Guerino MazzolaGuerino MazzolaU & ETH Zürich U & ETH Zürich guerino@mazzola.ch guerino@mazzola.ch www.encyclospace.orgwww.encyclospace.org

ContrepointContrepoint

LLEE PRINCIPEPRINCIPE ANTHROPIQUE EN MUSIQUEANTHROPIQUE EN MUSIQUE

Le «dévissage de l’identité» Le «dévissage de l’identité» dans le contrepoint de Johann Joseph Fuxdans le contrepoint de Johann Joseph Fux

Prenons par exemple la tâche de démontrer un Prenons par exemple la tâche de démontrer un théorème.théorème.

Je vois Je vois deux approchesdeux approches extrêmes pour s'y extrêmes pour s'y prendre. prendre.

L'uneL'une est celle du est celle du marteau et du burinmarteau et du burin, quand le , quand le problème posé est vu comme une grosse noix, problème posé est vu comme une grosse noix, dure et lisse, dont il s'agit d'atteindre l'intérieur. dure et lisse, dont il s'agit d'atteindre l'intérieur. [...] [...] Le principe est simple: on pose le tranchant du Le principe est simple: on pose le tranchant du burin contre la coque, et on tape fort. Au burin contre la coque, et on tape fort. Au besoin, on recommence en plusieurs endroits besoin, on recommence en plusieurs endroits différents, jusqu' à ce que la coque se casse — différents, jusqu' à ce que la coque se casse — et on est content. [...]et on est content. [...]

Je pourrais illustrer Je pourrais illustrer la deuxièmela deuxième approche, en approche, en gardant l'image de la noix qu'il s'agit d'ouvrir. gardant l'image de la noix qu'il s'agit d'ouvrir. [...] on plonge la noix dans un liquide émollient, [...] on plonge la noix dans un liquide émollient, de l'eau simplement pourquoi pas, de temps en de l'eau simplement pourquoi pas, de temps en temps on frotte pour qu'elle pénètre mieux, temps on frotte pour qu'elle pénètre mieux, pour le reste on laisse faire le temps. pour le reste on laisse faire le temps. La coque La coque s'assouplits'assouplit au fil des semaines et des mois — au fil des semaines et des mois — quand le temps est mûr, une pression de la quand le temps est mûr, une pression de la main suffit, la coque s'ouvre comme celle d'un main suffit, la coque s'ouvre comme celle d'un avocat mûr à point! [...]avocat mûr à point! [...]

Le lecteur qui serait tant soit peu familier avec Le lecteur qui serait tant soit peu familier avec certains de mes travaux n'aura aucune diffculté certains de mes travaux n'aura aucune diffculté à reconnaître lequel de ces deux modes à reconnaître lequel de ces deux modes d'approche est "le mien".d'approche est "le mien".

Alexander Grothendieck: Récoltes et Semailles (3me Alexander Grothendieck: Récoltes et Semailles (3me partie), partie),

Univ. Sci. et Tech. Languedoc et CNRS, Univ. Sci. et Tech. Languedoc et CNRS, Montpellier 1985, pp. 552—553Montpellier 1985, pp. 552—553

Il y a 543 mio. ans: explosion cambriumIl y a 543 mio. ans: explosion cambrium

&&

Il y a 50‘000 ans: la musique apparaîtIl y a 50‘000 ans: la musique apparaît

PythagorePythagore

monochordemonochorde

tétractystétractys

op. 23.5

Arnold SchönbergArnold Schönbergtempstemps

hau

teu

rh

aute

ur

Martin Heidegger:Martin Heidegger:Warum ist überhaupt Seiendes Warum ist überhaupt Seiendes und nicht vielmehr Nichts?und nicht vielmehr Nichts?(Pourqoi y at-il être et non pas(Pourqoi y at-il être et non pasplustôt rien?)plustôt rien?)

