GELE2511 Chapitre 1 : Signaux et systèmes - …€¦ · GELE2511 Chapitre 1 : Signaux et syst emes...

97
GELE2511 Chapitre 1 : Signaux et syst` emes Gabriel Cormier, Ph.D.,ing. Universit´ e de Moncton Hiver 2013 Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 1 / 75

Transcript of GELE2511 Chapitre 1 : Signaux et systèmes - …€¦ · GELE2511 Chapitre 1 : Signaux et syst emes...

GELE2511 Chapitre 1 :Signaux et systemes

Gabriel Cormier, Ph.D.,ing.

Universite de Moncton

Hiver 2013

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 1 / 75

Introduction

Contenu

Contenu

Revision des concepts de base : periode, dephasage

Signaux communs

Caracterisation

Classification

Operations sur les signaux

Systemes : definitions et proprietes

Convolution

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 2 / 75

Revision des concepts de signaux Signal sinusoıdal

Signal sinusoıdal

x(t) = A cos(ωt+ φ)

−A

0

A

Temps (s)

Am

plit

ud

e

La periode T : le temps necessaire pour effectuer un cycle.

T =2π

ω⇒ T =

1

f

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 3 / 75

Revision des concepts de signaux Forme complexe

Forme complexe

La forme generale pour representer un signal x(t) = A cos(2πf0t+ φ) est :

x(t) = Aej(2πf0t+φ)

ou on utilise la relation d’Euler pour changer d’une forme a l’autre.

Rappel : la relation d’Euler est :

e±jθ = 1∠± θ = cos(θ) + j sin(θ)

avec les equivalences suivantes :

cos(θ) = 0.5(ejθ + e−jθ) sin(θ) = −j0.5(ejθ − e−jθ)

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 4 / 75

Revision des concepts de signaux Forme complexe

Forme complexe

Representation geometrique :

Re0

Imj

−j

1−1

θ

Exemple : e−jπ/2 = −j

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 5 / 75

Revision des concepts de signaux Combinaison de signaux periodiques

Periode commune de signaux

Pour un signal contenant plusieurs sinusoıdes,

La periode commune T est le plus petit commun multiple (PPCM)des periodes individuelles.

La frequence fondamentale f0 = 1/T et est egale au plus granddiviseur commun des frequences.

Le rapport entre les periodes doit etre un nombre rationnel.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 6 / 75

Revision des concepts de signaux Combinaison de signaux periodiques

Exemple

Trouver la periode commune du signalx(t) = 2 sin(23 t) + 4 cos(12 t) + 4 cos(13 t−

15π).

On a ω1 = 23 . La periode est :

T1 =2π

ω1= 3π

On a ω2 = 12 . La periode est :

T2 =2π

ω2= 4π

On a ω3 = 13 . La periode est :

T3 =2π

ω3= 6π

Le PPCM de 3π,4π et 6π est 12π.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 7 / 75

Revision des concepts de signaux Combinaison de signaux periodiques

Exemple

Trouver la periode commune du signalx(t) = 2 sin(23 t) + 4 cos(12 t) + 4 cos(13 t−

15π).

On a ω1 = 23 . La periode est :

T1 =2π

ω1= 3π

On a ω2 = 12 . La periode est :

T2 =2π

ω2= 4π

On a ω3 = 13 . La periode est :

T3 =2π

ω3= 6π

Le PPCM de 3π,4π et 6π est 12π.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 7 / 75

Signaux analogiques communs

Signaux analogiques communs

Fonction echelon

Fonction signe

Impulsion

Fonction rectangulaire

Fonction triangulaire

Sinus cardinal (sinc)

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 8 / 75

Signaux analogiques communs Echelon u(t)

Fonction echelon u(t)

0

0

0.5

1

Temps (s)

Am

plit

ud

e

u(t) =

{0 si t < 0

1 si t > 0

A t = 0, on utilise u(0) = 0.5.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 9 / 75

Signaux analogiques communs Echelon u(t)

Echelon : utilite

L’echelon est utile pour modeliser un interrupteur, par exemplelorsqu’on active une source de tension a un moment donne.

