Leçon n°6 : Magnétostatique 1. LE CHAMP MAGNÉTIQUE...

ELECTROMAGNETISME - Magnétisme

Leçon n°6 : Magnétostatique _____________________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN

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I = 0

0I

- I

Leçon n°6 : Magnétostatique

1. LE CHAMP MAGNÉTIQUE ET SON ACTION SUR DES COURANTS

1.1. Introduction

Les effets magnétiques (liés aux substances aimantées) sont connus depuis des siècles. Ils

correspondent à des actions mécaniques à distance qui montrent l'existence d'interaction d'un

type spécifique (différent de la gravitation et de l'électrostatique).

Un aimant possède une dissymétrie : il possède deux pôles. Une aiguille aimantée placée loin

de tout autre aimant, de tout circuit électrique et de toute masse ferreuse s'oriente dans la

direction géographique Nord-Sud :

- son extrémité dirigée vers le nord est appelée pôle nord ;

- son extrémité dirigée vers le sud est appelée pôle sud

L'aimantation est une propriété microscopique de la matière. En effet chaque atome se

comporte comme une petite boucle de courant. Dans la matière non aimantée, ces boucles

s'orientent au hasard et compensent ainsi leurs effets magnétiques. Dans la matière aimantée

ces boucles de courant sont orientées dans une position déterminée et leurs effets s'ajoutent. Il

est donc impossible de séparer un pôle nord d'un pôle sud.

(Expérience de l'aimant brisé : il apparaît 1 pôle nord et un pôle sud au niveau de la cassure)

L'étude du magnétisme a réellement commencé au début du XIXe avec les expériences

d'Oerstedt concernant l'effet d'un courant électrique sur un aimant

I = 0 : aiguilles s'oriente seule

I ≠ 0 : aiguille // au courant

I : aiguille change de sens

L'effet réciproque existe : un conducteur mobile parcouru par un courant électrique et placé

au voisinage d'un aimant est soumis à des actions mécaniques qui le déplacent. Encore ici,

l'inversion du sens du courant change le sens des effets.



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Des effets semblables apparaissent chaque fois qu'il y a courant électrique (dans un solide, un

liquide, le vide...) qui peut ainsi être mis en mouvement. Enfin, on peut prévoir qu'il y a

interaction entre deux courants électriques.

C'est à Ampère [1775 – 1836] qu'on doit la première représentation cohérente de tous ces

effets magnétiques.

2. CHAMP MAGNÉTIQUE

2.1. Définition

Quels que soient les effets magnétiques observés en un point de l'espace, une grandeur (et une

seule) est nécessaire pour les décrire : c'est un champ vectoriel appelé champ magnétique

qu'on désignera par B

.

On définit le vecteur champ magnétique B

(que l’on désignera parfois par induction

magnétique) en un point de l’espace au moyen de la force magnétique exercée sur un élément

matériel test approprié. Celui-ci est constitué par une particule chargée q se déplaçant à la

vitesse v

dans un espace où il n’existe ni champ électrique ni champ gravitationnel.

La force magnétique F

est donnée par la relation :

F = q v B

[6–1]

Règle de repérage

Règle des trois doigts

v

Règle du tire-bouchon

v

B

F

q

La direction de la force est perpendiculaire à la fois à v

et à B

et son intensité est

v sinF q B q



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v

B

F

q+q

v

B

F

q-q

B a pour unité le Tesla [T], la force F est en Newton [N], la charge q est en Coulomb [C] et la

vitesse v est en 1.m s

.

On note que F

est nulle lorsque v

est parallèle à B

0 180ouq q ; que F

est

maximale quand v

est perpendiculaire à B

90 .q

Application

Un proton se déplace à une vitesse de 8.106 m.s

-1 selon l’axe des x. Il entre dans un espace où

règne un champ magnétique de 2.5 T qui forme un angle de 60° avec l’axe des x dans le plan

(xy). Calculer la force magnétique subie par le proton.

