L. Marleau - Faculty of Sciences - Fanar...

Introduction à laphysique des particules

L. Marleau

Introduction à laphysique des particules

L. Marleau

Département de physique, de génie physique et d’optique F Université Laval F Québec F Canada

Cet ouvrage a été rédigé avec Scientific WorkPlace (SWP) et composé avec TrueTeX de SWP°c 1998-2012 L. MarleauDépartement de physique, de génie physique et d’optiqueUniversité Laval, Québec, CanadaTous droits réservés. Aucun extrait de cet ouvrage ne peut être reproduit, sous quelque formeou par quelque procédé que ce soit (machine électronique, mécanique, à photocopier, à enregistrerou tout autre) sans l’autorisation écrite préalable de l’auteur.

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Tab l e des ma t i è r e s

Table des matières

Table des matières v

Avant-propos xi

1 NOTIONS DE BASE 1

1.1 Un bref historique 1

1.2 Survol rapide 3Matière 3Les types d’interaction 5

1.3 Système d’unités naturelles 6

1.4 Relativité et formalisme quadridimensionnel 8

1.5 Notions de physique quantique 11Mécanique quantique relativiste 11Bosons et fermions 13Particule-antiparticule 14Chiralité et hélicité 15Interactions versus champs 16

1.6 Forces et interactions 19Interactions électromagnétiques 19Interactions faibles 21Interactions fortes 22Interactions gravitationnelles 23Tableau récapitulatif 24

1.7 Le Modèle Standard 24Sommaire 25

1.8 Exercices 27

2 SOURCES ET DÉTECTEURS 31

2.1 Sources 31Radioactivité 31Rayons cosmiques 31Accélérateurs 32

2.2 Détecteurs 38La physique du détecteur 38Instruments de détection 40

2.3 Les principales expériences en cours 51

2.4 Exercices 52

3 DIFFUSION ET INTERACTION ENTRE PARTICULES 55

v


3.1 Cinématique d’une réaction – Variables de Mandelstam 55Repère du centre de masse (4 corps) 57

Repère de la cible fixe (4 corps) 58

Énergie de seuil 59

La rapidité 60

3.2 Les interactions en mécanique quantique 61

3.3 La matrice de diffusion, 63

3.4 Espace de phase 65

3.5 Section efficace 66Diffusion (4 corps) 67

3.6 Largeur de désintégration et vie moyenne 69Désintégration en 2 corps 70

Désintégration en 3 corps 70

3.7 Calcul des éléments de matrice 72Modèle théorique (prototype QED) 72

Règles et diagrammes de Feynman 73

Calcul des éléments de matrice 76

3.8 Exercices 77

4 SYMÉTRIES DE L’ESPACE-TEMPS 79

4.1 Symétries en mécanique quantique 79

4.2 Invariance par translation 81

4.3 Rotation en trois dimensions 82

4.4 Parité 84Parité orbitale 85

Parité intrinsèque 86

Conservation de la parité totale 86

Parité des antiparticules 87

Exemples 87

4.5 Renversement du temps 88L’opérateur de renversement du temps, T 88

Application : le bilan détaillé 90

4.6 Invariance de jauge 91Transformation de jauge 92

Les photons 93

4.7 Exercices 97

5 SYMÉTRIES INTERNES ET HADRONS 99

5.1 Symétries globales et règles de sélection 99Charge électrique, 99

Nombre leptonique total, 100

Nombre électronique, muonique, tauique... 100

Nombre baryonique, 101

5.2 Isospin et hypercharge 101Symétrie SU(2) 103

Générateurs de SU(2) 104

Relation de Gell-Mann-Nishijima 104

Conservation d’isospin 105

vi


5.3 Étrangeté 106

5.4 Autres saveurs 107Charme 107

Bottom 108

Top 108

La relation de Gell-Mann-Nishijima généralisée 109

5.5 Conjugaison de la charge 109Parité de charge totale 110

Invariance par C 111

Les pions et les photons 111

Systèmes particule-antiparticule 112

Violation de CP ou T et Théorème CPT 113

5.6 Parité 114

5.7 Tableau récapitulatif 115

5.8 Résonances 118

5.9 Exercices 121

6 LE MODÈLE DES QUARKS 123

6.1 Introduction 123Historique 123

6.2 Théorie des groupes 124Propriétés générales d’un groupe 125

Représentations 126

Groupes de Lie 126

Racine, rang et poids 128

Rotation en 2D — groupe (2) 130

Rotation en 3D — groupe (3) 132

Groupe (1) 132

Groupes () 133

6.3 Quarks et représentations () 138Lien entre représentation () et modèle des quarks 138

Représentations irréductibles et tableaux de Young 140

Construction des fonctions d’onde 144

6.4 Couleur 150Groupe (3) de couleur 150

Fonctions d’onde de couleur 151

Évidence expérimentale de la couleur 151

6.5 Masses et moments magnétiques 153Masses 153

Moments magnétiques 155

6.6 Diagrammes de ot de quarks 158

6.7 Charme et (4) 159Mésons 159

Baryons 162

6.8 Exercices 166

7 INTERACTIONS ÉLECTROMAGNÉTIQUES 171

vii


7.1 Diffusion (non-polarisée) −Noyau 171

7.2 Processus avec spin 175Notions de spin 175

Diffusion polarisée −Noyau 176

7.3 Diffusion − 177

7.4 Processus purement leptoniques en QED 177Processus +− → +− 178

Diffusion de Bhabha : +− → +− 179

7.5 Corrections radiatives 179Moments magnétiques leptoniques 179

Structure hyperfine 180

7.6 Symétries de jauge : Une approche plus formelle 181Formalisme lagrangien 181

Théorème de Noether et invariance de jauge globale 182

L’invariance de jauge locale en QED 182

7.7 Exercices 184

8 INTERACTIONS FAIBLES 185

8.1 Classification des interactions faibles 186

8.2 Théorie de Fermi et interaction − 187

8.3 Courants neutres 188

8.4 Non conservation de la parité 189

8.5 Théorie électrofaible 191Charge faible 191

Modèle de Weinberg-Salam (survol) 192

Mécanisme et particule de Higgs 193

8.6 Angle de Cabbibo et matrice de Kobayashi-Maskawa 196

8.7 Mécanismes de GIM (Glashow-Illiopoulos-Maiani) et le charme 197

8.8 Physique du 0 et 0 198Modes de désintégration 199

8.9 Violation 200Implications cosmologiques 201

8.10 Exercices 203

9 INTERACTIONS FORTES (QCD) 205

9.1 Chromodynamique quantique 205

9.2 Liberté asymptotique et confinement 207

9.3 Diffusion − 209

9.4 Invariance d’échelle 210

9.5 Modèle des partons 211Le modèle 211

Nature ponctuelle des partons 212

Spin des partons 212

9.6 Annihilation +− 213Événement à deux jets 213

Événement à trois jets 214

viii


9.7 Diffusion − 214Section efficace 214Invariance d’échelle 215

9.8 Modèle des quarks-partons et fonctions de structure 215

9.9 Collisions hadron-hadron 217

9.10 Violation d’échelle 218

9.11 Existence des quarks 218

9.12 Exercices 220

10 UNIFICATION DES FORCES 221

10.1 Divergences et renormalisabilité 221

10.2 Au-delà du modèle standard 222Le modèle standard en bref 222Lacunes du modèle standard 223Vers une théorie au-delà du modèle standard 224

10.3 Grande unification 225Modèle (5) 227Modèle (10) 230Autres modèles d’unification 231

10.4 Technicouleur 232

10.5 Modèles composites 233Modèle d’Abbott et Farhi 233

10.6 Supersymétrie (SUSY) 234Modèles supersymétriques 236

10.7 Gravité quantique 236La supergravité 238

10.8 Supercordes 238Modèle 6 241Modèle (5)⊗ (1) 241

A Références 243

B Prix Nobel de physique 247

C Notation 253

D Unités SI 255Facteurs de conversion 257

E Unités naturelles 259

F Constantes fondamentales en physique 261Constantes universelles 261Constantes électromagnétiques 261Constantes astronomiques 262Constantes atomiques 262Constantes physico-chimiques 263

G Coefficients de Clebsh-Gordan 265

H Rappel de relativité restreinte et cinématiquerelativiste 267

ix


H.1 La relativité restreinte 267

H.2 Cinématique relativiste 268

I Équation de Dirac 271

J Particules, collisionneurs,... 273

J.1 Propriétés des particules 273

J.2 Collisionneurs 297

J.3 Glossaire 298

Index 303

x

A v a n t - p r o p o s

Avant-propos

Version du 2012.1.6

Il n’existe présentement que très peu de livres — à peine cinq ou six — qui introduisentles fondements de la physique des particules dans un langage qui reste au niveau du 1 cycleuniversitaire (B.Sc.) et malheureusement, ceux-ci sont tous en anglais. Cet ouvrage réponddonc à un besoin réel, c’est-à-dire une référence, en français, de niveau du 1 cycle quiintroduit toutes les facettes de la physique des particules. Il se veut aussi un bon point dedépart pour les étudiants des 2 et 3 cycles (M.Sc. et Ph.D. respectivement) qui poursuiventles études et recherches dans le domaine.

Cet ouvrage contient l’essentiel du matériel couvert dans le cadre du cours de Physiquedes particules (PHY-3501) offert aux étudiants de dernière année du B.Sc. au Départementde physique, de génie physique et d’optique de l’Université Laval. Il requiert des notionsélémentaires de relativité restreinte et de mécanique quantique.

Les chapitres 1, 2 et 3 portent respectivement sur les notions de base, les techniquesexpérimentales et la dynamique des collisions. Les chapitres 4 et 5 couvrent les symétrieset lois de conservation observées alors que dans le chapitre 6 on introduit le modèle desquarks. Les interactions électromagnétiques, faibles et fortes sont traitées aux chapitres 7,8 et 9. On termine par un survol des différentes tentatives d’unification ou d’extension duModèle Standard. Les annexes contiennent un résumé des notations, des tables de propriétés,un aide-mémoire et une liste assez complète de références complémentaires.

De plus, dans un but essentiellement pédagogique, cet ouvrage contient :– un bref historique,– au-delà de 163 graphiques et illustrations,– plus de 85 tableaux,– 19 exemples ou exercices avec solutions,– 49 problèmes,– 37 références complémentaires sur support papier ou sur Internet (annexe A),– une liste des prix Nobel de physique (annexe B),– un résumé des notations (annexe C),– une description des système d’unités SI et naturelles (SUN) (annexes D et E),– un tableau des constantes de physique (annexe F)– un tableau des coefficients de Clebsh-Gordan (annexe G),– un rappel de la relativité restreinte (annexe H),– un survol de l’équation de Dirac (annexe I),– des tables de propriétés des particules et une liste des principaux accélérateurs (annexe

J),– et finalement, un index complet et la table des matières..

Bonne lecture !

L. Marleau.Département de physique, de génie physique et d’optiqueUniversité Laval, Québec, Canada

xi

A v a n t - p r o p o s

Mises à jour

Version 2011.11.02 :- Mise à jour des tableaux de particules en accord avec les données de PDG 2009.- Corrections mineures.- Présentation : Rajout d’encadrés pour les exemples, exercices et remarques.

Version 2011.08.30 :- Corrections mineures.- Présentation : Certains figures ont été refaites pour donner un effet 3D.

xii

NOTIONS DE BASEChapitre 1

1.1 Un bref historique . . . . . . . . . . . . . .11.2 Survol rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Système d’unités naturelles . . . . 61.4 Relativité et formalisme

quadridimensionnel . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Notions de physique quantique

111.6 Forces et interactions . . . . . . . . .191.7 Le Modèle Standard . . . . . . . . . . 241.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

1.1 Un bref historique

Voici la liste des principales découvertes en physique des particules.

Année Événement

1927 Découverte de la désintégration

1928P.A. Dirac propose son équation d’onderelativiste pour l’électron.

1930 W. Pauli suggère l’existence du neutrino.

1930Particules élémentaires incluent : - électron, proton, neutron(dans le noyau), neutrino dans la désintégration , photon,le quantum de champ électromagnétique.

1931Découverte du positron + (Anderson). Dirac réaliseque le positron est aussi décrit par son équation.

1932 Découverte du neutron (Chadwick).

1933/4Théorie de Fermi de la désintégration (interaction faible) :ex. → + − +

1935Hypothèse de Yukawa sur les mésons : La force nucléaireest due à l’échange de particules massives, les mésons.

1937Découverte du lepton (muon). Interprété initialement,à tort,comme le méson de Yukawa, le muon s’avèretrop “pénétrant”.

1938 Énoncé de la loi de conservation du nombre baryonique.

1946/47Découverte du méson chargé ±, le pion (Powell). Le est produit par le processus + → + + .

1946/50Théorie quantique de l’électrodynamique (QED)(Feynman, Schwinger and Tomonaga).

1948 Production artificielle du +

1949 Découverte du +.1950 Découverte du pion neutre, 0 → + .

1951Découverte d’événements en ‘V’ à Brookhaven, New York.Particules 0 et Λ ayant une vie moyenne “étrangement”longue et nouveau nombre quantique “l’étrangeté”.

1952 Découverte du∆ (état excité du nucléon).

1954Yang et Mills proposent les théories de jaugenon-abéliennes.

1

NOTIONS DE BASEC h a p i t r e 1

Année Événement

1955 Découverte de l’antiproton (Chamberlain et Segre).

1956Lee et Yang suggèrent que la force faible peut générer uneviolation P (parité).

1956Découverte de la violation de P dans les atomes de 60Co.par Wu et Amber.

1960/70Découverte de centaines de particules “élémentaires”( , ∗,∆ Ξ ....) — une vraie jungle !

1961 Gell-Mann propose la voie octuple (3)1962 Découverte de et 1964 Existence des quarks proposée (Gell-mann and Zweig).1964 Le quark est suggéré.

1964Découverte de la violation de CP dans les systèmes 0 − 0

par Cronin, Fitch, Christianson et Turlay.

1965Le nombre quantique de la couleur est proposée :toutes les particules observées sont de couleur neutre.

1967Glashow-Salam-Weinberg proposent l’unification des forcesélectromagnétique et faible. Prédiction de l’existence du Higgs.

1968-69 SLAC détecte une structure ponctuelle du nucléon.

1973QCD : la théorie des interactions fortes entre particulescolorées. Prédiction de l’existence des gluons.

1973 Liberté asymptotique postulée.

1974Découverte du et du quark charmé ,à Stanford et Brookhaven, USA.

1976 Découverte d’un troisième lepton chargé, le −.1976 Découverte du 0 et confirmation de l’existence du quark .

1978Découverte d’un cinquième quark, le bottom , àFermilab, USA.

1979 Découverte d’un gluon à DESY, Hambourg.1983 Découverte du 0 et du ± au CERN.

1990Mesure au LEP (CERN) impliquant que le nombre deneutrinos “légers” ( 45GeV) est limité à 3.

1995 Découverte d’un sixième quark, le top , à Fermilab, USA.1998 Évidence de neutrinos massifs à Super-Kamiokande, Japon.

2

C h a p i t r e 1Survol rapide

1.2 Survol rapide

Matière

Feu

Air

Eau

Terre

Figure 1.1 NLes quatre éléments fondamentaux de la Nature(selon les Grecs).

La description de la matière a depuis toujours intrigué l’humanité. Vu l’immense diversitédes formes que prend celle-ci à l’échelle humaine, il est tentant de penser qu’à une échelleplus petite, elle existe sous une forme plus fondamentale voire plus simple. À tort ou à raison,l’approche scientifique s’est laissée guider par ce concept en espérant qu’une fois les briquesfondamentales obtenues, il serait possible de reconstruire l’édifice jusqu’à notre échelle etmême au-delà. Dans les faits, une telle reconstruction nous échappe encore...

La première notion d’éléments fondamentaux nous vient des Grecs. On pensait que laNature était composée de quatre éléments : l’air, le feu, l’eau et la terre (voir figure 1.1).Ceséléments furent ultérieurement remplacés par une notion simplificatrice, celle d’une partic-ule indivisible de matière, l’atome. On attribue souvent l’énoncé de cette idée à Démocrite(460 avant. J.-C à Abdera, Thrace en Grèce). Il faut toutefois mentionner que cette approchen’a pas toujours fait l’unanimité. En effet, un autre point de vue suggérait plutôt que les pro-priétés d’un objet devaient être décrites globalement et non à partir de ses constituants. Toute-fois, dans la recherche d’une structure microscopique fondamentale à la matière comme dansd’autres domaines, cette dernière approche se révéla être un très sérieux obstacle au pro-grès scientifique. Nos théories modernes de la matière, quant à elles, font appel au besoinaux deux approches : on décrit les phénomènes physiques à certaines échelles par des de-scriptions empiriques (ex : modèle en couches en physique nucléaire) ou par des théoriesplus fondamentales (ex : modèle standard en physique des particules). Les constructions em-piriques révèlent souvent des symétries du système qui permettent d’accéder à des théoriesplus fondamentales alors qu’il est aussi envisageable que les théories plus fondamentalesd’aujourd’hui seront remplacées par des approches plus fondamentales encore tout en con-tinuant à jouer un rôle de modèle approximatif ou efficace (ex : physique newtonienne versusphysique relativiste).

Échelle en m Échelle en unités d e

atom e

noyau

nucléon

é lectronquark

10-10 m

10 -18 m

100 ,000 ,000

10,000

1,000

< 1

10-14 m

10-15 m

<10-18 m

Figure 1.2 NÉchelles des composantes subatomiques.

Ceci dit, le dernier siècle a vu la physique, et notamment la physique des particules, faireun bond phénoménal. On a vu émerger une version plus moderne de l’atome dans laquellecelui-ci est formé de constituants plus fondamentaux. Ces constituants (électrons, protons,neutrons,...) furent alors nommés particules élémentaires. Mais la nature allait nous jouerun autre tour puisque certaines de ces soi-disant particules élémentaires révélèrent une sous-structure (ex : quarks et gluons). Nous définirons donc une particule fondamentale commeune particule ne possédant aucune sous-structure.

Notre perception de la matière est en constante évolution mais, pour le moment, ellerévèle une structure passablement riche dont voici une description sommaire : Commençonspar illustrer de façon simplifiée la structure interne de l’atome à la figure 1.2. On peut dès lorsidentifier certaines des particules fondamentales comme l’électron et le quark. Mais il existed’autres particules, certaines toutes aussi fondamentales, alors que d’autres sont composites.Pour le moment, notre classification de particules fondamentales se lit comme suit :.(voirfigure 1.3).

Leptons

Les leptons (ainsi nommés parce que leurs masses étaient relativement petites) sont car-actérisés par les propriétés suivantes :

1. Ce sont des particules qui n’interagissent pas fortement (aucune interaction forte1).

1 Les interactions forte, faible, électromagnétique et gravitationnelle sont décrites dans la section suivante.

3


2. Ils portent des charges électriques entières ou nulles (multiples de la charge de l’électron).

3. Ils possèdent une charge “faible” et peuvent être regroupés en paires appelées doubletsd’interaction faible.

4. Ils obéissent à la statistique de Fermi-Dirac i.e. ce sont des fermions.

Figure 1.3 JIClassification des particules fondamentales.

Particu les fondamentales

Fermions

Leptons Quarks

Anti-leptons

Anti-quarks

Particulesd'échange

Bosons

Photons

W± , Z

0

Gluons

Higgs

Les trois familles ou générations de leptons sont formées de trois leptons chargés (électron muon et lepton tau ) et de trois leptons neutres, les neutrinos (neutrinos et ) :

Leptons (spin 12)

= 0

= −1µ

¶ µ

¶ µ

¶

Quarks

Les quarks sont les particules fondamentales qui forment la matière nucléaire.

charme

down

up

étrange

top

bottom

Quarks ! Quarks !

Figure 1.4 NOn compte six types ou saveur de quarks : lequark up, le quark down, le quark étrange, le quarkcharmé, le quark bottom (encore appelé aussi lequark beauté pour des raisons historiques) et lequark top.

1. Ils interagissent fortement (soumis à l’interaction forte).

2. Ils portent des charges électriques fractionnaires.

3. Ils possèdent une charge faible et forment des doublets d’interaction faible.

4. On leur associe aussi une charge colorée (# quantique appelé couleur) et forment destriplets d’interaction forte.

Les quarks apparaissent au moins en six saveurs (l’existence du quark le plus lourd, lequark top, ayant été confirmé en 1995) : les quarks up, down, étrange, charmé, bottom (encoreappelé aussi le quark beauté pour des raisons historiques) et le quark top. Comme les leptons,ils peuvent être regroupés en doublets qui sont des copies conformes sauf pour ce qui est deleurs masses.

Quarks

= 23

= −13

µ(up)

(down)

¶ µ(charme)(étrange)

¶ µ(top)

(bottom)

¶De façon générale, on soupçonne que les familles de quarks et leptons sont reliées ; il en existetrois de chaque. Pour le moment cependant, il semble que seuls des arguments de symétrieviennent appuyer cette assertion.

Hadrons

Les hadrons ne sont pas des particules fondamentales. Ce sont des états liés de quarks etanti-quarks (voir figure 1.5). Ils sont caractérisés par les propriétés suivantes :

4

C h a p i t r e 1Survol rapide

1. Ce sont des particules qui interagissent fortement (soumises à l’interaction forte “résidu-elle” ou nucléaire).

2. Ils portent des charges électriques entières (multiples de la charge de l’électron).

3. Ils ont des interactions faibles.

4. Ils sont formés de quarks.

Dans les faits, on observe plus de deux cent hadrons. Ils peuvent eux-mêmes être classésen deux groupes : les baryons, auxquels on associe un nombre quantique (le nombre bary-onique) et les mésons qui sont responsables des interactions fortes entre hadrons. Voici leshadrons les plus fréquemment observés :

Figure 1.5 JIClassification des hadrons (états liés de quarks etd’antiquarks).Hadrons

Fermions

Baryons Anti-Baryons

Mésons

Bosons

qqq qqq qq

Hadrons

proton neutron

+ 0 − pions+ 0 − mésons Λ lambda

+0 0− mésons

Une liste plus exhaustive se trouve en annexe.

Les autres particules fondamentales connues sont directement liées aux interactions dontvoici une description sommaire.

Les types d’interaction

Toute force est causée par des interactions au niveau des particules fondamentales. Toutedésintégration de particules est aussi causée par des interactions. L’interaction entre particulesde matière se fait via l’échange de particules (ex. bosons de jauge) qui portent les quantad’énergie-impulsion de quatre types d’interaction.

– Interactions faibles, responsables de l’instabilité ou la désintégration de toutes lesparticules sauf les particules fondamentales les moins massives appartenant à la mêmeclasse.

– Interactions électromagnétiques, responsables de forces électriques et magnétiques.– Interactions fortes, responsables des forces entre quarks et gluons et des liaisons nu-

cléaires.– Interactions gravitationnelles, responsables de forces entre n’importe quelle paire d’ob-

5


jets dues à leur énergie (incluant leur masse).

Particules d’échange (interactions)

électromagnétique photon (spin 1)

faible 3 bosons faibles (spin 1) 0±

forte 8 gluons (spin 1)

gravitationnelle graviton (spin 2) boson de Higgs (spin 0)

Ici, nous ajoutons le Higgs aux quanta d’interactions bien qu’il n’en soit pas un àproprement parler. Comme nous le verrons plus loin cependant, celui-ci est lié au mé-canisme qui donne une masse aux bosons d’interaction faible 0±. Le graviton etle Higgs ont pour le moment éludé toute tentative d’observation. Le graviton n’existeque dans le cadre de théories quantiques de la gravitation où il est interprété commeune uctuation quantique du champ gravitationnel classique. Cependant, aucune deces théories n’est entièrement satisfaisante même si certaines sont prometteuses (su-pergravité, cordes, supercordes,...). Par ailleurs, on recherche le boson de Higgs ac-tivement. Dans le passé, on a estimé sa masse par des moyens indirects, mais cesestimations changent fréquemment et la faible inuence du boson de Higgs sur lesphénomènes physiques en fait des prédictions peu fiables pour le moment. De plus, ilexiste plusieurs scénarios qui ne requièrent pas de bosons de Higgs alors que d’autresmodèles proposent plusieurs Higgs ; son existence reste donc pour le moment unequestion ouverte. Ces particules sont toutes de spin 1, sauf le Higgs et le graviton quisont de spin 0 et 2 respectivement. Toutes les interactions sont donc la conséquenced’échange de bosons (particules de spin entier).

1.3 Système d’unités naturelles

Le système d’unités SI (système international) est basé sur trois unités fondamentales etrequiert donc trois étalons de mesure :

[longueur]SI = 1 m.

[temps]SI = 1 s

[masse ou énergie]SI = 1 kg ou 1 Joule

Ces unités sont bien adaptées à la vie de tous les jours mais sont peu pratiques tant auxéchelles microscopiques abordées en physique subatomique qu’à des échelles macroscopiquesrequises en astrophysique. Pour simplifier le langage et malgré un souci d’uniformisation dessystèmes d’unités, les physiciens se sont dotés au besoin de systèmes d’unités plus pratiques.

En physique des particules, les systèmes étudiés mettent en jeu des particules dont lesvitesses sont relativistes et dont les propriétés quantiques ne peuvent être négligées. Parailleurs, la nature nous fournit deux constantes fondamentales qui sont particulièrement per-tinentes pour de tels systèmes : la vitesse de la lumière et le quanta de moment cinétique~. Rappelons que dans le système SI, ces constantes sont numériquement très grande ou trèspetite, ce qui complique le calcul algébrique,

= 3× 108 m · s−1 (1.1)

~ = 1054× 10−34 J · s = 658× 10−22 MeV · s (1.2)où 1 MeV= 106 eV, eV désignant l’électron-Volt. Pour des systèmes quantiques relativistes,il est par contre plus naturel d’exprimer une vitesse comme une fraction de , et un moment

6

C h a p i t r e 1Système d’unités naturelles

cinétique en terme d’unités de ~ :

Vitesse = fraction de Spin = multiple de ~

(1.3)

Le système d’unités naturelles (SUN) propose de suivre cette convention et d’utilisercomme étalon de mesure

[vitesse]SUN = 1 .

[moment cinétique]SUN = 1 ~

[énergie]SUN = 1 eV

où dans le dernier cas, on choisit l’électron-Volt (1 eV = 1602 × 10−19 J.) et ses dérivéstels le MeV = 106 eV et le GeV = 109 eV comme l’étalon de mesure de l’énergie puisqu’ilest beaucoup plus près des échelles d’énergie considérées en physique des particules. Dansle système d’unités naturelles,

~ = = 1 (1.4)et la masse de l’électron est de 0.511 MeV.

H Exemple H

Exemple 1.1À titre d’exemple, exprimons le mètre et la seconde en unités naturelles : par analyse dimension-nelle, il est facile de trouver la combinaison requise de ~ et de qui permette d’éliminer les unitésindésirables.Pour le mètre, il suffit de diviser par ~ (qui s’exprime en unités m·MeV dans le SI) :

1 m~

=1 m

3× 108 m · s−1 · 658× 10−22 MeV · s

= 51× 1012 MeV−1

Pour la seconde, on divise par ~ (qui s’exprime en unités MeV·s dans le SI) :

1 s~

=1 s

658× 10−22 MeV · s

= 152× 1021 MeV−1

On remarque de ces exemples que les unités de longueur et de temps dans ce systèmes’expriment toutes deux en terme de l’inverse des unités d’énergie

[longueur]SUN = [masse ou énergie]−1 (1.5)

[temps]SUN = [masse ou énergie]−1 (1.6)

De façon générale, une quantité dans les unités SI (système international) qui possède desdimensions

[ ]SI

où , et représentent les unités d’énergie (en Joules), longueur (en mètres) et temps (ensecondes) respectivement et J·m·s sont les unités SI. Dans le SUN, cette quantité aura desunités d’énergie à la puissance − − , soit −−

La conversion du SI au SUN procède comme suit. Si dans le SI , et représententles unités de masse, longueur et temps

[ ]SUN =

∙

µ

~

¶ µ

~

¶¸SI

=

∙

~+

¸SI

= [ ]SI · ¡624× 109 MeV J−1¢

· ¡51× 1012 MeV−1m−1¢ · ¡152× 1021 MeV−1s−1

¢où les quantités dans les crochets []SUN et []SI sont respectivement en unités SUN et SI.

7


Autrement dit, du SI au SUN, on replace simplement le joule, le mètre et la seconde parles facteurs suivant

Énergie : J → 624× 1012 MeV

Longueur : m → 51× 1012 MeV−1

Temps : s → 152× 1021 MeV−1

Inversement, du SUN au SI, il faut connaître le contenu énergie-longueur-temps associé à unequantité pour effectuer la conversion :

Énergie : MeV → 1602× 10−13 J

Longueur : MeV−1 → 196× 10−13 m

Temps : MeV−1 → 658× 10−22 s

Système SI SUNQuantité

Action 1 2 −1 0Vitesse 0 1 −1 0Masse 1 0 0 1

Longueur 0 1 0 −1Temps 0 0 1 −1Impulsion 1 1 −1 1Énergie 1 2 −2 1Const. structure fine 0 0 0 0

Const. de Fermi 1 5 −2 −2Pour les systèmes quantiques relativistes, l’utilisation des unités SUN comporte deux avan-tages majeurs : deux des étalons sont définis exactement (~ = = 1) et ce choix permet desimplifier toute les équations où ces constantes apparaissent, par exemple

2 = 22 +24| z unités SI

=⇒ 2 = 2 +2| z unités SUN

Malgré les avantages certains des unités SUN pour des systèmes quantiques relativistes, ilest souvent utile et plus intuitif d’exprimer des quantités en terme des unités SI. Par exemple,lorsqu’on parle de la durée d’un phénomène, il est plus facile de se visualiser un intervallede temps de 10−21 s qu’un intervalle de 152 MeV−1. En conséquence, nous adopterons lesystème d’unités naturelles dans les chapitres qui suivent sans pour toutefois en faire un usageexclusif. Le passage au système SI ne sera pas explicitement mentionné dans la plupart descas mais il sera souvent évident compte tenu du contexte.

1.4 Relativité et formalismequadridimensionnel

La similitude entre les notions de temps et d’espace nous suggère d’adopter un formalismequadridimensionnel. Par exemple, le vecteur de position espace-temps est représenté parses composantes contravariantes (indice supérieur)

= (0 1 2 3) = (0x) = (x) (1.7)

En général, dans un espace vectoriel à dimensions, il est possible de choisir vecteursde base et de représenter un vecteur à partir de ses composantes (contravariantes)

parallèles aux Alors le vecteur s’écrit dans un espace à quatre dimensions (4)

=

3X=0

= (1.8)

La deuxième égalité utilise la convention d’Einstein où un indice répété covariant-contravariant(les composantes covariantes sont en indice inférieur et sont définies plus bas) dans un termeest réputé être sommé sur toutes les valeurs possibles. Le produit scalaire des vecteurs et

8

C h a p i t r e 1Relativité et formalisme quadridimensionnel

prend la forme · ≡ · = (1.9)

où ≡ · (1.10)

est appelé le tenseur métrique ou simplement la métrique. Il est commun, et plus simple dechoisir une base où les vecteurs sont orthogonaux, c’est-à-dire

= 0 si 6= (1.11)

et donc · = 2 (1.12)

Pour le cas des quadrivecteurs d’espace-temps dans l’espace de Minkowski, la longueurgénéralisée d’un vecteur de position espace-temps est reliée à l’intervalle, c’est-à-dire

2 = 2

= 2 − 2 − 2 − 2 (1.13)

Ainsi la norme des vecteurs de base est

2 =

½1 si = 0

−1 si = 1 2 3(1.14)

et le tenseur métrique s’écrit

=

⎛⎜⎜⎝1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

⎞⎟⎟⎠ (1.15)

Les composantes covariantes (indice inférieur) sont des projections orthogonales de surles vecteurs de base Par exemple,

· ≡ (1.16)

(notez l’indice inférieur) ou autrement dit

≡ · = ·

=

À noter, le tenseur métrique et son inverse coïncident

= ()−1= (1.17)

puisque =

(1.18)

d’où = (1.19)

et = 4 (1.20)

Considérons les composantes contravariantes du quadrivecteur de position

= (0 1 2 3) = (0x) (1.21)

les composantes contravariantes de ce quadrivecteur sont alors

= (0 1 2 3)

=

=

⎛⎜⎜⎝1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

⎞⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎝

0

1

2

3

⎞⎟⎟⎠= (0−1−2−3) (1.22)

et donc

= (0x)

= (0−x) (1.23)

9


H Remarque H

Remarque 1.1iToute quantité qui a la forme

· = (1.24)est un invariant de Lorentz si et sont des vecteurs de Lorentz, c’est-à-dire que le produitscalaire · n’est pas affecté par une transformation de Lorentz et donc a la même valeurdans tous les systèmes de référence inertiels.

i

Les notions d’énergie et d’impulsion sont aussi intimement liées (tout comme l’espace etle temps) en relativité restreinte. On peut y définir le quadrivecteur énergie-impulsion (com-posantes contravariantes)

= ( ) (1.25)où = 0 est l’énergie totale et ( = ou 1 2 3) sont les impulsions. L’énergiecinétique s’obtient par

= −0

= ( − 1)0 (1.26)

(rappelons qu’on utilise le système d’unités naturelles où = 1).

Par ailleurs, la grandeur de est un invariant de Lorentz et s’écrit comme

2 =

=¡0¢2 − ¡1¢2 − ¡2¢2 − ¡3¢2

= 2 − p2= 2

0 (1.27)

où0 est la masse au repos de la particule soit un invariant de Lorentz. On a donc finalement

2 − p2 = 20 (1.28)

ou2 = p2 +2

0 (1.29)

Les relations de conservation d’énergie et d’impulsion peuvent maintenant être expriméesde façon compacte. L’énergie-impulsion totale d’un système est la somme

=X

(1.30)

où est la quadri-impulsion de la particule Si on pose qu’il y a conservation d’énergie etd’impulsion, on aura

avant =

après (1.31)

Il en découle que pour = = 1 2 3

avant =

après ou Pavant = Paprès (1.32)

ce qui représente la conservation de l’impulsion totale et pour = 0

0avant = 0après (1.33)

la conservation de l’énergie totale, qui s’écrit aussi comme

totavant = tot

après (1.34)

On peut aussi déduire une autre relation importante. D’une part, la quantité (l’éner-gie-impulsion totale) est conservée, et d’autre part, la grandeur de toute énergie-impulsion(2 − p2) est un invariant relativiste (même grandeur dans tous les repères). Par exemple,dans le repère µ

avant

¶2=

µaprès

¶2 (1.35)

10

C h a p i t r e 1Notions de physique quantique

mais puisque ces quantités sont invariantes de Lorentz, on aura dans un repère arbitraire 0µavant

¶2=

µaprès

¶2=

µavant0

¶2=

Ãaprès0

!2 (1.36)

Dans une réaction, la quantité 2 =

est conservée et est la même dans tous les repères inertiels.Par ailleurs, dans le repère d’impulsion totale nulle (RIN), c’est-à-dire le repère où le

centre de masse du système est au repos, les calculs sont particulièrement simples. Alors quela dernière relation tient toujoursµ

avant

¶2=

µaprès

¶2=

µavantRIN

¶2=

µaprèsRIN

¶2 (1.37)

on aura dans ce repère spécial, P = 0 doncµavantRIN

¶2=

³ 0avant

RIN

´2−³Pavant

RIN

´2=

³ 0avant

RIN

´2=³tot

avantRIN

´2=

ÃX

RIN

!2(1.38)

La quantité 2 correspond à l’énergie totale dans le RIN, élevée au carré.

1.5 Notions de physique quantique

Nous introduisons maintenant quelques notions de mécanique quantique. Il ne s’agit icique d’un survol dont le but est de donner une idée des outils utilisés en physique des particuleset de comment s’est fait le passage de la mécanique classique à la mécanique quantique, puisà la mécanique quantique relativiste et finalement à la théorie des champs. Le propos de cettesection n’est pas de décrire formellement aucun de ces sujets. Ceux-ci sont des sujets à partentière et font l’objet d’ouvrages spécialisés. Nous supposerons que le lecteur possède déjàdes notions approfondies en mécanique quantique. Par ailleurs, nous ne faisons qu’efeurerles principes derrière la mécanique quantique relativiste et à la théorie quantique des champset tout traitement nécessitant ces deux outils sera superficiel et sera donné sans preuve.

Mécanique quantique relativiste

Historiquement, le passage de la mécanique quantique à la mécanique quantique rela-tiviste s’est effectué à partir d’une généralisation de l’équation de Schrödinger à un systèmerelativiste.

L’équation d’onde de Schrödinger

Rappelons que l’équation d’onde de Schrödinger est obtenue en définissant l’hamiltonien(énergie) et l’impulsion par les opérateurs différentiels suivants :

≡ ~

(1.39)

p ≡µ−~

−~

−~

¶= −~∇ (1.40)

Dans le langage quadridimensionnel, on écrit (~ = = 1)

=

µ~

−~∇

¶= ~

= (1.41)

11


La notation est souvent simplifiée par

≡

(1.42)

L’équation de mouvementp2

2+ = (1.43)

devient alors l’équation de Schrödingerµp2

2+

¶ = Ã

(−~∇)22

+

! = ~

− ~2

2∇2 + = ~

où est la fonction d’onde du système.

L’équation de Klein-Gordon

Les équations de mouvement relativistes obéissent plutôt à la relation (~ = = 1) dansle cas d’une particule libre

= 2 − p2 = 2 (1.44)

qui correspond, après substitution des quantités par leur représentation en terme d’opérateurs,à l’équation de Klein-Gordonµ

~

¶2 − (−~∇)2 = 2

−2

2+∇2 = 2

ou encore

0 = −µ− 2

2+∇2

¶ +2

=¡− −2

¢

=¡2 −2

¢

Cette équation décrit les bosons (spin entier). Elle est toutefois non linéaire en énergie .Incidemment, les états ne se combinent pas en général de façon triviale.

L’équation de Dirac

Dans une tentative visant à linéariser l’équation de Klein-Gordon (et à régler certainsautres problèmes conceptuels comme des densités de probabilité négatives), Dirac introduitun système linéaire de quatre équations couplées, l’équation de Dirac. Voici sa version la pluscompacte de l’équation d’onde pour une particule libre que nous écrivons sans beaucoup plusd’informations ¡

−

¢ = 0 (1.45)

Le bi-spineur possède quatre composantes

=

⎛⎜⎜⎝1234

⎞⎟⎟⎠

et les ( = 0 1 2 3) sont les quatre matrices 4 × 4 de Dirac et est la matrice identité4 × 4 . Les matrices intègrent la notion de spin puisque qu’elles correspondent à uneversion généralisée des matrices de spin de Pauli. Pour cette raison, l’équation de Diracconvient à la description des fermions (spin demi-entier). En fait, des quatre degrés de libertédu bi-spineur , deux servent à représenter la particule dans les états de spin ±1

2et deux

12


autres, l’antiparticule dans les états de spin ±12 Il faut donc comprendre que l’équation de

Dirac est en fait un système de quatre équations couplées

µµ

−

¶3 −

µ

−

¶4

¶−1 = 0

µµ

+

¶4 −

µ

+

¶3

¶−2 = 0

µ−µ

−

¶1 −

µ

−

¶2

¶−3 = 0

µ−µ

+

¶2 −

µ

+

¶1

¶−4 = 0

Une description plus détaillée de l’équation de Dirac et la forme explicite des matrices deDirac se trouve à l’annexe I.

La théorie quantique des champs

La théorie quantique des champs est depuis quelques années considérée comme un outilplus fondamental et plus puissant que la mécanique quantique relativiste. Sans trop aller dansles détails, mentionnons qu’elle est basée sur la seconde quantification des champs, c’est-à-dire sur les relations de commutation ou d’anticommutation des opérateurs de création et dedestruction (appelés champs quantiques).

En bref, mentionnons que si la mécanique quantique promeut les coordonnées d’espace-temps et d’énergie-impulsion au rang d’opérateurs, la théorie des champs, de son côté, procèdeà une étape subséquente en élevant les fonctions d’onde au niveau d’opérateurs qui serventà créer ou détruire des états associés à des particules. Ces opérateurs sont appelés champsquantiques.

La théorie permet d’interpréter chaque phénomène comme une série d’opérateurs agis-sant sur le vide, ex. création/destruction de particules (opérateur de création/destruction),interaction entre particules (opérateur de sommet) et échange ou propagation de particules(propagateur).

Bosons et fermions

Avec la mécanique quantique, on introduit la notion de moment cinétique intrinsèqued’une particule, c’est-à-dire le spin. Le spin prend des valeurs qui sont des multiples de ~

2

mais il détermine aussi le type de statistique auquel la particule est soumise.

Bosons :

Les bosons sont des particules de spin entier (0~ ~ 2~ 3~ ) qui obéissent à la statis-tique de Bose-Einstein c’est-à-dire qu’un un système de deux bosons identiques, désignés parles indices 1 et 2, est décrit par une fonction d’onde qui est symétrique sous l’échange desparticules

121←→2−→ 21

Fermions :

Les fermions sont des particules de spin demi-entier¡~2 3~2 5~2 ¢

qui obéissent à lastatistique de Fermi-Dirac c’est-à-dire qu’un un système de deux fermions identiques, désignéspar les indices 1 et 2, est décrit par une fonction d’onde qui est antisymétrique sous l’échangedes particules

121←→2−→ −21. (1.46)

13


Particule-antiparticule

La notion d’antiparticule fut proposée par Dirac en 1928. Ce dernier interpréta certainessolutions de l’équation qui porte son nom comme des antiparticules. Les solutions associéesaux antiparticules donnent lieu à différentes interprétations, ex. une particule qui se propageà rebours dans le temps ou encore des trous dans une mer de particules. L’antiparticule estcaractérisée par

1. des charges opposées à celles de la particule (charges électrique, faible, et autres nombresquantiques...)

2. une masse, un spin et une vie moyenne identiques à celles des particules.

L’existence d’antiparticules fut confirmée par Anderson en 1933 à la suite de la décou-verte du positron (aussi appelé le positon2 ou antiélectron). Certaines particules (ex. le photon et le boson faible 0) sont leurs propres antiparticules, toutes leurs charges étant nulles.

Par convention, nous désignerons l’antiparticule par une barre au-dessus du symbole dela particule.

(électron) ↔ (positron) (neutrino) ↔ (antineutrino) (proton) ↔ (antiproton)Σ (sigma) ↔ Σ (antisigma)

Nous appelons particules de matière les particules qui sont généralement observées commeles protons, les neutrons et les électrons alors que leurs antiparticules sont de l’antimatière.

La terme matière est aussi étendu, selon la convention, à :– Tout quark, (charge 2

3ou −1

3).

– Tout lepton chargé négativement.– Tout neutrino d’hélicité gauche3. (On fait cette distinction parce que le neutrino d’hélic-

ité droite n’aurait que des interactions gravitationnelles si sa masse est non nulle ? !)

Par opposition, l’antimatière est constituée de :– Tout antiquark, (charge − 2

3ou 1

3).

– Tout antilepton chargé positivement.– Tout antineutrino d’hélicité droite. (De la même façon, l’antineutrino d’hélicité gauche

n’aurait que des interactions gravitationnelles si sa masse est non nulle ? !)

Une particule faite de quarks, comme un baryon, est appelée matière. De même une par-ticule faite d’antiquarks, comme l’antibaryon, est appelée antimatière.

Pour les bosons, une telle distinction entre la matière et l’antimatière n’est pas pertinente.Cette classification ne s’applique simplement pas. Par exemple, un pion chargé positivementest formé d’un quark up et d’un antiquark down alors que un pion chargé négativement estformé d’un antiquark up et d’un quark down. Chacune de ces particules est l’antiparticule del’autre et la distinction entre matière et antimatière est jusqu’à un certain point arbitraire. Dela même manière, les particules d’échange, médiatrices d’une force, ne sont pas identifiées àde la matière ou de l’antimatière.

Dans le Modèle Standard, les propriétés de la matière et l’antimatière sont presque iden-tiques. Par ailleurs, un des grands mystères de la cosmologie (la théorie de l’évolution de l’u-nivers) s’avère être la raison de la prédominance de la matière sur l’antimatière. Un universoù la matière et l’antimatière aurait été produites en quantités égales ne contiendrait pas degalaxies, mais plutôt de la radiation de type corps noir - comme le bruit micro-onde observédans toutes les directions de l’univers.

2 En français, on accepte deux terminologies pour nommer certaines particules. C’est le cas du positron ou positonet du deutéron qui est aussi appelé deuton. Dans cet ouvrage, nous adopterons le nom qui s’apparente le plus à lanomenclature anglaise.

3 L’hélicité est défini dans la section suivante.

14


Chiralité et hélicité

Un objet est dit chiral si celui-ci n’est pas identique à son l’image dans un miroir. Parailleurs, on peut définir une transformation, appelé parité, qui a pour effet de changer laparité d’une particule ou d’un système. Lorsque le système est invariant par rapport à cettetransformation, on dit qu’il y a symétrie chirale.

Une expérience sur la désintégration faible de noyaux de Cobalt-60 effectuée par Chien-Shiung Wu et ses collaborateurs en 1957 a démontré que la parité n’est pas une symétrie del’univers.

En pratique, le spin est souvent utilisé pour définir la chiralité d’une particule. Cependant,la direction relative du spin, c’est-à-dire son hélicité, ne correspond pas toujours à sa chiralité.

Une particule est d’hélicité « droite » si son spin et sa quantité de mouvement sont dansla même direction. Elle est est d’hélicité «gauche» si son spin et sa quantité de mouvementsont en directions opposées. On trouve l’hélicité avec l’opérateur suivant.

=σ · p|p| = ±1 (1.47)

où σ et p sont les opérateurs de spin et d’impulsion respectivement. Les particules avec = +1 sont dites d’hélicité droite et celle avec = −1 sont d’hélicité gauche.

Le concept de chiralité d’une particule est plus abstrait. Celle-ci est déterminée selon quela particule se transforme dans la représentation droite ou gauche du groupe de Poincaré etne dépend pas en tant que tel de son mouvement. Dans certaines représentations, telles quecelle des spineurs de Dirac, les deux composantes sont présentes. Dans de tels cas, nouspouvons définir des opérateurs de projection permettent de séparer les deux composantes etles analyser individuellement. Par exemple l’opérateur de projection qui détermine la chiralitéd’un spineur de Dirac est

=1

2(1± 5)

c’est-à-dire que les représentations gauche et droite sont données par

= =1

2(1± 5)

Ici, et 5 sont des matrices 4 × 4 alors que peut être vu comme un vecteur à 4composantes.

Nous verrons que la chiralité est associé à la charge faible.Pour des particules sans masse — comme le photon, les gluons et les (hypothétiques)

gravitons — la chiralité est la même que hélicité. En effet, pour une particule de masse nullela direction relative du spin et de la quantité de mouvement ne dépend pas du repère del’observateur .

Par contre, pour les particules massives — comme les électrons, les quarks et les neutrinos— la chiralité et hélicité sont deux quantités distinctes. En effet, il est possible dans ce caspour un observateur de changer de référentiel de tel sorte que la direction du mouvement dela particule semble en sens opposé, et son hélicité sera inversé alors que sa «chiralité» n’a paschangé. Ceci n’est pas possible pour une particule sans masse qui se déplace à la vitesse dela lumière et dans ce cas particulier, l’hélicité est un invariant relativiste.

La découverte des oscillations des neutrinos implique que les neutrinos ont une masse,etdonc la seule particule sans masse observée serait le photon. Le gluon serait égalementdépourvu de masse selon le Modèle Standard (MS), celui-ci a éludé toute tentative d’ob-servation directe jusqu’à maintenant. A part ces deux particules, toutes les autres particulesdu MS ont une masse non nulle observée et ainsi peuvent avoir des hélicités différentes suiv-ant le référentiel de l’observateur.

Malgré cette différence subtile entre la chiralité et l’hélicité, nous utiliserons souvent lesdeux concepts sans distinction dans le contexte de cet ouvrage. Ceci est tout à fait justifiabledans la limite ultrarelativiste, où la masse est négligeable par rapport à l’énergie et →

HRéférencesHPour plus d’informations, on peut consulter les sites web suivant :http ://en.wikipedia.org/wiki/Chirality_(physics)

15


http ://www.quantumfieldtheory.info/Chiralityvshelicitychart.htm

Interactions versus champs

Q 1 Q 2 E F

r

Q 1 Q2

q

(b )(a)

Figure 1.6 NDans l’approche classique (a), la particule 2 estsoumise à l’effet d’un champ produit par la par-ticule 1 alors que dans l’approche de la théoriequantique des champs (b), l’interaction est due àun échange de quanta.

La mécanique classique et la mécanique quantique (ou plus précisément la théorie quan-tique des champs) ont des approches différentes lorsqu’il s’agit de décrire des interactions(voir figure 1.6). Chaque phénomène sera donc interprété en utilisant ce nouveau langage.

1. En mécanique classique :Un champ est produit par une particule 1 et s’étend jusqu’à la position de la particule 2.La particule 2 interagit avec la valeur du champ où elle se situe.

2. En théorie quantique des champs :L’interaction est interprétée comme un échange de quanta. L’échange obéit aux lois deconservation des nombres quantiques et de la quadri-impulsion. Rappelons cependantque la quadri-impulsion n’obéit à l’équation d’onde que dans les limites du principe d’in-certitude de Heisenberg, c’est-à-dire

∆ ·∆ ≥ ~ (1.48)

∆ ·∆ ≥ ~ (1.49)Il en résulte que pendant un temps arbitrairement court, des états transitoires d’énergierelativement élevée peuvent se produire. Ces états transitoires sont appelés états virtuels(ex. pendant un temps très court, un photon virtuel peut avoir une quadri-impulsion telleque 2 6= 0). Ces états sont éphémères et ne sont pas détectables directement.

Approche de Yukawa et portée des interactions

En 1935, H. Yukawa propose une connexion entre la portée d’une interaction et la massedu quantum échangé pendant l’interaction. Il s’intéresse plus particulièrement à décrire lesinteractions fortes (nucléaires) qui ont une portée finie de quelques femtomètres.

Considérons par exemple l’échange virtuel d’un boson de masse qui peut se produirependant un temps

∆ ≈ ~∆

≈ ~ (1.50)

prescrit par le principe d’incertitude de Heisenberg (1.48). Il est donc caractérisé par uneportée maximale de (~ = = 1)

= ∆ = ∆ ≈ 1

(1.51)

puisque la vitesse de ce boson ne peut excéder . On remarque alors la relation

≈ 1

(1.52)

entre la portée de l’interaction et la masse de la particule échangée.Ce résultat peut être déduit plus formellement de l’équation de Klein-Gordon. Si le bo-

son d’interaction de masse se propage librement entre deux interactions, il est décrit parl’équation suivante :

∇2 +2 − 2

2= 0

Considérons une composante de statique à symétrie sphérique, c’est-à-dire

() = ()

16


On peut alors écrire

∇2() +2() = 0

1

2

µ2

()

¶+2() = 0

où = 0 est identifié à l’origine. La composante radiale de la fonction d’onde a pour solu-tion

() =

4−

0 (1.53)

où

=1

: portée des interactions

= constante d’intégration.

On note alors que la fonction d’onde de la particule d’échange subit un amortissement expo-nentiel −

à une distance = L’échange est donc limité dans sa portée à une distance

qui est inversement proportionnelle à la masse de la particule d’échange.

H Exemple H

Exemple 1.2Interaction électromagnétique.Le photon est le quantum d’échange dans une interaction électromagnétique mais la masse du photonétant nulle

∇2() = 0 0 (1.54)

d’où

() =

4=

4 (1.55)

Si on interprète () comme le potentiel électrostatique, alors est la charge électrique à uneconstante multiplicative près.

Dans ce dernier exemple, nous voyons que , la constante d’intégration, joue le rôle de lacharge électrique. Cette interprétation peut être transposée à d’autres interactions.

Revenons aux calculs de Yukawa dans le cadre des interactions fortes. La portée desinteractions nucléaires (interactions fortes) est de ' 10−15 m, ce qui poussa Yukawaà prédire une particule d’échange de masse = 1

' 100 MeV et sans spin pour les

interactions fortes. En 1947, le pion (spin 0, = 140 MeV) fut découvert. Un peu avant,on avait mis en évidence l’existence du muon () ayant approximativement la même massemais il devint évident par la suite que celui-ci ne pouvait être la particule de Yukawa, le muonn’ayant pas d’interactions fortes.

L’approche de Yukawa permit une nouvelle interprétation des phénomènes nucléaires,mais elle reste toutefois trop naïve pour expliquer adéquatement les interactions fortes dansleur ensemble.

Propagateur du boson

Poursuivons la description sommaire de la théorie quantique des champs. Il est appropriéde décrire une collision entre deux particules en terme d’opérateurs. L’approche perturbativede la théorie des champs suppose que les particules se propagent librement sauf en certainspoints où il y a émission ou absorption de quanta. Il s’agit d’écrire la solution des équationsde mouvement couplées comme une série perturbative autour des solutions des équations demouvement pour des champs quantiques libres (aucun potentiel d’interaction implique dessolutions libres). La méthode utilise les fonctions de Green auxquelles R.P. Feynman a donnéson interprétation d’opérateur.

Considérons l’équation de mouvement d’un boson libre (équation de Klein-Gordon)

(2 −2)() = 0 (1.56)

où () est une fonction d’onde scalaire. La fonction de Green (), dans l’espace desimpulsions, obéit à

(2 −2)() = 4() (1.57)

17


ou encore

() =4()

(2 −2) (1.58)

avec la fonction delta de Dirac 4() définie comme 4 () = (0)(1)(2)(3). Feyn-man interprète cet opérateur comme une amplitude de probabilité associée au boson qui sepropage avec une quadri-impulsion

Propagateur =

2 −2 (1.59)

De la même façon, Feynman définit un opérateur de sommet décrivant l’émission d’un bosonpar la particule 1 (et/ou absorption par la particule 2). Cette opérateur est proportionnel àla force de l’interaction et dépend directement de la constante de couplage 1 (2) avec laparticule 1 (particule 2)

Sommet = 1 (et 2). (1.60)Ici, la forme de l’opérateur de sommet est très simple, mais il est à noter qu’elle est en généralplus complexe. Cette interprétation a permis de développer une méthode graphique simplepour illustrer et calculer la probabilité de certains processus : Les opérateurs de propaga-tion et de sommet définissent des recettes de calculs appelées règles de Feynman auxquellescorrespondent des diagrammes décrivant les trajectoires et interactions entre les particules,c’est-à-dire les diagrammes de Feynman.

Figure 1.7 NExemple de diagramme de Feynman : deux par-ticules (lignes pleines) interagissent par l’échanged’un quanta (ligne ondulée).

H Exemple H

Exemple 1.3L’interaction électromagnétique entre deux particules chargées via l’échange d’un boson (voir figure1.7) est décrite par une amplitude de probabilité qui correspond au produit d’opérateurs (opérateursde sommet avec couplage 1 (et 2) et propagateur) :

Amplitude ∝ 1 ·

2 −2· 2 (1.61)

Probabilité ∝ 12

2 −2

2 (1.62)

En QED (théorie quantique de l’électrodynamique), la masse du photon est nulle et le couplage estproportionnel à la charge . La section efficace pour la collision de particules chargées est

2

2∝ 22

2 = 4

4 (1.63)

un résultat qui a aussi été obtenu par Rutherford à l’aide de méthodes plus rudimentaires.

18

C h a p i t r e 1Forces et interactions

1.6 Forces et interactions

Il existe quatre type d’interactions recensées : gravitationnelle, électromagnétique, faibleet forte. Pour le moment, rien ne semble indiquer qu’une autre force soit présente dans l’u-nivers. Toutefois, il faut noter que nos expériences seraient peu sensibles à des interactionsdont le couplage est quelques ordres de grandeur plus petit que les interactions faibles.

Figure 1.8 JILes quatre type d’interactions recensées : gravi-tationnelle, électromagnétique, faible et forte.

gravitationnelle

électromagnétique

forte

q q

faible

n e,p,

Chacune des interactions connues est caractérisée par un certain nombre de propriétés.Qui plus est, la nature des particules élémentaires est souvent définie grâce à leurs interactionsex : les leptons n’ont pas d’interactions fortes. Nous revenons donc sur les interactions plusen détails pour identifier leurs principales propriétés.

Interactions électromagnétiques

L’interaction électromagnétique est la mieux connue des interactions. Nous verrons auchapitre 7, la description des interactions électromagnétiques que nous donne la physiques’avère en fait le plus grand succès de la science, tous domaines confondus.

La “magnitude” des interactions est tout d’abord reliée à la grandeur du couplage (ex :couplage aux sommets de la figure 1.9(a)). Pour les interactions électromagnétiques, celle-ciest déterminée par la constante adimensionnelle suivante

=2

4~=

2

4=

1

1370360(1.64)

Par exemple, la formule de Rutherford (éq. (1.63)) qui décrit la section efficace pour unecollision entre deux particules chargées pourrait s’exprimer comme

2

2∝ 2

4 (1.65)

19


Figure 1.9 JIExemples d’interactions électromagnétiques : (a)effet photoélectrique ( + → ), (b) diffusion deRutherford ( + → + ), (c) rayonnement defreinage (+ → +∗+) et (d) diagrammesà plusieurs boucles pour la self-énergie.

e -

(a)

+ + +

e -

e -

e -

e - e -

e -

e -

(b) (c)

(d)

e -

On observe plusieurs manifestations de la force électromagnétique :

1. Forces dans l’atome :Les interactions électromagnétiques sont responsables de la force qui oblige des électronschargés négativement à se combiner à des noyaux chargés positivement pour former desatomes.

2. Forces entre atomes :Les interactions électromagnétiques résiduelles entre des atomes électriquement neutressont responsables des liaisons d’atomes et de la formation de molécules et de la plu-part des forces (sauf la gravité) que nous éprouvons dans la vie quotidienne. Les liaisonsmoléculaires résultent d’atomes partageant et/ou des électrons d’échange.La rigidité du plancher nous soutenant, la friction entre vos pieds et le plancher qui nouspermet de marcher, la force de rappel exercée par un élastique sur notre doigt et l’effetdu vent sur nos visages sont toutes dues aux interactions électromagnétiques résiduelles.Les forces comme ceux qui résultent des changements de l’énergie en raison de la relo-calisation d’électrons ou des atomes quand le matériau est déformé au contact d’un autrematériau.

3. Champs électromagnétiques et ondes électromagnétiques :Les interactions électromagnétiques sont aussi responsables de la formation des champsélectrique et magnétique autour des charges électriques et des courants électriques et dela propagation d’ondes électromagnétiques comme la lumière, les ondes hertziennes, lesondes radios et les micro-ondes. Tous ces phénomènes sont des ondes électromagnétiquesqui ne diffèrent que par leur longueur d’onde.En théorie quantique des champs, toute variation de champ électromagnétique ou ondeélectromagnétique peut être décrite en termes de photons. Quand un très grand nombrede photons sont impliqués, l’effet global est donné par la théorie classique correspon-dante, à savoir les équations de Maxwell.

Les photons produits dans des désintégrations radioactives sont aussi appelés des partic-ules , originalement appelés rayons- .

Plus généralement, les interactions électromagnétiques (voir figure 1.9) sont alors carac-térisées par les propriétés suivantes :

– mettent en jeu des particules chargées électriquement ;– couplage électromagnétique relativement petit : = 2

4= 1

1370360;

20


– temps d’interaction et/ou vie moyenne typique de ∼ 10−20 s ;– section efficace typique de ∼ 10−33 m2 ;– échange de photons () ;– = 0 donc portée =∞

Interactions faibles

Les principales manifestations des interactions faibles sont :

1. La désintégration du neutron, ex. → + − + .

2. La capture d’antineutrinos, ex. + → + +.

3. Les réactions hadroniques pures, ex. la désintégration des Σ peuvent passer par le modefaible ou le mode électromagnétique, mais les caractéristiques diffèrent suivant le modede désintégration :

int. faibles int. e.m.

Σ− → + | z Σ0 → Λ+ | z ∆ = 1 ∆ = 0

' 10−10 s ' 10−19 soù ∆ est le changement du nombre quantique d’étrangeté et est la vie moyenne oudurée des interactions.

Les interactions faibles (voir figure 1.10) possèdent les propriétés suivantes :– mettent en jeu des neutrinos ou des quarks qui changent de saveur, c’est-à-dire des

particules ayant une charge faible ;

– couplage faible (entre protons) : Fermi =

2

4≈ 10−6;

– temps d’interaction et/ou vie moyenne typique de ∼ 10−8 s ;– section efficace de ∼ 10−44 m2 ;– échange de bosons ± (courants chargés) et 0 (courant neutre) ;– = 80 GeV donc portée = 10−18 m.

Figure 1.10 JIExemples d’interaction faibles : (a) désintégrationdu neutron ( → + − + ) et (b) capture deneutrinos (+ → ++). Le contenu en quarkdu proton et du neutron, = () et = ()

est illustré clairement.

d

dun

e

uu u

d

dd

W

(b)

p n

d

uu

e

e

W q

(a)

p e

Les interactions électromagnétiques et faibles (électrofaibles) sont unifiées dans le modèlede Glashow-Weinberg-Salam (1967). Mais à basse énergie, la symétrie qui relie ces deuxinteractions est brisée et les deux forces semblent distinctes. Les interactions faibles mettenten jeu un couplage faible et l’échange des bosons de jauge ± et 0 Il s’ensuit que lesréactions faibles sont décrites par une amplitude de probabilité de la forme

Amplitude ∝ 22 −2

(1.66)

où 2 est le transfert de quadri-impulsion portée dans l’échange du quantum.Le modèle de Glashow-Weinberg-Salam a succédé au modèle de Fermi longtemps utilisé

en physique nucléaire. Ce dernier expliquait bien les phénomènes à basse énergie mais résis-

21


tait à toute tentative de calculs perturbatifs qui auraient augmenté la précision des prédictions.Cette difficulté est identifiée à la non renormalisabilité de la théorie de Fermi, c’est-à-dire àl’impossibilité de faire des calculs perturbatifs sans rencontrer des problèmes de divergencesirréconciliables (nous décrirons ces problèmes au chapitre 10). Des divergences apparaissentdans le modèle de Glashow-Weinberg-Salam mais il existe une procédure qui permet de leséliminer systématiquement. On dit alors que le modèle est renormalisable.

Figure 1.11 JILa théorie de Weinberg-Salam versus théorie deFermi : L’interaction faible selon la théorie de Wein-berg-Salam (a) procède par l’échange de bosonsmassifs ± ou 0. Le même phénomène perçuà des échelles d’énergies plus faibles (ou de dis-tances plus grandes) ressemble à une interactionponctuelle entre quatre particules conformémentavec la théorie de Fermi. (a) (b)

W

GF

Les deux modèles se distinguent par la façon dont les interactions se déroulent. Par exem-ple, dans le modèle de Fermi, quatre particules interagissent directement (voir figure 1.11(b)).On dit alors que l’interaction est “à quatre points” et la force de l’interaction est alors donnéepar la constante de Fermi

∼= 10−5 GeV−2. Dans le modèle de Glashow-Weinberg-Salam,les mêmes quatre particules interagissent par l’échange d’un ± ou 0(voir figure 1.11(a))et l’interaction fondamentale est une interaction “à trois points” avec un couplage . Parcontre, dans la limite de basse énergie 2 → 0, la théorie de Glashow-Weinberg-Salam sedevait de reproduire les succès de la théorie des interactions faibles de Fermi (1935). L’inter-action des quatre particules est décrite par l’amplitude de probabilité suivante :


(1.67)

où on peut lire qu’un facteur est attribuable à chacun des sommets d’interactions de lafigure 1.11(a) et le facteur

¡2 −2

¢−1vient du propagateur du ± ou 0. Pour 2 → 0


(1.68)

−→2→0

22

≡ ∼= 10−5 GeV−2 (1.69)

l’amplitude se ramène à celle donné par la théorie de Fermi si 2 ≡ 2 Physiquement,

la limite de basse énergie est équivalente à examiner le processus de la figure 1.11(a) d’unedistance éloignée. L’échange du ± ou 0 se fait alors sur une échelle trop petite pour êtreperceptible et le diagramme ressemble à la figure 1.11(b).

Le modèle de Glashow-Weinberg-Salam a donc remplacé la théorie de Fermi puisqu’il al’avantage sur d’être renormalisable. C’est aussi un exemple d’unification de forces (faible etélectromagnétique) dont nous verrons les détails dans le chapitre 8, consacré aux interactionsfaibles.

Interactions fortes

Les interactions fortes sont fréquentes dans les collisions de hadrons à haute énergie. Ellesimpliquent, au niveau fondamental, les interactions entre quarks et gluons. On les retrouvepar exemple dans la collision

− + → Σ0dont la durée est d’environ ' 10−23 s.

Les interactions fortes (voir figure 1.12) sont caractérisées par les propriétés suivantes :

22


– mettent en jeu des particules portant une charge colorée (quarks et/ou gluons) ;– couplage très fort : ' 1;

– temps d’interaction et/ou vie moyenne typique de ∼ 10−23 s ;– section efficace typique de ∼ 10−30 m2 ;– échange de gluons ;– confinement des quarks et gluons ;– liberté asymptotique ;– portée effective de = 10−15 m en raison du confinement.

uuR B

u uRB

gluon RB

Figure 1.12 NExemple de diagramme de Feynman pour une in-teraction forte entre quarks : Ici, on note que lequark up bleu, , se transforme en quark uprouge, , et inversément, que le quark up rouge, ,se transforme en quark up bleu, suiteà un échange de gluon rouge-antibleu, . Lacouleur est conservée dans le processus.

Interactions fortes résiduelles (nucléaires)

Les interactions fortes résiduelles se situent à l’échelle nucléaire. Il s’agit de forces effi-caces entre hadrons qui persistent malgré le confinement des quarks et des gluons. Elles sontresponsables de la cohésion des noyaux et se manifestent dans les collisions hadroniques àbasses énergies. La portée des interactions efficaces est finie, ce qui correspond, selon l’ap-proche de Yukawa, à des masses non nulles pour les bosons d’échange, les mésons (voirfigure 1.13).

p n

p n

+

Figure 1.13 NExemple d’interactions fortes résiduelles : À bassesénergies, les états liés de quarks (hadrons) in-teragissent entre eux globalement via les interac-tions fortes résiduelles.

Interactions gravitationnelles

Les interactions gravitationnelles se produisent entre toute paire d’objets qui ont de l’én-ergie, la masse étant simplement une forme possible de cette énergie. Les photons sont sansmasse, mais ils subissent des interactions gravitationnelles.

Les interactions gravitationnelles entre des particules fondamentales sont extrêmementfaibles, au moins trente ordres de grandeur, c’est-à-dire

1

1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

plus petit que l’interaction faible. Donc, à toutes fins pratiques, les effets de la gravitation peu-vent être ignorés dans des processus de physique de particule impliquant de petits nombresde particules.

Mais alors pourquoi la gravité est-elle si évidente pour nous ?La seule raison pour laquelle nous subissons des effets perceptibles de la gravité est qu’il

n’y a rien de telle que de l’énergie négative et, ainsi, les effets gravitationnels de tous lesobjets s’ajoutent - aucune annulation n’est possible.

La terre exerce sur nous une force gravitationnelle beaucoup plus forte que sa force élec-trique. En fait, les charges électriques sur terre sont toutes équilibrées (autant de chargespositives de noyaux atomiques que de charges négatives des électrons), mais les masses detous les atomes de la terre se combinent pour donner un effet gravitationnel mesurable surdes objets situés à la surface de la terre.

La particule d’échange des interactions gravitationnelles a été nommée graviton. Cepen-dant, il n’existe pas actuellement de théorie quantique gravitationnelle satisfaisante bien quela supergravité, les cordes ou les supercordes soient de bons candidats. Ainsi l’intégrationde la gravité à la physique des particules reste un problème majeur en suspens. Beaucoupd’efforts en la physique théorique sont orientés sur ce problème.

Si nous voulons comprendre le Big Bang - les tout premiers moments dans l’histoire del’univers - nous devrons comprendre la gravité quantique. Selon la théorie du Big Bang, l’u-nivers, à ce moment-là, était un liquide très dense formé de particules de très hautes énergies.Les interactions gravitationnelles sont comparables en importance aux autres interactions en-tre particules dans cet environnement, donc nous avons besoin d’une théorie cohérente quipeut traiter tous les types d’interactions sur le même pied pour être en mesure de vraimentcomprendre ce qui s’est passé pendant cette lointaine époque.

23


Malgré ces incertitudes, il est généralement établi qu’une théorie quantique gravitation-nelle devrait posséder les caractéristiques suivantes :

– implique tout ce qui possède une énergie-masse et qui modifie la métrique (tenseurénergie-impulsion) ;

– couplage extrêmement faible au niveau subatomique : le couplage typique entre deux

protons est =

2

4' 46× 10−40;

– le graviton, boson d’interaction de spin 2 correspond à une uctuation quantique dela métrique :

– masse nulle du graviton, la gravitation ayant une portée infinie.

Tableau récapitulatif

InteractionsGravité Électromagnétique Faibles Fortes

Échange 10 gravitons photon 0± 8 gluonsSpinParité 2+ 1− 1− 1+ 1−

Masse (GeV) 0 0 90 81 0

Portée (m) ∞ ∞ 10−18 ∞≤ 10−15Source masse-énergie charge élec. charge faible couleurCouplage 46× 10−40 1

13781169× 10−7 ' 1

typique(s) 10−20 10−8 10−23

typique (m2) 10−33 10−44 10−30

1.7 Le Modèle Standard

La classification des particules fondamentales et la description de leurs interactions décritesplus haut forme ce qui est appelé leModèle Standard qui résiste aux assauts des tests expéri-mentaux depuis plus de 30 ans. Alors on serait en droit de se demander :

Est-ce que leModèle Standard est seulement un modèle, ou bien une théorie ?Les mots modèle, hypothèse et théorie ont des significations différentes en science et elles

diffèrent de celles utilisés dans la langue de tous les jours.Pour les scientifiques, l’expression "la théorie de ..." signale une idée particulièrement

bien vérifiée. Une hypothèse est une idée ou une suggestion qui a été avancée pour expliquerun ensemble d’observations. Elle peut être exprimée en termes d’un modèle mathématique.Le modèle, quant à lui, fait un certain nombre de prédictions qui peuvent être confirméespar les expériences. Après de nombreuses vérifications expérimentales, si le modèle peut êtreraffiné pour correctement décrire tous les résultats, alors il acquiert un statut plus élevé.

Le scientifique n’utilise le terme théorie que pour des idées qui ont été vérifiées et dévelop-pées à un point tel que nous savons qu’il y a en effet une certaine gamme de phénomènes pourlesquels ils donnent systématiquement des prédictions correctes. Bien sûr, une théorie ne peutjamais être complètement prouvée. Si elle l’était nous en parlerions comme si c’était une loi -c’est pourquoi nous avons pratiquement évacué loi de notre vocabulaire. Cependant, la théoriedoit obéir au même ensemble de règles vérifiées dans un domaine établi d’applicabilité, toutcomme les idées anciennement appelées des lois.

Ces théories resteront toujours une partie de notre compréhension de la matière, mêmesi de récentes découvertes venaient à les infirmer. Par exemple, la théorie de la relativitérestreinte d’Einstein a remplacé les lois de la mécanique de Newton. Toutefois, la versionnewtonienne reste une excellente approximation de la théorie d’Einstein quand les objets sedéplacent à des vitesses qui sont petites comparées à la vitesse de lumière. (En réalité, les lois

24

C h a p i t r e 1Le Modèle Standard

de Newton restent valides dans la théorie d’Einstein en autant que l’on utilise leurs formescorrectes ainsi que les définitions relativistes correctes pour l’énergie et l’impulsion.)

De la même manière, la théorie atomique n’est pas infirmée, mais plutôt étendue, parla découverte d’une structure de protons et de neutrons. Si nous découvrons plus tard queles particules maintenant considérées comme fondamentales dans le Modèle Standard onteffectivement une sous-structure, ou qu’il y a d’autres types de particules d’échange plusmassives absentes du Modèle Standard, cela mènera de la même façon à des extensions duModèle Standard. Cependant, nous avons cumulé suffisamment de confirmations expérimen-tales pour être convaincus qu’il y aura toujours un ensemble de phénomènes pour lesquels leModèle Standard fournit des prédictions adéquates.

Donc pour répondre à la question, nous avons bien ici une théorie ! Mais ce qui est un peuparticulier, c’est qu’elle porte le nom “Modèle Standard”. Historiquement, il y a eu un certainnombre de modèles rivaux semblables, celui qui a résisté aux multiples tests expérimentauxest devenu leModèle Standard et finalement, la théorie des particules fondamentales et leursinteractions. Les physiciens continuent à utiliser le terme “Modèle Standard”, mais utilisentsouvent des majuscules pour dénoter son statut plus élevé que celui de simple modèle !

La recherche en physique des particules va souvent au-delà du Modèle Standard, pourrépondre aux questions auxquelles celui-ci n’apporte pas de réponses ou pour expliquer desquantités qui sont introduites comme des paramètres dans la description fournie par le Mod-èle Standard. Bien sûr, on cherche aussi à vérifier les prédictions ou dans certains cas, à établirces prédictions ou leurs domaines d’applicabilité dans les secteurs qui restent inexplorés (no-tamment des plus hautes énergies).

Les chapitres qui suivent décrivent l’état de la situation pour le Modèle Standard versusles données expérimentales. Le chapitre 10 est consacré aux perspectives d’extensions decette théorie.

Sommaire

Particules fondamentales

Figure 1.14 JIClassification des particules fondamentales.


Fermions

Leptons Quarks

Anti-leptons

Anti-quarks


Bosons

Photons

W± , Z

0

Gluons

Higgs

25


Matière Particules d’échange

Familles I II IIIPhoton

Leptons

µ

¶ µ

¶ µ

¶3 bosons faibles 0

±

8 gluons

Quarks

µ

¶ µ

¶ µ

¶Higgs

26

C h a p i t r e 1Exercices

1.8 Exercices

1.1. Champs et particulesLaquelle de ces affirmations est la plus conforme à la théorie quantique des champs :

(a) chaque particule (comme l’électron) produit un champ (comme le champ électromagnétique)qui remplit l’espace, transporte l’énergie et communique les interactions entre les particules ;

(b) ce sont les quanta des champs (d’interaction) qui transportent l’énergie et l’impulsion d’uneparticule à une autre, celles-ci étant elles-mêmes des états quantifiés de champs (de matière).

1.2. Tableau des particules les plus stablesVoici la liste de quelques particules parmi les plus stables :

0

0 − −

−ΛΣ

+

0

+Σ

0 −

+

−Σ−

Dans un tableau, classez ces particules ainsi que leur antiparticule en fonction de leur famille (lep-tons, hadrons, mésons et baryons). Indiquez également leur temps de vie, leur masse, leur chargeélectrique ainsi que leur spin. Indiquez si la particule est bosonique ou fermionique. Pour ce faire,vous devez utiliser les tableaux disponibles à la fin des notes de cours.

1.3. Un peu de réexion(a) Si l’interaction gravitationnelle a une portée infinie, quelle est la masse du graviton ? Pourquoi ?(b) Quelle particule élémentaire serait la plus abondante dans l’univers ?(c) Quelles interactions agissent sur leurs propres quanta ?(d) Quel type de particules constitue la matière : les bosons ou les fermions ? Comment “expliquer”

ce fait à l’aide du principe d’exclusion de Pauli ?

1.4. Types d’interactions

Identifiez le type d’interaction (faible, forte ou électromagnétique) qui intervient dans les réactionssuivantes :

(a) le rayonnement (émission de noyaux d’hélium) ;(b) le rayonnement (ux d’électrons) ;(c) le rayonnement (photons de grande énergie) ;(d) la désintégration du muon − → − + + ;(e) l’annihilation de l’électron et du positron + + − → ;(f) l’attraction entre les neutrons et protons ;(g) la désintégration d’un antipion + → + + ;(h) la désintégration d’un lambda Λ0 → + + − ;(i) la répulsion de 2 protons ;(j) l’attraction de 2 électrons.

1.5. Diagrammes de FeynmanReprésentez les processus suivants à l’aide de diagrammes de Feynman et précisez aussi la naturedes interactions en cause (électromagnétique, faible, forte) :

(a) 2 protons se repoussent par l’échange d’un photon virtuel ;(b) un neutron se transforme en un proton par l’émission d’un− virtuel qui se désintègre ensuite

en un électron et un antineutrino électronique ;(c) un électron et un antineutrino électronique deviennent respectivement un antineutrino électron-

ique et un électron via l’échange d’un − virtuel ;(d) un électron et un antineutrino électronique se diffusent par l’échange d’un 0 virtuel.

1.6. Unités naturelles(a) Convertissez les quantités suivantes en unités naturelles :

(i) l’unité de force 1 = 1 kg·ms2 ;(ii) la masse du proton = 1672× 10−27 kg ;

(iii) constante de Coulomb = 1(40) = 9× 109 N·m2/C2 (1 C = 624× 1018) ;(iv) constante de structure fine = 2(~) ≈ 1137 ;(v) constante de Boltzmann = 1381× 10−23 J/K.

(b) Les expressions suivantes sont écrites en unités naturelles. Retournez aux unités SI en réintro-

27


duisant les symboles ~ et :(i) équation de Schrödinger − 1

22

2Ψ( ) + ()Ψ( ) =

Ψ( ) ;

(ii) onde plane Ψ( ) = −(−) ;(iii) énergies relativistes 2 = 2 +2, = = 1√

1−2 ;

(iv) longueur d’onde = 2= 1√

2−2;

(v) portée maximale d’une interaction ≈ ∆ ≈ 12

.

1.7. Dynamique relativiste(a) Quel est le momentum d’un proton dont l’énergie cinétique est de 1 MeV ?(b) Le temps de vie moyen du méson au repos est de 2×10−6. Dans une expérience, on mesure

un temps de vie moyen de 4 × 10−6. Quelle est la vitesse moyenne des particules dans lelaboratoire ?

(c) Un proton passe du repos à une vitesse de 0 9. Quel est son changement en énergie ?(d) Un électron a une vitesse de 0 3. Quelle est l’énergie nécessaire pour tripler cette vitesse ?(e) Près d’un noyau massif, un photon de 2MeV est absorbé par un électron quasi-stationnaire. Si

l’énergie de recul du noyau est négligeable, quelle est la vitesse finale de l’électron ?(f) Quelle doit être la vitesse d’une particule pour que son énergie cinétique soit égale à son énergie

de masse ?

1.8. L’équation de Klein-GordonOn considère une particule relativiste de masse se déplaçant sur une ligne (axe des ) avec unmoment linéaire .

(a) Montrez que, si la particule est décrite par une onde plane de de BroglieΨ( ) = (−)~

et par la relation de dispersion relativiste 2 = 24+22, l’équation d’onde de la particuleest la suivante :

2

2− 1

22

2−

~

2Ψ( ) = 0

C’est l’équation de Klein-Gordon en une dimension.(b) On sait que l’interprétation probabiliste de l’équation de Schrödinger provient de l’équation de

continuité :

( ) +

( ) = 0

où la densité de probabilité et le courant de probabilité sont donnés par

( ) = Ψ∗Ψ et ( ) = − ~

2(Ψ∗Ψ−ΨΨ

∗)

Montrez que l’équation de Klein-Gordon implique aussi une équation de continuité avec :

( ) =~2

(Ψ∗Ψ−ΨΨ

∗) et ( ) = − ~

2(Ψ∗Ψ−ΨΨ

∗)

Par contre, on ne peut plus interpréter comme étant une densité de probabilité. Pourquoi ?

1.9. L’équation de Dirac

Le problème précédent montre que l’équation de Klein-Gordon est relativiste mais qu’elle est aussiquadratique en énergie ( = ~) et sans interprétation probabiliste possible. Le but de ce prob-lème est d’obtenir une équation d’onde relativiste qui corrige ces deux problèmes.