+−Vs R

t = 2

0t

VR

2

VR = Vsu(t− 2)

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 10 / 75

Signaux analogiques communs Echelon u(t)

Echelon : exemple

L’echelon peut etre utilise pour creer un pulse :

1

u(t− 1)

3

−u(t− 3)

1 3

x(t)

Le pulse est :x(t) =

u(t− 1)− u(t− 3)

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 11 / 75

Signaux analogiques communs Echelon u(t)

Echelon : exemple

L’echelon peut etre utilise pour creer un pulse :

1

u(t− 1)

3

−u(t− 3)

1 3

x(t)

Le pulse est :x(t) = u(t− 1)

− u(t− 3)

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 11 / 75

Signaux analogiques communs Echelon u(t)

Echelon : exemple

L’echelon peut etre utilise pour creer un pulse :

1

u(t− 1)

3

−u(t− 3)

1 3

x(t)

Le pulse est :x(t) = u(t− 1)− u(t− 3)

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 11 / 75

Signaux analogiques communs Echelon u(t)

Echelon : exemple

L’echelon peut etre utilise pour creer un pulse :

1

u(t− 1)

3

−u(t− 3)

1 3

x(t)

Le pulse est :x(t) = u(t− 1)− u(t− 3)

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 11 / 75

Signaux analogiques communs Echelon u(t)

Exemple : allumer ou eteindre une fonction

Ecrire la fonction suivante a l’aide d’echelons.

0 1 2 3 4 5

−2

0

2

Temps (s)

f(t

)

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 12 / 75

Signaux analogiques communs Echelon u(t)

Exemple

On a trois segments :

1 A t = 0, on allume la fonction 2t, et on l’eteint a t = 1.

2 A t = 1, on allume la fonction −2t+ 4, et on l’eteint a t = 3.

3 A t = 3, on allume la fonction 2t− 8, et on l’eteint a t = 4.

Ce qui donne :

f(t) = 2t[u(t)− u(t− 1)]

+ (−2t+ 4)[u(t− 1)− u(t− 3)]

+ (2t− 8)[u(t− 3)− u(t− 4)]

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 13 / 75

Signaux analogiques communs Signe sgn(t)

Fonction signe sgn(t)

La fonction signe est semblable a la fonction echelon, mais avec unedifference importante.

0

−1

0

1

Temps (s)

sgn

(t)

sgn(t) =

{−1 si t < 0

1 si t > 0

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 14 / 75

Signaux analogiques communs Signe sgn(t)

Fonction signe sgn(t)

On peut ecrire la fonction signe en fonction de l’echelon selon l’equationsuivante :

sgn(t) = u(t)− u(−t)

Autrement, la fonction echelon peut etre exprimee avec la fonction signe :

u(t) = 0.5 + 0.5 sgn(t)

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 15 / 75

Signaux analogiques communs Fonction impulsion

Fonction impulsion δ(t)

1 La fonction impulsion est utilisee pour representer des pulses ayantune duree tres courte.

2 C’est un outil mathematique, tres utile pour analyser des systemes.

3 On va donc developper une definition d’une impulsion.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 16 / 75

Signaux analogiques communs Fonction impulsion

Fonction impulsion δ(t)

On approxime l’impulsion par une fonction triangulaire.

0−ε

1

ε

ε

Le triangle est symetrique par rapport a l’origine.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 17 / 75

Signaux analogiques communs Fonction impulsion

Fonction impulsion δ(t)

Quelques observations :

La superficie de cette fonction est :

A =1

2(2ε)

1

ε= 1

Pour obtenir une impulsion ideale, il faut que ε→ 0. Et alors :

L’amplitude tend vers ∞.La largeur tend vers 0.La superficie est constante et egale a 1.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 18 / 75

Signaux analogiques communs Fonction impulsion

Fonction impulsion δ(t)

On utilise la notation δ(t) pour representer l’impulsion. La definition est :

δ(t)⇒

{∫δ(t)dt = 1 si t = 0

0 si t 6= 0

On appelle aussi ceci la fonction de Dirac.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 19 / 75

Signaux analogiques communs Fonction impulsion

Fonction impulsion δ(t)

Une propriete importante :∫ ∞−∞

f(t)δ(t− a)dt = f(t)∣∣∣t=a

= f(a)

si f(t) est continue au point a.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 20 / 75

Signaux analogiques communs Fonction impulsion

Exemple

Evaluer la fonction∫ 120 (5t+ 3)δ(t− 2) dt.

