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OptimisationOptimisation de de GRAPHESGRAPHES

Mathématiques Mathématiques CSTCST- L’optimisation de- L’optimisation de GRAPHESGRAPHES --

Arbre de valeurs minimales et maximales

Arbre qui relie tous les sommets du graphe par une Arbre qui relie tous les sommets du graphe par une sélection sélection d’arêtesd’arêtes pour que le pour que le poids de l’arbrepoids de l’arbre soit le plus soit le plus petitpetit possible possible ((minimalminimal) ou le plus ) ou le plus grandgrand possible ( possible (maximalmaximal).).

MÉTHODEMÉTHODE : : Algorithme de KruskalAlgorithme de Kruskal

1.1. Énumérer toutes les Énumérer toutes les arêtesarêtes et les placer en et les placer en ordre croissantordre croissant de poids de poids (arbre de valeurs minimales).(arbre de valeurs minimales).

2.2. Choisir l’ Choisir l’arêtearête ayant le ayant le plus petit poidsplus petit poids..

3.3. Répéter Répéter l’étape 2l’étape 2 jusqu’à ce que tous les sommets soient reliés jusqu’à ce que tous les sommets soient reliés en en évitantévitant celles qui formeraient un celles qui formeraient un cycle simplecycle simple..


1.1. Ordre croissant : Ordre croissant :

ExempleExemple : Situation qui illustre les coûts estimés de la construction de : Situation qui illustre les coûts estimés de la construction de trottoirs entre des immeubles. On veut s’assurer que tous les trottoirs entre des immeubles. On veut s’assurer que tous les immeubles soient reliés à un coût immeubles soient reliés à un coût minimalminimal..

AA

BB132132

00CC

FF

DD EE

850850

920920

835835

11611600

790790

28828800

750750

26426400

750750 - - 790790 - - 835835 - - 850850 - - 920920 - - 11601160 - - 13201320 - - 26402640 - - 28802880

ExempleExemple : Situation qui illustre les coûts estimés de la construction de : Situation qui illustre les coûts estimés de la construction de trottoirs entre des immeubles. On veut s’assurer que tous les trottoirs entre des immeubles. On veut s’assurer que tous les immeubles sont reliés à un coût immeubles sont reliés à un coût minimalminimal..

AA

BB132132

00CC

FF

DD EE

850850

920920

835835

11611600

790790

28828800

750750


2.2. Arête avec le plus petit poids : Arête avec le plus petit poids :

750750 - - 790790 - - 835835 - - 850850 - - 920920 - - 11601160 - - 13201320 - - 26402640 - - 28802880

EE

FF

26426400


3.3. Répéter en évitant de former un Répéter en évitant de former un cycle simplecycle simple ::

750750 - - 790790 - - 835835 - - 850850 - - 920920 - - 11601160 - - 13201320 - - 26402640 - - 28802880

ExempleExemple : Situation qui illustre les coûts estimés de la construction de : Situation qui illustre les coûts estimés de la construction de trottoirs entre des immeubles. On veut s’assurer que tous les trottoirs entre des immeubles. On veut s’assurer que tous les immeubles sont reliés à un coût immeubles sont reliés à un coût minimalminimal..

AA

BB132132

00CC

FF

DD EE

850850

920920

835835

11611600

790790

28828800

750750

EE

FF

CC

BB

DD

AA

26426400

La construction des trottoirs coûtera donc

4545 $ .

La construction des trottoirs coûtera donc

4545 $ .

Poids de l’arbre :Poids de l’arbre : 750 750 + + 790790 + + 835835 + + 850850 + + 13201320 = = 45454545


Exercice #1Exercice #1 : Détermine l’arbre de valeurs : Détermine l’arbre de valeurs minimalesminimales et son poids. et son poids.

AA BB44

11 – – 22 – – 22 – – 33 – – 33 – – 44 – – 44 – – 44 – – 55 – – 5 5 –– 5 5 –– 6 6 – – 6 6 –– 8 8 –– 10 10

GG HH

DD

CC

II

EE FF

1010

22 66

55 55

33

11

44 55

33

66

22

88

44

BB

HH

AA

DD

II

FF

CC

EE

GG

inutiles

Poids de l’arbre :Poids de l’arbre : 1 1 ++ 2 2 ++ 2 2 ++ 3 3 ++ 3 3 ++ 4 4 ++ 5 5 ++ 5 5 == 25 25


Exercice #2Exercice #2 : Détermine l’arbre de valeurs : Détermine l’arbre de valeurs maximalesmaximales et son poids. et son poids.

