Guerino MazzolaGuerino MazzolaU & ETH ZürichU & ETH Zürich

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Les multiperspectives Les multiperspectives du du lemme de Yoneda lemme de Yoneda pour pour comprendre la musiquecomprendre la musique

Alexandre GrothendieckAlexandre Grothendieck

• Lemme de YonedaLemme de Yoneda

• Exemples dans la musique Exemples dans la musique

• Isomorphisme Riemann-FuxIsomorphisme Riemann-Fux

• Lemme de YonedaLemme de Yoneda

• Exemples dans la musique Exemples dans la musique

• Isomorphisme Riemann-FuxIsomorphisme Riemann-Fux

Préfaisceaux ensemblistes sur une catégorie Préfaisceaux ensemblistes sur une catégorie CC::

F: F: C C Ens Ens:: A ~> F(A)A ~> F(A)

11AA@F = 1@F = 1A@FA@F

v: A v: A B, u: B B, u: B C Cu·v: A u·v: A C C

(u·v)@F = v@F · u@F(u·v)@F = v@F · u@F

11AA@F = 1@F = 1A@FA@F

v: A v: A B, u: B B, u: B C Cu·v: A u·v: A C C

(u·v)@F = v@F · u@F(u·v)@F = v@F · u@F

A@FA@F

avec des applications de transitionavec des applications de transition

u@F: B@F u@F: B@F A@F pour u: A A@F pour u: A B B

ayant ces propriétés:ayant ces propriétés:

préfaisceaux = foncteurs contravariantspréfaisceaux = foncteurs contravariants

A = adresseA = adressef f A@FA@F„point de F à valeur„point de F à valeurdans A“dans A“

Morphismes de préfaisceaux sont les transformations naturellesMorphismes de préfaisceaux sont les transformations naturellesh: F h: F G G

Propriétés:Propriétés: Pour toute adresse A, on a une application d‘ensemblesPour toute adresse A, on a une application d‘ensembles

A@h: A@F A@h: A@F A@G A@G

de sorte qu‘on ait le diagramme commutatif suivant de sorte qu‘on ait le diagramme commutatif suivant pour tout morphisme u: A pour tout morphisme u: A B dans B dans CC::

Pour toute adresse A, on a une application d‘ensemblesPour toute adresse A, on a une application d‘ensembles

A@h: A@F A@h: A@F A@G A@G

de sorte qu‘on ait le diagramme commutatif suivant de sorte qu‘on ait le diagramme commutatif suivant pour tout morphisme u: A pour tout morphisme u: A B dans B dans CC::

B@FB@F B@GB@GB@hB@h

A@FA@F A@GA@GA@hA@h

u@Fu@F u@Gu@G

CC@@ = catégorie des préfaisceaux sur = catégorie des préfaisceaux sur CCCC@@ = catégorie des préfaisceaux sur = catégorie des préfaisceaux sur CC

Exemple: Exemple: Préfaisceaux représentables.Préfaisceaux représentables.

Pour un objet X de Pour un objet X de CC, on définit, on définit

@X: @X: C C Ens Ens

A@X = Hom(A,X) = hA@X = Hom(A,X) = hXX(A)(A)

Cette application X Cette application X @X définit le @X définit le foncteur de Yonedafoncteur de Yoneda::

@:@: C C C C@@ g:g: X X Y Y

A@g: A@X A@g: A@X A@Y: u A@Y: u g·u g·u

@:@: Hom(X,Y) Hom(X,Y) Hom(@X,@Y) Hom(@X,@Y)

Lemme de YonedaLemme de Yoneda

Le functeurLe functeur @ @:: C C CC@ @ est est pleinement fidèlepleinement fidèle::

@@: Hom(X,Y) ≈ Hom(@X,@Y): Hom(X,Y) ≈ Hom(@X,@Y)

En particulier, X ≈ Y si et seuelement si @X ≈ @YEn particulier, X ≈ Y si et seuelement si @X ≈ @Y

Lemme de YonedaLemme de Yoneda

Le functeurLe functeur @ @:: C C CC@ @ est est pleinement fidèlepleinement fidèle::

@@: Hom(X,Y) ≈ Hom(@X,@Y): Hom(X,Y) ≈ Hom(@X,@Y)

En particulier, X ≈ Y si et seuelement si @X ≈ @YEn particulier, X ≈ Y si et seuelement si @X ≈ @Y

