Ministère de l’Enseignement Supérieur et des recherches scientifiques Université Virtuelle de Tunis

Intitulé du chapitre :

Intégrale Impropre

Nom de l’auteur :

Houcine Chebli Cette ressource est la propriété exclusive de l'UVT. Il est strictement interdit de la reproduire à des fins commerciales. Seul le téléchargement ou impression pour un usage personnel (1 copie par utilisateur) est permis.

Chapitre

Intégrale Impropre

La notion d'intégrale (au sens de Riemann) a été introduite, en première

année, pour les fonctions bornées sur un intervalle borné. En particulier, on

sait que toute fonction continue et bornée sur ]a, b[ est intégrable au sens de

Riemann.

Dans ce chapitre, on va étendre cette notion au cas où les fonctions

considées ne sont pas toujours bornées et au cas où l'intervalle sur lequel on

intègre n'est pas nécessairement borné. On ne considèrera que des fonctions à

valeurs réelles, les résultats seront valables dans le cas de fonctions à valeurs

complexes.

1 Intégrale impropre sur un intervalle borné

Soient a et b deux nombres réels. Soit f : [a, b[→ R une fonction qui,

pour tout x dans [a, b[, est intégrable sur [a, x]. On pose

F (x) =∫ x

af(t) dt

Dé�nition 1.1. On dit que f admet une intégrale impropre convergente sur

[a, b[ si F (x) admet une limite lorsque x tend vers b et on note

limx→b

∫ x

af(t) dt =

∫ b

af(t) dt

Dans ce cas, on dit parfois que f est semi-intégrable sur [a, b[, ou que

l'intégrale de f est semi-convergente sur [a, b[. Selon que F admet ou non

une limite en b, on dit que l'intégrale∫ ba f(t) dt est convergente ou divergente.

Exemple 1.2.

1

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Houcine Chebli

Soit α un nombre réel et soit f la fonction dé�nie sur [0, 1[ à valeurs

réelles par f(x) = (1− x)α. On pose

F (x) =∫ x

0f(t) dt

Pour α = −1, on a F (x) = −Log(1−x). Il en résulte que F n'admet pas de

limite en 1 et donc l'intégrale impropre de f sur [0, 1[ n'est pas convergente.Pour α 6= −1, on a

F (x) =−1

α + 1[(1− x)α+1 − 1]

Il en résulte que l'intégrale impropre de f n'existe pas sur [0, 1[ si α < −1.En revanche, si α > −1 l'intégrale impropre de f est convergente.

Remarque 1.3.

On peut de même considérer les fonctions dé�nies sur ]a, b] à valeurs

réelles qui, pour tout x dans ]a, b], sont intégrables (au sens de Riemann) sur

[x, b]. Pour une telle fonction f , on dit qu'elle admet une intégrale impropre

convergente (ou qu'elle est semi-intégrable) sur ]a, b] si la fonction F (x) =∫ bx f(t) dt admet une limite quand x tend vers a et on note∫ b

af(t) dt = lim

x→a

∫ b

xf(t) dt

Exemple 1.4.

Soit f :]0, 1] → R la fonction dé�nie par f(x) = 1/√

x. La fonction f est

semi-intégrable sur ]0, 1] et on a∫ 1

0

1√tdt = lim

x→0

∫ 1

x

1√tdt = 2

Remarque 1.5.

Pour une fonction dé�nie sur un intervalle ouvert ]a, b[ et intégrable sur

tout intervalle [α, β], a < α < β < b, on dit que son intégrale impropre sur

]a, b[ converge si, pour a < c < b, ses intégrales impropres sur ]a, c] et [c, b[existent. On véri�e que cela est indépendant du choix du point c. On verra

des exemples de cette situation dans la suite.

Théorème 1.6. ( critère de Cauchy) Une fonction f : [a, b[→ R admet une

intégrale impropre convergente sur [a, b[ si, et seulement si, pour tout ε > 0,il existe xε dans [a, b[ tel que

x, y ∈ [xε, b[=⇒∣∣∣∫ y

xf(t) dt

∣∣∣ ≤ ε

2

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Démonstration. C'est la traduction du critère de Cauchy pour l'existence de

limite en b de F (x).

Propriétés 1.7.

(1) L'ensemble des fonctions qui admettent une intégrale impropre conver-

gente sur [a, b[ est un espace vectoriel sur R et l'application qui à fassocie son intégrale impropre est linéaire.

(2) Si f et g admettent une intégrale impropre convergente sur [a, b[, alors

f ≤ g =⇒∫ b

af(t) dt ≤

∫ b

ag(t) dt

(3) Intégration par parties. Soient f et g deux fonctions continûment déri-

vables sur [a, b[. Si f et g admettent une intégrale impropre convergente

sur [a, b[, alors pour tout x dans [a, b[, on peut écrire∫ x

af(t)g′(t) dt = [f(t)g(t)]xa −

∫ x

af ′(t)g(t) dt

Si le second membre de cette égalité a une limite lorsque x tend vers

b, il en sera de même du premier membre. C'est, par exemple, le cas

lorsque chacun des deux termes du second membre admet une limite

en b. On aura alors∫ b

af(t)g′(t) dt = lim

x→bf(x)g(x)− f(a)g(a)−

∫ b

af ′(t)g(t) dt

Exemple 1.8.

On se propose d'étudier la nature de l'intégrale impropre∫ 1

0Log(t) dt

Pour tout 0 < x ≤ 1, on peut intégrer par parties dans [x, 1], ce qui donne∫ 1

xLog(t) dt = [t Log(t)]1x −

∫ 1

xdt = xLog(x)− (1− x)

Comme limx→0

xLog(x) = 0, on en déduit que l'inégrale impropre est conver-

gente et que sa valeur est ∫ 1

0Log(t) dt = −1

Exemple 1.9.

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Etudions la nature de l'intégrale impropre∫ 1

0

cos(1/t)t

dt

On véri�e facilement que

t sin′(1/t) = −cos(1t)t

On en déduit que ∫ 1

x

cos(1/t)t

dt = x sin(1/x)− sin 1

Comme x sin(1/x) tend vers 0 lorsque x tend vers 0, il en résulte que l'inté-

grale impropre est convergente et qu'elle vaut sin 1.

(4) Changement de variables. Soient f une fonction continue sur [a, b[ etφ une fonction continûment dérivable sur [α, β[ à valeurs dans [a, b[.Ainsi, la fonction composée f ◦ φ est bien dé�nie sur [α, β[. Pour toutx ∈ [α, β[, on a ∫ x

αf(φ(t))φ′(t) dt =

∫ φ(x)

φ(α)f(s) ds

Si l'un des membres de cette égalité admet une limite quand x tend

vers b, il en sera de même de l'autre et on aura∫ b

af(φ(t))φ′(t) dt = lim

x→β

∫ φ(x)

φ(α)f(s) ds

Exemple 1.10.

