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STATIQUE

Statique Thierry Boulay 1

http://thierryboulay.free.fr

Opérations sur les vecteurs et torseursModélisation d’un mécanisme simple pour un calcul de statiqueApplication des théorèmes de la statique à un solide ou un système de solides à l’équilibre ou en mouvement à vitesse constante

Compétences validéesSavoir -faire

Vecteurs : opérations sur les vecteursSystèmes de vecteurs et torseursSystème isolé, classification des forces, loi de l’adhérence et du frottement, exemplesÉquations générales de l’équilibre. Calcul des effortsSystèmes isostatiques et hyperstatiques, systèmes isolés

solides à l’équilibre ou en mouvement à vitesse constante

Contenu pédagogique proposé


Systèmes isostatiques et hyperstatiques, systèmes isolésLiaisons mécaniques – Degré de libertéNotions sur les lois de l’adhérence et du frottement de roulement et de pivotement

Programme Pédagogique National du 10 août 2005 : UE3 module MECA a

Permettre aux étudiants d'appréhender un système mécanique réel, de le modéliser et d’étudier les actions qu’il exerce ou qu’il reçoit des autres systèmes pour savoir comment agir et lui redonner la fonctionnalité pour

Mes objectifs réels

Permettre aux étudiants d'appréhender un système mécanique pour en modifier le cahier des charges et lui donner une fonctionnalité supplémentaire.

systèmes pour savoir comment agir et lui redonner la fonctionnalité pour lequel il avait été prévu, en changeant, modifiant des éléments n'assurant plus leur fonction ou ayant un mode de fonctionnement dégradé.


Pour y parvenir…

7.5 heures de Cours Magistral

18 heures de Travaux Dirigés

9 heures de Travaux

Pratiques

• 1A Système matériel – définition des frontières - Solide (7)• 1B Représentation mathématique des Actions Mécaniques (10)Le système étudié

Sommaire

Modélisation des liaisons

• 2A Les liaisons élémentaires (16)• 2B Degré de liaison –degré de liberté (18)• 2C Torseurs transmissibles (28)• 2D Les liaisons composées (29)• 2E Torseurs transmissibles des liaisons composées (34)


Étude de l’équilibre d’un corps

• 3A Principe général (35)• 3B Notion d’hyperstaticité d’un système (37)• 3C Méthodologie (41)

Sommaire

Méthodologie de

• Présentation du sujet (42)• 4A Déterminer les frontières du système à étudier (43)• 4B Déterminer un repère général pour l’étude (44)• 4C Inventorier les liaisons (45)• 4D Vérifier la résolvabilité globale du système (47)Méthodologie de

travail par l’exemple

Adhérence et Frottement

• 4D Vérifier la résolvabilité globale du système (47)• 4E Réaliser un graphe de liaisons (48)• 4F Lister les études possibles (49)• 4G Analyser les redondances (50)• 4H Établir un tableau d’analyse (52)• 4I Déterminer un ordre d’études (53)• 4J Résoudre suivant l’ordre prévu (54)

• 5A Introduction (58)• 5B Étude (59)• 5C Loi de Coulomb (60)• 5D Phénomènes physiques (61)


Bibliographie (73) Conclusion (74)

Frottement • 5D Phénomènes physiques (61)• 5E Valeurs Usuelles (62)• 5F Roulement et Pivotement (63)

Liaisons non parfaites• 6A Préliminaire (64)• 6B Liaison pivot (65)• 6C Liaison glissière (70)

Préliminaire

La Statique

… est la science de l’équilibre des corps au repos.

La Cinématique

La Dynamique

… est la science de l’équilibre des corps en mouvement sans tenir compte des « causes ».


… est la science de l’équilibre des corps en mouvement en tenant compte des effets qui les produisent ou qui les perturbent.

Système étudié• 1A Système matériel - Définition des frontières - Solide

Système matériel

On appelle système matériel, un ensemble de points matériels composant un corps ou une partie de corps.corps ou une partie de corps.

La notion de système matériel est différente de la notion de corps unique.

Système matériel

Système matériel

Système matériel

Système matériel

Système matériel


Système matériel

matériel


Définition des frontières

Le choix d’un système matériel est donc arbitraire et sa délimitation est laissée à l’appréciation du responsable de l’affaire. Les surfaces limitant le système à l’appréciation du responsable de l’affaire. Les surfaces limitant le système matériel isolé du « monde extérieur » sont appelées : FRONTIERES

En revanche, quand cette frontière est précisée, elle doit rester identique pendant toute la durée de l’étude.

Choix du responsable

Système matériel Système

étudié



Le solide

Un solide est un système matériel unique qui possède une forme propre et non déformable quelque soit l’instant considéré.déformable quelque soit l’instant considéré.

On appellera tout ce qui n’appartient pas à S et exerçant sur celui-ci une ou des actions extérieures.

S

S

A B

(S)

csteABoucsteABSBA ==∈∀2

,


ou des actions extérieures.

Le solide parfaitement indéformable n’existe pas. Toute action mécanique de contact ou à distance engendre des déformations. Si elles sont très

faibles devant les dimensions du solide étudié, elles seront négligées pour l’étude de statique.

Système étudié• 1B Représentation mathématique des Actions Mécaniques

Définition

On appelle Action Mécanique toute cause susceptible de maintenir un corps au repos, ou créer un mouvement, ou de le déformer.repos, ou créer un mouvement, ou de le déformer.

