PFS - Résolution des problèmes de statique des solides ...

Fabien HOSPITAL – CPGE PCS/IPSI/PC/MP– Lycée Bellevue Toulouse -- [email protected]

PFS - Résolution des problèmes de statique des solides avec

frottement

EExxeemmppllee ddee ssyyssttèèmmee mmééccaanniiqquuee CHARIOT ELEVATEUR DE CHANTIER NAVAL

Réel

y

x

1

3 0

2

Modèle plan

Bateau

Chariot

élévateur

P Q 4

1. Résolution analytique des problèmes de statique avec frottement

2. Résolution graphique des problèmes de statique avec frottement

3. Arc-boutement

2



3. Arc-boutement

3


Rappel : Lois du frottement de glissement (lois de Coulomb).

Si le frottement n’est pas négligeable, il existe une composante

tangentielle à l’action mécanique.

Modèle global Réel

S1

S2 Zone de contact

(S)

zn

12

x

S1

S2

Plan tangent

(π) I

21Fd

Plan tangent

(π)

b

y

x

IZ

T

T

F

0

0

0

12

12

12

21

zn

12

yTxTT yx

.. 121221

zZN

.1221 21R

4



1er

modèle de Coulomb

zn

12

x

S1

S2

(π) I

21T

21N 21R

φ

12 /, SSIV

Cône de

frottement

5



2ème

modèle de Coulomb

zn

12

x

S1

S2

(π) I

21T

21N 21R

φ0

Cône

d’adhérence

6


Etape 1 : On isole le solide ou l’ensemble de solides

considérés (E).

Etape 2 : On identifie le type de problème (problème plan ou

problème spatial, problème symétrique).

Etape 3 : On effectue un Bilan des Actions Mécaniques

Extérieures (BAME) appliquées sur (E).

Etape 4 : On écrit le PFS.

Etape 5 : On projette les équations vectorielles et on résout

le système d’équations scalaires pour déterminer les

inconnues du problème.

7



considérés (E).









8



considérés (E).









9



considérés (E).









10



considérés (E).









11


Prise en compte du frottement :

→ Ajout d’une équation scalaire supplémentaire (du

type Tij = f.Nij à la limite du glissement) pour chaque

couple de solides en contact avec frottement.

12


Application sur le chariot élévateur

Objectif : Déterminer analytiquement les actions mécaniques de

contact entre le sol et les roues lorsque le chariot élévateur est à

l’arrêt sur une pente à la limite du glissement aux points P et Q.


Réel

y

x

1

3 0

2

Modèle plan

Bateau

Chariot

élévateur

P Q 4

13



2

1

3

4 G1

Q

n

y

x

P

n

α

v

n

14



3. Arc-boutement

15


Les lois de Coulomb sont toujours vraies dans un

problème plan mais les relations sont simplifiées car

la direction de l'effort tangentiel est forcement dans

le plan.

zn

12

S1

S2

I 21T

21N 21R

φ

12 /, SSIV

Cône de

frottement

y

16



Objectif : Déterminer graphiquement l’effort extérieur maximum

que l’on peut appliquer en bout de fourche au point M pour faire

basculer le chariot en P. On suppose que les roues ont été

bloquées par un système de freinage et on se place à la limite

du glissement ET du basculement au point P.


Réel

y

x

1

3 0

2

Modèle plan

Bateau

Chariot

élévateur

P Q 4

17




Réel

y

x

1

3 0

2

Modèle plan

Bateau

Chariot

élévateur

P Q 4

0 Freinage

Contact ponctuel en P, de

normale n

, avec frottement Glissière

d’axe ?

4

3

1

Freinage

?

?

2

Contact ponctuel en Q, de

normale n

, avec frottement

g

Motorisation

F

18



y

x

G1

P

M

xgmP

..11

φ=π/6

Cône de

frottement n

Q

2

1

3

4

19


Cas 1 :

y

x

G1

P

M

φ

Cône de

frottement n

Direction

de 30PR

Echelle : 1cm = 5000N J

1P

20


y

x

G1

P

M

φ

Cône de

frottement n

Direction

de 30PR


Direction

de F

1P

21


y

x

G1

P

M

φ

Cône de

frottement n

Direction

de 30PR

F

30PR

1P

Triangle des forces


Direction

de F

1P

22


Cas 2 :

y

x

G1

P

M

φ

Cône de

frottement

n

Direction

de 30PR

Echelle : 1cm = 2500N

J

1P

23


y

x

G1

P

M

φ

Cône de

frottement

n

Direction

de 30PR


J

Direction

de F

1P

24


y

x

G1

P

M

φ

Cône de

frottement

n

Direction

de 30PR

F

30PR 1P

Triangle des forces


J

Direction

de F

1P

25



3. Arc-boutement

26

3. Arc-boutement

Définition

On dit qu'il y a arc-boutement chaque fois que le phénomène

d'adhérence provoque une impossibilité de mouvement (donc

équilibre) quelle que soit l'intensité des efforts mis en jeu.

27

3. Arc-boutement

Application : support de téléphone portable

28

A

B x

x

G x

P

3. Arc-boutement


29

A

B x

x

G x

P

Cône de frottement 1


3. Arc-boutement


30

A

B x

x

G x

P



3. Arc-boutement


31

A

B x

x

G x

P



3. Arc-boutement


32

A

B x

x

G x

P



Zone OK

3. Arc-boutement


33

A

B x

x

G x

P



Limite de glissement en A

Solide soumis à 3 forces Zone OK

3. Arc-boutement


34

A

B x

x

G x

P




Solide soumis à 3 forces

La force en B est bien dans le cône

de frottement équilibre possible

Zone OK

3. Arc-boutement


35

A

B x

x

G x

P



(Δ)

3. Arc-boutement


36

A

B x

x

G x

P



(Δ)

3. Arc-boutement


37

A

B x

x

G x

P



(Δ)


Solide soumis à 3 forces

La force en B est en dehors du cône de

frottement équilibre impossible

3. Arc-boutement

Autre Application

Déterminer graphiquement la zone Z qui représente l’ensemble

des points où peut se situer le point d’intersection des 3

glisseurs qui garantie l’équilibre et donc le non glissement de 5

par rapport à 2.

Réel

y

x

2

Modèle plan

Support de crochet (5)

Fourche du chariot élévateur (2) A

5

Crochet

B C

An

Bn

38

y

x

2

A

5 B

C

An

Bn

3. Arc-boutement

39

y

x

2

A

5 B

C

An

Bn

Cône de

frottement 1

Cône de

frottement 2

φ

φ

3. Arc-boutement

40

y

x

2

A

5 B

C

An

Bn

Cône de

frottement 1

Cône de

frottement 2

φ

φ

3. Arc-boutement

41

3. Arc-boutement

42

3. Arc-boutement

43

3. Arc-boutement

F

44

3. Arc-boutement

F

45

3. Arc-boutement

F

25AR

25BR

F

46

3. Arc-boutement

F

47

ça glisse !

FIN

48

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