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MacXIair:MPSI:Electromagnétisme:Cours EM 1 Champ E ds - 13 avril 2012 page 1 / 8

Electromagnétisme chapitre 1

Champ électrostatique

Introduction : l'électromagnétisme

L'électromagnétisme est l'étude de l'ensemble des phénomènes liés aux interactions entre particules chargées. Dans le cas le plus général c'est l'étude d'un ensemble D de particules chargées, en mouvement par rapport à un référentiel R, appelé distribution de charges et de courants, dont on veut prédire l'évolution au cours du temps.

D est la source d'un champ électromagnétique dont les deux composantes

€

E (

€

r ,t) et

€

B (

€

r ,t)

dépendent du point M situé en

€

OM =

€

r d'observation et du temps t.

Historiquement électricité et le magnétisme se sont développés de façon distincte jusqu'en 1864 où Maxwell proposa une théorie unifiée.

Si les champs

€

E et

€

B sont tout à fait indissociables en régime non permanent, ce couplage disparaît

dans le cas d'une distribution invariable dans le temps. Nous étudierons donc successivement :

• L'électrostatique qui étudie le champ électrique permanent crée par des charges fixes dans un référentiel donné.

• La magnétostatique qui étudie le champ magnétique permanent qui a pour source des courants permanents dans le référentiel, lesquels, dans la situation la plus usuelle, résultent du déplacement d'électrons dans des fils métalliques conducteurs.

I. Aspect expérimental

I.1. Expériences d'électrostatique

Observations : certains matériaux, après avoir été frottés, ont la propriété d'attirer des corps légers, de s'attirer ou de se repousser entre eux.

Le frottement a donc créé une propriété qui se manifeste par des actions mécaniques = forces.

L'étude de ces interactions a été faite par Coulomb qui proposa sa loi d'interaction en 1785. Cette loi repose sur l'attribution à ces matériaux d'une grandeur appelée charge électrique. Les études de la fin du XIXème siècle nous permettent de préciser.

I.2. Charge électrique

I.2.1. Quantification

Certaines particules élémentaires sont porteuses d'une charge électrique

• les protons ; charge + e = 1,602�10-19 C

• les électrons de charge - e

Lors des expériences d'électrostatique, les charges positives liées aux noyaux restent liées aux supports, alors que les électrons peuvent en être arrachés ou y être fixés.

Les charges globales observées sont donc toujours des multiples entiers de e. La charge électrique portée par un système est donc quantifiée.

Notons que les quarks (constituants ultimes de la matière) portent une charge multiple de

€

13�e, mais qu'ils

ne sont jamais observés de façon isolée. On les observe dans des structures dont la charge est un multiple entier de e.

I.2.2. Conservation

Toutes les interactions connues à ce jour ont la propriété de conserver la charge électrique.

Pour un système fermé, n'échangeant pas de matière avec l'extérieur, la charge électrique est constante.

I.2.3. Invariance

La charge électrique est une grandeur indépendante du référentiel d'observation.


I.3. Loi de Coulomb

I.3.1. Modèle de l'interaction

Observant que la force d'interaction entre deux charges ponctuelles immobiles était proportionnelle à chacune des valeurs de ces charges et inversement proportionnelle au carré de leur distance, Coulomb a

proposé le modèle de loi de force : F 1/2 = 1

4 ⋅ π ⋅ ε0�q1 ⋅q2

r2�e 1→2 où

e 1→2 est le vecteur unitaire dirigé

de 1 vers 2. Evidemment F 2/1 = -

F 1/2. On notera l'analogie formelle avec la loi de force de gravitation.

La constante ε0 est la permittivité électrique du vide voisine de 1

36 ⋅ π ⋅109 = 8,84�10-12 F�m-1 (farad

par mètre), ce qui fait que l'on retiendra pour 14 ⋅ π ⋅ ε0

la valeur 9�109 en unité SI (m�F-1 ou kg�A-2�m3�s-4).

⇒ Ordres de grandeur : un proton (masse 1,67�10-27 kg) et un électron (masse 9,1�10-31 kg) distants

de 100 pm (modèle de l'atome) exercent l'un sur l'autre une force électrostatique de 2,3�10-8 N et une

force gravitationnelle de 1,0�10-47 N.

I.3.2. Influence du milieu

Les expériences n'étant que rarement faites dans le vide, il conviendrait de remplacer le ε0 par un ε,

permittivité du milieu de l'expérience. On préfère utiliser la permittivité relative εr telle que ε = εr�ε0. Ainsi la

permittivité relative de l'air est εr = 1,0006. Pour les expériences ayant lieu dans l'air, on pourra faire

comme si c'était du vide.