Variante plus simple:Variante plus simple:Warum ist das Seiende so Warum ist das Seiende so

und nicht anders?und nicht anders?(Pourquoi l‘être est-il tel (Pourquoi l‘être est-il tel

qu‘il est et non pas différent?)qu‘il est et non pas différent?)

tem

pste

mps

principe anthropiqueprincipe anthropique

Time(sec)Time(sec)

Frequency(HZ)Frequency(HZ) PowerPower

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Geo

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Jets

on:

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g

Robert Jourdain („Music, Brain, and Ecstasy“):Robert Jourdain („Music, Brain, and Ecstasy“):

Peut-être la musique à présent a moins besoin d‘un nouveau Peut-être la musique à présent a moins besoin d‘un nouveau Beethoven que d‘un nouveau Newton qui rend accessible à Beethoven que d‘un nouveau Newton qui rend accessible à l‘analyse les relations musicales les plus profondes.l‘analyse les relations musicales les plus profondes.

Robert Jourdain („Music, Brain, and Ecstasy“):Robert Jourdain („Music, Brain, and Ecstasy“):

Peut-être la musique à présent a moins besoin d‘un nouveau Peut-être la musique à présent a moins besoin d‘un nouveau Beethoven que d‘un nouveau Newton qui rend accessible à Beethoven que d‘un nouveau Newton qui rend accessible à l‘analyse les relations musicales les plus profondes.l‘analyse les relations musicales les plus profondes.

Peter Sloterdijk („Selbstversuch“):Peter Sloterdijk („Selbstversuch“):

Wir sagen nicht mehr, die Welt ist alles, was uns von Gott so Wir sagen nicht mehr, die Welt ist alles, was uns von Gott so eingerichtet ist, wie es ist — nehmen wir es hin; wir sagen eingerichtet ist, wie es ist — nehmen wir es hin; wir sagen auch nicht, die Welt ist ein Kosmos, ein Ordnungsjuwel — auch nicht, die Welt ist ein Kosmos, ein Ordnungsjuwel — fügen wir uns an der richtigen Stelle ein. Statt dessen meinen fügen wir uns an der richtigen Stelle ein. Statt dessen meinen wir, die Welt ist alles, was der Fall ist. Nein, auch das ist noch wir, die Welt ist alles, was der Fall ist. Nein, auch das ist noch zu scholastisch ausgedrückt, denn in Wahrheit leben wir, als zu scholastisch ausgedrückt, denn in Wahrheit leben wir, als wollten wir uns zum Satz bekennen: Die Welt ist alles, womit wollten wir uns zum Satz bekennen: Die Welt ist alles, womit wir bis zum Zerbrechen experimentieren.wir bis zum Zerbrechen experimentieren.

Peter Sloterdijk („Selbstversuch“):Peter Sloterdijk („Selbstversuch“):

Wir sagen nicht mehr, die Welt ist alles, was uns von Gott so Wir sagen nicht mehr, die Welt ist alles, was uns von Gott so eingerichtet ist, wie es ist — nehmen wir es hin; wir sagen eingerichtet ist, wie es ist — nehmen wir es hin; wir sagen auch nicht, die Welt ist ein Kosmos, ein Ordnungsjuwel — auch nicht, die Welt ist ein Kosmos, ein Ordnungsjuwel — fügen wir uns an der richtigen Stelle ein. Statt dessen meinen fügen wir uns an der richtigen Stelle ein. Statt dessen meinen wir, die Welt ist alles, was der Fall ist. Nein, auch das ist noch wir, die Welt ist alles, was der Fall ist. Nein, auch das ist noch zu scholastisch ausgedrückt, denn in Wahrheit leben wir, als zu scholastisch ausgedrückt, denn in Wahrheit leben wir, als wollten wir uns zum Satz bekennen: Die Welt ist alles, womit wollten wir uns zum Satz bekennen: Die Welt ist alles, womit wir bis zum Zerbrechen experimentieren.wir bis zum Zerbrechen experimentieren.

bijou

confesser

rupture

La symétrie K/DLa symétrie K/Ddans le EEG profonddans le EEG profond

Extension auxExtension auxdichotomies exotiquesdichotomies exotiques

Règles du contrepointRègles du contrepointd’après J.J. Fuxd’après J.J. Fux

Ernst Tittel: Der neue GradusLehrbuch des strengen Satzes nachJohann Joseph Fux

Johann Joseph FuxJohann Joseph Fux

tore des tiercestore des tierces Ÿ Ÿ12 12 ŸŸ3 3 ŸŸ44

z ~> (z mod 3, -z mod 4)z ~> (z mod 3, -z mod 4)

