GEOMETRIE ELEMENTAIRE · GEOMETRIE ELEMENTAIRE Mohamed HOUIMDI ... 3.8.3 Isométries de l’espace...

GEOMETRIE ELEMENTAIRE

Mohamed HOUIMDI

FIGURE 1 – Droite d’Euler

0 M.HOUIMDI

sur 78

Table des matières

1 Espaces affines 51.1 Définition et propriètés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2 Proprièté du parallélogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Sous-espace affine engendré par un ensemble de points . . . . . . . . . . . . 81.2.3 Intersection de deux sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.4 Parallélisme de deux sous-espace affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Barycentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.1 Fonction vectorielle de Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.2 Définition et prooprièté du barycentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Espaces affines de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.1 Repère affine - Coordonnées barycentriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.2 Repère cartésien - Coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.3 Représentation paramétrique d’un sous-espace affine . . . . . . . . . . . . . 191.4.4 Représentation cartésienne d’un sous-espace affine . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Applications affines 292.1 Propriètés caractéristiques d’une application affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.1 Définition et propriètés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.1.2 Représentation analytique d’une application affine . . . . . . . . . . . . . . 302.1.3 Composée de deux applications affines - Groupe affine . . . . . . . . . . . . 312.1.4 Points fixes d’une application affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2 Exemples d’applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2.1 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2.2 Homothétie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2.3 Projection affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2.4 Symétrie affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3 Espace affine euclidiens 513.1 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2 Repère orthonormé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.3 Sous-espaces affines orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.4 Hyperplan médiateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.5 Perpendiculaire commune et distance de deux droites de E3 . . . . . . . . . . . . . . 56

3

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3.5.1 Distance de deux droites de E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.6 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.6.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.6.2 Distance d’un point à un sous-espace affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.6.3 Distance d’un point à une droite affine de E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.6.4 Distance d’un point à un plan affine affine de E3 . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.7 Symétrie orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.8 Isométries affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.8.1 Définition et propriètés de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.8.2 Isométrie du plan affine euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.8.3 Isométries de l’espace affine de dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

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Chapitre 1Espaces affines

1.1 Définition et propriètés élémentairesDéfinition 1Soient E un R-espace vectoriel et E un ensemble quelconque, non vide. On dit que E est unespace affine attaché à E (ou de direction E), s’il existe une application

E ×E −→ E(A,B) 7−→ −→AB

vérifiant les propriètés suivantes :

i) Pour tout A ∈ E , l’application

E −→ EM 7−→ −→AM est bijective.

ii) Relation de Chasles :

∀A ∈ E , ∀B ∈ E , ∀C ∈ E ,−→BC =

−→BA+

−→AC

Un espace affine E est dit de dimension finie, si sa direction est de dimension finie. Dans ce cas,la dimension de E est égale à celle de sa direction.

Remarque 1Si E est un espace affine de direction E, alors les éléments de E sont appelés des points et sont dési-gnés par des lettres majuscules A,B,C,D,M,N,P, . . . . Tandis que les éléments de E sont appelés desvecteurs et sont désignés par des lettres minuscules surmontées d’une flêche

−→i ,−→j ,−→k ,−→u ,−→v ,−→w , . . . .

Exemples 11. Si dim(E) = 1, on dit que E est une droite affine.2. Si dim(E) = 2, on dit que E est un plan affine.3. Tout R-espace vectoriel E, peut-être considéré, canoniquement, comme un espace affine attaché

à lui même, lorsqu’on considère l’application suivante :

E×E −→ E(a,b) 7−→

−→ab = b−a

qui vérifie les conditions de la définition.C’est pour cela que les éléments d’un R-espace vectoriel sont considérés, selon les situations,comme des points ou comme des vecteurs.

5

1 M.HOUIMDI

1.1.1 Règles de calcul

Soit E un espace affine attaché à l’espace vectoriel E, alors

a)∀M ∈ E , ∀N ∈ E ,

−→AM =

−→AN =⇒M = N

b)∀A ∈ E , ∀B ∈ E ,

−→AB =

−→0 ⇐⇒ A = B

c)∀A ∈ E , ∀B ∈ E ,

−→BA =−−→AB

d)∀A ∈ E , ∀B ∈ E , ∀C ∈ E ,

−→BC =

−→AC−−→AB

e) Pour tout point A ∈ E et pour tout vecteur −→u ∈ E, il existe un unique point M ∈ E , tel que

−→AM =−→u

f) Si A et B sont deux points de E , alors il exite un unique vecteur −→u ∈ E, tel que−→AB =−→u .

Preuvea) D’après la première proprièté de la définition, l’application


Donc cette apploication est injective, par suite, on a le résultat.

b) (⇐=) D’aprè la relation de Chasles, pour tout A ∈ E , on a

−→AA+

−→AA =

−→AA donc

−→AA =

−→0 .

(=⇒)

−→AB =

−→0 =⇒ −→

AB =−→AA

=⇒ B = A

c) Pour tout A ∈ E , on a−→AA =

−→0 , donc d’après la relation de Chasles, pour tout B ∈ E , on a−→

AB+−→BA =

−→0 , par suite,

−→BA =−−→AB.

d) Pour A, B et C éléments de E , on a, d’après Chasles,

−→BC =

−→BA+

−→AC =−−→AB+

−→AC

e) Lorsque on fixe un point A, l’aplication


Donc pour tout −→u ∈ E, il existe un unique M ∈ E , tel que−→AM =−→u .

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1.1.2 Proprièté du parallélogrammeProposition 1Soient A, B, C et D quatre points d’un espace affine E . Alors les propriètés suivantes sont équi-valentes,

i)−→AB =

−→CD.

ii)−→AC =

−→BD.

iii)−→AB+

−→AC =

−→AD.

Si quatre points A, B, C et D vérifient l’une des trois propriètés équivalentes, précédentes, on ditque A, B, C et D forment un parallélogramme.

Preuvei)⇐⇒ ii)

−→AB =

−→CD ⇐⇒ −→

AC+−→CB =

−→CB+

−→BD

⇐⇒ −→AC =

−→BD

i)⇐⇒ iii)−→AB =

−→CD ⇐⇒ −→

AB =−→AD−−→AC

⇐⇒ −→AB+

−→AC =

−→AD

1.2 Sous-espaces affines

1.2.1 Définition et exemplesDéfinition 2Soit E un espace affine attaché à E. On dit qu’une partie non vide F de E est un sous-espaceaffine de E , s’il existe un point A ∈ F et il existe un sous-espace vectoriel F de E, tels que

∀M ∈ E , M ∈ F ⇐⇒−→AM ∈ F

Dans ce cas, on dit que F est le sous-espace affine de E passant par le point A et de direction lesous-espace vectoriel F.

Exemples 21. Pour tout point A ∈ E , le singleton A est un sous-espace affine de E . C’est le sous-espace

affine de E passant par A et de direction F = −→0 .2. Soit E un R-espace vectoriel, alors pour tout sous-espace affine F de E, il existe un point a∈ E

et il existe un sous-espace vectoriel F de E, tels que,

F = a+F

Donc, en particulier, tout sous-espace vectoriel de E peut-être considéré comme un sous-espaceaffine de E, tandis que la réciproque n’est pas toujours vraie.En effet, si F est un sous-espace affine de E, alors, par définition, il existe a ∈ F et il existe unsous-espace vectoriel de E, lel que

∀x ∈ E, x ∈ F ⇐⇒ x−a ∈ F ⇐⇒ x ∈ a+F

Donc F = a+F.

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3. Soit F un sous-espace affine de E passant par A et de direction F.

i) Si dim(F) = 1 avec F =Vect(−→u ), on dit que F est la droite affine de E passant par A et devecteur directeur −→u . On la note D(A,−→u ), donc pour M ∈ F on aura

M ∈ D(A,−→u ) ⇐⇒ (−→AM,−→u ) est lié

⇐⇒ ∃α ∈ R :−→AM = α

−→u

ii) Si dim(F) = 2 avec F =Vect(−→u ,−→v ), on dit que F est le plan affine passant par A et devcteurs directeurs −→u et −→v . On le note P(A,−→u ,−→v ), donc pour M ∈ F on aura

M ∈ P(A,−→u ,−→v ) ⇐⇒ (−→AM,−→u ,−→v ) est lié

⇐⇒ ∃(α,β) ∈ R2 :−→AM = α

−→u +β−→v

iii) Si F est un hyperplan de E, on dit que F est un hyperplan affine de E .

Remarque 2Soit F un sous-espace affine de E passant par A et de direction F. Alors pour tout point B ∈ F , on a

∀M ∈ E , M ∈ F ⇐⇒−→BM ∈ F

1.2.2 Sous-espace affine engendré par un ensemble de pointsDéfinition 3Soient E un espace affine attaché à E, A une partie non vide de E et A ∈ A . On appelle sous-espace affine engendré par A , qu’on note A f f (A), le sous-espace affine de E passant par lepoint A et de direction F =Vect(−→AB : B ∈ A).

Remarque 3A f f (A) est le plus petit sous-espace affine de E contenant A . C’est à dire, si F est un sous-espaceaffine de E qui contient A , alors F contient A f f (A).En effet, Fixons un point A ∈ A et désignons par F la direction de F .Soit M ∈ A f f (A), alors, par définition, il existe (A1,A2, . . . ,Am) ∈ Am et il existe (α1,α2, . . . ,αm) ∈Rm, tels que

−→AM =

m

∑i=1

αi−→AAi

Or, pour tout i ∈ 1,2, . . . ,m, Ai ∈ F et A ∈ F , donc, pour tout i ∈ 1,2, . . . ,m, −→AAi ∈ F, donc−→AM ∈ F, par suite, M ∈ F .

Définition 4Trois points A, B et C d’un espace affine E sont dits non alignés, si le système (

−→AB,−→AC) est lible.

Remarque 4Si A, B et C sont trois points non alignés, alors les systèmes (

−→AB,−→AC), (

−→BA,−→BC) et (

−→CA,−→CB) sont

libres. (à vérifier)

Exemples 3Soit E un espace affine de direction E.

1. Pour tout point A ∈ E , on a A f f (A) = A.

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2. Si A et B sont deux points distincts de E , alors A f f (A,B) est le sous-espace affine de E pas-sant par A et de direction Vect(

−→AB). A f f (A,B) est donc la droite passant par A et de vecteur

directeur−→AB. Dans ce cas, A f f (A,B) s’appelle la droite passant par les points distincts A et

B, on la note (AB), donc on aura

∀M ∈ E , M ∈ (AB) ⇐⇒ (−→AM,−→AB) est lié

⇐⇒ ∃α ∈ R :−→AM = α

−→AB

3. Si A, B et C sont trois points non alignés de E , alors A f f (A,B,C) est le sous-espace affinede E passant par A et de direction Vec(−→AB,

−→AC). Puisque le système (

−→AB,−→AC) est libre, alors

A f f (A,B,C) est le plan affine passant par A de vecteurs directeurs−→AB et

−→AC. dans ce cas,

A f f (A,B,C) s’ppelle le plan affine passant par les trois points non alignés A, B et C, on lanote (ABC), donc on aura

∀M ∈ E , M ∈ (ABC) ⇐⇒ (−→AM,−→AB,−→AC) est lié

⇐⇒ ∃(α,β) ∈ R2 :−→AM = α

−→AB+β

−→AC

1.2.3 Intersection de deux sous-espaces affinesProposition 2Soient E un espace affine de direction E, F et G deux sous-espaces affines de E de directionsrespectives F et G. Alors l’intersection de F et G , s’il n’est pas vide, est un sous-espace affinede E de direction F ∩G.

PreuveSupposons que F ∩G 6= /0 et soit A ∈ F ∩G , alors on a

M ∈ F ∩G ⇐⇒ M ∈ F et M ∈ G⇐⇒ −→

AM ∈ F et−→AM ∈ G

⇐⇒ −→AM ∈ F ∩G

Donc F ∩G est un sous-espace affine de direction F ∩G.

Exemples 4Soit E un espace affine de dimension 3 et de direction E.

1. Si D et D ′ sont deux droites affines de E , alors l’une des propriètés suivantes est vérifiée

i) D ∩D ′ = /0.

ii) D ∩D ′ est réduite à un seul point.

iii) D = D ′.2. Si P et P ′ sont deux plans affines de E , alors l’une des propriètés suivantes est vérifiée

i) P ∩P ′ = /0.

ii) P ∩P ′ est une droite affine de E .

iii) P = P ′.3. Si D est une droite affine de E et P un plan affine de E , alors l’une des propriètés suivantes est

vérifiée

i) D ∩P = /0.

ii) D ∩P est réduite à un seul point de E .

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iii) D ⊆ P .

Proposition 3i) Soient E un espace affine quelconque, F et G deux sous-espaces affines de E de directions

respectives F et G. Alors

F ∩G 6= /0⇐⇒∃(A,B) ∈ F ×G :−→AB ∈ F +G

ii) Soient E un espace affine de dimension 3, D une droite affine de E de vecteur directeur −→uet P un plan affine de E de vecteurs directeurs −→v et −→w . Alors D ∩P est réduite à un seulpoint, si et seulement si, le système (−→u ,−→v ,−→w ) est libre.

Preuvei) (=⇒) Supposons que F ∩G 6= /0 et soit Ω ∈ F ∩G , alors

∀A ∈ F , ∀B ∈ G−→AΩ ∈ F et

−→BΩ ∈ G

donc−→AΩ−−→BΩ ∈ F +G avec

−→AΩ−−→BΩ =

−→AB, donc

−→AB ∈ F +G.

(⇐=) Supposons qu’il existe (A,B) ∈ F ×G , tel que−→AB ∈ F +G, donc il existe

(−→u ,−→v ) ∈ F×G, tel que−→AB =−→u +−→v .

Soit M le point de F défini par−→AM = −→u et N le point de G défini par

−→BN = −−→v , alors

on a−→AM =−→u =⇒ −→

AB+−→BM =−→u

=⇒ −→BM =−−→v

=⇒ −→BM =

−→BN

=⇒ M = N

Donc M ∈ F ∩G , par suite F ∩G 6= /0.

ii) (=⇒) Supposons que D ∩P est réduite à un seul point A de E , puis supposons, par absurde,que (−→u ,−→v ,−→w ) est lié. Puisque A ∈ D , alors il existe un point B ∈ D , tel que

−→AB = −→u ,

donc (−→AB,−→v ,−→w ) est lié et puisque A ∈ P , alors B ∈ P , par suite, B ∈ D ∩P . Ce qui est

absurde, car A 6= B.

(⇐=) Supposons que (−→u ,−→v ,−→w ) est libre. Puisque dim(E) = 3, où E est la direction de E ,alors (−→u ,−→v ,−→w ) est une base de E, donc E =Vect(−→u )+Vect(−→v ,−→w ).Donc

−→AB ∈Vect(−→u )+Vect(−→v ,−→w ), par suite, d’après i), D ∩P 6= /0.

Supposons que D ∩P contient plus qu’un point et soient A et B deux points distincts deD ∩P , donc on aura −→

AB = a−→u avec a 6= 0−→AB = b−→v + c−→w

donc a−→u −b−→v − c−→w =−→0 , avec a 6= 0, par suite, (−→u ,−→v ,−→w ) est lié, ce qui est absurde,

donc D ∩P est réduite à un seul point.

Remarque 5Soient E un espace affine quelconque, F et G deux sous-espaces affines de E de directions respectivesF et G.

1. Si E = F +G, alors F ∩G 6= /0.

2. Si E = F⊕G, alors F ∩G est réduit à un seul point.

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1.2.4 Parallélisme de deux sous-espace affinesDéfinition 5Soient E un espace affine de direction E, F et G deux sous-espaces affines de directions respec-tives F et G. On dit que F et G sont parallèles, si F ⊆ G ou G⊆ F.Dans le cas où F = G, on dit que F et G sont strictement parallèles.Si F et G sont parallèles, on note F ‖ G .

Exemples 5E un espace affine de direction E

1. Soient D = D(A,−→u ) et D ′ = D(B,−→v ) deux droites affines de E , alors

D ‖D ′⇐⇒ (−→u ,−→v ) est lié

2. P = P(A,−→v ,−→w ) et P ′ = P(B,−→v ′,−→w ′) deux plans affines de E , alors

P ‖ P ′⇐⇒ (−→v ,−→v ′,−→w ′) et (−→w ,−→v ′,−→w ′) sont liés

Définition 6Soit E un espace affine, on dit que deux droites D et D ′ de E sont coplanaires, s’il existe un planP de E qui contient les droites D et D ′.

Exemples 61. Deux droites parallèles sont toujours coplanaires.2. Deux droites dont l’intersection n’est pas vide, sont toujours coplanaires.

FIGURE 1.1 – Droites coplanaires

FIGURE 1.2 – Droites non coplanaires

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Théorème 1Soient E un espace affine de dimension 3, D = D(A,−→u ) et D ′ = D(B,−→v ) deux droites affinesde E . On suppose que D et D ′ ne sont pas prallèles, alors, l’une des deux propriètés suivantesest vérifiée,

i) Si (−→AB,−→u ,−→v ) est lié, alors D et D ′ sont coplanaires et dans ce cas, D ∩D ′ est réduit à unseul point.

ii) Si (−→AB,−→u ,−→v ) est libre, alors D et D ′ sont non coplanaires et dans ce cas, D ∩D ′ = /0.

PreuveD a pour direction F = Vect(−→u ) et D ′ a pour direction G = Vect(−→v ), donc, d’après la proposition3, on a

D ∩D ′ 6= /0⇐⇒−→AB ∈ F +G

i) Si (−→AB,−→u ,−→v ) est lié, alors

−→AB ∈ F +G, donc D ∩D ′ 6= /0.

ii) Si (−→AB,−→u ,−→v ) est libre, donc

−→AB /∈ F +G, et puisqiue A et B sont arbitraires, alors D ∩D ′ = /0.

