EXPONENTIELLES ET LOGARITHMESmath.heig-vd.ch/fr-ch/enseignement/Cours/ExpLog2012.pdf · 2012. 12....

EXPONENTIELLESET LOGARITHMES

Version 2012

Lang Fred

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8x

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

y

Graphes de y = 2x et de y = log2(x)

1

1 Les progressions

1.1 Generalites sur les suites

On appelle suite un ensemble de nombres

a1, a2, a3, ..., an, ...

les termes an, places dans un ordre defini (numerotes par un numero n); chaque terme estdetermine par une regle de formation, a partir du premier (formule directe) ou a partir duprecedent (formule de recurrence).

Exemple:3, 7, 15, 31, 63, ....

La formule directe estan = 2n+1 − 1

la formule de recurrence estan = 2an−1 + 1

Exemple:1, 2, 6, 24, 120, 720, ...

La formule directe estan = n!

la formule de recurrence estan = n an−1

La somme des termes d’une suite s’appelle une serie.

Exemple:1

1+

1

2+

1

3+

1

4+

1

5+ ...

est la celebre serie harmonique.1

On rencontre aussi des suites doubles.La plus connue est celle des combinaisons, formant le triangle de Pascal:

n|k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6 4 15 1 5 10 10 5 16 1 6 15 20 15 6 17 1 7 21 35 35 21 7 18 1 8 28 56 70 56 28 8 19 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1Sa somme est infinie, cette serie est dite divergente. Elle diverge tres lentement, il faut 10434 termes pour quela somme depasse 1000. La difference sn − ln(n) entre la somme des n premiers termes sn et le logarithme ln(n)tend vers une constante appelee constante d’Euler, qui vaut environ 0.577215664.

2

La formule directe est

Cnk =n!

k!(n− k)!

Une formule de recurrence est

Cnk = Cn−1k−1 + Cn−1

k

1.2 Progressions arithmetiques

Une progression arithmetique est une suite, ou chaque terme, apres le premier, s’obtient enajoutant une quantite fixe, la raison, au terme precedent.La formule de recurrence est donc

an = an−1 + r (1)

Exemple:3, 7, 11, 15, 19, 23, 27...

La raison vaut 4.

La difference de deux termes consecutifs est une constante, la raison

Soit:

• a = a1 : le premier terme ;

• r : la raison ;

• an : le terme de rang n;

• n : le rang du terme;

• Les termes successifs sont:

a1 = a, a2 = a+r, a3 = a+2r, a4 = a+3r, ..., an−1 = a+(n−2)r, an = a+(n−1)r, an+1 = a+nr

• La valeur du nieme terme estan = a+ (n− 1)r (2)

• La somme des n premiers termes est donnee par:

sn = na+n(n− 1)

2r = n

a+ an

2(3)

Preuve:

Ecrivons la somme sn = a1 + a2 + ...+ an de deux manieres:

sn = a + a+ r + a+ 2r + ... + a+ (n− 2)r + a+ (n− 1)r

sn = a+ (n− 1)r + a+ (n− 2)r + a+ (n− 3)r + ... + a+ r + a

2sn = 2a+ (n− 1)r + 2a+ (n− 1)r + 2a+ (n− 1)r + ... + 2a+ (n− 1)r + 2a+(n-1)r

3

Chaque colonne donne 2a+ (n− 1)r, il y a n colonnes, donc 2sn = 2an+ n(n− 1)r.

Exemple:2, 7, 12, 17, 22, 27 ;n = 6, r = 5⇒ s6 = 6/2(2 + 27) = 87

Exemple:

5.3, 3.0, 0.7, −1.6, −3.9;n = 5, r = −2.3⇒ s5 = 55.3 + (−3.9)

2= 3.5

1.3 Progressions geometriques

Une progression geometrique est une suite ou chaque terme, apres le premier, s’obtient enmultipliant le terme precedent par un nombre fixe appele raison.La formule de recurrence est donc

an = r an−1 (4)

Exemple:2, 4, 8, 16, 32, 64 ...

la raison est 2

Le quotient de deux termes consecutifs est une constante r, la raison:

a2a1

=a3a2

=a4a3

= .... =an−1an−2

=anan−1

= r

• Les termes successifs de la progression s’ecrivent:

a1 = a , a2 = ar , a3 = ar2 , a4 = ar3 , ... , an = arn−1

• Le neme terme est:an = arn−1 (5)

• La somme des n premiers termes est donnee par:

sn = a1− rn

1− r(6)

En effet:

sn = a + ar + ar2 + ar3 + ...+ arn−1 ⇒ rsn = ar + ar2 + ar3 + ...+ arn−1 + arn ⇒sn − rsn = a− arn ⇒ sn(1− r) = a(1− rn)

Exemple:

1 + 3 + 32 + 33 + 34 + 35 =1− 36

1− 3=

728

2= 364

4

Considerons une progression geometrique ayant un nombre infini de termes. Si la raison estsuperieure a 1, la somme des termes tend vers l’infini. On dit que la serie est divergente. Maissi la raison r est comprise entre −1 et 1, la serie est convergente et la somme tend vers unelimite finie donnee par:

limn→∞

sn =a

1− r(7)

En effet, on a:

sn = a1− rn

1− r=

a

1− r− a rn

1− r

Le premier terme est constant, tandis que le second varie avec n ; |r| etant inferieur a 1, rn tendvers zero, lorsque n tend vers l’infini et le second terme tend vers 0.

Exemple:1

3= 0.3 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 + 0.00003 + ...

est un exemple de serie geometrique convergente de raison r = 1/10.

Exemple:Achille s’elance pour rattraper la tortue qui possede 1000 m d’avance et qui progresse 10 foismoins vite que lui. Zenon soutient qu’Achille ne rattrape jamais la tortue car:

• pendant qu’Achille parcourt 1000 m, la tortue fait 100 m ;

• pendant qu’Achille parcourt 100 m, la tortue fait 10 m ;

• pendant qu’Achille parcourt 10 m, la tortue fait 1 m ; etc.

Ainsi, Achille sera toujours en retard (Paradoxe de Zenon).Que la somme d’une infinite de termes puisse donner une valeur finie etait problematique pourles grecs, ca l’est d’ailleurs toujours pour une grande majorite de personnes.Notons dT le trajet en km parcouru par la tortue, dA celui parcouru par Achille et v la vitesseen km/h de la tortue.Alors dT = 1 + vt et dA = 10vt.Representons le trajet parcouru en fonction du temps dans un systeme d’axes Otd.

