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GELE2511 Chapitre 4 :Transformee de Fourier

Gabriel Cormier, Ph.D., ing.

Universite de Moncton

Hiver 2013

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 4 Hiver 2013 1 / 50

Introduction

Contenu

Contenu

Definition de la transformee de Fourier

Convergence de la transformee de Fourier

Utilisation de la transformee de Laplace

Application

Theoreme de Parseval


Introduction

Introduction

Au chapitre precedent, on a vu comment on pouvait representer unefonction periodique par une somme de sinusoıdes.

La transformee de Fourier permet de representer en frequence dessignaux qui ne sont pas periodiques.


Introduction

Introduction

La transformee de Fourier est un cas special de la transformee deLaplace.

En telecommunications, la transformee de Fourier est plus utile que latransformee de Laplace.


Derivation de la transformee de Fourier


On peut obtenir la transformee de Fourier a partir de la serie deFourier.

A partir de la definition de la serie de Fourier, on va prendre unsignal, et rendre sa periode infinie.

Rappel (serie de Fourier) :

f(t) =

∞∑n=−∞

Cnejnω0t

ou

Cn =1

T

∫ T/2

−T/2f(t)e−jnω0t dt




On cherche une serie de Fourier pour un signal aperiodique.

Si on fait tendre la periode T vers l’infini (T →∞), on passe d’unsignal periodique a un signal aperiodique.

On regarde alors les effets sur la serie de Fourier.




Si T augmente, la separation entre les harmoniques devient de plus enplus petite.

On passe donc d’un spectre qui est seulement definit a quelquespoints a un spectre qui est continu (infinite d’harmoniques).

La difference entre deux points de la serie de Fourier est :

∆ω = (n+ 1)ω0 − nω0 = ω0



Exemple

t0.2 T

Le pulse dure 0.2s.On augmente Tpour voir l’impactsur la serie deFourier.

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

Fréquence(Hz)

T = 1

0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

Fréquence(Hz)

T = 2

0 2 4 6 8 100

0.05

0.1

Fréquence(Hz)

T = 4




La difference entre 2 harmoniques est tout simplement la frequencefondamentale.

Mais,

ω0 =2π

T

Alors si T →∞, la separation entre les frequences devient de plus enplus petite, et devient dω.

On passe d’un spectre discret a un spectre continu.




Au fur et a mesure que la periode augmente,

nω0 → ω

Les coefficients de la serie de Fourier deviendront de plus en plusfaibles : Cn → 0 lorsque T →∞.




Cependant, le produit CnT ne devient pas nul :

CnT =

∫ ∞−∞

f(t)e−jωt dt

Cette equation represente la transformee de Fourier.

Transformee de Fourier

F (ω) = Ff(t) =

∫ ∞−∞

f(t)e−jωt dt



Transformee inverse

La transformee inverse de Fourier :Transformee inverse de Fourier

f(t) = F−1F (ω) =1

2π

∫ ∞−∞

F (ω)ejωt dω



Exemple

Faire la transformee de Fourierdu pulse suivant.

t

v(t)

−τ/2

Vm

τ/2

En appliquant directement l’equation :

V (ω) =

∫ τ/2

−τ/2Vme

−jωt dt

= Vme−jωt

−jω

∣∣∣∣∣τ/2

−τ/2

=Vmjω

(−2j sin(ωτ/2)) = Vmτ sinc(ωτ

2

)Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 4 Hiver 2013 13 / 50


Convergence

Pour que la transformee de Fourier existe, il faut que la fonction f(t)converge.

Les pulses et exponentiels, tres utilises en genie electrique, sont desintegrales qui converges.

Cependant, certains signaux interessants, comme une constante ouune sinusoıde, n’ont pas d’integrale qui converge.

Dans ces cas, on fait un peu de gymnastique mathematique pourobtenir la transformee de Fourier de ces signaux.


Transformees fonctionnelles

Exemple : constante

Pour une constante A, son integrale ne converge pas :∫ ∞−∞

A dt =∞

On fait alors l’approximation suivante : f(t) = Ae−|ε|t. Si ε→ 0, alorsf(t)→ A.

−3 −2 −1 0 1 2 30

0.5

1

e−|t|

e−0.5|t|

e−0.2|t|



Exemple : constante (2)

La transformee de Fourier de f(t) est :

F (ω) =

∫ 0

−∞Aeεte−jωt dt+

∫ ∞0

Ae−εte−jωt dt

ce qui donne,

F (ω) =A

ε− jω+

A

ε+ jω=

2εω

ε2 + ω2

Et puis, on applique ε→ 0 : ceci donne un pulse δ(ω). L’amplitude dupulse est 2πA. La transformee de Fourier d’une constante est :

F(A) = 2πAδ(ω)



Exemple : signum

t

sgn(t)

−1

1

sgn(t) = u(t)− u(−t)

Pour obtenir la transformee de Fourier de sgn(t), il faut aussi faire uneapproximation.

sgn(t) = limε→0

(e−εtu(t)− eεtu(−t)