Considérons sur ]0, 1] la fonction f dé�nie par

f(t) =cos(t)√

t

C'est une fonction semi-intégrable sur ]0, 1] et on a∫ 1

0f(t) dt = lim

x→0

∫ 1

√x2 cos2(s) ds = 2

∫ 1

0cos2(s) ds

Exemple 1.11.

Considérons l'intégrale impropre suivante∫ 1

−1

2t

1− t2dt

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On est tenté de dire qu'elle vaut 0 sous pretexte que la fonction à intégrer

est impaire et que l'intervalle d'intégration est symétrique par rapport à

l'origine. En fait, il n'en ai rien et l'intégrale est divergente, car, par exemple,

l'intégrale impropre ∫ 0

−1

2t

1− t2dt

est divergente.

2 Intégrale impropre de fonctions positives

On suppose que f : [a, b[→ R est à valeurs positives et intégrable sur tout

intervalle de la forme [a, β], β < b. La fonction F : x →∫ xa f(t) dt est alors

croissante donc, pour qu'elle ait une limite en b il faut et il su�t qu'elle soit

majorée sur [a, b[. Cela permet de démontrer la proposition suivante

Proposition 2.1. Soient f et g deux fonctions in tégrables sur tout intervalle

de la forme [a, β], β < b. On suppose que 0 ≤ f ≤ g, alors

1) Si l'intégrale impropre de g est convergente sur [a, b[, il en est de même

de l'intégrale impropre de f et on a∫ b

af(t) dt ≤

∫ b

ag(t) dt

2) Si l'intégrale impropre de f est divergente sur [a, b[, il en sera de même

de l'intégrale impropre de g.

Corollaire 2.2. Soient f et g deux fonctions à valeurs positives et in té-

grables sur tout intervalle de la forme [a, β], β < b. On suppose qu'il existe

deux constantes c1 et c2 strictement positives telles que

0 ≤ c1f ≤ g ≤ c2f

Alors, l'intégrale impropre de f est convergente sur [a, b[ si, et seulement si,

l'intégrale impropre de g est convergente sur [a, b[.

Corollaire 2.3. Soient f et g deux fonctions à valeurs positives et in té-

grables sur tout intervalle de la forme [a, β], β < b. On suppose qu'il existe

une constante c 6= 0 telle que

limx→b

f(x)g(x)

= c

Alors, l'intégrale impropre de f est convergente sur [a, b[ si, et seulement si,

celle de g l'est aussi.

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Démonstration. En e�et, l'hypothèse montre qu'il existe α dans [a, b[ telleque

x ≥ α =⇒ c

2g(x) ≤ f(x) ≤ 2cg(x)

Il su�t alors d'utiliser le corollaire précédent ;

Ainsi, dans le cas de fonctions de signe constant sur [a, b[, pour étudierla nature de l'intégrale impropre d'une fonction, on peut remplacer celle-ci

par un équivalent lorsque x tend vers b.

Exemple 2.4.

Soit f : [0, 1[→ R la fonction dé�nie par

f(x) =1√

1− x3

La fonction f est à valeurs positives et peut s'écrire sous la forme

f(x) = g(x)1√

1 + x + x2avec g() =

1√1− x

On a vu à l'exemple 1.2 que l'intégrale impropre de g sur [0, 1[ est conver-gente. De plus,

limx→1

f(x)g(x)

=1√3

Il en résulte que l'intégrale impropre de f sur [0, 1[ est, elle aussi, convergente.

Exercice 2.5.

Etudier, selon les valeurs de α ∈ R, la nature de l'intégrale impropre

suivante

Iα =∫ 1

0−Log t

tαdt

Solution : Soit f la fonction dé�nie sur ]0, 1] par : f(x) = −Log x/xα.

Pour α = 1, on a :

F (x) =∫ 1

x−Log t

tdt = [−(Log x)2/2]1x = (Log x)2/2

La limite de F (x) lorsque x tend vers 0 est égale à +∞, donc, l'intégrale

impropre de f diverge sur ]0, 1].Pour α > 1 et pour tout x dans ]0, e−1], on a f(x) ≥ 1/xα. Comme l'intégrale

impropre de 1/xα diverge sur ]0, e−1], la proposition précédente permet de

conclure que l'intégrale impropre de f sur ]0, e−1] est divergente, il en est de

même de Iα.

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Pour α < 1 et pour tout x dans ]0, 1], on a

∀ε > 0, f(x) =1ε

Log x−ε

xα≤ 1

ε

x−ε

xα=

1ε

1xα+ε

Comme α < 1, on peut choisir ε > 0 tel que α+ ε < 1 (par exemple ε = (1−α)/2 > 0). Pour un tel ε, l'intégrale impropre de 1/xα+ε converge sur ]0, 1]et la proposition 2.1 montre que l'intégrale impropre Iα est convergente. �

Exercice 2.6.

Etudier la convergence des intégrales impropres suivantes∫ 1

0

ex Log x

xdx,

∫ 1

0

x(ex − 1)sinx− sh x

dx

Solution : Soient f et g les fonctions dé�nies sur ]0, 1] par

f(x) =ex Log x

xet g(x) =

x(ex − 1)sinx− sh x

Pour x > 0, on pose h(x) = Log(x)/x. Il est clair que

limx→0+

f(x)h(x)

= 1

Comme l'intégrale impropre de h est divergente sur ]0, 1] (voir l'exercice

précédent), il en de même de l'intégrale impropre de f sur ]0, 1].Pour x > 0, on pose k(x) = 1/x. En e�ectuant un développement limité

à l'ordre 1 du numérateur et du dénominateur de g, on montre facilement

que limx→0 g(x)/k(x) = −3. Comme l'intégrale impropre de la fonction ksur ]0, 1] est divergente, il en sera de même de celle de g. �

3 Intégrale absolument convergente

Dé�nition 3.1. Soit f : [a, b[→ R une fonction intégrable sur tout intervalle

de la forme [a, β], β < b. On dit que l'intégrale impropre de f est absolument

convergente sur [a, b[ si l'intégrale impropre de |f | est convergente sur [a, b[.

Dans ce cas, on dit souvent que f est absolument intégrable sur [a, b[ ouque l'intégrale de f est absolument convergente sur [a, b[.

Exemple 3.2.

L'intégrale impropre sur [0, 1[ de la fonction f : x → cos(x)/√

x est

absolument convergente.

