Thermodynamique  4       Machines  thermiques    

Illustrations  :    Exp  du  bateau  à  eau…,  machine  Bollée  

Simulation  gtulloue  //  cycles  moteur  

A savoir Savoir faire - Définir une machine thermique - Bilan énergétiques et entropiques sur un cycle, inégalité de Clausius

- Représenter le schéma de principe d’une machine thermique cyclique ditherme en y indiquant le travail et les transferts thermiques mis en jeu.

- Définir la performance d’une machine thermique

- Identifier un cycle moteur ou récepteur d’après le sens de parcours du cycle sur un graphique.

- Les signes des transferts thermiques et des travaux échangés par le système dans un moteur, un réfrigérateur, une pompe à chaleur dithermes.

- Calculer la performance d’une machine thermique d’une machine fonctionnant avec des sources idéales (ex1,2,4,5) ou des pseudo-sources (ex3 )

- L’existence d’une performance maximale (rendement ou efficacité de Carnot) imposée par le deuxième principe pour toute machine thermique ditherme.

- Retrouver l’expression du rendement ou de l’efficacité de Carnot (ex 1, 3.2b, 5.2c)

Utiliser le premier principe dans un écoulement stationnaire sous la forme h2-h1 =wu+q pour étudier une machine thermique.

 

 

   

 Plan  du  chapître  :        I/  Machines  thermiques     1/  définition  

2/  Bilan  énergique  et  entropique  d’une  machine  thermique  polytherme          a/  Bilan  énergétique          b/  Bilan  entropique  et  inégalité  de    Clausius  3/  Différents  cas  de  machines  thermiques          a/  monotherme          b/  ditherme          c/  Diagramme  de  Raveau  4/  Performance  d’une  machine  thermique        

II  /  Machines  dithermes  et  modèle  de  Carnot     1/  Moteur  ditherme  

       a/  Rendement          b/  Théorème  de  Carnot          c/  Cycle  de  Carnot    2/  Récepteur  ditherme          a/  Cycle  inverse          b/  Etude  comparée  des  récepteurs  classiques  ditherme      

III  /  Exemple  de  machines  thermiques  usuelles  :  le  moteur  à  explosion     1/  présentation  

2/  cycle  de  Beau  de  Rochas  3/  Rendement      

IV/  Cas  de  machines  ouvertes     1/  1er  principe  avec  un  écoulement  stationnaire  

2/  Application  à  une  éolienne  

     

     

   

Thermodynamique  4       Machines  thermiques    

Introduction  :    

Historiquement,  c’est  avec  l’invention  des  machines  thermiques  que  la  thermodynamique  est  née  en  tant  que  science.  Les  notions  de  température,  d’énergie,  de  travail  et  de  chaleur,  ont  été  introduites  pour  modéliser   le   fonctionnement  des  machines  à  vapeur,  et  améliorer   leur  rendement.  Toutes   les  machines  thermiques  sont  basées  sur  le  même  principe  que  la  machine  à  vapeur  du  19e    siècle  :  de  l’énergie   thermique   (issue  de   la   combustion  de  charbon,  de  pétrole,  ou  de   la   fission  nucléaire)  est  convertie  en  énergie  mécanique  (rotation  d’une  turbine  ou  d’un  arbre)  par  l’intermédiaire  d’un  fluide  (liquide  ou  gaz,  par  exemple  de  l’eau  ou  de  l’air)  qui  subit  un  cycle  de  transformations.  La  modélisation  thermodynamique  des  machines  a  permis  d’imaginer  des  dispositifs  fonctionnant  en  sens   inverse   (conversion   d’énergie   mécanique   ou   électrique   en   chaleur),   ce   qui   est   la   base   des  appareils  de  refroidissements  :  réfrigérateur,  climatiseur…    

I  )  Machines  thermiques  

1) définition  :    

Une  machine  thermique  est  un  système  capable  de  convertir  un  transfert  thermique  Q  en  travail  W  ou  inversement.  