(a) Démontrez qu’il est impossible de trouver une paire de nombres complexes et telle que :

= + et 2=

2+

2

où , et sont des opérateurs qui commutent entre eux.(b) Montrez que les 2 expressions précédentes sont possibles si :

=

0 1

1 0

et =

1 0

0 −1

(c) Utilisez les résultats précédents pour justifiez le fait que l’équation de Dirac,

Ψ( ) = Ψ( ) où = −~ +2 et = ~

soit qualifiée de relativiste et linéaire en énergie.(d) Décomposez l’équation de Dirac en un système de 2 équations aux dérivées partielles du pre-

28


mier ordre en posant

Ψ( ) =

Φ( )

( )

(e) Obtenez l’équation de Dirac indépendante du temps en utilisant la séparation de variablessuivante :

Ψ( ) = ()−~

=

()

()

−~

(f) Prenez la limite non relativiste (faible énergie) et montrez que la (petite) composante devientnégligeable alors que la (grande) composante obéit à l’équation de Schrödinger suivante :

~2

2

2

2() = ( −

2)()

(g) Montrez qu’une interprétation probabiliste est possible en vérifiant que l’équation de Diracimplique une équation de continuité,

( ) +

( ) = 0

où

( ) = Ψ†Ψ

( ) = − ~2

(Ψ†Ψ− Ψ

†Ψ)

puis que la densité est toujours positive.(h) Montrez enfin que les vecteurs

()+=

1

0

()

−=

0

1

sont des solutions de l’équation des états stationnaires. Quelle est leur énergie respective ?Interprétez ce dernier résultat.

1.10. Initiation à la théorie quantique des champs : bosons non relativistesCe problème s’adresse aux personnes ayant de solides bases en mécanique quantique.On présente ici l’idée de la seconde quantification en une dimension. La première quantificationconsiste essentiellement à élever les variables de position et de momentum au rang d’opéra-teurs hermitiens dont la relation de commutation est [ ] = ~ ; la première quantificationdonne ainsi l’équation d’onde de Schrödinger dans le cas non relativiste. La seconde quantifica-tion consiste à quantifier la fonction d’onde, c’est-à-dire, la considérer la fonction d’onde ( )comme étant un opérateur satisfaisant les relations de commutation (en temps égal) suivantes :

[( ) †(0 )] = (−

0) [( ) (

0 )] = 0 = [

†( )

†(0 )] (1.70)

Montrez que, si l’hamiltonien est défini par

() =

†( )

− ~

2

2

2

2+ ()

( )

alors l’équation du mouvement de l’opérateur est la suivante :

~

( ) = [( ) ()] = − ~

2

2

2

2( ) + ()( )

Il en va de même pour l’opérateur conjugué †.

29

SOURCES ET DÉTECTEURS Chapitre 2

2.1 Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2 Détecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3 Les principales expériences en

cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

Avant d’aborder les modèles sur lesquels est basée notre vision de la physique des partic-ules, il est essentiel de comprendre comment on arrive à percevoir ces particules, à mesurerleurs propriétés physiques et quels sont les défis techniques qu’il faut relever pour y parvenir.Le but de ce chapitre est donc de donner un aperçu des méthodes expérimentales utilisées enphysique des particules. On peut les regrouper sous deux grandes fonctions : (1) les méth-odes qui visent à fournir des sources de particules ayant des énergies de plus en plus grandes4

et (2) les détecteurs qui servent à mettre en évidence les différentes manifestations physiquesdes particules et à mesurer leurs propriétés physiques.

2.1 Sources

Radioactivité

La radioactivité provient de la désintégration spontanée (relevant de l’interaction faible)de noyaux lourds. Elle est caractérisée par l’émission d’une ou plusieurs des particules légèressuivantes

− + et (++)

dont les énergies sont de l’ordre de grandeur des énergies de liaison nucléaire (environ 10MeV).

Rayons cosmiques

Les rayons cosmiques sont des particules très stables (principalement des protons, desneutrons et des photons) qui se propagent à des distances astronomiques avant d’entrer dansl’atmosphère terrestre. Dès lors, ils interagissent avec les particules qui s’y trouvent et peu-vent générer une multitude de sous-produits. Cette source a le désavantage d’être incon-trôlable. En effet, on ne connaît a priori ni la nature, ni l’énergie, ni la trajectoire de la partic-ule. De plus, les rayons cosmiques sont absorbés par l’atmosphère de sorte que seulement unefraction de ceux-ci arrive jusqu’à la surface de la Terre. Par ailleurs, l’énergie des rayons cos-miques est beaucoup plus grande que celle associée à la radioactivité. On leur identifie deuxsources principales : une source stellaire associée aux “basses énergies” et une source galac-tique caractérisée par des énergies pouvant aller jusqu’à 103 TeV. Par ailleurs on a observédes rayons cosmiques avec des énergies au delà de 5 × 1019 eV. Tout indique que ceux-cipourrait avoir été produit par des galaxies actives.

4 Selon le principe d’incertitude ∆ ·∆ ≥ ~, plus l’impulsion des particules est grande lors d’une collision plusil est possible de sonder profondément à l’intérieur de la matière (courte distance)

31

SOURCES ET DÉTECTEURSC h a p i t r e 2

Accélérateurs

Outre les sources naturelles, les physiciens des hautes énergies se sont donné des outilspour étudier les phénomènes subatomiques : les accélérateurs de particules. Ces appareilsont mené à un progrès phénoménal notamment en physique des particules en permettant desonder la matière à des distances de plus en plus petites.

On doit ce progrès en grande partie à l’accroissement constant de l’énergie des particulesprojectiles. Cet accroissement répond à deux objectifs :

1. La production de nouvelles réactions ou de nouvelles particules finales souvent plus mas-sives, ce qui n’est possible que si l’énergie initiale dans le centre de masse est suffisante.

2. Sonder la matière de plus en plus profondément pour découvrir des sous-structures, endiminuant la longueur d’onde des particules incidentes ( = 1

) pour obtenir un plus

grand pouvoir séparateur au cours de diffusions à hautes énergies (exemple : diffusiontrès inélastique d’électrons très énergétiques sur des protons).

La physique de l’accélérateur

Pour accélérer une particule à l’énergie voulue, on utilise ses propriétés électromagné-tiques. Une particule de charge placée dans les appareillages qui produisent des champs EetB subira une force

F() = E+ v×B (2.1)(conséquence des équations de Maxwell). Cette relation tient pour des systèmes relativistessi on définit :

F() ≡ p

=

(v) (2.2)

D’autre part, le taux de travail accompli sur une particule chargée ou le gain d’énergie parunité de temps de la particule s’écrit

=

0

= F · v = E · v

Notons que le champ B n’effectue aucun travail sur la particule. Donc de façon générale, lechamp électrique est nécessaire pour accélérer les particules tandis que les champs magné-tiques sont utilisés pour contrôler leur trajectoire. Un champ magnétique perpendiculaire à lavitesse des particules permet de maintenir celles-ci sur une trajectoire circulaire si nécessaire.Des aimants quadrupolaires (et quelques fois sextupolaires) tiennent le faisceau de particuleschargées focalisé sinon le faisceau aurait tendance à se disperser étant formé de particulesavec des charges électriques de même signe.

Accélérateur linéaire (Linacs) :

Figure 2.1 JIAccélérateur linéaire : Des électrodes avoisinantessont soumises à une différence de potentiel oscil-lant à haute fréquence. La longueur de chaqueélectrode est ajustée pour qu’il ait toujours ac-célération des particules lors du passage entredeux électrodes.

RF~

Source d’ions

Dans un tube cylindrique sous vide sont alignées des électrodes cylindriques. On alternela parité électrique des électrodes en les connectant à une source de radiofréquences (voirfigure 2.1). Les particules chargées sont accélérées pendant leur court passage entre deuxélectrodes successives puisque soumises à une différence de potentiel . Une fois que lesparticules sont dans les électrodes cylindriques et pendant la durée de leur trajet, il s’opèreune inversion de polarité des électrodes avoisinantes si bien qu’à la sortie elles sont soumises

32

C h a p i t r e 2Sources

à la même différence de potentiel, , et sont accélérées dans le même sens. Les électrodessont conçues pour que le passage des particules à l’intérieur de chacune d’elles ait une duréecorrespondant à la moitié de la période de la radiofréquence.

Cette contrainte est toutefois moins importante pour une particule légère puisque dèsqu’elle atteint une énergie cinétique comparable à sa masse, sa vitesse s’approche de et lalongueur des électrodes requise est alors pratiquement constante. Elle peut alors être ac-célérée par une onde électromagnétique produite dans une cavité résonnante. Les partic-ules chargées, qui sont en général accélérées en paquets, se propagent alors en phase aveccette onde. Les accélérateurs linéaires à électrons permettent d’accélérer simultanément despositrons en alternant les paquets d’électrons et de positrons. Les positrons sont accélérésdans le même sens puisque soumis à une différence de potentiel, − , à leur sortie des élec-trodes. Il est ensuite possible de séparer les faisceaux à la sortie de l’accélérateur grâce à unchamp magnétique.

Figure 2.2 NLe collisionneur SLC du SLAC (Stanford LinearAccelerator Center) à Stanford, USA. Les premièresétapes de l’accélération se produisent dans la par-tie linéaire originale de l’accélérateur du SLAC(gracieuseté de SLAC, Stanford, USA).

Le plus grand de ces accélérateurs à électrons est encore celui de Stanford (U.S.A.) quiatteint une énergie de 20 GeV avec une longueur de 3 km. Pour fin de comparaison

= 0511MeV

= 20000MeV

Puis pendant plusieurs années, il fut utilisé comme injecteur pour un projet plus ambitieux,le SLC. On y séparait les faisceaux électron-positron pour les orienter sur des trajectoiresdistinctes et, tout en continuant de les accélérer, on les guide vers une collision face-à-face(50 GeV sur 50 GeV) (voir figure 2.2). Depuis peu, il sert à alimenter une manufacture demésons “beaux”, et dans les anneaux de storage de PEP-II (projet BaBar).

Accélérateurs circulaires(Synchrotrons)

Figure 2.3 NCyclotron : la trajectoire des particules chargéesest circulaire entre les électro-aimants en formede D alors que celles-ci sont accélérées grâce àune tension appliquée dans la région séparant lesdeux D.

L’ancêtre de ces appareils est le cyclotron, une invention due à Lawrence (1930). Il estbasé sur l’idée de contenir la particule dans une région limitée en y appliquant un champmagnétique. L’accélération est obtenue au moyen d’un champ électrique.

La source de particules est placée au centre d’une enceinte cylindrique sous vide. Lesparticules se propagent entre les deux pièces polaires d’un électro-aimant et sont donc con-stamment soumises à un champ magnétique uniforme B. L’appareil ressemble à un sandwichcylindrique coupé en deux le long de son diamètre (voir figure 2.3). Les électro-aimants ontune forme de D (d’où le nom de “dee” qui les caractérise). Deux électrodes entre lesquellesest appliquée une tension variable à haute fréquence (HF) sont disposées dans l’espace sé-parant les deux D. Puisque le champ électrique est nul à l’intérieur d’un D, l’équation demouvement s’écrit

p

=

v = v×B

la vitesse |v| étant constante.Pour un champ uniforme et constant, si la vitesse initiale est perpendiculaire à la direction

deB, la trajectoire sera circulaire tout en demeurant dans le plan perpendiculaire àB puisque

B·p=

(B · p) = B· (v ×B) = 0

Le rayon de la trajectoire entre les D est donné par

= |v||| |B| =

|p||| |B| (2.3)

avec une fréquence = |||B|

. Le cyclotron atteint rarement des vitesses relativistes à causedes contraintes sur les dimensions de l’appareil et la grandeur de champ magnétique requis(voir éq. (2.3)). Dans le cas non-relativiste, ' 1 et ne dépend pas de alors

' || |B|

Il est possible d’accélérer la particule à chaque passage d’un D à l’autre, en appliquant

33


une tension haute fréquence bien synchronisée. Il s’ensuit un accroissement d’impulsion de

∆p = || |E|∆ = || |E|

|v| =|||v|

où est la distance entre les D et la tension appliquée.Puisque le rayon de la trajectoire dépend de l’impulsion, le tout se traduit par un accroisse-

ment correspondant du rayon , et la trajectoire ressemble globalement à une spirale faite dedemi-cercles.

Pour un rayon , un champ magnétique et une impulsion exprimés en mètre, Tesla et GeVrespectivement, (2.3) s’écrit (|| = 1),

|p| = 03 |B| Par ailleurs, la direction de la courbure permet en général de déterminer le signe de la charge.

RF~RF~

Aires

d'interaction

Cavités

résonantes

Aimant dipolaire

Aimant quadrupolaire

Figure 2.4 NSchéma élémentaire d’un synchrotron. Il faut noterqu’en général, un accélérateur est composé debeaucoup plus d’éléments (aimants sextupolaires,systèmes de refroidissement et de contrôle,...) etleur disposition est complexe.

Lorsque la vitesse devient relativiste, la fréquence de rotation =|||B|

est modifiée àchaque passage. Il est donc nécessaire de modifier la fréquence du champ électrique pour lesynchroniser aux passages d’un paquet de particules au centre de la machine. C’est sur ceprincipe que sont construits les synchro-cyclotrons.

Toutefois, on atteint vite les limites raisonnables pour la dimension des électro-aimants sion persiste à utiliser les synchro-cyclotrons pour des protons de plus de 1 GeV.

Finalement, dans les synchrotrons, on ajuste le champ magnétique B pendant l’accéléra-tion de façon à maintenir le rayon de courbure du faisceau à peu près constant (voir figure2.4). L’accélérateur consiste en une série d’aimants dipolaires qui servent à courber la tra-jectoire, intercalés à des endroits stratégiques des aimants quadrupolaires pour focaliser lefaisceau, des cavités résonnantes à haute fréquence pour accélérer les particules et finalementdes aires d’interactions où sont logés les détecteurs. Le faisceau lui-même est sous un videpresque parfait pour éviter des dispersions inutiles et des pertes d’intensité et d’énergie.

Figure 2.5 NAimants dans une section du tunnel au Tevatron,Fermilab à Batavia, USA (gracieuseté de Fermi-lab, Batavia, USA).

L’un des plus grands défis techniques dans la conception de ces appareils réside dans lafocalisation optimale du faisceau. Puisque le faisceau est composé de particules de chargesidentiques, ces dernières ont tendance à s’éloigner les unes des autres causant une disper-sion du faisceau de plus en plus grande. En plaçant un champ magnétique non homogène(quadrupôles), il est toutefois possible de focaliser le faisceau en ramenant les particulesdans la direction principale.

Accélérateurs de particules dans le monde

La conception optimale d’un accélérateur dépend d’un certain nombre de paramètres im-portants tels que ses dimensions, sa luminosité, son cycle de vie, la nature des particulesaccélérées et, non le moindre, le coût.

De façon générale, le collisionneur qui consiste en deux anneaux concentriques (syn-chrotrons) où sont accélérées les particules en sens inverse est un des plus performantspuisque l’énergie disponible dans le centre de masse est très grande. Cependant, la proba-bilité d’une interaction lorsque deux faisceaux arrivent face-à-face est beaucoup plus faibleque dans le cas d’une collision sur cible fixe à cause de la densité des faisceaux notamment.Cette probabilité est paramétrée par une quantité appelée luminosité, L. Le taux de réaction pour un processus ayant une section efficace est alors

= LLa luminosité dépend uniquement de la conception de l’accélérateur et non du processus :

L = · · 12

où est la fréquence de révolution des particules, , le nombre de paquets dans les faisceaux,1 et 2 le nombre de particules par paquet dans chaque faisceau et finalement, est lasection efficace des faisceaux dans le cas simple où ceux-ci se recouvrent complètement. Laluminosité s’exprime en unités de pb−1·s−1 où pb dénote une unité de surface appelée le

34


picobarn ( 1 pb = 10−36 cm2 = 10−40 m2).

Figure 2.6 NProjet pour la prochaine génération de collision-neurs linéaires électron-positron, NLC ou Next Lin-ear Collider (gracieuseté de SLAC, Stanford, USA).

La nature des particules accélérées joue aussi un rôle important dans le choix du design.Par exemple, on sait que des particules chargées en mouvement accéléré émettent un rayon-nement électromagnétique. Lorsque l’accélération est normale à la direction de propagation,comme c’est le cas pour une trajectoire circulaire, il est appelé rayonnement synchrotron. Ily a donc perte d’énergie même si on ne fait que maintenir les particules chargées sur leurtrajectoire circulaire. L’énergie perdue par tour est donnée par

∆ =4

3

224

où est la vitesse des particules, =¡1− 2

¢− 12 est le facteur relativiste et le rayon de

courbure du faisceau. Cependant, on voit aisément que la perte d’énergie est d’autant plusgrande que la masse des particules est petite pour des faisceaux de même énergie. En effet

=

et, par exemple, si on compare des faisceaux d’électrons et de protons de mêmes énergie etcourbure,

(∆)(∆)

=

µ

¶4' 1013

En fait, les derniers grands accélérateurs ont tous été construits sur le principe du collision-neur. La prochaine génération d’accélérateurs d’électrons (au-delà du TeV) devra être baséesur le principe des machines linéaires (voir figure ??).

Collisionneurs

Projet/LaboratoireÉnergie(GeV)

Circonférence(km)

+−CESR (1979)Cornell–Ithaca,USA

6 + 6 0.768

KEKBTsukuba–KEK,Japon

8 + 35 3.016

PEP-II (1999)SLAC–Stanford,USA

12 + 4 2.2

PETRA (1992-)DESY–Hambourg,All.

23 + 23

TRISTAN (1999)Tsukuba–KEK,Japon

30 + 30

SLC (1989)SLAC–Stanford,USA

50 + 50 145 + 147

LEP I et II (1990-1999)CERN–Genève,Suisse

I : 45 + 45II : 105 + 105

2666

SppS (1981–1990)CERN–Genève,Suisse

315 691

Tevatron (1987-2008)Fermilab–Batavia,USA

1000 + 1000 628

LHC (2007)CERN–Genève,Suisse

7000 + 7000 2666

SSC (Annulé)SSC–Waxahachie,USA

20000 + 20000 8712

HERA (1992-)DESY–Hambourg,All.

: 30 + : 820 633

Outre leur utilisation en physique des particules, les accélérateurs s’avèrent maintenantessentiels dans l’étude du rayonnement synchrotron, pour des expériences en physique nu-cléaire, en physique atomique, en physique du solide, en physique des surfaces, en métal-

35


lurgie, en biologie, en médecine,et pour étalonner certains instruments d’astrophysique. No-tons qu’ils se révèlent des instruments de vérification très efficaces de la théorie de la relativitérestreinte.

36


Figure 2.7 NVue aérienne du Tevatron de Fermilab à Batavia,USA (gracieuseté de Fermilab, Batavia, USA).

Figure 2.8 NPlan des accélérateurs (PS, SPS et LEP) et dessites d’interactions (ALEPH, OPAL, L3 et DEL-PHI) du CERN à Genève, Suisse (gracieuseté duCERN, Genève, Suisse).

37


2.2 Détecteurs

Un détecteur sert à identifier les caractéristiques des particules en jeu dans une réaction.De manière plus générale, les détecteurs peuvent remplir de nombreuses fonctions.I Décrire dans la mesure du possible la trajectoire de chacune des particules. À cet effet,on utilise plusieurs méthodes soit des petits compteurs dont la position et l’alignement per-mettent de déterminer la direction d’une particule, soit des détecteurs entrecroisés et empilésformant une matrice pouvant identifier les directions de plusieurs particules, ou bien encoretout simplement un détecteur à trace, qui comme son nom l’indique, trace la trajectoire desparticules qui le traversent.

Mais ce n’est pas tout de “voir” la particule, il faut aussi être en mesure de :I Déterminer l’impulsion et la charge électrique des particules chargées. Dans bien descas, ces informations sont obtenues en observant la trajectoire de la particules dans un champmagnétique appliqué sur une partie du trajet ;I Identifier chaque particule en mesurant sa masse. Pour les particules chargées, lamesure simultanée de leur impulsion et de leur vitesse par l’ionisation d’un milieu mèneà ce résultat ;I Finalement, la sélection d’événements par ce qu’on appelle “triggers” ou déclencheursest une fonction cruciale dans les détecteurs pour éviter un cumul inutile d’événements quine sont pas pertinents dans l’étude en cours. Cette sélection doit s’effectuer très rapidement.Elle est en général effectuée par des détecteurs possédant un temps de réponse très court.

Ce ne sont pas les seules contraintes auxquelles sont confrontés les expérimentateurs. Ledétecteur parfait devrait être aussi efficace quel que soit le type de particules, devrait prendreses mesures sans inuencer le système ou sans être affecté par le faisceau, devrait avoirune précision illimitée, devrait offrir une couverture totale de tout l’angle solide (soit de 4stéradians) malgré les faisceaux de particules incidentes, etc... Dans la pratique, on fait appelà une combinaison de détecteurs différents, chacun spécialisé à des tâches bien précises afind’optimiser la quantité et la qualité des mesures effectuées. Ces dernières sont alors mises encommun et analysées.

Mais avant de décrire les principaux détecteurs, examinons quels principes physiques sontexploités dans la construction de ces appareils.

La physique du détecteur

- e

- e

- e

Figure 2.9 NProcessus d’ionisation d’un atome. La particulechargée (un électron ici) transfert suffisammentd’énergie à un électron atomique qu’il peut s’échap-per en produisant un ion.

Pour qu’il y ait détection, il faut qu’il y ait interaction. La très grande majorité des dé-tecteurs se basent sur les interactions électromagnétiques des particules avec la matière. C’estpourquoi, à quelques exceptions près, seules les particules chargées sont détectées directe-ment. Les photons, bien que neutres, se manifestent par leurs interactions avec ces particuleschargées.

Les autres particules neutres n’ont aucune interaction électromagnétique. Elles ne peuventêtre “vues” qu’à la suite de collisions, désintégrations ou tout autre processus produisant desparticules chargées secondaires.

Ionisation

Le processus le plus courant est l’ionisation. Le champ électromagnétique d’une particulechargée en mouvement accélère les électrons des atomes avoisinant sa trajectoire et les ionise.L’ion est alors détectable soit chimiquement, soit électriquement (voir figure 2.9).

Dans le processus, la particule chargée continue sa trajectoire mais une partie de sonénergie est absorbée par le milieu. La théorie permet de très bien prédire le taux de ces pertesqui sont principalement dues à la diffusion coulombienne par des électrons atomiques (à nepas confondre avec la diffusion coulombienne avec les noyaux). Les calculs de Bethe, Bloch

38

C h a p i t r e 2Détecteurs

et autres chercheurs dans les années ’30 mènent à la formule de Bethe-Bloch qui exprime letaux de perte en fonction de la longueur de pénétration

−

=2

2

∙ln

µ222

¶− 2 −

2

¸(2.4)

où , et sont respectivement la masse, la charge et la vitesse de la particule ( = = 1).

est le facteur de Lorentz¡1− 2

¢− 12 La constante est donnée par

=4

alors que est le potentiel d’ionisation moyen ( = 10 eV pour 20). Le facteur paramétrise l’effet d’écran diélectrique et introduit une correction due à la densité du milieu.Finalement, est la densité électronique du milieu.

- e

- e

Figure 2.10 NDiffusion de Coulomb : La particule chargée estdiffusée électromagnétiquement au passage prèsd’un noyau lourd.

En principe, la formule ci-dessus s’applique seulement aux particules de spin-0, mais lescorrections pour les particules de spin-1

2sont faibles et à toutes fins pratiques négligeables.

À petite vitesse, le comportement de −

est dominé par le facteur −2 dans l’expression(2.4). Toutes les particules chargées passent par un minimum d’ionisation pour des valeurs d’environ 3 ou 4. Finalement, pour de très grandes impulsions, est pratiquement l’unitéet l’expression augmente logarithmiquement jusqu’à ce qu’elle soit contrebalancée par l’effetd’écran.

Une connaissance approfondie du milieu ionisé permet alors de déterminer la vitesse etla charge de la particule chargée.

Diffusion de Coulomb

La particule chargée peut aussi interagir électromagnétiquement avec des noyaux lourds.C’est ce qu’on appelle la diffusion de Coulomb.(Voir figure 2.10) La réaction est en généralplus brutale pour la particule incidente à cause de la masse comparativement plus élevée dunoyau. Ce processus est caractérisé par :

– une cible immobile ou presque ;– une diffusion transverse ou un angle de diffusion appréciable ;– une collision élastique ou quasi-élastique (conservation de l’énergie).

Rayonnement de freinage

Dans ce processus, la collision particule-noyau est accompagnée de l’émission d’un pho-ton et donc se distingue de la diffusion de Coulomb par son inélasticité (voir figure 2.11).Des calculs détaillés mènent à un taux de perte d’énergie pour des électrons relativistes (avec À

13

) de

- e - e

Figure 2.11 NRayonnement de freinage : Une collision particule-noyau est accompagnée de l’émission d’un pho-ton. Il en résulte un perte d’énergie (ou un freinage)de la particule.

−

=

où est la longueur de rayonnement

−1 = 4 ( + 1)

23 ln

µ183

13

¶avec la densité atomique et les autres quantités sont définies plus haut. Contrairement àl’ionisation, le rayonnement de freinage dépend fortement de la masse de la particule chargée(∝ −2) et sera dominant pour des particules peu massives (électrons et positrons).

Absorption de photons par la matière

Les photons ont une forte probabilité d’être absorbés ou diffusés à de plus ou moinsgrands angles suivant leur énergie par les atomes dans un matériau. La densité de photonsmonochromatiques d’un faisceau (ou l’intensité d’un faisceau) varie selon

= −

39


où est le chemin libre moyen. est inversement proportionnel à la densité du milieu et

- e

Figure 2.12 NEffet photoélectrique : Un photon est absorbé parun électron atomique et s’échappe pour créer union.

à la section efficace d’absorption ou de diffusion :

−1 =

Intégrant l’équation précédente, on trouve

() = (0)−(−0)

ce qui indique une diminution exponentielle de l’intensité du faisceau en fonction de la dis-tance de pénétration.

L’absorption de photons par la matière passe par trois processus qui contribuent tous à lasection efficace totale :

– Effet photoélectrique : Un photon absorbé libère un électron des couches plus oumoins profondes. Le spectre d’absorption du milieu dépend de l’énergie des photonsmais est surtout caractérisé par des pics correspondant aux énergies de liaisons desélectrons (voir figure 2.12).

– Effet Compton : L’effet Compton décrit le processus de diffusion d’un photon par lamatière. Ce processus est inélastique (voir figure 2.13).

– Création de paires : Au-delà d’un certain seuil d’énergie = 22, les photons

peuvent, en présence d’un champ externe, induire la création d’une paire particule-antiparticule dont les masses sont (voir figure 2.14). On identifie deux contribu-tions distinctes à la section efficace : une première où le champ externe est celui desélectrons atomiques et une seconde où les photons interagissent avec le champ dunoyau. À très haute énergie, la création de paires domine les effets photoélectrique etCompton dans l’expression de la section efficace totale

Figure 2.13 JIEffet Compton : Un photon est absorbé puis réémispar une particule chargée. L’impulsion et l’énergiedu photon est modifiée dans le processus.

e- e-

e- e-

Instruments de détection

e+

e-

Figure 2.14 NUn photon crée une paire particule-antiparticule.On note que le processus nécessite la participa-tion d’un deuxième photon pour que l’énergie-im-pulsion soit conservée.

Chambre d’ionisation, compteur proportionnel et compteur de Geiger-Müller

Ces trois détecteurs sont en quelque sorte le même appareil qui fonctionne à trois régimesdifférents. Il consiste en un tube métallique rempli d’un gaz et traversé en son axe centralpar un fil de métal. Le fil d’anode et le cylindre sont soumis à une différence de potentiel 0 (voir figure 2.15). Lorsqu’une particule chargée traverse l’enceinte, le gaz est ionisé.Électrons et ions positifs se dirigent alors vers le fil ou la paroi du tube provoquant uneimpulsion électrique détectable aux bornes du détecteur. La tension détermine le mode defonctionnement de la chambre et donc la hauteur du signal généré. En deçà d’un certain seuil, seuil l’ion et l’électron se recombinent avant même de pouvoir atteindre les bornes.Alors aucun signal et aucune ionisation ne sont détectables. Pour seuil, trois régimessont possibles :

1. Le régime de la chambre d’ionisation où seuil ion : Les ions primaires pro-duits par la particule chargée sont recueillis. La hauteur du signal est alors proportionnelleà l’énergie des particules.

40


2. Le régime du compteur proportionnel où ion GM : Pour un potentiel suff-isamment grand, les ions sont accélérés à des énergies telles qu’ils ionisent eux-mêmesles autres atomes du gaz. Il en découle une amplification du signal via la formation d’uneavalanche d’électrons/ions autour du fil d’anode. Il en résulte une hauteur du signal quiest proportionnelle à l’énergie des particules incidentes.

3. Le régime du compteur de Geiger-Müller où GM : Dans ce régime, une particulechargée déclenche l’ionisation complète du gaz. Le signal consiste alors en une brèveimpulsion dont l’intensité est indépendante de l’énergie de la particule incidente.

Ces trois types de détecteurs peuvent aussi détecter des photons mais ceux-ci sont ab-sorbés dans le processus.

Figure 2.15 JIChambre à ionisation : Le gaz dans l’enceinte estionisé au passage d’une particule chargée tra-verse l’enceinte. La tension entre le tube et le filpermet de diriger les ions et de détecter un sig-nal.

fil

gaz

particuleionisant

V

Chambre à fils (ou compteur proportionnel multifils) :

Le compteur proportionnel multifils, introduit par G. Charpak (1968-70), est basé surl’idée d’aligner côte à côte des compteurs proportionnels. Les tubes sont remplacés par deuxplans cathodiques espacés de 1 à 2 cm entre lesquels on place des fils anodiques parallèles àtous les 1 mm, avec un diamètre typique de fil de 20 m. L’enceinte entre les deux plans estremplie de gaz ionisant (voir figure 2.16).

Une particule chargée passant à travers cet appareil produit une impulsion électrique surle fil le plus proche de sa trajectoire. En disposant un deuxième détecteur de façon à ce queles fils des deux compteurs forment un quadrillage, on obtient la position de la particule. Unempilement des plusieurs de ces compteurs permet de déterminer la trajectoire de la particuleà 500m près avec un temps de réponse typique de 30 ns.

Figure 2.16 JISchéma d’une chambre à multifils.

fils (anodes)

plaques (cathodes)

particuleionisante

Chambre à streamer et chambres à ash :

Utilisées dans le régime de Geiger-Müller, des chambres proportionnelles génèrent desavalanches d’électrons dans le gaz qui à leur tour produisent un plasma appelé streamer vis-ible à l’oeil nu. Ce détecteur se nomme chambre à streamer. La chambre est préparée enenvoyant de courtes impulsions électriques de 10 à 50 kV cm−1 entre des plaques trans-parentes parallèles. Lorsqu’une particule chargée passe dans la chambre, elle déclenche unesérie de décharges qui dessinent sa trajectoire. Celle-ci peut être photographiée ou enregistréeélectroniquement. La résolution spatiale de ces appareils est typiquement de 200m.

Pour une impulsion de très haut voltage, il se forme une ionisation complète entre le pointde passage de la particule et le fil, produisant ainsi un “ash”. Dans ce régime, on parle

41


42


de chambre à ash. Elles sont formées d’une multitude de tubes transparents et sont donclimitées dans leur résolution spatiale par le diamètre des tubes. Ces détecteurs sont toutefoisplus simples et moins coûteux que des chambres à multifils, ce qui représente un avantagecertain dans la construction de détecteurs de grande dimension tels que les calorimètres.

Figure 2.17 JISchéma d’une chambre à dérive.

cathode -3.5kV

fils formant le champde dérive

anode1.7kV

particuleionisante

-1 -2-.5 -3 kV-2.5

électrons

Chambre à dérive

Les chambres à dérive représentent aussi un choix valable face aux chambres à multifils.Dans ces détecteurs, les fils sont séparés d’une bonne distance. Les électrons primaires crééspar une particule chargée qui traverse le gaz met alors un certain temps avant d’être recueilliepar les électrodes (voir figure 2.17). La trajectoire est reconstituée en tenant compte du tempsde dérive des électrons primaires jusqu’au voisinage du fil (où ils déclenchent l’avalanche) quiest typiquement de l’ordre 2s. Ceci représente aussi une contrainte puisqu’un seul événe-ment peut être reconstitué pendant ce temps. On dit alors que la capacité de comptage estlimitée. Avec une vitesse de dérive d’environ 40 km/s et des dérives typiques de 10 cm, onatteint une résolution spatiale de 0.1 mm.

Détecteurs semi-conducteurs

Dans le même ordre d’idée, on a mis au point plus récemment des détecteurs semi-conducteurs, qui sont en quelque sorte des chambres à ionisation au silicium ou au ger-manium. Les paires électron-trou y jouent le rôle des paires électron-ion dans le détecteurà gaz. Ces détecteurs, beaucoup plus petits, ont une résolution spatiale sans égal (5 m) etsont souvent utilisés pour localiser précisément la position d’un vertex d’interaction. Ils sontparticulièrement utiles en spectroscopie de rayonnement . Par ailleurs, il sont facilementendommagés par les radiations et ne peuvent être utilisés près du faisceau principal.

Chambre de Wilson, chambre à bulles et émulsion photographique

Figure 2.18 JIExemple d’événement dans une chambre à bulledu SPS au CERN (à gauche) et de sa reconsti-tution (à droite) (gracieuseté du CERN, Genève,Suisse).

43


Ces trois types de détecteurs sont maintenant beaucoup moins utilisés qu’il y a moins devingt ans et ce, principalement parce qu’ils ont un temps de réponse trop élevé et qu’ils sontmal adaptés aux conditions qui prévalent dans les collisionneurs.

Tube photomultiplicateur

Scintillateur

guide d'ondes

Figure 2.19 NSchéma d’un compteur à scintillation.

Les chambres de Wilson sont remplies de vapeurs d’alcool qui sont soudainement com-primées. Dans un état “superfroid”, le gaz se condense à la moindre perturbation du milieutel que le passage d’une particule chargée.

La chambre à bulles (inventée par Glaser) a connu des heures de gloire dans les années’60. Elle consiste en un récipient où de l’hydrogène liquide est maintenue sous pression pourêtre périodiquement (à toute les 0.1 s) relâchée rapidement. L’hydrogène liquide est donctemporairement à une température “superchaude” ( ebullition). Le passage d’une partic-ule chargée déclenche la formation de bulles le long de la trajectoire. Le tout est photographiésous deux angles de vue, ce qui permet de reconstituer la trajectoire en trois dimensions (voirfigure 2.18).

Finalement, les émulsions photographiques sont sensibles aux radiations. Le milieu en-registre chimiquement la trajectoires des particules. Les émulsions sont exposées pendant uncertain temps puis ensuite doivent être développées et analysées. La résolution spatiale estexcellente soit 1m mais la résolution temporelle est presque inexistante à cause des délaisde développement.

ct/n

vt

Figure 2.20 NForme du front d’onde dans l’effet Tcherenkov.

Compteur à scintillations

L’excitation d’atomes dans certains milieux peut induire la luminescence (scintillation)qui à son tour est détectable par des photomultiplicateurs. C’est ce principe qui est utilisédans les compteurs à scintillations.

Le scintillateur peut être soit organique, inorganique, solide ou liquide. Dans tous lescas, le passage de particules chargées entraîne l’émission de lumière visible, dans le casd’un cristal, ou ultraviolette (UV) dans des matériaux organiques. Dans ce dernier cas, descolorants sont incorporés aux matériaux pour convertir l’UV en lumière bleue visible paruorescence. La lumière ainsi produite est ensuite guidée vers un tube photomultiplicateur.Celui-ci est formé d’une photocathode enduite d’une mince couche de métal alcalin. Lesphotons, en arrivant sur la photocathode, libèrent des électrons par effet photoélectrique. Lesignal est alors amplifié en passant par une série d’électrodes pour donner une impulsionélectronique rapide (voir figure 2.19).

Le temps de réponse total est très rapide — typiquement de 10 ns — ce qui fait de cesdétecteurs des dispositifs de déclenchement idéaux (“trigger”). Un compteur à scintillationtypique a des dimensions de 1m × 10cm × 1cm et donc une faible résolution spatiale. Unedisposition judicieuse de plusieurs de ces détecteurs peut, bien sûr, améliorer sensiblementcette résolution.

Compteur Tcherenkov

Lorsqu’une particule chargée traverse un milieu dispersif d’indice de réfraction (c’est-à-dire milieu =

), des atomes sont excités dans le voisinage de sa trajectoire et de la lumière

est émise. Si la vitesse de la particule est plus grande que celle de la lumière dans le milieu,milieu =

alors un effet analogue au bang sonique émis par un avion supersonique se

produit, c’est-à-dire qu’un front d’onde se forme et se propage à un angle (voir figure 2.20),

cos =1

C’est ce qu’on appelle l’effet Tcherenkov5. Les compteurs Tcherenkov permettent donc dedéterminer la vitesse des particules. On en utilise surtout deux types :

1. Les Tcherenkov à seuil, où l’on compte les particules dont la vitesse dépasse une vitesseseuil. Ce seuil peut être ajusté en variant l’indice dans les Cerenkov à gaz de pressionvariable.

5 Tcherenkov s’écrit parfois “Cerenkov” ou simplement “Cerenkov”.

44


2. Les Tcherenkov différentiels, qui mesurent directement l’angle et donc

Détecteur à rayonnement de transition

Lorsqu’une particule chargée traverse l’interface entre deux milieux de constantes diélec-triques différentes, un rayonnement de transition est émis. Celui-ci est causé par un change-ment brusque du champ électromagnétique créé par la charge en mouvement. Cet effet col-lectif avec le milieu peut être décrit classiquement. L’utilisation du rayonnement de transitiondans les détecteurs est possible dans le régime où les particules sont très relativistes, ce quicorrespond à des longueurs d’onde du domaine des rayons X.

Compteur à gerbes et calorimètre

Figure 2.21 JISchéma d’un calorimètre électromagnétique.

e+

e-

Plomb

gaz rare ouscintillateurs

V

Avec la construction d’accélérateurs de plus en plus puissants, et des particules pouvantatteindre des énergies supérieures à 100 GeV, les méthodes de détection ont du être modifiées.Une technique s’est révélée extrêmement performante dans ce nouveau régime d’énergie : lacalorimétrie. Une particule de très haute énergie, lorsqu’elle est absorbée dans un détecteur,produit des particules secondaires qui à leur tour sont absorbées et produisent des partic-ules tertiaires... Presque toute l’énergie de la particule est alors perdue par création de pairesde particule-antiparticule (gerbes ou avalanches) jusqu’au moment où l’ionisation ou l’ex-citation du milieu domine. Il est alors possible d’estimer précisément l’énergie (du moinsavec autant de précision que par déexion magnétique) aussi bien pour des hadrons neutresque pour des particules chargées. Ces détecteurs présentent l’inconvénient d’être destructifs,c’est-à-dire que l’état de la particule incidente n’est pas préservé. Par ailleurs, sur un planplus pratique, ils permettent de mesurer très rapidement l’énergie de la particule initiale etde sélectionner les événements. De plus ils sont particulièrement adaptés à l’étude des jets. Ilexiste deux types de détecteurs de gerbes :

1. Détecteurs de gerbes électromagnétiques : Un détecteur de gerbes électromagnétiquesconsiste typiquement en une batterie de plaques absorbantes faites d’un matériau lourd(ex. plomb) entre lesquelles on place un matériau doté de propriétés “actives” tel quel’argon liquide. Une tension est appliquée entre les plaques et les anodes. Les électronsprovenant de l’ionisation sont alors recueillis par les anodes (voir figure 2.21).

2. Détecteurs de gerbes hadroniques : Les détecteurs de gerbes hadroniques sont construitssur un principe similaire mais visent la détection des particules hadroniques qui peuvent

45


être neutres (e.g. neutrons). Ils doivent donc être sensibles aux interactions fortes. C’estle seul type de détecteurs qui n’est pas exclusivement électromagnétique. En effet, dans lebut d’amplifier le signal hadronique, notamment dans la détection de neutrons, on utilisesouvent des plaques d’uranium dans le détecteur. Lorsqu’un neutron entre en collisionavec un noyau d’uranium, il peut y avoir fission du noyau et production de trois neutrons,qui, à leur tour, peuvent interagir avec l’uranium et ainsi de suite. Les sections efficacesnucléaires étant plus faibles, les calorimètres hadroniques sont en général plus grands queles calorimètres électromagnétiques.

46


Figure 2.22 JISchéma du détecteur SLD utilisé au collisionneurSLC, Stanford, USA (gracieuseté du SLAC, Stan-ford, USA).

Figure 2.23 JISchéma du détecteur H1 utilisé au collisionneurHERA (électron-proton de 30 GeV + 820 GeV)de DESY à Hambourg, Allemagne (gracieusetéDESY, Hambourg, Allemagne ).

47


Figure 2.24 JIDétecteur CDF au Tevatron de Fermilab, Batavia,USA (gracieuseté de Fermilab, Batavia, USA)

Figure 2.25 JIDétecteur D0 au Tevatron de Fermilab, Batavia,USA (gracieuseté de Fermilab, Batavia, USA).

48


Détecteur hybride

Figure 2.26 JIExemple de reconstitution d’événements dans ledétecteur SLD : Une vue transversale de l’événe-ment et du détecteur est illustrée (gracieuseté duSLAC, Stanford, USA).

Les détecteurs qui sont décrits plus haut ont des caractéristiques différentes, chacun ayantdes forces et des faiblesses. Les grands détecteurs modernes sont en fait des hybrides formésd’un regroupement quelques fois assez imposant (de la hauteur d’un édifice de trois étages) deces différents appareils, exploitant ainsi chacune de leurs caractéristiques (voir figures 2.22,2.23, ?? et ??). La reconstitution des événements est alors prise en charge par l’électroniqueet les ordinateurs (voir par exemple figures 2.26 et ??). Vu la complexité de ces appareils,on a mis au point des programmes de simulation basés sur la génération aléatoire de colli-sions (simulation Monte Carlo). Ces études permettent de déterminer l’efficacité du détecteurhybride dans une situation réaliste.

De nombreux défis se posent durant la conception et le fonctionnement des détecteurs :Le déclenchement : Seulement une faible portion (typiquement 1 sur 105) des collisions

sont intéressantes. Il faut donc prévoir des processus de veto rapide pendant les expériences àdéfaut de quoi il serait nécessaire d’accumuler et d’analyser une banque de données inutile-ment grande.Le bruit : Tout événement est caractérisé par ce qu’on appelle sa signature, c’est-à-dire

une combinaison de traces ou particules. Souvent, cette signature peut être imitée par d’autresprocessus. Il est donc nécessaire d’analyser (par simulation ou autre méthode) quelle portiondu signal vient de ce bruit.Le taux de comptage : Avant même d’entreprendre l’analyse d’un processus, il faut être

en mesure d’estimer son taux de production. Le taux d’un événement par année est engénéral inacceptable. Celui-ci dépend de la section efficace mais aussi de la luminosité etdu temps-machine disponible. Une bonne partie des travaux aux accélérateurs vise d’ailleursà rehausser le plus possible ces paramètres.

Figure J.1 JIExemple de reconstitution d’événements dans ledétecteur ZEUS utilisé dans le projet HERA à DESY,Hambourg, Allemagne. Une vue transversale del’événement et du détecteur est illustrée (à droite).L’analyse des résultats permet de reconstituer com-ment l’énergie s’est déposée dans les calorimètrespériphériques en fonction de la direction. Dans cecas les trois pics (à gauche) suggèrent la produc-tion de trois jets dans la réaction (gracieuseté deDESY, Hambourg, Allemagne).

La diminution de la section efficace en fonction de l’énergie : Typiquement, la sectionefficace d’un processus exclusif à haute énergie varie selon

∼ 1

2CM

où CM est l’énergie dans le centre de masse de la réaction. Cela implique que plus on sondeprofondément la matière, moins les collisions sont fréquentes, c’est-à-dire le taux de comp-

49


tage est plus faible.Les rumeurs et les préjugés : Finalement, la science étant une entreprise humaine, il faut

bien sûr prendre toutes les mesures possibles pour éviter que les préjugés en faveur de telleou telle théorie ou résultat et les rumeurs de découverte par d’autres groupes n’inuencentl’analyse et les conclusions

50

C h a p i t r e 2Les principales expériences en cours

2.3 Les principales expériences en cours

La situation expérimentale en physique des particules change constamment. Cependant,avec l’arrivée d’accélérateurs de plus en plus grands et des détecteurs de plus en plus com-plexes, les délais de conception, de construction et de test sont de l’ordre de la dizaine d’an-nées. La liste suivante est un portrait de la situation au début des années 2000 mais elle devraitdonc aussi être un reet assez juste pour les quelques années à venir :

Laboratoires et organisations :

CERN (Centre européen de recherche nucléaire) , Genève, Suisse est le site ducollisionneur +− le LEP (Large Electron Positron collider) et du futur collisionneur ,le LHC (Large Hadron Collider)→ http ://www.cern.ch

Fermilab (Fermi National Accelerator Laboratory), Chicago, USA est le site ducollisionneur le Tevatron.→ http ://www.fnal.gov

DESY (Deutches Elektronen Synchrotron Laboratory), Hambourg, Allemagneest le site du collisionneur HERA→ http ://www.desy.de

SLAC (Stanford Linear Accelerator Laboratory), Californie, USA est le site ducollisionneur +− le SLC et de la manufacture de mésonsBaBar→ http ://www.slac.stan-ford.edu

Particle Data Group constitue la banque de données la plus complète sur les résultatsexpérimentaux tels que les tableaux de particules et leurs propriétés, etc...→ http ://pdg.lbl.gov-/ LBL

Autres laboratoires→ http ://www.cern.ch/Physics/HEP.htmlExpériences majeures : Sur les sites Internet suivants, on retrouve une description des élé-

ments des expériences en cours (ou projetées) notamment les détecteurs, la physique étudiée,des résultats obtenus, des images d’événements reconstruits certains même en temps réel.Ces expériences sont montées par des grandes collaborations internationales de chercheurs.Expériences du collisionneur +−, le LEP (Large Electron Positron collider), au CERN :

ALEPH→ http ://alephwww.cern.ch/Public.html

DELPHI → http ://www.cern.ch/Delphi/Welcome.html

L3→ http ://hpl3sn02.cern.ch

OPAL→ http ://www.cern.ch/OpalExpériences du collisionneur HERA, à DESY :

H1→ http ://www-h1.desy.de :80/

ZEUS→ http ://www-zeus.desy.deExpériences du collisionneur le Tevatron, au Fermilab :

CDF→ http ://www-cdf.fnal.gov

D0→ http ://www-d0.fnal.gov/ .Futures expériences du collisionneur du LHC (Large Hadron Collider), au CERN :

ATLAS→ http ://atlasinfo.cern.ch/Atlas/Welcome.html

CMS→ http ://cmsinfo.cern.ch/cmsinfo/Welcome.htmlet manufacture de au collisionneur +− du SLAC :

BaBar→ http ://www.slac.stanford.edu/BFROOT/

51


2.4 Exercices

2.1. Rayonnement synchrotronExpliquer pourquoi dans un synchrotron les protons perdent plus d’énergie que les électrons bienqu’ils aient initialement la même énergie cinétique.

2.2. Particules Des particules ( = = 2) ayant une énergie de 30 MeV sont extraites d’un synchrotron quiutilise un champ magnétique de 1 T. Calculer le rayon de sortie des particules.

2.3. Particules relativistes(a) Quelle est la vitesse d’un électron après son accélération dans un potentiel électrostatique de

1022× 106 ?(b) Des électrons sont soumis à un champ magnétique uniforme de 003 . Leur trajectoire circu-

laire a un rayon de 02 m. Quelles sont la vitesse ainsi que l’énergie cinétique des électrons ?(c) Quelle est l’intensité du champ magnétique si un électron, dont l’énergie cinétique est 08

MeV, se déplace dans le champ magnétique selon une trajectoire circulaire de 5 cm de rayon ?(d) Quel est le rayon de la trajectoire circulaire d’un électron de 20 MeV se déplaçant perpendic-

ulairement à champ magnétique de 5 ?

2.4. Collisionneur HERALe collisionneur HERA à Hamburg accélère des protons à 820 GeV pour les entraîner dans unecollision de front avec des électrons de 30 GeV. Quelle est l’énergie totale dans le centre de massed’une telle collision ? Pourquoi cette asymétrie dans l’énergie des particules ? Quelle énergie seraitnécessaire à des protons lancés sur des électrons au repos pour générer la même énergie totale dansle centre de masse que pour les collisions électrons-protons de HERA ?

2.5. Collisionneur LHCAu collisionneur LHC, on prévoit accélérer des faisceaux de protons à 7 TeV chacun en se servantdu tunnel du LEP (circonférence de 27 km). Estimer le champ magnétique nécessaire pour courberla trajectoire des protons dans le tunnel. En supposant que l’accélérateur est formé de 1296 aimantssupraconducteurs ayant chacun une longueur de 13.5 m, quel est le champ magnétique dans chaqueaimant ?

2.6. World Wide WebLe World Wide Web a été inventé par un employé du CERN. Utiliser les ressources pour répondreaux questions suivantes (indiquer le liens qui vous a servi à répondre)

(a) Quel est l’origine de l’acronyme LHC ?(b) Combien y a-t-il d’expérience proposées au LHC ?(c) Quel est l’origine de l’acronyme OPAL ?(d) Quel est l’origine de l’acronyme DELPHI ?(e) Où se trouve le KEK Accelerator Laboratory ?(f) Quel est le sous-titre du livre publié par R.P. Feynman traitant QED ?(g) Combien y a-t-il d’états membres du CERN ?(h) Quand fut annoncée la découverte du quark top ?(i) Quelle est la masse du top selon la collaboration CDF Collaboration ?(j) D’où vient le nom : particule de Higgs ?(k) Pourquoi a-t-on attribué le prix Nobel à F. Reines ?(l) Quel est l’origine de l’acronyme PDG ?

2.7. Publications importantesLes publications suivantes rapportent toutes des découvertes importantes en physique des particules.Dans chaque cas, déterminer la nature de la découverte et expliquer brièvement le signification dutitre de la publication.

(a) Evidence for anomalous lepton production in +− annihilation. Physical Review Letters 35,(1975), 1489.

(b) Observation of a hyperon with strangeness minus three. Physical Review Letters 12, (1964),204.

52


(c) Observation of a narrow charged state at 1876 GeV2 decaying to an exotic combination of. Physical Review Letters 37, (1976), 569

(d) Discovery of a narrow resonance in +− annihilation. Physical Review Letters 33, (1974),1406.

(e) Observation of a dimuon resonance at 9.5 GeV in 400 GeV proton-nucleus collisions. PhysicalReview Letters 39, (1977), 252.

(f) Evidence for planar events in +− annihilation at high energies.Physics Letters 86B, (1979),243.

(g) Experimental observation of isolated large transverse energy electrons with associated missingenergy at

√ = 540 GeV. Physics Letters 122B, (1983), 103.

(h) Experimental observation of lepton pairs of invariant mass around 95 GeV2 at the CERNSPS collider. Physics Letters 126B, (1983), 398.

53

DIFFUSION ET INTERACTION ENTREPARTICULES

Chapitre 3

3.1 Cinématique d’une réaction –Variables de Mandelstam . . . . . . . 55

3.2 Les interactions en mécaniquequantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.3 La matrice de diffusion, . . . . .633.4 Espace de phase . . . . . . . . . . . . . 653.5 Section efficace . . . . . . . . . . . . . . 663.6 Largeur de désintégration et vie

moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.7 Calcul des éléments de matrice

723.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77

La plupart des renseignements sur les propriétés des particules nous proviennent des ex-périences de diffusion. Ce chapitre décrit les notions élémentaires qui permettent de calculerles sections efficaces et les largeurs de désintégration. Mais, avant d’aborder ces notions, nousintroduisons les principales quantités cinématiques associées à une réaction et les techniquesqui permettent de les calculer aisément. Puis, nous décrivons tour à tour la représentation desinteractions en mécanique quantique, la matrice de diffusion, et l’espace de phase, tous deséléments essentiels aux calculs des quantités observables. Notons que pour des raisons péda-gogiques, ces calculs sont présentés ici en se basant sur des notions de mécanique quantique.La théorie quantique des champs — qui déborde le cadre de ce livre — demeure toutefois unoutil plus fondamental qui est privilégié dans ce type de calculs.

3.1 Cinématique d’une réaction – Variables deMandelstam

Toute réaction est soumise à la loi de conservation de l’énergie et l’impulsion totales in-dépendamment des détails des interactions. Il est donc utile de comprendre comment décrirela cinématique dans les réactions puisque l’état d’énergie et d’impulsion dans lequel vont setrouver les particules finales devra obéir à cette loi.

Par ailleurs, les propriétés combinées d’invariance par une transformation de Lorentz etde conservation de certaines quantités cinématiques s’avèrent très utiles dans l’analyse de lacinématique des processus de diffusion. En effet, dans un processus subatomique, les condi-tions suivantes sont respectées :

1. On peut définir un ou des invariants de Lorentz, c’est-à-dire des quantités indépendantesdu système de référence (ex. référentiel du laboratoire (Lab), du centre de masse (CM),...)

2. La quadri-impulsion est conservée dans une réaction.

Mandelstam a défini des variables cinématiques qui combinent ces deux propriétés. Con-sidérons par exemple une réaction impliquant deux particules initiales (1 et 2), et deux par-ticules finales (3 et 4),

1 + 2→ 3 + 4 (3.1)(voir figure 3.1). À partir des quadri-impulsions des particules

= (p) = ( )

(où l’indice désigne chacune de particule donc ici = 1 2 3 4), on peut définir les troisquantités invariantes de Lorentz, les variables de Mandelstam :

≡ (1 + 2)2= (3 + 4)

2

≡ (3 − 1)2= (4 − 2)

2

≡ (3 − 2)2= (4 − 1)

2

55

DIFFUSION ET INTERACTION ENTRE PARTICULESC h a p i t r e 3

Alors

≡ (1 + 2)2

= 21 + 22 − 21 · 2 (3.2)

= 21 +2

2 + 2 (12 − p1 · p2) (3.3)

= 23 +2

4 + 2 (34 − p3 · p4) (3.4)

ou par une méthode différente

≡ (1 +2p1 + p2)2

= (1 +2)2 − (p1 + p2)2

=¡21 + 212 +2

2

¢− ¡p21 + 2p1 · p2 + p22¢

=¡21 − p21

¢+ 212 − 2p1 · p2 +

¡22 − p22

¢(3.5)

= 21 + 2 (12 − p1 · p2) +2

2 (3.6)

De la même façon

≡ (3 − 1)2= (4 − 2)

2

= 21 +2

3 − 2 (13 − p1 · p3) (3.7)

= 22 +2

4 − 2 (24 − p2 · p4) (3.8)

≡ (3 − 2)2= (4 − 1)

2

= 22 +2

3 − 2 (23 − p2 · p3) (3.9)

= 21 +2

4 − 2 (14 − p1 · p4) (3.10)

On trouve alors que les variables et sont respectivement le carré de la somme des énergiesinitiales ou finales dans le centre de masse et le carré du transfert d’énergie-impulsion.

L’avantage de définir des invariants de Lorentz tels que les variables de Mandelstam estmanifeste lorsqu’il est nécessaire d’exprimer les résultats en fonctions des quantités cinéma-tiques dans plus d’un référentiel. Il est alors pratique de tout récrire en fonction des invariantsde Lorentz puisque ceux-ci peuvent être calculés dans n’importe quel référentiel. De plus,comme nous le démontrons un peu dans la section suivante, les énergies et impulsions dansun référentiel donné peuvent elles-mêmes s’exprimer en fonction des invariants de Lorentz.Il n’est donc souvent pas nécessaire de faire appel aux transformations de Lorentz lorsqu’onchange de référentiel.

p2 p4

p1p3

Figure 3.1 NProcessus à quatre corps : 1 + 2→ 3 + 4.

H Exemple H

Exemple 3.1Considérons la réaction (3.1). Prouver que

+ + = 42 (3.11)

si les masses des quatre particules sont identiques, c’est-à-dire que la masse de la particule =

pour tout ( = 1 2 3 4).Les quantités sont invariantes de Lorentz. Il est donc possible de choisir de travailler dans leréférentiel de notre choix sans craindre de modifier le résultat. Considérons ici la réaction telle quevue dans le référentiel du centre de masse (CM) pour lequel les impulsions des particules incidentes

(p1CM + p2CM) = 0 (3.12)et pour des particules de masses identiques

= pour = 1 2 3 4

|p1CM| = = |p2CM| = angle entre p1CM et p3CM

56

C h a p i t r e 3Cinématique d’une réaction – Variables de Mandelstam

Alors la variable se calcule comme suit

= (1 + 2)2

= (1CM +2CM)2 − (p1CM + p2CM)

2

= (1CM +2CM)2= (21CM)

2

= 42+

2 (3.13)

La variable est donnée par

= (3 − 1)2

= 23 +

21 − 23 · 1

= 22 − 2 (3CM1CM − p3CM · p1CM)

= 22 − 2

2 +2 ·

2 +2 −

2cos

= −22 (1− cos ) (3.14)

alors que est par symétrie (1 ↔ 2)

= (3 − 2)2

= −22 (1 + cos ) (3.15)

Comme il se doit

+ + = (42+

2) + (−22 (1− cos )) + (−22 (1 + cos ))

= 42

Notons que la relation (3.11) se généralise

+ + =

4X=1

2 (3.16)

dans le cas où les masses des particules ne sont pas identiques.

p1

p4

p3

p2

Figure 3.2 NCollision dans le repère du centre de masse. Lesparticules initiales 1 et 2 ont des impulsions égalesmais opposées. Puisqu’il y a conservation d’én-ergie, l’impulsion totale finale est aussi nulle.

Repère du centre de masse (4 corps)

Revoyons plus en détails le cas où quatre particules sont impliquées, appelé système àquatre corps, dans le repère du centre de masse (plus généralement appelé repère d’impulsionnulle (RIN)). On peut établir un certain nombre de relations pour un tel système (voir figure3.2) tel que celui de la réaction (3.1). Combinant (??) et

2CM = p2CM +2

pour = 1 2 3 4les quantités dynamiques s’écrivent en terme des variables de Mandelstam :

57


1CM =+2

1 −22

2√

2CM =+2

2 −21

2√

CM ≡ |p1CM| = |p2CM| =p (2

122)

2√

(3.17)

3CM =+2

3 −24

2√

4CM =+2

4 −23

2√

0CM ≡ |p3CM| = |p4CM| =p (2

324)

2√

où ( ) = 2 + 2 + 2 − 2 − 2 − 2

Lab

p3

p1

p4

Figure 3.3 NCollision dans le repère du laboratoire (cible fixe).

Repère de la cible fixe (4 corps)

De la même façon, on peut écrire des relations semblables dans le repère de la cible fixe,qu’on identifie souvent avec le repère du laboratoire6 (voir figure 3.3).

Dans ce cas, on considère qu’une des particules, la cible, est au repos, c’est-à-dire quel’on peut assigner les impulsions suivantes

1 = (1Lab 0 0 1Lab) (3.18)

2 = (2 0 0 0) (3.19)

3 = (3Labp3Lab) (3.20)

4 = (4Labp4Lab) (3.21)

où |p1| = 1Lab est l’impulsion longitudinale dont la direction coïncide avec l’axe des parconvention

Alors le calcul des variables de Mandelstam dans le repère de la cible fixe mène à

= (1 + 2)2

= 21 + 22 + 21 · 2= 2

1 +22 + 221Lab

= (3 − 1)2 (3.22)

= 21 +2

3 − 21Lab3Lab

+21Lab |p3Lab| cos Lab

=

4X=1

2 − −

et encore une fois2Lab = p

2Lab +2

pour = 1 2 3 4Inversant ces relations en faveur des énergies et impulsions dans le repère de la cible fixe, on

6 Par tradition, le repère du laboratoire est identifié au référentiel où une des deux particules initiales est au repos(la cible fixe). Ce n’est évidemment pas le cas pour les expériences se déroulant dans des collisionneurs puisque lesdeux particules initiales sont en mouvement dans ce repère.

58

C h a p i t r e 3Cinématique d’une réaction – Variables de Mandelstam

obtient

1Lab =−2

1 −22

22

(3.23)

1Lab =

p (2

122)

22

(3.24)

Rappelons que nous avons identifié

21Lab = 2 et 2Lab = 0 (3.25)

L’avantage d’utiliser des invariants de Lorentz dans les calculs cinématiques est main-tenant manifeste. Il est possible de calculer ces quantités indépendamment dans un référentieldonné puis de trouver les énergies et impulsions des particules dans un deuxième référentielsans utiliser les transformations de Lorentz.. Par exemple, si on connaît les énergies et im-pulsions dans le repère du laboratoire, il est facile de calculer et suivant (3.22). Onpeut alors déduire de (3.17) toutes les énergies et impulsions des particules dans le repère ducentre de masse (CM). La procédure se résume comme suit :

Cible fixe : 1 = (1Lab 0 0 1Lab) et 2 = (2 0 0 0)

⇓équations (3.22)

⇓Calcul de et

⇓équations (3.17)

⇓CM : Calculs de 1CM 2CM CM ≡ |p1CM| = |p2CM|

Énergie de seuil

Dans une collision, la variation de masse

∆ =X

−X

peut être positive. Si tel est le cas, la réaction n’est possible alors que si les particules ini-tiales possède une énergie supérieure à un certain seuil. On définit l’énergie de seuil commel’énergie cinétique des particules initiales nécessaire pour produire les particules finales aurepos dans le repère du centre de masse (CM ) ou plus généralement, le repère d’impulsionnulle.(RIN).En tenant compte des masses des particules. il est possible de calculer ces énergies de seuilen utilisant les relations trouvées ci-haut. Dans le RIN, rappelons que les énergies peuventêtre exprimées en terme des invariants de Lorentz 1 et 2 soient

1CM =+2

1 −22

2√

2CM =+2

2 −21

2√

où

=³X

CM

´2=³X

´2puisque les particules finales sont au repos.

59


On trouve alors les énergies de seuil

1CM = 1CM −1 =

³X

´2+2

1 −22

2X

−1

2CM = 2CM −2 =

³X

´2+2

2 −21

2X

−2

Par ailleurs, si la collision se déroule dans le repère de cible fixe (particule 2 au repos), lacollision requiert une énergie de seuil pour la particule 1 telle que

1cf =−2

1 −22

22

=

³X

´2−2

1 −22

22

(3.26)

1cf =

³X

´2−³X

´222

(3.27)

De la même façon, si la particule 1 est la cible fixe, l’énergie de seuil de la particule 2 est

2cf =

³X

´2−³X

´221

(3.28)

La rapidité

La variable de rapidité est souvent utilisée pour représenter la direction de la trajectoired’une particule. Nous introduisons ici cette quantité par souci de cohérence bien que nousn’y ferons pas appel très souvent dans cet ouvrage. Deux cas se présentent alors :

1. Lorsque le mouvement de la particule est identifié au repère 0 (ici 0 correspond auréférentiel de la particule dont la vitesse est V = e par rapport à un référentiel ),alors les transformations de Lorentz nous donnent

0 = ( − 3)

03 = (3 − )

¾=⇒

½0 − 03 = ( − 3)

0 + 03 =1( + 3)

où 0 et 03 (0 et 03) sont l’énergie et l’impulsion dans la direction de l’axe des dans

le référentiel (0), est le facteur de Lorentz =¡1− 2

¢− 12 et correspond au

facteurq

(1+ )

(1− ) . Pour la particule au repos dans 0 (01 = 0 02 = 0

03 = 0

0 = ) et

= 3

, alors il est possible de récrire comme suit

= + 3

0=

0

− 3 (3.29)

La rapidité est alors

= ln =1

2ln(1 + )

(1− )

=1

2ln

+ |p| − |p| (3.30)

puisque 3 = |p|. De plus, on a

+ |p| =

− |p| = −

= cosh (3.31)

|p| = sinh

2. En général, p n’est pas parallèle à l’axe du faisceau (c’est-à-dire l’axe ).Les composantes perpendiculaire, , et longitudinale de l’impulsion, = 3, de la

60

C h a p i t r e 3Les interactions en mécanique quantique

particule sont alors non nulles. Il est toutefois possible d’identifier le système 0 avec unecomposante 0 = 03 = 0 et on aura encore

2 = + 3

− 3

= ln =1

2ln

+ 3

− 3(3.32)

où cette fois-ci

0 =q2 + 2 (3.33)

L’avantage d’utiliser la variable de rapidité devient évident lorsqu’on effectue une trans-formation de Lorentz parallèlement à p Cette transformation correspond à une différencede rapidité soit

− =1

2ln

+ 3

− 3− 12ln

+ 3

− 3

=1

2ln

+ 3

+ 3· − 3

− 3(3.34)

mais cette différence est une quantité invariante de Lorentz, c’est-à-dire

− =1

2ln

0 + 030 + 03

· 0 − 03

0 − 03 (3.35)

La rapidité est donc une quantité beaucoup plus facile à manipuler que la vitesse lorsqu’oneffectue un changement de référentiel. Sous la même transformation, bien sûr, la quantité pdemeure également invariante.

3.2 Les interactions en mécanique quantique

Nous commençons maintenant notre revue des éléments de la mécanique quantique néces-saires aux calculs de diffusion. Rappelons quelques notions élémentaires :

– les particules sont représentées par des états |i et,– les observables physiques sont des valeurs moyennes d’opérateurs, , qui agissent sur

|i = hi = h| |i

=

Z ∗

où est l’élément de volume.

Considérons alors un processus d’interaction. Celui-ci est caractérisé par :

1. un état initial |i qui décrit une ou plusieurs particules dont les impulsions se situent entre et + à un moment → −∞ (ou suffisamment longtemps avant l’interaction à = 0), et,

2. un état final |i qui décrit une ou plusieurs particules dont les impulsions se situent entre et + à un moment →∞ (ou suffisamment longtemps après l’interaction).

Le taux de transition est alors donné par

= 2 |h | |i|2 ( ) (3.36)

où est la partie de l’hamiltonien qui est identifié aux interactions, c’est-à-dire

= 0 +

Ce résultat est valide lorsque est suffisamment petit pour être traité comme une pertur-bation du système dont l’hamiltonien 0 possède des états propres |i et |i. ( ) estla densité d’états finals, c’est à dire ( ) = nombre d’états finals dont l’énergie sesitue entre et + . On pose ici que n’agit que dans une partie de l’univers etqu’asymptotiquement, c’est-à-dire pour → ±∞, se réduit à 0 .On dit que l’interaction

61


est localisée.

S’il y a transition d’un état initial |i à un état final |i on peut dire que l’état initial |ia “évolué” dans le temps pour se transformer en un état final |i Mais en général, les cal-culs d’observables requièrent avant tout une description de l’évolution de la valeur moyenned’opérateurs, pas nécessairement ou exclusivement l’évolution des états. À cet égard, la mé-canique quantique offre un certain degré de latitude : on peut choisir de décrire la dépendancetemporelle des états, des opérateurs ou bien des deux. Toutefois, trois choix de descriptionssont particulièrement pratiques. Considérons l’évolution dans le temps de la valeur moyenne de l’opérateur

1. La description de Schrödinger :La description de Schrödinger consiste à inclure toute la dépendance temporelle de dansl’état |i. Alors

|i = |()i = indépendant de

L’état |()i obéit à l’équation de Schrödinger soit (~ = 1)

|()i = |()i (3.37)

où est l’opérateur hamiltonien. Si est indépendant du temps (conservation d’én-ergie), l’équation précédente a pour solution

|()i = ( 0) |(0)ioù l’opérateur d’évolution s’écrit

( 0) = exp (− (− 0))

À noter que est une transformation unitaire, c’est-à-dire † = 1

2. La description des interactions :La description des interactions est plus utile pour décrire les interactions entre partic-ules. Dans ce cas, aussi bien les états |()i que les opérateurs peuvent prendre unedépendance temporelle. Le principal avantage de cette description est qu’elle permet detraiter séparément la partie de l’hamiltonien qui cause les interactions ( dans notre cas)puisqu’on isole la dépendance temporelle due aux interactions. Les représentations desétats sont reliées par une transformation unitaire du même type que précédemment

|()i = 0 |()iet la dépendance temporelle de l’état |()i s’écrit

|()i = −0 |()i + 0−0 |()i

en utilisant (3.37). Mais en développant , on obtient

0−0 = 0 (0 + ) −0

= 00−0 + 0 −0

= 0 + 0 −0

On définit, dans la description des interactions, l’opérateur tel que

() = 0 −0

de sorte que

|()i = −0 |()i + 0−0 |()i

= () |()i Donc dans cette description, l’évolution des états |()i est uniquement due au poten-tiel d’interaction Mentionnons par ailleurs que de façon générale, les représentationsdes interactions et de Schrödinger pour les opérateurs sont reliées par la transformationunitaire suivante

() = 0−0

62

C h a p i t r e 3La matrice de diffusion,

avec dépendance temporelle

() = [()0]

qui ne dépend que de la partie 0 de l’hamiltonien.

3. La description de Heisenberg :Finalement, la description de Heisenberg choisit d’exclure toute dépendance temporellede l’état |i, c’est-à-dire que celle-ci se retrouve uniquement dans l’opérateur

|i = |i indépendant de

= ()

On note que la valeur moyenne de l’opérateur, , doit être la même dans toutes lesdescriptions, notamment celles de Schrödinger et de Heisenberg. Si on pose que lesétats |()i et |i coïncident dans les deux représentations à l’instant 0, c’est-à-dire|(0)i = |i et = (0), il s’ensuit que () est égal à

h|() |i = h()| |()i= h(0)|−1 ( 0) ( 0) |(0)i= h|−1 ( 0)(0) ( 0) |i

Donc, la dépendance temporelle de l’opérateur dans la description de Heisenberg s’écrit

() = −1(0)

où ici, pour simplifier nous avons écrit ≡ ( 0) Par ailleurs, l’évolution de l’opéra-teur () est donnée par l’équation différentielle

(r ) =

£−1(0)

¤=

∙−1

(0) + −1(0)

¸=

£−1(0) − −1(0)

¤= − [()−()]

= [()] (3.38)

Puisque, dans cette description, toute la dépendance temporelle est contenue dans l’opéra-teur, on conclut que les quantités conservées sont associées à des opérateurs qui com-mutent avec l’hamiltonien.

De façon plus générale, si l’opérateur dépend explicitement du temps dans la représen-tation initiale, le résultat précédent se généralise comme suit

=

+ []

3.3 La matrice de diffusion,

Revenons maintenant au calcul de l’amplitude de probabilité qu’un état initial donné setransforme en un état final voulu. Il est possible d’identifier ce processus à un opérateur appelématrice de diffusion.

La matrice de diffusion est un élément important du traitement quantique des interac-tions qui est défini comme suit : Considérons un état |i qui décrit une ou des particules àun instant et un état |i qui décrit une ou des particules à un instant . La probabilité detrouver le système dans l’état |i, quand le système était dans un état |i est donnée par| ( )|2 où

( ) = h| ( ) |iavec ( ) un opérateur unitaire († = ) puisqu’il décrit l’évolution temporellede l’état |i du temps au temps Cet opérateur vient directement de l’hamiltonien des

63


interactions dans = 0 +

Dans les limites respectives → −∞ et → +∞, les états |i et |i redeviennent des étatspropres de 0 (c’est-à-dire des particules libres ou du moins libres du potentiel d’interaction ) qu’on identifie aux états initial |i et final |i. L’opérateur est alors défini comme lalimite

= (+∞−∞) = lim→−∞→+∞

( )

On définit alors la matrice de diffusion dont les éléments de matrice sont

= h | (+∞−∞) |i = h | |i

La matrice est unitaire. Cette importante propriété découle de la conservation de laprobabilité et du fait que la probabilité de trouver le système dans n’importe quel état finalest égale à un. Alors

1 =X

| (+∞−∞)|2

=X

h | |i† h | |i

=X

h|† |i h | |i

= h|† |ioù on a utilisé la relation de fermeture

P |i h | = est donc unitaire

† =

Il est utile de séparer la matrice de la façon suivante

= + (3.39)

= + (2)44 ( − ) (3.40)

où est appelée la matrice de transition et , les éléments de matrice . et sont lesquadrivecteurs d’énergie-impulsion totale des états final et initial et la fonctionde Dirac

4 ( − ) = 3 (P −P) ( − )

assure que ces quantités sont conservées dans la diffusion. Dans l’expression (3.39), on peutfacilement identifier la composante de qui laisse l’état initial intact, c’est-à-dire le premierterme Par ailleurs, le second terme est responsable des transitions d’un état |i vers desétats |i distincts de |i (c’est-à-dire 6= ). La probabilité de transition correspondantes’écrit, pour 6=

= | (+∞−∞)|2

= |h | |i|2

= (2)84 ( − )

4 (0)X

||2

Ici nous avons utilisé 4 ( − ) 4 ( − ) = 4 ( − )

4 (0) puisque la fonctionde Dirac 4 ( − ) impose la relation − = 0 De plus, il est possible d’écrire lafonction de Dirac

4 () =1

(2)4

Z4·

4 (0) =1

(2)4

Z4 =

T(2)

4

Z

où T est le volume d’intégration. Il en découle que le taux de transition par unité de volume

64

C h a p i t r e 3Espace de phase

macroscopique est donné par

=1

T

(3.41)

= (2)44 ( − )

X

||2 (3.42)

Ce dernier résultat requiert une somme sur les différents états finals. On sous-entend ici tousles états d’énergie-impulsion, de spin ou autres nombres quantiques permis par les lois deconservations. Les divers états de spin ou nombres quantiques sont généralement faciles àdénombrer. Toutefois, si on veut tenir compte des états d’énergie-impulsion, il nous fautconsidérer ce qu’on appelle l’espace de phase disponible.

3.4 Espace de phase

Une particule est notamment décrite par sa position et son impulsion. Or, la probabilitéde trouver une particule libre dans un élément de volume de l’espace des positions et desimpulsions 6 = 3x3p est indépendante de la position et de l’impulsion (invariance dePoincaré). Par conséquent, le nombre d’états est proportionnel à l’élément de volume, soit

# d’états dans = =3x3p

(2)3 (~ = 1)

Le facteur de (2)−3 est un facteur de normalisation. Pour le cas de solutions de la formed’un onde plane (puisque nous considérerons ici des particules libres)

= ·

on peut choisir de normaliser la fonction d’onde de façon queZ3x∗ =

Z3x ||2 = 1

sans nuire au caractère général du traitement qui suit.

Après intégration sur les espaces des positions et des impulsions, le nombre d’états de-vient

# d’états =Z

=1

(2)3

Z3p

On définit la densité d’états par unité d’énergie, () comme le nombre d’états ayant uneénergie entre et + soit

() =

=

1

(2)3

Z3p

=1

(2)3p2

ZΩ

où Ω est l’élément d’angle solide.

Figure 3.4 NLa section efficace d’une réaction.

Mais l’élément de volume 3p dans l’espace des impulsions n’est pas un invariant deLorentz alors que la quantité 3p

l’est. Considérons plutôt un espace de phase invariant de

Lorentz que l’on peut récrire sous la formeZ =

Z3p

2(2)3

=

Z3p

(2)3

Z

(2)· 2 ¡2 − p2 −2

¢ ()

=

Z4

(2)4· 2 ¡2 −2

¢ (0) (3.43)

où la fonctionde Dirac reète la relation masse-énergie pour des particules relativistes et

65


est la fonction de Heaviside

(0) =

½1 pour 0 00 pour 0 0

Elle assure que seules les configurations ayant une énergie positive contribueront comme il sedoit. Cet espace de phase représente la probabilité de trouver une particule libre avec une im-pulsion entre et +. L’espace de phase (3.43) généralisé à particules indépendantesse lit comme le produit des espaces de phase associés à chaque particule soit

= 123 · · ·

=

Y=1

4

(2)4· 2 ¡2 −2

¢ (0) (3.44)

3.5 Section efficace

p1

p2

p3

p5

pn

p4

Figure 3.5 NCollision mettant en jeu deux particules initialeset − 2 particules finales.

Nous avons maintenant en main tous les ingrédients pour effectuer le calcul d’un observ-able, la section efficace. La section efficace est une mesure de la probabilité d’un processusde diffusion. Par analogie avec un processus classique, elle correspond à la surface perpen-diculaire au ux des projectiles qui décrit la zone d’interaction autour de la cible (voir figure3.4). Si l’interaction entre les particules est plus importante, la zone d’interaction — ou lasection efficace — augmente. Cependant, même si cette analogie est parfois utile, la sectionefficace est identifiable à la probabilité de diffusion et ne doit pas être confondue avec la vraiezone d’interaction.

L’unité de section efficace couramment utilisée au niveau subatomique est le barn définicomme suit

1 barn = 10−24cm2 = 10−28m2

= 2568 GeV−2 (dans les unités naturelles)

Les collisions à hautes énergies ont des sections efficaces de l’ordre du picobarn (pb =10−40m2) ou du femtobarn (fb = 10−43m2).

Considérons la diffusion mettant en jeu deux particules initiales et −2 particules finales(voir figure 3.5) :

1 + 2→ 3 + 4 + · · ·+ (3.45)Le calcul de la section efficace met en jeu le taux de transition (3.36) pondéré par le nombred’états disponibles dans l’espace de phase (3.44). En général, on connaît les énergies et im-pulsions des particules initiales (ex. faisceau quasi-monochromatique de particules dans unaccélérateur). L’espace de phase pour − 2 particules finales doit par contre être inclus

34 · · · =

Y=3

4

(2)4· 2 ¡2 −2

¢ (0) (3.46)

si bien que le taux de transition pondéré est donné par

=1

T

= (2)

4X

4 ( − ) ||2 · 34 · · ·

Pour une densité de ux de particules initiales (c’est-à-dire le nombre de particules parunité de temps et de surface qui arrive sur une cible fixe), la section efficace différentielles’écrit

=

(3.47)

Le ux est proportionnel à la vitesse relative projectile-cible, c’est-à-dire

|v1 − v2| =¯p1

1− p2

2

¯

66

C h a p i t r e 3Section efficace

Dans le système du laboratoire (cible fixe avec v2 = 0), la vitesse relative est simplement

|v1 − v2| = 1Lab

1Lab=

p (2

122)

221

où 2Lab = 2

Cependant, le ux, qui s’écrit dans le système du laboratoire = 21 · 22 · |v1 − v2|,est un invariant de Lorentz qui prend la forme générale

= 2

q (2

122)

= 2

q(1 · 2)2 −2

122

Finalement, la section efficace totale est obtenue en intégrant (3.47) sur tout l’espace dephase, c’est-à-dire en sommant la probabilité de transition de tous les états d’énergie-impulsion,spin, etc... possibles

p2 p4

p1p3

Figure 3.6 NProcessus à quatre corps mettant en jeu deuxparticules initiales et deux particules finales.

(1 + 2→ 3 + 4 + · · ·+ ) =1

2p (2

122)

Z ⎡⎣ Y=3

4

(2)4· 2 ¡2 −2

¢ (0)

⎤⎦· (2)4 4 ( − ) ||2 (3.48)

Dans les cas de processus non polarisés7, l’expérience mesure la probabilité totale que lesparticules finales se retrouve dans n’importe quel état de spin alors qu’on se doit de faire lamoyenne probabilité sur les états de spin possibles des particules initiales ne sachant pas àprime abord dans quels états les particules initiales vont se présenter. Pour y parvenir, il suffitde substituer

||2 −→X

X

||2

oùP

etP

signifient respectivement la moyenne sur les états de spin possibles des partic-ules initiales et la somme sur les états de spin des particules finales.

Diffusion (4 corps)

À titre d’exemple, considérons le cas d’une collision produisant deux particules finales,par exemple 1+2→ 3+4, où la description est relativement simple. Rappelons les définitionsdes variables de Mandelstam pour les système à 4 corps :

≡ (1 + 2)2= (3 + 4)

2

= 21 + 212 − 2p1 · p2 +2

2

≡ (3 − 1)2= (4 − 2)

2

= 21 − 213 + 2p1 · p3 +2

3

≡ (3 − 2)2= (4 − 1)

2

= 21 − 214 + 2p1 · p4 +2

4

Reprenons l’équation (3.48) en posant = 4 pour cette collision à quatre corps.