On applique la definition :∫ 12

0(5t+ 3)δ(t− 2) dt = 5t+ 3

∣∣∣t=2

= 5(2) + 3 = 13

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 21 / 75

Signaux analogiques communs Fonction impulsion

Fonction impulsion δ(t) : Representation graphique

On represente graphiquement une impulsion par une fleche verticale.

Exemple :

t0 2

δ(t− 2)

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 22 / 75

Signaux analogiques communs Fonction rectangulaire

Fonction rectangulaire rect(t)

Permet de decrire un pulse rectangulaire.

t0

−T

2

T

2

rect(t/T ) =

{1 |t| < T/2

0 |t| > T/2= u(t+ T/2)− u(t− T/2)

T est la largeur totale du pulse.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 23 / 75

Signaux analogiques communs Fonction triangulaire

Fonction triangulaire tri(t)

Permet de decrire un pulse triangulaire.

t0−T T

tri(t/T ) =

{1− |t| |t| < T

0 |t| > T

La largeur est 2T .

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 24 / 75

Signaux analogiques communs Sinus cardinal

Sinus cardinal sinc(t)

−T

0

0.5

1

Temps (s)

sin

c(t)

sinc(t) =sin(t)

tou sinc(t) =

sin(πt)

πt

Definition du manuel

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 25 / 75

Signaux analogiques communs Sinus cardinal

Sinus cardinal sinc(t)

−T

0

0.5

1

Temps (s)

sin

c(t)

sinc(t) =sin(t)

tou sinc(t) =

sin(πt)

πt

Definition du manuel

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 25 / 75

Caracterisation des signaux Valeur moyenne

Caracteristiques des signaux

Quelques methodes communes pour caracteriser des signaux :

Valeur moyenne

Valeur rms

Energie

Puissance

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 26 / 75

Caracterisation des signaux Valeur moyenne

Valeur moyenne

La valeur moyenne d’un signal x(t) periodique est obtenue selon :

x =1

T

∫ T

0x(t)dt

On appelle parfois la valeur moyenne la valeur DC.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 27 / 75

Caracterisation des signaux Valeur RMS

Valeur RMS

La valeur efficace (ou RMS en anglais, Root Mean Square) est une mesurede l’amplitude d’un signal variable. La definition est :

xrms =

√1

T

∫ T

0x(t)2dt

C’est la racine carree de la valeur moyenne du signal au carre.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 28 / 75

Caracterisation des signaux Valeur RMS

Exemple

Calculer la valeur efficace du signal x(t) = A cos(ωt).

On applique la definition :

x2rms =1

T

∫ T

0x(t)2dt =

1

T

∫ T

0A2 cos2(ωt)dt

=A2

T

∫ T

0

1

2(1 + cos(2ωt)) dt =

A2

2

La valeur efficace est :

xrms =A√2

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 29 / 75

Caracterisation des signaux Puissance et energie

Puissance et energie

Pour calculer la puissance, on suppose que le signal x(t) est une tensionappliquee a une resistance :

p(t) =x(t)2

R

puis l’energie totale du signal est :

E =

∫ ∞−∞

p(t)dt =1

R

∫ ∞−∞

v2(t)dt

On normalise en utilisant R = 1 :

E =

∫ ∞−∞|x(t)|2dt

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 30 / 75

Caracterisation des signaux Puissance et energie

Puissance et energie

La puissance d’un signal est l’energie normalisee sur une periode :

P =1

T

∫T|x(t)|2

Pour un signal non periodique :

P = limT0→∞

1

T0

∫T0

|x(t)|2dt

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 31 / 75

Caracterisation des signaux Puissance et energie

Puissance et energie

Un signal ou

E =

∫ ∞−∞|x(t)|2dt <∞

est un signal d’energie.