Dans  les  machines,  la  circulation  d’un  fluide  (air,  eau,  fréon...)  permet  les  échanges  d’énergie  entre  la  machine  et  le  milieu  extérieur.  

Pour  fonctionner  en  continu  la  machine  doit  effectuer  des  cycles  de  transformations  (retour  à  l’état  initial)  :  on  parle  donc  de  machines  thermiques  cycliques.    

S’il  y  a  échange  de  matière  avec  l’extérieur,  la  machine  est  ouverte,  sinon  elle  est  fermée.  

Exemples  de  machines  «  ouvertes  »  :  ……………………………………………………  

                                                                                     Fermées  :  …………………………………………………………  

2) Bilan  énergétique  et  entropique  d’une  machine  polytherme  cyclique.  

Une  machine  est  polytherme  si  elle  échange  de  la  chaleur  avec  plusieurs  thermostats  (de  températures  T1,  T2,  …  Tn)  au  cours  d’un  cycle.  

Au  cours  d’un  cycle,  la  machine  thermique  échange  

-­‐ Un  travail  W  avec  l’extérieur  

-­‐ Des  transferts  thermiques    Qi  avec  les  thermostats  (sources)  de  températures  Ti.  

Bilan  énergétique  pour  un  cycle:  appliquer  le  1er  principe  de  la  thd  pour  en  déduire  une  relation  entre  W  et  les  Qi    (i  variant  de  1  à  n).  

 

 

 

 

Bilan  entropique  pour  un  cycle:  appliquer  le  2ndprincipe  de  la  thd  pour  en  déduire  une  inégalité  entre  les  Qi  (i  variant  de  1  à  n),  c’est  l’inégalité  de  Clausius.  Dans  quel  cas  a-­‐t-­‐on  l’égalité  ?  

 

 

 

 

3)  Différents  cas  de  machines  thermiques  

Si  la  machine  fournit  du  travail  (W<0)  ,  c’est  un  moteur,  sinon  c’est  un  récepteur  (W>0).    

3)a)  Machine  monotherme  :  (n=1)  

A  partir  des  deux  bilans  précédents,  en  déduire  le  signe  de  Q  et  W.    

 

 

 En  déduire  sa  nature  :  moteur  ou  récepteur  ?  Vous  avez  ici  démontré  le  2nd  principe  de  la  thd  énoncé  par  Kelvin  (ou  Thomson).  

 

    3)b)  Machines  dithermes  :  (n≥ 1)  

Le  thermostat  de  température  plus  élevé  est  appelé  source  chaude,  de  température  Tc,  et  celui  de  température  plus  basse  Tf  est  la  source  froide.    

Le  système  reçoit  respectivement  Qc  et  Qf  des  sources  chaude  et  froide  au  cours  d’un  cycle.  

Par  convention,  on  représente  les  échanges  d’énergie  vers  le  système    (quelque  soit  le  sens  réel  des  échanges).  

 

 

 

 

 

 

 

Ecrire  les  bilans  en  énergie  et  en  entropie  sur  un  cycle  pour  cette  amchine  thermique.  En  déduire  Qc  en  fonction  de  W  et  Qf,  et  une  inégalité  sur  Qc.  

 

 

   

3)c)  Diagramme  de  Raveau  :    

On  représente  les  droites  d’équation  :  Qc  =  -­‐Qf  et  Qc  =  !𝑻𝒄𝑻𝒇  𝑸𝒇  

 

 

 

 

 

 

Identifier  ces  droites  en  justifiant.  

 

 

Hachurer  la  zone  interdite  par  le  second  principe.  

Identifier  la  zone  moteur  et  la  zone  récepteur.  

Fluide  (système)  

 

Source  chaude  

Source  froide  

Turbine  ,  piston  

Qc   Qf  

W  

Qf  

Qc  

 

Quels  sont  les  signes  de  Qc  et  Qf  pour  le  moteur  ?  Comparer  au  transfert  thermique  «naturel  »  entre  une  source  chaude  et  une  source  froide.  

