Ondes mécaniques - Freealain.lerille.free.fr/Polys/Transparents10.pdfOndes planes stationnaires...

IntroductionEtablissement de l'équation de D'Alembert

Ondes planes stationnairesOndes planes progressives

Exercice

Ondes mécaniques

Mécanique

Saint Louis PC*1

année scolaire 2018-2019

Mécanique Ondes mécaniques



Exercice

ProblématiquePlan

Quel est le spectre d'un instrument à cordes ?




Exercice

ProblématiquePlan

1) démontrer l'équation d'onde




Exercice

ProblématiquePlan

2) chercher des solutions d'ondes stationnaires




Exercice

ProblématiquePlan

3) chercher des solutions d'ondes progressives




Exercice

Onde le long d'une cordePropagation du son dans un solideGénéralisation : équation de d'Alembert

Modélisation d'une corde tendue horizontalement

On s'intéresse à une corde inextensible principalement suivant un

axe Ox tendue avec la tension T0, de masse linéique µ`. On néglige

la pesanteur. On note ~T (x , t) la tension qu'exerce à l'instant t la

partie de �l d'abscisse supérieure à x sur la partie de �l d'abscisse

inférieure à x . Le petit élément de longueur dx entre les abscisses xet x + dx est à l'altitude y(x , t) à l'instant t. Cet élément fait avec

l'axe Ox un angle α(t) petit.Mécanique Ondes mécaniques



Exercice


Etablissement de l'équation de propagation pourune corde vibrante tendue horizontalement(exercice)

Montrer que l'altitude y(x , t) à l'instant t suit

l'équation

∂2y

∂t2= c20

∂2y

∂x2avec c0 =

√T0

µ`




Exercice


Etablissement de l'équation de propagation pour une corde vibrante tenduehorizontalement (exercice)Le théorème du centre de masse s'écrit :

µ` dxd2~r

dt2= ~T (x + dx, t)− ~T (x, t)

dont la projection suivant ~ux donne :

µ` dx∂2x

∂t2≈ 0 = Tx (x + dx, t)− Tx (x, t) =

∂Tx

∂xdx

Aussi, on pourra considérer Tx =∣∣∣~T ∣∣∣ cosα ≈

∣∣∣~T ∣∣∣ = T0, constante. Donc, la

projection suivant ~uy de la tension est Ty =∣∣∣~T ∣∣∣ sinα ≈ T0α, ce qui permet

d'exprimer la projection suivant cet axe du théorème du centre de masse :

µ` dx∂2y

∂t2= T0α (x + dx, t)− T0α (x, t) = T0

∂α

∂xdx

Comme l'angle est α(t) ≈ ∂y∂x

on en déduit l'équation ∂2y

∂t2= c2

0

∂2y

∂x2avec la

célérité de l'onde c0 =

√T0µ`

.




Exercice


Approximation des milieux continus (dé�nition)

Dans l'approximation des milieux continus, la

dimension entre les atomes, ions ou molécules (notée

a) et la longueur d'onde λ des ondes acoustiques qui

s'y propagent sont telles que

a� λ




Exercice


Elasticité d'un solide

l'élasticité d'un solide. Une barre solide de section S de longueur au

repos ` voit cette longueur varier de ∆` sous l'action d'une force ~F .




Exercice


Loi de Hooke et module de YoungLa loi de Hooke stipule que la force pour faire varier

la longueur ` d'une barre solide de section S est

proportionnelle à l'allongement ∆` :

F = E S∆`

`

où E est le module de Young (ou module d'élasticité),

typiquement de l'ordre de E ≈ 1011 N ·m−2.




Exercice


Modélisation d'une tige solide par un milieu continudéformable

On s'intéresse à une tige solide de section S , de masse volumique

µ, suivant la loi de Hooke avec le module de Young E . On néglige

la pesanteur.