Un signal ou

P = limT0→∞

1

T0

∫T0

|x(t)|2dt <∞

est un signal de puissance.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 32 / 75

Classification des signaux

Classification des signaux

On peut classifier les signaux selon certaines proprietes.

Symetrie

PaireImpaireDemi-onde et quart d’onde

Causal

Deterministe

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 33 / 75

Classification des signaux Symetrie

Symetrie paire

Une fonction est paire si :f(t) = f(−t)

c’est-a-dire qu’on peut faire une copie miroir autour de l’axe y.

t0

copie miroir

autour de y

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 34 / 75

Classification des signaux Symetrie

Symetrie paire

Une fonction est paire si :f(t) = f(−t)

c’est-a-dire qu’on peut faire une copie miroir autour de l’axe y.

t0

copie miroir

autour de y

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 34 / 75

Classification des signaux Symetrie

Symetrie impaire

Une fonction est impaire si :

f(t) = −f(−t)

c’est-a-dire qu’on peut faire une rotation de 180 autour de l’origine etretrouver le signal original.

t0

rotation autour

de l’origine

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 35 / 75

Classification des signaux Symetrie

Symetrie impaire

Une fonction est impaire si :

f(t) = −f(−t)

c’est-a-dire qu’on peut faire une rotation de 180 autour de l’origine etretrouver le signal original.

t0

rotation autour

de l’origine

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 35 / 75

Classification des signaux Symetrie

Symetrie demi onde

Une fonction possede de la symetrie demi onde si :

f(t) = −f(t− T/2)

c’est-a-dire qu’on peut deplacer d’une demi periode, puis faire une imagemiroir autour de l’axe x et retrouver le signal original.

t0

deplacer d’unedemi-periode

image miroirautour de x

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 36 / 75

Classification des signaux Symetrie

Symetrie demi onde

Une fonction possede de la symetrie demi onde si :

f(t) = −f(t− T/2)

c’est-a-dire qu’on peut deplacer d’une demi periode, puis faire une imagemiroir autour de l’axe x et retrouver le signal original.

t0

deplacer d’unedemi-periode

image miroirautour de x

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 36 / 75

Classification des signaux Symetrie

Symetrie demi onde

Une fonction possede de la symetrie demi onde si :

f(t) = −f(t− T/2)

c’est-a-dire qu’on peut deplacer d’une demi periode, puis faire une imagemiroir autour de l’axe x et retrouver le signal original.

t0

deplacer d’unedemi-periode

image miroirautour de x

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 36 / 75

Classification des signaux Symetrie

Symetrie quart d’onde

Possede de la symetrie demi-onde.

La demi periode est aussi symetrique.

t0

Symetrie quart d’onde

Symetrie

t0

Pas de symetrie quart d’onde

Pas de symetrie

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 37 / 75

Classification des signaux Symetrie

Symetrie quart d’onde

Possede de la symetrie demi-onde.

La demi periode est aussi symetrique.

t0

Symetrie quart d’onde

Symetrie

t0

Pas de symetrie quart d’onde

Pas de symetrie

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 37 / 75

Classification des signaux Symetrie

Symetrie quart d’onde

Possede de la symetrie demi-onde.

La demi periode est aussi symetrique.

t0

Symetrie quart d’onde

Symetrie

t0

Pas de symetrie quart d’onde

Pas de symetrie

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 37 / 75

Classification des signaux Decomposition symetrique

Decomposition symetrique

Tout signal peut etre decompose en une somme d’un signal pair et impair :

x(t) = xe(t) + xo(t)

Les composantes sont calculees selon :

xe(t) = 0.5(x(t) + x(−t))xo(t) = 0.5(x(t)− x(−t))

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 38 / 75

Classification des signaux Decomposition symetrique

Exemple

Decomposer le signal suivant en sescomposantes paires et impaires.

t0

x(t)

4

1 2

On calcule x(−t) :

t0

x(−t)4

-2 -1

On utilise x(t) et x(−t)pour calculer lescomposantes paires etimpaires.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 39 / 75

