les Lois de Képler
K1: loi des orbites
K1: chaque planète décrit, dans le sens direct (inverse des aiguilles d’une montre) une ellipse dont le Soleil occupe l’un des foyers
K2: loi des aires
K2: les aires balayées par le rayon-vecteur planète-Soleil sont proportionnelles aux temps employés pour les décrire
K3: loi des périodes
K3: le cube du demi-grand axe « a » de l’orbite d’une planète, divisé par le carré de la période de révolution sidérale « T » est une constante pour toutes les planètes du système solaire
Démarche de Képler
• il tient son « journal », son « blog » !!• raconte ses hypothèses, ses doutes, ses erreurs
• essaye de faire coller les observations de Tycho avec un modèle d’orbite
• ses « convictions » initiales:• du Soleil émane la « force motrice »
des planètes• les mouvements planétaires ont une
cause physique (et non animiste)
démarche de « scientifique » moderne
Démarche de Képler: K2Képler énonce d’abord la loi des aires
• Kepler remarque que les vitesses à l’aphélie et au périhélie sont inversement proportionnelles à la distance au Soleil (faux ! vrai seulement en ces points)
• pour définir les vitesses le long de l’orbite, il faut prendre de très nombreux points et mesurer leur distance au Soleil
8
• Kepler fait alors la somme de distances ainsi mesurées entre A et B, et pense qu’il obtient une mesure de
l’aire balayée pendant le temps t (faux! seul le calcul infinitésimal donne une solution exacte)
• partant de ces deux erreurs, Kepler donne l’énoncé exact de la loi des aires:
K2: les aires balayées en temps égaux sont égales !aire (SAB) = aire (SCD)
S8S
AB
C
D
t
t
… sans préjuger en rien de la forme de l’orbite !!!
Démarche de Képler: K1Képler revient au modèle d’orbite (1603)
• Kepler sait qu’il doit s’affranchir de la circularité; il choisit le modèle qui s’en rapproche
le plus: l’ovale !!
…. et pour cela, n’hésite pas à réintroduire des épicycles !!
« jamais un scientifique n’a encore pondu un tel œuf ! »
• il fait la somme de 180 distances Soleil-Mars !!
S
M
nouvel échec
« les voies par lesquels l’homme parvient à la connaissance sont parfois aussi étonnantes que la connaissance elle-même »
• en étudiant les lunules qui distinguent la trajectoire de Mars du cercle circonscrit, Kepler remarque par hasard que l’épaisseur maximale de la lunule est de 0,00429, alors que 1/cosα = 1,00429
• incroyable coïncidence !! 5 chiffres après la virgule !!
• d’autant que notre figure est loin d’être à l’échelle !
Démarche de Képler: K1
« les voies par lesquels l’homme parvient à la connaissance sont parfois aussi étonnantes que la connaissance elle-même »
• si le rayon du cercle est 1m, l’épaisseur max de la lunule est de 4mm !!!!! et la distance OS de 9cm !!!!
• avec une échelle (un peu) plus proche de la réalité
Démarche de Képler: K1
de la lunule à l’ellipse…
nouvel échec
• Képler finit par comprendre (*) qu’il existe un rapport constant entre l’épaisseur de la lunule et la distance à l’axe de l’orbite circulaire circonscrite
il lui aura fallu six ans pour venir à bout de l’orbite de Mars !!
= = ellipse
il publie alors ses résultats dans Astronomia Nova (1609)
(*): les interprétations divergent sur le cheminement exact de Képler
Démarche de Képler: K1
…et de la puce à l’oreille !!