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Proposition 3.3. Soit f : [a, b[→ R une fonction intégrable sur tout inter-

valle de la forme [a, β], β < b. Si l'intégrale impropre de f est absolument

convergente, alors elle convergente et on a∣∣∣ ∫ b

af(x) dx

∣∣∣ ≤ ∫ b

a|f(x)| dx

Démonstration. Supposons que l'intégrale impropre de f soit absolument

convergente sur [a, b[. Le critère de Cauchy (théorème 1.6) montre que, pour

tout ε > 0, il existe xε tel que

∀x, y ∈ [xε, b[,∫ y

x|f(t)|, dt ≤ ε

Comme ∣∣∣ ∫ y

xf(t) dt

∣∣∣ ≤ ∫ y

x|f(t)|, dt

le critère de Cauchy montre que l'intégrale impropre de f est convergente

sur [a, b[. D'autre part, puisque pour tout x dans [a, b[, on a∣∣∣ ∫ x

af(t) dt

∣∣∣ ≤ ∫ x

a|f(t)| dt

en passant à la limite lorsque x tend vers b, on en déduit l'inégalité voulue.

4 Intégrale impropre sur un intervalle non borné

On considère des fonctions dé�nies sur un intervalle de la forme [a,∞[.Les cas où l'intervalle est de la forme ]−∞, a], ]−∞, a[, ]a,∞[ ou ]−∞,∞[se traitent de façon analogue.

Dé�nition 4.1. Soit f : [a,∞[→ R une fonction intégrable sur tout in-

tervalle borné de la forme [a, β] et soit F la fonction dé�nie, pour x ≥ a,par

F (x) =∫ x

af(t) dt

On dit que f admet une intégrale impropre convergente (ou que f est semi-

intégrable) sur [a,∞[ si F admet une limite en +∞ et on note∫ ∞

af(t) dt = lim

x→+∞F (x)

On peut, comme en 1.7, énoncer le critère de Cauchy suivant

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Théorème 4.2. Soit f : [a,∞[→ R une fonction intégrable sur tout inter-

valle borné de la forme [a, β]. f admet une intégrale impropre convergente

sur [a,∞[ si, et seulement si, pour tout ε > 0, il existe xε ≥ a, tel que

x, y ≥ xε =⇒∣∣∣ ∫ y

xf(t) dt

∣∣∣ < ε

Propriétés 4.3.

(1) Les fonctions qui admettent des intégrales impropres convergentes sur

[a,∞[ forment un espace vectoriel sur R et l'application qui à f associe

son intégrale impropre est linéaire.

(2) Si f et g admettent des intégrales impropres convergentes sur [a,+∞[,alors

f ≤ g =⇒∫ ∞

af(t) dt ≤

∫ ∞

ag(t) dt

(3) Intégration par parties. Soient f et g deux fonctions continûment dé-

rivables sur [a,+∞[. On suppose que f et g admettent des intégrales

impropres convergentes sur [a,+∞[. Pour tout x dans [a,+∞[, on peut

écrire ∫ x

af(t)g′(t) dt = [f(t)g(t)]xa −

∫ x

af ′(t)g(t) dt

Si le second membre de cette égalité a une limite lorsque x tend vers

l'in�ni, il en sera de même du premier membre. C'est, par exemple,

le cas lorsque chacun des deux termes du second membre admet une

limite à l'in�ni. On aura alors∫ ∞

af(t)g′(t) dt = lim

x→+∞f(x)g(x)− f(a)g(a)−

∫ ∞

af ′(t)g(t) dt

Exemple 4.4.

Sur [1,+∞[, on considère la fonction f : x → Log(t)/t2. On a∫ x

1

Log(t)t2

dt = −Log x

x+ 1− 1

x

On en déduit que l'intégrale impropre de f est convergente sur [1,+∞[ etvaut 1.

5 Intégrale impropre de fonctions positives

Soit f : [a,∞[→ R une fonction intégrable sur tout intervalle borné de

la forme [a, β]. On suppose positive, la fonction F : x →∫ xa f(t) dt est alors

croissante donc, pour qu'elle ait une limite en b il faut et il su�t qu'elle soit

majorée sur [a, b[. Comme pour un intervalle borné, cela permet de démontrer

les propriétés suivantes

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Proposition 5.1. Soient f et g deux fonctions à valeurs positives et inté-

grables sur tout intervalle borné de la forme [a, β]. On suppose que 0 ≤ f ≤ g,alors

1) Si l'intégrale impropre de g est convergente sur [a,∞[, il en sera de

même de l'intégrale impropre de f et on a∫ ∞

af(t) dt ≤

∫ ∞

ag(t) dt

2) Si l'intégrale impropre de f est divergente sur [a,∞[, il en sera de

même de l'intégrale impropre de g.

Corollaire 5.2. Soient f et g deux fonctions à valeurs positives et intégrables

sur tout intervalle borné de la forme [a, β]. On suppose qu'il existe deux

constantes c1 et c2 strictement positives telles que

0 ≤ c1f ≤ g ≤ c2f

Alors, l'intégrale impropre de f est convergente si et seulement si l'intégrale

impropre de g est convergente.

Corollaire 5.3. Soient f et g deux fonctions à valeurs positives et inté-

grables sur tout intervalle borné de la forme [a, β]. On suppose qu'il existe

une constante c 6= 0 telle que

limx→+∞

f(x)g(x)

= c

Alors, l'intégrale impropre de f sur [a,+∞[ est convergente si et seulement

si celle de g est convergente.

Ainsi, dans le cas de fonctions de signe constant sur [a,+∞[, pour étudierla nature de l'intégrale impropre d'une fonction, on peut remplacer celle-ci

par un équivalent lorsque x tend vers l'in�ni.

Exemple 5.4.

Pour t ≥ 1, on a e−t2 ≤ e−t. On en déduit que l'intégrale impropre∫∞0 e−t2 dt est convergente.

Exemple 5.5.

Soit à étudier la nature de l'intégrale impropre suivante :∫ ∞

1

dt

t√

(1 + t2)

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On désigne par f et g les fonctions dé�nies par

f(t) =1

t√

(1 + t2)et g(t) =

1t2

Ce sont deux fonctions à valeurs positives. On véri�e immédiatement que

limt→+∞

f(t)/g(t) = 1

Comme l'intégrale impropre de g est convergente sur [1,+∞[, il en est de

même de celle de f .

Exemple 5.6.

Considérons sur ]1,+∞[ la fonction dé�nie par

f(x) =1

x√

x− 1

Au voisinage de 1 elle se comporte comme la fonction g : x → 1/√

(x− 1) età l'in�ni elle se comporte comme la fonction h : x → x−

32 . Plus précisément,

on a

limx→1+

f(x)g(x)

= 1 et limx→+∞

f(x)h(x)

= 1

Or, sur ]1, c] l'intégrale impropre de g est convergente donc celle de f l'est

aussi, et sur [c,+∞[ l'intégrale impropre de h est convergente donc celle de

f l'est aussi. Finalement, f admet une intégrale impropre convergente sur

l'intervalle ]1 +∞[.

Exercice 5.7.

