Lyceé Jean Bart MPSI Année 2017-2018 Chapitre 3 Trigonométrie · Démonstration : C'est un très...
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Lycée Jean Bart � MPSI � Année 2017-2018
Chapitre 3 � Trigonométrie
I � Dé�nitions et premières propriétés des fonctions trigonométriques
Définitions 1. On se place dans le plan muni d'un repère orthonormal(O; I, J).
Soit x un nombre réel.
1) On appelle point image du réel x le point M du cercle trigonométrique
tel qu'une mesure en radians de l'angle orienté(−→OI,
−−→OM
)soit égale à x.
2) On appelle cosinus du réel x (resp. sinus du réel x) et on note cosx(resp. sinx) l'abscisse (resp. l'ordonnée) du point M .
Remarque : il résulte de la dé�nition que les fonctions cosinus et sinus sontdé�nies sur R tout entier.
Propriété 1 (�bornitude�). Les fonctions cosinus et sinus sont bornées sur R. Plus précisément, ce sont deuxfonctions dé�nies sur R et à valeurs dans [−1; 1] :
∀ x ∈ R :
−1 6 cosx 6 1
−1 6 sinx 6 1ou ∀ x ∈ R :
|cosx| 6 1
|sinx| 6 1
Démonstration : tout point appartenant au cercle trigonométrique a une abscisse et une ordonnée comprise entre −1 et 1. �
Propriété 2 (périodicité). Les fonctions cosinus et sinus sont 2π-périodiques. En d'autres termes :
∀ x ∈ R :
cos (x+ 2π) = cosx
sin (x+ 2π) = sinx
Démonstration : Soit x un nombre réel. Les réels x et (x+ 2π) ont la même image sur le cercle trigonométrique. �
Propriété 3 (parité). La fonction cosinus est paire, et la fonction sinus est impaire. En d'autres termes :
∀ x ∈ R, cos (−x) = cosx et ∀ x ∈ R, sin (−x) = − sinx
Démonstration : Soit x un nombre réel. Les points images de x et −x sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. �
Propriété 4 (valeurs remarquables). Le graphique ci-contre repré-sente une partie du cercle trigonométrique. Sur celui-ci, on a placé les points I,
A, B, C et J , images respectives des réels 0,π
6,π
4,π
3et
π
2. On appelle valeurs
remarquables les images de ces réels par les fonctions trigonométriques.
x 0π
6
π
4
π
3
π
2
cos (x) 1
√3
2
√2
2
1
20
sin (x) 01
2
√2
2
√3
21
Démonstration : C'est un très amusant petit exercice de géométrie élémentaire ! �
Remarque : on observe en particulier que cosx = 0 si et seulement si x = ±π
2[2π], soit si et seulement si x =
π
2[π] (ou
encore : x =π
2+ kπ avec k ∈ Z).
2 Chapitre 3 - Trigonométrie
Définition 2. Soit x un nombre réel tel que x ̸= π
2[π]. 1 On appelle tangente du réel x et on note tanx le réel :
tanx =sinx
cosx
Remarque : il résulte de cette dé�nition que la fonction tangente est dé�nie sur l'ensemble : Dtan ={x ∈ R, x ̸= π
2[π]
}.
On observera que cet ensemble est symétrique par rapport à zéro ; sur le dessin suivant, l'ensemble Dtan est en e�etconstitué de la droite réelle �privée des points rouges�.
Propriété 5 (périodicité). La fonction tangente est π-périodique. En d'autres termes :
∀ x ∈ R, tan (x+ π) = tanx
Démonstration : Laissée en exercice. �
Propriété 6 (parité). La fonction tangente est impaire. En d'autres termes :
∀ x ∈ Dtan, tan (−x) = − tanx
Démonstration : Laissée en exercice. �
Propriété 7 (valeurs remarquables). Les valeurs remarquables de la fonction tangente sont données dans letableau ci-dessous :
x 0π
6
π
4
π
3
π
2
tan (x) 0
√3
31
√3 non-dé�nie
Démonstration : c'est une conséquence directe de la dé�nition de la fonction tan, et de la propriété 4. �
II � Etude des fonctions trigonométriques
ä La fonction cosinus
+ Ensemble de dé�nition : R+ Dérivabilité : la fonction cos est dérivable sur R et :
∀ x ∈ R, cos′ x = − sinx
+ Tableau de variation :
x
Signe de − sinx
Variations de cos
−π 0 π
0+ −
−1
1
−1
+ Courbe représentative :
Cette courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordon-nées (cf parité). De plus, pour obtenir la courbe complète,il su�t de la tracer sur [−π;π] puis d'appliquer des trans-
lations de vecteur 2kπ−→i (avec k ∈ Z).