Exercice


Etablissement de l'équation de D'Alembert dansle cas de la tige déformable (exercice)

Montrer que dans l'approximation continue, l'équation

suivie par la déformation peut s'écrire :

∂2ξ

∂t2= c20

∂2ξ

∂x2avec c0 =

√E

µ




Exercice


Etablissement de l'équation de D'Alembert dans le cas de la tige déformable(exercice)La longueur du système à vide est

` = [(x + dx)]− [x] = dx

La longueur du système allongé est

`′ = [(x + dx) + ξ(x + dx, t)]− [x + ξ(x, t)] = ` +

∂ξ

∂xdx ⇒ ∆` =

∂ξ

∂xdx

Le théorème de la résultante cinétique donne

µ S dx∂2x

∂t2= µ S dx

∂2ξ

∂t2Fx (x + dx, t)− Fx (x, t) =

∂Fx

∂xdx

En�n la loi de Hooke donne

∂Fx

∂x=

∂

∂x

(E S

∆`

`

)= E S

∂

∂x

(∂ξ

∂x

)= E S

∂2ξ

∂x2

En remplaçant, on trouve µ S dx ∂2x∂t2

= E S ∂2ξ

∂x2dx. On a donc bien c0 =

√Eµ.




Exercice


Modélisation d'un solide par une chaîne in�nie de ressorts

On s'intéresse à une chaîne horizontale (d'axe Ox) de ressorts sans

masse, tous identiques, de longueur à vide l0, de constante de

raideur k , séparés par des particules ponctuelles toutes identiques,de masse m. La masse numéro n est à l'abscisse xn(t). Onnégligera la pesanteur.




Exercice


Établissement de l'équation de D'Alembert dansle cas de la chaîne in�nie de ressorts (exercice)

Montrer que dans l'approximation continue, l'équation

suivie par la déformation peut s'écrire :

∂2ξ

∂t2= c20

∂2ξ

∂x2avec c0 = a

√k

m




Exercice


Établissement de l'équation de D'Alembert dans le cas de la chaîne in�nie de ressorts(exercice)Le théorème de la résultante cinétique donne

md2xn

dt2= m

d2ξn

dt2= −k.

(Xn + ξn − Xn−1 − ξn−1 − l0

)+k. (Xn+1 + ξn+1 − Xn − ξn − l0)

En prenant en compte ce qui se passe à l'équilibre, on trouve :

d2ξn

dt2=

k

m

(ξn+1 + ξn−1 − 2.ξn

)Dans l'approximation des milieux continus, on va pouvoir écrire que la déformationξn varie lentement devant a : ξn(t) = ψ(x ≈ n.a, t). Aussi, on pourra déterminer ladéformation en x ≈ (n − 1) a et en x ≈ (n + 1) a

ξn+1(t) = ψ(x ≈ (n + 1) a, t) ≈ ψ(x ≈ n a, t) + ∂ψ∂x

a + ∂2ψ

∂x2a2

2

ξn−1(t) = ψ(x ≈ (n − 1) a, t) ≈ ψ(x ≈ n a, t)− ∂ψ∂x

a + ∂2ψ

∂x2a2

2

L'équation de la déformation devient alors ∂2ψ

∂t2= c2

0

∂2ψ

∂x2avec c0 = a

√km.




Exercice


Valeurs de la vitesse du son dans di�érents solides

solide plomb plexiglass cuivre aluminium fer granit

c0 en km/s 1,2 1,8 3,8 5,1 5,1 6,0

Table � Vitesse du son dans di�érents solides




Exercice


Equation de d'Alembert (dé�nition)à une dimension, ψ (x , t) suit l'équation de

d'Alembert1

c20

∂2ψ

∂t2=∂2ψ

∂x2

La célérité de l'onde c0 s'exprime en m · s−1A trois dimensions, on peut généraliser :

1

c20

∂2ψ

∂t2= ∆ψ =

∂2ψ

∂x2+∂2ψ

∂y2+∂2ψ

∂z2




Exercice


Propriétés de l'équation de D'Alembertl'équation de d'Alembert est une équation de propagation d'onde. Il

s'agit d'une équation aux dérivées partielles en x , y , z et t.La linéarité de cette équation induit le théorème de superposition.

