les Lois de Képler

K1: loi des orbites

K1: chaque planète décrit, dans le sens direct (inverse des aiguilles d’une montre) une ellipse dont le Soleil occupe l’un des foyers

K2: loi des aires

K2: les aires balayées par le rayon-vecteur planète-Soleil sont proportionnelles aux temps employés pour les décrire

K3: loi des périodes

K3: le cube du demi-grand axe « a » de l’orbite d’une planète, divisé par le carré de la période de révolution sidérale « T » est une constante pour toutes les planètes du système solaire

Démarche de Képler

• il tient son « journal », son « blog » !!• raconte ses hypothèses, ses doutes, ses erreurs

• essaye de faire coller les observations de Tycho avec un modèle d’orbite

• ses « convictions » initiales:• du Soleil émane la « force motrice »

des planètes• les mouvements planétaires ont une

cause physique (et non animiste)

démarche de « scientifique » moderne

Démarche de Képler: K2Képler énonce d’abord la loi des aires

• Kepler remarque que les vitesses à l’aphélie et au périhélie sont inversement proportionnelles à la distance au Soleil (faux ! vrai seulement en ces points)

• pour définir les vitesses le long de l’orbite, il faut prendre de très nombreux points et mesurer leur distance au Soleil

8

• Kepler fait alors la somme de distances ainsi mesurées entre A et B, et pense qu’il obtient une mesure de

l’aire balayée pendant le temps t (faux! seul le calcul infinitésimal donne une solution exacte)

• partant de ces deux erreurs, Kepler donne l’énoncé exact de la loi des aires:

K2: les aires balayées en temps égaux sont égales !aire (SAB) = aire (SCD)

S8S

AB

C

D

t

t

… sans préjuger en rien de la forme de l’orbite !!!

Démarche de Képler: K1Képler revient au modèle d’orbite (1603)

• Kepler sait qu’il doit s’affranchir de la circularité; il choisit le modèle qui s’en rapproche

le plus: l’ovale !!

…. et pour cela, n’hésite pas à réintroduire des épicycles !!

« jamais un scientifique n’a encore pondu un tel œuf ! »

• il fait la somme de 180 distances Soleil-Mars !!

S

M

nouvel échec

« les voies par lesquels l’homme parvient à la connaissance sont parfois aussi étonnantes que la connaissance elle-même »

• en étudiant les lunules qui distinguent la trajectoire de Mars du cercle circonscrit, Kepler remarque par hasard que l’épaisseur maximale de la lunule est de 0,00429, alors que 1/cosα = 1,00429

• incroyable coïncidence !! 5 chiffres après la virgule !!

• d’autant que notre figure est loin d’être à l’échelle !

Démarche de Képler: K1

« les voies par lesquels l’homme parvient à la connaissance sont parfois aussi étonnantes que la connaissance elle-même »

• si le rayon du cercle est 1m, l’épaisseur max de la lunule est de 4mm !!!!! et la distance OS de 9cm !!!!

• avec une échelle (un peu) plus proche de la réalité

Démarche de Képler: K1

de la lunule à l’ellipse…

nouvel échec

• Képler finit par comprendre (*) qu’il existe un rapport constant entre l’épaisseur de la lunule et la distance à l’axe de l’orbite circulaire circonscrite

il lui aura fallu six ans pour venir à bout de l’orbite de Mars !!

= = ellipse

il publie alors ses résultats dans Astronomia Nova (1609)

(*): les interprétations divergent sur le cheminement exact de Képler

Démarche de Képler: K1

…et de la puce à l’oreille !!