 

 

 

Numéroter  de  1  à  3   les  zones  «  récepteur  »  en  partant  du  haut  en  allant  vers   le  bas.  Repérer  les  signes  de  Qc  et  Qf  pour  chaque  zone.  Et  placer  dans  ces  zones  les  exemples  classiques  :   chauffage   central,   réfrigérateur   (on   refroidit   la   source   froide)   ,   pompe   à  chaleur  (on  réchauffe  la  source  chaude)  .  Une  zone  paraît  inutile,  laquelle  ?  

 

Que   dire   des   signes   de   Qc   et   Qf   dans   le   cas   d’un   réfrigérateur   ou   d’une   pompe   à  chaleur  ?  Comparer  au  cas  du  moteur.  

 

 

 

4) Performance  d’une  machine  thermique  

Elle  est  définie  par  :  performance  =   𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒇𝒆𝒓𝒕  𝒅!é𝒏𝒆𝒓𝒈𝒊𝒆  𝑼𝑻𝑰𝑳𝑬𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒇𝒆𝒓𝒕  𝒅!é𝒏𝒆𝒓𝒈𝒊𝒆  𝒅é𝒑𝒆𝒏𝒔é

 

    Si  cette  performance  est  entre  0  et  1  par  nature,  on  parle  de  rendement  (cas  du  moteur)  et  on  la  note  η ,  sinon  on  parle  d’efficacité  e  (pour  réfrigérateur  et  pompe  à  chaleur,  e≥1).  

   

II)  Machines  dithermes  et  modèle  de  Carnot  

1) Moteur  ditherme  Rappeler  les  signes  de  W,  Qc  et  Qf  :    Dans  un  moteur  ditherme,  le  système  reçoit  de  l’énergie  de  la  source  …..  et  en  donne  à  la  source  …………………….  Tout  en  fournissant  un  travail.    

1)  a)  rendement  :    Définir  le  rendement  du  moteur  et  l’exprimer  en  fonction  de  Qf  et  Qc.        En  déduire  un  encadrement  de  ce  rendement.              Dans  quel  cas  a-­‐t-­‐on  le  rendement  maximal  ?      

1)b)  Théorème  de  Carnot  :  (compléter)  

Le  rendement  η  d’un  moteur  réel  ditherme  fonctionnant  entre  les  sources  de  température  Tc  et  Tf  est  inférieur  à  celui  η rev  d’un  moteur  

réversible  entre  ces  deux  même  sources  avec  :  η rev  =  1-­‐𝑻𝒇𝑻𝒄  <1  

 AN  :  Tc  =  600°C  ,Tf  =  20°C,  calculer  η rev.  Que  se  passe-­‐t-­‐il  si  la  température  de  la  source  froide  diminue  (hiver)  ?    

1)c)  Cycle  de  Carnot  

Carnot  imagine  un  cycle  moteur  ditherme  réversible  constitué  de    

-­‐ deux  isothermes  réversibles  (fluide  en  contact  respectivement  avec  la  source  chaude  et  la  source  froide)  

-­‐ séparées  par  deux  adiabatiques  réversibles      

Représentation  du  cycle  de  Carnot  en  coordonnées  de  Clapeyron  :        

 

 

Identifier  les  transformations  adiabatiques  et  isothermes  (Tc  et  Tf).  

Dans  quel  sens  le  cycle  doit-­‐il  être  parcouru  pour  qu’il  soit  moteur  ?  

Que  représente  alors  l’aire  délimitée  par  le  cycle  ?  

 

 

Représentation  du  cycle  de  Carnot  en  coordonnées  (T,  S):            

 

Identifier  les  transformations  adiabatiques  et  isothermes.  

Identifier  les  points  A,B,C  et  D  sur  ce  graphique.  Dans  quel  sens  le  cycle  est-­‐il  parcouru  ?    

Que  représente  l’aire  élémentaire  T.dS  lors  d’une  évolution  réversible  ?  

 

 

Que  représente  l’aire  délimitée  par  le  cycle  ?  

