Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot -...

25
Révisions d’été PCSI/MPSI 7PSI* Lycée Carnot - Dijon P. Colin juin 2018 Données numériques Constante de Planck h 6, 6.10 -34 J.s Faraday 96500 C Nombre d’Avogadro N a 6, 02.10 23 mol -1 Vitesse de la lumière dans le vide c 3.10 8 m.s -1 Quantum de charge e 1, 6.10 -19 C Table des matières 1 Mécanique 3 1.1 Cinématique du point et du solide ....................... 3 1.2 Ressorts ...................................... 3 1.3 Dynamique newtonienne ............................. 4 1.4 Mouvement de particules chargées ....................... 5 1.5 Mouvement de rotation autour d’un axe fixe .................. 5 1.6 Mouvement dans un champ de force centrale conservatif ........... 6 2 Signaux physiques 7 2.1 Oscillateur harmonique .............................. 7 2.2 Propagation d’un signal ............................. 7 2.3 Optique géométrique ............................... 8 2.4 Introduction au monde quantique ........................ 9 2.5 Circuits électriques dans l’A.R.Q.S........................ 10 2.6 Circuit linéaires du premier ordre ........................ 10 2.7 Oscillateurs amortis ............................... 11 2.8 Filtrage linéaire .................................. 12 1

Transcript of Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot -...

Page 1: Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijonpcolin.lycee-carnot.synology.me/IMG/pdf/revision_ete.pdf · Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijon

Révisions d’été PCSI/MPSI 7→ PSI*Lycée Carnot - Dijon

P. Colin

juin 2018

Données numériques

Constante de Planck h ∼ 6, 6.10−34 J.sFaraday 96500 CNombre d’Avogadro Na ∼ 6, 02.1023 mol−1

Vitesse de la lumière dans le vide c ∼ 3.108 m.s−1

Quantum de charge e ∼ 1, 6.10−19 C

Table des matières

1 Mécanique 31.1 Cinématique du point et du solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Ressorts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Dynamique newtonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Mouvement de particules chargées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Mouvement de rotation autour d’un axe fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6 Mouvement dans un champ de force centrale conservatif . . . . . . . . . . . 6

2 Signaux physiques 72.1 Oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Propagation d’un signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Optique géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 Introduction au monde quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5 Circuits électriques dans l’A.R.Q.S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.6 Circuit linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.7 Oscillateurs amortis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.8 Filtrage linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1

Page 2: Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijonpcolin.lycee-carnot.synology.me/IMG/pdf/revision_ete.pdf · Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijon

3 Transformation de la matière 143.1 Description d’un système et évolution vers un état final . . . . . . . . . . . 143.2 Évolution temporelle et mécanismes réactionnels . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Architecture de la matière 154.1 Classification périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Molécules et solvants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5 Thermodynamique 165.1 Description macroscopique d’un système à l’équilibre . . . . . . . . . . . . . 165.2 Énergie échangée par un système au cours d’une transformation . . . . . . . 165.3 Premier principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.4 Deuxième principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.5 Machines thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6 Induction et forces de Laplace 196.1 Champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.2 Action d’un champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.3 Lois de l’induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.4 Circuit fixe dans un champ magnétique qui dépend du temps . . . . . . . . 206.5 Circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire . . . . . . . . . . . . 21

7 Architecture de la matière condensée : solides cristallins 22

8 Transformations chimiques en solution aqueuse 238.1 Réactions d’oxydo-réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238.2 Réactions acide-base et de précipitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238.3 Diagrammes potentiel-pH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

9 Outils mathématiques 25

2

Page 3: Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijonpcolin.lycee-carnot.synology.me/IMG/pdf/revision_ete.pdf · Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijon

1 Mécanique

1.1 Cinématique du point et du solide

1. Mouvement circulaireDonner les expressions de la vitesse et l’accélération d’un mobile en mouvementcirculaire uniforme de rayon R à la pulsation ω autour d’un point O ? Même questionpour un mouvement circulaire non uniforme [ω(t)].

1.2 Ressorts

2. Forces exercées par quelques ressorts

Dans tout l’exercice, les réponses sont à donner en fonction des seuls paramètres x,x1, x2 (les abscisses des points M, M1, M2), z, z1, z2 (leur côte), h (l’abscisse du pointH) k, l0 (la raideur et la longueur à vide des ressorts), et enfin ~ux ~uz (les vecteursunitaires selon les axes Ox et Oz). Ici, on ne s’intéresse pas aux poids des masses niaux réactions des supports mais simplement aux forces exercées par les ressorts.

(a) Dans le cas 1, les deux ressorts ont la même longueur à vide l0 et la mêmeraideur k0. La masse M ne peut se déplacer que selon l’axe Ox. Quelle est laforce totale subie par le point M?

(b) Dans le cas 2, les masses M1 et M2 d’abscisses respectives x1 et x2 peuvent sedéplacer sur une tige d’ordonnée z. Un ressort relie les deux masses. Quelle estla force ~F1 subie par la masse M1 et celle ~F2 subie par M2 ?

(c) La masse M peut se déplacer selon l’axe x, quelle est la force exercée par leressort sur cette masse ?

(d) Dans le cas 4, la masse M est suspendue à un ressort. Quelle est l’expression dela force du ressort ?