), ε > 0



Exemple : signum (2)

A partir de la definition de la serie de Fourier,

F (ω) = −∫ 0

−∞eεte−jωt dt+

∫ ∞0

e−εte−jωt dt

= −e(ε−jω)t

ε− jω

∣∣∣∣∣0

−∞

− e−(ε+jω)t

ε+ jω

∣∣∣∣∣∞

0

=−2jω

ω2 + ε2

On prend maintenant la limite ε→ 0 :

F(sgn(t)) = limε→0

−2jω

ω2 + ε2=

2

jω



Exemple : echelon

Pour faire la transformee de Fourier d’un echelon, il faut reecrire ladefinition :

u(t) = 0.5 + 0.5 sgn(t)

Alors,

Fu(t) = F0.5+ F0.5 sgn(t)

= πδ(ω) +1

jω


Utilisation de Laplace

Utilisation de la transformee de Laplace

On peut utiliser la transformee de Laplace pour calculer la transformee deFourier, selon quelques regles de base :

Les poles de la transformee de Laplace doivent etre ≤ 0, et reels.

Si f(t) = 0 pour t < 0, la transformee de Fourier est obtenue enremplacant s par jω.

Si f(t) = 0 pour t > 0, la transformee de Fourier est obtenue enfaisant la transformee de Laplace de f(−t), puis en remplacant s par−jω.

Si la fonction est non nulle pour tout t, on calcule 2 transformees :une pour t > 0, et une pour t < 0.



Exemple

Calculer la transformee de Fourier de : e−at cos(ω0t) u(t)

La transformee de Laplace de cette fonction est :

F (s) =s+ a

(s+ a)2 + ω20

Les poles de cette fonction sont negatifs et reels, et f(t) = 0 pour t < 0.On remplace alors s = jω :

F (ω) =jω + a

(jω + a)2 + ω20



Exemple

Calculer la transformee de Fourier de : eat cos(ω0t) u(−t)

Puisque f(t) = 0 pour t > 0, on calcule f(−t) :

f(−t) = e−at cos(ω0t) u(t)

La transformee de Laplace de cette fonction est :

F (s) =s+ a

(s+ a)2 + ω20

Les poles de cette fonction sont negatifs et reels. On remplace alorss = −jω :

F (ω) =−jω + a

(−jω + a)2 + ω20


Transformee operationnelles

Transformees operationnelles

Comme la transformee de Laplace, la transformee de Fourier possedeelle aussi des transformees operationnelles.

Les transformees operationnelles indiquent comment des operationseffectuees sur f(t) ou F (ω) vont affecter l’autre domaine.

Ces transformees permettent de simplifier le calcul des transformeesde Fourier.



Multiplication par une constante

Si la transformee de Fourier de f(t) est F (ω), alors,

FKf(t) = KF (ω)

On multiplie F (ω) par la meme constante.



Addition (soustraction)

Si on a

Ff1(t) = F1(ω)

Ff2(t) = F2(ω)

Ff3(t) = F3(ω)

alorsFf1(t) + f2(t)− f3(t) = F1(ω) + F2(ω)− F3(ω)



Derivee

Pour une derivee :

F

df(t)

dt

= jωF (ω)

De facon generale,

F

dnf(t)

dtn

= (jω)nF (ω)



Integrale

Pour une integrale :

F

∫ t

0f(t) dt

=F (ω)

jω



Translation

Dans le temps :

Ff(t− a) = e−jωaF (ω), a > 0

En frequence :Fe−jω0tf(t) = F (ω − ω0)



Echelonnage

Si le temps est compresse ou etire :

Ff(at) =1

aF(ωa

), a > 0



Convolution

La convolution est simplifiee :

Fh(t) ∗ x(t) = H(ω)X(ω)



Modulation

La modulation en amplitude est le processus de faire varier l’amplituded’un signal f(t) avec une sinusoıde cos(ω0t).

Ff(t) cos(ω0t) = 0.5F (ω − ω0) + 0.5F (ω + ω0)



Dualite

Si F (ω) est la transformee de Fourier de f(t), alors la transformee deFourier de F (t) est 2πf(−ω) :

F (t)F↔ 2πf(−ω) si f(t)

F↔ F (ω)



Exemple

En telecommunications, il est tres commun de multiplier deux sinusoıdes,tels que

g1(t) = 2 cos(200t) g2(t) = 5 cos(3000t)

pour obtenir un signal module

g3(t) = g1(t)g2(t) = 10 cos(200t) cos(3000t)

Calculer le spectre du signal module.

On va utiliser la propriete de modulation. On choisit f(t) = 10 cos(200t).



Exemple (2)

On calcule la transformee de Fourier de f(t) :

Ff(t) = 10π(δ(ω + 200) + δ(ω − 200))

Puis on applique la propriete de modulation :

F (ω) = 10(0.5)π(δ(ω + 200− 3000) + δ(ω + 200 + 3000)

+ δ(ω − 200 + 3000) + δ(ω − 200− 3000))

= 5π (δ(ω − 3200) + δ(ω − 2800) + δ(ω + 2800) + δ(ω + 3200))



Exemple(3)

Le spectre :

−3,000 −2,000 −1,000 0 1,000 2,000 3,0000

5

10

15

Frequence (rad/s)

Les composantes sont a ±(f1 ± f2).