Montrer que les intégrales impropres suivantes sont convergentes∫ ∞

0

e−x

√x

dx,

∫ ∞

0

e−x

xsdx, s < 1

Solution : Les fonctions f : x → e−x/xs et g : x → 1/xs sont à valeurs

positives et leur rapport tend vers 1 quand x tend vers 0. Or, on a vu que

l'intégrale impropre de g sur ]0, 1] est convergente si, et seulement si, s < 1.Il en sera de même de celle de f .Regardons ce qui se passe sur [1,+∞[. Pour tout s ∈ R,

limx→+∞

x2e−x/xs = 0

il existe donc une constante positive A telle que

∀x ≥ 1,e−x

xs≤ A

x2

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La fonction du second membre admet une intégrale impropre convergente

sur [1,+∞[ et par suite l'intégrale impropre de la fonction x → e−x/xs est

convergente sur [1,+∞[. En conclusion, l'intégrale impropre sur ]0,+∞[ dela fonction x → e−x/xs est convergente pour tout s < 1. �

Exercice 5.8.

Déterminer la nature des intégrales impropres suivantes :

I1 =∫ 1

0

1− cos t

tαdt, I2 =

∫ ∞

0

t3

et − 1dt, I3 =

∫ ∞

1

tα√t2 − 1

dt

I4 =∫ ∞

1

esin t

tdt, I5 =

∫ ∞

0

3√

t + 1− 3√

t√t

dt I6 =∫ 1

0

t− tg t

t52 sin t

dt,

Indications : Toutes les intégrales font intervenir des fonctions à valeurs po-

sitives. On peut donc procéder par comparaison et équivalence.

1. Un développement limité à l'ordre 1 du numérateur montre que I1

converge si, et seulement si, α < 3.

2. Un développement limité à l'ordre 1 du dénominateur montre que l'in-

tégrale impropre I2 est convergente.

3. L'intégrale impropre I3 converge si, et seulement si, α < 0.

4. Puisque sin(t) ≥ −1, la fonction à intégrer est minorée par la fonction

t 7→ e−1/t. L'intégrale impropre de celle-ci est divergente, donc I4 est

divergente.

5. Au voisinage de 0, la fonction à intégrer est équivalente à la fonction

t 7→ 1/√

t. Au voisinage de l'in�ni, elle est équivalente à la fonction

t 7→ t−7/6/3. On en déduit que I5 est convergente.

6. La fonction à intégrer est continue au voisinage de 1, au voisinage de

0 elle est équivalente à la fonction t 7→ t−1/2/6. L'intégrale I6 est donc

convergente.

Exercice 5.9.

Soit f : R+ → R+ une fonction décroissante dont l'intégrale impropre

sur (0,+∞) est convergente. Montrer que xf(x) admet une limite quand xtend vers l'in�ni et calculer cette limite.

6 Intégrale impropre de fonctions réelles

Dé�nition 6.1. Soit f : [a,∞[→ R une fonction intégrable sur tout in-

tervalle borné de la forme [a, β]. On dit que l'intégrale impropre de f est

absolument convergente sur [a,∞[ si l'intégrale de |f | est convergente.

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Dans ce cas, on dit souvent que f est absolument intégrable sur [a,+∞[ou que l'intégrale de f est absolument convergente sur [a,∞[.

Exemple 6.2.

L'intégrale impropre sur [1,+∞[ de la fonction f qui à x associe cos(x)/x2

est absolument convergente.

Exemple 6.3.

Etudions la convergence, simple et absolue, de l'intégrale impropre sui-

vante ∫ ∞

0

eiαt

1 + t2dt, α ∈ R

Pour tout x dans R et tout α ∈ R, on a∣∣∣ eiαx

1 + x2

∣∣∣ =1

1 + x2

L'intégrale impropre de la fonction 1/(1 + x2) sur [0,+∞[ est convergente

(elle vaut π/2), donc, l'intégrale impropre de f est absolument convergente

sur [0,+∞[. �

Exemple 6.4.

On considère, pour tout α réel, la fonction dé�nie par : f(x) = xαeix.

C'est une fonction continue sur [1,+∞[ à valeurs dans C. De plus, |xαeix| =xα. On en déduit que f est absolument intégrable sur [1,+∞[ si, et seulement

si, α < −1.On démontre, comme pour la proposition 3.3, le résultat suivant :

Proposition 6.5. Soit f : [a,∞[ une fonction intégrable sur tout intervalle

borné de la forme [a, β]. Si l'intégrale impropre de f est absolument conver-

gente, alors elle convergente et on a∣∣∣ ∫ ∞

af(x) dx

∣∣∣ ≤ ∫ ∞

a|f(x)| dx

La réciproque de cette proposition n'est pas vraie, c'est-à-dire qu'il peut

arriver, pour une fonction donnée, que l'intégrale impropore soit convergente

sans être absolument convergente. Dans ce cas, on dit souvent que l'intégrale

impropre est semi-convergente.

Exemple 6.6.

On a vu que la fonction f : x 7→ xαeix est absolument intégrable sur

[1,+∞[ si, et seulement si α < −1. Soit α dans [−1, 0[ et soit A > 1, on a∫ A

1xαeix dx = [−ieixxα]A1 + iα

∫ A

1xα−1eix dx

= iei − ieiAAα + iα

∫ A

1xα−1eix dx

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Lorsque A tend vers +∞, eiAAα tend vers 0 et l'intégrale∫ A1 xα−1eix dx

admet une limite �nie, car α− 1 < −1. il en résulte que l'intégrale∫ ∞

1xαeix dx

sans être absolument convergente (puisque α ∈ [−1, 0[) est semi-convergente

et on a l'égalité ∫ ∞

1xαeix dx = iei + iα

∫ A

1xα−1eix dx

Exercice 6.7.

Soit f une fonction dé�nie, continue et bornée sur R+.

1) Etudier la convergence de l'intégrale impropre

In =∫ ∞

0f(x)e−nx dx, n > 0

2) Montrer que limn→+∞

In = 0 et que limn→+∞

nIn = f(0).

Solution : La fonction f étant bornée sur R+, il existe une constante M > 0telle que, pour tout x ∈ [0,+∞[ on ait :

|f(x)e−nx| ≤ Me−nx

Le second membre admet une intégrale impropre convergente sur [0,+∞[.On en déduit que In est une intégrale impropre absolument convergente. De

plus,

|In| ≤∫ +∞

0|f(x)e−nx|dx ≤ M

∫ +∞

0e−nxdx =

M

n

Il en résulte que limn→+∞

In = 0. D'autre part, puisque n∫∞0 e−nx dx = 1, on

peut écrire

nIn − f(0) = n

∫ ∞

0[f(x)− f(0)]e−nx dx

La fonction f étant continue en zéro , pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que

0 < x < δ =⇒ |f(x)− f(0)| < ε

2(1)

On écrit

nIn−f(0) = n

∫ δ

0[f(x)−f(0)]e−nx dx+n

∫ ∞

δ[f(x)−f(0)]e−nx dx = I1 +I2

(2)

14

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D'après (1),

I1 ≤ nε

2

∫ δ

0e−nx dx = n

ε

21− e−nδ

n≤ ε

2(3)

D'autre part, |f(x)− f(0)| ≤ 2M donc

|I2| ≤ 2Mn

∫ ∞

δe−nx dx = 2Me−nδ (4)

Il résulte de (2), (3) et (4) que, pour tout ε > 0

|nIn − f(0)| ≤ ε

2+ 2Me−nδ

et si n tend vers l'in�ni, 2Menδ tend vers 0. Donc, pour n assez grand

|nIn − f(0)| ≤ ε. Cela prouve que limn→+∞

(nIn − f(0)) = 0. �

Le théorème suivant, dû à Abel, est utilisé pour montrer qu'une intégrale

impropre (non absolument convergente) est semi-convergente ; sa démons-

tration repose sur le critère de Cauchy (théorème 4.2).

