Physique 3 Vibrations linaires et ondes mcaniques

Physique 3 Vibrations et ondes mcaniquesLeon n11 : Oscillations forces des systmes deux degrs de libertPlan de la leon : Oscillations forces des systmes deux degrs de libert

Equation du mouvement pour des vibrations forcesVibrations amorties et forces dun systme deux degrs de libert

Equation du mouvement pour des vibrations forces (1)Systme deux degrs de libert masse-ressort-amortisseur

Equation du mouvement pour des vibrations forces (2)Energies cintique et potentielle, Lagrangien et fonction de dissipation :

Les quations de Lagrange scrivent :

Les quations du mouvement sont :

Equation du mouvement pour des vibrations forces (3)Les quations du mouvements sont couples :

Sous forme matricielle, on crit :

o [m], [] et [k] sont les matrices symtriques masse, amortisseur et raideur :

et o sont les vecteurs dplacement et force :

Vibrations amorties et forces dun systme deux degrs de libert (1)Lquation du mouvement gnral scrit :

Nous supposons les forces dexcitation harmoniques de pulsation en donnant aux forces extrieures et aux solutions permanentes du systme la forme :

Vibrations amorties et forces dun systme deux degrs de libert (2)La substitution de ces quations dans lquation matricielle donne :

Que lon peut crire en dfinissant la matrice impdance de dplacement [Z(i)] :

Il ne faut pas confondre Z avec limpdance mcanique vitesse dfinie par qui sert calculer limpdance dentre dun systme en mcanique et en lectricit :

Vibrations amorties et forces dun systme deux degrs de libert (3) avec :

Vibrations amorties et forces dun systme deux degrs de libert, solution (1)On peut rcrire lquation de la manire suivante : O linverse de la matrice impdance scrit :

Vibrations amorties et forces dun systme deux degrs de libert, solution (2)Les quations prcdentes nous donnent les solutions :

Les solutions permanentes compltes x1(t) et x2(t) sont obtenues en multipliant ces solutions par eit.

Exemple 1 : Rponse stationnaire dun systme masse-ressort (1)Enonc : trouvez la rponse stationnaire du systme de la figure quand la masse m1 est excite par la force

Solution : les quations du mouvement du systme scrivent :

que lon peut mettre sous la forme matricielle

Exemple 1 : Rponse stationnaire dun systme masse-ressort (2)La comparaison de lquation prcdente avec lquation montre que :

On suppose une solution de la forme :

Les composantes de la matrice impdance sont :

Exemple 1 : Rponse stationnaire dun systme masse-ressort (3)Nous obtenons X1 et X2 partir de lquation des composantes de linverse de la matrice impdance :

En prenant , qui sont les frquences de rsonances, ces quations scrivent :

Exemple 1 : Rponse stationnaire dun systme masse-ressort (4)On aurait trs bien pu rsoudre le problme plus simplement en crivant directement :

Ce qui donne :

Ce qui donne :

Exemple 1 : Rponse stationnaire dun systme masse-ressort (5) Rponses X1 et X2 en termes du paramtre sans dimension /1. Ces amplitudes deviennent infinies 2= 12 et 2=22. On voit que pour une certaine valeur de , a appele pulsation dantirsonance, la masse m1, laquelle est applique la force, ne bouge pas. Cette caractristique est la base des absorbants dynamiques de vibrations que lon appelle aussi les touffeurs de vibration. On voit aussi que les masses m1 et m2 sont parfois en opposition de phase avec la force F1(t).

Exemple 2 : Oscillations forces et impdance mcanique de deux pendules simples coupls (1)On prend les deux pendules simples coupls par un ressort, mais la masse A1 et soumise la force excitatrice horizontale Fe=FM cos t.

Ecrire les quations diffrentielles couples en 1(t) et 2(t).Ecrire les relations complexes qui concernent les vitesses linaires de A1 et de A2 en rgime force.En dduire limpdance dentre complexe :

Exemple 2 : Oscillations forces et impdance mcanique de deux pendules simples coupls (3)Les quations du mouvement scrivent laide des vitesses complexes :

La deuxime quation donne :

en reportant dans la premire quation, on trouve :

Exemple 2 : Oscillations forces et impdance mcanique de deux pendules simples coupls (4)(c) On en dduit limpdance mcanique complexe dentre Z du systme

Le systme coupl excit fonctionne en filtre mcanique puisque son impdance varie avec la pulsation de la force excitatrice.

Exemple 3 : Antirsonance mcanique (1)Enonc : La figure montre une masser M1 accroche un ressort de raideur k1. Cette masse est excite en rgime forc par une force sinusodale F=F0sint.

Une masse M2 est accroche sous M1 par un ressort de raideur k2. Nous supposons quil existe un amortissement pour les deux masses. Cet amortissement peut tre gal zro, le phnomne dantirsonance que nous allons dmontrer existera toujours. Les variables des quations sont les dplacements x1(t) et x2(t) des masses par rapport leur position dquilibre statique. On supposera k1=k2.

Exemple 3 : Antirsonance mcanique (2)Les quations du systme scrivent :

que lon peut rcrire :

Nous allons supposer F(t)=F0eit et xj(t)=Xjeit et prendre la partie imaginaire par la suite, on trouve :

Exemple 3 : Antirsonance mcanique (3)Soit en utilisant la matrice impdance dplacement [Z(i)]

avec

on trouve :

Exemple 3 : Antirsonance mcanique (4)Si on prend pour simplifier et pour mieux voir les choses =0, on aura :

La frquence dantirsonance est la frquence qui annule X1 :

Les frquences de rsonance sont les frquences qui annulent le dnominateur de X1 et de X2 ( et ) et qui sont solutions du dnominateur, cest--dire de lquation :

Exemple 3 : Antirsonance mcanique (5) Si on crit

et

On peut donc crire la frquence dantirsonance (ant) et les frquences de rsonances ( et ) fonction du rapport M1/M2.On peut mettre X1 et X2 sous la forme :

Ces deux derniers points sont valable mme en prsence dun amortissement diffrent de zro.Dans le cas o M1=M2, nous obtenons lquation bicarre suivante m24-3km2+k2=0 dont les racines sont

0 =0,6180 =1,6180 Signe du dnominateur(2k-m2 )(k-m2)-k2 + --+Signe de k-m2++--Signe de X1+-+-Signe de X2

+--+Exemple 3 : Antirsonance mcanique (6) Les quantits X1 et X2 quand il ny a pas damortissement sont des quantits relles. On peut faire une tude de leur signe :

On a 4 cas :+