c Christophe Bertault - MPSI Gomtrie lmentaire de lespace

Exercice 1

On considre dans un certain repre orthonormal direct(O, , ,

k)le point de

coordonnes (1, 2, 4) et trois vecteursI ,

J et

K de coordonnes respectives (1, 1, 0),

(1,1, 0) et (1, 0,1).

1) Montrer que(,I ,J ,K)est un repre. Est-il direct ou indirect ?

2) On note A le point de coordonnes (1, 2, 3) dans(O, , ,

k). Dterminer ses

coordonnes dans(,I ,J ,K).

3) On note n le vecteur de coordonnes (1, 1, 1) dans(O, , ,

k). Dterminer

une quation dans(,I ,J ,K)du plan passant par A orthogonal n .

Exercice 2

1) Soient u , v et w trois vecteurs. Etalir la formule du double produit vectoriel :

u (v w ) = (u w ) v (u v ) w .

Indication : On pourra effectuer les calculs dans une base orthonormale directede premier vecteur colinaire u .

2) Soient a etb deux vecteurs.

a) Rsoudre lquation a x =b dinconnue x .

b) Rsoudre lquation x +a x =b dinconnue x .

Exercice 3

1) Montrer que les points A = (1, 0, 1), B = (0, 1, 0), C = (2, 0, 0) et D = (3,1, 1)sont coplanaires.

2) Soit m R. A quelle condition les points E = (1, 2m, 1), F = (m + 4, 1 m, 3)et G = (3, m,m+ 1) sont-ils aligns ?

3) Dterminer une quation du plan P passant par les trois points A = (0, 1,1),B = (1,1, 0) et C = (1, 0, 1).

4) Dterminer la distance du point A = (6,1, 2) au plan P passant par O et dirig

park et u = (2, 3, 1).

5) Dterminer une quation de la droite D passant par les points A = (2, 3, 0) etB = (1,2,1).

6) Dterminer une reprsentation paramtrique de la droite D gale lintersectiondes plans dquations 2x y + z + 2 = 0 et x y z 1 = 0.

7) Dterminer une quation cartsienne de la droite D passant par C = (1, 1, 1) etorthogonale au plan dquation x+ y 2z + 1 = 0.

8) Dterminer la distance du point A = (2, 5, 3) la droite D gale lintersectiondes plans dquations respectives 2x+ 3y z = 0 et 2x y + 2z = 1.

Exercice 4

1) Dterminer les coordonnes du projet orthogonal de A = (1, 1, 4) sur le plan Pdquation x y + 2z = 2.

2) Dterminer les coordonnes du symtrique de A par rapport la droite passantpar B = (0, 1, 0) dirige par u = (1, 1, 1).

Exercice 5

Pour tout m R, on note Dm la droite dquation

{mx+ y + z = 1x y + 2z = m

et Dm

la droite

dquation

{mx+ y z = mx+ 3y + z = m.

1) A quelle condition sur m les droites Dm et D

msont-elles parallles ?

2) Mme question avec scantes la place de parallles . Trouver le caschant leur point dintersection.

Exercice 6

1) On note D et D les droites passant respectivement par A = (1, 2, 3) etA = (0, 4,1) et diriges par u = (4, 2,1) et u = (1, 1, 0). Dterminer unpoint et un vecteur directeur de la perpendiculaire commune D et D.

2) Mmes questions avec A = (0, 0, 1), A = (1, 0, 0), u = (9, 1, 2) et u = (2, 1, 9).

Exercice 7

On note S la sphre dquation x2+y2+z22x4y6z+5 = 0 et D la droite passant

par O dirige park .

1) Dterminer les points dintersection de S et D et une quation du plan tangent S en chacun de ces points.

2) Dterminer lintersection de S avec le plan P dquation y = z.

Exercice 8

Montrer quil existe une et une seule sphre contenant les cercles dquations respectives{x = 1y2 + z2 4y = 0

et

{z = 1x2 + y2 2x 4y + 2 = 0.

En dterminer une quation.