Cours de Mathématiques – Première S – Chapitre 1 : équations et inéquations du second degré

Chapitre 1 – Équations et Inéquations du 2 nd degré

A) Les Polynômes

1) Définitions

On appelle monôme une expression de la forme a xn, où a est un réel non nul et n est un entier naturel (n >= 0).Un polynôme est une somme de monômes.

ExemplesP1 = 2x2 - 3x 3 + x2 – 4x – 2 + 3x – 5P2 = x5 – x3 + x4 – 2 x2 + x5 +1

On appelle fonction polynôme correspondant à P la fonction qui à tout x fait correspondre la valeur P(x) prise par P quand on remplace x par sa valeur dans l’expression de P.

On appelle polynôme réduit un polynôme où l'on a regroupé les monômes de même degré et où on les a triés du plus grand au plus petit degré.

Exemples (réduction des deux exemples précédents) P1 = -3x 3 + 3x2 – x – 7P2 = 2x5 + x4 – x3 – 2 x2 +1

On appelle coefficient de rang n le coefficient de xn dans le polynôme. On appelle degré de P le degré de son monôme de plus haut degré.

2) Égalité de deux polynômes

Deux polynômes sont égaux si les fonctions polynômes correspondantes sont égales : P = Q si et seulement si ∀ x , P x=Q x .

Théorème (admis) :Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs formes réduites sont identiques.

Exemple :Soit Q = P1 ci-dessus et Q= ax3 + bx2 + cx + d :Alors, on aura a = - 3, b = 3, c = - 1 et d = - 7.

Application :Soit Q = ax2 + bx + c.Déterminer les valeurs de a, b et c pour que l'on ait :(x – 1) Q = x3 + 2x2 – 6 x + 3.

3 Somme algébrique, produit et quotient de polynômes

La somme algébrique de deux polynômes a un degré inférieur ou égal au degré le plus haut des deux polynômes.

Le produit de deux polynômes a comme degré la somme des degrés des deux polynômes.

Le quotient de deux polynômes n'est en général pas un polynôme. On dit alors que c'est une fraction rationnelle et la fonction correspondante est une fonction rationnelle.

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Exemples : Soit P3

= -2x5 +7 et les P1 et P2 précédents : calculer P1 + P2, P2 + P3 et P1 * P3.

4) Factorisation par x – a

Théorème (admis)Soit P un polynôme et a un réel, si P(a) = 0, on peut trouver un polynôme Q(x) tel que P = (x – a)Q.De plus, si P est de degré n, Q sera de degré n – 1.

Exemples :P(x) = x3 – 7x2 + x + 18 : Calculer P(2) puis factoriser P(x)

x3 – 7x2 + x + 18 = (x - 2)( ax2 + bx + c) = ax3 + (b – 2a)x2 + (c – 2b)x - 2ca = 1 Q(x) = 5x???b - 2a = -7 d'où b = -5c - 2b = 1 d'où c = -9-2c = 18 d'où c = -9 (ceci permet de vérifier qu'on ne s'est pas trompé !).Donc, P(x) = (x – 2)(x2 -5x – 9) (ne pas oublier de conclure ainsi !).

Même question avec Q(x) = 5x3 - 4x2 + 3x – 4 en calculant Q(1).

B) Résolution de l'équation du second degré

1) Définitions

On appelle équation du second degré une équation de la forme ax² + bx + c = 0, où a, b et c sont trois réels donnés, avec a différent de 0.

Résoudre l'équation, c'est trouver tous les nombres tels que cette égalité soit vraie. Ces nombres sont appelés "solutions" de l'équation ou "racines" du polynôme (on peut aussi dire racines de l'équation, mais attention aux inéquations!).

2) Résolution

Soit l'équation ax² + bx + c = 0, avec a non nul.

On calcule Δ = b² – 4ac. Δ s'appelle le discriminant.Si Δ < 0, il n'y a pas de solutions.

Si Δ = 0, il y a une solution unique x1=−b2a

, qu'on appelle "racine double".

Si Δ > 0, il y a deux solutions distinctes x1=−b−√Δ

2a et x2=

−b+√Δ

2a

Démonstration :On a :

ax²bxc = a x² ba

xca = a[ x

b2a

2

−b²4a²

ca

] = a [xb

2a2

−b²−4ac

4a²] ,

car en effet : xb

2a2

= x²2b

2ax

b2a

2

= x²ba

xb²4a²

.

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En posant Δ = b² – 4ac, on voit alors que l'égalité ne peut être vraie que si Δ >= 0, auquel cason peut alors utiliser l'identité remarquable a² – b² = (a – b)(a + b) et en déduire que

ax²bxc = a [xb

2a−

2ax

b2a

2a] = a x−

−b−

2ax−

−b

2a .

Comme un produit est nul si et seulement si l'un de ses termes est nul, on voit que l'équation est vérifiée lorsque x prend une des deux valeurs ci-dessus, qui sont égales si Δ = 0.CQFD

Remarque :

On a aussi démontré, lorsque Δ > 0, que le polynôme ax² + bx + c peut s'écrire a(x – x1)(x – x2) où x1 et x2 sont les deux racines vues ci-dessus.

