Inéquations du premier degré à une inconnue

a < 1 6x > 25 3x + 5 ≤ - 40 7d - 13 ≤ d

Inégalité

Une inégalité est un énoncé mathématique qui permet la comparaison entre deux expressions numériques à l’aide d’un symbole d’inégalité.

Définition :

Symbole d’inégalité

Signification Exemple

< « est inférieur à » ou « est plus petit que » 8 < 8,1

> « est supérieur à » ou « est plus grand que » 7 > 4,99

≤ « est inférieur ou égal à » ou « est plus petit ou égal à »

−10 ≤ -5

≥ « est supérieur ou égal à » ou « est plus grand ou égal à »

23 ≥ 2 × 3

Inéquation

Une inéquation est un énoncé mathématique comportant une ou des variableset un symbole d’inégalité.

Définition :

Exemples :

a < 1 6x > 25 3x + 5 ≤ - 40 7d - 13 ≤ d

L’ensemble des valeurs qui vérifient une inéquation est appelé l’ensemble solution.

Écris algébriquement, à l’aide d’intervalles et sur la droite numérique, l’ensemble solution des inéquations suivantes :

Algébriquement En intervalles Droite numérique

x est inférieur à 23 : x < 23 ∞- , 23 [

∞+[ 12 ,

0 23

x est supérieur ou égal à 12 : x ≥ 120 12

∞+[ -6 ,x n’est pas plus petit que -6: x ≥ -60-6

x est inférieur ou égal à 3 : x ≤ 30 3

∞- , 3 ]

x est plus grand que 6 : x > 60 6

∞+] 6 ,

Écris algébriquement, à l’aide d’intervalles et sur la droite numérique, les inéquations suivantes :

Algébriquement En intervalles Droite numérique

x vaut au maximum 10 : x ≤ 10 ∞- , 10 ]

∞+[ 10 ,

0 10

x vaut au moins 10 : x ≥ 100 10

∞+] -5 ,x est supérieur à -5 : x > -50-5

x vaut au plus 2 : x ≤ 20 2

∞- , 2 ]

x vaut au minimum 2 : x ≥ 20 2

∞+[ 2 ,

Écris algébriquement, à l’aide d’intervalles et sur la droite numérique, les inéquations suivantes :

Algébriquement En intervalles Droite numérique

x vaut au maximum 10

et au minimum -3 :-3 ≤ x ≤ 10 [ -3, 10 ]

] 2 , 7 ]x est plus grand que 2 mais plus petit ou égal à 7 :

2 < x ≤ 7

] 0 , 5 [ cmUn segment est inférieur à 5 cm :

0 cm < s < 5 cm

La vitesse moyenne a été d’au plus 100 km/h :

0 km/h ≤ v ≤ 100 km/h [ 0 , 100 ] km/h

0 10-3

0 72

0 5

0 100

Ensemble solution

x > 4, où x représente le nombre de personnes présentes à une réunion.

2 3 4 5 6 7 8 …

∞+

5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …

Droite numérique

Entre accolades { }

x N x > 4 ou

Exemple 1 :

Ensemble solution

x > 4, où x représente la mesure (en cm) du côté d’un carré.

2 3 4 5 6 7 8 …

∞+

Droite numérique

Entre accolades { } ou entre crochets [ ]

x R x > 4

Exemple 2 :

ou 4 , ∞+x

Règles de transformation des inéquations

Les règles de transformation des inéquations permettent d’obtenir des inéquations équivalentes, c’est-à-dire des inéquations ayant le même ensemble solution.

Additionner ou soustraire un même nombre aux deux membres d’une inéquation conserve le sens de cette inéquation.

2a + 5 > 6

2a + 5 > 6

2a > 1

– 5 – 5

Inéquations équivalentes

5a – 6 ≤ 16

5a – 6 ≤ 16

5a ≤ 22

+ 6 + 6

Inéquations équivalentes

Plusieurs des règles de transformation des équations servent à résoudre des inéquations.

Cependant les inéquations possèdent trois règles particulières :

Règles de transformation des inéquations

Multiplier ou diviser les deux membres d’une inéquation par un mêmenombre positif conserve le sens de cette inéquation.

a – 2 ≥ -5

Inéquations équivalentes

8 – 5a > 14

Inéquations équivalentes

3a – 6 ≥ -15 ÷ 3( )4 – 2,5a > 7 × 2( )

3a – 6 ≥ -15

3 3 3

Règles de transformation des inéquations

Multiplier ou diviser les deux membres d’une inéquation par un mêmenombre négatif inverse le sens de cette inéquation.

Pour bien comprendre cette règle, prenons un exemple à partir d’une inégalité.

