Manuel phil tle

collection odysse

MATHMATIQUES T le ES-LLivre du professeur

Enseignement spcifique ES et de spcialit Let enseignement de spcialit ES

Nouveau programme

Sous la direction de

ric SIGWARD IA-IPR de mathmatiques de lacadmie de Strasbourg

Auteurs

ric CASPARProfesseur de mathmatiques au lyce Stanislas de Wissembourg

Daniel DRAYProfesseur de mathmatiques au lyce Emily Bront de Lognes

Herv KAZMIERCZAKProfesseur de mathmatiques au lyce Jean-Baptiste Corot de Douai

Marie-Christine LVI Professeur de mathmatiques au lyce Fustel de Coulanges de Massy

Erwan MORVANProfesseur de mathmatiques au lyce Rotrou de Dreux

Didier REGHEMProfesseur de mathmatiques au lyce Marguerite de Flandre de Gondecourt

Christophe ROLANDProfesseur de mathmatiques au lyce Pasteur de Hnin-Beaumont

ric SIGWARD

Suivi ditorial : Jean-Michel Rve

Maquette : Nicolas Balbo

Mise en page : Catherine Vielcanet

Infographies : Domino

HATIER, PARIS, 2012 ISBN 978-2-218-95400-9

Sous rserve des exceptions lgales, toute reprsentation ou reproduction intgrale ou partielle, faite, par quelque procd que ce soit, sans le consentement de lauteur ou de ses ayants droit, est illicite et constitue une contrefaon sanctionne par le Code de la Proprit Intellectuelle. Le CFC est le seul habilit dlivrer des autorisations de reproduction par reprographie, sous rserve en cas dutilisation aux fins de vente, de location, de publicit ou de promotion de laccord de lauteur ou des ayants droit.

3

Introduction ................................................................................................................................. 5

Corrigs des activits, TP et exercices .................................................................. 9

partie a Algbre et analyse .......................................................................................... 11

chapitre 1. Suites ..................................................................................................................... 13

chapitre 2. Fonctions .............................................................................................................. 31

chapitre 3. Fonctions exponentielles ................................................................................. 51

chapitre 4. Fonction logarithme nprien ....................................................................... 67

chapitre 5. Intgration ........................................................................................................... 97

partie b Probabilits et statistiques .................................................................... 117

chapitre 6. Conditionnement ............................................................................................. 119

chapitre 7. Lois densit .................................................................................................... 127

chapitre 8. Fluctuation et estimation .............................................................................. 137

partie c Enseignement de spcialit ES ............................................................. 149

chapitre 9. Matrices .............................................................................................................. 151

chapitre 10. Graphes ............................................................................................................ 181

S O M M a i r e

5

INTRODUCTION

7

Le cycle terminal des sries ES et L doit permettre aux lves de dvelopper leur sens critique

vis--vis des informations chiffres et de les former la pratique dune dmarche scientifique.

Le programme de la terminale peut tre abord selon plusieurs angles, mais il ne faudrait sur-

tout pas le considrer comme une succession de chapitres cloisonns. Il conviendra donc de

concevoir, ds le dbut de lanne, une progression alternant les diffrentes notions traiter,

de telle sorte que les concepts abords soient repris tout au long de lanne. Vous retrouverez

dailleurs dans le manuel notre volont de varier au maximum les situations et problmes au

sein de chaque chapitre, afin de rinvestir les diffrents thmes.

Chaque chapitre de ce manuel propose des travaux pratiques que nous avons choisis les plus

diversifis possibles. Ils font largement appel loutil informatique (logiciel ou calculatrice) et

certains dentre eux exigent de mettre en uvre des dmarches algorithmiques.

Dans chacun de ces problmes, les lves auront loccasion de chercher, dappliquer des tech-

niques, deffectuer des essais, de conjecturer avec les TICE puis dlaborer des dmonstrations.

Lutilisation des TICE est tout fait adapte lacquisition de nombreuses notions du pro-

gramme de terminale. Il sagit dexploiter toutes les possibilits offertes afin denrichir lap-

prentissage et les mthodes dinvestigation. Loutil informatique permet en effet dobtenir

rapidement une reprsentation concrte du problme tudi. Des modifications des confi-

gurations en jeu peuvent mettre en vidence les proprits dmontrer et toute lattention

peut alors se porter sur la dmonstration elle-mme. Les problmes ouverts proposs dans ce

manuel ne font pas appel directement aux TICE. Nous proposons cependant dans certains cas

soit une illustration, soit une vrification du rsultat obtenu laide de la calculatrice ou dun

logiciel adapt la situation tudie.

Il importe que la diversit de ces activits se retrouve aussi dans la nature des travaux propo-

ss aux lves : des travaux dirigs en groupe, des travaux en autonomie, des activits en salle

informatique ou des devoirs personnels raliss en temps libre.

Nous avons essay de proposer, au sein de chaque chapitre, des problmes de difficults pro-

gressives, en particulier dans le domaine de lalgorithmique. lissue des classes de seconde et

premire, les lves ont dj acquis une certaine exprience avec les logiciels usuels : tableurs,

un logiciel de gomtrie dynamique ainsi que dans le domaine de lalgorithmique.

Nous navons privilgi aucune syntaxe particulire, ce qui vous permet dutiliser ce guide avec

ses fichiers quels que soient le matriel et les logiciels utiliss dans votre tablissement. La

plupart des travaux pratiques peuvent cependant tre raliss assez simplement laide dune

calculatrice. Ce qui permet une trs large utilisation de ce guide.

Vous trouverez dans ce livre du professeur des commentaires, des lments de correction, ainsi

que des indications sur la mise en uvre des travaux pratiques avec les lves. Un nombre

important de ces activits peut tre ralis avec loutil informatique.

8

En complment, vous trouverez des fichiers sur le CD daccompagnement, sous de nom-

breuses versions :

Excel et OpenOffice pour les fichiers tableurs,

Casio et Texas pour les tracs et la programmation laide de la calculatrice,

GeoGebra pour certaines reprsentations graphiques (en analyse et dans le chapitre de pro-babilits),

AlgoBox, Python, Scilab et Xcas pour les programmes qui illustrent les algorithmes,

Xcas pour le calcul formel.

Ces fichiers vous permettront dune part de visualiser les rsultats demands, de tester les

algorithmes ou les figures dynamiques, mais galement dillustrer vos explications lors de syn-

thses collectives avec les lves. Certains de ces fichiers sont la disposition des lves sur

le site compagnon, intgralement ou partiellement complts, plus particulirement lorsque

le problme consiste soit modifier, complter ou corriger un algorithme, soit effectuer des

simulations sur une feuille de calcul dun tableur. Ils serviront ainsi de base de travail pour une

activit en autonomie ou pour un devoir raliser la maison.

Nous esprons que ce livre rpondra vos attentes et quil vous apportera des pistes intres-

santes pour une prsentation efficace du programme de terminale ES et L et quil vous aidera

construire un enseignement des mathmatiques travers la rsolution de problmes, tout

particulirement dans les chapitres de lenseignement de spcialit.

Les auteurs.

9

CORRIGS

DES ACTIVITS,

TP ET ExERCICES

11

ALGbRE PARTIE A ET ANALYSE

1. Suites 13

1. SuitesQCM Pour bien commencerLes exercices de cette rubrique sont corrigs dans le manuel, p. 390.

Corrigs des travaux pratiques

1 SommedestermesdunesuiteLe chapitre sur les suites est propice la construction de petits programmes. Le TP en prsente des

classiques et demande aux lves de les analyser.

l1 a. Le programme va renvoyer 5 si en entre on donne le nombre 2.b. u0 = 2, et pour tout n entier un + 1 = 0,5un + 3.

l2 a. AlGO2 va renvoyer le nombre 3.AlGO3 va renvoyer le nombre 28,125.AlGO4 va renvoyer le nombre 2.b. Le programme AlGO3 permet de calculer la somme u0 + u1 + u2 + u3 + u4 + u5.c. AlGO2 permet de savoir lindice du premier terme de la suite u strictement plus grand que 5.

l3 On pose la question de la valeur de N laide de Prompt N au dbut du programme puis on remplace le 5 dans for(I, 0, 5) par N.

2 DterminerunextremumdunefonctionLalgorithme prsent dans le TP est proche de celui de la dichotomie. Il est donc dj assez volu

et le TP se destine des lves matrisant les boucles et les instructions conditionnelles. Il est prf-

rable de dj avoir tudi la mthode de la dichotomie avant de faire celui-ci.

Comme pour la dichotomie, la mthode marche avec des fonctions non drivables.

l1 a= 4,6 m3.B est croissante sur [0 ; a] puis dcroissante sur [a; 9], avec a= 4,6.

a. Lentreprise gagne de largent entre environ 1,2 et 7,5 m3.b. Si a appartient [a ; c] alors c et b sont dans [a ; d]. B est dcroissante sur [a ; d] et c < b donc B(c) > B(d), ce qui contredit lhypothse.

l2 a. Pour n = 1 : a = 3 ; b = 9.Pour n = 2 : a = 3 ; b = 7.

b. Sur Ti :

Sur Casio :

c. La meilleure estimation 0,01 prs de a est 4,61.

14 1. Suites

l3 a. Soit un entier n, si B 2an + bn3 < B an + 2bn3 ,alors an + 1 =

2an + bn3

et bn + 1 = bn do :

bn + 1 an = bn 2an + bn

3 =

23

(bn an).

Sinon :

an + 1 = an et bn + 1 = an + 2bn

3 do :

bn + 1 an = an + 2bn

3 an =

23

(bn an).

La suite w est donc gomtrique de raison 23

.

b. Pour connatre la quantit au litre prs, il faut connatre la valeur de a 0,001 prs.

Il faut donc connatre quand 9 23

n < 0,001 soit n > 22.

Soit a 4 608 L.

3 SommedetermesinfinimentpetitsLe TP montre aux lves que la somme de terme tendant vers 0 peut tendre vers linfini ou vers un

nombre fini selon les cas.

Les suites tant donnes sous forme explicite, le calcul de la somme des termes est relativement

simple.

La dernire partie, plus thorique, peut tre donne en exercice.

Le raisonnement par rcurrence ntant pas au programme, on se limitera lide de la justification

la question 3. b.

l1 a. n 0 1 2 3 4 10 100 1 000

un 4 1,333 333 33 0,8 0,571 428 57 0,444 444 44 0,190 476 19 0,019 900 5 0,001 999

b. u semble tendre vers 0.c. Sur Ti : Sur Casio :

d.

n 0 1 2 3 4 10 100 1 000

Sn 4 2,66 3,46 2,89 3,34 3,23 3,15 3,14

e. S semble converger vers .

l2 a. n 1 2 3 4 5 10 100 1 000

vn 0,414 213 56 0,317 837 25 0,267 949 19 0,236 067 98 0,213 421 77 0,154 347 13 0,049 875 62 0,015 807 44

b. La suite v semble tendre vers 0.

1. Suites 15

c. Sur Ti : Sur Casio :

d.

n 0 1 2 3 4 10 100 1 000

Sn 1 1,41 1,73 2 2,23 3,31 10,04 31,63

e. La suite S semble tendre vers linfini.

l3 a. Pour n entier :1

n +1 + n= n +1 n

n +1 + n( ) n +1 n( ) =n +1 nn +1n = n +1 n .

b. S0 = 1 ; S1 = 2 ; S2 = 3 ; S3 = 2 ; S4 = 5 ; Sn = n +1 .

c. Il suffit de choisir N > a, alors si n > N : Sn = n +1 > a2 +1 > a.

d. Daprs la question prcdente, S tend bien vers +3.

4 RadioactivitLactivit permet de travailler deux algorithmes :

le premier permet de dterminer le premier terme o une suite passe sous un seuil. lalgorithme est explicitement au programme.

le deuxime, plus difficile, est lalgorithme de la dichotomie. Une explication de la mthode est donner au pralable aux lves.

Les calculatrices sont lentes, la mthode permet, dans certains cas, dobtenir un gain de temps

sensible.