Classification des signaux Decomposition symetrique

Exemple

Decomposer le signal suivant en sescomposantes paires et impaires.

t0

x(t)

4

1 2

On calcule x(−t) :

t0

x(−t)4

-2 -1

On utilise x(t) et x(−t)pour calculer lescomposantes paires etimpaires.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 39 / 75

Classification des signaux Decomposition symetrique

Exemple

Decomposer le signal suivant en sescomposantes paires et impaires.

t0

x(t)

4

1 2

On calcule x(−t) :

t0

x(−t)4

-2 -1

On utilise x(t) et x(−t)pour calculer lescomposantes paires etimpaires.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 39 / 75

Classification des signaux Decomposition symetrique

Exemple (2)

t

x(t)

0

4

1 2+

t

x(−t)

0

4

−1−2

t

xe(t)

0

2

1 2−1−2

×0.5

t

x(t)

0

4

1 2−

t

x(−t)

0

4

−1−2

t

xo(t)

0

2

−21 2

−1−2

×0.5

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 40 / 75

Classification des signaux Decomposition symetrique

Exemple (2)

t

x(t)

0

4

1 2+

t

x(−t)

0

4

−1−2

t

xe(t)

0

2

1 2−1−2

×0.5

t

x(t)

0

4

1 2−

t

x(−t)

0

4

−1−2

t

xo(t)

0

2

−21 2

−1−2

×0.5

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 40 / 75

Classification des signaux Decomposition symetrique

Exemple (2)

t

x(t)

0

4

1 2+

t

x(−t)

0

4

−1−2

t

xe(t)

0

2

1 2−1−2

×0.5

t

x(t)

0

4

1 2−

t

x(−t)

0

4

−1−2

t

xo(t)

0

2

−21 2

−1−2

×0.5

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 40 / 75

Classification des signaux Decomposition symetrique

Exemple (2)

t

x(t)

0

4

1 2+

t

x(−t)

0

4

−1−2

t

xe(t)

0

2

1 2−1−2

×0.5

t

x(t)

0

4

1 2−

t

x(−t)

0

4

−1−2

t

xo(t)

0

2

−21 2

−1−2

×0.5

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 40 / 75

Classification des signaux Decomposition symetrique

Exemple (2)

t

x(t)

0

4

1 2+

t

x(−t)

0

4

−1−2

t

xe(t)

0

2

1 2−1−2

×0.5

t

x(t)

0

4

1 2−

t

x(−t)

0

4

−1−2

t

xo(t)

0

2

−21 2

−1−2

×0.5

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 40 / 75

Classification des signaux Decomposition symetrique

Exemple (2)

t

x(t)

0

4

1 2+

t

x(−t)

0

4

−1−2

t

xe(t)

0

2

1 2−1−2

×0.5

t

x(t)

0

4

1 2−

t

x(−t)

0

4

−1−2

t

xo(t)

0

2

−21 2

−1−2

×0.5

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 40 / 75

Classification des signaux Decomposition symetrique

Exemple (2)

t

x(t)

0

4

1 2+

t

x(−t)

0

4

−1−2

t

xe(t)

0

2

1 2−1−2

×0.5

t

x(t)

0

4

1 2−

t

x(−t)

0

4

−1−2

t

xo(t)

0

2

−21 2

−1−2

×0.5

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 40 / 75

Classification des signaux Autres classifications

Autres classifications

1 Un signal est dit causal s’il est non nul pour t > 0 seulement. Unsignal est anti-causal s’il est non nul pour t < 0 seulement.

2 Un signal est dit deterministe si on peut le decrire a l’aide d’uneequation mathematique. Un signal est aleatoire ou stochastique s’ilexiste une incertitude sur sa valeur en fonction du temps.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 41 / 75

Operations sur les signaux Inversion temporelle

Inversion temporelle

Faire une image miroir d’un signal autour de l’axe y.