1.3 Barycentre

1.3.1 Fonction vectorielle de Leibnitz

Définition 7Soit E un espace affine de direction E.

i) On appelle point pondéré de E , tout couple (A,α), où A ∈ E et α ∈ R.Dans ce cas, α s’apelle le poids ou la masse de A.

ii) Si (A1,α1),(A2,α2), . . . ,(Am,αm) sont des points pondérés de E , alors α =m

∑i=1

αi s’appelle

la masse totale des points pondérés (A1,α1),(A2,α2), . . . ,(Am,αm).

Proposition 4Soient E un espace affine de direction E et (A1,α1),(A2,α2), . . . ,(Am,αm) des points pondérésde E . On considère l’application suivante, appelée fonction vectorielle de Leibnitz, définie par,

ϕ : E −→ E

M 7−→ ϕ(M) =m

∑i=1

αi−−→MAi

Alors,

i) Sim

∑i=1

αi = 0, ϕ est constante.

ii) Sim

∑i=1

αi 6= 0, ϕ est bijective.

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Preuvei) Soint M et N deux points quelconques de E , alors on a

ϕ(M)−ϕ(N) =m

∑i=1

αi−−→MAi−

m

∑i=1

αi−−→NAi

=m

∑i=1

αi(−−→MAi−

−−→NAi)

=

(m

∑i=1

αi

)−−→MN (d’après la relation de chasles)

Donc sim

∑i=1

αi = 0, alors ϕ est constante.

ii) D’après la relation précédente, si ϕ(M) = ϕ(N), alors−−→MN =

−→0 , donc M = N, par suite ϕ est

injective.Soit −→u ∈ E. Montrons qu’il existe M ∈ E , tel que ϕ(M) =−→u .Pour cela fixons un point A ∈ E , alors d’après la relation de Chasles, on a

ϕ(M) =m

∑i=1

αi(−→AAi−

−→AM) =

m

∑i=1

αi−→AAi−

(m

∑i=1

αi

)−→AM

Donc,

∃M ∈ E : ϕ(M) =−→u ⇐⇒ ∃M ∈ E :m

∑i=1

αi−→AAi−

(m

∑i=1

αi

)−→AM =−→u

⇐⇒ ∃M ∈ E :−→AM =

1α(

m

∑i=1

αi−→AAi−−→u )

Donc si on pose−→w =

1α(

m

∑i=1

αi−→AAi−−→u )

alors M est l’unique point de E , tel que−→AM =−→w .

Remarque 6D’près la proposition précédente, si (A1,α1),(A2,α2), . . . ,(Am,αm) sont des points pondérés de E ,

tel quem

∑i=1

αi 6= 0, alors pour tout vecteur −→v ∈ E, il existe un unique point M ∈ E , tel que

m

∑i=1

αi−−→MAi =

−→v

1.3.2 Définition et prooprièté du barycentreDéfinition 8Soient (A1,α1),(A2,α2), . . . ,(Am,αm) des points pondérés d’un espace affine E de direction E,tels que,

m

∑i=1

αi 6= 0

On appelle barycentre des points (A1α1),(A2,α2), . . . ,(Am,αm), l’unique point G de E définipar

m

∑i=1

αi−−→GAi =

−→0

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Remarque 71. Soit G le barycentre des points pondérés (A1,α1),(A2,α2), . . . ,(Am,αm), alors pour tout point

A ∈ E , on a−→AG =

1α

m

∑i=1

αi−→AAi où α =

m

∑i=1

αi

2. Si α1 = α2 = · · ·= αm = 1, on dit que G est l’isobarycentre des points A1,A2, . . . ,Am,. Dans cecas, on a

−→AG =

1m

m

∑i=1

−→AAi

3. Pour tout λ∈R∗, les points pondérés (A1,α1),(A2,α2), . . . ,(Am,αm) et (A1,λα1),(A2,λα2), . . . ,(Am,λαm)ont même barycentre.

Donc, si on prend λ =1

m

∑i=1

αi

, on peut toujours supposer quem

∑i=1

αi = 1.

Exemples 7soit E un espace affine de direction E.

1. Soient A et B deux points distincts de E , l’ensemble des barycentres des points pondérés (A,α)et (B,β), avec α ≥ 0 et β ≥ 0, s’appelle le segment joignant les points A et B et se note [A,B].Donc on aura,

M ∈ [A,B]⇐⇒∃(α,β) ∈ R2+ : α+β 6= 0 et α

−→MA+β

−→MB =

−→0

Puisque pour tout λ∈R∗, les points (A,α) et (B,β) ont même barycentre que les points (A,λα)

et (B,λβ), alors en cosidérant λ =1

α+β, on peut supposer que α+β = 1. Ainsi, on aura

M ∈ [A,B] ⇐⇒ ∃(α,β) ∈ R2+ : α+β = 1 et α

−→MA+β

−→MB =

−→0

⇐⇒ ∃α ∈ [0,1] : (1−α)−→MA+α

−→MB =

−→0

⇐⇒ ∃α ∈ [0,1] :−→AM = α

−→AB

En particulier, le milieu I du segment [A,B] est caractérisé par,

I est milieu de [A,B] ⇐⇒ −→IA+

−→IB =

−→0

⇐⇒ ∀O ∈ E ,−→OI =

12(−→OA+

−→OB)

⇐⇒ −→AI =

12−→AB

2. Soient A, B et C trois points non alignés de E , alors A, B et C forment ce qu’on appelle untriangle qui sera noté ABC, les segments [A,B], [A,C] et [B,C] sont appelés les cotés de cetriangle. L’isobarycentre G des points A, B et C s’appelle le centre de gravité du triagle ABC,il est défini par −→

GA+−→GB+

−→GC =

−→0

Si donc G est le barycentre du triangle ABC, alor on a

−→AG =

13(−→AB+

−→AC),

−→BG =

13(−→BA+

−→BC), et

−→CG =

13(−→CA+

−→CB)

sur 78

1 M.HOUIMDI

Définition 9On appelle médiane issue de A d’un triangle ABC, la droite (AI) passant par le point A et lepoint I milieu de [B,C].

Remarque 8Un triangle possède trois médianes, (AI), (BJ) et (CK), où I, J et K sont respectivement les milieuxde [B,C], [A,C] et [A,B].

FIGURE 1.3 – Médianes d’un triangle

Théorème 2Les trois médianes d’un triangle ABC se coupent au centre de gravité G de ce triagle et on a

−→AG =

23−→AI,−→BG =

23−→BJ et

−→CG =

23−→CK

où I, J et K sont respectivement les milieux de [B,C], [A,C] et [A,B].

PreuveI, J et K sont respectivement les milieux de [B,C], [A,C] et [A,B], donc on a

−→AI =

12(−→AB+

−→AC),

−→BJ =

12(−→BA+

−→BC) et

−→CK =

12(−→CA+

−→CB)

On en déduit, donc, que−→AG =

13(−→AB+

−→AC) =

23−→AI

Donc G ∈ (AI). Et de la même manière, on montre que

−→BG =

23−→GJ et

−→CG =

23−→CK

Donc G ∈ (AI)∩ (BJ)∩ (CK).

sur 78

1 M.HOUIMDI

1.4 Espaces affines de dimension finie

1.4.1 Repère affine - Coordonnées barycentriquesRepère affine

Définition 10Soient E un espace affine de direction E, A0,A1, . . . ,Am des points de E . On dit que le système(A0,A1, . . . ,Am) est affinement libre, si le système (

−−→A0A1,

−−→A0A2, . . . ,

−−−→A0Am) est libre.

Exemples 81. Si A et B sont deux points distincts de E , alors (A,B) est un système affinement libre.

2. Si A, B et C sont trois points non alignés, alors le système (A,B,C) est affinement libre.

3. Si quatre points A, B, C et D sont affinement libres, on dit qu’ils forment un thétreidre. .

FIGURE 1.4 – Un thétreidre

Définition 11Soit E un espace affine de direction E, un repère affine de E est un système (A0,A1, . . . ,An) depoints de E , tels que

i) E = A f f (A0,A1, . . . ,Am)ii) (A0,A1, . . . ,Am) est affinement libre.

Exemples 91. Si A et B sont deux points distincts, alors (A,B) est un repère affine de la droite affine (AB)

passant par A et B.

2. Si A, B et C sont trois points non alignés, alors (A,B,C) est une repère affine du plan (ABC)passant par A, B et C.

Théorème 3Soit E un espace affine de direction E et de dimension finie = n. Alors E possède au moins unrepère affine.

sur 78

1 M.HOUIMDI

PreuveSoit (e1,e2, . . . ,en) une base de E. Fixons un point A0 ∈ E , alors pour tout i ∈ 1,2, . . . ,n, il existeun unique point Ai ∈ E , lel que

−−→A0Ai =

−→ei . Il est facile de vérifier que E = A f f (A0,A1, . . . ,An) etque (A0,A1, . . . ,An) est affinement libre.

Coordonnées barycentriques

Théorème 4Soient E un espace affine de dimension finie = n et (A0,A1, . . . ,An) un repère affine de E . Alorspour tout point M ∈E , il existe un unique (α0,α1, . . . ,αn)∈Rn+1, tel que α0+α1+ · · ·+αn = 1et tel que

n

∑i=0

αi−−→MAi =

−→0

Dans ce cas, α0,α1, . . . ,αn s’appelle les coordonnées barycentriques du point M dans le repèreaffine (A0,A1, . . . ,An).

Remarque 9Si (A0,A1, . . . ,An) est un repère affine de E , alors pour tout point M ∈ E , il existe un unique(α0,α1, . . . ,αn)∈Rn+1, tel que α0+α1+ · · ·+αn = 1 et tel que M soit barycentre des points pondérés(A0,α0),(A1,α1), . . . ,(An,αn).

Preuve(A0,A1, . . . ,An) est affinement libre, donc, par définition, (

−−→A0A1,

−−→A0A2, . . . ,

−−→A0An) est libre dans E, or

dim(E) = n, donc (−−→A0A1,

−−→A0A2, . . . ,

−−−→A0Am) est une base de E. Soit M ∈ E , alors il existe un unique

(β1,β2, . . . ,βn) ∈ Rn, tel que,−−→A0M =

n

∑i=1

βi−−→A0Ai

−−→A0M =

n

∑i=1

βi−−→A0Ai =⇒ −−→

A0M =n

∑i=1

βi(−−→MAi−

−−→MA0)

=⇒ −−→MA0 +

n

∑i=1

βi−−→MAi−

n

∑i=1

βi−−→MA0 =

−→0

=⇒

(1−

n

∑i=1

βi

)−−→MA0 +

n

∑i=1

βi−−→MAi =

−→0

Posons α0 = 1−∑ni=1 βi et ∀i ∈ 1,2, . . . ,n, αi = βi, alors on aura,

n

∑i=0

αi = 1 etn

∑i=0

αi−−→MAi =

−→0

d’où l’existence de α0,α1, . . . ,αn. Pour l’unicité, on suppose qu’il existe λ0,λ1, . . . ,λn vérifiant lamême chose que α0,α1, . . . ,αn, alors on aura

−−→A0M =

n

∑i=1

αi−−→A0Ai et

−−→A0M =

n

∑i=1

λi−−→A0Ai

Donc ∀i ∈ 1,2, . . . ,n, αi = λi et puisquen

∑i=0

αi =n

∑i=0

λi = 1

alors on obtient α0 = λ0.

sur 78

1 M.HOUIMDI

Quelques applications des coordonnées barycentriques

Proposition 5Soit E un plan affine de direction E, muni d’un repère affine (A,B,C). Soient M, N et P troispoints de E , de coordonnées barycentriques respectivement (α,β,γ), (α′,β′,γ′) et (α′′,β′′,γ′′)dans le repère (A,B,C). Alors M, N et P sont alignés, si et seulement si,∣∣∣∣∣∣

α α′ α′′

β β′ β′′

γ γ′ γ′′

∣∣∣∣∣∣= 0

PreuvePuisque α+β+ γ = α′+β′+ γ′ = α′′+β′′+ γ′′ = 1, alors on a∣∣∣∣∣∣

α α′ α′′

β β′ β′′

γ γ′ γ′′

∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣1 1 1β β′ β′′

γ γ′ γ′′

∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣1 0 0β β′−β β′′−β

γ γ′− γ γ′′− γ

∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣β′−β β′′−β

γ′− γ γ′′− γ

∣∣∣∣D’autre part, on a

−→AM = β

−→AB+ γ

−→AC,

−→AN = β

′−→AB+ γ′−→AC et

−→AP = β

′′−→AB+ γ′′−→AC

Donc −−→MN = (β′−β)

−→AB+(γ′− γ)

−→AC et

−→MP = (β′′−β)

−→AB+(γ′′− γ)

−→AC

On sait que M, N et P sont alignés, si et seulement si, (−−→MN,−→MP) est lié. Puisque (

−→AB,−→AC) est une

base de E, alors

(−−→MN,−→MP) est lié ⇐⇒ det(

−−→MN,−→MP) = 0

⇐⇒∣∣∣∣β′−β β′′−β

γ′− γ γ′′− γ

∣∣∣∣= 0

d’où le résultat.

Théorème 5 (de Ménélaüs)Soient E un plan affine, ABC un triangle, P, Q et R trois points de E , tels que P∈ (AB), Q∈ (BC)

et R ∈ (AC) avevc P /∈ A,B, Q /∈ B,C et R /∈ A,C. On suppose que−→PA = α

−→PB,−→QB = β

−→QC

et−→RC = γ

−→RA. Alors P, Q et R sont alignés, si et seulement si, αβγ = 1.

Preuve

sur 78

1 M.HOUIMDI

E est un plan affine et A, B, C non alignés, donc (A,B,C) est un repère affine de E . P a pour co-ordonnées byrycenrtiques ( 1

1−α, −α

1−α,0), Q a pour coordonnées byrycenrtiques (0, 1

1−β, −β

1−β) et R a

pour coordonnées byrycenrtiques ( −γ

1−γ,0, 1

1−γ). Donc d’après la proposition précédente,

P, Q, R sont alignés ⇐⇒

∣∣∣∣∣∣1 0 −γ

−α 1 00 −β 1

∣∣∣∣∣∣= 0

⇐⇒ 1− γαβ = 0⇐⇒ αβγ = 1

1.4.2 Repère cartésien - Coordonnées cartésiennes

Définition 12Soit E un espace affine de direction E et de dimension fine = n. Un repère cartésien de E estun système (O,−→e1 ,

−→e2 , . . . ,−→en), où O est un point quelconque de E et (−→e1 ,

−→e2 , . . . ,−→en) une base

quelconque de E.

Remarque 10Si (A0,A1,A2, . . . ,An) est un repère affine de E , alors (A0,

−−→A0A1,

−−→A0A2, . . . ,

−−→A0An) est un repère carté-

sien de E .

Exemples 101. Si A et B sont deux points distincts de E , alors (A,

−→AB) est un repère affine de la droite affine

passant par A et B.

2. Si A, B et C sont trois points non alignés de E , alors (A,−→AB,−→AC) est un repère cartésien du plan

affine passant par A, B et C.

Définition 13Soit E un espace affine de dimension finie = n, muni d’un repère cartésien (O,−→e1 ,

−→e2 , . . . ,−→en).

Donc pour tout point M ∈ E , il existe un unique (x1,x2, . . . ,xn) ∈ Rn, tel que,

−−→OM =

n

∑i=1

xi−→ei

Dans ce cas, x1,x2, . . . ,xn s’appellent les coordonnées cartésiennes du point M par rapport aurepère cartésien (O,−→e1 ,

−→e2 , . . . ,−→en).

1.4.3 Représentation paramétrique d’un sous-espace affine

Soit E un espace affine de dimension finie = n, muni d’un repère cartésien (O,−→e1 ,−→e2 , . . . ,

−→en). SoitF un sous-espace affine de E , passant par le point A de coordonnées (a1,a2, . . . ,an), de direction Favec dim(F) = p. Soit (−→v1 ,

−→v2 , . . . ,−→vp) une base de F , alors on a

∀ j ∈ 1,2, . . . , p, −→v j =n

∑i=1

αi j−→ei

sur 78

1 M.HOUIMDI

Soit M un point quelconque de E de coordonnées (x1,x2, . . . ,xn), alors,

M ∈ F ⇐⇒ −→AM ∈ F

⇐⇒ ∃(λ1,λ2, . . . ,λp) ∈ Rp :−→AM =

p

∑j=1

λ j−→v j

⇐⇒ ∃(λ1,λ2, . . . ,λp) ∈ Rp :−→AM =

n

∑i=1

(p

∑j=1

λ jαi j

)−→ei

⇐⇒ ∃(λ1,λ2, . . . ,λp) ∈ Rp :−−→OM =

n

∑i=1

(p

∑j=1

λ jαi j

)−→ei +

−→OA

On obtient, donc, le système suivant, appelé représentation paramétrique de F ,

M ∈ F ⇐⇒∃(λ1,λ2, . . . ,λp) ∈ Rp :

x1 =p

∑j=1

λ jα1 j +a1

x2 =p

∑j=1

λ jα2 j +a2

...

...

xn =p

∑j=1

λ jαn j +an

Exemples 11Soit E un espace affine de dimension finie = n, muni d’un repère cartésien (O,−→e1 ,

−→e2 , . . . ,−→en).

