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Chapitre 12 : Calcul intégral On sait aujourd'hui que l'aire d'un disque s'obtient en multipliant le carré de son rayon par un nombre qui vaut environ 3,1415926... Le savant grec Archimède (−287, −212) n'a pas été si loin, mais il a démontré que cette aire était comprise

entre 3 + ≈ 3,140 et 3 + ≈ 3,142 fois le carré du rayon. Il a donc déterminé

les deux premières décimales du nombre 𝜋. Dans le cas du segment de parabole, en revanche, Archimède est parvenu à un résultat exact : l'aire d'un tel segment est égale à quatre tiers fois l'aire

du triangle inscrit dans ce segment. Pour cela, il a décomposé le segment de parabole en une infinité de petits triangles dont il a ajouté les aires, puis utilisé un procédé appelé méthode d’exhaustion.

Il faudra attendre le XVIIème siècle en Europe, pour qu’on trouve une alternative plus efficace à ce procédé : la méthode des indivisibles, développée par le mathématicien italien Bonaventura Cavalieri (1598 – 1647) mais dont le principe avait déjà été énoncé il y a bien longtemps par le mathématicien chinois Liu Hui au IIIème siècle. L’idée est de découper une surface en une multitude de lignes « parallèles » puis de les comparer.

Cette méthode sera cependant rapidement balayée par le développement du calcul infinitésimal par Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz qui permit d’aller beaucoup plus loin. Cette nouvelle branche des mathématiques fait apparaître le calcul différentiel et le calcul intégral comme les deux faces d’une même pièce. Dans le premier il est question de dérivée, de tangente et de vitesse ; dans le second, il est question notamment d’aire sous une courbe.

C’est d’ailleurs Leibniz, dans un article fondateur de 1686, qui propose l’emploi du symbole ∫ dérivé du « s long » du Moyen-âge pour désigner le signe des sommes.

Déterminer l'aire délimitée entre −1 et 1 par une courbe compliquée comme celle d'équation 𝑦 = 2 − 𝑥 − 𝑥 (ci-contre) aurait été un casse-tête pour les mathématiciens de l'Antiquité, mais est un jeu d'enfant pour les mathématiciens du XVIIème siècle grâce à ce nouveau cadre.

La théorie de l’intégration a continué de se développer, et les différents domaines dans lesquels on rencontre ces calculs (en probabilités par exemple) ont conduit les mathématiciens à donner plusieurs définitions différentes aux intégrales, pour des fonctions de moins en moins régulières. Les plus connues sont l’intégrale de Riemann, du nom du mathématicien allemand Bernhard Riemann (1826 – 1866) et l’intégrale de Lebesgue du français Henri Lebesgue (1875 – 1941).

A noter que comme ces méthodes se fondaient à l’origine sur des procédés algorithmiques, on parle rarement de « théorie intégrale », mais plutôt de « calcul intégral ». En anglais, le mot « calculus » désigne exclusivement cette branche des mathématiques, et un autre mot, « computation », désigne le calcul en général.

Archimède

Bernhard Riemann

Henri Lebesgue

2

I Intégrale et Aire

1) Aire sous la courbe

Le plan est muni d’un repère (0; 𝐼; 𝐽) est on note 𝒞 la courbe représentative de la fonction 𝑓.

Définition : On appelle unité d’aire, notée u.a. l’aire du rectangle unité de côtés [𝑂𝐼] et [𝑂𝐽], donc 𝑂𝐼 × 𝑂𝐽. Lorsque les longueurs unitaires sont connues, il est possible de convertir les unités d’aire en unités de mesure (le 𝑐𝑚 ) par exemple.

Définition : Soit 𝑓 une fonction continue et positive sur un intervalle [𝑎; 𝑏].

L’intégrale de 𝒇 sur [𝒂; 𝒃] est l’aire du domaine sous la courbe 𝓓, délimité par 𝒞 , l’axe des abscisses et les droites

d’équation 𝑥 = 𝑎 et 𝑥 = 𝑏.

