Inéquations du premier degré à une inconnue

Inéquation

Une inéquation est un énoncé mathématique comportant une ou des variableset un symbole d’inégalité.

Définition

Exemples : a < 1 6x > 25 3x + 5 ≤ - 40 7d - 13 ≤ d

L’ensemble des valeurs qui vérifient une inéquation est appelé l’ensemble-solution.

Rappel : < signifie :

> signifie :

≤ signifie :

≥ signifie :

plus petit que …

plus grand que … plus petit ou égal à …

plus grand ou égal à …

Remarques importantes sur les 4 symboles :

En utilisant l’ensemble des entiers naturels ( N ), regardons des détails importants sur ces symboles.

<

La pointe signifie plus petit que; l’ouverture signifie plus grand que;

ainsi, x < 5 se lit x est plus petit que 5;

x > 5 se lit x est plus grand que 5.

< signifie :

> signifie :

≤ signifie :

≥ signifie :

plus petit que …

plus grand que …

plus petit ou égal à …

plus grand ou égal à …

ce qui exclut le nombre.

Exemple : x < 4 signifie 0, 1, 2, 3,

ce qui inclut le nombre.

Exemple : x ≤ 4 signifie 0, 1, 2, 3, 4

ce qui exclut le nombre.

Exemple : x > 6 signifie 7, 8, 9, 10, 11, …

ce qui inclut le nombre.

Exemple : x ≥ 6 signifie 6, 7, 8, 9, 10, 11, …

≤ x < signifie : les nombres compris entre …

Exemple : signifie 2, 3, 4, 5, 6, 72 ≤ x < 8

Le x représente tous les nombres qui nous intéressent.

R : les nombres réels

L’ensemble des nombres réels englobe tous les autres ensembles N, Z, Q, Q’.

Il est l’ensemble de nombres le plus utilisé en mathématique.

On sait que l’ensemble des nombres réels remplit la droite numérique; on peut donc illustrer un ensemble particulier à l’aide de celle-ci.

∞-

0 1 2 3 4 5 6 …∞+

- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1…

Ce trait plein symbolise tous les nombres réels plus grand que 1.

Exemple : On voudrait représenter tous les nombres réels plus grand que 1.

Algébriquement : x > 1 En intervalles : ] 1 , ∞+

Remarque : Les intervalles ne s’emploient qu’avec la famille des réels (R) .

Les intervalles

Les intervalles sont représentés par des crochets : ,

C’est une autre façon d’exprimer un ensemble-solution lorsqu’on travaille avec les réels.

1 , 6

Soit tous les nombres réels plus grands ou égaux à 1 et plus petits ou égaux à 6;

ou tous les nombres entre 1 inclus et 6 inclus.

On place une virgule pour séparer les nombres.

Exemple :

Cela signifie : 1 ≤ x ≤ 6

Les crochets peuvent être ouverts ou fermés , ,

selon la situation à représenter.

Exemples :

-2 , 5

-2 ≤ x ≤ 5

-2 , 5

-2 < x ≤ 5

-2 , 5

-2 ≤ x < 5

-2 , 5

-2 < x < 5

Exercice

Tous les réels

plus petits

que 3 : 0 1 2 3 4- 1

, 3∞-

Tous les réels

supérieurs

à 100 inclus : 0 100

100 ,

∞+

Tous les réels

compris entre

5 inclus et

30 exclu :0 5 30

5 , 30

En utilisant la droite numérique, les intervalles et les inéquations, décris les phrases suivantes.

Droite numérique En intervalles Inéquation

x < 3

x ≥ 100

5 ≤ x < 30

Tous les nombres

réels :0

∞- ∞+,

ou R

Tous les nombres

réels positifs :0

0 , ∞+

Tous les nombres

négatifs, sauf 0 :0

∞- , 0

Tous les nombres réels compris entre 5 exclu et 15 exclu :

0 5

5 , 15

Droite numérique En intervalles Inéquation

x ≥ 0

x < 0

5 < x < 15

x R

Écris algébriquement et à l’aide d’intervalles, l’ensemble-solution des inéquations suivantes.