Lorganigramme peut poser un problme car la boucle nest pas clairement dcrite.

l1 a. La raison de la suite u est 0,5. Pour n entier, un = 0,5n.b. Comme 0,5 < 1, la proportion diode tend vers 0.c. Aprs 88 jours, la proportion diode nest plus que de 0,000 5, soit 0,05 %.d. Sur Ti : Sur Casio :

l2 a. On ne connat pas la raison de la suite v.b. v30 = 0,5 do, si q est la raison de la suite, q30 = 0,5.c. f est drivable sur [0 ; 1] et f (x) = 30x29 > 0. Donc f est croissante sur [0 ; 1].

16 1. Suites

d.

a = 0

b = c a = c

Dbut

b = 1

i = 0

crire a

crire b

i < 30 ?

c 30 > 0,5 ?fin

i = i + 1

c = (a + b)/2

Sur Ti :

Sur Casio :

e. Sur Ti : Sur Casio :

Il faut 200 ans pour passer sous 1 % de la quantit initiale de radioactivit.

5 DiffrentesmthodesdersolutionnumriqueLes diffrentes mthodes prsentes donnent loccasion de faire des algorithmes avancs sans tre

trs longs.

Les questions mathmatiques, assez abstraites, peuvent tre omises pour se concentrer uniquement

sur laspect algorithmique.

On peut faire remarquer aux lves le lien avec la mthode de Newton et la formule de Hron.

l1 a. Sur Ti :

1. Suites 17

Sur Casio :

b.

n 0 1 2 3 4 10

a 1 1 1,25 1,375 1,375 1,414 062 5

b 2 1,5 1,5 1,5 1,437 5 1,415 039 062 5

b a 1 0,5 0,25 0,125 0,062 51

1024

c. Les termes successifs de b a se comportent comme ceux dune suite gomtrique de raison 0,5.En prenant n = 21, on trouve lestimation 2 1,414 213.

l2 a. On utilise la formule du cours donnant le coefficient directeur dune droite :y =

b2 a2( )b a( ) =

b + a( ) b a( )b a( ) = (b + a).

b. On utilise la formule donne, lquation de la corde est alors : y = (b + a)(x a) + a 2 = (b + a)x ab 2.

c. La corde coupe laxe des abscisses pour une abscisse x vrifiant lquation :

(b + a)x ab = 0 x = (ab + 2)(b + a)

d. Sur Ti :

Sur Casio :

e.

n 1 2 3 4 10

c 1,333 33 1,4 1,411 764 1,413 793 4 1,414 213 551 65

2 c 0,08 0,014 0,002 448 8 0,000 420 45 1,072e 8

l3 a. On utilise la formule de la tangente donne en cours, la tangente en 2 la courbe reprsentative de x x 2 a pour quation : y = 2 2(x 2) + 2 2 = 4x 6.

b. 4a1 6 = 0 a1 = 64

= 1,5.

18 1. Suites

c. Sur Ti : Sur Casio :

d.

n 0 1 2 3 4 10

an 2 1,5 1,416 66 1,414 21 1,414 21 1,41 421 356 37

an 2 0,585 7 0,085 7 0,002 453 1 2e 6 2e 12 Prcision de la machine

l4 la mthode de Newton est la plus performante (mais elle utilise la drive de la fonction), puis vient la mthode de la fausse position et enfin la dichotomie.

6 UtilisationduntableurUn tableur est un moyen pratique et visuel de travailler les suites. Il permet, sans passer par la cra-

tion dun programme, de calculer un grand nombre de termes et de calculer des sommes.

l1 a. un + 1 = un + 500.vn + 1 = 1,015vn.

wn + 1 = 1,01wn + 17.

b. u est une suite arithmtique. v est une suite gomtrique et w une suite arithmtico-gomtrique.c.

A B C D

1

2 n un vn wn3 0 30 000 30 000 30 000

4 1 = B3 + 500 = 1,015*C3 = 1,01*D3 + 170

d. Aprs cinq ans, Meriem peut esprer 32 500 avec la premire volution, 32 318 avec la deuxime volution et enfin 32 397 avec la troisime.

e. Pour dpasser 40 000 , il faut 20 ans avec les trois volutions.Pour dpasser 50 000 , il faut 40 ans avec la premire, 35 ans avec la deuxime et enfin 36 avec la

troisime.

f. Pour n dans [0 ; 13], un > wn > vn.Pour n = 14, wn > un > vn.

Pour n = 15, 16 et 17, wn > vn > un.

Pour n > 17, vn > wn > un.

l2 a. A B C D E F G

1

2 n un vn wn Somme des un Somme des vn Somme des wn3 0 30 000 30 000 30 000 30 000 30 000 30 000

4 1 = B3 + 500 = 1,015*C3 = 1,01*D3 + 170 = SOMME(B$3:B4) = SOMME(C$3:C4) = SOMME(D$3:D4)

b. Pour n dans [0 ; 19] 1re volution > 3e volution > 2e volution.Pour n = 20, 21 : 3e volution > 1re volution > 2e volution.

Pour n = 22, 23, 24, 25 : 3e volution > 2e volution > 1re volution.

Pour n > 26 : 2e volution > 3e volution > 1re volution.

1. Suites 19

Corrigs des exercices et problmes

Exercices dapplication

7 La suite u est une suite gomtrique de raison 4.La suite w est une suite gomtrique de raison 0,5.

8 Les suites u et t sont gomtriques. La suite u a pour raison 2, la suite t a pour raison 0,5.

9 a. Pour tout entier n : un = 5 4n.b. u10 = 5 410 = 5 242 880.

10 Pour tout entier n : vn = 1

4n1 16.

v8 = 1

47 16 =

11024

.

11 wn = 19 683 3n 10.

w0 = 13

; w20 = 1 162 261 467.

12 La raison de la suite est 5 = u9u8 et un = 5

n 8 6.

u11 = 750 et u0 = 6

390 625.

13 a. v4 = qv2, donc q = 36. Les raisons possibles sont 6 et 6.

b. v0 = 1

18 et v3 = 12 ou 12.

14 a. Pour tout n, un + 1 = 4 2n + 1 = 2 un. La suite u est gomtrique de raison 2.b. u est une suite gomtrique positive de raison 2 > 1, donc elle est croissante.

15 a. Pour tout n, vn + 1 = 3n

5n+3 =

35

un.

La suite v est gomtrique de raison 35

.

b. u est une suite gomtrique positive de raison comprise entre 0 et 1, donc elle est dcroissante.

16 Cet exercice est corrig dans le manuel, p. 390.

17 a. u0 = 0 et u1 = 3 et on ne peut pas passer de u0 u1 par une multiplication, donc la suite u nest pas gomtrique.b. Pour tout entier n :vn + 1 = un + 2 un + 1 = 4

n + 2 1 (4n + 1 1) = 4(4n + 1 4n) = 4(4n + 1 1 (4n 1)) = 4vn, donc la suite v est gomtrique de raison 4.c. La suite v est positive et de raison suprieure 1, donc elle est croissante.

18 u0 = 2 , u1 = 4, u2 = 10. Comme u1u0

u2u1

la suite

u nest pas une suite gomtrique.

Pour n entier naturel : vn + 1 = un + 1 1 = 3un 2 1 = 3 (un 1) = 3vn.

19 1. u1 = 6 ; u2 = 8 ; u3 = 10.2. a. v0 = 16 ; v1 = 64 ; v2 = 256.b. Pour tout entier n : vn + 1 = 2

un+1 = 2un+2 = 4 2un = 4vn. La suite v est gomtrique de raison 4.

20 a. Il faut 4 piquets.b. Il faut 14 piquets.

21 S1 = 0 + 1.S2 = 0 + 1 + 2 = 3.S4 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10.

22 S1 = 0 + 1 = 1.S2 = 0 + 1 + 2 = 5.S4 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 30.

23 S est la somme des 11 premiers termes de la suite gomtrique de raison 4 et de premier terme 1 do :

S = 1 4111 4 = 1 398 101.

24 S est la somme des 19 premiers termes de la suite gomtrique de raison 0,75 et de premier terme 1 do :

S = 1 0,75191 0,75 3,98.

25 S est la somme des 8 premiers termes de la suite gomtrique de raison

13

et de premier

terme 1 do :

S = 1 1

3

8

1 13

= 19 68013 122

.


S = 10 + 21 + 22 + + 29 = 1 2101 2 = 1 023.

27 S est la somme des 7 premiers termes de la suite gomtrique de raison 0,5 et de premier terme 1 do :

S = 0,50 + 0,51 + + 0,56 = 1 0,571 0,5 =

254128

.


S = 1 (3)91 (3) =

19 6844

= 4 921.

20 1. Suites


14

et de premier terme 1 do :

S = 1 1

4

11

1 14

= 1 398 1011 048 576

.



S = 2 1 571 5 = 2

78 1244

= 39 062.


56

et de premier

terme 5 do :

S = 51 + 56 + + 56 5

= 5 1 5

6

6

1 56

= 5 31 0317 776

= 1551557 776

33 S = 1 + 6 + 6 + + 68 9.1 + 6 + 6 + + 68 est la somme des 9 premiers termes dune suite gomtrique de raison 6 et de premier terme 1 do :

S = 1 691 6 9 = 2 015 530.


35 S = 10 2 + 100 2 + 1 000 2 + + 1 000 000 2 = 10 + 100 + + 1 000 000 6 2.10 + 100 + + 1 000 000 est la somme des 6 premiers termes dune suite gomtrique de raison 10 et de premier terme 10 do :

S = 10 1106110 12 = 1 111 098.

36 S = u0 1 qn+1

1 q = 3 1 1

5

6

1 15

= 11 7183125

.

37 S = v1 1 qn

1 q = 124( 2 + 1).

38 S = 2(n + 1).

39 a. S = w0 1 qn+1

1 q = 5 1 3

2

6+1

1 32

= 875 495

1 024

b. S = w0 1 qn+1

1 q = 5 1 3

2

10+1

1 32

= 10 295

64

c. S = S S = 710 775

1 024

40 S 5,187 377 817 64.Sur Ti :

Sur Casio :

41 S 27,467.Sur Ti :

Sur Casio :

42 a. N1 = 333.b. N2 = 3 333.

c. NA = EA3

.

d. La suite u a pour limite +3.

43 a. N1 = 10.b. N2 = 10 000.

c. N = E1A

.

d. La suite u tend vers 0.

44 La suite u semble tendre vers 6.La suite v ne semble pas avoir de limite.

45 La suite u na pas de limite.La suite v semble tendre vers 4.

46 Les suites u et v semblent tendre vers +3.

47 La suite u nest pas convergente.La suite v tend vers linfini.

1. Suites 21

48 a. 3 > 1, donc u tend vers +3.b. 0,5 ]0 ; 1[, donc 0,5n tend vers 0.

c. 54

> 1, donc 54

n tend vers +3.

d. tn = 1

3n= 1

3

n ; 1

3 ]0 ; 1[, donc 0,5n tend vers 0.


50 a. 2 > 1 donc limn+3

2n = +3 et limn+3

un = +3.

b. 0 < 0,5 < 1 donc limn+3

12

n = 0

et limn+3

vn = 0 2 = 2.

c. wn = 2n 13

, 2 > 1 donc limn+3

2n = +3

et limn3

wn = +3.

d. 2 > 1 donc limn+3

2n = +3 , limn+3

1 2n = 3

et limn+3

( 3)(1 2n) = +3

51 a. Pour n entier, un = 14 34

n , 0 < 34 < 1

donc limn+3

34

n = 0 et lim

n+3un = 0.

b. 3 > 1 donc limn+3

2n = 3 et limn+3

tn = +3.

c. Pour n entier, wn = 2n 13

, 2 > 1,

donc limn+3

2n = +3 et limn+3

wn = +3.

d. Pour n entier, tn = 3 2n 3, 2 > 1,

donc limn+3

2n = +3 et limn+3

tn = +3.

52 a. La suite u tend vers +3, car cest une suite gomtrique positive de raison suprieure 1.b. La suite v tend vers +3, car cest une suite gomtrique positive de raison suprieure 1.c. La suite w tend vers 0, car cest une suite gom-trique positive de raison comprise entre 0 et 1.d. La suite t tend vers 0, car cest une suite gom-trique positive de raison comprise entre 0 et 1.

53 a. Pour tout entier n :

2n 3n = 3n2n

3n1

= 3

n 23 n

1 b. On a lim

n+3

23

n = 0 do lim

n+3

23

n 1 = 1

puis limn+3

3n 23 n

1 = 3.Au final lim

n+32n 3n = 3 .