Cette aire s’exprime en u.a. et cette intégrale se note :

𝒇(𝒙)𝒃

𝒂

𝒅𝒙

On lit : « intégrale de 𝑎 à 𝑏 de 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 » et 𝑎 et 𝑏 sont appelées les bornes d’intégration.

Remarque :

𝑥 est une variable muette et 𝑑𝑥 permet d’indiquer qu’il s’agit de la variable d’intégration (utile par exemple sur des fonctions de plusieurs variables, hors programme). On peut la remplacer par n’importe quelle autre lettre qui n’est pas utilisée ailleurs.

Par exemple, ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 et ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 sont exactement la même chose.

Exemple : Soit la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 2 − 𝑥, continue et positive sur [−3; 2] dont on a tracé la courbe représentative.

L’aire du domaine 𝒟 sous la courbe est un triangle rectangle dont on sait calculer l’aire, donc :

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 2 − 𝑥 𝑑𝑥 =5 × 5

2= 12,5 𝑢. 𝑎.

3

2) Encadrement

Méthode et Exemple : Encadrer ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

où 𝑓 est la fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, continue et

positive sur [0; 5] dont on a tracé la courbe représentative.

Une première méthode consisterait à compter le nombre de carrés (donc d’unités d’aire) situés entièrement sous la courbe, et ceux qui contiennent la courbe.

On obtient : 12 ≤ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ≤ 21

A la calculatrice on obtient :

On peut raffiner cette méthode, en considérant cette fois-ci des rectangles, inférieurs et supérieurs, qui s’appuient sur la courbe :

Chaque rectangle a ici une largeur de 1 et une hauteur qui dépend des valeurs prises par la fonction. La somme des aires des rectangles inférieurs est : 1 × 𝑓(0) + 1 × 𝑓(1) + 1 × 𝑓(2) + 1 × 𝑓(3) +

1 × 𝑓(4) = 1 + + 2 + + 5 = 8 + = 12,5

La somme des aires des rectangles supérieurs est :

1 × 𝑓(1) + 1 × 𝑓(2) + 1 × 𝑓(3) + 1 × 𝑓(4) +

1 × 𝑓(5) = + 2 + + 5 + = 7 + = 18,75

Donc :

12,5 ≤ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ≤ 18,75

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Pour améliorer l’encadrement, on peut considérer des rectangles de plus en plus fins :

Avec des rectangles de largeur (à gauche), la somme des aires des rectangles inférieurs est :

× 𝑓(0) + × 𝑓(0,5) + ⋯ + × 𝑓(4,5) = 13,90625

Et pour les rectangles supérieurs est : × 𝑓(0.5) + × 𝑓(1) + ⋯ + × 𝑓(5) = 17,03125

Donc : 13,90 ≤ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ≤ 17,03

Cette méthode, dite méthode des rectangles, se généralise à toutes les fonctions continues, positives et monotones sur un intervalle :

On partage l’intervalle [𝑎; 𝑏] en 𝑛 sous intervalles de même

amplitude ℎ =

Sur chaque sous-intervalle [𝑥 ; 𝑥 ] avec 𝑥 = 𝑎 + 𝑘 , l’aire sous la courbe est

comprise entre les deux rectangles d’aires respectives ℎ × 𝑓(𝑥 ) et ℎ × 𝑓(𝑥 ).

On encadre en faisant la somme : ∑ ℎ𝑓(𝑥 ) ≤ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ≤ ∑ ℎ𝑓(𝑥 )

On peut utiliser un algorithme pour générer un encadrement de l’intégrale avec 𝑛 rectangles. Plus on choisit 𝑛 grand, plus l’encadrement sera précis :

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II Intégrale et Primitive

1) Théorème fondamental

Théorème : Si 𝑓 est une fonction continue et positive sur [𝑎; 𝑏], alors la fonction 𝐹 définie

sur [𝑎; 𝑏] par 𝑭𝒂(𝒙) = ∫ 𝒇(𝒕)𝒅𝒕𝒙

𝒂 est la primitive de 𝒇 qui s’annule en 𝒂.