3

Page 4: Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijonpcolin.lycee-carnot.synology.me/IMG/pdf/revision_ete.pdf · Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijon

(e) Le cas 5 est un peu plus délicat. La question est toujours la même : quelles sontles forces subies par les deux masses ?

1.3 Dynamique newtonienne

3. Oscillations d’un pendule simpleUn objet ponctuel A de masse m est supendu à l’extrémité d’un fil de masse négli-geable dont l’extrémité O est fixe. On ne considère que les mouvements dans le planvertical Oxy perpendiculaire à un axe Oz horizontal. On tient compte d’une forcede frottement fluide proportionnelle à ~v, en notant h le coefficient de proportionna-lité. On repère la position de A par l’angle θ entre le fil et la verticale. On supposeque le référentiel terrestre est galiléen. On désigne par ~g = g~ux l’accélération de lapesanteur.(a) Déterminer l’équation différentielle du mouvement de A par deux méthodes.

(b) Les frottements sont suffisament faibles pour que le régime soit pseudo-périodique.Déterminer la condition sur h pour qu’il en soit ainsi.

(c) On lâche le pendule sans vitesse initiale d’une position faisant un angle θ0 faible.Linéariser l’équation différentielle du mouvement puis déterminer l’expressionde θ en fonction du temps.

(d) Donner l’allure de la courbe représentant θ(t).

(e) Tracer le portrait de phase correspondant.4. Étude d’un oscillateur à l’aide de son portrait de phase

On fait l’étude du mouvement d’un point matériel M de masse m connue astreint àse déplacer suivant l’axe Ox, de vecteur unitaire ~ux. Il est soumis uniquement auxforces suivantes :— La force de rappel d’un ressort de raideur k et de longueur à vide l0 ;— Une force de frottement visqueux : ~fv = −λx~ux ;— Une force constante ~Fc = Fc~ux.

(a) Équation du mouvementi. Établir l’équation différentielle du mouvement de M et la mettre sous la

forme :x+

ω0

Qx+ ω2

0x = ω20X0

où x est l’allongement du ressort. Exprimer les grandeurs ω0, Q et X0 enfonction de m, k, λ, l0 et Fc.

ii. Dans le cas d’une solution pseudo-périodique, exprimer x(t). On fera ap-paraître un temps τ caractéristique de la décroissance de l’amplitude desoscillations et la pseudo-pulsation Ω de celles-ci.

(b) On suppose que les paramètres k, λ, l0 et Fc sont inconnus. Pour les déterminer,on enregistre expérimentalement le portrait de phase dans le cas d’une solutionpseudo-périodique.

4

Page 5: Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijonpcolin.lycee-carnot.synology.me/IMG/pdf/revision_ete.pdf · Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijon

i. Donner l’allure de celui-ci.ii. Montrer que l’on obtient par une lecture directe X0 ainsi que x(t = 0) et

x(t = 0).iii. On suppose que l’on peut repérer le temps sur le portrait de phase. Montrez

que l’on peut alors obtenir la valeur de Ω.iv. Que reste-t-il à déterminer pour caractériser totalement l’oscillateur ? Com-

ment pourrait-t-on l’obtenir à partir de la lecture du portrait de phase ?

5. Plan incliné

Figure 1 – Plan incliné

Un pavé supposé ponctuel, de masse m, glisse sans frottement sur un plan inclinéd’un angle α par rapport à l’horizontale.(a) Faire le bilan des actions s’exerçant sur le pavé et les représenter sur la figure 1.(b) Projetez ces forces dans la base cartésienne associée au plan.(c) A t = 0, on lance le pavé depuis le point O avec une vitesse initiale de norme

v0 et orientée vers le haut ; déterminer la distance parcourue avant qu’il neredescende par utilisation d’un théorème énergétique.

1.4 Mouvement de particules chargées

6. Choix d’un champ de force adaptéQuel champ électrique ou magnétique faut-il utiliser si :(a) On désire modifier l’énergie cinétique d’une particule ;(b) On désire courber la trajectoire sans fournir d’énergie à la particule.

1.5 Mouvement de rotation autour d’un axe fixe

7. Ordres de grandeur des moments cinétiquesPour chaque question, on donnera l’expression littérale de(s) grandeur(s) deman-dée(s) puis on fera l’application numérique.(a) Le moment d’inertie de la Terre en rotation uniforme autour de l’axe passant

par ses pôles vaut J = 13MTR

2T avec MT = 6, 0.1024 kg et RT = 6, 4.103 km.

Calculer le moment d’inertie de la Terre et son moment cinétique par rapportà l’axe de ses pôles.

5

Page 6: Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijonpcolin.lycee-carnot.synology.me/IMG/pdf/revision_ete.pdf · Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijon

(b) Dans le modèle de Bohr, le mouvement de l’électron autour du noyau est assimiléà un mouvement circulaire et uniforme de centre O confondu avec le noyau. Latrajectoire de rayon r0 = 53 pm est parcourue à la fréquence f = 6, 6.1015 Hz.La masse de l’électron vaut me = 9, 1.10−31 kg. Calculer le moment cinétiquede l’électron.

(c) Un tambour de machine à laver le linge, de rayon R = 25 cm et de massem = 5 kg tourne à la vitesse angulaire de 1000 tr.min−1. Calculer son momentcinétique par rapport à son axe de rotation sachant que son moment d’inertiepar rapport à cet axe vaut J = 0, 9 mR2.