Solution

v sinF q B q

F = (1,6. 10-19

) (8.106)(2.5).(sin60°) = 2.77. 10

-12 N

2.2. Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme

Nous avons vu que la force magnétique agissant sur une particule chargée se déplaçant dans

un cham magnétique est toujours perpendiculaire à la vitesse v

de la particule. Le travail

accompli par la force magnétique est nul puisque v

est toujours perpendiculaire à F

. Par

conséquent, l’action d’un champ magnétique statique modifie la direction de v

, mais pas sa

valeur, ni l’énergie cinétique de la particule.

Prenons le cas d’une particule de charge q et de masse m dans un champ B

uniforme.



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x B

v

F

(+q)

(+q)v

F

r xx B

v

F

(+q)

(+q)v

F

r

F q vB est une force centripète.

Selon les lois de la mécanique : 2v

F m q v Br

r étant le rayon le trajectoire

Par conséquent m v

r =q B

Ainsi le rayon de la trajectoire est constant, de plus il est proportionnel à la quantité de

mouvement m v et inversement proportionnel à B.

La vitesse angulaire de rotation de la particule sur la trajectoire est v

r

q B

m et la période

T est égale à : 2 2

mT

q B

2.3. Topographie des champs magnétiques

Lignes de champs :

On appelle ligne de champ une courbe tangente au vecteur champ magnétique en chacun de

ses points, orientée dans le sens du champ magnétique.

Spectres magnétiques :

aimant droit

spectre obtenu avec la limaille

aimant en U (schéma)



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Champ magnétique uniforme :

Un champ magnétique est uniforme dans un domaine de

l’espace si, en tout point de ce domaine, le vecteur champ

magnétique conserve la même direction, le même sens et la

même valeur. Les lignes de champs sont parallèles.

Pour obtenir un champ uniforme on peut se placer à

l'intérieur d'un solénoïde, dans l'entrefer d'un aimant en U ou

au voisinage du milieu de l'axe des bobines d'Helmholtz.

(image ci-contre)

2.4. Loi de Lorentz

Quand une particule de charge q se déplace dans une région où règnent un champ électrique

E et un champ magnétique B , la force totale à laquelle elle est soumise est la résultante de

la force électrique q E

et de la force magnétique qv B

. On a donc :

LF qE qv B

[6–2]

LF est appelée force de Lorentz

Remarque sur le travail de la force de Lorentz

La force magnétique étant normale à la vitesse, son travail est nul. Elle ne produit donc

aucune variation de l'énergie cinétique de la particule. Ceci peut être démontré en effectuant

le produit scalaire de la force LF par la vitesse v

.

v

L L

dlF F

dt [6–3]

On fait apparaître le produit scalaire ldFL qui représente le travail dW effectué par la force

de Lorentz lors d’un déplacement infiniment petit ld de la particule.

Donc, L

dWF v

dt

Ce qui représente la puissance cédée à la particule par les champs électrique et magnétique.

Or,

LF v q E qv B v

q E v qv B v



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La vitesse v

étant toujours normale à la force magnétique q v B

, le produit scalaire

q v v

est nul. On obtient alors

L

dWF v q E v

dt

[6–4]

C’est donc le champ E qui fournit la puissance et donc de l’énergie à la particule.

Application : sélecteur de vitesse pour particules chargées

+ + + + + + + + + +

- - - - - - - - - -

Fente

v B

q

q E

v

xB

+ + + + + + + + + ++ + + + + + + + + ++ + + + ++ + + + + + + + + ++ + + + +

- - - - - - - - - -- - - - - - - - - -- - - - -- - - - - - - - - -- - - - -

Fente

v B

q

q E

v

xxB

Pour sélectionner les particules ayant la même vitesse on conçoit un dispositif où

s’appliquent simultanément un cham électrique E et un champ magnétique B

perpendiculaire.