1. Représentation paramétrique d’une droitre affineSoit D = D(A,−→u ) une droite affine passant par A de coordonnées (a1,a2, . . . ,an) et de vecteurdirecteur −→u , tel que

−→u =n

∑i=1

αi−→ei

Soit M un point quelconque de E de coordonnées (x1,x2, . . . ,xn), alors d’après ce qui précéde,on a

M ∈D⇐⇒∃λ ∈ R :

x1 = λα1 +a1

x2 = λα2 +a2...xn = λαn +an

2. Représentation paramétrique d’un plan affineSoit P = P(A,−→u ,−→v ) un plan affine de E , passant par A de coordonnées (a1,a2, . . . ,an) et devecteurs directeurs −→u et −→v , tels que

−→u =n

∑i=1

αi−→ei et −→v =

n

∑i=1

βi−→ei

Soit M un point quelconque de E de coordonnées (x1,x2, . . . ,xn), alors d’après ce qui précéde,

sur 78

1 M.HOUIMDI

on a

M ∈D⇐⇒∃(λ1,λ2) ∈ R2 :

x1 = λ1α1 +λ2β1 +a1

x2 = λ1α2 +λ2β2 +a2...xn = λ1αn +λ2βn +an

1.4.4 Représentation cartésienne d’un sous-espace affineThéorème 6Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie = n et F un sous-espace vectoriel de E de di-mension = p. Alors, il existe n− p formes linéaires, linéairement indépendants, ϕ1,ϕ2, . . . ,ϕn−p,lelles que

∀x ∈ E, x ∈ F ⇐⇒∀i ∈ 1,2, . . . ,n− p, ϕi(x) = 0

PreuveSoit F⊥ l’orthogonal de F dans E∗, puisque dim(F) = p, alors dim(F⊥) = n− p.Soit (ϕ1,ϕ2, . . . ,ϕn−p) une base de F⊥, alors on a∀x ∈ E, x ∈ F =⇒∀i ∈ 1,2, . . . ,n− p, ϕi(x) = 0.Réciproquement, supposons que ∀i ∈ 1,2, . . . ,n− p, ϕi(x) = 0 et supposons, par absurde, quex /∈ F. Soit G un supplémentaire de Vect(x)+F dans E et soit H = F +G, alors E =Vect(x)⊕H etF ⊆ H. Soit ϕ la forme linéaire sur E définie par

∀y ∈ E, y = αx+ z =⇒ ϕ(y) = α où z ∈ H

Alors on aura ϕ(x) = 1 et ∀y ∈ F, ϕ(y) = 0, par suite ϕ ∈ F⊥. Or (ϕ1,ϕ2, . . . ,ϕn−p) est une base deF⊥ et ∀i ∈ 1,2, . . . ,n− p, ϕi(x) = 0, donc ϕ(x) = 0, ce qui est absurde.

Soient E un espace affine de dimension finie = n, muni d’un repère cartésien (O,−→e1 ,−→e2 , . . . ,

−→en), et Fun sous-espace affine de E de dimension = p. Soit F la direction de F et soit A un point quelconquede F de coordonnées (a1,a2, . . . ,an). D’après le théorème précédent, il existe n− p formes linéaires,linéairement indépendants, ϕ1,ϕ2, . . . ,ϕn−p, telles que

∀−→u ∈ E, −→u ∈ F ⇐⇒∀i ∈ 1,2, . . . ,n− p, ϕi(−→u ) = 0

Soit M un point quelconque de E de coordonnées (x1,x2, . . . ,xn). Donc si on pose∀i ∈ 1,2, . . . ,n− p,∀ j ∈ 1,2, . . . ,n, αi j = ϕi(

−→e j )

∀i ∈ 1,2, . . . ,n− p, βi = ϕi(−→OA)

Alors, on aura

M ∈ F ⇐⇒ −→AM ∈ F

⇐⇒ ∀i ∈ 1,2, . . . ,n− p, ϕi(−→AM) = 0

⇐⇒ ∀i ∈ 1,2, . . . ,n− p, ϕi(−−→OM) = ϕ(

−→OA)

⇐⇒ ∀i ∈ 1,2, . . . ,n− p, ϕi(n

∑j=1

x j−→e j ) = βi

⇐⇒ ∀i ∈ 1,2, . . . ,n− p,n

∑j=1

αi jx j = βi

sur 78

1 M.HOUIMDI

Ainsi, on obtient le système suivant de rang n− p, appelé représentation cartésienne de F ,

M ∈ F ⇐⇒

α11x1 +α12x2 + · · ·+α1nxn = β1

α21x2 +α22x2 + · · ·+α2nxn = β2...αn−1,1x1 +αn−p,2x2 + · · ·+αn−p,nxn = βn−p

Remarque 111. Tout sous-espace affine de dimension p, possède une représentation cartésienne sous forme

d’un système de rang n− p et de n− p équations.

2. Soit F u n hyperplan affine de E , donc dim(F )= n−1, par suite, F possède une représentationcartésienne sous forme d’une seul equation,

M ∈ F ⇐⇒ α1x1 +α2x2 + · · ·+αnxn = β

Exemples 121. Cas d’un plan affine

Soit E un plan affine muni d’un repère cartésien (O,−→i ,−→j ). Les sous-espaces affines non tri-

viaux de E sont les droites affine de E . Soit D une droite affine de E , alors D est un hyperplanaffine de E , donc D possde une représentation cartésienne, sous la forme

M ∈D⇐⇒ ax+by+ c = 0 avec (a,b) 6= (0,0)

où x et y sont les coordonnées de M dans le repère (O,−→i ,−→j ).

Dans ce cas, on vérifie que D est la droite de vecteur directeur −→u =−b−→i +a

−→j .

a) Soit maintenant D la droite affine de E , passant par le point A de coordonnées (x0,y0) etde vecteur directeur −→u = α

−→i +β

−→j . soit M un point quelconque de E de coordonnées

(x,y), alors léquation cartésien de D est déterminée par

M ∈D ⇐⇒ (−→AM,−→u ) est lié

⇐⇒ det(−→AM,−→u ) = 0

⇐⇒∣∣∣∣x− x0 α

y− y0 β

∣∣∣∣= 0

⇐⇒ β(x− x0)−α(y− y0) = 0

b) Soient A un point de coordonnées (a,b) et B un point de coordonnées c,d), avec A 6= B.Soit (AB) la droite passant par les points A et B, alors léquation cartésien de (AB) estdéterminée par

M ∈ (AB) ⇐⇒ (−→AM,−→AB) est lié

⇐⇒ det(−→AM,−→AB) = 0

⇐⇒∣∣∣∣x−a c−ay−b d−b

∣∣∣∣= 0

⇐⇒ (d−b)(x−a)− (c−a)(y−b) = 0

2. Cas d’un espace affine de dimension 3Soit E un espace affine de dimension 3, muni d’un repère cartésien (O,

−→i ,−→j ,−→k ). Les sous-

espaces affines non triviaux de E sont ou bien des droites affines ou bien des plans affines.

sur 78

1 M.HOUIMDI

a) Soit P un plan affine de E , puisque dim(E) = 3, alors P est un hyperplan affine de E , doncP possède une représentation cartésienne sous la forme d’une seule équation,

M ∈ P ⇐⇒ ax+by+ cz+d = 0 avec (a,b,c) 6= (0,0,0)

où (x,y,z) sont les coordonnées de M dans le repère (O,−→i ,−→j ,−→k ).

Dans ce cas, −→u =−b−→i +a

−→j et −→v =−c

−→i +a

−→k sont deux vecteurs directeurs de P .

Puisque (a,b,c) 6= (0,0,0), alors on peut supposer, par exemple, que a 6= 0 et dans ce cas,en posant y = λ et z = µ, on obtient une représentation paramétrique de P , définie par

x =−ba

λ− ca

µ−d

y = λ

z = µ

b) Soit D une droite affine de E , puisque dim(E) = 3, alors D possède une représentationcartésienne sous forme d’un système de deux équations,

M ∈D⇐⇒

ax+by+ cz+d = 0a′x+b′y+ c′z+d′ = 0

D’aprè ce qui précède, ce système est de rang deux, donc on doit avoir∣∣∣∣a ba′ b′

∣∣∣∣ 6= 0 ou∣∣∣∣a ca′ c′

∣∣∣∣ 6= 0 ou∣∣∣∣b cb′ c′

∣∣∣∣ 6= 0

1.5 exercicesExercice 1Soit F = f ∈ RR : ∀x ∈ R, f (x+1) = f (x)+1. Montrer que F est un sous-espace affine de RR

dont on déterminera un point et la direction.

Exercice 2Soient E un R-espace vectoriel, x0 ∈ E et F = u ∈ L(E) : u(x0) = x0. Montrer que F est unsous-espace affine de L(E) dont on déterminera un point et la direction.

Exercice 3Soient A, B, C et D quatre points deux à deux distincts d’un plan affine E . On suppose que (AD) estparallèle à (BC), (AD)∩ (CD) = E et (AC)∩ (BD) = F. Soient I et J les milieux de [A,D] et[B,C] respectivement. Montrer que les points E, F , I et J sont alignés.

Exercice 4Soient A, B et C trois points non alignés d’un plan affine E . P, Q et R trois points tels que P ∈ (AB),Q ∈ (AC) et R ∈ (BC). On considère les points I, J et K, tels que BPIR, APJQ et CQKR soient desparallélogrammes. montrer que les points I, J et K sont alignés.

Exercice 5 (Théorème de Pappus)Soient D et D ′ deux droites d’un plan affine, on considère trois points distincts A, B et C de D et troispoints distincts A′, B′ et C′ de D ′. On suppose que les droites (AB′) et (BA′) et que les droites (BC′)et (CB′) sont parallèles. Montrer que les droites (CA′) et (AC′) sont parallèles.

sur 78

1 M.HOUIMDI

Exercice 6L’espace affine de dimension 3 est rapporté à un repère cartésien (O,

−→i ,−→j ,−→k ). On considère les

pints A, B et C de coordonnées respectives (1,2,3), (2,−1,2) et (0,1,−2). Soient D1 et D2 les droitesaffines définies par

D1 :

x =−λ+3y = 2λ+1z = λ−1

, λ ∈ R, D2 :

x = 3µ+1y =−2µz = 5µ+3

, µ ∈ R

Soient P1, P2 et P3 les plans affines définis par

P1 :

x =−2λ+3µ+1y = λ+µ−2z =−λ−2µ+4

, (λ,µ) ∈ R2, P2 : 2x− y+3z−1 = 0, P3 : x+2z−4 = 0

1. Donner une équation cartésienne de P1.

2. Déterminer une représentation paramétrique de P2∩P3.

3. Donner une équation cartésienne du plan pssant par les points A, B et C.

4. Montrer que D1 et D2 sont coplanaires et donner une équation du plan Q contenant D1 et D2.

5. Donner une équation cartésienne du plan P passant par le point C et contenant la droite D1.

6. Donner une représentation paramétrique de la droite passant par A, parallèle à P2 et coupantD1.

Exercice 7Soit E un espace affine de dimension 3 muni d’un repère cartésien (O,


points A, B et C de coordonnées respectives (1,2,3), (2,−1,1) et (1,1,1).

1. Montrer que les points A, B et C sont non alignés.

2. Trouver une équation cartésienne du plan P1 passant par les points A, B et C.

3. Soit D la droite affine de E définie par,

D :

2x+ y+ z−5 = 0−2x− y+ z+3 = 0

a) Trouver une représentation paramétrique de D .

b) Vérifier que le point A′ de coordonnées (2,−2,−3) n’appartient pas à D et trouver unereprésentation paramétrique du plan P2 contenant la droite D et le point A′.

c) Montrer que P1 et P2 sont parallèles et que P1 6= P2.

4. Soient α et β deux réels, tels que α+β = 1. Pour chaque point M de coordonnées (x,y,z), onconsidère le point M′ de coordonnées (x′,y′,z′) barycentre du système ((A′,α),(M,β)).a) Déterminer x′, y′ et z′ en fonction de α, β, x, y et z.b) On considère l’ensemble P des points M′ lorsque M décrit P1. Montrer que si β 6= 0, alors P

est un plan parallèle à P1. Dans quel cas a-t-on P = P1 ? Que devient l’ensemble P , lorsqueβ = 0 ?

5. Soit D ′ la droite affine de E définie par,

D ′ :

x− y+ z = ax− z = 2

sur 78

1 M.HOUIMDI

a) Pour quelles valeurs du réel a, les droites D et D ′ sont coplanaires ?b) Dans le cas où D et D ′ sont coplanaires, déterminer une équation cartésienne du plan conte-

nant D et D ′.



droites D1 et D2 définies par x−2z = 1y = z+2

,

x+ y+ z = 1x−2y+2z = a

Déterminer le réel a pour que D1 et D2 soient coplanaires et dans ce cas, déterminer une équationcartésienne du plan les contenant.


−→i ,−→j ,−→k ). Soient D et D ′ les

droites définies par :

D :

x =−1−λ

y = 1+2λ

z = 3+λ

,λ ∈ R, D ′ :

x = 2−3µy = 1+µz =−2µ

,µ ∈ R

1. Montrer que D et D ′ ne sont pas coplanaires.

2. Soit m ∈ R et soient M et M′ les points appartenant respectivement à D et D′ en prenantλ = µ = m. Montrer que la droite (MM′) reste parallèle à un plan fixe lorsque m varie.

Exercice 10Soit E un espace affine de dimension 3, muni d’un repère cartésien (O,

−→i ,−→j ,−→k ). Pour chaque

m ∈ R, on considère le plan Pm d’équation,

(2m+1)x−2y+(m+1)z−3m+4

1. Montrer que tous les plans Pm contiennent une droite ∆ dont on déterminera une représentationparamétrique.

2. On considère les droites ∆1 et ∆2 définies par :

∆1 :

x = 1−2λ

y = 3+λ

z = 1+4λ

,λ ∈ R et ∆2 :

x−2y+3 = 0x+2z = 0

a) Montrer que ∆1 et ∆2 sont sécantes et déterminer le point I intersection de ∆1 et ∆2. Vérifierque I ∈ P0.

b) Ecrire une équation cartésienne du plan Q contenant ∆1 et ∆2.

c) Soit O′ l’image de O par la symétrie centrale de centre I. Ecrire une équation cartésienne duplan Q′ passant par O′ et parallèle à P0.

d) Donner une représentation paramétrique de D = Q∩Q′.

3. a) Existe-t-il un plan Pm passant par le point A de coordonnées (12,0,2).

b) Ecrire une équation cartésienne du plan Q passant par le point A et la droite ∆.

c) Soient P l’ensemble de tous les plans Pm et Q celui de tous les plans contenant ∆.P est-t-il égal àQ ?

sur 78

1 M.HOUIMDI


−→i ,−→j ,−→k ).

A tout couple (a,m) ∈ R2, on associe la droite ∆a et le plan Pm définis par :

∆a :

x+1 = 0y− z−a = 0 et Pm : (m+1)x− (m−1)y+(2m+3)z+2 = 0

1. Trouver un point A et un vecteur directeur −→u de la droite ∆a.

2. Etudier, suivant les valeurs de a et m, la position relative de ∆a et Pm.

3. Démontrer que tous les plans Pm contiennent une droite fixe D dont on déterminera un point Aet un vecteur directeur −→u .

4. a) Déterminer a pour que ∆a et D soient coplanaires.

b) Dans le cas où ∆a et D sont coplanaires, donner une équation cartésienne du plan Q conte-nant ∆a et D.

Exercice 12Soient A, B et C trois points non alignés, I le barycentre de ((A,2),(C,1)), J celui de ((A,1),(B,2))et K celui de ((C,1),(B,−4)).

a) Montrer que J est le milieu de [I,K].

b) Soient L et M les milieux respectifs de [C, I] et [C,K]. Montrer que IJML est un parallélogrammedont le centre G est le barycentre du triangle ABC.

Exercice 13Dans un plan affine, soient ABC et A′B′C′ deux triangles de centre de gravité G et G′ respectivement.

1. Calculer−→AB′+

−→BC′+

−→CA′ en fontion de G et G′.

2. On suppose que les triagles ABC et A′B′C′ ont même centre de gravité. Soit M le point du plan,tel que MBA′C soit un parallélogramme. Montrer que MB′AC′ est aussi un parallélogramme.

3. Réciproquement, on suppose qu’il existe un point M du plan, tel que MBA′C et MB′AC′ soientdes parallélogrammes. Montrer que les triagles ABC et A′B′C′ ont même centre de gravité.

Exercice 14Soient A, B et C trois points non alignés d’un plan affine E et M un point quelconque de E . On pose

λA = det(−→MB,−→MC), λB = det(

−→MC,−→MA), λC = det(

−→MA,−→MB)

1. Montrer que λA +λB +λC 6= 0.

2. Montrer que M est le barycentre de (A,λA), (B,λB) et (C,λC).

3. En déduire que si G est le barycentre du triangle ABC, alors

det(−→GB,−→GC) = det(

−→GC,−→GA) = det(

−→GA,−→GB)

Exercice 15Soint P un plan affine muni d’un repère affine (A,B,C) et M un point de P de coordonnées barycen-triques (α,β,γ). Trouver une condition necessaire et suffisante liant α, β et γ, telle que :

a) Le point M appartient à la droite (AB).

b) Le point M appartient à la médiane issue de A du triangle ABC.

c) Le point M appartient à la parallèle à la droite (BC) mené par le milieu du segment [A,B].

sur 78

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Exercice 16 (Théorème de Menelaüs)Soit A, B et C trois points non alignés, P, Q et R trois points, tels que

P ∈ (BC)\B,C, Q ∈ (AC)\A,C et R ∈ (AB)\A,B

On suppose que−→PB = α

−→PC,−→QC = β

−→QA et

−→RA = γ

−→RB. Montrer que les points P, Q et R sont alignés,

si et seulement si, αβγ = 1.

Exercice 17 (Théorème de Ceva)Soit A, B et C trois points non alignés, P, Q et R trois points, tels que

P ∈ (BC)\B,C, Q ∈ (AC)\A,C et R ∈ (AB)\A,B

On suppose que−→PB = α

−→PC,−→QC = β

−→QA et

−→RA = γ

−→RB. Montrer que les droites (AP), (BQ) et (CR)

sont concourantes, si et seulement si, αβγ =−1.

