Analyse Numérique Problèmes Pratiques Dérivation Intégration.

Analyse NumériqueProblèmes Pratiques

DérivationIntégration

Ph. Leray Analyse Numérique 2

Introduction

f connue sur un certain nb de points ou analytiquement

besoin de connaître f' sur ces points sans faire le calcul analytique.

besoin de calculer l'intégrale sans calculer la primitive (quadrature)

bt

at

dt)t(f


Dérivation numérique 1/5

Méthode "naïve" :

en théorie, la formule est vraie pour h 0

en pratique, attention au choix de h ! h trop grand : calcul trop approximatifh trop petit : problèmes d'arrondis

h

xfhxfxf



Méthode des différences centrales : Taylor :

On connaît f sur un ensemble de points {xi,yi}h = xi+1 - xi

f(x+h)

f(x-h)

...xf!3

hxf

!2

hxfhxfhxf

32

...xf!3

hxf

!2

hxfhyy i

3

i

2

ii1i

...xf!3

hxf

!2

hxfhyy i

3

i

2

ii1i



Méthode des différences centrales (suite) :

f(x+h) - f(x-h)

en négligeant les termes en h3 :

meilleure approximation que la méthode "naïve" (h3/h2)

...xf!3

h2xfh2yy i

3

i1i1i

h2

yyxf 1i1i

i



Méthode des différences centrales (suite) : calcul des dérivées d'ordre supérieur :

f"(xi) ?

...xf!3

hxf

!2

hxfhyy i

3

i

2

ii1i

...xf!3

hxf

!2

hxfhyy i

3

i

2

ii1i



Méthode des différences centrales (fin) : calcul des dérivées d'ordre supérieur :

en négligeant les termes en h4 :

et pour les autres dérivées ?

...xf!2

h2y2yy i

2

i1i1i

2

1ii1ii h

yy2yxf


Intégration numérique 1/

Plusieurs méthodes : a et b finis

On connaît f sur un ensemble de points {xi,yi}

polynôme d'interpolation sur n+1 pointsNewton-Cotes

On connaît f sur autant de points que l'on veutpolynôme d'interpolation + choix de n+1 points

Gauss-Legendre

a ou b infiniGauss-Laguerre, ...

bt

at

dt)t(fI



Méthodes polynomiales On connaît la fonction sur n+1 points 2 solutions :

calculer le polynôme d'interpolation de degré n : Pn(x) calculer l'intégrale du polynôme de degré n

problème = les polynômes de degré élevé oscillent énormément

regrouper les n+1 points en sous-intervalles de p+1 points

(avec p+1 faible)calculer les polynômes d'interpolation de degré psommer les intégrales de chaque sous-intervalle


2

yy

2

yhI n

1n

1ii

0


Méthode des trapèzes : p+1=2 points polynôme d'interpolation=droite

A =

soit h = xi+1 - xi

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

A

bfaf2

ab

1n

0i1ii

i1i yy2

xxI



Méthode de Simpson: p+1=3 points polynôme d'interpolation de degré 2

i va de 0 à n-2 avec un pas de 2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

A

2n

0i2i1ii yy4y

3

hI



Méthode générale Newton-Cotes: p+1 points polynôme d'interpolation de degré p: Pp(x)

comment trouverles i ?

p

0

xt

xt

p dt)t(PA

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

A

p

0iii yA



Méthode générale Newton-Cotes: p+1 points calcul des i = décomposition de l'intégrale

dansla base {1, t, … tp}

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

A

p

1

0

p

1

0

pp

p1

p0

p10

vxxx

xxx

111

p

0

xt

xt

kk dtt



Exercice : Utiliser la méthode de Newton-Cotes pour :

retrouver la méthode des trapèzesretrouver la méthode de Simpsontrouver la méthode de Simpson "3/8" (p+1=4)



Quelle erreur comment-on avec Newton-Cotes ? Pour chaque sous-intervalle (et donc chaque A) :

erreur d'interpolation : [ (x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xp) ]

erreur de quadrature :

x

!1p

xfxe

)1p(

dxx

!1p

xfdxxeE

n

0

p

0

x

x

)1p(x

x

n

0

n

0

x

x

)1p(x

x

)1p(

dxx!1p

fdxx

!1p

xfE

n

0

x

x

dxx!1p

ME M majorant de |f (p+1)|



Erreur de quadrature pour :

les trapèzes

Simpson

f12

hE

3

45

f90

hE



Méthodes polynomiales récursives : ex pour la méthode des trapèzes

découpage récursif de la surface en trapèzes

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

I(0) I(1)



Bornes infinies ? Méthode de Gauss-Laguerre



Intégrales multiples ? Ex avec la méthode de Simpson

en dimension 2 : zij = f(xi, yj) 2

0

2

0

x

x

y

y

dxdyy,xfA

2

0

x

x

210 dxy,xfy,xf4y,xf3

kA

dxy,xfdxy,xf4dxy,xf

3

kA 21

x

x

0

2

0

112112100122200200 z16zzzz4zzzz9

hkA

h = xi+1 - xi

k = yi+1 - yi


Sujet de TD


Conclusion

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