Si q est positif, la force magnétique est dirigée vers le haut et la force électrique est dirigée

vers le bas. En réglant soigneusement l’intensité des champs de manière à obtenir une force

de Lorentz nulle, les particules se déplacent en ligne droite à l’horizontale (1ère

loi de

Newton).

Pour cela il faut donc que : vq E q B , soit v B

E.

2.5. Action d’une force magnétique sur un conducteur parcouru par un courant : force

de Laplace

La force de Laplace traduit l’action d’un champ magnétique sur un conducteur parcouru par

un courant.



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M

xx

Bdr

Circuit

l

d I

u

Loi de Laplace

Un élément dl d’un conducteur filiforme

parcouru par un courant I, placé dans un champ

magnétique B est soumis à une force dF

dF I dl B

De là, on peut généraliser et dire que la force de Laplace F qui s’exerce sur un circuit

parcouru par un courant I et placé dans un champ magnétique B vaut :

[6–5]

3. CHAMP D'INDUCTION MAGNETIQUE CREE PAR DES COURANTS

PERMANENTS

3.1. Forme générale de la Loi de Biot et Savart

Un champ magnétique B statique en un point de l’espace peut avoir deux origines :

- un courant constant

- un aimant permanent

Nous traiterons ici le champ magnétique B créé par un courant constant.

Soit un élément de circuit linéaire l

d placé dans le vide et parcouru par un courant I.

Conventionnellement le sens du vecteur l

d sera toujours pris dans le même sens que le

courant I.

Soit un point M situé à une distance r de l’élément de circuit l

d .

Soit un vecteur unitaire u

porté par r et orienté de l

d

vers M (voir figure ci-contre).

Dans ces conditions le champ magnétique élémentaire Bd créé par l

d I en M vaut :

2

.d I

4d

r

ulB o

[6–6]

(Loi de Biot et Savart)

où µo désigne la perméabilité du vide. C’est une grandeur dimensionnée dont la valeur est :

4. 10-7

Henry par mètre (H.m-1

).

I

dl

B

I

dl

B



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En reprenant l’expression de Bd et en notant l’angle entre le vecteur l

d I et le vecteur

unitaire u

, on peut exprimer la norme de Bd ainsi :

sin.1.d. I

4d

2l

rB o [6–7]

Pour un circuit C de dimension finie, le champ magnétique B créé en M vaut :

C

2

.d I

4 r

ulB o

[6–8]

3.2. Forme pratique de la Loi de Biot et Savart

Dans la pratique il est souvent plus utile de considérer dans

l’expression de la loi de Biot et Savart, non pas l’angle que fait

le vecteur l

d I avec le vecteur u

, mais l’angle (qu’on notera dq)

sous lequel du point M on voit le segment dl.

L’angle dq est suffisamment petit pour pouvoir faire les approximations suivantes :

rtg

dxd)d( qq

En considérant le triangle HMA, on peut écrire :

ld

dx)sin(

d’où :

lr

d

d)sin(

q

En remplaçant sin() dans la relation [6–7], on obtient la formulation de Biot et Savart :

q

.d I

4d

rB o [6–9]

3.3. Application de la Loi de Biot et Savart à quelques cas simples

Mx

r

H

A

dxdq

dl

u

Mx

r

H

A

dxdq

dl

u



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3.3.1. Champ d'induction créé par un fil

q

Ir

rU

a Px

dB

y

D’après la Loi de Biot et Savart on a : 2

.d I

4d

r

ulB o

Soit k le vecteur unitaire porté par l’axe des z. Dans ce cas : d

B dBk ,

avec : 2

sin

4

oI dldB

r

q

on pose :

2

sin

cotgsin

dl dx

r

a

x adx d

a

q

q q q

Par conséquent :