HO A

B

F

cercle du moyenmouvement

(rayon indifférent)

« horloge »: 1 tour en 1 période

M7

P7’

P0’P1’

P2’P3’

P4’

P5’

Astre moyen / Anomalie moyenne

M = anomalie moyenneP’ = astre moyenM = t. (T / 2π)

HO A

B

F

cercle du moyenmouvement

(rayon indifférent)

« horloge »: 1 tour en 1 période

M7

P7’

P0’P1’

P2’P3’

P4’

P5’

Astre moyen / Astre vrai / Anomalie vraie

M = anomalie moyenneP’ = astre moyen

P0P1

P2 P3

ϕ = anomalie vraieP = astre vrai

P7φ

HO A

B

F

cercle du moyenmouvement

(rayon indifférent)

M7P7’

P0P1

P2 P3

P7

φε7

P7 "

cercle directeurde l’orbite

M = anomalie moyenne ϕ = anomalie vraie ε = anomalie excentrique

équation de Képler: ε = M + e.sin ε

Anomalie moyenne / vraie / excentrique

M

φε

P "

P 

P’ 

M = anomalie moyenne ε = anomalie excentrique

équation de Képler: ε = M + e.sin ε

M φεtg ϕ =

(1-e2)1/2. sin ε / (cos ε – e)

ϕ = anomalie vraie

l’équation de Képler: une des deux causes du décalage soleil

moyen / soleil vrai

K1 et K2 Equation de Képler

aire secteur SPM’ = secteur circ. OPM’ – triangle OSM’

aire secteur SPM’ = (a2/2) . ε – (a2/2).e. sin ε

avec: OS = a.e et M’H = a.sin ε

où ε est exprimé en radians

aire cercle = πa2

secteur: (πa2).(ε/2 π)

K1 et K2 Equation de Képler

aire secteur SPM = aire secteur SPM’ x (b/a)en vertu de la transformation affine

aire secteur SPM = [(a2/2) . ε – (a2/2).e. sin ε] . (b/a)

aire secteur SPM = (ab/2) . (ε –e. sin ε)

• or, au bout du temps T (révolution) l’aire balayée est celle de l’ellipse, donc: πab

• donc , au bout du temps t, le secteur balayé est:

aire secteur SPM = (πab/T) . (t-t0)

(2π/T) . (t-t0) = (ε –e. sin ε)

M = ε – e. sin ε

cette équation décrit le décalage astre moyen /astre vrai

ε = M + e. sin ε

Démarche de Képler : K3l’Harmonie du Monde

• l’objectif ultime de Képler est de démontrer « l’harmonie du monde »

• essaye d’établir un lien entre les intervalles des gammes musicales, la longueur des côtés des polygones réguliers, la surface des faces des polyèdres, etc…

• essaye de trouver des planètes supplémentaires pour combler le « vide » entre Mars et Jupiter

• puis tente d’expliquer les « rayons » des orbites par sa théorie des polygones emboîtés: Ok avec Saturne et Jupiter…

• comme il ne réussit pas avec les polygones, il essaye les polyèdres emboîtés et leur sphères circonscrite et inscrite:

• la troisième Loi n’est qu’un banal paragraphe de l’Harmonie du Monde (1619)

• résultat empirique, qui prépare la voie à Newton

• à force d’essais, Kepler trouve que le carré de la période de rotation des planètes est inversement proportionnel au cube du demi grand axe de l’orbite

T2/a3 = constante

nouvel échec

Démarche de Képler : K3l’Harmonie du Monde

Newton

- réussit la synthèse des théories de Kepler, Descartes et Galilée

- Newton utilise en particulier K3 pour démontrer sa loi de gravitation universelle:

F = G MM’ / D2

- en retour, les lois de Newton permettent de démontrer K1 et K2

1642 - 1727

- mais Newton va au-delà de Képler:

- en démontre mathématiquement les implications (calcul différentiel et intégral)

- découvre vraiment les phénomènes physiques que Képler recherchait

- rectifie les « erreurs » de Képler (*): inversion gravité (en 1/D) / inertie

- étudie la dynamique des projectiles, vitesse de libération, etc…(*): sauf celle liée au sens direct de parcours des orbites

Démonstration des lois de Képler

K1: - géométrique (aire de triangles)- à partir de Newton et calcul différentiel

K2: - géométrique (Feynman) / hodographe

- à partir de Newton et calcul différentiel

- fait intervenir la notion de moment cinétique

K3: - équations aux dimensions

K3 permet de calculer l’orbite géostationnaire:T= 23h56mn4s si a = 42000km h= 42000 – rayon terrestre ~ 36000km

- à partir principe gravitation universelle: a3/T2 = GM / 4π2