Graphes Chap8 Flots Pres

7/23/2019 Graphes Chap8 Flots Pres

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Chapitre 8 : Flots dans les reseauxAlgorithmique de graphes

Sup Galilee-INFO2

Sylvie Borne

2011-2012

Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - 1/57


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Plan1 Flot realisable

2 Le probleme du flot maximumExemplePlusieurs sources, plusieurs puitsFlot maximum et programmation lineaire

3 Chanes augmentantes

4 Algorithme de Ford et Fulkerson (1961)Procedure de marquage (labelling)Algorithme de la chane augmentanteAlgorithme de Ford et Fulkerson

5 La coupe minimum6 Implementation et complexite de lalgorithme de Ford et

Fulkerson



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Probleme de flot

Probleme de plus court cheminune personne seule de la source a la destination.

Probleme de flotacheminement dune quantite de marchandises (divisibles : onpeut acheminer nos marchandises par des routes differentes) de lasource vers la destination.



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Probleme de flot : Applications

Applications :

logistique : transport de marchandises : train, camion,bateau,. . .

distribution deau (canalisations)

transport de petrole : reseaue de pipelines

energie : reseau EDF, centrales clients

information : reseau telephonique, reseau dentreprises,internet.



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Reseau de transport

Definition : reseau de transportUn reseau de transport note R = (G= (V,E), s, t, c) est forme

de :

G= (V,E) un graphe oriente

s V appele sommet source

t V appele sommet destination ou puits

c : E N,Q+ fonction capacite (a chaque arc (i,j) E estassociee une capacite c(i,j) 0).

Remarque :s et tsont deux sommets particuliers de G.

Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Flot realisable 5/57


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Flot realisable

Definition : flot realisableSoit R = (G= (V,E), s, t, c) un reseau. Un flot f dans Rest

une application f : N,Q+.Un flot f est realisable dans Rsi

1 contrainte de capacite0 f(i,j) c(i,j) (i,j) E

2 contraintes de conservation de flot (Loi de Kirschoff)

i| (i,j)E

f(i,j)

k| (j,k)E

f(j, k) = 0 j V\{s, t}

(quantite qui entre dans j= quantite qui sort de j)



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Flot realisableExemple :

s

v1

v2

t

(5)

(6)

(4)

(7)

( ?)

5

5

2

3

7

capacite

flotx

(2)

Le flot est realisable.

contraintes de capacite Okcontraintes de conservationde flot Oken v1 : 5-2-3=0en v2 : 5+2-7=0



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Valeur dun flot

Definition : valeur dun flotSoit R = (G= (V,E), s, t, c) un reseau.

La valeur dun flot f realisable entre s et test la quantite de flotenvoyee de s a t. On la note F et

F = i| (s,i)E

f(s, i) j| (j,s)E

f(j, s) =

i| (i,t)E

f(i, t)

j| (t,j)E

f(t,j)

Exemple :

Ici, la valeur du flot est de 10. (F = 5 + 5 = 3 + 7 = 10).



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Arc sature

Definition : arc satureUn arc (i,j) est dit sature pour un flot f si f(i,j) =c(i,j).

Exemple :

s

v1

v2

t

(5)

(6)

(4)

(7)

( ?)

5

5

2

3

7

capacite

flotx

(2)

Ici, les arcs (s, 1), (1, 2) et (2, t) sont satures.Les arcs (s, 2) et (1, t) ne le sont pas.



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Arc retour

Remarque :Pour que la contrainte de conservation de flot soit verifiee en tout

sommet (y compris (s et t), on ajoute un arc artificiel (t, s) decapacite infinie et appele arc de retour.

s

v1

v2

t

(5)

(6)

(4)

(7)

5

5

2

3

7

(2)

F = 10(+)

Si aucun autrearc nentre en s,la valeur F duflot f est alorsdonnee a f(t, s).



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Le probleme du flot maximum

Probleme :Soit un reseauR = (G = (V,E), s, t, c).Le probleme du flot maximum consiste a determinerun flot realisable entre s et t qui soit de valeurmaximum.

Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Le probleme du flot maximum 11/57


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Le probleme du flot maximum : exempleExemple :On remarque que le flot donne dans le reseau precedent nest pas

maximum. En effet, on peut trouver un flot de valeur 11.

s

v1

v2

t

(5)

(6)

(4)

(7)

(2)

5

76

1

4

11 11

Ce nouveau flot est maximum.En effet, on remarque quau mieux il peut rentre 11 unites de flotdans t a cause des capacites 4 et 7 sur les arcs entrants.



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Plusieurs sources, plusieurs puits

Remarque :

Le probleme du flot maximum peut etre generalise de la manieresuivante :Supposons quil existe un ensemble de sommets sources et unensemble de puits.On desire determiner un flot max qui peut etre envoye de toutes

les sources aux differents puits.Ce probleme peut etre ramene au probleme precedent en ajoutantune super-source s0 et un super-puits t0. On relie la super-source atoutes les sources avec des arcs de capacite infinie et on relie lesuper-puits aux differents puits avec des arcs de capacite infinie. Leprobleme se ramene alors a un probleme de flot max de s0 a t0.



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Plusieurs sources, plusieurs puits

Exemple :sources : v1 et v2 et puits : v4 et v5

s0

v1

v2

v3

v4

v5

t0

1

(+)

(+)

(4)

(3)

(4)

(2)

(+)

(+)

(1)

(2)

(1)



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Flot maximum et PL

Soient f(i,j) = flot transitant sur larc (i,j) (i,j) E

F= valeur du flot fLe probleme du flot maximum entre s et tpeut se formuler de lamaniere suivante :

Max F

s.c.

i|(i,j)E

f(i,j)

k|(j,k)E

f(j, k) =

F si j=s0 si j=s, tF si j=t

jV

0 f(i,j) c(i,j) (i,j) E

Ce programme lineaire a |E| + 1 variableset 2|E| + |V| contraintes.



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Chanes augmentantes

Exemple :

s

v1

v2

t

(5)

(6)

(4)

(7)

(2)

Pour determiner un flot maximum dans ce reseau, on peutcommencer par envoyer du flot sur des chemins de s a t.

Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Chanes augmentantes 16/57


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Chanes augmentantes

Par exemple, on peut commencer par envoyer un flot de 2 sur lechemin (s, 1, 2, t).

s

v1

v2

t

(5)

(6)

(4)

(7)

(2)



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Chanes augmentantes

Vu quil y a une reserve de capacite de 3 sur le chemin (s, 1, t),on peut envoyer 3 unites de flot.

s

v1

v2

t

(5)

(6)

(4)

(7)

(2)2

2 2

2 2

0

0



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Chanes augmentantes

Vu quil reste une reserve de 5 sur le chemin (s, 2, t), on peut

envoyer un flot de 5 sur ce chemin.

s

v1

v2

t

(5)

(6)

(4)

(7)

(2)5

5

2

2 5

3

0

Mais ce flot nest pas maximum.



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Chanes augmentantesConsiderons la chane

s

v1

v2

t

(6)

(4)

(2)

5

2

3

On remarque que lon peut :

augmenter le flot de 1 sur (s, 2),diminuer le flot de 2 sur (1, 2),

augmenter le flot de 1 sur (1, t).



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Chanes augmentantes

Donc en augmentant le flot de 1 sur les arcs (s, 2) et (1, t) et en lediminuant de 1 sur larc (1, 2) on aura le flot realisable suivant :

s

v1

v2

t

(5)

(6) (7)

(2)5

23

10

5 7 10

(4)



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Chanes augmentantes

Les contraintes de conservation de flot sont respectees.v1

v2

t

+1

-1 s

v1

v2

+1

-1



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Chanes augmentantes

Definition : chane augmentanteUne chane Centre s et t est dite augmentante par rapport a un

flot f = (f(i,j), (i,j) E) realisable entre s et t si

f(i,j)0 si (i,j) C ((j, i) E) arc non conforme)

ou C+ est lensemble des arcs de Crencontres dans le bon sens etC est lensemble des arcs de Crencontres dans le sens contraire.



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Chanes augmentantes

Exemple :

s

v1

v2

t

(6)

(4)

(2)

arcs conformes

arcs non conformes50, 3


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Chanes augmentantes

Lemme :Soit f = (f(i,j), (i,j) E) realisable entre s et t.

Sil existe une chane augmentante par rapport a f entre s ett,alors f nest plus maximum.