CC@@

@@CC@@CC CCCC

Esquisse de la preuve.Esquisse de la preuve. Le lemme découle d‘un énoncé plus général: Le lemme découle d‘un énoncé plus général:

Pour tout objet X de Pour tout objet X de CC et pour tout préfaisceau F de et pour tout préfaisceau F de CC@@, on a une , on a une bijectionbijection

a: X@Fa: X@F Hom(@X, F)Hom(@X, F)

Pour tout f Pour tout f X@F et tout morphisme g:A X@F et tout morphisme g:A X de X de CC, on pose , on pose

a(f)(g) = g@F(f)a(f)(g) = g@F(f)

Son Son inverseinverse est est b: Hom(@X, F) b: Hom(@X, F) X@FX@F

ayant pour la transformation naturelle q: @X ayant pour la transformation naturelle q: @X F la valeur F la valeur

b(q) = X@q(Idb(q) = X@q(IdXX))

Finalement, prendre F = @Y, d‘où lemme de Yoneda.Finalement, prendre F = @Y, d‘où lemme de Yoneda.

Euclide d‘Alexandrie:Euclide d‘Alexandrie:punctus est cuius pars punctus est cuius pars nulla estnulla est

Alexandre GrothendieckAlexandre Grothendieck

C = ModC = Mod: :

• Modules A,B,... = objets (adresses); Modules A,B,... = objets (adresses); • morphismes (di)affinesmorphismes (di)affines

g: A g: A B B g = T g = Tb b ··ff f:A f:A B (di)linéaireB (di)linéaire TTbb: B : B B: x ~> b+x B: x ~> b+x

g(x) = Tg(x) = Tb b ··f(x) = b+f(x)f(x) = b+f(x)

A@B = TA@B = TB B ··Lin(A,B)Lin(A,B)

A = 0A = 0 0@B0@B = T = TB B ··Lin(0,B) Lin(0,B) ªª B B

Les point zéro-adressésLes point zéro-adressés

sont les points usuelssont les points usuels

(ensemblistes)!(ensemblistes)!

ModMod@@

F:F: Mod Mod —> —> Ens Enspréfaisceauxpréfaisceaux

ont toutes ces ont toutes ces propriétéspropriétés

EnsEnsproduits cartésiens X produits cartésiens X Y Yréunions disjointes X réunions disjointes X YYensembles puissance Xensembles puissance XYY

charactéristiques charactéristiques X —>X —>pas d‘„algèbre“pas d‘„algèbre“

ModModsommes directes Asommes directes A≈≈BBpossède de l‘„algèbre“possède de l‘„algèbre“

pas d‘ensembles puissancepas d‘ensembles puissancepas de charactéristiquespas de charactéristiques

@@CC@ @ est un topos!est un topos!

• Lemme de YonedaLemme de Yoneda

• Exemples dans la musique Exemples dans la musique

• Isomorphisme Riemann-FuxIsomorphisme Riemann-Fux

Classes d‘hauteurs (demi-tons) tempéréesClasses d‘hauteurs (demi-tons) tempérées

01

2

3

4

56

7

8

9

10

11

ŸŸ1212

0 2 4 5 7 9 11

xx

OO = { }= { } Objet (zéro) Objet (zéro) ponctuel ponctuel d‘Euclided‘Euclide

ŸŸ1212 ªª 0@ 0@ŸŸ1212

A@B = TA@B = TB B ··Lin(A,B)Lin(A,B)

A = A = ŸŸ1111, B =, B = ŸŸ12 12 (R = (R = ŸŸ))

série: S série: S ŸŸ1111@@ŸŸ1212 = T = TŸŸ12 12 ··Lin(Lin(ŸŸ1111, , ŸŸ1212))

ªª ŸŸ12121212

ŸŸ1212

SS

II IVIV VVIIII IIIIII VIVI VIIVII

FF

TT= 2 = 2

objet de vérité (booléen)objet de vérité (booléen)pour ensemblespour ensembles

objet ponctuel objet ponctuel d‘Euclided‘Euclide

OO = { }= { }

ŸŸ12 12 = =

IIII accord = accord = morphisme de morphisme de ŸŸ1212

dans objet de dans objet de véritévérité

FFFF

TT

FF

FF

TTFFFF

FF

TT

FF

FF

• Lemme de YonedaLemme de Yoneda

• Exemples dans la musiqueExemples dans la musique

• Isomorphisme Riemann-FuxIsomorphisme Riemann-Fux

{do, {do, (do), (do), 22(do),...} (do),...} = {do, mi, sol} = {do, mi, sol}

= triade majeure= triade majeure

ŸŸ1212

Accords circulairesAccords circulaires

dodo

solsol

mimi

do = 0do = 0 (p) = 3p+7 (p) = 3p+7

x:x: ŸŸ12 12 ŸŸ1212 x:x: ŸŸ12 12 ŸŸ1212

z:z: ŸŸ12 12 ŸŸ1212 z:z: ŸŸ12 12 ŸŸ1212

On a un modèle de l‘harmonie de Hugo Riemann:On a un modèle de l‘harmonie de Hugo Riemann:tons auto-adresséstons auto-adressés

