ax

P41,33P556,05P344,0P02,0Bx

P03,03P556,05P344,0P02,0Cx

P37,33P556,05P344,0P02,0Dx

Ces valeurs sont traces la section dangereuse comme montr sur la figure (E3.2-e).

z

Py Px

y

x

L Pz

Nx(kg)

Ty(kg)

Mz(kg.cm)

Tz(kg)

My(kg.cm)

1,20P

0,86P

172P

0,50P

100P



Fig. E3.2-c

4- Trac de laxe neutre

Pour tracer laxe neutre on rsout lquation:

0Pz556,0Py344,0P02,0 00x

cm04,0z0y

cm058,0yoz

n0

n0

yn et zn sont les coordonnes de laxe neutre que lon reporte sur la figure (E3.2-f).



Fig. E3.2-f

On constate que la contrainte normale atteint ses extremums aux points les plus loigns

de laxe neutre. Le point B tant le plus tendu, la contrainte est max+. le point D tant le

plus comprim, la contrainte est max-.

Les contraintes tangentielles se calculent par les quation (3.7) et leurs reprsentations

sont similaires celles de la figure (3.6).

5- Capacit de charge P partir des conditions de rsistance.

A partir des conditions de rsistance:

xmax(+)

[]+ 3,41P 100 P 29,33kg

xmax(-)

[]- 3,37P 120 P 35,61kg

Do P 29,33kg



Exercices

Exercice N1

Soit une poutre en acier de section transversale ronde, comme le montre la figure ci-

dessous.

1- Donner le type de sollicitation.


3- Dterminer la section dangereuse.

4-Tracer la distribution des contraintes normales et tangentielle tout au long de la section

transversale de la poutre, pour la section dangereuse.

5- Vrifier si les conditions de rsistance sont satisfaites au niveau de la section dangereuse.

On donne []=1600 kg/cm2 et []=1100 kg/cm2.

Exercice N2

Pour la poutre schmatise par la figure ci-dessous:

1- Dterminer le type de sollicitation.

2- Tracer les diagrammes des efforts intrieurs.

3-Construire le diagramme des contraintes normales le long dune section droite de la poutre.

x

y

z

Px=48kg

my = 48kg.cm

L

mz = 96kg.cm

y

x

z

P =15t

q=3t/m

0,6m

0,2m

d=6cm



Exercice N3

Vrifier la rsistance de la poutre schmatise par la figure ci-dessous. Le matriau utilis

est du bton non arm, []+ = 3 kg/cm2, []- = 20 kg/cm2.

Exercice N4

Tracer laxe neutre pour la section droite, montre par la figure ci-dessous, dune poutre sollicite en compression gauche excentre. On donne P = 48 kg.

3 cm

3 cm

2 cm 2 cm

1cm

2cm

P

Y

Z

2 2

3 cm

2 cm

1 cm

1

X

Y

Z

L



Exercice N5

Soit une poutre en acier de section transversale rectangulaire appuye simplement ses

extrmits et charge comme montr sur la figure ci-dessous. Dterminer une capacit de

charge P. on donne [] = 1600 kg/cm2.

Chapitre 4

Etats de Contraintes

Chapitre 4: Etats de contraintes


4.1. Etat de contrainte en un point

Un systme de forces extrieures appliqu un corps cre lintrieur de ce corps des efforts intrieurs. Celles-ci naissent des effets des particules lmentaires du corps entre

elles. Pour chaque force lmentaire existe une contrainte. Le vecteur contrainte peut tre

dcompos en un vecteur normal la facette sur laquelle il sexerce et en un vecteur tangent (Fig. 4.1).

Rappelons qune contrainte est un effort par unit de surface qui s'exerce dans le matriau.

Fig. 4.1- Etat de contrainte sur une facette.

On appelle contrainte normale,

et on appelle contrainte tangentielle (ou de cisaillement).

Dfinition

On appelle tat de contrainte en un point dun corps, lensemble des contraintes normales et tangentielles qui sexercent dans toutes les directions partir de ce point.

Pour pouvoir dterminer, en un point, la contrainte sur une facette quelconque il suffit

donc de connatre les contraintes, en ce point, sur 3 facettes. Pour faciliter les calculs

nous considrerons les trois facettes ayant pour normal

Polycopie RDM II Licence 2 Genie Civil Harichan Z

Documents

Transcript of Polycopie RDM II Licence 2 Genie Civil Harichan Z