I.3.3. Choix des unités

Le choix de la valeur de la constante k peut étonner. Il est lié au système d'unités SI qui se doit d'être cohérent.

Vous avez vu en terminale que le champ magnétique fait intervenir une constante µ0 (perméabilité du

vide) et l'étude de la propagation des ondes électromagnétiques montre que l'on doit avoir ε0�µ0•c2 = 1 où c est la célérité de la lumière dans le vide.

La définition de l'ampère à partir d'une force magnétique impose la valeur de µ0 donc celle de ε0.

I.3.4. Principe de superposition

Evidemment si une charge q1 est placée au voisinage de deux autres charges q2 et q'2, elle subit les

interactions de ces deux charges, ce qui se traduit par deux forces.

En postulant que les effets sont des fonctions linéaires des causes, ce qui est en accord avec les observations expérimentales, nous admettrons le principe de superposition : à savoir que les effets se superposent.

I.4. Champ électrostatique

I.4.1. Champ créé par une charge ponctuelle

On peut écrire la force F 1→2 = q2�

14 ⋅ π ⋅ ε0

�q1

r2�e 1→2 où le terme 1

4 ⋅ π ⋅ ε0�q1

r2�e 1→2 ne dépend que

de la charge q1 créant la force et de la position dans l'espace de la charge qui subit cette force.

Ce terme est donc l'expression d'un champ : le champ électrostatique créé dans son voisinage par la charge ponctuelle q1. L'existence de q1, ponctuelle, conduit à utiliser les coordonnées sphériques.

Une charge ponctuelle q1, placée en O, origine des coordonnées sphériques, crée en tout point M de

l'espace, le champ E (M) = 1

4 ⋅ π ⋅ ε0�q1

r2�e 1→2 radial, centrifuge si q1 > 0, et centripète si q1 < 0.

I.4.2. Superposition

Si n charges qi sont placées dans le même espace, chacune exerce sur une même charge "épreuve" q,

une force F i = q� 1

4 ⋅ π ⋅ ε0�qi

r2�e ri . La charge q subit la résultante

F =

i∑F i = q�

i∑ 1

4 ⋅ π ⋅ ε0�qi

r2�e ri.


Donc le champ résultant est E =

i∑ �

14 ⋅ π ⋅ ε0

�qi

r2�e ri ce qui revient à dire qu'il y a superposition des

champsE =

i∑

E i avec

E i = 1

4 ⋅ π ⋅ ε0�qi

r2�e ri

D'où la nécessité de connaître les distributions de charges.

II. Distributions de charges

II.1. Les différents niveaux d'observation

Une particule est effectivement un corps de dimensions petites (10-15 m = 1 fm pour un proton) et on peut l'assimiler à une charge ponctuelle tant que les distances mises en jeu restent grandes devant les dimensions de la particule.

II.1.1. Echelle microscopique

A l'échelle microscopique, d'un cristal par exemple, les distances caractéristiques d sont de l'ordre du nanomètre et un ensemble de charges est un ensemble discontinu de points.

II.1.2. Echelle macroscopique

A l'échelle de nos expériences, c'est à dire macroscopique, les distances caractéristiques D sont toujours grandes devant les dimensions de l'atome, et un ensemble de charges apparaît comme continu. Ce qui ne veut pas dire uniforme. En effet d'un "point" macroscopique à un autre la charge peut varier.

II.1.3. Echelle mésoscopique

La représentation, à l'échelle macroscopique, d'un ensemble de charges, montre donc la nécessité d'adopter un troisième niveau d'observation, permettant de donner une description locale de l'ensemble des charges. Cette échelle est dite mésoscopique.

Soit une grandeur, supposée varier continûment dans l'espace considéré, la valeur locale de cette grandeur, est la moyenne des valeurs qu'elle prend en chacun des points (microscopiques) d'un volume dτ de dimensions petites par rapport à D mais très grandes devant d. Autrement dit, ce volume est assez petit pour être considéré comme ponctuel à notre échelle (donc décrit par seulement trois coordonnées d'espace), mais assez grand pour que la valeur moyenne sur ce volume, d'une grandeur dépendant de l'espace ait un sens (donc il peut être considéré comme un milieu continu).

A l'inverse, à l'échelle d'un atome, donner la valeur moyenne de la charge électrique portée par les particules constitutives n'a aucun sens. Cette valeur est nulle et ne rend pas compte de ce que certaines particules sont chargées.

On dira que les grandeurs sont nivelées à l'échelle mésoscopique, ce qui veut simplement dire que pour chacune d'elles on adopte à un niveau local la moyenne de leurs valeurs à un niveau microscopique.