Théorème 6.8. (Abel). Soit f une fonction dé�nie sur [a,+∞[ qui s'écrit

f(x) = α(x)β(x)

où α et β sont des fonctions qui véri�ent

i) La fonction α est de calsse C1, décroissante et limx→∞

α(x) = 0.

ii) La fonction β est continue et il existe une constante M > 0 telle que

∀x′, x′′ ≥ a,∣∣∣ ∫ x′′

x′β(t) dt

∣∣∣ ≤ M

Alors, l'intégrale impropre de f sur [a,+∞[ est convergente et on a∣∣∣ ∫ ∞

af(t) dt

∣∣∣ ≤ Mα(a)

Démonstration. Une intégration par parties donne∫ x′′

x′α(t)β(t) dt =

[α(t)β(t)

]x′′

x′−

∫ x′′

x′B(t)α′(t) dt

où B est la primitive de β qui s'annule en x′. Les hypothèses montrent que

α′(x) ≤ 0, |B(x)| ≤ M

Il en résulte que ∣∣∣ ∫ x′′

x′α(t)β(t) dt

∣∣∣ ≤ Mα(x′)

15

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Par hypothèse, le second membre tend vers 0 quand x′ tend vers l'in�ni.

Cela montre que les hypothèses du critère de Cauchy (théorème 4.2) sont

satisfaites et donc l'intégrale impropre sur [a,+∞[ de f est convergente. De

plus, en faisant tendre x′′ vers l'in�ni, on en déduit que∣∣∣ ∫ ∞

x′f(t) dt

∣∣∣ ≤ Mα(x′)

Ce qui termine la preuve du théorème.

Le théorème d'Abel s'applique en particulier aux intégrales de Fourier de

la forme

I(λ) =∫ ∞

aα(x)eiλx dx

où α est une fonction positive de classe C1, décroissante et qui tend vers 0 à

l'in�ni. En e�et, pour λ 6= 0,∣∣∣ ∫ x′′

x′eiλx dx

∣∣∣ ≤ 2|λ|

et le théorème d'Abel permet d'a�rmer que I(λ) est bien dé�nie pour λ 6= 0.

Exemple 6.9.

Soit s tel que 0 < s < 2 et soit f la fonction dé�nie sur ]0,+∞[ par

f(x) =sinx

xs

Sur [1,+∞[, on considère les fonctions dé�nies par

α(x) =1xs

et β(x) = sin(x)

La fonction α satisfait, de façon évidente l'hypothèse i) du théorème d'Abel.

La fonction β satisfait l'hypothèse ii), en e�et

∀x′, x”,∣∣∣ ∫ x′′

x′sin(x) dx

∣∣∣ = | cos x′ − cos x′′| ≤ 2

On en déduit que l'intégrale impropre de f sur [1,+∞[ est convergente. Lafonction f , étant bornée sur ]0, 1], admet une intégrale impropre convergente

sur ]0, 1] et par suite ∫ ∞

0

sinx

xsdx < ∞

Cette intégrale est en fait semi-convergente. On peut voir de même que, pour

tout s, avec 0 < s < 1, l'intégrale impropre∫ ∞

0

cos λx

xsdx

16

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est semi-convergente. L'intégrale semi-convergente∫ ∞

0

sinx

xdx

intervient en analyse de Fourier. Son calcul sera donné dans la section sui-

vante.

Exemple 6.10. (Intégrales de Fresnel)

Les intégrales suivantes sont convergentes :

I1 =∫ ∞

0sin(x2) dx, I2 =

∫ ∞

0cos(x2) dx

En e�et, le changement de variables x2 = u, transforme la première intégrale

sous la forme

I1 =∫ ∞

0

sinu

2√

udu

Sur ]0, 1], la fonction x → sinu/√

u admet une intégrale impropre conver-

gente. Sur [1,+∞[, on peut appliquer le théorème d'Abel avec α(u) = 1/√

uet β(u) = sin u. La même démarche s'applique à l'intégrale I2. Ces intégrales

sont en fait semi-convergentes, c'est-à-dire qu'elles convergent sans être ab-

solument convergentes.

Exercice 6.11.

Déterminer la nature de l'intégrale impropre suivante :

I =∫ ∞

1

sin(πt)Log t

dt

Indication : Au voisinage de t = 1, la fonction à intégrer reste bornée ; elle

admet une intégrale impropre convergente sur ]1, 2]. Sur [2,+∞[, on peut

utiliser le théorème d'Abel avec α(t) = 1/ Log(t) et β(t) = sin(πt). On en

déduit que I est convergente. �

Exercice 6.12.

On considère l'intégrale impropre

I =∫ π

0Log(sinx) dx

1) Montrer que I est convergente

2) Par un changement de variables convenable, montrer les égalités

I =∫ π

0Log | cos x| dx =

∫ π

0Log | sin 2x| dx

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3) En déduire la valeur de l'intégrale I.

Solution :

1. On a :

I =∫ π/2

0Log(sinx) dx +

∫ π

π/2Log(sinx) dx

Le changement de variables t = π − x, permet de montrer que si l'une

des deux intégrales impropres converge l'autre converge aussi et qu'elles

ont la même valeur. On a donc

I = 2∫ π/2

0Log(sinx) dx

Pour tout x ∈ [0, π/2], on écrit

Log(sinx) = Log(sinx

x

)+ Log(x)

La fonction x 7→ Log(sinx/x) admet une limite en 0, son intégrale

impropre sur ]0, π/2] est donc convergente. On a déjà vu que l'intégrale

impropre sur ]0, π/2] de la fonction x → Log(x) est convergente, on en

conclue que I est convergente.

2. Des changements de variables de la forme : t = π/2 − x, t = π − 2xetc., permettent de prouver ces égalités.

3. En utilisant la question 2), il vient :

I =∫ π

0Log | sin 2x| dx =

∫ π

0Log |2 sinx cos x| dx

= π Log 2 +∫ π

0Log | sinx| dx +

∫ π

0Log | cos x| dx

= π Log 2 + I + I

Ce qui donne l'égalité : I = −π Log 2.