Exercice 18Soient A, B et C trois points non alignés d’un plan affine. Déterminer l’ensemble des points ayantmêmes coordonnées dans les repères cartésiens (A,

−→AB,−→AC) et (B,

−→BA,−→BC).


−→i ,−→j ,−→k ). Soient A, B, C et D

les points de coordonnées respectives (4,−1,2), (2,−5,4), 5,0,−3) et (1,−5,6).

1. Montrer que les points A, B, C et D sont non coplanaires.

2. On considère les droites et les plans suivants dont les équations par rapport au repère (O,−→i ,−→j ,−→k )

sont données par

i) x+ y = 1 = 0.

ii) 2x−3y+4z−1 = 0.

iii)

x+ y+ z = 12x− y+4z = 3

.

iv)

3x− y− z =−14x−3y− z =−2

.

Donner les équations de ces droites et ces plans par rapport au repère (A,−→AB,−→AC,−→AD).

Exercice 20Soient A, B, C et D quatres points non coplanaires de l’espace affine de dimension 3. On définit lespoints K, L, M et N par

−→KA+α

−→KB =

−→0 ,−→LB+β

−→LC =

−→0 ,−→MC+ γ

−−→MD =

−→0 ,−→ND+λ

−→NA =

−→0

Caractériser (α,β,γ,λ) pour que les plans (KCD), (LDA), (MAB) et (NBC) aient un point commun.

sur 78

1 M.HOUIMDI

sur 78

Chapitre 2Applications affines

2.1 Propriètés caractéristiques d’une application affine

2.1.1 Définition et propriètés élémentairesDéfinition 14Soit E un espace affine de direction E. On dit qu’une application f : E −→E est une applicationaffine, s’il existe un endomorphisme de E, noté

−→f , telle que

∀M ∈ E , ∀N ∈ E ,−−−−−−→f (M) f (N) =

−→f (−−→MN)

Dans ce cas,−→f s’appelle l’application linéaire associée à f

Exemples 13Soit E un R-espace vectoriel muni de sa structure affine canonique :

E×E −→ E(a,b) 7−→

−→ab = b−a

Alors toute application affine f de E s’écrit sous la forme,

∀x ∈ E, f (x) = u(x)+b où u ∈ L(E) et b ∈ E

En effet, si f (x) = u(x)+b, alors on aura,

∀x ∈ E,∀y ∈ E,−−−−−→f (x) f (y) = f (y)− f (x)

= u(y)−u(x)= u(y− x)= u(−→xy)

Donc f est une application affine.Réciproquement, soit f une application affine, alors il existe une application linéaire u de E, telleque :∀x ∈ E, ∀y ∈ E, f (x)− f (y) = u(x− y), donc pour y = 0 et b = f (0) nous obtenons,

∀x ∈ E, f (x) = u(x)+b

Proposition 6Soient E un espace affine de direction E et f : E −→ E une application. Alors f est uneapplication affine, si et seulement si, il existe une application linéaire

−→f de E et il existe

un point A ∈ E , tel que,∀M ∈ E ,

−−−−−−→f (A) f (M) =

−→f (−→AM)

29

2 M.HOUIMDI

Preuve(=⇒) Trivial.(⇐=) Soient M et N deux points quelconques de E , alors on a

−−−−−−→f (M) f (N) =

−−−−−−→f (A) f (N)−

−−−−−−→f (A) f (M)

=−→f (−→AN)−−→f (−→AM)

=−→f (−→AN−−→AM)

=−→f (−−→MN)

Proposition 7Soient E un espace affine de direction E, f une application affine de E et F un sous-espaceaffine de E passant par le point A et de direction F, alors,

i) f (F ) est un sous-espace affine de E passant par f (A) et de direction−→f (F).

ii) f−1(F ), s’il n’est pas vide, est un sous-espace affine de direction−→f −1(F).

Preuvei) Montrons que

∀M ∈ E , M ∈ f (F )⇐⇒−−−−→f (A)M ∈ −→f (F)

Soit M ∈ f (F ), alors, il existe P ∈ F , tel que M = f (P), donc,−−−−→f (A)M =

−−−−−−→f (A) f (P) =

−→f (−→AP).

Donc−−−−→f (A)M ∈ −→f (F).

Supposons que−−−−→f (A)M ∈ −→f (F), donc il existe −→u ∈ F, tel que

−−−−→f (A)M =

−→f (−→u ).

Soit N ∈ F , tel que −→u =−→AN, donc

−−−−→f (A)M =

−−−−−−→f (A) f (N), par suite, M = f (N).

ii) Supposons que f−1(F ) 6= /0 et soit A ∈ f−1(F ), alors on a

M ∈ f−1(F ) ⇐⇒ f (M) ∈ F

⇐⇒−−−−−−→f (A) f (M) ∈ F

⇐⇒ −→f (−→AM) ∈ F

⇐⇒ −→AM ∈ −→f −1(F)

Donc f−1(F ) est le sous-espace affine passant par A et de direction−→f −1(F).

Remarque 12Pour tout point M ∈ E , f−1(M), s’il n’est pas vide, est un sous-espace affine de E de directionker(−→f ).

2.1.2 Représentation analytique d’une application affineSoit E un espace affine de dimension finie = n, muni d’un repère cartésien (O,−→e1 ,

−→e2 , . . . ,−→en). Soient

f une application affine et A = (ai j)1≤i, j≤n la matrice de−→f par rapport à la base (−→e1 ,

−→e2 , . . . ,−→en).

On désigne par (b1,b2, . . . ,bn) les coordonnées de Ω = f (O) et pour chaque point M ∈ E de co-ordonnées (x1,x2, . . . ,xn), on désigne par (x′1,x

′2, . . . ,x

′n) les coordonnées de M′ = f (M), puisque

−→f (−−→OM) =

−−−−−−→f (O) f (M), alors on aura

−−→OM′ =

−→f (−−→OM)+

−→OΩ, par suite, on obtient le système suivant, appelé représentation analytique de

l’application affine f : x′1 = a11x1 +a12x2 + . . .+a1nxn +b1

x′2 = a21x1 +a22x2 + . . .+a2nxn +b2...x′n = an1x1 +an2x2 + . . .+annxn +bn

sur 78

2 M.HOUIMDI

Remarque 13D’après ce qui précède, si on pose

X =

x1x2...

xn

, X ′ =

x′1x′2...

x′n

et b =

b1b2...

bn

alors, on obtient ce qu’on appelle la représentation matricielle de l’application affine f , par rapportau repère cartésien (O,−→e1 ,

−→e2 , . . . ,−→en) :

X ′ = AX +b

2.1.3 Composée de deux applications affines - Groupe affineProposition 8Soient E un espace affine, f et g deux applications affines de E . Alors g f est une applicationaffine dont l’application linéaire associée est −→g −→f .

PreuveSoient M et N deux points quelconques de E , alors on a

−−−−−−−−−−−−−−→(g f )(M)(g f )(N) =

−−−−−−−−−−−→g( f (M))g( f (N))

= −→g (−−−−−−→f (M) f (N))

= −→g (−→f (−→−−→MN))

= (−→g −→f )(−−→MN)

Donc g f est une application affine et−−→g f =−→g −→f .

Proposition 9Soient E un espace affine de direction E et f une application affine de E . Alors,

i)f est bijective⇐⇒−→f est bijective

ii) Si f est bijective, alors f−1 est une application affine et on a−−→f−1 =

−→f −1.

Preuvei) Fixons un point A ∈ E . Supposons que f est bijective et soient ϕ et ψ les applications définies par

ϕ : E −→ E

M 7−→ −→AMet

ψ : E −→ E

M 7−→−−−−−−→f (A) f (M)

alors, par définition, ϕ est bijective et puisque f est bijective, alors ψ est bijective. On voitfacilement que ψ f =

−→f ϕ, donc

−→f = ψ f ϕ, par suite

−→f est bijective.

Réciproquement, supposons que−→f est bijective et montrons que f est à la fois injective et

surjective.

sur 78

2 M.HOUIMDI

Soint M et N deux points de mathcalE, tels que f (M) = f (N), a-t-on M = N ? Pour cela fixonsun point A ∈ E , alors on aura,

f (M) = f (N) =⇒−−−−−−→f (A) f (M) =

−−−−−−→f (A) f (N)

=⇒ −→f (−→AM) =

−→f (AN)

=⇒ −→AM =

−→AN (car

−→f est bijective)

=⇒ M = N

Soit P un point de E , existe-t-il M ∈ E , lel que f (M) = P ?Puisque

−→f est bijective, alors il existe −→v ∈ E, tel que

−→f (−→v ) =

−−−→f (A)P. Soit M ∈ E , tel que

−→AM =−→v , donc

−→f (−→v ) =

−→f (−→AM) =

−−−−−−→f (A) f (M) =

−−−→f (A)P, par suite, P = f (M).

ii)Remarque 14Soit E un espace affine. On note GA(E) l’ensemble de toutes les bijections affines de E , alors(GA(E),) est un groupe, appelé groupe affine de E .

2.1.4 Points fixes d’une application affineDéfinition 15Soient E un espace affine et f une application affine de E . On dit que A ∈ E est un point fixe def , si f (A) = A. On note Fix( f ) l’ensemble de tous les points fixes de f .

Remarque 15Soient E un espace affine de dimension finie = n et f une application affine de E . On muni E d’unrepère cartésien (O,−→e1 ,

−→e2 , . . . ,−→en), où O est un point fixe de f . Alors la représentation matricielle de

f par rapport à ce repère s’écrit sous la forme :

X ′ = AX

Donc, dans ce cas, f se comporte comme une application linéaire.

Proposition 10Soient E un espace affine et f une application affine de E . Alors Fix( f ), s’il n’est pas vide, estun sous-espace affine de E de direction ker(

−→f − IdE).

PreuveSupposons que Fix( f ) 6= /0 et fixons un point A ∈ Fix( f ), alors on a,

M ∈ Fix( f ) ⇐⇒ f (M) = M

⇐⇒−−−−→A f (M) =

−→AM

⇐⇒−−−−−−→f (A) f (M) =

−→AM

⇐⇒ −→f (−→AM) =

−→AM

⇐⇒ −→AM ∈ ker(

−→f − IdE)

Donc Fix( f ) est le sous-espace affine de E passant par A et de direction ker(−→f − IdE).

Théorème 7Soient E un espace affine de dimension finie = n et f une application affine de E . Alors les deuxpropositions suivantes sont équivalentes,

i) f possède un unique point fixe.

ii) 1 n’est pas valeur propre de−→f .

sur 78

2 M.HOUIMDI

Preuvei) =⇒ ii) Si f possède un unique point fixe A, donc le sous-espace affine Fix( f ) est réduit à un seul

point, par suite, Fix( f ) est de direction −→0 , donc ker(−→f − IdE) =

−→0 , donc 1 n’est pas

valeur propre de−→f .

ii)⇐= i) Fixons un point A ∈ E . Puisque 1 n’est pas valeur propre de−→f et E de dimension finie,

alors IdE −−→f est bijective, par suite, il existe −→u ∈ E, tel que (IdE −

−→f )(−→u ) =

−−−→A f (A). Soit

M ∈E , tel que−→AM =−→u . Ainsi,

−−−→A f (A)=

−→AM−−→f (−→AM)=

−→AM−

−−−−−−→f (A) f (M), donc

−−−−→A f (M)=

−→AM,

par conséquent, f (M) = M, donc Fix( f ) 6= /0.Soient A et B deux points de Fix( f ), alors on a

−→AB =

−−−−−−→f (A) f (B) =

−→f (−→AB), donc

−→AB =

−→0 , car

1 n’est pas valeur propre de−→f , par suite A = B.

2.2 Exemples d’applications affines

2.2.1 TranslationDéfinition et propriètés élémentaires

Définition 16Soient E un espace affine de direction E et−→u un vecteur de E. On appelle translation de vecteur−→u , l’application de E vers E qui à tout point M ∈ E , fait correspondre l’unique point M′ de E ,tel que −−→

MM′ =−→u

On note t−→u la translation de vecteur −→u .

Proposition 11Soit E un espace affine de direction E, alors toute translation de E est une application affinedont l’application linéaire associée est l’identité de E.

PreuveSoit f une translation de E de vecteur −→v et soient M et N deux points quelconques de E , alors,d’après la relation de Chasles, on a,

−−−−−−→f (M) f (N) =

−−−−→f (M)M+

−−→MN +

−−−−→N f (N) =−−→v +

−−→MN +−→v =

−−→MN = IdE(

−−→MN)

Donc f est une application affine et−→f = IdE .

Proposition 12Soient E un espace affine et f une application affine de E . Alors f est une translation de E , siet seulement si,

−→f = IdE .

Preuve(=⇒) D’après la proposition précédente.

(⇐=) Supposons que−→f = IdE , alors on aura,

∀M ∈ E , ∀N ∈ E ,−−−−−−→f (M) f (N) =

−−→MN

Donc, d’après la proprièté du prallélogramme, on a

∀M ∈ E , ∀N ∈ E ,−−−−→M f (M) =

−−−−→N f (N)

Fixons A ∈ E et soit −→v =−−−→A f (A), alors f est la translation de vecteur −→v .

sur 78

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Groupe des translations de E

Proposition 13Soit E un espace affine de direction E. Alors

i) t−→0 = IdE .ii) ∀−→u ∈ E, ∀−→v ∈ E, t−→u t−→v = t−→v t−→u = t(−→u +−→v ).iii) Pour tout −→u ∈ E, t−→u est bijective et on a t−1−→u = t−−→u .iv) Soit T l’ensemble de toutes les translations de E , alors (T ,) est un groupe commutatif,

appelé groupe des translations de E .v) L’application

(E,+)−→ (T ,)−→u 7−→ t−→u

est un isomorphisme de groupes.

PreuveExercice

Proposition 14Le groupe T des translations de E est un sous-groupe distingué du groupe affine GE(E) et legroupe quotient de GE(E) par T est isomorphe au groupe linéaire de E.

GE(E)/T ' GL(E)

PreuveEn effet, il suffit de considérer l’application

ϕ : (GE(E),)−→ (GL(E),)f 7−→ ϕ( f ) =

−→f

On a vu que−−→g f = −→g −→f , donc ϕ est un homomorphisme de groupes. D’après la proposition

précédente,−→f = IdE , si et seulement f est une translation de E , donc

ker(ϕ) = f ∈ E : ϕ( f ) = IdE= T

Donc T est un sous-groupe distingué et GE(E)/T est isomorphe à ϕ(GE(E)) avecϕ(GE(E)) = GL(E).

Décomposition d’une application affine

Lemme 1Soient E un espace affine de direction E, f une application affine de E et −→v un vecteur de E.Alors

f t−→v = t−→v f ⇐⇒−→v ∈ ker(−→f − IdE)

Preuve(=⇒) On sait que

∀M ∈ E ,−−−−−→Mt−→v (M) =−→v

Soit A ∈ E , alors on aura−−−−→At−→v (A) =

−−−−−−−−−→f (A)t−→v ( f (A)) =−→v , donc,

−→f (−→v ) =

−→f (−−−−−→At−→v (A))

=−−−−−−−−−→f (A) f (t−→v (A))

=−−−−−−−−−→f (A)t−→v ( f (A)) (car f t−→v = t−→v f )

= −→v

sur 78

2 M.HOUIMDI

(⇐=)

∀M ∈ E ,−−−−−−−−−−−→f (M)( f t−→v )(M) =

−−−−−−−−−−→f (M) f (t−→v (M))

=−→f (−−−−−→Mt−→v (M))

=−−−−−→Mt−→v (M) (car

−→f (−→v ) =−→v )

=−−−−−−−−−−→f (M)t−→v ( f (M))

=−−−−−−−−−−−→f (M)(t−→v f )(M)

Donc f t−→v = t−→v f .

Théorème 8Soient E un espace affine de direction E et f une application affine sans points fixes, telle que

E = ker(−→f − IdE)⊕ Im(

−→f − IdE)

Alors il existe −→v ∈ ker(−→f − IdE) et il existe une application affine g avec Fix(g) 6= /0, tels que

f = t−→v g = g t−→v

PreuveSupposons qu’il existe un point A ∈ E , tel que

−−−→A f (A) ∈ ker(

−→f − IdE), puis posons −→v =

−−−→A f (A) et

g = t−−→v f , alors on aura

i) f = t−→v g = g t−→v .

ii)−−−→Ag(A) =

−→A t−→v ( f (A)) =

−−−→A f (A)+

−−−−−−−−−→f (A)t−→v ( f (A)) =

−−−→A f (A)−−→v =

−→0 , donc g(A) = A.

Donc il suffit de montrer qu’il existe un point A ∈ E , tel que−−−→A f (A) ∈ ker(

−→f − IdE). Pour cela, fixons

un point B ∈ E , puisque E = ker(−→f − IdE)⊕ Im(

−→f − IdE), alors il existe −→v ∈ ker(

−→f − IdE) et il

existe −→u ∈ E, tels que−−−→B f (B) =−→v +(IdE −

−→f )(−→u )

Soit A ∈ E , tel que−→BA =−→u , alors on aura

−−−→B f (B) =−→v +

−→BA−

−−−−−−→f (B) f (A), donc

−−−→A f (A) =−→v .

Remarque 161. M ∈ Fix(g)⇐⇒

−−−−→M f (M) ∈ ker(

−→f − IdE).

2. −→v =−−−→A f (A), pour n’importe quel point A ∈ Fix(g).

2.2.2 HomothétieDéfinition 17Soient E un espace affine de direction E, Ω un point de E et k un nombre réel. On appellehomothétie de centre Ω et de rapport k, l’application h : E −→ E qui à tout point M de E faitcorrespondre le point M′ de E défini par

−−→ΩM′ = k

−−→ΩM

Remarque 17Soit h une homothétie de E de centre Ω et de rapport k.

sur 78

2 M.HOUIMDI

1. Ω, M et h(M) sont toujours alignés.