 

 

 

 

   

A  

C  

D  

B  

P  

V  

S  

T  

II)2)  Récepteurs  dithermes  

a) Cycle  de  Carnot  récepteur  :  C’est  le  même  que  le  cycle  moteur  mais  parcouru  dans  l’autre  sens  !    Dans  ce  cas  sa  représentation  en  coordonnées  (T,  S)  devient    (compléter)  :              En  déduire  le  signe  de  Qc,  de  Qf  et  de  W  :      Compléter  :    Dans  ce  cas,  le  système…………………..du  travail  pour  ……….…………….de  l’énergie  à  la  source  froide  et  la  ………………………..à  la  source  chaude.  Le  transfert  d’énergie  a  donc  lieu  entre  les  sources  dans  le  sens  ………………………………………………    

Selon  ce  qui  nous  intéresse,  on  a  une  machine  différente  :    

-­‐ Avec  à  la  diminution  d’énergie  de  la  source  froide,  on  peut  fabriquer  un  réfrigérateur  (ou  un  climatiseur).  

-­‐ Avec  l’augmentation  d’énergie  de  la  source  chaude,  on  peut  fabriquer  une  pompe  à  chaleur.    

b. Etude  comparée  des  récepteurs  

  Réfrigérateur   Climatiseur   Pompe  à  chaleur  

Source  chaude        

Source  froide        

But  du  système        

Efficacité  

 

 

     

AN  :  déterminer  l’efficacité  maximale  

Tc  =  20°C  et  Tf  =  4  °C  

 

Tc  =  20°C  et  Tf  =  4  °C   Tc  =  20°C  et  Tf  =  4  °C  

 

 

Brève  Analyse  :    

*  Comment  évoluent  les  efficacités  du  réfrigérateur  et  du  climatiseur  si  Tc  augmente  ?  

 

 

*  Justifier  qu’une  pompe  à  chaleur  est  d’autant  plus  efficace  que  la  différence  de  température  entre  l’intérieur  de  la  maison  et  l’extérieur  est  faible.        Comparer  avec  l’efficacité  thermique  d’un  radiateur  électrique.        A  quoi  sert  l’énergie  dépensée  par  une  pompe  à  chaleur  ?  

   

 

III)  Exemple  :  le  moteur  à  explosion  

III)1)  Présentation  :  

Etudions  le  cycle  à  4  temps  d’un  moteur  essence    à  combustion  interne  (au  sein  du  moteur).  

 

Si  on  considère  que  le  système  est  le  cylindre  (système  ouvert)  de  volume  variable  V  cylindre,  on  peut  utiliser  le  diagramme  de  Watt  

 

 

 

Si  le  système  est  le  fluide,  donc  l’ensemble  (air    admis  +  carburant),  on  peut  utiliser  les  coordonnées  de  Clapeyron  (Pression  du  gaz  en  fonction  du  volume  du  gaz  V  ou  du  volume  massique  v  du  gaz).  

Il  peut  y  avoir  des  différences  entre  ces  2représentations  notamment  s’il  y  a  liquéfaction  du  fluide  alors  V  cylindre  >  V  fluide.  

Dans  notre  cas,  on  considérera  que  l’essence  est  totalement  vaporisée  et  donc  que  tout  le  fluide  est  gazeux,  à  savoir  V  cylindre    =  V  gaz.  

• Schéma  d’un  élément  du  moteur:    

 

Schéma  des  étapes  d’un    cycle    moteur  4  temps  de  type  Beau  de  Rochas  

Volume  du  cylindre  

Pression  dans  le  cylindre  

 

1  er  temps   2ème  temps   3ème  temps   4ème  temps  

V  ì   V  î   Vì   Vî  

 

Identifier  les  temps  moteur  et  les  temps  récepteur.  

A  combien  de  tours  correspond  un  cycle  ?  