Le point de rencontre R(tR; dR) est donne par dT = dA ⇒ tR = 19v et dR = 10

9 .

t dA dT

0 0 1

110 1 1 + 1

10

110 + 1

100 1 + 110 1 + 1

10 + 1100

110 + 1

100 + 11000 1 + 1

10 + 1100 1 + 1

10 + 1100 + 1

1000

5

t

d Achille et la tortue

Figure 1:

Ainsi

dR = dA = 1 +1

10+

1

100+ ... = dT = 1 +

1

10+

1

100+

1

1000+ ... =

10

9

et

tR =1

10+

1

100+

1

1000+ ... =

1

9

6

2 Exponentielles

La fonctionexpa(x) = ax

est appelee exponentielle de base a, a > 0, a 6= 1.

exp(x)R R

*

+

2.1 Proprietes algebriques

expa(x+ y) = expa(x) · expa(y) ax+y = axay

expa(0) = 1 a0 = 1

expa(1) = a a1 = a

expa(−1) =1

aa−1 =

1

a

Les trois dernieres proprietes donnent les trois points (0; 1), (1; a) et (−1; 1/a) du graphe del’exponentielle.

-1 -0.5 0.5 1x

-1

1

2

3

4

5

y fHxL = ax

-1 -0.5 0.5 1x

-1

1

2

3

4

5

y fHxL = a-x=1

ax

Figure 2: Exponentielles croissantes de bases 2, 3, 4, 5, 6 et decroissantes de bases1

2,1

3,1

4,1

5,1

6.

7

2.2 Proprietes geometriques

Exponentielles croissantes: a > 1 Exponentielles decroissantes: a < 1

toujours definies

strictement positives

strictement croissantes strictement decroissantes

point commun (0; 1)

y → +∞ si x→ +∞ y → +∞ si x→ −∞

asymptote horizontale y = 0

a gauche a droite

-3 -2 -1 1 2 3x

2

4

6

8

y

Figure 3: Exponentielles croissante y = 2x et decroissante y = 2−x =

(1

2

)x.

2.3 Exemple: Croissance bacterienne

Les fonctions exponentielles apparaissent dans les modeles de croissance de population.Par exemple, on observe experimentalement que le nombre de bacteries dans une culture doubletoutes les heures.Si N(0) = 1000 bacteries sont presentes au depart, combien de bacteries N(t) seront presentesau temps t ?Combien y aura-t-il de bacteries apres 3h30?

t [h] 0 1 2 3 4 ... t

N(t) 1000 2000 4000 8000 16000 ... ?

On obtient la formuleN(t) = N(0) · 2t = 1000 · 2t

Alors N(3, 5) ≈ 11314.

8

2.4 Exemple: Radio-activite

Certaines quantites physiques decroissent exponentiellement.Par exemple, le polonium 210Po a une demi-vie de 140 jours, c’est-a-dire que au bout de 140jours, la moitie de la masse de depart sera desintegree.Si M0 = 20g est la masse initiale de polonium, combien y en aura-t-il au temps t ?Et apres 2 ans?

t [j] 0 140 280 420 560 ... t

M(t) [g] 20 10 5 2,5 1,25 ... ?

Soit M(t) la masse de polonium au temps t. On obtient la formule

M(t) = M0 · 0,5t/140 = 20 · 0,5t/140

Alors M(730) ≈ 0,54 g.

2.5 Exemple: Interets composes

Si nous placons un capital C0 a la banque au temps t = 0 au taux τ , apres une annee nousaurons un interet de τC0, donc un nouveau capital de

C(1) = C0 + τC0 = (1 + τ)C0

Ce nouveau capital donnera, apres une annee, un interet de τC(1) et donc un nouveau capitalde

C(2) = (1 + τ)C(1) = (1 + τ)2C0

En l’an t, le capital est donne par la formule de recurence:

C(t) = (1 + τ)C(t− 1)

La formule directe donne alors:

C(t) = (1 + τ )tC0

L’interet simple serait de ne pas faire ”fructifier” l’interet, on obtient alors la formule2

C(t) = C0 + tτC0

Si l’interet est capitalise chaque mois, alors un taux annuel de τ donne un taux mensuel de τ/12et la formule devient

C12(t) =(

1 +τ

12

)12tC0

Plus generalement, si l’interet est capitalise n fois par annee, le taux est τ/n et le capital estdonne par

2On le voit, l’interet simple conduit a la somme d’une progression arithmetique de raison τ alors que l’interetcompose est celle d’une progression geometrique de meme raison.

9

Cn(t) =(

1 +τ

n

)ntC0

Que devient le capital si l’interet est capitalise a tout instant, c’est-a-dire continument?C’est la valeur limite de Cn(t) lorsque n devient infiniment grand.

C(t) = limn→∞

(1 +

τ

n

)ntC0

Pour calculer celle-ci, posons k = n/τ et separons les parties dependantes de n, de celles qui nele sont pas:

limn→∞

(1 +

τ

n

)nt= lim

k→∞

(1 +

1

k

)kτt= lim

k→∞

((1 +

1

k

)k)τt=

(limk→∞

(1 +

1

k

)k)τtOn peut demontrer que la limite suivante existe

e = limk→∞

(1 +

1

k

)k≈ 2, 718282

C’est un nombre transcendant appele e par le mathematicien suisse Leonhard Euler.

La formule du capital devient alors:

C(t) = C0 · eτt

5 10 15 20 25 30t

200000

400000

600000

800000

C(t)

Figure 4: Cn(t) pour n = 1, 4, 12,∞, avec C0 = 100000 et τ = 7%

10

3 Logarithmes

La fonction inverse (ou reciproque) de l’exponentielle de base a est appelee logarithme debase a.Elle se note

loga(x)

Elle n’est definie que pour des arguments strictement positifs.

log(x) RR*

+

Remarque:

Les arguments et les valeurs des exponentielles et des logarithmes n’ont pasd’unites!

3.1 Proprietes algebriques

loga(xy) = loga(x) + loga(y)

loga(x/y) = loga(x)− loga(y)

loga(xn) = n loga(x)

loga(1) = 0

loga(a) = 1

loga(1/a) = −1

Les trois dernieres proprietes donnent les trois points (1; 0), (a; 1) et (1/a;−1) du graphe dulogarithme.