1.6 Mouvement dans un champ de force centrale conservatif

8. Vitesse de libérationDémontrer l’expression de la vitesse de libération à la surface de la Terre. Fairel’application numérique.

9. Influence du lieu de lancement d’un satelliteOn projette de construire une nouvelle base de lancement de fusée et deux choixnous sont proposés. L’un des deux est situé à Paris et l’autre à Kourou en GuyaneFrançaise. Les familles préférerait que la base soit située à Paris pour éviter l’éloi-gnement. On se propose de calculer la différence de carburant nécessaire pour lancerun satellite depuis ces deux bases.Donnée : Rayon terrestre RT = 6400 km ; accélération de pesanteur à la surface dela terre : g0 = 9, 8 m.s−2 ; durée d’un jour sidéral TS = 23 h 56 min.

(a) Quel référentiel d’étude peut-on choisir ?

(b) On veut placer le satellite sur une orbite basse (i.e. rasante d’altitude quasinulle). Calculez l’énergie d’un satellite de masse m = 100 kg en orbite basse.

(c) Comparez l’énergie à fournir au satellite dans le cas où il est lancé depuis Kourou(5 Nord) et depuis Paris (48 Nord). A-t-on intérêt à lancer le satellite versl’est ou vers l’ouest ? (En Israël, le lancement se fait vers l’ouest et à Kourou lelancement se fait vers l’est)

(d) Dans le cas d’un satellite géostationnaire, voyez vous un autre intérêt à la basede Kourou par rapport à une située à Paris ?

6

Page 7: Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijonpcolin.lycee-carnot.synology.me/IMG/pdf/revision_ete.pdf · Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijon

2 Signaux physiques

2.1 Oscillateur harmonique

10. Vibration d’un diapasonUn diapason vibre à la fréquence du La4, soit f = 440 Hz. On mesure sur une photol’amplitude du mouvement de l’extrémité des branches A = 0, 5 mm.(a) Quelle est la vitesse maximale de l’extrémité du diapason ?(b) Quelle est l’accélération maximale de ce point ?

2.2 Propagation d’un signal

11. Tension sinusoïdaleUne tension sinusoïdale de valeur instantanée u(t) = u0 cos(2πν t)a été établie entre les extrémités d’une bobine. On modélise la bobine par une asso-ciation série (L, R) de résistance R = 40 Ω. L’intensité instantanée dans la bobineest i(t) = i0 cos(2πν t+ ϕ).On prendra u0 = 20 V, ν = 40 Hz et i0 = 0, 4 A.(a) Donner la représentation complexe de u(t).(b) Quelle est son amplitude complexe ? Sa phase ?(c) Exprimer l’impédance complexe de la bobine en fonction de L et R.(d) Déterminer numériquement ϕ et l’inductance L de la bobine. On pourra uti-

liser la représentation de Fresnel ou le calcul complexe.12. Signaux en quadrature

On parle de signaux en quadrature de phase lorsque leur déphasage est ϕ = ±π/2.(a) On donne s1(t) = S1 cos(ωt), proposer deux expressions de s2(t), d’amplitude

S2 en quadrature de phase avec s1(t).(b) Déterminer l’amplitude du signal s1 + s2 en fonction de S1 et S2 à partir d’une

construction de Fresnel.(c) Que devient le résultat si S1 = S2 ?(d) Écrire l’expression temporelle du signal résultant, lorsque : S1 = S2 et ϕ =

+π/2.13. Propagation non dispersive

Soit l’onde p(x, t = 0) représentée sur la figure 2 se propageant à la célérité c =2 m.s−1 selon les x croissants ; tracer l’évolution de p(x0, t) en fonction du temps, oùx0 = 10 m.

14. InterférencesDeux ondes de même fréquence sont émises par des points sources S1 et S2 dans desdirections voisines de l’axe qui les joint. Un écran est placé perpendiculairement àcet axe, on note C l’intersection.(a) Sans faire de calculs, peut-on prévoir la forme de la figure d’interférences ?(b) Les vibrations sont émises en phase par les sources S1 et S2. Le point C est-il

un lieu d’interférences constructives ? destructives ?

7

Page 8: Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijonpcolin.lycee-carnot.synology.me/IMG/pdf/revision_ete.pdf · Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijon

Figure 2 – Propagation d’un signal

Figure 3 – Interférences

2.3 Optique géométrique

15. LoupeExpliquer le principe d’une loupe et mettre en évidence par un tracé de rayons saréalisation à l’aide d’une lentille convergente. Quel type d’image obtient-on ? Quellecondition doit être respectée pour obtenir l’effet de loupe ?

16. Image de la Lune

(a) Rappeler les conditions de Gauss.

(b) À l’aide d’une lentille mince convergente, de distance focale f ′ = 50 cm, onforme l’image de la lune, située à D = 350.105 km et dont le diamètre angulaireα est faible (angle sous lequel on voit le diamètre).

i. Sur une construction graphique, placer les images respectives, A’ et B’, dedeux points A et B de la lune diamétralement opposés, A étant sur l’axeoptique.

ii. Exprimer la distance A’B’ en fonction de f ′ et α .