(1 + 2→ 3 + 4) =1

2p (2

122)

Z43

(2)444

(2)4

£2

¡23 −2

3

¢ (30)

¤· £2 ¡24 −2

4

¢ (40)

¤(2)

44 (3 + 4 − 1 − 2) ||2

7 En général, les faisceaux des particules initiales ne sont pas polarisés et les détecteurs ne sont pas en mesure dedistinguer la troisième composante de spin des particules.

67


Six des intégrales sont triviales si on utilise les six fonctions de Dirac à notre disposition,

(1 + 2→ 3 + 4) =1

2 (2)2p (2

122)

Z3p3

23

3p4

244 (3 + 4 − 1 − 2) ||2

=1

8 (2)2(2)

Z |p3| |p3|2 (cos )

·³p

p23 +23 +

pp23 +2

4 −CM

´pp23 +2

3

pp23 +2

4

||2

=1

32√ |p1CM|

Z(cos )

|p1CM|√

||2

où 4 = 1 + 2 − 3 240 = 24 = p

24 +2

4 et 230 = 23 = p23 +2

3 et dans le centre demasse p3 = −p4

|p1CM| = |p2CM| =p (2

122)

2√

|p3CM| = |p4CM| =p (2

324)

2√

CM = 1CM +2CM =√

L’intégrale sur est simplifiée si on fait appel à la symétrie cylindrique d’une collision. Ellese résume à un facteur de 2

Finalement le dernier résultat peut s’exprimer sous une forme différentielle soit

cos =

1

32

|p3CM||p1CM| ||2

ou encore en utilisant (3.7),

=

1

64

1

|p1CM|2||2

La section efficace totale s’obtient en intégrant sur l’angle de diffusion de 0 à dans lapremière expression ou sur la variable de Mandelstam dans la deuxième. Dans ce derniercas, des limites cinématiques s’appliquent : dans le repère du centre de masse où s’écrit,

= (1CM −3CM)2 − (|p1CM|− |p3CM|)2

−4 |p1CM| |p3CM| sin2 CM

2

= 0 − 4 |p1CM| |p3CM| sin2 CM

2

où CM est l’angle entre p1CM et p3CM et

0 = (1CM −3CM)2 − (|p1CM|− |p3CM|)2

La variable ne peut prendre que des valeurs entre

1 ≤ ≤ 0

où

0 correspond à pour CM = 0 (diffusion avant)

1 correspond à pour CM = (diffusion arrière)

avec1 = 0 − 4 |p1CM| |p3CM|

Donc la section efficace totale

=1

64

1

|p1CM|2Z 0

1

||2

68

C h a p i t r e 3Largeur de désintégration et vie moyenne

3.6 Largeur de désintégration et vie moyenne

p1

p2

p3

pn

p4

Figure 3.7 NDésintégration d’une particule en −1 particulesfinales.

La vie moyenne d’une particule est une de ses propriétés fondamentales qui dépend de sesinteractions. Il s’agit d’une autre observable qui est calculable en utilisant ces mêmes outilsque nous venons de développer.

La désintégration d’une particule est similaire au cas précédent sauf que la réaction cettefois-ci implique une seule particule initiale (voir figure 3.7).

1→ 2 + 3 + · · ·+

Le traitement suit donc à peu près les mêmes lignes que pour une collision.La mesure de probabilité d’une désintégration s’exprime en terme de sa largeur de désin-

tégration Γ . Son interprétation physique est directement reliée à l’incertitude dans la mesurede la masse (ou l’énergie) de la particule initiale 1. Dans l’étude d’une désintégration, il estpossible de trouver la distribution de l’énergie totale des particules finales (voir figure 3.8). Γcorrespond à la largeur à mi-hauteur du pic centré à 1 dans le spectre d’énergie de la désin-tégration. On sait par ailleurs que le principe d’incertitude de Heisenberg établit un lien entre∆ et∆ les incertitudes dans la mesure de l’énergie et du temps, soient

∆ ·∆ ≥ 1

Γ · ≥ 1

Figure 3.8 JISpectre d’énergie des particules finales (les axessont exprimée en unités arbitraires) : Γ représentela largeur à mi-hauteur (trait pointillé bleu) du picdans le spectre d’énergie de la désintégration (traitnoir). Dans ces unités, le pic est centré à = 400

et Γ prend la valeur de 50

x

600500400 300200

1000

800

600

400

200

0

Puisque ∆ ≈ Γ et ∆ ≈ , la vie moyenne de la particule, il est naturel de retrouver larelation

Γ = −1Du point de vue formel, la largeur de désintégration Γ est fonction du taux de transition cequi implique le calcul des éléments de la matrice de transition pondéré par l’espace de phasedisponible, c’est-à-dire

Γ = 21d’où

−1 = Γ(1→ 2 + 3 + · · ·+ ) =1

21

Z ⎡⎣ Y=2

4

(2)4· 2 ¡2 −2

¢ (0)

⎤⎦· (2)4 4 ( − ) ||2

Pour des particules non polarisées, on substitue ||2 −→P

P ||2 dans l’équation

précédente.La probabilité qu’une particule de masse 1 au repos survive pendant un temps ∆ ou

plus est décrit par le comportement exponentiel

(∆) = −Γ∆ = −∆

Par ailleurs, si la particule possède une énergie-impulsion (1p1) un facteur =¡1− 2

¢− 12 =

69


11

dû à la dilatation du temps vient contribuer pour donner la probabilité

(∆) = −Γ∆ =

−11Γ∆

et la probabilité qu’elle parcourt une distance∆ ou plus est

(∆) = − 1|p1|Γ∆

À titre d’exemple, examinons des désintégrations d’une particule en deux et trois corps re-spectivement.

Désintégration en 2 corps

p1

p2

p3

Figure 3.9 NCinématique d’un diffusion à deux corps.

Dans une désintégration en deux corps, la cinématique est très simple. Dans le référentieldu centre de masse (qui correspond au référentiel où la particule 1 est au repos), nous avonsles contraintes suivantes

2CM =21 −2

3 +22

21

|p2CM| = |p3CM|

=

h³21 − (2 +3)

2´³

21 − (2 −3)

2´i 1

2

21

L’espace de phase disponible est réduit et la largeur de désintégration se simplifie pour donner

Γ =1

322|p2CM|1

||2 Ω2CM

où Ω2CM = 2CM (cos 2CM) est l’élément d’angle solide associé à la particule 2 dans leréférentiel du centre de masse.

Désintégration en 3 corps

Dans une réaction impliquant trois particules finales, l’espace de phase dans (3.46) com-biné à la fonctionde Dirac de la matrice de transition donne

= 234 · (2)4 4 ( − )

=

⎡⎣ 4Y=2

4

(2)4· 2 ¡2 −2

¢ (0)

⎤⎦ · (2)4 4 ( − )

où =P

= 2 + 3 + 4 et = 1

Posons les invariants de Lorentz suivants

24 = (2 + 4)2 34 = (3 + 4)

2

En insérant les relations

1 =

Z24

³24 − (2 + 4)

2´

1 =

Z34

³34 − (3 + 4)

2´

dans on obtient

=

Z ⎡⎣ 4Y=2

4

(2)4· 2 ¡2 −2

¢ (0)

⎤⎦ · (2)4 4 (1 − 2 − 3 − 4)

·Z

24³24 − (2 + 4)

2´Z

34³34 − (3 + 4)

2´

p

p2 70

C h a p i t r e 3Largeur de désintégration et vie moyenne

Les fonctions- permettent d’intégrer sur les énergies 20 30, et 40 et sur l’impulsionp4 :

=

Z32

33

(2)58234· 2434 · (1 −2 −3 −4)

·³24 − (2 + 4)

2´³34 − (3 + 4)

2´

où

p4 = p1 − p2 − p30 = =

qp2 +2

Dans le repère du centre de masse, p1 = 0 1 =√ = 1 où ici nous allégeons la notation

en omettant l’indice “CM”. On peut donc écrire

32 = 2 |p2|2 |p2| cos 2333 = 4 |p3|2 |p3|

où 23 est l’angle entre p2 et p3 À cause de la symétrie sphérique d’une désintégration, ladirection de la particule 3 par exemple est totalement arbitraire et l’angle azimuthal 3 etl’angle 3 sont intégrés trivialement pour donner le facteur de 4 dans la deuxième expres-sion. Le choix des axes reste alors arbitraire et nous choisissons de faire coïncider l’axe des avec la direction de p3. La direction de p3 est alors définie par 23 et 2 Mais la désinté-gration est indépendante de l’angle 2 et en intégrant un facteur de 2 vient contribuer à lapremière expression. L’expression ci-dessus devient donc

=

Z |p2| |p3| cos 23 · 2434 · |p2|2 |p3|2

4(2)3234

· ¡√−2 −3 −4¢³24 − (2 + 4)

2´³34 − (3 + 4)

2´

Utilisant un changement de variables en faveur de 2 3 et 4,

|p2| |p3| cos 23 = · 234où est le Jacobien de la transformation,

= (|p2| |p3| cos 23)

(2 3 4)=

234

|p2|2 |p3|2Les intégrales sur 2 3 et 4 sont facilement effectuées (avec les trois fonctions de Dirac)et on obtient

=1

16(2)321

2434 =1

4(2)324 (3.49)

ou

Γ =1

(2)3||2323

1

2434 =1

(2)3||281

24 (3.50)

Le dernier résultat est significatif : l’espace de phase dans le cas d’une désintégrationen deux corps est indépendant de des variables 24 et 34. Donc, à moins qu’il y ait unedépendance explicite en 24 et 34 de la matrice de transition ||2 la distribution desévénements en fonction des invariants 24 et 34 doit être uniforme. C’est-à-dire, qu’aprèsanalyse des événements, si on identifie par un point (24 34) chaque désintégration, lespoints seraient distribués uniformément sur le diagramme de la figure 3.11. Toutefois, dansle cas d’une dépendance explicite de ||2 la distribution des événements n’est plus uni-forme. C’est ce qui se produit lorsque des résonances sont produites et peuvent être décritespar la forme de Breit-Wigner

||2 ∼¯

0

24 −2 + Γ

¯2

On observe alors une concentration des points près de la ligne verticale 24 = 2 sur lafigure 3.11.

71


Par ailleurs, seule une région dans l’espace des 24 et 34 est cinématiquement permise :pour une valeur de 24 donnée, 34 est minimum ou maximum lorsquep3 etp4 sont parallèlesou anti-parallèles dans le référentiel du CM des particules 2 et 4 :

34 = (03 +04)2 − (p03 + p04)2

(34)min,max = (03 +04)2 −

µq023 −2

3 ∓q024 −2

4

¶2(3.51)

où 03 et 04 sont les énergies des particules 3 et 4

03 =21 − 24 −2

3

2√24

04 =24 −2

2 +24

2√24

(3.52)

Ce résultat permet d’exprimer le domaine permis de l’espace de phase dans la section 24versus 34. Ce type de diagramme est appelé diagramme de Dalitz (voir figure 3.11).

Figure 3.11 JIDiagramme de Dalitz : Ce diagramme illustre l’es-pace de phase disponible dans une désintégra-tion à trois corps par l’entremise des variablescinématique 24 et 34.

s24

s34

(s34)max

(s34)min

(m2+m4)2 (m1-m3)

2

(m3+m4)2

(m1-m2)2

3.7 Calcul des éléments de matrice

Il nous manque un ingrédient pour être en mesure d’effectuer des calculs de section effi-cace ou de vie moyenne : le calcul explicite de la matrice de transition à partir d’une théorie.....

Modèle théorique (prototype QED)

À titre d’exemple, considérons ce qui se passe dans le cas de l’électrodynamique quan-tique. Nous ne donnons ici qu’une description succincte de la théorie. Pour plus de détails,consulter la dernière section du chapitre 7. La théorie peut se résumer sous la forme d’unedensité lagrangienne qui se divise en trois parties :

72

C h a p i t r e 3Calcul des éléments de matrice

1. La densité lagrangienne pour l’électron libre

Llibre = ()( −)()

où () et () = †()0 sont le champ de l’électron et son conjugué, les matricesde Dirac et =

la dérivée partielle.

2. Le terme d’interactionLint = ()()() (3.53)

où est la charge électrique de l’électron et () le champ du photon. La force de l’in-teraction est donc proportionnelle à . On note aussi que l’interaction implique seulementtrois champs () () et ()

3. Finalement, la densité lagrangienne du photon libre

LJauge = −14()

()

où () = ()− () est le tenseur de champ électromagnétique.

Donc, “tout” QED se résume par

LQED = ( −) + − 14

(3.54)

Règles et diagrammes de Feynman

Une méthode développée par R.P. Feynman et toujours utilisée aujourd’hui, les règlesde Feynman (voir page 18), permet de calculer les taux pour des processus impliquant desparticules dont les interactions sont décrites par une densité lagrangienne. Qui plus est, lesdiagrammes de Feynman (voir page 18) qu’il a introduits fournissent une méthode graphiquecommode pour visualiser et effectuer les calculs. C’est presque devenu avec les années unlangage qu’utilisent les physiciens pour parler de leurs calculs.

Diagrammes de Feynman

Dans les diagrammes de Feynman, on a :

1. La direction du temps va de gauche à droite dans le diagramme, c’est-à-dire qu’un pro-cessus commence à gauche et finit à droite.

2. Chaque ligne dans le diagramme représente une particule qui se propage librement. Il y atrois types de particules en QED et par convention, nous représentons :

Diagramme Description Particule

Ligne droite, èche à droite Électron

Ligne droite, èche à gauche Positron

Ligne ondulé Photon

3. Les directions verticales des lignes indiquent le mouvement de la particule, mais ne sontpas représentatives des direction ou vitesse des particules.

4. Tout sommet (où trois lignes se rencontrent) représente une interaction électromagné-tique. Ce type d’interaction est dû au terme Lint décrit plus haut et implique la présencede trois champs, ceux du positron (), de l’électron () et du photon (). On ob-

73


serve ces sommets quand ⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭ Un électron émet un photon

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭ Un électron absorbe un photon.

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭ Un positron émet un photon.

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭ Un positron absorbe un photon.

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭Un photon produit une paire électron-positron.

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭Un électron et un positron s’annihilent en un photon.

(Notez que ces six processus sont le même si on ne tient pas compte des orientations)

?

Figure 3.12 NDans le processus le plus simple, la collision ou ladiffusion de deux particules chargées, les partic-ules initiales et finales restent les mêmes, seulesleurs impulsions et énergies sont modifiées.

5. Tout diagramme qui peut être construit utilisant ces parties est un processus possible àcondition :

(a) Qu’il y ait conservation d’énergie et d’impulsion à chaque sommet(b) Les lignes externes (entrant ou sortant du diagramme) représentent des particulesréelles et doivent obéïr à la relation 2 = 2 +2.

(c) Les lignes internes (dans les boucles ou étapes intermédiaires du diagramme) représen-tent des particules virtuelles, n’ont pas à obéïr à la relation 2 = 2 + 2 et nepeuvent être observées 2 6= 2 +2

Le processus le plus simple que nous pouvons considérer est la collision ou la diffusion dedeux particules chargées. Dans un tel processus, les particules initiales et finales, par exempleun électron et un positron, restent intactes, seules leurs impulsions et énergies sont modifiées.

Dans l’approche proposée par Feynman, on commence par dessiner tous les diagrammespossibles. La première possibilité consiste à ajouter une ligne de photon intermédiaire.

74

C h a p i t r e 3Calcul des éléments de matrice

(a) (b)Ce qui distingue ces deux diagrammes, c’est que l’échange du photon virtuel ne se fait

pas entre les même particules.Nous pouvons aussi dessiner des diagrammes plus compliqués avec l’échange de plusieurs

(et même de n’importe quel nombre de) photons, par exemple :

Les diagrammes de Feynman sont particulièrement utiles surtout parce qu’à chaque dia-gramme correspond une quantité complexe bien définie — appelée une amplitude de proba-bilité — donnée par un ensemble de règles, les règles de Feynman. Une de ces règles associeà chaque sommet (donc à chaque échange de photon) un facteur multiplicatif relativementpetit, ce qui a pour conséquence de réduire les amplitudes pour des diagrammes impliquantbeaucoup de photons par rapport à celles où il n’y en a qu’un. Cette quantité, c’est , lecouplage électromagnétique ou la charge électrique.

Techniquement, les règles de Feynman permettent d’obtenir le taux de transition commeun développement en série de puissances du paramètre de couplage (calculs perturbatifs). Laméthode est utile seulement quand ce paramètre est suffisamment petit pour que la conver-gence de la série soit rapide, c’est-à-dire pour les interactions électromagnétiques ou faibles,mais ne s’avère utile pour les interactions fortes qu’à de très hautes énergies.

Des calculs perturbatifs en QED mettant en jeu jusqu’à quatre photons échangés ont étéeffectués pour certaines quantités. Les résultats coïncident avec les données expérimentalesà la douzième décimale près (voir chapitre 7) !

Particules réelles et virtuelles

Nous avons déjà introduit brièvement le concept de particules virtuelles au chapitre 1.Leur provenance est plus évidente par l’approche des diagrammes de Feynman. Parce queles diagrammes de Feynman représentent un calcul quantique, les échanges de particulespassent par des états transitoires, et ne peuvent être observées. Les physiciens appellent cesparticules, “particules virtuelles”. Seules les particules initiales et finales dans le diagrammesont observables et sont par opposition appelées “particules réelles”.

Règles de Feynman

Les règles de Feynman d’une théorie sont en général très simples, mais elles génèrentdes expressions mathématiques de plus en plus compliquées pour des diagrammes de plus enplus complexes.

Les règles de tout processus se lisent :

1. Dessiner tous les diagrammes possibles (jusqu’à un certain nombre de photons, selonl’exactitude désirable).

2. Établir à partir des impulsions et des énergies initiales la direction, les impulsions etles énergies initiales de chaque ligne du diagramme. Pour chaque diagramme ayant une

75


boucle fermée, l’énergie et l’impulsion est arbitraire et il faut intégrer sur toute les valeurspossibles.

3. Chaque ligne interne contribue à l’amplitude par un facteur appelé le propagateur

(a) Propagateur du photon de quadri-impulsion :2

(b) Propagateur de l’électron ou positron de quadri-impulsion et de masse : −

Notez que plus 2 est grand pour le photon et que plus − est grand pourl’électron ou le positron, alors plus la particule est “virtuelle” et donc plus petite serasa contribution au diagramme.

4. À chaque sommet d’interaction électron-positron-photon on associe le facteur −5. Sommer les amplitudes de tous les diagrammes pour obtenir l’amplitude totale associé au

processus.

En résumé, nous avons comme règle de Feynman pour QED

Diagramme Description Règle de Feynman

Propagateur de l’électron −

Propagateur du photon 2

Interaction électron-photon −

Le taux de transition recherché pour le processus peut alors être calculé - il est propor-tionnel au carré du module de l’amplitude totale. Notons ici que ce résultat est différent dela somme des valeurs absolues au carré des amplitudes individuelles de chaque diagramme.Tout comme pour les ondes lumineuses en optique, en prenant le carré du module l’ampli-tude totale, on fait jouer le principe de superposition des ondes qui peut être destructif ouconstructif et cela peut mettre en évidence le phénomène d’interférence.

Calcul des éléments de matrice

(À venir)

76


3.8 Exercices

3.1. Variables de MandelstamSoit , et , les variables de Mandelstam dans une réaction + → + , prouver la relation+ + =

2 pour le cas général où les masses des particules en jeu, ( = ), sont

distinctes.

3.2. Énergie de seuil relativiste : approche généraleOn considère la réaction 1 +2 → 3 + dans laquelle la particule de masse 2 est lacible au repos. Déterminez l’énergie cinétique de seuil = 1 dans le repère de la cible sachantque le seuil de réaction correspond à la production de particules au repos dans le repère du centrede masse. Montrez que, dans la limite des faibles énergies, cette quantité devient le seuil classique :

= − 1

2

(1 +2) = 1 +2 −3 − −

3.3. Énergie de seuil d’un protonObtenez l’énergie cinétique de seuil du proton (projectile) sur une cible au repos pour les réactionssuivantes, la première particule initiale étant le projectile et la deuxième, la cible :

(a) + → + + + ;(b) + → + + 0 ;(c) + → 0 + Λ0 + + + ;(d) + − → 0 + Λ0 ;(e) + − → + 0.

3.4. Collision proton-protonOn considère une collision entre 2 protons dans le référentiel du centre de masse. Trouvez l’expres-sion générale de l’énergie cinétique 1 de seuil pour la réaction dans le repère du centre de masse :1 +1 →2 + . Appliquez ce résultat aux réactions suivantes :

(a) + → + + + ;(b) + → + + 0 ;(c) + → 0 + Λ0 + + +.

3.5. DésintégrationsPour chacune des désintégrations suivantes, déterminez l’énergie cinétique des particules finalessachant que la particule qui se désintègre est initialement au repos (nous sommes dans le centre demasse) :

(a) − → + − ;(b) Λ0 → + − ;(c) + → 0 + + ;(d) Σ0 → Λ0 + .

3.6. Énergie cinétique de seuilOn essaie de produire des particules en utilisant des cibles fixes. Calculer l’énergie cinétique deseuil du projectile, , nécessaire aux réactions suivantes (Posez 0 = 91 GeV, = 80 GeV, = 175 GeV et une masse hypothétique du Higgs de = 350 GeV) :

(a) Production de 0 : +− −→ 0

(b) Production de paires +− : +− −→+−(c) Production de paires de quarks top : −→ .(d) Production de Higgs : +− −→

3.7. Référentiel du CMLes expériences précédentes sont en cours dans des collisionneurs de particules (+− au LEP et au Fermilab) où les deux particules sont accélérées contrairement au cas précédent où la cibleétait fixe. Le collisionneur est conçu de façon à ce que les particules aient des momenta égaux maisde directions opposées, c’est-à-dire l’observateur se trouve dans le référentiel du CM. Calculerl’énergie cinétique de seuil, associée à chaque particule. Quelle conclusion peut-on tirer de cesdeux calculs ?

3.8. Vie moyenneLa vie moyenne des muons est égale à 2.26 s et leur masse est égale à 106 MeV2. Avec

77


quelle énergie cinétique doivent-ils être créés à une altitude de = 30 km pour qu’on en détecte uneproportion de 10% à la surface de la mer. (Supposez que les muons arrivent perpendiculairement àla terre).

3.9. NeutrinoAu LEP, on produit un 0 d’énergie et de quantité de mouvement = |P| qui se désintègre enune paire de neutrinos

0 →

On observe que le neutrino est émis à un angle , par rapport à la direction de vol du 0 qu’onidentifie à l ’axe des . Dans quelle direction le neutrino est-il émis pour un observateur situé dansle système de référence lié au 0 (référentiel du CM du 0) ?

3.10. Vitesse du proton(a) Calculer la vitesse du proton dont l’énergie cinétique est de 20 MeV, 1 GeV, 840 GeV et 1.8

TeV.(b) Combien de temps prend un proton initialement au repos pour parcourir une distance de 3 m

dans un tube où on applique un champ électrique uniforme de 10 MV ?

3.11. Collisionneurs vs cible fixe.Expliquer les avantages et inconvénients d’un collisionneur par rapport à un accélérateur projetantdes particules sur cible fixe.

3.12. Énergie dans le c.m.Calculer l’énergie dans le centre de masse pour l’accélérateur du SLAC et de HERA (voir tableauen appendice).

3.13. Énergie cinétiqueCalculer l’énergie cinétique du 0 et 0 requise pour que les réactions suivantes soient possibles

0+ → Λ

0+

+

et0+ → Λ

0+

0+

+

78

SYMÉTRIES DE L’ESPACE-TEMPSChapitre 4

4.1 Symétries en mécaniquequantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2 Invariance par translation . . . . . 814.3 Rotation en trois dimensions . .824.4 Parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.5 Renversement du temps . . . . . .884.6 Invariance de jauge . . . . . . . . . . .914.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97

La première étape de toute analyse scientifique est d’identifier et de classer les objetsou processus que l’on veut décrire. La physique des particules n’y a pas échappé et c’estd’ailleurs un exercice qui continue de demander un effort expérimental soutenu soit, déter-miner quelles particules sont produites lors de collisions, leur propriétés puis quels processus— ou réactions — sont permis ou semblent interdits. Après des études exhaustives, il estpossible de classer les particules en leur associant des nombres quantiques (ex. masse, chargeélectrique,...) et de déterminer des lois de conservation qui doivent ou non être respectéesdurant un processus d’interaction.

Certaines lois de conservation abordées dans ce chapitre sont universelles et sont validesdans toutes les interactions, par exemple la conservation de l’impulsion et du moment ciné-tique. D’autres ne s’appliquent que dans certains domaines de validité, comme c’est le casde la conservation de la parité, qui n’est valide que dans l’approximation où l’on néglige lesinteractions faibles.

Ces lois de conservation sont d’autant plus importantes qu’on peut démontrer qu’il existeun lien entre celles-ci et la présence de symétries dans le système étudié (voir théorèmede Noether plus bas). Mais en plus de servir à la classification, l’étude des symétries d’unsystème se révèle de nos jours un outil essentiel dans l’élaboration de théories en physiquedes particules élémentaires. Le modèle standard lui-même est, comme nous le verrons dansles chapitres subséquents, une construction basée sur des symétries dites de “jauge”.

4.1 Symétries en mécanique quantique

Lorsqu’on effectue une transformation physique sur l’appareillage pendant une expéri-ence sur un système (ex. rotation, translation, etc...), et que le résultat demeure inchangé, ondit qu’il existe une symétrie et que le système étudié est invariant par rapport à cette transfor-mation.

Le traitement de cette transformation en mécanique quantique requiert que celle-ci soitune transformation unitaire. Cette condition est essentielle pour que l’observable, c’est-à-direla valeur moyenne d’un opérateur donné, reste la même. Par exemple, si la transformation apour effet de modifier notre “perception” des états initial et final d’un processus, on peutécrire

|0i = |i| 0i = |i

où représente la transformation unitaire sur les états. La transition de l’état initial à l’é-tat final requiert la matrice- et puisque dans le cas qui nous intéresse, le résultat demeureinchangé, les éléments de matrice sont invariants par la transformation

h | |i = h 0| |0i= h |† |i

ce qui implique que l’opérateur de transformation commute avec la matrice-

[ ] = 0 (4.1)

79

SYMÉTRIES DE L’ESPACE-TEMPSC h a p i t r e 4

Comme la matrice est reliée à l’hamiltonien, doit aussi commuter avec ce dernier

[ ] = 0 (4.2)

pour que le système soit invariant. Rappelons l’expression (3.38) qui implique que, si tel est lecas, on peut associer à la transformation une quantité conservée. La conclusion précédentepeut être formulée sous la forme plus générale du théorème de Noether pour la mécaniquequantique :

i Théorème de Noether :

À toute transformation qui laisse invariantes les équations de mouvement ou autrement dit,qui commute avec l’hamiltonien, on peut associer une quantité conservée.

i

Pour illustrer ce théorème, considérons une transformation représentée par l’opérateur Pour un hamiltonien invariant par rapport à cette transformation et une fonction d’ondearbitraire Ψ

→ 0 = =

Ψ → Ψ0 = Ψ

Lorsque l’équation d’onde est soumise à cette transformation

(Ψ) = 0Ψ0 = () (Ψ) = 0Ψ = Ψ

il en résulte( −)Ψ = []Ψ = 0

et la relation de commutation[] = 0

On reconnaît l’expression (3.38), qui indique qu’une quantité associée à la transformation

est conservée.Plus schématiquement :

Invariance des équationsde mouvement

mOpérateur commuteavec l’hamiltonien

mSymétrie de l’hamiltonien

mQuantité conservée.

L’opérateur de transformation étant unitaire, il peut s’écrire

=

où est hermitique. D’autre part, on identifie deux types de transformation et/ou symétrie :

1. La transformation continue (ex. translation, rotation) :On peut, dans ce cas, examiner l’effet d’une transformation infinitésimale ( ¿ 1)

= ' 1 +

Si la transformation laisse les observables physiques invariantes, le commutateur (4.1)obéit à

[] = 0

ce qui implique que l’observable associée à est conservée. Par ailleurs, considérons desétats initial et final qui sont des états propres de l’opérateur

|i = |i |i = |i

le commutateur [] étant nul, la valeur moyenne h | [] |i est aussi nulle, ce qui

80

C h a p i t r e 4Invariance par translation

implique( − ) h | |i = 0

où( − ) = 0 si h | |i 6= 0

Autrement dit, les valeurs propres de sont conservées durant la transition |i → |i.L’opérateur définit donc une quantité conservée ou une “constante du mouvement”.

2. La transformation discrète (ex. parité, conjugaison de charge,...) :Dans le cas de transformations discrètes discutées dans ce chapitre, telle que la parité, laconjugaison de charge, etc..., une action double de l’opérateur de transformation laisse lesystème invariant, c’est-à-dire

2 |iSi a des états propres | i alors

| i = | ialors

2 | i = ( )2 | i = |iet les valeurs propres sont

= ±1 doit alors être hermitique et sont les observables.

2

0

-2

-4

-6

6420-2

3

2

1

0

-1

-2

-3

Figure 4.1 NTranslation d’un objet dans l’espace suivant le vecteurr = (−5 5 0).

La discussion qui précède peut aussi être généralisée aux symétries internes de l’hamil-tonien comme nous le verrons plus loin.

4.2 Invariance par translation

L’invariance par translation repose sur la constatation que toutes les positions dans l’es-pace sont physiquement équivalentes. Autrement dit, les propriétés d’un système fermé —qui ne subit aucune force externe — ne dépendent pas de sa position dans l’espace et sontdonc invariantes par rapport à une translation.

Par exemple posons une translation infinitésimale, x → x0= x + x Un hamiltonien(x1x2 ) dépendant des positions x1x2 est remplacé par

(x01x02 ) = (x1 + xx2 + x )

Pour une particule libre non relativiste de masse , l’hamiltonien est simplement

(x) = − 1

2∇2 = − 1

2

µ2

2+

2

2+

2

2

¶et il en découle trivialement que l’hamiltonien reste inchangé par la translation

(x0) = (x+ x) = (x) (4.3)

En général pour un système fermé,

(x01x02 ) = (x1x2 )

et l’hamiltonien est dit invariant par translation.Considérons maintenant la fonction d’onde d’une particule. Après translation, elle est

modifiée par

(x)→ 0(x) = (x+x)

= (x) + x·(x)x

+O ¡(x)2¢=

µ1 + x ·

x

¶(x) +O ¡(x)2¢

' (x)

81


où est l’opérateur de translation infinitésimale

≡µ1 + x ·

x

¶= (1 + x · p)

et p l’opérateur d’impulsion p = − x est appelé le générateur de la translation.

Examinons l’effet de l’opérateur sur (x)(x) soit

(x)(x) = (x+x)(x+x)

= (x)(x+x)

= (x)(x)

où la relation (4.3) est utilisée à la seconde ligne. La dernière identité implique que com-mute avec l’hamiltonien

[(x)−(x)](x) = 0 ou [] = [p] = 0

ce qui fait de l’impulsion p une quantité conservée.

Une translation finie de ∆x s’obtient par une action répétée de l’opérateur infinitésimalde la translation, soit

≡ lim→∞

= lim→∞

µ1 +

∆x

·

x

¶= exp (p·∆x)

où∆x = lim→∞ x Il en découle que

Invariance partranslation 3D

m[] = 0 =⇒ [ ] = 0 =⇒ [p] = 0

mp est une quantité conservée.

c’est-à-dire que si les équations de mouvement sont laissées invariantes suite à une translationcela implique que l’impulsion est conservée.

Il est facile de généraliser ce résultat à un système invariant par une translation en quatredimensions, c’est-à-dire dans l’espace-temps, en substituant dans le calcul précédent x→ et p→ On obtient

Invariance partranslation 4D

m[] = 0

m est une quantité conservée.

ce qui implique que l’énergie-impulsion est conservée.

4.3 Rotation en trois dimensions

La conservation du moment cinétique découle de l’invariance par rotation tout commela conservation de l’impulsion est la conséquence de l’invariance par translation. L’invari-ance par rotation repose ici sur la constatation que toutes les directions dans l’espace sontphysiquement équivalentes. Autrement dit, les propriétés d’un système fermé restent in-changées suite à une rotation autour de son centre de masse.

82

C h a p i t r e 4Rotation en trois dimensions

210-1-2

210-1-2

3

2

1

0

-1

-2

-3

Position originale.

⇒210-1-2

3210-1-2-3

2

1

0

-1

-2

Rotation

¡−2

¢

⇒3210-1-2-3

210-1-2

2

1

0

-1

-2

Rotation

¡−2

¢

210-1-2

210-1-2

3

2

1

0

-1

-2

-3

Position originale.

⇒210-1-2

210-1-2

3

2

1

0

-1

-2

-3

Rotation

¡−2

¢

⇒210-1-2

3210-1-2-3

2

1

0

-1

-2

Rotation

¡−2

¢

Par exemple posons une rotation infinitésimale, qui modifie les vecteurs de position selonx→ x0= x+ x Un hamiltonien (x1x2 ) dépendant des positions x1x2 est alorsremplacé par (x01x

02 ) mais si le système est invariant par rotation

(x01x02 ) = (x1x2 )

C’est le cas de tout système fermé et d’une particule soumise à un potentiel central (sphérique-ment symétrique)

(x) = − 1

2∇2 + () où =

p2 + 2 + 2

L’invariance par rotation implique la conservation du moment cinétique. Comme pour latranslation, examinons d’abord le cas d’une rotation infinitésimale autour de l’axe des pourdes particules sans spin pour en dériver la loi de conservation.8

L’effet de la rotation sur une fonction d’onde passe par un changement infinitésimal de lavariable angulaire → + (en coordonnées sphériques), soit

()→ 0() = (+ )

= () + ·()

+O ¡()2¢=

µ1 + ·

¶() +O ¡()2¢

≡ ()

où est l’opérateur infinitésimal de la rotation

≡µ1 + ·

¶= (1 + · )

et = − = −

³ −

´ l’opérateur de moment cinétique dans la direction des

, est appelé le générateur de la rotation.En utilisant le même raisonnement que pour les translations, on peut déduire l’effet de

l’opérateur sur (x)(x) soit

(x)(x) = (x+x)(x+x)

= (x)(x+x)

= (x)(x)

ce qui implique que commute avec l’hamiltonien

[(x)−(x)](x) = 0 ou [] = [] = 0

et donc que est une quantité conservée.Une rotation finie dans l’espace par ∆ s’obtient par une action répétée de la rotation

8 La conservation du moment cinétique pour des particules avec spin est plus complexe et dépasse le cadre de cetexposé.

83


infinitésimale, soit

≡ lim→∞

= lim→∞

µ1 + ·

¶= exp (·∆)

où∆ = lim→∞ . Finalement

Invariance parrotation autour de

m[] = 0 =⇒ [ ] = 0 =⇒ [] = 0

m est une quantité conservée.

Un système à symétrie sphérique est invariant par une rotation autour de n’importe quel axeet par conséquent

Invariance parrotation arbitraire

m[J] = 0

mJ est une quantité conservée.

Il est à noter que J est l’opérateur de moment cinétique total. Lorsque le spin d’une particuleest non nul

J = L+ S

où L est le moment cinétique orbital et S est celui de spin. L’invariance par rotation im-plique la conservation de J mais ne signifie pas nécessairement que L et S sont conservésséparément. De plus, en mécanique quantique, toutes les composantes du moment cinétiquene commutent pas entre-elles et donc seulement |J|2 et sont observables simultanément.

4.4 Parité

6420-2-4-6

6420-2-4-6

3210

-1-2-3

Figure 4.2 NRéexion d’un objet par rapport à l’origine.

La transformation correspondant à une réexion dans l’espace,

x→ x0 = −xdéfinit l’opérateur de parité sur une fonction d’onde

(x)→ 0(x) = P(x) = (−x)Il s’agit d’une transformation discrète puisqu’une réexion dans l’espace ne peut par défini-tion être continue comme la rotation ou la translation. Pour une fonction propre de P ,

P (x) = (x)

où et sont respectivement la valeur propre et la fonction propre du système. Puisqueaprès deux réexions, le système retourne à son état initial

P2 (x) = (x)

= 2 (x)

où la valeur propre correspondant à la parité prend les valeurs

=

½+1 pour (x) paire−1 pour (x) impaire.

H Remarque H

Remarque 4.1iEn général, la fonction d’onde d’une particule ou d’un système (x) n’est pas une

84

C h a p i t r e 4Parité

fonction propre de P et sa parité n’est pas définie.

i

Les quantités ou opérateurs suivants se transforment sous l’opérateur de parité

Quantité P(Quantité)

x −xp −p

σJL σJL

E −EB B

Bien que représentée par des “vecteurs”, σ J et L ne changent pas de signe après une réex-ion. De telles quantités sont dites axiales ou pseudo-vecteurs. De la même façon, certainesquantités dites pseudo-scalaires, pourtant le résultat d’un produit scalaire, changent de signeaprès une réexion (ex. p · σ x · L,...).

Un système (ou des interactions) qui conserve la parité est décrit par un hamiltonien quicommute avec P , soit

[P] = [P ] = 0

Comme nous le verrons dans les chapitres qui suivent, la parité est une quantité conservéedans les interactions électromagnétique et forte. Par ailleurs, les interactions faibles ne re-spectent pas cette symétrie par rapport à une réexion

[Pe.m.] = [Pfortes] = 0

[Pfaibles] 6= 0

Parité orbitale

Dans le cas d’un atome, d’états liés ou de particules qui interagissent, la fonction d’ondedu système peut être décrite en terme des harmoniques sphériques tel que

( ) = ()( )

où () contient la dépendance radiale de et

( ) =(−)4

s(2 + 1) ( −)!

( +)! (cos )

où les fonctions () se construisent à partir des polynômes de Legendre, (). Plus

précisément,

() = (−1) ¡1− 2

¢2()

=(−1)2!

¡1− 2

¢2

+

+

¡2 − 1¢

Après une réexion dans l’espace, x→ −x ou, en coordonnées sphériques

( )→ ( − + )

la partie radiale de la fonction d’onde ne change pas alors que

(cos )→

(cos( − )) = (− cos ) = (−)+

(cos )

→ (+) = (−)

si bien que pour les harmoniques sphériques

P( ) = (−)( )

85


où le moment cinétique orbital de l’état détermine la parité orbitale. Ainsi

=

½+1 pour des états = 0 2 4 (c’est-à-dire )−1 pour des états = 1 3 5 (c’est-à-dire ).

Parité intrinsèque

Indépendamment de la parité orbitale d’un système, chaque particule qui le compose peutposséder une parité intrinsèque si sa fonction d’onde est une fonction propre de l’opérateur deparité (voir table des particules à l’annexe J). On classe ces particules selon la nomenclaturesuivante :

Spin = 0 Spin = 1

= +1 scalaire axiale = −1 pseudo-scalaire vectorielle

Le photon, par exemple, dont la représentation en théorie quantique des champs coïncideavec le concept de potentiel vecteur,A, est une particule vectorielle, c’est-à-dire de spin 1 etde parité négative.

La notion de parité intrinsèque est intimement liée à la notion de chiralité d’une particuleélémentaire.

Conservation de la parité totale

La parité est un nombre quantique multiplicatif. Par cela, on entend que la loi de conser-vation de la parité s’applique au produit des parités. Pour mettre en lumière cette propriété,il convient d’examiner tout d’abord un système de particules libres. Dans ce cas, l’état initialdu système est représenté par le produit

|i = |i · |i · · · |isi bien que si chacune des particules a une parité intrinsèque définie, alors la parité totale, ,est le produit des parités intrinsèques

P |i = P (|i · |i · · · |i)= |i · P (|i · · · |i)=

· · · · |i · |i · · · |i

= · · · |i

ou =

· · ·

De la même façon, pour un état final formé de

|i = |i · |i · · · |ion a la parité totale

=

· · ·

La loi de conservation de la parité dans ce cas s’écrit

=

Par ailleurs, si deux particules sans spin interagissent via une interaction sphériquementsymétrique, le mouvement relatif de l’état est décrit par une fonction du type ()( )dont les propriétés de parité sont décrites plus haut. La parité totale de ce système simple estalors

= (−) De façon générale, la parité totale est donnée par

totale =

ÃY

!· orbitale

86

C h a p i t r e 4Parité

Le calcul de la parité orbitale du système, orbitale , est toutefois plus complexe pour des sys-

tèmes de plus de deux particules. Par exemple, pour un système de trois particules, si on peutdéterminer le moment cinétique orbital entre la particules 1 et la particule 2, 12 et le mo-ment cinétique orbital entre le système de particules 1 et 2 et la particule 3, 123 on obtiendrala parité orbitale du système

orbitale = (−)12 (−)123 = (−)12+123

Parité des antiparticules

Il est possible de démontrer à partir des équations de Klein-Gordon et de Dirac respec-tivement que

(boson) = (antiboson)

(fermion) = − (antifermion)

(Cette preuve dépasse le cadre de notre exposé mais pour plus de détails, se référer à l’annexeI ). Par convention, on choisit (fermion) = 1 et (antifermion) = −1

Un état lié fermion-antifermion dans un état avec un moment cinétique orbital aura uneparité

tot = (−) = (−)+1 (4.4)

Exemples

H Exemple H

Exemple 4.1Le positronium est un état formé d’une paire électron-positron. Il existe sous deux formes : le para-positronium ( = 0) et l’orthopositronium ( = 1) dont les parités sont respectivement

para = (−)+1 = −1

ortho = (−)+1 = +1

H Exemple H

Exemple 4.2Les hadrons sont des états liés de quarks. Les mésons sont formés de paires quark-antiquark tel que où indiquent les saveurs de quarks. Alors, la parité des mésons est donnée par

méson = (−) = (−)+1

où est le moment cinétique orbital entre les quarks. Les mésons les plus légers (basse énergie)( = 0) devraient donc avoir une parité négative ce qui est le cas pour les mésons , , et .Par ailleurs, les baryons sont des états à trois quarks tel que dont la parité totale est

baryon = (−)12 (−)123

= (−)12+123

Ici la parité orbitale reçoit deux contributions : la première est due au moment cinétique orbital entreles quarks 1 et 2 , 12, et la seconde vient du moment cinétique orbital entre le centre de masse dusystème formé des quarks 1 et 2 et le quark 3, 123. Les antibaryons ont bien sûr la parité

antibaryon = (−)12 (−)123

= (−)12+123+1

= −baryon

Les baryons les plus légers (12 = 123 = 0) devraient donc avoir une parité positive ce qui

87


concorde avec les observations pour les baryons de spin 12

tels que ΛΛ.

H Exemple H

Exemple 4.3Considérons un système de deux pions dans des états ( = 0) et ( = 1) : la parité totale est

= 0 : totale = (−) ( )2 = 1

= 1 : totale = (−) ( )2 = −1

H Exemple H

Exemple 4.4Considérons la réaction suivante impliquant des particules sans spin :

1 + 2→ 3 + 4

La conservation de la parité implique alors

= (−)1 2 = (−)

03

4 =

Si le moment cinétique est conservé dans le processus, alors = 0 et

1

2 =

3

4

De plus, si les particules initiales sont des particules identiques, par exemple dans la réaction + →3 + 4

3

4 = 1

et donc seuls deux cas sont possibles3 = 4 = +1 les états 3 et 4 sont tous deux des scalaires3 = 4 = −1 les états 3 et 4 sont tous deux des pseudo-scalaires.

4.5 Renversement du temps

L’opérateur de renversement du temps, T

Le renversement du temps, T, est l’analogue temporel de la réexion de l’espace. Il cor-respond à regarder un système alors que le fil des événements défile à rebours :

→ 0 = −x → x0 = x

On définit l’opérateur de renversement du temps, T, sur une fonction d’onde par

(x)→ 0(x) = T(x) = (−x)À titre d’exemple, mentionnons quelques quantités ou opérateurs qui se transforment par

88

C h a p i t r e 4Renversement du temps

renversement du temps selon les règles suivantes :

Quantité T(Quantité)

−x x

p −pσJL −σ−J−LE E

B −B

Malgré l’analogie entre T et P , il est facile de démontrer que le renversement du temps nepeut être un opérateur unitaire. En effet, une relation importante de la mécanique quantique,la relation de commutation

[ ] = (4.5)devient sous l’action de T

[ ] = −c’est-à-dire après simple renversement du temps et n’est donc pas préservée. L’opérateur derenversement du temps T dont nous avons besoin en mécanique quantique (différent de T)ne peut donc pas être unitaire et par conséquent, ne possède pas de valeurs propres et on nepeut y associer des observables.

En examinant comment T et P agissent sur les générateurs du groupe de Poincaré (in-cluant les transformations de Lorentz, les translations et les rotations), on constate qu’enmécanique quantique les transformations T et P doivent être soit linéaire et unitaire ou an-tilinéaire et antiunitaire. Rappelons d’abord ce qu’on entend par opérateur antilinéaire. Unopérateur linéaire satisfait

( |i+ |i) = |i+ |itel que

|†|® = h|i = h|i∗ alors qu’un opérateur antilinéaire satisfait

( |i+ |i) = ∗ |i+ ∗ |iavec

|†|® = h|i∗ = h|i S’il est en outre unitaire, on a

h|i = h|i alors qu’un opérateur antiunitaire obéit à

h|i = h|i∗

Nous voulons construire une transformation qui renverse le temps tout en préservant (4.5).Pour y arriver, il suffit de combiner T à la transformation dite anti-unitaire qui transformeun nombre complexe en son complexe conjugué.

Définissons maintenant le renversement du temps en mécanique quantique comme latransformation antiunitaire T = T tel que

T = T :

⎧⎨⎩ → T T −1 = → T T −1 = −

→ −

et que T laisse la relation de commutation (4.5) intacte. Alors cette transformation laisseaussi invariante la relation de commutation

[ ] =

puisqueT JT −1 = −J

L’invariance des interactions sous la transformation T implique plus formellement que T

89


commute avec l’hamiltonien , la matrice de diffusion et la matrice de transition

T T −1 =

T T −1 =

T T −1 = †

Notons que si nous avions utilisé l’opérateur unitaire T au lieu de T , la relation serait plutôt

TT−1 = −transformant un état d’énergie positive en état d’énergie négative. Il n’existe aucun état d’én-ergie négative ce qui ne laisse qu’une alternative, celle d’utiliser l’opérateur antiunitaire T .

Une observable est invariante si

h()| |()i = h()| T −1 ¡T T −1¢ T |()i= (h(−)|)† † (|(−)i)†= h(−)| |(−)i

ce qui décrit exactement les éléments de matrice de transition pour le processus inverse.La forme exacte de l’expression précédente pour des états initiaux caractérisés par leurs

impulsions , leur troisième composante de spin et leurs autres nombres quantiques et des états finals caractérisés par leurs impulsions , leur troisième composante de spin

et leurs autres nombres quantiques est

h | | i = h−− | |− − i (4.6)

Il y a donc égalité de probabilité entre un processus et son processus inverse dont les impul-sions et les spins sont dans des directions opposées.

Finalement, rappelons que le renversement du temps T n’étant pas unitaire, il en découleque T n’a pas de valeurs propres observables. Les états ne peuvent être étiquetés en termede telles valeurs propres et on ne peut pas tester la violation de l’invariance par rapport à Tutilisant des processus irréversibles comme des modes de désintégration.

Toutefois, On peut tester l’invariance par rapport à T en vérifiant des relations comme(4.6). De tels tests peuvent servir à identifier la nature d’une interaction. En effet, les inter-actions fortes et électromagnétiques sont invariantes par rapport à un renversement du tempsT :

[Tfortes] = 0 [Tem] = 0

Application : le bilan détaillé

H Exemple H

Exemple 4.5Le spin du pion :Supposons qu’il y ait invariance par le renversement du temps, T , combinée à l’invariance par laparité, P . Pour un système donné, l’identité dérivée en (4.6) devient

hp | |pi = h−p−| |−p − i= h−p−| P−1P |−p − i= hp−| |p − i

où on a utilisé = P−1P. Ces conditions sont remplies pour un processus d’interaction forte parexemple. Alors, la somme sur les états de spin initiaux et finals est donnée par

spin

|hp | |pi|2 =spin

|hp| |p i|2

puisque toutes les composantes de spin± et ± sont sommées.En général, dans une réaction à 4-corps les particules initiales sont souvent non polarisées, ce quiimplique une moyenne sur les états de spin initiaux si bien que la section efficace du processus direct

1 + 2→ 3 + 4

90

C h a p i t r e 4Invariance de jauge

s’écrit

Ω(12→ 34) =

1

16221

2CM

34

12

1

(21 + 1) (22 + 1)

||2

Ici, les facteurs (21 + 1) et (22 + 1) au dénominateur sont le nombre d’états de spin des partic-ules 1 et 2 respectivement qui apparaissent en prenant la moyenne. La section efficace du processusinverse

3 + 4→ 1 + 2

s’écrit

Ω(34→ 12) =

1

16221

2CM

12

34

1

(23 + 1) (24 + 1)

| |2

Puisque

||2 =

| |2

on trouve la relation de proportionnalité

Ω(12→ 34) =

234212

(23 + 1) (24 + 1)

(21 + 1) (22 + 1)

Ω(34→ 12)

Considérons maintenant la réaction+ →

++

où le spin du proton est 12

et celui du deutéron est de 1. Alors

Ω(→

+) =

22

(2 + 1) · 32 · 2

Ω(

+→ )

Une mesure expérimentale des sections efficaces permet alors de déterminer le spin du pion : onvérifie que = 0.

4.6 Invariance de jauge

La formulation quantique du principe d’invariance de jauge est due à Wigner (1949).Cependant, le principe était connu depuis fort longtemps en mécanique classique. En effet,rappelons que les forces électromagnétiques (ou les champs électrique et magnétique,E etB)sont indépendantes du choix de la jauge ce qui n’est pas le cas des potentiels électrostatiqueet vecteur, etA c’est-à-dire que E et B sont invariants par rapport au changement de etA suivant appelé transformation de jauge

→ 0 = + (x)

A → A0 = A−∇ (x)où (x) est une fonction scalaire arbitraire. Sous forme quadri-vectorielle

= (A)

et → 0 = + ()

En mécanique quantique, la densité de probabilité est invariante par rapport à la multi-plication de la fonction d’onde par un facteur de phase. Par exemple, la solution sous formed’une onde plane

= ·

doit être équivalente à0 = −· = (·−)

Cette transformation laisse la densité de probabilité spatiale invariante

h |i = 0 ¯0® Transformation de jauge

91


Une transformation de jauge est définie par la transformation unitaire

→ 0 = −

où est un paramètre constant dont on verra la signification physique plus bas et () estune fonction arbitraire :

1. Si () est une constante arbitraire (indépendante de la position), la transformation dejauge est dite globale. Elle consiste à multiplier la fonction d’onde par le même facteur dephase quelle que soit la position. Une phase globale n’est pas observable en mécaniquequantique.

2. Si () est une fonction scalaire arbitraire dépendant de la position, la transformation dejauge est dite locale. Elle consiste à multiplier la fonction d’onde par un facteur de phasearbitraire en chaque point de l’espace. L’invariance d’un système par rapport à une telletransformation mène à des propriétés très spéciales qui sont d’une importance crucialedans la description des théories modernes des particules élémentaires.

Par analogie, si on considère la rotation des spins sur un réseau, une rotation globaleconsiste à faire une rotation de tous les spins par le même angle sur chaque site alors que latransformation locale fait tourner les spins par un angle arbitraire sur chaque site.

x 420-2-4

y

4

2

0

-2

-4

Figure 4.3 NExemple de rotation globale de spins. Tous lesvecteurs sont soumis à la même rotation.

Considérons maintenant l’effet de la transformation de jauge locale sur l’hamiltonien. Leséquations de mouvement mettent en jeu l’opérateur =

qui agit de façon non triviale

() = ¡·

¢= ()

Après transformation de jauge locale

() → 0() =

=

³(·−)

´= ( − ())

0()

Donc, les équations de mouvement ne sont pas, en général, invariantes par une transfor-mation de jauge locale. Considérons les particules chargées qui interagissent électromagné-tiquement avec le potentiel = (A). En fait, l’interaction électromagnétique peut êtreintroduite en mécanique grâce à la substitution de l’impulsion par l’impulsion canonique

→ +

En incluant le potentiel, une onde plane a la forme

() = (·+·)

où ≡ () La transformation de jauge a un effet sur ,

x 420-2-4

y

4

2

0

-2

-4

Figure 4.4 NExemple de rotation locale des spins. Chaque vecteursubit une rotation différente.

→ 0

si bien que la fonction d’onde en présence d’interaction sous une transformation de jaugelocale s’écrit

()→ 0 () = (·+0·−())

et() = ( + )()→

0() = ¡ + 0 − ()

¢0()

L’invariance de jauge requiert donc que

0 = + ()

et que les équations de mouvement de soient aussi invariantes sous cette transformation

92


de jauge. Alors

→ 0 = −() ()

= ( + ) → 0 = ( + )

0

→ 0 = + ()

Par ailleurs, un terme de masse

2 → 20 = −()2 ()

brise l’invariance de jauge et est donc proscrit.Finalement, deux conditions sont nécessaires à l’invariance par une transformation de

jauge locale :

1. Il doit exister un champs à longue portée qui agit sur les particules et qui change laphase de leur fonction d’onde.

2. La charge doit être conservée (l’identité ci-dessus n’est plus valide si la charge varie enfonction du temps).

Les photons

Les équations de Maxwell en électrodynamique classique s’écrivent généralement en ter-mes des champs électrique E et magnétique B

∇ ·E = ρ

∇×B = j+E

∇×E = −B

∇ ·B = 0

mais pourraient être exprimées en fonction des potentiels etA en substituant

B = ∇×AE = −∇−

A

En l’absence de charge et courant, elles peuvent prendre la forme

() = 0

ou, dans l’espace de impulsions,

() = 0

Si on se transpose maintenant en mécanique quantique relativiste, le quadri-potentiel ()

est promu au rang de fonction d’onde, et l’équation d’onde s’écrit

() = 0

Celle-ci correspond à l’équation de Klein-Gordon pour une particule sans masse, ce qui sug-gère que la masse des photons est nulle. C’est une condition nécessaire à l’invariance dejauge.

Jauge de Lorentz

Les équations de mouvement sont effectivement invariantes de jauge. Cependant, on peutdonc fixer la jauge sans pour autant inuencer les forces électriques et magnétiques. Un choixde jauge possible consiste à imposer la condition de Lorentz (à noter que cette condition estinvariante de Lorentz)

() = 0 ou

() = 0

93


En imposant cette condition sur une solution de type onde plane

() = ()0·

où est un vecteur unitaire de polarisation et 0 un facteur de normalisation, on obtient

() = 0 (4.7)

En général, seulement trois des quatre degrés de liberté sont indépendants pour une par-ticule vectorielle. Ces particules de spin 1 peuvent alors se trouver dans trois états représentéspar les trois états de spin = −1 0 ou 1. La masse du photon étant nulle, conséquence del’invariance de jauge, il ne peut rester que deux degrés de liberté indépendants, soient les étatsde spin = ±1. En fait, l’état = 0 n’est pas un invariant de Lorentz puisqu’une com-posante de spin ne reste pas perpendiculaire à l’axe des après un changement de référentiel.Le photon devrait être décrit de la même façon quel que soit le repère inertiel (sa vitesse esttoujours la même = 1) donc l’état = 0 est absent dans la description du photon.

Jauge de Coulomb

Les résultats physiques sont indépendants du choix de la jauge. Choisissons ici la jaugede Coulomb (il s’agit ici d’un choix de jauge différent de la jauge de Lorentz), c’est-à-dire

∇ ·A = 0

ouk · ² = 0

Cette condition est aussi appelée la condition de transversalité puisque

k ⊥ ²c’est-à-dire seules les composantes transverses du vecteur de polarisation sont non nullespour un photon.

Ce choix de jauge est particulièrement utile puisqu’il simplifie le traitement de problèmesd’électrostatique

∇ ·E = ρ avec E = −∇−

A

devient−∇2 = ρ

La seconde équation de Maxwell devient alors

−

(−A−∇)−∇2A = j (4.8)

que nous pouvons écrire comme

(2

2−∇2)A = j (4.9)

où j = j+∇ . On peut montrer, en utilisant l’équation de la conservation du courant que

∇ · j = 0 (4.10)

Dans l’espace libre, c’est-à-dire, en l’absence des charges et de courants, nous pouvonsprendre = 0, et l’équation pour le potentiel-vecteur devient

(2

2−∇2)A = 0 (4.11)

Il s’agit d’une des découvertes importantes du siècle dernier puisque cette équation a dessolutions d’onde plane, transportant l’énergie et l’impulsion : ondes électromagnétiques. Unetelle solution peut être écrite

A(x) = ²−+k·x (4.12)où ² est un vecteur constant, et = ±|k| .

La condition de jauge impose une condition au vecteur a telle que

∇ ·A = k·² −+k·x = 0 (4.13)

ce qui impliquek · ² = 0 (4.14)

94


Par conséquent, le potentiel de jauge A est orthogonal au vecteur d’onde k, ce qui enlèveun des trois degrés de liberté apparents du champ. Ainsi le champ oscille dans les directionsorthogonales à la direction de la propagation : nous disons que les ondes sont transversales.

En conclusion, les implications sont les suivantes :

1. Le vecteur de polarisation d’une particule de spin 1 possède en général trois états : lesétats de spin = ±1 0 L’invariance de Lorentz (ou la masse du photon nulle) éliminela possibilité = 0.

2. Un photon peut ne pas obéir aux équations de mouvement ou à la condition d’invariancede jauge pendant un temps permis par le principe d’incertitude. On dit que le photon estalors virtuel

3. L’invariance de jauge =⇒ photon = 0 =⇒ conservation de la charge =⇒ 2

hélicités pour photons réels.

Invariance de jaugem

photon = 0

(2 hélicités pour photons réels)m

[] = 0

mConservation de la charge

H Exemple H

Exemple 4.6À titre d’exemple, considérons la réaction suivante

0+ → + (770)

+

Appliquant les lois de conservation introduites jusqu’ici, on trouve

0 + → + (770)+

Quantité conservée non-conservée

Charge électrique () X

.

Voici les détails des calculs :

0 + → + (770)+

Particule (MeV)

0 1349766±600 0

93827203±8 1

93956536±8 0

(770)+ 77549±34 1

Variation 64181±34 0

Puisqu’il s’agit d’une collision, le paramètre d’impact et les moments orbitaux et 0

entre lesparticules initiales et finales sont inconnus. Dans la partie initiale de la réaction, le momentcinétique total prendra des valeur demi-entières¯

− 12

¯≤ ≤

¯ +

1

2

¯

95


alors que pour les produits ¯0 − 3

2

¯≤ ≤

¯0+3

2

¯

donc la conservation du moment cinétique total est possible. Par ailleurs, il est impossiblede vérifier s’il y a conservation de parité puisque et

0sont inconnus. Toutefois, on peut

affirmer que la parité de charge initiale sera

(−) = (−)+1

alors que pour les produits

(−)

0= (−)

0+1

La parité de charge n’étant pas définie pour toutes les particules en jeu, il est aussi impossiblede vérifier s’il y a conservation ou non. La conservation est donc possible. Ici, on ne spécifieni l’énergie, ni l’impulsion des particules initiales mais on note que la variation de masse estpositive. La réaction n’est possible alors que si les particules possède une énergie supérieureà l’énergie de seuil, énergie cinétique nécessaire pour produire les particules finales au reposdans le repère du centre de masse (CM ) ou d’impultion nulle.(RIN).En tenant compte des masses des particules. il est possible de calculer ces énergies de seuilen utilisant les relations trouvées au Chapitre 3. Dans le RIN, on trouve alors les énergies deseuil

1CM =

³X

´2+2

1 −22

2X

−1

2CM =

³X

´2+2

2 −22

2X

−2

Si la collision se déroule dans le repère de la cible fixe (particule 2), la collision requiert uneénergie de seuil pour la particule 1 telle que

1cf =

³X

´2−³X

´222

(4.15)

De la même façon, si la particule 1 est la cible fixe, l’énergie de seuil de la particule 2 est

2cf =

³X

´2−³X

´221

(4.16)

On obtient alors :

Energies de seuilRepère d’impulsion nulle

0

471208MeV () 1705998MeV

Repère de cible fixe 1

0

0MeV () 953643MeV


0

6629120MeV () 0MeV

On note que les énergies de seuil sont moins plus petites dans le repère d’impulsion nulle

96


4.7 Exercices

4.1. Fermions et bosonsTrouver la masse et le spin des particules suivantes et déterminer s’il s’agit de fermions ou debosons :

(a) − méson,(b) photon,(c) −,(d) quark bottom,(e) +,(f) baryon Λ0

4.2. Parité(a) Un état formé de 2 0 est pair sous une réexion (( = 1)). Quel est son moment angulaire.(b) Expliquer pourquoi le 0(958) dont la parité est impaire ( = −1), ne peut se désintégrer

en 2 0 par les voies forte ou électromagnétique.

4.3. Une collision La collision + → 0 + 0 laisse des produits de désintégration dans l’état final et l’état aurepos. Déterminer par l’entremise de quelle type d’interaction la réaction se produit et expliquer.

4.4. Le méson (549)Le méson (549) a un spin = 0, et se désintègre via les interactions électromagnétiques suiv-antes :

→ +

→ 0+

0+

0

→ ++

0+

−

Trouver les parité spatiale et parité de charge de Expliquer pourquoi la désintégration électro-magnétique → 0 + 0 n’est pas observée.

4.5. Modèle des quarksDans le modèle des quarks, l’octet de mésons possède un spin et une parité = 0− et = 1−Expliquer. Comment peut-on construire un multiplet ayant = 0+? Trouver la parité de chargede chacun de ces multiplets.

4.6. Valeur propre de CPÉtant donné que les valeurs propres de CP 1 et 2 sont

| 1i = 1√2(| 0i+ | 0i)

| 2i = 1√2(| 0i− | 0i)

exprimer 0 et 0 en termes de 1 et 2.Un faisceau de 0 peut se désintégrer dans le vide. À une distance en aval du faisceau correspon-dant à vingt fois la vie moyenne du 1 se trouve une cible qui absorbe 10% des 0 incidents. Si lasection efficace du 0 est trois fois plus élevée que celle du 0, calculer les amplitudes relativesdu 1 et du 2 dans le faisceau (a) au début, (b) juste avant d’arriver sur la cible et (c) juste aprèsavoir traversé la cible.

97

SYMÉTRIES INTERNES ET HADRONSChapitre 5

5.1 Symétries globales et règles desélection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.2 Isospin et hypercharge . . . . . . 1015.3 Étrangeté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.4 Autres saveurs . . . . . . . . . . . . . . 1075.5 Conjugaison de la charge . . . 1095.6 Parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1145.7 Tableau récapitulatif . . . . . . . . . 1155.8 Résonances . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.1 Symétries globales et règles de sélection

Les observations expérimentales ont permis de mettre en évidence que certaines réactionssont possibles alors que d’autres semblent strictement interdites. Pourtant, la conservationd’énergie-impulsion n’arrive pas à elle seule à expliquer ces résultats.

Par exemple, considérons la désintégration d’un électron en un ou plusieurs photons,− → + + . Le simple principe de l’augmentation de l’entropie favorise la désin-tégration d’une particule en particules plus légères. Ici, l’entropie augmente puisqu’elle estreliée à l’espace de phase disponible, et = ln(espace de phase) est plus grande pour lesphotons. Cependant, malgré qu’elle soit permise dynamiquement, cette désintégration n’estpas observée et pour cause, une loi de conservation l’interdit, la conservation de la chargeélectrique.

Il doit donc y avoir un principe théorique qui régit ces phénomènes, c’est-à-dire des règlesde sélection ou encore des lois de conservation. Dans la plupart des cas, ceci est possible enintroduisant une “charge généralisée” (un nombre quantique associé à une symétrie globale)à chacune des particules et une loi de conservation additive correspondante. Alors, la sommedes charges généralisées demeure la même avant et après la réactionX

=X

comme c’est le cas de la charge électrique.La première partie de ce chapitre introduit les différentes charges généralisées ou règles

de sélection qui prévalent en physique des particules. Puisque ces règles de sélection s’ap-pliquent à la physique des leptons et des hadrons, nous en profiterons pour décrire brièvementles propriétés de ces particules. Puis nous examinerons quelques symétries importantes quisont associées aux interactions forte, faible et électromagnétique. Finalement, pour clore ladiscussion sur les hadrons, la dernière section introduit les résonances, des états hadroniquesinstables mais qui restent néanmoins détectables.

Charge électrique,

La charge électrique est conservée à l’échelle macroscopique. Il est donc naturel qu’ellesoit conservée aussi à l’échelle microscopique. Cependant, cette présomption doit être scrupuleuse-ment vérifiée. En principe, l’électron pourrait se désintégrer en particules plus légères si cen’était de la conservation de la charge électrique. On sait que le processus de désintégration

− 9 +

possède une vie moyenne ≥ 2 × 1022 années (il n’est essentiellement pas observé). Lacharge électrique est donc un nombre quantique conservé additivement. Cela implique l’in-

99

SYMÉTRIES INTERNES ET HADRONSC h a p i t r e 5

variance par une transformation de jauge globale de l’hamiltonien

Invariance par|i→

¯0®= − |im

[] = 0

où est le générateur du groupe d’une transformation unitaire (groupe (1)) Si est in-dépendant de la position, on dit que la transformation de jauge est globale alors que pour = () la transformation de jauge est locale. Une des particularités de la charge élec-trique est qu’elle est le seul nombre quantique qui correspond à la fois au générateur de latransformation (1) globale et au générateur de la transformation (1) locale.

Nombre leptonique total,

Expérimentalement, on observe trois leptons chargés − − et − et trois leptons neutres,les neutrinos et Le Modèle Standard regroupe ces leptons en trois générations (oufamilles) de leptons. Chaque génération est formée d’un lepton chargé et d’un neutrino (et deleurs antiparticules respectives). Les réactions impliquant des leptons permettent de constaterqu’il y a conservation du nombre leptonique si on assigne un nombre leptonique, = 1, auxleptons, = −1 aux antileptons et = 0 à toute autre particule (ex. hadrons, quarks,....)

Leptons, = 1µ−

¶ µ−

¶ µ−

¶Antileptons, = −1µ

+

¶ µ+

¶ µ+

¶La conservation du nombre leptonique implique l’invariance de l’hamiltonien par rapport

à une transformation de jauge globale définie par

Invariance par|i→

¯0®= − |im

[] = 0

où est le générateur de la transformation.

Nombre électronique, muonique, tauique...

Toutefois la simple conservation du nombre leptonique total ne réussit pas à expliquerl’observation suivante. Lorsque des antineutrinos provenant de la désintégration du pion

− → − + (5.1)

entrent en collision avec un proton, la réaction

+ → + + (5.2)

n’est pas observée. Par ailleurs, la réaction est possible si les antineutrinos incidents sont detype électronique,

+ → + + (5.3)Pourtant, la seule loi de conservation du nombre leptonique total permet la capture d’antineu-trinos de tous les types dans (5.2).

Historiquement, cette question a permis de faire la lumière sur la nature des neutrinosen nous obligeant à en distinguer différents types et à attribuer à chaque famille de leptonsun nombre leptonique distinct. Ainsi, chaque nombre leptonique (les nombres électronique,

100

C h a p i t r e 5Isospin et hypercharge

muonique et tauique) est conservé séparément. On assigne les nombres leptoniques suivantla règle

− +1 0 0 +1

+ −1 0 0 −1− 0 +1 0 +1

+ 0 −1 0 −1− 0 0 +1 +1

+ 0 0 −1 −1

Toute autre particule a des nombres leptoniques nuls.En examinant à nouveau la réaction + → + + on voit aisément que les nombres

électronique et muonique ne sont pas conservés :

() + () = 0 → () + (+) = −1

() + () = −1 → () + (+) = 0

alors qu’ils le sont dans la réaction + → + + :

() + () = −1 → () + (+) = −1

() + () = 0 → () + (+) = 0

Nombre baryonique,

Le proton est une particule très stable avec une vie moyenne ≥ 19 × 1029 années(intervalle de confiance de 90%). Or, à prime abord, on pourrait s’attendre à ce que le protonpuisse se désintégrer en une particule plus légère. Ce n’est pas le cas. Cette observationsuggère que la stabilité doit être la conséquence d’une loi de conservation et fut à l’origined’un nouveau nombre quantique, le nombre baryonique. On assigne un nombre baryonique = +1 aux baryons et = 0 aux mésons et aux leptons. Les antibaryons ont bien sûr unecharge opposée, soit = −1 :

= +1 : ΛΣ+−0Ξ0−Ω− = 0 : +−0−+0

Par ailleurs, les constituants des hadrons, les quarks, doivent aussi porter une charge bary-onique

(quark) =1

3

(antiquark) = −13

qui est indépendante de la saveur et de la couleur.La conservation du nombre baryonique implique l’invariance de l’hamiltonien sous une

transformation de jauge globale définie par

|i→¯0®= − |i

avec[] = 0


5.2 Isospin et hypercharge

Comme une bonne partie de ces règles de sélection s’applique aux hadrons qui sont for-més de particules plus fondamentales, les quarks, nous commençons cette section par un sur-vol rapide des propriétés des hadrons. Malgré qu’il en existe plusieurs centaines, on peut lesclasser en deux types : les baryons, de spin = 1

2 32 et les mésons, de spin = 0 1 .

101


De plus, les hadrons peuvent être rangés en groupes définis, des multiplets qui sont identifiéspar des parités et spins identiques, . Les tableaux suivants illustrent le spectre des hadronsles plus légers9.

Multiplet = 0−

Mésons Mass(MeV) Nom+ 0 − 1396 1350 1396 pion+0 4937 4977 kaon0− 4977 4937 antikaon

5475 eta0 9578 eta prime

Multiplet = 1−

Mésons Mass(MeV) Nom+ 0 − 7685 rho

7819 oméga∗+∗0 8916 8961 kaon étoile∗0∗− 8961 8916 antikaon étoile

10194 phi

Multiplet = 12

+

Baryons Mass(MeV) Nom 9383 9396 nucléonΛ 11157 lambda

Σ+Σ0Σ− 11894 11926 11974 sigmaΞ0Ξ− 13149 13213 xi

Multiplet = 32

+

Baryons Mass(MeV) Nom∆++∆+∆0∆− ≈ 1232 deltaΣ∗+Σ∗0Σ∗− 13828 13837 13872 sigma étoileΞ∗0Ξ∗− 15308 15350 xi étoileΩ− 16725 oméga

La première remarque qui vient à l’idée en regardant les propriétés des particules formantles multiplets est sans doute que la structure de multiplets ne s’arrête pas à la notionde spin et de parité. En effet, la plupart des particules peuvent former des sous-multipletscaractérisés par des masses presque identiques mais dont les éléments se distinguent par leurcharge électrique. Par exemple, on retrouve des singulets, doublets, triplets et quadruplets decharges :

singulets : 0 ΛΩ−

doublets :

µ

¶

µ+

0

¶

µ0

−

¶

µ∗+

∗0

¶

µ∗0

∗−

¶

µΞ0

Ξ−

¶triplets :

⎛⎝ +

0

−

⎞⎠

⎛⎝ +

0

−

⎞⎠

⎛⎝ Σ+

Σ0

Σ−

⎞⎠

⎛⎝ Σ∗+

Σ∗0

Σ∗−

⎞⎠quadruplets :

⎛⎜⎜⎝∆++

∆+

∆0

∆−

⎞⎟⎟⎠On remarque de plus que les interactions fortes (ex. interactions nucléaires) sont approx-

imativement identiques pour les systèmes −, − et − Par analogie avec le conceptde spin (où la troisième composante du spin distingue les deux manifestations d’une mêmeparticule), il est possible d’interpréter le proton et le neutron comme les deux éléments d’un

9 Il existe des états plus lourds mais sont interprétés comme des états excités.

102


doublet d’isospin

=

µ

¶=

µ = 1

2 3 = +

12

= 12 3 = − 12

¶

Le proton et le neutron sont donc des particules identiques (ou la même particule) du pointde vue des interactions fortes. Leurs masses diffèrent très peu,

∆

=12MeV939MeV

' 0001

et cette différence peut être attribuée à des effets coulombiens qu’on estime être de l’ordre dela constante de couplage des interactions électromagnétiques, O()

Il s’agit toutefois d’une propriété qui ne se limite pas au proton et au neutron mais quis’étend à toutes les interactions fortes, c’est-à-dire que celles-ci sont indépendantes de lacharge électrique. À noter que la notion d’isospin aussi appelé spin isotopique fut d’abordintroduite en physique nucléaire pour décrire cette propriétés des interactions nucléaires.

Le traitement de l’isospin ressemble en tout point à celui du moment cinétique. On intro-duit un vecteur I = (1 2 3) dans l’espace des isospins. L’opérateur d’isospin I obéit à desrègles de commutation similaires à celles qui s’appliquent au moment cinétique ou au spin,

[ ] = = 1 2 3

ce qui permet l’existence simultanée de plusieurs états propres | 3i avec pour observablesI2 et 3

I2 | 3i = ( + 1) | 3i3 | 3i = 3 | 3i

où 3 dans le membre de gauche de la dernière équation représente l’opérateur 3 (troisièmecomposante d’isospin) alors que dans le membre de droite 3 désigne les valeurs propres quisont au nombre de (2+1) pour une valeur de donnée Ces valeurs propres peuvent prendreles valeurs

3 = −− + 1 − 1 Par conséquent, un multiplet d’isospin est formé de (2 + 1) états propres, c’est-à-dire ils’agit d’un (2 + 1)-plet.

Par exemple, le multiplet formé du proton et du neutron possède deux états de charge d’oùon tire que = 1

2et chaque état peut être désigné par les étiquettes et 3

|i =

¯ =

1

2 3 =

1

2

À=

¯1

21

2

À|i =

¯1

2−12

À

alors que le quadruplet du∆ possède les états propres¯∆++

®=

¯3

23

2

À¯∆+®=

¯3

21

2

À¯∆0®=

¯3

2−12

À¯∆−

®=

¯3

2−32

À

Symétrie SU(2)

On peut donc décrire plusieurs états de charge d’une particule sous la forme de multiplets.Ces états ont les mêmes interactions fortes. Dans ce sens, l’hamiltonien des interactions fortesest invariant par rapport à une transformation qui change un état de charge en un autre faisantpartie du même multiplet, ex. transformation d’un proton en neutron. Mais comment définit-

103


on une telle transformation ? Encore une fois, l’analogie avec le spin est d’une grande utilité.Posons un opérateur de transformation tel que¯

0®= |i

où |i représente le multiplet d’isospin.

1. Puisque agit sur un multiplet (et que |i est en général un vecteur d’états), il convientde le représenter en général par une matrice complexe.

2. Pour conserver l’hermiticité et générer des valeurs propres réelles, doit être unitaire,

† =

3. On exige en plus que le produit scalaire soit conservé, ex.

h |i = 0 ¯0®ce qui implique que

det = 1

4. Finalement, l’état de charge à l’intérieur d’un multiplet est déterminé par un seul nombrequantique 3 Ceci implique qu’il existe une seule matrice diagonalisable simultanément.On dit alors que le rang de l’opérateur matriciel est de un.

Les matrices qui obéissent à ces conditions forment le groupe (2) les matrices 2× 2spéciales unitaires. En fait, ce formalisme est connu depuis longtemps et est utilisé pour lespin en mécanique quantique.

Générateurs de SU(2)

Puisque est unitaire, il peut se récrire

=

où est une matrice 2 × 2 complexe qui dépend de 8 paramètres, 4 réels et 4 imaginaires.Cependant, tous ces paramètres ne sont pas indépendants puisque les 4 conditions d’unitar-ité s’appliquent († = ) et une condition d’unimodularité (det = 1) doit aussi êtreimposée. Il reste donc trois degrés de liberté indépendants ce qui signifie que est une com-binaison linéaire de trois matrices linéairement indépendantes.

= = 1 2 3

où sont des coefficients alors que sont les matrices 2× 2 linéairement indépendantes.Il est pratique d’identifier aux générateurs du groupe (2) c’est-à-dire aux matrices

de Pauli

1 =

µ0 1

1 0

¶2 =

µ0 − 0

¶3 =

µ1 0

0 −1¶

qui obéissent aux règles de commutation

[ ] = = 1 2 3

À noter, les générateurs ne commutent pas. On dit alors que le groupe (2) est non com-mutatif ou non abélien.

Relation de Gell-Mann-Nishijima

Par analogie avec le spin, il est clair que la conservation de 3 implique l’invariance del’hamiltonien par rapport à une rotation autour de la troisième direction d’isospin. Par ailleurs,la valeur propre 3 est une mesure de l’état propre de charge de la particule à l’intérieur dumultiplet. Il doit donc exister une relation directe entre la charge et la troisième composanted’isospin de l’état. On serait tenté de confondre les deux quantités mais il faut se rappeler

104


que la charge est conservée partout et en tout temps alors que 3 ne l’est que dans lesinteractions fortes. En fait, d’autres charges sont impliquées dans la relation entre et 3,

= 3 +

2

où est appelé l’hypercharge. Il est facile de démontrer que l’hypercharge associée à unmultiplet d’isospin correspond à la charge moyenne des particules qui forment le multiplet

= 2

En effet, pour les éléments d’un multiplet d’isospin, la sommeP

3 = 0 Il en découle que2P

=P

ou = 2

Conservation d’isospin

La conservation de l’isospin implique l’invariance des équations de mouvement par rap-port à une rotation dans l’espace des isospins et les règles de commutation

[fortes] = 0 [fortes] = 0

ou[I fortes] = 0 [Ifortes] = 0

où fortes et fortes sont respectivement la matrice et l’hamiltonien des interactions fortes.Cependant comme dans le cas du moment cinétique ou du spin, seulement deux opérateursmatriciels commutent entre eux et avec fortes simultanément£

I2 3¤=£I2fortes

¤= [3fortes] = 0

Il existe donc seulement deux “bons nombres quantiques” qui décrivent les états d’isospin et,puisqu’ils sont conservés, ils mènent aux règles de sélection suivantes pour les interactionsfortes :

∆ |I|2 = 0

∆3 = 0

Puisque et 3 sont tous deux conservés dans les interactions fortes, l’hypercharge est aussiconservée ce qui implique l’invariance de l’hamiltonien fortes par rapport à une transforma-tion de jauge globale définie par

|i→¯0®= − |i

avec[fortes] = 0


La combinaison de deux ou plusieurs isospins est analogue à celle de spins. Posons deuxétats d’isospin | 3 i et

¯ 3

®. Ils se combinent selon les règles suivantes

1. L’isospin total prend des valeurs¯ −

¯¯ −

¯+ 1

¯ +

¯− 1

¯ +

¯2. La troisième composante d’isospin est conservée additivement

3 = 3 + 3

Plus précisément, l’état final est une combinaison linéaire de tous ces états¯ 3 ;

3®= | 3 i⊕

¯ 3

®=

¯¯ −

¯ 3 + 3

®+

¯¯ −

¯+ 1 3 + 3

®+ · · ·+

¯¯ +

¯ 3 + 3

®105


où et sont des coefficients dits de Clebsch-Gordan10 définis par les produits scalaires

=¯ −

¯ 3 + 3

¯ 3 ;

3®

=¯ −

¯+ 1 3 + 3

¯ 3 ;

3®

...

=¯ +

¯ 3 + 3

¯ 3 ;

3®

Les interactions électromagnétiques brisent la symétrie par rapport à une rotation dansl’espace des isospins,

[Ie.m.] 6= 0Toutefois on observe que

[3e.m.] = 0

c’est-à-dire que l’hamiltonien électromagnétique conserve donc la troisième composante del’isospin 3. Puisque

[e.m.] = 0

la relation Gell-Mann-Nishijima mène à

[e.m.] = 0

Résumant, les règles de sélections pour les interactions électromagnétiques suivantes

∆3 = 0

∆ |I|2 6= 0

Les interactions faibles, pour leur part, ne conservent ni 3 ni I2.

5.3 Étrangeté

Historiquement, le nombre quantique étrange fut proposé afin d’expliquer des propriétésapparemment contradictoires (étranges) de certaines particules :

1. Elles sont produites copieusement et rapidement dans des collisions impliquant des inter-actions fortes (∆ ' 10−23s) mais,

2. leurs vies moyennes sont relativement longues ( ' 10−9s), c’est-à-dire d’une grandeurtypique aux interactions faibles.