Le nouveau signal x1(t) est :

x1(t) = x(τ)∣∣∣τ=−t

= x(−t)

t0

x(t)

2

1

-2 -1

2t

0

x(−t)2

-1-2

1 2

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 42 / 75

Operations sur les signaux Inversion temporelle

Inversion temporelle

Faire une image miroir d’un signal autour de l’axe y.

Le nouveau signal x1(t) est :

x1(t) = x(τ)∣∣∣τ=−t

= x(−t)

t0

x(t)

2

1

-2 -1

2

t0

x(−t)2

-1-2

1 2

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 42 / 75

Operations sur les signaux Inversion temporelle

Inversion temporelle

Faire une image miroir d’un signal autour de l’axe y.

Le nouveau signal x1(t) est :

x1(t) = x(τ)∣∣∣τ=−t

= x(−t)

t0

x(t)

2

1

-2 -1

2t

0

x(−t)2

-1-2

1 2

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 42 / 75

Operations sur les signaux Echelonnage

Echelonnage temporel

Etirer ou comprimer unsignal

x1(t) = x(τ)∣∣∣τ=at

= x(at)

a > 1 : compressiona < 1 : etirement

−5 0 5 10−101

Signal original

−5 0 5 10−101

Signal compresse x(2t)

−5 0 5 10−101

Temps (s)

Signal etire x(0.25t)

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 43 / 75

Operations sur les signaux Decalage

Decalage temporel

Avancer ou retarder unsignal

x1(t) = x(τ)∣∣∣τ=t−t0

= x(t− t0)

t0 > 0 : retardert0 < 0 : avancer

−4 −2 0 2 4 6−101

Signal original

−4 −2 0 2 4 6−101

x(t− 2)

−4 −2 0 2 4 6−101

Temps (s)

x(t+ 1)

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 44 / 75

Operations sur les signaux Methode generale

Methode generale

Pour un signal :y(t) = x(at− b)

On resout pour isoler t :

τ = at− b⇒ t =τ + b

a

L’axe τ est l’axe du signal x(t), et l’axe t devient le nouvel axe pour y(t).

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 45 / 75

Operations sur les signaux Methode generale

Exemple

Soit le signal x(t) suivant. Tracer le graphe de y(t) = x(t/3− 2).

t 0

2

2 1

x(t)

-1 -2

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 46 / 75

Operations sur les signaux Methode generale

Exemple

On effectue la transformation :

t/3− 2 = τ ⇒ t = 3τ + 6

Le nouvel axe est :

τ 0

2

2 1

x(t)

-1 -2

t

12 9 6 3 0

Le nouveau graphe :

t 6

2

12 9

y(t)

3 0

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 47 / 75

Operations sur les signaux Methode generale

Exemple

On effectue la transformation :

t/3− 2 = τ ⇒ t = 3τ + 6

Le nouvel axe est :

τ 0

2

2 1

x(t)

-1 -2

t

12 9 6 3 0

Le nouveau graphe :

t 6

2

12 9

y(t)

3 0

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 47 / 75

Operations sur les signaux Transformation en amplitude

Transformation en amplitude

De facon generale, un signal x(t) peut etre modifie en amplitude a unsignal x1(t) selon :

x1(t) = Ax(t) +B

ou A et B sont des constantes reelles.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 48 / 75

Systemes

Systemes

Bloc mathematique qui transforme un signal

Entree x(t) et sortie y(t)

Caracterise par une reponse impulsionnelle h(t)

On etudie ici des systemes lineaires

Systemeh(t)

x(t) y(t)

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 49 / 75

Systemes Linearite

Linearite

Un systeme lineaire possede 2 caracteristiques importantes :

1 Homogeneite

2 Additivite

Aussi, l’invariance dans le temps est importante (pour l’analyse designaux).

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 50 / 75

Systemes Linearite

Homogeneite

Une variation d’amplitude a l’entree produit la meme variationd’amplitude a la sortie.

Systemeh(t)

Systemeh(t)

x(t) y(t)

kx(t) ky(t)

Si

Alors

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 51 / 75

Systemes Linearite

Additivite

Si on applique deux signaux (ou plus) a un systeme, la sortie est lasomme des reponses individuelles.