3.2 Quelques confusions trop frequentes

Trop souvent, l’etudiant confond l’entree et la sortie, en affirmant, par exemple qu’un logarithmeest toujours positif ou qu’il ne peut s’annuler.

Il arrive aussi que des regles de calcul soient creees pour l’occasion.

11

Exemples:

loga(x+ y) 6= loga(x) + loga(y)

loga(x+ y) 6= loga(x) · loga(y)

loga(x) · loga(y) 6= loga(x · y)

loga(x) · loga(y) 6= loga(x) + loga(y)

(loga(x))2 6= loga(x2)

Les memes erreurs se produisent avec la fonction exponentielle.

Moyen mnemotechnique:

”Le logarithme est votre ami: il transforme les produits en sommes”

3.3 Proprietes geometriques

Comme toute fonction inverse, le graphe de f(x) = loga(x) s’obtient a partir de celui de expa(x)par une symetrie d’axe y = x:

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8x

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

y

Figure 5: Graphes de y = 2x et de y = log2(x)

Habituellement, on ne considere que des logarithmes croissants, de bases superieures a un.

12

Les logarithmes:

sont definis pour des arguments strictement positifs

sont negatifs pour des arguments inferieurs a 1

sont nuls lorsque l’argument vaut 1

sont positifs pour des arguments superieurs a 1

sont strictement croissants

passent tous par le meme point (1; 0)

y → +∞ si x→ +∞

y → −∞ si x→ 0

ont une asymptote verticale a gauche x = 0

Souvent il est utile de considerer la fonction

f(x) = log |x|

qui est definie pour x 6= 0.C’est une fonction paire, elle admet l’axe de symetrie Oy.

-3 -2 -1 1 2 3x

-8

-6

-4

-2

y

Figure 6: Graphe de y = log |x|

3.4 Logarithmes naturels et decimaux

Les logarithmes les plus frequents sont ceux de base 2, 10 et e.Les logarithmes de base e sont dits naturels ou Neperiens.Ils se notent

ln(x)

Ceux de base 10 sont dits decimaux:

log(x)

Rappelons queln(e) = 1

13

etlog(10) = 1

3.5 Formules de changement de base

• pour les logarithmes

loga(x) =log(x)

log(a)=

ln(x)

ln(a)

et

log(e) =1

ln(10)

• pour les exponentielles2ax = ebx = 10cx ⇒

b = a ln(2) et c = b log(e)

ou plus generalement

ax = by ⇔ y =ln(a)

ln(b)x

4 Fonctions hyperboliques

4.1 La fonction cosinus hyperbolique

Un cable suspendu a deux poteaux et soumis uniquement a la pesanteur due a son propre poidsadmet pour graphe une courbe appelee ”chaınette”.En placant judicieusement un systeme d’axes Oxy, l’equation de la chaınette est

y =a

2(ex/a + e−x/a) = a cosh(

x

a)

ou a est une constante positive.

On definit le cosinus hyperbolique par

cosh(x) =1

2(ex + e−x)

• Cette fonction est toujours definie.

• Elle prend des valeurs entre 1 et ∞.

• C’est une fonction paire car cosh(−x) ≡ cosh(x).

• Elle admet deux asymptotes exponentielles y = 12 e

x et y = 12 e−x.

• Le graphe est donne a la figure (7).

14

-2 -1 1 2x

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

y

Figure 7: Le cosinus hyperbolique y = cosh(x) et les deux exponentielles y = 12ex et y = 1

2e−x.

4.2 La fonction sinus hyperbolique

On definit le sinus hyperbolique par

sinh(x) =1

2(ex − e−x)


• Elle prend des valeurs entre −∞ et +∞.

• Elle s’annule en 0.

• C’est une fonction impaire car sinh(−x) ≡ − sinh(x).

• Elle admet deux asymptotes exponentielles y = 12 e

x et y = −12 e−x.


4.3 La fonction tangente hyperbolique

La tangente hyperbolique est definie par

tanh(x) =ex − e−x

ex + e−x


• Elle prend des valeurs entre −1 et +1.


• C’est une fonction impaire car tanh(−x) ≡ − tanh(x).

• Elle admet les asymptotes horizontales y = ±1.


15

-3 -2 -1 1 2 3x

-3

-2

-1

1

2

3

y

Figure 8: Le sinus hyperbolique y = sinh(x) et les deux exponentielles y = 12ex et y = − 1

2e−x.

-2 -1 1 2x

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

y

Figure 9: La tangente hyperbolique y = tanh(x) et les deux horizontales y = −1 et y = 1.

4.4 La fonction cosinus hyperbolique inverse

En resolvant l’equation

y =1

2(ex + e−x)

par rapport a x, il est facile de voir que la fonction cosinus hyperbolique inverse3 est donneepar

arccosh(x) = ln(x+

√x2 − 1

)3Les fonctions hyperboliques inverses sont traditionnellement notees argcosh(x), argsinh(x), argtanh(x).

16

1 2 3 4 5 6 7 8x

1

2

3

4

5

6

7

8

y

Figure 10: Le cosinus hyperbolique inverse y = arccosh(x) et le cosinus hyperbolique y = cosh(x).

• Cette fonction est definie si x ≥ 1.

• Elle prend des valeurs entre 0 et ∞.



4.5 La fonction sinus hyperbolique inverse

En resolvant l’equation

y =1

2(ex − e−x)

par rapport a x, il est facile de voir que la fonction sinus hyperbolique inverse est donneepar

arcsinh(x) = ln(x+

√x2 + 1

)• Cette fonction est toujours definie.



• C’est une fonction impaire.


17

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8x

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

y

Figure 11: Le sinus hyperbolique inverse y = arcsinh(x) et le sinus hyperbolique y = sinh(x).

4.6 La fonction tangente hyperbolique inverse

On etablit de meme que la fonction tangente hyperbolique inverse est donnee par

arctanh(x) =1

2ln

(1 + x

1− x

)• Cette fonction est definie si −1 < x < 1.




• Elle admet les asymptotes verticales x = ±1.


4.7 La fonction cotangente hyperbolique inverse

La fonction cotangente hyperbolique inverse est donnee par

arccoth(x) =1

2ln

(1 + x

x− 1

)• Cette fonction est definie si |x| > 1.


