Thierry Dias – octobre 2005 1

La construction du nombre

apprentissage et difficultés

Thierry Dias – octobre 2005 2

Diverses conceptions de

l'apprentissage

Thierry Dias – octobre 2005 3

Piaget, Szeminska, 1941

sujet

milieu(d'apprentissage)

équilibreélément nouveauassimilationaccommodationorganisationéquilibration

Stades de développement=

Stades d’apprentissages

Thierry Dias – octobre 2005 4

Piaget, Szeminska, 1941

Trois opérations logiques élémentaires sont des pré-requis à la construction du nombre :- la conservation- la sériation- l'inclusion

Ceci permettant de définir les stades de développement connus :

2. le stade sensori-moteur (0 à 2 ans)

3. la période pré-opératoire (2 à 6 ou 7 ans)

4. le stade des opérations concrètes (6 ou 7 ans à 11 ou 12 ans)

5. le stade des opérations formelles (ou hypthético-déductif)

Thierry Dias – octobre 2005 5

Piaget, Szeminska, 1941

Cette notion de stades d’apprentissages induit une conception « linéaire » de la construction de connaissances sur le nombre relative à l’âge des élèves.

Le nombre est ainsi au service de la construction du réel (en le quantifiant, en le mesurant) donc dépendant de l'accumulation d'expériences du sujet.

Thierry Dias – octobre 2005 6

• La situation d’apprentissage pour les enfants est quelque chose de difficile. On a besoin d’apprendre, mais c’est contre nature.

• Ex : la suite numérique pour petit enfant se présente sous la forme : 0, 1, 2, …Puis, apparaissent les négatifs, et les réels : entre 2 nombres, il en existe toujours un autre… révélations perturbantes pour un enfant !

• Remarque : les stades de développement de Piaget sont très intéressant, mais il ne faut pas se fier aux âges qui ne sont qu’indicatifs.

• Les pré-requis ne sont pas forcément des prérequis absolument nécessaires pour que les enfants puissent passer au stade suivant.

Remarques stagiaires

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La connaissance de la "comptine" numérique comme préalable.

L’importance de l’activité de comptage / dénombrement.

Cinq principes régissent le comptage.

Une autre approche : Gelman et Gallistel (années 80)

Remarque stagiaire : il s’agit d’une étude américaine effectuée sur une très grande population donc ayant une représentativité intéressante.

Thierry Dias – octobre 2005 8

5. Principe d ’abstraction : toutes sortes d ’éléments peuvent être rassemblés et comptés ensemble.

2

2

Les cinq principes qui régissent le comptage (selon Gelman)

Remarque stagiaire : très difficile pour un enfant de faire un même ensemble avec 2 entités différentes (1 tigre + 1 lapin = 2)

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La place du calcul dans la construction du nombre

Deux thèses modernes concernant le calcul :Brissiaud : le calcul* comme accélérateur d’apprentissage du comptage, donc la nécessité de développer des compétences dès le plus jeune âge.

Gelman et bien d’autres… : le comptage doit précéder les activités de calcul (en référence aux cinq principes).

* attention, le calcul dont parle Brissiaud n’est pas l’algorithme de l’addition par sur-comptage, mais plutôt la perception d’une quantité par la somme de ses parties (voir les constellations, les livres à compter…)

Remarques stagiaires : Brissiaud est un des premier à contrer les théorie de Gelman. Il travaille essentiellement sur le nombre par sa décomposition (ex, très petit, savoir que 4 = 2+2 ou 3+1).

Référence intéressante : Comment les enfants apprennent à calculer.

Thierry Dias – octobre 2005 10

Les apports de la recherche récente (neurosciences)

Des capacités numériques sont repérables chez le nourrisson dès l'âge de 6 mois : discrimination perceptive, addition et soustraction de petites quantités.

Des capacités que le petit d'homme partage avec ses semblables : singes, dauphins, oiseaux… pas de quoi pavoiser !

Les régions cérébrales concernées par le calcul et la manipulation des quantités ne sont pas toujours les mêmes (le diagnostique de la dyscalculie s'en trouve compliqué).

Rôle prépondérant du langage comme désignation dans la construction du principe de cardinalité.

Remarques stagiaires : ces travaux rejoignent les théories de Brissiaud et Gelman et nourrissent la recherche actuelle.

Thierry Dias – octobre 2005 11

Repères didactiques

Thierry Dias – octobre 2005 12

Une solution au dilemme :

Le nombre outil et la problématisation…

apprendre en...

Thierry Dias – octobre 2005 13

apprendre en résolvant des problèmes

Les connaissances1 du sujet se construisent à travers des actions finalisées2 c'est à dire permettant de résoudre un problème, de répondre à une question dans une situation qui a du sens pour le sujet dès le départ ou dont le sens apparaît très vite au cours de la résolution.

2 : véritables activités de recherche et pas seulement de manipulation

1 : savoir, savoir-faire, conceptions et représentations

Thierry Dias – octobre 2005 14

Parmi les nombres de 0 à 999, combien de nombres contiennent le chiffre 5 ?

L’escalier ci-dessous est construit avec 15 pavés et il a cinq marches.

Quel nombre de marches aurai-je à monter si l’escalier était construit avec 120 pavés ?

1

2

Remarques stagiaires : atelier de recherche CM1 / CM2

Thierry Dias – octobre 2005 15

apprendre en remettant en cause des connaissances antérieures:

Les connaissances ne s'entassent pas, ne s'accumulent pas. Elles ne se construisent pas de façon linéaire et continue. Leur élaboration est soumise à des ruptures.