54 a. Pour tout n entier :

2n 4 32

n = 2n 4

2 34

n

= 2n 4 2n

34

n

= 2n 1 4 34 n

b.

34

< 1, donc limn+3

34

n = 0,

do limn+3

434

n = 0 et lim

n+3 1

34

n = 1.

donc limn+3

2n = +3 limn+3

2n (1 434

n ) = +3.

Au final limn+3

2n 4 32

n = +3.

55 un = 1 1

3

n+1

1 13

et limn3

1 13

n+1

1 13

= 32

.

vn = 1 6n+1

1 6 et limn+31 6n+1

1 6 = +3.

56 a. u0 = 0,75 ; u1 = 0,007 5 ; u2 = 0,000 075 ; u3 = 0,000 000 75 ; u4 = 0,000 000 007 5 ; u5 = 0,000 000 000 075.b. S0 = 0,75 ; S1 = 0,757 5 ; S2 = 0,757 575 ; S3 = 0,757 575 75 ; S4 = 0,000 000 007 5 ; S5 = 0,757 575 757 575.c. lim Sn = 0,757 575 757 575.

Sn =0,75(1 0,01n )

(1 0,01) = 75

0,99 = 7 500

99= 2 500

33.

57 a. La limite de la suite u est gale 0, car cest une suite gomtrique de raison 0 < 0,4 < 1, donc il existe un entier N tel que pour tout n > N, un < 0,1.b. Sur Ti :

Sur Casio :

58 a. La suite v est une suite gomtrique posi-tive de raison 1,5 > 1, donc sa limite sera gale +3.

22 1. Suites

Il existera donc un entier N tel que pour tout n > N, un > 200.b. Sur Ti :

Sur Casio :

59 a. Le programme permet de connatre le premier entier n tel que : 0,80 + 0,81 + 0,82 + + 0,8n 5.

b. Soit Sn = 0,80 + 0,81 + 0,82 + + 0,8n = 1 0,8n+1

1 0,8 .

S est une suite strictement croissante de limite 5.Normalement Sn est toujours infrieure 5 ; la calculatrice arrondit les rsultats.

60 u1 = 4u0 + 2 = 6.u2 = 4u1 + 2 = 26.u3 = 4u2 + 2 = 106.

61 A et D.

62 a. La relation vrifie est la C.b. u3 = 1.

63 a. Sur Ti : Sur Casio :

u10 = 4 094.b. Sur Ti :

Sur Casio :

S = 8 166.

64 La suite v est arithmtico-gomtrique, donc il existe deux rels a et b tels que pour tout n entier :vn + 1 = avn + b.En appliquant cette relation de rcurrence pour n = 0 puis n = 1, on obtient le systme :

2 = a + b5 = 2a + b

On trouve a = 3 et b = 1 do pour tout n entier :vn + 1 = 3vn 1.

65 a. y

x0

123456

A0

A2

B1

B4A3B2A4

B0

A1

78

9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

d2

d1

b. u0 = 8 ; u1 = 4 ; u2 = 6 ; u3 = 5 ; u4 = 5,5.c. un + 1 = 0,5un + 8.

d. La limite de la suite u va se rapprocher de 163

.

66 a. u1 = 3 ; u2 = 4,5 ; u3 = 5,25.b. un + 1 = 0,5un + 3 donc u est une suite arithmtico- gomtrique.c. La limite de la suite u semble tre 6.

67 a. u1 = 5 u2 = 17.b. Pour tout n entier : vn + 1 = un + 1 1 = 4 (un 1) = 4 vn.v est une suite gomtrique de raison 4.c. Pour n entier : vn = 4n et un = 4n + 1.


69 a. u1 = 7 ; u2 = 13.b. v0 = 3 ; v1 = 6 ; v2 = 12.c. Pour tout entier n : vn + 1 = un + 1 1 = 2un 2 = 2(un 1) = 2 vn. La suite v est gomtrique de raison 2.d. Pour tout entier n : vn = 3 2n et un = 3 2n + 1.

1. Suites 23

e. La suite v est croissante, car cest une suite gomtrique positive de raison 2 > 1.Le suite u est aussi croissante,car un + 1 un = vn + 1 vn > 0 pour tout entier n.

f. Comme 2 > 1, limn+3

2n = +3 et limn+3

2n + 1 = +3.

limn+3

un = +3.

70 a. Pour tout entier n on a :vn + 1 = un + 1 5 = (0,2un + 4) 5 = 0,2un 1 = 0,2(un 5) = 0,2vn.La suite v est donc une suite gomtrique de raison 0,2.b. v est une suite gomtrique de raison 2, donc pour tout entier n on a :vn = 0,2

nv0 = 2n(u0 5) = 3 0,2

n.c. Pour tout entier n, on a :vn = un 5 un = vn + 5.Do un = 3 0,2

n + 5.d. Pour tout entier n, on a : un + 1 un = ( 3 0,2

n + 1 + 5 ) ( 3 0,2n + 5 ) = 3 0,8 0,2n > 0.La suite u est donc une suite strictement croissante.e. Comme 0,2 ]0 ; 1[, lim

n+30,2n = 0

donc limn+3

3 0,2n = 0 et limn+3

3 0,2n + 5 = 5.

On a donc limn+3

un = 5.

f. u0 + u1 + u2 + + u10 = 3 0,20 + 5 + ( 3) 0,21

+ 5 + ( 3) 0,22 + 5 + + ( 3) 0,210 + 5.= 3 (0,20 + 0,21 + 0,22 + + 0,210) + 11 5.

= 3 1 0,211

1 0,2 + 55 = 500 488 282

9 765 625.

Exercices dapprofondissement

71 1. a. u1 = 9 ; u2 = 3 89 .

b. u1u0

= 9 u2u1

= 893

, donc la suite u nest pas

gomtrique.2. a. v0 = 10 ; v1 = 90 ; v2 = 810.b. Pour tout entier n :

vn + 1 = un + 1 + 9 = 9 un2 + 8

2 + 9 = 9(un + 9) = 9vn.

La suite v est gomtrique de raison 9.3. a. Pour tout entier n : vn = 10 9n.

b. Pour tout entier n : un = 10 9n 9

72 1. a. une augmentation de 3 % correspond un coefficient multiplicateur de 1,03, do un + 1 = 1,03un.b. u est une suite gomtrique de raison 1,03.c. u est une suite gomtrique positive de raison suprieure 1, donc la suite est croissante.d. Pour tout entier n : un = 7 000 1,03n, donc u20 = 7 000 1,03

20 = 12 642.

2. a. u20 > 10 000 et la suite est croissante donc N doit tre infrieur 20.b. 7 000 1,03N > 10 000.c. Sur Ti :

Sur Casio :

Il faut 13 ans pour que le capital passe 10 000 .

73 1. a. un + 1 = 0,95un.b. u est une suite gomtrique de raison 0,95.c. u est une suite gomtrique de raison comprise entre 0 et 1, donc la suite est dcroissante.d. Pour tout entier n : un = 2 000 0,95n, donc u24 = 2 000 0,95

24 = 583.2. Sur Ti :

Sur Casio :

En suivant son systme, au 14e mois, le prix de la voiture passe sous les 1 000 .

74 a. et b.

n an bn

0 230 0,014 740 75

1 237 0,014 968 74

2 243 0,015 121 34

3 245 0,015 018 7

4 248 0,014 977 65

c. La variation relative semble constante, donc la population se rapproche dune suite gomtrique.

24 1. Suites

2. a. Pour tout n entier : un = 1,015n 16 806.b. La population de la ville en 2020 sera gale u14 = 19 216.

75 a. Pour tout i entier : di + 1 = Ai + 1Ai + 2 = OAi + 1.OAiAi + 1 est un triangle rectangle en Ai, donc, daprs le thorme de Pythagore :OAi + 1 = OAi + AiAi + 1 = 2di,do di + 1 = 2 di.b. La suite est gomtrique de raison 2 .c. d9 = 2

9 = 16 2 .

d. Pour i > 0 Li = d0 + d1 + di 1 = 1 2i

1 2et pour i = 20 : L20 = 1 023(1 + 2 ).

76 1. a. L0 = 450. L1 = 1,02 450 = 459.b. Pour tout n entier : Ln + 1 = 1,02Ln. La suite L est une suite gomtrique de raison 1,02.2. On cherche calculer :

12 (L0 + L1 + + L11) = 12 450 11,021211,02 = 72 425,28 .

77 a. u1 = 0,96 u0 = 144 ; u2 = 138,24.b. Pour tout entier n : un + 1 = 0,96un.c. La suite u est une suite gomtrique de raison 0,96, donc :

S = u0 + u1 + + u11 = 150 1 0,96121 0,96 = 1 450,33.

1 450 personnes se sont abonnes la premire anne.

78 1. a. Pour tout n entier :

un + 1 = 23

n+1 = 2

323

n = 2

3un . La suite u est gom-

trique de raison 23

.

b. 0 < 23

< 1, donc la suite u a pour limite 0 lorsque

n tend vers +3.

2. a. v3 = u0 + u1 + u2 + u3 = 1 2

3

4

1 23

= 6527

.

b. vn est la somme des n + 1 premiers termes dune

suite gomtrique de raison 23

et de premier terme

u0 = 1, donc pour tout entier n :

vn = 1 2

3

n+1

1 23

.

c. limn+3

23

n+1 = 0, donc lim

n+3vn =

1 01 2

3

= 3.

79 a. Pour tout entier n : un + 1 = un + 3. La suite u est arithmtique de raison 3.

b. Pour tout entier n : un = 3(n 1) + 2.c. u7 = 20.d. vn = u1 + + un.e. Sur Ti :

Sur Casio :

f. Sur Ti :

Sur Casio :


81 1. a. un + 1 = 0,81 un. La suite u est une suite gomtrique de raison 0,81.b. vn + 1 = 0,9vn. La suite v est une suite gomtrique de raison 0,9.c. La suite v est une suite gomtrique de raison 0,9 et de premier terme v1 = 1, donc, pour tout n entier suprieur 1, vn = 0,9

n 1.2. a. w est la somme de la suite gomtrique v de raison 0,9 donc pour tout entier n :

wn = 1 0.9n1 0.9 .

b. limn+3

0,9n = 0, donc limn+3

wn = 1

1 0,9 = 10.

La balle sarrte de rebondir au bout de 10 s.c. Pour calculer la distance parcourue par la balle aprs le premier rebond, on calcule le double de la limite de la somme des un quand n tend vers linfini soit :

limn+3

1,25 1 0,81n1 0,81 =

20,19

= 20019

m.

1. Suites 25

On peut choisir de rajouter cette distance la

hauteur do on lche la balle soit : 1,280,81

= 12881

.

82 a. un + 1 = (1 0,000 121)un = 0,999 879 un. La suite u est une suite gomtrique de raison 0,999 879 infrieure 1.b. La suite u est une suite gomtrique positive de raison q < 1, donc la limite de la suite quand n tend vers +3 est 0.c. Sur Ti :

Sur Casio :

83 b. La suite u semble convergente de limite 4.c. vn + 1 = un + 1 4 = 0,5un + 2 4 = 0,5 (un 4) = 0,5vn. La suite v est une suite gomtrique de raison 0,5 et de premier terme v0 = 2.d. Pour tout entier n : vn = 2 0,5

n et un = 2 0,5n + 4.

e. 0,5 ]0 ; 1[, donc limn+3

0,5n = 0

do limn+3

2 0,5n = 0 et limn+3

2 0,5n + 4 = 4.

La suite u est convergente et tend vers 4.

84 1. a. u1 = 4 ; u2 = 10 ; u3 = 28 ; u4 = 82 ; v0 = 2 ; v1 = 6 ; v2 = 18 ; v3 = 54.b. Il semble que la suite u soit gomtrique de raison 3.c. Pour n entier : vn = un + 1 un = 3 un 2 un = 2un 2.d. Pour tout entier n : vn + 1 = 2(un + 1 1) = 2(3un 2 1) = 6un 6 = 3(2un 2) = 3vn.La suite v est donc gomtrique de raison 3.2. a. Sn est la somme des n + 1 premiers termes dune suite gomtrique, donc :

Sn = v0 3n+1 1

2 = 3n + 1 1.

b. Sn = (u1 u0) + (u2 u1) + + (un + 1 un) = un + 1 u0 = un + 1 2.c. un + 1 = 3n + 1 + 1, donc pour n > 0, un = 3n + 1, et comme ceci est galement vrai pour n = 0, un = 3

n + 1.