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

-4 < -3

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

2 X -4 < 2 X -3

-8 < -6

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

-4 < -3

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-2 X -4 < -2 X -3

8 < 6

en inversant le signe

8 > 6

Vrai Faux

Vrai

Vrai Vrai

Règles de transformation des inéquations

Multiplier ou diviser les deux membres d’une inéquation par un mêmenombre négatif inverse le sens de cette inéquation.

-3a > 21

a < -7

Inéquations équivalentes

4 – 8a ≥ 26

-8 + 16a ≤ - 52

Inéquations équivalentes

÷ -3( )× -2( )

Remarque: Pour connaître les valeurs numériques que peut prendre la variable, il faut toujours que celle-ci soit positive dans l’inéquation.

-3a > 21-3 -3

- a ≤ 4 donc - a ≤ 4

-1 -1

a ≥ -4

ou - a ≤ 4-1 X X -1

a ≥ -4

Exemple:

Exemple: 3x - 5 ≥ 10

3x - 5 + 5 ≥ 10 + 5

3x ≥ 15

33

x ≥ 5 5 , ∞+x

Vérifions pour quelques valeurs de x:

3x - 5 ≥ 10

Pour x = 5 3 X 5 – 5 ≥ 10 10 ≥ 10 inégalité vraie

Pour x = 20 3 X 20 – 5 ≥ 10 55 ≥ 10 inégalité vraie

Pour x = 2 3 X 2 – 5 ≥ 10 1 ≥ 10 inégalité fausse

Résoudre une inéquation, c’est trouver les valeurs de x qui rendent l’inégalité vraie.

Résous les inéquations suivantes et donne la réponse algébriquement et en intervalles.

2x + 50 ≥ 250

2x + 50 – 50 ≥ 250 – 50

2x ≥ 200

22

x ≥ 100 100 ,

∞+x

-5x + 100 > 100

-5x + 100 – 100 > 100 – 100

-5x > 0

-5-5

x < 0 ∞- , 0x

Résolution d’une inéquation

Déterminer les valeurs qui vérifient une inéquation, c’est résoudre cette inéquation. Dans un problème, on utilise parfois des inéquations pour trouver la solution.

Le périmètre d’un terrain rectangulaire est d’au moins 178 m. Sa longueur mesure 5 m de plus que le triple de sa largeur. On s’intéresse aux dimensions possibles du terrain.

Exemple :

1. Les inconnues sont :

•La largeur du terrain

•La longueur du terrain

2. Largeur du terrain (en m) : x

Longueur du terrain (en m) : 3x + 5

3. L’expression 2 ( 3x + 5 + x ) correspond au périmètre du terrain.

4. Résoudre l’inéquation:

5. On déduit que la largeur du terrain doit être d’au moins 21 m. Par exemple, le terrain pourrait mesurer 21 m sur 68 m.

On a donc : 2(x + 3x + 5) ≥ 178

2(4x + 5) ≥ 178

8x + 10 ≥ 178

8x + 10 ≥ 178

8x ≥ 168

x ≥ 21

Périmètre: 2 ( L + l )

8x + 10 – 10 ≥ 178 – 10

8 8

5. On déduit que la largeur du terrain doit être d’au moins 21 m. Par exemple, le terrain pourrait mesurer 21 m sur 68 m.

Possibilités:

21 m 3 X 21 + 5 = 68 m

22 m 3 X 22 + 5 = 71 m

25 m 3 X 25 + 5 = 80 m

30 m 3 X 30 + 5 = 95 m

largeur : x longueur: 3x + 5 périmètre:

178 m

186 m

210 m

250 m

… … …

c

Pour quelles valeurs de c le volume de ce cube est-il inférieur à 343 cm3 ?

Volume cube = c3

c <3

343

Volume < 343 cm3

c3 < 343 cm3 donc

c < 7 cm

Mais pour que le cube puisse exister, la valeur de c doit être :

- positive, car une mesure négative en géométrie est impossible ;

- plus grande que 0, car pour c = 0 cm, il n’y aurait pas de cube.

Remarque : avec les inéquations, il faut souvent poser des conditions.

Réponse : 0 cm < c < 7 cm

Il faut donc restreindre les valeurs de c.

soit

0 7

Remarque :

Résoudre une équation du premier degré à une variable ne donne qu’une seule valeur possible pour la variable.

Exemple: 2x + 12 = 30

2x + 12 – 12 = 30 – 12

2x = 18

2 2

x = 9

Résoudre une inéquation du premier degré à une variable donne plusieurs valeurs possibles pour la variable.

Exemple: 2x + 12 ≥ 30

2x + 12 – 12 ≥ 30 – 12

2x ≥ 18

2 2

x ≥ 9 soit 9 , ∞+x