1. C'est-à-dire que x est un réel pour lequel cosx ̸= 0.
Chapitre 3 - Trigonométrie 3
ä La fonction sinus
+ Ensemble de dé�nition : R+ Dérivabilité : la fonction sin est dérivable sur R et :
∀ x ∈ R, sin′ x = cosx
+ Tableau de variation :
x
Signe de cosx
Variations de sin
−π −π/2 π/2 π
0 0− + −0
−1
1
0
+ Courbe représentative :
Cette courbe est symétrique par rapport à l'origine du re-père (cf parité). Comme pour la fonction cosinus, pour obte-nir la courbe complète, il su�t de la tracer sur [−π;π] puis
d'appliquer des translations de vecteur 2kπ−→i (avec k ∈ Z).
ä La fonction tangente
+ Ensemble de dé�nition : R−{π
2+ kπ, k ∈ Z
}+ Dérivabilité : la fonction tangente est dérivable sur sonensemble de dé�nition et :
∀ x ∈ R, x ̸= π
2[π] , tan′ x = 1 + tan2 x =
1
cos2 x
+ Tableau de variation :
x
Signe de tan′x
Variations de tan
−π/2 π/2
+
−∞
+∞
+ Courbe représentative :
Cette courbe est symétrique par rapport à l'origine du re-père (cf parité). Pour obtenir la courbe complète, il su�t dela tracer sur ]−π/2;π/2 [ puis d'appliquer des translations
de vecteur kπ−→i (avec k ∈ Z).
III � Formulaire de trigonométrie circulaire
Les festivités commencent au verso de cette page !
4 Chapitre 3 - Trigonométrie
Note : les formules données sur cette page sont valables pour tout nombre réel x.
Relation fondamentale : cos2 (x) + sin2 (x) = 1
Remarque : c'est une conséquence du théorème de Pythagore.
cos (−x) = cos (x)
sin (−x) = − sin (x)
Interprétation géométrique : les points images de x et −x sont symétriques par rapportà l'axe des abscisses (argument déjà évoqué lors de l'étude de la parité des fonctions coset sin).
cos (π − x) = − cos (x)
sin (π − x) = sin (x)
Interprétation géométrique : les points images de x et π − x sont symétriques parrapport à l'axe des ordonnées.
cos (π + x) = − cos (x)
sin (π + x) = − sin (x)
Interprétation géométrique : les points images de x et π + x sont symétriques parrapport à l'origine O du repère.
cos(π2− x
)= sin (x)
sin(π2− x
)= cos (x)
Interprétation géométrique : les points images de x etπ
2−x sont symétriques par rap-
port la première bissectrice des axes (la droite d'équation cartésienne y = x, en pointillésrouges sur la �gure).)
cos(π2+ x
)= − sin (x)
sin(π2+ x
)= cos (x)
Interprétation géométrique : on passe du point image de x au point
image deπ
2+ x en faisant d'abord une symétrie par rapport la première
bissectrice des axes, puis une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
Chapitre 3 - Trigonométrie 5
Note : sur cette page, a, b, p et q désignent des réels quelconques.
Formules d'addition :
cos (a+ b) = cos (a) cos (b)− sin (a) sin (b)
sin (a+ b) = sin (a) cos (b) + sin (b) cos (a)
tan (a+ b) =tan a+ tan b
1− tan a tan b
En utilisant la parité de la fonction cosinus, et l'imparité des fonctions sinus et tangente, on obtient déjà :
Formules �de soustraction� :
cos (a− b) = cos (a) cos (b) + sin (a) sin (b)
sin (a− b) = sin (a) cos (b)− sin (b) cos (a)
tan (a− b) =tan a− tan b
1 + tan a tan b
On déduit de ces formules les suivantes :
Formules de duplication :
cos (2a) = cos2 (a)− sin2 (a) = 2 cos2 (a)− 1 = 1− 2 sin2 (a)
sin (2a) = 2 sin (a) cos (a)
tan (2a) =2 tan a
1− tan2 a
On peut également obtenir les formules ci-dessous à partir des formules d'addition :
Formules de linéarisation :
cos (a) cos (b) =cos (a+ b) + cos (a− b)
2d'où : cos2 (a) =
1 + cos (2a)
2
sin (a) sin (b) =cos (a− b)− cos (a+ b)
2d'où : sin2 (a) =
1− cos (2a)
2
sin (a) cos (b) =sin (a+ b) + sin (a− b)
2d'où : sin (a) cos (a) =
sin (2a)
2
Dans le �sens contraire�, on peut transformer des sommes en produit :
cos p+ cos q = 2 cos
(p+ q
2
)cos
(p− q
2
)
cos p− cos q = −2 sin
(p+ q
2
)sin
(p− q
2
)
sin p+ sin q = 2 sin
(p+ q
2
)cos
(p− q
2
)
sin p− sin q = 2 sin
(p− q
2
)cos
(p+ q
2
)
Et pour �nir, des relations souvent utiles en calcul intégral :
En posant t = tan(x2
), on a :
cosx =1− t2
1 + t2
sinx =2t
1 + t2
tanx =2t
1− t2