Le theoreme de Parseval permet de faire le lien entre l’energie d’unsignal dans le temps et l’energie en fonction de la frequence.

Puisque la frequence et le temps sont 2 domaines qui permettent dedecrire completement un signal, il faut que l’energie totale soit lameme dans les deux domaines.




Theoreme de Parseval∫ ∞−∞

f2(t) dt =1

2π

∫ ∞−∞|F (ω)|2 dω =

1

π

∫ ∞0|F (ω)|2 dω



Exemple

Le courant dans une resistance de 40 Ω est i(t) = 20e−2t u(t)A. Quelpourcentage de l’energie totale dissipee dans la resistance provient de labande 0 < ω < 2

√3 rad/s ?

L’energie totale dissipee est :

W = R

∫ ∞0

i2(t) dt = 40

∫ ∞0

400e−4t dt = 4000 J

On peut le calculer par la serie de Fourier.

F (ω) =20

2 + jω



Exemple (2)

L’amplitude de la serie de Fourier est :

|F (ω)| = 20√4 + ω2

et l’energie totale est :

W =40

π

∫ ∞0

400

4 + ω2dω =

16000

π

(1

2tan−1

ω

2

) ∣∣∣∣∣∞

0

= 4000 J



Exemple

L’energie dans la bande 0 < ω < 2√

3 rad/s est :

Wx =40

π

∫ 2√3

0

400

4 + ω2dω =

16000

π

(1

2tan−1

ω

2

) ∣∣∣∣∣2√3

0

= 2666.67 J

Le pourcentage de l’energie totale dans cette bande est :

2666.67

4000= 66.67%


Densite spectrale

Densite spectrale d’energie

La densite spectrale d’energie est une mesure de la distributiond’energie d’un signal en fonction de la frequence.

On la calcule selon :

Ef =1

π|F (ω)|2 =

1

πF (ω)F (ω)∗


Densite spectrale

Densite spectrale de puissance

La densite spectrale de puissance est une mesure de la distribution depuissance d’un signal en fonction de la frequence.

S’applique aux signaux periodiques.

On la calcule selon :

Pf (ω) = limT→∞

1

T|FT (ω)|2

ou FT est la transformee de Fourier d’une periode du signal.


Densite spectrale

Puissance d’un signal

La puissance d’un signal peut etre calculee a partir de la transformeede Fourier :

P =1

4π2|F (0)|2 +

1

2π2

∞∑n=1

|F (nω0)|2


Signaux periodiques

Transformee de Fourier d’un signal periodique

On peut faire la transformee de Fourier d’un signal periodique.

Rappel : la serie de Fourier d’une fonction periodique est :

f(t) =

∞∑n=−∞

Cnejnω0t

ou

Cn =1

T

∫Tf(t)e−jnω0t dt


Signaux periodiques


On applique la definition de la serie de Fourier a la transformee deFourier :

F (ω) =

∫ ∞−∞

( ∞∑n=−∞

Cnejnω0t

)e−jωt dt

=

∞∑n=−∞

Cn

∫ ∞−∞

ejnω0te−jωt dt

A l’aide de la propriete de linearite, on obtient :

F

∞∑n=−∞

Cnejnω0t

= 2π

∞∑n=−∞

Cnδ(ω − nω0)


Signaux periodiques


Le spectre d’un signal periodique est une serie d’impulsions qui setrouvent a des multiples de la frequence fondamentale.

L’amplitude de chaque impulsion est le coefficient de la serie deFourier multiplie par 2π.


Signaux periodiques


On peut rearranger l’expression de la transformee de Fourier d’unsignal periodique sous une autre forme :

F (ω) =

∞∑n=−∞

ω0G(nω0)δ(ω − nω0)

ou G(ω) est la transformee de Fourier d’une periode du signal.


Signaux periodiques

Exemple

Faire la transformee de Fourierdu signal periodique suivant.

t

v(t)

−T2

A

T2−T0 T0

Le signal g(t) est une periode de v(t) :

t

g(t)

−T2

A

T2

La transformee deFourier de g(t) est : G(ω) = AT sinc(Tω/2)

La transformee de Fourier de v(t) est :

F (ω) =

∞∑n=−∞

ATω0 sinc(nω0T/2)δ(ω − nω0)


Signaux periodiques

Exemple (2)

Le spectre (si A = 1, T = 0.5s, T0 = 8s) :

−15 −10 −5 0 5 10 15

0

0.2

0.4

Frequence (rad/s)


Conclusion

Conclusion

Les points cles de ce chapitre sont :

Calcul de la transformee de Fourier.

Utilisation des proprietes de la transformee de Fourier.

Calcul de la transformee de Fourier de signaux periodiques.


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