Elles ont donc à la fois des interactions fortes et des interactions faibles mais ne se désin-tègrent pas par la voie forte sinon leurs vies moyennes seraient beaucoup plus courtes. Unerègle de sélection doit donc s’appliquer. La solution consiste à introduire le nombre quan-tique appelé étrangeté, . est conservé dans les interactions fortes grâce auxquelles lesparticules sont produites en paires d’étrangeté opposée. La désintégration en particules nonétranges passe par la voie faible ce qui implique que dans les interactions faibles, n’est pasconservé en général.

En fait, les observations ont permis de préciser les propriétés de ces particules étranges.Considérons, par exemple, les mésons qui forment le multiplet = 0− parmi lesquels onpeut identifier trois pions (+ 0 −) deux doublets de mésons c’est-à-dire

¡+0

¢et¡0−

¢et les deux mésons et 0. Ces éléments du même multiplet se distinguent par

leur désintégration faible et l’étrangeté doit être assignée de la manière suivante :

Multiplet = 0−¡+0

¢: = +1

(+ 0 −) 0 : = 0¡0−

¢: = −1

De la même façon, le multiplet = 12

+compte le doublet ( ), le triplet (Σ+Σ0Σ−)

le Λ0, et le doublet (Ξ0Ξ−) et les observations expérimentales permettent d’assigner l’é-

10 Un tableau des coefficients de Clebsch-Gordan se trouve en annexe. Pour plus de détails le lecteur voudraconsulter des ouvrages en théorie des groupes (voir Références).

106

C h a p i t r e 5Autres saveurs

trangeté.

Multiplet = 12

+

( ) : = 0

(Σ+Σ0Σ−)Λ0 : = −1(Ξ0Ξ−) : = −2

L’étrangeté est conservée additivement (règle de sélection ∆ = 0) dans les réactionshadroniques (interactions fortes) et électromagnétiques.. Par exemple,

+ − → Λ0 +0 ∆ = 0

→ ++ +− ∆ = 0

9 +− ∆ = −19 − +Σ− ∆ = −2

Par ailleurs, les désintégrations faibles suivantes sont possibles :

Λ0 → + − ∆ = +1

0 → + + − ∆ = +1

Ξ0 → Λ0 + 0 ∆ = +1

avec des vies moyennes typiques de 10−10s. À noter que malgré que l’étrangeté de Ξ0 soit = −2, son mode de désintégration correspond à ∆ = +1 En fait, il s’agit d’une autrerègle de sélection observée dans les interactions faibles,

|∆| = 1

5.4 Autres saveurs

Les nombres quantiques que sont le charme (), le bottom () et le top () ont d’abordet avant tout été introduits dans le contexte d’extension du modèle des quarks qui à l’origineétait formé seulement des quarks up (), down () et étrange () (voir chapitre 6 pour une dis-cussion détaillée du modèle des quarks). Mentionnons seulement pour le moment l’existencede ces nouveaux nombres quantiques et des règles de sélection associées.

Charme

Malgré ses nombreux succès, le modèle des quarks original ne permettait pas d’expliquertous les phénomènes observés. Citons pour exemple deux réactions dans lesquelles la chargeélectrique totale est conservée, mais où l’étrangeté ne l’est pas :

+ → + + +

+1 = +1 + 0 + 0

1 6= 0 + 0 + 0

+ → 0 + + +1 = 0 + 1 + 0

1 6= 0 + 0 + 0

où désigne la charge électrique et , l’étrangeté. Ce type de réaction faible, où d’après lemodèle des quarks, un quark se transforme en quark , est permis par la théorie. Le tauxde désintégration de + → + est toutefois très faible par rapport celui de la réaction+ → 0 sans raison apparente :

+ → +

+ → 0 10−5

L’addition d’une quatrième saveur de quark, avec la même charge électrique que le quarkup, fut suggérée en 1964 par Glashow surtout par soucis de symétrie entre le nombre dequarks et de leptons connus à ce moment. Ce ne fut que quelques années plus tard qu’onréalisa que la présence d’un quatrième quark aurait des répercussions importantes sur les pré-dictions. Une d’entre-elles est le mécanisme de GIM (Glashow-Illiopoulos-Maiani 1970) quidécrit les modes de désintégration avec changement d’étrangeté. La conséquence d’introduireun quatrième type de quark est de permettre deux modes de désintégrations au quark étrange

107


dans le + :→ → ou → →

La suppression du processus + → + s’explique alors par le fait que les amplitudes deprobabilité associées aux deux voies possibles interfèrent de façon destructive (et s’annulentdonc l’une l’autre) alors que ce n’est pas le cas pour le mode + → 0.

On assigne au quatrième quark (le quark charmé ) un nouveau nombre quantique appeléle charme (où = 1 pour le quark et = −1 pour l’antiquark correspondant).

La découverte en 1974 de la particule (un état lié nommé charmonium) permit deconfirmer l’hypothèse de Glashow et apporta encore plus de crédibilité au modèle des quarks.

Le charme est conservé dans les interactions fortes et électromagnétiques seulement :

[fortes] = 0 [e.m.] = 0 et [faibles] 6= 0

Bottom

En 1977, une nouvelle série de résonances fut découverte à des énergies d’environ 10 GeVlors de collisions (proton-proton) à Fermilab. L’interprétation est similaire à celle qu’on ade la particule : il s’agit d’un état lié , baptiséΥ c’est-à-dire formé d’un quark appelébottom et de son antiparticule .

On assigne à ce cinquième quark le nombre quantique appelé bottom e On retrouvecependant dans la littérature le terme beauty (“beauté”) pour le désigner et de “beaux”hadrons pour mettre en évidence le contenu en quarks bottom de certains mésons ou baryons.Il faut dire qu’historiquement, on a d’abord proposé de nommer les cinquième et sixièmequarks et les nombres quantiques associés par beauty (“beauté”) et truth (“vérité”) respec-tivement. Ici, e = 1 pour le quark et e = −1 pour l’antiquark correspondant.

Tout comme pour le charme et l’étrangeté, seules les interactions faibles ne conserventpas le nombre quantique bottom e :h efortes

i= 0

h ee.m.

i= 0 et

h efaibles

i6= 0

Top

Plus récemment, l’existence d’un sixième quark, le quark top — d’abord appelé truth—a été confirmée (1995). Mais de fortes présomptions planaient déjà depuis quelques temps surl’existence de ce sixième quark surtout à cause d’une possibilité de symétrie entre quarks etleptons. Ces deux classes de particules sont considérées comme élémentaires et ponctuelles.Or, il existe au total six leptons, qui sont regroupés en trois doublets par la théorie des in-teractions faibles : l’électron et le neutrino électronique, le muon et le neutrino muonique,ainsi que le tauon et le neutrino tauique. Il semblait particulièrement logique et satisfaisantqu’il existe, de la même façon, trois doublets de quarks : ( ), ( ) et ( ). Cette symétrieest plus qu’esthétique, puisqu’elle permet d’éviter certains problèmes reliés à la nature quan-tique des modèles théoriques qui sont proposés pour décrire la physique des particules. Cesproblèmes seront évoqués au chapitre 10.

On assigne au quark top le nombre quantique appelé top ou truth (“vérité”) , = 1 pourle quark et = −1 pour l’antiquark . La masse du quark top est très élevée, c’est-à-direenviron 175 GeV. Celui-ci se désintègre donc en quarks plus légers très rapidement en moinsde 10−23s, c’est-à-dire en moins de temps qu’il n’en faut pour s’échapper de l’intérieur d’unhadron ou pour former des hadrons (voir résonance page 118)

Seules les interactions faibles ne préservent pas le nombre quantique top :

[fortes] = 0 [e.m.] = 0 et [faibles] 6= 0

108

C h a p i t r e 5Conjugaison de la charge

La relation de Gell-Mann-Nishijima généralisée

Rappelons que la relation de Gell-Mann-Nishijima se lit comme suit :

= 3 +

2(5.4)

Elle établit la relation entre la troisième composante d’isospin et la charge électrique qui estconservée dans toutes les interactions. Les interactions faibles, comme on l’a vu, intervien-nent dans le changement de saveur et donc modifient les nombres quantiques 3, , , e et sans toutefois modifier . En fait, on observe que tout changement de saveur obéit à

∆³23 + + + e +

´= 0

On peut inclure ce dernier résultat dans la relation de Gell-Mann-Nishijima généralisée

= 3 +( + + + e + )

2

ce qui équivaut à définir l’hypercharge par

= + + + e +

où

= nombre baryonique

= nombre d’étrangeté

= nombre de charmee = nombre de bottom

= nombre de top.

Le nombre baryonique est introduit ici pour que la formule s’applique tout aussi bien auxmultiplets de baryons et qu’aux multiplets de mésons.

Comme nous l’avons mentionné au début de ce chapitre, ces quelques règles de sélec-tion qui régissent les réactions entre particules ne représente qu’une partie du casse-tête. Dessymétries sont nécessaires lorsque vient le temps de construire les hamiltoniens associés auxinteractions forte, faible et électromagnétique. Une des ces symétries est reliée à la conjugai-son de charge.

5.5 Conjugaison de la charge

La conjugaison de charge C est une transformation qui change une particule pour sonantiparticule se trouvant dans le même état d’impulsion, de position, etc... Dans les faits,cette opération inverse simplement le signe des charges et du moment magnétique de chaqueparticule.

Il est à noter qu’en mécanique classique, les équations qui décrivent les interactions élec-tromagnétiques, les équations de Maxwell sont invariantes par rapport à la conjugaison decharge. Dans ce cas, la seule charge en jeu est la charge électrique, mais elle entraîne unchangement de signe de et J la densité de charge et de courant, ainsi que de E et H leschamps électrique et magnétique. Globalement cependant, les équations restent intactes.

En mécanique quantique, l’interprétation de C est plus générale. L’échange particule-antiparticule implique que toutes les charges quantiques (ou nombres quantiques additifs)tels que les nombres leptonique, baryonique,... changent de signe.

De façon générale, l’opérateur de conjugaison de charge agit sur un état |i (particule) enle transformant en un état

¯®

qui est son conjugué de charge (antiparticule) :

C |i =¯®

Toutefois, toutes les particules ne sont pas des états propres de la conjugaison de chargeC En effet, un état propre de C doit obéir à l’identité

C |i = |i

109


où est appelé la parité de charge. Il en découle que C |i a les mêmes nombres quantiques(ou charge) que |i. Les seuls états qui répondent à cette conditions sont les systèmes ditsvraiment neutres, c’est-à-dire les états dont toutes les charges quantiques et le moment mag-nétique total sont nuls. C’est notamment le cas pour le photon et pour les états liés formésd’une particule et de son antiparticule, ex.

0, −+

Par ailleurs, le neutron, bien que neutre, possède un moment magnétique et un nombre bary-onique non nuls et donc n’a pas de parité de charge définie.

La conjugaison de charge est, tout comme la parité, une opérateur unitaire discret dont lesvaleurs propres sont

= ±1

Parité de charge totale

Tout comme dans le cas de l’opérateur de réexion P , la loi de conservation associée à laconjugaison de charge est multiplicative. Par exemple, pour un système de particules libres,on a

C | i =¯

®

S’il s’agit de particules qui sont des états propres de conjugaison de charge alors

C | i =

· · · | i

La parité de charge totale est alors donnée par le produit des parités de charge intrinsèques

tot =

Y

Toutefois si une de ces particules n’est pas un état propre, tot n’est pas toujours définie.

En présence d’interactions, la parité de charge totale reçoit une contribution supplémen-taire associée au moment cinétique orbital. Considérons l’exemple simple d’un système vrai-ment neutre constitué d’une paire particule-antiparticule +− dans un état de moment or-bital défini, . La conjugaison de charge échange le + et le − et par cette opération, leurvecteur de position relative — dont la partie spatiale de la fonction d’onde totale dépend— est inversé. Cette dernière opération est équivalente à une réexion appliquée sur une har-monique sphérique , et génère le facteur (−). Il en découle que pour ce système vraimentneutre :

C¯+−

®= (−)

¯+−

®

Ce résultat se généralise à tous les systèmes boson-antiboson, pour lesquels la parité de chargeest

= (−) (5.5)Le cas des paires de fermion-antifermion est similaire (ex. +− ). Toutefois, deux

facteurs additionnels, que nous mentionnons sans plus de démonstration, viennent contribuerà établir la parité de charge.

1. un facteur de (−)+1 dû à l’échange de la partie spinorielle de la fonction d’onde ;

2. un facteur de (−)1 qui apparaît lorsque des fermions ou antifermions sont interchangés.

La conjugaison de charge agissant sur tout système fermion-antifermion donne alors

C¯®= (−)(−)+1(−)1

¯®

= (−)+¯®

Autrement dit la parité de charge totale est

= (−)+ (5.6)

110


Invariance par C

L’opérateur de conjugaison de charge n’affecte pas les nombres quantiques que sont lamasse, l’impulsion, l’énergie, le spin et laisse aussi invariants l’opération de conjugaisoncomplexe et les hamiltoniens des interactions fortes et électromagnétiques.

[Cp] = [CJ] = [C] = [Cfortes] = [Cem] = 0 (5.7)

Par ailleurs, il inverse le signe de charges électrique, baryonique, leptonique, de l’étrangeté,de la troisième composante d’isospin, et du moment magnétique, c’est-à-dire

C = C = C = C = C 3 = Cμ = 0 (5.8)

H Exemple H

Exemple 5.1Considérons le proton et l’antiproton représentés respectivement par |i et |i. Le proton et l’an-tiproton sont des états propres de charge

|i = |i |i = − |i

Par ailleurs, ce ne sont manifestement pas des états propres de parité de charge puisque la conjugai-son de charge transforme proton en antiproton et vice versa

C |i = |iC |i = |i

Cependant, on déduit des deux relation précédentes que l’effet conjugué de et de CC |i = C |i = |iC |i = |i = − |i

d’où (5.8) découle naturellement

(C+ C) |i = C |i = 0

Les pions et les photons

Il n’existe que quelques rares particules qui sont des états propres de la conjugaison decharge. Le 0 qui est un état de spin = 0 et de moment cinétique = 0 formé d’un mélangede paires de quarks et , est un état vraiment neutre. Selon (5.6), on doit lui assigner laparité de charge

0

= (−)+ = 1. Ce résultat est effectivement vérifié expérimentalementpar l’observation du processus suivant

0 → +

La conservation de la parité de charge implique dans ce cas

0

= ()

2= 1

quelque soit la parité de charge du photon.D’autre part, la parité de charge des photons peut être facilement déduite des propriétés

classiques du champ électromagnétique. Puisque l’opération consiste à inverser la charge et lemoment magnétique, elle inverse donc les champs électrique et magnétique. Le quadrivecteur() = (()A ()) se transforme donc suivant

C() = −()CA () = −A ()

ce qui correspond à un parité de charge négative, = −1 Mentionnons sans élaborer que

111


ce résultat se transpose à la description quantique des photons où () est promu au rangde champ quantique du photon. L’absence du mode de désintégration

0 → + +

confirme cette conclusion. En effet, ce mode implique un couplage électromagnétique deplus dans le processus qui produit le troisième photon et on serait en droit de s’attendre à unesuppression

=(0 → 3)

(0 → 2)= O()

mais expérimentalement 3×10−8 ¿ . Si ce mode était permis, alors la conservationde la parité de charge mènerait à une parité positive pour le photon

0

= 1 6= ()3 = = −1

Systèmes particule-antiparticule

Dans le cas de systèmes formés d’une particule et de son antiparticule, il est possibled’invoquer le “principe de Pauli généralisé” selon lequel il y a symétrie ou antisymétriesous l’échange total de particule-antiparticule (par opposition à l’échange de particules iden-tiques). Par échange total, on entend échange de leur charge électrique, de leur position et deleur spin. Voici un exemple où ce principe peut être fort utile :

Le positronium procure une vérification complémentaire de la conservation de la paritéde charge dans les interactions électromagnétiques. Rappelons que le positronium est un étatlié +− qui ressemble beaucoup à l’atome d’hydrogène pour peu qu’on tienne compte de ladifférence de masse réduite et des effets relativistes. Les états liés peuvent être décrits par lanotation spectroscopique

2+1

où et sont le spin total, le moment cinétique orbital et le moment cinétique total. Laparité et la parité de charge pour ces états liés sont données par

= +

− (−) = (−)+1

= (−)+ Le parapositronium et l’orthopositronium sont les états 10 et 31 (niveau = 1, = 0,

= 0 et 1) respectivement et possèdent les parités de charge +1 et −1. On a

parapositronium orthopositronium

État 1031

Niveau = 1 = 1

Moment cinétique = 0 = 0

Spin = 0 = 1

Parité = (−)+1 −1 −1Parité de charge = (−)+ +1 −1

Dans la désintégration de ces états en deux photons (2 = 1) et trois photons (3 = −1),on observe expérimentalement les modes permis et interdits suivant :

10 → +

9 + +

31 → + +

9 +

en accord avec la conservation de la parité de charge.Le même type de raisonnement s’applique aux systèmes quark-antiquark dont la parité de

charge est = (−)+

Par ailleurs, dans les systèmes de particule-antiparticule impliquant des pions (ex. +−

112


ou 00) pour lesquels = = = 0, le principe de Pauli généralisé requiert la symétriepar rapport à l’échange puisqu’il s’agit de bosons d’où

(−) = 1ou

= (−)Pour un système 00 le principe de Pauli ordinaire s’applique puisque les 0 sont desparticules identiques et donc

(−) = +1et doit être pair. Il en découle que

00

= +1

alors que pour +−

+−

= (−)

Violation de CP ou T et Théorème CPT

L’invariance par rapport à la transformation CP (action combinée de la conjugaison decharge C et d’une réexion P) n’est pas respectée en général dans les interactions faibles. Onpeut donc prétendre que CP ne commute pas avec l’hamiltonien faibles

[CPfaibles] 6= 0C’est notamment le cas dans la désintégration de 0 et 0. De plus en raison du théorèmeCPT , un effort expérimental soutenu pour prouver la violation de T était en marche jusqu’àtout récemment. En effet, dans une expérience du CERN , on vient d’établir la violation deT , encore une fois dans les systèmes 0 − 0

Qu’est-ce que le théorème CPT ? Le théorème CPT découle de l’interprétation des équa-tions de mouvement relativistes en terme de particules et antiparticules. Il est valide pour toutethéorie relativiste pour laquelle les particules ne peuvent atteindre une vitesse supérieure àcelle de la lumière ce qui semble bien être le cas du monde où nous vivons.

Tout d’abord, la transformation CPT , que nous appellerons R = CPT , est simplementl’opération combinée de C , P et de T ; son effet sur un état se traduit par

R :

½ → − → −−−

Notons que la transformation CPT est antiunitaire puisque C et P sont unitaires et que T estantiunitaire.

Par exemple, R change une particule au repos en son antiparticule au repos. Toutesdeux sont décrites par la même équation de mouvement si l’invariance par CPT n’est pasbrisée. Elles sont donc caractérisées par la même masse et la même vie moyenne. Autresconséquences, une brisure de l’invariance par P implique une brisure de l’invariance par Cou T, ou encore, l’invariance (ou non) par CP implique l’invariance (ou non) par T commedans les systèmes 0 − 0 , etc...

La démonstration expérimentale du théorème CPT reste toutefois une question ouvertemalgré les arguments théoriques sur lesquels il est fondé. Voici une liste de quelques tests du

113


théorème CPT .

Tests du théorème CPT Limite

Demi-vie (∆

) . 10−5−+ . 10−4−+ . 10−4

Moment magnétique (∆|||| ) . 10−12

. 10−8Masse (∆

) −+ . 10−3

−+ . 10−400 . 10−18 . 10−7

Pour une liste plus récente et plus complète, on pourra consulter le site web http ://pdg.lbl.gov/.

5.6 Parité

La conservation de la parité de charge ne s’applique qu’à un nombre très limité de sys-tèmes (les systèmes dits vraiment neutres). Par exemple, considérons le pion qui existe soustrois états de charge. Seul le 0 est un état propre de la conjugaison de charge

C¯0®=

¯0®

C¯±® 6= ±

¯∓®

D’autre part, nous savons que dans les interactions fortes la charge électrique n’a aucuneffet et donc, dans le cas où seules les interactions fortes entrent en jeu, il est impossiblede distinguer le 0 du − ou + Cette propriété suggère qu’il pourrait être intéressant degénéraliser le concept de conjugaison de charge de manière à l’étendre à tous les états decharge d’un même multiplet d’isospin, c’est-à-dire introduire un opérateur G similaire à Cqui aurait pour état propre le multiplet d’isospin du pion :

G⎛⎝ +

0

−

⎞⎠ =

⎛⎝ +

0

−

⎞⎠où = ±1. Un nouvel opérateur de parité- est défini par

G = C2où 2 (= 2) est l’opérateur associé à la deuxième composante du vecteur d’isospin. G est lacombinaison de la conjugaison de charge et d’une rotation de autour du deuxième axe dansl’espace d’isospin.

Considérons le multiplet de pions. Pour être en mesure d’apprécier la rotation dans l’iso-espace, 2 , il est plus pratique d’écrire les états de charge du pion en terme des com-posantes d’isospin 1 2 et 3, c’est-à-dire|1i |2i et |3i comme¯

±®=

1√2(|1i∓ |2i)¯

0®= |3i

Alors l’effet d’une rotation sur les états est :

2 |1i = − |1i2 |2i = |2i2 |3i = − |3i

114

C h a p i t r e 5Tableau récapitulatif

D’autre part, la conjugaison de charge donne

C |1i = |1iC |2i = − |2iC |3i = |3i

En combinant, on obtient

G¯0®= −

¯0®

G¯±®= −

¯±®

soit une parité- de −1.

Puisque la parité de charge et l’isospin sont tous deux conservés dans les interactionsfortes, la parité- l’est aussi.

[Gfortes] = 0

[Ge.m.] 6= 0

[Gfaibles] 6= 0

Les interactions électromagnétique et faible ne sont pas invariantes par G.

Tous les multiplets ne sont pas nécessairement des états propres de la parité- G im-plique une conjugaison de charge dont les états propres sont comme on le sait vraiment neu-tres. Lorsqu’appliquée sur tout le multiplet, la conjugaison de charge devrait voir le multipletglobalement comme un objet vraiment neutre sinon la charge totale du multiplet sera modi-fiée. Donc seuls les multiplets dont les charges moyennes sont nulles peuvent être des étatspropres de G.

= 0 = 0 = 0

C’est le cas du multiplet du pion dont la parité- est −1 alors que le multiplet des nucléonsn’a pas de parité- définie.

En général, la parité- d’un état d’isospin est donné par

= (−) Ce résultat découle directement de la forme de l’opérateur G = C2 Rappelons que pourun système particule-antiparticule, la parité de charge est donnée par les relations (5.6) ou(5.5) suivant qu’il s’agit de fermions ou bosons respectivement. Par conséquent, les systèmesfermion-antifermion (ex. , ,...) ont une parité-

= (−)++ alors que les systèmes boson-antiboson (ex. +−, +−,...) ont une parité-

= (−)+

5.7 Tableau récapitulatif

Résumant, les lois de conservation et règles de sélection pour les interactions fortes, élec-

115


tromagnétiques et faibles se lisent comme suit :

Lois de conservation

Quantité conservée Int. fortes Int. e.m. Int. faibles

Énergie-impulsion X X XMoment cinétique total X X X

Parité X XRenversement du temps X X (charge électrique) X X X (# électronique) X X X (# muonique) X X X (# tauique) X X XB (# baryonique) X X X (isospin fort) X3 (isospin fort) X X (étrangeté) X X (charme) X X (bottom) X X (top) X X

Parité de charge X XParité- XCPT X X X

116

C h a p i t r e 5Tableau récapitulatif

H Exemple H

Exemple 5.2À titre d’exemple, reprenons la réaction

0+ → + (770)

+

Appliquant les lois de conservation, on trouve

0 + → + (770)+

Quantité conservée non-conservée

Charge électrique () XNombre électronique () XNombre muonique () X

Nombre tauique ( ) XNombre baryonique () X

Étrangeté () XCharme () XBottom ( ) X

Top ( ) X3 comp. d’isospin faible (3 ) X

Isospin fort () X3 comp. d’isospin fort (3) X

Voici les détails des calculs

0 + → + (770)+

Particule (MeV) ( ) ( ) ( 3 ) ( 3)G C Γ(MeV) ou (s)

0 1349766±600 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1 0)− 0−+ 84±6×10−17 93827203±8 1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 1

2 12)− 1

2

+662×1036

93956536±8 0 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 12 −12)− 1

2

+8857±8

(770)+ 77549±34 1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1 1)+ 1− 1503±16

Variation 64181±34 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) ( 0)

Il en découle que la réaction est permise pour les interactions électromagnétiques (si les par-ités P et C sont conservées). Comme mentionné à la fin du chapitre précédent, la conservationdu moment cinétique total est possible puisque pour des moments orbitaux et

0entre les par-

ticules initiales et finales inconnus, dans la partie initiale de la réaction, le moment cinétiquetotal prendra des valeur demi-entières¯

− 12

¯≤ ≤

¯ +

1

2

¯alors que pour les produits ¯

0 − 3

2

¯≤ ≤

¯0+3

2

¯

Aussi, il est impossible de vérifier s’il y a conservation de parité puisque et 0

sont inconnus.Toutefois, on peut affirmer que la parité de charge initiale sera

(−) = (−)+1

alors que pour les produits

(−)

0= (−)

0+1

Mentionnons encore une fois que la parité de charge n’étant pas définie pour toutes les par-ticules en jeu, il est aussi impossible de vérifier s’il y a conservation ou non. Par ailleurs,les isospins faibles 3 et forts 3 se combinent respectivement comme des spins. Ici,les isospins faibles 3 ne sont pas définis et la loi ne peut s’appliquer. Dans le cas des

117


isospins forts, la partie initiale de la réaction requiert1

2≤ ≤ 3

2et 3 =

1

2

alors que pour les produits1

2≤ ≤ 3

2et 3 =

1

2La conservation est donc possible. La dynamique de la réaction a été analysées à la fin duchapitre précédent. On a obtenu les énergies de seuil :

Energies de seuilRepère d’impultion nulle

0

471208MeV () 1705998MeV


0

0MeV () 953643MeV


0

6629120MeV () 0MeV

Donc, la réaction ne semblent violer aucune des règles de sélection applicables dans les in-teractions fortes, électromagnétiques et faibles.

5.8 Résonances

Puisque ce chapitre porte sur les hadrons et leurs symétries, l’endroit semble appropriépour introduire la notion d’états hadroniques appelés résonances.

Dans certains processus impliquant des interactions fortes, des états très instables ( ≤10−23s) appelés résonances sont observés. Malgré leur très courte vie — elles se désintègrenten moins de temps qu’il n’en faut pour traverser un proton — il est possible de les détecter enanalysant les produits de la réaction et leur distribution en fonctions des variables dynamiquestelles que les variables de Mandelstam. Leur présence se manifeste alors par des pics dans lesdistributions.

Figure 5.1 JIExemple de résonances : Les produits de la réac-tions, 0 + et peuvent être issus de la désin-tégration de particules intermédiaires (résonanceshadroniques).

p

p

p

p

pp

+

+

+ ++

?

0

+

+

+

+

+

0

0

118

C h a p i t r e 5Résonances

À titre d’exemple, considérons la réaction

+ + → 0 + + + (5.9)

Pendant l’interaction (∆ ≤ 10−23s), des états intermédiaires peuvent se former (voir figure5.1). Si c’est le cas, les éléments de matrice associés à la matrice de transition pour la pro-duction de l’état intermédiaire doivent contenir un terme similaire à l’expression (1.61) parexemple

| |2 ∼¯01 · 1

−2 + Γ· 2¯2

(5.10)

où 0 est la partie des éléments de matrice qui ne dépend pas de la résonance. Les constantes1 et 2 sont les couplages de la résonance avec le reste de la réaction (parties ombrées dansla figure 5.1) et avec ses produits de désintégration respectivement. On reconnaît dans le fac-teur qui dépend de une forme très similaire à celle d’un propagateur. Toutefois ce facteur,dénommé Breit-Wigner, se distingue d’un propagateur en ce sens que l’état intermédiaire, larésonance, est un état réel. Ici, et Γ sont respectivement la masse et la largeur de désinté-gration de la résonance alors que les variables de Mandelstam

= ( + )2=2

sont reliées à ce qu’on appelle les masses invariantes des particules et . Ici et sont les impulsions des particules finales. La forme (5.10) caractérise la distribution desévénements en fonction de .

Figure 5.2 JIDiagramme de Dalitz : Une distribution uniformedes événements en fonction des masses invari-antes signifie qu’aucune résonance n’est observée.Par ailleurs, si on note que la distribution des événe-ments est regroupée autour de certaines valeursdes masses invariantes 34 ou 24 (partie fon-cée), il est possible d’en déduire la masse et lalargeur de désintégration des résonances. Par ex-emple, la position et la largeur du pic dans la dis-tribution des événements en fonction de 34 sontrespectivement 2

∆+et Γ∆+ alors que ceux as-

sociés à 24 = sont 2+

et Γ2+

. (∆+ = 1232

MeV, Γ∆+ = 1150 MeV, + = 7685 MeV etΓ+ = 1507 MeV).

0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5

1

3

s34

(GeV2)

s24 (GeV2)

Nous avons vu que dans une collision impliquant trois particules finales comme dans(5.9), la section efficace est donnée par l’équation (3.48) soit

(+ → 2 + 3 + 4) =1

2p (2

2)

Z ⎡⎣ 4Y=2

4

(2)4· 2 ¡2 −2

¢ (0)

⎤⎦· (2)4 4 ( − ) | |2 (5.11)

Ici, nous avons affaire à trois particules finales comme dans le cas d’une désintégration àtrois corps. L’espace de phase peut donc être décrit de façon similaire et le nombre d’états est

119


donné par l’équation (3.49)

=

Z ⎡⎣ 4Y=2

4

(2)4· 2 ¡2 −2

¢ (0)

⎤⎦ (2)4 4 ( − )

=1

16(2)3

Z3424

ou

=1

16(2)33424

Alors la section efficace prend la forme

(+ → 2 + 3 + 4) ∝ 1

16(2)33424 | |2 (5.12)

On remarque que si | |2 a une dépendance explicite en 34 et 24 comme dans l’expression(5.10), la distribution des événements en fonction des variables 34 et 24 sera caractériséepar des pics centrés à = 2 dont la largeur à demi hauteur permet de déterminer Γ. Dansle cas où | |2 ne dépend pas de 34 ou 24, la distribution des événements reste uniforme.Il est à noter que les variables 24 et 34 sont bornées cinématiquement. Les limites sontles mêmes que celles décrites dans la désintégration à trois corps à l’équation (3.51) avec1 =

√.

Les diagrammes de Dalitz (figure 5.2) illustrent la distribution des événements en fonctiondes masses invariantes ainsi que la région cinématique permise (partie ombrée). Lorsqu’elleest marquée par des pics pour certaines valeurs de masses invariantes, cela signale qu’il y a euformation de résonances ; il est possible d’en déduire leur masse et leur largeur de désintégra-tion. Par ailleurs, l’absence de pics dans la distribution signifie aussi l’absence de résonance.Dans le cas des résonances∆+ et +, les pics sont observés aux masses

∆+ = 1232MeV

+ = 7685MeV

avec des largeurs à demi hauteur de

Γ∆+ = 1150MeV

Γ+ = 1507MeV.

120


5.9 Exercices

5.1. Lois de conservationIndiquer lesquelles des réactions suivantes sont interdites et les lois de conservation qui sont vio-lées :

0→ Σ−0+ → 0−+0

+ → −→ Ξ−00

→ 00 −→ Ξ−+

→ −→ Λ

Ξ−→ +0 Σ−→ Ξ−+

Rappel : Dans les interactions faibles, 3 et ne sont conservés, mais k∆k = 0 1. (La barreindique l’antiparticule, ex. = antiproton).

5.2. Identité d’une particuleSoit la réaction “forte” :

0 −→

+

Si on suppose qu’elle se produit par l’échange d’une seule particule, , dans le canal (tel

np

+ 0

Figure 5.3 N

qu’indiqué sur la figure) lesquelles des particules suivantes ne peuvent être échangées et pourquoi ?

= ΣΞ (770) (782) 0(980)

Procéder comme suit :(a) Déterminer , , , (nombre leptonique), , et 3 de .(b) Pour un spin J, déterminer la parité .(c) Finalement, identifier la ou les particules de la liste qui correspondent à ces nombres quan-

tiques.

N.B. : représente le proton et le neutron, = ±0, etc...

5.3. Isospin totalDans quels états d’isospin total, I, peuvent se combiner les systèmes suivants : (a) 0 et (b)000

Note : Procéder en deux étapes.(a) Combiner les états d’isospin de deux particules en utilisant les coefficients de Clebsch-Gordan.(b) Combiner le résultat ci-dessus avec l’état d’isospin de la troisième particule selon la même

méthode.

5.4. Invariance sous C

Utiliser l’invariance sous C (conjugaison de charge) dans les interactions électromagnétiques pourtrouver le nombre minimum de photons produit dans la désintégration de l’état fondamental de

(a) l’ortho-positronium ( = 1) et(b) le para-positronium ( = 0).

5.5. Conjugaison de chargeOn observe le mode de désintégration du méson pseudoscalaire en deux photons, c’est-à-dire −→ dans une proportion de 39%.

(a) Que peut-on en déduire sur ses propriétés sous C (conjugaison de charge) ?(b) La désintégration électromagnétique du en trois photons ( −→ ) est-elle possible ?

Expliquer votre réponse.

5.6. Neutrinos ou antineutrinosRemplacer le symbole par la particule appropriée dans les réactions suiv-antes :

(a) + → + + +

(b) Σ− → + − +

(c) + → + +

(d) + → − + + +

(e) − → − + 0 +

121


5.7. Interaction forteDéterminer si les réactions suivantes se produisent par interactions fortes ou non. Expliquer votreréponse.

(a) − + → 0 +

(b) 0 + → Λ0 + 0

(c) − + → Λ0 + 0

(d) 0 + → + +

(e) 0 + → + + 0

5.8. Lois de conservationDéterminer si les réactions suivantes sont possibles.

(a) Λ0 → − + +

(b) Λ0 → +−

(c) Λ0 → + −

(d) Λ0 → + −

(e) Σ0 → Λ0

5.9. Réactions impossiblesToutes les réactions suivantes sont impossibles. Pour chacune d’elles, mentionner toutes les lois deconservation ou les règles de sélection qui sont violées :

(a) → + − + ;(b) + − → 0 + Λ0 ;(c) + → + +Σ+ ;(d) Σ− → − + ;(e) + − → Σ0 + 0.

5.10. Produits inconnus d’une réaction

Dans les réactions suivantes, déterminez la particule (?) qui manque (il y a parfois 2 possibilités) :(a) → + −+? ;(b) + − → +? ;(c) + → + + +? ;(d) Σ− → −+? ;(e) + − → Σ0+? ;(f) − + → 0+? ;(g) + → + + + Λ0+? ;(h) − + → ++?.

122

LE MODÈLE DES QUARKSChapitre 6

6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.2 Théorie des groupes . . . . . . . . 1246.3 Quarks et représentations

() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.4 Couleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1506.5 Masses et moments magnétiques

1536.6 Diagrammes de ot de quarks

1586.7 Charme et (4) . . . . . . . . . . . 1596.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

6.1 Introduction

Historique

Le modèle des quarks fut à l’origine motivé par deux observations empiriques :

1. Le nombre de leptons connus est limité à six alors qu’il existe une multitude de hadrons ;

2. La classification de ces hadrons en fonction de leurs nombres quantiques (nombre bary-onique, spin, isospin, étrangeté) révèle l’existence d’une structure (d’une symétrie) sous-jacente.

Nous l’avons déjà mentionné au chapitre précédent, expérimentalement on observe queles hadrons apparaissent en singulets, en octets ou en décuplets. En fait, chaque multiplet estcaractérisé par un nombre baryonique, un spin et une parité définis. Par exemple, les multi-plets les plus légers de baryons ( = 1

2

+) et de mésons ( = 0−) sont respectivement un

octet et un nonet. Il est particulièrement instructif de visualiser ces particules en fonction deleur nombre quantique d’hypercharge et de troisième composante d’isospin (voir figures 6.1et 6.2). Sous cette forme, il est manifeste que les représentations des multiplets de baryons etde mésons sont dans ce cas-ci très similaires.

Figure 6.1 JIMultiplet de baryons = 1

2

+: La position des

baryons est assignée en fonction de l’hypercharge et la troisième composante d’isospin 3. La colonnede droite montre la masse moyenne (en MeV)des différents états de charge d’un sous-multipletd’isospin.(1193)

(1116)I3

Y

1

1 1

-1

-

pnN(939)

(1318)

0 +

- 0

0

De plus, à l’intérieur d’un multiplet, les particules de même valeur d’étrangeté — ou demême hypercharge — ont des masses approximativement égales, alors que l’écart de massecorrespondant à un intervalle ∆ = ∆ = 1 est une constante d’environ 150MeV.

En 1964, Murray Gell-Mann et George Zweig proposent que les hadrons ne sont pasvéritablement des particules élémentaires, mais sont plutôt formés de composantes plus fon-damentales, les quarks. Pour rendre compte de la variété des hadrons connus à l’époque, onavait besoin de trois types (trois saveurs ou parfums) de quarks, que l’on nomma up, down

123

LE MODÈLE DES QUARKSC h a p i t r e 6

et étrange (respectivement , et ). La classification des hadrons en multiplets (singulets,octets et décuplets) peut être dérivée de la représentation fondamentale ( ) (voir figure6.3). Selon ce modèle, les baryons (antibaryons) sont constitués de trois quarks (antiquarks),alors que les mésons sont formés d’un quark et d’un antiquark. Plus tard, la construction d’ac-célérateurs plus puissants a permis de découvrir l’existence de deux autres saveurs de quarks(charmé et bottom ). Plus récemment, en 1995, l’existence d’une sixième saveur, le top ,fut confirmée.

Figure 6.2 JIMultiplet de mésons = 0− : La position desmésons est assignée en fonction de l’hypercharge et la troisième composante d’isospin 3. La colonnede droite montre la masse moyenne (en MeV)des différents états de charge d’un sous-multipletd’isospin. On note ici que les états propres demasse des particules et 0 diffèrent des étatsd’hypercharge-isospin 1 (singulet) et 8 (octet).

I3

Y

1

-1 1

-1

K0

K(496)

(138)

'(958) (549)

K(496)

K+

K0 K -

-

0 +

1

8

Les quarks n’ont jamais été observés directement, c’est-à-dire à l’état libre, mais leurexistence physique est supportée par des mesures indirectes, par exemple dans le bombarde-ment de protons et de neutrons par un faisceau d’électrons fortement accélérés. Dès la findes années 60, des expériences menées à l’accélérateur linéaire de Stanford révélèrent quela distribution angulaire et énergétique des électrons diffusés était en accord avec le modèle ;les électrons semblaient entrer en collision avec des particules ponctuelles chargées à l’in-térieur des protons et des neutrons. Plusieurs autres observations expérimentales sont venuespar la suite appuyer ce modèle sans toutefois être en mesure de prouver formellement l’exis-tence des quarks. De nos jours, le modèle des quarks fait partie intégrante du modèle le pluscrédible en physique des particules, le modèle standard.

Puisque certains aspects du modèle des quarks sont mieux compris avec le langage de lathéorie des groupes, la première partie de ce chapitre introduit certains concepts utiles surles groupes. Ces concepts peuvent sembler abstraits ou même peu utiles à prime abord. C’estpourquoi nous tentons de visualiser chacun de ces concepts dans le contexte d’un groupe bienconnu en mécanique quantique, le groupe de Lie qui décrit le spin et l’isospin, (2)

Nous établissons aussi le lien entre la représentation du groupe () et le modèle desquarks, pour ensuite construire les fonctions d’onde associées aux baryons et aux mésons.Par la suite, nous considérons les extensions du modèle original, c’est-à-dire l’ajout de troisnouvelles saveurs et l’introduction du concept de la couleur. Finalement, nous terminons cechapitre en décrivant certaines prédictions du modèle des quarks par exemple la masse et lemoment magnétique des hadrons.

u

s

d

I3

Y

1/3

1/2 -1/2

-2/ 3

Figure 6.3 NReprésentation fondamentale des quarks et en fonction de l’hypercharge et la troisièmecomposante d’isospin 3.

6.2 Théorie des groupes

Dans les chapitres précédents, nous avons décrit certaines opérations de symétrie (ex.translation, rotation) telles que la succession de deux de ces opérations est aussi une opérationde symétrie. Il s’agit d’une propriété qui caractérise un objet mathématique appelé un groupe.Tout comme les symétries, les propriétés des groupes sont très utiles en physique théorique.Commençons par décrire brièvement les concepts les plus simples de la théorie des groupes.

124

C h a p i t r e 6Théorie des groupes

Propriétés générales d’un groupe

Un groupe est formé d’un ensemble d’éléments ( ) et d’une règle de composi-tion (notée ici par le symbole ). Il possède les propriétés suivantes :

1. Relation de fermeture :Si et sont des éléments du groupe , alors est également un élément de

∀ ∈ : ∈ (6.1)

2. Existence d’un élément identité :Il existe un élément-identité tel que pour tout élément de, la relation = =

est satisfaite,∀ ∈ ∃ ∈ : = = (6.2)

3. Existence d’un élément inverse :Chaque élément du groupe possède un inverse unique −1 tel que −1 = −1 =

∀ ∈ ∃−1 ∈ : −1 = −1 = (6.3)

4. Associativité :Si et sont des éléments de , alors la relation ( ) = ( ) est satisfaite,

∀ ∈ : ( ) = ( ) (6.4)

Un groupe peut être abélien ou non abélien (commutatif ou non commutatif) suivant quele produit de deux éléments est commutatif — = ou non. Un groupe est fini (ouinfini) si le nombre d’éléments est fini (ou infini). Si les éléments du groupe forment une suitediscrète en correspondance avec les entiers, ce groupe est dit discret, autrement le groupe estcontinu. Les groupes de symétrie considérés ici sont des groupes continus, c’est-à-dire queles paramètres décrivant les transformations sont des variables continues. Le groupe continuest un groupe de Lie si localement on peut établir une correspondance entre les paramètres etR autrement dit le groupe possède la structure d’une variété différentiable. On dit alors que est la dimension du groupe de Lie. Un sous-groupe est un sous-ensemble d’un groupe avecla même règle de composition. Quelques exemples de groupes utiles en physique :

– Z l’ensemble des entiers, forme un groupe infini, discret et abélien par rapport àl’addition.

– R l’ensemble des réels, forme un groupe infini, continu et abélien par rapport à l’ad-dition. R n’est toutefois pas un groupe par rapport à la multiplication.

– S l’ensemble des permutations de objets forme le groupe symétrique ou groupedes permutations.

– L’ensemble des translations en une, deux ou trois dimensions où la règle de composi-tion est la succession de translations forment un groupe infini, continu et abélien

– L’ensemble des rotations en deux dimensions où la règle de composition est la succes-sion deux rotations forment un groupe infini, continu et abélien. Les rotations en troisdimensions forment aussi un groupe infini, continumais il est non abélien. Ce dernierest noté (3) — pour spécial orthogonal — lorsque les rotations sont représentéespar des matrices de rotations 3 × 3 Ce concept peut être étendu au groupe ()

dont les éléments sont les matrices orthogonales d’ordre dont le déterminant est 1.– L’ensemble des matrices unitaires d’ordre forment le groupe(). Le sous-ensemble

de () formé des éléments dont le déterminant est 1 est le groupe (). Cesgroupes sont à la base du modèle standard.

.

125


Représentations

Comme on le voit, il y a toute une variété de groupes qui ont des structures plus ou moinsabstraites. Toutefois, notre intérêt se portera plus précisément sur les groupes matriciels,c’est-à-dire les groupes pour lesquels il est possible de représenter chacun des éléments pardes objets plus concrets, des matrices ou de façon équivalente, des opérateurs linéaires. Siles matrices sont d’ordre on dit que celles-ci forment une représentation vectorielle dedimension .

Plus formellement, () est appelée une représentation si pour tout élément d’ungroupe , il existe un opérateur matriciel () tel que, si on a deux éléments du groupe et alors

() · () = ( · ) et (−1) = (())−1Un même groupe peut avoir plusieurs représentations de dimensions différentes. Cependantdeux représentations et 0 sont équivalentes si elles sont reliées par une transformation desimilarité c’est-à-dire

0() = ()−1

où est une matrice constante. De plus, si est diagonalisable en bloc on dit que la représen-tation est réductible. Il est donc possible de trouver une matrice telle que 0() est diago-nale en bloc

0() = ()−1 =µ

01() 0

0 02()

¶L’espace vectoriel sur lequel agit 0() se divise en deux sous-espaces orthogonaux surlesquels agissent 0

1() et 02() séparément. Dans le cas contraire où n’est pas diagonal-

isable en bloc, la représentation est dite irréductible. Deux représentations sont particulière-ment intéressantes :

– La représentation fondamentale : c’est la plus petite représentation irréductible (c’est-à-dire qui ne contient pas de sous-espace invariant) et non triviale du groupe. Pour(2), la représentation fondamentale de dimension 2 est simplement un vecteur àdeux composantes, un doublet

=

µ1

2

¶= 1

µ1

0

¶+2

µ0

1

¶

où le dernier terme représente la décomposition du vecteur dans une base orthonor-mée. On note que le vecteur est de la “matrice” rectangulaire de dimension 2 la plusélémentaire.

– La représentation adjointe est la représentation générée par les constantes de structuredu groupe. Nous la définissons plus loin dans le contexte des groupes de Lie.

Groupes de Lie

Nous nous intéresserons surtout aux groupes de Lie qui sont particulièrement utiles enphysique des particules (ex. le groupe (2) de l’isospin). Ceux-ci sont caractérisés pardes transformations unitaires continues, c’est-à-dire que chaque transformation est définiepar un ensemble de paramètres continus et une loi de multiplication qui dépend de manièremonotone des paramètres. C’est le cas par exemple de la rotation en deux dimensions, quidépend d’un seul paramètre continu, l’angle de rotation

Ces transformations sont équivalentes à une représentation d’opérateur unitaire11

= (6.5)

où ∈ R avec = 1 2 3 . sont des opérateurs hermitiques linéairement in-dépendants qui sont souvent identifiés aux générateurs du groupe appelés ainsi parce qu’ilspermettent de “générer” la transformation d’un élément du groupe vers un autre élément du

11 Rappelons ici que la répétition d’indice sous-entend une sommation, c’est-à-dire que = Σ

126


groupe. Pour le groupe (2), l’élément peut être assimilé à la notion de rotation dansl’espace des spins ou isospins.

Considérons le produit suivant d’éléments du groupe,

= −−

= 1 + 2 [ ] + · · ·où est infinitésimal (pouvant par exemple représenter des rotations infinitésimales succes-sives dans l’espace des spins ou isospins pour (2)). La propriété de fermeture du groupenous permet d’écrire

= = 1 + + · · ·

Il s’en dégage à l’ordre 22 [ ] =

et en écrivant = 2 on obtient l’identité

[ ] = (6.6)

qui définit l’algèbre du groupe de Lie. Les quantités appelées constantes de structure,sont des paramètres constants qui caractérisent chaque groupe.

Pour (2) la relation de commutation s’écrit

[ ] =

où on reconnaît le tenseur de Levi-Civita.

Les éléments du groupe de Lie doivent aussi obéir à l’identité de Jacobi

[ [ ]] + [ [ ]] + [ [ ]] = 0

qui peut aussi s’écrire + + = 0

Cette identité est respectée automatiquement par la représentation matricielle des générateursmais constitue en réalité une condition supplémentaire dans la définition de l’algèbre de Liedans une représentation quelconque.

Définissons maintenant la représentation adjointe. La relation de commutation dans (6.6)— l’algèbre de Lie — peut être interprétée comme l’effet du générateur sur l’élément dugroupe que nous écrirons ad. Le résultat de cette action est la combinaison linéairede générateurs soit

ad = [ ] = Considérons maintenant l’opérateur [ ] (qui correspond à [adad] dans notre nota-tion) agissant sur un élément quelconque

[adad] = [ [ ]] + [ [ ]]

= − [ [ ]] = [[ ] ]= ad

où nous avons fait usage de l’identité de Jacobi à la deuxième ligne. L’action ad définit unereprésentation appelée la représentation adjointe puisqu’elle obéit elle-même à l’algèbre

[adad] = ad

et correspond comme on peut le constater aux générateurs ad =

Il est possible de générer la représentation adjointe à partir des constantes de structure dugroupe, . Posons un ensemble de matrices dont les éléments sont définis par

() ≡ −alors () obéit forcément à la relation

[] =

à cause de l’identité de Jacobi. Les matrices () correspondent aux générateurs du groupes() qui appartiennent à la représentation adjointe.

127


Énumérons quelques identités pratiques pour un groupe () :

[ ] =

=1

+

Tr () =1

2

Tr () =1

4( + )

Tr () = − 1

4

= −2Tr ([ ])où dans la deuxième identité est la matrice identité × .

Par ailleurs, les symétries de permettent de dégager les propriétés suivantes :

= =

= − = −À titre d’exemple, examinons ces dernières dans le contexte du groupe (2). La représen-tation adjointe pour le groupe (2) est définie par le tenseur de Levi-Civita, c’est-à-dire = .

() ≡ −soit

1 ≡⎛⎝ 0 0 0

0 0 −0 0

⎞⎠ 2 ≡⎛⎝ 0 0

0 0 0

− 0 0

⎞⎠ 3 ≡⎛⎝ 0 − 0

0 0

0 0 0

⎞⎠

On peut vérifier aisément que ces éléments obéissent à l’algèbre [ ] = .Cette représentation des générateurs est réductible en matrices 2 × 2 que l’on peut associeraux matrices de Pauli. C’est-à-dire, qu’il est possible de diagonaliser en bloc en utilisant larelation de similarité

0() = ()−1

pour obtenir les matrices de Pauli

1 =

µ0 1

1 0

¶2 =

µ0 − 0

¶3 =

µ1 0

0 −1¶

Racine, rang et poids

Puisque les générateurs d’un groupe définissent les transformations, il ne faut pas s’é-tonner qu’un certain nombre de propriétés associées à ce groupe découlent directement del’analyse des générateurs.

Rang :

On peut tout d’abord diviser les générateurs d’un groupe en deux ensembles :

1. Les opérateurs hermitiques diagonaux, (ex. 3 dans (2))

2. Les opérateurs de création et de destruction, (ex. ± dans (2)).

Considérons les générateurs dont les combinaisons linéaires avec = 1 2 sont diagonales, hermitiques et possèdent les propriétés suivantes :

1. = (combinaisons linéaires des ),

2. [ ] = 0 (commutation =⇒ chaque possède valeurs propres)

3. Tr[ ] = (linéairement indépendantes),

128


4. est le plus grand possible.

Alors, le rang est le nombre maximum d’opérateurs hermitiques diagonalisables. Physique-ment, ceci correspond au nombre maximum de nombres quantiques qui déterminent un état.Dans (2) par exemple, le rang est de 1 et cet opérateur a pour fonction de déterminer latroisième composante de spin ou d’isospin selon le cas.

Poids :

Posons des états caractérisés par deux quantités, le vecteur de poids μ dont les com-posantes sont et la représentation . Sous les opérateurs hermitiques diagonalisés lesétats propres |μi obéissent à

|μi = |μioù les poids, sont les valeurs propres de . L’ensemble des forme ce qu’on appellela sous-algèbre de Cartan.

Puisque dans (2), le rang est = 1, il existe un seul opérateur hermitique diagonal-isable qui correspond à 3. Dépendant de la représentation (singulet, doublet, triplet,...), levecteur de poids, qui ici ne possède qu’une seule composante, peut prendre les valeurs

= −− + 1 − 1 La quantité , comme on le voit, est le poids le plus élevé de la représentation.

Racines :

Dans la représentation adjointe, chaque état correspond à un générateur du groupe. Il sontreprésentés par la matrice () = −. En abrégeant la notation on peut écrire

→ |iavec un produit scalaire défini par

h |i = −1Tr£ †

¤

Comme nous l’avons indiqué plus haut, l’action d’un générateur sur un deuxièmegénérateur correspond au commutateur [ ] Similairement, l’action de sur un état|i est l’état

|i = |[ ]iIl est donc possible d’identifier les vecteurs de poids nul puisque ceux-ci sont formés par lesopérateurs hermitiques qui commutent entre eux soient

|i = |[ ]i= 0

Le reste des générateurs est décrit par les états |i tels que

|i = |[ ]i = |ice qui correspond au commutateur

[ ] =

Ces objets ne sont pas nécessairement hermitiques, alors on écrira£

†

¤= −†

puisque † = −.En normalisant

h |i = −1Tr£†

¤=

h |i = −1Tr [ ] =

Dans (2) ± = ± est l’opérateur de création/destruction et = 3 est l’opérateurhermitique diagonal.

Les vecteurs de poids, μ = α, de la représentation adjointe sont appelés racines. Rap-pelons que l’opérateur de création (destruction) élève (abaisse) la valeur propre du nouvel

129


état± |μi = ± |μ±αi

En utilisant ces états, on peut prouver que le produit scalaire des vecteurs μ et α

α · μ = −−

2α2

où et sont des entiers. Il en découle que le produit scalaire de deux racines α et β obéitaux relations suivantes

α · β = −2α2

α · β = −0

2β2

où et 0 sont des entiers. Mais alors l’angle entre les deux vecteurs α et β est

cos2 =(α · β)2α2β2

=0

4

Le couple d’entiers et 0 définit donc les seuls angles possibles, soient :

(0) 0

(00) ( 0) 0 2

(1 1) 1 3 23

(1 2) (2 1) 2 4 34

(1 3) (3 1) 3 6 56

(1 4) (2 2) (4 1) 4 0

Rotation en 2D — groupe (2)

Les rotations en 2D sont essentiellement décrites par des matrices 2× 2 par exempleµ 0

0

¶=

µcos sin

− sin cos

¶µ

¶(6.7)

ou en brefV0 = R ()V

Les matrices de rotationR () ont la propriété

R ()R () = R ()R () =

où R () est la matrice transposée de R (). Il en découle que R est aussi l’inverse deR c’est-à-dire R = R−1 De telles matrices sont dites orthogonalespuisqu’elles lais-sent orthogonal un système de coordonnées orthogonales et ne changent pas la longueur desvecteurs. Les matrices orthogonales 2×2 forment le groupe appelé (2) Mais les rotationsen 2D ont aussi la propriété d’être unimodulaires ou spéciales, c’est-à-dire que detR = 1

ce qui leur vaut de former un groupe distinctif appelé (2)

Figure 6.4 NRotation par un angle d’un système en deuxdimensions.

En utilisant les combinaisons linéaires appropriées, c’est-à-dire ± = 1√2( ± ), il

est possible de réécrire la relation (6.7) sous la formeµ 0+

0−

¶=

µ 0

0 −

¶µ+−

¶où ± est maintenant complexe. On note que sous cette forme, la matrice de transformationest diagonale et la relation précédente se réduit à deux transformations distinctes :

0+ = +

0− = −−

dont la forme générale se lit 0 =

où est réel. De telles transformations correspondent à des changements de phase et forment

130


le groupe (1) (voir page 132). On voit donc qu’il existe une correspondance 1 à 1 entre leséléments de (2) (les rotations en 2D) et ceux de (1) (les changements de phase). On ditalors que (2) est isomorphe à (1)

131


Rotation en 3D — groupe (3)

Les rotations en 3D transforment un vecteur à trois composantes en un autre vecteur àtrois composantes. Il est donc approprié de représenter cette transformation par une matrice3× 3 : ⎛⎝ 0

0

0

⎞⎠ =

⎛⎝ 3 × 3

⎞⎠⎛⎝

⎞⎠ou de façon similaire

V0 = RV

La matriceR dépend en général de trois paramètres libres qu’on choisit souvent par simplic-ité comme les angles d’Euler avec = 1 2 3 soient

R ≡ R() =⎛⎝ 1 31 13−21 123 − 23 123 + 3212 −132 − 23 −123 + 23

⎞⎠où

= cos = sin = 1 2 3

Sous cette forme générale, il est facile de vérifier que pour tout les matrices de rotation3D sont orthogonales, c’est-à-dire

R ()R () = R ()R () =

CommedetRR = det = 1 et detR=detR = ±1

il en découle quedetR = ±1

De plus, toute rotation peut être vue comme une suite de rotations infinitésimales ,alors

R () = +O()detR () = 1 +O()

et une rotation finie ne peut avoir un déterminant −1 Finalement, il en ressort queR est unematrice 3 × 3 orthogonale et unimodulaire (ou spéciale) et est donc un élément du groupe(3)

Comparons maintenant le groupe (3) au groupe des spins, (2). Sous une rotation,

les états de spin

µ12

−12

¶se transforment en utilisant les matrices 2 × 2 de la forme J·

où J =12σ et σ sont les matrices de Pauli. On remarque qu’une rotation de = 2 autour de

l’axe des inverse les états de spin

J·µ

12

−12

¶=

µ12

−12

¶=

µ −1212

¶alors que la rotation par un angle = 4 laisse les états de spin intacts

J·µ

12

−12

¶= 2

µ12

−12

¶=

µ12

−12

¶

Il y a donc une correspondance 2 à 1 entre les rotations en 3D (groupe (3)) et les trans-formations (2) On dit alors que le groupe (3) est homomorphe à (2)

Groupe (1)

(1) est le groupe unitaire le plus simple. Il inclut l’ensemble de tous les facteurs dephase complexes () = , où est un paramètre scalaire réel. La règle de composition

132


est la multiplication :

()( 0) = 0

= (+0)

= ( + 0)

= ( 0)()

Ce groupe est commutatif ou abélien puisque ces éléments commutent.

Groupes ()

Les éléments du groupe () sont représentés par des matrices × unitaires, dontle déterminant est égal à 1. Le groupe () lui-même est caractérisé par 2−1 paramètresindépendants, notés . Les éléments du groupe sont représentés par (voir eq. (6.5)) :

= = = (11+22+33+··· )

où

= 1 2 3 2 − 1 = paramètres réels

= matrices × hermitiques,

appelées générateurs du groupe

Les générateurs du groupe () obéissent à la relation :

[ ] = (6.8)où les sont les constantes de structure du groupe.

La plus petite représentation irréductible (c’est-à-dire, qui ne contient pas de sous-espaceinvariant) et non triviale du groupe est de dimension c’est-à-dire la représentation fonda-mentale du groupe est

=

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝1

2

3

...

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ (6.9)

Les 2 − 1 générateurs d’un groupe () peuvent être regroupés en deux catégories :

1. les opérateurs hermitiques diagonaux dont le nombre maximal est −1 (le rang est donc − 1) ;

2. les opérateurs de création et de destruction qui sont donc au nombre de ( − 1).

Le groupe (2)

Regroupons maintenant les propriétés du groupe (2) décrites plus haut. La représen-tation fondamentale du groupe (2) est un vecteur de dimension 2 (un doublet) :

=

µ1

2

¶= 1

µ1

0

¶+2

µ0

1

¶ (6.10)

Le dernier terme illustre que tout état peut donc être construit comme une combinaisonlinéaire des deux vecteurs de base orthonormée. Les générateurs sont proportionnels auxtrois matrices de Pauli (c’est-à-dire = 1

2) :

1 =1

2

µ0 1

1 0

¶ 2 =

1

2

µ0 − 0

¶ 3 =

1

2

µ1 0

0 −1¶ (6.11)

133


On note qu’un seul générateur est diagonal puisque le rang est de 1.

De plus, tout élément de (2) peut s’écrire

(1 2 3) = (11+22+33) (6.12)

Une transformation arbitraire de est alors notée :

→ 0 = (1 2 3) (6.13)

Les constantes de structure de (2) sont les composantes du tenseur antisymétrique deLevi-Civita :

= =

⎧⎨⎩ +1 si () est une permutation paire de (123)−1 si () est une permutation impaire de (123)0 autrement

(6.14)

Les trois générateurs peuvent être regroupés sous la forme :

1. opérateur hermitique diagonal : 3;

2. opérateur de création : + = 1√2(1 + 2);

3. opérateur de destruction : − = 1√2(1 − 2)

Il est facile de démontrer que ± a pour effet d’élever ou de réduire d’une unité la valeurpropre de 3 d’un état. Posons un état |i tel que

3 |i = |i Alors en utilisant la relation de commutation

[3 ±] = ±±on obtient

3± |i = ±3 |i ± ± |i= (± 1)± |i

On en conclut donc que l’état ± |i a la valeur propre (± 1) et correspond à l’état|± 1i Sur un axe représentant les valeurs propres de 3 (ou encore les états propres),on note l’action des opérateurs de création et de destruction sur les états propres (voir figure6.5). Ceux-ci qui élèvent ou réduisent les valeurs propres (ex. spin, isospin,...).

Figure 6.5 JIAction des opérateurs de création et de destruc-tion sur les états propres.

J- J+

J3

Certains opérateurs commutent avec tous les générateurs du groupe. On les appelle lesopérateurs de Casimir. Dans le cas de (2), un seul opérateur de Casimir est défini :

= J2 = +− + −+ + 23 =³σ2

´2

Il est facile de déterminer la valeur de cet opérateur. Posons par exemple un état de spin|maxi dont la troisième composante est maximale dans le multiplet de spin . Alors

3 |maxi = max |maxioù max = et l’opérateur de Casimir qui agit sur cet état donne

|maxi =¡+− + −+ + 23

¢ |maxiUtilisant

[+ −] = 3

134


Le groupe (3)

La représentation fondamentale — souvent simplement dénotée par 3— du groupe (3)est un triplet :

=

⎛⎝ 1

2

3

⎞⎠ = 1

⎛⎝ 1

0

0

⎞⎠+2

⎛⎝ 0

1

0

⎞⎠+3

⎛⎝ 0

0

1

⎞⎠ (6.15)

soit une combinaison linéaire des trois vecteurs de base orthonormée

⎛⎝ 1

0

0

⎞⎠

⎛⎝ 0

1

0

⎞⎠ et⎛⎝ 0

0

1

⎞⎠ La représentation adjointe est formée de huit générateurs sujets aux relations

[ ] =

=1

3 +

où et sont les constantes de structures antisymétriques et symétriques respective-ment de (3) et est la matrice identité. Elles obéissent aux relations de symétrie suivantes

= − = − = = 0

= =

avec

123 = 1 (6.16)

458 = 678 =

√3

2(6.17)

147 = 246 = 257 = 345 = 516 = 637 =1

2(6.18)

118 = 228 = 338 = −118 = 1√3

(6.19)

448 = 558 = 668 = 778 = − 1

2√3

(6.20)

146 = 157 = −247 = 256 = 344 = 355 = −366 = −377 = 1

2 (6.21)

On écrit souvent les générateurs du groupe (3) en terme des matrices de Gell-Mann

=

2

où

1 =

⎛⎝ 0 1 0

1 0 0

0 0 0

⎞⎠ 2 =

⎛⎝ 0 − 0

0 0

0 0 0

⎞⎠ 3 =

⎛⎝ 1 0 0

0 −1 0

0 0 0

⎞⎠

4 =

⎛⎝ 0 0 1

0 0 0

1 0 0

⎞⎠ 5 =

⎛⎝ 0 0 −0 0 0

0 0

⎞⎠

6 =

⎛⎝ 0 0 0

0 0 1

0 1 0

⎞⎠ 7 =

⎛⎝ 0 0 0

0 0 −0 0

⎞⎠ 8 =1√3

⎛⎝ 1 0 0

0 1 0

0 0 −2

⎞⎠Il est possible de faire ressortir le sous-groupe (2) de (3) en éliminant des matrices3 × 3 les rangées et colonnes qui ne contiennent que des zéros. On retrouve en effet lesmatrices de Pauli à l’intérieur de 1 2 et 3, de 4 5 et 1

2

¡3 +

√38

¢, et de 6 7 et

12

¡−3 +√38¢ respectivement. Ces trois couples de matrices forment donc respectivement

136


des sous-groupes (2) qui sont appelés le sous-groupe d’isospin (ou -spin), le sous-groupede -spin et le sous-groupe de -spin.

1 2 3 ∈ (2)

4 51

2

³3 +

√38

´∈ (2)

6 71

2

³−3 +

√38

´∈ (2)

Comme dans le cas de (2), le générateurs de (3) peuvent être regroupés en deuxcatégories :

1. Opérateurs hermitiques diagonaux :

3 =1

23

=1√38

(3) est donc de rang 2. Un état propre | i de ces opérateurs est sujet aux conditions

3 | i = |i | i = | i

où et sont les valeurs propres.

Opérateurs de création/destruction :

± =1

2(1 ± 2)

± =1

2(4 ± 5)

± =1

2(6 ± 7)

Afin d’illustrer l’effet de ces opérateurs, considérons un état | i Alors en utilisant larelation de commutation

[ ] = on obtient

[3 ±] = ±± [ ±] = 0[3 ±] = ±1

2± [ ±] = ±±

[3 ±] = ∓12± [±] = ±±

u

s

d

I3

Y

1 / 3

1 / 2 -1 / 2

- 2 / 3

Figure 6.6 NDiagramme de poids des vecteurs de base de lareprésentation fondamentale de (3).

On vérifie aussi que l’action des opérateurs se traduit par un changement d’état et de cesvaleurs propres. Si bien que, par exemple,

3± | i = (± 1) ± | i ± | i = ± | i

¾=⇒ ± | i ∝ |± 1 i

l’état ± |i ayant les valeurs propres (± 1) et correspond à l’état |± 1 i etl’opérateur ± a modifié l’isospin et l’hypercharge ∆3 = ±1∆ = 0 De la mêmemanière, ± et ± engendrent des états avec∆3 = ±1

2∆ = ±1

3± |i = ¡± 12

¢± | i

± | i = ( ± 1)± | i¾=⇒ ± |i ∝

¯± 1

2 ± 1

Àet ± engendre des états avec∆3 = ∓12 ∆ = ±1

3± | i = ¡∓ 12

¢± | i

± | i = ( ± 1)± |i¾=⇒ ± | i ∝

¯∓ 1

2 ± 1

À

137


3± | i = (± 1) ± |i ± | i = ± | i

¾=⇒ ± | i ∝ |± 1 i

3± | i = ¡± 12

¢± | i

± | i = ( ± 1)± | i¾

=⇒ ± | i ∝¯± 1

2 ± 1®

3± |i = ¡∓ 12

¢± | i

± | i = ( ± 1)± | i¾

=⇒ ± | i ∝¯∓ 1

2 ± 1®

Par analogie, ces opérateurs sont souvent appelés −spin, −spin et −spinLes vecteurs de base ont les valeurs propres suivantes (3 = 1

23 et = 1√

38) :⎛⎝ 1

0

0

⎞⎠ ⎛⎝ 0

1

0

⎞⎠ ⎛⎝ 0

0

1

⎞⎠3

12

−12

0

13

13

−23

Ici les vecteurs de base sont des états propres de d’isospin et l’hypercharge | i Lesvecteurs de base de la représentation fondamentale 3 sont souvent représentés par leur po-sition sur un diagramme de poids dont les axes correspondent aux valeurs des opérateurs 3et (voir figure 6.6) et les états sont représentés par des points dont les coordonnées sont( ).. Les opérateurs de −spin, −spin et−spin (création/destruction) décrits plus hautpermettent de se déplacer sur le diagramme de poids (voir figure 6.7).

Dans le cas de (3), l’opérateur de Casimir est défini par

= =

1

2(+− + −+) + 23 +

1

2(+− + −+)

+1

2(+− + −+) +

3

4 2

On peut déterminer la valeur de cet opérateur en considérant un état |maxi dont la troisième

I3

Y

1

-1 1

-1

I-spin

U-spin V-spin

Figure 6.7 NDiagramme de poids de l’octet : Chaque pointsur le diagramme correspond à un état du mul-tiplet identifié par ses valeurs propres 3 et Onnote l’action des différents opérateurs de créa-tion/destruction ± ± et ± (èches).

composante d’isospin (3) et d’hypercharge ( ) sont à leur valeurs maximales dans le multi-plet. Alors

3 |maxi = max |maxi |maxi = max |maxi

et l’opérateur de Casimir qui agit sur cet état donne

|maxi =µ23 + 23 +

3

4 2

¶|maxi

6.3 Quarks et représentations ()

Lien entre représentation () et modèle des quarks

Du point de vue mathématique, l’idée de base derrière le modèle des quarks est d’iden-tifier les composantes de la représentation fondamentale d’un groupe avec les différentessaveurs de quarks. Ainsi, pour les multiplets d’isospin seulement, il serait approprié de con-sidérer le groupe (2) :

(2) : =

µ1

2

¶= 1

µ1

0

¶+2

µ0

1

¶=

µ

¶(6.22)

qui nécessite seulement deux quarks.

=

µ1

0

¶ =

µ0

1

¶

138

C h a p i t r e 6Quarks et représentations ()

Cependant, les hadrons les plus légers sont en général décrits par deux étiquettes : latroisième composante d’isospin et l’hypercharge. Ceci implique donc un groupe de rang 2(deux opérateurs hermitiques, donc deux valeurs propres réelles). Le choix du groupe pointetout naturellement vers une extension du groupe d’isospin, c’est-à-dire le groupe (3) dontla représentation fondamentale (désignée par 3) est un triplet,

(3) : =

⎛⎝ 1

2

3

⎞⎠ = 1

⎛⎝ 1

0

0

⎞⎠+2

⎛⎝ 0

1

0

⎞⎠+3

⎛⎝ 0

0

1

⎞⎠ (6.23)

formé de trois saveurs de quark, le quarks up, down et étrange.

=

⎛⎝ 1

0

0

⎞⎠ =

⎛⎝ 0

1

0

⎞⎠ et =

⎛⎝ 0

0

1

⎞⎠

Les opérateurs de troisième composante d’isospin et l’hypercharge sont alors

3 =1

23 =

⎛⎝ 12

0 0

0 −12

0

0 0 0

⎞⎠ =1√38 =

⎛⎝ 13

0 0

0 13

0

0 0 −23

⎞⎠et le module du vecteurs d’isospin |I|2 l’étrangeté et la charge électrique s’écrivent respec-tivement

|I|2 = 21 + 22 + 23 =

⎛⎝ 34

0 0

0 34

0

0 0 0

⎞⎠ = − =

⎛⎝ 0 0 0

0 0 0

0 0 −1

⎞⎠ = 3 +

1

2 =

⎛⎝ 23

0 0

0 −13

0

0 0 −13

⎞⎠Les états physiques (baryons et mésons) sont obtenus à partir des représentations de di-

mensions supérieures.

1. Baryons :Les baryons sont des états liés de trois quarks chacun apparaissant dans une des troissaveurs de quark ou En tout donc 27 combinaisons sont possibles. Ces combi-naisons sont formées par le produit de la représentation 3 avec elle-même :

3⊗ 3⊗ 3 = 27 (6.24)

Nous verrons plus loin que cette nouvelle représentation de dimension 27 est réductiblemais elle peut se décomposer en représentations irréductibles, sous la forme :

3⊗ 3⊗ 3 = 10⊕ 8⊕ 80 ⊕ 1 (6.25)

En couplant les trois triplets originaux, on forme donc un décuplet 10, 2 octets 8 et 80 etun singulet 1

2. Mésons :Les mésons sont formés d’un quark et d’un antiquark. Désignant par 3 la représentationdes antiquarks, c’est-à-dire la représentation conjuguée à 3 celle des quarks, on obtient :

3⊗ 3 = 8⊕ 1 (6.26)

Cette fois-ci, les représentations irréductibles formées sont un octet et un singulet.

Chaque multiplet formé est caractérisé par ses propriétés de symétrie : il est symétrique,antisymétrique ou à symétrie mixte sous l’échange de deux de ses composantes. Ce sontces propriétés qui permettront à ces multiplets d’être identifiés aux multiplets de hadronsdécrits au chapitre précédent. Mais avant de passer à cette étape, examinons plus en détails ladécomposition de produit de représentations en représentations irréductibles.

139


Représentations irréductibles et tableaux de Young

Les résultats précédents sur les représentations irréductibles ont été cités sans plus d’ex-plications. On est en droit de se demander d’où ils proviennent. Pourquoi 27 est-il réductible ?Comment se décompose-t-il en 10⊕ 8⊕ 80⊕1 ? etc... En fait, les combinaisons de représen-tations et leurs propriétés ne sont pas évidentes à première vue.

Mais revenons tout d’abord sur les représentations irréductibles de (3) Nous connais-sons déjà le triplet

où = 1 2 3 et l’octet qui peut s’écrire comme le produit de deux triplets dont la trace estnulle, soit

= − 13

De manière plus générale, on construit des multiplets de représentations irréductibles en util-isant la procédure suivante :

1. Construire les tenseurs 1···1··· (en général comme des produits de la représentation fon-

damentale ou sa représentation conjuguée )

2. Symétriser par rapport aux indices 1 · · · et 1 · · · 3. Soustraire les traces de manière à ce que la contraction des indices du tenseur soit nulle

c’est-à-dire11

1···1··· = 0

Le tenseur qui en résulte forme alors une représentation irréductible 1···1··· caractérisée

par les entiers ( ). Il est facile de trouver la dimension de cette représentation en calculantle nombre de composantes indépendantes de ce tenseur. Rappelons que chaque indice ou ne peut prendre que trois valeurs (1, 2 ou 3) dans le groupe (3) Alors le nombre defaçons de combiner les indices 1 · · · correspond aux nombres de combinaisons de objetssoit µ

+ 2

2

¶=(+ 2)!

!2!=(+ 2) (+ 1)

2

Les indices 1 · · · se combinent de façon similaire si bien qu’on obtient

( ) =(+ 2) (+ 1) ( + 2) ( + 1)

4

combinaisons différentes du tenseur 1···1··· en général. Mais la condition de trace nulle re-

quiert que (− 1 − 1) combinaisons différentes, c’est-à-dire 111···1··· soient toutes

nulles. Le nombre de degrés de liberté ou la dimension du tenseur est donc

( ) = ( )− (− 1 − 1)=

1

2(+ 1) ( + 1) (+ + 2)

On peut donc désigner les représentations irréductibles de (3) par le couple d’entiers( )

Représentation( )

Dimension( )

(0 0) 1 : singulet(1 0) 3 : triplet(0 1) 3 : triplet(1 1) 8 : octet(3 0) 10 : décuplet(2 2) 27

Il nous aurait été possible de construire des représentations de dimensions supérieuresen prenant des produits directs de la représentation fondamentale. Toutefois ces produits di-rects ne tiennent pas compte des propriétés de réductibilité des représentations en général.

140


Heureusement, il existe des méthodes systématiques pour construire les représentations irré-ductibles (comme celle que nous venons d’aborder) et en déterminer les symétries, mais laplus simple est sans nul doute la méthode des tableaux de Young. Elle procède comme suit :

Premièrement, la représentation fondamentale N du groupe est désignée par une case etla représentation fondamentale conjuguée N par une colonne de − 1 cases :

N : (6.27)

N :

...

(6.28)

Les représentations de dimension supérieure sont construites en juxtaposant de toutes lesfaçons possibles ces cases ou groupes de cases, tout en respectant les règles suivantes :

1. Les colonnes de cases doivent être disposées suivant leur hauteur en ordre décroissantvers la droite.

2. Les rangées de cases doivent être disposées suivant leur longueur en ordre décroissantvers le bas.

H Exemple H

Exemple 6.1Trouver les tableaux de Young de représentations irréductibles des combinaisons suivantes 3 ⊗ 3,3⊗ 3 et 3⊗ 3⊗ 3Considérons le produit des représentations 3 ⊗ 3 Dans (3), 3 est représentée par une case soit

alors suivant les règles énoncées plus haut on obtient

⊗ = ⊕ (6.29)

Le tableau correspond à la représentation conjuguée 3 Nous verrons plus loin que la représen-

tation désigne le sextuplet 6 si bien que on peut écrire 3⊗ 3 = 3⊕ 6De la même manière, en combinant les tableaux de Young pour l produit 3⊗ 3 il en découle

⊗ = ⊕ (6.30)

Le résultat correspond aux représentations 1 (singulet) et 8 (octet) respectivement, c’est-à-dire 3⊗3 = 1⊕ 8Finalement, le produit 3⊗ 3⊗ 3 peut s’écrire

⊗ ⊗ =

⊕

⊗

=

⊕⊕ ⊕

Nous vérifierons plus loin que les tableaux de droite correspondent aux représentations irréductibles18 et 10 pour donner 3⊗ 3⊗ 3 = 1⊕ 8⊕ 80 ⊕ 10

Les tableaux de Young découlent d’une méthode graphique qui permet d’associer à cha-cune des combinaisons de cases obtenues ci-dessus une représentation irréductible. Elledétermine dans chaque cas leurs propriétés de symétrie et leur dimension grâce aux règlessuivantes :

Symétrie :

141


On pourrait assigner à chacune des cases une étiquette (ex. ). Alors une représen-tation (par exemple, un tenseur portant les étiquettes ) est déterminée par les éti-quettes du tableau de Young. De manière générale, une représentation est alors antisymétriquepar rapport à l’échange de deux étiquettes d’une même colonne et symétrique par rapport àl’échange de deux étiquettes d’une même ligne.

Regardons de nouveau le premier exemple, la combinaison 3⊗3 = 3⊕6 Si la représen-tation fondamentale est décrite par le vecteur et la représentation conjuguée par , alorsla combinaison de deux représentations peut s’écrire

=1

2( − ) +

1

2( + )

= +

où et sont antisymétrique et symétrique sous ↔ et de dimensions 3 et 6 respec-tivement.

=1√2( − )

=1√2( + )

Les tableaux de Young nous permettent d’obtenir ces résultats sans construire explicite-ment les représentations. En assignant cette fois-ci des étiquettes à chaque case :

⊗ =

⊕ (6.31)

où la représentation

est le triplet conjugué 3 (dimension 3) antisymétrique sous ↔

alors que est le sextuplet 6 (dimension 6) symétrique sous ↔ .Les tableaux de Young comportant une seule ligne sont associés à une représentation com-

plètement symétrique. Les tableaux de Young comportant une seule colonne sont associés àune représentation complètement antisymétrique. Les autres tableaux correspondent quant àeux à des symétries mixtes. Par exemple, si on assigne au tableau suivant les indices et :

(6.32)

alors la représentation correspondante sera symétrique par rapport à l’échange des indices et mais, antisymétrique par rapport à l’échange des indices et

Dimension d’une représentation

La dimension d’une représentation est donnée par le rapport de deux nombres, qui sontévalués comme suit :

1. Numérateur : Pour calculer le numérateur, on associe d’abord le nombre (dimension dugroupe ()) à la première case en haut à gauche et aux autres cases de la diagonale.On associe les nombres +1 +2 +3 aux cases suivantes et les nombres −1 − 2 − 3 aux cases précédentes sur chacune des lignes. Le numérateur est alorsdonné par le produit de tous ces nombres.

2. Dénominateur : À partir de chacune des cases du tableau, on trace une équerre forméed’une ligne vers la droite et d’une ligne vers le bas, puis on compte le nombre total decases croisées en traçant l’équerre. On répète pour chacune des cases du tableau et onobtient le dénominateur en faisant le produit de tous ces nombres.

H Exemple H

Exemple 6.2Dimension d’une représentation : Prenons le tableau de Young suivant :

142


+ 1 + 2

− 1

− 2 − 1(6.33)

alors le numérateur est donné par

= ( + 1)( + 2)( − 1)( − 2)( − 1) (6.34)

Le calcul du dénominateur assigne les nombres suivants à chacune des cases :

5 4 1

3 2

2 1

(6.35)

alors le dénominateur est donné par le produit

= 5 · 4 · 1 · 3 · 2 · 2 · 1 = 240 (6.36)

La dimension de la représentation est alors

=

=( + 1)( + 2)2( − 1)2( − 2)

240(6.37)

H Exemple H

Exemple 6.3Pour prendre un exemple concret, considérons les représentations obtenues par le produit 3⊗3⊗3dans (3) ( = 3) :

⊗ ⊗ = ⊕ ⊕ ⊕ (6.38)

1- États complètement symétriques (S) :

(6.39)

Ici, la dimension est donnée par

=( + 1)( + 2)

3 · 2 · 1 =3 · 4 · 53 · 2 · 1 = 10

et la rangée de cases correspond à un multiplet complètement symétrique.2- États à symétrie mixte (M) :

(6.40)

Le calcul de la dimension donne

=( + 1)( − 1)

3 · 1 · 1 =3 · 4 · 23

= 8

ce qui correspond à un octet à symétrie mixte.3- État complètement antisymétrique (A) :

(6.41)

La dimension est donnée par

=( − 1)( − 2)

3 · 2 · 1 = 1

et puisqu’il s’agit d’une colonne de cases, le multiplet est complètement antisymétrique par rapportà l’échange de deux indices.