Preuve :



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Procedure de marquage

Cette procedure permet, etant donne un flot realisable, dedeterminer si elle existe, une chane augmentante par rapport a f.

Cette procedure est basee sur 2 operations de marquage dits :marquage direct et marquage indirect.

Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Algorithme de Ford et Fulkerson (1961) 26/57


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Marquage direct

Marquage direct :

Si pour un arc (i,j) on a

*

f(i,j) < c(i,j)i j

i marquejnon marquef(i,j)


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Marquage indirect

Marquage indirect :Si pour un arc (j, i) on a

*

f(j, i) > 0i j

i marquejnon marquef(j, i)>0

alorson marque jet on pose

(j) =min((i), f(j, i))



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Algorithme de la chane augmentante

Supposons que lon dispose dun flot realisablef = (f(i,j), (i,j) E) entre s et t.

Etape 1 : (initialisation)Marquerspar (s, +).Poser (s) = +.

Etape 2 : Repeter les operations suivantes jusqua ce que tsoit marque ou quil ne soit plus possible de mar-quer.



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Operation a)Si il existe un arc (i,j) tel que

i marquejnon marque

f(i,j)


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Operation b)Si il existe un arc (j, i) tel que

i marquejnon marque

f(j, i)>0Alors

Marquer jpar (i,)Poser (j) =min((i), f(j, i))


Al i h d l h


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Etape 3 : Si test marque Alors

une chane augmentante C entre s et t estdetectee et on pose =(t)

Sinonle flot f est maximum.


Al i h d l h


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Algorithme de la chane augmentanteExemple :Considerons le reseau suivant ou le flot de depart est nul (donc

uniquement marquage direct possible).

1 3 5

2

4 6

7

(5)

(1)

(3)

(4)(7)

(2)(4)

(4)

(5)

(1)

(1) (6)

(9)

(1)


Al ith d F d t F lk


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Algorithme de Ford et Fulkerson

On suppose que lon dispose dun flot initial f = (f(i,j), (i,j) E)entre s et t(on peut prendre f= 0).

Etape 1 : Appliquer lalgorithme de la chane augmentante af.Si test marque,

STOP f est optimal.Sinon

une chane augmentanteCest detectee, aller aletape 2.

Etape 2 : Changer le flot f comme suit :

f(i,j) =

f(i,j) si (i,j) C

f(i,j) + si (i,j) C+

f(i,j) si (i,j) C

Aller a letape 1.


Al ith d F d t F lk


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Exemple :

1 3 5

2

4 6

7

(5)

(1)

(3)

(4)(7)

(2)(4)

(4)

(5)

(1)

(1) (6)

(9)

(1)4

1 0

3

45

0

2 0

2

11 2

7 99




36/57


Exemple :

1 3 5

2

4 6

7

(5)

(1)

(3)

(4)(7)

(2)(4)

(4)

(5)

(1)

(1) (6)

(9)

(1)4

1 0

3

4

2

11

711

2

0

7

2

4

11




37/57


Exemple :

1 3 5

2

4 6

7

(5)

(1)

(3)

(4)(7)

(2)(4)

(4)

(5)

(1)

(1) (6)

(9)

(1)4

1 0

3

4

2

11

77

2

13

2

4

6

13




38/57


Exemple :

1 3 5

2

4 6

7

(5)

(1)

(3)

(4)(7)

(2)(4)

(4)

(5)

(1)

(1) (6)

(9)

(1)4

1 0

3

4

1

7

4

6

14

3

1 3

0

8 14


Coupe


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Coupe

Definition : coupeEtant donne un graphe G =(V,E) et un sous-ensemble S desommets de V, on appelle coupe

associee a S, et on la note (S),lensemble des arcs (i,j) tels quei S et j V\S.

Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - La coupe minimum 39/57

Coupe


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Coupe

Exemple :

1 2

5

4

3

({1, 3, 4}) = {(1, 2), (1, 5), (3, 2), (4, 5)}


Coupe


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Coupe

Definition : separe

Etant donnes deux sommets s et tde Get une coupe (S), on ditque (S) separe s et t si s S et t V\S.Exemple :

1 2

5

4

3

La coupe ci-contre separe 1et5.Elle separe aussi3et2.