7 Intégrales dépendant d'un paramètre

On se donne un intervalle [a, b[ (b �ni ou non), un intervalle I de R (�ni ou

non) et une fonction f : [a, b[×I → C continue des deux variables (t, x). Onsuppose que pour chaque x �xé dans l'intervalle I, l'application t 7→ f(t, x)admet une intégrale impropre convergente sur [a, b[. On pose alors

F (x) =∫ b

af(t, x) dt

On dé�nit ainsi une fonction F dont on veut découvrir les propriétés à partir

de celles de f .

18

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Théorème 7.1. (continuité)

Soit f une fonction continue sur [a, b[×I. On suppose qu'il existe une fonc-

tion g positive et admettant une intégrale impropre convergente sur [a, b[,telle que

∀t ∈ [a, b[, ∀x ∈ I, |f(t, x)| ≤ g(t)

Alors, la fonction F dé�nie par

F (x) =∫ b

af(t, x) dt

est continue sur I.

Démonstration. Puisque l'intégrale impropre de g est convergente, le critère

de Cauchy (théorème 4.2) et l'hypothèse montrent que, pour tout ε > 0, ilexiste b′ dans [a, b[ tel que, pour tout y ∈ I, on ait∫ b

b′|f(t, y)| dt ≤

∫ b

b′g(t) dt ≤ ε

Soit x0 ∈ I et soit J ⊂ I un voisinage compact de x0. De l'inégalité ci-dessus,

on déduit que, pour tout x ∈ J ,

|F (x)− F (x0)| ≤∫ b′

a|f(t, x)− f(t, x0)| dt + 2ε

La fonction f est continue sur le compact [a, b′]× J , il existe donc η > 0 tel

que

|x− x0| < η =⇒ |f(t, x)− f(t, x0)| ≤ε

b′ − a

Il en résulte que

|x− x0| < η =⇒ |F (x)− F (x0)| ≤ 3ε

ce qui traduit la continuité de la fonction F en x0.

Remarque 7.2.

Il faut bien noter que la fonction g doit être indépendante de la variable

x et doit avoir une intégrale impropre convergente. Cette condition de do-

mination n'est pas toujours immédiate à voir.

Corollaire 7.3. Avec les notations du théorème, si l'intervalle I est compact

et si f est continue sur le compact [a, b]× I, alors la fonction F est continue

sur I.

Démonstration. En e�et, sous ces hypothèses, la condition de domination est

automatiquement satisfaite, il su�t pour cela de prendre pour g le maximum

de f sur le compact [a, b]× I.

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Théorème 7.4. (dérivation sous le signe d'intégration)

Soit f une fonction continue sur [a, b[×I. On suppose que

(1) f admet une dérivée partielle par rapport à x continue sur [a, b[×I

(2) Il existe une fonction g : [a, b[→ R+, dont l'intégrale impropre converge

sur [a, b[ et telle que

∀t ∈ [a, b[, ∀x ∈ I,∣∣∣∂f

∂x(t, x)

∣∣∣ ≤ g(t)

(3) Pour tout x dans I, la fonction t 7→ f(t, x) admet une intégrale im-

propre convergente sur [a, b[.

Alors, la fonction F dé�nie par

F (x) =∫ b

af(t, x) dt

est continûment dérivable sur I et sa dérivée est donnée par

F ′(x) =∫ b

a

∂f

∂x(t, x) dt

Démonstration. Soit x0 un point intérieur à I et J ⊂ I un voisinage compact

de x0, J = [x0−α, x0+α] avec α > 0. D'aprés le théorème des accroissements

�nis, pout tout t ∈ [a, b[ et 0 < |h| < α, il existe θ(t, h) ∈ [0, 1] tel que

f(t, x + h)− f(t, x)h

=∂f

∂x(t, x0 + θ(t, h)h)

D'autre part, pour tout ε > 0, il existe b′ dans ]a, b[ tel que∫ ′b

bg(t) dt ≤ ε

Il en résulte que∣∣∣∣F (x0 + h)− F (x0)h

−∫ b

a

∂f

∂x(t, x0) dt

∣∣∣∣ ≤2ε +

∫ b′

a

∣∣∣∂f

∂x(t, x0 + θ(t, h)h)− ∂f

∂x(t, x0)

∣∣∣ dt

Comme la dérivée partielle de f est continue sur [a, b[×I, elle est uniformé-

ment continue sur le compact [a, b′] × J . Par suite, il existe η > 0 tel que,

pour tout (t, x) ∈ [a, b′]× J ,

|h| < η =⇒∣∣∣∂f

∂x(t, θ(t, h))− ∂f

∂x(t, x)

∣∣∣ ≤ ε

b′ − a

20

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Il en résulte que ∣∣∣∣F (x + h)− F (x)h

−∫ b

a

∂f

∂x(t, x) dt

∣∣∣∣ ≤ 3ε

Cela montre que F est dérivable et que sa dérivée s'obtient par dérivation

sous le signe d'intégration.

Intégrales eulériennes.

Les intégrales eulériennes jouent un rôle important en Analyse. On se pro-

posent de les introduire comme exemples d'intégrales impropres dépendant

d'un paramètre et d'en donner quelques propriétés élémentaires.

La fonction Gamma d'Euler : Montrons que l'intégrale impropre

Γ(x) =∫ ∞

0tx−1e−t dt

est convergente pour tout x > 0. il faut prouver séparément que chacune des

intégrales ∫ 1

0tx−1e−t dt et

∫ ∞

1tx−1e−t dt

est convergente. Soit f la fonction dé�nie sur ]0,+∞[×]0,+∞[ par

f(t, x) = tx−1e−t

Pour tout α > 0 et x ≥ α, on a

f(t, x) ≤ tα−1, ∀t ∈]0, 1]

et le second membre admet une intégrale impropore convergente sur ]0, 1]. Ilen résulte que la première intégrale est convergente. D'autre part, pour tout

A > 0, il existe M tel que pour tout x ∈ [α, A], on ait

|f(t, x)| ≤ Me−t/2, ∀t ∈ [1,+∞[

Il est clair que le second membre admet une intégrale impropre convergente

sur ]1,+∞[. On en déduit que, pour tout x ∈ [α, A], la deuxième intégrale

est convergente sur [1,∞[ et par suite elle est convergente sur [1,∞[, pourtout x > 0. On a évidemment Γ(x) > 0, x > 0.On va montrer qu'elle est dérivable. D'abord, la fonction x 7→ f(t, x) est

dérivable sur ]0,+∞[ et on a

∂f

∂x(t, x) = tx−1e−t Log t

De ce qui précède, on déduit l'inégalité∣∣∣∂f

∂x(t, x)

∣∣∣ ≤ g(t) Log t

21

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Le second membre dé�nit une fonction dont l'intégrale impropre est conver-

gente sur ]0+∞[. Cela permet d'appliquer le théorème de dérivation sous le

signe d'intégration. La fonction Γ est donc continûment dérivable sur ]0,+∞[et sa dérivée est donnée par

Γ′(x) =∫ ∞

0tx−1e−t Log t dt

On en déduit que la fonction Γ est indé�niment déribale sur ]0,∞[.