1. Finalement, nous obtenons

3⊗ 3⊗ 3 = 10⊕8⊕80 ⊕ 1 (6.42)

À noter, deux représentations irréductibles de même dimension 8 sont issues de cette combi-naison. Mais celles-ci se distinguent en ce sens que les relations de symétrie (et d’antisymétrie)s’appliquent à des objets différents. Par exemple, le premier octet 8 pourrait être représentépar le tableau (6.32) où il y a symétrie par rapport à l’échange des indices et et antisymétriepour les indices et Le second octet 80 pourrait alors être symétrique par rapport à l’échange

143


des indices et et antisymétrie pour les indices et

.

Le tableau suivant présente les représentations irréductibles les plus simples de (3)

Représentation( )

Dimension( )

Tableau( )

Tenseur

1···1···

(0 0) 1 1

(1 0) 3

(0 1) 3

(2 0) 6

(0 2) 6

(1 1) 8 = 8

(3 0) 10

(0 3) 10

À noter que pour (3) les indices des tenseurs prennent seulement trois valeurs = 1 2 3ce qui implique que les tableaux de Young ont trois rangées ou moins. De plus, les tableauxde Young formés de trois rangées sont de dimension 1 ce qui correspond à un tenseur derang 0, un scalaire. Il en découle que le tableau de Young le plus général est formé de deuxrangées de longueur + et respectivement. Les représentations irréductibles sont donccomplètement déterminées par un couple d’entiers ( )

Construction des fonctions d’onde

Baryons

Considérons maintenant plus en détail la façon dont on forme les fonctions d’onde asso-ciées aux baryons (3). Un baryon est un système formé de 3 quarks (un état lié), chacunde ces quarks ayant pour saveur ou Dans le language de la théorie des groupes, lesquarks sont issus de la représentation fondamentale de (3), c’est-à-dire d’un triplet 3 desaveur ( ) Les baryons appartiennent alors à la représentation

3⊗ 3⊗ 3Comme dans l’exemple précédent, la méthode des tableaux de Young permet de constru-

ire les représentations irréductibles générées par ces combinaisons soit

⊗ ⊗ = ⊕ ⊕ ⊕ (6.43)

et de déterminer leur dimension respective :

3⊗ 3⊗ 3 = 10 ⊕ 8 ⊕ 80 ⊕ 1 (6.44)Les 27 états sont représentés dans les tableaux suivants. Il est alors facile d’associer un

baryon à chacun de ces états à partir de leurs nombres quantiques 3 et .

144


Le décuplet 10 correspond aux particules avec = 32

+ Chacun des dix états possède

des propriétés de symétrie qui servent à écrire sa fonction d’onde et constitue un état propredes opérateurs 3 et . Ils correspondent à un vecteur de poids sur le diagramme de poids dudécuplet 10 illustré à la figure 6.8

3 quarks (3) états symétriques ( = 32

+)

Constituants 10∆++()

∆+() 1√3(+ + )

∆0() 1√3(+ + )

∆−()

Σ∗+() 1√3(+ + )

Σ∗0() 1√6(+ + + + + )

Σ∗−() 1√3(+ + )

Ξ∗0() 1√3(+ + )

Ξ∗−() 1√3(+ + )

Ω−()

Figure 6.8 JIDiagramme de poids du décuplet de baryons ( =32

+) : La position des baryons est assignée en

fonction de l’hypercharge et la troisième com-posante d’isospin 3. La colonne de droite montrela masse moyenne (en MeV) des différents étatsde charge d’un sous-multiplet d’isospin.

3 I

Y

1

1/2 -1/2

-2

3/2 -3/2

-1

-

*(1385)

*(1534)

(1672)

(1232)

*-

*- *0

*0 *+

+++0-

L’octet 8 correspond aux particules avec = 12

+et chacun des états occupe une

position sur le diagramme de poids illustré à la figure 6.9.

3 quarks (3) états mixtes ( = 12

+)

Constituants 8() 1√

2(− )

() 1√2(− )

Σ+() 1√2(− )

Σ0() 12(+ − (+ ))

Σ−() 1√2(− )

Λ0() 1√12( (− ) + − − 2 (− ) )

Ξ−() 1√2(− )

Ξ0() 1√2(− )

L’octet 80 correspond à des baryons plus lourds

145


3 quarks (3) états mixtes

Constituants 80 1√

6((+ )− 2)

− 1√6((+ ) − 2)

1√6((+ )− 2)

1√12( (+ ) + + − 2 (+ ) )

1√6((+ ) − 2)

12(− + (− ))

− 1√6((+ ) − 2)

− 1√6((+ ) − 2)

Finalement, le singulet 1 correspond à la particule Λ(1405)

3 quarks (3) états antisymétriques

Constituants 1Λ(1405)() 1√

6( (− ) + (− ) + (− ) )

Figure 6.9 JIDiagramme de poids de l’octet de baryons ( =12

+). La position des baryons est assignée en

fonction de l’hypercharge et la troisième com-posante d’isospin 3. La colonne de droite montrela masse moyenne (en MeV) des différents étatsde charge d’un sous-multiplet d’isospin.

(1193)(1116)

I3

Y

1

1 1

-1

-

pnN(939)

(1318)

0 +

- 0

0

Mésons pseudo-scalaires

Les mésons sont des états liés d’un quark et d’un antiquark avec des spins anti-alignés( = 0) et moment orbital = 0 et parité négative en conformité avec la condition (4.4) quirequiert que méson

= (−)+1 = −1. Ils sont construits par la combinaison de la représenta-tion fondamentale (quark) et à sa représentation conjuguée (antiquark) soit

3⊗ 3pour le groupe de saveur (3).

Par la méthode des tableaux de Young, on obtient les représentations irréductibles suiv-antes :

⊗ = ⊕ (6.45)

soit3⊗ 3 = 1 ⊕ 8 (6.46)

c’est-à-dire un singulet antisymétrique dans l’échange de saveurs et un octet à symétrie mixte.

146


Il est donc possible de reconstituer les états comme suit : L’octet 8

quark-antiquark dans (3) états mixtes

Constituants 8+()

0( ) 1√2(− )

−()

+()

0()

0()

−()

8( )1√6

¡+ − 2¢

et le singulet 1

quark-antiquark dans (3) états antisymétriques

Constituants 11( )

1√3

¡+ +

¢Ces états — les huit états de l’octet et celui du singulet — correspondent aux points sur lediagramme de poids illustré à la figure 6.10. Ils ont pour spin et parité = 0−.

Figure 6.10 JIDiagramme de poids de l’octet et du singulet demésons ( = 0−) La position des mésons estassignée en fonction de l’hypercharge et la troisièmecomposante d’isospin 3. La colonne de droitemontre la masse moyenne (en MeV) des différentsétats de charge d’un sous-multiplet d’isospin.

I3

Y

1

-1 1

-1

K0

K(496)

(138)

'(958) (549)

K(496)

K+

K0 K -

-

0 +

1

8

On note que les états 1 et 8 qui proviennent du singulet et de l’octet respectivementont les mêmes nombres quantiques et sont formés des mêmes quarks. La seule propriété quiles distingue est la symétrie par rapport à l’échange de saveurs. Puisque ces états ont lesmêmes nombres quantiques, il est possible que les état propres de masse notamment (549)et 0(958) soient des combinaisons linéaires de 1 et 8. Alors, en général nous pouvonsécrire ¯

0

À=

¯18

Àou

¯18

À= −1

¯0

À(6.47)

où est une matrice de mélange ,prenant la forme d’une matrice de rotation, définie par

=

µcos sin − sin cos

¶

Pour les états propres de masses

¯0

À— qui sont des états propres de l’hamiltonien au

repos — l’hamiltonien est un opérateur diagonalisé :¿0

¯

¯0

À=

¿0

¯ µ20 0

0 2

¶ ¯0

À

147


Lorsque l’hamiltonien agit sur les états 1 et 8 il prend la forme générale¿18

¯

¯18

À=

¿18

¯ µ211 2

18

281 2

88

¶ ¯18

À=

¿0

¯

µ211 2

18

281 2

88

¶−1

¯0

À=

¿0

¯ µ20 0

0 2

¶ ¯0

À (6.48)

où nous avons utilisé (6.47) à la deuxième ligne. La matrice permet donc de diagonaliserl’hamiltonien. Il en découle que 2

18 = 281 et

20 = 2

11 cos2 + 2

218 cos sin +2

88 sin2

2 = 2

11 sin2 − 22

18 cos sin +288 cos

2

0 = (211 −2

88) cos sin +218

¡sin2 − cos2

¢des relations précédentes, on obtient une expression pour l’angle de mélange

tan2 =288 −2

20 −2

88

La valeur de 288 peut être prédite en utilisant la relation de Gell-Mann-Okubo que nous

décrivons plus loin (voir équation (6.56)), soit :

288 =

1

3

¡42

−2

¢ ' (568MeV)2

Les masses du et 0 sont respectivement 547 MeV et 958 MeV, d’où on tire que 2

288 2

0 . De plus

tan =288 −2

218

Le modèle des quarks prédit 288 2

mais l’élément de matrice 218 est négatif (en grande

partie à cause de la masse du quark étrange) et donc tan prend une valeur négative, ce quiimplique que 0. Expérimentalement, le mélange de 1 et 8 pour former les particulesde masses définies (549) et 0(958) est confirmé avec un angle de mélange = −101

Cette analyse néglige toutefois les corrections dues aux largeurs de désintégration nonnulles. Si on tient compte de telles contributions en rajoutant de façon empirique une correc-tion∆ à la formule de Gell-Mann-Okubo

288 =

1

3

¡42

−2

¢(1 +∆)

l’angle de mélange est déterminé par

tan2 =

¡42

−2

¢(1 +∆)− 32

320 − (42

−2) (1 +∆)

' 00319 (1 + 17∆)

soit ' −101 (1 + 85∆)

au premier ordre en ∆ Il en découle que de légères corrections à la formule de Gell-Mann-Okubo peuvent produire de grandes uctuations pour

Mésons vectoriels

Les mésons vectoriels sont formés de paires quark-antiquark avec des spins alignés ( =1) et moment orbital = 0 et parité négative. Ils sont construits de façon analogue aux mésonspseudo-scalaires. La figure 6.11 illustre la position de chaque méson sur le diagramme depoids. On note encore une fois que les états 1 et 8 qui proviennent du singulet et de l’octetrespectivement possèdent les mêmes nombres quantiques 3 et et ils sont d’ailleurs formésdes mêmes quarks. Il y a donc possibilité de mélange des états 1 et 8 tout comme dans lecas des mésons pseudo-scalaires. De façon analogue ( → → ∗ → et 0 → ),

148


on obtient les relations

tan2 =288 −2

2 −2

88avec

tan =288 −2

218

Figure 6.11 JIDiagramme de poids de l’octet et du singulet demésons ( = 1−): La position des mésons estassignée en fonction de l’hypercharge et la troisièmecomposante d’isospin 3. La colonne de droitemontre la masse moyenne (en MeV) des différentsétats de charge d’un sous-multiplet d’isospin.

I3

Y

1

-1 1

-1

K*0

K*(982)

(770)(1020) (783)

K*(982)

K*+

K*0K*-

-

0 +

1

8

Les masses du et sont respectivement 783MeV et 1020MeV, 218 est toujours négatif

et 288 est prédite par la relation de Gell-Mann-Okubo pour le mésons vectoriels soit

288 =

1

3

¡42

∗ −2

¢ ' (927MeV)2

ce qui implique cette fois-ci que tan 0 Expérimentalement, on observe un mélange ≈ 39 Mais rappelons que

1 =1√3

¡+ +

¢8 =

1√6

¡+ − 2¢

Le mélange implique donc que

= 1 cos + 8 sin

=1√3

¡+ +

¢cos +

1√6

¡+ − 2¢ sin

= −1 sin + 8 cos

= − 1√3

¡+ +

¢sin +

1√6

¡+ − 2¢ cos

Considérons le cas dit du mélange idéal : Pour sin = 1√3

ou tan = 1√2 soit =

353, le contenu de est purement dû au quark étrange alors que est constitué seulementde quarks et . Le mélange correspond aux états

=1√3

³√21 + 8

´=

1√2

¡+

¢ = − 1√

3

³1 −

√28

´= −

La nature semble donc privilégier un mélange presque idéal à condition que la formule deGell-Mann-Okubo soit valide.

À noter que si le mélange passe par la masse et non le carré de la masseµ211 2

18

281 2

88

¶−→

µ11 18

81 88

¶les angles de mélanges deviennent respectivement = −23 et = 36

149


6.4 Couleur

L’introduction du nombre quantique additionnel appelé la couleur avait pour but de ré-soudre ce qui semblait un paradoxe. Rappelons que les quarks possèdent un spin demi-entieret il est naturel de les considérer comme des fermions. Mais alors le principe d’exclusionde Pauli suggère que des hadrons tels que le ∆++et le Ω− ne devraient pas exister. Ceux-cisont formés respectivement de trois quarks et de trois quarks et possèdent un spin égal à32

. Les spins des trois quarks sont donc nécessairement alignés, ce qui implique à premièrevue qu’ils possèdent tous les trois les mêmes nombres quantiques, en contradiction avec leprincipe d’exclusion de Pauli. Il existe plusieurs façons de contourner ce problème mais laplus simple — qui résout ce paradoxe sans modifier profondément le modèle des quarks —est de postuler l’existence d’une dégénérescence supplémentaire. Le nombre quantique asso-cié à cette dégénérescence est appelé la couleur. Si les quarks qui forment les hadrons∆++etΩ− sont de couleurs différentes alors le principe d’exclusion ne s’applique pas.

Groupe (3) de couleur

En supposant l’existence de trois couleurs différentes (rouge, vert et bleu), on peut poserune règle simple qui assure qu’aucun quark isolé ne puisse être observé :Tous les états observables doivent être des singulets de couleur — aucun multiplet de

couleur de dimension supérieure n’est permis.Un tel singulet peut être construit de deux façons : en combinant un quark coloré avec

un antiquark possédant l’anticouleur correspondante ou encore en combinant trois quarks outrois antiquarks de couleurs différentes (un rouge, un vert et un bleu).

Cette règle s’inscrit dans le cadre d’une théorie de jauge basée sur la couleur : la chromo-dynamique quantique (ou QCD). Comme toute théorie de jauge, elle est fondée sur un postu-lat d’invariance : le monde est invariant par rapport à une transformation locale de la couleur.Le groupe de symétrie associé à cette transformation est le groupe (3), où l’indice sertà le distinguer du groupe (3) de saveur.

Contrairement à la symétrie de saveur, qui est une symétrie globale et brisée (en raisonde la différence de masse entre les quarks up, down et étrange), la symétrie (3) est unesymétrie locale et exacte. Par locale, on entend que la transformation — changement decouleur — dépend de la position dans l’espace et du temps. Les particules qui assurent lasymétrie locale de couleur sont au nombre de huit et sont nommées gluons.

Par exemple, un quark donné peut changer de couleur indépendamment des autres quarksqui l’entourent, mais chaque transformation doit obligatoirement s’accompagner de l’émis-sion d’un gluon (de la même façon qu’un électron changeant de phase émet un photon enélectrodynamique). Le gluon émis se propage et est réabsorbé par un autre quark dont lacouleur variera de telle façon que le changement de couleur total soit nul. On retrouve doncici notre règle selon laquelle tout hadron demeure incolore.

Pour citer un exemple concret, supposons qu’un quark rouge se transforme en quark bleu.Pour cela, il devra émettre un gluon rouge-antibleu, qui une fois absorbé par un quark bleu letransformera en quark rouge. La couleur globale est alors conservée, puisque le nombre totalde quarks d’une couleur donnée sera le même avant et après le processus.

Les gluons agissent donc en quelque sorte comme les agents de la force forte à l’intérieurdu hadron. La force forte nucléaire qui s’exerce entre deux hadrons n’est qu’une interactionrésiduelle par rapport à cette force fondamentale, un peu comme la force de Van der Wallsl’est par rapport à la force électromagnétique entre deux charges électriques.

Nous reviendrons plus en détails sur la dynamique de la couleur dans le chapitre 9, con-sacré aux interactions fortes.

150

C h a p i t r e 6Couleur

Fonctions d’onde de couleur

Avec l’introduction du nombre quantique de couleur, la fonction d’onde totale d’unhadron se présente sous la forme

= spatial · spin · saveur · couleur (6.49)

Le baryons qui obéissent à la statistique de Fermi-Dirac se doivent d’être antisymétriques parrapport à l’échange de deux quarks. Comme les parties spatiale , spinorielle et saveur de lafonction d’onde, spatial, spin et saveur respectivement peuvent être symétriques en général,la relation d’antisymétrie doit être assurée par la partie colorée de la fonction d’onde couleur

représentée symboliquement ici ( = rouge, = vert, = bleu) par la combinaison com-plètement antisymétrique suivante

couleur =1√6( + + − −− ) (6.50)

On note que l’échange de deux quarks (par exemple, les deux premiers) se traduit par unchangement de signe

couleur → 0couleur

→ 1√6( + + − − − )

→ −couleur

Pour les mésons, la fonction d’onde doit être symétrique puisque ce sont des bosons alors

couleur → 0couleur =1√3(+ +)

→ 1√3(+ +)

→ couleur

Figure 6.12 JIProcessus de production de paires de particule-antiparticule chargées dans la collision +− Leprocessus élémentaire +− → est iden-tique pour la production de muon-antimuon −+( = ) ou de quark-antiquark ( = ).

e

e f

f

Évidence expérimentale de la couleur

Les quarks n’ont jamais été vus à l’état libre ce qui rend pratiquement impossible de trou-ver une évidence directe de la charge colorée. Il n’en reste pas moins que l’existence de lacouleur s’avère confirmée par un certain nombre d’évidences expérimentales. Par exemple,lors d’annihilations électron-positron, on observe des paires muon-antimuon avec des sig-natures caractéristiques et des paires quark-antiquark qui elles se transforment en 2 jets dehadrons. La section efficace totale pour le processus + + − → + + − (production demuons) est

(+− → +−) =2

32CM

(6.51)

alors que la section efficace totale associée à l’annihilation +− en hadrons est souvent

151


mesurée en fonction du rapport

≡ (+− → hadrons)(+− → +−)

(6.52)

Le processus en jeu dans la production de paires muon-antimuon et quark-antiquark est àtoutes fins pratiques le même (voir figure 6.12). Toutefois la section efficace de ce processusest proportionnelle au carré de la charge électrique des produits de la réaction. De plus, laproduction de hadrons reçoit une contribution de chaque type de quarks

(+− → hadrons) ∝X

(+− → )

où la somme sur court sur tous les types de quarks incluant saveur et couleur que l’énergiedisponible permet de créer. Le rapport des sections efficaces est alors simplement

0 =

P

2

2(6.53)

où est la charge électrique du quark et = −1 la charge électrique du muon. Leprocessus +− → est le processus dominant dont la signature est la production de 2jets de hadrons. En principe, une prédiction pour +− → hadrons devrait tenir compte detous les modes de production possibles. En incluant les processus à trois jets, une corrections’ajoute

= 0(1 +

) (6.54)

où est la constante de couplage des interactions fortes. Nous reviendrons sur ce résultatplus en détails à la section 9.6.

Figure 6.13 JIRapport =

(+−→)

(+−→+−) : La prédiction

théorique donne d’abord = 2 (quarks et), puis = 10

3(quarks et ) et = 11

3(quarks et ) après le seuil de productiondu quark charmé et du quark bottom respective-ment. La partie ombrée correspond aux plateauxsuccessifs de et les courbes, les prédictionsthéoriques incluant les corrections radiatives pourles shémas de renormalisation et

R

1

2

3

4

5

2 3 4 5 6 7 10 15 5510 20 25 30 35 40 45 50 60

Ecm(GeV)

En omettant la couleur, si trois saveurs de quarks — soit , et — peuvent être produites(nous considérons ici que nous sommes en-dessous du seuil de création des quarks lourdscomme le quark charmé), 0 prend la valeur

0 =2 +2 +2

2=

¡23

¢2+¡−1

3

¢2+¡−1

3

¢21

=2

3

En introduisant la couleur, les quarks apparaissent sous trois couleurs et ce rapport triple pourpasser à 0 = 2.

0 =

P3=1

2 +2 +2

2= 2

où = 1 2 3 est l’indice de couleur. Les résultats expérimentaux montrent que ce rapport estprès de 0 = 2 (quarks et ), en accord avec l’hypothèse de l’existence de trois couleurs.On observe par ailleurs des sauts dans ce rapport lorsque le seuil du quark charmé et duquark bottom est franchi ce qui porte successivement la valeur de 0 théorique à 0 = 10

3

(quarks et ) et 0 = 113

(quarks et ). La figure 6.13 illustre la situation

152

C h a p i t r e 6Masses et moments magnétiques

expérimentale pour le rapport qui correspond à la production totale de hadrons et d’où ilest possible d’extraire la valeur 0.

6.5 Masses et moments magnétiques

Masses

Si la symétrie (3) de saveur était une symétrie exacte, les particules appartenant à unemême représentation irréductible devraient avoir des masses identiques. Mais comme nous lerévèlent les différences de masse ∆ entre les composantes des multiplets de baryons et demésons (voir figures 6.8, 6.9, 6.10 et 6.11), la symétrie (3) est brisée par les interactionsfortes. Considérons un hamiltonien séparé en deux parties

= 1 +2

dont la première 1 est invariante par (3) alors que 2 est responsable de la brisure desymétrie et donc de la différence de masse. Puisque ce sont les générateurs qui décrivent lestransformations sous (3), il en découle que

[1] = 0

[2] 6= 0

où est un générateur de (3). Par ailleurs, les interactions fortes préservent l’isospin etl’hypercharge donc l’hamiltonien 2 responsable de la brisure doit tout de même être sujetaux contraintes

[I2] = 0 et [2] = 0

en plus d’être sensiblement plus petit que 1 puisque la symétrie (3) sans être exacte,est tout de même approximativement correcte. La forme la plus simple que 2 peut prendreest alors

2 ∝ 8

Okubo a démontré que la particule dans une représentation irréductible ( ) de (3)dans des états de isospin-hypercharge donnés par et soit les états que nous désigneronspar |( ) i possède les éléments de matrice suivant

h( ) |2 |( ) i ∝ h( ) |8 |( ) i

= + + [ 2

4− ( + 1)]

où et sont des constantes indépendantes de et mais dépendent en général de lareprésentation ( ) Par la suite, Gell-Mann et Okubo ont proposé une formule de masseayant la même forme

= + + [ 2

4− ( + 1)]

Pour l’octet de baryons (voir figure 6.9), cette relation a pour conséquence

3Λ +Σ| z 4541 MeV

= 2 + 2Ξ| z 4514MeV

(6.55)

ce qui se rapproche des valeurs expérimentales à 1% près.Dans le cas du décuplet de baryons (voir figure 6.8), une identité additionnelle entre

l’isospin et l’hypercharge s’applique

=

2+ 1

ce qui ramène la relation de masse à

= +

153


La différence de masse dans ce cas ne dépend que de l’hypercharge et il en découle

Σ∗ −∆| z 152 MeV

= Ξ∗ −Σ∗| z 149MeV

= Ω −Ξ∗| z 139 MeV

en accord raisonnable avec les résultats expérimentaux.Une relation similaire peut être écrite pour les mésons. Cependant, dans ce cas, le terme de

masse qui apparaît dans le lagrangien ou l’hamiltonien — c’est l’équation de Klein-Gordonqui s’applique aux bosons — est quadratique en La relation pour l’octet de mésonspseudo-scalaire (voir figure 6.10) a la forme

328

+ 2|z

00196 GeV2

= 42| z

988 GeV2

c’est-à-dire (6.55) après substitution des masses ΣΛ Ξ → 2

282

2

respectivement. À noter ici que la masse qui apparaît dans la relation est celle de l’état faisantpartie de l’octet 8 (2

8= 2

88) et non celle de l’état propre de masse ou 0 (voir équation(6.48)). Cette relation permet de déterminer 2

88

288 =

1

3

¡42

−2

¢ ' (568MeV)2 (6.56)

et l’angle du mélange − 0 c’est-à-dire qui prend la valeur de −101Le traitement de l’octet de mésons vectoriels est en tous points semblable (voir figure

6.11). La relation donne

288 =

1

3

¡42

∗ −2

¢ ' (927MeV)2 (6.57)

On peut en déduire l’angle de mélange − mentionné plus haut dont la valeur ' 39

s’approche de l’angle de mélange idéal.En principe, il est possible de faire une analyse plus détaillée de la masse des hadrons

pour y inclure les corrections hyperfines et électriques qui sont dues à la brisure de la symétrie(2) d’isospin par les interactions électromagnétiques. On identifie trois causes qui peuventcontribuer :

1. la différence de masse entre les quarks et

2. les interactions dipôle-dipôle mettant en jeu les moments magnétiques respectifs desquarks

3. l’énergie de Coulomb associée à la charge de quarks.

Les prédictions se révèlent en accord avec les observations à 1% près ou mieux.La masse des quarks eux-mêmes n’est pas aussi bien définie que celles des hadrons et le

Modèle Standard ne les prédit pas. Par surcroît, puisqu’il est confiné de façon permanenteà l’intérieur des hadrons, il semble plutôt académique de tenter de mesurer de la masse aurepos d’un quark libre. Il est toutefois possible d’estimer la masse des quarks libres ponctuelsappelée masse nue ou masse courant dans la diffusion inélastique profonde électron-nucléondans lesquelles l’électron entre en collision directement avec les quarks. Nous examineronsplus en détail cette technique au chapitre 9.

Par opposition, on définit aussi une masse efficace ou masse habillée obtenue à partir desmasses hadroniques et qui tient compte des interactions entre quarks (énergie de liaison). Lesmesures de masse les plus directes sont celles des quarks lourds :

=1

2 =

1

2 = 500MeV

=1

2 =

1

2 = 1500MeV

=1

2 =

1

2Υ = 4700MeV

' 175 GeV

La masse des quarks up et down est plus complexe à évaluer puisqu’il est plus difficile de dis-tinguer la contribution à leur masse qui vient de leur énergie de liaison de celle qui viendrait

154


d’une masse intrinsèque. De plus, il n’existe pas d’états purs , qui pourraient s’avérerplus faciles à traiter. Alors dans une première approche, on considère les particules 0 et Ωqui sont des combinaisons de ces deux états, ce qui permet de déduire une masse d’environ380MeV pour les deux quarks (en supposant que leurs masses sont égales). Une seconde ap-proche consiste à analyser les moments magnétiques du proton, neutron et particule Λ (voirla section suivante) d’où on tire = = 340 MeV et = 510 MeV. Une approxima-tion encore plus rudimentaire suggère que chacun des trois quarks dans le nucléon contribueégalement à la masse totale ce qui mène aux valeurs = =

13 = 310MeV où

est la masse moyenne d’un nucléon. Finalement, on prend souvent une valeur intermédiaire

= = 350MeV (6.58)

qui se veut seulement un estimé rudimentaire de la masse habillée.

Mentionnons aussi que la masse des quarks (comme beaucoup d’autres quantités physiques)a aussi la caractéristique de dépendre logarithmiquement de l’échelle à laquelle elle estmesurée puisque selon qu’on sonde plus ou moins profondément la matière, elle nous paraîtraplus ou moins habillée de ses interactions. Si on fixe cette échelle à une énergie correspondantà la masse du 0 = 911884± 00022 GeV, on trouve les valeurs suivantes :

Masse des quarks

() 34± 06 eV() 63± 09 eV() 1180± 170MeV() 8800± 480MeV() 331± 011 GeV() 1720± 60 GeV

Moments magnétiques

L’opérateur de moment magnétique est défini comme

μ = 0J (6.59)

On peut alors définir le moment magnétique d’une particule de masse et de charge

comme suit = 0 (6.60)

où J est l’opérateur de moment cinétique tel que la valeur propre de J2 = ( + 1) et0 =

2

.

Le moment magnétique associé à un quark de masse et de charge électrique estdonné par

=

2

(6.61)

puisque les quarks sont des fermions de spin 12

( = 12

). Dans sa version la plus naïve,le modèle des quarks néglige les effets collectifs et prédit que le moment magnétique totald’un baryon se résume à la somme vectorielle (dans le sens de combinaisons de momentscinétiques) des moments magnétiques individuels des quarks.

H Exemple H

Exemple 6.4Proton (état ) :Le proton possède un spin de = 1

2, peut donc se présenter dans les états 3 = ± 1

2. Considérons

l’état 3 = 12

que nous écrirons

|i =12 12

dans la notation | 3i. Cet état doit être une combinaison de deux quarks et un quark qui sont

155


aussi des particules de spin 12

,

|i =12 ±12

|i =

12 ±12

Comme nous l’avons vu un peu plus haut, la fonction d’onde du proton prend la forme1√2(− ) c’est-à-dire qu’elle est symétrique par rapport à l’échange de deux quarks et

antisymétrique par rapport à l’échange d’un quark avec un quark Considérons tout d’abordl’état formé de deux quarks

On peut se convaincre que celui-ci doit s’écrire en général comme une combinaisonlinéaire de trois états symétriques. En fait, combinant deux objets de spin 1

2(représentation

fondamentale de (2)), la méthode des tableaux de Young permet d’obtenir les représenta-tions irréductibles

⊗ = |z1

⊕ | z 3

2⊗ 2= 1 ⊕ 3

tel que le tableau correspond à un singulet 1 alors que le tableau désigne le triplet

3 (les indices et indiquent des combinaisons antisymétrique et symétrique respective-ment). Résumant la dernière relation, on écrit 2⊗ 2 = 1 ⊕ 3

Puisque le proton est symétrique par rapport à l’échange des deux quarks l’état |iest formé d’états issus du triplet symétrique 3 (de spin 1) et s’écrit

|i =¯1

2±12

À⊗¯1

2±12

À= |1−1i⊕ |1 0i⊕ |1 1i

où les coefficients et sont des coefficients de Clebsch-Gordan (voir à l’annexe G). Rap-pelons que la combinaison |0 0i est exclue ici puisqu’elle est issue du singulet antisymétriquesous l’échange des deux quarks . Le proton est formé de la combinaison

|i⊗ |i = ( |1−1i⊕ |1 0i⊕ |1 1i)⊗¯1

2±12

À

On note que toutes ces combinaisons ne mènent pas à un proton de spin 3 =12

. En effet,seules les combinaisons suivantes¯

1 0;1

21

2

À= |1 0i⊗

¯1

21

2

Àet

¯1 1;

1

2−12

À= |1 1i⊗

¯1

2−12

Àdonnent le spin recherché. Les tables de coefficients de Clebsch-Gordan nous permettent deconnaître le mélange précis de ces deux combinaisons qui forment le proton avec un spin3 =

12 Il s’agit de ¯

1

21

2

À= −

r1

3

¯1 0;

1

21

2

À+

r2

3

¯1 1;

1

2−12

À(6.62)

Mais, on peut tirer aussi des renseignements similaires sur les états |i

|1 0i =

r1

2

¯1

2−12;1

21

2

À+

r1

2

¯1

21

2;1

2−12

À|1 1i =

¯1

21

2;1

21

2

ÀFinalement, en regroupant les expressions précédentes, on obtient l’état en terme de ses com-posantes de spin de chacun des quarks¯1

21

2

À= −

r1

6

¯1

2−12;1

21

2;1

21

2

À−r1

6

¯1

21

2;1

2−12;1

21

2

À+

r2

3

¯1

21

2;1

21

2;1

2−12

À(6.63)

156


que nous écrirons

|↑i = −r1

6|↓↑↑i−

r1

6|↑↓↑i+

r2

3|↑↑↓i (6.64)

pour alléger. Il est facile de démontrer que cet état est normalisé

h↑ |↑i =

Ã−r1

6

!2h↓↑↑ |↓↑↑i+

Ã−r1

6

!2h↑↓↑ |↑↓↑i+

Ãr2

3

!2h↑↑↓ |↑↑↓i

= 1

Évaluons maintenant le moment magnétique du proton en terme de celui des quarks consti-tuants

= h↑| |↑i L’opérateur extrait le moment magnétique de chacun des quarks, par exemple

h↓↑↑| |↓↑↑i = − + +

et finalement

=1

6h↓↑↑| |↓↑↑i+ 1

6h↑↓↑| |↑↓↑i+ 2

3h↑↑↓| |↑↑↓i

=1

6(− + + ) +

1

6( − + ) +

2

3( + − )

=1

3(4 − )

H Exemple H

Exemple 6.5Neutron (état ) :La fonction d’onde du neutron est obtenue à partir de celle du proton en permutant quarks et quarks. Le moment magnétique qui en découle est simplement

= (↔ )

=1

3(4 − ) (6.65)

De la même façon, il est possible d’obtenir les moments magnétique pour le Σ+ Σ− etc...

Σ+ = (→ ) =1

3(4 − ) (6.66)

Σ− = (→ → ) =1

3(4 − ) (6.67)

H Exemple H

Exemple 6.6Particule Λ (état )La particule Λ possédant un isospin nul, la paire de quarks est nécessairement dans un étatantisymétrique d’isospin et de spin ( = = 0). Cela signifie que ces deux quarks ne contribuentpas au moment magnétique total de la particule Λ et que

Λ = (6.68)

D’autre part, les résultats expérimentaux nous apprennent que

= 279 = −191 Λ = −061où

= magnéton nucléaire =~2

= 1 nm (6.69)

157


Inversant les relations obtenues dans les exemples précédents, on trouve les expressions

=2

3

2

= 185

= −13

2

= −097

= −13

2

= −061 desquelles on peut tirer les masses

= 036 = 340MeV

= 340MeV

= 510MeV.

Ces valeurs sont en bon accord avec celles obtenues par d’autres méthodes dans la sectionprécédente.

Étant donnée la similitude entre leurs états de spin respectifs, il est facile de déduire lesmoments magnétiques des baryons les plus légers :

Moments magnétiques des baryons = 12

+

Baryons Formule prédite Valeur prédite ( ) Valeur observée ( ) 1

3(4 − ) → 2793

13(4 − ) −1862 −1913

Λ → −0613± 0005Σ+ 1

3(4 − ) 2687 242± 005

Σ0 13(2 + 2 − ) 0785 ∗

Σ− 13(4 − ) −1037 −1157± 0025

Ξ0 13(4 − ) −1438 −125± 0014

Ξ− 13(4 − ) −0507 −0679± 0031

p u u d

u u u

++

u d+

Figure 6.14 NDiagramme de ot quarks pour le désintégration∆++ → + +.

Rappelons que ce modèle élémentaire ne tient aucunement compte des effets collectifsque peuvent générer les quarks en formant des états liés. Malgré tout, le modèle prédit assezbien le moment magnétique des baryons légers.

6.6 Diagrammes de ot de quarks

Puisque la saveur est conservée dans les interactions fortes, il est possible de visualiserles réactions hadroniques en tenant compte de leurs constituants, les quarks. Par exemple,si un nouveau quark est produit dans une réaction, l’antiquark correspondant doit aussi êtrecréé. Les diagrammes de ot de quarks permettent d’illustrer graphiquement l’évolution ducontenu en quarks dans les hadrons initiaux, finals et même intermédiaires. Dans un sens,un diagramme de ot de quarks correspond à un diagramme de Feynman d’un processushadronique — qui implique en général des quarks et des gluons — dans lequel on a omistous les échanges de gluons. Cette technique possède en plus quelques autres avantages : Ilest facile de suivre les étapes intermédiaires d’une réaction et d’identifier les hadrons quipeuvent être produits à tout moment simplement en tenant une comptabilité de quarks. De lamême manière, la technique peut servir à énumérer tous les produits d’une réaction et mêmetoutes les résonances possibles.

Considérons, par exemple, la réaction hadronique

∆++ → + +

Au niveau des quarks, la réaction se lit

→ +

158

C h a p i t r e 6Charme et (4)

(voir figure 6.14). La production de la résonance ∆++ peut passer par le processus suivant :

+ + → ∆++ → + +

Ce processus est permis comme on le voit à la figure 6.15 : puisqu’on peut suivre le ot dechacun des quarks dans la réaction, il y a conservation de la saveur.Par ailleurs, la figure 6.16illustre la possibilité de produire un état intermédiaire, la résonance, que nous appellerons++

++ → ++ → ++

u d+

+

p uud p

uud

++

u

d

Figure 6.15 NProduction et désintégration d’une résonance∆++

Cette résonance qui serait formée de deux quarks , un antiquark un quark et unantiquark n’a jamais été observée, et ce type d’état se trouve en contradiction avec le modèledes quarks qui stipule que les hadrons stables sont formés de trois quarks ou d’un paire quark-antiquark.

La méthode de diagramme de ot permet aussi d’identifier facilement les processus auxquelss’applique la règle de sélection due à Okubo, Zweig et Iisuka — la règle OZI. Cette règle stip-ule que la probabilité d’un processus qui implique une discontinuité dans les lignes de otde quarks est fortement réduite (voir exemple figure 6.17). Il n’y a pas de base solide pour larègle OZI puisqu’en principe, les interactions fortes permettent de tels processus. Cependantles observations expérimentales démontrent que la règle OZI semble s’appliquer.

6.7 Charme et (4)

L’introduction du quark charmé suggère que la symétrie d’isospin (2), d’abord éten-due (3) pour décrire la spectroscopie des hadrons formés de quarks étranges, pourraits’élargir une fois de plus à (4) pour inclure le quatrième quark. Rappelons toutefois quela symétrie (3) est partiellement brisée avec pour manifestation la plus directe la levéede la dégénérescence des masses des hadrons appartenant à un même multiplet. Par con-séquent, la masse du quark étrange est sensiblement plus élevée. Il est difficile alors de parlerde symétrie (4) dans le cas des quarks et puisque le quark charmé est plus lourdque le proton avec une masse de 15 GeV, et plus lourd que les autres quarks par au moins unordre de grandeur.

p uud

K+u

sK+

p uud

u

sX++

Figure 6.16 NDiagramme pour la réaction ++ → ++ →++

Il reste que certains outils de la théorie des groupes peuvent être d’une grande utiliténotamment pour la construction des différents états liés de quarks.

Mésons

Les mésons sont construits par la combinaison de quarks et d’antiquarks (avec des spinsanti-alignés pour les mésons scalaires et alignés pour les mésons vectoriels) que l’on retrouvedans la représentation fondamentale 4 de (4) et son conjuguée 4 respectivement.

Par la méthode des tableaux de Young, on obtient les représentations irréductibles suiv-antes :

⊗ = ⊕ (6.70)

soit4⊗ 4 = 1 ⊕ 15 (6.71)

c’est-à-dire un singulet antisymétrique (indice ) dans l’échange de saveurs et un 15-plet àsymétries mixtes (indice ). Parmi les états formés, on retrouve les mésons de (3) et desnouveaux mésons charmés et non charmés :

159


Mésons charmés

Particule Structure0+

+ 0− +1

−− 0 0− −1

0− 0

∗0∗+ ∗+ 1− +1

∗−∗− ∗0 1− −1

1− 0

Les particules correspondent alors à des positions sur les diagrammes de poids des représenta-tions irréductibles 15 (voir figures 6.18-6.19). La position des singulets de mésons pseudo-scalaire et vectoriel sur ces figures se situe côte-à-côte avec les états 0 et 0

u d+

d d0

u d -

s s

Figure 6.17 NExemple de processus rare selon la règle OZI.

.

160


Figure 6.18 JIMultiplet de mésons = 0− formé d’un 15-pletde (4). Le singulet 1 de (4) est l’état quise situe à la même position que les états 0 1et 8. La position des mésons est assignée enfonction du charme de l’hypercharge et latroisième composante d’isospin 3.

-

0 +

1 8

K - K0

K+K0

D0 D -

Ds-

D+

Ds+

D0

I3

C

Y

161


Figure 6.19 JIMultiplet de mésons = 1− formé d’un 15-pletde (4). Le singulet 1 de (4) est l’état qui se situe à la même position que les états 0

1 et 8. La position des mésons est assignéeen fonction du charme de l’hypercharge etla troisième composante d’isospin 3.

- 0 +

1 8

K*- K*0

K*+K*0

D*0 D* -

D*+

D*s+

D*0

I3

C

Y

+

Ds*-

Baryons

Le baryon, un système de trois quarks chacun provenant d’un quadruplet 4 de saveur de(4) est construit en combinant

4⊗ 4⊗ 4Par la méthode des tableaux de Young, on détermine les représentations irréductibles généréespar ces combinaisons :

⊗ ⊗ = ⊕ ⊕ ⊕ (6.72)

c’est-à-dire, un quadruplet et trois 20-plets

4⊗ 4⊗ 4 = 4A ⊕ 20 ⊕ 200 ⊕ 20 (6.73)où les indices et indiquent des états symétriques, à symétries mixtes et antisymétriquesrespectivement.

Parmi les états formés, on retrouve les baryons charmés de spin et parité = 12

+:

162


Baryons charmés ( = 12

+)

Particule StructureΣ0 Σ

+ Σ

++ +1

Ξ− Ξ0 +1

Ω0 +1

Λ+ +1

Ξ+Ξ++ +2

Ω+ +2

et des baryons charmés de spin et parité = 32

+identifiés ici par des symboles identiques

pour alléger la notation (la convention veut que ces états se distinguent par leur masse dansla nomenclature) :

Baryons charmées ( = 32

+)

Particule StructureΣ0 Σ

+ Σ

++ +1

Ξ− Ξ0 +1

Ω0 +1

Ξ+Ξ++ +2

Ω+ +2

Ω++ +3

Les baryons = 12

+et = 3

2

+sont regroupés dans deux 20-plets différents (voir figures

6.20-6.21). On reconnaît aussi dans ces multiplets les baryons non charmés de (3) dansles plans inférieurs des figures 6.20-6.21 qui correspondent à = 0

163



2

+formé d’un 20-plet

de (4) La position des mésons est assignéeen fonction du charme de l’hypercharge etla troisième composante d’isospin 3.

-

-

pn

0 +

0

I3

C Y

0

0

0

0

+

+

++

+

+

+

++

164



2

+formé d’un 20-plet

de (4) La position des mésons est assignéeen fonction du charme de l’hypercharge etla troisième composante d’isospin 3.

-

*-

*- *0

*0 *+

+++0-

0

0

0

+

+

++

+

+

++

++

I3

C Y

165


6.8 Exercices

6.1. Moment magnétique

Calculer le moment magnétique de Σ+, Σ0 et Σ− en terme des moments magnétiques des quarks, et .

6.2. Diagrammes de ot de quarksDessiner les diagrammes de ot de quarks, ou montrer que cela est impossible pour (voir exemplesdans les notes de cours) :

(a) − + → Λ+ 0

(b) − + → Λ+0

(c) − + → Ξ− +0 +0

(d) − + → Ξ0 +0

(e) − + → Ξ0 +0

6.3. Octet = 1−

Les particules∗±(892MeV),∗0 (896MeV) ∗0 (896MeV) +−0 (768MeV) et (782MeV)forment le multiplet = 1− Représenter ces états sur un diagramme de poids 3 − .

6.4. Octet du nucléonQuelles sont les principales raisons d’assigner les nucléons au multiplet = 1

2

−?

6.5. Diagrammes de FeynmanDessiner les diagrammes de Feynman pour la diffusion aux deux ordres de perturbations les plusbas (contributions de Born et contributions à une boucle). Donner une interprétation physique deces diagrammes.

6.6. Nombres quantiquesÉcrire la relation entre la charge électrique d’une particule et ces autres nombres quantiques,soient la troisième composante d’isospin 3, le nombre baryonique, l’étrangeté et l’hypercharge .

6.7. Les 4 interactionsDécrivez la grandeur de chaque type d’interaction en terme d’un couplage adimensionnel entre deuxprotons. Quelles sont les particules échangées dans chaque cas ?

6.8. HadronsDécrivez les réactions hadroniques suivantes en détaillant leur contenu en quarks. Vérifier la con-servation des nombres quantiques 3.

(a) − + → 0 +Σ0

(b) + → + +Σ+ +

(c) Ξ− + → Λ0 + Λ0

(d) − + → + +0 +Ω−

(e) − + → 0 + 0 +

6.9. Multiplets de mésonsDécrire l’interprétation que le modèle des quarks donne du méson sachant qu’il s’agit d’un état = 0− Décrire les autres mésons du même multiplet = 0− du point de vue du modèle desquarks et de l’étrangeté (construits à partir des quarks et ) Comment les mésons du multiplet = 1− sont construits ?

6.10. Méson et 0

Les modes de désintégration dominants des mésons et 0 produisent une paire de +−. Expli-quer pourquoi les vies moyennes des et 0 sont si différentes soient 10−23 s et 087 × 10−10 srespectivement. Dessiner les diagrammes de Feynman correspondant à chaque modes de désinté-gration.

6.11. Le (3097)L’état (3097) a une largeur de désintégration de 88 keV. Expliquer pourquoi cette particule nepeut pas être constituée uniquement de quarks et mais doit avoir un contenu de quarks . Ex-pliquer pourquoi la largeur de désintégration est si petite et dessiner le diagramme de Feynman d’un

166


mode de désintégration dominant.L’état excité (3770) a une largeur de désintégration de 23.6 MeV. Décrire un mode de désintégra-tion dominant.

6.12. Le quark bottomLes interactions faibles permettent des interactions mettant en jeu les quarks et et les quarks et Dessiner les diagrammes de Feynman qui illustrent les modes de désintégration hadronique desparticules suivantes

(a) Λ+(b) +

(c) +

(d) 0

(e) Λ0

6.13. Méson0

Dessiner les diagrammes de Feynman pour les modes de désintégration du méson 0 suivants.(a) 0 → − + +

(b) 0 → − + +

(c) 0 → + + −

Estimer les amplitudes de désintégration relatives.

6.14. Méson Le méson possède les nombres quantiques suivants = 0 = 1− avec une masse de 770MeV. Proposer un mode de production du 0 et comment sa vie moyenne peut être obtenue à partirde mesures.

6.15. Constructions des mésons à partir des quarksEn considérant la charge électrique ainsi que l’étrangeté, associez chaque paire (quark,anti-quark)à l’un des mésons suivants :

−

+

−

+

0

(a) ( )

(b) ( )

(c) ( )

(d) ( )

(e) ( )

6.16. Constructions des baryons à partir des quarksEn considérant la charge électrique, l’étrangeté et le nombre baryonique, associez chaque triplet dequarks à l’un des baryons suivants :

Σ0 Σ

− Σ

+ Λ

0 Ξ

0 Ξ

− Ω

−

(a) ( )

(b) ( )

(c) ( )

(d) ( )

(e) ( )

(f) ( )

(g) ( )

(h) ( )

(i) ( )

6.17. Couleur des hadronsSachant que, selon la QCD, tous les mésons ( ) et les baryons ( ) sont blancs, énuméreztoutes les combinaisons de couleurs possibles des quarks constituant les hadrons.

6.18. Ensembles de nombresEn expliquant sommairement, dites si les ensembles suivants forment des groupes sous l’additionou sur la multiplication :

(a) 0 ;(b) 1 ;

167


(c) les ensembles binaires 0 1 et −1 1 ;(d) l’ensemble tertiaire 0±1 ;(e) les nombres naturelsN = 0 1 2 3 ;(f) les entiers Z = 0±1±2±3 ;(g) les nombres rationnelsQ etQ∗ (Q∗ = Q sans le zéro) ;(h) les nombres réelsR etR∗ (R∗ = R sans le zéro) ;(i) les nombres complexesC etC∗ (C∗ = C sans le zéro) ;

Les groupes qui sont à la fois additifs et multiplicatifs sont des corps.

6.19. Un groupe matricielConsidérez l’ensemble de matrices suivant :

1 =

1 0

0 1

2 =

1 0

0 −1

3 =

−1 0

0 −1

4 =

−1 0

0 1

5 =

0 −11 0

6 =

0 1

−1 0

L’ensemble complet forme-t-il un groupe sous le produit matriciel ? Sinon, trouvez les matricesmanquantes. Énumérez tous les sous-ensembles possibles.

6.20. Constantes de structure de (3)Utilisez [ ] = , = 3 + et = 2 pour démontrer que :

(a) =14Tr([ ]) ;

(b) est antisymétrique ;(c) =

14Tr( ) ;

(d) est symétrique.Utilisez ensuite les résultats de a) et b) pour calculer les constantes de structure suivantes :

(e) 458 ;(f) 118.

6.21. Sous-algèbres (2) de (3)À l’aide des constantes de structure, on vérifie facilement que :

[3 ±] = ±± [+ −] = 23

(a) Utilisez les constantes de structures de (3) ainsi que les opérateurs et 3 pour con-struire un opérateur 3 faisant partie d’une autre sous-algèbre (2) : [3 ±] = ±±,[+ −] = 23.

(b) Faites de même avec les opérateurs .(c) Déterminez l’algèbre complète des c’est-à-dire trouvez les règles de commutations

pour les opérateurs des sous-algèbres (2) de . entre-elles.(d) Puisque et 3 sont hermitiques et commutatifs, on peut les diagonaliser simultanément : |i =

|i, 3|i = |i. Selon les algèbres obtenues plus haut, quelle est l’action des opéra-teurs ±, ±, ±, 3 et 3 sur la base |i ? Illustrez dans un diagramme 3 vs .

6.22. Identités de Jacobi de (3)Démontrez les identités de Jacobi suivantes pour l’algèbre (3) :

(a) + + = 0 ;(b) + + = 0.

6.23. Opérateurs de Casimir de (3)Selon le théorème de Racah, une algèbre de Lie de rang possède opérateurs de Casimir. Montrezque les 2 opérateurs suivants sont des Casimir de l’algèbre (3) :

(a) 1 =8

=1 2 ;

(b) 2 =8

=1.

(c) 1 =23

8

=1 ;

(d) 2 = 21(1 − 1112).

6.24. Production de pions par la diffusion proton-deutéronOn s’intéresse à deux réactions fortes qui produisent des pions lors de la diffusion d’un proton etd’un deutéron :

+ →

0 +3

+ +3

168


Déterminez quelle réaction est la plus abondante en calculant le ratio suivant :

=(+ → 0 +3)

(+ → + +3)

Pour ce faire, adoptez d’abord la notation suivante :

|1 + 2i = |1i⊗ |2i = |(1) 3(1)i⊗ |(2) 3(2)i = |(1) 3(1); (2) 3(2)i où est l’isospin et 3 est sa projection sur l’axe 3. En particulier, considérez

|i = |121

2i |i = |0 0i |3i = |1

2−12i |

3i = |121

2i

et utilisez les coefficients de Clebsch-Gordan pour écrire l’état d’isospin de

|+ i 0 +

3

et+ +

3

(voir Chapitre 6 et Annexe G).Utilisez ensuite le théorème de Wigner-Eckart appliqué aux interactions fortes (invariantes sous unetransformation d’isospin (2)), c’est-à-dire,

h(1) 3(1); (2) 3(2)|| 3i = h(1) 3(1); (2) 3(2)| 3ih||||ioù est la matrice de diffusion, h||||i est l’élément de matrice réduit qui ne dépend pas des 3et h(1) 3(1); (2) 3(2)| 3i est un coefficient de Clebsch-Gordan.Finalement, évaluez le rapport qui s’écrit en terme de la matrice de diffusion

=

0 +3 || + 2

|h+ +3 || + i|2

6.25. Désintégrations interdites de particules de résonanceParmi les désintégrations suivantes

0 →

++

−0 → 2

0

laquelle est interdite ? Utilisez une démarche semblable à celle du problème précédent.

6.26. Diffusion pion-nucléonDéterminez dans quelles proportions devraient être observées les réactions fortes suivantes :

+ + → +

+ +

− → + − +

− → + 0

Utilisez la notation suivante :

|1 + 2i = |1i⊗ |2i = |(1) 3(1)i⊗ |(2) 3(2)i = |(1) (2); 3(1) 3(2)i où est l’isospin et 3 est sa projection sur l’axe 3. Calculez ensuite les produits tensoriels

|(1) (2); 3(1) 3(2)i =(1)+(2)

=|(1)−(2)|h 3|(1) (2); 3(1) 3(2)i| 3i

et3 = 3(1) + 3(2)

où h(1) (2); 3(1) 3(2)| 3i est un coefficient de Clebsch-Gordan. Utilisez aussi le théorèmede Wigner-Eckart appliqué aux interactions fortes (invariantes sous une transformation d’isospin(2)), c’est-à-dire,

h(1) (2); 3(1) 3(2)|| 3i = h(1) (2); 3(1) 3(2)| 3ih||||ioù est la matrice de diffusion, h||||i est l’élément de matrice réduit qui ne dépend pas des 3.Négligez finalement les éléments h12||||12i.

6.27. Fonctions d’onde saveur-spin de baryonsOn peut montrer, en utilisant les coefficients de Clebsch-Gordan de (3), que la fonction d’ondeSaveur-Spin ((3)× (2)) du proton est :

|↑i =1√18(2|↑↑↓i+ 2|↓↑↑i+ 2|↑↓↑i

−|↑↓↑i− |↑↓↑i− |↑↑↓i− |↓↑↑i− |↑↑↓i− |↓↑↑i)où, par exemple,

|↑↑↓i =12−1213(1)⊗ 1212(1)

121213(2)⊗ 1212(2)

121213(3)⊗ 12−12(3)

169


les fonctions 3 () et 3() désignant respectivement la fonction d’onde de saveur et lafonction d’onde de spin du quark situé au point x . À l’aide des opérateurs − = −(1)+ −(2)+−(3) et − = −(1) + −(2) + −(3) de (3), construisez maintenant les états normaliséssuivants :

(a) |↑i ;(b) |Σ+↑ i.

170

INTERACTIONS ÉLECTROMAG-NÉTIQUES

Chapitre 7

7.1 Diffusion (non-polarisée)−Noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171

7.2 Processus avec spin . . . . . . . . 1757.3 Diffusion − . . . . . . . . . . . . . 1777.4 Processus purement leptoniques

en QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1777.5 Corrections radiatives . . . . . . . 1797.6 Symétries de jauge : Une

approche plus formelle . . . . . . . . 1817.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Nous abordons un aspect crucial de la physique des particules élémentaires, c’est-à-direles interactions. Il existe quatre forces fondamentales : les forces électromagnétique, faible,forte et gravitationnelle. La quatrième des ces forces est encore mal comprise du point de vuequantique et par ailleurs possède un couplage tout à fait négligeable à l’échelle des partic-ules élémentaires ; elle ne sera abordée que sommairement dans les derniers chapitres de cetouvrage.

Notre étude des interactions fondamentales débute avec la plus connue et la mieux do-mestiquée d’entre-elles, la force électromagnétique. On la retrouve aussi bien à des échellesmacroscopiques que microscopiques dans lesquels elle est responsable notamment de la co-hésion des atomes et des molécules. Par exemple, les niveaux d’énergie de systèmes simplestels que l’atome d’hydrogène, le positronium ou le muonium sont sujets à une relation de laforme

= −const.2

où est un entier positif discret caractérisant le niveau d’excitation du système. La formede la relation précédente est directement attribuable à la forme du potentiel coulombien (quivarie dans ce cas en 1

), à la nature des couplages, aux masses des particules, etc...

Dans ce chapitre, nous nous intéressons plus précisément aux états non liés qui résultentde la diffusion élastique d’un électron par un noyau tel que le proton. Cet intérêt est motivépar les renseignements qui peuvent être tirés des expériences de diffusion sur la structure d’unnoyau. En effet, lorsqu’un électron traverse un noyau, sa trajectoire est modifiée en fonctionde la structure électromagnétique qu’il rencontre. Nous serons à même de constater que laphysique des problèmes de diffusion est encore une fois déterminée par la forme du potentield’interaction, les constantes de couplage, les masses, etc...

7.1 Diffusion (non-polarisée) −Noyau

Considérons tout d’abord le cas simple de la diffusion d’un électron sans spin par unnoyau, appelée diffusion de Rutherford. Rappelons que pour un système quantique, la prob-abilité de transition par unité de temps d’un état initial vers un état final , est

= 2 |h | |i|2 ( )

= 2||2 ( )

où est la densité finale d’états (

) et est l’amplitude de transition, une quantité quicontient toute l’information à propos de la dynamique de l’interaction (constantes de cou-plage, dépendance énergétique, distribution angulaire, ...)12. On utilise souvent la méthodedes perturbations pour la calculer (série tronquée). Les différents termes de la série pertur-bative sont représentés par des diagrammes de Feynman qui classifient les mécanismes etfacilitent les calculs.

Au premier ordre de la théorie des perturbations, c’est-à-dire lorsque la perturbation estpetite ( ¿ ), peut être interprétée comme une intégrale de recouvrement sur tout

12 Voir section 3 pour plus de détails.

171

INTERACTIONS ÉLECTROMAGNÉTIQUESC h a p i t r e 7

l’espace,

=

Z∗ (r)

3r (7.1)

où et sont les fonctions d’onde de l’électron avant et après la diffusion et () lepotentiel d’interaction. Si l’approximation perturbative (petite perturbation) n’est pas respec-tée, alors ne peut pas être calculée explicitement. De façon générale, la quantité

est reliée à la matrice de diffusion (voir éq.(3.40)). C’est par l’évaluation souvent diffi-cile de cette matrice que l’on est en mesure d’obtenir des résultats concernant les processusd’interaction d’une théorie.

L’approximation de Born (premier ordre de perturbation) implique non seulement que ¿ mais aussi que l’on ne considère qu’une diffusion simple, c’est-à-dire un processusn’impliquant qu’un électron et un noyau. On écrit et sous forme d’onde plane (−p·r)de sorte que

=

Z(p0−p)·r (r)3r (7.2)

où p0 et p sont respectivement les vecteurs d’onde des particules initiale et finale. Reprenantles résultats du chapitre 3, la section efficace d’un processus est donnée par

= 2| |2

(7.3)

où est la vitesse de l’électron par rapport au centre de diffusion. La densité d’état en fonctionde (la norme de l’impulsion de l’électron après diffusion) est

=2Ω

(2)3

(7.4)

où est l’énergie totale après interaction. Finalement, on déduit que la section efficacedifférentielle est

Ω=

1

(2)22

| |2 (7.5)

Dans le but d’obtenir un résultat qui soit le plus général possible, considérons que le reculdu noyau (suite à son interaction avec l’électron) est non négligeable. Les quantités p0, et sont respectivement utilisées pour représenter l’impulsion, l’énergie totale et la masse aurepos du noyau après la réaction telles que mesurées dans le système du laboratoire. L’anglede diffusion de l’électron est noté .

p0

p

p'

Figure 7.1 NDynamique de la collision − .

En appliquant les relations fondamentales de conservation d’énergie et d’impulsion pourles électrons qui sont dans un régime ultra-relativiste (leur masse est négligeable par rapportà leur énergie cinétique), on peut écrire

' 0 +

' +

p0 = p+ p0

et on trouve

= +p02 +2

= +

q20 + 2 − 20 cos +2

d’où, avec quelques manipulations algébriques, on obtient

(

) =

− 0 cos =

0(7.6)

et

0=

+ 0(1− cos()) (7.7)

L’expression de la section efficace différentielle devient alors

Ω=

1

422

0|Z

q·r (r)3r|2 (7.8)

172

C h a p i t r e 7Diffusion (non-polarisée) −Noyau

où q = p0−p est la quantité d’impulsion transférée au noyau par l’électron lors du processusde diffusion.

Considérons que le noyau possède une densité de charge, (R), normalisée telle queZ ∞0

(R)3R = 1 (7.9)

Le potentiel d’interaction prend alors la forme

(r) =2

4

Z(R)

3R

|r−R| (7.10)

et l’élément de matrice devient

=2

4

ZZ(R)

q·R3Rq·(r−R)

|r−R| 3r (7.11)

Cette équation est encore relativement compliquée.

R

r–R=s

r

x

z

y

Figure 7.2 NInteraction électromagnétique due à une distribu-tion de charge.

Pour la simplifier, utilisons les variables s = r − R et (voir figure 7.2). La normede la première représente la distance séparant l’électron d’un point situé à la position R àl’intérieur du noyau et la deuxième variable, est l’angle polaire entre les vecteurs s et q.Ce changement de variables permet d’écrire

=2

4 (q2)

Z cos

2(cos)

=2

2 (q2)

Z

Z cos(cos)

=2

2 (q2)

Z( − −)

(7.12)

où (q2) est une fonction de structure nucléaire ou un facteur de forme défini comme

(q2) =

Z(R)q·R3R (7.13)

Il est bien connu que l’énergie d’une particule dans un potentiel coulombien est infinie. Ils’agit en fait d’un problème inhérent aux théories classiques décrivant les particules commeétant des entités ponctuelles. Il n’est donc pas surprenant que l’expression trouvée pour

diverge et ce, à cause de la région où les impulsions transférées au noyau sont faibles. Il fautdonc trouver un moyen pour faire converger le plus naturellement possible cette expression.Loin du noyau, il y a un effet d’écran qui se manifeste à cause des électrons atomiques.Par conséquent, un électron diffusé loin du noyau, possédant par le fait même une faibleimpulsion, ne verra pas la charge totale de ce dernier. Il est possible de décrire cet effetd’écran en utilisant un potentiel modifié,

(r)→ −|r| (r) (7.14)

où est une constante dont la grandeur est typique d’un rayon atomique. Puisque ¿ par

un facteur d’environ 104, on peut poser que −|r| = −

|s| . L’expression divergente prend

alors la forme

=(

2

2) (q2)

[

Z−(

1−) −

Z−(

1+)]

= (2

2)

(q2)

q2 + ( 1)2

On obtient donc une expression qui, pour de faibles impulsions transférées, tend vers unevaleur constante. Il en est de même pour la section efficace puisque ||2 ∝

Ω. Cependant,

∼ 10−8 cm et 1∼ 1 keV, alors, pour le régime d’énergie (∼ 1 GeV), on néglige ce facteur

et la section efficace différentielle est

Ω=42

q4(2

4)24

0 2(q2) (7.15)

173


Si la dynamique du centre de diffusion est non relativiste, on peut poser = 1. En

utilisant aussi les approximations = 0 (car 0 = ¿ 0) et

q2 = 220(1− cos ) = 420 sin21

2 (7.16)

on obtient une expression simplifiée pour la section efficace différentielle :

Ω= 22

2(q2)

420 sin4 12 (7.17)

où 2 =2

4est la constante de structure fine. L’angle solide pour le processus de diffusion

considéré est

Ω = 2(cos ) =2q2

220 (7.18)

ce qui permet d’exprimer la section efficace sous la forme

2=42

2 2(q2)

q4 (7.19)

Lorsque l’impulsion échangée est faible, la fonction de structure tend vers l’unité,

lim|q|→0

(q2) = 1

Il est intéressant de noter qu’on retrouve alors la formule de diffusion de Rutherford pour uneparticule ponctuelle.

Jusqu’à maintenant, le repère du laboratoire a été utilisé, ce dernier étant bien adapté auproblème traité. Cependant, il est pratique d’adopter la notation covariante qui permet derendre des expressions telles que la section efficace différentielle invariantes d’un système deréférence à l’autre (système du laboratoire, système du centre de masse, ...). Cette opérationest effectuée en redéfinissant le vecteur spatial q à trois composantes en un quadrivecteurimpulsion . Les vecteurs du problème deviennent 0 = (0p0), = (p) et 0 =(p0). En utilisant cette notation, le quadrivecteur au carré s’exprime sous la forme

2 = = (0 − )2 (7.20)

= 22 − 20 + 20 cos (7.21)

et en négligeant la masse de l’électron (2 ¿ 2), on obtient

2 = −40 sin2 2 (7.22)

Pour une diffusion, l’angle est réel et 2 0. Il faut noter que lors de l’échange d’une par-ticule réelle, la quantité 2 est positive (du même signe que la composante énergie). Lorsque2 0, l’impulsion est de genre-espace alors que pour 2 0, elle est de genre-temps. Tousles processus de diffusion se produisent dans une région où 2 est de genre-espace.

L’impulsion échangée peut aussi être écrite :

2 = ( − )2 − p02= −2 + 22 = −2

où est l’énergie cinétique transmise au noyau. Par conséquent,

= 1− 2

22 (7.23)

Donc, si l’énergie transférée au noyau est négligeable (2 ¿ 22), il est possible d’utiliserl’approximation suivante

' 1.

Avec la notation quadrivectorielle, l’expression de ||2 demeure la même à l’exceptionde la substitution de q par . L’intégrale dans la fonction de structure (−2) est maintenantsur l’espace et le temps (−q ·R→

). Lorsque

' 1,

(q2) =

Z(R)q·R3R→ (−2) =

Z()−·4 (7.24)

174

C h a p i t r e 7Processus avec spin

puisque

2 ' −q2 · = (0 −p0 − p) · (0R)

' (0p0 − p) · (0R) = −q ·RL’intégrale demeure donc essentiellement la transformée de Fourier de la distribution spatialede la charge.

7.2 Processus avec spin

Notions de spin

Posons deux particules ayant des moments cinétiques j1 et j2 avec des composantes re-spectives selon l’axe des , 1 et 2. La composante totale selon l’axe des est

= 1 +2 (7.25)

et le moment cinétique total estj = j1 + j2 (7.26)

dont la valeur se situe dans l’intervalle

|1 − 2| ≤ ≤ |1 + 2| (7.27)

Soit un état |i auquel on fait subir une rotation autour de l’axe des . L’état résultantest une combinaison linéaire des (2 + 1) états |0i avec 0 = −− + 1 − 1 .L’application de l’opérateur de rotation sur l’état initial donne une expression de la forme

− |i =X0

0() |0i (7.28)

où les 0 sont les éléments de la matrice de rotation. Il s’agit d’une représentation partic-ulière du groupe de rotation.

Pour un état de moment cinétique = 12

, il est possible de démontrer que

1212 12

() = 12

− 12− 1

2

() = cos

2

12

− 12 12

() = 1212− 1

2

() = sin

2Dans un système de référence où l’électron est relativiste, le vecteur de spin σ est aligné

selon la direction de propagation, c’est-à-dire selon le vecteur p. Il faut se rappeler que les ( = 1 2 3) sont les matrices de Pauli. Si p représente la direction , alors les valeursmoyennes du vecteur de spin selon les trois directions sont : = ±1 et =

= 0. La polarisation longitudinale est une quantité appelée hélicité définie par

=σ · p|p| = ±1 (7.29)

Les particules avec = +1 sont dites d’hélicité droite et celle avec = −1 sont d’hélicitégauche. On les note respectivement par et .

H Remarque H

Remarque 7.1iL’hélicité est souvent confondue avec la chiralité mais il s’agit de notions distinctes :L’hélicité est définie en fonction de la direction relative de son spin et de sa quantité demouvement. Elle est obtenue en utilisant l’opérateur suivant.

=σ · p|p| = ±1 (7.30)

175


Les particules avec = +1 sont dites d’hélicité droite et celle avec = −1 sont d’hélic-ité gauche. On désigne les fonctions d’onde correspondantes respectivement par et.Le concept de chiralité d’une particule est plus abstrait. Elle fait appel au notion dereprésentation droite ou gauche du groupe de Poincaré et ne dépend pas en tant que telde son mouvement de la particule. Par exemple l’opérateur de projection qui détermine lachiralité d’un spineur de Dirac est

=1

2(1± 5)

Toutefois, l’hélicité et la chiralité coïncident dans le cas d’une particule sans masse oudans la limite →

i

Diffusion polarisée −Noyau

Considérons un faisceau de particules polarisées d’hélicité droite se propageant selonl’axe des . Chaque particule est décrite par la fonction

¯12 12

®qui est diffusée à un angle .

Si le processus considéré conserve l’hélicité, la particule finale aura une hélicité droite parrapport au vecteur impulsion. Cependant, relativement à l’axe des , le faisceau résultant estune superposition des états

¯12 12

®0et¯12−1

2

®0.

Figure 7.3 JIL’hélicité est préservée dans la diffusion d’une par-ticule polarisée par une autre particule chargée.Une particule d’hélicité gauche (ou droite) ne peutêtre diffusée à un angle = . (b). Pour un angle arbitraire, la particule finale est décrite par unesuperposition des deux états d’hélicité (a).

eL

(a) (b)

eL eL

eL

La conservation du moment cinétique dans une interaction qui ne renverse pas les spinsne permet que l’état final

¯12 12

®0avec la distribution angulaire (voir figure 7.3)

|1212 12

()|2 = cos2 2

Pour une interaction qui renverse les spins, l’état final est¯12−1

2

®0avec la distribution

|1212− 1

2

()|2 = sin2 2

Dans le cas des interactions électromagnétiques, l’hélicité est une quantité conservée. Lapartie coulombienne de l’interaction ne change pas l’orientation du spin de la particule. Parconséquent, une diffusion à un angle de n’est pas permise.

Un électron d’hélicité gauche diffusé à un angle est décrit par une fonction () quiest une superposition linéaire des amplitudes pour les états = 1

2et = −1

2. La fraction

de l’amplitude correspondant à un électron originalement dans un état = −12

et émergeant

avec = −12

est 12

− 12− 1

2

= 1212 12

. Par conséquent, l’effet du spin de l’électron sur la

diffusion par un noyau sans spin est l’introduction d’un facteur cos2 2

dans la section efficace.Il en résulte la formule de Mott :

(

Ω)Mott =

22 cos2 2

420 sin4 2[1 + 20

sin2

2] (7.31)

176

C h a p i t r e 7Processus purement leptoniques en QED

7.3 Diffusion −

Considérons maintenant les effets du spin du noyau lors de la diffusion électron-proton.On suppose que le proton est une particule ponctuelle (une particule de Dirac). En plus d’uneinteraction électrique, il y a alors une interaction magnétique entre l’électron et le centrede diffusion. L’interaction coulombienne ne permet pas au spin de l’électron d’être renverséalors que l’interaction magnétique renverse le spin. Le champ magnétique du proton varieen 1

3alors que son champ électrique varie en 1

2. Par conséquent, des collisions avec 2

élevé (faible valeur de ) impliquent que l’interaction magnétique soit dominante. La sectionefficace prend la formeµ

Ω

¶Dirac

=

µ

Ω

¶Rutherford

µcos2

2+

2

22sin2

2

¶ (7.32)

où µ

Ω

¶Rutherford

=2¡

420 sin4 2

¢ £1 + 20

sin2

¤ (7.33)

Cette équation serait valide si les deux particules impliquées étaient ponctuelles avec des mo-ments magnétiques = ~

2=

2(1 pour le proton et 0 pour le neutron). Cepen-

dant, il n’en est rien puisque le proton et le neutron ne sont pas des particules ponctuelles etleurs moments magnétiques sont dits anormaux en ce sens qu’ils diffèrent des valeurs cal-culées pour des entités ponctuelles (279 pour le proton et −191 pour le neutron).

La structure du nucléon (proton et neutron) est décrite par un facteur de forme électrique((

2)) et un facteur de forme magnétique ( (2)). En fonction de ces nouvelles quan-

tités, la section efficace différentielle devient

Ω=

µ

Ω

¶Mott

"2 +

2

422

1 + 2

42

+2

42· 22 tan2

2

# (7.34)

où les fonction 2 = 2(2) et 2 = 2 (

2) sont normalisées de sorte que (0) = 1,

(0) = 0,

(0) = 279 et

(0) = −191. Cette nouvelle relation est connue sous lenom de la formule de Rosenbluth. Elle adopte la forme

F =

¡Ω

¢¡Ω

¢Mott

= (2) +(2) tan2

2

Par conséquent, pour 2 fixe, la courbe de F ¡ 2¢ en fonction de = tan2 2

est une droite(voir figure 7.4).

x 1.2 10.8 0.6 0.40.2 0

0.04

0.03

0.02

0.01

0

F(x,q2)

Figure 7.4 NLe rapport F 2 en fonction de = tan2

2

pour un 2 fixe

Les facteurs de forme élastiques permettent de caractériser la distribution spatiale de lacharge électrique et du moment magnétique dans le nucléon. Une théorie complète de lastructure hadronique pourrait, en principe, permettre de calculer de telles quantités. Cepen-dant, les théories actuelles (le modèle des quarks et la chromodynamique quantique) ne per-mettent l’extraction que de peu d’information concernant la structure des hadrons à cause dela très grande complexité des calculs théoriques et/ou numériques impliqués.

7.4 Processus purement leptoniques en QED

Considérons maintenant d’un point de vue plutôt qualitatif deux processus n’impliquantque des leptons, c’est-à-dire +− → +− et +− → +−. Pour obtenir les expressionspour des quantités physiques telles que la section efficace, il est nécessaire d’utiliser la théoriedes perturbations. Alors, l’amplitude de probabilité relative à un processus correspond à lasomme de tous les diagrammes de Feynman possibles. En QED, ces diagrammes peuventcontenir l’échange de plusieurs photons et l’apparition de paires +−. L’importance d’undiagramme dans la série perturbative est directement reliée au nombre de photons qu’il con-tient. Par exemple, l’échange d’un seul photon contribue en , l’échange de deux photons

177


en 2, etc...

Processus +− → +−

En ne considérant que le diagramme associé à l’échange d’un photon (voir figure 7.5), lasection efficace de ce processus électromagnétique à l’ordre O() est

=423

(7.35)

Figure 7.5 JIDiagrammes de Feynman contribuant au proces-sus +− → +− La contribution des différenteshélicités est illustrée.

eLL

R eR

eR

eL

L

R

La variable de Mandelstam est le carré de l’énergie dans le centre de masse ( =4

1 2 , avec

1 et 2 les énergies de l’électron et du positron entrant en col-

lision). Les masses des leptons ont été négligées puisque très petites en comparaison de l’én-ergie totale dans le centre de masse ( ¿ 2

2). La distribution angulaire de ce processus

a la forme

Ω∝ (1 + cos2 ) (7.36)

où désigne l’angle d’émission des muons par rapport au faisceau incident dans le repère ducentre de masse. Dans ce type de processus impliquant des fermions relativistes, l’hélicité estconservée.

Considérons le processus −+ → −+. Puisque l’hélicité est conservée, on a − →−, − → − et la même chose pour les muons. Le diagramme relatif à ce processus est reliéà celui de +− → +− en remplaçant une particule initiale (finale) par une antiparticulefinale (initiale) qui va par conséquent posséder une hélicité différente. Il s’ensuit que − et+ (ou − et + ) et non + et − (ou + et −) sont couplés. Il existe donc deux diagrammesqui contribuent au processus avec la même probabilité (voir figure 7.5).

Figure 7.6 JIComparaison des prédictions théoriques de QED(en noir), QED + interactions faibles (en rouge)aux valeurs expérimentales de la section efficacetotale pour le processus +− → +− en fonc-tion de = cos2

x 10.50 -0.5 -1

12

10

8

6

4

2

0

Les valeurs expérimentales de la section efficace totale pour le processus +− → +−

sont en bon accord avec les prédictions de QED. Cependant, la section efficace différentielleexpérimentale est quelque peu décalée par rapport aux prédictions de QED (voir figure 7.6).La raison est qu’il faut tenir compte non seulement du diagramme pour lequel il y a échanged’un photon mais aussi de celui où il y a échange d’un boson d’interaction faible, le 0.Puisque l’amplitude faible est de l’ordre de (la constante de Fermi), l’interférence −0

178

C h a p i t r e 7Corrections radiatives

est de l’ordre ∼ 4

∼ 10−4 où est en GeV2. Par exemple, pour = 1000 GeV2, onobtient ' 10%. Une telle asymétrie est un bon test de la validité du modèle électrofaible.

Diffusion de Bhabha : +− → +−

La section efficace de la diffusion Bhabha varie en 1

mais sa dépendance angulaire estcomplexe. En effet, pour ce processus deux diagrammes contribuent (voir figure 7.7), cequi rend le traitement en terme de diagrammes de Feynman plus compliqué. Pour de faiblesangles, le premier diagramme domine. La section efficace différentielle est en très bon accordavec les résultats expérimentaux.

Figure 7.7 JIDiagrammes de Feynman contribuant à la diffu-sion Bhabha, c’est-à-dire +− → +−.

e e e e

e

e e e

7.5 Corrections radiatives

Pour les processus considérés jusqu’à présent, il existe un nombre infini de diagrammesqui contribuent. Cependant, la majorité d’entre eux sont négligeables puisque leur expressionanalytique est proportionnelle à des puissances élevées de ' 1

137. C’est pour cette raison

que les prédictions basées sur l’échange d’un seul photon (approximation de Born) sont ac-ceptables. Les corrections introduites par les diagrammes supplémentaires sont très difficilesà mesurer expérimentalement puisque très petites.

Les contributions d’ordre supérieur peuvent être calculées dans le cadre de l’électrody-namique quantique (QED). Ces résultats peuvent alors être vérifiés à l’aide d’expériences trèsprécises pouvant être divisées en deux classes : celles concernant les moments magnétiquesleptoniques et celles concernant les niveaux d’énergie d’états liés.

Moments magnétiques leptoniques

Pour un lepton (spin 12

) ponctuel, le moment magnétique est égal au magnéton de Bohr,

=~2

(7.37)

où est la masse du lepton. De façon générale, on définit le moment magnétique avec larelation

μ = s (7.38)où est le facteur de Landé, s le spin et =

, le rapport gyromagnétique. L’équation

de Dirac prédit que = 2 pour une particule ponctuelle. Cependant, la valeur de diffère de02 % de la valeur attendue. Comme l’indique ce résultat, il n’est pas tout à fait correct deconsidérer un lepton comme une particule ponctuelle sans structure. Le moment magnétiqued’une particule chargée est fonction du quotient

. (Rappelons que classiquement, pour une

structure en rotation, on trouve = 1 alors que dans le cas d’une particule de spin 12 = 2).

À cause du principe d’incertitude de Heisenberg, un électron peut être considéré commeétant composé d’un électron “nu” (particule ponctuelle) entouré d’un nuage de photons virtuelscontinûment émis et réabsorbés. Qualitativement, on peut dire qu’une partie de la masse de

179


l’électron est attribuable à l’énergie que possède le nuage de photons et de paires particules-antiparticules virtuelles. Par conséquent,

prend une valeur légèrement supérieure. En ef-

fectuant une mesure du moment magnétique par l’application d’un champ , c’est cettemasse corrigée qui sera perçue. La correction est proportionnelle à la probabilité d’émissiond’un photon. Les corrections proportionnelles à , 2, ... sont respectivement associéesà l’émission de 1 2 photons virtuels au moment où le champ est appliqué.

Figure 7.8 JIQuelques exemples de diagrammes de Feynmanillustrant des processus avec échange de pho-tons virtuels et boucles de fermions.

La figure 7.8 présente une liste partielle de diagrammes de processus virtuels. Le pre-mier diagramme correspond à l’interaction d’un électron “nu”, le deuxième à l’émission d’unphoton virtuel (O()) et le troisième à l’émission de deux photons virtuels (O(2)). Ledernier diagramme (O(2)) contient l’émission d’une paire virtuelle +−. Il contribue àce qu’on appelle la polarisation du vide. La paire +− va être polarisée ce qui va créer uneffet d’écran atténuant la charge de l’électron “nu”.

Les prédictions de l’électrodynamique quantique concernant la valeur des moments mag-nétiques de l’électron et du muon sont :µ

− 22

¶QED

= 05

− 0328478966(

)2 + 11765(

)3 − 08(

)4 +

= (1 159 652307± 0110)× 10−9µ − 22

¶QED

= 05

+ 076578(

)2 + 2445(

)3 +

= (1 165 8517± 23)× 10−9Expérimentalement, on obtient les valeurs suivantes :µ

− 22

¶

= (1 159 652193± 0110)× 10−9µ − 22

¶

= (1 165 924± 9)× 10−9

À noter que la prédiction théorique de QED du rapport gyromagnétique du muon ne semblepas en accord avec les résultats expérimentaux. En fait, pour le muon les effets des interac-tions fortes ne sont plus négligeables et doivent être inclus. On obtient alorsµ

− 22

¶QED+QCD

= (1 165 918± 10)× 10−9

Structure hyperfine

Un autre exemple permettant de constater le pouvoir de prédiction de QED est l’étude dela transition 131 → 110 dans le muonium et le positronium. Dans ce cas, la différence entreles valeurs théoriques et expérimentales (tableau ci-dessous) sont attribuées à des corrections

180

C h a p i t r e 7Symétries de jauge : Une approche plus formelle

d’ordres supérieurs.

