L. Menguy, PSI*, Lyc´ee Montesquieu, Le Mans … · Il faut bien distinguer les phénomènes de...

Les phenomenes de diffusionBilans de particules et loi de Fick

Les equations de la diffusionQuelques pistes de resolution...

Diffusion de particules

L. Menguy, PSI*, Lycee Montesquieu, Le Mans

Octobre 2017

L. Menguy, PSI*, Lycee Montesquieu, Le Mans Diffusion de particules

Les phénomènes de diffusionBilans de particules et loi de Fick

Les équations de la diffusionQuelques pistes de résolution...

Plan du cours

I. Les phénomènes de diffusion

II. Bilans de particules et loi de Fick1. Définitions2. Le bilan de particules3. Loi de Fick4. Coefficient de diffusion

III. Les équations de la diffusion1. Equation de diffusion unidimensionnelle (1D)2. Equation de diffusion tridimensionnelle (3D)

IV. Quelques pistes de résolution...1. Etude d’ordres de grandeur2. Cas du régime stationnaire3. Exemple d’un régime non stationnaire

L. Menguy, PSI*, Lycée Montesquieu, Le Mans Diffusion de particules

Les phénomènes de diffusion

Définition

Le phénomène de diffusion est un transport de matière (donc departicules) qui tend à uniformiser la distribution, donc s’effectuantdans le sens des concentrations décroissantes.

Conséquences

La diffusion est un phénomène irréversible

! Les phénomènes de transport sont multiples !

Il faut bien distinguer les phénomènes de diffusion des phénomènesde convection et de micro-convection !

Définition

Conséquences

Définition

Conséquences

Définition

Conséquences

DéfinitionsLe bilan de particulesLoi de FickCoefficient de diffusion

Plan du cours

Quelques définitions

Définitions

La concentration particulaire n(x , y , z , t)

La densité de courant de particules−→j (x , y , z , t)

Le flux de particules Φ à travers S

Définitions

Plan du cours

Bilan de particules unidimensionnel

Variation du nombrede particules dans dV

= Nb de parti-cules entrantes

− Nb de parti-cules sortantes

∂n(x , t)

∂tdV = j(x , t) S − j(x + dx , t) S

Equation de conservation locale de particules (1D)

∂t= −

∂n(x , t)

∂tdV = j(x , t) S − j(x + dx , t) S

∂t= −

∂n(x , t)

∂tdV = j(x , t) S − j(x + dx , t) S

∂t= −

Bilan de particules tridimensionnel

On applique le principe de conservation du nombre departicules sur un volume V entouré d’une surface fermée S

On applique le théorème de Green-Ostrogradski

div−→j +

∂t= 0

Sans perte ni création de matière

div−→j +

∂t= 0

div−→j +

∂t= 0

Plan du cours

Loi de Fick

A une dimension : j = −D∂n

A trois dimensions :−→j = −D

−−→grad(n)

D est le coefficient de diffusion (en m2.s−1)

Loi de Fick

−−→grad(n)

Loi de Fick

−−→grad(n)

Plan du cours

Exemples de coefficients de diffusion

Coefficients de diffusion (ou autodiffusion) de gaz sous uneatmosphère :

T (K) D (m2.s−1)

dans H2

273 12, 85.10−5

dans l’air 273 6, 11.10−5

H2O dans l’air 273 2, 19.10−5

dans l’air 273 1, 78.10−5

Coefficients de diffusion dans les liquides :

T (K) D (m2.s−1)

NaCl dans l’eau 298 1, 9.10−9

le sucre dans l’eau 298 0, 52.10−9

Coefficients de diffusion solide-solide :Al dans Cu (à 298K) : 1, 30.10−30 m2.s−1

Coefficients de diffusion dans les liquides :

T (K) D (m2.s−1)

NaCl dans l’eau 298 1, 9.10−9

le sucre dans l’eau 298 0, 52.10−9

Coefficients de diffusion solide-solide :Al dans Cu (à 298K) : 1, 30.10−30 m2.s−1

Equation de diffusion unidimensionnelle (1D)Equation de diffusion tridimensionnelle (3D)

Plan du cours

L’équation de diffusion unidimensionnelle

En combinant :

La conservation de particules :∂n

∂t= −

La loi de Fick : j = −D∂n

On aboutit à :

Equation de diffusion 1D

∂t= D

Commentaires

En combinant :

∂t= −

On aboutit à :

∂t= D

Commentaires

En combinant :

∂t= −

On aboutit à :

∂t= D

Commentaires

Plan du cours

L’équation de diffusion tridimensionnelle

En combinant :

La conservation de particules : div−→j +

∂t= 0

La loi de Fick :−→j = −D

−−→grad(n)

On aboutit à :

∂t= D∆n

Commentaires

En combinant :

∂t= 0

−−→grad(n)

On aboutit à :

∂t= D∆n

Commentaires

En combinant :

∂t= 0

−−→grad(n)

On aboutit à :

∂t= D∆n

Commentaires

Etude d’ordres de grandeurCas du régime stationnaireExemple d’un régime non stationnaire

Plan du cours

Ordres de grandeurs

Basé sur une analyse dimensionnelle

Aboutit à :

τ ≈l2

Exemple : grenadine dans l’eau sur l ≈ 10 cm

τ ≈0, 12

10−9≈ 107 s ≈ 100 jours !

Ordres de grandeurs

Aboutit à :

τ ≈l2

τ ≈0, 12

10−9≈ 107 s ≈ 100 jours !

Ordres de grandeurs

Aboutit à :

τ ≈l2

τ ≈0, 12

10−9≈ 107 s ≈ 100 jours !

Plan du cours

Le régime stationnaire

Régime stationnaire = pas d’évolution temporelle :∂n

∂t= 0

A une dimension, la concentration varie linéairement

Exemples

∂t= 0

Exemples

∂t= 0

Exemples

Plan du cours

Exemple : le tube de section S (unidimensionnel)

A t = 0, on place N0 particules en x = 0 (problème 1D)

Solution : n(x , t) =N0

S(4πDt)1/2exp

(−x2

La solution doit vérifier :

L’équation de diffusionLes conditions aux limitesLes conditions initialesLa conservation totale des particules (condition redondante) :

N0 = Ntotale =∫ +∞

−∞n(x , t) S dx

S(4πDt)1/2exp

(−x2

−∞n(x , t) S dx

S(4πDt)1/2exp

(−x2

−∞n(x , t) S dx

Tracé de la solution

0 1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

Y (X , τ) =1√

−X 2

τ = 0, 5

0 1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

Y (X , τ) =1√

−X 2

τ = 0, 5

τ = 1

0 1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

Y (X , τ) =1√

−X 2

τ = 0, 5

τ = 1

τ = 2

0 1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

Y (X , τ) =1√

−X 2

τ = 0, 5

τ = 1

τ = 2

τ = 4

0 1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

Y (X , τ) =1√

−X 2

τ = 0, 5

τ = 1

τ = 2

τ = 4

τ = 8

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