Démonstration : On considère deux réels 𝑥 et 𝑥 + ℎ de l’intervalle [𝑎; 𝑏].

On veut démontrer que 𝐹 (𝑥) = 𝑓(𝑥) donc que lim→

( ) ( )= 𝑓(𝑥)

Considérons le cas où ℎ > 0 : 𝑓 étant positive sur [𝑎; 𝑏] alors 𝐹 (𝑥) est l’aire, en u.a. de la surface colorée en vert et la différence 𝐹 (𝑥 + ℎ) − 𝐹 (𝑥) est l’aire, en u.a., de la surface hachurée en rouge.

𝑓 est croissante sur [𝑎; 𝑏] donc on peut encadrer cette surface par l’aire, en u.a., des rectangles CDEF et CDGH de largeur ℎ et de hauteurs respectives 𝑓(𝑥) et 𝑓(𝑥 + ℎ).

Donc 𝑓(𝑥) × ℎ ≤ 𝐹 (𝑥 + ℎ) − 𝐹 (𝑥) ≤ 𝑓(𝑥 + ℎ) × ℎ donc

𝑓(𝑥) ≤ ( ) ( )

≤ 𝑓(𝑥 + ℎ)

Or 𝑓 est continue sur [𝑎; 𝑏] donc lim→

𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑓(𝑥)

Donc d’après le théorème des gendarmes, lim→

( ) ( )= 𝑓(𝑥)

On raisonne de manière analogue dans le cas où ℎ < 0 et on aboutit à la même conclusion.

Exemple : Etudier une fonction définie par une intégrale.

Soit 𝐹 la fonction définie sur [0; 10] par 𝐹(𝑥) = ∫𝑡

2𝑑𝑡.

Etudier les variations de 𝐹.

La fonction 𝑡 ⟼ est continue et positive sur [0; 10] donc 𝐹 est dérivable sur [0; 10] et

𝐹 (𝑥) = > 0. La fonction 𝐹 est donc croissante sur [0; 10].

Donner une expression de 𝐹.

𝐹 est la primitive de 𝑡 ⟼ qui s’annule en 0. Or une primitive de 𝑡 ⟼

𝑡 est 𝑡 ⟼ 𝑡 donc une primitive de 𝑡 ⟼ est 𝑡 ⟼ 𝑡 .

Elle s’annule en 0 donc c’est la fonction cherchée : 𝐹(𝑥) = 𝑥

Calculer et interpréter 𝐹(7).

𝐹(7) = 7 = = 12,25. Cela signifie que l’aire sous la courbe de

la fonction 𝑡 ⟼ entre 0 et 7 est de 12,25 u.a

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Propriété : Soit 𝑓 une fonction continue et positive sur [𝑎; 𝑏].

Si 𝑭 est une primitive de 𝒇 alors :

𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒃

𝒂

= 𝑭(𝒃) − 𝑭(𝒂)

Démonstration : D’après le théorème fondamental, la fonction 𝐹 définie sur [𝑎 ; 𝑏] par

𝐹 (𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 est la primitive de 𝑓 qui s’annule en 𝑎.

Deux primitives d’une même fonction ne diffèrent que d’une constante, donc si 𝐹 est aussi une primitive de 𝑓, il existe 𝑘 ∈ ℝ tel que 𝐹(𝑥) = 𝐹 (𝑥) + 𝑘. On a alors 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = 𝐹 (𝑏) + 𝑘 − (𝐹 (𝑎) + 𝑘)

= 𝐹 (𝑏) car 𝐹 s’annule en 𝑎.

= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

2) Extension de la définition

Théorème : Toute fonction continue sur un intervalle 𝐼 admet des primitives sur 𝐼.