17. Élargissement d’un faisceauUn faisceau lumineux quasi parallèle de diamètre d = 2 mm est émis d’une source

8

Page 9: Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijonpcolin.lycee-carnot.synology.me/IMG/pdf/revision_ete.pdf · Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijon

Laser. On désire multiplier son diamètre par 10 tout en maintenant le faisceau cylin-drique.(a) L’élargisseur utilise une lentille mince divergente (L1) et une lentille mince

convergente (L2) de distance focale f ′2 = 50 mm.Faire un schéma et en déduire f ′1. Quelle est la distance O1O2 qui sépare lesdeux lentilles ?

(b) Cette fois, les deux lentilles sont convergentes et on a toujours f ′2 = 50 mm.Reprendre les questions précédentes.

2.4 Introduction au monde quantique

18. Couleur d’un laserLa lumière d’un laser est émise par des atomes effectuant une transition entre deuxniveaux d’énergie distants de 2.28 eV. Quelle est la couleur de ce laser ?

19. Longueur d’onde de de Broglie

(a) Calculer la longueur d’onde de de Broglie d’un homme de 75 kg marchant à 5,0km.h−1. Comparer à la largeur de la porte de votre chambre et conclure.

(b) Quelle énergie, en électronvolts, doit-on communiquer à des électrons, de masseme = 9, 11.10−31 kg, pour que leur longueur d’onde de de Broglie soit égale à0,1 nm?

(c) Calculer les longueurs d’onde de de Broglie pour un électron et un proton, demasse mp = 1, 67.10−27 kg, dont les énergies cinétiques valent toutes les deux100 eV.

20. Niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogèneDans un modèle classique de l’atome d’hydrogène, les électrons décrivent des orbitescirculaires de rayon r autour du proton. Pour qu’un tel état puisse exister quanti-quement, il faut que l’onde associée à l’électron revienne en phase avec elle mêmelorsque l’électron fait un tour autour du proton.

(a) À l’aide du principe d’incertitude de Heisenberg (et de vos connaissances enordre de grandeur), estimer l’ordre de grandeur de la vitesse d’un électron dansun atome d’hydrogène.

(b) Quel lien peut-on établir entre la longueur d’onde associée à l’électron et lerayon de l’orbite ?

(c) En déduire la condition (dite de Bohr) qui relie le rayon r de l’orbite, la quantitéde mouvement p de l’électron et la constante de Planck réduite ~ et un entiern.

(d) Un calcul classique montre que la quantité de mouvement d’un électron enrotation autour d’un proton avec une orbite de rayon r possède une quantité demouvement proportionnelle à 1√

r. En déduire comment varie le rayon rn d’une

orbite de Bohr en fonction de l’entier n.

9

Page 10: Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijonpcolin.lycee-carnot.synology.me/IMG/pdf/revision_ete.pdf · Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijon

(e) Par un raisonnement simple, dire comment les niveaux d’énergie En de l’électrondans l’atome dépendent de n. Le résultat est-il correct ?

2.5 Circuits électriques dans l’A.R.Q.S.

21. Modèle de pileUn générateur présente une différence de potentiel de 22 V quand il est traversé parune intensité du courant de 2 A. La différence de potentiel monte à 30 V lorsquel’intensité du courant descend à 1,2 A.Préciser numériquement la résistance interne et la force électromotrice du modèlede Thevenin du générateur. Quelles sont les puissances, fournie par le générateur etperdue par effet Joule dans la seconde expérience ?

22. Adapatation de puissanceUn générateur présente une tension "à vide" E et une résistance interne R0. Il estbranché sur une résistance de valeur R.

(a) Que doit valoir R afin que la puissance dissipée dans la résistance de valeur Rsoit maximale ?

(b) Que vaut alors la puissance Joule dans cette résistance ? et dans la résistanceinterne ?

2.6 Circuit linéaires du premier ordre

23. Circuit R-COn constitue un circuit composé d’une résistance R et d’un condensateur de capacitéC associés en série. On l’alimente à t = 0 par une source de tension idéale de f.e.mconstante E.

(a) Établir l’équation différentielle vérifiée par la charge q du condensateur.

(b) Le condensateur étant initialement totalement déchargé, donner la solution decette équation et tracer l’allure de l’évolution de la charge q en fonction dutemps t.

(c) Exprimer et donner une interprétation de la constante de temps (ou de relaxa-tion) du circuit ainsi constitué.

(d) Quelle est l’énergie emmagasinée en fin d’opération ?

24. Décharge de condensateurs

(a) Le circuit ouvert de la figure 4 comprend deux condensateurs de capacités res-pectives C1 et C2. Le premier condensateur porte une charge q1,0. Le secondn’est pas chargé.Quelle est l’expression de l’énergie électrique Wi emmagasinée dans ce circuit ?

(b) On ferme l’interrupteur. Quelle est la tension Uf d’équilibre des condensateurs ?

10

Page 11: Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijonpcolin.lycee-carnot.synology.me/IMG/pdf/revision_ete.pdf · Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijon

Figure 4 – Décharge de condensateurs - version 1

Figure 5 – Décharge de condensateurs - version 2

(c) Quelle est l’énergie Wf emmagasinée maintenant dans le circuit ? ExprimerWf −Wi en fonction de C1, C2 et q1,0.

(d) Une interprétation possible de cette perte d’énergie est que la résistance ducircuit n’est pas nulle. C’est ce que montre la figure 5. La tension Uf et l’énergieWf sont-elles changées du fait de l’introduction de la résistance R ?