 

 

III)2)  Cycle  de  Beau  de  Rochas  et  modèle  

• Le  diagramme  réel  de  Watt  du  cycle  de  Beau  de  Rochas  est  de  la  forme  :  

 • Pour  évaluer  théoriquement  le  rendement  de  ce  moteur,  on  le  modélise  de  la  

façon  suivante  :    i) Le  fluide    est  assimilé  à  un  gaz  parfait  de  quantité  constante  tout  au  long  

du  cycle  (presque  vrai  car  80%  du  diazote  de  l’air  est  inerte).  ii) Le  fluide  ne  subit  aucune  évolution  chimique  et  son  énergie  thermique  

lui  vient  d’une  source  chaude  fictive  extérieure  lors  d’une  isochore  CD.  

iii) Pour  éviter  les  étapes  d’admission-­‐refoulement,  on  suppose  que  le  retour  passe  EA  par  B  et  que  les  étapes  AB  et  BA  se  compensent.  On  se  ramène  alors  à  un  système  fermé.  

iv) Le  diagramme  correspond  alors  au  cycle  Beau  de  Rochas  :  constitué  de  deux  isochores  séparés  par  deux  isentropiques    

   III)3)  Rendement  du  moteur  de  Beau  de  Rochas  

Posons  a  =  𝑽𝒎𝒂𝒙𝑽𝒎𝒊𝒏

,  le  taux  de  compression  du  moteur.  

Identifier  Qc  et  Qf  pour  ce  cycle.        

  En  déduire  la  définition  du  rendement  η  puis  son  expression  en  fonction  de  a  et  de  γ.                      

IV  )  Cas  de  machine  thermiques  ouvertes     1)  Premier  principe  pour  un  écoulement  stationnaire  

Un   gaz   s'écoule   dans   un   élément   mécanique   :   conduite,   tuyère,   échangeur  thermique,  turbine,  compresseur,  etc.    

L'évolution  d'un  fluide  gazeux  dans  une  installation  industrielle  est  schématisée  par  la  figure   1   ci-­‐dessous.Le   fluide   gazeux   s'écoule   dans   la   direction   et   le   sens   de   l'axe  horizontal  x'x  .  

Le  volume  ν  délimité  par  les  plans  A'B'  et  CD  constitue  un  volume  de  contrôle  qui  peut,  éventuellement,  contenir  une  machine  :  compresseur,  turbine,  etc.  

Le  fluide  entre  dans  ν  par  une  conduite  cylindrique  dont  l'aire  de  la  section  droite  est  notée   Σl   et   dont   l'axe,   parallèle   à   x'x   ,   est   situé   à   l'altitude   zl   dans   le   champ   de  pesanteur.   Il   en   ressort  par   une   conduite  cylindrique,   dont   la  section  droite  a  une  aire  Σ2   et   dont   l'axe,  parallèle  à  x'x  ,  est  situé  à   l'altitude   z2   dans   le  champ  de  pesanteur.    

On   désigne   par   𝒄   le  vecteur   vitesse   des  

particules   fluides   et   on   admet   que   la   viscosité   du   fluide   est   négligeable,   le  

vecteur   vitesse   reste   donc   constant   en   tout   point   d'un   plan   de   section   droite  perpendiculaire  à  l'écoulement.  

On  désigne  par  m,  p,  T,V,  E,  Ec  ,  Ep  ,  U,  H  et  S,  respectivement,  la  masse,  la  pression,  la  température,   le  volume,   l'énergie  totale,   l'énergie  cinétique  macroscopique,   l'énergie  potentielle   de   pesanteur,   l'énergie   interne,   l'enthalpie   et   l'entropie   du   fluide.   Les  valeurs  massiques   des   différentes   grandeurs   extensives   seront   représentées   par   des  lettres  minuscules.  

Ces   grandeurs   seront   affectées   de   l'indice   1   ou   de   l'indice   2   suivant   qu'elles  caractériseront  l'état  du  gaz  à  l'entrée  ou  à  la  sortie  du  volume  ν.  

On  suppose  l’écoulement  stationnaire.  

*   Le   but   est   d’établir   la   variation   d’énergie   totale   du   système  ouvert   ν   entre   t   et  t+dt.  

𝑐!!!!⃗  

𝑐!!!!⃗  

z1  

z2  

z  

Méthode  :   On   se   ramène   à   un   système   fermé   pour   lequel   on   peut   appliquer   le  premier  principe.  