Si ψ1 et ψ2 sont solutions de l'équation de D'Alembert, alors

a1.ψ1 + a2.ψ2 est aussi solution (avec n'importe quelles constantes

a1 et a2).L'équation de D'Alembert est réversible. En e�et t → −t laisse

invariante l'équation. En optique, on parle de la loi du retour

inverse de la lumière.




Exercice

Ondes planes stationnaires monochromatiquesModes propresSpectre

Onde stationnaire plane (dé�nition)

Dans le cas d'une onde stationnaire plane,

ψ(x , t) = F (x)G (t)

(les dépendances d'une onde stationnaire vis-à-vis des

variables d'espace et de temps sont découplées.)




Exercice


Forme mathématique des ondes stationnaires planes monochromatiques (OSPM)

ψ(x, t) = F (x).G(t) véri�e l'équation de D'Alembert ∂2ψ

∂x2= 1

c20

∂2ψ

∂t2, qui devient

F ”(x) G(t) =1

c20

F (x).G”(t)⇔ c20

F ”(x)

F (x)=

G”(t)

G(t)= cste

en e�et, le premier terme ne dépend que de x, le second que de t : il ne peut s'agir

que d'une constante. Si cette constante est positive, les fonctions sont

exponentielles, et divergent à l'in�ni : ce n'est pas physiquement acceptable. Aussi,

cette constante est négative, et on la notera −ω2. On trouve la solution de

G”(t)G(t)

= −ω2 : G(t) = G0. cos (ω.t + ϕG ). De même, la solution deF ”(x)F (x)

= −ω2

c20

est : F (x) = F0. cos(ωc0.x + ϕF

).




Exercice


Forme mathématique des ondes stationnairesplanes monochromatiques (OSPM)En utilisant la méthode de la séparation des variables,

on peut réécrire les solutions stationnaires de

l'équation de D'Alembert sous la forme

ψ (x , t) = ψ0. cos (k .x + ϕF ) . cos (ω.t + ϕG )

avec k = ωc0.




Exercice


Comportement temporel d'une onde stationnaire

L'onde stationnaire oscille au cours du temps. Elle est comprise

entre ses deux enveloppes.




Exercice


N÷uds de vibration (dé�nition)

Les n÷uds de vibration sont les endroits où

ψ(x , t) = 0∀t.




Exercice


Ventres de vibration (dé�nition)

Les ventres de vibration sont les endroits où

l'amplitude est maximale.




Exercice


Espace entre deux n÷uds de vibration successifs ou deux ventrescos (k.xn + ϕF ) = cos (k.xn+1 + ϕF ) = 0 si

{k.xn + ϕF = π

2+ n.π

k.xn+1 + ϕF = π2

+ (n + 1) .π

soit k. (xn+1 − xn) = π, ou bien encore xn+1 − xn = λ2.

de même pour les ventres : cos (k.xk + ϕF ) = cos(

k.xk+1 + ϕF)

= ±1 si

{k.xk + ϕF = k.π

k.xk+1 + ϕF = (k + 1) .π

soit k.(

xk+1 − xk)

= π, ou bien encore xk+1 − xk = λ2.




Exercice


Espace entre deux n÷uds de vibration successifsou deux ventresDeux n÷uds de vibration successifs sont éloignés deλ2.

Deux ventres de vibration successifs sont éloignés deλ2.




Exercice


FuseauxLes fuseaux sont séparés par deux n÷uds de vibration. Ils

contiennent chacun un ventre de vibration.

La largeur d'un fuseau est la distance entre deux n÷uds de

vibration consécutifs, donc elle vaut λ2.




Exercice


Fuseau avec un n÷ud et un ventre de vibration

un fuseau avec un n÷ud et un ventre de vibration.




Exercice


Modes propres d'une corde vibrante �xée à ses deux extrémitésLes conditions aux limites pour une corde de longueur L �xée à ses deux extrémitésimposent un n÷ud aux deux extrémités donc un nombre entier de fuseaux donc

L = nλ

2⇒ f =

n c0

2 L




Exercice


Modes propres d'une corde vibrante �xée à sesdeux extrémitésLes conditions aux limites pour une corde de longueur

L �xée à ses deux extrémités imposent des solutions

de types OPSM telles que

L = nλ

2⇒ f =

n c02 L

où n est un entier non nul. Ces solutions sont

appelées modes propres de la corde.