Classification des Actions Mécaniques

Elles sont de deux sortes :

• Les Actions Mécaniques à distance :

� Champ de pesanteur,

� Champ électromagnétique…


• Les Actions Mécaniques de contact :

� Liaisons surfaciques,

� Liaisons linéaires…


Quelques soient leurs natures, les Actions Mécaniques peuvent être EXTERIEURES ou INTERIEURES. Cela dépendra des frontières choisies.

Si le système étudié est S1 :

S2

S3

Si le système étudié est S1 :

• L’A.M. en B de S2 sur S1 est extérieure

• L’A.M. en C de S3 sur S1 est extérieure

• L’A.M. en D de S3 sur S1 est extérieureA

BSi le système étudié est S1 + S2 :


S1

C

D • L’A.M. en B entre S2 et S1 est intérieure

• L’A.M. en C de S3 sur S1 est extérieure

• L’A.M. en D de S3 sur S1 est extérieure

• L’A.M. en A de S3 sur S2 est extérieure

Une Force est une A.M. représentée par un vecteur lié Une Force est une A.M. représentée par un vecteur lié


Une Force est une A.M. représentée par un vecteur lié

Définition

• point d’application,

• direction,

• intensité,

• sens.


• direction,

• intensité,

• sens.


• direction,

• intensité,

• sens.

Remarque :

La notion de vecteur lié est insuffisante pour représenter toutes les A.M..

200 N


La notion de vecteur lié est insuffisante pour représenter toutes les A.M..

On introduit donc la notion de moment d’une force par rapport à un point.


Lors du contact entre deux solides S1 et S2 en B, toute Action Mécanique est entièrement caractérisée, d’un point de vue mécanique, par un torseur d’Action

Représentation

entièrement caractérisée, d’un point de vue mécanique, par un torseur d’Action Mécanique de S2 sur S1 en un point quelconque (par exemple B).

S2 B

{ } { }B

SSSSBB

SSB

SS MFM

FT 1/21/2

1/2

1/2 =

=

Centre de la liaison


Point d’application

S1{ } { }

SSBB

SSB

SS

M1/2

1/2

1/2


Toute Action Mécanique appliquée en un point (souvent centre de la liaison) peut être représenté en un autre point particulier. On applique alors la règle

Relation de transport d’un torseur

peut être représenté en un autre point particulier. On applique alors la règle suivante :

• La force reste inchangée quelque soit le point d’application choisi

• Le moment au nouveau point est égal à l’ancien moment plus la force multipliée par le « bras de levier » entre les points.

Traduction mathématique

F


{ }

∧+==

=

1/21/21/2

1/2

1/2

1/2

1/2

SS

B

SS

A

SS

SS

A

B

SS

SS

B

B

SS

FABMM

F

M

FT


Dans le Système International,

• La force est en Newton (N)

Unités de forces et de moments

• La force est en Newton (N)

• Le moment est en Newton mètre (Nm)

A noter :

1N/mm² = 1MPa

Ne pas confondre Nm et mN


Isaac Newton : Anglais [1642-1727] ; découverte des lois de l’attraction universelle en 1687 ; inventeur du télescope en 1672

Modélisation des liaisons• 2A Les liaisons élémentaires

On appelle liaison élémentaire tout contact mécanique entre deux solides S1 et S2 obtenu à partir de deux surfaces géométriques simples parmi :

Le plan Le cylindre La sphère


Par regroupement technologique de ces surfaces géométriques simples, on obtient 6 liaisons élémentaires.

Modélisation des liaisons• 2A Les liaisons élémentaires

plan cylindre sphère

plan

cylindre

Appui plan Linéaire rectiligne ponctuelle

Pivot glissant Linéaire annulaire


sphère

Pivot glissant Linéaire annulaire

Rotule

Modélisation des liaisons• 2B Degré de liaison – Degré de liberté

Préliminaire

Le mouvement quelconque d’un objet dans l’espace relativement à un référentiel donné (repère lié à l’observateur) peut toujours se définir par :référentiel donné (repère lié à l’observateur) peut toujours se définir par :

3 translations

3 rotations

Relativement aux axes du référentiel fixé.

Rz Tx

TyRy

z


TzRx

Ty

xy


Angles d’Euler

Les 3 translations permettent de positionner le second repère par rapport au premier.premier.

Les 3 rotations se font respectivement autour de z0 ; x1 puis z3.

Z0

z0

y0Tz

y1

z3

y2

θ

Rotation autour de z0 : angle de précession

x0y0z0

Rotation autour de x1 : angle de nutation

x1y1z0

x1y1z0

x1y2z3

ψ

y3

x3


X0

Y0x0

Tz

TxTy

ψ x1

z3ϕ

x1y1z0

Rotation autour de z3 : angle de rotation propre

x1y2z3

x1y2z3

x3y3z3

θ

ϕ


Degré de liberté

On appelle degrés de liberté tous les mouvements que peut réaliser un solide relativement à un repère fixé et donc par rapport à un autre solide fixe. On les relativement à un repère fixé et donc par rapport à un autre solide fixe. On les notera nc pour cinématique.

Pour un solide libre de tout mouvement, on aura alors 6 inconnues de liberté.