Systemeh(t)

Systemeh(t)

Systemeh(t)

x1(t) y1(t)

x2(t) y2(t)

Si

Alors

x1(t) + x2(t) y1(t) + y2(t)

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 52 / 75

Systemes Linearite

Autres proprietes

Invariance dans le temps

Linearite statique

Fidelite sinusoıdale

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 53 / 75

Systemes Proprietes des systemes

Commutativite

L’ordre des systemes n’est pas important.

Systeme Ah1(t)

Systeme Bh2(t)

Systeme Bh2(t)

Systeme Ah1(t)

x(t) y(t)

x(t) y(t)

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 54 / 75

Systemes Proprietes des systemes

Superposition

On peut decomposer un signal, puis additionner les sorties

Systemeh(t)

Systemeh(t)

Systemeh(t)

x1(t) y1(t)

x2(t) y2(t)

x3(t) y3(t)

+

+

+

+

decomposition

x(t)

y(t)

synthese

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 55 / 75

Systemes Reponse impulsionnelle

Reponse impulsionnelle

Permet de calculer la sortie d’un systeme pour n’importe quelle entree.

Systemeh(t)

x(t) = δ(t) y(t) = h(t)

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 56 / 75

Systemes Reponse impulsionnelle

Reponse impulsionnelle

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 57 / 75

Convolution

Convolution

Pour calculer la sortie d’un systeme, etant donne l’entree et la reponseimpulsionnelle, on utilise une operation appelee convolution.

y(t) =

∫ ∞−∞

h(λ)x(t− λ)dλ =

∫ ∞−∞

h(t− λ)x(λ)dλ

La notation est :y(t) = x(t) ∗ h(t)

C’est l’operation de base de traitement de signaux.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 58 / 75

Convolution Explication

Explication de la convolution

A l’aide de la superposition :

Si x1(t) = δ(t) alors y1(t) = h(t)

Si x2(t) = δ(t− 2) alors y2(t) = h(t− 2)

Si x3(t) = δ(t− 5) alors y3(t) = h(t− 5)

Le systeme : h(t) = e−t.

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Temps (s)

h(t)

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 59 / 75

Convolution Explication

Applications de pulses

0 5 100

0.5

1

x 1(t)

= δ

(t−

0)

0 5 100

0.5

1

y 1(t)

= h

(t−

0)0 5 10

0

0.5

1

x 2(t)

= δ

(t−

2)

0 5 100

0.5

1

y 2(t)

= h

(t−

2)

0 5 100

0.5

1

x 3(t)

= δ

(t−

5)

0 5 100

0.5

1

y 3(t)

= h

(t−

5)

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 60 / 75

Convolution Explication

Decomposition de l’entree

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.5

1Entrée

x(t)

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.5

1

w =

0.5

0

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.5

1

w =

0.2

5

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.5

1

w =

0.1

0

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.5

1

w =

0.0

4

Decomposer l’entree enune somme de pulses.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 61 / 75

Convolution Explication

Decomposition de l’entree

L’entree est decomposee en une somme de pulses :

x(t) =

∞∑k=−∞

w x(kw)u(t− (k − 0.5)w)− u(t− (k + 0.5)w)

w

ou k est l’indice du pulse.

w est la largeur du pulse

x(kw) represente l’amplitude du pulse

On allume a t− (k − 0.5)w par un echelon

On eteint a t− (k + 0.5)w par un echelon

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 62 / 75

Convolution Explication

Decomposition de l’entree

0 1 20

0.5

1

w =

0.5

0

0 1 20

0.5

0 1 20

0.5

1

w =

0.2

5

0 1 20

0.1

0.2

0 1 20

0.5

1

w =

0.1

0

0 1 20

0.05

0.1

0 1 20

0.5

1

w =

0.0

4

0 1 20

0.02

0.04

Des pulses decourte dureepeuvent etreapproximes pardes impulsions.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 63 / 75

Convolution Explication

Decomposition de l’entree

Un pulse est approxime par une impulsion selon la relation suivante :