85 1. a. Hugo doit 1,01 1 000 = 1 010 euros.b. Hugo doit rembourser 1 010 30 = 980 euros aprs son premier remboursement.c. Mn + 1 = 1,01Mn 30.2. a. u est une suite arithmtico-gomtrique.b. Pour tout entier n :vn + 1 = un + 1 3 000 = 1,01un 30 3 000 = 1,01(un 3 000) = 1,01vn.La suite v est donc gomtrique de raison 1,01.c. La suite v tant gomtrique de raison 1,01, on a pour tout n entier :vn = v0q

n = 2 000 1,01n.vn = un 3 000, donc un = vn + 3 000 = 2 000 1,01

n + 3 000.d. Sur Ti :

Sur Casio :

e. Il faut 41 mois Hugo pour rembourser lem-prunt. Il a rembours : 40 30 = 1 200 les 40 premiers mois de son emprunt et 1,01u40 = 1,01(3 000 2 000 1,01

40) 22,49 euros le dernier mois. En tout, il a vers :1 200 + 1,01(3 000 2 000 1,0140) 122,49 euros.Le total des intrts verss est alors de :1 200 + 1,01(3 000 2 000 1,0140) 1 000 = 200 + 1,01(3 000 2 000 1,0140),soit environ 222,49 euros.

86 1. a. Pour tout entier n, un + 1 = 0,9un + 10 000.b. u0 = 200 000 u1 = 190 000 u2 = 181 000.u1 u0 u2 u1 donc la suite u nest pas arithmtique.u1u0

u2 u1 donc la suite u nest pas gomtrique.

2. a. Pour tout entier n suprieur ou gal 1 :vn + 1 = un + 1 100 000 = 0,9un + 10 000 100 000 = 0,9un 90 000 = 0,9(un 100 000) = 0,9vn.

26 1. Suites

Donc la suite v est une suite gomtrique de raison 0,9.b. La suite v est gomtrique de raison 0,9, donc pour tout entier n suprieur ou gal 1, on a : vn = v1 * 0,9

n 1 = 100 000 0,9n 1.et un = vn + 100 000 = 100 000(0,9

n 1 + 1)c. Pour n entier suprieur 1, un + 1 un = 100 000 0,9

n (0,9 1) = 0,9n 10 000 < 0. La suite u est donc dcroissante.d. Comme 0,9 ]0 ; 1[, 0,9n tend vers 0 quand n tend vers linfini. La suite u va donc tendre vers 100 000(0 + 1) = 100 000.Le nombre de spectateurs va se rapprocher de 100 000 mais ne descendra pas en de.e. S20 = u1 + u2 + + u20 = 200 000 + 100 000(0,9 + 1) + 100 000(0,919 + 1)= 100 000(0,90 + 0,91 + 0,92 + + 0,919 + 20)

= 100 000(1 0,9201 0,9 + 20)

2 878 423.Le total cumul des spectateurs est de 2 878 423.

87 1. a. Pour tout entier n : un + 1 = un + 400. La suite u est donc arithmtique de raison 400.b. Pour tout entier n : un = 800 + 400n.c. un > 5 000 800 + 400n > 5 000 n > 10,5. partir du 11e jour aprs le dbut de son entrane-ment, Luna va dpasser 5 km de course.2. a. Daprs le logiciel, u0 + u1 + + uN = 200N + 1 000N + 800.b. u0 = 800 = 200 0 + 1 000 0 + 800.u0 + u1 = 800 + 1 200 = 2 000 = 200 1 + 1 000 1 + 800.u0 + u1 + u2 + u3 = 5 600 = 200 3 + 1 000 3 + 800.La formule est exacte pour N = 0, 1 ou 3.3. a. Pour le logiciel, Sn Sn 1 = 400n + 800 = un, pour tout n entier suprieur 0.b. Pour n entier : Sn Sn 1 = 200n + 1 000n + 800 (200(n 1) + 1 000(n 1) + 800) = 400n + 800.c. Pour tout entier n :u0 + u1 + u2 + ; uN = u0 + S1 S0 + S2 S1 + ; SN SN 1 = u0 S0 + SN = SN.d. Sn > 20 000 200n + 1 000n + 800 > 20 000 200n + 1 000n 19 200 > 0.

n est compris dans

\ 1 000 16 360 000

400;1 000 + 16 360 000

400

.

Au final, comme n est un entier naturel, n doit tre suprieur ou gal 8.

Objectif bAC

Se tester sur les suitesLes exercices de cette rubrique sont corrigs dans le manuel, p. 390.

Sujets type BAC

97 Exercice rsolu.

98 A 1. 2. et 3.

A A0 A1 A2 B

b.

B. 1. d1 = 12

; d2 = 14

.

2. a. La suite d est gomtrique de raison 12

et de

premier terme d0 = 1.

b. La suite d est gomtrique de raison 12

et de

premier terme d0 = 1, donc pour tout entier n :

dn = 12

n .

3. a. Sn = d0 + d1 + d2 + + dn = 1 + 12

+ 12

+

12

n

= 1 1

2

n+1

1 12

= 1 1

2

n+1

12

= 2 1 12 n+1

.

b. Comme 12

]0 ; 1[, alors limn+3

12

n = 0

et limn+3

2 1 12 n

= 2(1 0) = 2.c. La distance AAn se rapproche de 2.


100 Partie A

1. A2 = 74

; A3 = 3716

.

(Pour justifier, on peut demander aux lves de construire une figure).2. a. Avec P = 3, le programme va afficher :

1 ; 74

; 4316

.

b. La proposition 1 est juste, car U2 = A2.La proposition 2 est fausse, car U3 A3.

Partie B1. a. B1 = A1 4 = 3.

Cet exercice est corrig dans le manuel, p. 390.

1. Suites 27

b. Pour tout entier n strictement positif :

Bn + 1 = An + 1 4 = 34

An + 1 4 = 34

An 3

= 34

(An 4) = 34

Bn.

c. La suite B est une suite gomtrique de raison 34

.

d. Comme la suite B est gomtrique de raison 34

on a pour tout entier n strictement positif :

Bn = B1 qn 1 = 3

34

n1 .

2. Pour tout entier n strictement positif : Bn = An 4

do An = Bn + 4 = 4 3 34

n1 .

Comme 0 < 34

< 1, limn+3

34

= 0 et limn3

An = 4.

terme, le carr donnera limpression dtre enti-rement bleu.

101 Partie A1. u1 = 1,035u0 = 4 140 ; u2 = 1,035u1 = 4 284,9.2. Le capital augmente de 3,5 % chaque anne.

Il est alors multipli par 1 + 3,5100

.

Pour tout entier n, un + 1 = 1,035 un. La suite u est donc une suite gomtrique de raison 1,035.3. La suite u est gomtrique de raison 1,035, donc pour tout entier n, on a : un 1,035

nu0 = 1,03n 3 000.

4. Au bout de 6 ans, le capital dAgns sera gal u6 = 1,035

6 3 000 3 687,77 euros.Partie B1. v1 = 1,002 5v0 + 50 = 1 052,5 ; v2 = 1,002 5v1 + 50 = 1 105,13 ; v3 = 1,002 5v2 + 50 1 157,89.2. Pour tout entier n : vn + 1 = 1,002 5vn + 50.3. a. Pour tout entier n : wn + 1 = vn + 1 + 20 000 = 1,002 5vn + 20 050 = 1,002 5(vn + 20 000) = 1,002 5wn.w est une suite gomtrique de raison 1,002 5, donc pour tout entier n : wn = 1,002 5

n w0 = 1,002 5n 21 000.et comme wn + 1 = vn + 1 + 20 000, ceci entrane que :vn = wn 20 000 do :vn = wn 20 000 = 1,002 5

n 21 000 20 000.b. v72 51 365,92.

Problmes

102 tude dun bnficePartie A1.

Janvier 2012

Fvrier 2012

Mars 2012

Rang du mois 0 1 2

Recettes 2 300 2 323 2 346,23

Cots 800 820 840,5

Bnfices 1 500 1 503 1 505,73

2. a. R est une suite gomtrique de raison 1,01 et de premier terme 2 300, donc pour tout entier n, Rn = 2 300 1,01

n.C est une suite gomtrique de raison 1,025 et de premier terme 800, donc pour tout entier n, Cn = 800 1,025

n.b. Pour tout entier n : Bn = Rn Cn = 2 300 (1,0 1)

n 800 (1,025)n.3. a. Pour tout entier n : Bn + 1 Bn = 2 300 (1,01)

n + 1 800 (1,025)n + 1 2 300 (1,01)n 800 (1,025)n

= 2 300 (1,01)n(1,01 1) 800 (1,025)n(1,025 1) = 2 300 (1,01)n(0,01) 800 (1,025)n(0,025)= 23 1,01n 20 1,025n.b. 23 1,01n 20 1,025n > 0.23 1,01n > 20 1,025n

1,011,025

n

> 2023

.

c. 1,01

1,025

est compris entre 0 et 1,

donc limn+3

1,01

1,025

= 0.

Au bout dun certain rang, le bnfice sera dcrois-sant car pour tout n suprieur un certain rang :

1,011,025

n

< 2023

.

4. Sur Ti :

Sur Casio :

28 1. Suites

Partie B1. Pour tout n entier : Bn = 2 300 (1,01)

n 800 (1,025)n

= 1,025)n(2 300 1,011,025 n 800.2. a. 1,025 > 1, donc lim

n+31,025n = +3.

limn+3

1,01

1,025

= 0,

donc limn+3

2 300 1,011,025 n

800 = 800.et lim

n+3 Bn = 3.

Lartisan aura des dficits long terme.

3. Sur Ti :

Sur Casio :

Partie C1. SRn est une somme des n + 1 termes de la suite gomtrique R do :

SRn = 2 300 11,01n11,01 = 230 000(1,01

n + 1 1).

2. SCn est une somme des n + 1 termes de la suite gomtrique C do :

SCn = 800 11,025n11,025 = 32 000(1,025

n + 1 1).

3. SBn = SRn SCn = 230 000(1,01n + 1 1) 32 000(1,025n + 1 1).4. Pour n = 11, SB11 = 18 133. La premire anne, lartisan fait un bnfice de 18 133,3 euros.

103 Somme des termes dune suite arithmtique1. a. Pour tout n,

vn = un + 1 un = (n +1)(n + 2)

2

n(n +1)2

= n + 1.

v est une suite arithmtique de raison 1.b. Pour tout n entier : vn = n + 1.2. a. Pour n > 1, Sn = v0 + v1 + + vn 1 = u1 u0 + u2 u1 + + un un 1 = un u0

= n(n +1)

2.

b. Or on a aussi :Sn = v0 + v1 + + vn 1 = 1 + 2 + 3 + + n

do 1 + 2 + 3 + + n = n(n +1)

2.

3. a. Pour n > 1, Sn = 0 + 1 + 2 + + 100

= 100 (101)

2 = 5 050.

b. 0 + 2 + 4 + 6 + + 98 + 100

= 2 (0 + 1 + 2 + 3 + + 49 + 50) = 2 50 512

= 2 550.

c. 1 + 3 + 5 + 7 + + 99 = 5 050 2 550 = 2 500.

104 Construire une suitePartie Aa.

A0

A1

A2

A4

y

x

0

123456789

101112131415

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 131415

b. u0 = 1 ; u1 = 3 ; u2 = 7 ; u3 = 15.c. Pour tout n entier : un + 1 = 2un + 1.d. Il semble que u est croissante et a pour limite +3.Partie Ba. Pour tout entier n : wn + 1 = vn + 1 + 1 = 2vn + 1 + 1 = 2(vn + 1) = 2wn.La suite w est gomtrique de raison 2 et pour tout n : wn = w0 2

n = 2n + 1.b. Pour tout entier n : vn = wn 1 = 2n + 1 1.

c. Comme 2 > 1, limn+3

2n + 1 = +3

et limn+3

vn = limn+3

2n + 1 1 = +3.