Démonstration  (  à  comprendre,  mais  non  exigible)  

a) Création  du  système  fermé  :    A  l'instant  t  le  système  fermé  considéré,  désigné  par  S(t)  sur  la  figure  1,  occupe  le  volume  compris  entre  les  plans  AB  et  CD.   Il  comprend  le  fluide  contenu  dans  ν  à  cet  instant  et  le  fluide  qui  va  entrer  dans  ν  pendant  la  durée  dt.  Son  énergie  totale  est  notée  E  (t)  .  

A   l'instant   t   +   dt   ce   même   système,   désigné   par   S(t   +   dt),   occupe   le   volume  délimité   par   les   plans   A'B'   et   C'D'   .   Il   comprend   le   fluide   contenu   dans   ν     à  l'instant   t  +  dt  et   le   fluide   qui   est   sorti   de   ν     pendant   la   durée  dt.  Son   énergie  totale  est  notée  E  (t  +  dt)  .  

b) Application  du  premier  principe  au  système  fermé  S  

Entre  les  instants  t  et  t  +  dt  le  fluide  gazeux  reçoit  les  quantités  algébriques  d'énergie  δQ    par  transfert  thermique  (chaleur),     δWp  par  transfert  mécanique  dû  au  travail  des  forces  de  pression  d'entrée  et  de  sortie  et   δWu    par  travail  mécanique  utile  avec  une  machine  qui  se  trouve  dans  ν    .    

Le  premier  principe  de   la   thermodynamique  appliqué  au   système   fermé  S  entre   t   et  t+dt  s’écrit  :    

dE  =  δWp+   δWu  +δQ        

c) Description  de  dE  Le   système   fermé   S   résulte   de   l’association   du   volume  de   contrôle   ν   et   des  masses  entrante  ou  sortante.  Aussi,  en  utilisant  l’extensivité  de  l’énergie  totale  :    dE  =  variation  d’énergie  dans  ν    +  (énergie  de  la  masse  sortante  –  énergie  de  la  masse  entrante)    dE  =    E  ν(t+dt)-­‐  E  ν(t)  +  dm2(u2+  ½  c22  +  gz2)  –  dm1  (u1+  ½  c12  +  gz1)    

d) Utilisation  du  régime  stationnaire  :    En  régime  stationnaire,  aucune  grandeur  physique  ne  dépend  du  temps.  Ainsi  l’énergie  E  ν  dans  le  volume  de  contrôle  ν  et  sa  masse  m  ν    ne  varient  pas  au  cours  du  temps.  Donc  :  E  ν(t+dt)  =    E  ν(t)  et  m  ν(t+dt)  =    m  ν(t)  ;  La   conservation   de   la   masse,   implique   que   la   masse   entrant   dans   ce   volume   de  contrôle  ν  entre  t  et  t+dt  est  la  même  que  la  masse  sortante,  soit  :  dm2    =  dm1.  

Alors,  dE  =  dm  (  (u2+  ½  c22  +  gz2)  –    (u1+  ½  c12  +  gz1)  )    

e) Description  de  δWp  

δWp   =   travail   des   forces   pressantes   en   entrée+       travail   des   forces  pressantes  en  sortie  δWp  =  (-­‐p1  dV1)  +  (-­‐p2  dV2)  

dV1    =  variation  de  volume  du  gaz  entrant    (le  volume  diminue)  =  -­‐dm.v1    

dV1    =  variation  de  volume  du  gaz  sortant    (le  volume  augmente)  =    +  dm.v2    

avec  v1,  v2  volumes  massiques  respectifs  des  fluides  en  1  et  2.  