• Elle admet l’asymptote horizontale y = 0 et les asymptotes verticales x = ±1.


18

-3 -2 -1 1 2 3x

-3

-2

-1

1

2

3

y

Figure 12: La tangente hyperbolique inverse y = arctanh(x) et la tangente hyperbolique y = tanh(x).

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4

y

Figure 13: La cotangente hyperbolique inverse et la tangente hyperbolique inverse.

5 Equations logarithmiques et exponentielles

Les principes de base sont:Isoler l’inconnue, utiliser les proprietes des log-exp pour reduire l’expression, faire un change-ment de variable pour se ramener a une equation polynomiale.

19

La quasi-totalite des equations contenant des termes mixtes:polynomial-logarithmique, polynomial-exponentiel, logarithmique-exponentiel, polynomial-trigonometrique,etc... n’ont pas de solutions formelles!

Exemple 1Resoudre

log(2x+ 3) = log(11) + log(3)

Les proprietes des logarithmes donnent :

log(2x+ 3) = log(33)

En appliquant l’exponentielle exp10 a chaque membre:

2x+ 3 = 33⇒ x = 15

Exemple 2Resoudre

log(2x+ 3) + log(x) = 3

Les proprietes des logarithmes donnent :

log(2x2 + 3x) = 3

En appliquant l’exponentielle exp10 a chaque membre:

2x2 + 3x = 1000⇒ x = −3

4±√

8009

4

Seul −3

4+

√8009

4est admissible.

Exemple 3Resoudre

−2x2e−2x + 2xe−2x = 0

On factorise:2x(1− x)e−2x = 0

D’ou x = 0 et x = 1, l’exponentielle ne s’annulant jamais.

Exemple 4Resoudre

N = Aemt

par rapport a t.

N

A= emt ⇒ ln

(N

A

)= mt⇒ t =

1

mln

(N

A

)= ln

(m

√N

A

)

20

Exemple 5Resoudre

R = log

(I

I0

)par rapport a I.On applique l’exponentielle de base 10 a chaque membre:

10R =I

I0⇒ I = I0 10R

Exemple 6Resoudre

52x+1 = 6x−2

par rapport a x.On applique la fonction ln a chaque membre:

(2x+ 1) ln(5) = (x− 2) ln(6)

d’ou

x =ln(5) + 2 ln(6)

ln(6)− 2 ln(5)=

ln(5) + ln(36)

ln(6)− ln(25)=

ln(180)

ln(6/25)

Exemple 7Resoudre

5x = 6 + 5−x

par rapport a x.On pose

z = 5x ⇒ 1

z= 5−x

L’equation devient

z = 6 +1

z⇒ z = 3±

√10⇒ 5x = 3±

√10

Mais 3−√

10 est negatif et 5x est strictement positif, donc seule

5x = 3 +√

10

donne une solution.On obtient x log 5 = log

(3 +√

10)

et

x =log(3 +√

10)

log 5

21

6 Exercices

Exercice 1Si le 6eme terme d’une progression arithmetique est 8 et le 11e terme −2, quels sont le premierterme et la raison?

Exercice 2Trouver le 12eme terme de la progression arithmetique: 2, 5, 8, ...

Exercice 3Si le premier terme d’une progression arithmetique est 7, et la difference commune est −2,trouver le quinzieme terme et la somme des 15 premiers termes.

Exercice 4Trouver la somme des 20 premiers termes de la progression arithmetique −9,−3, 3, ...

Exercice 5Trouver la somme des 100 premiers entiers positifs.

Exercice 6Combien de termes de la sequence −9,−6,−3, ... faut-il prendre pour que la somme soit egale a66?

Exercice 7Determiner les 4 premiers termes ainsi que le 12eme terme de la progression arithmetique donneepar an = 2n+ 3.

Exercice 8La somme de 3 nombres d’une progression arithmetique vaut 27, et la somme de leurs carresvaut 293. Determiner ces 3 termes.

Exercice 9Si le premier terme d’une progression geometrique vaut 9 et le rapport commun −2/3, determinerles 5 premiers termes.

Exercice 10Ecrire les 4eme, 5eme et le 6eme terme d’une suite dont le terme general est:a)

2n+ 1

n!

b)

(−1)2nxn−1

(2n)!

Exercice 11Le premier terme d’une progression geometrique vaut 27, le neme terme vaut 32/9 et la sommedes n termes vaut 665/9. Trouver n et r.

Exercice 12Trouver la somme des 10 premiers termes de la progression geometrique: 15, 30, 60, 120, ...

Exercice 13Trouver la somme de la serie geometrique infinie suivante:

30 + 10 +10

3+ ...+ 30

(1

3

)n−1+ ...

22

Exercice 14a) Un capital C0 est place a la banque en l’an 0 avec un taux d’interet annuel de τ%.Demontrer qu’apres t annees le capital s’eleve a C(t) = C0(1 + τ)t.b) Quel est le capital si l’interet est verse mensuellement?

Exercice 15Un compte epargne retraite est conclu en l’an 1 pour n annees.Chaque annee, un versement de C0 francs est verse sur le compte.Le premier versement est effectue au debut de l’an 1.Le taux est τ%.Calcule le capital au bout des n annees.

Exercice 16Simplifier l’expression

(ex + e−x)(ex + e−x)− (ex − e−x)(ex − e−x)

(ex + e−x)2

Exercice 17Un medicament est elimine du corps dans l’urine selon la loi suivante (t heures, m en mg)

m(t) = 10 · 0,8t

Calculer la masse initiale m0 du medicament.Calculer la masse apres 8 heures.Calculer le pourcentage de medicament elimine chaque heure.

Exercice 18Certaines institutions calculent le paiement mensuel M d’un emprunt L au taux d’interet rcalcule sur t annees par la formule:

M =Lrk

12(k − 1)ou k =

(1 +

r

12

)12tCalculer le paiement mensuel d’un emprunt de 90′000 sur 30 ans au taux de 12%.Calculer l’interet total verse pour payer cet emprunt.

Exercice 19D’apres une loi de Newton, le taux de refroidissement d’un corps est proportionnel a la differenceentre la temperature du corps et la temperature ambiante. La loi donnant la temperature enfonction du temps est alors du type

T (t) = Tamb + k · 2ct

ou k et c sont des constantes. Dans une piece de temperature constante 75◦, la surface d’unmorceau de fer passe de la temperature 125◦ a la temperature 100◦ en 30 minutes. Donner lesvaleurs de k et c.Supposons que t = 0 corresponde a 13 : 00, donner la temperature a 14 : 00, 15 : 30 et 16 : 00.Esquisser le graphe de T (t) pour 0 ≤ t ≤ 4.