4.u+3.v <~ (u,v)4.u+3.v <~ (u,v)

11

10

8

1

2

34

567

9

0

0 12

3

4

567

8

9

1011

c+c+..ŸŸ1212

ccc+c+.d.d

tons du cantus firmus tons du cantus firmus (chant fermé) (chant fermé)

IntervallesIntervalles ŸŸ1212[[] ]

ŸŸ12 12 = K= K D disjoint, #K = #D = 6 D disjoint, #K = #D = 6

K = {0, 3, 4, 7, 8, 9}, D ={1, 2, 5, 6, 10, 11} K = {0, 3, 4, 7, 8, 9}, D ={1, 2, 5, 6, 10, 11}

dichotomie consonances-dissonancesdichotomie consonances-dissonances

= = ŸŸ1212 + += intervalles consonants= intervalles consonants

DD = = ŸŸ1212 + +{1, 2, 5, 6, 10, 11} {1, 2, 5, 6, 10, 11} = = intervalles intervalles dissonantsdissonants

KKDD

„„punctus punctus contra contra punctum“ =punctum“ = vertical et horizontal! (K.J. Sachs, habilitation)vertical et horizontal! (K.J. Sachs, habilitation)

??

KKDD

Identité rigide:Identité rigide:KK DD = Ø = Ø„D„D = ¬K = ¬K “ “

Ramollir ici!Ramollir ici!Idée: ramollir la négation!Idée: ramollir la négation!

??

25

tierce mineuretierce mineure

10

tierce majeuretierce majeure

d(x,y) = d(x,y) = # min. des tierces majeures/mineures# min. des tierces majeures/mineuresde x à yde x à y

900

1800

9001200

180 =inversionRefl. = circle des quartes90 = chaîne tierces mieures120 = chaîne tierces majeures

(K/D) est une (K/D) est une dichotomie fortedichotomie forte, i.e.,, i.e.,il y a une symétrie unique (inversible)il y a une symétrie unique (inversible)y=a.x+b y=a.x+b du tore qui échange K et D, i.e.,du tore qui échange K et D, i.e.,y=5.x+2y=5.x+2

C‘est la C‘est la fonction d‘fonction d‘autocomplémentarité autocomplémentarité AC:AC:

AC(0) = 2AC(0) = 2AC(3) = 5AC(3) = 5AC(4) = 10AC(4) = 10AC(7) = 1AC(7) = 1AC(8) = 6AC(8) = 6AC(9) = 11AC(9) = 11

ACAC22 = Id = Id

Pendant unePendant une

improvisation,improvisation,

cette idée me vint...

cette idée me vint...

KK

DD

Proposition:Proposition:Parmi les 34 classes de dichotomies,Parmi les 34 classes de dichotomies,Il y a 6 classes fortes. Il y a 6 classes fortes. Les distances entre les members d‘une moitié Les distances entre les members d‘une moitié (ou de l‘autre) d‘une telle dichotomie(ou de l‘autre) d‘une telle dichotomiesont des invariantes de classe et caractérisent ces classes:sont des invariantes de classe et caractérisent ces classes:

Proposition:Proposition:Parmi les 34 classes de dichotomies,Parmi les 34 classes de dichotomies,Il y a 6 classes fortes. Il y a 6 classes fortes. Les distances entre les members d‘une moitié Les distances entre les members d‘une moitié (ou de l‘autre) d‘une telle dichotomie(ou de l‘autre) d‘une telle dichotomiesont des invariantes de classe et caractérisent ces classes:sont des invariantes de classe et caractérisent ces classes:

(K/D)(K/D)

(I/J)(I/J)