AA BB44

GG HH

DD

CC

II

EE FF

1010

22 66

55 55

33

11

44 55

33

66

22

88

44

BB

HH

AA

DD

II

FF

CC

EE

GG

Poids de l’arbre :Poids de l’arbre : 10 10 ++ 8 8 ++ 6 6 ++ 6 6 ++ 5 5 ++ 5 5 ++ 4 4 ++ 4 4 == 48 48

10 10 –– 8 8 –– 6 6 –– 6 6 –– 5 5 –– 5 5 –– 5 5 –– 4 4 –– 4 4 –– 4 4 –– 3 3 – – 3 3 –– 2 2 – – 2 2 –– 1 1

inutiles

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Chaîne de poids minimal

Chaîne qui a la Chaîne qui a la plus petite valeurplus petite valeur..

MÉTHODEMÉTHODE : Algorithme de : Algorithme de Dijkstra Dijkstra

1.1. On assigne à chaque sommet un On assigne à chaque sommet un nombrenombre et une et une lettrelettre.. NombreNombre : distance la plus courte : distance la plus courte LettreLettre : sommet précédent d’où provient la chaîne : sommet précédent d’où provient la chaîne

2.2. Répéter Répéter l’étape 1l’étape 1 jusqu’au dernier sommet. jusqu’au dernier sommet.

3.3. Identifier la chaîne la plus courte par une Identifier la chaîne la plus courte par une lecture à rebourslecture à rebours..

ExempleExemple : Situation où les arêtes représentent des chemins et les : Situation où les arêtes représentent des chemins et les sommets, des lieux. Trouver le chemin le plus court du point sommets, des lieux. Trouver le chemin le plus court du point A à F.A à F.

AA

BB

77

CC

FF

DD

EE

77

3344

22

55

44

44

44

22

2 (A)2 (A)

6 (B)6 (B)

6 (B)6 (B)

5 (B)5 (B)

9 (E)9 (E)

Chaîne la plus courte : ABEF

Poids : 9

FF

EE

BB

AA

Exercice #1Exercice #1 : :

AA

BB

CC

DD

EE GG

FF HH JJ

55

66 1010

44

99

77

33 11

66

55

5 (A)5 (A)

3 (A)3 (A)

7 (A)7 (A)

12 (D)12 (D) 21 21 (F)(F)

22 (H)22 (H)

7 (C)7 (C) 17 17 (E)(E)

JJHHFF

DD

AA

Chaîne de poids minimal : ADFHJ

Poids de la chaîne : 7+5+9+1 = 22


AA

BB

CC

DD

EE GG

FF HH JJ

44

22 55

44

22

66

77 11

33

33

55

44

66

4 (A)4 (A)

7 (A)7 (A)

6 (A)6 (A)

8 (B)8 (B) 10 (F)10 (F) 11 (H)11 (H)

6 (B)6 (B) 11 11 (E)(E)

JJHHFFAA

Chaîne de poids minimal : ABFHJ

Poids de la chaîne : 4+4+2+1 = 11

BB

Chemin critique

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Pour réaliser une Pour réaliser une tâchetâche (bâtir une maison, faire une recette, (bâtir une maison, faire une recette, construire un avion, etc.)construire un avion, etc.), on doit souvent réaliser plusieurs , on doit souvent réaliser plusieurs étapesétapes..

Certaines Certaines étapesétapes doivent doivent obligatoirementobligatoirement être faites avant être faites avant certaines autres tandis que plusieurs étapes peuvent se faire certaines autres tandis que plusieurs étapes peuvent se faire en en même tempsmême temps (par des personnes ou des équipes différentes)(par des personnes ou des équipes différentes)..

Le Le chemin critiquechemin critique, c’est le temps , c’est le temps minimumminimum requis pour exécuter requis pour exécuter la tâche. Malheureusement, on doit attendre que certaines la tâche. Malheureusement, on doit attendre que certaines étapes soient terminées avant de passer aux étapes suivantes.étapes soient terminées avant de passer aux étapes suivantes.

Donc, c’est la chaîne ayant la Donc, c’est la chaîne ayant la plus grande valeurplus grande valeur entre le début entre le début et la fin du projet.et la fin du projet.