+− +− − (hydrogène)

Théorie 4463304 (±6)MHz 203400 (±10)MHzExpérience 4463302 (±5)MHz 203387 (±2) MHz 14204057MHz

Rappelons que les niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène sont fonction du nombrequantique principal et du moment cinétique total de l’électron, . En QED, il existe aussiune dépendance en , le moment cinétique orbital. Il s’ensuit que les niveaux 2 1

2et 2 1

2

ne sont pas dégénérés. La différence d’énergie entre ces deux niveaux correspond au “Lambshift”. La prédiction correcte de cette différence a été un des premiers succès de QED.

7.6 Symétries de jauge : Une approche plusformelle

En physique, plusieurs phénomènes peuvent être compris, ou à tout le moins simplifiés, sion en dégage tout d’abord les symétries. C’est le cas en physique des particules où les inter-actions fondamentales sont décrites par des principes de symétrie, soient les transformationsde jauge locales. Il est possible de démontrer que ces symétries sont intimement liées avecla conservation locale (et non seulement globale) de quantités physiques telles que la chargeélectrique, la couleur, etc..

Formalisme lagrangien

La connexion entre les symétries et les lois de conservation est plus facile à comprendredans le cadre du formalisme lagrangien. Rappelons qu’en mécanique classique, les équationsde mouvement des particules peuvent être obtenues à partir des équations d’Euler-Lagrange,

µ

¶−

= 0 (7.39)

où sont les coordonnées généralisées de la particule, la variable temporelle et =

.Le lagrangien du système est

= − (7.40)où et sont respectivement l’énergie cinétique et l’énergie potentielle. Le formalisme dis-cret avec les variables peut être étendu au cas où le système est décrit par des coordonnéescontinues représentées par ( ). Le lagrangien est remplacé par une densité lagrangienneL,

( )→ L( )(où ≡

) devient fonction du champ et de la variable continue . Le système formé

par les équations d’Euler-Lagrange prend la forme simple

µL

()

¶− L

= 0 (7.41)

La densité lagrangienne L est définie telle que

=

ZL3

Pour des raisons pratiques, L sera appelé le lagrangien.Chaque interaction fondamentale est décrite par un lagrangien particulier. Par exemple, le

lagrangien d’un fermion libre s’écrit

Llibre = − (7.42)

181


où est un vecteur à quatre composantes appelé spineur ( = = †0 ) et sont lesmatrices 4× 4 de Dirac. Le spineur représente en fait la fonction d’onde des particules despin 1

2décrites pas la théorie (c’est-à-dire les électrons). À noter qu’en substituant Llibre dans

l’équation d’Euler-Lagrange, on obtient la célèbre équation de Dirac.

Théorème de Noether et invariance de jauge globale

L’invariance d’une théorie (du lagrangien) sous une translation dans l’espace, une trans-lation dans le temps et une rotation spatiale est associée à la conservation de l’impulsion,de l’énergie totale et du moment cinétique. On peut dire des transformations associées à cesquantités conservées qu’elles sont de nature spatio-temporelle. Les symétries qui nous in-téressent sont des symétries internes. Par exemple, pour un électron décrit par le champ ,LQED ∝

− est invariant par une transformation de phase globale,

()→ ()

où est une constante réelle. Les transformations () = , où l’unique paramètre peutprendre n’importe quelle valeur réelle, forment le groupe unitaire abélien (1).

La symétrie de LQED sous les transformations du groupe (1) permet de mettre en évi-dence, à l’aide du théorème de Noether, l’existence d’un courant conservé. Considérons uneversion infinitésimale de la transformation (1),

→ (1 + )

L’invariance du lagrangien sous cette transformation permet de trouver l’expression du courantconservé,

= − (7.43)tel que = 0. De cette relation, il apparaît que la charge électrique,

=

Z30 (7.44)

est une quantité conservée (= 0) et ce à cause de l’invariance par les transformations du

groupe (1).D’un point de vue physique, l’existence d’une symétrie implique qu’une quantité soit im-

possible à mesurer. Par exemple, l’invariance d’un système sous translation signifie qu’il n’estpas possible de déterminer une position absolue dans l’espace. De façon similaire, l’invari-ance par les transformations du groupe (1) implique une quantité non mesurable. Cettequantité n’a aucun sens physique et peut être choisie arbitrairement. Puisqu’il s’agit d’uneconstante, une fois qu’elle est fixée, elle est la même en tout point de l’espace-temps ().On dit alors de qu’elle est une jauge globale et que le système est invariant par une trans-formation de jauge globale. En général toutefois, la phase peut dépendre de la position dansl’espace-temps ( = ()).

L’invariance de jauge locale en QED

QED est basée sur l’invariance des équations de mouvement sous des transformations dejauge du type

()→ ()() (7.45)où () est une fonction arbitraire de la position. On dira alors de QED qu’elle est invari-ante par des transformations de jauge locales. Llibre dans (7.42) n’est pas invariant sous lestransformations locales du groupe (1). Pour rendre le lagrangien de QED invariant, on doitremplacer la dérivée partielle par une dérivée covariante,

= − (7.46)

182

C h a p i t r e 7Symétries de jauge : Une approche plus formelle

où est un champ vectoriel qui se transforme comme

→ +1

(7.47)

On peut alors vérifier que le lagrangien modifié

LQED = −

= ( −) + (7.48)

est invariant par une transformation de jauge locale (éqs. (7.45) et (7.47)).Par conséquent, en demandant que la théorie soit invariante par (1), il devient néces-

saire d’introduire un champ vectoriel , appelé champ de jauge, qui se couple aux partic-ules représentées par . En fait, est associé au photon physique, c’est-à-dire la particulebosonique qui est responsable de l’interaction électromagnétique. Notez que le terme de cou-plage dans le lagrangien peut s’écrire −. En réalité, pour que puisse être associé auphoton, il est nécessaire d’introduire le terme dynamique

LJauge = −14

où = − est le tenseur de champ du photon. Il est intéressant de noter quel’introduction d’un terme de masse pour le photon n’est pas permise puisque 1

22

n’est pas invariant par les transformations de jauge locales. Le photon doit donc être sansmasse. Le fait d’imposer sur le lagrangien fermionique libre une condition d’invariance pardes transformations locales mène donc à une théorie avec interaction,

LQED = ( −) + − 14

(7.49)

183


7.7 Exercices

(Aucun)

184

INTERACTIONS FAIBLESChapitre 8

8.1 Classification des interactionsfaibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186

8.2 Théorie de Fermi et interaction − . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

8.3 Courants neutres . . . . . . . . . . . .1888.4 Non conservation de la parité 1898.5 Théorie électrofaible . . . . . . . . .1918.6 Angle de Cabbibo et matrice de

Kobayashi-Maskawa . . . . . . . . . . 1968.7 Mécanismes de GIM

(Glashow-Illiopoulos-Maiani) et lecharme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

8.8 Physique du 0 et 0 . . . . . . 1988.9 Violation . . . . . . . . . . . . . . . . 2008.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

Avant d’entreprendre notre étude des interactions faibles, il est utile de faire le point surles notions de chiralité et d’hélicité. L’hélicité est souvent confondue avec la chiralité mais ils’agit de notions distinctes comme nous l’avons déjà mentionné dans le premier chapitre.

H Remarque H

Remarque 8.1iMalgré cette différence subtile entre la chiralité et l’hélicité, nous utiliserons souvent lesdeux concepts sans distinction dans le contexte de ce chapitre, à moins qu’il y ait contre-indications. Ceci est justifiable pour des particule de masse nulle ou dans la limite ultra-relativiste où la masse est négligeable par rapport à l’énergie et →

i

Voici quelques exemples d’interactions faibles observées dans la Nature :I La désintégration du neutron

→ + − +

qui ne peut pas se produire via les interactions électromagnétiques sous peine de violer laconservation de la charge électrique.

I La capture d’antineutrinos + → + +

qui n’est possible que via les interactions faibles (la charge électrique et la charge colorée duneutrino sont nulles)

I La désintégration de hadrons uniquement en leptons ou de particules étranges, charmées,...

+ → + + Λ0 → + −

qui doit passer par les interactions faibles puisque les interactions électromagnétiques etfortes conservent les saveurs de quarks.

e

Figure 8.1 NDésintégration leptonique du muon : − → − + +

De fait, tous les quarks et les leptons sont soumis aux interactions faibles. À noter quec’est la seule interaction à laquelle sont soumis les neutrinos. Les interactions faibles sontcaractérisées par des vies moyennes de 10−8 − 10−10 s.

185

INTERACTIONS FAIBLESC h a p i t r e 8

8.1 Classification des interactions faibles

On classe les interactions faibles par la nature des particules qu’elles mettent en jeu.

Leptoniques

Le se couple seulement à des leptons (voir la figure 8.1).

Semi-leptoniques

Le se couple aux leptons sur un sommet et aux quarks sur l’autre sommet. Ces échangesimpliquent un changement de saveur de quarks qui peut entraîner la conservation ou l’absencede conservation de l’étrangeté, ex. |∆| = 0 ou |∆| = 1 respectivement (voir les figures8.2 et 8.3).

Figure 8.2 JIRéactions avec |∆| = 0 : Désintégration semi-leptonique du pion − → − + (à gauche) etdu neutron → + − + (à droite).

u

π -

-d

ddu

pd uu

e

n

W -

W -

Figure 8.3 JIRéactions avec |∆| = 1 : Désintégration semi-leptonique du + via + → ++ (à gauche)et du Λ0 via Λ0 → + − + (à droite).

s

K+

+s

sdu

p duu

e

W -

W -

Non-leptoniques (hadroniques)

Dans ce cas, le se couple aux quarks seulement (voir la figure 8.4).

Figure 8.4 JIDésintégration hadronique du+ via+ → ++

0 (à gauche) et du Λ0 via Λ0 → + − (àdroite).

s

+u

d

d

d

u

s du

pduu

d

uK +

W - W -

0

+

Quoiqu’il en soit, toutes ces combinaisons se caractérisent par des couplages de la formeillustrée à la figure 8.5 où l’on note, d’après ces quelques réactions, que le se couple à desdoublets de fermionsµ

0

¶=

µ

¶

µ

¶

µ

¶

µ

¶

µ

¶ (8.1)

186

C h a p i t r e 8Théorie de Fermi et interaction −

8.2 Théorie de Fermi et interaction −

Fermi formula durant les années 1930 sa désormais célèbre théorie des interactions faiblesbasée sur le postulat d’une interaction ponctuelle à 4-points. La force du couplage est donnéepar la constante de Fermi

Figure 8.5 JIType de couplage dans les interactions faibles im-pliquant des courant chargés, c’est-à-dire des±.W W

W

W

f

f'

f f

f f'

f'

f'

Ainsi le processus → + − + est illustré par le diagramme de la figure 8.6

n

p

eGF

Figure 8.6 NLa théorie de Fermi décrit la désintégration duneutron → + − + par une interactionponctuelle à 4-points (entre quatre particules).

Le modèle de Fermi est basé sur une approche appelée algèbre des courants. De façongénérale, l’élément de matrice de transition en QED pour une interaction à 4-points s’écrit

∝ 2

2(em)

(em)

où (em) est un courant

(em)=

avec un spineur de Dirac, = †0 le spineur conjugué et les matrices de Dirac. Cetélément de matrice décrit par exemple le processus de la figure 7.5.

Fermi propose de décrire l’interaction faible par une forme similaire soit

=

¡ faible

baryon

¢ ¡ faible

lepton

¢=

¡baryon

¢ ¡lepton

¢où est un opérateur. Pour être compatible avec les observations expérimentales, la formeest fixée à

= (1 + 5)

(1 + 5)avec = −125 −069 ...dépendant des baryons en jeu. Normalement = −1 pour desréactions purement leptoniques, ce qui suggère que toute déviation de la valeur = −1 estattribuable à la nature non ponctuelle des baryons.

e

p

W n

gl

g

Figure 8.7 NLa théorie de Glashow-Weinberg-Salam expliquel’interaction faible par l’échange de bosons mas-sifs 0−+

Le modèle standard dont la partie électrofaible a été décrite par Glashow, Weinberg etSalam prévoit plutôt que l’interaction entre ces quatre particules se produit par l’échange deboson de jauge lourd, le d’une masse de 80 GeV. Puisque la masse du est si élevée, lesinteractions paraissent ponctuelles à basse énergie et restent compatibles avec la théorie deFermi dans cette limite (voir la figure 8.7).

L’interaction faible permet deux types d’échanges : (voir la figure 8.8)

1. L’interaction vectorielle : Le spin de la particule reste intact. Le ne porte aucun momentcinétique.

2. L’interaction axiale : Le spin de la particule change. Le porte donc un moment ciné-tique.

La taux de transition étant donné par

= 22 | |2

0

où 0 est l’énergie de l’état final, 0

la densité d’état et l’élément de matrice. Lesprocessus vectoriel et axial sont caractérisés par des taux de transition sensiblement différents

∆(lepton) = 0 : | |2 ' 1 Processus de Fermi∆(lepton) = 1 : | |2 ' 3 Processus de Gamov-Teller

187


La constante de Fermi est

= 102× 10−5~µ~

¶2= 116× 10−5 GeV−2

Mais dans le contexte de la théorie électrofaible, elle correspond à la limite

= lim2→0

−2 +2

=

2

où prend soit la valeur de ou de dépendant qu’on est présence d’interactions axialesou vectorielles respectivement. Expérimentalement, on constate

' −ce qui a valu à cette interaction d’être nommée “interaction − ”.

Figure 8.8 JILes interaction vectorielle ∆ = 0 (à gauche) etaxiale ∆ = 1 (à droite).

J=0 J=1

e

p

W n

gl

gV

e

p

W n

gl

gA

8.3 Courants neutres

L’observation de processus impliquant des courants faibles chargés (échange de ) datedes années 1960. Ce n’est toutefois qu’au CERN en 1973 qu’on détecta des événementsmettant en jeu des courants faibles neutres (échange de boson neutre 0).

On démontra l’existence d’interaction de avec la matière en absence de leptons chargésen produisant un faisceau de neutrinos ou antineutrinos par la réaction + → + ou− → − ayant comme cible des nucléons soit

+ → +

+ → +

où est le nucléon et dénote une collection de hadrons (voir la figure 8.9).

Figure 8.9 JIDiffusion − : La collision requiert l’échangede ± ou 0 qui interagissent avec les leptonset les quarks à l’intérieur des hadrons.

X

W

X

Z

N

N

188

C h a p i t r e 8Non conservation de la parité

8.4 Non conservation de la parité

Les premières observations de violation de la parité furent obtenues en 1956 dans desprocessus impliquant des désintégrations . Par exemple, dans la désintégration d’un noyaude Cobalt 60 avec le spin aligné par un champ magnétique fort soumis à des températuresd’environ 0.01K, on mesura un taux plus élevé d’électrons émis avec un spin opposé à celuidu cobalt (voir la figure 8.10).

Figure 8.10 JIModes de désintégration du 60.

60Co

Ni

e-

Ni

e-

La conservation de la parité nécessite toutefois une égale proportion d’électrons alignéset anti-alignés (voir la figure 8.11).

Figure 8.11 JILes deux états finals sont reliés par une opérationde réexion (parité).

Mirroir

e-

Ni

e- Ni

On interprète maintenant ce résultat comme une interférence entre les parties vectorielleet axiale des éléments de matrice La première partie se comporte comme les vecteursV(ex. rp..). alors que la partie axialeA se comporte comme un spin ou un moment cinétique.Tout processus qui dépend d’un produit de la forme V ·A viole la conservation de la parité.

Les éléments de matrice peuvent s’écrire en général −

d’où

| |2 =¯

¯2+¯

¯2 − 2

Le dernier terme change sous une réexion et viole donc la parité.À noter que la conjugaison de charge est aussi violée dans le processus si bien que celui-ci

reste invariant par CP .

8.5 Théorie électrofaible

189


190

C h a p i t r e 8Théorie électrofaible

Le premier exemple de théorie unifiée est sans doute la théorie de l’électromagnétismede Maxwell. Maxwell réalisa que deux phénomènes qui paraissaient pourtant tout à fait dis-tincts, l’électricité et le magnétisme, peuvent être décrits par un formalisme unique et proposases fameuses équations de l’électromagnétisme. Glashow, Weinberg et Salam ont aussi dé-montré beaucoup plus récemment que l’électromagnétisme et les interactions faibles sontdes manifestations d’une seule et même interaction, l’interaction électrofaible (voir la figure8.12).

Figure 8.12 JIVertex d’interactions électrofaibles impliquant unphoton ou un boson ± ou 0

W

f f'

f f'

Z

f f'

Alors que le couplage électromagnétique est de

=2

4∼ 1

137

la théorie de Fermi introduit le couplage

=22

et le modèle de Glashow-Weinberg-Salam (voir les figures 8.6 et 8.7) permet de définir uncouplage faible adimensionnel tel que

=24

=

2

4

On serait tenter de postuler qu’en cas d’unification, = . Il en découle

2 ∼

4

137

=4

137× 116× 10−5 GeV−2= 885 GeV

Cette valeur diffère de la masse réelle de , soit = 80.22 GeV, ce qui indique que cettedernière conclusion est probablement un peu trop naïve.

Charge faible

Dans les interactions faibles :

1. La composante d’hélicité de la particule ( de l’antiparticule) n’a pas d’interactionsfaibles (charge faible nulle).

2. La composante d’hélicité de la particule ( de l’antiparticule) interagit par paires departicules µ

¶

µ

¶

µ

¶

µ

¶

Les particules peuvent être classées selon leur isospin faible dont la troisième com-posante 3 est la charge faible : pour le doublet = 1

2µ3 = 1

2

3 = −12

¶=

µ

¶

µ

¶

µ

¶

µ

¶

(8.2)

alors que pour le singulet = 0¡3 = 0

¢=

191


3. On peut aussi définir l’hypercharge faible selon

= 3 +

2

où et commutent entre eux et sont décrits par les groupes de jauge

(2)⊗ (1)

H Remarque H

Remarque 8.2iIl ne faut pas confondre l’isospin faible avec l’isospin fort issu de l’invariance des inter-actions fortes sur la charge électrique. Le traitement est similaire à certains égards maisl’isospin faible est associé à une symétrie de jauge locale (interaction de jauge) alorsque l’isospin fort est une symétrie de jauge globale (conservation de nombres quantiquesseulement). La même distinction s’applique à l’hypercharge faible vis-à-vis l’hyperchargeforte.

i

Résumons dans le tableau suivant, les charges électrofaibles des fermions du modèle stan-dard sont :

Charges électrofaibles

3

Leptons neutres 0 12

−1 0 0 0 aucune interaction

Leptons chargés −1 − 12−1

−1 0 −2 aucune interaction (2)

Quarks 23

12

13

23

0 43

aucune interaction (2)

Quarks −13− 12

13

−13

0 − 23

aucune interaction (2)

Modèle de Weinberg-Salam (survol)

La théorie électrofaible est basée sur l’invariance de jauge (2) ⊗ (1) alors queQED est basée sur le groupe (1). Les transformations de jauge peuvent être définiescomme suit :

Hypercharge faible : Un champ se transforme suivant la symétrie de jauge (1),

→ 0 = où = ()

Isospin faible : Un doublet de champ

µ12

¶

se transforme suivant la symétrie de

jauge (2)µ12

¶

→µ

0102

¶

=

µ12

¶

où ∈ (2)

alors qu’un singulet reste intact sous la même transformation

→ 0 =

Pour préserver l’invariance de jauge, il est nécessaire d’introduire les champs de jaugesuivants :

= champ de jauge pour ( (1) a 1 générateur)

= 3 champs de jauge pour ((2) a 3 générateurs, , = 1 2 3).

Les lagrangiens respectifs s’écrivent alors

192


1. Pour les fermions : les fermions interagissent avec les bosons de jauge via

L = ( −− 0)| z =−23 =0

+

µ −− 0

2 +

2

¶| z

=−13 6=0

où et 0 sont des constantes de couplage associées à et respectivement.

2. Pour les champs de jauge : la dynamique des bosons de jauge est décrite par

L = −14

− 14

où

= −

=

−

+

Le premier terme −14

est très similaire au lagrangien décrivant les champs dephotons en QED. Il est basé sur le groupe de symétrie (1) tout comme QED. Pour-suivant cette analogie, rappelons qu’en QED, le photon ne peut pas interagir directementavec lui-même puisqu’il est neutre. Le second terme du lagrangien −1

4

est unegénéralisation du lagrangien de QED pour le groupe (2). Il est à noter que le groupe(2) est non abélien (non-commutatif) si bien que la contribution

implique

des interactions entre les bosons de jauge de (2).

L’invariance de jauge requiert que les quatre bosons de jauge et soient sans masse.

Ce qu’on observe plutôt, ce sont le photon et les bosons massifs ± et 0. Cela impliqueque les lagrangiens devraient inclure des termes de masse de la forme

L =2++

+2−− +2

00 (8.3)

c’est-à-dire des termes quadratiques en fonction des champs ± et 0. Ces termes ne sontpas invariants par les transformations de jauge. S’ils sont présents, on dit alors que la symétrieest brisée. Il existe plusieurs façons d’introduire ces termes de brisure : explicitement, dy-namiquement ou dans le cas qui nous intéresse spontanément. Il reste que pour des énergiestrès élevées, les masses des ± et 0 sont négligeables et la symétrie de jauge est restaurée.

H Remarque H

Remarque 8.3iL’existence de bosons d’interactions ± et 0 fut confirmée en 1983 lorsque ceux-cifurent produits et observés directement au collisionneur () SPS du CERN. Cette con-firmation expérimentale valut le prix Nobel de physique 1984 à C. Rubbia et S. van derMeer.

i

Mécanisme et particule de Higgs

Dans le modèle standard, la brisure de symétrie est due au mécanisme de Higgs (brisurespontanée) par lequel intervient un mélange des et

dont le résultat est la présence desbosons massifs ±

qui sont des combinaisons de 1 et 2 et de deux autres bosons

= cos +3 sin

0 = − sin +3 cos

Le mécanisme de Higgs est basé sur l’idée que même si les équations de mouvementpossèdent une symétrie, les solutions ne sont pas nécessairement symétriques.

193


H Remarque H

Remarque 8.4iIl existe plusieurs exemples de brisure spontanée de symétrie en physique :(1) Une barre de métal cylindrique sur laquelle on applique une pression dans le sens de salongueur s’oriente en pliant selon une direction privilégiée brisant la symétrie cylindriquedu système.(2) Les spins dans un ferromagnétique à température élevée sont orientés aléatoirement.En abaissant la température les spins s’alignent dans une direction privilégiée brisant lasymétrie sous rotation.

i

Mécanisme de Higgs

Plus précisément, le mécanisme proposé par Higgs pour générer la brisure de symétrieintroduit des champs scalaires couplés à l’interaction de jauge. Les scalaires apparaissentsous forme d’un doublet électrofaible dont le lagrangien s’écrit

L = †− () (8.4)

où est la dérivée covariante

=

µ−

0

2+

2

¶et () est le potentiel qui décrit les interactions des scalaires entre eux et le terme de masse.Le lagrangien total

L + L + L

est alors invariant de jauge sous (2)⊗ (1)

Si l’état fondamental de (le vide) est de la forme

() =

µ0√2

¶

où 6= 0 est une constante, alors n’est pas invariant de jauge et brise la symétrie.Dans cette limite

=

µ0√2

¶=

2

√2[0

µ1 0

0 1

¶+ 1

µ0 1

1 0

¶+2

µ0 − 0

¶+ 3

µ1 0

0 -1

¶]

µ0

1

¶=

2

√2

µ1 − 20 − 3

¶

Alors

L →→

L =2

8

h¯0 − 3

¯2+¯1 − 2

¯2i=

2

8

h¯0 − 3

¯2+ 21† 1 + 22† 2

iet en définissant

± =

1√2

¡1 ± 2

¢ =

0 + 3p02 + 2

0 =0 − 3p

02 + 2

194


on peut récrire

L =

⎡⎣³2

´2+†+

+³2

´2−†− +

Ãp02 + 2

2

!20†0

⎤⎦Les termes de masse étant quadratiques en ± et 0 il est alors facile d’identifier les massesde (8.3) soient

Masse de = 0 =⇒ photon sans masse

Masse de 0 =√02+2

2= =⇒ 0

Masse de ± =

2= =⇒ ±

BE

Énergie

Figure 8.13 NÉnergie du champ électromagnétique en fonctionde l’amplitude du champ électrique (axe des ) etde l’amplitude du champ magnétique (axe des ).

De plus, ayant identifié au photon, on obtient que la charge

=0p02 + 2

= sin = 0 cos (8.5)

détermine l’angle de mélange appelé l’angle de Weinberg

tan =0

et

= cos 1

Expérimentalement, on mesure

sin2 ' 0233

ce qui implique

= 114

= 91187 GeV.

Particule de Higgs

V()

Re()Im ()

Figure 8.14 NLe minimum d’énergie du champ de Higgs estdéterminé par le terme de potentiel (8.4) (cha-peau mexicain).

Le doublet de scalaire introduit par Higgs a la propriété inhabituelle d’avoir un minimumnon nul ou autrement dit, la valeur du champ n’est pas nulle dans son état fondamental.

Rappelons qu’en électromagnétisme, l’énergie emmagasinée dans les champs est la sommedes carrés de l’amplitude du champ électrique et de l’amplitude du champ magnétique. Leminimum se trouve au point où les deux champs sont nuls (voir la figure 8.13)

Pour la particule de Higgs ou plus simplement le Higgs, l’état fondamental est déterminépar le minimum du potentiel () dans (8.4). Le potentiel (renormalisable) le plus simplequi brise la symétrie est

() = ³†− 2

´2illustré à la figure 8.14 où () est représenté en fonction de Re et Im. Un optimum setrouve en = 0 mais il s’agit d’un maximum relatif (état instable) Toutefois une infinitéd’état fondamentaux sont possibles (minimum absolu) pour lesquels

|| = ou =

où la phase correspond à la direction dans le plan Re− Im.On note la brisure de symétrie (cylindrique enRe et Im ) à la figure 8.14 dès que l’état

fondamental (le vide) est déterminé uniquement ex. la phase = 0 est choisie. Donc dans levide lorsque l’énergie est nulle, le champ de Higgs est non nul.

Le Higgs a la particularité d’avoir les mêmes nombres quantiques que le vide (toutes lescharges sont nulles) sauf pour la masse qui est non-nulle. Dans les faits, le vide peut doncêtre habité par des particules de Higgs virtuelles et toute particule y voyageant pourra êtresoumise à des interactions avec le Higgs. Il en résulte que des particules à l’origine sansmasse se comportent comme si elles avaient une masse.

Le Higgs est la seule particule du modèle standard qui élude encore la détection. Lescontraintes expérimentales requièrent

0 ≥ 775 GeV.

195


8.6 Angle de Cabbibo et matrice deKobayashi-Maskawa

On remarque expérimentalement que les transitions |∆| = 1 s’effectuent à un taux beau-coup plus faible que les transitions |∆| = 0 et ce, d’un facteur 20 environ. En 1963, Cabibbopropose l’explication suivante. Puisque les quarks et ont les mêmes nombres quantiques(exceptions faites de la masse et de la saveur), il est possible que ce soit un mélange de cesdeux quarks qui interagissent ponctuellement avec le soit

= cos + sin

Au lieu des doublets faibles de (8.2), on retrouveµ

0

¶=

µ

¶

µ

¶

µ

cos + sin

¶ (8.6)

Il s’ensuit que le couplage − est caractérisé par |∆| = 0 et une amplitude de probabilité

∝ cos

alors que le couplage − est caractérisé par |∆| = 1 et une amplitude de probabilité

∝ sin

où ' 023. Par exemple, on aura

Désintégration Changement de saveur Taux

→ + − + → 2 cos2

+ → 0 + + + → 2 cos2

+ → 0 + − + → 2 sin2

+ → + + + — 2

et le rapport entre les taux des + → 0− (|∆| = 1) et + → 0+ (|∆| = 0) est

2 sin2

2 cos2

= tan2 ' 1

20

Le mélange de Cabibbo peut s’exprimer par le courant chargé porté par le

+ = ( )

µcos sin − sin cos

¶µ

¶

ou+ = cos + sin − sin + cos

Pour tenir compte de certaines déviations de la théorie de Cabibbo et de la présence de sixquarks, Kobayashi et Maskawa ont introduit le courant généralisé

+ = ( )

⎛⎝

⎞⎠où est la matrice de Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (CKM)

=

⎛⎝ 1 31 13−21 123 − 23

123 + 32

12 −132 − 23 −123 + 23

⎞⎠où

= cos = sin = 1 2 3

Le mélange est caractérisé par trois angles d’Euler et six phases dont une seule, estobservable. Les valeurs de ces paramètres sont déterminées expérimentalement et mènent à

=

⎛⎝ 097 022 0004

−022 097 004

0004 -004 099

⎞⎠

196

C h a p i t r e 8Mécanismes de GIM (Glashow-Illiopoulos-Maiani) et le charme

À noter que la phase introduit un terme qui viole l’invariance sous la transformation CP .

8.7 Mécanismes de GIM(Glashow-Illiopoulos-Maiani) et le charme

Figure 8.15 JIDésintégration du+ par les voies neutres+ →+ + + et chargées + → 0 + − + .

W -

s

+

u d u

K+ Z0

s u K+

0 u u

Toutes les observations de courants neutres faites à ce jour respectent la règle |∆| =0. On dit alors qu’il n’existe pas de courant neutre changeant la saveur (FCNC : Flavorchanging neutral current). Par exemple, si on compare les processus |∆| = 1 dans lesmesures des taux de désintégration du + par les voies neutres et chargées (voir la figure8.15), on obtient le rapport

+ → + + +

+ → 0 + − + 10−5

À première vue, on s’explique mal cette règle de sélection puisque dans le cas de courantschargés des processus |∆| = 0 et |∆| = 1 sont tous deux observés.

Z0

u

u

d cos c + s sin c

d cos c + s sin c

Z0

Figure 8.16 NInteractions quarks-0 pour un modèle à trois quarks.

Si on ne considère que les quarks , le couplage des courants neutres a la forme (voirla figure 8.16)

+ = + cos2 + sin2 | z |∆|=0

+¡+

¢sin cos | z

|∆|=1

(8.7)

où µ

¶=

µ

cos + sin

¶ (8.8)

Le deuxième terme n’est pas observé puisque le processus |∆| = 1 est fortement supprimé.En 1970 Glashow, Illiopoulos et Maiani, (GIM) proposent un nouveau quark, le charme,

qui forme un doublet d’interaction faibleµ

¶=

µ

cos − sin

¶ (8.9)

Le courant neutre a maintenant deux nouvelles contributions (voir la figure 8.17)

+ = + cos2 + sin2 | z |∆|=0

− ¡+ ¢sin cos | z

|∆|=1

(8.10)

En additionnant les expressions (8.7) et (8.10), il ressort que les termes |∆| = 1 s’annulent

Z0

c

c

s cos c - d sin c

s cos c - d sin c

Z0

Figure 8.17 NInteractions additionnelles quarks-0 pour un mod-èle à quatre quarks (mécanisme de GIM).

automatiquement :

+ + + = + + + | z |∆|=0

H Remarque H

Remarque 8.5iLe quark charme fut découvert en 1974 à SLAC et à Cornell presque simultanément sousla forme du . Le est un état lié produit par annihilation +− À l’époque,cette particule a fait l’objet d’une polémique à savoir lequel des deux groupes en avaitfait la découverte en premier. La communauté scientifique n’a jamais tranché la question,

197


préférant attribuer la paternité de la découverte aux deux groupes. Cela explique le nom(ou les deux noms) de la particule mais aussi que le prix Nobel de physique 1976 aitété attribué aux directeurs des deux collaborations B. Richter et S.C.C. Ting.

i

8.8 Physique du 0 et 0

Le système des Kaons +−0 et 0 se révèle être un endroit privilégié pour testerles propriétés d’invariance par CP Rappelons que les Kaons possèdent les propriétés suiv-antes :

3 =12

3 = −12 = +1 +() 0()

= −1 0() −()

où les 0 et 0 peuvent être produits fortement par des processus distincts soit − + →0 + Λ0 :

− + → 0 + Λ0

0 0 +1 −1et + + → + + 0 + :

+ + → + + 0 +

0 0 +1 −1 0

illustrés à la figure 8.18.

Figure 8.18 JIDiagrammes de ot de quarks pour les processusde production de 0 et 0

d

d

K0

s

s

u

d

uu

d u u

u

p p

K+ +

d

d

s

s

u

uu

uu

u

p

+ K0

On note par ailleurs que 0 et 0 sont l’antiparticule l’une de l’autre et donc sous con-jugaison de charge

¯0®=¯0®

ce qui constitue une variation de |∆| = 2 Il en découle que :I puisque est conservée dans les interactions fortes, tout couplage 0 − 0 via les

interactions fortes est interdit.I les interactions faibles permettent |∆| = 1 donc un couplage 0 − 0 est possible

mais doit passer par deux processus intermédiaires chacun ayant |∆| = 1 (processus du 2

ordre).Considérons par exemple les 0 et 0 qui peuvent tous deux se désintégrer en +−

(voir la figure 8.19).

Figure 8.19 JIModes de désintégration des 0 et 0

W - sd

K0

-u d

sd

K0

+u

-u d

+d u

W+

d

Expérimentalement, on observe que les 0 et 0 peuvent tout aussi bien se désintégreren +−0. Un couplage indirect 0 − 0 est donc possible via un état intermédiaire de

198

C h a p i t r e 8Physique du 0 et 0

2 ou de 3 (ou plus précisément un mélange de ces deux états)

2

% -0 0

& .3

|∆| = 1 |∆| = 1ou même encore par l’échange de deux bosons (voir la figure 8.20).

Figure 8.20 JIMélange 0 − 0 par échange de deux

s

K0

d su

d u

W W

W

K0 K0 u u

W d s

d s

K0

Quoi qu’il en soit, malgré un taux relativement faible, le couplage 0 − 0 est présent.Ceci implique qu’un état formé purement de 0 à un temps = 0 devient au temps unesuperposition 0 − 0 ¯

0()®= ()

¯0()

®+ ()

¯0()

®

Mais pour les interactions faibles, ce sont les états propres de CP qui se désintègrent soit

|1i =1√2

¡¯0®+¯0®¢ CP |1i = |1i

|2i =1√2

¡¯0®− ¯0

®¢ CP |2i = − |2i

H Remarque H

Remarque 8.6iLes 0 et 0 se distinguent par leur interactions fortes ( = 1 et −1 respectivement)alors que1 et2 se distinguent de par leurs interactions faibles (états propres de CP).

i

Modes de désintégration

À cause de leur propriété CP = ±1 leurs modes de désintégration diffèrent : 1 (CP =

1) se désintègre en 2 alors que le 2 donne 3 avec des taux observés de

CP = +1 : |1i→ 2 1 = 09× 10−10s

CP = −1 : |2i→ 3 2 = 05× 10−7s

Puisque 1 et 2 ne sont pas l’antiparticule l’une de l’autre, leur mode de désintégration,leur vie moyenne et leur masse diffèrent.

L’évolution de l’amplitude de 1 et de 2 du temps = 0 au temps s’écrit

1() = 1(0)−1−

Γ1

2 2() = 2(0)−2−

Γ2

2

où le premier facteur exponentiel correspond à une onde (∝ −), 1 et 2 étant les éner-gies, alors que le second facteur vient de la désintégration avec Γ1 = −11 et Γ2 = −12 leslargeurs de désintégration.

199


Pour un faisceau 0 pur au temps = 0, l’intensité du faisceau au temps s’écrit

(0) =(1() + 2())√

2

(∗1() + ∗2())√2

=1

4

³−Γ1 + −Γ2 + 2−

12(Γ1+Γ2) cos (2 −1)

´alors que le faisceau est composé de 0 suivant

(0) =(1()− 2())√

2

(∗1()− ∗2())√2

=1

4

³−Γ1 + −Γ2 − 2− 1

2(Γ1+Γ2) cos (2 −1)

´où 12 =12 dans les centres de masse respectifs des 1 et 2. On remarque que les pre-mier et second termes correspondent respectivement à des désintégrations rapide (1 courte)et lente (2 grande). Par ailleurs, le troisième terme est responsable d’oscillations dans les in-tensités. La figure 8.21 qui suit représente en unités arbitraires (0) (en bleu) et (0) (enrouge) pour des valeurs de 2 −1 croissantes.

Une mesure expérimentale appropriée de la proportion0−0 en fonction de la distancepour un faisceau initial 0 pur permet de déduire la différence de masse∆ =2 −1

On obtient expérimentalement une variation de

∆ = 352× 10−6 eV

soit un changement relatif de∆

= 07× 10−14

Figure 8.21 JIL’intensité du faisceau (0) (en bleu) et (0)

(en rouge) en fonction du temps pour des valeursde 2 −1 croissantes.

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 0

t

0 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

t t

K0

1

0.8

0.6

0.4

0.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2 K0

K0

K0

K0

K0

8.9 Violation

Fais ceau de K

Zon e de désin té grat ion

+

A im ant s et c ham bre s à é tin celles

-

Figure 8.22 NL’expérience de ‘Cronin et Fitch’ pour observer lesdésintégrations de grâce à un spectromètre àdeux bras et à des chambres à étincelles.

La violation de la parité fut découverte dans les interactions faibles en 1956 mais on s’en-tendit longtemps pour dire que CP devait être conservée, autrement dit, la valeur propre del’opérateur CP serait conservée pendant une interaction. En 1964 cependant, Christianson,Cronin, Fitch et Turlay démontrèrent que l’état avec une longue vie moyenne pouvait aussi sedésintégrer en 2 dans une proportion de 10−3. Cet état appelé |i qui est en grande par-tie formé de |2i contient donc une partie de |1i De la même façon, un autre état |i de vie moyenne courte est aussi un mélange |1i− |2i dominé par |1i soit :

|i = |2i+ |1i|i = |2i+ |1i

où À et ¿ .L’expérience de ‘Cronin et Fitch’ consiste à observer les se désintégrer grâce à un

spectromètre à deux bras et à des chambres à étincelles. Les +− sont détectés respective-ment dans chacun des bras ce qui permet un calcul de la masse invariante du système +−

200

C h a p i t r e 8Violation

(voir la figure 8.22).Cependant la dynamique de la désintégration → +− pose la limite cinématique

suivante sur la masse invariante :

0490MeV 510MeV

et requiert que les + et − soient coplanaires. Puisqu’il y a trois particules finales

dans les désintégrations → +−0 elles se distinguent par un grand spectre de lamasse invariante et une configuration non-planaire. À noter que la configuration del’expérience de ‘Cronin et Fitch’ favorise la détection de +− coplanaires.

On mesure alors expérimentalement¯+−

¯=

Ampl¡0 → + + −

¢Ampl (0

→ + + −)' (227± 002)× 10−3

(Des effets similaires sont observés dans le processus 0 → 00 ; on peut aussi définir

00).En général, +− et 00 dépendent des amplitudes 0 = Ampl( = 0) et 2 = Ampl( =

2) associées aux états finals de pions avec = 0 et = 2. On peut alors écrire

+− = + 0 ≡¯+−

¯+−

00 = − 20 ≡ |00| 00où

0 =√2

Im2

0(2−0)

Si la règle de ∆ = 12

tient, 2 = 0¯+−

¯= |00| +− = 00 et on observe expérimen-

talement

+− = (2274± 0027)× 10−3 +− = 446± 1200 = (229± 004)× 10−3 00 = 55± 6

ou

0≤ 002

H Remarque H

Remarque 8.7iLa violation pourrait être bientôt observée dans des systèmes de 0 (voir référencesur expérience BaBar au SLAC). Pour le moment, les seules évidences expérimentalesviennent des systèmes0 − 0

i

Implications cosmologiques

La violation a des implications cosmologiques. Elle peut servir à expliquer le rapportd’abondance de baryons versus abondance de photons observé dans l’Univers. Celui-ci estd’environ

= 10−9±1

Mais dans les premiers instants suivant le Big Bang (à un temps correspondant à lamasse du proton), on pense qu’il y aurait eu équilibre entre baryons, antibaryons et photonspuisque le processus dominant à ce moment est la création/destruction de paires particules-antiparticules et donc

− =

201


À mesure que l’Univers refroidit, les paires baryon-antibaryon peuvent continuer de s’anni-hiler mais leur création s’arrête, les photons n’ayant plus suffisamment d’énergie pour lesproduire. Il reste des baryons dans une proportion

= 10−18

Deux problèmes se posent alors :I L’abondance de baryons est beaucoup plus grande que prévue.I L’Univers semble dominé par la matière (aucun rayon cosmique formé d’antimatière

donc pas d’antimatière dans notre galaxie et aucun signe de productions de rayons-X pouvantprovenir de la rencontre d’une galaxie avec une anti-galaxie).

Ce déséquilibre matière-antimatière peut toutefois s’expliquer par une violation puisquecelle-ci implique que la matière et l’antimatière ont des interactions différentes.

L’origine de la violation reste néanmoins un mystère pour le moment.

202


8.10 Exercices

8.1. Largeur de désintégration du 0

On observe une largeur totale de désintégration du 0 de 2490± 7MeV qui provient des largeurspartielles de désintégration suivantes

paires lepton-antilepton chargés 84MeVhadronique totale 1741± 6MeV

Par ailleurs, plusieurs modes de désintégration contribuent à cette quantité et le modèle standardprédit des largeurs partielles

chaque paire de quark-antiquark = 23

296MeVchaque paire de quark-antiquark = − 1

3382MeV

chaque paire de neutrino-antineutrino 166MeV

Vérifier que les prédictions et les observations peuvent être en accord. En supposant que les prédic-tions du modèle standard sont correctes, que peut-on en conclure ?

8.2. Courants chargés ou neutresClassifier ces réactions suivant qu’elles ont des courants chargés ou neutres :

(a) + → +

(b) + → + +

(c) + + − → +

(d) − + → + + + + −

8.3. Matrice CKMAu Fermilab et au LEP2, des bosons peuvent être produits. En utilisant la matrice CKM, calculerles rapports de branchement du + en paires quark-antiquark et en lepton-antilepton, c’est-à-dire, , · · · , +, · · · etc. La somme des rapports de branchement devrait être 1 . (Rappel : lesrapports de branchement → sont d’environ 67%).

8.4. L’interaction faibleL’interaction faible est rendue possible par l’échange de ± et 0 Étant donné que la masse du± est de 80 GeV, estimez la portée de l’interaction faible et comparez-la aux dimensions typiqued’un nucléon. Décrivez les conséquences que cela implique sur la désintégration d’un nucléon.

203

INTERACTIONS FORTES (QCD)Chapitre 9

9.1 Chromodynamique quantique205

9.2 Liberté asymptotique etconfinement . . . . . . . . . . . . . . . . . . .207

9.3 Diffusion − . . . . . . . . . . . . . 2099.4 Invariance d’échelle . . . . . . . . . 2109.5 Modèle des partons . . . . . . . . . 2119.6 Annihilation +− . . . . . . . . . . . 2139.7 Diffusion − . . . . . . . . . . . . . 2149.8 Modèle des quarks-partons et

fonctions de structure . . . . . . . . . 2159.9 Collisions hadron-hadron . . . . 2179.10 Violation d’échelle . . . . . . . . . 2189.11 Existence des quarks . . . . . . 2189.12 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

Le modèle des quarks basé sur le groupe de symétrie interne (3) des saveurs quipermet une classification correcte des hadrons observés. D’ailleurs, à l’origine, les quarksne sont alors que des abstractions mathématiques et non des particules physiques. Puis, lanotion de couleur est alors introduite pour distinguer les états de quarks dans certains hadronscomme le ∆++ qui autrement violeraient le principe d’exclusion de Pauli (voir chapitre 6).La couleur est basée, elle aussi, sur un groupe (3) distinct de celui de la saveur. Ici nousle désignerons par (3), où l’indice se rapporte à la couleur. Cependant, comme nous leverrons dans ce chapitre, la théorie des interactions fortes élève la notion de couleur du rôled’étiquette à celui de charge (colorée) et comme c’est le cas des charges électrique et faible,la couleur sera partie prenante de la dynamique des particules, les quarks ici.

La théorie qui décrit les interactions fortes dans le cadre du Modèle Standard est la chro-modynamique quantique (QCD). Même si cette théorie n’a pas été aussi testée bien que QED,elle est en accord avec plusieurs résultats expérimentaux et n’a jamais été contredite. Une dessimilarités entre la QED et la QCD est l’existence, dans les deux cas, de bosons d’interac-tion de spin 1 couplés avec les charges qui sont conservées dans ces interactions. Ces deuxthéories sont des théories de jauge en ce sens qu’elles sont invariantes par rapport à un certaintype de transformations : les transformations de jauge locales. Pour QED, il existe un seultype de boson de jauge (le photon) alors qu’il en existe huit pour la QCD (les gluons). Lesgluons ont une charge électrique nulle mais sont couplés à tout autre objet ayant une chargede couleur alors que pour le photon, le couplage passe par la charge électrique. L’interactionforte est la même pour toutes les saveurs de quarks ( ) puisque ces derniers existentdans les mêmes trois états de couleur ( ). Il en découle que la symétrie d’isospinest préservée (puisque les quarks et ont approximativement la même masse), et qu’il ya égalité des potentiels d’interactions fortes dans le charmonium (état lié ) et le bottonium(état lié ).

La première partie de ce chapitre décrit QCD alors que le reste du chapitre porte surses tentatives de vérifications expérimentales. L’existence des quarks peut être démontréeindirectement à l’aide d’expériences qui consistent à bombarder les nucléons de leptons pouren sonder la structure. Plus la longueur d’onde du lepton est petite (plus son énergie estgrande), plus il est possible de voir des détails fins de la structure interne du nucléon. Lesréactions qui nous intéressent sont inélastiques, c’est-à-dire que les particules initiales etfinales ne sont pas les mêmes. Le diamètre du proton étant d’environ 10−15 m, la sonde doitavoir une énergie au moins de l’ordre du GeV et préférablement aussi grande que possible.

9.1 Chromodynamique quantique

La structure de jauge de cette théorie est basée sur le groupe (3). Il y a 8 champs dejauge — un par générateur de (3) — qui sont associés à la représentation adjointe de(3) : on les représentera par les

( = 1 2 3), les champs de gluons.Pour obtenir, une forme invariante de jauge on doit remplacer la dérivée pour la dérivée

covariante pour cette théorie est

() = +

où est la constante de couplage des interactions fortes et sont les générateurs de (3)

205

INTERACTIONS FORTES (QCD)C h a p i t r e 9

avec = 1 2 38 et les indices sont des indices de couleurs des quarks.

Les seuls fermions à interagir fortement sont les quarks, représentés par les champs .Ils ont les mêmes interactions fortes quelle que soit leur saveur .

Les quarks forment des triplets de couleur correspondant à la représentation fondamentalede (3) donc prennent les valeurs 1 2 3 ou

Le lagrangien pour cette théorie s’écrit

L =

³ () −

´ −

1

4

= ( −) −

−

1

4

où =

−

−

et = champ de quark de couleur et de saveur

Le premier terme de ce lagrangien permet de déduire la règle de Feynman suivantes pour lepropagateur du quark

p i i

−

Le deuxième terme décrit l’interaction quark-gluon

i

j

ij

aμ −

Le troisième terme du lagrangien,−14

, est une généralisation du lagrangien de QEDpour le groupe (3). On trouve un terme quadratique en champs de gluon reponsable dupropagateur du gluon

q aμ b −

2

³ − (1−)

2

´

Il est à noter que le groupe (3) est non-abélien (non-commutatif), si bien que la contri-bution

implique des interactions entre les bosons de jauge de (3) de type

gluon-gluon-gluon−2

¡

−

¢

206

C h a p i t r e 9Liberté asymptotique et confinement

aμ

b

c r

p

q

−³(− ) − ( − ) − ( − )

´et gluon-gluon-gluon-gluon

2

aμ

b c

d

−2 ( − )

−2 ( − )

−2 ( − )

9.2 Liberté asymptotique et confinement

Figure 9.1 JILes gluons peuvent être couplés à d’autres glu-ons conférant ainsi à la QCD un caractère nonlinéaire. Cette propriété est responsable de la lib-erté asymptotique.

La symétrie de jauge (3) n’est pas violée ou brisée d’aucune façon. Il n’existe doncaucun terme de masse pour les gluons dans le lagrangien de QCD. Puisque les gluons n’ontpas de masse, l’interaction forte a une portée infinie. Cela n’implique cependant pas que laforce entre les hadrons aient une grande portée. En effet, ces derniers ont une couleur résul-tante nulle. La force entre les hadrons sans couleur est le résidu de la force entre les quarks etdevient nulle lorsque la distance de séparation est grande par rapport aux dimensions du nu-cléon. Il est dès lors impossible de déterminer expérimentalement un potentiel d’interactionfortes à grande distance entre deux quarks, comme c’est le cas avec l’interaction électromag-nétique et le potentiel coulombien () = −

Une autre différence très importante entre la QED et la QCD est que le photon ne pos-sède pas de charge électrique alors que les gluons possèdent une charge de couleur. Par con-

207


séquent, les gluons peuvent être couplés à d’autres gluons conférant ainsi à l’interaction forteun caractère non linéaire (voir figure 9.1).

Figure 9.2 NLa diffusion quark-quark est dominée par le pro-cessus d’échange d’un seul gluon.

L’interaction gluon-gluon n’a pas d’analogue en QED et c’est ce qui explique des pro-priétés telles le confinement et la liberté asymptotique en QCD. Le confinement est une hy-pothèse voulant qu’on ne puisse pas observer d’états colorés dans la nature. Les gluons etles quarks ne peuvent pas exister isolés. Par ailleurs, la liberté asymptotique implique quel’interaction forte devienne de moins en moins importante à courte distance (haute énergie).Par ailleurs, plus on tente d’éloigner deux quarks, plus la force entre ces deux particulesredevient grande. À très courte distance, les quarks peuvent être considérés comme étant ap-proximativement libres. Pour des distances plus petites que 01 fm, ce sont les diagrammesd’ordres inférieurs qui dominent. Par exemple, la diffusion quark-quark peut être approchéepar l’échange d’un seul gluon (voir figure 9.2). À basse énergie, les diagrammes d’ordressupérieurs deviennent importants et il est impossible d’obtenir des résultats à l’aide de l’ap-proche perturbative.

Pour illustrer le confinement et la liberté asymptotique, utilisons l’exemple non relativistedu potentiel statique entre deux quarks () lourds.

q

0 500 1000 1500 2000

0 .3

0.25

0 .2

0.15

0 .1

0.05

0

s

Figure 9.3 NLa constante de couplage efficace pour les inter-actions fortes varie en fonction de l’échelle d’én-ergie .

Empiriquement, on observe que pour une faible distance de séparation ( 01 fm),l’interaction est dominée par le processus impliquant l’échange d’un seul gluon. Ainsi, ons’attend à ce que le potentiel soit de type coulombien (comme pour les processus dominéspar l’échange d’un seul photon en QED) :

() = −43

( 01 fm) (9.1)

où est la constante de couplage forte (sans dimension). De plus, à cause de la libertéasymptotique, la force de l’interaction () décroît à mesure que augmente.

Par ailleurs pour des distances relativement grandes, 01 fm, la constante de couplageaugmente plus rapidement et le potentiel devient approximativement linéaire :

() ' ( 01 fm) (9.2)

où est une constance de l’ordre de 1GeV fm−1 ne pouvant pas être calculée avec précision.Il s’agit d’un potentiel qui possède la propriété de confinement, c’est-à-dire qu’aucun quarkou gluon ne peut s’échapper seul d’un tel potentiel.

Il est possible de démontrer que, dans la limite perturbative (grande énergies), la sommedes interactions sont équivalentes la constante de couplage forte () par une constante decouplage efficace (

2) qui dépend de l’impulsion échangée (ou de la séparation des par-ticules). Pour un groupe de jauge () cette dépendance est donnée approximativementpar la relation

(2) =

12

(3 − 2 ) ln(2

Λ2)

(9.3)

pour 2 À Λ2, où = 3 est le nombre de saveurs ( ) remplissant la condition42

2 et Λ est un paramètre d’échelle devant être déterminé expérimentalement :

Λ = 200± 100 MeV (9.4)

La figure 9.3 montre le comportement de la fonction (9.3).Ce résultats est obtenu en analysant les processus au cours desquels une particule est

convertie durant un bref instant en deux ou plusieurs particules. C’est ce ce qu’on appelledes uctuations quantiques. La figure 9.4 montre des exemples de uctuations quantiquesprésentes en QED (voir aussi figure 7.8).

Figure 9.4 JIExemples de uctuations quantiques possibles enQED.

208

C h a p i t r e 9Diffusion −

Dans ce cas, il est possible de visualiser l’électron comme émettant et absorbant de façoncontinue non seulement des photons mais aussi des paires électron-positron (+−).

e+

e -

e -

e-

e -

e- e-

e+

e+

e+

e+

e+

e+

Figure 9.5 NPolarisation du vide en QED.

Ces contributions entraînent des corrections faibles mais mesurables appelées polarisationdu vide. Il y a en effet création d’un milieu diélectrique (composé de paires +−) polariséautour de l’électron (voir figure 9.5). Ce milieu diélectrique génère un effet d’écran autourde la charge. Plus on s’éloigne de l’électron, plus la charge perçue est petite. Le potentielefficace prend la forme

eff() =eff()

(9.5)

où eff = =1137

pour À ( = ~

= 39× 10−13).Il y a aussi des uctuations quantiques en QCD qui mènent à une variation de la force

d’interaction en fonction de la distance tel que (9.3). La création de paires quark-antiquarkautour d’un quark nu mène à un effet d’écran similaire à celui qu’on retrouve en QED. S’ils’agissait des seules uctuations des quarks, on observerait une diminution de la constantede couplage avec la distance. Cependant, il existe aussi des contributions amenées par l’in-teraction des gluons entre eux. La figure ?? comparée à la figure 7.8 illustre une partie descontributions additionnelles au couplage quark-gluon. Des calculs détaillés montrent que cescontributions mènent à un effet d’anti-écran causant une augmentation de la force d’inter-action à grande distance. En fait, les contributions des interactions gluon-gluon sont plusimportantes que celles causant un effet d’écran. L’effet total de ces deux effets serait le con-finement à grande distance. Notons qu’il n’existe pas de preuve formelle du confinement. Leconfinement est un effet non perturbatif et malgré que des méthodes numériques (ex. théoriede jauge sur réseau) nous permettent d’approcher cette limite les résultats ne sont pas con-cluants pour le moment. Par ailleurs, à courte distance, c’est-à-dire en régime perturbatif, laforce de l’interaction diminue et il y a donc “liberté asymptotique”.

Figure J.1 JILe premier diagramme est la contribution origi-nale au couplage. Le second est une des cor-rections d’ordre () alors que les autres dia-grammes contribuent tous à l’ordre (2) En ad-ditionnant toutes les corrections d’ordres supérieurs,on est en mesure de calculer le couplage efficacequark-gluon (voir éq.(9.3)).

Le confinement des quarks posent toutefois problème. Comment étudier et caractériserexpérimentalement les propriétés de l’interaction forte si on ne peut pas manipuler directe-ment les particules fondamentales qui portent cette interaction ? La seule avenue est de serésoudre à analyser des états liés de quarks et d’essayer d’en tirer le maximum d’informa-tions. Le reste du chapitre fait un survol des principales tentatives en ce sens.

9.3 Diffusion −

Lorsqu’un électron (−) est diffusé par un nucléon, c’est la force électromagnétique quiest la plus importante. Au cours de ce processus (appelé électro-production), c’est le dia-

209


gramme impliquant l’échange d’un seul photon virtuel () qui domine (voir figure 9.7). Ilfaut noter que des processus mettant en cause l’échange de plusieurs photons peuvent de-venir importants lorsque l’énergie de la particule incidente est très grande.

X

N

e

e

Figure 9.7 NDiagramme impliquant l’échange d’un photon virtuel() dans la diffusion − .

En laboratoire, on peut mesurer la section efficace de tels processus. Les variables encause sont l’énergie perdue par le lepton et son angle de diffusion. La première quantité, ,est définie par

= − (9.6)où est l’énergie initiale du lepton et son énergie finale. L’angle de diffusion est reliéà l’impulsion 2 portée par le photon virtuel,

2 = 2 (1− cos ) (9.7)

L’électrodynamique quantique (QED) décrit les interactions lepton-photon dans lesquellesle lepton est une particule ponctuelle (particule de Dirac). L’interaction photon-nucléon esttoutefois plus complexe puisque ce dernier possède une structure interne. Pour caractériserl’évolution de la structure du nucléon durant l’interaction, on utilise des fonctions de struc-ture dont la forme doit être déterminée expérimentalement. La section efficace différentiellepour la diffusion inélastique électron-proton est

2

2=424

[

2(

2 ) cos2

2+ 21(

2 ) sin2

2] (9.8)

où 1 et 2 sont les fonctions de structure, la masse du proton et la constante destructure fine (constante de couplage électromagnétique).

9.4 Invariance d’échelle

Notons tout d’abord que les fonctions de structure n’ont pas de dimension : ce sont sim-plement des nombres. Les sections efficaces de processus sont toujours fonction de la sec-tion efficace de Rutherford (voir équation (7.33)). Si les fonctions de structure dépendentdes quantités et 2, alors il doit exister d’autres quantités pour annuler leur dimension demanière à ce que les fonctions de structure soient des nombres. Pour un processus de diffu-sion à basse énergie (2 = 2 ), le photon voit le nucléon ( ) comme un objet étendu(non-composite) et la fonction de structure décrit essentiellement la distribution spatiale desa charge électrique,

2=424

(2

2

) (9.9)

On dit alors que la masse du nucléon ( ) fixe l’échelle de la réaction à partir de laquellel’inuence de l’impulsion photonique (2) est mesurée.

Pour des processus inélastiques (hautes énergies : 2 → ∞), la longueur d’onde duphoton est tellement petite que l’existence du nucléon au complet n’est pas importante. Eneffet, le photon n’interagit alors qu’avec une faible partie du centre de diffusion. Il n’existealors aucune raison valable d’utiliser comme échelle énergétique de la réaction. L’idéeest alors la suivante : si les fonctions de structure reètent le fait que la section efficacedépend de la structure du nucléon vu par un photon pour lequel et 2 sont très grands,et s’il n’existe pas d’échelle de masse pour annuler la dimension de ces quantités, alors lesfonctions de structure doivent dépendre d’un paramètre sans dimension qui est un rapportentre et 2. Appelons cette quantité et définissons-la de manière à ce qu’elle soit uninvariant de Lorentz :

=2

2

(0 1) (9.10)

L’hypothèse d’invariance d’échelle proposé par J.D. Bjorken consiste à dire que pour 2 →∞, 1 et 2 sont fonction de et non des quantités 2 et séparément :

12 (

2 ) −→2→∞

12 () (9.11)

Puisqu’à très haute énergie, la structure ne dépend d’aucune échelle de masse, d’énergie ou

210

C h a p i t r e 9Modèle des partons

de grandeur caractéristique, elle est assimilable à une structure ponctuelle.

H Remarque H

Remarque 9.1iSi une particule ponctuelle n’a aucune structure ou échelle de grandeur ou de masse,cela implique qu’une sonde verra toujours cette particule de la même façon quelque soitl’énergie ou la profondeur à laquelle on sonde

12 (

2) est indépendant de 2

i

9.5 Modèle des partons

Le modèle

C’est R.P. Feynman qui a eu l’idée de décrire le nucléon comme un objet constitué d’élé-ments composites appelés partons. La nature de ces entités doit être déterminée en labo-ratoire. Des expériences ont démontré que les partons sont étroitement reliés aux quarks.Cependant, il serait faux de prétendre que seulement trois quarks peuvent décrire la compo-sition du nucléon. Par exemple, en plus des quarks de valence composant le proton, il peutexister une “mer” de quarks constituée de paires quark-antiquark () dont l’existence estpermise par le principe d’incertitude de Heisenberg. Notons que cette “mer” de particules nepeut pas avoir d’inuence sur les nombres quantiques du nucléon puisque ceux-ci sont déter-minés par les quarks de valence. On retrouve aussi dans le nucléon les particules responsablesdes forces inter-quark, les gluons.

P

q pi

pf

xP

Figure 9.8 NDynamique d’une collision dans le cadre dumodèle des partons. Le photon virtuel d’impulsion entre en collision avec un parton qui porte unefraction de l’impulsion du nucléon .

Dans le modèle original des partons, les constituants du nucléon sont des particulesponctuelles, sans masse et libres. Considérons donc la diffusion d’un photon de très haute én-ergie par une charge ponctuelle ; on peut alors se référer au traitement décrit dans le chapitre7 portant sur le interactions électromagnétiques. La variable représente la fraction de l’im-pulsion totale du nucléon portée par le parton interagissant avec le photon. Par conséquent,les fonctions de structure caractérisent la distribution de l’impulsion entre les partons du nu-cléon.

La figure 9.8 illustre la dynamique des partons dans une collision électron-nucléon ( ).Le photon virtuel d’impulsion entre en collision avec un parton qui porte une fraction del’impulsion du nucléon. Puisque les partons n’ont pas de masse, l’impulsion doit obéir à larelation

( + )2 = 0 (9.12)d’où

2 2 + 2 + 2 · = 0Mais à très haute énergie 2 2 = 22

¿ 2 et il en découle que

= − 2

2 · =2

2avec 0 ≤ ≤ 1

puisque dans le référentiel du laboratoire · = −. La variable d’échelle définie parBjorken correspond donc à la fraction d’impulsion portée par le parton ; une définition, il fauten convenir, beaucoup plus intuitive.

211


Nature ponctuelle des partons

La figure 9.9 montre un exemple de fonction de structure. On remarque qu’une grandepartie des collisions se produisent avec les partons qui transportent une faible fraction de l’im-pulsion totale. Pour sa part, la figure 9.10 montre une courbe qui supporte l’hypothèse d’in-variance d’échelle. Rappelons que les fonctions de structure élastiques d’un proton ponctuel(particule de Dirac) sont

(2) = 1 (

2) = 1 (9.13)Il y a donc invariance d’échelle (invariance par les transformations du type 2 → 2) évi-dente dans le cas d’une particule ponctuelle. L’invariance d’échelle à haute énergie dans le casd’une collision inélastique lepton-nucléon rend plausible l’existence de particules ponctuelles(les partons) à l’intérieur du nucléon.

Figure 9.9 JILa dépendance de la fonction de structure 2( 2)en fonction de la variable à = 2 GeV.

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

x

F(x,q2)

Spin des partons

Si les partons avaient un spin nul ( = 0), on devrait trouver expérimentalement

1(2) = 0 (9.14)

alors que pour un spin 12

, la relation de Callan-Gross devrait être satisfaite,

21() = 2() (9.15)

Il a été démontré en laboratoire que le rapport 212

est très près de l’unité. On en déduit queles partons chargés possèdent bien un spin de 1

2(comme les quarks).

Figure 9.10 JILa dépendance de la fonction de structure du pro-ton 2(

2) en fonction de la variable d’échelle2 (résultats expérimentaux de diverses sources).En première approximation, il y a invariance d’échelle,c’est-à-dire 2(

2) est pratiquement constantpour une grande région de 2.

0

2

4

6

8

10

0.1 1 10 100 1000 10000

x = 0.0075

x = 0.0042

x = 0.0024

x = 0.0013

x = 0.00082

x = 0.00075

x = 0.00056

x = 0.00038

x = 0.00026

x = 0.00018

F 2(x

, q2 )

+ c(

x)

q2 (GeV2 )

x = 0.13

x = 0.075

x = 0.042

x = 0.024

x = 0.013

212

C h a p i t r e 9Annihilation +−

De façon générale, on peut dire que les fonctions de structure caractérisent la distributionde charge dans le nucléon. À basse énergie (cas non relativiste), il est acceptable de considérerla charge du proton comme étant distribuée uniformément à travers le volume de ce dernier. Àhaute énergie, il faut considérer que l’impulsion du nucléon est distribuée parmi un ensemblede partons. Disons que le i parton, possédant une charge , a une probabilité ()

de transporter une fraction de l’impulsion totale. Alors, les fonctions de structure peuvents’écrire :

1 () =

X=partons

()2 (9.16)

2 () = 2

X=partons

()2 (9.17)

d’où il s’ensuit que la charge totale du nucléon satisfait la relationZ 1

0

2()

=

X

2 (9.18)

9.6 Annihilation +−

Réexaminons de nouveau la réaction

+ + − → hadrons (9.19)

lorsque l’énergie dans le centre de masse ( = 2) est entre 15 et 40GeV. Comme nousl’avons déjà vu, ce type de réaction permet de mettre en évidence l’existence de la couleur.Elle s’avère aussi une des manifestations les plus claires de la présence des gluons.

Événement à deux jets

e+e-

q

q

Figure 9.11 NÉvénement à deux jets : L’électron et le positrons’annihilent pour produire une paire quark-antiquark.Puis un processus de fragmentation (recombinai-son des quarks en états liés) s’enclenche avecle résultat final que les hadrons produits sont re-groupés pour former deux jets.

Le processus dominant dans la production de hadrons est représenté à la figure 6.12 . Ilgénère ce qu’on appelle un événement à deux jets illustré à la figure 9.11. La production dehadrons passe par deux étapes dans ce cas : (1) le processus électromagnétique

+ + − → + (9.20)

qui mène à la production d’une paire quark-antiquark, (2) la fragmentation, un processus im-pliquant l’interaction forte qui convertit la paire hautement énergétique en deux jets dehadrons émis dans des directions opposées dans le référentiel du centre de masse (conserva-tion de l’impulsion).

Le processus de fragmentation est très compliqué et la composition des jets (nombre ettype de particules, impulsions) varie d’un événement à l’autre. Cependant, la direction d’unjet, qui est déterminée par la conservation de l’impulsion,

P =X

p (9.21)

reète la direction des quarks parents et . La raison est qu’à courte distance l’interactionentre les quarks est très faible (liberté asymptotique). En fait, le couplage fort devient appré-ciable seulement lorsque les particules et sont séparées d’une distance de l’ordre de 1 fm,ce qui correspond à une énergie de 200MeV. Il s’agit d’une échelle d’énergie beaucoup pluspetite que l’énergie des quarks produits initialement. Les jets pointent donc exactement dansla direction des quarks produits puisque la fragmentation n’affecte pratiquement pas l’impul-sion globale transportée par les jets. Comme dans le cas de la diffusion ++− → ++−,on trouve expérimentalement que la distribution angulaire des jets a la forme

cos ∝ (1 + cos2 ) (9.22)

213


ce qui reète bien la direction des quarks lors de leur production.

Événement à trois jets

e+

q

q

q

e-

g

Figure 9.12 NÉvénement à trois jets : L’électron et le positrons’annihilent pour produire une paire quark-antiquarksuivi de l’émission d’un gluon. Après fragmenta-tion (recombinaison des quarks et gluon en étatsliés), les hadrons produits sont regroupés pourformer trois jets orientés dans la direction origi-nale des quarks et gluon.

L’événement dominant pour le processus d’annihilation +− en hadrons est la formationde deux jets émis dans des directions opposées (référentiel du centre de masse). Lors de lafragmentation, il est possible qu’un gluon de haute énergie soit émis à un angle quelconquepar le quark ou l’antiquark. Il y a alors formation d’un événement à trois jets. La détection dece type d’événement (voir figure 9.12) fournit un bon indice de l’existence du gluon de spin1 prévu par la QCD. La probabilité d’émission d’un gluon est déterminée par la constantede couplage forte, . La fraction d’événements à trois jets observée peut être utilisée pourdéterminer cette quantité. Pour = 30− 40 GeV, on trouve expérimentalement que

= 015± 003 (9.23)

Cette contribution est aussi responsable de la correction d’ordre au rapport

≡ (+− → hadrons)(+− → +−)

(9.24)

= (1 +

)

P=quarks

2

2(9.25)

tel que discuté à la section 4.3.

9.7 Diffusion −

X

N

W

Figure 9.13 NDiffusion inélastique neutrino (antineutrino)-nucléonpar l’échange d’un boson d’interaction faible

Dans le cadre de la diffusion inélastique neutrino (antineutrino)-nucléon, c’est le bosond’interaction faible ± qui sonde la charge faible du nucléon (voir figure 9.13). Ce typed’interaction permet de distinguer les partons des antipartons et ce puisque, dans le cadre desinteractions faibles, les particules d’hélicités différentes sont affectées différemment. Dans lalimite relativiste (on peut alors négliger la masse des particules), les partons et antipartons ontdes hélicités différentes de sorte qu’ils interagissent différemment avec les bosons ±. Deplus, puisque les ± sont chargés électriquement, le parton cible doit être en mesure d’ab-sorber la charge. En fait, les sondes faibles sont plus sélectives et permettent une descriptionplus détaillée de l’intérieur de nucléon. Cependant, il faut noter que la réalisation d’expéri-ences impliquant des neutrinos, à cause de la nature même de ces particules, est beaucoupplus difficile que celles impliquant des photons.

Section efficace

La section efficace différentielle pour la diffusion (anti)neutrino-nucléon a la forme

2

2=

22

()

½2

1 (2 ) sin2

2+

2 (2 ) cos2

2

± 3 (

2 ) +()

sin2

2

¾(9.26)

où est la constante de Fermi, l’énergie de la particule et l’angle de diffusion dumuon () final. Puisque l’interaction faible ne conserve pas la parité, cette symétrie ne peutpas être utilisée pour simplifier le problème. C’est pour cette raison qu’il est nécessaire d’in-troduire une troisième fonction de structure,

3 . Le signe devant cette fonction dépend dufait que la diffusion implique un neutrino ou un antineutrino. Il s’agit d’une manifestation du

214

C h a p i t r e 9Modèle des quarks-partons et fonctions de structure

fait que les interactions faibles distinguent la matière de l’antimatière. Notez que les quantités2 et n’entrent dans l’expression (9.26) que par l’intermédiaire des fonctions de structure.

Invariance d’échelle

L’hypothèse d’invariance d’échelle à haute énergie présentée pour l’interaction électro-magnétique est aussi valide pour l’interaction faible :

123(

2 ) −→2→∞

123() (9.27)

où est définie comme en (9.10). Les fonctions de structure peuvent être mesurées à partirde l’expérience et leur forme est sensiblement la même que dans le cas électromagnétique.Cependant, puisque la mesure des paramètres relatifs à un faisceau de neutrinos est moinsprécise, les incertitudes expérimentales sont beaucoup plus importantes.

L’expression (9.26) ne dépendant des quantités 2 et qu’à travers les fonctions de struc-ture, il est possible (en utilisant l’hypothèse d’invariance d’échelle) d’éliminer cette dépen-dance. La section efficace totale devient alors

() =

Z2

22 ∝ 2()

(9.28)

En se basant sur l’invariance d’échelle, il est donc possible de prédire que la section efficace

E

Figure 9.14 NSection efficace totale en fonction de l’énergie pourla diffusion −

(9.28) est une fonction linéaire de l’énergie du neutrino ou de l’antineutrino. À cause dusigne devant

3 , la pente de cette droite sera différente pour la particule et l’antiparticule(voir figure 9.14) par un facteur d’environ 3. Pour en comprendre la raison, rappelons quepuisque sa masse est nulle, le neutrino ne peut exister que dans un état d’hélicité gauche(et les antineutrinos dans un état d’hélicité droite). De plus, négligeant leur masse (limiterelativiste), les partons (de spin 1

2) sont alors d’hélicité gauche. Lors d’une collision neutrino-

parton, les spins s’additionnent pour donner 0. Il n’y a alors aucune restriction sur l’angle dediffusion de la particule finale (le muon). Cependant, lorsque le parton cible est couplé avecun antineutrino, le moment cinétique résultant est non nul, ce qui introduit une restriction surles angles de diffusion possibles de la particule finale. La section efficace parton-antineutrinoest donc réduite par rapport à celle impliquant un neutrino et un parton puisque l’intégrationsur 2 effectuée pour obtenir la section efficace totale équivaut à une intégration sur l’anglede diffusion (voir (9.7)). Il est important de se rappeler que dans le nucléon il y a plus departons que d’antipartons.

9.8 Modèle des quarks-partons et fonctionsde structure

Comparons maintenant la structure interne du nucléon vue par les sondes électromagné-tiques () et par les sondes faibles ( ). Pour ce faire, supposons que les partons soient desquarks.

Dans le modèle des quarks à quatre saveurs, on retrouve les degrés de liberté :

( =2

3) ( = −1

3) ( = −1

3) ( =

2

3) (9.29)

En tenant compte de la présence de quarks et d’antiquarks, on peut écrire la fonction de

215


structure du proton comme

1 () =

X=partons

()2

=

∙(2

3)2(() + ()) + (

1

3)2(() + ())

+ (1

3)2(() + ()) + (

2

3)2(() + ())

¸ (9.30)

La fonction de structure 2 est alors trouvée en appliquant la relation de Callan-Gross.soit

21() = 2() (9.31)

Les fonctions de structure du neutron sont pour leur part obtenues en faisant la modification()←→ (). Les distributions de partons sont illustrées à la figure 9.15

La fraction d’impulsion totale transportée par une variété de quarks est obtenue par inté-gration sur sa distribution d’impulsion. Par exemple, la fraction d’impulsion totale transportéepar les quarks et antiquarks et est

=

Z 1

0

(() + ()) (9.32)

On note par ailleurs que l’impulsion totale portée par les quarks est reliée à la fonction destructure

2 ()

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

x

x fu(x)

x fd(x)

x fs(x)

Figure 9.15 NDistributions de partons (quarks et ) dansle proton en fonctions de pour = 2 GeV. Lesquarks et dominent.

Expérimentalement, on trouve :Z2 () = (

4

9 +

1

9 +

1

9 +

4

9) = 018 (9.33)Z

2 () = (

1

9 +

4

9 +

1

9 +

4

9) = 018 (9.34)

Négligeant l’impulsion transportée par les quarks et , on a

= 036 = 018 (9.35)

pour un total de + = 054

Notons que la fraction d’impulsion transportée par le quark est deux fois plus grande quecelle transportée par le quark , ce qui supporte le modèle des quarks dans lequel = ().On note aussi que les quarks ne transportent environ que la moitié de l’impulsion totale duproton. Le reste de l’impulsion provient des gluons (sans charge électrique) qui sont invisiblesà la sonde électromagnétique qu’est le photon.

Les mesures effectuées à l’aide d’une sonde électromagnétique (le photon) permettentde mettre en évidence l’existence de particules ponctuelles à l’intérieur du nucléon. Cepen-dant, pour séparer la distribution des quarks et des antiquarks, il faut mesurer des sectionsefficaces de diffusion impliquant des sondes faibles par l’intermédiaire de diffusions inélas-tiques impliquant des neutrinos et des antineutrinos. Considérons une région ( 03) oùla présence d’une “mer” quark-antiquark dans le nucléon peut être approximativement nég-ligée. Les seules fonctions à considérer sont alors () et () associées aux quarks devalence. Les fonctions de structure obtenues expérimentalement prennent la forme

2 = ()

2 = () (9.36)

Les réactions + → − + (9.37)

et + → + + (9.38)

sont permises alors que des réactions hypothétiques telles que

+ → + + (9.39)

et + → − + (9.40)

216

C h a p i t r e 9Collisions hadron-hadron

ne le sont pas (conservation du nombre muonique). Par conséquent, les neutrinos peuventêtre diffusés par des quarks mais pas par des quarks . Pour leur part, les antineutrinos nepeuvent être diffusés que par des quarks . C’est pour cette raison que les neutrinos et lesantineutrinos sont des outils idéaux pour séparer la contribution des quarks et .

Les distributions en quarks du neutron versus celles du proton sont obtenues par l’échange ←→ . Rappelons que les fonctions de structure du neutron sont

2 = 2() + 2() (9.41)

et 2 () = ()

2 = () (9.42)On peut alors démontrer que

2 () +

2 ()

2 () +

2 ()=

2 + 22

=5

18 (9.43)

Ce résultat, qui a été confirmé expérimentalement, permet d’identifier la charge des partonsà celle des quarks.

9.9 Collisions hadron-hadron

Le modèle des partons procure une méthode intuitive pour l’analyse des collisions dehadrons. QCD permet de calculer les sections efficaces des processus impliquant des partons(quarks et gluons) qu’il faut ensuite pondérer par la probabilité de trouver les partons dansles hadrons.

Considérons le processus+ → + (9.44)

où sont des hadrons, un parton et représente le reste des produits de la réaction.Dans le cadre du modèle des partons, la collision intervient au niveau d’un sous-processusimpliquant des particules fondamentales (voir figure 9.16). Le parton sort du hadron avecune fraction de l’impulsion et une probabilité définie par la distribution (). De lamême façon, le parton sort du hadron avec une fraction de l’impulsion et une prob-abilité définie par la distribution (). Les partons et interagissent ensuite suivant lesinteractions définies par le modèle théorique.

Figure 9.16 JISchéma de la réaction + → + via le sous-processus impliquant des partons + → + .a

b

c

d

i

j

À cette étape, il est possible de calculer la section efficace b( + → + ) du sous-processus

+ → + (9.45)La section efficace de la collision est obtenue en faisant la convolution de la section efficacedu sous-processus et des distributions de partons

(+ → +) =X

=partons

Z

()

Z

()b(+ → + ) (9.46)

217


H Exemple H

Exemple 9.1Processus de Drell-Yan dans : :La production de paire de leptons chargés est dominée par l’annihilation de paires de quark-antiquark, échange d’un photon virtuel et finalement production d’une paire de lepton-antileptonchargés

+ → ++

− (9.47)

QED mène à la section efficace différentielle suivante

( → +−)2

=4234

2 (

2 −2) (9.48)

où est la charge du quark , est l’impulsion du photon virtuel (ou l’impulsion totale des pairesquark-antiquark et lepton-antilepton) et est la masse invariante de la paire lepton-antilepton. Pourles proton et antiproton ayant une impulsion et respectivement,

2= ( + )

2

=2 +

2

2+ 2 ·

=2 +

2

2+

'

où est la masse du proton, 2 = 2

= 2. Dans une collision à haute énergie, la variablede Mandelstam = 2 · À 2. Finalement dans le cadre du modèle standard où les quarksapparaissent sous différentes saveurs et couleurs,

(→ +−)2

=4232

=saveurs,

couleurs

2

()

()( − 2

) (9.49)

9.10 Violation d’échelle

Contrairement aux partons du modèle des partons original, les quarks et les gluons nesont pas des particules libres. Cependant, à hautes énergies, il est possible d’utiliser le cal-cul perturbatif pour QCD puisque dans ce régime, la constante de couplage est relativementpetite. C’est grâce à ces corrections radiatives qu’on introduit des interactions au modèle despartons original. Mais comme nous l’avons vu plus haut, l’amplitude de l’interaction forte estproportionnelle au couplage efficace entre quarks et gluons, (2) et donc dépend de 2,c’est-à-dire de l’échelle d’énergie, autrement dit de la distance. Ainsi, on prédit des violationsde l’invariance d’échelle des fonctions de distributions.

12() −→corrections radiatives

12( 2)

Cette violation est toutefois très faible car la variation des fonctions de distribution est typ-iquement logarithmique. La prédiction théorique qui décrit cette évolution des fonctions dedistributions en fonction de 2 se retrouve sous le nom d’équations d’Altarelli-Parisi-Lipatov-Gribov. Elle permet d’expliquer les résultats expérimentaux tel que ceux de la figure 9.10 avecsuccès.

9.11 Existence des quarks

À l’aide d’expériences impliquant des diffusions inélastiques lepton-nucléon, il est doncpossible de confirmer indirectement l’existence des quarks et des gluons :

1. L’invariance d’échelle des sections efficaces semble confirmer que les partons sont desparticules ponctuelles.

218

C h a p i t r e 9Existence des quarks

2. Le rapport 1

2

trouvé expérimentalement supporte l’hypothèse que ces derniers soient

des particules de spin 12

.