FIGURE 2.1 – Une homothétie de rapport 3 et une autre de rapport −2

2. Si k = 0, alors ∀M ∈ E , h(M) = Ω, donc, dans ce cas, h est constante.

3. Si k = 1, alors ∀M ∈ E , h(M) = M, donc, dans ce cas, h = IdE .

Proposition 15Soient E un espace affine de direction E et h une homothétie de E de centre Ω et de rapport k.

Alors h est une application affine dont l’application linéaire associée est−→h = kIdE .

PreuveSoient M et N deux points quelconques de E , alors on a,

−−−−−−→h(M)h(N) =

−−−−→Ωh(N)−

−−−−→Ωh(M) = k

−→ΩN− k

−−→ΩM = k

−−→MN = kIdE(

−−→MN)

Donc h est une application affine et−→h = kIdE .

Remarque 18Soit h est une homothétie de centre Ω et de rapport k, avec k 6= 1.

1. Alors Ω est l’unique point fixe de h.

2. Si k =−1, on dit que h est une symétrie centrale de centre Ω.

FIGURE 2.2 – Symétrie de centre Ω

Proposition 16Soient E un espace affine et f une application affine de E . Alors f est une homothétie, si etseulement si, il existe un réel k 6= 1, tel que

−→f = kIdE .

sur 78

2 M.HOUIMDI

Preuve(=⇒) Déjà vu.

(⇐=)−→f = kIdE , donc 1 n’est pas valeur propre de

−→f , donc d’après le théorème 7, f possède un

unique point fixe Ω, ainsi on aura

∀M ∈ E ,−−−−→Ω f (M) =

−−−−−−−→f (Ω) f (M) =

−→f (−−→ΩM) = k

−−→ΩM

Donc f est l’homothétie de centre Ω et de rapport k.

Remarque 191. On note HT (E) l’ensemble des applications affine de E , défini par

f ∈ HT (E)⇐⇒∃k 6= 0 :−→f = kIdE

Alors d’après ce qu’on a vu sur les translations et les homothéties, f ∈HT (E), si et seulementsi, f est une translation ou f est une homothétie. Ainsi, si on désigne par H (E) l’ensemble deshomothéties de E , alors

HT (E) = T (E)∪H (E)

2. (HT (E),) est un sous-groupe de GA(E),)En effet, soit H = kIdE : k ∈ R∗, alors H est un sous-groupe de GL(E) et on aHT (E) = ϕ−1(H ), où ϕ est l’homomorphisme de groupes défini par

ϕ : GA(E)−→ GL(E)

f 7−→ −→f

Les éléments de HT (E) sont appelés des homothéties-translations.

Définition 18Soit E un espace affine, on appelle dilatation de E , toute bijection affine de E qui transformetoute droite D en une droite parallèle à D .

Lemme 2Soit E un K-espace vectoriel, où K est un corps commutatif quelconque. Soit u un endomor-phisme de E, tel que

∀x ∈ E, ∃α ∈ K∗ : u(x) = αx

Alors il existe k ∈ K∗, tel que u = kIdE .

PreuveFixons x0 ∈ E, alors il existe k ∈ K∗, tel que u(x0) = kx0. Montrons que

∀x ∈ E, u(x) = kx

Soit x ∈ E, alors deux cas sont possibles :

1er Cas (x0,x) lié, alors il existe λ ∈ K, tel que x = λx0, donc u(x) = λu(x0) = λkx0 = kx.

2ème Cas (x0,x) libre. Dans ce cas, soit α ∈ K∗, tel que u(x) = αx et soit β ∈ K∗, tel queu(x0 + x) = β(x0 + x), puisque u est linéaire, alors u(x0 + x) = u(x0)+ u(x) = kx0 +αx, donckx0 +αx = βx0 +βx et puisque (x0,x) est libre, alors α = β = k.

Proposition 17Soient E un espace affine et f une application affine. Alors

f est une dilatation⇐⇒ f ∈ HT (E)

sur 78

2 M.HOUIMDI

Preuve(=⇒) Soient M et N deux points quelconques distincts de E , puisque f est une dilatation, alors les

droites (MN) et ( f (M) f (N)) sont prallèles, donc il existe α 6= 0, tel que−−−−−−→f (M) f (N) = α

−−→MN,

donc on aura∀−→v ∈ E, ∃α ∈ R∗ :

−→f (−→v ) = α

−→v

Donc, d’après le lemme précédent, il existe k ∈ R∗, tel que−→f = kIdE , par suite, f ∈ HT (E).

(⇐=) Trivial.

2.2.3 Projection affineProposition 18Soient E un espace affine de direction E, F un sous-espace affine de direction F et G un sup-plémentaire de F dans E. Alors pour tout point M ∈ E , il existe un unique point M′ ∈ F , tel que−−→MM′ ∈ G.

PreuveFixons un point A ∈ F et soit M un point quelconque de E , puisque E = F ⊕G, alors il existe(−→u ,−→v ) ∈ F ×G, tel que

−→AM = −→u +−→v . Puisque −→u ∈ F et A ∈ F , alors il existe M′ ∈ F , tel que

−−→AM′ =−→u , donc on aura

−−→M′M =−→v , par suite

−−→MM′ ∈ G.

Supposons qu’il existe un autre point N de F , tel que−−→MN ∈G, donc

−−→M′N ∈G et on a aussi

−−→M′N ∈ F,

or F ∩G = −→0 , donc M′ = N.

Définition 19Soient E un espace affine de direction E, F un sous-espace affine de direction F et G un sup-plémentaire de F dans E. On appelle projection affine sur F parallèlement à G (ou de directionG), l’application de E vers E qui à tout point M de E fait correspondre l’unique point M′ de F ,tel que

−−→MM′ ∈ G

Remarque 20Soit f la projection sur F parallèlement à G, alors

1. Pour tout M ∈ E , on a f (M) ∈ F .

2. Pour tout M ∈ E , on a−−−−→M f (M) ∈ G.

3. ∀M ∈ E , f (M) = M⇐⇒M ∈ F .

Définition 20 (Rappel d’algèbre linéaire)soient E un K-espace vectoriel, F un sous-espace vectoriel de E et G un supplémentaire de Fdans E.

i) On appelle projection sur F parallèlement à G, l’application de E vers E définie par

pF : E = F⊕G−→ Ex = x1 + x2 7−→ pF(x) = x1

ii) On appelle projecteur de E tout endomorphisme u de E vérifiant u2 = u.

Remarque 211. Soit pF la projection sur F parallèlement à G, alors

i) pF est un endomorphisme de E.

ii) Im(pF) = F et ker(pF) = G.

sur 78

2 M.HOUIMDI

iii) pF pF = pF , donc pF est un projecteur de E.

2. Réciproquement, supposons que u est un projecteur de E, alors on sait que

i) E = Im(u)⊕ker(u).

ii) ∀x ∈ E, x ∈ Im(u)⇐⇒ u(x) = x

iii) ker(u) = Im(u− IdE) et Im(u) = ker(u− IdE).

iii) u est la projection sur F parallèlement à G, où F = Im(u) et G = ker(u).

Proposition 19Soient E un espace affine, F un sous-espace affine de direction F et G un supplémentaire deF dans E. Alors la projection p sur F parallélement à G est une application affine de E dontl’applcation linéaire associée est −→p = pF .

PreuveSoient M et N deux points quelconques de E , alors on a

−−→MN =

−−−−→Mp(M)+

−−−−−−→p(M)p(N)+

−−−−→p(N)N =

−−−−−−→p(M)p(N)+(

−−−−→Mp(M)+

−−−−→p(N)N)

avec−−−−−−→p(M)p(N) ∈ F et (

−−−−→Mp(M)+

−−−−→p(N)N) ∈ G, donc

−−−−−−→p(M)p(N) = pF(

−−→MN).

Donc p est une application affine et −→p = pF .

Proposition 20Soient E un espace affine et f une application affine de E . Alors

f est une projection affine⇐⇒ Fix( f ) 6= /0 et−→f 2 =

−→f

Dans le cas où Fix( f ) 6= /0 et−→f 2 =

−→f , f est la projection sur Fix( f ) parallèlement à ker(

−→f ).

Preuve(=⇒) Si f est une projection affine sur F parallèlement à G, alors, d’après la proposition précédente,

−→f 2 =

−→f et par définition, on a Fix( f ) = F .

(⇐=) Supposons que Fix( f ) 6= /0, alors, dans ce cas, on sait que Fix( f ) est un sous-espace affine dedirection ker(

−→f − IdE), puisque

−→f est un projecteur de E, alors on sait que

ker(−→f − IdE) = Im(

−→f ) et que

E = Im(−→f )⊕ker(

−→f )

Soit p la projection affine sur Im(−→f ) de direction ker(

−→f ). Fixons A ∈ Fix( f ), alors on a

∀M ∈ E ,−−−−−−−→f (M)p(M) =

−−−−→Ap(M)−

−−−−→A f (M)

=−−−−−−→p(A)p(M)−

−−−−−−→f (A) f (M) (car f (A) = p(A) = A)

=−→p (−→AM)−−→f (−→AM)

=−→0 (car −→p =

−→f )

Donc, ∀M ∈ E , f (M) = p(M).

Remarque 22Soient E un espace affine de dimension et f une application afine de E .

sur 78

2 M.HOUIMDI

1. Si−→f 2 =

−→f et Fix( f ) = /0, alors f n’est pas une projection. Cependant, puisque

−→f est un

projecteur de E, alors ker(−→f ) = Im(

−→f − IdE) et Im(

−→f ) = ker(

−→f − IdE), donc on aura

E = ker(−→f − IdE)⊕ Im(

−→f − IdE)

Donc, d’après le théorème 8, il existe−→v ∈ Im(−→f ) et il existe une projection affine g de direction

ker(−→f ) sur un sous-espace affine de direction Im(

−→f ), tels que

f = t−→v g = g t−→v

2. On suppose que E est de dimension finie = n muni d’un repère cartésien (O,−→e1 ,−→e2 , . . . ,

−→en).Soit A la matrice de

−→f par rapport à la base (−→e1 ,

−→e2 , . . . ,−→en), alors

f est une projection affine⇐⇒ A2 = A et Fix( f ) 6= /0

Corollaire 1Soient E un espace affine de direction E et f une application affine. Alors

f est une projection affine⇐⇒ f 2 = f

PreuveIl suffit de montrer que Fix( f ) 6= /0 et

−→f 2 =

−→f . Pour cela, on a

−−→f f =

−→f −→f , donc

−→f −→f =

−→f .

D’autre part, on a f 2 = f , donc pour tout point M ∈ E , f ( f (M)) = f (M), donc ∀M ∈ E , on af (M) ∈ Fix( f ).

Exemples 141. L’epace affine E de dimension 3 est muni d’un repère cartésien (O,−→e1 ,

−→e2 ,−→e3). Trouver l’ex-

pression analytique de la projection affine sur le plan P d’équation x+y+ z = 1 parallèlementà G =Vect(−→e1 +

−→e2 −−→e3).

RéponseSoit M un point de E de coordonnées (x,y,z)et soit (x′,y′,z′) les coordonnées de M′ = f (M).Puisque on sait que M′ ∈ P et

−−→MM′ ∈ G, alors on aura

x′+ y′+ z′ = 1y′− y = x′− xz′− z =−(x′− x)

Donc ce système en x′, y′ et z′ admet pour solution,x′ =−y− z+1y′ =−x− z+1z′ = x+ y+2z−1

2. L’epace affine E de dimension 3 est muni d’un repère cartésien (O,−→e1 ,−→e2 ,−→e3). Soit l’applica-

tion affine de E défine analytiquement parx′ = 1

2(x− y− z+1)y′ =−x− z+1z′ = 1

2(x+ y+3z−1)

sur 78

2 M.HOUIMDI

a) Montrer que f est une projection affine et déterminer ses éléments caractéristiques.

b) Trouver l’image de la droite D d’équationsx−1−1

=y2=

z−34

.

c) Trouver l’image du plan P d’équation x+ y− z+5 = 0.

Réponsea) En général, l’étude d’une application affine, définie analytiquement, commence par la re-

cherche des points fixes.Soit M un point de coordonnées (x,y,z), alors M ∈ Fix( f ), si et seulement si, x, y et zvérifient le système suivant,

x = 12(x− y− z+1)

y =−x− z+1z = 1

2(x+ y+3z−1)

Ce système est équivalent à l’équation x+ y+ z− 1 = 0, donc Fix est le plan affine Pd’équationx+y+ z−1 = 0. Soit A la matrice de

−→f par rapport à la base (−→e1 ,

−→e2 ,−→e3), alors on aura,

A =12

1 −1 −1−2 0 −21 1 3

Donc on aura

A2 =14

1 −1 −1−2 0 −21 1 3

1 −1 −1−2 0 −21 1 3

=14

2 −2 −2−4 0 −42 2 6

= A

A2 = A et Fix( f ) 6= /0 donc f est une projection affine P .Pour déterminer la direction de f on doit chercher ker(A).x

yz

∈ ker(A) ⇐⇒

1 −1 −1−2 0 −21 1 3

xyz

=

000

⇐⇒

x− y− z = 0−2x−2z = 0x+ y+3z = 0

⇐⇒

y = 2xz =−x

Donc f est la projection affine sur le plan P d’équation x+ y+ z−1 = 0 parallèlement àG =Vect(−→e1 +2−→e2 −−→e3).

b) D est la droite passant par le point A de coordonnées (1,0,3) et de vecteur directeur−→u =−→e1 −2−→e2 −4−→e3 , donc f (D) est le sous-espace affine de E passant par le point f (A)et de direction Vect(

−→f (−→u )). On a

−→f (−→u ) = 1

2(7−→e1 +6−→e3−13−→e3), donc f (D) est la droite

passant par le point B de coordonnées (−12 ,−3, 9

2) et de vecteur directeur−→v = 1

2(7−→e1 +6−→e3 −13−→e3).

c) P est le plan passant par le point A de coordonnées (−5,0,0) et de vecteurs directeurs−→u =−−→e1 +

−→e2 et −→v =−→e1 +−→e3 . Donc f (P ) est le sous-espace affine passant par f (A) et

de direction Vect(−→f (−→u ),−→f (−→v )). Donc f (P ) est le plan affine passant par le point B

de coordonnées (−2,6,2) et de vecteurs directeurs −−→−e1 +−→e2 et −−→−e2 +

−→e3 .

sur 78

2 M.HOUIMDI

2.2.4 Symétrie affine

Définition 21Soient E un espace affine, F un sous-espace affine de E de direction F, G un supplémentaire deF dans E et p la projection affine sur E de direction G. On appelle symétrie affine par rapportà F parallèlement à G (ou de direction G), l’application f : E −→ E qui à tout point M faitcorrespondre le point M′ défini par

−−→MM′ = 2

−−−−→Mp(M)

Remarque 23Soient E un espace affine, F un sous-espace affine de E de direction F, G un supplémentaire de Fdans E, p la projection affine sur E de direction G et f la symétrie affine par rapport à F parallèle-ment à G. Alors,

1.

f (M) = M ⇐⇒ p(M) = M⇐⇒ M ∈ Fix(p)

2. p(M) est le milieu du segment [M, f (M)].

3. ∀M ∈ E ,−−−−→M f (M) ∈ G

FIGURE 2.3 – Symétrie affine

sur 78

2 M.HOUIMDI

Définition 22 (Rappel d’Algèbre linéaire)Soit E un K-espace vectoriel.

i) Soient F un sous-espace vectoriel de E et G un supplémentaire de F dans E. On appellesymétrie vectorielle par rapport à F parallèlement à G, l’application sF définie par

sF : E = F⊕G−→ Ex = x1 + x2 7−→ sF(x) = x1− x2

ii) On dit qu’un endomorphisme u de E est une symétrie, si u2 = IdE .

Remarque 241. Soit sF la symétrie vectorielle par rapport à F parallèlement à G. Alors,

a) ∀x ∈ E, sF(sF(x)) = sF(x1− x2) = x1− (−x2) = x1 + x2 = x, donc s2F = IdE .

b) ker(sF − IdE) = F et ker(sF + IdE) = G.

c) Si pF est la projection sur F parallèlement à G, alors sF = 2pF − IdE .

2. Soit u une symétrie de E. Alors,

a) E = ker(u− IdE)⊕ker(u+ IdE).

b) u est la symétrie vectorielle par rapport à ker(u− IdE) parallélement à ker(u+ IdE).

c) u est un automorphisme de E.

Proposition 21Soient E un espace affine, F un sous-espace affine de E de direction F et G un supplémentairede F dans E. Alors la symétrie f par rapport à F parallélement à G est une application affinedont l’application linéaire associée est la symétrie par rapport à F parallèlement à G.

PreuveSoit p la projection affine sur F parallélement à G, alors on sait que −→p = pF . Soient M et N deuxpoints quelconques de E , alors on a

−−−−−−→f (M) f (N) =

−−−−→f (M)M+

−−→MN +

−−−−→N f (N)

= −2−−−−→Mp(M)+

−−→MN +2

−−−−→N p(N)

= −2−−−−→Mp(M)+

−−→MN +2

−−−−→Mp(N)−2

−−→MN

= 2−−−−−−→p(M)p(N)−−−→MN

= 2pF(−−→MN)−−−→MN

= (2pF − IdE)(−−→MN)

Donc f est une application affine de E et−→f = 2pF − IdE = sF .

Remarque 25Si f est la symétrie affine par rapport à F parallèlement à G, alors

a) Fix( f ) = F .

b) ∀M ∈ E ,−−−−→M f (M) ∈ G.

c) f est une bijection affine.

sur 78

2 M.HOUIMDI

Proposition 22Soient E un espace affine et f une application affine de E. Alors

f est une symétrie affine⇐⇒ Fix( f ) 6= /0 et−→f 2 = IdE

Dans le cas où Fix( f ) 6= /0 et−→f 2 = IdE , alors f est la symétrie affine par rapport à Fix( f )

parallèlement à ker(−→f + IdE).