2

2

2 2

1 sin

4

sinsin

4 sin

sin4

o

o

o

IdB dl

r

I adB d

a

IdB d

a

q

q q q

q

q q



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P

q1

q2

2 2

1 1

1 2

sin4

cos cos4

o

o

IB dB d

a

IB

a

q q

q q

q q

q q

Pour un fil infini : 1

2

0q q

Et donc :

2

oIB

a

3.3.2. Calcul du champ magnétique sur l’axe d’une boucle de courant circulaire.

Soit un fil conducteur formant une boucle circulaire de rayons R située dans le plan (yz) et

parcourue par un courant continu d’intensité I. On propose de calculer le champ magnétique

en un point P de l’axe à une distance x du centre O de la boucle.

ru

M



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Notons tout d’abord que tous les éléments dl

de la boucle sont situés à une même distance r

de P 2 2 2r R x .

D’après la Loi de Biot et Savart on a : 2

.

4

o I dl ud B

r

Donc : 2 2

4

o I dldB

x R

La direction de dB

, produit par l’élément de circuit dl parcouru par un courant I, est

perpendiculaire au plan formé par ru

et dl

(Cf. figure).

Tout vecteur dB

peut se décompose en une composante suivant l’axe des x, xdB

et une

composante perpendiculaire à l’axe des x, ydB

.

La composante ydB

associée à l’élément dl

en M est annulée par la composante

perpendiculaire associée à un élément dl

diamétralement opposé.

Par conséquent le champ résultant en P s’exprime uniquement par la somme des composantes

xdB

suivant l’axe des x cosxBoucle Boucle

B dB dB q

R, x et q sont des constantes pour tous les éléments dl

de la boucle.

Comme : 2 2

cosR

x Rq

32 2 2 2 2 2 2

4 4

o oR I R IB dl dl

x R x R x R

Or : 2dl R

D’où :

2

32 2 22

o R IB

x R



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Remarques

Au centre de la boucle x = 0 2

oIB

R

Lors que 2

32

oR Ix R B

x

4. Théorème d’Ampère

4.1. Introduction

A proximité d’un long fil vertical parcouru par un courant continu, l’orientation de B

,

produit par ce fil, est telle que les lignes de champ forment des cercles autour du fil.

B

'B

1R2R

D’après la symétrie du système la norme de B

est la même en n’importe quel point situé sur

un parcours circulaire centré sur le fil et disposé dans un plan perpendiculaire à ce dernier.

Evaluons maintenant le produit scalaire .B dl

. Comme dl

est un élément pris sur une ligne

de champ on a : . BB dl dl

Et si nous faisons la somme de tous ces produits, on obtient pour la boucle circulaire de rayon

R1 d’une ligne de champ : 01 0

1

. B 22

µ IB dl dl R µ I

R

Le résultat obtenu dans le cas particulier d’une trajectoire circulaire (en l’occurrence une

ligne de champ) autour d’un fil rectiligne peut s’appliquer au cas général d’un parcours fermé

de forme quelconque traversé par un courant continu.



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4.2. Enoncé du Théorème d’Ampère

La circulation du vecteur champ d’induction magnétique

le long d’une courbe fermée, entourant un circuit C

parcouru par un courant I est égale à µo I :

IoB d

Application

Soit un feuillet conducteur vertical infini transportant un courant dans la direction de l’axe

des "z". Soit i (en A/m) la densité de ce courant par unité de largeur (le long de l’axe des "x").

Déterminons, en un point M quelconque situé en dehors du plan défini par ce feuillet, le

champ d’induction magnétique B créé par celui-ci.

Solution

On peut considérer que ce plan conducteur infini est constitué par un nombre infini de fils

parallèles et adjacents. Dans ce cas les lignes de champ sont des lignes horizontales

(parallèles à l’axe des "x").

B

i

i

B

l

Z

X

C

I +

-

d



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On choisit comme courbe un rectangle de largeur l (voir figure). De cette façon, le vecteur

élémentaire d et le champ B sont parallèles sur la largeur du rectangle et perpendiculaires

sur sa longueur.