(e) Quelle est l’équation différentielle suivie par la charge q1(t) pendant la déchargedu condensateur ? En déduire l’expression de l’intensité du courant i(t) circulantdans le circuit puis celle de l’énergie Q dissipée dans la résistance. Cette énergiedépend-elle de R ?

2.7 Oscillateurs amortis

25. Analogie mécanique - électriqueIl y a une analogie formelle entre un système masse-ressort avec frottement et uncircuit RLC série. Rappeler les équations différentielles régissant chacun de ces deuxsystèmes et en déduire les couples de grandeurs "analogues".

26. RésonanceTracer la courbe de résonance en élongation d’un oscillateur mécanique pour des va-leurs de facteur de qualité Q valant (10, 5, 0.1). Tracer ensuite la courbe de résonanceen vitesse pour les mêmes valeurs de Q. Quelles sont les différences importantes entreces deux types de résonance ?

11

Page 12: Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijonpcolin.lycee-carnot.synology.me/IMG/pdf/revision_ete.pdf · Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijon

27. Régime transitoire d’un circuit RLC parallèleSoit un circuit constitué de l’association en série d’une source idéale de tension E,d’une résistance R, d’un interrupteur K et de l’association en parallèle d’une résis-tance r, d’une inductance L et d’une capacité C. On notera i l’intensité du courantdans R, i1 dans L, i2 dans C et i3 dans r ainsi que u la tension aux bornes de r (oude C ou de L).Initialement, l’interrupteur est ouvert, la capacité est déchargée et tous les courantssont nuls. On ferme l’interrupteur K à l’instant t = 0.

(a) Déterminer, en les justifiant, les valeurs de u, i, i1, i2 et i3 juste après la ferme-ture de l’interrupteur K.

(b) Même question lorsque le régime permanent est complétement établi.

(c) Établir l’équation différentielle vérifiée par i3 pour t > 0.

(d) L’écrire sous la forme :i3 + 2λω0i3 + ω2

0i3 = 0

On donnera les expressions de ω0 et λ en fonction de r, R, L et C.

(e) Établir la condition que doivent vérifier r, R, L et C pour observer un régimepseudo-périodique.

(f) Que caractérise λ ?

(g) Déterminer l’expression de i3(t). On justifiera la détermination des constantes.

(h) Une fois le régime permanant établi, on ouvre l’interrupteur K. Reprendreles questions précédentes pour établir l’expression de i3(t) pour les temps quisuivent cette ouverture.

28. Régime transitoire d’un système du second ordre Soit l’oscillateur régi parl’équation différentielle ci après :

md2xdt2

+mγdxdt

+mω20x = 0 γ > 0

(a) Déterminer les différents régimes en fonction de γ. On écrira cette équation sousforme canonique en introduisant Q le facteur de qualité.

(b) Déterminer le temps de relaxation du régime dit pseudopériodique c’est-à-direle temps typique de la durée du régime transitoire.

2.8 Filtrage linéaire

29. FiltreOn considère le circuit de la figure 6 où u = U0 cosωt.

(a) Déterminer V0 et φ correspondants à v = V0 cos (ωt+ φ).

(b) Etudier le cas où RCω = 1. Quelle est alors la fonction réalisée par ce montage ?

30. Filtre de Wien

12

Page 13: Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijonpcolin.lycee-carnot.synology.me/IMG/pdf/revision_ete.pdf · Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijon

Figure 6 – Circuit ... ?

Figure 7 – Filtre de Wien

(a) À l’aide d’arguments purement qualitatifs (non calculatoires), établir la naturedu filtre de la figure 7.

(b) Établir sa fonction de transfert H(jω) et la mettre sous la forme :

H(jω) =K

1 + jQ(x− 1

x

)avec x = ω

ω0où K, ω0 et Q sont des constantes positives que l’on explicitera et

dont on donnera la signification physique.

(c) Calculer la valeur maximale du gain de dB et le déphasage correspondant. Quelleest la bande passante ∆ω de ce filtre.

(d) Tracer l’allure de son diagramme de Bode.

13

Page 14: Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijonpcolin.lycee-carnot.synology.me/IMG/pdf/revision_ete.pdf · Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijon

3 Transformation de la matière

3.1 Description d’un système et évolution vers un état final

31. Équilibre de formation du bromure de nitrosyleTous les constituants sont gazeux et seront assimilés à des gaz parfaits. Constantedes gaz parfaits : R = 8, 32 J.mol−1.K−1. Pression standard de référence : P 0 = 1bar. Masse molaire du dibrome : MBr2 = 159, 81 g.mol−1.

On étudie l’équilibre en phase gazeuse ci-dessous :

2NO(g) + Br2(g) = 2NOBr(g)

On introduit, jusqu’à la pression P1 = 6000 Pa, dans un récipient de volume constant(V = 2, 0 L) initialement vide de l’oxyde d’azote (NO) à une température maintenueconstante T = 333 K. On ajoute ensuite dans ce récipient une masse mBr2 = 300 mgde dibrome. Une fois l’état d’équilibre établi, la pression totale dans le récipient estP2 = 8220 Pa.

(a) Calculer la quantité de matière de chaque composé introduit dans le récipient.

(b) Calculer la quantité de matière totale à l’équilibre.

(c) Déduire des questions précédentes l’avancement de la réaction

(d) Calculer la pression partielle de chaque composé à l’équilibre.

(e) Calculer la constante d’équilibre.