Capacite dune coupe


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Capacite d une coupe

Definition : capacite dune coupeSi c= (c(i,j), (i,j) E) est un systeme de capacites associe aux

arcs du graphe G = (V,E) et si (S) est une coupe du graphealors la capacite de (S) est definie par

C((S)) =

(i,j)(S)

c(i,j).


Flots et coupes


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Flots et coupes

Theoreme :Soit un reseau R = (G= (V,E), s, t, c).

Si f = (f(i,j), (i,j) E) est un flot realisable entre s et t devaleur F et si (S) est une coupe qui separe s et t alors

F C((S)).

Preuve :


Th du flot max - coupe min


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Th du flot max coupe min

Theoreme : Th du flot max - coupe min

La valeur maximum dun flot realisable entre s et test egalea la capacite minimum dune coupe separant s et t.Preuve :


Th du flot max - coupe min


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Th du flot max coupe min

Exemple :

1 3 5

2

4 6

7

(5)

(1)

(3)

(4)(7)

(2)(4)

(4)

(5)

(1)

(1) (6)

(9)

(1)1 0

3

4

1

14

3

7

4

0

3

4

1

6

148

Remarque :Tous les arcs appartenant a la coupe sont satures et la valeur duflot sur ces arcs est bien de3+4+1+6=14.


Flots entiers


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Remarque :Si les capacites sont entieres alors le flot max a des valeurs

entieres.


Graphe decart


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p

Definition : graphe decartSoit R = (G= (V,E), s, t, c) un reseau. Soit fun flot sur R.

Gf = (V, Ef) est le graphe decart de favec pour (i,j) E :

f(i,j)0 (j, i) Ef (arc non conforme)

Chapitre 8 : Flots dans les reseaux - Implementation et complexite de lalgorithme de Ford et Fulkerson 47/57

Graphe decart


48/57

p

Exemple :

1 3 5

2

4 6

7

(5)

(1)

(3)

(4)(7)

(2)

(4)

(5)

(1)

(1) (6)

(9)

(1)4

4

13

(4)2

7

1 0

3

4

1

2 1

6

7 13

2


Graphe decart


49/57

p

Exemple :

arcs conformes

arcs non conformes

1 3 5

2

4 6

7

4

(5)


Graphe decart


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Exemple :

arcs conformes

arcs non conformes

1 3 5

2

4 6

7

7

(7)


Graphe decart


51/57

Exemple :

arcs conformes

arcs non conformes

1 3 5

2

4 6

7

0(1)


Graphe decart


52/57

Exemple :

arcs non conformes

arcs conformes

1 3 5

2

4 6

7


Graphe decart


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Remarque :La recherche dune chane augmentante se ramene a un parcours

en profondeur dans le graphe decart a partir s.Exemple :

arcs non conformes

arcs conformes

1 3 5

2

4 6

7


Graphe decart


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Remarque :On calcule ensuite les capacites residuelles sur la chane de s a t.

Exemple :

arcs non conformes

arcs conformes

2 2 3

1

2

1 3 5

2

4 6

7

= 1


Complexite


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1 Complexite dune iteration : O(m)

recherche dune chane augmentanteparcours en profondeur :O(m)2m arcs au pluscalcul de la capacite residuelle pour la chanetrouver le minimum dau plus n 1 capacites residuelles

O(n)calcul du nouveau flot : O(n)construction du nouveau graphe decart :au max 2 (n 1) arcs qui changent : O(n)

2 Nombre max diterations de Ford / Fulkerson


Complexite


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1 Complexite dune iteration : O(m)

2 Nombre max diterations de Ford / Fulkersonhypotheses : c N et le flot de depart est entier.Les capacites residuelles sont entieres. la suite des flots est entiere.

la valeur du flot augmente au moins de 1 a chaqueiteration. au plus F iterations avec F=valeur du flot max.F

jc(s,j) (n 1)C avec C =max(i,j)Ec(i,j)

donc au pire, (n 1)C iterations.

Complexite dans le pire des cas de Ford / Fulkerson : O(n.m.C)


Ameliorations de Ford et Fulkerson


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Idee 1 : Choisir une chane augmentante de capacite residuellemaximum.pas de garantie que les augmentations suivantesce nest plus un parcours mais la recherche dun chemin dedebit maximum

Idee 2 : Choisir une chane augmentante la plus courte possible entermes de nombre darcs.parcours en largeur


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