Un tiroir ne possède qu’une liberté par rapport au meuble qui est la translation. On aura donc :


translation. On aura donc :

nc = 1

Degré de liaison

On appelle degrés de liaison tous les efforts que peut transmettre un solide relativement à un repère fixé et donc à un autre solide fixe. On les notera ns

• 2B Degré de liaison – Degré de liberté


relativement à un repère fixé et donc à un autre solide fixe. On les notera nspour statique.

Pour un solide complètement bloqué, on aura alors 6 inconnues de liaison.

ne transmettent un effort que dans une

du marteau sur le clou

L’impact du club sur la balle

ou


ns = 1

ne transmettent un effort que dans une direction (perpendiculaire au plan de

contact). On aura donc :

nc et ns pour les liaisons élémentaires



PIVOT GLISSANT

Symbole

Translations possibles TzRotations possibles Rz

nc 2

x


nc 2Efforts transmissibles Fx ; Fy

Couples transmissibles Mx ; Myns 4

y

z

nc + ns = 6




LINEAIRE ANNULAIREy

Symbole

Translations possibles TzRotations possibles Rx ; Ry ; Rz

nc 4

y

x


4Efforts transmissibles Fx ; Fy

Couples transmissibles -----ns 2

z




LINEAIRE RECTILIGNE

Symbole

Translations possibles Tx ; TzRotations possibles Ry ; Rz

nc 4

y

z


4Efforts transmissibles Fy

Couples transmissibles Mxns 2

z

x




APPUI PLANy

Symbole

Translations possibles Tx ; TzRotations possibles Ry

nc 3

y

z


3Efforts transmissibles Fy

Couples transmissibles Mx ; Mzns 3

x




PONCTUELLEy

Symbole

Translations possibles Tx ; TzRotations possibles Rx ;Ry ; Rz

nc 5

y

z


nc 5Efforts transmissibles Fy


z

x




ROTULEz

Symbole

Translations possibles -----Rotations possibles Rx ; Ry ; Rz

nc 3

yz


3Efforts transmissibles Fx ; Fy ; Fz


x

• 2C Torseurs transmissibles


Liaison PG LA LR AP Ponct Rot.

Schéma

Torseur statique

y yyyyy

z zzzz z

x

00 00 00 L0 00 0X


{ }A

SST 1/2

A

A

A

A

AN

M

Z

Y

00

0

0

00

A

A

AZ

Y

A

A

AN

Y 0

0

0

0

A

A

A

AN

L

Y 0

0

0

0

0

0

0

0

A

A

Y

0

0

0

A

A

A

AZ

Y

X

Modélisation des liaisons• 2D Les liaisons composées

Les liaisons composées sont obtenues par regroupement de plusieurs liaisons élémentaires.

• Liaison complète : plan + linéaire rectiligne + ponctuelle• Liaison complète :

• Pivot :

• Glissière :

• Hélicoïdale :

Remarque :

La liaison complète est du point de vue de la statique une liaison spécifique puisque l’on ne considère lors des études que les liaisons qui laissent une liberté

plan + linéaire rectiligne + ponctuelle

pivot glissant + ponctuelle

plan + linéaire rectiligne

pivot glissant + ponctuelle particulière


puisque l’on ne considère lors des études que les liaisons qui laissent une liberté entre les pièces. En effet elle transmet tout ce qu’elle reçoit.

A

A

A

A

A

A

AN

M

L

Z

Y

X

Le torseur représentatif serait :

nc et ns pour les liaisons composées


PIVOTy

z

• 2D Les liaisons composées

Symbole

Translations possibles -----Rotations possibles Rx

nc 1

y


1Efforts transmissibles Fx ; Fy ; Fz

Couples transmissibles My ; Mzns 5

x

Les 5 degrés de libertés annulés par la liaison pivot le sont par :

Modélisation des liaisons• 2D Les liaisons composées

liaison pivot

5 ⇔ 4 + 1 5 ⇔ 3 + 2

2 + 2

L.A.

L.R.

Rotule

Plan

L.A.

L.R.

Ponctuelle

5 ⇔ 4 + 1 5 ⇔ 3 + 2


Remarque :

L’unique différence entre la liaison pivot glissant et la liaison linéaire annulaire est la longueur de guidage qui doit être supérieure au diamètre de la liaison.



GLISSIEREz


Symbole

Translations possibles TxRotations possibles -----

nc 1

y

z


1Efforts transmissibles Fy ; Fz

Couples transmissibles Mx ; My ; Mzns 5

x



HELICOIDALEz


Symbole

Translations possibles TxRotations possibles F(Tx)

nc 1

y

z


1Efforts transmissibles k.Mx ; Fy ; Fz

Couples transmissibles Mx ; My ; Mzns 5

x

• 2E Torseurs transmissibles des liaisons composées


Liaison Pivot Glissière Hélicoïdale

Schéma

Torseur statique

y yy

z zzx

AX 0 AL0 ⋅ AA LLk


{ }A

SST 1/2

A

A

A

A

A

AN

M

Z

Y

X 0

A

A

A

A

A

AN

M

L

Z

Y

0

⋅

A

A

A

A

A

A

AN

M

L

Z

Y

Lk

Étude de l’équilibre• 3A Principe général

Théorème de la statiqueLe principe fondamental de la dynamique (PFD), énoncé par Newton, appliqué à un système matériel fixe, relativement à un repère Galiléen,

Galilée (Galiléo GALILEI) : italien [1564-1642] ; découverte des lois des

appliqué à un système matériel fixe, relativement à un repère Galiléen, traduit l’équilibre du système par les deux équations vectorielles suivantes :