Exercice


Résonances sur la corde de Melde

Une extrémité de la corde vibre, tandis que l'autre est �xe. Les

vibrations sont importantes uniquement si la fréquence d'excitation

est une fréquence propre de la corde.Mécanique Ondes mécaniques



Exercice


Synthèse de Fourier en OPSM pour une corde �xée à sesdeux extrémitésLa solution générale de l'équation d'onde est

y(x , t) =∞∑

n=1

sin (kn x) (An cos (ωn t) + Bn sin (ωn t))

où kn = n πL et ωn = n π c0

L . On admet que

An =2

L

∫ L

0

y(x , t = 0) sin (kn x) dx

Bn =2

ωn L

∫ L

0

dy

dt(x , t = 0) sin (kn x) dx




Exercice


Exemple : décomposition de Fourier en OPSM pour unecorde pincéeSi on lâche la corde sans vitesse initiale en la pinçant en x = x0,après l'avoir éloignée de la distance y0 de l'axe Ox , on peut

montrer que Bn = 0 ∀n et

An =y0 L

x0 (L− x0)

√2

L

sin (kn x0)

k2n




Exercice


L'évolution dans le temps d'une corde pincée

Si on lâche la corde sans vitesse initiale en la pinçant en x = x0,après l'avoir éloignée de la distance y0 de l'axe Ox , on peut

montrer que Bn = 0 ∀n et An = y0 Lx0(L−x0)

√2

Lsin(kn x0)

k2n.




Exercice


Dé�nitions physiques relatives à la décomposition de Fourier

• le continu, la moyenne, l'o�set : fcontinu = C0 ;

• l'ondulation : fond (t) =∞∑

n=1

[Cn cos (nω t + φn)] ;

• le fondamental : f1 (t) = C1 cos (ω t + φ1) ;• l'harmonique de rang n : fn (t) = Cn cos (nω t + φn) ;

• la valeur e�cace : feff =√〈f 2 (t)〉 =

√C 20

+ 1

2

∞∑n=1

C 2n (formule

de Parseval).




Exercice


Spectre (dé�nition)

La représentation de |Cn| en fonction de n, ωn ou de

la fréquence fn = ωn2π est le spectre de f .

Exemple de spectre :




Exercice


Le phénomène de Gibbs

Il apparaît parfois une déformation du signal, connue sous le nom

de phénomène de Gibbs. Ce phénomène est un e�et de bord qui se

produit à proximité d'une discontinuité : pour représenter

convenablement une fonction discontinue, il faudrait une in�nité

d'harmoniques.




Exercice

Ondes planes progressives monochromatiquesLien entre ondes progressives et ondes stationnairesOndes progressives en général et paquet d'ondes

Forme d'une OPPM (dé�nition)

Une onde plane progressive monochromatique (ou

harmonique, ou encore OPPM)

• vers les x croissants :

hω = A cos [ω t − k x − ϕ0]

• vers les x décroissants :

mω = A cos [ω t + k x − ϕ0]

avec k = ωc .

On peut généraliser avec la forme :

ψ = A cos[ω t − ~k ·~r − ϕ0

]Mécanique Ondes mécaniques



Exercice


Véri�cation qu'une OPPM est solution del'équation de D'alembert (exercice)Sous quelle condition A. cos [ω.t − k .x − ϕ0],

A. cos [ω.t + k.x − ϕ0] et A. cos[ω.t − ~k .~r − ϕ0

]sont-elles solutions de l'équation de D'Alembert ?




Exercice


Véri�cation qu'une OPPM est solution de l'équation de D'alembert (exercice)

Il faut que ‖~k‖ = ωc.




Exercice


Comportement temporel d'une OPPM

Une onde plane progressive monochromatique (ou harmonique) vers

les x croissants (resp. décroissant) est un sinus qui se déplace vers

la droite (resp. vers la gauche).




Exercice


Grandeurs temporelles d'une OPPM : pulsation,fréquence, période (dé�nition)

• ω : pulsation (en rad · s−1) ;• ν = ω

2π : fréquence (en Hz) ;

• T = 1

ν = 2πω : période (en s).