Preuve(=⇒) Trivial.

(⇐=) Fix( f ) 6= /0, donc Fix( f ) est un sous-espace affine de E de direction F = ker(−→f −IdE). Puisque

−→f 2 = IdE , alors E = ker( f − IdE)⊕ker( f + IdE). Soit p la projection affine sur Fix( f ) paral-

lélement à G = ker( f + IdE), alors, d’après la remarque 22,−→f = 2−→p − IdE . Montrons que f

est la symétrie affine par rapport à Fix( f ) parallélement à G = ker( f + IdE). Pour cela, soit Mun point quelconque de E et soit A ∈ Fix( f ), alors on aura

−−−−→M f (M) =

−−−−→Mp(M)+

−−−−−−−→p(M) f (M)

=−−−−→Mp(M)+

−−−−→A f (M)−

−−−−→Ap(M)

=−−−−→Mp(M)+

−−−−−−→f (A) f (M)−

−−−−−−→p(A)p(M)

=−−−−→Mp(M)+

−→f (−→AM)−−→p (

−→AM)

=−−−−→Mp(M)+2−→p (

−→AM)−−→AM−−→p (

−→AM)

=−−−−→Mp(M)+−→p (

−→AM)−−→AM

=−−−−→Mp(M)+

−−−−→Ap(M)−−→AM

= 2−−−−→Mp(M)

Donc f est la symétrie affine par rapport à Fix( f ) parallèlement à ker(−→f − IdE).

Corollaire 2Soient E un espace affine et f une application affine de E . Alors

f est une symétrie affine⇐⇒ f 2 = IdE

(=⇒) Supposons que f est une symétrie affine et soit p la projection affine sur Fix( f ) parallélement àker(−→f +IdE), alors on sait que pour tout point M ∈E , p(M) est le milieu su segment [M, f (M)],

par suite,−−−−→f (M)M = 2

−−−−−−−→f (M)p(M), donc, par définition, pour tout point M ∈ E , on a

f ( f (M)) = M.

(⇐=) On a f f = IdE , donc−−→f f =

−→IdE , par suite,

−→f −→f = IdE . Il suffit donc de vérifier que

Fix( f ) 6= /0, pour cela, soit A un point de E et soit B le milieu de [A, f (A)], alors on aura,

−→BA+

−−−→B f (A) =

−→0 =⇒ −→

f (−→BA)+

−→f (−−−→B f (A)) =

−→0

=⇒−−−−−−→f (B) f (A)+

−−−→f (B)A =

−→0 (car f ( f (A)) = A)

=⇒ f (B) est le milieu de [A, f (A)]=⇒ f (B) = B=⇒ Fix( f ) 6= /0

sur 78

2 M.HOUIMDI

Remarque 26Soient E un espace affine et f une application de E , telle que

−→f 2 = IdE et Fix( f ) = /0. Alors f n’est

pas une symétrie affine de E .

Lemma 1Soient K-espace vectoriel de dimension finie et u une symétrie vectorielle de E. Alors

E = ker(u− IdE)⊕ Im(u− IdE)

Preuveon a u2 = IdE , donc (u+ IdE) (u− IdE) = 0, donc Im(u− IdE)⊆ ker(u+ IdE).Or on sait que E = ker(u− IdE)⊕ker(u+ IdE), et dim(E) = dim(ker(u− IdE))+dim(Im(u− IdE)).Donc dim(Im(u− IdE)) = dim(ker(u+ IdE)), par suite on a E = ker(u− IdE)⊕ Im(u− IdE).

Proposition 23Soient E un espace affine de dimension finie et f une application de E , telle que

−→f 2 = IdE et

Fix( f ) = /0. Alors, il existe un vecteur −→v ∈ ker(−→f − IdE) et il existe une symétrie affine g de E ,

tels quef = t−→v f = f t−→v

Dans ce cas, f s’appelle une symétrie glissée par rapport à Fix(g) parallèlement à ker(−→f + IdE)

et de vecteur −→v .

PreuveD’après le lemme précédent, E = ker(u− IdE)⊕ Im(u− IdE), donc d’après le théorème 8, il existe−→v ∈ E et il existe une application affine g avevc Fix( f ) 6= /0, tels que

f = t−→v f = f t−→v

Puisque −→g =−→f , alors −→g 2 = IdE et puisque Fix(g) 6= /0, alors g est la symétrie affine par rapport à

Fix(g) parallélement à ker(−→f + IdE).

Exemples 15L’espace affine E de dimension 3 est muni d’un repère cartésien (O,

−→i ,−→j ,−→k ).

1. Déterminer l’expression analytique de la symétrie affine par rapport à la droite D d’équationsx− y+ z = 23x+ y+ z = 4

parallélement au plan vectoriel G d’équation x+ y+2z = 0.

Réponse Pour déterminer l’expression analytique de f nous allons utiliser le fait que pour

tout point M de E ,−−−−→M f (M) ∈ G et le milieu N de [M, f (M)] appartient à D .

N ∈D⇐⇒

x′− y′+ z′ =−x+ y− z+43x′+ y′+ z′ =−3x− y− z+8

−−−−→M f (M) ∈ G⇐⇒ x′+ y′+2z′ = x+ y+2z

On obtient donc le système suivantx′− y′+ z′ =−x+ y− z+43x′+ y′+ z′ =−3x− y− z+8x′+ y′+2z′ = x+ y+2z

sur 78

2 M.HOUIMDI

qui admet pour solution, x′ = 1

2(−3x− y−2z+7)y′ = 1

2(x− y+2z−3)z′ = x+ y+ z−1

2. Soit f l’application affine définie analytiquement parx′ =−y− z+1y′ =−2x− y−2z+2z′ = x+ y+2z−1

Montrer que f est une symétrie dont on déterminera les éléments caractéristiques.

RéponseSoit A la matrice de

−→f par rapport à la base (

−→i ,−→j ,−→k ), alors on a

A2 =

0 −1 −1−2 −1 −21 1 2

0 −1 −1−2 −1 −21 1 2

=

1 0 00 1 00 0 1

= I

M ∈ Fix( f ), si et seulement les coordonnées x, y et z de M vérifient le système suivant,x =−y− z+1y =−2x− y−2z+2z = x+ y+2z−1

qui est équivalent à l’équation x+ y+ z = 1.Pour conclure, on doit chercher ker(

−→f +IdE). Soit−→u = a

−→i +b

−→j +c−→k un vecteur quelconque

de E, alors

−→u ∈ ker(−→f + IdE) ⇐⇒

1 −1 −1−2 0 −21 1 3

abc

=

000

⇐⇒

a−b− c = 0−2a−2c = 0a+b+3c = 0

⇐⇒

b = 2ac =−a

Donc ker(−→f + IdE) =Vect(

−→i +2

−→j −−→k ).

f est la symétrie affine par rapport au plan d’équation x+y+ z = 1 parallélement à Vect(−→i +

2−→j −−→k ).

3. Soit f l’application affine définie analytiquement parx′ = 3x−4z−1y′ = 2x− y−2z−2z′ = 2x−3z−3

Montrer que f est une symétrie glissée dont on déterminera les éléments caractéristiques.

sur 78

2 M.HOUIMDI

RéponseOn vérifie facilement que f n’a aucun point fixe et que A2 = I, où A est la matrice de

−→f

par rapport à la base (−→i ,−→j ,−→k ). Donc f est une symétrie glissée. Pour obtenir les éléments

caractéristiques de f , on cherche d’abord l’ensemble des point M ∈ E , tels que−−−−→M f (M) ∈

ker(−→f − IdE).

−−−−→M f (M) ∈ ker(

−→f − IdE) ⇐⇒

2 0 −42 −2 −22 0 −4

2x−4z−12x−2y−2z−2

2x−4z−3

=

000

⇐⇒

2x−4z−5 = 0x− y− z−8 = 0

Donc, par exemple, pour z= 0, on a x= 52 et y=−11

2 . Soit B le point de coordonnées (52 ,−

112 ,0),

alors−−−→A f (A) ∈ ker(

−→f . Soit −→v =

−−−→A f (A), alors on a −→v = 4

−→i +14

−→j +2

−→k .

f est donc la symétrie glissée par rapport à la droite affine d’équations

2x−4z−5 = 0x− y− z−8 = 0

parallélement à ker(−→f + IdE) =Vect(

−→i +−→k ,−→j ) et de vecteur −→v = 4

−→i +14

−→j +2

−→k .

2.3 ExercicesExercice 21Soient E un espace affine, A et B deux points distincts de E . On considère l’application f : E −→ Equi à tout point M fait correspondre le point M′ barycentre du triangle ABM. Trouver la nature de fet déterminer ses éléments caractéristiques.

Exercice 22Soient E un espace affine, A et B deux points distincts de E . Pour chaque point M de E , soit N lepoint de E , tel que (A,B,M,N) forme un parallélogramme. On considère l’application f : E −→ Equi à tout point M fait correspondre le point M′ milieu de [A,N]. Trouver la nature de f et déterminerses éléments caractéristiques.

Exercice 23Soient E un espace affine, A et B deux points distincts de E . Soient α et β deux réels différents de 1,f l’homothétie de centre A et de rapport α et g l’homothétie de centre B et de rapport β. On considèrel’application h : E −→ E qui à tout point M fait correspondre le point M′ milieu de [ f (M),g(M)].

a) Montrer que si α+β = 0, alors h est une translation dont le vecteur a une direction fixe.

b) Montrer que si α+β 6= 0, alors h est une homothétie dont on déterminera le rapport k et le centreΩ. Montrer que Ω ∈ (AB).

Exercice 24Soient E un espace affine de dimension 3, (A,B,C,D) un repère affine de E et G le centre de gravitédu triangle ABC. Soit f l’application affine de E , telle que f (A)=A, f (B)=B, f (C)=C et f (D)=G.Trouver la nature de f et déterminer ses éléments caractéristiques.

Exercice 25Soit E un espace affine. On appelle dilatation de E toute bijection de E qui transforme toute droiteen une droite parallèle. Dans la suite f désigne une dilatation de E .

1. On suppose qu’il existe A ∈ E , tel que f (A) = A. Montrer que toute droite passant par A estglobalement invariant par f .

sur 78

2 M.HOUIMDI

2. On suppose que f possède au moins deux points fixes A et B. Montrer que f = IdE .

3. On suppose que f admet un unique point fixe Ω. Monter que f est l’homothétie de centre Ω.

4. On suppose que f n’admet aucun point fixe. Soit A un point de E et −→v =−−−→f (A)A. Montrer que

t−→v f est une dilatation et que t−→v f = IdE . En déduire la nature de f .

Exercice 26Soient A, B, C trois points deux à deux distincts d’un espace affine E , (α,β,γ) ∈ R3, tels queα+β+ γ 6=−1 et σ = (α,β,γ). On considère l’application fσ : E −→ E qui à tout point M de E faitcorrespondre le point M′ barycentre de ((A,α),(B,β),(C,γ),(M,1)).

1. Montrer que fσ est une application affine et préciser la nature de fσ suivant la valeur de σ.

2. Soit−→v un vecteur de E. existe-t-il une valeur de σ telle que fσ soit la translation de vecteur−→v ?

3. Soit Ω ∈ E et k un réel non nul. existe-t-il une valeur de σ, telle que fσ soit la transtation derapport k et de centre Ω ?

Exercice 27L’espace affine de dimension 3 est muni d’un repère cartésien (O,

−→i ,−→j ,−→k ). Déterminer la nature et

les éléments caractéristiques des applications affines définies analytiquement parx′ = 7x−4y−2z+4y′ = 6x−3y−2z+4z′ = 12x−8y−3z+8

,

x′ = 3x−4z−4y′ = 2x− y−2z−2z′ = 2x−3z−4

x′ =−x+2y−2z−2y′ =−3y+2z+6z′ =−4y+3z+6

,

x′ = 1

2(y− z)+ 23

y′ = 12(−2x+3y− z)+ 2

3z′ = 1

2(−2x+ y+ z)+ 23


−→i ,−→j ,−→k ). On considère les appli-

cations affines définies analytiquement parx′ =−y− z−1y′ =−2x− y−2z+1z′ = x+ y+2z−2

,

x′ = 1

3(x−2y−2z+1)y′ = 1

3(−2x+ y−2z+2)z′ = 1

3(−2x−2y+ z−1)

Montrer que ces applications sont des symétries glissées dont on déterminera les éléments caractéris-tiques.


−→i ,−→j ,−→k ). Déterminer la nature

et les éléments caractéristiques des applications affines définies analytiquement par les expressionssuivantes :

x′ = 3x+4y+2z−4y′ =−2x−3y−2z+4z′ = 4x+8y+5z−8

,

x′ =−4x−2y+ z−7y′ = x− y− z−1z′ =−3x−6y−9

,

x′ = 1

11(9x+2y−6z+38)y′ = 1

11(2x+9y+6z+17)z′ = 1

11(−6x+6y−7z−29)


−→i ,−→j ,−→k ). Déterminer l’expression

analytique des applications affines suivantes :

sur 78

2 M.HOUIMDI

1. La projection sur le plan affine d’équation x+ y+ z = 2 parallélement à la droite vectorielle

d’équations

x = 2zx+ y+2 = 0

.

2. La symétrie affine par rapport à la droite affine d’équations

x− y+ z = 23x+ y+ z = 4

parallélement

au plan vectoriel d’équation x+ y+2z = 0.

3. La symétrie par rapport au plan d’équation x+2y+ z = 1 et de direction Vect(−→i +−→j +−→k ).

4. La symétrie par rapport à la droite d’équation

x+ y+1 = 02y+ z+2 = 0

de direction le plan vectoriel

d’équation 3x+3y−2z = 0.


−→i ,−→j ,−→k ). Soient A, B, C et D

qautres points de coordonnées respectives (1,2,−1), (1,0,2), (2,−4,3) et (−2,−1,0).1. Donner l’expression analytique de la symétrie affine par rapport au plan P = (ACD) paralléle-

ment à G =Vect(−→AB).

2. Soit h l’homothétie de centre A et de rapport −2. Reconnaitre l’application affine f = h t−→AB.

Exercice 32Soient D1 et D2 deux droites affines de l’espace affine E de dimension 3. Soit P un plan affine deE qui n’est parallèle ni à D1 ni à D2. On désigne par q la projection affine sur P parallèlement à ladirection de D1 et par p la projection affine sur P parallèlement à la direction de D2. Soit α ∈]0,1[et soit f : E −→ E l’application qui à chaque point M fait correspondre le point M′ barycentre de((p(M),α),(q(M),(1−α)).

1. Montrer que f est une application affine et déterminer−→f en fonction de −→p et −→q .

2. Montrer que −→p −→q =−→p et −→q −→p =−→q .

3. Montrer que−→f −→f =

−→f et en déduire que f est une projection affine.

4. Déterminer les éléments caractéristiques de f .

Exercice 33Soient E un espace affine, F un sous-espace de E de direction F , G un supplémentaire de F dansE, p la projection sur F parallélement à G et α un nombre réel. On appelle affinité de base F , dedirection G et de rapport α, l’application f : E −→ E qui à tout point M de E fait correspondre lepoint M′ défini par −−−−−→

p(M)M′ = α−−−−→p(M)M

1. Montrer que f est une application affine et déterminer l’application linéaire associée−→f .

2. Identifier f dans le cas α = 0, α = 1 et α =−1.3. Montrer que si α 6= 0, alors f est une bijection affine et que f−1 est une affinité dont on déter-

minera la base, la direction et le rapport.4. Montrer que f f est une affinité dont on déterminera la base, la direction et le rapport.


−→i ,−→j ,−→k ). On considère les appli-

cation affines f et g définies analytiquement par

f :

x′ = 2x+2y+2z+1y′ =−x− y−2z−1z′ = x+2y+3z+1

g :

x′ = 3x+4y+2z−4y′ =−2x−3y−2z+4z′ = 4x+8y+5z−8

sur 78

2 M.HOUIMDI

Montrer que f et g sont des affinités et déterminer leurs éléments caractéristiques.

Exercice 35Soient E un espace affine et f une application affine de E , telle que pour tout point M de E , f 2(M)soit le milieu du segment [M, f (M)]. Montrer que f est une affinité.

sur 78

Chapitre 3Espace affine euclidiens

3.1 Notions de baseDans toute la suite, on désigne par E un espace euclidien. Pour −→u ∈ E et −→v ∈ E, −→u .−→v désigne leproduit scalaire de −→u par −→v .

Définition 23Soit E un espace affine de direction E. On dit que E est un espace affine euclidien, si E est unespace euclidien.

Remarque 27Rappelons qu’un espace euclidien E est un espace préhilbertien de dimension finie. Donc tout espaceaffine euclidien est de dimension finie. Dans la suite, on désigne par En tout espace affine euclidiende dimension n.

Définition 24Soient E un espace euclidien, A et B deux points quelconques de E . On définit la distance entreles points A et B, qu’on note d(A,B) ou AB, par

d(A,B) = ‖−→AB‖

Remarque 28Soit E un espace euclidien, alors l’application,

d : E ×E −→ R+

(A,B) 7−→ d(A,B) = ‖−→AB‖

définit une distance sur E :

i) ∀(A,B) ∈ E ×E , d(A,B)≥ 0.

ii) ∀(A,B) ∈ E ×E , d(A,B) = 0⇐⇒ A = B.

iii) ∀(A,B) ∈ E ×E , d(A,B) = d(B,A).

vi) ∀A ∈ E , ∀B ∈ E , ∀C ∈ E , d(A,B)≤ d(A,C)+d(B,C).

Donc tout espace affine euclidien est un espace métrique.