0/

=⋅=∑ amextFSS

0'

/=⋅=∑ ωJextFM

SSA


Galilée (Galiléo GALILEI) : italien [1564-1642] ; découverte des lois des chutes des corps (1602) ; compositions des vitesses ; ralliement aux visions de Copernic ; publication des exactitudes du système du monde (1632)

Nicolas Copernic : polonais [1473-1543] ; hypothèse sur le double mouvement des planètes sur elles mêmes et autour du soleil

Étude de l’équilibre• 3A Principe général

Les deux équations précédentes peuvent se résumer sous la formule :

{ } { }0∑ =T{ } { }0/∑ =

SST

Remarques :

Pour la plupart des systèmes étudiés, un repère lié à la terre constitue une approximation très suffisante ;

Le point d’application n’apparaît pas dans cette équation car il ne s’agit que d’un outil de représentation mathématique :


d’un outil de représentation mathématique :

{ } { }0/∑ =

ASST

Étude de l’équilibre• 3B Notion d’hyperstaticité d’un système

DéfinitionsUn système est isostatique si en enlevant un degré de liaison, cela entraîne la rupture de l’équilibre statique.

Un système est hyperstatique si en enlevant un degré de liaison cela n’entraîne pas la rupture de l’équilibre statique.

Un système est hypostatique s’il manque au moins un degré de liaison pour être en équilibre statique.

Détermination de l’état d’un système

a. Isoler le système à étudier n : nombre de solides constituant le système


a. Isoler le système à étudier

b. Recenser le nombre d’inconnues statiques Is

c. Recenser le nombre d’équations indépendantes R ≤ n . E

d. Comparer Is avec R

constituant le système

E : nombre d’équations

3 si pb plan,

6 si pb spatial

Étude de l’équilibre

Si Is < R

Si Is = R

• 3B Notion d’hyperstaticité d’un système

� le système est hypostatique et possède des mobilités internes

� le système est isostatique

Si Is > R

Exemple

AB

C

Toutes les distances entre deux points font l

� le système est hyperstatique, il ne pourra être complètement déterminé avec les seules équations de la statique, on doit rajouter des équations supplémentaires liées à la géométrie, à la déformation …


BC

DE

FG

deux points font l

Toutes les liaisons sont des pivots glissants


Exemple de calcul


A n = 4AB

C

DE

FG

n =

E =

R =

Is =

L’ordre d’hyper ou d’hypo staticité est noté m et vaut : RIm S −=

4

3

n . E = 12

12


Conclusion :

L’ordre d’hyper ou d’hypo staticité est noté m et vaut : RIm S −=


Exemple suite et fin ….


Au repos le

ATTENTION donc

Au repos le système n’est

pas à l’équilibre statique du fait

de sa géométrie particulière…il

est donc mobile


ATTENTION donc à la notion d’équilibre

Étude de l’équilibre• 3C Méthodologie

a. Déterminer les frontières du système à étudier

b. Déterminer un repère général flottant pour toute l’étude

c. Inventorier les liaisons

d. Vérifier la résolvabilité globale du système

e. Réaliser un graphe de liaisons

f. Lister les études possibles

g. Analyser les redondances

h. Établir un tableau d’analyse


h. Établir un tableau d’analyse

i. Déterminer un ordre d’études qui permette de trouver le plus rapidement possible des résultats numériques

j. Résoudre suivant l’ordre prévu

Exemple• Présentation du sujet

200 100 80 1005

D15

100

150

120

2500 N

6

5

43

2

1A

B

C

D

E

F

G

H


7

6

J

Objectif : déterminer les valeurs des actions mécaniques en tous les points

Exemple• 4A Déterminer les frontières du système à étudier

Objectif : déterminer les valeurs des actions mécaniques en A, D, G, F et J

Les pièces 1 ; 5 et 7 restent à l’extérieur du

système étudié


Exemple• 4B Déterminer un repère général pour l’étude

On prendra un repère général flottant aligné sur les axes principaux du système.

x

y•Tous les points du système appartiennent au plan xOy

•Toutes les forces extérieures appliquées au système appartiennent au plan xOy

•Tous les moments seraient portés par l’axe z


z

Le système est donc considéré comme plan E = 3

Exemple• 4C Inventorier les liaisons

Préliminaire

Représentez le torseur transmissible des liaisons suivantes :

Liaison

Torseur dans

l’espace

x

y

zRotule

x

y

zPivot d’axe z

x

y

zPivot glis. d’axe z

x

y

zAnnulaire d’axe z

0

0

0

A

A

A

AZ

Y

X

0

0

0

0

A

A

A

Y

X

0

A

A

A

A

A

A

M

L

Z

Y

X

00

A

A

A

A

A

M

L

Y

X


l’espace

Torseur dans le plan x0y

0AA

Z

0

A

A

A

Y

X

0

A

A

A

Y

X

0

A

A

A

Y

X

0

A

A

A

Y

X

00A 0AA

ZA

Exemple• 4C Inventorier les liaisons

• En A, F, G3, G6 et H :

0

A

A

Y

X

Rotule

• En D :

• En J :

0

A

ponctuelle de normale y

ponctuelle de normale x

0

0

D

D

Y

0

JX


• En C : AME (Action Mécanique Extérieure)