(K/D)(K/D) AC(x) = 5x+2AC(x) = 5x+2

(I/J)(I/J)AC(x) = 11x+5AC(x) = 11x+5

envergureenvergure

diamètrediamètre

= = ŸŸ1212 + + = consonances = consonances

DD = = ŸŸ1212 + +{1, 2, 5, 6, 10, 11} = dissonances{1, 2, 5, 6, 10, 11} = dissonances

e e .2.2.5.5

KKDD ??

g: ŸŸ1212[[] ≈ ] ≈ ŸŸ1212[[]]

symétrie contrapuntiquesymétrie contrapuntiqueg = eg = ea+ a+ .b.b.(u+ .(u+ .v).v)

u = 1, 5, 7, 11u = 1, 5, 7, 11

g(Kg(K))g(Dg(D))

KKDD g(Kg(K))g(Dg(D))

ACAC

g(Dg(D))

g(Kg(K))

DD KKACAC

KKDD g(Kg(K))g(Dg(D))

= x + = x + .k.k

AC = ACAC = AC = e= e8x+ 8x+ .2.2 .5 .5

unique à fixer l‘espace tangent en xunique à fixer l‘espace tangent en x

Prendre g tel quePrendre g tel que

1.1. g(Kg(K))

2.2. ACAC échange g(Kéchange g(K), g(D), g(D))

3.3. g(Dg(D) ) K Kmaximal avecmaximal avec

1., 2.1., 2.

Les Les g(Dg(D) ) K Ksont permissont permisLes Les g(Dg(D) ) K Ksont permissont permis

Les symétries contrapuntiques sont localesLes symétries contrapuntiques sont locales(symétries locales: Daniel Z. Freedman et al.)(symétries locales: Daniel Z. Freedman et al.)

g(Dg(D))

g(Kg(K))

The Topos of MusicThe Topos of MusicTable O.2Table O.2pp.1217/18pp.1217/18

Transitions possibles pour la gamme majeureTransitions possibles pour la gamme majeure

Parallèles de quintes sont strictement interditesParallèles de quintes sont strictement interditesParallèles de quintes sont strictement interditesParallèles de quintes sont strictement interdites

Zur Anzeige wird der QuickTime™ Dekompressor „Cinepak“ benötigt.

V(évènement) V(évènement) = (S/S= (S/S, S/S, S/S, S/S, S/S))

= = vecteur de vigilancevecteur de vigilance

évènementévènement

44 88 1414 4040

50 Hz50 Hz

puissancepuissance

fréquencefréquence

V(évènement)V(évènement)

0.68 sec

Jonathan Winson: hypothèse de la porte hippocampaleJonathan Winson: hypothèse de la porte hippocampale

Musique est une clef aux contenus inconscients émotionnelsMusique est une clef aux contenus inconscients émotionnelsElton Johnand Diana

K* = {0, 3, 4, 7, 8, 9, 11} (ajouter „sensible“ 11 aux consonances)K* = {0, 3, 4, 7, 8, 9, 11} (ajouter „sensible“ 11 aux consonances)

K* = {0, 3, 4, 7, 8, 9, 11} K* = {0, 3, 4, 7, 8, 9, 11} classe # 60^classe # 60^

ragas -> melakarta: 72 gammes ragas -> melakarta: 72 gammes

gamme mela Nr. 15 = {0, 3, 4, 7, 8 , 9, 1}gamme mela Nr. 15 = {0, 3, 4, 7, 8 , 9, 1}classe #61^classe #61^

K*K* mela 15mela 15

Contrepoint avec dichotomie majeure sur des gammes exotiques!Contrepoint avec dichotomie majeure sur des gammes exotiques!Ecrire logiciel de déformation contrepuntique (K/D)>>(I/J)!Ecrire logiciel de déformation contrepuntique (K/D)>>(I/J)!

Contrepoint avec dichotomie majeure sur des gammes exotiques!Contrepoint avec dichotomie majeure sur des gammes exotiques!Ecrire logiciel de déformation contrepuntique (K/D)>>(I/J)!Ecrire logiciel de déformation contrepuntique (K/D)>>(I/J)!

Johann Joseph FuxJohann Joseph Fux

(K/D)(K/D)

(I/J)(I/J)

Guerino MazzolaGuerino Mazzola