Exercice 20La masse en fonction du temps est donnee par la formule suivante:

m(t) = m0 e−t/t0

23

On pose y = m(t)/m0 et x = t/t0.y est la masse relative et x le temps relatif. Ce sont des grandeurs adimensionels.Dessiner y = y(x).Dessiner m = m(t) dans un systeme d’axes ou t0 est l’unite de temps et m0 celle de masse.

Exercice 21• Soit une fonction exponentielle croissante (C, k > 0)

y(x) = C · akx

La periode de doublement est la valeur T telle que

y(x+ T ) = 2 · y(x)

Cette valeur est une constante (independante de x).

Calculer T en fonction de C, a, k.

• Soit une fonction exponentielle decroissante (C, k > 0)

y(x) = C · a−kx

La periode de demi-decroissance est la valeur T telle que

y(x+ T ) =1

2· y(x)

Cette valeur est une constante (independante de x).

Calculer T en fonction de C, a, k.

Exercice 22Prouver les identites hyperboliques

1.ch2(a)− sh2(a) = 1

2.sh(a+ b) = sh(a)ch(b) + sh(b)ch(a)

3.ch(a+ b) = ch(a)ch(b) + sh(b)sh(a)

4.

th(a+ b) =th(a) + th(b)

1 + th(a)th(b)

5.

sh(a) + sh(b) = 2 sh

(a+ b

2

)ch

(a− b

2

)6.

ch(a)− ch(b) = 2 sh

(a+ b

2

)sh

(a− b

2

)Exercice 23Utiliser les logarithmes decimaux pour creer une fonction NC(n) donnant le nombre de chiffresde l’entier positif n.

24

Exercice 24Pour un medicament A, la relation entre l’effet E et la dose d est du type

E(d) = a · ln(d) + b

On obtient E(1) = 0, 20 et E(10) = 0, 80.

• Determiner les parametres a et b pour le medicament A.

• Un medicament B, suivant le meme mecanisme d’action est deux fois plus actif que lemedicament A pour ces doses la. Trouver les doses pour le medicament B, necessaires al’obtention de l’effet 0, 20 et 0, 80.

• Trouver la relation dose-effet E = E(d) pour le medicament B.

source: http://www.u-psud.fr/Chatenay/formation.nsf

Exercice 25On considere la fonction

f(x) = 1− (1− 2−kx)n, k, n > 0, n entier positif

Sur le meme dessin, esquisser les graphes de y = 2−kx et y = 1 − 2−kx, distinguer ensuite si nest pair ou impair et dessiner y = (1− 2−kx)n, puis y = 1− (1− 2−kx)n.Determiner le comportement asymptotique et calculer les coordonnees des points sur les axes.

Exercice 26On considere la fonction

f(x) = e−(x−µ)2/2

Prouver que la courbe admet l’axe de symetrie x = µ en verifiant que, quel que soit x,

f(µ+ x) = f(µ− x)

Esquisser le graphe de f(x).Calculer en particulier le comportement asymptotique et les points sur les axes. Donner lescoordonnees du point maximum de la courbe.

Exercice 27Exprimer E en termes de log(x), log(y), log(z) et log(w).1)

E = log

(x3w

y2z4

)2)

E = log

(3√z

x√y

)Exercice 28Exprimer

2 log(x) +1

3log(x− 2)− 5 log(2x+ 3)

a l’aide d’un seul logarithme.

Exercice 29Remplacer le signe 5 par = ou 6=.

25

1. log(x) + log(y)5 log(x+ y)

2. log

(x

y

)5 log(x)− log(y)

3. log

(x

y

)5 log(x)

log(y)

4. log(√x)5 1

2log(x)

5. log(xy)5 log(x) + log(y)

6. log(xy)5 log(x) log(y)

7. log(x2)5 (log(x))2

Exercice 30Resoudre

A = B · 2Ct +D

par rapport a t.

Exercice 31Resoudre et simplifier l’equation par rapport a D:

log(D) = log(c)− k log(p)

Exercice 32Resoudre par rapport a t la formule

M =Lrk

12(k − 1)ou k =

(1 +

r

12

)12tExercice 33Prouver que les fonctions arctanh(x) et arccoth(x) sont impaires.

Exercice 34Etablir les formules suivantes:

•arccosh(x/a) = ln

(x+

√x2 − a2

)− ln(a)

pour |x| ≥ a.

•arcsinh(x/a) = ln

(x+

√x2 + a2

)− ln(a)

Indication:

y = arccosh(x/a)⇒ cosh(y) = x/a

Remplacer le cosinus hyperbolique par sa definition et resoudre par rapport a y.

Exercice 35Donner l’ensemble de definition et esquisser le graphe des fonctions suivantes:

1. ln(x)

2. ln(−x)

3. ln(|x|)

4. − ln(x)

5. − ln(−x)

6. − ln(|x|)

7. | ln(x)|

8. −| ln(x)|

9.1

ln(x)

10. ln

(1

x

)

11. ln

(1

|x|

)

12. (ln(x))2

26

Exercice 36Le courant electrique dans un circuit contenant une resistance R et une self L est donne enfonction du temps par

I(t) = I0 e−Rt/L

• Resoudre cette egalite par rapport a t.

• Remarquer que I0/I est adimensionnel et que L/R a la dimension d’un temps.

• Esquisser le graphe de I = I(t) dans un systeme d’axes OtI, en prenant L/R pour unitesur l’axe Ot et I0 pour unite sur l’axe OI.

Exercice 37Resoudre l’equation

x√

log(x) = 108

Exercice 38Un courant electrique dans un circuit est donne en fonction du temps par

I(t) =V

R

(1− e−Rt/L

)• Resoudre cette egalite par rapport a t.

• Remarquer que I1 = V/R a la dimension d’un courant et que t1 = L/R celle d’un temps.

• Poser y = I/I1 et x = t/t1. Ecrire y en fonction de x. Esquisser le graphe de y = y(x)dans un systeme d’axes Oxy.