HO A
B
F
cercle du moyenmouvement
(rayon indifférent)
« horloge »: 1 tour en 1 période
M7
P7’
P0’P1’
P2’P3’
P4’
P5’
Astre moyen / Anomalie moyenne
M = anomalie moyenneP’ = astre moyenM = t. (T / 2π)
HO A
B
F
cercle du moyenmouvement
(rayon indifférent)
« horloge »: 1 tour en 1 période
M7
P7’
P0’P1’
P2’P3’
P4’
P5’
Astre moyen / Astre vrai / Anomalie vraie
M = anomalie moyenneP’ = astre moyen
P0P1
P2 P3
ϕ = anomalie vraieP = astre vrai
P7φ
HO A
B
F
cercle du moyenmouvement
(rayon indifférent)
M7P7’
P0P1
P2 P3
P7
φε7
P7 "
cercle directeurde l’orbite
M = anomalie moyenne ϕ = anomalie vraie ε = anomalie excentrique
équation de Képler: ε = M + e.sin ε
Anomalie moyenne / vraie / excentrique
M
φε
P "
P
P’
M = anomalie moyenne ε = anomalie excentrique
équation de Képler: ε = M + e.sin ε
M φεtg ϕ =
(1-e2)1/2. sin ε / (cos ε – e)
ϕ = anomalie vraie
l’équation de Képler: une des deux causes du décalage soleil
moyen / soleil vrai
K1 et K2 Equation de Képler
aire secteur SPM’ = secteur circ. OPM’ – triangle OSM’
aire secteur SPM’ = (a2/2) . ε – (a2/2).e. sin ε
avec: OS = a.e et M’H = a.sin ε
où ε est exprimé en radians
aire cercle = πa2
secteur: (πa2).(ε/2 π)
K1 et K2 Equation de Képler
aire secteur SPM = aire secteur SPM’ x (b/a)en vertu de la transformation affine
aire secteur SPM = [(a2/2) . ε – (a2/2).e. sin ε] . (b/a)
aire secteur SPM = (ab/2) . (ε –e. sin ε)
• or, au bout du temps T (révolution) l’aire balayée est celle de l’ellipse, donc: πab
• donc , au bout du temps t, le secteur balayé est:
aire secteur SPM = (πab/T) . (t-t0)
(2π/T) . (t-t0) = (ε –e. sin ε)
M = ε – e. sin ε
cette équation décrit le décalage astre moyen /astre vrai
ε = M + e. sin ε
Démarche de Képler : K3l’Harmonie du Monde
• l’objectif ultime de Képler est de démontrer « l’harmonie du monde »
• essaye d’établir un lien entre les intervalles des gammes musicales, la longueur des côtés des polygones réguliers, la surface des faces des polyèdres, etc…
• essaye de trouver des planètes supplémentaires pour combler le « vide » entre Mars et Jupiter
• puis tente d’expliquer les « rayons » des orbites par sa théorie des polygones emboîtés: Ok avec Saturne et Jupiter…
• comme il ne réussit pas avec les polygones, il essaye les polyèdres emboîtés et leur sphères circonscrite et inscrite:
• la troisième Loi n’est qu’un banal paragraphe de l’Harmonie du Monde (1619)
• résultat empirique, qui prépare la voie à Newton
• à force d’essais, Kepler trouve que le carré de la période de rotation des planètes est inversement proportionnel au cube du demi grand axe de l’orbite
T2/a3 = constante
nouvel échec
Démarche de Képler : K3l’Harmonie du Monde
Newton
- réussit la synthèse des théories de Kepler, Descartes et Galilée
- Newton utilise en particulier K3 pour démontrer sa loi de gravitation universelle:
F = G MM’ / D2
- en retour, les lois de Newton permettent de démontrer K1 et K2
1642 - 1727
- mais Newton va au-delà de Képler:
- en démontre mathématiquement les implications (calcul différentiel et intégral)
- découvre vraiment les phénomènes physiques que Képler recherchait
- rectifie les « erreurs » de Képler (*): inversion gravité (en 1/D) / inertie
- étudie la dynamique des projectiles, vitesse de libération, etc…(*): sauf celle liée au sens direct de parcours des orbites
Démonstration des lois de Képler
K1: - géométrique (aire de triangles)- à partir de Newton et calcul différentiel
K2: - géométrique (Feynman) / hodographe
- à partir de Newton et calcul différentiel
- fait intervenir la notion de moment cinétique
K3: - équations aux dimensions
K3 permet de calculer l’orbite géostationnaire:T= 23h56mn4s si a = 42000km h= 42000 – rayon terrestre ~ 36000km
- à partir principe gravitation universelle: a3/T2 = GM / 4π2
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