Algébriquement En intervalles

x est inférieur à 23 : x < 23 ∞- , 23 [

∞+[ 12 ,x est supérieur ou égal à 12 : x ≥ 12

∞+[ -6 ,x n’est pas plus petit que -6 : x ≥ -6

x est inférieur ou égal à 3 : x ≤ 3 ∞- , 3 ]

x est plus grand que 6 : x > 6 ∞+] 6 ,

x vaut au maximum 10 : x ≤ 10 ∞- , 10 ]

Algébriquement En intervalles

∞+] -5 ,x est supérieur à -5 : x > -5

x vaut au plus 2 : x ≤ 2 ∞- , 2 ]

x vaut au minimum 2 : x ≥ 2 ∞+[ 2 ,

x vaut au maximum 10

et au minimum -3 :-3 ≤ x ≤ 10 [ -3, 10 ]

] 2 , 7 ]x est plus grand que 2 mais plus petit ou égal à 7 :

2 < x ≤ 7

∞+[ 10 ,x vaut au moins 10 : x ≥ 10

Inéquation

Une inéquation est un énoncé mathématique comportant une ou des variableset un symbole d’inégalité.

Voici une égalité.

4 X 2 = 8

Voici une inégalité.

4 X 3 > 8

12 > 8

Voici une équation.

3 x = 12

Voici une inéquation.

3 x > 12

Résoudre une équation du premier degré à une variable ne donne qu’une seule valeur possible pour la variable.

Résoudre une inéquation du premier degré à une variable donne plusieurs valeurs possibles pour la variable.

Remarque

3 x = 12

3 x > 12

3 3

x = 4

3 3

x > 4

En intervalles, ∞+] 4 ,

Résoudre une inéquation du premier degré à une variable donne plusieurs valeurs possibles pour la variable.

3 x > 12

x > 4

Vérifions avec quelques valeurs possibles :

Pour x égal 5 : 3 X 5 > 12

Inégalité vraie.15 > 12

Pour x égal 7 : 3 X 7 > 12

21 > 12

Pour x égal 9 : 3 X 9 > 12

27 > 12

Pour x égal 10 : 3 X 10 > 12

30 > 12

En intervalles : ∞+] 4 ,3 x > 12 x > 4

Inégalité vraie.

Inégalité vraie.

Inégalité vraie.

Règles de transformation des inéquations

Les règles de résolution des inéquations sont les mêmes que pour les équations, excepté lorsqu’on retrouve des facteurs négatifs.

3 x = 12 3 x > 12

3 3

x = 4

3 3

x > 4

Équations Inéquations

C’est la solution qui est différente.

Pour que ce terme soit égal à 12, x ne peut pas valoir autre chose que 4.

Exemples : 3 x > 12

Pour que ce terme soit plus grand que 12, x peut prendre plusieurs valeurs.

Pour x égal 5 : 3 X 5 > 12

Inégalité vraie.15 > 12

Pour x égal 7 : 3 X 7 > 12

21 > 12 Inégalité vraie.

Pour x égal 9 : 3 X 9 > 12

27 > 12 Inégalité vraie.

3x - 5 = 10

3x - 5 + 5 = 10 + 5

3x = 15

33

x = 5

5 , ∞+x

3x - 5 ≥ 10

3x - 5 + 5 ≥ 10 + 5

3x ≥ 15

33

x ≥ 5

ou

Remarque : 5 , ∞+xCette expression signifie :

toutes les valeurs de x appartiennent à l’intervalle 5 , ∞+

4x - 17 = 4

4x + 0 = 21

+ 17 + 17

5x - 17 = x + 4- x - x

4x - 17 = 0 + 4

5x - 17 = x + 4

4x = 21

4 4

x = 5,25

4x - 17 < 4

4x + 0 < 21

+ 17 + 17

5x - 17 < x + 4

4x - 17 < 0 + 4

5x - 17 < x + 4

4x < 21

4 4

x < 5,25

- x - x

Résous les équations et les inéquations suivantes.

Règles de transformation des inéquations

Additionner ou soustraire un même nombre aux deux membres d’une inéquation conserve le sens de cette inéquation.

2a + 5 > 6

2a + 5 > 6

2a > 1

– 5 – 5

5a – 6 ≤ 16

5a – 6 ≤ 16

5a ≤ 22

+ 6 + 6

Règles de transformation des inéquations

Multiplier ou diviser les deux membres d’une inéquation par un mêmenombre positif conserve le sens de cette inéquation.

a – 2 ≥ -5

8 – 5a > 14

3a – 6 ≥ -15 ÷ 3( )4 – 2,5a > 7 × 2( )

3a – 6 ≥ -15

3 3 3

Multiplier ou diviser les deux membres d’une inéquation par un mêmenombre négatif inverse le sens de cette inéquation.

Pour bien comprendre cette règle, prenons un exemple algébrique.

-2x > 6

Ce terme doit être plus grand que 6.