δ(t− kw) =du(t− kw)

dt= lim

w→0

u(t− (k − 0.5)w)− u(t− (k + 0.5)w

w

L’entree x(t) est donc approximee par une somme d’impulsions :

x(t) ∼=∞∑

k=−∞w · x(kw) · δ(t− kw)

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 64 / 75

Convolution Explication

Convolution

Par invariance dans le temps (si x(t) = δ(t), y(t) = h(t)), la sortie est :

y(t) ∼=∞∑

k=−∞w · x(kw) · h(t− kw)

Dans la limite ou w → dλ, la somme devient une integrale,

y(t) =

∫ ∞−∞

x(λ)h(t− λ)dλ

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 65 / 75

Convolution Explication

Resume

Chaque entree peut etre approximee par une somme de pulses.

Les pulses sont approximes par des impulsions.

Chaque impulsion produit une reponse h(t).

La sortie totale est la somme des sorties.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 66 / 75

Convolution graphique

Convolution graphique

La convolution peut se faire de facon graphique.

Permet de mieux identifier les intervalles et fonctions.

Methodologie standard a suivre.

On utilise un exemple pour demontrer.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 67 / 75

Convolution graphique

Convolution graphique

Exemple : x(t) ∗ h(t)

t 0 1

2

h(t)

t 0 2

1.5

x(t)

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 68 / 75

Convolution graphique

Convolution graphique

1. Identifier les points critiques.

Les points ou il y a une discontinuite dans la fonction.

h(t) : {0, 1}x(t) : {0, 2}

On additionne tous les points ensembles :

y(t) : {0 + 0, 0 + 2, 1 + 0, 1 + 2} : {0, 1, 2, 3}

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 69 / 75

Convolution graphique

Convolution graphique

2. Effectuer le changement de variable

λ 0 1

2

h(λ) = −2λ+ 2

λ

0 t

1.5

t – 2

x(t− λ) = 1.5

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 70 / 75

Convolution graphique

Convolution graphique

3. Effectuer l’integrale : y(t) de 0 a 1

0 1

2

1.5

t t – 2

L’aire commune sous les deux courbes determineles bornes et l’integrale.

h(λ) = −2λ+ 2, 0 ≤ λ ≤ tx(t− λ) = 1.5, 0 ≤ λ ≤ t

et donc :

y1(t) =

∫ ∞−∞

h(λ)x(t− λ)dλ

=

∫ t

0(−2λ+ 2)(1.5)dλ

= 3t− 1.5t2

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 71 / 75

Convolution graphique

Convolution graphique

3. Effectuer l’integrale : y(t) de 1 a 2

λ 0 1

1.5

2

t t – 2

L’aire commune sous les deux courbes determineles bornes et l’integrale.

h(λ) = −2λ+ 2, 0 ≤ λ ≤ 1

x(t− λ) = 1.5, 0 ≤ λ ≤ 1

et donc :

y1(t) =

∫ ∞−∞

h(λ)x(t− λ)dλ

=

∫ 1

0(−2λ+ 2)(1.5)dλ

= 1.5

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 72 / 75

Convolution graphique

Convolution graphique

3. Effectuer l’integrale : y(t) de 2 a 3

λ 0 1

1.5

2

t – 2 t

L’aire commune sous les deux courbes determineles bornes et l’integrale.

h(λ) = −2λ+ 2, t− 2 ≤ λ ≤ 1

x(t− λ) = 1.5, t− 2 ≤ λ ≤ 1

et donc :

y1(t) =

∫ ∞−∞

h(λ)x(t− λ)dλ

=

∫ 1

t−2(−2λ+ 2)(1.5)dλ

= 1.5t2 − 9t+ 13.5

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 73 / 75

Convolution graphique

Convolution graphique

4. Resultat total :

y(t) =

3t− 1.5t2, 0 ≤ t ≤ 1

1.5, 1 ≤ t ≤ 2

1.5t2 − 9t+ 13.5, 2 ≤ t ≤ 3

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 74 / 75

Convolution graphique

Convolution graphique

5. Graphe de la solution

−1 0 1 2 3 40

0.5

1

1.5

2

Temps (s)

y(t)

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2013 75 / 75