Démonstration : Donnons juste l’idée générale dans le cas où l’intervalle est un intervalle fermé [𝑎 ; 𝑏] : une fonction continue admet nécessairement un minimum, donc en lui rajoutant une constante (le minimum), on obtient une fonction positive, qui par le théorème fondamental, admet une primitive.

Définition : Soit 𝑓 est une fonction continue de signe quelconque sur [𝑎; 𝑏], on définit

l’intégrale de 𝒇 sur [𝒂; 𝒃] par ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒃

𝒂= 𝑭(𝒃) − 𝑭(𝒂) où 𝐹 est une primitive de 𝑓 sur

[𝑎; 𝑏] (existe d’après le théorème précédent).

Remarques :

Si 𝑓 est négative sur [𝑎; 𝑏], l’intégrale de 𝑓 est négative, c’est l’opposé de l’aire du domaine situé « sur » la courbe (autrement dit l’aire du domaine sous la courbe de −𝑓)

Si 𝑓 change de signe sur [𝑎; 𝑏], l’intégrale de 𝑓 est l’aire sous la courbe où 𝑓 est positive (en vert) – l’aire sur la courbe où 𝑓 est négative (en orange).

Exemple :

∫ 3 − 𝑥 𝑑𝑥 =×

−×

= −1,5 u.a.

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3) Calcul d’intégrales

Remarque : Hors cas spécifique où l’on effectue un calcul d’aire sous la courbe, on utilise toujours la propriété déjà énoncée sur les primitives pour calculer les intégrales. On note :

𝒇(𝒙)𝒃

𝒂

𝒅𝒙 = [𝑭(𝒙)]𝒂𝒃 = 𝑭(𝒃) − 𝑭(𝒂)

Exemples : Calculer une intégrale à partir d’une primitive.

Calculer ∫ 𝑥 + 1 𝑑𝑥 (c’est l’exemple utilisé pour la méthode des rectangles).

On note 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 et on cherche une primitive de 𝑓 :

Une primitive de 𝑥 ⟼ 𝑥 est 𝑥 ⟼ 𝑥 et une primitive de 𝑥 ⟼ 1 est 𝑥 ⟼ 𝑥 donc

𝐹(𝑥) = 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 + 𝑥

1

4𝑥 + 1 𝑑𝑥 =

1

12𝑥 + 𝑥 =

1

12× 5 + 5 −

1

12× 0 + 0 =

125

12+ 5 =

185

12

≈ 15,41666 …

∫ − 𝑑𝑥

Une primitive de 𝑥 ⟼ − est 𝑥 ⟼ donc la primitive cherchée est 𝐹(𝑥) =

−3

𝑥𝑑𝑥 =

3

𝑥 1

4

=3

4−

3

1=

3

4−

12

4= −

9

4

∫ 𝑒 𝑑𝑥

On fait apparaître la formule 𝑢 𝑒 pour trouver la primitive : 𝑓(𝑥) = 𝑒 = × (−2𝑒 )

Dont une primitive est 𝐹(𝑥) = 𝑒

𝑒 𝑑𝑥 = −1

2𝑒−2𝑥

−1

1

= −1

2(𝑒−2) − −

1

2𝑒2 =

1

2(𝑒2 − 𝑒−2)

4) Valeur moyenne

Définition : Soit 𝑓 une fonction continue sur un intervalle [𝑎; 𝑏].

On appelle valeur moyenne de 𝒇 sur [𝒂; 𝒃] le nombre :

𝝁 =𝟏

𝒃 − 𝒂𝒇(𝒙)𝒅𝒙

𝒃

𝒂

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Remarque et interprétation :

La valeur moyenne est le nombre « moyen » que prend la fonction sur [𝑎; 𝑏], c’est-à-dire la hauteur du rectangle qui a la même aire que l’aire sous la courbe.

En effet, 𝜇(𝑏 − 𝑎) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Exemple : Calculer et interpréter une valeur moyenne.

On modélise à l’aide d’une fonction le nombre de malades lors d’une épidémie. Au 𝑥-ième jour après le signalement des premiers cas, le nombre de malades est égal à 𝑓(𝑥) = 16𝑥 − 𝑥 .

