Intégration numérique EMI

8/14/2019 Intgration numrique EMI

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Intgration numrique


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Motivations des mthodesnumriques dintgration

Il existe deux situations o lon a besoin deformules pour approcher lintgrale dunefonction f :

b

I(f) =f(t) dt a On ne connat la valeur de f quen certains

points t0, t1, .,tn, et il nest pas possibledavoir dautres valeurs que celles-ci (cest le

cas quand la fonction f est tabule).

Il est possible de calculer f(t) pour un tquelconque, mais la primitive de f nest pas

connue, ou bien lexpression analytique de f esttrop complique pour tre explicite (f(t) est


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Principe des mthodesnumriques dintgration

Dans ces deux situations, on doit doncchercher approcher I(f) laide dunnombre fini de

valeurs de f en certains points t0; t1; : : :; tn qui sont soit imposs, soit choisir

de faon optimale

pour que lapproximation soit la

meilleure possible. Plus prcismenton aura recours

des combinaisons linaires de valeursde la fonction intgrer en des pointsde lintervalle


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Principe des mthodesnumriques dintgration

Les points ti sont appels les nudsde la formule, les wi sont lespoids (weights, en anglais),parfois aussi dnomms coefficients

de la formule. Lapplication

qui f fait correspondre une valeurapproche de son intgrale surlintervalle considr dfinit une

formule (ou mthode)dintgration numrique. On dit


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Mthodes utilisant lepolynme dinterpolation

Mthodes polynomiales On connat la fonction sur n+1 points

2 solutions : calculer le polynme d'interpolation de

degr n : Pn(x)calculer l'intgrale du polynme dedegr n

problme = les polynmes de degrlev oscillent normment

regrouper les n+1 points en sous-intervalles dep+1 points

(avecp+1 faible)'


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++=

= 2

yy

2

yhI n

1n

1i

i0

Intgration numrique

Mthode des trapzes :p+1=2 points polynme d'interpolation=droite

A =

soit h = xi+1 - xi

0 0.5 1 1.5 2 2.5

A

( ) ( )( )bfaf2

ab+

( )

=+

+ +

=1n

0i

1iii1i yy

2

xxI


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Intgration numrique

Mthode de Simpson:p+1=3 points polynme d'interpolation de degr 2

i va de 0 n-2avec un pas de 2

0 0.5 1 1.5 2 2.5

A

( )

=

++++=

2n

0i

2i1ii yy4y3hI


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Intgration numrique

Mthode gnrale Newton-Cotes:p+1points

polynme d'interpolation de degrp:

Pp(x)

comment trouver

les i ?

=

=

=

p

0

xt

xt

p dt)t(PA

0 0.5 1 1.5 2 2.5

A

=

=p

0i

iiyA


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Intgration numrique

Mthode gnrale Newton-Cotes:p+1points

calcul des i = dcomposition de

l'intgrale dansla base {1, t, tp}

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

A

=

p

1

0

p

1

0

pp

p1

p0

p10

vxxx

xxx

111

=

=

=p

0

xt

xt

k

k dtt


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Intgration numrique

Exercice : Utiliser la mthode de Newton-Cotes

pour : retrouver la mthode des trapzes retrouver la mthode de Simpson

trouver la mthode de Simpson "3/8"(p+1=4)


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Intgration numrique Soit f : [a; b] IR une fonction donne. On construit le

polynme pn(t) qui interpole les valeurs de f aux

points t0; t1; : : : ; tn (ti [a,b]), ce qui conduit poser pn(ti) = f(ti) pour i = 0, , n. On a ainsiapproch la fonction f par le polynme pn. Laquestion est alors la suivante :

quelle erreur commet-on quand on approche f parp

n?

Hypothses et notations. Dans ce qui suit noussupposerons que f est (n + 1) fois continmentdrivable sur [a, b] et nous noterons en(t) lerreur

dinterpolation dfinie par : en(t) = f(t) - pn(t)

Soient alors Int(t; t0, , tn) le plus petit intervalle fermcontenant les points t, t0, , tn et n(t) la fonctiondfinie par :

n(t) = (t- t0)(t - t1)(t - t2) (t - tn)


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a ora on e erreur equadrature

Lerreur de quadrature est donne

par


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Intgration numrique

Intgrales multiples ? Ex avec la mthode de Simpson

en dimension 2 :zij = f(xi, yj)( ) =

2

0

2

0

x

x

y

y

dxdyy,xfA

( ) ( ) ( )( )

++=

2

0

x

x

210 dxy,xfy,xf4y,xf3

kA

( ) ( ) ( )

++= dxy,xfdxy,xf4dxy,xf3k

A 21

x

x0

2

0

( )( )112112100122200200 z16zzzz4zzzz9

hkA ++++++++=

h = xi+1 - xi

k = yi+1 - yi


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Exercice


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Solution Question 1


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Question 2 On crit que lapproximation est exacte

cest dire que J = I pour les polynmesde degr infrieur ou gal 2, cest dire que J = I pour les polynmes de labase (1, t, t2).

Ecrire les quations obtenues.


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Question 3 On utilise un changement de variable affine pour

se ramener une intgrale de -1 1.

On utilise un changement de variable affine :


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Question 5


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Question 5


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Question 6

On doit retrouver la valeur exactecar lapproximation est exactepour les polynmes de degr

infrieur ou gal 2 en x et eny.

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