3. La comparaison des fonctions de structure pour la diffusion d’électrons et de neutrinosmontre que les partons ont une charge fractionnaire.

4. Finalement, les événements à trois jets sont des évidences en faveur de l’existence desgluons.

Ces résultats confirment que les partons chargés sont en fait des quarks. Rappelons aussique l’impulsion du nucléon est non seulement transportée par les trois quarks de valence maisaussi par les gluons.

219


9.12 Exercices

9.1. Densités de quarksLes densités de quarks dans un proton () et (), où est la fraction de momentum portée parles quarks, sont paramétrées comme suit () = 2() = (1− ) Le modèle des partons— les partons sont des constituents de masse nulle, c’est à dire ici les quarks et — préditque la section efficace proton-proton → est reliée à la section efficace du sous-processus → par

(→ ) =

=

1

0

1

0

()() ( → )

où et sont les partons. () porte la fraction () du momentum du proton dont ilest issu.

(a) Écrire les variables en fonction de et et démontrer que = = =

dans la limite des hautes énergies. Les variables sont définies en utilisant les substitutionssuivantes

1 → 1 2 → 2 3 → 3 4 → 4dans la définition des variables de Mandelstam

(b) Calculer (→ ) en fonction de pour le sous-processus suivant → :

(→ ) =

92 + 22

9.2. Diagrammes de FeynmanDessiner les diagrammes de Feynman pour les réactions suivantes en tenant compte du contenuen quark, lepton et boson de chaque particule et identifier le type d’interaction en jeu (la forcedominante).

(a) − + → − +

(b) + + − → +

(c) − + → +

(d) + → + + +

220

UNIFICATION DES FORCESChapitre 10

10.1 Divergences et renormalisabilité221

10.2 Au-delà du modèle standard 22210.3 Grande unification . . . . . . . . . 22510.4 Technicouleur . . . . . . . . . . . . . . 23210.5 Modèles composites . . . . . . . 23310.6 Supersymétrie (SUSY) . . . . . 23410.7 Gravité quantique . . . . . . . . . . 23610.8 Supercordes . . . . . . . . . . . . . . . 238

Les interactions faible, électromagnétique et forte sont toutes trois basées sur des symétriesde jauge locales. Cette similarité suggère qu’il existe peut-être un schéma théorique qui en-globerait ces trois forces sous une description unique. Cette hypothèse que toutes les forcesde la nature ne sont que des manifestations différentes d’une seule et même force est appeléel’unification.

10.1 Divergences et renormalisabilité

Nous avons passé sous silence une propriété importante des théories de jauge : la renor-malisabilité. Les corrections radiatives en QED de même que celles des interactions faibleset fortes génèrent en général des divergences. Elles proviennent des calculs de boucles telsque ceux de la figure 7.8.

Figure J.1 JIQuelques exemples de diagrammes de Feynmanillustrant des processus avec échange de pho-tons virtuels et boucles de fermions.

Plus précisément, une particule à l’intérieur d’une boucle dans un diagramme de Feyn-man peut posséder n’importe quelle valeur d’énergie-impulsion et le calcul des correctionsradiatives associées à cette boucle implique une intégration sur toutes les valeurs possiblesc’est-à-dire des intégrales de la forme Z

4 ()

Très souvent, cette intégrale diverge.On peut penser que dans le cas où cette intégrale diverge, les calculs perturbatifs ne sont

plus valides et toute prédiction est impossible. Toutefois, il est possible de la régulariser (laremplacer par un intégrale régulière). Plusieurs méthodes sont utilisées, dont la régularisationde Pauli-Villars, qui consiste à introduire une coupure dans la région d’intégration (l’énergie-impulsion n’est intégrée que jusqu’à une échelle Λ par exemple)Z

4 ()→ limΛ→∞

Z Λ0

3 ()

et la régularisation dimensionnelle qui consiste à intégrer sur dimension d’espace-tempsau lieu de 4 Z

4 ()→Z

()

221

UNIFICATION DES FORCESC h a p i t r e 10

Quoi qu’il en soit, suivant la forme de la fonction (), on obtient divers degrés de divergenceque l’on catégorise de la façon suivante :

Z4 ()→ lim

Λ→∞

Z Λ0

3 () ∼

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1 finilnΛ logarithmiqueΛ linéaireΛ2 quadratique

Les divergences sont toutefois contrôlables ou renormalisables en QED et pour certainstypes de théories dont les théories de jauge non abéliennes. Plus précisément, les divergencesapparaissent de façon systématique à tous les ordres de perturbation (pour tout nombre deboucles) mais elles peuvent être éliminées en ajoutant un nombre fini de contre-termes biendéfinis qui ont des divergences analogues de signe opposé. Les termes divergents s’annulentà chaque ordre (c’est-à-dire nombre de boucles) pour donner un résultat fini.

La procédure peut sembler injustifiée mais elle est appuyée par une interprétation physiqueintuitive. La région d’intégration qui génère la divergence est la région dite ultraviolettec’est-à-dire l’échelle d’énergie-impulsion arbitrairement grande ou de dimension spatialearbitrairement petite. Or, c’est précisément une région à laquelle nous n’avons pas accèsexpérimentalement. On peut donc présumer que la théorie perturbative ne décrit pas con-venablement cette région. Cependant, quoiqu’il se passe dans cette région, il reste possiblede calculer une quantité physique si elle correspond à la différence d’une quantité évaluéeà deux échelles d’énergie-impulsion finie. Les divergences s’annulant, la quantité physiqueest finie. Autrement dit, la quantité physique qui nous intéresse ne dépend pas de la régionultraviolette d’où les divergences proviennent. Mais un des résultats les plus importants dela renormalisation consiste à permettre de calculer l’évolution des quantités en fonction del’échelle d’énergie ou de distance. Par exemple, la force des couplages (les couplages ef-ficaces) varie en fonction de la distance mais les corrections radiatives effectuées dans lecadre d’une théorie renormalisable nous permettent de prédire ces couplages à l’échelle denotre choix. Dans ce cas particulier, on peut interpréter l’évolution du couplage comme uneffet d’écran (ou anti-écran selon le cas) dû aux particules virtuelles qui sont continuellementémises et réabsorbées dans un processus quantique (voir discussion à la page 207).

Les théories renormalisables sont caractérisées par des constantes de couplages adimen-sionnelles. La théorie des interactions faibles de Fermi et la gravité quantique ont toutes deuxune constante de couplage dimensionnelle (la constante de Fermi et la constante de New-ton respectivement) et ne sont pas renormalisables. Par opposition, le modèle standardbasé sur le groupe de jauge non abélien (3) ⊗ (2) ⊗ (1) est une théorie renor-malisable malgré la brisure spontanée de symétrie électrofaible. La preuve que cette brisuren’affecte pas la renormalisabilité de la théorie a d’ailleurs été fournie par G. t’Hooft et M.Veltmann dans des travaux qui leur ont valu le prix Nobel de physique 1999.

10.2 Au-delà du modèle standard

Le modèle standard en bref

Rappelons que le particules introduites dans le modèle standard ont les propriétés suiv-antes :

I Les fermions et anti-fermions de spin 12

:

222

C h a p i t r e 10Au-delà du modèle standard

– – 3 générations de quarks

Quarksµ

¶ µ

¶ µ

¶– 3 générations de leptons

Leptonsµ

¶ µ

¶ µ

¶I Les bosons dont les bosons de jauge de spin 1 et le boson de Higgs de spin 0 :

Bosons

photon (non-massif)

3 bosons faibles massifs 0±

8 gluons colorés (non-massifs)

Higgs (non-observé)

I Les interactions (les deux premières étant unifiées par une relation entre leurs constantesde couplage respectives) :

– électromagnétiques avec couplage ,– faibles avec couplage (ou à basse énergie)– fortes avec couplage

Lacunes du modèle standard

Bien que le modèle standard ait été testé avec grande précision et soit en accord avec lesrésultats expérimentaux, certaines lacunes donnent à penser qu’il ne s’agit pas de la théoriefondamentale de la Nature.

En fait le modèle standard ne prédit pas– les couplages em, (ou à basse énergie) et – l’existence de trois générations de quarks et de leptons,– l’absence de mélange entre les quarks et les leptons, et– les masses des quarks et des leptons.

En tout, un minimum de 19 paramètres doivent être trouvés expérimentalement dont les3 couplages, les masses des 6 quarks et des 3 leptons chargés, les 3 angles de mélange etla phase de la matrice CKM, le paramètre et 2 paramètres associés au potentiel deHiggs. Dans le cas où les neutrinos sont massifs, 26 paramètres sont requis. S’ajoutent auxparamètres existants les masses des 3 neutrinos, 3 angles de mélange et une phase qui formentune matrice de mélange analogue à la matrice CKM (voir page 196).

De plus, quelques questions importantes restent ouvertes et sont souvent qualifiées par :– Le problème de jauge :

On compte trois groupes de symétrie de jauge qui décrivent les interactions avec troisconstantes de couplage indépendantes. Pourquoi ? Existe-t-il une relation entre lesinteractions fortes et les interactions électrofaibles ?

– Le problème des paramètres :Au total, le modèle standard possède 19 paramètres. On peut penser qu’une théorievraiment fondamentale aurait l’élégance de nécessiter moins de paramètres. Alors,peut-on réduire le nombre de paramètres libres du modèle standard ?

– Le problème des générations :Comment peut-on expliquer la réplique des générations de quarks et de leptons ?D’abord, pourquoi trois générations ? Puis, pourquoi des masses si différentes en-tre les générations de fermions ? Finalement, existe-t-il une relation entre les quarkset les leptons ?

223


– Le problème de la quantification de la charge :Comment expliquer, par exemple, que la charge du proton soit exactement l’opposéede celle de l’électron ?

– Le problème de la gravitation :Le modèle standard n’inclut pas la gravitation (la quatrième des forces). En effet, lesthéories quantiques intègrent mal la gravitation, à l’exception possible de la théoriedes supercordes. Dans le meilleur des cas, le modèle standard n’est donc valide quejusqu’à l’échelle de Planck ( ' 1019 GeV), échelle à laquelle les effets gravita-tionnels ne peuvent plus être négligés. Mais de façon générale, de sérieux problèmesde cohérence surgissent lorsque l’on tente tout bêtement d’inclure la gravitation enextrapolant le modèle standard jusqu’à l’échelle de Planck (voir discussion à la page236).

– Le problème de hiérarchie :Les interactions fondamentales sont décrites par la symétrie de jauge (3)⊗(2)⊗ (1) du modèle standard jusqu’à l’échelle de Planck. Il n’existe alors que troiséchelles d’énergie fondamentales, soit Λ ' 100 MeV, l’échelle qui déterminele couplage fort, ' 100 GeV, l’échelle de brisure de symétrie spontanée dusecteur électrofaible, et finalement ' 1019 GeV. Pourquoi cette grande disparitéentre les échelles ?

– Le problème d’ajustement fin :Ce problème est plus technique. Les corrections radiatives à la masse du Higgs pos-sèdent des divergences plus sévères que celles rencontrées ailleurs dans le modèlestandard. Ces divergences sont quadratiques, c’est-à-dire qu’elles nécessitent des cor-rections qui impliquent le carré d’une échelle de masse. Comme la seule échelledisponible est la masse de Planck, la correction est très importante,∆2

≈ O(2 ) '

1019 GeV, plus importante que la masse physique du Higgs elle-même par plusieursordres de grandeur.

2phys. =2

−∆2 ¿ 2

(10.1)(Rappelons que malgré que la masse du Higgs soit inconnue pour le moment, elle doitêtre inférieure à 1 TeV pour des raisons de cohérence de la théorie notamment si lamasse du Higgs est trop élevée, la matrice de diffusion viole la condition d’unitar-ité autrement dit, la probabilité d’interaction devient supérieure à 1.) Les correctionsradiatives requièrent alors un ajustement fin des paramètres du potentiel de Higgspour que la soustraction soit précise à 19 décimales près dans (10.1). Qui plus est, cetajustement doit être répété à tous les ordres en théorie des perturbations.

Vers une théorie au-delà du modèle standard

La physique théorique propose plusieurs solutions qui répondent en partie à ces questions,la plupart d’entre elles reposent sur des extensions au modèle standard dans lesquelles le mod-èle standard constituerait une limite à basse énergie d’une théorie plus complète, c’est-à-direqu’il correspondrait à une théorie efficace valide seulement jusqu’à une certaine échelle Λ.Au-delà de cette échelle, il y aurait coupure et on verrait se manifester une nouvelle physiqueque le modèle standard ne serait pas en mesure d’expliquer. Les solutions proposées sontnotamment :

– Grande unification (TGU : théories grandement unifiées)– Modèles composites– Supersymétrie– Modèles des cordes...– .....

Jusqu’à maintenant, ces hypothèses restent des spéculations, mais elles sont souvent baséessur des arguments théoriques élégants et sont essentielles dans le processus de vérification dumodèle standard puisqu’elles permettent de guider l’expérimentateur dans sa quête de résul-tats signalant de la nouvelle physique.

224

C h a p i t r e 10Grande unification

10.3 Grande unification

À haute énergie la théorie de jauge des interactions électrofaibles est unifiée sous legroupe (2) ⊗ (1) Cette symétrie se brise spontanément à basse énergie pour neconserver que la symétrie des interactions électromagnétiques

(2)⊗ (1)→ (1)

Vue la structure des théories de jauge du modèle standard, c’est-à-dire le groupe (3)⊗(2)⊗ (1) il paraît naturel de se questionner sur la possibilité que cette symétrie soitunifiée par un groupe plus grand à de très grandes échelles d’énergie

→ (3)⊗ (2)⊗ (1)

La dépendance en énergie du couplage efficace fournit un argument supplémentaire en faveurde ce scénario. Pour une théorie de jauge basée sur le groupe (au premier ordre de pertur-bation) la constante de couplage efficace (2) dépend de l’impulsion échangée 2

(2) =

4

ln(2

Λ2)

(10.2)

où , appelée fonction bêta, dépend du groupe Cette relation est une généralisation decelle obtenue pour QCD (9.3).

En comparant la constante de couplage efficace entre deux échelle d’énergie 2 et 20,on élimine le paramètre Λ et on observe un comportement logarithmique

1

(2)=

1

(20)+

4

ln

µ2

20

¶(10.3)

avec la fonction qui ont une forme générale

= =11−2

3si = () avec ≥ 2

= 1 = −2

3si = (1)

où est le nombre de fermions qui ont des interactions. Les constantes de couplage pourles différentes interactions du modèle standard s’écrivent

=24

avec3 = interaction forte2 = interaction (2) dans le modèle WS1 = 1

0 interaction (1) dans le modèle WSoù 1 établit le lien entre l’opérateur de charge associé à em(1) et l’opérateur d’hyper-

charge associé à (1). Ici 1 =q

35 Il en découle que

1 =

21 cos

2 2 =

sin2 ou encore

1

2+

1

211

=1

Les couplages peuvent être déterminés expérimentalement à une échelle typique, par ex-emple 0 = . Pour un nombre de fermions = 6,

1 = −4 2 =10

33 = 7

et donc suivant (10.3), les couplages 2 et 3 diminuent alors que 1 augmente avec l’échelle2 (voir figure 10.2).

Figure 10.2 JIÉvolution des couplages en fonction de l’énergie Les couplages se croisent à une échelle d’en-viron = 32× 1014 GeV.

225


ln Q

80

60

40

20

0

1-1

ln MW ln MTGU

2-1

3-1

On note alors que les couplages convergent approximativement à une échelle d’unification de l’ordre de 1014 GeV pour laquelle

1(2 ) = 2(

2 ) = 3(

2 )

L’idée d’unification semble donc toute naturelle. Elle propose qu’au delà de l’échelle d’unifi-cation, il n’y ait qu’une seule interaction. On peut aussi imaginer des symétries telles que lesmasses des particules soient identiques. La brisure de ces symétries aux échelles d’énergieplus basses donnerait lieu à des masses et des couplages différents.

On détermine l’échelle d’unification en utilisant la relation (10.3) et du spectre departicule fermionique et bosonique qui ont des interactions

1

3(2 )

=1

3(2 )

+32ln

µ

¶(10.4)

1

2(2 )

=sin2 (

2 )

(2 )

=1

2(2 )

+22ln

µ

¶(10.5)

1

1(2 )

=3 cos2 (

2 )

5(2 )

=1

1(2 )

+12ln

µ

¶(10.6)

avec

3 =1

3(33− 2 ) (10.7)

2 =1

3

µ22− 2 +

1

2

¶(10.8)

1 = −13

µ2 +

3

10

¶(10.9)

Nous avons alors1

3(2 )− 1

2(2 )

=11

6ln

µ

¶Puisque

1

=

1

211

+1

2nous obtenons

1

(2 )

=1

211(

2 )

+1

2(2 )

=

µ5

3

12+

22

¶ln

µ

¶

226


De plus

8

3

1

3(2 )− 1

(2 )

=

µ8

3

32− 22− 53

12

¶ln

µ

¶=

11

ln

µ

¶On peut donc obtenir le rapport

à partir des constantes de couplage à l’échelle de

ln

µ

¶=

11

µ8

3

1

3(2 )− 1

(2 )

¶'

11

µ8

3

1

011− 128

¶' −29633

Ici nous avons utilisé la valeur des constantes de couplage à l’échelle , c’est-à-dire

3(2 ) = 011 (

2 ) = 1128

On prédit finalement l’échelle de grande unification

' 2963380 ' 59× 1014 GeV.

Notons qu’à l’échelle de grande unification, l’angle de Weinberg est donné par

sin2 (2 ) =

3

8

et la relation (8.5) permet de prédire

sin2 ¯20

=1

6+5

9

(20)

3(20)

= 0215± 0002 à 0 = 20 GeV

( = 0216± 0012 expt. à 0 = 20 GeV)

ce qui est remarquablement en accord avec les résultats expérimentaux.

Modèle (5)

Le groupe le plus simple qui permet d’inclure les symétries du modèle standard est legroupe (5)

(5) ⊃ (3)⊗ (2)⊗ (1)

d’abord proposé par Georgi et Glashow. Le contenu du modèle (5) est le suivant(a) Les bosons de jauge :

Les bosons de jauge se situent dans la représentation adjointe (celle des générateurs). Lenombre de générateurs d’un groupe de jauge indique le nombre de bosons de jauge de lathéorie. Pour un groupe () le nombre de générateurs est 2 − 1 soit 24 pour (5)alors

(5) ⊃ (3) ⊗ (2) ⊗ (1)

↓ ↓ ↓ ↓représentation 24 8 + 3 + 1

↓ ↓ ↓bosons 8 gluons ± 0

La représentation adjointe 24 pourrait s’exprimer par la matrice suivante

≡ √2 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝11 − 2√

3012 13 1 1

21 22 − 2√30

23 2 2

31 32 33 − 2√30

3 3

1 2 3 3 + 3√30

+

1 2 3 − − 3 + 3√30

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠où on reconnaît les champs de jauge (3)⊗(2)⊗ (1). D’autre part, il est possible

227


de décomposer la représentation adjointe des générateurs de (5) ex. 24 en représentationsadjointes de (3) et (2) De cette manière, on retrouve

(5) → ((3) (2))

24 = (81)⊕ (13)⊕ (11)⊕ (32)⊕ (32)où (81) par exemple, signifie que la particule se situe dans la représentation 8 du groupe decouleur (3) et dans un singulet 1 du groupe (2). Les trois premières représentations(81)⊕ (13)⊕ (11) sont les 8 gluons, les ± 0 et finalement le photon . Les deuxautres représentations (32)⊕ (32) correspondent à douze bosons de jauge qui sont à lafois colorés (triplet de couleur) et faibles (isodoublet). Leur présence permet donc, contraire-ment à ce qui se passe dans le modèle standard de Weinberg-Salam, une interaction entre lesparticules colorées (les quarks) et les particules ayant une charge électrofaible (notammentles leptons). Trois d’entre eux ont une charge électrique de −1

3, trois autres ont une charge

de −43 Les six autres sont leurs antiparticules. Ces bosons de jauge très lourds sont souvent

appelés leptoquarks et et peuvent transformer un quark en un lepton (voir figure 10.3).Mais une telle transformation viole la conservation des nombres leptonique et baryonique tout en conservant la quantité −

(b) Les fermions :Les fermions sont distribués dans des représentations irréductibles de (5) Rappelons quela représentation fondamentale de (5) est le quintuplet 5

=

⎛⎜⎜⎜⎜⎝123

⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎫⎬⎭→ triplet de couleurs, aucun isospin¾→ isodoublet, aucune couleur

de laquelle on peut construire les représentations 510 10 Dans le modèle (5) lesfermions de la première génération sont assignés aux représentations 5 et 10

5 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝111−

−

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ 10 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝0 3 2 −1 −1−3 0 1 −2 −2−3 −3 0 −3 −31 2 3 0 +

1 2 3 − 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎠où l’indice dénote le conjugué de charge de la particule.

Figure 10.3 JIInteractions quark-lepton-leptoquark dans le mod-èle (5)

u u d e+

X X

u d

Y

u e+

Y

d u

Y

d

Y

e

H Remarque H

Remarque 10.1iDans (10) doit être présent et les neutrinos doivent être massifs alors que dans desgroupes plus grands tels que 6 7 8 d’autres particules “exotiques” doivent être

228


introduites.

i

(c) Les interactionsAux couplages duModèle Standard s’ajoutent ceux de la figure 10.3.

La désintégration du proton

Ces derniers couplages impliquent directement que le proton peut se désintégrer en mé-sons et leptons. Par exemple, les réactions suivantes sont possibles (voir la figure 10.4) :

→ + + 0

→ + +

Le taux de transition de tels processus est calculable dans ce modèle. On en déduit la viemoyenne du proton

=44

5

= 2× 1029±17 années

où est le couplage à l’échelle où les trois couplages 1 2 et 3 se rencontrent, tient compte de la partie hadronique des éléments de matrice et ∼ 1014 GeV. L’incerti-tude dans l’estimé vient de la piètre connaissance qu’on a de 3 (ou de Λ = 0160±0100GeV).

Figure 10.4 JIDiagrammes décrivant la désintégration du pro-ton → + + 0 et → + + par l’échangede bosons et .d

u

u X

d

u

u

d

u

u Y

d

u

u Y Y

d

u

d

e-

d

e

d

u

d

e-

d

e

Il est assez facile d’obtenir des estimés de la vie moyenne du proton par la simple obser-vation que la matière qui nous entoure n’est pas toute radioactive. Par exemple, il est facilede conclure par cette observation que la vie moyenne du proton est plus grande que l’âge dela Terre. Toutefois la mesure qui nous intéresse implique une période de temps de l’ordre de1036 années et ce qui, à première vue, peut sembler impossible considérant l’âge de l’Universet de la durée prévue d’une telle expérience. En fait, au lieu d’étaler l’observation d’un pro-ton sur 1036 années pour voir s’il se désintègre, il est beaucoup plus pratique de regarder 1036

protons pendant une année.L’expérience nécessite alors

I une très grande masse (grand nombre de protons),I un détecteur de trajectoires de particules chargées : les deux principales techniques

utilisent des plaques de fer combinées à des chambres de détection de trajectoires (ex. ex-périences NUSEX, FREJUS, SUDAN...) ou des détecteurs Cerenkov (e.g. expériences IMB(voir la figure 10.5), Kamiokande)

I des mesures de l’énergie permettant une identification des particules et finalementI un blindage qui résiste aux rayons cosmiques pour isoler complètement le réservoir de

protons (la solution la plus pratique consiste à enfouir le détecteur à quelques kilomètres sousla terre dans une mine)

Les mesures actuelles de la vie moyenne du proton repoussent les limites à & 1036

années, ce qui exclut le modèle (5)

229


Monopôles magnétiques

22.5 m

18 m

17 m

IMB

Figure 10.5 NLe détecteur IMB consiste en un énorme réser-voir d’eau (protons), milieu où le rayonnement Tcherenkovpeut se propager. Des phototubes couvrent la sur-face externe du détecteur. Le signal → ++0

suivi de 0 → peut être couvert par le bruitoriginant par exemple de + → + + + 0

Aucun événement sur 5 ans pour un réservoir de7000 tonnes d’eau permet d’estimer 5 ×1032 ans.

Ajoutons qu’une autre prédiction des modèles grandement unifiés reste absente des obser-vations. En effet, ces modèles prédisent la présence de monopôles magnétiques, des particulesqui portent une charge magnétique mais aucune charge électrique.

La charge magnétique fut proposée par Dirac en 1931 sous la forme de la relation

Dirac =~2

=

2em= 685

où est un entier. La masse du monopôle dépend linéairement de la masse du boson

&

3∼ 1016 GeV = 0023

où 3 est le couplage fort. Il s’agit d’une masse énorme et tout comme pour le boson ilest très peu probable que l’on réussisse à le produire dans les accélérateurs dans un avenirrapproché. Une telle énergie aurait été disponible à environ 10−35s après le Big Bang cequi laisse entrevoir la possibilité qu’une quantité de ces particules reliques existe toujours etqu’un ux constant en frappe la Terre. Pour l’instant cependant, aucun signal de la présencede monopôles n’a encore été détecté.

Modèle (10)

La prédiction de la vie moyenne du proton donnée par le modèle (5) étant un échec,on peut penser qu’un modèle basé sur un groupe plus grand aura plus de succès puisqueles contraintes y sont moins sévères. Il est même possible pour certains groupes de contenirune génération complète de leptons et de quarks dans une seule représentation irréductible.L’exemple le plus simple d’un tel groupe est le groupe orthogonal (10) dans lequel lesfermions sont placés dans la représentation 16 :

16 =¡ ;

− ; +; ¢

Le modèle (10) peut être brisé en plusieurs étapes et emprunter plusieurs voies pourarriver au groupe du modèle standard :

(4)⊗ (2)⊗ (2)

(10) −→ (5) −→ (3)⊗ (2)⊗ (1)

(5)0 ⊗ (1)

Ici le groupe (5)0 ne correspond pas au groupe (5) de Georgi et Glashow décrit plushaut.

Le proton est instable et le nombre baryonique n’est pas conservé dans le modèle (10).Les bosons de jauge sont regroupés dans la représentation 45 où on trouve plusieurs lepto-quarks pouvant permettre la transmutation d’un quark en lepton. Par ailleurs, des leptoquarksscalaires apparaissent dans la représentation du secteur de Higgs et peuvent aussi entraînerla violation du nombre baryonique. Toutefois, les brisures séquentielles du groupe (10)

vers le groupe (3) ⊗ (2) ⊗ (1) introduisent des paramètres supplémentaires etdonc plus de souplesse dans la prédiction de l’échelle d’unification et de la vie moyenne duproton. Les paramètres du modèle (10) peuvent donc être ajustés pour prédire un protonplus stable. Le modèle (10) demeure donc jusqu’à maintenant un choix viable de TGU.Rappelons toutefois qu’une des motivations derrière les théories grandement unifiées était laréduction du nombre des paramètres requis par la théorie.

230


Autres modèles d’unification

Les divers modèles d’unification des forces font légion. Il suffit de trouver un groupe suff-isamment grand pour inclure les symétries du modèle standard et de construire les représen-tations qui accommodent les particules connues. Le cadre de cet ouvrage se prête mal à uneétude exhaustive des différents modèles. Mentionnons toutefois quelques modèles qui se dis-tinguent par leurs propriétés :

Modèle (15)

Le modèle (15), bien qu’il requiert encore plus de paramètres — il est donc moinséconomique—, ne prédit pas la désintégration du proton. Dans ce modèle, les fermions d’unemême génération sont tous dans la représentation fondamentale 15 du groupe :

15 = ( ; ; ; ; +; ;

−)

Comme le nombre baryonique total du multiplet 15 est nul et que c’est aussi le cas pour lareprésentation adjointe 224 qui décrit les bosons de jauge, sa conservation est donc assuréedans toutes les interactions. Rappelons que l’échelle de la brisure de symétrie du groupe étaitprincipalement déterminée par la contrainte sur la vie moyenne du proton. Cette contrainten’existe pas ici, si bien que la brisure de symétrie peut se dérouler à une échelle de l’ordrede ' 107 GeV, bien en-dessous de celle qui est prédite dans les modèles TGU présentésplus haut.

La brisure de (15) vers le modèle standard procède par plusieurs étapes introduisantplusieurs séquences de symétries et plusieurs échelles intermédiaires de brisure. Outre lesparticules standard, le modèle (15) introduit des particules exotiques telles que des di-quarks (nombre baryonique 2), des leptoquarks (nombres baryonique et leptonique non nul)et des bileptons (nombre leptonique 2), la plupart étant trop lourds pour être observés directe-ment dans les collisionneurs actuels.

Modèles partiellement unifiés : le modèle (4)

Le modèle (4) proposé par Pati et Salam fut le premier à prédire l’existence de lepto-quarks. Mais il a aussi la vertu de restaurer une certaine symétrie quark-lepton en considérantle nombre leptonique comme quatrième couleur, baptisée ou “lilas”. Le groupe de jauge estdonné par (4)⊗(2)⊗, où est le groupe de symétrie des fermions de chiral-ité droite. Un tel modèle peut découler du modèle (10) (voir plus haut) se réalisant dansla limite à basse énergie.

Dans le modèle de Pati et Salam, les fermions se retrouvent dans la représentation fonda-mentale 4 de (4) ⊃ (3) :

4 =

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎝−

⎞⎟⎟⎠

où la symétrie quark-lepton est explicite.

Les bosons de jauge de la représentation adjointe 15 contiennent, outre les huit gluonssans masse, six leptoquarks massifs de charge électrique = ±2

3et un nouveau boson neutre

massif. La présence de leptoquarks permet la désintégration du proton mais les processus vi-olant le nombre baryonique sont sévèrement supprimés. Les prédictions du modèle n’entrentdonc pas en contradiction avec les limites expérimentales sur la durée de vie du proton.

231


Résumant, le bilan des modèles grandement unifiés se dresse comme suit :

En faveur Contre

Unification des interactions àhaute énergie.

Aucune évidence de désintégrationdu proton.

Réduction du nombre de paramètres.Aucune évidence de monopôlesmagnétiques.

Prédictions de l’angle de Weinberget des masses des quarks.

Aucune évidence d’états excitésde quarks et leptons.

10.4 Technicouleur

L’absence de Higgs dans le spectre des particules détectées dans les collisionneurs actuelssuggèrent qu’il y a peut-être une autre voie pour expliquer la brisure de symétrie électrofaibleque celle proposée par le modèle standard : la technicouleur. La technicouleur ne contient au-cun scalaire fondamental. La brisure de symétrie électrofaible est dynamique — et non spon-tanée — et se produit dans le cadre d’une théorie de jauge fortement couplée ne contenantque des fermions.

Comme son nom l’indique, la technicouleur est une théorie fortement inspirée de QCD.On y propose l’existence d’une interaction de jauge () dont l’échelle d’énergie estde l’ordre du TeV, c’est-à-dire environ mille fois plus grande que celle de QCD. De plus denouvelles particules sont introduites : les technifermions. Ils se retrouvent dans des doubletset singulets d’interactions faibles et dans des multiplets de technicouleur. Par ailleurs, lesscalaires qui apparaissent dans cette théorie ne sont pas fondamentaux mais sont plutôt desétats liés de paires fermion-antifermion, les technimésons, par analogie aux mésons générésen QCD. Trois de ces bosons de Goldstone correspondent aux composantes longitudinalesdes bosons faibles ± et 0.

En général, toutefois, les modèles de la technicouleur doivent être étendus pour permet-tre à la technicouleur de générer une masse aux fermions. Rappelons que le mécanisme deHiggs donne aussi une masse aux fermions via l’introduction de couplages de Yukawa dutype fermion–fermion-Higgs. Les modèles étendus de technicouleur (ETC) suggèrent l’exis-tence de nouvelles interactions de jauge entre les technifermions et les fermions ordinaires.Plusieurs particules exotiques telles que les leptoquarks et de nouveaux bosons de jauge sontalors associés à ETC. Ces modèles rencontrent cependant quelques difficultés puisqu’ils con-tribuent aux processus de changement de saveur à courant neutre, ce qui entre en conit avecles résultats expérimentaux. De plus, les technimésons — les états liés les plus légers préditspar cette théorie — devraient déjà avoir été observés dans les collisionneurs, ce qui n’est pasle cas de toute évidence.

Il existe des moyens de contourner ces difficultés par l’entremise de théories telles que latechnicouleur rampante (walking technicolor) qui ont la particularité d’avoir des couplagesefficaces qui varient très peu en fonction de l’échelle d’énergie par opposition à la techni-couleur (running technicolor). Mais l’introduction de ces nouvelles théories se fait au détri-ment de la simplicité et de l’élégance des modèles originaux, ce qui explique le déclin depopularité de l’approche de la technicouleur depuis quelques années.

Finalement, la situation de la technicouleur en tant que théorie se résume comme suit :

En faveur Contre

Aucun Higgs.Évidence expérimentale attenduen’est pas observée.

Analogue à QCD mais à une échelled’énergie 1000 fois plus grande

Contribue aux processus dechangement de saveur par courantsneutres.

232

C h a p i t r e 10Modèles composites

10.5 Modèles composites

L’histoire nous apprend que notre perception de ce qu’est une particule élémentaire fon-damentale a souvent due être révisée. L’atome s’est vu décomposé en noyau et électrons, lenoyau en protons et neutrons, les baryons et mésons en quarks et antiquarks. Ne serait-il paspossible alors qu’il existe une sous-structure aux quarks et leptons même si on les considèreprésentement comme élémentaires ? C’est cette approche qui est préconisée dans les mod-èles composites où quarks et leptons sont des combinaisons de préons, les particules plusfondamentales.

De façon générale, des évidences de sous-structure devraient se présenter dans les mesuresde section efficace aux énergies correspondant à l’énergie de liaison des préons. Par exem-ple, les collisions + + − → + + − + + − → + + − et + − → + −

etc... pourraient montrer des signes de compositivité de la même façon que la diffusion deRutherford et les collisions et ont démontré respectivement que l’atome et le nucléonétaient formés de briques plus fondamentales. Outre de tels facteurs de forme dans les col-lisions leptoniques, d’autres manifestations comme des moments magnétiques anormaux, etdes processus interdits dans le cadre du modèle standard sont attendus. De plus pour des col-lisions au-delà d’une certaine énergie, on pourrait également observer des états excités deleptons, de quarks et de bosons de jauge.

À ce jour, aucune évidence d’une telle sous-structure ne s’est manifestée, repoussant unesous-structure éventuelle à des dimensions d’au plus 2×10−19 m ou à des échelles d’énergieayant des valeurs au-delà de 1 TeV.

Modèle d’Abbott et Farhi

Le modèle d’Abbott et Farhi est un prototype du genre. Dans ce modèle, non seulement lesquarks et les leptons sont considérés comme composites mais les bosons0 et ± sont aussides particules composites. Les interactions faibles observées sont alors réinterprétées commedes interactions résiduelles analogues à celles que l’on observe entre les hadrons. De plus, labrisure de symétrie est dynamique — par opposition à la brisure spontanée dans le modèlestandard — c’est-à-dire que les interactions de jauge confinent les constituants pour formerle spectre des fermions observés à l’échelle de Fermi. La masse est générée dynamiquementtout comme celle des nucléons est une conséquence du confinement des quarks via QCD.

Les états fondamentaux (préons) postulés par le modèle d’Abbott et Farhi sont des scalairesdénotés et des fermions dénotés . Les interactions (2) sont par ailleurs fortementcouplées (contrairement aux interactions faibles du modèle standard). Les fermions de chi-ralité droite sont des singulets sous (2) Ils n’ont donc pas d’interaction (2) ne sontdonc pas couplés fortement et sont donc fondamentaux. Par contre, les fermions de chiralitégauche interagissent fortement sous (2) (ne pas confondre ici avec les interactions fortesde QCD) pour former des états liés à partir d’un fermion fondamental (un préon) et d’unscalaire, par exemple = ∗

. On explique les bosons de jauge faibles par une construc-

tion basée sur deux scalaires, ex. où est la dérivée covariante de (2) ⊗ (1).Finalement, le boson de Higgs est quant à lui un état formé de deux scalaires préoniques.

Outre les particules retrouvées dans le modèle standard, l’existence d’une multitude departicules exotiques est également prédite : des quarks, des leptons et des bosons faibles ex-cités, des bileptons, des diquarks et des leptoquarks. La masse de ces particules est généréedynamiquement par l’interaction faible dans son régime de confinement. Ces masses de-vraient être de l’ordre de −12 ∼ 300 GeV, c’est-à-dire l’échelle de la brisure dynamiquede l’interaction faible.

Le modèle original d’Abbott et Farhi souffre des mêmes lacunes que les autres modèlescomposites. Aucune déviation attendue n’a été observée à ce jour et donc celui-ci ne sembleplus constituer un candidat sérieux pour expliquer la théorie des interactions faibles.

233


Résumant, le bilan des modèles composites se dresse comme suit :

En faveur Contre

Précédents historiquesAucune explication sur lenombre de générations.

Origine commune pour quarks et leptons.Aucune évidence de déviationsdues à une sous-structure.Aucune évidence d’états excitésde quarks et leptons.

10.6 Supersymétrie (SUSY)

La supersymétrie est une propriété qui implique un nombre égal de degrés de libertéfermioniques et bosoniques. Une transformation supersymétrique change un boson enfermion et vice et versa

|fermioni = |bosoni |bosoni = |fermioniUne théorie supersymétrique est laissée invariante par une telle transformation. En con-séquence, dans une théorie supersymétrique, chaque fermion normal possède un superparte-naire qui est un boson. De la même manière, chaque boson normal possède un superpartenairequi est un fermion.

La supersymétrie relie entre elles des particules de spin différent. Il ne s’agit pas d’unesymétrie interne telle que les symétries de jauge. En fait, elle correspond plutôt à un élar-gissement du groupe de Poincaré (le groupe de Poincaré inclut le groupe des transformationsde Lorentz et des translations) vers un groupe de super-Poincaré. On l’interprète comme l’ex-tension de l’espace-temps à un super-espace qui comprend des coordonnées grassmaniennes(spinorielles) aussi bien que des coordonnées ordinaires. Il est aussi intéressant de constaterque deux transformations supersymétriques consécutives de coordonnées ordinaires donnentdes coordonnées ordinaires, c’est-à-dire qu’elles sont équivalentes à une translation. Par abusde langage, on dit alors que la transformation supersymétrique est la racine carrée d’unetranslation.

Les avantages d’une théorie supersymétrique sont nombreux. Contrairement à la techni-couleur, on y introduit un secteur de Higgs avec couplage faible ce qui permet une analyseperturbative. De plus, la supersymétrie offre une solution très élégante au problème tech-nique de hiérarchie. L’apport des superpartenaires aux corrections radiatives réduit le degréde divergence dans le calcul de la masse du Higgs. Par ailleurs, le problème d’ajustementfin disparaît aussi si la différence de masse entre les fermions du modèle standard et leurpartenaire supersymétrique n’est pas trop grande.

Par convention, les superpartenaires sont dénotés par un tilde. Les superpartenaires scalairesde fermions sont identifiés en ajoutant un ‘s‘ devant le nom du fermion normal alors que lessuperpartenaires fermioniques de bosons sont identifiés en ajoutant un ‘ino’ à la fin du nomdu boson normal. Le spectre du modèle standard minimal se lit donc comme suit :

Nomenclature des particules supersymétriques

symbole spin nom symbole spin nom

12

électrons,... e ee 0 sélectrons,...

12

neutrinos eee 0 sneutrinos 1

2quarks e e eeee 0 squarks

1 photon e 12

photino0± 1 bosons de jauge e0f± 1

2zino, wino

1 gluon e 12

gluino12 0 higgs e1 e2

12

higgsinos

La supersymétrie n’est pas une symétrie exacte de la nature. Si c’était le cas, on aurait déjà

234

C h a p i t r e 10Supersymétrie (SUSY)

découvert depuis longtemps les superpartenaires de chacune des particules du modèle stan-dard puisque ceux-ci auraient la même masse. À ce jour, aucune particule supersymétriquen’a été observée. Par exemple, le sélectron (particule scalaire ayant les mêmes charges et enprincipe la même masse que l’électron) serait relativement facile à produire dans les accéléra-teurs actuels mais il manque à l’appel.

Les superpartenaires se distinguent par un nouveau nombre quantique appelé la parité. Les particules du modèle standard ont une parité = +1 alors qu’on assigne une par-ité = −1 aux superpartenaires. Le produit des parités est conservé tout comme dansle cas de la parité “spatiale”. Il en découle que si on tente de produire des particules super-symétriques à partir de particules normales, elle doivent être produites en paires. Par exemple,considérons la collision des particules et qui donne deux particules supersymétriques e ete accompagnées d’un nombre arbitraire de particules normales dénoté ici par . La conser-vation de la parité se vérifie comme suit :

+ → e + e +

= (+1) · (+1) = (−1) · (−1) · (+1)

De plus, une particule supersymétrique pourra se désintégrer en particules plus légèresmais le processus implique toujours au moins une particule supersymétrique dans les produitsde désintégration. Par exemple, e → e +

= (−1) = (−1) · (+1)

Finalement, il doit exister une particule supersymétrique stable puisque la plus légère ne peutplus se désintégrer sans violer la conservation de la parité e 9 + +

= (−1) 6= (+1) · (+1) · (+1)

Z 0 ~ e e

e e ~

e

e

~

~

Figure 10.6 NProduction de paires de sélectrons-antisélectrons suivie de la désintégration des sélectrons enphotinos et électrons.

La nature de la particule supersymétrique la plus légère (PSL) reste aussi un mystère. Sicelle-ci est le résidu de toutes les désintégrations de particules supersymétriques depuis ledébut de l’Univers, on serait en droit de s’attendre à ce qu’il en existe en quantité abondante.L’absence de tout signal laisse donc supposer qu’elle est neutre et n’interagit pas fortement.Les candidats pour la particule supersymétrique la plus légère se limitent alors au photino,au sneutrino et au gravitino (le superpartenaire du graviton). La plupart des théories sug-gèrent que la PSL soit le photino. Celui-ci est alors stable et difficile à observer puisqueneutre. Toutefois, lorsque des particules supersymétriques sont produites et se désintègrentéventuellement en particules plus légères, elles produisent en toute fin des PSL (des photinosici) et ces dernières emportent une partie de l’énergie-impulsion initiale même si elles restentinvisibles. La signature caractéristique de la production de particules supersymétriques estdonc un défaut d’énergie ou une énergie manquante dans la réaction. Par exemple, la pro-duction au LEP d’une paire sélectron-antisélectron dans une collision +− est suivie dela désintégration des deux sélectrons en électrons et photinos (voir figure 10.6). Les photi-nos étant invisibles à la détection, un bilan des énergies et impulsions permettrait de sig-naler la présence de sélectrons.Aucun événement de ce type n’a été observé pour le moment.Cela suggère que la masse des particules supersymétriques est probablement trop élevée pourqu’elles soient produites aux accélérateurs actuels. La limite de masse se situe en général

≥ 50− 100 GeV

S’il y a supersymétrie, elle est donc forcément brisée aux échelles d’énergie que noussommes en mesure de sonder présentement ou autrement dit, la supersymétrie est une symétriequi s’instaure à très haute énergie. La nature exacte du processus de brisure est encore à cejour inconnue, mais la brisure ne peut pas être spontanée de nature (mécanisme de Higgs). Laméthode généralement employée pour briser cette symétrie consiste à introduire des termesau lagrangien, qui violent explicitement la supersymétrie tout en préservant ses propriétés

235


essentielles.

Modèles supersymétriques

ln Q

80

60

40

20

0

1-1

ln MW ln MTGU

2-1

3-1

Figure 10.7 NÉvolution des constantes de couplage dans unmodèle supersymétrique. On note le changementde comportement qui se situe à l’échelle de labrisure supersymétrique soit environ à 1 TeV.

Plusieurs modèles supersymétriques ont déjà été proposés. Le plus étudié est sûrementle modèle standard supersymétrique minimal (MSSM) qui comme son nom l’indique estl’extension supersymétrique minimale du modèle standard que nous connaissons bien. LeMSSM introduit un nombre minimal de nouveaux champs (un deuxième Higgs et tous lessuperpartenaires) mais conserve le même groupe de jauge c’est-à-dire (3) ⊗ (2) ⊗ (1)

Il existe également des versions supersymétrique des modèles unifiés et même grande-ment unifiés basées sur des groupes tels (5), (5) ⊗ (1) et (10). La perspec-tive d’une unification supersymétrique semble à première vue très attrayante. Le problèmede hiérarchie entre l’échelle de brisure électrofaible et l’échelle d’unification estnaturellement écarté. De plus, l’unification des constantes de couplage à haute énergie estréalisée plus facilement dans un modèle supersymétrique (voir figure 10.7), à condition quel’échelle de brisure SUSY soit de l’ordre de 1 TeV ou inférieure. En effet dans les TGU ex-aminées plus haut l’unification des trois constantes de couplage est approximative (voir figure10.2). Finalement, l’échelle d’unification est plus élevée, soit de l’ordre de = 10

16 GeVpour le modèle (5) supersymétrique. La prédiction pour la vie moyenne du proton estdonc modifiée en conséquence et se chiffre à 1035 ans, ce qui est en accord avec les limitesexpérimentales les plus récentes.

La supersymétrie présente aussi un autre avantage considérable : l’évolution des massesde scalaires est beaucoup moins problématique. Supposant une masse commune pour tousles éléments d’un même multiplet à l’échelle d’unification , le carré de la masse d’un desHiggs évolue très rapidement en diminuant l’échelle d’énergie pour devenir négatif à basseénergie. Comme on a déjà vu en théorie électrofaible, lorsque ce paramètre devient négatif, ilinduit automatiquement la brisure spontanée de symétrie électrofaible. La supersymétrie estdonc en mesure de simuler dynamiquement la brisure spontanée de symétrie électrofaible.Cependant, ce mécanisme n’apporte pas de solution au problème de hiérarchie. Pour que lemécanisme soit valide, il faut postuler l’existence d’une hiérarchie dans les interactions dejauge à cause de la forte dépendance de l’évolution de la masse du Higgs face au choix desconditions initiales à l’échelle d’unification.

Résumons par le tableau suivant les succès et lacunes de la supersymétrie :

En faveur Contre

Calcul perturbatif donne descomportements divergents moinssévèresUnification des fermions et bosons. Aucune évidence expérimentaleExtension possible à la géométrie del’espace-temps et donc à la gravitation(la supersymétrie relie le changementde spin à une translation).

La supersymétrie est considérée comme une des meilleures sinon la meilleure théorieau-delà du modèle standard.

10.7 Gravité quantique

La gravitation est la quatrième force parmi les interactions connues et c’est aussi la plus

236

C h a p i t r e 10Gravité quantique

faible par plusieurs ordres de grandeur. Elle fut la première a être reconnue comme une pro-priété fondamentale de la matière et à être analysée systématiquement. Paradoxalement, denos jours, c’est la gravitation qui soulève le plus d’interrogations puisqu’elle s’accorde malavec la mécanique quantique.

BA

Figure 10.8 NExemple de diffusion de deux gravitons.

Figure 10.9 NDiagramme de Feynman de contribution d’ordresupérieure à la diffusion de gravitons.

La constante gravitationnelle (en unités S.I.)

= 67× 10−11 m3kg−1s−2

détermine la force du couplage entre deux masses. Comparons la force du couplage entredeux protons telle que donnée par la théorie de Newton,

=

2

4~' 46× 10−40

où est la masse du proton. La force gravitationnelle est donc comparable à la répulsionélectrostatique seulement à de très courtes distances de l’ordre de

=

µ~43

¶ 12

= 16× 10−35 m

où est appelée la longueur de Planck. Pour sonder de telles distances, il faut des particulesdont la longueur d’onde est d’au plus la longueur de Planck ce qui correspond à des énergiesd’au moins la masse de Planck soit

' 1019 GeV.

(Rappelons que l’échelle d’énergie de grande unification est plus petite de quelques ordresde grandeur soit ' 1015 GeV.)

Mais si la gravité devient aussi importante à ces échelles d’énergie que les interactionsforte, électromagnétique et faible dont le traitement est quantique, il convient de se deman-der s’il ne faut pas quantifier la gravité. Par analogie avec les autres interactions, le champgravitationnel doit être équivalent à l’échange de particules. On postule donc l’existence degravitons ; l’échange de ceux-ci entre des masses est responsable du champ gravitationnel. Laportée des interactions gravitationnelle étant infinie, il en découle que la masse des gravitonsse doit d’être nulle.

Rappelons que la gravitation s’explique en relativité générale comme une courbure del’espace-temps décrite par une métrique intrinsèque

= ()

Le graviton () est introduit comme une uctuation quantique de la métrique c’est-à-dire

()→ e() = () + ~() +(~2)

On note que est un tenseur de rang 2 symétrique dans l’échange ↔ et représenteune particule de spin 2 ayant 10 degrés de liberté. Le spin de la particule d’échange estdéterminant dans la nature de la force entre particules identiques. Notons que par exemple,pour des spins demi-entiers ou entiers supérieurs à deux, aucune force n’est produite alors quel’échange de particules de spin 0 et 1 donne respectivement des forces attractive et répulsive.Finalement l’échange de particules de spin 2 comme dans le cas de la gravité donne une forced’attraction, comme il se doit.

Tout comme c’est le cas pour le ± le 0 et le gluon, le graviton peut interagir aveclui-même aussi bien qu’avec la matière ordinaire. La simple quantification de la gravité poseproblème : le calcul de sections efficaces de diffusion tel qu’illustré à la figure 10.8 mène àdes divergences très sévères (quadratiques) lorsqu’on ajoute les corrections radiatives commecelles de la figure 10.9.

En fait, cette théorie de la gravité quantique n’est pas renormalisable pour les raisonsévoquées au début de ce chapitre.

La supergravité

237


La solution au problème des divergences peut passer par la supersymétrie. Lorsqu’elle esttraitée comme une symétrie locale, la supersymétrie incorpore de façon naturelle la gravita-tion (changement local de la métrique). On l’appelle alors la supergravité (SUGRA).

Dès son introduction, la supergravité souleva l’espoir que la supersymétrie allait perme-ttre l’annulation pure et simple des divergences et que la théorie qui en résulte soit finie.Cependant, malgré que le degré de divergences diminue, elles ne disparaissaient pas com-plètement. Encore une fois, comme le couplage gravitationnel n’est pas adimensionnel, lamoindre divergence rend la théorie non-renormalisable et donc incohérente.

En conclusion, les succès et lacunes de la supergravité peuvent se lire comme suit :

En faveur Contre

Degré de divergence moins sévère Aucune évidence expérimentaleInclusion de la supersymétrie Théorie non renormalisable

Il semble maintenant très improbable qu’un modèle SUGRA puisse mener à une théoriequantique de la gravitation mais il est possible qu’elle soit un ingrédient dans une théorie plusfondamentale.

10.8 Supercordes

Les divergences dans les théories renormalisables (comme le modèle standard) ou nonrenormalisables (comme la gravité quantique) ont pour origine la nature ponctuelle des par-ticules dans les théories des champs que nous utilisons. Ce n’est pas très étonnant, mêmeclassiquement, des divergences se manifestent. Par exemple, le champ électrique tend versl’infini lorsqu’on s’approche d’une particule chargée ponctuelle. La justification physiquederrière la nature ponctuelle des particules repose à tort ou à raison sur l’argument suivant :Si les particules ne sont pas ponctuelles, on peut envisager de les analyser en divisant l’es-pace qu’elles occupent en éléments de volume infinitésimaux. Ce traitement est équivalentà considérer une sous-structure formée d’objets ponctuels, ce qui nous retourne au point dedépart.

corde ouverte corde fermée

Figure 10.10 NExemple de cordes ouvertes (à gauche) et fer-mées (à droite).

La théorie des cordes prend une approche différente. Les particules ne sont pas ponctuelles,ce sont des cordes, c’est-à-dire des objets ayant une extension linéaire. Le spectre des par-ticules est obtenu en tenant compte des différents modes de vibration de ces cordes. Deuxtypes de cordes sont possibles : les cordes ouvertes avec deux extrémités distinctes et lescordes fermées (voir figure 10.10).

Pour des raisons de cohérence mathématique, les théories des cordes doivent être for-mulées en 26 dimensions d’espace-temps pour des champs bosoniques et en 10 dimensionsd’espace-temps pour des cordes supersymétriques aussi appelées supercordes. Cette dernièreest pour le moment la seule candidate viable pour un traitement unifié de toutes les interac-tions fondamentales dans une théorie quantique libre d’anomalies et de divergences ultravio-lettes.

À première vue, il est difficile de justifier que de telles théories puissent représenter unmonde à 4 dimensions d’espace-temps. Cependant il est possible de raccrocher ces théoriesà une réalité à 4 dimensions en utilisant la compactification, une idée suggérée par Kaluzaet Klein dans les années 20. Kaluza et Klein proposèrent à l’origine d’ajouter une cinquièmedimension d’espace-temps aux 3+1 existant déjà. La dimension supplémentaire est ensuiteenroulée sur elle-même avec un diamètre d’enroulement très petit, si petit en fait qu’à toutefin pratique l’enroulement n’est pas perceptible au monde physique qui nous entoure. C’estce qu’on appelle la compactification. Seul un “microscope”. très puissant serait en mesure devoir cette cinquième dimension (voir figure 10.11).

Figure 10.11 JIEnroulement et compactification des dimensionssuperues.

238

C h a p i t r e 10Supercordes

La théorie Kaluza-Klein à 5 dimensions possède une propriété intéressante. Lorsqu’oncompactifie la relativité générale en 5 dimensions on retrouve les équations de la relativité en4 dimensions avec en prime, les équations de Maxwell de l’électromagnétisme. Des cinq nou-veaux degrés de liberté indépendants introduits par la cinquième dimension, quatre serventà représenter le champ électromagnétique du photon et le dernier est un champ scalaireappelé scalaire de Brans-Dicke. Par exemple, la métrique en cinq dimensions se transformesuivant :

→

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

0123

0 1 2 3

⎞⎟⎟⎟⎟⎠où = 0 1 2 3 4 et = 0 1 2 3 La procédure peut être généralisée à un nombrearbitraire de dimensions enroulées d’où son intérêt dans le cadre des théories des cordes.Donc malgré l’introduction de 26 ou 10 dimensions d’espace-temps en théories des cordes,celles-ci peuvent être ramenées à des phénomènes physiques en 4 dimensions.

Le traitement des cordes en théorie quantique des champs est aussi très différent de celuides particules ponctuelles. Alors que dans ce dernier cas, la trajectoire est une ligne dansl’espace, la trajectoire des cordes balaie des surfaces dans l’espace (voir figure 10.12).De lamême façon, les interactions représentées par des diagrammes de Feynman pour des partic-ules ponctuelles ont la forme de surfaces (voir figure 10.13).

Figure 10.12 JITrajectoire balayée par une particule dans l’es-pace.

y

x

z

trajectoire d'uneparticule

ponctuelle

y

x

z

trajectoire d'unecorde ouverte

y

x

z

trajectoire d'unecorde fermée

Les cordes fermées ont aussi une orientation gauche ou droite (hélicité) selon que leursvibrations sont dans le sens horaire ou antihoraire et leurs interactions peuvent être traitéesindépendamment. Parmi les différentes classes de supercordes, la corde hétérotique est l’unedes plus prometteuses. Dans ce modèle, les degrés de liberté antihoraires correspondent àceux d’une corde bosonique, alors que les modes horaires correspondent à ceux d’une super-corde. La corde bosonique, qui à l’origine est introduite en 26 dimensions, subit une compact-ification de 16 de ces dimensions pour venir se juxtaposer aux supercordes en 10 dimensions.La compactification impose des contraintes si bien qu’en 10 dimensions, la corde hétérotiquepossède les symétries de jauge (32) ou 8 ⊗8

Une des propriétés remarquables des théories de cordes est qu’elles permettent une uni-fication des couplages de jauge, même en l’absence d’un groupe unifié. Il existe un seultype d’interactions entre deux cordes fermées : deux cordes qui se joignent pour en for-mer une seule (ou inversement une corde qui se divise pour en donner deux). C’est doncdire que toute interaction décrite par des cordes trouve son origine dans ce processus fonda-mental. Dans une théorie fondamentale, les interactions de jauge, gravitationnelle on mêmede Yukawa, sont des manifestations de la même interaction entre cordes mais à des condi-

239


tions différentes. À l’échelle caractéristique de la corde, les couplages sont unifiés et peuvents’écrire :

211 = 222 = 233 =4

0 = 2corde

où les coefficients sont des constantes associées à la normalisation des générateurs de jaugeet où l’on reconnaît la constante de Newton Le paramètre 0 est la tension de la corde, leseul paramètre indépendant en théorie des cordes. Par ailleurs, les constantes de couplage correspondent à des champs dont la valeur physique est déterminée par leur valeur moyennedans le vide.

Figure 10.13 JIExemples d’interaction entre cordes.

yx

temps

particulesponctuelles

supercordes

Que ce soient les cordes bosoniques, la corde hétérotique ou les supercordes typiquementformulées en 26 ou 10 dimensions, ces théories doivent être ramenées à 4 dimensions en util-isant des techniques de compactification diverses (e.g.compactification sur des variétés deCalabi-Yau, sur des orbifolds, etc...) ou encore par construction explicite en quatre dimen-sions. Il existe toutefois une multitude de façons d’y arriver. Par ailleurs, des nombreusescontraintes s’appliquent. Pour être viable, un modèle basé sur les cordes doit :

– englober le groupe (3)⊗ (2)⊗ (1) du modèle standard,– contenir les trois générations de fermions chiraux que sont les quarks et leptons,– prédire une durée de vie du proton,– prédire l’angle de Weinberg– prédire l’échelle de brisure électrofaible en accord avec les limites expérimentales,– limiter les courants neutres à changement de saveur,– inclure un mécanisme de brisure de supersymétrie réaliste,– prédire la violation dans les interactions faibles, mais sa conservation dans les

interactions fortes et électromagnétiques– etc...

Le défi est de taille : trouver parmi toutes les possibilités, la théorie des cordes qui répondà ces contraintes en supposant qu’il en existe une et une seule. Une telle étude exhaustivemanque pour le moment mais suivant une approche plus pragmatique il est déjà possible d’ex-aminer des modèles existants ce qui révèle de nouvelles perspectives sur la phénoménologieà basse énergie du modèle standard. Tous ces modèles contiennent typiquement des parti-cules supplémentaires (des leptons et des quarks lourds, des bosons de jauge exotiques, etc.).Parmi les mieux connus, il y a la théorie des cordes hétérotiques 8 ⊗ 8 qui mène dansles limites à basse énergie à deux cas intéressants, les modèles basés sur les groupes 6 et(5)⊗ (1) respectivement.

Modèle 6

240

C h a p i t r e 10Supercordes

Le modèle 6 se distingue par la possibilité d’inclure chaque génération de fermions dumodèle standard dans la représentation fondamentale 27. Mais le modèle prédit aussi deschamps fermioniques additionnels. En termes des sous-groupes (10) et (5) de 6, lareprésentation 27 se décompose de la façon suivante :

27 = 16+ 10+ 1 de (10)

= (10+ 5+ 1) + (5+ 5) + 1 de (5)

La représentation 16 de (10) contient les champs conventionnels du modèle standard etun neutrino droit supplémentaire. Les représentations 10 + 1 de (10) introduisent deschamps supplémentaires ou “exotiques”. Le contenu précis pour la première génération selit :

27 = ( + ; − ; ) + (;) + ()

où les champs sont les superpartenaires des doublets de Higgs, le champ un nouveaulepton neutre massif, et les champs des partenaires colorés des doublets de Higgs.Ces derniers sont des leptoquarks ( = 1

3, = −1) ou des diquarks ( = 2

3, = 0).

Modèle (5)⊗ (1)

À cause de la structure inversée de son contenu fermionique par rapport au modèle grande-ment unifié basé sur (5) , on réfère à ce modèle comme au “modèle (5) inversé”. Lesfermions sont identifiés par les représentations 10+ 5+ 1 comme suit :

5 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝123−

−

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ 10 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝0 3 −2 1 1−3 0 1 2 22 −1 0 3 3−1 −2 −3 0 −1 −2 −3 − 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ 1 =¡+¢

Contrairement au modèle (5), ce modèle prédit l’existence de neutrinos de chiralité droite,et donc des neutrinos massifs. Les champs de jauge sont au nombre de 25 dont 24 provenantde la représentation adjointe de (5) et un provenant de (1). Les champs de Higgs assur-ant la brisure de symétrie (5)⊗(1)→ (3)⊗(2)⊗(1) et la brisure de symétrieélectrofaible sont aussi prédits mais parmi les nouvelles particules, on note la présence deleptoquarks scalaires dans le secteur de Higgs et de leptoquarks vectoriels dans le secteur dejauge.

Le tableau suivant résume les succès et lacunes des supercordes :

En faveur Contre

Absence de divergence ultraviolette Aucune évidence expérimentaleMeilleure candidat pour la théoried’unification des quatre forcesfondamentales.

Difficile de trouver quel processusde compactification et brisure desymétrie mène au modèle standard.

La recherche sur les supercordes est toujours très active et très prolifique. Elle a permisde développer les théories conformes, de trouver des relations avec les groupes quantiques etles modèles intégrables en 2D en matière condensée (ex. modèle de Ising). Plus récemment,un lien de dualité entre les différentes théories des cordes suggère que celles-ci pourraientêtre des manifestations d’une seule théorie qui les chapeauterait, la M-théorie (M faisantallusion à des membranes). Dans une autre direction, d’autres travaux ont par ailleurs révéléque l’échelle caractéristique des cordes pourrait être beaucoup plus près de la masse du ±

que de la masse de Planck.

241


Malgré la compréhension beaucoup complète qu’on en a de nos jours et les progrès ré-cents, la question suivante se pose toujours :

Qu’est-ce qu’une particule élémentaire ?

242

RéférencesAnnexe A

Manuels de références complémentaires

À titre complémentaire, voici quelques références peuvent être utilisés.

Introduction to high energy physics, 3 édition, D.H. Perkins, Addison-Wesley(1987).Couvre presque toute la matière du cours à un niveau équivalent, sauf l’astrophysique desparticules. Emphase plus marquée sur le côté expérimental.

Particle Physics, 2 édition, B.R. Martin and G. Shaw, Wiley.Couvre presque toute la matière du cours à un niveau équivalent, sauf l’astrophysique desparticules. Emphase plus marquée sur le côté expérimental. Beaucoup d’exercices avec solu-tionnaire.Utilise quelques notions de théorie des champs ce qui dépasse donc le cadre de cecours.

Introduction à la physique des particule, R. Nataf, Masson (1988).Couvre en partie la matière du cours à un niveau équivalent. Utilise quelques notions dethéorie des champs ce qui dépasse donc le cadre de ce cours.

A modern introduction to particle physics, Fayyazuddin et Riazuddin, World-Scientific (1992).La première partie du livre couvre en partie la matière du cours à un niveau équivalent mais ladeuxième parite est nettement de niveau plus avancé. S’addresse plus à l’étudiant qui prévoitpoursuivre ses études graduées en physique des particules.

Nuclear and Particle Physics, W.S.C. Williams, Oxford.Couvre presque toute la matière du cours mêlée à la physique nucléaire dont c’est le princi-pal sujet. Niveau un peu élevé plus que requis.

Quarks and Leptons, F. Halzen and A.D. Martin, Wiley.Excellent ouvrage d’introduction à la physique des particules pour étudiants gradués mais engénéral de niveau trop élevé pour le cadre du cours.

Lie Algebras in Particle Physics (Frontiers in Physics), 2 édition, Perseus (1999).Couvre l’essentiel des notions de théorie des groupes requises en physique des particulespresque toute la matière du cours mêlée à la physique nucléaire dont c’est le principal sujet.Niveau un peu élevé plus que requis.

Modern Physics, K. Krane, Wiley.Traite surtout de théorie quantique élémentaire.

Introductory Nuclear Physics, K. Krane, Wiley.Traite surtout de physique nucléaire.

QED - The Strange Theory of Light and Matter R.P. Feynman, Penguin.Excellent traitement de l’électrodynamique quantique sans trop de mathématiques.

243

RéférencesA n n e x e A

The New Physics, éd.par P. Davis, Cambridge.

Excellent recueil d’article sur la physique contemporaine.

The Big Bang, J. Silk, Freeman.et

A Brief History of Time, S.W. Hawking, Bantam Press.Des lectures portant sur la cosmologie.

Ressources sur internet

Il existe par ailleurs beaucoup de ressources sur internet. L’évolution fulgurante d’interneta aussi pour conséquence son caractère temporaire si bien qu’il est impossible de garantirque les sites suivants seront toujours présents dans quelques mois. Malgré cet inconvénient,le lecteur est invité les consulter et à naviguer sur le web où il risque de s’ajouter encore plusde renseignements pertinente au fil des ans.

Notes de cours :

Elementary Particle Physics Lectures, S.L.Lloyd, Queen Mary and WestfieldCollege, London→ http ://hepwww.ph.qmw.ac.uk/epp/lectures.html

Nuclear and Particle Physics, N. Walet, UMIST, Manchester, U.K→ http ://walet.phy.umist.ac.uk/P615/Notes/Notes.html

Documents pédagogiques :

L’aventure des particules, A. Erzberger,M. Barnett et H. Quinn, Lawrence Berke-ley Laboratory (traduit par C. Augier, H. Kérec et C. Helft (LAL - France))→ http ://www.lal.in2p3.fr/CPEP/adventure.html

The Particle Adventure, A. Erzberger, M. Barnett et H. Quinn, Lawrence Berke-ley Laboratory.(version anglaise du lien précédent)→ http ://ParticuleAdventure.org

SUPERSTRINGS !, J.M. Pierre, Department of Physics, University of Califor-nia, Santa Barbara→ http ://www.physics.ucsb.edu/~jpierre/strings/

Particle Physics UK from PPARC (Particle Physics and Astronomy ResearchCouncil)→ http ://hepweb.rl.ac.uk/ppUK

Big Bang Science, Rutherford Appleton Laboratory→ http ://hepwww.rl.ac.uk/pub/bigbang/part1.html

The Science of Particle Physics at Fermilab.→ http ://www.fnal.gov/pub/hep_descript.html

Laboratoires et organisations :

CERN (Centre européen de recherche nucléaire) , Genève, Suisse est le site ducollisionneur +− le LEP (Large Electron Positron collider) et du futur collisionneur ,le LHC (Large Hadron Collider)→ http ://www.cern.ch

244

A n n e x e A

Fermilab (Fermi National Accelerator Laboratory), Chicago, USA est le site ducollisionneur le Tevatron.→ http ://www.fnal.gov

DESY (Deutches Elektronen Synchrotron Laboratory), Hambourg, Allemagneest le site du collisionneur HERA→ http ://www.desy.de

SLAC (Stanford Linear Accelerator Laboratory), Californie, USA est le site ducollisionneur +− le SLC et de la manufacture de mésons BaBar→ http ://heplibw3.slac.stanford.edu

Particle Data Group constitue la banque de données la plus complète sur les résultatsexpérimentaux tels que les tableaux de particules et leurs propriétés, etc...→ http ://pdg.lbl.gov/ LBL

Autres laboratoires→ http ://www.cern.ch/Physics/HEP.html

Expériences majeures :

Sur les sites internet suivants, on retrouve une description des éléments des expériences encours (ou projetées) notamment les détecteurs, la physique étudiée, des résultats obtenus, desimages d’événements reconstruits certains même en temps réel. Ces expériences sont mon-tées par des grandes collaborations internationales de chercheurs.Expériences du collisionneur +−, le LEP (Large Electron Positron collider), au CERN :

ALEPH→ http ://alephwww.cern.ch/Public.html

DELPHI → http ://www.cern.ch/Delphi/Welcome.html

L3→ http ://hpl3sn02.cern.ch

OPAL→ http ://www.cern.ch/OpalExpériences du collisionneur HERA, à DESY :

H1→ http ://www-h1.desy.de :80/

ZEUS→ http ://www-zeus.desy.deExpériences du collisionneur le Tevatron, au Fermilab :

CDF→ http ://www-cdf.fnal.gov

D0→ http ://www-d0.fnal.gov/ .Futures expériences du collisionneur du LHC (Large Hadron Collider), au CERN :

ATLAS→ http ://atlasinfo.cern.ch/Atlas/Welcome.html

CMS→ http ://cmsinfo.cern.ch/cmsinfo/Welcome.htmlet manufacture de au collisionneur +− du SLAC :

BaBar→ http ://www.slac.stanford.edu/BFROOT/

245

Prix Nobel de physiqueAnnexe B

Année Nom Pays Contribution

1901 W.C. Rötgen Allemagne1902 H.A. Lorentz Pays-Bas

P. Zeeman Pays-Bas1903 H. Becquerel France Radioactivité

M. Curie FranceP. Curie France

1904 J.W.S. Rayleigh Grande-Bretagne1905 P. Lenard Allemagne1906 J.J. Thomson Grande-Bretagne1907 A.A. Michelson États-Unis1908 G. Lippmann France1909 G. Marconi Italie

K.F. Braun Allemagne1910 J.D. Van der Waals Pays-Bas1911 W. Wien Allemagne1912 G. Dalén Suède1913 H. Kamerlingh Onnes Pays-Bas1914 M. von Laue Allemagne1915 W.H. Bragg Grande-Bretagne

W.L. Bragg Grande-Bretagne1916 non attribué1917 C.G. Barkla Grande-Bretagne1918 M. Planck Allemagne1919 J. Stark Allemagnes1920 C.E. Guillaume Suisse1921 A. Einstein Allemagne1922 N. Bohr Danemark Modèle atomique1923 R.A. Millikan États-Unis1924 K.M.G. Siegbahn Suède1925 J. Franck Allemagne

G. Hertz Allemagne1926 J. Perrin France1927 A.H. Compton États-Unis Effet Compton

C.T.R. Wilson Grande-Bretagne Chambre de Wilson1928 O.W. Richardson Grande-Bretagne

247

Prix Nobel de physiqueA n n e x e B


1929 L.V. de Broglie FranceR. Feynman États-Unis

1930 C.V. Raman Inde1931 non attribué1932 W. Heisenberg Autriche Mécanique quantique1933 E. Schrödinger Autriche Théorie atomique

P.A.M. Dirac Grande-Bretagne et antimatière1934 non attribué1935 J. Chadwick Grande-Bretagne Découverte du neutron1936 V.F. Hess Autriche Rayonnement cosmique

C.D. Anderson États-Unis Découverte du positron1937 C.J. Davisson États-Unis1927 G.P. Thomson Grande-Bretagne1938 E. Fermi Italie Physique nucléaire1939 E.O. Lawrence États-Unis Invention du cyclotron1940 non attribué1941 non attribué1942 non attribué1943 O. Stern États-Unis Moment magn. du proton1944 I.I. Rabi États-Unis Résonances magnétiques1945 W. Pauli Suisse Principe d’exclusion1946 P.W. Bridgman États-Unis1947 E.V. Appleton Grande-Bretagne1948 P.M.S. Blackett Grande-Bretagne1949 Yukawa Hideki Japon Existence des mésons1950 C.F. Powell Grande-Bretagne Émulsions photographiques1951 J.D. Cockcroft Grande-Bretagne Transmutation des noyaux

E.T.S. Walton Irlande1952 F. Bloch États-Unis

E.M. Purcell États-Unis1953 F. Zernike Pays-Bas1954 M. Born Grande-Bretagne

W. Bothe R.F. d’Allemagne1955 W.E. Lamb États-Unis Structure fine du

P. Kusch États-Unis spectre d’hydrogène1956 W. Shockley États-Unis

J. Bardeen États-UnisW.H. Brattain États-Unis

1957 C.N. Yang Chine/États-Unis Violation de paritéT.D. Lee Chine/États-Unis

1958 P.A. Tcherenkov U.R.S.S.I.M. Frank U.R.S.S.c’est-à-dire Tamm U.R.S.S.

1959 E. Segrè États-Unis Découverte de l’antiprotonO. Chamberlain États-Unis

248

A n n e x e B


1960 D.A. Glaser États-Unis Chambre à bulle1961 R. Hofstadter États-Unis Diffusion électron-noyaux

R. Mössbauer R.F.. d’Allemagne Effet Mössbauer1962 L. Landau U.R.S.S.1963 E. Wigner États-Unis Principes de symétrie

M. Goeppert-Mayer États-Unis Structure nucléaireJ. Hans D. Jensen États-Unis

1964 Ch. H. Townes États-UnisN.G. Bassov U.R.S.S.A.M. Prokhorov U.R.S.S.

1965 Tomonoga Shinichirö Japon ÉlectrodynamiqueJ. Schwinger États-Unis quantique (QED)R. Feynman États-Unis

1966 A. Kastler France1967 H. Bethe États-Unis Théorie nucléaire1968 L. Alvarez États-Unis Résonances hadroniques1969 M. Gell-Mann États-Unis Modèle des quarks1970 H. Alfvén Suède

L. Néel France1971 D. Gabor Grande-Bretagne1972 J. Bardeen États-Unis

L. Cooper États-UnisJ. Schrieffer États-Unis

1973 Esaki Leo JaponI. Giaever États-UnisB.D. Josephson Grande-Bretagne

1974 M. Ryle Grande-BretagneA. Hewish Grande-Bretagne

1975 J. Rainwater États-Unis Modèle de la goutteA. Bohr DanemarkM. Mottelson Danemark

1976 B. Richter États-Unis Découverte du ΨS. Ting États-Unis

1977 P. Anderson États-UnisN. Mott Grande-BretagneJ.H. Van Vleck États-Unis

1978 P.L. Kapitsa U.R.S.S.A.A. Penzias États-UnisR.W. Wilson Grande-Bretagne

1979 S. Glashow États-Unis Théorie électrofaibleA. Salam PakistanS. Weinberg États-Unis

249



1980 J.W. Cronin États-Unis Violation CPV.L. Fitch États-Unis

1981 N. Bloemberger États-UnisA.L. Schawlow États-UnisK.M. Siegbahn Suède

1982 K.G. Wilson États-Unis Phénomènes critiques1983 S. Chandrasekhar États-Unis

W.A. Fowler États-Unis1984 C. Rubbia Italie Découverte

S. Van der Meer Pays-bas des± et du 0

1985 K. von Klitzing R.F. d’Allemagne1986 G. Binnig R.F. d’Allemagne

H. Rohrer SuisseE. Ruska R.F. d’Allemagne

1987 J.G. Bednorz R.F. d’AllemagneK.A. Müller Suisse

1988 L. Lederman États-Unis DécouverteM. Schwartz États-Unis du neutrino J. Steinberger États-Unis

1989 H.G. Dehmelt États-UnisW. Paul R.F. d’AllemagneN.F. Ramsey États-Unis

1990 J.I. Friedman États-Unis Diffusion inélastiqueH.W. Kendall États-Unis profonde et natureR.E. Taylor Canada ponctuelle des quarks

1991 P.-G. de Gennes France1992 G. Charpak France Chambre à multifils1993 R.A. Hulse États-Unis

J.H. Taylor États-Unis1994 B.N. Brockhouse Canada

C.G. Shull États-Unis1995 M.L. Perl États-Unis Découverte du lepton

F. Reines États-Unis et du neutrino 1996 D.M. Lee États-Unis

D.D. Osheroff États-UnisR.C. Richardson États-Unis

1997 S. Chu États-UnisC. Cohen-Tannoudji FranceW.D. Phillips États-Unis

1998 R. B. Laughlin États-UnisH. L. Stormer AllemagneD. C. Tsui Chine

1999 M. Veltman Pays-Bas RenormalisationG. t’Hooft Pays-Bas

2000 Z. I.Alvarov RussieH. Kroemer AllemagneH. S. Kilby États-Unis

250

A n n e x e B

Année Nom Pays Contribution2001 E. A. Cornell États-Unis Condensation Bose-Einstein

W. Ketterle AllemagneC. E. Wieman États-Unis

2002 R. Davis, Jr États-Unis Contributions en astrophysiqueM. Koshiba JaponR. Giacconi États-Unis

2003 A. A. Abrikosov Russie-États-Unis Supraconuctivité et SuprauiditéV. L. Ginzburg RussieA. J. Leggett États-Unis

2004 D. J. Gross États-Unis Liberté asymptotiqueH. D. Politzer États-UnisF. Wilczek États-Unis

2005 R. J. Glauber États-Unis Optique quantique et laserJ. L. Hall États-UnisT. W. Hänsch Allemagne

2006 J. C. Mather États-Unis Anisotropie dans le rayonnementG. F. Smoot États-Unis cosmique microonde

2007 Albert Fert France Magnétorésistance élevéePeter Grünberg Allemagne

2008 Yoichiro Nambu États-Unis Brisure de symétrie électrofaibleMakoto Kobayashi JaponToshihide Maskawa Japon

2009 C. K. Kao Hong Kong, Chine Fibres optique et senseur CCDW. S. Boyle États-UnisG. E. Smith États-Unis

2010

2011

251


252

NotationAnnexe C

Dans cet ouvrage, un certain nombre de conventions ont été adoptées pour faciliter lalecture. Les vecteurs à trois dimensions sont notés par des caractères gras

x rvF

alors que les quadrivecteurs sont notés par

ou par leur composantes contravariantes

L’alphabet grec est utilisé fréquemment :

Alphabet Grec

Majuscule Minuscule Prononciation Majuscule Minuscule Prononciation

alpha nu bêta Ξ xiΓ gamma omicron∆ delta Π pi epsilon rho zeta Σ sigma eta tauΘ theta Υ upsilon iota Φ phi kappa Ψ psiΛ lambda chi mu Ω omega

253

Unités SIAnnexe D

Les lettres SI désignent le Système International d’unités. Il s’agit d’un système d’unitéscohérentes approuvés internationalement qui est en usage dans plusieurs pays et utilisé defaçon systématique pour les ouvrages scientifiques et techniques. Le système SI, basé sur lesunités MKS, replace les systèmes CGS et f.p.s. (Système Impérial). On peut diviser les unitésSI en trois groupes : le unités de base, supplémentaires et dérivées. Il y a sept unités de basequi sont dimensionnellement indépendantes.

Unités de base SI

Quantité Physique Nom Symbole

longueur mètre

masse kilogramme

temps seconde

courant électrique ampère

température kelvin

quantité de matiére mole

intensité lumineuse candela

Unités supplémentaires SI

Quantité Physique Nom Symbole

angle plan radian

angle solide stéradian

Unités dérivées SI

Quantité Physique Nom Symbole Unités SI

fréquence hertz −1

énergie joule ·force newton · · −2puissance watt · −1pression pascal ·−2charge électrique coulomb · différence de potentiel électrique volt ·−1résistance électrique ohm Ω ·−1conductance électrique siemens · −1capacité électrique farad · −1ux magnétique weber · inductance henry ·−1induction magnétique tesla ·−2ux lumineux lumen · illumination lux ·−2activité bequerel Bq −1

dose absorbée gray Gy · −1dose équivalente sievert Sv · −1

Les unités SI sont étendues grâce à des préfixes qui désignent les multiples ou fractionsdécimales des unités.

255

Unités SIA n n e x e D

Préfixes utilisés avec unités SI

Facteur Préfixe Symbole Facteur Préfixe Symbole

10 déca- da 10−1 déci- d102 hecto- h 10−2 centi- c103 kilo- k 10−3 milli- m106 méga- M 10−6 micro-

109 giga- G 10−9 nano- n1012 tera- T 10−12 pico- p1015 peta- P 10−15 femto- f1018 exa- E 10−18 atto- a

256

A n n e x e D

Facteurs de conversion

Pour convertir de en Multiplier par

Activité curie becquerel 37× 1010Aire acre m2 4046873

Énergie

B.T.U.kilocalorieergélectron volt

joulejoulejoulejoule

1055056

4186

10× 10−7160219× 10−19

Forcedynelivre

newtonnewton

00001

444822

Luminositépied chandellephot

luxlux

1076391

100000

Longueur

ångströmpiedpoucemile

mètremètremètremètre

10× 10−103048

0254

1609344

Flux magnétique maxwell weber 10× 10−8Champ magnétique gauss tesla 10× 10−4

257

Unités SIA n n e x e D

Pour convertir de en Multiplier par

Masseu.m.a.u.m.a.

kilogrammeMeV

166054× 10−279314868

Angle plandegréminuteseconde

radianradianradian

1745329× 10−22908882× 10−44848137× 10−6

Puissance horsepower watt 74569987

Pressionatmosphèrebartorr

pascalpascalpascal

101 325

10× 105133322

TempératureCelsiusFahrenheitFahrenheit

kelvinCelsiuskelvin

TK = C + 27315

TF = (TC − 32) 18TK = (TF + 45967) 18

Temps

anjourheureminute

secondesecondesecondeseconde

3153600× 10786400

3600

60

Volumegallonlitrepinte

m3

m3

m3

3785412× 10−310× 10−39463529× 10−4

258

Unités naturellesAnnexe E

Les unités naturelles (UN) sont définies de façon à ce que les constantes fondamentalesque sont la constante de Planck et la vitesse de la lumière soient

~ = 1

= 1

Elles sont utiles dans les systèmes physiques relativistes et/ou qui impliquent des effets quan-tiques mesurables.