II.2. Distributions continues

La présence de charges électriques dans un milieu est modélisée par une charge délocalisée, nivelée, représentée par une densité de charges. Le terme densité (normalement sans unité) est impropre : on devrait parler de charges volumiques (comme de masse volumique).

II.2.1. Charges volumiques

Soit un milieu chargé de volume V, la distribution de charges D correspond à la donnée d'une densité volumique ρ, telle que la charge contenue dans un volume dτ (petit à l'échelle macroscopique) soit égale

à dq = ρ�dτ où ρ est en C�m-3.

ρ, qui n'est pas a priori supposée uniforme sur V, l'est sur dτ. C'est une densité volumique locale de charges : ρ(x, y, z).

II.2.2. Charges surfaciques

Supposons que le volume V soit une surface S de très faible épaisseur h. La distribution présente alors l'aspect d'une nappe chargée. On a pour un élément de surface dS de cette nappe dq = ρ�h�dS.

Si, à dq constant, h → 0, le produit ρ�h → σ constant et dq = σ�dS fait apparaître σ (en C�m-2) comme une densité surfacique de charges.


II.2.3. Charges linéiques

De la même manière si D présente une allure filiforme on considérera la distribution linéique

correspondant à une charge linéique notée λ en C�m-1 telle que dq = λ�dl.

Il s'agit maintenant de déterminer le champ électrostatique créé en un point M de l'espace par un

ensemble de charges en appliquant le principe de superposition E (M) =

i∑ 1

4 ⋅ π ⋅ ε0�qi

r2�e ri.

II.3. Champs créés par une distribution de charges

A notre niveau d'observation, donc à l'échelle macroscopique, la distribution des charges est continue

et le principe de superposition se traduit par l'intégrale E (M) =

D∫1

4 ⋅ π ⋅ ε0�dq

r2�e r que nous écrirons

E (M) = 1

4 ⋅ π ⋅ ε0�

D∫PM

PM3�dqp où P représente un point (mésoscopique) quelconque de la distribution D.

II.3.1. Distribution volumique

dqP = ρ(P)�dτ ; l'intégrale porte sur un volume. E (M) = 1

4 ⋅ π ⋅ ε0�

D∫∫∫ PM

PM3�ρ(P)�dτ (intégrale triple).

II.3.2. Distribution surfacique

On a ici dq(P) = σ(P)�dS et une intégrale double E (M) = 1

4 ⋅ π ⋅ ε0�

D∫∫PM

PM3�σ(P)�dS

II.3.3. Distribution linéique

dq(P) = λ�dl et E (M) = 1

4 ⋅ π ⋅ ε0�

D∫PM

PM3�λ(P)�dl est une intégrale simple (mais pas forcément

simple à calculer).

Ces expressions ne sont a priori applicables qu'aux cas de distributions d'extension finie (sans points à l'infini). Il existe toutefois des distributions d'extension infinie pour lesquelles ces intégrales convergent.

III. Eléments de symétrie

Nous admettrons ici, mais il sera possible de le vérifier sur des exemples particuliers, qu'un champ électrostatique possède les mêmes propriétés d'invariance que la distribution de charges qui est sa source.

Ceci est l'une des illustrations du principe de Curie un phénomène physique possède au moins les éléments de symétrie de ses causes.

Nous évoquerons donc d'abord les éléments de symétrie des distributions avant de parler de celles des champs.

III.1. Symétries

Soient P(x, y, z) un point de la distribution de charges et P'(x, y, - z) son symétrique par rapport au plan xOy perpendiculaire au plan de figure.

III.1.1. Symétrie plane

La distribution est invariante par la symétrie par rapport au plan (xOy) si ρ(P') = ρ(P) pour tout couple (P,P') de points symétriques.

Dans ce cas, P et P' créent en deux points M(x,y,z) et M'(x,y,- z) symétriques des champs symétriques par rapport à xOy. En tout point N du plan de symétrie, le champ résultant appartient donc à (xOy).

le champ créé par une distribution admettant un plan de symétrie est, en un point du plan de symétrie, un vecteur du plan de symétrie.

III.1.2. Antisymétrie plane

(xOy) est plan d'antisymétrie pour la distribution si ρ(P') = - ρ(P), autrement dit si ρ(x, y, -z) = - ρ(x, y, z).

q q

€

E

€

E '

€

E (N)

N M' M

P P'

- q q

€

E

E ' E (N) N

P P'

€

E '

€

E (N)

M M'


On voit sur le schéma que en deux points M(x,y,z) et M'(x,y,- z) symétriques par rapport à xOy la

distribution antisymétrique crée des champs tels que E '(M') soit l'opposé du symétrique de

E (M).

