LA CONSTRUCTION DU NOMBRE CHEZ L’ENFANT : … · 1. Les épreuves de conservation I. La théorie...

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LA CONSTRUCTION DU NOMBRE CHEZ L’ENFANT : APPROCHE PSYCHOLOGIQUE

I. La théorie de Jean Piaget (1896-1980) 1. Les épreuves de conservation 2. Les épreuves d’inclusion 3. Les épreuves de sériation 4. La théorie de Jean Piaget

II. Les premières interrogations (1960) 1. Fiabilité des épreuves de conservation 2. Rôle du langage 3. Le comptage

III. La perception numérique 1. Les bébés et le calcul 2. Les études chez les animaux non humains 3. Les études chez l’adulte (humain)

IV. La capacité de dénombrer V. Les représentations numériques

Construction du concept de nombre

1. Les épreuves de conservation

I. La théorie de Jean Piaget

a. La situation des bouteilles/verres

On présente à des enfants une rangée qui contient six bouteilles, et on leur demande de placer autant de verres qu’il y a de bouteilles.

Élise (5 ans et trois mois)Matériel : 6 bouteilles alignées et 10 verres

1e étape : l’expérimentateur demande de faire une rangée avec « autant de verres que de bouteilles ». Élise place un verre en face de chacune des bouteilles (correspondance terme à terme maîtrisée)2e étape : l’expérimentateur serre les 6 verres qu’elle vient de placer et écarte les bouteilles.



Est-ce qu’il y a toujours le même nombre de bouteilles et de verres ?Non, parce que c’est plus grand (désigne les bouteilles)Tu sais compter ?OuiCombien il y a de verres ?SixEt de bouteilles ?SixDonc il y a la même chose ?Non, il y a plus là où c’est plus grand.

Exp : Élise : Exp : Élise : Exp : Élise : Exp : Élise : Exp : Élise :




4 ans 5 ans 6 ans 7 ans8% 50% 75% 80%

Réussite totale

http://www2.uqtr.ca/hee/site_1/index.php?no_fiche=324 (exemples de Marie-Philippe 4;5 et Frédéric 6;8 - jetons-équivalence)


Marie-Philippe 4 ans

Frédéric 6 ans


b. Rangée de jetons


figure A figure B

figure C figure D

C’est l’erreur classique décrite par Jean Piaget : l’enfant se laisse distraire par la longueur des rangées et semble en oublier le nombre. L’enfant, jusqu’à 5 ans environ, n’a pas encore acquis la notion de conservation du nombre.


b. Rangée de jetons


Niveau I Absence de correspondance terme à termeNiveau II Correspondance terme à terme mais pas de conservationNiveau III Conservation non durable (conflit entre ce que « je vois » et « ce que je sais »)Niveau IVÀ partir de 5/6 ans, conservation nécessaire et justifiée

réversibilité par inversion (« c’est toujours pareil, on peut resserrer les jetons exactement comme dans l’autre rangée »)

compensation des relations (« c’est pareil, la rangée ici est plus longue mais les jetons sont moins serrés «)

identité qualitative (« c’est pareil, on n’a rien enlevé ni rien ajouté »)


c. Conservation du volume


On fait d’abord constater à l’enfant l’égalité des quantités versées dans deux récipients identiques puis on lui demande d’apprécier si le transvasement du contenu de l’un des vases dans un récipient plus large ou plus étroit, ou dans plusieurs récipients, modifie cette égalité.