3.2 Évolution temporelle et mécanismes réactionnels

32. Décomposition de N2O5

L’étude expérimentale de la décomposition de N2O5 peut se faire en phase liquide,N2O5 étant dissous dans le tetrachlorure de carbone CCl4. Le bilan de la réactionest le suivant :

N2O5 → N2O4 +1

2O

2(g)

N2O5 et N2O4 restent en solution ; on mesure le volume de O2 dégagé, dont on dé-duit la concentration en N2O5 restant. Une expérience a donné les résultats suivants :

t (s) 0 184 349 526 867 1198 1877 2315[N2O5] mol.L−1 2,35 2,08 1,91 1,67 1,36 1,11 0,72 0,55

Montrer que la cinétique est d’ordre 1 par rapport à N2O5, et calculer la constantede vitesse de la réaction.

14

Page 15: Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijonpcolin.lycee-carnot.synology.me/IMG/pdf/revision_ete.pdf · Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijon

4 Architecture de la matière

4.1 Classification périodique

33. Masse molaire atomiqueLe carbone naturel est constitué de x % de l’isotope 12

6C et y % de l’isotope 136C. La

masse molaire de l’isotope 13 est 13, 0063 g.mol−1. Calculer les pourcentages isoto-piques x et y sachant que la masse molaire de l’élément carbone est M = 12, 01115g.mol−1.

34. IsotopieLes éléments carbone et oxygène existent sous forme de différents isotopes. On rap-pelle Z(C) = 6 et Z(O) = 8.

(a) Définir le terme isotope.

(b) Citer deux isotopes du carbone. Donner la structure du noyau dans chaque cas.

(c) L’oxygène existe essentiellement sous deux formes isotopiques 16O et 18O dontles masses molaires sont respectivement M16 = 15, 9949 g.mol−1 et M18 =17, 9922 g.mol−1. Sachant que la masse molaire de l’oxygène naturel est M =15, 9989 g.mol−1, estimer les proportions des deux isotopes.

4.2 Molécules et solvants

35. Oxydes du carboneLa carbone (Z = 6) donne avec l’oxygène (Z = 8) deux oxydes CO et CO2.

(a) Écrire les formules de Lewis correspondantes.

(b) Montrer que dans CO les atomes portent des charges formelles à déterminer.

15

Page 16: Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijonpcolin.lycee-carnot.synology.me/IMG/pdf/revision_ete.pdf · Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijon

5 Thermodynamique

5.1 Description macroscopique d’un système à l’équilibre

36. L’eau et l’airOn constate que pour augmenter la température d’1 g d’eau liquide de 1 C, il fautlui fournir un transfert thermique de 4,18 J.

(a) Quelle est la capacité thermique massique c de l’eau ?

(b) Et sa capacité thermique molaire cm ?

(c) En considérant l’air comme un gaz parfait diatomique, donner sa capacité ther-mique molaire à volume constant c′V,m.

(d) En déduire sa capacité thermique massique c′v.

(e) Commenter ces ordres de grandeur.

(f) Evaluer pour 1 g d’eau liquide la variation d’énergie interne si sa températureaugmente de 1 C.

(g) Même question pour 1 g d’air.

5.2 Énergie échangée par un système au cours d’une transformation

37. Questions qualitatives

(a) On dépose un glaçon sortant d’un congélateur dans une coupelle et on l’aban-donne à l’air libre.

i. Quel est l’état final ?

ii. Dans cette transformation, le système constitué par le glaçon échange-t-ilde l’énergie sous forme thermique avec l’extérieur ? Si oui, dans quel sens ?

iii. Mêmes questions pour un éventuel échange d’énergie sous forme de travail.

(b) En hiver, un ballon de baudruche initialement à l’équilibre dans un lieu chaufféest apporté à l’extérieur.

i. Le système constitué par le ballon et l’air qu’il contient échange-t-il del’énergie sous forme thermique ? dans quel sens ?

ii. Mêmes questions pour un éventuel échange d’énergie sous forme de travail.

(c) Comment peut-on qualifier les transformations précédentes ?

5.3 Premier principe

38. Énoncer le premier principe pour un système fermé.

39. Vrai ou faux ?Justifier les réponses et rectifier les affirmations fausses si c’est possible.

(a) L’énergie interne d’un gaz ne dépend que de la température.

16

Page 17: Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijonpcolin.lycee-carnot.synology.me/IMG/pdf/revision_ete.pdf · Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijon

(b) Au cours d’une transformation monobare, le transfert thermique est égal à lavariation d’enthalpie.

(c) La température d’un corps pur augmente quand on lui fournit un transfertthermique.

(d) La température d’un système isolé reste constante.(e) Un système fournit adiabatiquement du travail.

i. Sa température ne varie pas.ii. Son énergie interne diminue.

(f) Un gaz est contenu dans un cylindre fermé par un piston. On diminue son volumede moitié de manière soit adiabatique, soit isotherme. Le travail à fournir est :i. plus grand si la compression est adiabatique que si elle est isotherme ;ii. égal à la variation d’énergie interne dans les deux cas.

40. Transformations polytropiquesUne transformation polytropique est une tranformation quasistatique vérifiant pV k

constante.(a) Calculer le travail des forces de pression pour un gaz parfait subissant une trans-

formation polytropique entre (p0, V0, T0) et (p1, V1, T1) en fonction des pressionset volumes ainsi que de k.