Lemma 2Soient par −→u et −→v deux vecteures quelconques de E. Alors,

‖−→u +−→v ‖= ‖−→u ‖+‖−→v ‖⇐⇒ ((−→u ,−→v ) lié) et (−→u .−→v ≥ 0)

51

3 M.HOUIMDI

PreuveRappelons que, d’après l’inégalité de Cauchy-Schwatz, |−→u .−→v | ≤ ‖−→u ‖‖−→v ‖ et que |−→u .−→v |= ‖−→u ‖‖−→v ‖,si et seulement si, (−→u ,−→v ) est lié.

‖−→u +−→v ‖= ‖−→u ‖+‖−→v ‖ ⇐⇒ ‖−→u +−→v ‖2 = (‖−→u ‖+‖−→v ‖)2

⇐⇒ ‖−→u ‖2 +‖−→v ‖2 +2−→u .−→v = ‖−→u ‖2 +‖−→v ‖2 +2‖−→u ‖2‖−→v ‖2

⇐⇒ ‖−→u ‖‖−→v ‖=−→u .−→v⇐⇒ (−→u ,−→v ) lié et −→u .−→v ≥ 0

Proposition 24Soient E un espace affine euclidien, A et B deux points quelconques de E . Alors,

d(A,B) = d(A,M)+d(B,M)⇐⇒M ∈ [A,B]

Preuve(=⇒)

d(A,B) = d(A,M)+d(B,M) ⇐⇒ ‖−→AB‖= ‖−→AM‖+‖−→MB‖⇐⇒ ‖−→AM+

−→MB‖= ‖−→AM‖+‖−→MB‖

⇐⇒ (−→AM,−→MB) lié et

−→AM.−→MB≥ 0

⇐⇒ M ∈ (AB) et−→AM.−→MB≥ 0

On a −→AM.−→MB =

−→AB.−→AM−−→AM2 et

−→AM.−→MB =

−→AB.−→AM−−→MB2

donc−→AM.−→AB≥ 0 et

−→MB.−→AB≥ 0.

M ∈ (AB) et−→AM.−→AB≥ 0 =⇒ ∃α≥ 0 :

−→AM = α

−→AB

=⇒ −→MB = (1−α)

−→AB

=⇒ 1−α≥ 0 (car−→MB.−→AB≥ 0)

Donc 0≤ α≤ 1, par suite, M ∈ [A,B].

(⇐=) Trivial.

Proposition 25Soient A et B deux points distincts et I un point quelconque d’un espace affine euclidien E . Alors,

I est le milieu de [A,B]⇐⇒ I ∈ (AB) et d(I,A) = d(I,B)

Preuve(=⇒) Trivial.

(⇐=) Puisque I ∈ (AB), alors, d’après le théorème 4, il existe α ∈ R, tel que (1−α)−→IA+α

−→IB =

−→0

et puisqiue ‖−→IA‖= ‖−→IB‖, alors |1−α|= |α|, donc α = 12 , par suite, I est le milieu de [A,B].

3.2 Repère orthonorméDéfinition 25Soient E un espace affine euclidien de dimension n. Un repère orthonormé de E est un système(O,−→e1 ,

−→e2 , . . . ,−→en), où O est un point quelconque de E et (−→e1 ,

−→e2 , . . . ,−→en) est une base orthonor-

male de E.

sur 78

3 M.HOUIMDI

Remarque 29Si (O,−→e1 ,

−→e2 , . . . ,−→en) est un repère orthonoirmé de E et si A et B sont deux points quelconques de E ,

de coordonnées respectives (x1,x2, . . . ,xn) et (y1,y2, . . . ,yn), alors,

d(A,B) =

√n

∑i=1

(xi− yi)2

3.3 Sous-espaces affines orthogonaux

Définition 26Soient E un espace affine euclidien, F et G deux sous-espaces affines de E de directions respec-tives F et G. Alors, on dit que,

i) F est orthogonal à G , si F ⊆ G⊥.

ii) F est perpendiculaire à G , si F⊥ ⊆ G.

iii) F et G sont supplémentaires orthogonaux, si F = G⊥.

Remarque 301. La relation d’orthogonalité est symétrique.

En effet, supposons que F est orthogonal à G , alors, par définition, F ⊆G⊥, donc G⊥⊥ ⊆ F⊥.Or, G⊥⊥ = G, donc G⊆ F⊥, par suite, G est orthogonal à F .On vérifie de la même manière que la relation de perpendicularité est aussi symétrique.

2. Soient D et D ′ deux droites affine de E , avec D = D(A,−→u ) et D ′ = D(B,−→v ). Alors

D et D ′ sont orthogonaux⇐⇒−→u .−→v = 0

a) Si E est un plan affine euclidien, alors

D et D ′ sont orthogonaux ⇐⇒ D et D ′ sont perpendiculaires⇐⇒ D et D ′ sont supplémentaires orthogonaux

On suppose que E est muni d’un repère orthonormé (O,−→i ,−→j ) et que D et D ′ ont pour

équations cartésiennes respectives ax+by+ c = 0 et a′x+b′y+ c′ = 0, alors

D et D ′ sont perpendiculaires⇐⇒ aa′+bb′ = 0

b) Si E est un espace affine euclidien de dimension ≥ 3, alors deux droites droites affinesou deux hyperplans affines de E ne sont jamais ni perpendiculaire, ni supplémentairesorthogonales.

3. Soit E un espace affine euclidien de dimension 3. Si D est une droite affine et P un plan affinede E , alors,

D et P sont orthogonaux ⇐⇒ D et P sont perpendiculaires⇐⇒ D et P sont supplémentaires orthogonaux

On suppose que D = D(A,−→u ) et P = P(B,−→v ,−→w ), alors,

D et P sont perpendiculaires⇐⇒−→u .−→v = 0 et −→u .−→w = 0

sur 78

3 M.HOUIMDI

Proposition 26Soient E un espace affine euclidien, F et G deux sous-espaces affines de E de directions respec-tives F et G.

i) Si F et G sont orthogonaux, alors F ∩G est ou bien vide ou bien réduite à un seul point.

ii) Si F et G sont perpendiculaires, alors F ∩G 6= /0.

iii) Si F et G sont supplémentaires orthogonaux, alors F ∩G est réduite à un seul point.

Preuvei) Supposons que F ∩G 6= /0 et soient A et B deux points de F ∩G . Alors

−→AB ∈ F et

−→AB ∈ G, or

F ⊆ G⊥ donc on a aussi−→AB ∈ G⊥, donc

−→AB =

−→0 , par suite, A = B.

ii) Supposons que F et G sont perpendiculaires, alors, par définition, F⊥ ⊆G, donc F +G = E, carF +F⊥ = E, donc d’après la remarque 5, F ∩G 6= /0.

iii) Si F et G sont supplémentaires orthogonaux, alors F = G⊥, donc F ⊕G = E, donc, d’après laremarque 5, F ∩G est réduite à un seul point.

3.4 Hyperplan médiateur

Proposition 27Soient E un espace affine euclidien, A et B deux points distincts de E . Alors l’ensemble despoints M ∈ E , tels que

d(A,M) = d(B,M)

est un hyperplan de E passant par le milieu de [A,B] et de direction −→AB⊥, appelé hyperplanmédiateur du segment [A,B].

PreuveSoit H = M ∈ E : d(A,M) = d(B,M) et soit I le milieu de [A,B], alors,

M ∈H ⇐⇒ ‖−→AM‖2 = ‖−→BM‖2

⇐⇒ ‖−→AI +−→IM‖2 = ‖−→BI +

−→IM‖2

⇐⇒ ‖−→AI‖2 +2−→AI.−→IM+‖−→IM‖2 = ‖−→BI‖2 +2

−→BI.−→IM+‖−→IM‖2

⇐⇒ −→AI.−→IM =

−→BI.−→IM

⇐⇒ −→AB.−→IM = 0

⇐⇒ −→IM ∈ AB⊥

Donc H est le sous-espace affine de E passant pat I et de direction −→AB⊥. Puisque −→AB⊥ est unhyperplan de E, alors H est un hyperplan affine de E .

Remarque 31Soient E un espace affine euclidien, A et B deux points distincts de E .

1. Si E est un plan affine, l’hyperplan médiateur de [A,B] est une droite affine, appelée médiatricedu segment [A,B].

sur 78

3 M.HOUIMDI

FIGURE 3.1 – Médiatrice de [A,B]

2. Si E est de dimension 3, l’hyperplan médiateur de [A,B] est un plan affine, appelé plan média-teur du segment [A,B].

FIGURE 3.2 – Plan médiateur de [A,B]

sur 78

3 M.HOUIMDI

3.5 Perpendiculaire commune et distance de deux droites de E3

Perpendiculaire commune

Théorème 9Soient D =D(A,−→u ) et D ′=D(B,−→v ) deux droites affines de E3, non coplanaires. Alors, il existeune unique droite affine ∆ de E3 qui coupe D et D ′ et qui est à la fois orthogonale à D et à D ′.Dans ce cas, ∆ s’appelle la perpendiculaire commune à D et D ′.

PreuvePour l’existance de ∆, il suffit de montrer qu’il existe deux points P et Q, tels que

i) P ∈D et Q ∈D ′.

ii)−→PQ.−→u = 0 et

−→PQ.−→v = 0.

Pour cela, on pose−→AP = α

−→u et−→BQ = β

−→v , donc on aura,

−→PQ =

−→PA+

−→AB+

−→BQ =−α

−→u +−→AB+β

−→v

Puisque−→PQ.−→u = 0 et

−→PQ.−→v = 0, alors on obtient le système suivant en α et β,

(S) :

‖−→u ‖2α− (−→u .−→v )β =

−→AB.−→u

(−→u .−→v )α−‖−→v ‖2β =−→AB.−→v

Le déterminant de ce système est (−→u .−→v )2−‖−→u ‖2‖−→v ‖2.Or d’après la relation de Lagrange, on sait que

‖−→u ∧−→v ‖2 = ‖−→u ‖2‖−→v ‖2− (−→u .−→v )2

Puisque D et D ′ sont non coplanaires, alors (−→u ,−→v ) est libre, donc −→u ∧−→v 6= −→0 , par suite, ledéterminant du système (S) est différent de zéro. (S) est donc un système de Cramer qui possèdeune solution unique.

Exemples 16Soient D et D ′ deux droites affine de E3 définies par,

D :

x+2 =−2zy = 3x+ z

D ′ :

x+ y+ z = 12x+ y− z = a

a) Déterminer le paramètre a ∈ R, pour que D et D ′ soient non coplanaires.

b) On suppose que a = 28. Déterminer une représentation cartésienne de la perpendiculaire com-mune aux droites D et D ′.

Réponse

a) Si on pose z = λ, alors D et D ′ ont pour représentation paramétrique,

D :

x =−2λ−2y =−5λ−6z = λ

D ′ :

x = 2λ+a−1y =−3λ−a+2z = λ

sur 78

3 M.HOUIMDI

Donc D = D(A,−→u ) et D ′ = D(B,−→v ), où

A

−2−60

, −→u

−2−51

, B

a−1−a+2

0

et −→v

2−31

On sait que D et D ′ sont non coplanaires, si et seulement si, (

−→AB,−→u ,−→v ) est libre, donc on

aura,

(−→AB,−→u ,−→v ) est libre ⇐⇒ det(

−→AB,−→u ,−→v ) 6= 0

⇐⇒

∣∣∣∣∣∣a+1 −2 2−a+8 −5 −3

0 1 1

∣∣∣∣∣∣ 6= 0

⇐⇒ −6a+30 6= 0

Donc D et D ′ sont non coplanaires, si et seulement si, a 6= 5.

b) Si a = 28, alors d’après ce qui précéde, D et D ′ sont non coplanaires. D’après la preuve duthéorème précédent, la perpendiculaire commune passe par les deux points P et Q avec−→AP = α

−→u et−→BQ = β

−→v , α et β sont solution du système :

(S) :

‖−→u ‖2α− (−→u .−→v )β =

−→AB.−→u

(−→u .−→v )α−‖−→v ‖2β =−→AB.−→v

En remplaçant les coëfficients de α et β par leurs valeurs, on obtient,30α−12β = 4212α−14β = 118

Donc α=−3 et β=−11, donc P et Q ont pour coordonnées respectives (4,9,−3) et (5,7,−11).Puisque la perpendiculaire commune ∆ = (PQ), alors une représentation paramétrique de ∆

est donnée par, x = λ+4y =−2λ+9z =−8λ−3

Donc en éliminant le paramètre λ, on obtient une représentation cartésienne de ∆, définie par,2x+ y = 178x+ z = 29

3.5.1 Distance de deux droites de E3

Rappelons que tout espace affine euclidien E est un espace métrique. Donc si A et B sont deux partiesnon vides de E , la distance de A à B est définie par :

d(A ,B) = inf(d(M,N) : (M,N) ∈ A×B) = inf(‖−−→MN‖ : (M,N) ∈ A×B)

Soient D et D ′ deux droites affines de E3, donc, quatre cas sont possibles :

i) D = D ′, alors d(D,D ′) = 0.

sur 78

3 M.HOUIMDI

ii) D et D ′ sont parallèles de vecteur directeur −→w avec D 6= D ′. Dans ce cas, pour déterminerd(D,D ′), il suffit de choisir un point M quelconque de D et de déterminer N ∈ D ′, tel que−−→MN.−→w = 0, alors on aura,

d(D,D ′) = ‖−−→MN‖

iii) D coupe D ′, alors d(D,D ′) = 0.

iv) D et D ′ sont non coplanaires. Dans ce cas, on a le théorème suivant :

Théorème 10Soient D et D ′ deux droites non coplanaires de E3 et soient P et Q les points d’intersection dela perpendiculaire commune avec D et D ′ respectivement, alors

d(D,D ′) = ‖−→PQ‖

PreuveSoient M et N deux points quelconques de D et D ′ respectivement, alors,

−−→MN =

−→MP+

−→PQ+

−→QN

avec−→PQ.−→MP = 0 et

−→PQ.−→QN = 0, donc on aura,

‖−−→MN‖2 = ‖−→PQ‖2 +‖−→MP+−→QN‖2

Par suite, pour tout (M,N) ∈D×D ′, on a ‖−→PQ‖ ≤ ‖−−→MN‖, donc

‖−→PQ‖= d(D,D ′) ( car (P,Q) ∈D×D ′)

Lemma 3Soient D = D(A,−→u ) et D ′ = D(B,−→v ) deux droites non coplanaires de E3 et soit −→w est unvecteur de E, tel que −→u .−→w = 0 et −→v .−→w = 0. Alors le produit scalaire

−−→MN.−→w ne dépent pas des

points M et N avec M ∈D et N ∈D ′.

PreuveSoient P et Q les points d’intersection de la perpendiculaire commune avec D et D ′ respectivement etsoient M et N deux points quelconques avec M ∈D et N ∈D ′. Puisque

−−→MN =

−→MP+

−→PQ+

−→QN avec−→

MP.−→w = 0 et−→QN.−→w = 0, alors on aura,

−−→MN.−→w =

−→PQ.−→w

Proposition 28Soient D = D(A,−→u ) et D ′ = D(B,−→v ) deux droites non coplanaires de E3. Alors,

d(D,D ′) =|det(−→AB,−→u ,−→v )|‖−→u ∧−→v ‖

PreuveSoient P et Q les points d’intersection de la perpendiculaire commune avec D et D ′ respectivementet soit −→w = −→u ∧−→v , alors −→u .−→w = 0 et −→v .−→w = 0. On a aussi

−→PQ.−→u = 0 et

−→PQ.−→v = 0, donc

−→PQ et

−→w sont colinéaires, par suite, on a

−→PQ =

−→PQ.−→w‖−→w ‖2

−→w =

−→PQ.(−→u ∧−→v )

‖−→u ∧−→v ‖2−→u ∧−→v

sur 78

3 M.HOUIMDI

D’après le lemme précédent,−→PQ.−→w =

−→AB.−→w , donc

−→PQ =

−→AB.(−→u ∧−→v )

‖−→u ∧−→v ‖2−→u ∧−→v

Par suite, on aura,

‖−→PQ‖= |−→AB.(−→u ∧−→v )|‖−→u ∧−→v ‖

=|det(−→AB,−→u ,−→v )|‖−→u ∧−→v ‖

3.6 Projection orthogonale

3.6.1 Définition et exemplesDéfinition 27Soient E un espace affine euclidien, F un sous-espace affine de E de direction F et G = F⊥. Onappelle projection orthogonal sur F , la projection affine sur F parallèlement à G.

Remarque 32Soient E un espace affine euclidien, F un sous-espace affine de E et p la projection orthogonale surF , alors d’après ce que nous avons vu sur les projections affines, on a

1. Pour tout point M ∈ E , on a p(M) ∈ F .

2. Pour tout point M ∈ E , p(M) est l’unique point de F , tel que−−−−→Mp(M) ∈ F⊥.

3. Fix(p) = F .4. −→p est la projection orthogonale sur F.

Exemples 17Soit E un espace affine euclidien quelconque.