De même, si Δ = 0, ax² + bx + c peut s'écrire a x –b2a

2

3) Compléments

a) Équations incomplètes

Dans ces cas il est inutile et même maladroit (à cause du risque d'erreur) de calculer Δ et d’utiliser les formules ci-dessus :

Si b = 0 Exemple x² – 7 = 0 (donc x² = 7 ) x=7 ou −7

Si c = 0 Exemple x² – 2x = 0 (donc x(x -2) = 0) x=0 ou x=2

b) Somme et produit des racines

x1x2=−ba

et x1 x2=ca

(vérifiez le vous-mêmes à partir des formules !)

Conséquences :

- Lorsqu'on connaît déjà une racine, on peut facilement trouver la deuxième grâce à la somme ou au produit ci-dessus !- L'équation ax² + bx + c = 0 est équivalente à l'équation x² – Sx + P = 0, où S et P sont respectivement la somme et le produit des racines (attention, ces deux polynômes ne sont pas égaux pour autant).

Exemples :

- Trouver l'autre racine de P(x) = x² – 7x + 6 (1 est racine évidente).

- Trouver x et y sachant que x + y = 15 et x y = 14.

c) Signe de Δ

Lorsque a et c sont des signes contraires, ac < O donc on a a Δ > O et on est sûr de trouver deux racines distinctes.

d) Vocabulaire

- On appelle aussi "trinôme" un polynôme du second degré.

C) Signe du trinôme

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1) Factorisation

Comme on l'a vu en A), si f(x) = ax² + bx +c :

si Δ > 0, on aura deux racines x1 et x2, et l'identité f x =a x – x1 x – x 2 .

Si Δ = 0, on aura une racine double x1 et f x =a x – x1 ² .

Si Δ < 0 , on n’a pas de racines réelles et f (x )=a[(x+b

2a)

2

− Δ4a² ] .

2) Signe du trinôme

Si Δ < 0, f(x) est toujours du signe de a.

Si Δ = 0, f(x) est du signe de a sauf lorsque x=−b2a

, qui donne f(x) = 0

Si Δ > 0, f(x) sera du signe de a en dehors des racines, et du signe contraire entre les racines.

Démonstration

- Si Δ > 0, on peut factoriser donc faire un tableau de signes :Tableau de signes

x -∞ x1 x2 +∞

(x - x1) - + +

(x - x2) - - +

f(x) Signe de + a Signe de – a Signe de + a

- Si Δ < 0, on a - Δ > 0 donc xb

2a2

−

4a² > 0 et f(x) toujours du signe de a.

>= 0 > 0- Si Δ = 0, f x =a x – x1 ² donc f(x) du signe de a, sauf pour x = x1 auquel cas f(x) = 0.

3) Application

Lorsqu'on a une inéquation du second degré, donc du type ax² + bx + c < 0 ou ax² + bx + c > 0, il suffit de calculer Δ et d'en déduire le signe de f(x) en fonction du signe de a et de la position de x par rapport aux racines (lorsqu'il y en a).

Exemples :Résoudre les inéquations :

a) 2x² + 3x – 1 > 0

b) 5x² + 2x + 4 < 0

c) -4x² + 1 > 0

d) 3x² -2x -1 < 0

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D) Équations de degré supérieur à 2

Il existe des méthodes de résolution pour les équations polynomiales de degré 3 et 4, mais il est impossible de donner une expression générale à base de racines et d’opérations simples des solutions des équations de degré supérieur à 4 (cela a été démontré en 1823 par Abel).

Par contre, si on connaît déjà une solution dans une équation de degré 3, on peut trouver les autres grâce au théorème vu en A4).

De même les équations "bicarrées", c’est à dire comprenant uniquement des termes en x4, en x² et une constante, peuvent se ramener à une séquence de deux équation du second degré.

Exemples :

Résoudre les équations suivantes :

a) x4 – 3x² +2 = 0

b) x4 + 5x² – 6 = 0

c) x3 – 3x² + 4x – 2 = 0

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Fiche de révision page 1

Forme canonique du trinôme du second degré f(x) = a x² + b x + c :

f(x) = a(x+b

2a)2

–b2 – 4 a c

4a ou encore f(x) = a (x – α)² + β

avec α=−b

2a et β=f (α)=−

b2 – 4 a c4a

Tableau de variation du trinôme du second degré ax² + bx +csi a < 0 :

x -∞ α=−b

2a +∞

ax² + bx + cβ=−

b2 – 4a c4 a

si a > 0 : x -∞ α=−

b2a +∞

ax² + bx + c

β=−b2 – 4a c

4 a

Résolution générale de l’équation du second degré ax² + bx + c = 0 :

On calcule Δ = b² – 4ac. Δ s'appelle le discriminant.Si Δ < 0, il n'y a pas de solutions.

Si Δ = 0, il y a une solution unique x1=−b2 a

, qu'on appelle "racine double".

Si Δ > 0, il y a deux solutions distinctes x1=−b−√Δ

2a et x2=

−b+√Δ

2 a

On a aussi S=x1+x 2=−ba

et P=x1×x2=ca

ainsi que x² – Sx + P = 0

Signe du trinôme

Si Δ < 0, f(x) est toujours du signe de a.

Si Δ = 0, f(x) est du signe de a sauf lorsque x=−b2 a

, qui donne f(x) = 0

Si Δ > 0, f(x) sera du signe de a en dehors des racines, et du signe contraire entre les racines.

Ceci permet de résoudre les inéquations du second degré !

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Fiche de révision page 2

Représentation graphique des polynômes du second degré

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