(b) On consière un gaz parfait et on note γ =Cp

Cvqui est une constante dans ce cas.

Trouver une expression du transfert thermique au cours de la transformationprécédente de la forme C(T1 − T0) où C est une constante.

(c) Quelle est la dimension de C.(d) Étudier en les interprétant physiquement les cas suivants :

i. k = γ ;ii. k = 0 ;iii. 1

k = 0 ;iv. k = 1.

41. Détermination de la chaleur massique du cuivreRappel : La valeur en eau d’un calorimètre est la masse d’eau qui aurait la mêmecapacité thermique que le calorimètre.

Dans un calorimètre dont la valeur en eau est de 41 g, on verse 100 g d’eau. Unefois l’équilibre thermique atteint, on mesure une température de 20C. On plongealors une barre métallique dont la masse est 200 g et dont la température initiale estde 60C. À l’équilibre, on mesure une température de 30C. Déterminer la capacitéthermique massique du métal.

On donne la capacité thermique massique de l’eau ce = 4, 18 kJ.kg−1.K−1 et onsuppose que les capacités thermiques massiques sont constantes dans le domaine detempératures considérées.

17

Page 18: Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijonpcolin.lycee-carnot.synology.me/IMG/pdf/revision_ete.pdf · Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijon

5.4 Deuxième principe

42. Détente isentropiqueL’hélium est assimilé à un gaz parfait ; on suppose qu’il se détend de manière adiaba-tique et réversible à partir d’un état à pression 106 Pa, T = 250 K, jusqu’à atteindreune pression égale à 105 Pa.

(a) L’hélium étant monoatomique, préciser la valeur de γ.

(b) Déterminer la température finale.

(c) La température d’un gaz parfait qui vient de subir une détente isentropiqueest-elle toujours inférieure à la température initiale ?

5.5 Machines thermiques

43. Cycle de CarnotTracer un cycle de Carnot (moteur) pour un gaz parfait dans un diagramme de Cla-peyron entre les températures T1 et T2. Redémontrer l’expression de son rendement.

44. Pompe à chaleurQu’est-ce qu’une pompe à chaleur ditherme ? Rappeler la définition de son efficacité.Démontrer l’expression de l’efficacité maximale d’une telle machine.

45. Machine à glaçonsUne machine frigorifique fonctionne de façon réversible entre une source froide consti-tuée par une grande masse d’eau sous forme initialement liquide à la températuret0 = 0C et une source chaude constituée par l’air extérieur à la températuret1 = 20C.La puissance électrique consommée par cette machine est P = 100 W.

(a) Exprimer et calculer le transfert thermique Qf reçu par la machine depuis lasource froide pendant une durée ∆t = 5 min.

(b) En déduire la masse mg de glace formée en ∆t par la machine.

Donnée : Lfus = 334 J.g−1 l’enthalpie massique de fusion de la glace à 0C.

18

Page 19: Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijonpcolin.lycee-carnot.synology.me/IMG/pdf/revision_ete.pdf · Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijon

6 Induction et forces de Laplace

6.1 Champ magnétique

46. Cartes de champs

Figure 8 – Cartes de champs magnétiques

Dans les cartes de champs magnétique de la figure 8,

(a) Où le champ est-il le plus intense ?

(b) Où sont placées les sources ?

(c) Le courant électrique sort-il du plan de la figure ou rentre-t-il dedans ?

6.2 Action d’un champ magnétique

47. Rails de Laplace

Figure 9 – Rails de Laplace

On considère des rails de Laplace disposés verticalement . Le champ magnétique ~Best alors horizontal ainsi que la tige T, de masse m = 2.10−2 kg et 1a longueur

19

Page 20: Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijonpcolin.lycee-carnot.synology.me/IMG/pdf/revision_ete.pdf · Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijon

d = 4 cm. T peut glisser sans frottement etsans que ses extrémités ne quittent lecontact des rails (un guidage est prévu). À l’extrémité des rails de Laplace, on placeune source de courant d’intensité I constante.

(a) On désire maintenir la tige en équilibre. Quelles sont les actions à prendre encompte ? Le sens de circulation du courant est-il indifférent pour obtenir cetéquilibre ?

(b) Quelle valeur d’intensité doit-on choisir pour assurer l’équilibre de T ? On noterag = 10 m.s−2 l’accélération de la pesanteur, le champ magnétique est d’intensitéB = 0, 25 T.

(c) Un tel équilibre est-il stable ? Quelle difficulté expérimentale rencontre-t-on ?

48. Spire oscillante dans B terrestreOn suspend à un fil inextensible mais sans raideur de torsion une spire circulairede moment d’inertie J par rapport à l’axe du fil, de rayon R, et parcourue parun courant stationnaire d’intensité I. Elle est plongée dans le champ magnétiqueterrestre, supposé localement uniforme et de valeur ~B0.

(a) Exprimer le moment magnétique de la spire.

(b) Combien la spire a-t-elle de position(s) d’équilibre ? Si il y en a plusieurs, qu’est-ce qui les distingue ?

(c) On écarte la spire d’un petit angle θ0 à partir d’une position d’équilibre stable,puis on la lâche sans vitesse initiale. Déterminer le mouvement ultérieur de laspire.

(d) Montrer que l’on peut ainsi mesurer la composante horizontale du champ ma-gnétique terrestre.