ExempleExemple : Situation où l’on doit repeindre une pièce d’une maison : Situation où l’on doit repeindre une pièce d’une maison

ÉtapesTemps requis (min)

Préalables

A. Début - -

B. Aller chercher au sous-sol l'escabeau, les pinceaux, le rouleau, le bac à peinture, ...

15 A

C. Sabler l'endroit où se trouvait la fissure 5 B

D. Couvrir le plancher d'un plastique 10 B

E. Acheter la peinture à la quincaillerie 20 A

F. Faire le découpage au pinceau 50 D, E

G. Peindre les murs au rouleau 30 C, D, E

H. Nettoyer le rouleau et le bac 5 G

I. Nettoyer les pinceaux 5 F

J. Ranger tout le matériel au sous-sol 15 H, I

K. Admirer le travail - J

Temps requis si on effectuait la tâche seul : 155 -

GrapheGraphe de la situation : de la situation :

ÉtapesTemps requis

(min)Préalables

A. Début - -

AA


ÉtapesTemps requis

(min)Préalables

B. Aller chercher au sous-sol l'escabeau, les pinceaux, le rouleau, le bac à peinture, ...

15 A

AA BB1155


ÉtapesTemps requis

(min)Préalables

C. Sabler l'endroit où se trouvait la fissure 5 B

CC55

AA BB1155


ÉtapesTemps requis

(min)Préalables

D. Couvrir le plancher d'un plastique 10 B

CC55

AA BB1155

DD

1100


ÉtapesTemps requis

(min)Préalables

E. Acheter la peinture à la quincaillerie 20 A

CC55

AA BB1155

DD

1100

EE

2200


ÉtapesTemps requis

(min)Préalables

F. Faire le découpage au pinceau 50 D, E

CC55

AA BB1155

DD

1100

EE

2200

FF5500

5500


ÉtapesTemps requis

(min)Préalables

G. Peindre les murs au rouleau 30 C, D, E

CC55

AA BB1155

DD

1100

EE

2200

FF5500

5500

GG

3300

3300

3300


ÉtapesTemps requis

(min)Préalables

H. Nettoyer le rouleau et le bac 5 G

CC55

AA BB1155

DD

1100

EE

2200

FF5500

5500

GG

3300

3300

3300

HH55


ÉtapesTemps requis

(min)Préalables

I. Nettoyer les pinceaux 5 F

CC55

AA BB1155

DD

1100

EE

2200

FF5500

5500

GG

3300

3300

3300

HH55

II55


ÉtapesTemps requis

(min)Préalables

J. Ranger tout le matériel au sous-sol 15 H, I

CC55

AA BB1155

DD

1100

EE

2200

FF5500

5500

GG

3300

3300

3300

HH55

II55

JJ

1155

1155


ÉtapesTemps requis

(min)Préalables

K. Admirer le travail - J

CC55

AA BB1155

DD

1100

EE

2200

FF5500

5500

GG

3300

3300

3300

HH55

II55

JJ

1155

1155

KK00

ProcédureProcédure pour trouver le chemin critique : pour trouver le chemin critique :

CC55

AA BB1155

DD

1100

EE

2200

FF5500

5500

GG

3300

3300

3300

HH55

II55

JJ

1155

1155

KK00

On assigne à chaque sommet un On assigne à chaque sommet un nombrenombre et une et une lettrelettre..

Le Le nombrenombre est la est la plus grande sommeplus grande somme des valeurs pour se rendre du point des valeurs pour se rendre du point de de départ au sommet étudié.départ au sommet étudié.

La La lettrelettre est le est le sommet précédentsommet précédent dans la chaîne (ou chemin) qui a cette dans la chaîne (ou chemin) qui a cette plus plus grande somme.grande somme. On identifie la chaîne (ou le chemin) par une On identifie la chaîne (ou le chemin) par une lecture à rebourslecture à rebours (à reculons). (à reculons).

15 15 (A)(A)

20 20 (A)(A)

20 20 (B)(B)

25 25 (B)(B)

75 75 (D)(D)

55 55 (D)(D)

60 60 (G)(G)

80 (F)80 (F)

95 (I)95 (I) 95 (J)95 (J)

Chemin critique : ABDFIJK Temps minimum pour réaliser le projet : 95 minutes

AA

BB

CC

DD

EE GG

FF HH JJ

55

66 1010

44

99

77

33 11

66

55

5 (A)5 (A)

3 (A)3 (A)

7 (A)7 (A)

12 (D)12 (D) 27 (G)27 (G) 28 (H)28 (H)

11 11 (B)(B)

21 21 (E)(E)

JJ

GGEEBB

Chemin critique : ADFHJ


AA HH

AA

BB

CC

DD

EE GG

FF HH JJ

44

22 55

77

22

66

77 11

33

33

55

44

66

4 (A)4 (A)

10 (D)10 (D)

6 (A)6 (A)

11 (B)11 (B) 25 (G)25 (G) 26 (H)26 (H)

17 17 (F)(F)

22 22 (E)(E)

JJHH

GGEE

FF

BB

AA

Chemin critique : ABFEGHJ


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