"On placera les élèves dans des situations qui permettent de provoquer un conflit."

Remarques stagiaires : cf. la racine de Vigotsky. (√) Mais attention, il faut toujours garder en mémoire que les enfants peuvent avoir besoin d’aide pour remonter la pente avant d’intégrer un nouvel apprentissage. Il faut être très vigilant en classe.

Thierry Dias – octobre 2005 16

La monnaie de la pièce...Trois jeunes gens prennent leur petit déjeuner dans un bar. Ils doivent payer 30 euros et donnent chacun une pièce de 10 euros. La patronne, charmante, décide de leur faire une réduction de 5 euros.Le serveur prend donc 5 pièces de 1 euro, mais, ne pouvant les partager en trois il décide subrepticement de glisser 2 euros dans sa poche et donne généreusement une pièce de 1 euro à chacun des trois jeunes gens.

Finalement chacun a payé (10 - 1) euros, donc 9 euros. En ajoutant les 2 euros du serveur, on obtient ((9 x 3) + 2) euros soit 29 euros.MAIS nous avions 30 euros. Où est donc passé le dernier euro?

Thierry Dias – octobre 2005 17

apprendre en dépassant ses erreurs

Identifier ses erreurs et les analyser pour pouvoir les corriger se fait grâce à la médiation de l’autre.

L'erreur est « normale »; c'est une forme de connaissance. Elle est constitutive de l’apprentissage.Remarques stagiaires : La résolution de problème ne doit pas se faire au détriment de la répétition qui peut prendre des multitudes de formes. Il ne s’agit pas de répéter de manière mécanique, mais de comprendre ce que l’on fait.

On a eu tendance ces dernières années à abandonner la répétition des tables par exemple mais c’est pourtant bien cette méthode qui permet certain type d’apprentissage.

Thierry Dias – octobre 2005 18

apprendre en faisant fonctionner, en répétant

Apprendre ne se fait pas en une seule fois (ou très rarement). Apprendre c'est aussi recommencer, revenir en arrière, donc répéter, mais en comprenant ce que l'on fait et pourquoi on le fait.

"La répétition mécanique d'actes dépourvus d'intentionnalité ou de sens ne saurait être génératrice d'acquisition d'un savoir-faire réellement maîtrisé (et cela en particulier pour les enfants en difficulté)."

Thierry Dias – octobre 2005 19

apprendre en communiquant avec d'autres

Apprendre ne se fait pas tout seul, mais dans un contexte d'interactions sociales.

D'où l'importance du travail en groupe dans les classes. "Les seules actions que les enfants imitent sont celles qu'ils peuvent déjà faire parfaitement bien." J.Bruner

Le contexte de ce dispositif de travail renforce le rôle essentiel de médiation de l'adulte.

Thierry Dias – octobre 2005 20

apprendre en utilisant

Dans la programmation des apprentissages visant la construction du nombre, la fonction outil est à privilégier sur la fonction objet.

La formalisation du signe et la mise en évidence du concept n’a de sens qu ’après sa mise en œuvre répétée dans des contextes différents.

Thierry Dias – octobre 2005 21

Quelques obstacles

Remarques stagiaires : La numération a été difficile à construire, il semble donc normal que ce soit difficile à apprendre et à enseigner. Il faut laisser du temps aux enfants pour qu’ils apprennent.

Thierry Dias – octobre 2005 22

numération et compréhension des bases

problèmes de chiffres : transcodage

difficultés de la numération de position

la question du zéro

Rq : livre intéressant pour le cycle 1 « Compte pour petits et grands » Stella BARUK, MAGNARD

documentaire : l'empire des nombres

quelques obstacles…

Rq : cubes, buchettes, …

Rq : la place de chaque chiffre est importante dans un nombre.

Thierry Dias – octobre 2005 23

la question de la dyscalculie

DSM-IV : trouble du calcul

2. retard significatif dans les tests standardisés de mathématiques par rapport à l’âge développemental;

3. interférence avec la réussite scolaire;

4. ne s’explique pas par un déficit sensoriel

Le problème peut donc coexister avec d’autres affections.

CIM 10: trouble spécifique de l’acquisition de l'arithmétique

Altération spécifique des performances en arithmétique, non imputable exclusivement à un retard mental global ou à une scolarisation inadéquate. L'altération concerne la maîtrise des éléments de base du calcul : addition, soustraction, multiplication et division.

Ces difficultés sont aujourd’hui répertoriées : DSM-IV aux Etats-Unis, CIM 10 est une classification internationale de la maladie reconnue par l’OMS.

Thierry Dias – octobre 2005 24

Quelques stratégies pour lutter contre les symptômes de la dyscalculie (recherche américaine)

Outils d'apprentissage pour l'élèvePermettre l'utilisation des doigtsPermettre la multiplication des écrits de recherchePermettre l'utilisation de l'ordinateur pour l'entraînement et l'étudeSuggérer l'utilisation de papiers spéciaux : millimétré, quadrillé…

Démarche et méthode de travailTraduire en dessin les mots d'un énoncé problématiqueFavoriser la manipulation pour expérimenterUtiliser des procédés mnémotechniques (ex: jeu du furet)

Stratégies d'enseignementUtiliser les schémas et les graphiques pour l'explicationFavoriser les aides possibles par des pairsDiversifier les techniques de communication écrite (couleurs…)Utiliser le rythme et la musique pour enseigner certaines notions mathématiques