5 ans 6 ans 7 ansNon conservation 85% 40% 4%

Intermédiaire 11% 42% 22%Conservation 4% 18% 74%

http://developpement.ccdmd.qc.ca (rubrique : vidéo, thème : cognitif, sous-thème : conservation du liquide. Les deux vidéos de Morgane 5 ans et Chloé 7 ans)

Morgane 5 ans

Chloé 7 ans


d. Conservation de la quantité de matière (pâte à modeler)


On présente deux boules de pâte à modeler identiques aux enfants.On aplatit une des boules.Les enfants de 4-6 ans disent qu’il y a plus de pâte dans la boule non aplatie.On divise une des boules en plusieurs boules.

en % 5 ans 6 ans 7 ans 8 ans 9 ansnon-conservation 84 68 64 24 12

intermédiaire 0 16 4 4 4conservation 16 16 32 72 84

http://developpement.ccdmd.qc.ca (rubrique : vidéo, thème : cognitif, sous-thème : conservation de la substance. Les deux vidéos de Morgane 5 ans et Camille 5 ans))

Morgane 5 ans

Camille 5 ans

I. La théorie de Jean Piagete. Résumé sur la conservation 1. Les épreuves de conservation

♦ Excellent critère de l’apparition des opérations logiques concrètes ♦ Capacité à comprendre qu’une quantité se conserve même si elle

change d’aspect, c’est-à-dire quelles que soient les transformations effectuées

♦ Dégager la propriété qui reste invariante.

♦ 7/8 ans les quantités discontinues (longueur, aire) ♦ 8/9 ans : masses ♦ 10/11 ans : volumes

Quatre niveauxAbsence de correspondance terme à termeCorrespondance terme à terme mais pas de conservationConservation non durable (conflit entre ce que « je vois » et « ce que je sais »)Conservation nécessaire et justifiée (réversibilité par inversion, compensation des relations, identité qualitative)

2. Les épreuves d’inclusionI. La théorie de Jean Piaget

La situation des marguerites et des fleurs

On présente à l’enfanthuit marguerites et deux roses.

« Qu’est-ce qu’il y a le plus : des fleurs ou des marguerites ? »« Comment faire pour qu’il y ait plus de marguerites que de fleurs ? »

Pour qu’il y ait plus de marguerites que de fleurs, il suffirait ... de rajouter des marguerites !

h t t p : / / deve loppemen t . ccdmd .qc . ca (rubrique : vidéo, thème : cognitif, sous-thème : classification. Camille 5 ans)

5 ans 6 ans 7 ans 8 ans 9 ans7% 13% 40% 60% 70%

Camille 5 ans

3. Les épreuves de sériation


L’enfant dispose de réglettes de longueurs différentes à « ranger » de manière à obtenir un « escalier ».

5 ans 6 ans 7 ans 8 ans9% 34% 63% 95%

Construction de la série :

http://www2.uqtr.ca/hee/site_1/index.php?no_fiche=324 Matthieu 6;10

Jean Piaget

3. Les épreuves de sériation


♦ Jusqu’à 4 ans : L’enfant rapproche les éléments 2 à 2 ♦Vers 5 ans : Il fait des trios. ♦Vers 6 ans : sériation par tâtonnement ♦Vers 7 ans : sériation réalisée avec méthode.

4. La théorie de Piaget


Le concept de nombre se construirait à partir de trois notions (« prises de conscience »)

• celle de la conservation numérique (le nombre comme invariant)

• celle d’inclusion de classes : 1 ⊂ 2 ⊂ 3... (aspect cardinal du nombre)

• celle de sériation (relations asymétriques entre quantités) : 1 < 2 < 3 ... (aspect ordinal du nombre)

4. La théorie de Piaget


La théorie est généralement définie comme structuraliste et constructiviste.• On n’apprend que par rapport à ce que l’on sait déjà

• La « source » des connaissances est de nature opératoire

• Toute connaissance nouvelle résulte d’un processus complexe d’adaptation

Structures cognitivesce que l’on sait

Élément nouveauce qu’il faut apprendre

ACTIONSsur le réel

OPÉRATIONSMENTALES

CONCEPTS

ASSIMILATIONles structures « déforment »

ACCOMMODATIONles structures se transforment

4. La théorie de PiagetI. La théorie de Jean Piaget

Assimilation : Accommodation

Parent Enfant

Chien : Deux oreillesQuatre jambes

Une queue

À partir d’un livre, l’enfant a construit le concept de chien.



Parent Enfant

Chien ?

Chien

Processus d’assimilation.