Déterminer le nombre moyen de malades chaque jour sur une période de 16 jours.

1

16 − 0𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =

1

1616𝑥 − 𝑥 𝑑𝑥

= 𝑥 − 𝑥

= × 16 − × 16 = ≈ 341

Le nombre moyen de malades chaque jour est environ de 341.

III Propriétés de l’intégrale

1) Propriétés

Propriétés : Soit 𝑓 une fonction continue sur un intervalle 𝐼 et 𝑎, 𝑏 et 𝑐 trois réels de 𝐼.

L’intégrale d’une fonction sur un intervalle vide est nulle :

𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒂

𝒂

= 𝟎

Inverser les bornes de l’intégrale c’est changer le signe :

𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒂

𝒃

= − 𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒃

𝒂

Relation de Chasles :

𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒄

𝒂

+ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒃

𝒄

= 𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒃

𝒂

Démonstration : Soit 𝐹 une primitive de 𝑓 : ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑎) − 𝐹(𝑎) = 0

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑎) − 𝐹(𝑏) = − 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) + 𝐹(𝑐) − 𝐹(𝑏) = 𝐹(𝑐) − 𝐹(𝑎) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

9

Remarque : Si une intégrale est nulle, la fonction n’est pas nécessairement nulle.

Exemple :

𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑑𝑥 = 0

car la fonction cube est impaire donc symétrique par rapport à l’origine du repère. (Et pourtant la fonction cube n’est pas nulle).

Propriétés (linéarité) : Soient 𝑓 et 𝑔 des fonctions continues sur un intervalle [𝑎; 𝑏] et 𝑘 ∈ ℝ.

On peut « sortir » un facteur commun de l’intégrale :

𝒌𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒃

𝒂

= 𝒌 𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒃

𝒂

L’intégrale d’une somme c’est la somme des intégrales :

𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙)𝒅𝒙𝒃

𝒂

= 𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒃

𝒂

+ 𝒈(𝒙)𝒅𝒙𝒃

𝒂

Démonstration : Soient 𝐹 et 𝐺 des primitives de 𝑓 et 𝑔. Ces propriétés proviennent du fait que 𝑘𝐹 est une primitive de 𝑘𝑓, et que 𝐹 + 𝐺 est une primitive de 𝑓 + 𝑔.

Exemple :

3𝑒 + 2 cos(𝑥) 𝑑𝑥 = 3 𝑒 𝑑𝑥 + 2 cos(𝑥) 𝑑𝑥

= 3[𝑒 ] + 2[sin(𝑥)] = 3𝑒 − 3𝑒 + 2 sin(1) − 2 sin(0) = 3𝑒 − 3 + 2 sin(1)

2) Inégalités et intégration

Propriétés : Soient 𝑓 et 𝑔 deux fonctions continues sur un intervalle [𝑎; 𝑏] et 𝑘 ∈ ℝ.

Si, pour tout 𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏], on a 𝒇(𝒙) ≥ 𝟎, alors :

𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒃

𝒂

≥ 𝟎

Si, pour tout 𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏], on a 𝒇(𝒙) ≥ 𝒈(𝒙), alors :

𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒃

𝒂

≥ 𝒈(𝒙)𝒅𝒙𝒃

𝒂

Démonstration : Le premier point vient de la définition par l’aire (positive donc) de l’intégrale d’une fonction positive. D’autre part, si 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) alors 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) ≥ 0 donc

∫ 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 ≥ 0 ce qui par linéarité donne ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥ ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

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Exemple : Encadrer une intégrale en encadrant une fonction.

Montrer que pour tout 𝑥 ∈ [0; 1], on a 1 ≤ 𝑒 ≤ 𝑒 et en déduire que 1 ≤ ∫ 𝑒 𝑑𝑥 ≤ 𝑒 − 1

0 ≤ 𝑥 ≤ 1 ⇒ 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥 en multipliant par 𝑥 positif.