Une quantité dans les unités SI (système international) qui possède des dimensions

où est un nombre pur devant , et qui représentent les unités d’énergie (en Joules),longueur (en mètres) et temps (en secondes) respectivement, aura des unités d’énergie à lapuissance − − , soit −− dans le SUN La conversion du SI au SUN procède commesuit. Si dans le SI , et représentent les unités de masse, longueur et temps

[ ]SUN =

∙

µ

~

¶ µ

~

¶¸SI

=

∙

~+

¸SI

= [ ]SI · ¡624× 10−26 MeV−1J−1¢

· ¡51× 1012 MeV−1m−1¢ · ¡152× 1021 MeV−1s−1

¢où les quantités dans les crochets []SUN et []SI sont respectivement en unités SUN et SI.

SI SUNQuantité

Action 1 2 −1 0Vitesse 0 1 −1 0Masse 1 0 0 1

Longueur 0 1 0 −1Temps 0 0 1 −1Impulsion 1 1 −1 1Énergie 1 2 −2 1Const. structure fine 0 0 0 0

Const. de Fermi 1 5 −2 −2

259

Constantes fondamentales en physiqueAnnexe F

Constantes universelles

Quantité Symbole Valeur

Vitesse de la lumière (vide) 299792458× 108ms−1Perméabilité du vide 0 125664× 10−6NA−2Permittivité du vide (10

2) 0 8854187817× 10−12Fm−1Constante gravitationnelle 667259× 10−11m3kg−1s−2

Constante de Planck 66260755× 10−34Jsen électron volts 4135669× 10−15eVs2 ~ 105457266× 10−34Jsen électron volts 65821220× 10−16eVsMasse de Planck ((~)

12 ) 217671× 10−8kg

Longueur de Planck ((~3)12 ) 161605× 10−35m

Temps de Planck ((~5)12 ) 539056× 10−44s

Constantes électromagnétiques


Charge de l’électron 160217733× 10−19CRapport sur 241798836× 1014AJ−1Quantum de ux magnétique (2) Φ0 206783461× 10−15WbRatio fréquence-voltage Josephson 2 48359767× 1014HzV−1Conductance Hall quantique 2 387404614× 10−5SRésistance Hall quantique (02) 258128056Ω

Magnéton de Bohr 92740154× 10−24JT−1en électron volts 578838263× 10−5eVT−1

Magnéton nucléaire (1 nm) 50507866× 10−27JT−1en électron volts 315245166× 10−8eVT−1

261

Constantes fondamentales en physiqueA n n e x e F

Constantes astronomiques


Masse du Soleil ¯ 198843× 1030 kgRayon du Soleil ¯ 69599× 108mMasse de la Terre ⊕ 597223× 1024 kgRayon de la Terre (équateur) ⊕ 6378164× 106mRayon de la Terre (pôle) 6356× 106mMasse de la Lune 7349× 1022 kgRayon de l’orbite lunaire 3844× 108mPression atmosphérique standard 101325 Pa (N ·m−2)

Constantes atomiques


Structure fine (022) 729735308× 10−3

−1 1370359895

Constante de Rydberg ∞ 10973731534× 107m−1en hertz 32898419499× 1015Hzen joules 21798741× 10−18Jen électron volts 136056981eV

Rayon de Bohr (4∞) 0 0529177249× 10−10mÉnergie de Hartree 43597482× 10−18Jen électron volts 272113961eV

Quantum de circulation 2 363694807× 10−4m2s−1

727389614× 10−4m2s−1

262

A n n e x e F

Constantes physico-chimiques


Nombre d’Avogadro 60221367× 1023mol−1Constante d’Avogadro 1023mol−1

Unité de masse atomique ( 112(12)) 16605402× 10−27kg

en électron volts (2) 93149432MeV

Constante de Faraday 96485309Cmol−1

Constante de Planck molaire 399031323× 10−10Jsmol−1 011962658Jmmol−1

Constant des gaz 8314510Jmol−1K−1

Constante de Boltzmann 1380658× 10−23JK−1en électron volts 8617385× 10−5eVK−1en hertz 2083674× 1010HzK−1Volume molaire (gaz parfait) 2241410Lmol−1

Constante de Loschmidt 0 2686763× 1025m−3Constante de Loschmidt 2271108Lmol−1

Constante de Sackur-Tetrode 0 −1151693Constante de Sackur-Tetrode −1164856Constante de Stefan-Boltzmann 567051× 10−8Wm−2K−4Constante de radiation primaire 1 37417749× 10−16Wm2

Constante de radiation secondaire 2 001438769mK

Constante de Wien 2897756× 10−3mKConstante de Coulomb 0 898755× 109Nm2C−2

Constante de perméabilité 04 10−7TmA−1 = 27315K, = 101325Pa = 27315K, = 101325Pa = 27315K, = 100kPa0 = 100kPa0 = 101325Pa

263

Coefficients de Clebsh-GordanAnnexe G

La combinaison de deux ou plusieurs états d’isospin est analogue à celle de momentscinétique et spins en mécanique quantique. Posons deux vecteurs d’états d’isospin |11iet |22i. Ils se combinent selon les règles suivantes

1. L’isospin total peut prendre les valeurs suivantes

|1 − 2| |1 − 2|+ 1 |1 − 2|− 1 |1 − 2|2. Toutefois, la troisième composante d’isospin résultante est conservé additivement

= 1 +2

Plus précisément, l’état final est une combinaison linéaire de tous ces états

|11; 22i = |11i⊕ |22i= ||1 − 2| 1 +2i+ ||1 − 2|+ 11 +2i

+ · · ·+ ||1 − 2| 1 +2ioù et sont des coefficients dits de Clebsch-Gordan définis par les produits scalaires

= h|1 − 2| 1 +2 |11; 22i = h|1 − 2|+ 11 +2 |11; 22i

...

= h|1 − 2| 1 +2 |11; 22i

H Exemple H

Exemple 10.1Considérons les deux états d’isospin |11i = |1 0i et |22i =

12 12

L’état final est une

combinaison linéaire de tous les états possibles

|11; 22i = |11i⊕ |22i

=

12 12+

32 12

où et sont des coefficients dits de Clebsch-Gordan définis par les produits scalaires

=

1

21

2

1 0; 12 12

=

3

21

2

1 0; 12 12

D’après le tableau de la page suivantes

=

2

3

= −1

3

alors 1 0; 12 12=

2

3|121

2i−

1

3|321

2i|321

2i

265

Coefficients de Clebsh-GordanA n n e x e G

Figure G.1 JICoefficients de Clebsh-Gordan. Note : Un radicalest sous-entendu dans les tables de coefficients,

ex. − 815

doit se lire −

815

(gracieuseté de Parti-

cle Data Group).

+1 10

1/21/2

- 1/2

00

1/2

- 1/2

1

1

- 1- 1/2

1

1- 1/2+1/2

+1/2 +1/2+1/2- 1/2

1/2´ 1/2

Notation:J J

M M

...

...

.

.

.

.

.

.

m1 m2

m1 m2 Coefficients

5/25/23/2

3/2+3/2

1/54/5

4/5- 1/5

5/2

5/2- 1/2

3/52/5

- 1- 2

3/2- 1/2

2/5 5/2 3/2- 3/2- 3/2

4/51/5 - 4/5

1/5

- 1/2- 2 1

- 5/25/2

- 3/5

- 1/2+1/2

+1 - 1/2 2/5 3/5- 2/5

- 1/2+1/2

3/5

0- 1

+1/20

+1/23/2

+1/2

+5/2

+2 - 1/2

1/2+2

+1 +1/2

1

2´ 1/2

3/23/2

1/32/3

+1/2

0- 1

1/2+1/2

2/3- 1/3

- 1/2+1/2

1

- 1/2+1/2 - 1/2

- 1

3/2

2/3 3/2- 3/2

1

1/3

- 1/2

- 1/2

1/2

1/3- 2/3

+1 +1/2

+10

+3/21´ 1/2

2+2

+3/2

+3/2 +1/2 +1

1/4 2

2- 1

1

2

- 2

1

- 1

1/4

- 1/2

1/21/2

- 1/2 - 1/2

+1/2- 3/2

- 3/2

1/2

1003/4

+1/2- 1/2 - 1/2

2+1

3/4

3/4

- 3/41/4

- 1/2+1/2

- 1/4

1

+1/2- 1/2+1/2

1

3/2´ 1/2

5/2+5/2 5/2

5/2 3/2 1/2

1/2- 1/3

- 1

+10

1/6

+1/2

+1/2- 1/2- 3/2

+1/2

2/51/15

- 8/15

+1/2

1/10

3/103/5 5/2 3/2 1/2

- 1/2

1/6- 1/3 5/2

5/2- 5/2

3/2- 3/2

- 3/52/5

- 3/2

3/52/5

1/2

- 10

- 1/2

8/15- 1/15

- 2/5

- 1/2- 3/2

- 1/2

3/103/5

1/10

+3/2

+3/2+1/2- 1/2

+3/2+1/2

0+1

2/53/5

3/2

3/5- 2/5

- 1

+10

+3/21+1+3/2

3/2´ 1

1- 3/2 - 1

+1

+2 2+1

1/21/2

1

1/2 20

1/6

1/62/3

1

1/2

- 1/2

0

0 2

2- 2

1- 1- 1

1- 1

1/2- 1/2

- 1

1/21/2

00

0- 1

1/3

1/3- 1/3

- 1/2

+1

- 1

- 10

+100

+1- 1

2

1

00 +1

+1+1

1´ 1

+2 +1

+2+1

+3

+1

1

0

3

1/3

+2

2/3

2

2/3 3

3

3

3

3

1- 1- 2

- 32/31/3

- 22

1/3- 2/3

- 2

0- 1- 2

- 10

+1

- 1

6/158/151/15

2- 1

- 1- 2

- 10

1/2- 1/6- 1/3

1- 1

1/10- 3/10

3/5

020

10

3/10- 2/53/10

01/2

- 1/2

1/5

1/53/5

+1

+1

- 10 0

- 1

+1

1/158/156/15

2+1

1/31/6

- 1/2

1+1

3/5- 3/10

1/10

- 1/3

- 10+1

0

+2

+1

+2

32´ 1

266

Rappel de relativité restreinte et cinéma-tique relativiste Annexe H

H.1 La relativité restreinte . . . . . . 267H.2 Cinématique relativiste . . . . . 268

H.1 La relativité restreinte

Les deux principes sur lesquels repose la relativité sont :

H Postulat H

Postulat 10.1 Le principe de relativité : les lois de la physique doivent avoir la mêmeforme dans tous les repères inertiels.

H Postulat H

Postulat 10.2 Universalité de la vitesse de la lumière : la vitesse de la lumière est lamême dans tous les repères inertiels. Cette vitesse ne dépend pas de l’état de mouvementde la source.

L’intervalle

Considérons deux événements E1 et E2 reliés par un rayon lumineux. Dans un référentiel, on a∆ = 2− 1,∆ = 2−1,∆ = 2−1 et∆ = 2− 1. Ces quantités satisfontla relation :

− (∆)2 + (∆)2 + (∆)2 + (∆)2 = 0 (H.1)puisque = 1. En raison de l’universalité de , on a aussi dans un second référentiel 0 :

− (∆0)2 + (∆0)2 + (∆0)2 + (∆0)2 = 0 (H.2)

Plus généralement, pour deux événements quelconques séparés dans l’espace de ∆, ∆ et∆ et dans le temps de ∆, on appelle intervalle entre ces événements la quantité :

∆2 = − (∆)2 + (∆)2 + (∆)2 + (∆)2 (H.3)

En relation avec ce que l’on vient tout juste de voir, on constate que si∆2 est nul pour deuxévénements donnés, ∆2 est également nul. Il y a en fait une invariance de l’intervalle lorsd’un passage des coordonnées de ( ) aux coordonnées de 0(0 0 0 0) :

(∆)2= (∆0)2 (H.4)

267

Rappel de relativité restreinte et cinématique relativisteA n n e x e H

Classification des évènements et causalité

Comme la quantité (∆)2 entre deux événements est indépendante des observateurs, onpeut s’en servir pour classer les événements l’un par rapport à l’autre.

Si l’intervalle entre deux événements (E et S) est positif, on dira qu’il est du genre-espace ; si l’intervalle est négatif (E et T ), on dira qu’il est du genre-temps alors que s’ilest nul, on le dira du genre-lumière. Par rapport à un événement donné E , l’ensemble desévénements contenus dans le cône inférieur forment le passé absolu de E ; ceux du cônesupérieur, le futur absolu de E (événements du genre-temps). Ceux qui sont à l’extérieur ducône constituent l’ailleurs de E (événements du genre-espace) (voir figure H.1).

(∆)2

0 ; genre − espace(∆)

2 0 ; genre − temps

(∆)2= 0 ; genre − lumiere

t

x

E

S T

cône de lumière

futur

ailleurs

passé

Figure H.1 NRelation de causalité entre les événements.

On voit donc que chaque événement a son passé, son futur et son ailleurs. Quant auprésent, il n’existe à toutes fins pratiques qu’en un point. Cette façon de voir est radicalementdifférente de celle qui avait prévalu jusqu’en 1905 où le temps était quelque chose d’absolu.

On peut aisément admettre que l’événement S de la figure H.1 ne peut être l’effet de l’é-vénement E car la distance (selon ) est trop grande pour qu’un rayon lumineux ait puconnecter ces deux événements. Il en est de même pour tous les événements de l’ailleurs deE ; ainsi l’événement E ne peut être l’effet d’aucun événement situé dans l’ailleurs-passé.

Par contre, une relation de causalité est possible entre E et T qui est dans le futur absolude E . En effet, il est possible qu’un rayon lumineux ou qu’un signal moins rapide ait connectéces deux événements, ce qui veut dire que E pourrait être la cause de T . De même E peut êtrel’effet de tout événement faisant partie de son passé absolu.

H.2 Cinématique relativiste

Transformations de Lorentz

L’invariance de la vitesse signifie notamment qu’un front d’onde émanant d’une sourcelumineuse ponctuelle demeure sphérique dans tous les repères en mouvement relatif uniforme(voir figure H.2). Nous choisirons d’identifier l’axe des à la direction de la direction de lavitesse relative entre les référentiels et 0

V=Vex

S

x'

x

y' y

S'

z' z

Figure H.2 NRéférentiels et 0.

Soit des repères et 0 en mouvement relatif uniforme. Un front d’onde émis en = 0,par une source fixe à l’origine de , sera décrit en 0 par un observateur du même repèrepar la sphère

2 + 2 + 2 = 2 (H.5)Un observateur d’un repère 0, qui coïncidait avec à = 0 mais qui se déplace unifor-

mément par rapport à , verra la sphère

02 + 02 + 02 = 02 (H.6)On peut alors déduire de cette observation la transformation de Lorentz pour les coordonnées

268

A n n e x e HCinématique relativiste

d’espace-temps,0 = (− )

0 = (− )

0 =

0 =

= (0 + 0) = (0 + 0) = 0

= 0(H.7)

les transformations de Lorentz des vitesses,

0 =−1−

0 =

(1− )0 =

(1− )

=0+1+0

=0

(1+0 )

=0

(1+0 )

(H.8)

et les transformation de Lorentz de l’énergie-impulsion,

0 = ( − )

0 = ( − )

0 = 0 =

= (0 + 0) = (0 + 0) = 0 = 0

(H.9)

où = (1− 2)−

12 (H.10)

269

Équation de DiracAnnexe I

Rappelons que l’équation de Klein-Gordon décrit les bosons (spin entier) se lit :

−2

2= −∇2 +2 ou 0 =

¡

+2¢ (I.1)

Dirac propose de linéariser cette équation dans les dérivées par rapport aux coordonnées detemps et d’espace (équation différentielle du premier ordre).

Dans le cas le plus général où la masse n’est pas nulle, l’équation linéarisée prend laforme

0

− 1

− 2

− 3

− = 0

ou de façon plus succinte ¡

−¢ = 0 (I.2)

où on introduit les constantes ( = 0 1 2 3). Élevant au carré cette dernière équation, onobtient

( −)

¡

−¢ = − ¡ −2

¢ = 0 (I.3)

Pour coïncider avec (I.1), il est nécessaire que

+ = 2

Ceci n’est possible que si les sont des matrices de dimensions 4 × 4 ou plus. Dans leurreprésentation la plus simple les matrices appelées matrices de Dirac, s’écrivent

0 =

⎛⎜⎜⎝0 0 1 0

0 0 0 1

−1 0 0 0

0 −1 0 0

⎞⎟⎟⎠ 1 =

⎛⎜⎜⎝0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

⎞⎟⎟⎠

2 =

⎛⎜⎜⎝0 0 0 −0 0 0

0 − 0 0

0 0 0

⎞⎟⎟⎠ 3 =

⎛⎜⎜⎝0 0 1 0

0 0 0 −11 0 0 0

0 −1 0 0

⎞⎟⎟⎠ou encore écrit de façon plus abrégée

0 =

µ0

− 0

¶= =

µ0 − 0

¶ = 1 2 3

où chaque élément ici est une matrice 2× 2 soit 0 est la matrice nulle, la matrice indentitéet les sont les matrices de Pauli. Par extension, on utilise aussi souvent une cinquièmematrice définie comme

5 ≡ 0123 =

µ0

0

¶La fonction d’onde est maintenant un bi-spineur qui possède quatre composantes

=

⎛⎜⎜⎝1234

⎞⎟⎟⎠

L’équation de Dirac décrit alors quatre équations linéaires couplées. Les matrices intè-grent la notion de spin puisque qu’elles correspondent à une version généralisée des ma-trices de spin de Pauli. Pour cette raison, l’équation de Dirac convient à la description desfermions (spin demi-entier). En fait, des quatres degrés de liberté du bi-spineur, deux servent

271

Équation de DiracA n n e x e I

à représenter la particule dans les états de spin ±12

et deux autres, l’antiparticule dans les étatsde spin ±1

2 Sous une forme plus explicite où les matrices sont développées, c’est-à-dire un

système de quatre équations couplées, nous avons

µµ

−

¶3 −

µ

−

¶4

¶−1 = 0

µµ

+

¶4 −

µ

+

¶3

¶−2 = 0

µ−µ

−

¶1 −

µ

−

¶2

¶−3 = 0

µ−µ

+

¶2 −

µ

+

¶1

¶−4 = 0

Considérons l’opérateur de parité P et son effet sur les fermions. L’équation de Dirac quidécrit la particule et l’antiparticule

( −) (x) = 0

devient sous P( −) (−x) = 0¡

00 − −¢ (−x) = 0

En multipliant cette expression par 0 et en utilisant la relation d’anticommutation =2 on obtient ¡

00 + −¢0 (−x) = 0

Mais 0 est en fait l’opérateur de parité pour les fonctions d’onde de Dirac, c’est-à-dire0 (−x) = (x). Plus précisément, les états d’énergie positive et de spin ±1

2, et les

états d’énergie négative et de spin ±12

sont représentés par les solutions

1 =

⎛⎜⎜⎝1

0

0

0

⎞⎟⎟⎠ 2 =

⎛⎜⎜⎝0

1

0

0

⎞⎟⎟⎠ 1 =

⎛⎜⎜⎝0

0

1

0

⎞⎟⎟⎠ 2 =

⎛⎜⎜⎝0

0

0

1

⎞⎟⎟⎠qui se transforment sous P suivant

01 =

⎛⎜⎜⎝1

0

0

0

⎞⎟⎟⎠ 02 =

⎛⎜⎜⎝0

1

0

0

⎞⎟⎟⎠ 01 = −

⎛⎜⎜⎝0

0

1

0

⎞⎟⎟⎠ 02 = −

⎛⎜⎜⎝0

0

0

1

⎞⎟⎟⎠d’où on tire que les fermions ont une parité positive et les antifermions, une parité négative.

272

Particules, collisionneurs,... Annexe J

J.1 Propriétés des particules . . . 273J.2 Collisionneurs . . . . . . . . . . . . . . 297J.3 Glossaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

J.1 Propriétés des particules

Les propriétées des particules sont tirées des données compilées en 2009 par le ParticleData Group (voir http ://pdg.lbl.gov/).


Figure J.1 JIClassification des particules fondamentales.Particu les

fondamentales

Fermions

Leptons Quarks

Anti-leptons

Anti-quarks


Bosons

Photons

W± , Z

0

Gluons

Higgs

273

Particules, collisionneurs,...A n n e x e J

Dans les tableaux qui suivent, nous utiliserons la notation et les conventions suivantes :

Nombres Quantiques

= Masse (MeV)Γ = Largeur de désintégration (MeV) = Vie moyenne = Charge électrique = Nombre électronique = Nombre muonique = Nombre tauique = Nombre baryonique = Étrangeté = Charme = Bottom ou Beauté = Top ou Truth = Hypercharge forte= + + + +

G = (Isospin fort)Parité-

3 = 3 composante de = − 1

2

= Isospin faible3 = 3 composante de

= Hélicité gauche, droite de C = SpinParité, Parité C

L’incertitude sur la masse, la largeur de désintégration et la vie moyenne est présentée dela façon suivante.ex : 1383.7±10 MeV = 1383.7 ±10MeVLorsque l’incertitude n’est pas indiquée, c’est qu’elle est indéterminée ou non disponible.

Les unités de masse et de largeur de désintégration sont exprimées dans le système d’u-nités naturelles, c’est-à-dire en MeV.

La mention dans un tableau signifie non-disponible ou ne s’applique pas.(RIN) = Repère d’impulsion nulle

Bosons de jauge et Higgs


1× 10−24 ×10−35 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0) 1−− ∞0 911876±21 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1 0) 1 24952±23

+ 80398±25 1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1 1) 1 2124±41

− 80398±25 −1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1−1) 1 2124±41

0 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0) 1−

0 144400 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0) 0

274

A n n e x e JPropriétés des particules

Leptons

3 = 0Particule (MeV) ( ) ( ) ( 3 ) ( 3)

G C Γ(MeV) ou (s)

0510998910±13 −1 (1 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)− 12

15×1034 2× 10−6 0 (1 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)− 1

2

105658367±4 −1 (0 1 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)− 12

2197019±21×10−6 019 0 (0 1 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)− 1

2

177684±17 −1 (0 0 1) 0 (0 0 0 0) (0 0)− 12

2906±11×10−15 182 0 (0 0 1) 0 (0 0 0 0) (0 0)− 1

2

Leptons avec chiralité

0510998910±13 −1 (1 0 0) 0 (0 0 0 0) ( 12− 1

2) (0 0)− 1

2

0 0 (1 0 0) 0 (0 0 0 0) ( 12 12) (0 0)− 1

2

105658367±4 −1 (0 1 0) 0 (0 0 0 0) ( 12− 1

2) (0 0)− 1

22197019±21×10−6

0 0 (0 1 0) 0 (0 0 0 0) ( 12 12) (0 0)− 1

2

177684±17 −1 (0 0 1) 0 (0 0 0 0) ( 12− 1

2) (0 0)− 1

22906±11×10−15

0 0 (0 0 1) 0 (0 0 0 0) ( 12 12) (0 0)− 1

2

0510998910±13 −1 (1 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0) (0 0)− 12

0 0 (1 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0) (0 0)− 12

105658367±9 −1 (0 1 0) 0 (0 0 0 0) (0 0) (0 0)− 12

2197019±21×10−6 0 0 (0 1 0) 0 (0 0 0 0) (0 0) (0 0)− 1

2

177684±17 −1 (0 0 1) 0 (0 0 0 0) (0 0) (0 0)− 12

2906±11×10−15 0 0 (0 0 1) 0 (0 0 0 0) (0 0) (0 0)− 1

2

275


Les masses des quarks et sont des estimés de ce qu’on appelle la masse-courant cal-culées dans le shéma de soustraction indépendant de la masse (mass-independent subtractionscheme) tel que le shéma de renormalisation à l’échelle de masse de 2 GeV. Les massesdes quarks et sont les masses efficaces (running masses) dans le shéma de renormalisa-tion La masse du quark est obtenue de deux façon : schéma de renormalisation

et état 1 Ces dernières mesures peuvent être différentes car elles dépendent du modèle depotentiel utilisé pour décrire les interactions entre quarks lourds.

Quarks

= 0 3 = − 12

+ + + +

Particule (MeV) ( ) ( ) ( 3 ) ( 3)

G C Γ(MeV) ou (s)

4 23

(0 0 0) 13

(0 0 0 0) ( 12 12)− 1

2

+

8 − 13

(0 0 0) 13

(0 0 0 0) ( 12 −12)− 1

2

+

1350 23

(0 0 0) 13

(0 1 0 0) (0 0)− 12

+

130 − 13

(0 0 0) 13

(−1 0 0 0) (0 0)− 12

+

4900 − 13

(0 0 0) 13

(0 0−1 0) (0 0)− 12

+

1743±51 23

(0 0 0) 13

(0 0 0 1) (0 0)− 12

+

Quarks avec chiralité

4 23

(0 0 0) 13

(0 0 0 0) ( 12 12) ( 1

2 12)− 1

2

+

8 − 13

(0 0 0) 13

(0 0 0 0) ( 12− 1

2) ( 1

2 −12)− 1

2

+

1350 23

(0 0 0) 13

(0 1 0 0) ( 12 12) (0 0)− 1

2

+

130 − 13

(0 0 0) 13

(−1 0 0 0) ( 12− 1

2) (0 0)− 1

2

+

4900 − 13

(0 0 0) 13

(0 0−1 0) ( 12− 1

2) (0 0)− 1

2

+

1743±51 23

(0 0 0) 13

(0 0 0 1) ( 12 12) (0 0)− 1

2

+

4 23

(0 0 0) 13

(0 0 0 0) (0 0) ( 12 12)− 1

2

+

8 − 13

(0 0 0) 13

(0 0 0 0) (0 0) ( 12 −12)− 1

2

+

1350 23

(0 0 0) 13

(0 1 0 0) (0 0) (0 0)− 12

+

130 − 13

(0 0 0) 13

(−1 0 0 0) (0 0) (0 0)− 12

+

4900 − 13

(0 0 0) 13

(0 0−1 0) (0 0) (0 0)− 12

+

1743±51 23

(0 0 0) 13

(0 0 0 1) (0 0) (0 0)− 12

+

276


Hadrons (mésons)

Mésons sans saveurs

= 0 3 =

= 1 ( ) : 1√2(− )

= 0 ( 0 0 ) : 1(+ ) + 2


+ 13957018±35 1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1 1)− 0− 260330±5×10−8− 13957018±35 −1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1−1)− 0− 260330±5×10−80 1349766±600 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1 0)− 0−+ 84±6×10−17 547853±24 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)+ 0−+ 000130±70

0(958) 95766±24 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)+ 0−+ 0205±15

(770)+ 77549±34 1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1 1)+ 1− 1503±16

(770)− 77549±34 −1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1−1)+ 1− 1503±16

(770)0 77549±34 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1 0)+ 1−− 1503±16

(1020) 1019455±2 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)− 1−− 426±4

(782) 78265±12 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)− 1−− 849±8

0(600) 1200 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)+ 0++ 600− 10000(980) 980±10 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)+ 0++ 40− 1000(980)

+ 9847±12 1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1 1)− 0+ 50− 1000(980)

− 9847±12 −1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1−1)− 0+ 50− 1000(980)

0 9847±12 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1 0)− 0++ 50− 1001(1170) 1170±20 −1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)− 1+ 360±40

1(1235)+ 12295±32 1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1 1)+ 1+ 142±9

1(1235)− 12295±32 −1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1−1)+ 1+ 142±9

1(1235)0 12295±32 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1 0)+ 1+− 142±9

277


Mésons sans saveurs (suite)

= 0 3 =

= 1 ( ) : 1√2(− )

= 0 ( 0 0 ) : 1(+ ) + 2


1(1260)+ 1230±40 1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1 1)− 1+ 250− 600

1(1260)0 1230±40 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1 0)− 1++ 250− 600

1(1260)− 1230±40 −1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1−1)− 1+ 250− 600

2(1270) 12751±12 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)+ 2++ 1850±29

1(1285) 12818±6 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)+ 1++ 243±11

(1295) 1294±4 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)+ 0−+ 55±5

(1300)+ 1300±100 1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1 1)− 0− 200− 600(1300)− 1300±100 −1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1−1)− 0− 200− 600(1300)0 1300±100 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1 0)− 0−+ 200− 6002(1320)

+ 13183±6 1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1 1)− 2+ 107±5

2(1320)− 13183±6 −1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1−1)− 2+ 107±5

2(1320)0 13183±6 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1 0)− 2++ 107±5

0(1370) 1500 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)+ 0++ 200− 5001(1400)

+ 1351±30 1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1 1)− 1− 313±40

1(1400)− 1351±30 −1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1−1)− 1− 313±40

1(1400)0 1351±30 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1 0)− 1−+ 313±40

(1405) 14098±25 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)+ 0−+ 511±34

1(1420)+ 14264±9 1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 1)+ 1+ 549±26

1(1420)− 14264±9 −1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0−1)+ 1+ 549±26

1(1420)0 14264±9 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)+ 1++ 549±26

(1420)+ 1450 1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 1)− 1− 180− 250

278



= 0 3 =

= 1 ( ) : 1√2(− )

= 0 ( 0 0 ) : 1(+ ) + 2


(1420)− 1450 −1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0−1)− 1− 180− 250(1420)0 1450 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)− 1−− 180− 2500(1450) 1474±19 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1 0)− 0++ 265±13

(1450)+ 1465±25 1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1 1)+ 1− 400±60

(1450)− 1465±25 −1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1−1)+ 1− 400±60

(1450)0 1465±25 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1 0)+ 1−− 400±60

(1475) 1476±4 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)+ 0−+ 85±9

0(1500) 1505±6 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)+ 0++ 109±7

02(1270) 1525±5 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)+ 2++ 73±6

1(1600)+ 1662±15 1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1 1)− 1− 234±50

1(1600)− 1662±15 −1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1−1)− 1− 234±50

1(1600)0 1662±15 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1 0)− 1−+ 234±50

2(1645) 1617±5 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)+ 2−+ 181±11

(1650) 1670±30 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)− 1−− 315±35

(1670) 1667±4 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)− 1−− 168±10

2(1670)+ 16724±32 1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1 1)− 2− 259±9

2(1670)− 16724±32 −1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1−1)− 2− 259±9

2(1670)0 16724±32 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1 0)− 2−+ 259±9

279



= 0 3 =

= 1 ( ) : 1√2(− )

= 0 ( 0 0 ) : 1(+ ) + 2


(1680) 1680±20 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)− 1−− 150±50

3(1690)+ 16888±21 1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1 1)+ 3− 161±10

3(1690)− 16888±21 −1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1−1)+ 3− 161±10

3(1690)0 16888±21 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1 0)+ 3−− 161±10

(1700)+ 1720±20 1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1 1)+ 1− 250±100

(1700)− 1720±20 −1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1−1)+ 1− 250±100

(1700)0 1720±20 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1 0)+ 1−− 250±100

0(1710) 1724±7 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)+ 0++ 137±8

(1800)+ 1816±14 1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1 1)− 0− 207±13

(1800)− 1816±14 −1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1−1)− 0− 207±13

(1800)0 1816±14 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1 0)− 0−+ 207±13

3(1850) 1854±7 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)− 3−− 87±28

2(1880) 1895±16 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1 0)− 2−+ 235±34

2(1950) 1944±12 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)+ 2++ 472±18

2(2010) 2011±80 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)+ 2++ 202±60

4(2040)+ 2001±10 1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1 1)− 4+ 313±31

4(2040)− 2001±10 −1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1−1)− 4+ 313±31

4(2040)0 2001±10 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (1 0)− 4++ 313±31

4(2050) 2018±11 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)+ 4++ 237±18

2(2300) 2297±28 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)+ 2++ 149±40

2(2340) 2339±60 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)+ 2++ 319±80

280


Mésons étranges

= 0 3 = − 12

+ = 0 = 0 = − =

∗+ = ∗0 = ∗0 = ∗− =


+ 493677±16 1 (0 0 0) 0 (1 0 0 0) ( 12 12)− 0− 12380±21×10−8

− 493677±16 −1 (0 0 0) 0 (−1 0 0 0) ( 12 −12)− 0− 12380±21×10−8

0 497614±24 0 (0 0 0) 0 (1 0 0 0) ( 12 −12)− 0−−

0 497614±24 0 (0 0 0) 0 (−1 0 0 0) ( 12 12)− 0−−

∗(892)+ 89166±26 1 (0 0 0) 0 (1 0 0 0) ( 12 12)− 1− 508±9

∗(892)− 89166±26 −1 (0 0 0) 0 (−1 0 0 0) ( 12 −12)− 1− 508±9

∗(892)0 89600±25 0 (0 0 0) 0 (1 0 0 0) ( 12 12)− 1−− 503±6

∗(892)0 89600±25 0 (0 0 0) 0 (−1 0 0 0) ( 12 12)− 1−− 503±6

1(1270) 1272±7 0 (0 0 0) 0 (1 0 0 0) ( 12 −12)− 1+− 90±20

1(1270) 1272±7 0 (0 0 0) 0 (−1 0 0 0) ( 12 12)− 1+− 90±20

1(1400) 1403±7 0 (0 0 0) 0 (1 0 0 0) ( 12 −12)− 1+− 174±13

1(1400) 1403±7 0 (0 0 0) 0 (−1 0 0 0) ( 12 12)− 1+− 174±13

∗(1410) 1414±15 0 (0 0 0) 0 (1 0 0 0) ( 12 −12)− 1−− 232±21

∗(1410) 1414±15 0 (0 0 0) 0 (−1 0 0 0) ( 12 12)− 1−− 232±21

0∗(1430) 1425±50 0 (0 0 0) 0 (1 0 0 0) ( 1

2 −12)− 0+− 270±80

0∗(1430) 1425±50 0 (0 0 0) 0 (−1 0 0 0) ( 1

2 12)− 0+− 270±80

2∗(1430)+ 14256±15 1 (0 0 0) 0 (1 0 0 0) ( 1

2 12)− 2+ 985±27

2∗(1430)− 14256±15 −1 (0 0 0) 0 (−1 0 0 0) ( 1

2 −12)− 2+ 985±27

2∗(1430)0 14324±13 0 (0 0 0) 0 (1 0 0 0) ( 1

2 −12)− 2+− 109±5

∗(1680)+ 1717±27 1 (0 0 0) 0 (1 0 0 0) ( 12 12)− 1− 322±110

∗(1680)− 1717±27 −1 (0 0 0) 0 (−1 0 0 0) ( 12 −12)− 1− 322±110

∗(1680)0 1717±27 0 (0 0 0) 0 (1 0 0 0) ( 12 −12)− 1−− 322±110

∗(1680)0 1717±27 0 (0 0 0) 0 (−1 0 0 0) ( 12 12)− 1−− 322±110

281


Mésons étranges (suite)

= 0 3 = − 12

+ = 0 = 0 = − =

∗+ = ∗0 = ∗0 = ∗− =


2(1770)+ 1773±8 1 (0 0 0) 0 (1 0 0 0) ( 1

2 12)− 2− 186±14

2(1770)− 1773±8 −1 (0 0 0) 0 (−1 0 0 0) ( 1

2 −12)− 2− 186±14

2(1770)0 1773±8 0 (0 0 0) 0 (1 0 0 0) ( 1

2 −12)− 2−− 186±14

2(1770)0 1773±8 0 (0 0 0) 0 (−1 0 0 0) ( 12 12)− 2−− 186±14

3(1780)+ 1776±7 1 (0 0 0) 0 (1 0 0 0) ( 1

2 12)− 3− 159±21

3(1780)− 1776±7 −1 (0 0 0) 0 (−1 0 0 0) ( 1

2 −12)− 3− 159±21

3(1780)0 1776±7 0 (0 0 0) 0 (1 0 0 0) ( 1

2 −12)− 3−− 159±21

3(1780)0 1776±7 0 (0 0 0) 0 (1 0 0 0) ( 1

2 −12)− 3−− 159±21

3(1780)0 1776±7 0 (0 0 0) 0 (−1 0 0 0) ( 12 12)− 3−− 159±21

2(1820)+ 1816±13 1 (0 0 0) 0 (1 0 0 0) ( 1

2 12)− 2− 276±35

2(1820)− 1816±13 −1 (0 0 0) 0 (−1 0 0 0) ( 1

2 −12)− 2− 276±35

2(1820)0 1816±13 0 (0 0 0) 0 (1 0 0 0) ( 1

2 −12)− 2−− 276±35

2(1820)0 1816±13 0 (0 0 0) 0 (−1 0 0 0) ( 12 12)− 2−− 276±35

4∗(2045)+ 2045±9 1 (0 0 0) 0 (1 0 0 0) ( 1

2 12)− 4− 198±30

4∗(2045)− 2045±9 −1 (0 0 0) 0 (−1 0 0 0) ( 1

2 −12)− 4− 198±30

4∗(2045)0 2045±9 0 (0 0 0) 0 (1 0 0 0) ( 1

2 −12)− 4−− 198±30

4∗(2045)0 2045±9 0 (0 0 0) 0 (−1 0 0 0) ( 1

2 12)− 4−− 198±30

282


Mésons charmés = ±1 = 0 3 = − 1

2

+ = 0 = 0 = − =


+ 186962±2 1 (0 0 0) 0 (0 1 0 0) ( 12 12)− 0− 1040±7×10−15

− 186962±2 −1 (0 0 0) 0 (0−1 0 0) ( 12 −12)− 0− 1040±7×10−15

0 186484±17 0 (0 0 0) 0 (0 1 0 0) ( 12 −12)− 0−− 4101±15×10−15

0 186484±17 0 (0 0 0) 0 (0−1 0 0) ( 12 12)− 0−− 4101±15×10−15

∗(2007)0 200697±19 0 (0 0 0) 0 (0 1 0 0) ( 12 −12)− 0−− 21

∗(2007)0 200697±19 0 (0 0 0) 0 (0−1 0 0) ( 12 12)− 0−− 21

∗(2010)+ 201027±17 1 (0 0 0) 0 (0 1 0 0) ( 12 12)− 0− 0096±22

∗(2010)− 201027±17 −1 (0 0 0) 0 (0−1 0 0) ( 12 −12)− 0− 0096±22

1(2420)0 24223±18 0 (0 0 0) 0 (0 1 0 0) ( 1

2 −12)− 1+− 189

1(2420)0 24223±18 0 (0 0 0) 0 (0−1 0 0) ( 12 12)− 1+− 189±46

∗2(2460)0 24611±16 0 (0 0 0) 0 (0 1 0 0) ( 1

2 −12)− 1−− 23±5

∗2(2460)0 24611±16 0 (0 0 0) 0 (0−1 0 0) ( 12 12)− 1−− 23±5

∗2(2460)+ 24601±35 1 (0 0 0) 0 (0 1 0 0) ( 1

2 12)− 2+ 37±6

∗2(2460)− 24601±35 −1 (0 0 0) 0 (0 1 0 0) ( 1

2 −12)− 2+ 37±6

283


Mésons étranges charmés = = ±1 3 = 0

+ = − = ∗+ = ∗− =


+ 196849±34 1 (0 0 0) 0 (1 1 0 0) (0 0)− 0− 500±7×10−15

− 196849±34 −1 (0 0 0) 0 (−1−1 0 0) (0 0)− 0− 500±7×10−15

∗(2317)+ 23178±6 1 (0 0 0) 0 (1 1 0 0) (0 0)− 0+ 38

∗(2317)− 23178±6 −1 (0 0 0) 0 (−1−1 0 0) (0 0)− 0+ 38

(2460)+ 24596±6 1 (0 0 0) 0 (1 1 0 0) (0 0)− 1+ 35

(2460)− 24596±6 −1 (0 0 0) 0 (−1−1 0 0) (0 0)− 1+ 35

1(2536)+ 253535±34 1 (0 0 0) 0 (1 1 0 0) (0 0)− 1+ 23

1(2536)− 253535±34 −1 (0 0 0) 0 (−1−1 0 0) (0 0)− 1+ 23

Mésons beaux ( e = ±1) = 0 3 = − 1

2

+ = 0 = 0 = − =


+ 527915±31 1 (0 0 0) 0 (0 0 1 0) ( 12 12)− 0− 1638±11×10−12

− 527915±31 −1 (0 0 0) 0 (0 0−1 0) ( 12 −12)− 0− 1638±11×10−12

0 527953±33 0 (0 0 0) 0 (0 0 1 0) ( 12 −12)− 0−− 1530±9×10−12

0 527953±33 0 (0 0 0) 0 (0 0−1 0) ( 12 12)− 0−− 1530±9×10−12

∗+ 53251±5 1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) ( 12 1)− 1−

∗− 53251±5 −1 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) ( 12−1)− 1−

∗0 53251±5 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) ( 12 0)− 1−−

1(5721)0 57207±27 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) ( 1

2 0)− 1+−

∗2(5747)0 57469±29 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) ( 1

2 0)− 2+−

284


Mésons étranges beaux ( e = ±1 = ∓1) = 0 3 =

0 = 0

= ∗0 = ∗0 =


0 53663±6 0 (0 0 0) 0 (−1 0 1 0) (0 0)− 0−− 1470±27×10−12

∗ 54128±13 0 (0 0 0) 0 (−1 0 1 0) (0 0)− 1−−

1(5830)0 58294±7 0 (0 0 0) 0 (−1 0 1 0) ( 1

2 0)− 1+−

∗2(5840)0 58397±6 0 (0 0 0) 0 (−1 0 1 0) ( 1

2 0)− 2+−

285


Mésons charmés beaux ( e = ±1 = ±1) 3 = 0

+ = =

= ∗+ = ∗= =


+ 6276±4 1 (0 0 0) 0 (0 1−1 0) (0 0)− 0− 046±70×10−12

− 6276±4 −1 (0 0 0) 0 (0−1 1 0) (0 0)− 0− 046±70×10−12

Mésons

3 = 0


(1) 29803±12 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)+ 0−+ 267±30

Ψ(1) 3096916±11 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)− 1−− 932±21

0(1 ) 341475±31 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)+ 0++ 102±7

1(1 ) 351066±70 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)+ 1++ 089±5

(1 ) 352593±27 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)+ 0++ 1

2(1 ) 355620±9 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)+ 2++ 203±12

(2) 3637±4 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)+ 0+− 14±7

Ψ(2) 368609±4 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)− 1−− 317±9

Ψ(3770) 377292±35 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)− 1−− 273±10

Ψ(4040) 4039±1 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)− 1−− 80±10

Ψ(4160) 4153±3 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)− 1−− 103±8

Ψ(4415) 4421±4 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)− 1−− 62±20

286


Mésons

3 = 0


Υ(1) 946030±26 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)− 1−− 005402±125

0(1 ) 985944±42 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)+ 0++

1(1 ) 989278±26 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)+ 1++

2(1 ) 991221±26 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)+ 2++

Υ(2) 1002326±31 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)− 1−− 003198±263

0(2 ) 102325±4 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)+ 0++

1(2 ) 1025546±22 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)+ 1++

2(2 ) 1026865±72 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)+ 2++

Υ(3) 103552±5 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)− 1−− 002032±185

Υ(4) 105794±12 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)− 1−− 205±25

Υ(10860) 10865±8 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)− 1−− 110±13

Υ(11020) 11019±8 0 (0 0 0) 0 (0 0 0 0) (0 0)− 1−− 79±16

287


Hadrons (baryons)

Baryons ( = 0 = 12)

= 0 = 1 3 = − 12

+ = 0 =


93827203±8 1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 12 12)− 1

2

+ 662×1036

93956536±8 0 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 12 −12)− 1

2

+8857±8

(1440)+11 1440 1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 12 12)− 1

2

+200− 450

(1440)011 1440 0 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 12 −12)− 1

2

+200− 450

(1520)+13 1520 1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 12 12)− 3

2

−100− 125

(1520)013 1520 0 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 12 −12)− 3

2

−100− 125

(1535)+11 1535 1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 12 12)− 1

2

−125− 175

(1535)011 1535 0 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 12 −12)− 1

2

−125− 175

(1650)+11 1655 1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 12 12)− 1

2

−145− 185

(1650)011 1655 0 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 12 −12)− 1

2

−145− 185

(1675)+15 1675 1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 12 12)− 5

2

−130− 175

(1675)015 1675 0 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 12 −12)− 5

2

−130− 175

(1680)+15 1685 1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 12 12)− 5

2

+120− 140

(1680)015 1685 0 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 12 −12)− 5

2

+120− 140

(1700)+13 1700 1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 12 12)− 3

2

−50− 150

(1700)013 1700 0 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 12 −12)− 3

2

−50− 150

288


Baryons ( = 0 = 12) (suite)

= 0 = 1 3 = − 12

+ = 0 =


(1710)+11 1710 1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 12 12)− 1

2

+50− 250

(1710)011 1710 0 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 12 −12)− 1

2

+50− 250

(1720)+13 1720 1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 12 12)− 3

2

+150− 300

(1720)013 1720 0 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 12 −12)− 3

2

+150− 300

(2190)+17 2190 1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 12 12)− 7

2

−300− 700

(2190)017 2190 0 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 12 −12)− 7

2

−300− 700

(2220)+19 2220 1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 12 12)− 9

2

+350− 500

(2220)019 2220 0 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 12 −12)− 9

2

+350− 500

(2250)+19 2250 1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 12 12)− 9

2

+230− 800

(2250)019 2250 0 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 12 −12)− 9

2

+230− 800

(2600)+111 2600 1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 12 12)− 11

2

+500− 800

(2600)0111 2600 0 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 12 −12)− 11

2

+500− 800

289


Baryons∆¡ = 0 = 3

2

¢ = 0 = 1 3 = − 1

2

∆++ = ∆+ = ∆0 = ∆− =


∆(1232)+33 1232 1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 12)− 3

2

+116− 120

∆(1232)−33 1232 −1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 −32)− 3

2

+116− 120

∆(1232)033 1232 0 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 −12)− 3

2

+116− 120

∆(1232)++33 1232 2 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 32)− 3

2

+116− 120

∆(1600)+33 1600 1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 12)− 3

2

+250− 450

∆(1600)−33 1600 −1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 −32)− 3

2

+250− 450

∆(1600)033 1600 0 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 −12)− 3

2

+250− 450

∆(1600)++33 1600 2 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 32)− 3

2

+250− 450

∆(1620)+31 1630 1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 12)− 1

2

−135− 150

∆(1620)−31 1630 −1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 −32)− 1

2

−135− 150

∆(1620)031 1630 0 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 −12)− 1

2

−135− 150

∆(1620)++31 1630 2 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 32)− 1

2

−135− 150

∆(1700)+33 1700 1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 12)− 3

2

−200− 400

∆(1700)−33 1700 −1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 −32)− 3

2

−200− 400

∆(1700)033 1700 0 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 −12)− 3

2

−200− 400

∆(1700)++33 1700 2 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 32)− 3

2

−200− 400

∆(1905)+35 1890 1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 12)− 5

2

+270− 400

∆(1905)−35 1890 −1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 −32)− 5

2

+270− 400

∆(1905)035 1890 0 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 −12)− 5

2

+270− 400

∆(1905)++35 1890 2 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 32)− 5

2

+270− 400

∆(1910)+31 1910 1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 12)− 1

2

+190− 270

∆(1910)−31 1910 −1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 −32)− 1

2

+190− 270

∆(1910)031 1910 0 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 −12)− 1

2

+190− 270

∆(1910)++31 1910 2 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 32)− 1

2

+190− 270

290


Baryons∆¡ = 0 = 3

2

¢(suite)

= 0 = 1 3 = − 12

∆++ = ∆+ = ∆0 = ∆− =


∆(1920)+33 1920 1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 12)− 3

2

+150− 300

∆(1920)−33 1920 −1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 −32)− 3

2

+150− 300

∆(1920)033 1920 0 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 −12)− 3

2

+150− 300

∆(1920)++33 1920 2 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 32)− 3

2

+150− 300

∆(1930)+35 1930 1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 12)− 5

2

−220− 500

∆(1930)−35 1930 −1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 −32)− 5

2

−220− 500

∆(1930)035 1930 0 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 −12)− 5

2

−220− 500

∆(1930)++35 1930 2 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 32)− 5

2

−220− 500

∆(1950)+37 1930 1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 12)− 7

2

+235− 335

∆(1950)−37 1930 −1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 −32)− 7

2

+235− 335

∆(1950)037 1930 0 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 −12)− 7

2

+235− 335

∆(1950)++37 1930 2 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 32)− 7

2

+235− 335

∆(2420)+311 2420 1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 12)− 11

2

+300− 500

∆(2420)−311 2420 −1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 −32)− 11

2

+300− 500

∆(2420)0311 2420 0 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 −12)− 11

2

+300− 500

∆(2420)++311 2420 2 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) ( 32 32)− 11

2

+300− 500

291


Baryons Λ ( = −1 = 0) 3 = 0 = 1

Λ0 =


Λ 1115683±6 0 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (0 0)− 12

+2631±21×10−10

Λ(1405)01 14065±40 0 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (0 0)− 12

−500±20

Λ(1520)01 15195±10 0 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (0 0)− 32

−156±10

Λ(1600)01 1600 0 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (0 0)− 12

+50− 250

Λ(1670)01 1680 0 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (0 0)− 12

−25− 50

Λ(1690)03 1690 0 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (0 0)− 32

−50− 70

Λ(1800)01 1800 0 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (0 0)− 12

−200− 400

Λ(1810)01 1810 0 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (0 0)− 12

+50− 250

Λ(1820)05 1820 0 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (0 0)− 52

+70− 90

Λ(1830)05 1830 0 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (0 0)− 52

−60− 110

Λ(1890)03 1890 0 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (0 0)− 32

+60− 200

Λ(2100)07 2100 0 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (0 0)− 72

−100− 250

Λ(2110)05 2110 0 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (0 0)− 52

+150− 250

Λ(2350)09 2350 0 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (0 0)− 92

+100− 250

292


Baryons Σ ( = −1 = 1) = 0 = 1 3 =

Σ+ = Σ0 = Σ− =


Σ+ 118937±70 1 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (1 1)− 12

+08018±26×10−10

Σ− 1197449±3 −1 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (1−1)− 12

+1479±11×10−10

Σ0 1192642±24 0 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (1 0)− 12

+74±70×10−20

Σ(1385)+13 13828±4 1 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (1 1)− 32

+358±8

Σ(1385)013 13837±10 0 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (1 0)− 32

+36±5

Σ(1385)−13 13872±5 −1 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (1−1)− 32

+394±21

Σ(1660)+11 1660 1 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (1 1)− 12

+40− 200

Σ(1660)−11 1660 −1 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (1−1)− 12

+40− 200

Σ(1660)011 1660 0 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (1 0)− 12

+40− 200

Σ(1670)+13 1670 1 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (1 1)− 32

−40− 80

Σ(1670)−13 1670 −1 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (1−1)− 32

−40− 80

Σ(1670)013 1670 0 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (1 0)− 32

−40− 80

Σ(1750)+11 1750 1 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (1 1)− 12

−60− 160

Σ(1750)−11 1750 −1 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (1−1)− 12

−60− 160

Σ(1750)011 1750 0 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (1 0)− 12

−60− 160

Σ(1775)+15 1775 1 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (1 1)− 52

−105− 135

Σ(1775)−15 1775 −1 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (1−1)− 52

−105− 135

Σ(1775)015 1775 0 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (1 0)− 52

−105− 135

Σ(1915)+15 1915 1 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (1 1)− 52

+80− 160

Σ(1915)−15 1915 −1 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (1−1)− 52

+80− 160

Σ(1915)015 1915 0 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (1 0)− 52

+80− 160

Σ(1940)+13 1940 1 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (1 1)− 32

−150− 300

Σ(1940)−13 1940 −1 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (1−1)− 32

−150− 300

Σ(1940)013 1940 0 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (1 0)− 32

−150− 300

Σ(2030)+17 2030 1 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (1 1)− 72

+150− 200

Σ(2030)−17 2030 −1 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (1−1)− 72

+150− 200

Σ(2030)017 2030 0 (0 0 0) 1 (−1 0 0 0) (1 0)− 72

+150− 200

293


Baryons Ξ¡ = −2 = 1

2

¢ = 1 3 = + 1

2

Ξ0 = Ξ− =


Ξ0 131486±2 0 (0 0 0) 1 (−2 0 0 0) ( 12 12)− 1

2

+290±9×10−10

Ξ− 132171±70 −1 (0 0 0) 1 (−2 0 0 0) ( 12 −12)− 1

2

+1639±15×10−10

Ξ(1530)0 153180±32 0 (0 0 0) 1 (−2 0 0 0) ( 12 12)− 3

2

+91±5

Ξ(1530)− 15350±6 −1 (0 0 0) 1 (−2 0 0 0) ( 12 −12)− 3

2

+99±19

Ξ(1820)+13 1823±5 1 (0 0 0) 1 (−2 0 0 0) ( 12 32)− 3

2

−24±15

Ξ(1820)013 1823±5 0 (0 0 0) 1 (−2 0 0 0) ( 12 12)− 3

2

−24±15

Ξ(1820)−13 1823±5 −1 (0 0 0) 1 (−2 0 0 0) ( 12 −12)− 3

2

−24±15

Baryons Ω ( = −3 = 0) 3 = 0 = 1 = −1

Ω− =


Ω− 167245±290 −1 (0 0 0) 1 (−3 0 0 0) (0 0)− 32

+0821±11×10−10

294


Baryons charmés ( = +1)

= 0 = 1 3 = − 1Λ+ = Σ++ = Σ+ = Σ0 = Ξ+ = Ξ0 = Ω− =


Λ+ 228646±140 1 (0 0 0) 1 (0 1 0 0) (0 0)− 1

2

+200±6×10−15

Λ(2595)+ 25954±6 1 (0 0 0) 1 (0 1 0 0) (0 0)− 1

2

+3089±6

Λ(2625)+ 26266±8 1 (0 0 0) 1 (0 1 0 0) (0 0)− 1

2

+3417±6

Λ(2880)+ 288153±35 1 (0 0 0) 1 (0 1 0 0) (0 0)− 9

2

+58±11

Σ(2455)++ 245402±18 2 (0 0 0) 1 (0 1 0 0) (1 1)− 1

2

+223±3

Σ(2455)+ 24529±4 1 (0 0 0) 1 (0 1 0 0) (1 0)− 1

2

+ 46

Σ(2455)0 245376±18 0 (0 0 0) 1 (0 1 0 0) (1−1)− 1

2

+22±4

Σ(2520)++ 25184±6 2 (0 0 0) 1 (0 1 0 0) (1 1)− 1

2

+18±5

Σ(2520)+ 25175±23 1 (0 0 0) 1 (0 1 0 0) (1 0)− 1

2

+ 17

Σ(2520)0 25180±5 2 (0 0 0) 1 (0 1 0 0) (1−1)− 1

2

+13±5

Ξ+ 24679±4 1 (0 0 0) 1 (0 1 0 0) ( 1

2 0)− 3

2

+442±26×10−15

Ξ0 24710±4 0 (0 0 0) 1 (0 1 0 0) ( 1

2−1)− 1

2

+112±13×10−15

Ξ0+ 25757±31 1 (0 0 0) 1 (0 1 0 0) ( 1

2 0)− 1

2

+

Ξ00 25780±29 0 (0 0 0) 1 (0 1 0 0) ( 1

2−1)− 1

2

+

Ξ(2645)+ 26466±14 1 (0 0 0) 1 (0 1 0 0) ( 1

2 0)− 3

2

+ 31

Ξ(2645)0 26461±12 0 (0 0 0) 1 (0 1 0 0) ( 1

2−1)− 3

2

+ 55

Ξ(2790)+ 27900±35 1 (0 0 0) 1 (0 1 0 0) ( 1

2 0)− 1

2

− 15

Ξ(2790)0 2790±4 0 (0 0 0) 1 (0 1 0 0) ( 1

2−1)− 1

2

− 12

Ξ(2815)+ 28149±18 1 (0 0 0) 1 (0 1 0 0) ( 1

2 0)− 3

2

− 35

Ξ(2815)0 28190±25 0 (0 0 0) 1 (0 1 0 0) ( 1

2−1)− 3

2

− 65

Ω0 26975±26 0 (0 0 0) 1 (−2 1 0 0) (0−1)− 1

2

+69±12×10−15

Ω(2770)0 27683±30 0 (0 0 0) 1 (−2 1 0 0) (0−1)− 3

2

+

295


Baryons beaux³ e = −1´

= 0 = 1 3 =

Λ+ = Σ++ = Σ+ = Σ0 = Ξ+ = Ξ0 = Ω− =


Λ0 56202±16 0 (0 0 0) 1 (0 0−1 0) (0 0)− 1

2

+1383±49×10−12

Σ+ 58078±27 1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) (0 0)− 1

2

+

Σ− 58152±20 1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) (0 0)− 1

2

+

Σ∗+ 58290±34 1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) (0 0)− 3

2

+

Σ∗− 58364±28 1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) (0 0)− 3

2

+

Ξ0 57924±30 1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) (0 0)− 1

2

+

Ξ− 57924±30 1 (0 0 0) 1 (0 0 0 0) (0 0)− 1

2

+

296

A n n e x e JCollisionneurs

J.2 Collisionneurs

Collisionneurs

Projet/LaboratoireÉnergie(GeV)

Circonférence(km)

+−CESR (1979)Cornell–Ithaca,USA

6 + 6

PEPSLAC–Stanford,USA

15 + 15

PEP-II (1999)SLAC–Stanford,USA

9 + 31

PETRA (1992-)DESY–Hambourg,All.

23 + 23

TRISTAN (1999)Tsukuba–KEK,Japon

30 + 30

SLC (1989)SLAC–Stanford,USA

50 + 50

LEP I et II (1990-)CERN–Genève,Suisse

I : 45 + 45II : 87 + 87

26659

VLEPP ( ?)INP–Serpukov,Russie

500 + 500

1000 + 1000

SppS (1981–1990)CERN–Genève,Suisse

315 6911

Tevatron (1987-)Fermilab–Batavia,USA

900 + 900 628

LHC (~2007)CERN–Genève,Suisse

7000 + 7000 26659

HERA (1992-)DESY–Hambourg,All.

: 30 + : 820 6336

297


J.3 Glossaire

Accélérateur : machine utilisée pour accélérer des particules à grande vitesse (et donc àgrande énergie comparée à l’énergie de masse au repos).

Anneau de collisions : accélérateur circulaire dans lequel deux faisceaux se déplaçant ensens opposé sont dirigés l’un contre l’autre pour obtenir des collisions de hautes énergiesentre les particules des 2 faisceaux.

Annihilation : phénomène durant lequel une particule rencontre son antiparticule et toutesdeux disparaissent en créant de l’énergie. Cette énergie est convertie sous une autre forme,soit en une particule différente et son antiparticule (et leur énergie), soit en de nombreuxhadrons, soit en un simple boson neutre. Les particules produites doivent être une combinai-son permise par la conservation de l’énergie et de l’impulsion et de tous les types de charge.

Antimatière : matière faite d’antifermions. Nous appelons matière les fermions qui sontcommuns dans notre univers, et antimatière leurs antiparticules. L’asymétrie de l’univers en-tre ces deux catégories de particules est un mystère dont nous n’avons pas encore toutes lesclés.

Antiparticule : à chaque type de fermion est associé un autre type de fermion qui a ex-actement la même masse mais une valeur opposé e pour toutes les autres charges (nombrequantique). C’est ce que l’on appelle une antiparticule. Par exemple l’antiparticule d’un élec-tron est une particule de charge électrique positive appelée positron. Les bosons ont égale-ment des antiparticules sauf ceux qui ont une valeur zéro pour toutes les charges, par exempleun photon ou un boson composé d’un quark et de son antiquark correspondant. Dans ce cas,il n’y a pas de distinction entre la particule et l’antiparticule.

Antiquark : antiparticule d’un quark.Astrophysique : la physique des objets astronomiques tels les étoiles et les galaxies.Baryon : hadron constitué de trois quarks. Le proton () et le neutron () sont tous

deux des baryons.Boson : particule qui a un moment angulaire intrinsèque entier mesuré en unité de (spin= 0 1 2 ). Toutes les particules sont soit des fermions soit des bosons. Les particules con-stituées d’un nombre pair de fermions (quarks) sont également des bosons.

Boson 0 : particule messagère de l’interaction faible. Elle est impliquée dans tous lesprocessus d’interaction faible qui ne changent pas la saveur.

Bosons+− : particules messagères de l’interaction faible. Ils sont impliqués dansles processus d’interaction faible avec changement de la charge électrique.

CERN : le plus grand centre européen et international de recherche en physique des hautesénergies, situé près de Genève en Suisse. Ce complexe de laboratoires et d’accélérateurs estle site du plus grand collisionneur du monde, le LHC.

Chambre à muon : couches externes d’un détecteur de particules servant à enregistrer lestraces des particules chargées. A l’exception des neutrinos sans masse, qui n’interagissentpas avec la chambre, seuls les muons atteignent cette couche depuis le point de collision.

Charge : nombre quantique porté par une particule. Détermine si une particule peut par-ticiper à un processus d’interaction. Une particule ayant une charge électrique a des interac-tions électromagnétiques, une particule ayant une charge de couleur a des interactions fortes,etc..

Charge de couleur : nombre quantique qui détermine la participation aux interactionsfortes. Les quarks et les gluons portent des charges de couleurs non nulles.

Charge électrique : le nombre quantique qui détermine la participation aux interactionsélectromagnétiques.

Confinement : propriété de l’interaction forte qui fait que les quarks ou les gluons nesont jamais observés séparément mais seulement comme constituants d’objets composites decouleur neutre.

Conservation : lorsqu’une quantité (charge électrique, énergie, ou impulsion) est con-servée, la valeur de cette quantité avant et après réaction entre particules est la même.

Conservation de la charge : la charge électrique est conservée dans tout processus detransformation d’un groupe de particules en un autre.

Cosmologie : étude de l’histoire de l’univers.

298

A n n e x e JGlossaire

Désintégration : procédé durant lequel une particule disparaît et des particules différentesapparaissent à sa place. La somme des masses des particules produites est toujours inférieureà la masse de la particule originelle.

Électron () : particule de charge électrique négative et légère, donc éminemment stable.C’est le lepton le plus courant, avec une charge électrique de− (où est la charge électriqueélémentaire du proton).

Événement : ce qui se produit lorsque deux particules entrent en collision ou lorsqu’uneparticule se désintègre. Les théories concernant les particules prédisent la probabilité qu’unévénement ait lieu lors d’une collision ou désintégration. Elles ne peuvent prédire ce quirésultera d’un événement particulier.

Expérience sur cible fixe : expérience durant laquelle un faisceau de particules issuesd’un accélérateur est directement envoyé sur une cible au repos.

Faisceau : ensemble de particules produites par un accélérateur et habituellement émisespar paquets.

Famille : ensemble de chaque type de quarks et de leptons, groupés en fonction de lamasse. La première famille contient les quarks up et down (haut et bas), l’électron et leneutrino électron.

Fermilab : Fermi National Accelerator Laboratory à Batavia, Illinois (près de Chicago).A été appelé du nom du pionnier de la physique des particules, Enrico Fermi.

Fermion : toute particule ayant un spin demi-entier (12

, 32

,..) mesuré en unités de . Commeconséquence de ces valeurs, les fermions obéissent au principe d’exclusion de Pauli, qui ditque deux fermions ne peuvent coexister dans le même état, au même moment. Beaucoupde propriétés de la matière ordinaire découlent de cette loi. Les électrons, les protons et lesneutrons sont tous des fermions, ainsi que toutes les constituants élémentaires de la matière :quarks et leptons.

Gluon : particule messagère des interactions fortes.Graviton : en théorie, particule messagère de l’interaction gravitationnelle. Elle n’a pas

encore été observée.Hadron : particule faite de constituants d’interaction forte (quarks et gluons). On dis-

tingue les mésons (constitués d’ un quark et d’un antiquark) et les baryons (constitués detrois quarks). De telles particules participent aux interactions résiduelles fortes.

Interaction : procédé durant lequel une particule se désintègre ou répond à une force due àla présence d’une autre particule (comme dans une collision). Ce terme est également utilisépour décrire les propriétés sous-jacentes de la théorie qui est responsable de tels effets.

Interaction électrofaible : dans le Modèle Standard, les interactions électromagnétique etfaible sont unifiées :]les physiciens parlent donc d’interaction électrofaible pour inclure les deux.

Interaction électromagnétique : interaction entre particules ayant une charge électrique,par l’échange d’un photon ; ceci inclut les interactions magnétiques.

Interaction faible : responsable de tous les procédés dans lesquels la saveur change, doncde l’instabilité des leptons et quarks lourds, et des particules contenant ces derniers. Desinteractions faibles qui ne changent pas la saveur ont également pu être observées.

Interaction fondamentale : les interactions fondamentales sont au nombre de quatre :]interaction forte, électromagnétique, faible et gravitationelle (quatre types d’interaction sontnécessaires pour expliquer tous les phénomènes physiques) . La théorie prédit l’existenced’un autre mécanisme d’interaction fondamental, responsable de la masse des particules élé-mentaires.

Interaction forte : responsable de la liaison des quarks, antiquarks et gluons pour formerdes hadrons. L’interaction nucléaire forte est responsable de la force de liaison nucléon nu-cléon dans le noyau atomique.

Interaction gravitationnelle : interaction entre objets massifs due au rapport énergie-masse.Interaction résiduelle : interaction entre des objets n’ayant pas de charge mais contenant

des constituants qui ont une charge. Bien que quelques substances chimiques mettent en jeudes ions électriquement chargés, la majorité de la chimie est due aux interactions électromag-nétiques entre des atomes électriquement neutres. L’interaction nucléaire forte entre protonset neutrons est responsable de la liaison du noyau.

Kaon () : méson constitué, suivant sa charge électrique, d’un quark avec un antiquark ou , ou bien d’un antiquark avec un quark ou .

299


Lepton : fermion élémentaire qui ne participe pas aux interactions fortes. Les leptons élec-triquement chargés sont l’électron (), le muon (), le tau ( ), et leurs antiparticules de chargeélectrique positive. Les leptons électriquement neutres sont appelés les neutrinos.

LHC : Large Hadron Collider, accélérateur du CERN à Genève, Suisse. Le LHC réaliserades collisions entre deux faisceaux de protons ayant chacun une énergie de 7 TeV. En 2005, ilsera l’accélérateur de particules le plus puissant du monde. On espère ainsi percer quelques-uns des secrets de la physique des particules.

Linac : abréviation pour accélérateur linéaire.Masse au repos : est définie par l’énergie d’une particule isolée au repos, divisée par la

vitesse de la lumière au carré. Lorsqu’un physicien des particules utilise le mot masse, ilsous-entend toujours l’énergie associée à la masse au repos de l’objet en question. C’estl’énergie de masse définie par Einstein = 2.

Matière noire : matière qui se trouve dans l’espace mais que l’on ne peut pas voir carelle n’émet aucun rayonnement permettant de l’observer. Le mouvement des étoiles autourdu centre de leur galaxie implique que près de 90% de la matière d’une galaxie typique estnoire. On suppose qu’il y a également de la matière noire entre les galaxies mais c’est plusdifficile à vérifier.

Mécanique quantique : loi de la physique qui s’applique à très petite échelle. La chargeélectrique, l’impulsion, le moment angulaire, aussi bien que les charges, sont des quantitésdiscrètes appelés quanta (elles ne peuvent prendre que des valeurs multiples d’un quantumélémentaire).

Méson : hadron constitué d’un quark et d’un antiquark.Modèle Standard : théorie des particules élémentaires et de leurs interactions. Cette théorie

est largement reconnue et avalisée par les physiciens.Muon () : la seconde saveur des leptons chargés (par ordre de masse croissante), avec

une charge électrique de −.Neutre : ayant une charge nette égale à zéro. Le mot charge se réfère, quand on ne précise

pas autre chose, à la charge électrique.Neutrino () : lepton sans charge électrique. Les neutrinos ne participent qu’aux interac-

tions faibles et sont de ce fait très difficiles à détecter. Il y a trois types (saveur) de neutrinos,tous sont très légers et ont probablement une masse, si elle n’est pas nulle, extrêmement petitedevant celle des autres particules.

Neutron () : baryon ayant une charge électrique nulle ; c’est un fermion constitué de deuxquarks down (bas) et d’un quark up (haut), maintenus ensemble par des gluons. La partieneutre d’un noyau atomique est faite de neutrons. Différents isotopes du même élément ontdes nombres différents de neutrons dans leur noyau (par exemple le carbone 12 et le carbone14).

Noyau : ensemble de neutrons et de protons qui forme le coeur d’un atome, dont la chargeélectrique, positive, est la somme des charges des protons qui le constituent.

Particule : objet subatomique ayant une masse et une charge définies.Particule fondamentale : une particule sans sous-structure interne, encore appelée consti-

tuant élémentaire. Dans le Modèle Standard, les quarks, les leptons, le photon, les gluons etles bosons +− et 0 sont élémentaires. Tous les autres objets sont faits à partir de ceséléments.

Particule subatomique : toute particule qui est petite comparée à la taille de l’atome.Particule virtuelle : particule qui n’existe que durant un très bref instant dans un processus

intermédiaire. Le principe d’incertitude d’Heisenberg autorise une violation apparente de laconservation de l’énergie. De fait si l’on regarde seulement la particule initiale et les produitsfinaux de désintégration, on constate que l’énergie est conservée.

Photon : particule messagère de l’interaction électromagnétique.Pion : méson le plus léger, il peut avoir une charge électrique de +, − ou 0.Positron : antiparticule de l’électron.Principe d’exclusion de Pauli : voir fermion.Principe d’incertitude de Heisenberg : principe quantique, formulé la première fois par

Heisenberg, qui dit qu’il n’est pas possible de connaître exactement à la fois la position et l’impulsion d’un objet au même moment avec une précision meilleure que . On

300

A n n e x e JGlossaire

écrit ∆∆ de l’ordre de . C’est également vrai pour l’énergie et le temps (voir particulevirtuelle).

Proton : hadron le plus courant, c’est un baryon ayant une charge électrique de +, op-posée à celle de l’électron. Les protons sont constitués de deux quarks up (haut) et d’un quarkdown (bas), liés ensemble par les gluons. Le noyau d’un atome d’hydrogène est un proton. Unnoyau ayant une charge électrique ou bien ”un nombre de charge” contient protons ;c’est donc le nombre de protons qui différencie les différents éléments chimiques.

Quantum : valeur la plus élémentaire de toute quantité.Quark () : fermion élémentaire subissant toutes les interactions. Les quarks ont une charge

électrique de+23 (up, charm, top) ou de−3 (down, strange, bottom) , alors que la chargedu proton est de +.

Quark bottom () : la cinquième saveur de quark ( par ordre croissant de masse), avec unecharge électrique −3. On l’appelle aussi ”beauté”.

Quark charmé () : la quatrième saveur de quark (par ordre croissant de masse), avec unecharge électrique +23.

Quark down () : la seconde saveur d’un quark (par ordre croissant de masse ), avec unecharge électrique −3.

Quark étrange () : la troisième saveur de quark (par ordre croissant de masse), avec unecharge électrique −3.

Quark top () : la sixième saveur de quark (par ordre croissant de masse), avec une chargeélectrique +23. Sa masse est bien plus importante que celle de tout les autres quark etleptons. On l’appelle aussi truth (vérité).

Quark up () : la saveur la plus légère de quark (par ordre croissant de masse), avec unecharge électrique +23.

Saveur : nom utilisé pour distinguer les 6 types de quarks (up, down, strange, charm,bottom ou beauty, top ou truth, que l’on peut traduire en français par en haut, en bas, étrange,charme, bas ou beauté, sommet ou vérité) et à laquelle on associe un nombre quantique(l’étrangeté par exemple). On distingue aussi 6 saveurs de leptons. Pour chaque saveur delepton chargé il existe une saveur de neutrino. En d’autres termes, la saveur est le nombrequantique qui différencie les différents types de quarks et de leptons. Chaque saveur de quarket de leptons chargé a une masse différente. Pour les neutrinos, nous ne savons pas encore s’ilspossèdent une masse ou non, bien que les récents résultats de l’expérience SuperKamiokandetendent à prouver qu’ils ont une masse très faible, mais non nulle.

SLAC : Stanford Linear Accelerator Center, à Stanford, aux États-Unis.Spin : moment angulaire intrinsèque d’une particule ou d’un noyau. On l’exprime en unité

de , où = 2, étant la constante de Planck.Stable : qui ne se désintègre pas. Une particule ou un noyau sont stables lorsqu’il n’y a pas

de processus spontané qui les fasse disparaître et remplacer par d’autres particules ou noyaux(il faut leur faire subir des collisions).

Synchrotron : type d’accélérateur circulaire dans lequel deux faisceaux de particules cir-culent en sens opposé selon un rayon précis.

Tau ( ) : la troisième saveur des leptons chargés (par ordre croissant de masse), avec unecharge électrique de −.

Théorie du big-bang : théorie de l’univers en expansion ayant commencé comme un mi-lieu infiniment chaud et dense. L’instant initial est appelé le big-bang.

Trace : enregistrement de la trajectoire d’une particule qui traverse un détecteur.Tracking : processus de reconstruction d’une trace laissée dans le détecteur par le passage

d’une particule.Usine à : accélérateur conçu pour porter au maximum la production de mésons (mé-

sons constitués d’un quark ou d’un antiquark ). Les propriétés des mésons sont alorsétudiées avec des détecteurs adaptés.

301

I n d e x

Index

Accélérateurs, 32circulaires, 33linéaires, 32

Annihilation +−, 213Antiparticule, 14

Baryons, 144charmés, 162masse, 153moments magnétiques, 155

Bosons, 13Bottom

nombre quantique, 108quarks, 108

Cabbiboangle de, 196

Calorimètre, 45Chambre

à streamer, 41à bulles, 43à dérive, 43à ash, 41à fils, 41d’ionisation, 40de Wilson, 43

Champsthéorie quantique des, 13

Charge faible, 191Charme


Charme, 197Chromodynamique quantique, 205Cinématique relativiste, 268Clebsh-Gordan

coefficients de, 265Compteur

à scintillations, 44Tcherenkov, 44de Geiger-Muller, 40à gerbes, 45proportionnel, 40proportionnel multifils, 41

Confinement, des quarks, 207Conjugaison de la charge, 109

antiparticule, 112du photon, 111

du pion, 111invariance, 111parité totale, 110

Couleurévidence expérimentale, 151fonctions d’onde, 151groupe (3), 150nombre quantique, 150

Courants neutres, 188CP

violation de, 200Création de paires, 40

Dalitzdiagramme de, 72diagrammes de , 120

Descriptiondes interactions, 62de Heisenberg, 63de Schrödinger, 62

Désintégrationdu proton, 229largeur de, 69

Détecteurs, 38à rayonnement de transition, 45calorimètre, 45chambre à bulles, 43chambre à dérive , 43chambre à fils, 41chambre à ash, 41chambre à streamer, 41chambre d’ionisation, 40chambre de Wilson, 43compteur à gerbes, 45Compteur à scintillations, 44compteur Tcherenkov, 44compteur de Geiger-Muller, 40compteur proportionnel, 40compteur proportionnel multifils, 41émulsion photographique, 43semi-conducteurs, 43

Diffusionde Coulomb, 39− , 177, 209−Noyau non polarisée, 171−Noyau polarisée, 176hadron-hadron, 217 − , 214

Dirac

303

I n d e x

équation de, 12, 271Dirac

matrices de, 12Divergences, 221Drell-Yan

processus de, 218

Effet Compton, 40Effet photoélectrique, 40Émulsion photographique, 43Espace de phase, 65, 70, 119, 120Étrangeté

nombre quantique, 106

Facteur de forme, 173, 177Fermi

Théorie de, 187Fermions, 13Feynman

diagrammes de, 17, 73règles de, 17, 73

Fonctions de structure, 215Formalisme quadridimensionnel, 8

Gell-Mann-Nishijima, relation, 104, 109Modèle GIM, 197Gravité quantique, 236Groupes

de rotation en 2D, 130de rotation en 3D, 132de Lie, 126poids, 129propriétés, 125racines, 129rang, 128représentations, 126, 138, 140, 142(2), 103, 133(3), 136(), 133, 138tableaux de Young, 140théorie des, 124 (1), 132

Hadrons, 4Heisenberg

description, 63Higgs

mécanisme de, 193, 194particule de, 193, 195

Hyperchargenombre quantique, 101, 105

Interactions, 5description, 62

Interactions faibles, 21, 106, 185autres saveurs, 107classification, 186étrangeté, 106parité, 85symétrie CP, 113théorie de Fermi, 187théorie de Weinberg-Salam, 191

interaction −, 187Interactions fortes, 22

autres saveurs, 107QCD, 205résiduelles, 23

Interactions gravitationnelles, 23Interactions électromagnétiques, 19, 171

succès de QED, 179Invariance d’échelle, 210Invariance de jauge, 91, 181Invariance par C, 111Ionisation, 38Isospin, 101

conservation, 105

Jets, 213, 214

Physique du 0, 198Klein-Gordon

équation de , 12Kobayashi-Maskawa

matrice de, 196

Leptons, 3Liberté asymptotique, 207Lois de conservation

charge électrique, 99nombre baryonique, 101nombre életronique, 100nombre leptonique total, 100nombre muonique, 100nombre tauique, 100

Mandelstam, variables de, 55Masse

baryons, 153mésons, 153

Matière, 3Matrice

éléments de, 64Matrice de diffusion, 63Matrice de transition, 64Mécanique quantique relativiste, 11Mésons

charmés, 159masse, 153moments magnétiques, 155pseudo-scalaires, 146vectoriels, 148

Modèle de Weinberg-Salam, 192Moments magnétiques

baryons, 155mésons, 155

Monopôles magnétiques, 230Muons

production de paires, 178

Noetherthéorème de, 80

Nombre baryonique, 101Nombre életronique, 100Nombre leptonique total, 100

304

I n d e x

Nombre muonique, 100Nombre tauique, 100

Parité, 84des antiparticules, 87conservation de la, 86intrinsèque, 86non-conservation de la, 189orbitale, 85

Parité de charge totale, 110Parité G, 114Partons, 211

invariance d’échelle, 211Photon, 93, 111Pion, 111Propagateur, 17

Quarks, 4bottom, 108charme, 107, 159confinement des, 207diagrammes de, 158étrange, 106existence, 218modèle des, 123, 138, 215top, 108

Radioactivité, 31Rapidité, 59, 60Rayonnement de freinage, 39Rayons cosmiques, 31Relativité restreinte, 267Renormalisabilité, 221Renversement du temps, 88

opérateur T, 88Résonances, 118Rotation, invariance par, 82

Schrödingerdescription, 62

équation d’onde , 11Section efficace, 66Supercordes, 238Supersymétrie, 234Symétrie (2), 103Symétries, 79Synchrotrons, 33Système à 4 corps

centre de masse, 57laboratoire, 58

Systèmed’unités naturelles, 6

Technicouleur, 232Théorème CPT , 113Top


Transformation de jauge, 92invariance par, 92

Translation, invariance par, 81

Unification des forces, 225Unification

des forces, 221grande unification, 225modèle (10), 230modèle (5), 227modèle d’Abbott et Farhi, 233modèle Pati et Salam, 231modèles composites, 233

Vie moyenne, 69Violation d’échelle, 218Violation de CP , 113

Yukawaapproche de, 16potentiel de, 16

305

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