0

J

−

0

0

2500

C

Exemple• 4D Vérifier la résolvabilité globale du système

n =

E =

4 solides

3 équations indépendantes par solideE =

E x n =

Is =

Is = n x E ⇒

3 équations indépendantes par solide

12

2 x 5 rotules + 1 x 1ponct/y + 1 x 1ponct/x = 12

système résolvable et isostatique


Exemple• 4E Réaliser un graphe de liaisons

A BD

EF

G

5

2

1

C H

J7

6

43

( ( (

)

SX

SY

XS

J

JG

G

GC

−

00000

2500

3

3


) [ ]

[ ] [ ] [ ] (SY

X

Y

X

Y

X

Y

Y

XS

G

G

GH

H

HF

F

FDD

A

A

A

06

04

03

0

0

20

6

6

Exemple• 4F Lister les études possibles

( ( (

) [ ]X

S

SX

SY

XS

A

J

JG

G

GC

−

2

00000

2500

3

3

Systèmes composés d’un solide :

Systèmes composés de deux solides :

2 ; 3 ; 4 ; 6

2U3 ; 3U4 ; 4U6

) [ ]

[ ] [ ] [ ] (SY

X

Y

X

Y

X

Y

YS

G

G

GH

H

HF

F

FDD

AA

06

04

03

0

0

20

6

6


Systèmes composés de deux solides :

Systèmes composés de trois solides :

Systèmes composés de quatre solides :

2U3 ; 3U4 ; 4U6

2U3U4 ; 3U4U6

2U3U4U6

Exemple• 4G Analyser les redondances

Préliminaire

Un système soumis à deux torseurs de type rotules ne peut jamais être résolu ; par contre son étude permet de réduire le nombre des inconnues car sa géométrie impose que les deux torseurs soient «alignés» et «opposés» sa géométrie impose que les deux torseurs soient «alignés» et «opposés» pour qu’il y ait équilibre.

A

B

200{ }

=0/

A

A

A

A

SS Y

XT

{ }

=0/

B

B

B

B

SS Y

XT

• PFD au point A

• Résolution du PFD

• Transport au point A des torseurs

{ }

−

=

=BBB

B

AB

B

B

B

SS XYY

X

Y

XT

2003000/

( ) 2/30:1 YXXXX −=−=⇒=+


300

• Conclusion Une seule inconnue restante

( )( )( ) 2/30200300:3

0:2

2/30:1

BBBB

BABA

BBABA

YXXY

YYYY

YXXXX

=⇒=−

−=⇒=+

−=−=⇒=+

{ }

−

−=

0

2/3

/

B

B

A

A

SS Y

YT { }

=0

2/3

/

B

B

B

B

SS Y

YT

Exemple• 4G Analyser les redondances

L’analyse des redondances permet de supprimer les études qui n’apporteraient rien de plus qu’une autre plus simple.

Un système composé de plusieurs solides dont un soumis à deux torseurs de Un système composé de plusieurs solides dont un soumis à deux torseurs de type rotule et en périphérie du système est équivalent au même système sans le solide particulier.

2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 2U3 ; 3U4 ; 4U6 ; 2U3U4 ; 3U4U6 ; 2U3U4U6

Solide particulier

Solide particulier en périphérie

Solide particulier interne


Étudié en premier lieu

Systèmes inutiles à étudier

Systèmes utiles à étudier

Reste les études : 2 ; 3 ; 6 ; 2U3 ; 3U4U6 ; 2U3U4U6

( ( (

) [ ]X

S

SX

SY

XS

A

J

JG

G

GC

−

2

00000

2500

3

3

Exemple• 4H Établir un tableau d’analyse

) [ ]

[ ] [ ] [ ] (SY

X

Xh

Xg

Xf

X

Y

YS

G

G

GF

F

HF

F

FDD

A

A

A

06

0)(

)(4

0)(3

0

0

20

6

6

Système Inconnues ninc. E conclusion

XA, YA,YD 3 3 Résolvable

YD, XG3, YG3, XF 4 3 Irrésolvable

2

3



XF, XJ, XG6, YG6 4 3 Irrésolvable

XA, YA, XG3, YG3, XF 5 3 Irrésolvable

XG3, YG3, YD, XJ, XG6, YG6 6 3 Irrésolvable

XA, YA, XG3, YG3, XJ, XG6, YG6 7 3 Irrésolvable

3

6

2U3

3U4U6

TOUT

Exemple• 4I Déterminer un ordre d’études




2

3 3YD, XG3, YG3, XF 4 3 Irrésolvable





3

6

2U3

3U4U6

TOUT

Étude A : solide 4 ; on mettra tout en fonction d’une seule inconnue

3

5

5

3

3

3

3


Étude B : solide 2 ; on trouvera des valeurs numériques pour toutes les inconnues

Étude C : solide 3 ou système 2U3 : mêmes inconnues mais moins de torseurs pour le solide 3 donc le solide 3 sera étudié ; valeurs numériques trouvées

Étude D : solide 6 ou système 3U4U6 ou TOUT : mêmes inconnues mais moins de torseurs pour 6 donc le solide 6 sera étudié ; valeurs numériques trouvées

Exemple• 4J Résoudre suivant l’ordre prévu

Étude du solide 4• Inventaire des torseurs

{ }

=4/3

FFX

T { }

=0

4/6

HH

Y

XT


• Transport des torseurs au point :

• Choix d’un point d’application pour appliquer les PFD :