⇔ 𝑒 ≤ 𝑒 ≤ 𝑒 car la fonction exponentielle est croissante (conserve l’ordre).

⇔ 1 ≤ 𝑒 ≤ 𝑒

D’après la propriété précédente, on a donc :

1𝑑𝑥 ≤ 𝑒 𝑑𝑥 ≤ 𝑒 𝑑𝑥 ⇔ [𝑥] ≤ 𝑒 𝑑𝑥 ≤ [𝑒 ]

⇔ 1 − 0 ≤ 𝑒 𝑑𝑥 ≤ 𝑒 − 𝑒 ⇔ 1 ≤ 𝑒 𝑑𝑥 ≤ 𝑒 − 1

Remarque : Si, pour tout 𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏], on a 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥), alors la

différence (positive) des intégrales ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥, qui

est égale par linéarité à ∫ 𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)𝒅𝒙𝒃

𝒂, est l’aire du domaine

𝓓 situé entre les deux courbes 𝓒𝒇 et 𝓒𝒈, exprimée en u.a.

Exemple : Calculer l’aire entre deux courbes.

Soient 𝑓 et 𝑔 les fonctions définies sur [0; 1] par 𝑓(𝑥) = 𝑥 et 𝑔(𝑥) = 𝑥 . Calculer l’aire entre ces deux courbes sur cet intervalle [0; 1].

Pour tout réel 𝑥 ∈ [0; 1], 𝑥 > 𝑥

Donc l’aire cherchée, en u.a, est :

𝑥 − 𝑥 𝑑𝑥 =1

3𝑥 −

1

4𝑥 =

1

3−

1

4=

1

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Exemple : Etudier une suite d’intégrales.

Soit (𝐼 ) la suite définie sur ℕ∗ par 𝐼 = ∫ 𝑥 𝑒 𝑑𝑥.

Montrer que la suite (𝐼 ) est décroissante.

On cherche donc à montrer que 𝐼 ≤ 𝐼 donc que

𝑥 𝑒 𝑑𝑥 ≤ 𝑥 𝑒 𝑑𝑥

Or si 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 alors 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥 (en multipliant par 𝑥 positif)

Et donc 0 ≤ 𝑥 𝑒 ≤ 𝑥 𝑒 (en multipliant par 𝑒 toujours positif)

Donc, d’après la propriété de comparaison, on aura bien ∫ 𝑥 𝑒 𝑑𝑥 ≤ ∫ 𝑥 𝑒 𝑑𝑥 et la

suite (𝐼 ) est bien décroissante.

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Montrer que pour tout 𝑛 ≥ 1, on a 0 ≤ 𝐼 ≤ et en déduire la limite de (𝐼 ).

Les fonctions intégrées sont toutes positives sur [0; 1] donc 𝐼 ≥ 0.

D’autre part, pour 𝑥 ≥ 0, 𝑒 ≤ 𝑒 = 1 donc 𝑥 𝑒 ≤ 𝑥 donc, par comparaison, on a :

𝐼 ≤ 𝑥 𝑑𝑥 =1

𝑛 + 1𝑥 =

1

𝑛 + 1

Donc 0 ≤ 𝐼 ≤

Or lim→

= 0 donc d’après le théorème des gendarmes lim→

𝐼 = 0

3) Intégration par parties

Propriété (intégration par parties): Soient 𝑢 et 𝑣 deux fonctions dérivables sur [𝑎; 𝑏] et dont les dérivées 𝑢′ et 𝑣′ sont continues sur [𝑎; 𝑏], alors :

𝒖′(𝒙)𝒗(𝒙)𝒅𝒙𝒃

𝒂

= [𝒖(𝒙)𝒗(𝒙)]𝒂𝒃 − 𝒖(𝒙)𝒗 (𝒙)𝒅𝒙

𝒃

𝒂

Démonstration :

(𝑢𝑣) = 𝑢 𝑣 + 𝑣′𝑢. Ces fonctions sont continues sur [𝑎; 𝑏] donc, en passant à l’intégrale :

