PCSI /MPSI Formulaire de trigonométrie 2009-2010 Il est indispensable de connaître parfaitement les formules ci- dessous, ainsi que des techniques pour les retrouver facilement. 0- Les lignes remarquables :

3 2 1

cos(0) 1; cos( ) ; cos( ) ; cos( ) ; cos( ) 06 2 4 2 3 2 2

π π π π= = = = =

1 2sin(0) 0 ; sin( ) ; sin( ) ; sin( ) ; sin( ) 1

6 2 4 2 3 2 2

3π π π π= = = = =

1tan( ) ; tan( ) 1; tan( ) 3

6 4 33

π π π= = =

1- Les angles associés : Pour tout x réel, on a :

cos( ) cos( )x x− = ; cos( ) cos( )x xπ + = − ; cos( ) cos( )x xπ − = − ; cos( ) sin( )2

x xπ

+ = − ;cos( ) sin( )2

x xπ

=−

sin( ) sin( )x x− = − ; sin( ) sin( )x xπ + = − ; sin( ) sin( )x xπ − = ; sin( ) cos( )2

x xπ

+ = ; sin( ) cos( )2

x xπ

=−

Pour tout x appartenant à { },2

k kπ π− + ∈ℝ ℤ , on a :tan( ) tan( )x x− = − ; tan( ) tan( )x xπ + = ; tan( ) tan( )x xπ − = −

2- Les équations trigonométriques : α est un réel quelconque : cos( ) cos( )x α= ⇔ il existe un entier k tel que : 2 , 2x k ou x kα π α π= + = − +

sin( ) sin( )x α= ⇔ il existe un entier k tel que : 2 , 2x k ou x kα π π α π= + = − +

tanDα ∈ : tan( ) tan( )x α= ⇔ il existe un entier k tel que : x kα π= +

3- Formules d’addition : Pour tous réels a et b : cos( ) cos( ) cos( ) sin( )sin( )a b a b a b+ = − ; sin( ) sin( ) cos( ) cos( )sin( )a b a b a b+ = +

cos( ) cos( ) cos( ) sin( )sin( )a b a b a b− = + ; sin( ) sin( ) cos( ) cos( )sin( )a b a b a b− = −

Remarquons que, pour b a= − la 1ère formule donne : 2 2cos ( ) sin ( ) 1a a+ = .

Pour tous réels a et b « autorisés » : tan( ) tan( )

tan( )1 tan( ) tan( )

a ba b

a b

++ =

− ;

tan( ) tan( )tan( )

1 tan( ) tan( )

a ba b

a b

−− =

+

Pour tout réel a : 2 2 2 2cos(2 ) cos ( ) sin ( ) 2cos ( ) 1 1 2sin ( )a a a a a= − = − = − ; sin(2 ) 2sin( ) cos( )a a a=

3cos(3 ) 4cos ( ) 3cos( )a a a= − ; 3sin(3 ) 3sin( ) 4sin ( )a a a= −

Pour tout réel a « autorisé » : 2

2

1 tan ( )cos(2 )

1 tan ( )

aa

a

−=

+ ;

2

2 tan( )sin(2 )

1 tan ( )

aa

a=

+ ;

2

2 tan( )tan(2 )

1 tan ( )

aa

a=

−

4- Formules de transformation :

Pour tous réels a et b : 1

cos( ) cos( ) (cos( ) cos( ))2

a b a b a b= + + − ; 1

sin( )sin( ) (cos( ) cos( ))2

a b a b a b= − + − −

1sin( ) cos( ) (sin( ) sin( ))

2a b a b a b= + + −

Pour tous réels p et q : cos( ) cos( ) 2cos( ) cos( )2 2

p q p qp q

+ −+ = ; cos( ) cos( ) 2sin( )sin( )

2 2

p q p qp q

+ −− = −

sin( ) sin( ) 2sin( ) cos( )2 2

p q p qp q

+ −+ = ; sin( ) sin( ) 2cos( )sin( )

2 2

p q p qp q

+ −− =

Pour tous réels p et q autorisés : sin( )

tan( ) tan( )cos( ) cos( )

p qp q

p q

++ = ;

sin( )tan( ) tan( )

cos( ) cos( )

p qp q

p q

−− =

Pour tous réels a et b non tous deux nuls, et pour tout réel x : 2 2cos( ) sin( ) cos( )a x b x a b x ϕ+ = + − ,

où ϕ est un réel tel que : 2 2

cos( )a

a bϕ =

+ et

2 2sin( )

b

a bϕ =

+ .