L’enfant observe un chien dans un parc.

Le chien aboie

Oui



Parent Enfant

Chien : Deux oreilles

Quatre jambesUne queue

Aboie

Le concept de chien a évolué : il y a assimilation et nouvel état d’équilibre.



Parent Enfant



Aboie

ChatLe chat miaule

Nouveau déséquilibre

??



Parent Enfant



Aboie Processus d’accommodation

Chat : Deux oreillesQuatre jambes

Une queueMiaule

1. Fiabilité des épreuves de conservation ?

II. Les premières interrogations (année 60)

a. Le rôle d’un cache

Dans un premier temps, l’expérimentateur demande à l’enfant de construire une rangée de jetons noirs où il y a « pareil de jetons noirs » que de jetons blancs.Dans un deuxième temps, l’expérimentateur écarte les jetons noirs (un jeton noir dépasse à droite) et masque en partie la rangée des jetons noirs avec la main.

Il demande d’abord à l’enfant « combien y a -t-il de jetons blancs ? », et quand l’enfant a fini de les compter, l’expérimentateur l’interroge sur les noirs sans lever la main : « Et des noirs, combien il y en a ?»

L’expérience de transvasement fait avec un cache devant le vase où l’on transfère le liquide donne des résultats similaires.

% d’enfants ayant atteint la conservation

0

20

40

60

80

100

4 5 6 7

sans cacheavec cache


II. Les premières interrogations (année 60)b. Le rôle de la densité des rangées

Configurations RèglesÂges

3 4 5 6

1 Règle 1 - Longueurs et densités égales ; donc nombres égaux 42 100 100 100

2 Règle 2 - Longueurs et densités en relation directe ; donc rangées numériquement inégales 90 85 95 95

3Règle 3 - Longueurs égales et densité inégales ; donc rangées numériquement inégales

58 17 29 63

4 84 40 63 92

5Règle 4 - Longueurs et densités en relations inverses ; donc la relation numérique peut être égale ou inégale

11 4 2 10

6 53 19 46 88

7 89 90 98 100

En première analyse, il semble qu’à un certain moment du développement, les enfants répondent aux questions relatives à la quantité en des termes tels qu’ils utilisent la longueur apparente des collections comme critère de décision.



b. Le rôle de la densité des rangées

Les auteurs interprètent ces faits en considérant que le développement s’effectuerait en trois phases.

1. le sujet s’attacherait aux différences et négligerait les similitudes. Cela l’amènerait, selon les cas, à privilégier tantôt la longueur, tantôt la densité.

2. recours systématique au critère longueur. Les enfants répondraient toujours en la traitant comme caractérisant la quantité.

3. coordination des relations entre longueur et quantité. Alors, et seulement alors, les sujets comprendraient l’invariance de la quantité en ce sens qu’ils ne se laisseraient plus leurrer par les apparences.

2. Rôle du langage ?


a. Avec des smarties

Figure 1 Figure 2 Figure 3

Figure 1 : correspondance terme à terme

Deux smarties sont ensuite ajoutés à l’une des deux rangées qui est aussitôt déplacée pour former une rangée de longueur inférieure (figure 2) ou supérieure (figure 3) à la rangée témoin inchangée.L’évaluation des réponses est non verbale ; l’examinateur invite l’enfant « à prendre la rangée qu’il souhaite » et « à manger tous les smarties de cette rangée ». Les performances observées sont remarquables puisque 85 % des enfants choisissent toujours la rangée contenant le plus de smarties.

2. Rôle du langage ?

II. Les premières interrogations (année 60)b. Avec des gestes

De tels gestes montrent que l'enfant constate l'équivalence de nombre de jetons même si ses mots ne le formulent pas encore clairement. L'enfant exprime par conséquent deux messages discordants, l'un incorrect verbalement, l'autre correct par le geste. Il est à une étape de son développement cognitif où il est potentiellement capable de franchir une nouvelle étape : il est prêt à recevoir des explications d'un adulte pour progresser.C'est pourquoi l'analyse des gestes d'un enfant peut permettre à un adulte de prévoir des progrès avant leur confirmation verbale et de savoir quand un enfant est prêt à apprendre. Encourager l'enfant à produire des gestes représenterait un atout non négligeable dans le développement cognitif.