Théorème 7.5. La fonction Γ véri�e, pour x > 0,

1. l'équation fonctionnelle : Γ(x + 1) = xΓ(x)

2. Pour tout entier n > 0 : Γ(n + 1) = n!

En e�et, une intégration par parties donne, pour x > 0∫ ∞

0txe−t dt = [−txe−t]

∣∣∣∞0

+ x

∫ ∞

0tx−1e−t dt

d'où la relation fonctionnelle annoncée. Comme Γ(1) = 1, on en déduit, la

relation Γ(n + 1) = n! par récurrence sur n. �

La fonction bêta d'Euler : On appelle fonction bêta l'intégrale

B(x, y) =∫ 1

0tx−1(1− t)y−1 dt

Montrons que cette intégrale, impropre pour x < 1 ou y < 1, est convergentepour x > 0 et y > 0 : puisque le changement de variables t′ = 1− t montre

que l'on a

B(y, x) = B(x, y),

il su�t de prouver la convergence sur un intervalle de la forme ]0, α] avec0 < α < 1. Or, sur un tel intervalle et pour 0 < x, y < 1, on a

tx−1(1− t)y−1 ≤ tx−1(1− α)y−1

et le second membre admet une intégrale impropre convergente sur ]0, α]. Lafonction bêta est donc bien dé�nie pour x > 0 et y > 0.Notons que le changement de variables t = sin2 θ donne∫ π

2

0(sin θ)2x−1(cos θ)2y−1 dθ =

12B(x, y), x > 0, y > 0

On en déduit, par exemple, B(1/2, 1/2) = π.

Théorème 7.6. Pour x > 0 et y > 0, on a

B(x, y) =Γ(x)Γ(y)Γ(x + y)

22

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Démonstration. On remarque d'abord que le changement de variables t = s2,

montre que la fonction Γ s'écrit

Γ(x) = 2∫ ∞

0e−s2

s2x−1 ds

Soit D le domaine de R2 dé�ni par

D = {(s, t) | s > 0, t > 0}

Si x > 0 et y > 0,

Γ(x)Γ(y) = 4∫

De−(s2+t2)s2x−1t2y−1 ds dt

En passant en coordonnées polaires (voir la section 6 du chapitre sur les

intégrales multiples) : s = r cos θ, t = r sin θ, r > 0 et θ ∈ [0, π/2], il vient

Γ(x)Γ(y) = 4∫ ∞

0

∫ π2

0e−r2

(r cos θ)2x−1(r sin θ)2y−1r dr dθ

= 2Γ(x + y)∫ π

2

0(cos θ)2x−1(sin θ)2y−1 dθ

D'où résulte la formule annoncée.

Comme Γ(1) = 1 et B(1/2, 1/2) = π, on déduit du théorème la formule

suivante :

Γ(1/2) = 2∫ ∞

0e−t2 dt =

√π

Application aux calculs d'intégrales impropres

Les théorèmes de continuité et de dérivation sous le signe d'intégration

permettent, dans certains cas, de calculer des intégrales impropres. On en

donne deux exemples.

Exemple 7.7.

On a vu dans l'exemple 6.9 que la fonction sin(x)/x admet une inté-

grale impropre convergente sur ]0,+∞[ ; on se propose ici de calculer cette

intégrale. A cet e�et, on introduit la fonction F dé�nie sur [0,+∞[ par

F (x) =∫ ∞

0

sin t

te−tx dt

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1. La fonction t 7→ sin t/t est bornée (par 1) sur [0,+∞[ et par suite, pourtout a > 0,

sin t

te−tx ≤ e−at, ∀x ≥ a

Comme le second membre de cette inégalité représente une fonction

dont l'intégrale impropre est convergente sur [a,+∞[, le théorème de

continuité montre que F est continue sur [a,+∞[. Cela étant pour

tout a > 0, il en résulte que F est continue sur ]0 +∞[. On montre de

même que F est continûment dérivable sur ]0,+∞[ et que sa dérivée

est donnée par

F ′(x) = −∫ ∞

0e−tx sin t dt

Mais, le second membre s'intègre explicitement par deux intégrations

par parties et on obtient

F ′(x) = − 11 + x2

, ∀x > 0

De ce fait, il existe une constante c telle que

F (x) = −Arctg x + c, ∀x > 0

L'inégalité | sin(t)/t| ≤ 1 montre que |F (x)| < 1/x. En faisant tendre

x vers l'in�ni, on en déduit que la constante c vaut π/2.

2. Pour montrer que F est continue en 0, on procède à un découpage,

comme dans la preuve du théorème continuité. En utilisant le théorème

d'Abel (théorème 5.9), avec α(t) = e−tx/t, on voit que, pour tout ε > 0,il existe B > 0 tel que∣∣∣∣∫ ∞

B

sin t

te−tx dt

∣∣∣∣ < ε, ∀x ≥ 0

Il en résulte que

|F (x)− F (0)| ≤∣∣∣∣∫ B

0

sin t

t(e−tx − 1) dt

∣∣∣∣ + 2ε

La fonction (t, x) 7→ (e−tx − 1)(sin t/t) est uniformément continue sur

le compact [0, B]× [0, 1]. De ce fait, il existe η > 0 tel que

0 ≤ x ≤ η =⇒∣∣∣sin t

t(e−tx − 1)

∣∣∣ ≤ ε

B

Il en résulte que, dès que x est inférieur à η, alors |F (x) − F (0)| estplus petit que 3ε, ce qui traduit la continuité de F en 0.

24

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3. L'égalité F (x) = −Arctg x + π/2 et la continuité de F en 0, montrent

que F (0) = π/2. On a donc montré l'égalité∫ ∞

0

sin t

tdt =

π

2

Exercice 7.8.