Partie CSur Ti :

1. Suites 29

Sur Casio :

105 Population1. a. Il ny a pas le mme nombre dhabitants supplmentaires dune anne sur lautre, donc il nest pas adapt de prendre une suite arithmtique pour modliser la population de la ville.b. Il ny a pas la mme proportion dhabitants supplmentaires dune anne sur lautre, donc il nest pas adapt de prendre une suite gomtrique pour modliser la population de la ville.2. a. On doit rsoudre le systme

12200 = a 12000 + b12390 = a 12200 + b

.

On trouve a = 0,95 et b = 800.b. u3 = 12 570,5.u4 = 12 741,975.u5 = 12 904,876 25.u6 = 13 059,632 437 5.Lerreur absolue entre le nombre dhabitants trouv avec le modle et la population relle ne dpasse pas 1 ; la modlisation est valable.

3. a. vn correspond lvolution absolue de la population de la ville entre lanne n 1 et lanne n.

b. Pour n > 0, vn = un un 1 = 0,95un 1 + 800 un 1 = 0,05un 1 + 800.

c. Pour n > 0, vn + 1 = 0,05un + 800

= 0,05(0,95*un 1 + 800) + 800

= 0,95( 0,05un 1 + 800) = 0,95vn.

v est une suite gomtrique de raison 0,95.

d. Pour n > 0,

Sn = v1 1 0,95n1 0,95 =

2000,05

(1 0,95n ) = 4 000(1 0,95n ).

e. Pour n > 0, Sn = v1 + v2 + + vn

= u1 u0 + u2 u1 + + un un 1 = un u0.

f. Pour n > 0, un u0 = 4 000(1 0,95n)

do un = 16 000 4 000 0,95n.

La relation est galement exacte si n = 0 ; elle est donc vraie pour tout entier n.

g. Pour tout entier n,

un + 1 un = vn + 1 = 200 0,95n 1 > 0,

donc la suite u est croissante.

h. limn+

0,95n = 0 ,

donc limn+

16 000 4 000 0,95n = 16 000 .

La population de la ville va se rapprocher de 16 000 habitants.

2. Fonctions 31

2. FonctionsQCM Pour bien commencerLes exercices de cette rubrique sont corrigs dans le manuel, p. 391.

Corrigs des activits

1 Lacontinuit

l1 a. f(31) = 3 31 = 93, f (35) = 3 35 = 105.30 < 31 < 40, donc il faut acheter 4 bouteilles de 10 litres ; g(31) = 4 25 = 100 et g(35) = 4 25 = 100.

b. La courbe en rouge reprsente la fonction f qui est une fonction linaire (le prix est proportionnel aux litres). La courbe en bleu est la reprsentation graphique de la fonction g.

c. f(x) = 90 a pour solution 30 tandis que g(x) = 90 na pas de solution. Soit le prix est 75 euros soit le prix est 100 euros, ce que montre la courbe.

Pour les 90 euros, le fournisseur A peut fournir 30 litres et le fournisseur B peut aussi fournir 30 litres

(3 bouteilles de 10 litres au prix de 75 euros).

d. f(x) = 100 a pour solution 33,3 tandis que g(x) = 100 a pour solution tous les nombres entre 40 et 50 (50 nest pas solution), ce que montre la courbe.

Pour les 100 euros, le fournisseur A peut fournir 33,3 litres et le fournisseur B peut aussi fournir

40 litres (4 bouteilles de 10 litres).

e. g nest pas continue pour toutes les valeurs multiples de 10.

l2 Application : Dans la figure a., lquation f(x) = 4 a deux solutions.Dans la figure b., lquation f(x) = 4 na pas de solution.Dans la figure c., lquation f(x) = 4 admet une solution.

2 Laconvexit

l1 a. A(1 ; 1) et M(3 ; 9).b. Un quation rduite de la droite (AM) est donne par y = 4x 3.c. Les points du segment [AM] sont les points de coordonnes (x ; y) tels que y = 4x 3 (appartenance la droite (AM)) et 1 x 3 (entre les points A et M).d. f(x) (4x 3) = x2 4x + 3. On tudie le signe de x2 4x + 3. = 4 ; il y a donc deux solutions qui sont 1 et 3, do le signe de f(x) (4x 3) :

x 3 1 3 +3

f(x) (4x 3) + 0 0 +

Pour 1 x 3, f(x) (4x 3) 0, donc f(x) 4x 3, donc la courbe f est sous le segment [AM].

l2 a. La courbe 1 est la courbe dune fonction convexe et les courbes 2 et 3 ne sont pas des courbes de fonctions convexes (la troisime est convexe sur un intervalle rduit).

b. La fonction racine est concave sur [0 ; + 3[. La fonction inverse est convexe sur ]0 ; + 3[ et concave sur ] 3 ; 0[. La fonction cube est convexe sur [0 ; + 3[ et concave sur ] 3 ; 0[.

3 Casdunefonctiondrivable

l1 On observe que la tangente Ta est toujours en dessous de la courbe f.f est croissante.

Vrifions que T2 est en dessous de f.

32 2. Fonctions

T2 a pour quation y = 4x 4, donc il faut tudier le signe de f(x) (4x 4) = x2 4x + 4 = (x 2)2 0,

donc la tangente T2 est toujours au-dessus de f.

l2 On peut travailler avec GeoGebra en reprenant les tangentes. On observera quand les tangentes sont au-dessus de la courbe, ce qui conduira dduire que la fonction est concave sur lintervalle

observ. Puis on observera quand les tangentes sont en dessous de la courbe, ce qui conduira

dduire que la fonction est convexe sur lintervalle observ.

On peut aussi tracer la courbe de la drive f de la fonction f et observer les variations de la fonc-

tion f . Si f est croissante sur un intervalle I, alors la fonction f est convexe sur I. Si f est dcrois-

sante sur un intervalle If alors la fonction f est concave sur I.

On en dduit que la fonction est concave sur ] 3 ; 1] et convexe sur [1 ; + 3[, donc on peut dire que

le point C a pour coordonnes (1 ; 2) et que la tangente T1 traverse la courbe en .

Corrigs des travaux pratiques

TP1 Pointdquilibre

l1 a. Plusieurs rponses possibles : le sens de variation des fonctions f et g par expressions algbriques (la fonction f est la somme de fonctions croissantes et la fonction g est dcroissante) ; le point de vue

conomique (loffre crot avec le prix tandis que la demande dcrot avec laugmentation du prix) ;

enfin la lecture des ordonnes lorigine ou en une valeur x fixe.

b. Le point A est le point dquilibre entre loffre et la demande. Par lecture graphique, les coordon-nes sont (2,5 ; 14,3).

l2 a. h(x) = 0,9 + 0,45 3x2 50(x +1)2 , donc h(x) = 0,9 + 1,35x2 + 50

(x +1)2.

b. Tous les termes sont des carrs ou des nombres positifs, donc h(x) > 0, donc la fonction h est strictement croissante sur [0 ; 6].

c. La fonction h est continue et strictement croissante sur [0 ; 6], donc sur [2 ; 3].h(2) 6,3 et h(3) 7,4, donc lquation h(x) = 0 admet une unique solution note . 2,5.d. f(2,5) 14,3.Donc, en centaine deuros, le prix unitaire est 250 euros. Pour ce prix, on peut esprer disposer de

14 300 consoles.

TP2 Cotmarginaletcotmoyendeproduction

Partie A : Cot marginal

l1 Par lecture graphique, pour un accroissement de 10 units, en abscisses, on observe un accroisse-ment de 2 000 units en ordonnes, donc le coefficient directeur (qui est aussi le nombre driv en 0

et le cot marginal en 0) est C(0) =2000

10 = 200, donc Cm (0) = 200.

l2 Par lecture graphique, pour un accroissement de 10 units en abscisses, on observe un accroisse-ment de 4 000 units en ordonnes, donc le coefficient directeur (qui est aussi le nombre driv en

65 et le cot marginal en 65) est C(65) = 4000

10 = 400, donc Cm(65) = 400.

l3 Cm(q) = C(q) = 0,24q2 12,8q + 200, donc Cm(0) = 200 et Cm(65) = 382, ce qui confirme (presque) les rsultats des questions prcdentes.

l4 On peut dire que sur [0 ; xI] la fonction semble concave et sur [xI ; 80] la fonction semble convexe. Le cot marginal est donn par la drivation de la fonction cot. Par lecture de la convexit de

la fonction C, on peut en dduire que la fonction Cm est dcroissante sur [0 ; xI] et croissante sur

[xI ; 80].

2. Fonctions 33

l5 Daprs la question prcdente, on peut en dduire que le signe de Cm est le suivant :q 0 xI 65

C m 0 +

l6 Cm(q0) = 0. Cm(q) = 0,48q 12,8, donc q0 est la solution de Cm(q) = 0, soit q0 = 12,80,48 =803

.

l7 Le cot marginal est minimal pour q0 = 803 et vaut donc Cm (q0) = Cm 803

= 88

3 29,3.

Partie B : Cot moyen de production

l1 On obtient la courbe donne dans lexercice.l2 a. Les cots fixes de production sont C(0) = 2 000 euros.

b. On utilise la machine pour obtenir une valeur au centime. La quantit est environ 65,18.

l3 a. On place le point M, le coefficient de (OM) est C(q) 0q 0 = CM(q). Si q = 30, il a pour valeur440

3.

b. En faisant varier le point M, on peut observer la pente de la droite (OM) et reprer la position du point M pour laquelle la pente est minimale. On obtient q1 46.

Partie C : Bnfice

l1 R(10) = 10 200 = 2 000 euros pour 10 kg. R(50) = 50 200 = 10 000 euros pour 50 kg. R(q) = 200q.l2 Voir la figure.l3 On trace la courbe de la fonction B. Par lecture graphique, b(x) > 0 pour 20,5 q 75,6.

q2 53,3 kg.

l4 B(q) = R(q) C(q) = 0,08q3 + 6,4q2 2 000.B(q) = 0,24q2 + 12,8q = q(12,8 0,24q) do le tableau de variation de la fonction B :

q 0 160

3 80

B + 0

B

4 068

2 000 2 000

Lentreprise doit produire 160

3 53,3 kg de mdicament pour obtenir un bnfice maximal de

4 068 euros.

TP3 Drivationetcalculatrice

l1 a. Pour diviser le segment en deux, il suffit de prendre le milieu des nombres 1 et 4, soit 1+ 42 =32

,

donc les deux segments de mme longueur sont 1 ;32

et 32

; 4

.

Pour diviser le segment en 3, il faut diviser la longueur du segment en 3, puis lajouter 1 pour

obtenir le nombre qui forme le premier segment, donc 1+ 53= 2

3 do le premier segment de

longueur 53

, 1 ;23

puis 23

;73

et enfin73

; 4

.

b. La longueur du segment [ 1 ; 4] est 5. On divise la longueur en 7, donc chaque segment a pour

longueur 57

. Ainsi le premier segment est 1 ; 1+ 57

puis le second 1+ 57

; 1+ 2 57

et ainsi de

suite, ce qui correspond lcriture donne dans le texte.

34 2. Fonctions

c. En reprenant la dmarche de la question prcdente.La longueur du segment [a ; b] est b a. On divise la longueur en n, donc chaque segment a pour

longueur b a

n. Ainsi le premier segment est a ; a + b a

n

puis le second a + b an

; a + 2 b an

et ainsi de suite, ce qui correspond lcriture donne dans le texte.

d. a + k b an

= na + k(b a)n

= (n k)a + kbn

= (n k)an

+ kbn

= 1 kn

a + k

nb .

l2 a. Si g = f , alors, pour tout t entre a et b, abs (f (t) g(t)) = 0 et donc c = 0.b. Non, abs (f (t) g(t)) = 0 peut tre vraie pour certaines valeurs de t.c. Il suffit de connatre les fonctions qui sont le nombre driv et la fonction abs.d. On en dduit que le programme nest pas toujours fiable et quil faut tenir compte des valeurs approches.

TP4 Convexitetprobabilit

l1 0 r 1, donc 0 r (b a) b a, donc a a + r (b a) a + b a, donc a r b.l2 a. Si la fonction f est convexe, alors pour tous t et s de [0 ; 1], f (t )+ f (s)2 f

t + s2

et donc lalgo-

rithme affecte I + 1 I jusque n donc finalement I = n.

b. Si la fonction f nest pas convexe, il existe t et s de [0 ; 1] tels que f (t )+ f (s)

2< f

t + s2

et plus n est

grand, plus la probabilit quun tel couple apparaisse est grande. Si un tel couple apparat, lalgo-

rithme affecte n + 1 I. Pour n suffisamment grand, I = n + 1.

c. Voil les images des calculatrices Casio et Ti.

l3 a. Il est ncessaire de faire plusieurs essais pour donner une rponse et constater que f nest pas convexe.

b. La fonction semble convexe.

l4 Il faut remplacer le signe par le signe .