Exercice 39Le taux de refroidissement d’un corps est donne en fonction du temps par une loi du type

T (t) = T0 + kect

ou k et c sont des constantes. Sachant qu’au temps t1, la temperature vaut T1, et qu’au tempst2, elle vaut T2, prouver, en eliminant k et c que T est alors donnee par la formule suivante:

T (t) = T0 + (T1 − T0)(T1 − T0T2 − T0

)(− t−t1

t2−t1

)

Exercice 40Resoudre les equations suivantes:

1. log(x2 − 10x+ 121) = 2

2. log(x− 2) = log(x) + log(x2 − 14)

3. log(x) + log(x+ 5) = 2 log(x− 2)

4. log(3− x)− log(2) = 1 + log(x)

5. 2 log(x− 1)− log(2x2 + 3x− 5) = 0

6. log(1− x) + log(1− 2x) = log(15(x+ 3))

7.1

2log(12x+ 16) = log(x+ 3)

8. log2(x2 − 3x) = 2

9. log3(√x− 1− 2) = 0

10. log2(x2 + 1)− log2(x) = 1

11. ln(y) = − ln(x) + C ⇒ y =?

12. ln(y) = ln(x) + ln(C)⇒ y =?

13.

{log(x) + log(y) = log(12)

x2 + y2 = 25

}27

14.

{x+ y = 42xy = 8

}

15.

{x+ log(y) = 3

y = 10x

}16.

{xy = 100

2 log(x) + y = 4

}

17.

{xlog(y) = 106

log(x) + 3 log(y) = 9

}

28

7 Corrige

Corrige ex 1La raison est −2 et le premier terme est 18.

Corrige ex 235

Corrige ex 3−21 et S15 = −105

Corrige ex 4S20 = 960


Corrige ex 611 termes

Corrige ex 75/7/9/11 et L = 27

Corrige ex 84/9/14

Corrige ex 99/− 6/4/− 8

3/169

Corrige ex 10a)

3

8/

11

120/

13

720

b)x3

8!/x4

10!/x5

12!

Corrige ex 11r = 2

3 et n = 6.


Corrige ex 13S∞ = 45

Corrige ex 14

C0

(1 +

τ

12

)12t

29

Corrige ex 15Formons le tableau 1.La somme de chaque colonne correspond a la valeur du capital.Nous sommes ainsi amene a calculer la somme des termes d’une progression geometrique deraison 1 + τ et de terme initial C0(1 + τ) :

C0(1 + τ)n − 1

τ(1 + τ)

Table 1: annuites

fin an 1 2 3 4

C0(1 + τ) C0(1 + τ)2 C0(1 + τ)3 C0(1 + τ)4

C0(1 + τ) C0(1 + τ)2 C0(1 + τ)3

C0(1 + τ) C0(1 + τ)2

C0(1 + τ)

Corrige ex 16

4

(ex + e−x)2=

1

cosh2(x)

Corrige ex 171) m0 = m(0) = 10 mg.2) m(8) = 10 · 0, 88 ≈ 1, 68 mg.

3)m(t+ 1)

m(t)= 0, 8, donc 20% de medicament est elimine.

Corrige ex 18M = 925, 75.Interet total = 12 · 30 ·M − L = 243′270.

Corrige ex 191) Tamb = 75◦

T (0) = 125◦ ⇒ k = 50◦.T (0, 5) = 100◦ ⇒ c = −2.Donc T(t) = 75◦+ 50 · 2−2t et T (1) ≈ 87, 5◦ , T (2, 5) ≈ 76, 6◦ , T (3) ≈ 75, 8◦. Le graphe de T (t)est donne a la figure 14.

Corrige ex 20La figure 15 donne la solution.

Corrige ex 21• On resout l’equation

y(x+ T ) = 2 · y(x)⇔ C · ak(x+T ) = 2 · C · akx ⇔ ak(x+T ) = 2 · akx ⇔

(kx+ kT ) ln(a) = ln(2) + k x ln(a)⇔ k T ln(a) = ln(2)⇔ T =ln(2)

k ln(a)

30

1 2 3 4t

20

40

Tamb

125

140

T

Figure 14: Temperature en fonction du temps

t0 2t0 3t0

t

m0�e

m0�e2

m0�e3

m

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5t�t0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

m�m0

Figure 15: Graphes de m(t) = m0 e−t/t0 , avec dimensions sur les axes et adimensionel

• Meme type de calcul

T =ln(2)

k ln(a)

Corrige ex 22Remplacer les fonctions hyperboliques par les expressions exponentielles correspondantes.

Corrige ex 23

NC(n) = 1 + [log(n)]

ou les [x] est la partie entiere de x.

Corrige ex 24• On resout le systeme

{E(1) = 0, 20E(10) = 0, 80

}⇔{

a ln(1) + b = 0, 20a ln(10) + b = 0, 80

}⇒

{b = 0, 20

a = 0,60ln(10) ≈ 0, 26

}

• Pour obtenir le meme effet EA = EB , il faut doubler la dose dA = 2dB.

Les medicaments ayant meme mode d’action, cette propriete reste vraie quel que soitl’effet.

En particulier, pour EA = 0, 20, dA = 1, donc dB = 0, 5 et pour EA = 0, 80, dA = 10, doncdB = 5.

31

• On resout le systeme

{E(0, 5) = 0, 20E(5) = 0, 80

}⇔{a ln(0, 5) + b = 0, 20a ln(5) + b = 0, 80

}⇒

a = 0,60ln(10) ≈ 0, 26

b = 0, 20 + 0,60 ln(2)ln(10) ≈ 0, 382

Corrige ex 25Lorsque x→ +∞, l’exponentielle tend vers 0 et f(x) tend vers 0.Lorsque x→ −∞, l’exponentielle tend vers +∞, la parenthese tend vers −∞ et f(x) tend vers∓∞ si n est impair et vers ±∞ si n est pair.La courbe traverse l’axe Oy en (0; 1) et l’axe Ox en (−1/k; 0) si n est pair.Les graphes sont sur la figure (16).

-2 -1 1 2 3 4x

-1

-0.5

0.5

1

y

-2 -1 1 2 3 4x

0.5

1

1.5

2

y

Figure 16: Graphes pour n = 2 et n = 3 avec k = 1.