Exercice


Grandeurs spatiales d'une OPPM : vecteurd'onde, longueur d'onde, nombre d'onde(dé�nition)

• ~k : vecteur d'onde (en rad ·m−1) ;• σ =

|~k|2π : nombre d'onde (en m−1) ;

• λ = 1

σ = 2π

|~k| : longueur d'onde (en m).




Exercice


Relation entre OPPM complexe et réelle(dé�nition)

une onde plane progressive monochromatique a pour

amplitude :

ψ(~r , t) = Re(ψ(~r , t)

)où ψ est l'OPPM complexe associée.

L'amplitude complexe (en ~r , à l'instant t), associée à

une onde plane monochromatique de pulsation ω et

de vecteur d'onde ~k est :

ψ = ψ0 ej(~k ·~r−ω t+ϕ0)

où ψ0 et ϕ sont des constantes.




Exercice


Attention !on aurait pu choisir le complexe conjugué ψ0 e

−j(~k ·~r−ω t+ϕ0) qui a

la même partie réelle. Mais, une fois choisie la convention, il faut

s'y tenir.




Exercice


Attention !Si l'OPPM se propage suivant ~uz , ~k = k.~uz , et on peut réécrire :

ψ = ψ0.ej(k.z−ω.t+ϕ)




Exercice


Intérêt des OPPM complexesOn pourra remplacer l'OPPM réelle ψ par sa forme complexe

associée ψ dans toute équation suivie par ψ, pour peu que cette

équation soit linéaire. L'intérêt est de rendre, avec les complexes,

les calculs... plus simples qu'avec des fonctions trigonométriques !




Exercice


Véri�cation qu'une OPPM complexe est solutionde l'équation de D'alembert (exercice)

Sous quelle condition ψ0.ej(~k.~r−ω.t+ϕ0) est-elle

solution de l'équation de D'Alembert ?




Exercice


Véri�cation qu'une OPPM complexe est solution de l'équation de D'alembert(exercice)

Il faut que∣∣∣~k∣∣∣ = ω

c.




Exercice


Attention !ψ = ψ0.e

j .k.x .e−j .ω.t semble être de la forme F (x) ·G (t),cependant seule compte l'onde réelle

ψ = Re(ψ) = ψ0 cos (ω.t − k .x). On voit ainsi qu'il ne s'agit pas

d'une onde stationnaire.




Exercice


Onde stationnaire comme somme d'ondesprogressives (exercice)

Montrer que l'onde stationnaire apparaît comme la

superposition

• d'une onde plane progressive monochromatique

ψ+ =ψ0

2cos (ω.t − k.x + ϕG − ϕF )

qui se propage vers les x croissants ;

• et d'une onde plane progressive monochromatique

ψ− =ψ0

2cos (ω.t + k.x + ϕG + ϕF )

de même amplitude qui se propage vers les xdécroissants.




Exercice


Onde stationnaire comme somme d'ondes progressives (exercice)

ψ = ψ0. cos (k.x + ϕF ) . cos (ω.t + ϕG )

peut se réécrire

ψ =ψ0

2[cos (ω.t − k.x + ϕG − ϕF ) + cos (ω.t + k.x + ϕG + ϕF )]




Exercice


Ondes stationnaires et ré�exioncette onde stationnaire peut donc naître en particulier de la

ré�exion totale d'une OPPM incidente, du fait de la superposition

de l'OPPM se propageant vers les x croissants (onde incidente) et

de l'OPPM se propageant vers les x décroissants (onde ré�échie).




Exercice


Nécessité d'une superposition d'OPPMune OPPM n'est pas physique car elle a une extension in�nie dans

l'espace et dans le temps. Elle ne �nit jamais, et a débuté il y a un

temps in�ni !

L'OPPM est un outil mathématique intéressant car on peut

décomposer une onde sous la forme de superposition d'OPPM.