{ }

=

04/3

FFY

T { }

=

04/6

HHY

T

F

{ }

+

=

=HHH

H

FH

H

H

H

XYY

X

Y

XT

10010004/6

∧

−+⋅=∧+=

H

H

HHFY

XzFFHMM

100

1000

( ) HFHF XXXX −=⇒=+ 0:1

F


• Conclusion

( )( )( ) HHHH

HHFHF

HFHF

XYXY

XYYYY

XXXX

−=⇒=+

=−=⇒=+

−=⇒=+

0100100:3

0:2

0:1

{ }

−

=0

4/3

H

H

F

F

X

XT { }

−=

04/6

H

H

H

H

X

XT



{ }

=0

2/

AA

S Y

XT { }

=0

02/3

D

YT { }

−

=00

25002/

C

ST


• Transport des torseurs au point : A

• Choix d’un point d’application pour appliquer les PFD : A

{ }

=

02/

AA

S YT { }

=

02/3

DDY

T { }

002/

C

S

{ }

=

=DDADD

D

YYYT

300

0

0

02/3

∧

+⋅=∧+=

D

DDAY

zFADMM0

0

3000

{ }

−−

=

−

=3000000

2500

00

25002/

AC

C

ST

−∧

−+⋅=∧+=

0

2500

120

2000 zFACMM CCA

( ) 2500025000:1 =⇒=−+ XX


• Conclusion

( )( )( ) 1000300/300000300000300:3

100000:2

2500025000:1

==⇒=−

−=−=⇒=++

=⇒=−+

DD

DADA

AA

YY

YYYY

XX

{ }

−=

01000

25002/

A

A

ST { }

=01000

02/3

D

DT { }

−

=00

25002/

C

C

ST



{ }

−=

01000

03/2

DT { }

−=

03/4

HF

X

XT { }

=0

3

3/

GG

S Y

XT


• Transport des torseurs au point : G

• Choix d’un point d’application pour appliquer les PFD : G

{ }

− 010003/2

D

{ }

−

=0

3/4

HFX

T { }

=

033

3/

GG

S YT

{ }

−=

−=

1800001000

0

01000

0

3

3/2

GD

DT

−∧

−+⋅=∧+=

1000

0

15

180033 zFDGMM DDG

{ }

−=

−=

HH

H

GH

H

F

F

XX

X

X

XT

10003

3/4

−∧

−+⋅=∧+=

H

H

FFGX

XzFFGMM

0

100033


• Conclusion

( )( )( ) 1800100/1800000100180000:3

80018001000100001000:2

180000:1

33

33

−=−=⇒=+

−=−=+=⇒=+−−

=−=⇒=++

HH

HGGH

HGGH

XX

XYYX

XXXX

{ }

−=

01000

03/2

D

DT { }

−

=01800

18003/4

F

FT { }

−=

0800

1800

3

3/

G

G

ST



{ }

=00

6/

JJ

S

XT { }

−=

01800

18006/4

HT { }

=0

6

6/

GG

S Y

XT


• Transport des torseurs au point : G

• Choix d’un point d’application pour appliquer les PFD : G

{ }

006/

J

S{ }

− 018006/4

H 066

6/

GG

S Y

{ }

=

=J

J

G

J

J

J

S X

XXT

2500006

6/

∧

−+⋅=∧+=

0250

0066

J

JJG

XzFJGMM

{ }

−=

−=

1800001800

1800

01800

1800

6

6/4

GH

HT

−∧

−+⋅=∧+=

1800

1800

100

0066 zFHGMM HHG

( ) 10801800720180001800:1 −=−=−−=⇒=++ XXXX


• Conclusion

( )( )( ) 720250/1800000180000250:3

1800018000:2

10801800720180001800:1

66

66

−=−=⇒=+

=⇒=+−

−=−=−−=⇒=++

JJ

GG

JGGJ

XX

YY

XXXX

{ }

−

=00

7206/

J

J

ST { }

−=

01800

18006/4

H

HT { }

−

=01800

1080

6

6/

G

G

ST

Adhérence et Frottement• 5A Introduction

HypothèseDans la statique conventionnelle on considère les liaisons comme parfaites donc sans adhérence

Expérience préliminaire

β

Tant que l’angle α est faible le solide reste immobile, on appelle ce phénomène l’adhérence.

α


Dès que l’angle augmente jusqu’à une certaine valeur β (très légèrement supérieure à une valeur αe), le solide se déplace, on dit alors qu’il y a frottement

Pour la valeur αe, on dit qu’il y a équilibre strict.

Adhérence et Frottement• 5B Étude

y

α

∑ = 0Fext

En projection sur x : mg.sinα + XA =0

Remarque

Pendant la phase de glissement, l’angle α est moindre que l’angle de démarrage du glissement. On parlera donc :

x

mg

GαEn projection sur y : -mg.cosα + YA =0

tgα=|XA/YA|

XA

YA

A


du glissement. On parlera donc :

• de coefficient d’adhérence fa ou angle d’adhérence ϕa

• de coefficient de frottement ff ou angle de frottement ϕf

Avec : ϕa > ϕf et : tg ϕ = f

Adhérence et Frottement• 5C Loi de Coulomb

La force de frottement s’oppose au

mouvement. On écrira 1/21/21/2 .. SSSSSS NtgNfT ϕ==mouvement. On écrira

donc :