xxOO

x:x: OO ŸŸ1212 x:x: OO ŸŸ1212

objet ponctuel objet ponctuel d‘Euclided‘Euclide

OO = { }= { }

zz ŸŸ1212@@ŸŸ1212

Trans(Dt,Tc) = < fTrans(Dt,Tc) = < fŸŸ1212@@ŸŸ1212 | f: | f: DtDt TcTc >>Trans(Dt,Tc) = < fTrans(Dt,Tc) = < fŸŸ1212@@ŸŸ1212 | f: | f: DtDt TcTc >>

f

DtDt

triade de dominante {sol, si, re}triade de dominante {sol, si, re}

TcTc

triade de tonique {do, mi, sol}triade de tonique {do, mi, sol}

Modèle de l‘harmonie de Riemann (Noll 1995)Modèle de l‘harmonie de Riemann (Noll 1995)

ŸŸ12 12 ŸŸ3 3 ŸŸ44

z ~> (z mod 3, -z mod 4)z ~> (z mod 3, -z mod 4)4.u+3.v <~ (u,v)4.u+3.v <~ (u,v)

11

10

8

1

2

34

567

9

0

0 12

3

4

567

8

9

1011

ŸŸ12 12 ŸŸ1212[[]= ]= ŸŸ1212[X]/(X[X]/(X22))

c+c+. . ŸŸ1212

ccc+c+.d.d

ŸŸ12 12 = K= K D disjoint, #K = #D = 6 D disjoint, #K = #D = 6

K = {0, 3, 4, 7, 8, 9}, D ={1, 2, 5, 6, 10, 11} K = {0, 3, 4, 7, 8, 9}, D ={1, 2, 5, 6, 10, 11}

Dichotomie consonance-dissonanceDichotomie consonance-dissonance

= = ŸŸ1212 + + = intervalles consonants = intervalles consonants

DD = = ŸŸ1212 + +{1, 2, 5, 6, 10, 11} = {1, 2, 5, 6, 10, 11} = intervalles dissonantsintervalles dissonants

= = ŸŸ1212 + + = consonances = consonances

DD = = ŸŸ1212 + +{1,2,5,6,10,11} = dissonances{1,2,5,6,10,11} = dissonances

T T .2.2.5.5

a + bb

ŸŸ1212

ŸŸ12 12 ƒ ƒ ŸŸ[[]] ŸŸ1212[[]]

ƒƒƒƒ

ŸŸ1212 Dt, TcDt, Tc

00 @@ ŸŸ1212

Trans(Dt,Tc)Trans(Dt,Tc)

ŸŸ1212 @@ ŸŸ1212

changer adressechanger adresse

Trans(Trans(KK,K,K))

ŸŸ12 12 [[]] @@ ŸŸ12 12 [[]]

00 @@ ŸŸ1212[[]]

changer adressechanger adresse

tons constantstons constants intervalles unissonintervalles unisson

ext. scalairesext. scalaires intervalles constantsintervalles constants

ƒƒƒƒ

((ŸŸ1212 @ @ ŸŸ1212) ) ƒ ƒ ŸŸ[[]]

KK, D, D

ŸŸ1212 ŸŸ1212[[]]

ŸŸ1212 @ @ ŸŸ1212 ŸŸ12 12 [[]] @ @ ŸŸ12 12 [[]]

Trans(Dt,Tc) = Trans(KTrans(Dt,Tc) = Trans(K,K,K)|)|ƒƒ

ƒƒƒƒ

ƒƒ

ch.adch.ad ch.adch.ad

Trans(Dt,Tc)Trans(Dt,Tc) Trans(Trans(KK,K,K))

KK, D, D

Birkhäuser 2002Birkhäuser 20021368 pages, hardcover 1368 pages, hardcover incl. CD-ROMincl. CD-ROMISBN 3-7643-5731-2ISBN 3-7643-5731-2EnglishEnglish