Le champ créé en un point N du plan d'antisymétrie de la distribution est perpendiculaire à ce plan.

III.2. Invariance par translation

Une distribution est invariante par translation d'axe Oz, si ρ(x, y, z + k�∆z) = ρ(x, y, z) avec k quelconque.

Autrement dit ρ(x,y) ne dépend pas de z → E (x, y) = Ex(x, y)�

e x + Ey(x, y)�

e y + Ez(x, y)�

e z

Tout plan perpendiculaire à Oz est alors un plan de symétrie pour la distribution.

Le champ créé par une distribution invariant par la translation est lui-même invariant par la même translation

Nous verrons que les coordonnées de ce champ ne sont pas indépendantes.

On peut aussi rencontrer des distributions invariantes par translations discrètes (k est alors un entier), ce qui conduit à une périodicité de la distribution le long de Oz.

III.3. Invariance par rotation

Une distribution est invariante par rotation autour de l'axe Oz, si ρ(r, ϑ, z ) = ρ(r,z) autrement dit ρ ne dépend pas de ϑ. Tout plan contenant l'axe de rotation Oz est alors un plan de symétrie pour la distribution.

Le champ créé par une distribution invariante par rotation est lui-même invariant par la même rotation

⇒ E (r, ϑ, z) = Er(r, z)�

e r + Eϑ(r, z)�

e ϑ + Ez(r, z)�

e z où les coordonnées Er et Ez de

E ne sont

pas indépendantes. On notera que la direction de e r dépend de ϑ, donc, contrairement aux apparences,

E dépend de ϑ.

On peut également rencontrer des distributions invariantes par des rotations particulières d'angle α tel que n�α = 2�π avec n entier.

III.4. Symétries multiples

Nous avons déjà vu qu'une distribution invariante par translation possède une infinité de plans de symétrie. C'est donc déjà un cas de symétrie multiple.

III.4.1. Cylindrique

Si la distribution est à la fois invariante par translation d'axe Oz et par rotation autour de Oz, elle est de symétrie cylindrique. ρ(r, ϑ, z) = ρ (r).

Le champ créé par une telle distribution admet la même symétrie, il ne dépend que de la distance de M

à l'axe Oz. C'est donc un vecteur radial : E (r, ϑ, z) =

E (r)

III.4.2. Sphérique

De la même manière, une distribution est à symétrie sphérique si elle est inchangée par toute rotation autour d'un axe quelconque passant par le centre de symétrie O.

Le champ qu'elle crée ne dépend que de OM

= r , c'est un champ radial :

E (r, ϑ, ϕ) =

E (r) .

Les propriétés ainsi énoncées du champ électrostatique impliquent que ce soit un vrai vecteur (à l'inverse de ce que nous verrons pour le champ magnétique).

IV. Topographie du champ

IV.1. Lignes et tubes de champ

Par définition : Une ligne de champ est une courbe telle que le vecteur champ électrostatique soit tangent à la ligne en chacun de ses points.

Des particules isolantes, comme des grains de semoule, s'orientent dans le champ électrostatique qui les transforme en petits dipôles s'alignant les uns derrière les autres. On peut ainsi expérimentalement visualiser les lignes de champ.


Chaque particule M est assimilable à un élément de longueur dl de la ligne de champ parallèle au

champ en M.

De ce qui précède on peut déduire : dl ∧

E =

0 équation différentielle (et vectorielle) d'une ligne de

champ. Exemple en coordonnées cartésiennes :

dl = dx�

e x + dy�

e y + dz�

e z et

E = Ex�

e x + Ey

e y + Ez

e z → Ex�dy = Ey�dx ;

Ey�dz = Ez�dy et Ez�dx = Ex�dz. D'où l'on déduit : dxEx

= dyE y

= dzEz

.

L'ensemble des lignes de champ s'appuyant sur un contour fermé C engendre une surface S appelée tube de champ.

IV.2. Points singuliers

Deux lignes de champ ne peuvent pas se couper en un point où E est défini. En effet, cela donnerait

deux directions (les deux tangentes aux deux lignes) au même champ.

Deux lignes de champ peuvent se couper en M si

• le champ est nul en M (appelé dans ce cas : point de champ nul ou point d'arrêt)

• le champ n'est pas défini en M (il existe une charge en M ou M appartient à une surface chargée).

Les lignes de champ divergent à partir des charges positives et convergent vers les charges négatives.

V. Exemples de calculs de champ

On s'attachera à dire tout ce qu'on peut du champ créé par une distribution donnée avant de se lancer dans les calculs.