6.3 Lois de l’induction

49. Spire en rotationUne spire circulaire de surface S est en rotation, à la vitesse angulaire constante ω,autour d’un de ses diamètre, qui constitue l’axe ∆. Elle est placée dans un champmagnétique uniforme et stationnaire ~B, orthogonal à ∆.

(a) Établir l’expression de la f.é.m. induite e dans la spire.

(b) Sachant que le courant induit vaut i = eR , où R est la résistance électrique de

la spire, établir la valeur du moment magnétique de la spire.

(c) En déduire le couple de Laplace instantané puis moyen qui s’exerce sur la spire.

6.4 Circuit fixe dans un champ magnétique qui dépend du temps

50. Énergie magnétique d’une bobineDémontrer l’expression de l’énergie stockée dans une bobine d’inductance L.

20

Page 21: Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijonpcolin.lycee-carnot.synology.me/IMG/pdf/revision_ete.pdf · Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijon

Figure 10 – Cadre qui chute dans un champ localisé

6.5 Circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire

51. Cadre qui chute dans un champ localiséUn cadre conducteur, constitué de quatre segments de longueur a, tombe dans leplan de la figure sous l’effet de la gravité. Sa résistance électrique est notée R, soninductance propre L.

L’espace est divisé en deux régions :— pour x < 0, il n’y a pas de champ magnétique,— pour x > 0 un champ magnétique est présent. Il est uniforme, stationnaire et

orthogonal au plan de la figure.

Établir les équations différentielles régissant la vitesse ~v(t) du cadre dans les trois caspossibles :

(a) Le cadre est entièrement dans la région où ~B = ~0,

(b) le cadre est à cheval sur les régions où ~B = ~0 et ~B 6= ~0 ;

(c) le cadre est entièrement dans la région où ~B 6= ~0.

21

Page 22: Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijonpcolin.lycee-carnot.synology.me/IMG/pdf/revision_ete.pdf · Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijon

7 Architecture de la matière condensée : solides cristal-lins

52. Le fer γ cristallise dans le système cubique à façes centrées. Sa masse volumique est7900 kg.m−3. Quel est le rayon atomique du fer ? On donne la masse molaire du fer :MFe = 55, 9 g.mol−1.

22

Page 23: Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijonpcolin.lycee-carnot.synology.me/IMG/pdf/revision_ete.pdf · Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijon

8 Transformations chimiques en solution aqueuse

8.1 Réactions d’oxydo-réduction

53. Pile de concentration

R

Fe2+ Fe2+

Fe Fe

Compartiment (1) Compartiment (2)

Figure 11 – Pile de concentration

Dans l’expérience correspondant à la figure 11, les volumes des deux récipients valentV1 = 200 mL à gauche et V2 = 50 mL à droite. Ces récipients contiennent unesolution aqueuse d’ions ferreux (Fe2+) avec deux concentrations initiales différentes,[Fe2+]1 = 10−2 mol.L−1 à gauche et [Fe2+]2 = 10−1 mol.L−1 à droite. Dans chaquerécipient trempe une lame de fer et les deux compartiments sont reliés par un pontsalin afin que l’ensemble forme une pile (pile de concentration). À t = 0, on fermel’interrupteur et on laisse le système évoluer.(a) Déterminer l’état final.(b) En déduire la quantité d’électricité qui a traversé le fil reliant les deux électrodes.

8.2 Réactions acide-base et de précipitation

54. Précipitation de BaSO4

On mélange 50 cm3 de BaCl2 et 100 cm3 de Na2SO4, tous deux de concentration10−3mol.L−1. Ces sels se dissocient totalement.(a) Déterminer la quantité de BaSO

4(s) (pKs = 9,3) qui précipite.

(b) Calculer les concentrations à l’équilibre.

8.3 Diagrammes potentiel-pH

La figure 12 donne le diagramme potentiel-pH du vanadium à 298 K. Les espècesprésentes dans ce diagramme sont V(s), V

2+, V3+, VO2+, VO+2 et les hydroxydes

solides notés V(OH)2(s) , V(OH)

3(s), VO(OH)2(s) et VO2(OH)(s). L’axe des ordon-

nées est volontairement non gradué.

23

Page 24: Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijonpcolin.lycee-carnot.synology.me/IMG/pdf/revision_ete.pdf · Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijon

Figure 12 – Diagramme potentiel-pH du vanadium

Affecter les espèces aux domaines correspondants. On expliquera brièvement le rai-sonnement.

24

Page 25: Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijonpcolin.lycee-carnot.synology.me/IMG/pdf/revision_ete.pdf · Révisions d’été PCSI/MPSI 7!PSI* Lycée Carnot - Dijon

9 Outils mathématiques

55. Rappeler l’expression de l’élément de volume ou volume élémentaire en coordonnéescylindriques. Rappeler l’expression de l’élément de surface d’une sphère de rayon Ren coordonnées sphériques.

56. Coordonnées cylindriquesSoit un point M de l’espace (Ox,Oy,Oz) de coordonnées cylindriques (r,θ,z).

(a) Faire un schéma indiquant ces coordonnées ainsi que la base cylindrique associée.

(b) Exprimer dans la base cylindrique son vecteur position−−→OM.

(c) Exprimer dans la base cylindrique son vecteur déplacement élémentaire d−−→OM.

(d) Exprimer les coordonnées cartésiennes du point M en fonction de (r,θ,z).

25