Corrige ex 26f(µ− x) = f(µ+ x) et ainsi x = µ est un axe de symetrie.Lorsque x→ +∞, l’exponentielle tend vers 0 et f(x) tend vers 0.La courbe ne traverse jamais l’axe Ox.Elle atteint son maximum quand l’exponentielle est maximale, c’est-a-dire quand x = µ. Alorsf(µ) = 1.

Le point sur l’axe Oy est f(0) = e−µ2/2.

Corrige ex 271) E = 3 log(x) + log(w)− 2 log(y)− 4 log(z)

2) E =1

3log(z)− log(x)− 1

2log(y)

Corrige ex 28

log

(x2 3√x− 2

(2x+ 3)5

)Corrige ex 29

1. log(x) + log(y) 6= log(x+ y)

2. log

(x

y

)= log(x)− log(y)

3. log

(x

y

)6= log(x)

log(y)

4. log(√x) =

1

2log(x)

5. log(xy) = log(x) + log(y)

6. log(xy) 6= log(x) log(y)

7. log(x2) 6= (log(x))2

32

Corrige ex 30On isole la partie exponentielle et on applique le logarithme:

A−DB

= 2Ct ⇒ log

(A−DB

)= Ct log(2)⇒ t =

log(A−DB

)C log(2)

Corrige ex 31log(D) = log(c)− k log(p) = log

(c

pk

), donc

D =c

pk

Corrige ex 32On trouve tout d’abord k =

12M

12M − Lr, on resout ensuite k = (1 +

r

12)12t par rapport a t en

appliquant le logarithme a chaque membre, on trouve

t =log(

12M12M−Lr

)12 log

(1 + r

12

)Corrige ex 33Preuve pour arctanh(x):

arctanh(−x) =1

2ln

(1− x1 + x

)=

1

2ln

((1 + x

1− x

)−1)= −1

2ln

(1 + x

1− x

)= −arctanh(x)

Corrige ex 34Remplacer dans les formules correspondantes et utiliser les proprietes des logarithmes.

Corrige ex 35Ensemble de definition:

1. R∗+

2. R∗−

3. R∗

4. R∗+

5. R∗−

6. R∗

7. R∗+

8. R∗+

9. R∗+ − {1}

10. R∗+

11. R∗

12. R∗+Corrige ex 36

t = −LR

ln

(I

I0

)=L

Rln

(I0I

)Corrige ex 37On prend le log de chaque membre:√

log(x) log(x) = 8⇔ (log(x))3/2 = 8⇔ log(x) = 82/3 = 4⇔ x = 104

Corrige ex 38•

t = −LR

ln

(1− IR

V

)= −L

Rln

(V − IRV

)=L

Rln

(V

V − IR

)

33

En posant I1 =V

Ret t1 =

L

R, on peut ecrire:

t = −t1 ln

(1− I

I1

)= t1 ln

(1

1− II1

)

•I(t) =

V

R

(1− e−Rt/L

)= I1

(1− e−t/t1

)⇒ y = 1− e−x

• La figure 17 donne le graphe.

-2 -1 1 2x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

y

Figure 17: Graphe de y = 1− e−x

Corrige ex 39Il faut resoudre le systeme de deux equations a deux inconnues{

T (t1) = T1T (t2) = T2

}⇔{T0 + kect1 = T1T0 + kect2 = T2

}⇔{kect1 = T1 − T0kect2 = T2 − T0

}En divisant membre a membre:

ec(t1−t2) =T1 − T0T2 − T0

Remarquons que c n’apparait dans les equations que sous la forme ec, qui vaut

ec = (T1 − T0T2 − T0

)1

t1−t2 ⇒ ect1 = (T1 − T0T2 − T0

)t1

t1−t2

k = (T1 − T0)e−ct1 = (T1 − T0)(T1 − T0T2 − T0

)t1

t2−t1

En substituant k et en simplifiant l’exposant, on obtient la solution:

T (t) = T0 + (T1 − T0)T1 − T0T2 − T0

− t−t1t2−t1

Corrige ex 40Reponses:

34

1. 3 et 7

2. x3 − 15x+ 2 = 0⇒ x ≈ 3.8

3. aucune

4.1

7

5. aucune

6. −2

7. −1 et 7

8. −1 et 4

9. L’ensemble de definition est x > 5, la so-lution est 10

10. 1

11. y =eC

x

12. y = C x

13. (3; 4) et (4; 3)

14. (1; 3) et (3; 1)

15. (32 ; 10√

10)

16. (10; 2)

17. (106; 10) et (103; 102)

35

8 Annexe: Echelles lineaires et logarithmiques

8.1 Echelles lineaires

Une echelle est lineaire si les graduations sont en progression arithmetique, ainsi l’ecart(raison) entre deux graduations successives est constant.La raison et le terme initial sont choisis par l’utilisateur.

10 15 20 25 30x

P

Figure 18: Exemple d’echelle lineaire, terme initial = 10 et raison = 5

Deux questions se posent:

1) Lecture: calculer la coordonnee x d’un point P .

2) Ecriture: reporter la coordonnee x d’un point P .

Ces deux problemes sont resolus par une regle de trois (proportion).

8.2 Echelles logarithmiques

0.0010.01 0.1 1 10. 100.1000.

P

10 20 50 200 500 1000

P

Figure 19: Exemples d’echelles logarithmiques. A gauche: terme initial = 0.001, raison = 10; adroite: terme initial = 10, raison = 100. Le point a la coordonnee 354,8.

Une echelle est logarithmique si les graduations sont en progression geometrique; donc lequotient (raison) de deux graduations successives est constant. Le terme initial, en general unepuissance de 10, et la raison sont choisis par l’utilisateur.

Ainsi ce sont les exposants qui sont en progression arithmetique!

On passe d’une echelle a l’autre en prenant le logarithme decimal ou l’exponentielle de base 10des graduations (fig. 20).

1) Lecture:Sur l’echelle lineaire x = 2, 55 donne X = 10x = 354, 8, qui est la coordonnee de P .

36

10 20 50 200 500 1000X

P

X

1 3x

P

x

Figure 20: Exemple d’echelles logaritmique et lineaire: X = 354, 8 = 102,55 = 10x. On passede l’echelle logarithmique (exposants) a l’echelle lineaire correspondante en prenant le logarith-mique.

2) Ecriture:Une coordonnee X = 354, 8 donne une valeur de x = log(X) = 2, 55.

Dans une echelle logarithmique, il n’y a ni zero ni valeurs negatives.