V.1. Champ créé par plusieurs charges ponctuelles

V.1.1. Deux charges identiques placées en P et P' sur l'axe Oz symétriques par rapport à O.

La distribution et invariante par rotation autour de l'axe portant PP' (Oz). Le champ créé possède la

même symétrie donc il est indépendant de ϑ →E (r, ϑ, z) = Er (r, z)• r + Eϑ (r, z)• r + Ez (r, z)• z

Le plan (xOy) médiateur de PP' est un plan de symétrie. On peut donc repérer un point M de l'espace par sa distance r à l'axe Oz et sa cote z.

En tout point M de cote z = 0 le champ est de même direction que OM

. En tout point M tel que r = 0

(sauf en P et P' où le champ n'est pas défini) E (M) a la direction de l'axe Oz.

Près de P (ou de P') l'influence de l'autre charge n'est pas ressentie → le champ est radial.

Loin de PP', le champ ressenti est celui que créerait une charge ponctuelle 2�q.

On peut donc dessiner les lignes de champ. On pourra vérifier en déterminant leurs équations.

On peut aussi noter que O est un point de champ nul.

V.1.2. N charges identiques disposées aux n sommets d'un polygone régulier

Par symétrie, le champ créé en O centre du polygone est nul. On peut appliquer le même type de considérations que précédemment pour représenter a priori l'allure des lignes de champ.

V.2. Champ d'une distribution continue

V.2.1. Linéique

Soit un segment de l'axe Oz, de charge linéique uniforme λ, compris entre les points P1 et P2 de cotes z1

et z2. Calculons le champ créé par ce segment en M(r, ϑ, z). Les considérations précédentes montrent

que l'utilisation des coordonnées cylindriques s'impose.

L'élément de longueur dz du fil, centré en P repéré par l'angle α, créé en M le champ :

dE = 1

4 ⋅ π ⋅ ε0�λ�

cos α ⋅e r − sin α ⋅

e z

d 2�dz dans le plan de la figure.


d = rcos α

et z = r�tan α → dz = r ⋅dα

cos 2α

→ dE = 1

4 ⋅ π ⋅ ε0�λ

r�[cos α�dα�

e r - sin α�dα�

e z] à

intégrer entre α1 et α2.

E = 1

4 ⋅ π ⋅ ε0�λ

r�[(sin α2 - sin α1)�

e r + (cos α2 - cos α1)�

e z]

Dans le cas où le segment a une longueur infinie α1 = - π2

et α2 = + π2

et E = λ

4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅r�e r qui

montre qu'une distribution infinie peut créer un champ fini.

V.2.2. Distribution surfacique

Calculons le champ créé, en un point de son axe, par un disque de rayon R, portant la charge surfacique σ constante. De ce fait, les coordonnées cylindriques s'imposent.

Les éléments de symétrie du disque sont ceux du champ. On peut donc affirmer que E a la direction de

l'axe Oz et se contenter de calculer la projection sur Oz des contributions des différents éléments de surface.

On peut dire aussi que E (z) = -

E (- z) donc on limite le calcul au cas z > 0 :

E(z > 0) = 14 ⋅ π ⋅ ε0

�D∫∫

σ ⋅dS

d 2�cos α avec dS = 2�π�r�dr

r = z�tan α → dr = z ⋅dα

cos 2α et z = d�cos α → dS = 2�π�d2�tan α�dα où α

varie de 0 à αm.

E(z > 0) = σ

2 ⋅ ε0�

0αm∫ sin α�dα = σ

2 ⋅ ε0�(1 - cos αm) = σ

2 ⋅ ε0� 1 −

z

R2 −z 2

"

#

$$$

%

&

'''

Donc E (z > 0) = σ

2 ⋅ ε0� 1 −

z

R2 −z 2

"

#

$$$

%

&

'''�e z et

E (- z) = - σ

2 ⋅ ε0� 1 +

z

R2 −z 2

"

#

$$$

%

&

'''�e z que l'on peut

résumer par : E = signe(z)� σ

2 ⋅ ε0� 1 −

z

R2 −z 2

"

#

$$$

%

&

'''�e z ou

E =

z

z�

σ

2 ⋅ ε0� 1 −

z

R2 −z 2

"

#

$$$

%

&

'''�e z.

Remarque importante : en z = 0+ on a E (0+) = σ

2 ⋅ ε0�e z et en z = 0- on a

E (0-) = - σ

2 ⋅ ε0�e z

donc à la traversée du disque le champ électrostatique subit une discontinuité égale à σ

ε0.

z αm

d

r dS

M

α

P

P1

α

M

dz P

H

d

P2

r

€

e z

€

e r

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