1/21/21/2 SSSSSS

Avec :1/2 SST

1/2 SSN

Cône d’adhérence

Effort tangentiel entre les surfaces S2 et S1

Effort normal à la surface entre S2 et S1

ϕ


1/2 SSR

Plan tangent aux surfaces

Tant que R est à l’intérieur du cône il y a adhérence

Dès que R est à l’extérieur du cône il y a frottement

Adhérence et Frottement• 5D Phénomènes physiques

L’état de surface

RUGOSITE

Avec bourrelet

frontalUne ligne

La nature des contacts

Une Surface

RUGOSITE


La nature de l’interface• Huile

• Graisse

• « rouille »

Adhérence et Frottement• 5E Valeurs Usuelles

Matériaux en contact fa à sec fa lubrifiéMatériaux en contact fa à sec fa lubrifiéAcier sur acier 0.18 0.12

Acier sur fonte ou acier sur bronze 0.19 0.11

Téflon sur téflon 0.03

Téflon sur acier 0.04

Fonte sur bronze 0.16 0.08

Fonte sur fonte 0.16

Métaux sur bois 0.55 0.1


Métaux sur bois 0.55 0.1

Palier hydrostatique 0.0001

Pneu sur route 0.8 0.3

Garniture de friction sur acier 0.4

Cuir sur acier ou fonte 0.25

Adhérence et Frottement• 5F Roulement et pivotement

Dans la phase de frottement il peut y avoir soit translation soit rotation.

• Pour la rotation on parle de

• Pour la translation on parle de frottement de glissement

Représentation

• Pour la rotation on parle de

frottement de roulement si :

L’axe est // à la surface de contact

frottement de pivotement si :

l’axe de rotation est ⊥à la surface de contact.

yFrottement de pivotement


Représentation

x

z

Frottement de roulement

Frottement de pivotement

Liaisons non parfaites• 6A Préliminaire

Dans le domaine de la mécanique il existe deux liaisons essentielles que l’on rencontre dans tous les systèmes, il s’agit de :

• La liaison pivot avec prise en compte du frottement• La liaison pivot avec prise en compte du frottement

• La liaison glissière avec prise en compte du frottement

En revanche la technologie utilisée pour les réaliser va générer des imperfections qu’il convient d’analyser pour s’assurer que le modèle initial correspond au modèle choisi.

La liaison pivot est en fonction de la vitesse de rotation soit réalisée par des paliers lisses (grandes vitesses) soit par des roulements (vitesses faibles).


paliers lisses (grandes vitesses) soit par des roulements (vitesses faibles).

La liaison glissière est en fonction de la vitesse linéaire et des pressions de contacts soit réalisée par des contacts directs (⇔ aux paliers) soit par des éléments roulants (⇔ aux roulements).

Liaisons non parfaites• 6B Liaison pivot

En fonction du type de lubrification on rencontre deux phénomènes :

� Le régime onctueux

Par palier

� Le régime onctueux

� Le régime hydrodynamique

Le régime onctueux dans le cas des graissages ou huilages « naturels » par barbotage, gravité,…

Le régime hydrodynamique dans le cas des graissages ou huilages « pilotés » par pression.



On utilise des paliers massifs

Les coefficients de frottement rencontrés sont :

Par palier en régime onctueuxIl s’agit ici du coefficient

de frottement de glissement

Les coefficients de frottement rencontrés sont :

Matériauxff

À sec lubrifié

Acier / bronze 0.15 0.1

Acier / acier 0.15 – 0.2 0.1

Fonte / fonte 0.15 0.1

Acier / nylon 0.02 – 0.11

Acier / téflon 0.05 – 0.15

glissement


Acier / téflon 0.05 – 0.15

La puissance consommée par le palier vaut :

ω⋅⋅⋅= rfNP f

Force en (N)

Rayon de l’arbre en (m)

Vitesse angulaire en rad/s


Il s’agit ici d’une disposition constructive très particulière avec amenée d’huile sous pression.

Par palier en régime hydrodynamique

sous pression.

Le coefficient de frottement en régime établi est de 0,01 à 0,1 et la pression admissible est 200 fois supérieure à celle des paliers massifs.

On utilise des paliers minces spécifiques pour la création d’un coin d’huile.

Au repos

En mouvement

pression

Zone de pression

nulle


Pour limiter le problème d’usure au démarrage, on peut y adjoindre des paliers hydrostatiques.

Remarque :

pression

Zone de dépression

Zone de pression

Animation


On retrouve le frottement de roulement et le frottement de glissement.

Par éléments roulants

r : rayon

Le coefficient de frottement de roulement est δ et vaut :

δ

Bille ou rouleau

Bague intérieure

r : rayon de la bille

Remarque :

Frottement de roulement :


matériaux δ (mm)

Acier trempé / acier trempé 0,0005 – 0,001

Fonte grise / acier trempé 0,05

Pneu / chaussée 0,5 - 2

Le coefficient de frottement de roulement est 100 fois plus petit que le coefficient de glissement. La puissance consommée par le roulement est donc très faible par rapport aux paliers.

Remarque :


On retrouve le frottement de roulement et le frottement de glissement.


Frottement de glissement :


La puissance consommée par les roulements est donc très faible par rapport aux paliers.

Conclusion :

Liaisons non parfaites• 6C Liaison glissière

Il s’agit ici de faire glisser de façon linéaire un élément par rapport à un rail.

On retrouve les mêmes problèmes que pour la liaison pivot. La seule différence est la non utilisation de la lubrification hydrodynamique. En effet la non continuité de la vitesse ne permet pas d’assurer une lubrification économique entre les deux éléments.