-2x > 6

x > -3

Vérifions : - 2x > 6

- 2 X -2 > 6

Faux 4 > 6

- 2 X 0 > 6

Faux 0 > 6

- 2 X 3 > 6

Faux -6 > 6

-2 -2

Règles de transformation des inéquations

Règles de transformation des inéquations

Multiplier ou diviser les deux membres d’une inéquation par un mêmenombre négatif inverse le sens de cette inéquation.

-2x > 6

Ce terme doit être plus grand que 6.

-2x > 6

x < -3

Vérifions : - 2x > 6

- 2 X -4 > 6

Vrai 8 > 6

- 2 X -5 > 6

Vrai 10 > 6

- 2 X -9 > 6

Vrai 18 > 6

-2 -2

Il faut donc inverser le signe.

Lorsqu’on multiplie ou qu’on divise les deux membres d’une inéquation par un mêmenombre négatif, on doit inverser le sens de cette inéquation.

Multiplier ou diviser les deux membres d’une inéquation par un mêmenombre négatif inverse le sens de cette inéquation.

-3a > 21

a < -7

4 – 8a ≥ 26

-8 + 16a ≤ - 52

÷ -3( )× -2( )

Remarque : Pour connaître les valeurs numériques que peut prendre la variable, il faut toujours que celle-ci soit positive dans l’inéquation.

-3a > 21-3 -3

- a ≤ 4 donc - a ≤ 4

-1 -1

a ≥ -4

ou - a ≤ 4-1 X X -1

a ≥ -4

Exemple :

Résous les inéquations suivantes et donne la réponse algébriquement et en intervalles.

2x + 50 ≥ 250

2x + 50 – 50 ≥ 250 – 50

2x ≥ 200

22

x ≥ 100 100 ,

∞+x

-5x + 100 > 100

-5x + 100 – 100 > 100 – 100

-5x > 0

-5-5

x < 0 ∞- , 0x

5x + 18 ≥ 3

5x + 0 ≥ -15

5x ≥ -15

5 5

x ≥ -3

- 18 - 185x + 18 ≥ 3

[ -3 , ∞+

-9x - 24 > 12

-9x + 0 > 36

-9x > 36

-9 -9

x < -4

-9x - 24 > 12+ 24 + 24

, - 4 ] ∞-

Résolution d’une inéquation

Déterminer les valeurs qui vérifient une inéquation, c’est résoudre cette inéquation. Dans un problème, on utilise parfois des inéquations pour trouver la solution.

Le périmètre d’un terrain rectangulaire est d’au moins 178 m. Sa longueur mesure 5 m de plus que le triple de sa largeur. On s’intéresse aux dimensions possibles du terrain.

Exemple :

1. Les inconnues sont :

•La largeur du terrain

•La longueur du terrain

2. Largeur du terrain (en m) : x

Longueur du terrain (en m) : 3x + 5

3. L’expression 2 (3x + 5 + x) correspond au périmètre du terrain.

4. Résoudre l’inéquation :

5. On déduit que la largeur du terrain doit être d’au moins 21 m. Par exemple, le terrain pourrait mesurer 21 m sur 68 m.

On obtient : 2(x + 3x + 5) ≥ 178

2(4x + 5) ≥ 178

8x + 10 ≥ 178

8x + 10 ≥ 178

8x ≥ 168

x ≥ 21

Périmètre: 2 (L + l )

8x + 10 – 10 ≥ 178 – 10

8 8

5. On déduit que la largeur du terrain doit être d’au moins 21 m. Par exemple, le terrain pourrait mesurer 21 m sur 68 m.

22 m 3 X 22 + 5 = 71 m

25 m 3 X 25 + 5 = 80 m

30 m 3 X 30 + 5 = 95 m

186 m

210 m

250 m

Possibilités : périmètre :largeur longueur :

x 3x + 5 2 (L + l)

21 m 3 X 21 + 5 = 68 m 178 m2 (68 + 21) =

2 (71 + 22) =

2 (80 + 25) =

2 (95 + 30) =

… … ……

Le périmètre d’un terrain rectangulaire est d’au moins 178 m.

Il y a donc beaucoup de valeurs possibles pour la variable.

c

Pour quelles valeurs de c le volume de ce cube est-il inférieur à 343 cm3 ?

Volume cube = c3

c <3

343

Volume < 343 cm3

c3 < 343 cm3 Donc,

c < 7 cm

Mais, pour que le cube puisse exister, la valeur de c doit être :

- positive, car une mesure négative en géométrie est impossible;

- plus grande que 0, car pour c = 0 cm, il n’y aurait pas de cube.

Remarque : Avec les inéquations, il faut souvent poser des conditions.

Réponse : 0 cm < c < 7 cm

Il faut donc restreindre les valeurs de c.

soit

0 7