8.3 Systemes d’axes

Les echelles lineaires s’averent souvent insuffisantes pour le dessin d’une fonction y = f(x) dontles valeurs de x ou de y prennent (en valeur absolue) de tres grandes et/ou de tres petites valeurs.Pour y remedier, on introduit des echelles logarithmiques.Des papiers dits semi-logarithmiques existent : un des axes est lineaire, l’autre est logarithmique.On rencontre donc des graphiques dans des systemes d’axes lin-lin, lin-log, log-lin et log-log.

8.4 Droites dans un systeme d’axes lin-log

Une droite represente une fonction exponentielle.

0 0.5 1 1.5 2x

10

100

1000

10000

100000.

Y

Figure 21: Dessin d’une exponentielle dans un systeme d’axes lin-log

Sur la figure 21, on peut trouver l’equation de la droite y = mx+ h en cherchant deux points.

37

Par exemple, les points (1, 1000) et (2, 100000) en lin-log (x, Y ) correspondent aux points (1, 3)et (2, 5) en lin-lin (x, y), en effet, on a

y = log(Y )

La pente vaut alors

m =5− 3

2− 1= 2

Pour trouver l’ordonnee a l’origine, on fait passer la droite par le point lin-lin (1, 3), on obtienth = 1.Ainsi l’equation de la droite est

y = 2x+ 1

Cette droite represente une exponentielle, il suffit de poser y = log(Y) pour trouver son equation:

y = log(Y ) = 2x+ 1⇒ Y = 102x+1 = eln(10)(2x+1) = e4.605x+2.3 = 10e4.605x

Rappelons la formule de changement de base

10n =(eln(10

)n= eln(10)n

8.5 Droites dans un systeme d’axes log-lin

Une droite represente une fonction logarithme.

Par exemple, la droite y = 2x+ 1 donnera

y = 2 log(X) + 1 = 2 log(X) + log(10) = 2(log(X) +1

2log(10)) = 2 log

(√10X

)Pour trouver l’equation de la droite, a partir du dessin sur un papier log-lin, on transformerales coordonnees de deux points mesures en points lin-lin a l’aide de

x = log(X)

8.6 Droites dans un systeme d’axes log-log

Une droite represente une fonction puissance.

Par exemple, la droite y = 2x+ 1 donnera

log(Y ) = 2 log(X) + 1⇒

Y = 102 log(X)+1 = 10102 log(X) = 1010log(X2) = 10X2

Pour trouver l’equation de la droite, a partir du dessin sur un papier log-log, on transformerales coordonnees de deux points mesures en points lin-lin a l’aide de

x = log(X), y = log(Y )

38

9 Exercices supplementaires

Exercice 41Simplifier

1. 2 log 5 + log 4 2. 4 log1

1000+ (log 100)2

Exercice 42Calculer

1. log21

5122. log3

4√

27 3. log(log 10) 4. ln(ln 12)

Exercice 43Verifier les identites suivantes :

1. (cosh(x))2 − (sinh(x))2 = 1 2. sinh(2x) = 2 cosh(x) sinh(x)

Exercice 44Simplifier les sommes suivantes:

1. 1 + ex + e2x + e3x + · · ·+ e10x (x 6= 0)

2. 1 + log(x) + log(2x) + log(3x) + · · ·+ log(10x) (x > 0)

3. 1 + 2−x + 2−2x + 2−3x + · · ·+ 2−nx (x 6= 0, n ∈ N)

Exercice 45Quel est le nombre de chiffres (decimaux) du nombre 250000 ?

Exercice 46Donner toutes les solutions des equations suivantes :

1. e2x − 4ex + 3 = 0

2. 27x+2 = 35x+8

3. 2 · 26x−1 + 3 · 23x+1 + 9 = 0

4. 53x − 7 · 5x + 6 = 0

5. 9x · 22x = 216−1

6. e(x2) = e7x−12

7. log x− log(x+ 1) = 2 log 4

8. 2(x2) = 8

9. 5x + 125(5−x) = 30

10. log(log x) = 2

11. lnx+ ln(x+ 6) = 12 ln 9

12. log3(x+ 3) + log3(x+ 5) = 1

13. log√x =√

log x

14. log√x = log(x− 6)

15. log x2 = log(6− x)

16. 2 log x = log(6− x)

17. log 4√

4x+ 1 = 12

18. ln(x) + ln(2x) + ln(3x) = 0

19. log(x) + log(2x) = log(3x)

20. (log2 x)2 + log8x2 + log16 2 = 0

39

21. (log x)2 + log(10x) = 13

22. lnx+ ln 2x = ln 18

23. 8 log4 x = log2(x2 + 2)

24. 4e−3x − 5e−x + ex = 0

10 Corriges

Corrige ex 411. 2 log 5 + log 4 = 2

2. 4 log1

1000+ (log 100)2 = −8

Corrige ex 421. log2(1/512) = −9

2. log34√

27 = 3/4

3. log(log 10) = 0

4. ln(ln 12) /∈ R

Corrige ex 43Il faut remplacer les fonctions hyperboliques par leur definition et effectuer.

Corrige ex 441. (e11x − 1)/(ex − 1)

2. 1 + log(10!) + 10 log(x)

3. (2−(n+1)x − 1)/(2−x − 1)

Corrige ex 45Le nombre de chiffres decimaux de 250000 est egal a blog(250000)c+ 1 = 15052.

Corrige ex 461. x = 0 et x = ln 3

2. x = −1

3. pas de sol. dans R

4. x = 0 et x = log5 2 = log 2/ log 5

5. x = −3/2

6. x = 3 et x = 4

7. pas de sol. dans R

8. x = ±√

3

9. x = 1 et x = 2

10. x = 10100

11. x = 2√

3− 3

12. x = −2

13. x = 1 et x = 104 = 10000

14. x = 9

15. x = −3 et x = 2

16. x = 2

17. x = 99/4

18. x = 3√

1/6 = 1/(613 )

19. x = 3/2

20. x = 2(−1/2) = 1/√

2 et x = 2(1/6) = 6√

2

21. x = 10−4 = 1/10000 et x = 103 = 1000

22. x = 3

23. x =√

2

24. x = 0 et x = ln 2

40

11 Bibliographie

• Traite d’Algebre (Schons - La Procure - Namur)

• The Algebra & Trigonometry Problem Solver REA

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