Alors,  δWp  =  -­‐p1  dV1-­‐p2  dV2    =  p1.  (dm.v1  )  -­‐  p2.  dm.v2  =  dm  .(  p1.  v1  –  p2.  v2  )      

f) Ecriture  finale  du  bilan  d’énergie  :    dm  (  (u2+  ½  c22  +  gz2)  –    (u1+  ½  c12  +  gz1)  )  =  dm  .(  p1.  v1  –  p2.  v2  )  +  δWu  +δQ        donc  dm  (  (u2+  ½  c22  +  gz2  +  p2.  v2  )  –    (u1+  ½  c12  +  gz1  +  p1.  v1)  )  =  δWu  +δQ        Utilisons  l’enthalpie  massique  :  h  =  u+p.v,    et  l’énergie  mécanique  massique  em  =  ½  c2  +  gz    

Il  vient  :                                                                  𝒅𝒎.𝚫𝟏𝟐 𝒉 + 𝒆𝒎 =  𝜹𝑾𝒖 + 𝜹𝑸  (1)      Si  on  divise  (1)  par  la  masse,  il  vient  :    

𝚫𝟏𝟐 𝒉 + 𝒆𝒎 =  𝜹𝒘𝒖 + 𝜹𝒒,  (à  savoir)    avec  𝜹𝒘𝒖  𝒆𝒕  𝜹𝒒   respectivement   le   travail   utile  massique   et   le   transfert  thermique  massique.    Si  on  divise  (1)  par  dt,  on  fait  apparaître  dm/dt  =  Dm  débit  massique  (en  

kg/s),  et  𝜹𝑾𝒖𝒅𝒕

= 𝑷𝒖  puissance  utile,  𝜹𝑸𝒅𝒕= 𝑷𝒕𝒉  puissance  thermique,  alors  :  

𝐃𝐦.𝚫𝟏𝟐 𝒉 + 𝒆𝒎 =  𝑷𝒖 + 𝑷𝒕𝒉  (1er  principe  industriel  ,  à  savoir)    

   

2) Application  à  une  éolienne  

 

 

 

 

Le  premier  principe  industriel  s’écrit  :    

Dm.Δ!! ℎ + 𝑒𝑚 =  𝑃! + 𝑃!!  

Ici,  T  =  cte,  si  l’air  est  assimilable  à  un  gaz  parfait,  alors  Δ!!ℎ = 0  

De  plus  ici,    Δ!!𝑒! =  Δ!!𝑒!  et  Pth  =  0  

Soit  Dm.Δ!!𝑒! =  𝑃! = 𝐷𝑚  (0 − !!𝑐!!)  

En   dt,   l’air   passant   par   l’éolienne   est   comprise   dans   le   cylindre   de   volume  Sc1dt,  avec  S  la  surface  décrite  par  l’éolienne.  

La  masse  dm  traversant  l’éolienne  pendant  dt  est  :  

dm  =  ρS  c1  dt  

Donc  Dm  =  ρS  c1  

 Alors,  Pu  =  -­‐  ½  ρS  c13  

Ordre   de   grandeur  :  ρ   =   1,2   kg/m3,   c1     =   8  m/s   =   29   km/h,   S   =   π.   R2   ,   si   2R   =  2,9m,  alors    Pu  =  -­‐  2,0  kW  

Un  calcul  plus  précis  donne  en  fait,  P=  16/27  .  (½  ρS  c13),  ce  qui  donne  ici  1,2  kW.   La   puissance   réelle   recueillie   est   encore   inférieure   du   fait   des  frottements  mécanique   et   de   la   conversion  mécanique/   électrique   qui   n’est  pas  de  100%  !    

Doc  internet  :  Comptoir  éolien,  WIT481000W, éolienne domestique, 1890€  

Cette éolienne domestique est conçue pour fonctionner dans un site à faible et à moyenne vitesse de vent (3,0 m/s et plus). Cette éolienne a un énorme avantage: elle démarre avec du vent faible et atteint sa puissance nominale à 8m/s au lieu de 12m/s chez la plupart de produits sur le marché. Données Techniques: • Puissance nominale : 1000W • Vitesse nominale : 8m/s • Diamètre du rotor : 2,9m

 

EOLIENNE  air  P1,  T1,  c1   air  P1,  T1,  c2    =  0    (hypothèse  simpliste  !  )      

Wu  

S  

C1  dt