TP5 Pointdinflexionetalgorithme

l1 Si P est un point dinflexion de la courbe f, alors la tangente TP traverse la courbe f au point P. Dans ces conditions, deux cas sont possibles.

Premier cas :

La courbe f est en dessous de TP avant le point P et au-dessus ensuite sur un intervalle suffisam-

ment petit centr sur p,

donc f(p h) t(p h) < 0 et f(p + h) t(p + h) > 0,

donc (f(p + h) t(p + h)) (f(p h) t(p h)) < 0.

Deuxime cas :

La courbe f est au-dessus de TP avant le point P, et en dessous ensuite sur un intervalle suffisam-

ment petit centr sur p,

2. Fonctions 35

donc f(p h) t(p h) > 0 et f(p + h) t(p + h) < 0,

donc (f(p + h) t(p + h) (f(p h) t(p h)) < 0.

Donc finalement, dans les deux cas, (f(p + h) t(p + h) (f(p h) t(p h)) < 0.

l2 Lalgorithme peut tre le suivant :

Entre: p un nombre rel et n un entier naturel non nul

Traitement: Affecter 2 I

Affecter 10n h

Si (f(p + h) t(p + h)) x (f(p h) t(p h)) < 0

Alors affecter 1 I

Sinon affecter 0 I

Afficher I

On peut aussi crer un algorithme qui repre approximativement lascisse p sur un intervalle [a ; b].

Il faut que h soit plus petit que le pas de recherche b a

n.

Corrigs des exercices et problmes

Exercices dapplications


7 La fonction f semble continue sur les inter-valles ]3 ; 1] et ]1 ; +3[. Elle nest pas continue en 1.

8 La fonction semble continue sur ]3 ; 2[ et [ 2 ; +3[. Elle nest pas continue en 2.

9 La reprsentation graphique est la figure ci-dessous.

A

y

x0

1

1

2

1 1

La fonction est donc continue par lecture graphique.

10 La reprsentation graphique est la figure ci-dessous.

A

y

x0

1

2

1

1 2

2

La fonction nest donc pas continue par lecture graphique puisquelle nest pas continue en 0.


12 Daprs le cours, f est continue sur ] 3 ; 2 [ et sur [2 ; +3[. Pour quelle soit continue sur , il suffit que 2 2 + m = f(2) donc 4 + m = 0, soit m = 4. f est continue si m = 4.

36 2. Fonctions

13 f (x) = 2x 3.

14 Certains lves ont des difficults avec le 52

quils ne voient pas comme une constante.f (x) = 6x2 10x + 3.

15 f (x) = 2x 2x2

donc f (x) = 2x + 2

x2 .

16 f (x) = 1 + 12 x

.

17 Certains lves ont des difficults avec la frac-tion et appliquent la formule qui donne la drive de

uv

.

f(x) = 23

x2 + 13

x + 73

, donc f (x) = 43

x + 13

.

18 Certains lves ont des difficults avec la racine quils ne voient pas comme une constante.f (x) = 6x2 + 3.

19 f (x) = 3 (2)x3

2

x2, donc f (x) =

6

x3+ 2

x2 .


21 Application de la formule de la drive dun produit. On peut ne pas simplifier lcriture.f (x) = 2x (2x x3) + x2 (2 3x2) ou, simplifie, f (x) = 5x4 + 6x2.

22 Application de la formule de la drive dun produit avec un facteur. On peut ne pas simplifier lcriture.f (x) = 6x2 3 x( ) + 2x3 1

2 x

ou, simplifie,

f (x) = 7x2 x +18x2 .

23 Plusieurs mthodes possibles qui conduisent dans tous les cas utiliser plusieurs formules.

f (x) = 6x2 5 x 2 x( ) 5x 1 2 12 x

ou,

simplifie, f (x) = 6x2 10x +15 x .

24 Utilisation dune formule facile dmontrer partir du produit (w2) = 2 w w. Autre mthode en dveloppant.Dans ces conditions, f (x) = 2 2x(x2 + 1), donc f (x) = 4x(x2 + 1).

25 Utilisation de la formule (w2) = 2 w w. Autre mthode en dveloppant.

Dans ces conditions f (x) = 2 12 x

x + 2( ) , donc f (x) = f (x) = 1+ 2

x.

26 Utilisation de la formule (w2) = 2 w w. Le dveloppement est trs lourd.f (x) = 2 (9x2 1) (3x3 x + 5).

27 Utilisation de la formule 1g

= g

g 2

f (x) = 3 2xx2 + 2( )2

, donc f (x) = 6xx2 + 2( )2

.

28 Utilisation de la formule 1g

= g

g 2.

f (x) = 5 3x2 +1( )x3 + x + 2( )2

, donc f (x) = 15x2 + 5

x3 + x + 2( )2.

29 Utilisation de la formule uv

= uv u v

v2.

f (x) = 1 (x +1) (3 x)1(x +1)2

= x 1 3+ x(x +1)2

,

donc f (x) = 4(x +1)2

.


= uv u v

v2.

f (x) =(2x + 2) (1 x) x2 + 2x( ) (1)

(1 x)2

= 2x + 2 2x2 2x + x2 + 2x

(1 x)2,

donc f (x) = x2 + 2x + 2

(1 x)2.


= uv u v

v2.

f (x) =2 x2 + 2( ) 4 2x( ) 2x

x2 + 2( )2= 2x

2 4 8x + 4x2

x2 + 2( )2,

donc f (x) = 2x2 8x 4x2 + 2( )2

.


= uv u v

v2.

f (x) =2x 1 x2( ) x2 + 2( ) (2x)

1 x2( )2

= 2x 2x3 + 2x3 + 4x

1 x2( )2,

donc f (x) = 6x1 x2( )2

.

33 Utilisation de la formule (u v) = u v + u v et calcul avec la racine.

f (x) = 3 x + (3x +1) 12 x

= 6x + 3x +12 x

,

donc f (x) = 9x +12 x

.

34 Utilisation de la formule pour obtenir lqua-tion rduite de la tangente : y = f (a) (x a) + f(a).a. f (x) = 2x 3, donc f (1) = 1 et f(1) = 1, donc lquation rduite est donne par y = 1 (x 1) 1, soit y = x.

2. Fonctions 37

b. f (x) = 1+ 2x2

, donc f (2) = 32

et f (2) = 1, donc

lquation rduite est donne par y = 32

(x 2)+1,

soit y = 32

x 2 .

c. f (x) = 1(2 x)2

donc f (0) = 14

et f (0) = 32

, donc

lquation rduite est donne par y = 14

(x 0)+ 32

,

soit y = 14

x + 32

.

35 Utilisation de la formule pour obtenir lqua-tion rduite de la tangente : y = f (a) (x a) + f(a).

a. f (x) = 6x2 3, donc f ( 1) = 3 et f( 1) = 2, donc lquation rduite est donne par y = 3(x + 1) + 2, soit y = 3x + 5.

b. f (x) = 2x 1(x 1)2

, donc f (2) = 3 et f (2) = 5,

donc lquation rduite est donne par

y = 3(x 2) + 5, soit y = 3x 1.

c. f (x) = 1(2 3x)2

, donc f (0) = 14

et f (0) = 12

,

donc lquation rduite est donne par

y = 14

(x 0) 12

, soit y = 14

x 12

.

36 On peut affirmer f est strictement dcrois-sante au voisinage de 4,5 donc probablement f (4,5) < 0.

Sur la figure, on donne f(4,5) = 0, donc oui, on peut laffirmer.

Le codage de la figure suggre f (3) = 0.

Non, on ne peut pas affirmer f (3) = 4,5 qui est contradictoire avec le codage de la figure.

37 a. g (x) = 5(x 3)2

. La proposition est fausse.

b. La proposition est vraie.

c. g(x) < 0 donc la proposition est vraie.

d. La fonction g est dcroissante sur ] 3 ; 3] et sur ]3 ; +3[, mais elle nest pas dcroissante sur son domaine de dfinition. La proposition est fausse.

e. g(0) = 13

, donc la proposition est fausse.

f. g(x) = 2 conduit 2x 1 = 2x 6, donc 1 = 6, donc impossible, donc la proposition est vraie.

38 a. Lquation h(x) = 3 nadmet quune solu-tion sur [ 2 ; 3]. La proposition est fausse.

b. La proposition est vraie.

c. Le maximum de h est 5 atteint pour 3. La propo-sition est fausse.

d. h(6) 0, donc la proposition est fausse.e. h nest pas dfinie pour 4. La proposition est fausse.

39 a. On calcule son coefficient directeur de T

donn par yB yAxB xA

= 2 (1)2,51 = 2 ,

donc T a pour quation y = 2x 3.On en dduit que f (1) = 2.b. f (x) = 6x2 + 2x a or f (1) = 2, donc 8 a = 2, donc a = 6.f(1) = yA = 1, donc 3 6 + b = 1, donc b = 2.

40 x 3 4 0,8 +3

f (x) + 0 0 +

f 3,3

4,6

41

x 3 1,9 1 0,1 +3f + 0 0 +

f 0,7 2,7

42 a. La courbe passe par les points ( 4 ; 5), (0 ; 1), (2 ; 3) et (6 ; 2). Il faut tenir compte du sens de variation.

b.x 4 0 2 6

f 0 + 0

43 a. La courbe passe par les points ( 2 ; 1), (3 ; 2) et (7 ; 3). Il faut tenir compte du sens de variation et surtout de la valeur interdite 1.

b. x 2 1 3 7

f 0 +

44 La fonction f est une fonction croissante, donc f est positive, ce qui exclut la deuxime courbe. La fonction drive est une fonction dcroissante (en effet, le coefficient directeur est dcroissant), donc la courbe de la drive est la troisime courbe courbe 3 (on peut aussi remarquer que f (6) 1).

45 f (x) = 6x 4, do le signe de f et les varia-tions de f :

x 3

23

+3

f 0 +

f

13

38 2. Fonctions

46 f (x) = 3x2 + 2x + 5 ; = 56 < 0, do le signe de f et les variations de f :

x 3 + 3

f +

f

47 f (x) = 3x2 6x + 1 ; = 24 > 0.

Il y a donc deux solutions x1 = 16

3 0,18 x1 et

x2 = 1+6

31,82 , do le signe de f et les varia-

tions de f :

x 3 x1 x2 +3

f + 0 0 +

f 1,9

4,1

48 f (x) = 15x2 + 2x + 1 ; = 64 > 0. Il y a donc

deux solutions x1 = 15

et x2 =13

, do le signe de f

et les variations de f :

x 3

15

13

+3

f 0 + 0

f 1,3

0,88


50 a. Le tableau de variations suggre que la fonction f est continue sur [ 2 ; 5].Sur [ 2 ; 3], la fonction dcrot strictement de 6 1, donc lquation f(x) =0 admet une solution.Sur [3 ; 5], la fonction croit strictement de 1 2, donc lquation f(x) = 0 admet une solution.Finalement lquation f(x) = 0 admet deux solutions sur [ 2 ; 5].b. Sur [ 2 ; 3], la fonction dcrot strictement de 6 1, donc lquation f(x) = 3 admet une solution.Sur [3 ; 5], la fonction croit strictement de 1 2, donc lquation f(x) = 3 nadmet pas de solution. Finalement, lquation f(x) = 3 admet une solution sur [ 2 ; 5].c. Le minimum de la fonction f est 1, donc lqua-tion f(x) = 2 na pas de solution sur [ 2 ; 5].

51 a. Le tableau de variations suggre que la fonction f est continue sur [ 4 ; 7].

Sur [ 4 ; 2], la fonction croit strictement de 11 3, donc lquation f(x) = 8 admet une solution.

Sur [2 ; 7], le minimum de la fonction f est 1,5, donc lquation f(x) = 8 na pas de solution.

Finalement, lquation f(x) = 8 admet une solution sur [ 4 ; 7].

b. Sur [ 4 ; 2], la fonction croit strictement de 11 3, donc lquation f(x) = 2 admet une solution.