La liaison glissière est en fonction de la vitesse linéaire et des pressions de


La liaison glissière est en fonction de la vitesse linéaire et des pressions de contacts soit réalisée par des contacts directs (⇔ aux paliers) soit par des éléments roulants (⇔ aux roulements).


Par paliers

Il existe deux solutions simples à mettre en œuvre :

�Par formes complémentaires : Clavette�Par formes complémentaires :

�Avec deux cylindres en //

Clavette

Cannelure

Méplat

!Hyperstatique


Remarque :

L’ajustement entre les solides est du type H7g6 ; H7f8 …

Pour un bon fonctionnement, donc éviter l’arc-boutement, il faut L ≥ 2.D

Hyperstatique



Douille à billes Rail de guidage à rouleaux


• Mécanique Statique I – Méthode Analytique : par JP. Larralde chez MASSON

Bibliographie

chez MASSON • Guide de Mécanique : par JL. Fanchon chez NATHAN• Construction Mécanique : par F. Esnault chez DUNOD• La Mécanique par les Problèmes – STATIQUE : par A. Campa,

R. Chappert, R. Picand chez FOUCHER• Statique : par JL. Meriam, LG. Kraige chez REYNAUD GOULET INC.• Conception des machines 1 statique : par G. Spinnler chez PRESSES POLYTECHNIQUES ET UNIVERTAIRES ROMANDES• Systèmes Mécaniques : par M. Aublin, R. Boncompain,… chez DUNOD• Mécanique et Automatique : par R. Papanicola chez ELLIPSES


• Mécanique et Automatique : par R. Papanicola chez ELLIPSES• Mécanique des solides rigides : JM Berthelot chez Tec & Doc•….

Merci à eux…

La statique n’est aucunement une fin en soi elle est seulement indispensable dans l’étude des mécanismes car elle est à la base de tout….

Conclusion

l’étude des mécanismes car elle est à la base de tout….

Comment ouvrir une porte ou déboucher un crayon si l’on ne sait pas modéliser le système et calculer les efforts qu’il faut exercer et qu’il engendre…!

Alors à vos crayons, et travailler non pas pour subir le système mais pour l’observer, le comprendre, l’analyser et agir.

Vous pouvez retrouver l’intégralité de ce cours et d’autres ainsi


que des TD, DS et TP sur le site :

http://thierryboulay.free.fr

Travail, Comportement et participation

Ils font l’objet d’une note, calculée tout au long du semestre et validée dans la moyenne au moment du jury.

Cette note est établie de la façon suivante : Cette note est établie de la façon suivante :

Chacun d’entre vous commence le semestre avec 10/20.

Une bonne participation, un comportement positif, des progrès dans le travail, des initiatives intéressantes, etc. seront récompensés de points positifs.

Tout manque de soin, d’oubli du travail, de comportement gênant ou désagréable, tout refus de participer, travailler etc. seront sanctionnés par des points négatifs.


par des points négatifs.

Date : Lu et approuvé, signature

Nom Prénom :

Annexes


( ( (

) [ ]X

S

SX

SY

XS

A

J

JG

G

GC

−

2

00000

2500

3

3


) [ ]

[ ] [ ] [ ] (SY

X

Xh

Xg

Xf

X

Y

YS

G

G

GF

F

HF

F

FDD

A

A

A

06

0)(

)(4

0)(3

0

0

20

6

6




2







( ( (

) [ ]X

S

SX

SY

XS

A

J

JG

G

GC

−

2

00000

2500

3

3


) [ ]

[ ] [ ] [ ] (SY

X

Xh

Xg

Xf

X

Y

YS

G

G

GF

F

HF

F

FDD

A

A

A

06

0)(

)(4

0)(3

0

0

20

6

6




2

3







3

( ( (

) [ ]X

S

SX

SY

XS

A

J

JG

G

GC

−

2

00000

2500

3

3


) [ ]

[ ] [ ] [ ] (SY

X

Xh

Xg

Xf

X

Y

YS

G

G

GF

F

HF

F

FDD

A

A

A

06

0)(

)(4

0)(3

0

0

20

6

6




2

3







3

6

( ( (

) [ ]X

S

SX

SY

XS

A

J

JG

G

GC

−

2

00000

2500

3

3


) [ ]

[ ] [ ] [ ] (SY

X

Xh

Xg

Xf

X

Y

YS

G

G

GF

F

HF

F

FDD

A

A

A

06

0)(

)(4

0)(3

0

0

20

6

6




2

3







3

6

2U3

( ( (

) [ ]X

S

SX

SY

XS

A

J

JG

G

GC

−

2

00000

2500

3

3


) [ ]

[ ] [ ] [ ] (SY

X

Xh

Xg

Xf

X

Y

YS

G

G

GF

F

HF

F

FDD

A

A

A

06

0)(

)(4

0)(3

0

0

20

6

6




2

3







3

6

2U3

3U4U6

( ( (

) [ ]X

S

SX

SY

XS

A

J

JG

G

GC

−

2

00000

2500

3

3


) [ ]

[ ] [ ] [ ] (SY

X

Xh

Xg

Xf

X

Y

YS

G

G

GF

F

HF

F

FDD

A

A

A

06

0)(

)(4

0)(3

0

0

20

6

6




2

3







3

6

2U3

3U4U6

TOUT

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