Polycopie Analyse Numérique

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  • Universit Hassan Premier

    Facult des Sciences et Techniques

    Settat

    Parcours MIP

    Analyse Numrique

    Pr Jaouad Dabounou

    Anne universitaire 2014/2015

  • Introduction Ce cours introduira les tudiants l'analyse numrique. Il aborde les thmes suivants :

    Introduction au calcul numrique,

    Rsolution des quations numriques,

    Interpolation polynomiale,

    Drivation et intgration numriques,

    Rsolution des quations diffrentielles ordinaires

    Rsolution de systmes linaires.

    A chaque fois, les notions prsentes sont illustres par des exemples pratiques. Des exercices

    et problmes sont aussi proposs afin de confronter les tudiants aux multiples difficults du

    calcul numrique.

    Nous n'avons pas ici l'ambition de l'exhaustivit. Le domaine du calcul numrique s'est

    dvelopp de manire trs importante et il est devenu impossible de le couvrir dans un cours

    qui se veut correspondre au niveau des deux premires annes universitaires des filires

    scientifiques. Mme en ce qui concerne les problmes traits, nous ne souhaitons pas lister

    l'ensemble des mthodes et techniques utilises pour trouver des solutions numriques. Nous

    voulons surtout transmettre et faire merger chez l'tudiant l'intelligence des approches de

    rsolution, la capacit d'adapter des concepts gnraux des situations particulires, l'habilet

    d'articuler des logiques diffrentes et des raisonnements complmentaires pour mieux

    apprhender les problmes traiter. Et nous souhaitons surtout partager avec nos tudiants et

    lecteurs le plaisir de faire des mathmatiques.

    A chaque fois que c'est ncessaire, nous allons nous attarder sur des concepts et du

    vocabulaire mathmatiques. Cependant, nous essayerons de ne pas ennuyer le lecteur par des

    notions qui n'apporteront pas grande chose la comprhension des thmes abords ou que

    nous ne jugeons pas indispensables pour l'atteinte des objectifs fixs pour ce cours. Nous

    aurons gagn notre pari si nous arrivons faire aimer les mathmatiques aux tudiants et

    leur montrer la fois son intrt pour leur carrire scientifique et son accessibilit au moyen

    d'un effort que tout un chacun peut fournir.

    La pratique s'avre indispensable pour la comprhension des mthodes numriques et de la

    logique sous-jacente et pour l'assimilation des techniques utilises. Nous allons donc proposer

    de manipuler les diffrentes mthodes prsentes sur des exemples concrets. Dans cette

    perspective, mme si de nombreuses implmentations des diffrentes mthodes numriques

    sont dj existantes, mises au point par des professionnels, nous allons essayer de les rcrire

    en les adaptant quelquefois des choix que nous aurons fait au pralable.

    Des fois nous aurons reconsidrer les techniques de modlisation qui nous permettent

    d'obtenir les formulations mathmatiques rsoudre. Question de comprendre le contexte

    dans lequel travaille un numricien professionnel. Cet exercice nous permettra aussi de nous

    entrainer tenir compte de la complexit des problmes concrets et de donner un sens

    certains paramtrages qui simplifieront nos quations de dpart.

    Le cours que nous allons prsenter, nous le voulons vivant, dynamique et perfectible grce

    la contribution et aux observations des collgues, l'interaction avec les tudiants et aux

    diffrents changes qui peuvent, nous l'esprons, avoir lieu son sujet. Il sera complt par

    des vidos qui permettront une meilleure illustration de certaines parties et faciliteront

    l'assimilation de certaines dmonstrations.

  • Table des matires

    Chapitre 1. Gnralits sur l'analyse numrique .......................................... 7

    1. INTRODUCTION ............................................................................................................................ 5

    2.1. Sources et mesures de lerreur .............................................................................................................. 6

    2.2. Evaluation de l'erreur ............................................................................................................................ 7

    2.3. Mthodes itratives .............................................................................................................................. 8

    2.4. Programme informatique ...................................................................................................................... 8

    Chapitre 2. Rsolution des quations numriques .................................... 11

    1. POSITION DU PROBLME .......................................................................................................... 9

    2. METHODE DE DICHOTOMIE .................................................................................................. 10

    2.1. Principe de la mthode : ..................................................................................................................... 10

    2.2. Critre darrt: .................................................................................................................................... 12

    2.3. Programme informatique .................................................................................................................... 12

    2.4. Application de la mthode de dichotomie ........................................................................................... 13

    Utilisation du tableur Excel ........................................................................................................................... 14

    3.3. Ordre et convergence de la mthode de la scante ............................................................................. 14

    3. MTHODE DE LA SCANTE ..................................................................................................... 14

    3.1. Construction ........................................................................................................................................ 14

    3.2. Application de la mthode de la scante ............................................................................................. 15

    3.3. Programme informatique .................................................................................................................... 16

    3.4. Ordre et convergence de la mthode de la scante ............................................................................. 16

    4. MTHODE DE NEWTON ........................................................................................................... 16

    4.1. Construction de la mthode ................................................................................................................ 16

    4.2. Application de la mthode de Newton ................................................................................................ 17

    4.3. Programme informatique .................................................................................................................... 18

    4.4. Ordre et convergence de la mthode de Newton ................................................................................ 18

    4.5. Applications de la mthode de Newton .............................................................................................. 19

    4.5.1. Recherche de l'inverse d'un nombre .................................................................................................. 19

    5. MTHODE DE SUBSTITUTION ............................................................................................... 20

    5.1. Principe de la mthode ....................................................................................................................... 20

    5.2. Conditions de convergence ................................................................................................................. 20

    6. COMPARAISON DES DIFFRENTES MTHODES .............................................................. 21

    7. MTHODES SPCIALES AUX QUATIONS ALGBRIQUES ............................................ 21

    7.1. Application de la mthode de Newton ................................................................................................ 21

    7. 2. Mthode de Graeffe ........................................................................................................................... 23

    Chapitre 3. Interpolation polynomiale .......................................................... 27

  • 1. INTRODUCTION ......................................................................................................................... 27

    2. INTERPOLATION POLYNOMIALE ......................................................................................... 27

    2.1. Le polynme de Lagrange .................................................................................................................... 27

    2.2. Exemple d'application ......................................................................................................................... 28

    3. LE POLYNME DE NEWTON ................................................................................................... 29

    3.2. Exemple d'application ......................................................................................................................... 31

    4. CALCUL DE L'ERREUR .............................................................................................................. 31

    5. PHENOMENE DE RUNGE ..................................................................................................... 33

    6. ALGORITHME DE NEVILLE