Sur [2 ; 4], la fonction dcrot strictement de 3 1,5, donc lquation f(x) = 2 admet une solution.

Sur [4 ; 7], la fonction croit strictement de 1,5 13, donc lquation f(x) = 2 admet une solution.

Finalement, lquation f(x) = 2 admet trois solutions sur [ 4 ; 7].

c. Le maximum de la fonction f est 13, lquation f(x) = 15 na pas de solution sur [ 4 ; 7].

52 Le tableau de variations suggre que la fonc-tion f est continue sur [ 6 ; 3].

Sur [ 6 ; 0], la fonction croit strictement de 4 2, donc lquation f(x) = 0 admet une solution nga-tive.

Sur [0 ; 2], la fonction dcrot strictement de 2 1, donc lquation f(x) = 0 admet une solution positive.

Sur [2 ; 3], la fonction croit strictement de 1 5, donc lquation f(x) = 0 admet une solution positive.

Finalement, lquation f(x) = 0 admet trois solutions sur [ 6 ; 3] dont une est ngative et deux sont posi-tives.

53 a. Pour lquation f(x) = 4, il faut reprer sur la figure les points de la courbe qui ont une ordonne gale 4, et les solutions sont les abscisses de ces points. Dans ces conditions, les solutions de f(x) = 4 sont 1,1 et 3.

b. Les solutions de f(x) = 6 sont 1,05 et 4.c. Les solutions de f(x) = 5 sont 1,4 et 0,9.d. Lquation f(x) = 0 na pas de solution.

54 5 est une valeur comprise entre 1 et 7, donc sur lintervalle [ 1 ; 4]. Daprs le thorme des valeurs intermdiaires, lquation f(x) = 5 admet au moins une solution, donc, sur lintervalle [3 ; 5], lqua-tion f(x) = 5 admet au moins une solution.

55 0 est une valeur comprise entre 4 et 1, donc, sur lintervalle [3 ; 2], daprs le thorme des valeurs intermdiaires, lquation f(x) = 0 admet au moins une solution.

0 est une valeur comprise entre 2 et 1, donc sur lintervalle [2 ; 5], daprs le thorme des valeurs intermdiaires, lquation f(x) = 0 admet au moins une solution.

Donc sur lintervalle [ 6 ; 7], lquation f (x) = 0 admet au moins deux solutions.

2. Fonctions 39

56 1. a. Il semble que la courbe coupe laxe des abscisses en un seul point, donc lquation f(x) = 0 admet une solution unique : 2,1.b. 2,104.2. f (x) = 2 admet trois solutions qui sont, 10 2 prs, 1,88 ; 0,35 et 1,53.

57 1. f (x) = 3+ 5(x +1)2

= 3(x +1)2 5

(x +1)2= 3x

2 + 6x + 3 5(x +1)2

donc f (x) = 3x2 + 6x 2(x +1)2

.

2. (x + 1)2 > 0 sur Df, donc le signe de f (x) ne dpend

que de 3x2 + 6x 2 ; = 60, donc les solutions sont :

x1 =3 15

3 2,3 et x2 =

3+ 153

0,3 .

x 3 x1 x2 + 3

3x 2 + 6x 2 + 0 0 +

Do le tableau de variations de la fonction f sur [ 0,9 ; 10] :

x 0,9 x2 10

f 0 +

f 45,3 28,5

2,7

3. f est continue et daprs le tableau de variations ci-dessus, lquation f(x) = 3 admet deux solutions.

De plus f(0) = 3 et f23

= 3, donc lquation f(x) = 3

admet deux solutions qui sont 0 et 23

.

4. f est continue et, daprs le tableau de variations ci-dessus, lquation f(x) = 5 admet deux solutions : 0,39 et 1,72.5. Si m < f(x2), alors lquation f(x) = m na pas de solution.

Si m = f(x2), alors lquation f(x) = m a une solution qui est x2.

Si f(x2) < m f(10), alors lquation f(x) = m admet deux solutions.

Si f(10) < m f( 0,9), alors lquation f(x) = m admet une solution.

Si m > f ( 0,9), alors lquation f (x) = m na pas de solution.

58 1. On peut remarquer que g(x) = 5x 2 x .

La drivation est alors plus simple :

g (x) =5 1

2 x

x( )2 1

2 x= 5

2x x x

2x x

donc g (x) = 5 x2x x

.

2. x > 0, donc g(x) < 0, donc g est strictement dcroissante sur ]0 ; +3[.

3. g est strictement dcroissante et continue sur [2 ; 3], g(2) 0,12 et g(3) 0,85, donc lquation g(x) = 0 admet une unique solution sur [2 ; 3], note , avec 2,101.

59 Les courbes 1, 3 et 4 sont des courbes de fonc-tions convexes et les courbes 2, 5 et 6 ne sont pas des courbes de fonctions convexes.

60 La courbe 5 est une courbe de fonction concave et les autres ne sont pas des courbes de fonctions concaves.

61 Pour quil y ait un point dinflexion, il faut quil y ait changement de convexit, donc les seules courbes qui ont un point dinflexion sont les courbes 2 et 6.

62 Pour la courbe 1, la fonction semble concave sur [ 2,5 ; 0,2] puis convexe ensuite.

Pour la courbe 2, la fonction semble concave sur [ 4,2 ; 1,2], convexe sur [ 1,2 ; 0,5] puis concave sur [0,5 ; 4] et enfin convexe.

Pour la courbe 3, la fonction semble convexe sur [ 3,2 ; 4] puis concave ensuite.

Pour quil y ait un point dinflexion, il faut quil y ait changement de convexit.

Pour la courbe 1, la courbe semble admettre un point dinflexion au moins.

Pour la courbe 2, la courbe semble admettre trois points dinflexion au moins.

Pour la courbe 3, la courbe semble admettre un point dinflexion au moins.

63 La drive f de la fonction f est strictement croissante sur [ 4 ; 2], donc la fonction f est convexe sur [ 4 ; 2].

La drive f de la fonction f est strictement dcrois-sante sur [2 ; 7], donc la fonction f est concave sur [2 ; 7].

La courbe de la fonction f admet un point din-flexion qui a pour abscisse 2.

64 La drive f de la fonction f est strictement dcroissante sur [ 2 ; 1], donc la fonction f est concave sur [ 2 ; 1].

La drive f de la fonction f est strictement crois-sante sur [1 ; 3], donc la fonction f est convexe sur [1 ; 3].

La drive f de la fonction f est strictement dcrois-sante sur [3 ; 5], donc la fonction f est concave sur [3 ; 5].

La courbe de la fonction f admet deux points din-flexion qui ont pour abscisses 1 et 3.

40 2. Fonctions

65 partir du signe de la fonction f obtenu par lecture graphique, on peut dresser le tableau de variations de la fonction f qui est :

x 1 0,5 3

f 0 +

f

La drive f de la fonction f est strictement dcrois-sante sur [ 1 ; 0,5], donc la fonction f est concave sur [ 1 ; 0,5].La drive f de la fonction f est strictement crois-sante sur [ 0,5 ; 3], donc la fonction f est convexe sur [ 0,5 ; 3].La courbe de la fonction f admet un point din-flexion qui a pour abscisse 0,5.

66 partir du signe de la fonction f obtenu par lecture graphique, on peut dresser le tableau de variations de la fonction f qui est :

x 1 1,5 4 5

f + 0 0 +

f

La drive f de la fonction f est strictement crois-sante sur [1 ; 1,5], donc la fonction f est convexe sur [1 ; 1,5].La drive f de la fonction f est strictement dcrois-sante sur [1,5 ; 4], donc la fonction f est concave sur [1,5 ; 4].La drive f de la fonction f est strictement crois-sante sur [4 ; 5], donc la fonction f est convexe sur [4 ; 5].La courbe de la fonction f admet deux points din-flexion qui ont pour abscisses 1,5 et 4.

67 La fonction est convexe et continue sur [ 2 ; 5], donc pour tous nombres a et b de lintervalle

[ 2 ; 5] : fa + b

2

f (a)+ f (b)

2 .

En particulier, pour les nombres 1 et 3,

f1+ 3

2

f (1) + f (3)

2,

donc 2 f(1) f( 1) + f(3).

68 La fonction est concave et continue sur [ 3 ; 2], donc pour tous nombres a et b de lintervalle [ 3 ; 2] :

fa + b

2

f (a)+ f (b)

2 .

En particulier, pour les nombres 2 et 0,

f2+ 0

2

f (2)+ f (0)

2,

donc 2 f( 1) f( 2) + f(0).

69 1. La fonction f semble concave.2. En consquence de la premire question, la fonction f est dcroissante sur ]0 ; +3[.

3. f (x) = 3x2

, donc f (x) = 3x2

> 0 , donc la fonc-

tion f est strictement croissante sur ]0 ; +3[.

4. f (x) = 3 2x3

, donc f (x) = 6x3

< 0, donc la

fonction f est strictement dcroissante sur ]0 ; +3[.

5. En consquence de la question prcdente, la fonction f est concave sur ]0 ; +3[.


71 1. f (x) = 3 21(x 2)2

, donc f (x) = 3+ 2(x 2)2

.

2 . f (x) = 0 (x 2)2 2 21 (x 2)(x 2)4

= 4 (x 2)(x 2)4

,

donc f (x) = 4(x 2)3

.

3. (x 2)3 > 0 sur ]2 ; 10], donc f (x) < 0, donc f est strictement dcroissante sur ]2 ; 10].

4. Daprs la question prcdente, la fonction f est concave sur ]2 ; 10].

72 1. f (x) = 2x, donc f(2) = 4 et f (2) = 4. Lquation de la tangente T2 est donne par :

y = f(2) (x 2) + f(2), donc = 4x 8 + 4.

Lquation rduite de T2 est y = 4x 4.

2. a. f (a) = 2a et f(a) = a2. Lquation de la tangente Ta est donne par y = f(a) (x a) + f(a),

donc y = 2ax 2a2 + a2.

Lquation rduite de Ta est y = 2ax a2.

b. f(x) (2ax a2) = x2 2ax + a2 = (x a)2 qui est toujours positif, donc f(x) (2ax a2) 0 pour tout nombre rel x.

c. Daprs la question prcdente, la courbe f de la fonction carr est toujours au-dessus de la tangente Ta.

3. La courbe f de la fonction carr est toujours au-dessus de la tangente Ta, pour tout nombre a, donc la courbe f est au-dessus de toutes ses tangentes, donc f est convexe.

Exercices dapprofondissement

73 1. On ne peut rien en dire la lecture de cette reprsentation graphique puisquil en manque une partie.

2. a. Voir le cadrage avec les lves sur la machine calculer.

b. Lcart entre deux marques en abscisses et en ordonnes est de 0,5 unit. En abscisse, lintervalle

2. Fonctions 41

visible est [ 1,2 ; 3,2]. En ordonne, lintervalle visible est [ 1,3 ; 2,7].

74 Lecture graphique de limage et du nombre driv et formule de lquation rduite de la tangente : y = f (a) (x a) + f(a).1. Par lecture graphique, f( 1) = 3, f(1) = 1,

f ( 1) = 5

0,5 = 10 et f (1) =

21

= 2.

Lquation de la tangente T 1 est donne par : y = 10(x + 1) 3 soit y = 10x + 7.Lquation de la tangente T1 est donne par : y = 2(x 1) + 1 soit y = 2x + 3.2. Par lecture graphique T0 a pour quation y = x + 2 et T2 a pour quation y = x 2.3. a . f (x) = 3x2 6x + 1.b. f (3) = 10.c. f (3) = 5. Une quation de T3 est donne par y = 10(x 3) + 5, donc lquation obtenue est :y = 10x 25.

75 a. On calcule le coefficient directeur de T

donn paryB y AxB xA

= 5,511 2 = 4,5 , donc T a pour

quation y = 4,5(x 1) + 5,5, soit finalement lqua-tion de T :

y = 4,5x + 10.On en dduit que f (2) = 4,5.

b. f (x) = 2x b(x + 2)2

or f (2) = 4,5,

donc 4 b

16 = 4,5, donc b = 8.

f(2) = yA = 1, donc 4 + a + 2 = 1, donc a = 3.