3. Rôle du comptage


La principale critique qui a été adressée à Piaget est de ne pas avoir considéré l'activité de comptage chez l'enfant. Pour Piaget, le comptage ne relevait pas de la logique, mais reflétait des séquences « apprises par cœur » ne nécessitant aucun raisonnement particulier. Or la pratique du dénombrement précède l'accès à la conservation. Les enfants entraînés à compter et dénombrer des petites collections ont de meilleures performances à des tâches numériques, alors que leurs scores sont comparables aux autres élèves pour les tâches logiques (sériation, classification, conservation). Apprendre à dénombrer peut donc aider l'enfant à développer les capacités opératoires qui sous tendent le concept de nombre.construction du nombre = notions logiques (sériation, classification et conservation) + procédures de dénombrement et de comptage qui seraient des pré-requis à la conservation.

1. Les bébés et le calcul

III. La perception numérique

Est-ce un savoir-faire de base ? À partir de la quantification des collections d'objets du monde réel, comment passe-t-on au dénombrement, c'est-à-dire à la capacité d'exprimer la quantité par un nombre ?

Avant un an, les bébés• différencient une collection de 2 éléments d'une collection de 3 éléments

(sans doute même 3 de 4)• reconnaissent comme « étonnants » les événements numériques 1+1=1

ou 2-1=2.



La méthode de l’habituation

Méthodologie des études sur les bébés

Indicateur utilisé : le temps de fixation oculaire

Élément « nouveau » ou événement « étonnant » perçu par le bébé

Augmentation du temps de fixation


III. La perception numériqueOn présente aux bébés les deux panneaux suivants jusqu’à habituation

Puis un panneau avec trois points.

L'attention du bébé est plus longue (même chez un bébé de quelques jours).Panneau à quatre points : aucune différence.

Cependant, on peut aussi supposer que le bébé n'effectue pas une distinction basée sur les quantités, mais simplement sur une discrimination perceptive entre deux objets qui ne se ressemblent pas.



On présente aux bébés deux stimulations sensorielles :

• une stimulation visuelle (on présente aux bébés deux diapositives, l'une représentant deux objets, et l'autre, trois objets. La couleur, la densité et la configuration des diapositives sont contrôlées et identiques pour toutes les diapositives) ;

• une stimulation auditive (en même temps que la présentation des diapositives, les bébés entendent une série de deux ou trois sons de tambour).

Expérience de Gelman (1983)


III. La perception numériqueExpérience des Mickey (Wynn - 1992)

Séquence initiale : 1+1


III. La perception numériqueExpérience des Mickey (Wynn - 1992)Résultat possible : 1 + 1 = 2


III. La perception numériqueExpérience des Mickey (Wynn - 1992)

On pourrait imaginer que le bébé ne fait pas l'addition mais regarde plus longtemps un objet que deux objets.Pourtant si l'on effectue l'opération 2-1 au lieu de 1+1, l'enfant est surpris de découvrir deux objets derrière l'écran.On pourrait aussi imaginer que l'enfant ne fait pas un calcul exact, mais qu'il sait simplement que si on ajoute ou retranche un objet le nombre d'objets doit changer.Or si l'on fait l'addition 1 + 1 = 2 ou 1 + 1 = 3, l'enfant regarde plus longtemps le cas impossible.

2. Les études chez les animaux non humainsIII. La perception numérique

On montre les mêmes compétences de « perception numérique » pour des petites collections chez plusieurs espèces.

Alex (perroquet gris) : 80 % de réponses correctes à la question « combien de ... ? » pour des collections de 2 à 9 éléments.