Exercice


Forme d'une onde plane progressive en généralOn cherche des solutions à l'équation de D'Alembert :

(∂

∂t− c0

∂

∂x

)(∂

∂t+ c0

∂

∂x

)ψ(x, t) = 0

Si on pose u = t − xc0

,∂h(u)∂t

= ∂h∂u

∂u∂t

= dhdu

et∂h(u)∂x

= ∂h∂u

∂x∂t

= − 1

c0dhdu

.

De même, si v = t + xc0

,∂m(v)∂t

= ∂m∂v

∂v∂t

= dmdv

et∂m(v)∂x

= ∂m∂v

∂x∂t

= 1

c0dmdv

.

h(

t − xc0

)et m

(t + x

c0

)sont donc solutions de l'équation de D'Alembert.




Exercice


Forme d'une onde plane progressive en généralUne onde plane progressive vers les x croissants peut

s'écrire :

ψ(x , t) = h

(t − x

c0

)Une onde plane progressive vers les x décroissants

peut s'écrire :

ψ(x , t) = m

(t +

x

c0

)




Exercice


Forme mathématique d'un paquet d'onde(dé�nition)

La décomposition continue d'une onde plane

complexe se propageant suivant Ox par une

superposition d'OPPM peut s'écrire

ψ =

∫ ∞0

A (ω) e j (ω t−k x) dω

où A (ω) est le spectre de cette onde.




Exercice


Extension d'un paquet d'ondesBien souvent A (ω) 6= 0 dans un domaine très limité, de largeur

∆ω : on parle de paquet d'ondes.

Dans le domaine des fréquences, le paquet d'ondes a une extension

∆ν = ∆ω2π .




Exercice


Paquet d'ondes

un paquet d'ondes. Il a été généré en superposant une vingtaine

d'OPPM.




Exercice


Spectre et transformée de FourierOn peut montrer que le paquet d'onde a, en un endroit, une durée

∆t telle que

∆t ∆ω ≈ 1

De la même façon, un instantané montrerait que l'extension spatiale

de l'onde est ∆x , reliée à la largeur en vecteur d'onde ∆k par :

∆x ∆k ≈ 1




Exercice

Modélisation d'un instrument à corde

Les cordes des instruments de musique sont des objets cylindriques

homogènes, tendus entre deux points séparés par une longueur L.Le rayon du cylindre est a avec a� L.1) La corde de masse linéique µ est tendue avec la tension T0. Au

repos la corde est rectiligne et parallèle à l'axe horizontal (Ox).On étudie les mouvements de la corde autour de sa position

d'équilibre. On note y (x , t) le déplacement (ou ébranlement) du

point de la corde à l'abscisse x à l'instant t. L'axe Oy est l'axe

vertical ascendant.

1.a) Déterminer l'équation aux dérivées partielles que véri�e

l'ébranlement y(x , t).1.b) Calculer la célérité c pour une corde de piano de masse

volumique ρ = 7800 kg ·m−3, de tension T0 = 850 N, de diamètre

φ = 1, 2 mm.




Exercice


2) La corde est �xée à ses deux extrémités, x = 0 et x = L. Oncherche une solutions de l'équation di�érentielle précédente sous la

forme d'une onde harmonique caractérisée par la pulsation ω et la

norme du vecteur d'onde k .2.a) Quelle doit être la forme de cette onde harmonique ?

2.b) Montrer que seulement certaines fréquences sont possibles,

qu'on appellera fréquences propres de la corde.

2.c) Pour un mode propre donné, dé�nir les ventres et les n÷uds

de vibration. Quelle est la distance entre deux ventres consécutifs ?

entre deux n÷uds consécutifs ? entre un ventre et un n÷ud

consécutifs ?




Exercice


3) Solution générale

On écrit la solution correspondant aux conditions aux limites

y(0, t) = y(L, t) = 0 comme une superposition des modes propres :

y(x , t) =∞∑

n=1

[an cos

(n π c tL

)+ bn sin

(n π c tL

)]sin(n π x

L

)On donne les spectres calculés pour une corde pincée à la moitié de

sa longueur puis au cinquième de celle-ci, où cn =√

a2n + b2n :




Exercice


3.a) Comment peut-on expliquer l'absence de certains

harmoniques dans ces spectres ?