Donc, on peut écrire : I 00 olBlBdB

I est le courant transporté par la partie du feuillet qui est entourée par la courbe (c’est à dire

I= i l).

llB oi 2 i2

1 oB

4.3. Remarques :

1- Le théorème d’Ampère joue le rôle, pour le calcul du champ d’induction magnétique

B , du théorème de Gauss pour le calcul du champ électrique E .

2- Si la courbe traverse n fois un circuit C,

on a alors : In odB

4.4. Applications du théorème d’Ampère

4.4.1. Le champ magnétique à l’intérieur d’une bobine toroïdale

La bobine toroïdale est un exemple important de l'application de la loi d'Ampère.

Effectivement, nous retrouvons particulièrement ce type de configuration dans l'électronique

de petite puissance (ordinateurs par exemple) ou les inductances sont pour la plupart

toroïdales ou la production d'énergie avec les fameux Tokomak qui de façon schématisée

(très…) se réduisent à des bobines toroïdales.

C

I

n

spires



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Pour des raisons de symétrie il est clair que les lignes d'induction magnétique forment des

cercles concentriques à l'intérieur de la bobine. Appliquons la loi d'Ampère au trajet

d'intégration circulaire de rayon r :

oB dl I

C'est-à-dire :

0 0 02B r I N I

Il s'ensuit que :

0 0

2

N IB

r

4.4.2. Le champ magnétique à l’intérieur d’un solénoïde très long

Un solénoïde est une bobine formée par un fil conducteur enroulé en hélice et parcouru par

un courant d'intensité I. Dans ce qui suit, nous supposons que le champ d'induction B

d'un

solénoïde est nul entre les spires et parallèle à l'axe du solénoïde.

Considérons le schéma suivant et intéressons nous en approximation qu'à la partie interne du

solénoïde en admettant que le champ extérieur est nul par la longueur infinie de celui-ci et la

parfaite jointure des bobines... :

Appliquons la loi d'ampère au trajet rectangulaire abcd.

Ainsi :

b c d a

o

a b c d

B dl B dl B dl B dl B dl I



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La première intégrale du membre de droite donne B.h où B est la norme de B

à l'intérieur du

solénoïde et h, la longueur du segment ab. Nous pouvons remarquer que le segment ab,

même s'il est parallèle à l'axe du solénoïde, ne doit pas nécessairement coïncider avec lui.

La deuxième et la quatrième intégrale sont nulles car, pour ces deux segments. B

et dl

sont

partout perpendiculaires : étant donné que .B dl

est nul partout, les deux intégrales sont

nulles. La troisième intégrale est également nulle puisque le segment calculé se trouve à

l'extérieur du solénoïde où nous avons supposé que le champ magnétique de la bobine était

idéal.

Ainsi, l'intégrale B dl

pour tout le trajet rectangulaire est tel que :

oB dl B h I

Le courant I est la somme des courants I0 passant dans chacune des N spires contenues dans

le chemin d'intégration. Mais en électronique nous avons l'habitude de travailler avec la

valeur n (nous choisissons la lettre minuscule par analogie avec la thermodynamique ou les

minuscules représentent des densités) qui est le nombre de spire par unité de longueur :

n N h

Ainsi, nous avons :

00 0

oo o

N IB dl B h N I B n I

h

Bien que cette relation ait été établie pour un solénoïde idéal infini, elle donne une grandeur

assez précise (sans être exacte!) du champ d'induction magnétique pour les points d'intérieur

situés près du centre d'un solénoïde réel. Cette relation révèle par ailleurs que le champ

magnétique est en approximation indépendant du diamètre du solénoïde et qu'il est uniforme

à travers la section de celui-ci. En laboratoire, un solénoïde est un dispositif pratique pour

produire un champ d'induction uniforme de la même façon que le condensateur plan est

utilisé pour produire un champ électrique uniforme.

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