8/14/2019 Intgration numrique EMI
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Intgration numrique
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Motivations des mthodesnumriques dintgration
Il existe deux situations o lon a besoin deformules pour approcher lintgrale dunefonction f :
b
I(f) =f(t) dt a On ne connat la valeur de f quen certains
points t0, t1, .,tn, et il nest pas possibledavoir dautres valeurs que celles-ci (cest le
cas quand la fonction f est tabule).
Il est possible de calculer f(t) pour un tquelconque, mais la primitive de f nest pas
connue, ou bien lexpression analytique de f esttrop complique pour tre explicite (f(t) est
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Principe des mthodesnumriques dintgration
Dans ces deux situations, on doit doncchercher approcher I(f) laide dunnombre fini de
valeurs de f en certains points t0; t1; : : :; tn qui sont soit imposs, soit choisir
de faon optimale
pour que lapproximation soit la
meilleure possible. Plus prcismenton aura recours
des combinaisons linaires de valeursde la fonction intgrer en des pointsde lintervalle
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Principe des mthodesnumriques dintgration
Les points ti sont appels les nudsde la formule, les wi sont lespoids (weights, en anglais),parfois aussi dnomms coefficients
de la formule. Lapplication
qui f fait correspondre une valeurapproche de son intgrale surlintervalle considr dfinit une
formule (ou mthode)dintgration numrique. On dit
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Mthodes utilisant lepolynme dinterpolation
Mthodes polynomiales On connat la fonction sur n+1 points
2 solutions : calculer le polynme d'interpolation de
degr n : Pn(x)calculer l'intgrale du polynme dedegr n
problme = les polynmes de degrlev oscillent normment
regrouper les n+1 points en sous-intervalles dep+1 points
(avecp+1 faible)'
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++=
= 2
yy
2
yhI n
1n
1i
i0
Intgration numrique
Mthode des trapzes :p+1=2 points polynme d'interpolation=droite
A =
soit h = xi+1 - xi
0 0.5 1 1.5 2 2.5
A
( ) ( )( )bfaf2
ab+
( )
=+
+ +
=1n
0i
1iii1i yy
2
xxI
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Intgration numrique
Mthode de Simpson:p+1=3 points polynme d'interpolation de degr 2
i va de 0 n-2avec un pas de 2
0 0.5 1 1.5 2 2.5
A
( )
=
++++=
2n
0i
2i1ii yy4y3hI
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Intgration numrique
Mthode gnrale Newton-Cotes:p+1points
polynme d'interpolation de degrp:
Pp(x)
comment trouver
les i ?
=
=
=
p
0
xt
xt
p dt)t(PA
0 0.5 1 1.5 2 2.5
A
=
=p
0i
iiyA
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Intgration numrique
Mthode gnrale Newton-Cotes:p+1points
calcul des i = dcomposition de
l'intgrale dansla base {1, t, tp}
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
A
=
p
1
0
p
1
0
pp
p1
p0
p10
vxxx
xxx
111
=
=
=p
0
xt
xt
k
k dtt
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Intgration numrique
Exercice : Utiliser la mthode de Newton-Cotes
pour : retrouver la mthode des trapzes retrouver la mthode de Simpson
trouver la mthode de Simpson "3/8"(p+1=4)
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Intgration numrique Soit f : [a; b] IR une fonction donne. On construit le
polynme pn(t) qui interpole les valeurs de f aux
points t0; t1; : : : ; tn (ti [a,b]), ce qui conduit poser pn(ti) = f(ti) pour i = 0, , n. On a ainsiapproch la fonction f par le polynme pn. Laquestion est alors la suivante :
quelle erreur commet-on quand on approche f parp
n?
Hypothses et notations. Dans ce qui suit noussupposerons que f est (n + 1) fois continmentdrivable sur [a, b] et nous noterons en(t) lerreur
dinterpolation dfinie par : en(t) = f(t) - pn(t)
Soient alors Int(t; t0, , tn) le plus petit intervalle fermcontenant les points t, t0, , tn et n(t) la fonctiondfinie par :
n(t) = (t- t0)(t - t1)(t - t2) (t - tn)
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a ora on e erreur equadrature
Lerreur de quadrature est donne
par
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Intgration numrique
Intgrales multiples ? Ex avec la mthode de Simpson
en dimension 2 :zij = f(xi, yj)( ) =
2
0
2
0
x
x
y
y
dxdyy,xfA
( ) ( ) ( )( )
++=
2
0
x
x
210 dxy,xfy,xf4y,xf3
kA
( ) ( ) ( )
++= dxy,xfdxy,xf4dxy,xf3k
A 21
x
x0
2
0
( )( )112112100122200200 z16zzzz4zzzz9
hkA ++++++++=
h = xi+1 - xi
k = yi+1 - yi
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Exercice
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Solution Question 1
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Question 2 On crit que lapproximation est exacte
cest dire que J = I pour les polynmesde degr infrieur ou gal 2, cest dire que J = I pour les polynmes de labase (1, t, t2).
Ecrire les quations obtenues.
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Question 3 On utilise un changement de variable affine pour
se ramener une intgrale de -1 1.
On utilise un changement de variable affine :
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Question 5
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Question 5
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Question 6
On doit retrouver la valeur exactecar lapproximation est exactepour les polynmes de degr
infrieur ou gal 2 en x et eny.
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