On peut montrer que les coe�cients an associés à la corde pincée

décroissent globalement comme 1/n2. En revanche les amplitudes

des di�érents harmoniques de la corde frappée décroissent plutôt en

1/n (au moins à partir d'une certaine valeur de n).3.b) Comparer alors les sons d'un clavecin (instrument à corde

pincées) et d'un piano (instrument à corde frappées). Quel

caractère du son est alors ressenti à l'oreille ?




Exercice


1) Mouvements de la corde autour de sa position d'équilibre1.a) Puisque le poids est négligé, l'élément de corde, de longueur d` ≈ dx, demasse dm = µd`, est soumis à :

• la tension de la portion de �l située à droite : ~T (x + dx, t) ;

• la tension de la portion de �l située à gauche : −~T (x, t).

Le mouvement de la corde ayant lieu selon Oy , le théorème de la résultantecinétique appliqué à cet élément de corde s'écrit :

dm∂2y

∂t2~ey = ~T (x + dx, t)− ~T (x, t)

La projection sur Ox donne

0 = T (x+dx, t) cosα(x+dx, t)−T (x, t) cosα(x, t) ≈ T (x+dx, t)−T (x, t)⇒ T (x, t) = T0

car les angles sont petits. La projection sur Oy donne

µdx∂2y

∂t2= T0 sinα(x+dx, t)−T0 sinα(x, t) ≈ T0 [α(x + dx, t)− α(x, t)] = T0

∂α

∂xdx = T0

∂2y

∂x2dx

On trouve donc

(1)∂2y

∂t2= c2

∂2y

∂x2

où c =

√T0µ

.

1.b) Pour la corde de piano : c =√√√√ 850

7800×π(1,2×10−3

)2

4

⇒

c = 3, 1× 102 m · s−1 .

2) Modes propres, fréquences propres2.a) A cause des conditions aux limites, il faut prendre des ondes stationnaires :

y(x, t) = y0 cos (ω t + ϕ) cos (k x + ψ)

alors∂2y

∂t2= −ω2 y(x, t)

et∂2y

∂x2= −k2 y(x, t)

(1)⇒ ω2 = c2 k2, soit ω = c k .

2.b) Les conditions aux limites imposent :

∀t, y(0, t) = 0⇒ y(x, t) = y0 cos (ω t + ϕ) sin (k x)

et

∀t, y(L, t) = 0⇒ sin (k L) = 0⇔ k L = nπ ⇔ k =n π

L

où n est entier. Or, comme on a vu que ω = c k, alors fn = n c2 L

où n est entier

sont les fréquences propres.

L'élongation correspondante, y(x, t) = y0 cos(

n π c tL

+ ϕ)

sin(

n π xL

)est le

mode propre associé.2.c)Un n÷ud de vibration est un point qui reste immobile :

∀t, y(x, t) = 0⇔ sin

(n π x

L

)= 0⇔

n π x

L= p π ⇔ x =

p

nL =

pλ

2

où p est entier.Un ventre de vibration est un point où l'amplitude de vibration est maximale :

∀t sin

(n π x

L

)= ±1⇔

n π x

L= q π+

π

2= (2 q + 1)

π

2⇔ x = (2 q + 1)

L

2 n= (2 q + 1)

λ

4

où q est entier.

Deux n÷uds (ou deux ventres) consécutifs sont donc distants de λ2

.

Un n÷ud et un ventre consécutifs sont distants de λ4

.

3) Solution générale3.a) Les harmoniques éteints sont ceux qui s'annulent là où α(x) est maximal :- harmoniques pairs pour le premier spectre (L/2),- harmoniques multiples de 5 pour le second spectre (L/5). NB : pour la cordepincée en son milieu, il n'y a que des harmoniques impairs parce qu'une translationd'une demi-période (c'est-à-dire de L) transforme la fonction en son opposé.3.b) Le son d'un clavecin est moins riche en harmoniques que le son d'un pianopuisque les amplitudes des harmoniques élevés sont plus faibles que pour le piano,ce qui se traduit par une di�érence de timbre.


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