(𝑢𝑣) (𝑥)𝑑𝑥 = (𝑢 𝑣 + 𝑣 𝑢)(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑢 (𝑥)𝑣(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑣 (𝑥)𝑢(𝑥)𝑑𝑥

Or ∫ (𝑢𝑣) (𝑥)𝑑𝑥 = [𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)] donc, on a bien :

𝑢′(𝑥)𝑣(𝑥)𝑑𝑥 = [𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)] − 𝑢(𝑥)𝑣 (𝑥)𝑑𝑥

Remarque : Cette méthode permet de transformer le calcul d’une intégrale, quand on est face à une fonction produit dont on ne connait pas facilement de primitive. Il faut l’appliquer en réfléchissant bien au choix de ce qu’on prend pour 𝒖′ et de ce qu’on prend pour 𝒗 de telle sorte qu’on connaisse une primitive de la fonction choisie et de l’expression transformée.

Exemples : Calculer une intégrale grâce à une intégration par parties.

Calculer ∫ 2𝑥𝑙𝑛(𝑥)𝑑𝑥

On ne connaît pas de primitive de 𝑥𝑙𝑛(𝑥). On va donc utiliser la formule d’intégration par parties. Deux choix sont a priori possibles : a) Poser 𝑢 (𝑥) = 2𝑥 et 𝑣(𝑥) = ln (𝑥), dans ce cas il faudra considérer les fonctions 𝑢(𝑥) =

𝑥 (la primitive), 𝑣 (𝑥) = , et 𝑢𝑣′ le produit des deux, ce qui ne pose pas de problème ;

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ou b) Poser 𝑢 (𝑥) = ln (𝑥) et 𝑣(𝑥) = 2𝑥 et dans ce cas il faudra considérer 𝑣 (𝑥) = 2 et la primitive de la fonction 𝑙𝑛… que l’on ne connaît pas !

On opte donc pour le premier choix, ce qui donne :

2𝑥𝑙𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = [𝑥 ln(𝑥)] − 𝑥 ×1

𝑥𝑑𝑥

= 𝑒 ln(𝑒) − 1 ln(1) − 𝑥 𝑑𝑥

= 𝑒 −𝑥

2= 𝑒 −

𝑒

2−

1

2=

1

2−

𝑒

2=

1 − 𝑒

2

Calculer ∫ 𝑥 sin(𝑥) 𝑑𝑥

On ne connaît pas de primitive de 𝑥 sin(𝑥). On peut poser 𝑢 (𝑥) = 𝑥 et 𝑣(𝑥) = sin (𝑥), ce qui

va amener à considérer 𝑢(𝑥) = , 𝑣 (𝑥) = cos (𝑥) amis aussi leur produit cos (𝑥) dont on

ne connaît pas de primitive et qui ne fera donc pas avancer notre problème.

Posons donc plutôt 𝑢 (𝑥) = sin (𝑥) dont la primitive est 𝑢(𝑥) = − cos(𝑥) et 𝑣(𝑥) = 𝑥 dont la dérivée est 𝑣 (𝑥) = 1. On a alors :

𝑥 sin(𝑥) 𝑑𝑥 = [−𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥)] − −1 cos(𝑥) 𝑑𝑥

= −𝜋

2cos

𝜋

2− 0 cos(0) + [sin(𝑥)] = 0 − 0 + sin

𝜋

2− sin(0) = 1

Capacités attendues Estimer graphiquement ou encadrer une intégrale, une valeur moyenne.

Calculer une intégrale à l’aide d’une primitive, à l’aide d’une intégration par parties.

Majorer (minorer) une intégrale à partir d'une majoration (minoration) d'une fonction par une autre fonction.

Calculer l’aire entre deux courbes.

Étudier une suite d’intégrales, vérifiant éventuellement une relation de récurrence.

Interpréter une intégrale, une valeur moyenne dans un contexte issu d’une autre discipline.