76 a. La fonction f est croissante jusquen 0 puis dcroissante, donc sa drive f est positive jusquen 0 puis ngative, donc la courbe de f est la deuxime courbe 2.b. Lquation de cette tangente est donne par y = f (1) (x 1) + f(1). Or f (1) 0,74 et f(1) 1,5, donc une estimation de lquation rduite de cette tangente est y = 0,74x + 2,24.

77 La fonction f est dcroissante, puis croissante et enfin dcroissante, donc la drive est nga-tive, positive puis ngative. Une seule des courbes rpond ce critre : 1.

78 La fonction f est dcroissante, puis croissante, donc la drive est ngative puis positive. Une seule des courbes rpond ce critre : 2.

79 La fonction g est dcroissante sur [0 ; 2] et croissante sur [2 ; +3[, donc sa drive g est nga-tive sur [0 ; 2] et positive sur [2 ; +3[, ce qui nest pas le cas de f .

La fonction f est dcroissante sur [0 ; 4] et croissante sur [4 ; +3[, donc sa drive f est ngative sur [0 ; 4] et positive sur [4 ; +3[, ce qui est le cas de g.

g est la drive de f .

80 1. Par lecture graphique, labscisse du point dintersection des deux courbes est 1,8 euro.

2. Lordonne du point dintersection est 4 000, donc la quantit de produit correspondant au prix unitaire dquilibre est 4 000 kg.

3. Les fonctions doffre et de demande semblent convexes.

81 1. f (x) = 6x2 6x, donc f (x) = 6x(x 1).2. On en dduit le signe de f et le tableau de varia-tions de la fonction f :

x 5 0 1 5

f + 0 0 +

f

3 178

322 2

3. Sur [0 ; 5], la fonction f a pour minimum 2, donc lquation f(x) = 1 na pas de solution.

Sur [ 5 ; 0], la fonction f est continue et strictement croissante de 322 3, donc f (x) = 1 admet une unique solution note .

0,68.

82 1. Lquation f(x) = g(x) semble admettre une solution sur ]1 ; 10], note , avec 2,325.

2. f (x)- g(x) = x2

- 2x -1

x - 1

=

(x2 - 2x)(x - 1)- 1x - 1

=

x3 - 2x2 - x2 + 2x - 1x - 1

,

donc f (x) g(x) = x3 3x2 + 2x 1

x 1 .

3. a. h(x) = 3x2 6x + 2 ; = 12, donc il y a deux solu-

tions qui sont x1 = 13

3 0,4 et x2 = 1+

33

1,6 .

x 3 x1 x2 + 3

3x 2 6x + 2 + 0 0 +

On en dduit le tableau de variations de la fonction h sur [1 ; 10] :

x 1 x2 10

0 +

f 1 719

1,4

42 2. Fonctions

b. La fonction h est continue sur [1 ; 10], donc, daprs le tableau de variations ci-dessus, lqua-tion h(x) = 0 admet une unique solution note .c. Rsoudre f(x) = g(x) sur ]1 ; 10] revient rsoudre h(x) = 0 sur ]1 ; 10], donc la solution unique est .

83 1. 2. La fonction semble convexe sur ] 3 ; 0,9], concave sur [ 0,9 ; 0,3], convexe sur [0,3 ; 4,4] et enfin concave.3. Les abscisses des points dinflexion semblent tre 0,9 ; 0,3 et 4,4.4. On cherche les abscisses des points dintersec-tion entre la courbe de la fonction f et laxe des abscisses. On obtient ainsi trois valeurs qui sont 0,923 ; 0,311 et 4,43.

84 1. La fonction f semble concave sur ] 3 ; 2] et convexe sur [2 ; +3[.2. La fonction f change de convexit, donc la courbe admet un point dinflexion dabscisse 2. f est strictement dcroissante sur ] 3 ; 2] et stricte-ment croissante sur [2 ; +3[.3. f (x) = x2 4x = x(x 4) do le signe de f et le tableau de variations de la fonction f :

x 3 0 4 +3

f + 0 0 +

f 5

5,7

4. f (x) = 2x 4 do le tableau de variations de la fonction f :

x 3 2 + 3

f 0 +

f 4

5. Daprs le sens de variation de la fonction f , la courbe de la fonction f admet un point dinflexion

dabscisse 2 et donc de coordonnes 2 ; 13

.

85 1. Lquation de la tangente Ta est donne par y = f(a) (x a) + f(a).2. f est une fonction convexe sur , donc f est croissante sur et donc f 0.3. a. d(x) = f(x) (f (a) (x a) + f(a)), donc d(x) = f(x) f (a) x + f (a) a f(a).Notons que f (a), a et f (a) sont des constantes et que la drive dune constante est nulle.Donc d(x) = f (x) f (a).

d(x) = f (x) 0, donc d est croissante sur .b. d(a) = f (a) f (a), donc d(a) = 0. Or d est crois-sante sur , donc le signe de d(x) est donn par :

x 3 a + 3

d(x) 0 +

c. De la question prcdente, on dduit le tableau de variations de d.

x 3 a + 3

d 0 +

d 0

4. Le minimum de d est 0, donc d(x) 0 pour tout nombre rel x.Ainsi f(x) (f (a) (x a) + f(a)) 0, donc f(x) f (a) (x a) + f(a).Donc la courbe f est au-dessus de la tangente Ta.

Objectif BAC

Se tester sur les fonctionsLes exercices de cette rubrique sont corrigs dans le manuel, p. 391.

Sujets type BAC

94 Exercice rsolu.

95 Partie A1. Lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes, P(x) prend des valeurs qui sapprochent de 1.

2. P (x) = 1 (x +100)1 (x +100)(x +100)2

,

donc P (x) = 200(x +100)2

.

3. P(x) < 0, donc la fonction P est strictement dcroissante sur [100 ; +3[.

x 100 + 3

P

P2 1

Partie B1. S(x) sapproche de +3 lorsque x devient grand.2. S (x) = 1 P(x)+ x P (x)

=

x + 300x + 100

-

200x

(x + 100)2=

(x + 300)(x + 100)- 200x

(x + 100)2

donc S (x) = x2 + 200x + 30000

(x +100)2.

La fonction semble convexe sur ]

2. Fonctions 43

Partie Cx 100, donc S(x) > 0, donc la fonction S est stricte-ment croissante sur [100 ; +3[.

On cherche la solution de lquation S(x) = 900. En utilisant la machine, on obtient la solution 724 kg. Notons quon peut rsoudre lquation du second degr obtenu et on trouve 300 1+ 2( ). 96 Partie A1. p = 400, donc R(x) = 400x. On trace alors la courbe D1 de la fonction R :

y

x

0

2 000

4 000

6 000

8 000

2 4 6 8 10

D1

Il est clair que la courbe de R est toujours en dessous strictement de la courbe . Le bnfice est la diff-rence entre la recette et le cot de production soit B(x) = R(x) C(x). Par lecture graphique, on en dduit que R(x) C(x) < 0 soit B(x) < 0, donc lentre-prise ne ralise pas de bnfice (positif ) si le prix du march est 400 euros.

2. a. p = 680, donc R(x) = 680x. On trace alors la courbe D2 de la fonction R :

y

x

0

2 000

4 000

6 000

8 000

2 4 6 8 10

D2

B(x) = R(x) C(x), donc par lecture graphique B(x) > 0 pour x compris entre 2 et 8,7, donc lentre-prise ralise un bnfice (positif ) pour une quantit produite et vendue entre 2 km et 8,7 km.

b. B(x) = 680x C(x) = 680x (15x3 120x2 + 500x + 750)

= 680x 15x3 + 120x2 500x 750,

donc B(x) = 15x3 + 120x2 + 180x 750.

Donc B(x) = 15 3x2 + 120 2x + 180,donc B(x) = 45x2 + 240x + 180.c. On calcule le discriminant de 45x2 + 240x + 180. = 90 000 do les solutions qui sont :

x1 =240 300

90 = 6 et x2 =240 + 300

90 = 23

.

Donc le signe de 45x2 + 240x + 180 est :

x

3

23

6 + 3

45x2 + 240x +180 0 + 0

Do le tableau de variation de B :

x 0 6 10

B + 0

B 1 410 750 1 950

Le bnfice est donc maximal pour une production vendue de 6 km. Le bnfice est alors de 1 410 euros.Partie B

CM (x) =C(x)

x= 15x

3 120x2 + 500x + 750x

,

donc en simplifiant :

CM (x) = 15x2 120x + 500 + 750

x

C M (x) = 30x 120 750

x2.

On met au mme dnominateur :

C M (x) =30x3 120x2 750

x2.

Pour comparer avec lexpression donne, il suffit de comparer les numrateurs.On dveloppe donc 30(x 5) (x2 + x + 5) = (30x 150) (x2 + x + 5) = 30x3 150x2 + 30x2 150x + 150x 750 = 30x3 120x2 750

finalement CM (x) =30(x 5) x2 + x + 5( )

x2.

2. a. Pour x de ]0 : 10], x2 + x + 5 > 0 (somme de termes strictement positifs) et x2 > 0 donc CM(x) est du signe de (x 5).Do le tableau de variations de la fonction CM :

x 0 5 10

C M + 0

C M 875 425

b. la lecture du tableau de variations de la fonc-tion CM, on peut dire que le minimum est atteint pour 5 km de tissu.

44 2. Fonctions

Le cot moyen (CM(5)) vaut alors 425 euros et le cot total (C(5)) vaut 2 125 euros.

97 Partie A1. f(0,2) 1,356 ; f(1) = 2 et f(1,2) 1, 889.

2. a. f (x) = 4x 42x 3 .

b. 2x 3 < 0 sur [0,2 ; 1,2], donc le signe de f est celui de 4 4x, do le tableau de variations de la fonction f.

x 0,2 1 1,2

f + 0

f 2

1,356 1,889

3. a. la lecture du tableau de variations, f est continue et strictement croissante sur [0,2 ; 1] en dcrivant les valeurs de f (0,2) 1,356 2, donc lquation f (x) = 1,9 admet une unique solution note .b. 0,74.Partie B1. a. Le fournisseur dnergie doit placer le parc 10 km pour que son bnfice soit maximal.b. Le bnfice alors ralis est 2 100 000 euros soit 200 000 euros.2. Cela revient rsoudre f(x) 1,9. la lecture des rsultats de la partie A, il faut placer le parc une distance plus grande que 0,74 dizaine de kilomtres, donc 7 400 mtres au moins.

98 Partie A1. a. Pour 200 litres de mdicaments vendus, x = 2 centaines de litres, donc la recette est R(2) = 3 milliers deuros, donc la recette est 3 000 euros.b. On obtient la figure ci-dessous.

y

x0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4

R

2. a. Le laboratoire dgage un bnfice positif lorsque la courbe de R est au-dessus de donc, par lecture graphique, sur [0,7 ; 4,3].b. Par lecture graphique, on observe lcart entre les deux courbes au niveau de labscisse 2, donc il semble que le bnfice dgag soit 1,85 milliers deuros.c. On observe sur le graphique la partie o lcart entre les deux courbes est le plus grand. Il semble que ce soit pour la quantit 2,8 centaines de litres. Pour cette production, le bnfice maximal est de 2,3 milliers deuros.Partie B1. B(x) = R(x) CT(x) = 1,5x 0,15(x 1)3 1= 1,5x 0,15(x3 3x2 + 3x 1) 1= 1,5x 0,15x3 + 0,45x2 0,45x + 0,15 1,donc B(x) = 0,15x3 + 0,45x2 + 1,05x 0,85.B(2) = 1,85 ce qui correspond lobservation graphique.2. B(x) = 0,45x2 + 0,9x + 1,05.3. = 2,7. Il y a donc deux solutions qui sont :

x1 =0,9 2,7

0,9 0,826 et

x2 =0,9+ 2,7

0,9 2,826 .

Le signe de 0,45x2 + 0,9x + 1,05 est :

x 3 x1 x2 + 3

0,45x2 + 0,9x + 1,05 0 + 0

Donc le tableau de variations de B sur [0 ; 5] est :

x 0 x2 5

B + 0

B 2,326

0,85 3,1

4. a. la lecture du tableau de variations de B, le bnfice est maximal pour x2 centaines de litres, donc pour 283 litres, et le bnfice maximal est f(x2) = 2,326 milliers deuros. Le bnfice maximal est donc de 2 326 euros.b. Oui, ils le sont.

99 1. Pour 2011, x = 11.f(11) = 21 116,912, d

Manuel phil tle

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