On se propose de calculer l'intégrale impropre suivante∫ ∞

0e−t2 dt

On introduit la fonction F dé�nie sur R par

F (x) =∫ 1

0

e−x2(1+t2)

1 + t2dt

1. Montrer que F est continûment dérivable sur R et que

F ′(x) = −∫ 1

02xe−x2(1+t2) dt

2. Montrer que F (0) = π/4 et que limx→+∞

F (x) = 0

3. On pose

G(x) =(∫ x

0e−t2 dt

)2

Montrer que, pour tout réel x, F ′(x) + G′(x) = 0 et en déduire que

G(x) =π

4− F (x)

4. En passant à la limite, quand x tend vers l'in�ni, montrer que∫ ∞

0e−t2 dt =

√π

2

Solution : Pour (t, x) ∈ [0, 1]× R, on pose

f(t, x) =e−x2(1+t2)

1 + t2

1. Il est clair que f est continûment dérivable et que :

(t, x) ∈ [0, 1]× R,∂f

∂x(t, x) = −2xe−x2(1+t2)

25

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Il su�t de prouver que f véri�e les hypothèses du théorème de dériva-

tion sous le signe d'intégration. Soit a > 0 et I = [−a, a]. On a :

∀t ∈ [0, 1], ∀x ∈ I,∣∣∣∂f

∂x(t, x)

∣∣∣ ≤ 2a = g(t)

La fonction t ∈ [0, 1] 7→ g(t) est intégrable au sens de Riemann et la

fonction t ∈ [0, 1] 7→ f(t, x) est continue sur [0, 1] pour tout x ∈ I,donc, elle est intégrable sur [0, 1] au sens de Riemann pour tout x ∈ I.Ce qui prouve que F est dérivable sur I = [−a, a] pour tout a > 0.D'où, F est dérivable sur tout R et on a :

F ′(x) = −∫ 1

02xe−x2(1+t2) dt

Pour prouver que F ′ est continue, on montre facilement qu'elle véri�e

les hypothèses du théorème de continuité avec I = [−a, a], a > 0.

2. On a f(t, 0) = 1/(1 + t2) et

|f(t, x)| ≤ e−x2 × 1/(1 + t2)

Il en résulte que :

F (0) =∫ 1

0

11 + t2

=π

4et |F (x)| ≤ π

4e−x2

3. Facile.

4. Le passage à la limite quand x tend vers l'in�ni donne :(∫ ∞

0e−t2dt

)2=

π

4

Exercice 7.9.

On considère la fonction F : R∗+ → R+ dé�nie par

F (x) =∫ 1

0

dt

t2 + x

1) Montrer que F est dérivable sur R+. calculer sa dérivée de deux ma-

nières di�érentes.

2) En déduire la valeur de l'intégrale

I(x) =∫ 1

0

dt

(t2 + x)2

puis calculer I(1).

26

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3) En faisant le changement de variables t = tg θ, calculer

J(x) =∫ π

4

0

cos θ

(sin2 θ + x cos2 θ)2dθ

4) Comment peut-on calculer l'intégrale∫ 1

0

dt

(t2 + 1)3

Exercice 7.10.

On considère la fonction F : R → R dé�nie par

F (x) =∫ π

2

0Log(sin2 θ + x2 cos2 θ) dθ

a) Montrer que F est dérivable sur R∗

b) Calculer la quantité (x2 − 1)F ′(x)/2x en fonction de l'intégrale

J(x) =∫ π

2

0

cos2 θ

sin2 θ + x2 cos2 θdθ, x > 0

Calculer l'intégrale J(x), x > 0.c) En déduire l'égalité

∀x > 0, F (x) = π Logx + 1

2

d) La fonction F est-elle continue en 0 ?

Solution :

a) F est paire, il su�t de prouver qu'elle est dérivable sur R∗+. Soitb > a > 0 et I = [a, b]. On pose :

(θ, x) ∈ [0,π

2]× I, f(θ, x) = Log(sin2 θ + x2 cos2 θ)

Il est clair que f admet une dérivée partielle par rapport à x continue

sur [0,π

2]× I et on a, pour tout (θ, x) ∈ [0, π/2]× I :

∂f

∂x(θ, x) =

2x cos2 θ

sin2 θ + x2 cos2 θ

Le corollaire 8.3 permet d'a�rmer que la fonction F est dérivable sur

I et que

F ′(x) =∫ π

2

0

2x cos2 θ

sin2 θ + x2 cos2 θdθ

Ce qui précède prouve que F est dérivable en tout point x > 0 et donc

en tout point x 6= 0.

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b) De l'expression ci-dessus de F ′, on déduit facilement que, pour x > 0,

(x2 − 1)F ′(x)2x

=π

2− J(x)

Par ailleurs, le changement de variables s = tg(θ)/x montre que :

J(x) = π/(2x)c) Finalement, on trouve F ′(x) = π/(x + 1) et, compte tenu du fait que

F (1) = 0, il vient

F (x) = π Log(x + 1)− π Log(2) = π Log(x + 1

2

), x > 0

d) On a vu à l'exercice 6.12 que∫ π/2

0Log(sin θ)dθ = −π

2Log(2)

L'expression intégrale de F montre que F (0) = −π Log(2). D'autrepart, l'expression de F (x), x 6= 0, trouvée en c), montre que

limx→0

F (x) = −π Log(2) = F (0)

La fonction F est donc continue en 0. �

Exercice 7.11.

Soit f : [a, b] → R une fonction indé�niment dérivable dont toutes les dérivées

sont nulles aux extrémités a et b. On associe à f la fonction F : R → C par

F (t) =∫ b

af(x)e−itx dx

On appelle F la transformée de Fourier de f .

1) Montrer que F est une fonction indé�niment dérivable sur R.2) Exprimer la transformée de Fourier de x 7→ xkf(x), k ∈ N, en fonction

de celle de f .

3) Exprimer la transformée de Fourier des fonctions f ′, f ′′, . . . , f (n) en

fonction de celle de f .

4) Montrer que, pour tout entier k, il existe un nombre réel ck > 0 tel que

∀t, |t| ≥ 1, |F (t)| ≤ ck

|t|k

Exercice 7.12.

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Montrer que, pour tout x ∈ R, l'intégrale impropre suivante est convergente

F (x) =∫ ∞

0

sin2 t

x2 + t2dt

Montrer que la fonction F , ainsi dé�nie, est continue sur R.

Exercice 7.13.

Soit f : [0, +∞[→ R une fonction continue. La tranformée de Laplace de

f est donnée par

∀λ ∈ R, L(f)(λ) =∫ ∞

0f(x)e−λx dx

pourvu que l'intégrale converge.

1) Quel est le domaine de dé�nition de la fonction L(f) dans chacun des

cas suivants :

(a) f(x) = eαx, (b) f(x) = cos x, (c) f = un polynôme

2) On suppose que l'intégrale impropre de f est convergente et vaut ` et

que limx→+∞

xf(x) = 0

(a) Montrer que la fonction L(f) est bien dé�nie sur R∗+(b) Montrer que lim

λ→0+L(f)(λ) = `

Exercice 7.14.

On considère l'intégrale

∀x ∈ R, F (x) =∫ ∞

−∞cos(tx)e−t2 dt

1) Montrer que cette intégrale est absolument convergente, pour tout xdans R.

2) Montrer que la fonction F , ainsi obtenue, est indé�niment dérivable

sur R.3) A l'aide d'une intégration par parties, dans l'expression de F ′, montrer

que F satisfait l'équation di�érentielle suivante

F ′(x) +12F (x) = 0

4) Résoudre cette équation di�érentielle et en déduire F . (on rappelle que∫R exp(−t2)dt =

√π).

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