Le cerveau, sans s'aider de symboles numériques, ne peut compter que jusqu'à 5.Nieder a examiné les facultés de dénombrement des singes macaques.Il leur a montré des collections d'objets différant par un ou plusieurs éléments, et les a entraînés à signaler des différences de nombres de ces éléments. En même temps, il a mesuré l'activité électrique des neurones situés dans la partie frontale du cerveau. Il a constaté que chaque neurone est spécialisé dans l'identification d'un nombre unique d'objets. Certains neurones s'activent lorsque le singe voit un groupe de trois objets, d'autres quand il en voit un seul. Au total, il y a cinq classes de neurones. C'est pourquoi le singe « ne sait compter que jusqu'à cinq ».

3. Les études chez l’être humain III. La perception numérique

Le subitizing Combien de rond ?Processus qui permet la quantification « automatique » de petites collections d’éléments (3 - 4 éléments) • Pas d’erreurs • Temps de réponse très court (pas plus de 50 msec par items)

Processus complexe qui implique le langage et la mise en correspondance terme à terme de chaque item présenté avec un nom de nombre de la chaîne numérique verbale • Erreurs • Temps de réponse plus long et qui augmente de 200 msec par item

Le dénombrement

3. Les études chez l’être humain


Cas 1 Cas 2



L’estimation

Le plus grand nombre ?

Capacité de quantifier un ensemble d’éléments (supérieur 4-5) sans avoir recours à la mise en correspondance terme à terme des items avec la séquence verbale du nom des nombres.

4. Les questions en cours d’étude


• Quelle est la réalité neuro-psychologique de ce « compteur arithmétique rudimentaire » ?

• Quel est son rôle dans la dyscalculie ?

• Est-ce les mêmes compétences qui sont en jeu dans la perception des différences entre grandes collections ?

• Quel est le rôle de cette compétence pré-verbale dans les apprentissages numériques ?



a. La dyscalculie et l’acalculie

La dyscalculie développementalecas JS (18 ans, parcours scolaire brillant)

• trouble sévère du calcul dès le primaire• plus : difficulté pour nommer les doigts

La dyscalculie est une faiblesse dans l’apprentissage des opérations de calcul, une difficulté d’orientation dans le domaine des chiffres et/ou de la compréhension mathématique. On parle aussi de troubles de l’apprentissage en mathématiques. Elle est bien moins connue et étudiée que la dyslexie.



a. La dyscalculie et l’acalculieL'acalculie acquisecas MM (accident vasculaire cérébral)

• ne sait plus répondre à « 3 - 1 »• mais récite correctement les tables de multiplication

La localisation des lésions cérébrales entraînant l'acalculie a permis de mieux comprendre les régions cérébrales impliquées dans le calcul.La similitude des symptômes entre la dyscalculie développementale et l'acalculie acquise suggère que le développement anormal du lobe pariétal pourrait être aussi à l'origine de la dyscalculie développementale.


La discrimination des grandes collections




b. Rôle de cette compétence pré-verbale dans les apprentissages numériques

Les compétences neuropsychologiques d'un enfant de maternelle en GS sont un bon prédicteur des performances aux épreuves numériques en CP et restent encore appréciables au niveau CE2 : les habilités numériques des enfants se construiraient socialement à partir d'habilités protonumériques innées. Ce système préverbal guiderait les acquisitions numériques verbales ultérieures.Par ailleurs, le lobe pariétal est aussi dévolu à la représentation des doigts.

Rappel des épisodes précédents…

Le concept de nombre se construirait à partir de trois notions :• celle de la conservation numérique (le nombre comme invariant)• celle d’inclusion de classes : 1 ⊂ 2 ⊂ 3... (aspect cardinal du nombre)• celle de sériation (relations asymétriques entre quantités) : 1 < 2 < 3...

(aspect ordinal du nombre)

Piaget

Des capacités innées (subitizing, estimation)

Le bébé a des compétences numériques

Mais Piaget sous-estimait l’existence de connaissances précoces

Intéressons-nous maintenant au dénombrement et au comptage

Des connaissances « codées « dans le cerveau (lobe pariétal)

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