1. Si D = D(A,−→u ) une droite affine de E , alors pour tout point M ∈E , la projection orthogonalep(M) de M sur la droite D est définie par :

−−−−→Ap(M) =

−→AM ·−→u‖−→u ‖2

−→u

En effet, puisque p(A) = A, alors on a−−−−→Ap(M) =

−−−−−−→p(A)p(M) =−→p (

−→AM)

Puisque −→p est la projection orthogonale sur Vect(−→u ), alors on sait que

∀−→v ∈ E, −→p (−→v ) =−→v ·−→u‖−→u ‖2

−→u

2. Soit F est hyperplan affine de E passant par le point A et de direction F. Si −→u est un vecteurnormal à F , c’est à dire, −→u ∈ F⊥, alors pour tout point M ∈ E , la projection orthogonalep(M) de M sur F est définie par :

−−−−→Ap(M) =

−→AM−

−→AM ·−→u‖−→u ‖2

−→u

En effet, −→p est la projection orthogonale sur l’hyperplan vectoriel F et puisque −→u ∈ F⊥, alorson sait que

∀−→v ∈ E, −→p (−→v ) =−→v −−→v ·−→u‖−→u ‖2

−→u

sur 78

3 M.HOUIMDI

3. Soit P = P(A,−→u ,−→v ) un plan affine d’un espace euclidien de dimension 3. P est donc unhyperplan affine de E et−→w =−→u ∧−→v est un vecteur normal à P , donc la projection orthogonalep sur à P est définie par,

∀M ∈ E ,−−−−→Ap(M) =

−→AM− det(

−→AM,−→u ,−→v )

‖−→u ∧−→v ‖2−→u ∧−→v

4. E3 est muni d’un repère orthonormé (O,−→i ,−→j ,−→k ). Déterminer l’expression analytique de la

projection orthogonale f sur la droite D définie par,x−1 = 0x+2y+ z = 0

Une représentation paramétrique de D est définie par,x = 1y = λ

z =−2λ−1

Donc D est la droite passant par le point A de coordonnées (1,0,−1) et de vecteur directeur−→u =

−→j −2

−→k , donc pour tout point M de coordonnées (x,y,z), on a

−→AM ·−→u = y−2z−2 et ‖−→u ‖2 = 5

Ainsi, si f (M) est de coordonnées (x′,y′,z′), alors on obtient,x′ = 1y′ = 1

5(y−2z−2)z′ = 1

5(−2y+4z−1)


projection orthogonale f sur le plan P d’équation x− y− z = 1Une représentation paramètrique de P est définie par,

x = λ+µ+1y = λ

z = µ

Donc P est le plan passant par le point A de coordonnées (1,0,0) et de vecteurs directeurs−→u =

−→i +−→j et−→v =

−→i +−→k , par suite, si M est un point de coordonnées (x,y,z), alors on aura

det(−→AM,−→u ,−→v ) = x− y− z−1, −→u ∧−→v =

−→i +−→j −−→k et ‖−→u ∧−→v ‖2 = 3

Ainsi, si f (M) est de coordonnées (x′,y′,z′), alors on obtient,x′ = 1

3(2x+ y+ z−2)y′ = 1

3(−x+ y+ z+1)z′ = 1

3(x− y− z−1)

sur 78

3 M.HOUIMDI

3.6.2 Distance d’un point à un sous-espace affineDéfinition 28Soient E un espace affine euclidien, F un sous-espace affine de E et M un point quelconque deE . On définit la distance de M à F , qu’on note d(M,F ), par :

d(M,F ) = inf(‖−−→MN‖ : N ∈ F )

Proposition 29Soient E un espace affine euclidien, F un sous-espace affine de E et p la projection orthogonalesur F . Alors,

∀M ∈ E , d(M,F ) = ‖−−−−→Mp(M)‖

PreuveSoient M ∈ E et N ∈ F , puisque

−−−−→Mp(M) ·

−−−−→p(M)N = 0, alors on a

‖−−→MN‖2 = ‖−−−−→Mp(M)+

−−−−→p(M)N‖2 = ‖

−−−−→Mp(M)‖2 +‖

−−−−→p(M)N‖2

Donc, ∀N ∈ F , ‖−−−−→Mp(M)‖ ≤ ‖−−→MN‖, par suite, ‖

−−−−→Mp(M)‖ ≤ d(M,F ).

Or p(M) ∈ F , donc d(M,F )≤ ‖−−−−→Mp(M)‖.

Distance d’un point à une droite affine de E2

Lemme 3Soit E un espace euclidien orienté de dimension 2, alors pour tout couple (−→u ,−→v ) de vecteursnon nuls de E, on a ( −→u ·−→v

‖−→u ‖‖−→v ‖

)2

+

(det(−→u ,−→v )

‖−→u ‖‖−→v ‖

)2

= 1

PreuveFixons une base orthonormale directe (

−→i ,−→j ) de E, alors on aura−→u = x

−→i +y

−→j et−→v = x′

−→i +y′

−→j .

Donc il s’agit de vérifier que

(xx′+ yy′)2 +(xy′− x′y)2 = (x2 + y2)(x′2 + y′2)

Remarque 33Soient E un espace euclidien orienté de dimension 2, (−→u ,−→v ) deux vecteurs non nuls de E. Alorsd’après la proposition précédente, on a

(−→u ·−→v )2

‖−→u ‖2‖−→v ‖2 +det(−→u ,−→v )2

‖−→u ‖2‖−→v ‖2 = 1

Donc il existe un unique θ ∈]−π,π], tel que

cosθ =−→u ·−→v‖−→u ‖‖−→v ‖

et sinθ =det(−→u ,−→v )

‖−→u ‖‖−→v ‖

Dans ce cas, θ s’appelle l’angle orienté formé par les vecteurs −→u et −→v .

Proposition 30Soient E2 un plan affine euclidien et D = D(A,−→u ) une droite affine de E , alors,

∀M ∈ E , d(M,D) =|det(−→AM,−→u )|‖−→u ‖

sur 78

3 M.HOUIMDI

PreuveSoit p la projection orthogonale sur D , alors on sait que

∀M ∈ E , d(M,D) = ‖−−−−→Mp(M)‖

Puisque−−−−→Ap(M) =

−→AM ·−→u‖−→u ‖2

−→u

Alors−−−−→Mp(M) =

−→AM ·−→u‖−→u ‖2

−→u −−→AM

Donc on aura,

‖−−−−→Mp(M)‖2 = ‖−→AM‖2− (

−→AM ·−→u )2

‖−→u ‖2

= ‖−→AM‖2

(1− (

−→AM ·−→u )2

‖−→u ‖2‖−→AM‖2

)

= ‖−→AM‖2

(det(−→AM,−→u )2

‖−→u ‖2‖−→AM‖2

)

=det(−→AM,−→u )2

‖−→u ‖2

Corollaire 3Soit (O,

−→i ,−→j ) un repère orthonormé de E2 et soit D une droite affine de E2 d’équation

ax+by+ c = 0, alors pour tout point M de E2 de coordonnées (x0,y0), on a

d(M,D) =|ax0 +by0 + c|√

a2 +b2

PreuvePuisque (a,b) 6= (0,0), alors on peut supposer, par exemple, que a 6= 0. Donc D est la droite passantpar le point A de coordonnées (− c

a ,0) et de vecteur directeur −→u = −b−→i + a

−→j . En appliquant la

formule de la proposition précédente, on obtient le résultat.

3.6.3 Distance d’un point à une droite affine de E3

Rappelons que si −→u et −→v sont deux vecteurs non nuls d’un espace euclidien E de dimension 3, alorsd’après la relation de Lagrange, on a( −→u ·−→v

‖−→u ‖‖−→v ‖

)2

+

(‖−→u ∧−→v ‖‖−→u ‖‖−→v ‖

)2

= 1

Ainsi, il existe un unique θ ∈ [0,π], tel que,

cosθ =−→u ·−→v‖−→u ‖‖−→v ‖

et sinθ =‖−→u ∧−→v ‖‖−→u ‖‖−→v ‖

Dans ce cas, θ s’appelle l’angle non orienté formé par les vecteurs −→u et −→v .

sur 78

3 M.HOUIMDI

Proposition 31Soient E3 un espace affine euclidien de dimension 3 et D = D(A,−→u ) une droite affine de E3,alors,

∀M ∈ E3, d(M,D) =‖−→AM∧−→u ‖‖−→u ‖

PreuveSoit p la projection orthogonale de E2 sur D , alors on sait que

−−−−→Mp(M) =

−→AM ·−→u‖−→u ‖

−→u −−→AM

Ainsi, on aura,

‖−−−−→Mp(M)‖2 = ‖−→AM‖2−

(−→AM ·−→u‖−→u ‖

)2

= ‖−→AM‖2

1−

( −→AM ·−→u‖−→AM‖‖−→u ‖

)2

Donc, d’après la relation de Lagrange, on obtient,

d(M,D) = ‖−−−−→Mp(M)‖= ‖

−→AM∧−→u ‖‖−→u ‖

3.6.4 Distance d’un point à un plan affine affine de E3

Rappelons que si E est un espace euclidien de dimension 3, alors le produit vectoriel de deux vecteursnon nuls −→u et −→v , est l’unique vecteur de E, qu’on note −→u ∧−→v , et qui est défini par,

∀−→x ∈ E, det(−→u ,−→v ,−→x ) = (−→u ∧−→v ) ·−→x

Proposition 32Soit P = P(A,−→u ,−→v ) un plan affine de E3, alors,

∀M ∈ E3, d(M,P ) =|det(−→u ,−→v ,

−→AM)

‖−→u ∧−→v ‖

PreuveSoit p la projection orthogonale sur P , puisque −→u ∧−→v est un vecteur normal à P , alors

∀M ∈ E3,−−−−→Ap(M) =

−→AM− (−→u ∧−→v ) ·−→AM

‖−→u ∧−→v ‖2−→u ∧−→v

On en déduit, donc, que

d(M,P ) = ‖−−−−→Mp(M)‖= |det(−→u ,−→v ,

−→AM)|

‖−→u ∧−→v ‖

Corollaire 4Soit (O,

−→i ,−→j ,−→k ) un repère orthonormé de E3 et P un plan affine de E3 d’équation

ax+by+ cz+d = 0, alors pour tout point M de coordonnées (x0,y0,z0), on a

d(M,P ) =|ax0 +by0 + cz0|√

a2 +b2 + c2

sur 78

3 M.HOUIMDI

PreuvePuisque (a,b,c) 6= (0,0,0), alors on peut supposer, par exemple, que a 6= 0, donc P est le plan passantpar le point A de coordonnées (−d

a ,0,0) et de vecteurs directeurs −→u et −→v avec −→u =−b−→i +a

−→j et

−→v =−c−→i +a

−→k . Donc en appliquant la formule de la proposition précédente, on aura le résultat.

3.7 Symétrie orthogonale

Définition 29Soient E un espace affine euclidienne et F un sous-espace affine de E de direction F. On appellesymétrie orthogonale par rapport à F , la symétrie affine affine par rapport à F parallélement àG = F⊥.

Remarque 34Soit f la symétrie orthogonale par rapport à F et soit p la projection orthogonale sur F , alors onsait que,

1. Pour tout point M ∈ E , p(M) est le milieu du segment [M, f (M)], donc f (M) est définie par,

−−−−→M f (M) = 2

−−−−→Mp(M)

2. Pour tout M ∈ E ,−−−−→M f (M) ∈ F⊥.

3.−→f est la symétrie vectorielle orthogonale par rapport à F,

−→f : E = F⊕F⊥ −→ E−→x =−→x1 +

−→x2 7−→−→f (−→x ) =−→x1 −−→x2

4. ∀M ∈ E ,∀N ∈ E , ‖−−−−−−→f (M) f (N)‖= ‖−→f (−−→MN)‖= ‖−−→MN‖.

Exemples 18E est un espace affine euclidien quelconque.

1. Soit D = D(A,−→u ) une droite affine de E . Alors la symétrie orthogonale f par rapport à D estdéfinie par,

∀M ∈ E ,−−−−→A f (M) = 2

−→AM ·−→u‖−→u ‖2

−→u −−→AM

2. Si F est un hyperplan de E passant par le point A et si −→u est un vecteur normal à F , alors lasymétrie orthogonale par rapport à F est définie par,

∀M ∈ E ,−−−−→A f (M) =

−→AM−2

−→AM ·−→u‖−→u ‖2

−→u

3. Soit P = P(A,−→u ,−→v ) un plan affine d’un espace euclidien de dimension 3. P est donc unhyperplan affine de E et −→w =−→u ∧−→v est un vecteur normal à P , donc la symétrie orthogonalef par rapport à P est définie par,

∀M ∈ E ,−−−−→A f (M) =

−→AM−2

det(−→AM,−→u ,−→v )

‖−→u ∧−→v ‖2−→u ∧−→v

sur 78

3 M.HOUIMDI

4. Soit E3 un espace euclidien de dimension 3 muni d’un repère orthonormé (O,−→i ,−→j ,−→k ). Dé-

terminer l’expression analytique de la symétrie orthogonale f par rapport à la droite affine Ddéfinie par,

D :

x+ y+ z = 1x+2y+ z = 2

Si on pose z = λ, alors D a pour représentation paramétrique,x =−λ

y = 1z = λ

Donc D est la droite passant par le point A de coordonnées (0,1,0) et de vecteur directeur−→u = −−→i +

−→k . Pour tout point M de coordonnées (x,y,z) on désigne par (x′,y′,z′) les coor-

données de M′ = f (M), donc on aura,−→AM ·−→u =−x+ z et ‖−→u ‖= 2 puisque

−−−−→A f (M) = 2

−→AM ·−→u‖−→u ‖2

−→u −−→AM

alors, on obtient, x′ =−zy′ =−y+2z′ =−x


symétrie orthogonale f par rapport au plan P d’équation x+ y+ z = 1.Si on pose y = λ et z = µ, alors P a pour représentation paramétrique,

P :

x =−λ−µ+1y = λ

z = µ

Donc P est le plan passant par le point A de coordonnées (1,0,0) et de vecteurs directeurs−→u =−−→i +

−→j et −→v =−−→i +

−→k . Donc pour tout point M de coordonnées (x,y,z).

det(−→AM,−→u ,−→v ) = x+ y+ z−1, −→u ∧−→v =

−→i −−→j +

−→k et ‖−→u ∧−→v ‖= 3

Donc si f (M) a pour coordonnées (x′,y′,z′), alors on ax′ = 1

3(2x− y− z−2)y′ = 1

3(x+ y+ z−1)z′ = 1

3(−x− y− z+1)

3.8 Isométries affines

3.8.1 Définition et propriètés de baseDéfinition 30Soient E un espace affine euclidien et f une application affine de E . On dit que f est uneisométrie affine de E , si f conserve les distances :

∀M ∈ E ,∀N ∈ E , d( f (M), f (N)) = d(M,N)

sur 78

3 M.HOUIMDI

Remarque 35Soient E un espace affine euclidien et f une application affine de E .

1. f est une isométrie affine, si et seulement si,

∀M ∈ E ,∀N ∈ E , ‖−−−−−−→f (M) f (N)‖= ‖−−→MN‖

2. f est une isométrie affine de E , si et seulement si,−→f est un endomorphisme orthogonal de E.

3. Si f est une isométrie affine alors f une bijection affine et f−1 est aussi une isométrie affine.

4. Si f et g sont deux isométries affines de E , alors g f est une isométrie affine de E .

5. On désigne par Isom(E) l’ensemble de toutes les isométries affines de E , alors (Isom(E),)est un groupe, appelé groupe des isométries affine de E .

6. Rappelons que si−→f est un endomorphisme orthogonal, alors det(

−→f ) =±1.

Définition 31Soient E un espace euclidien et f une isométrie affine de E .

i) Si det(−→f ) = 1, on dit que f est un déplacement de E .

ii) Si det(−→f ) =−1, on dit que f est un antidéplacement de E .

Remarque 36On désigne par Isom+(E) l’esemble des déplacements de E et par Isom−(E) celui des antidéplace-ments de E , alors

1. Isom+(E) est un sous-groupe de Isom(E).

2. Le groupe T des translations de E est un sous-groupe de Isom+(E).

3. Isom−(E) n’est pas un sous-groupe de Isom(E).

Exemples 191. Toute translation de E est une isométrie affine de E .

2. Toute symétrie orthogonale est une isométrie affine de E .

3. Toute symytrie centrale est une isométrie de E .

Lemme 4Soient E un espace euclidien et u un endomorphisme orthogonal de E. Alors on a,

ker(u− IdE)⊥ = Im(u− IdE)

PreuveE est de dimension finie, donc on a

dim(E) = dimker(u− IdE)+dim Im(u− IdE) = dimker(u− IdE)+dimker(u− IdE)⊥

Donc dimker(u− IdE)⊥ = dim Im(u− IdE), par suite, il suffit de montrer que

Im(u− IdE)⊆ ker(u− IdE)⊥

Pour cela, soit x ∈ E et y ∈ ker(u− IdE), alors on a

< u(x)− x,y > = < u(x),y >−< x,y >= < x,u∗(y)>−< x,y >= < x,u−1(y)>−< x,y > (car u∗ = u−1)

= < x,u−1(y)− y >= 0 (car u−1(y) = y)

sur 78

3 M.HOUIMDI

Théorème 11 (Théorème de décomposition)Soient E un espace euclidien et f une isométrie affine de E sans points fixes. Alors il existe ununique −→v ∈ E et une unique isométrie g de E , tels que,

i) f = t−→v g = g t−→v .ii) −→v ∈ ker(

−→f − IdE).

iii) Fix(g) 6= /0.

PreuveD’après le lemme précédent, E = ker(

−→f − IdE)⊕ Im(

−→f − IdE), donc d’après le théorème 8, on a le

résultat.

Remarque 37Rappelons que Fix(g) est défini par,

M ∈ Fix(g)⇐⇒−−−−→M f (M) ∈ ker(

−→f − IdE)

et que le vecteur −→v est défini par −→v =−−−→A f (A), pour n’importe quel point A ∈ Fix(g).

Exemples 20L’espace affine euclidien E3 est muni d’un repère orthonormé (O,

−→i ,−→j ,−→k ). Soit f l’application

affine définie analytiquement par, x′ =−z−1y′ =−y+2z′ =−x+1

Montrer que f est une isométrie affine sans points fixes, puis déteminer −→v ∈ E et une isométrie g deE3, tel que f = t−→v g = g t−→v .D’après la remarque précédente, nous commençons par chercher Fix(g) pour cela, on cherche d’abordker(−→f − IdE). Soit −→u = a

−→i +b

−→j + c

−→k , alors on a,

−→u ∈ ker(−→f − IdE) ⇐⇒

−1 0 −10 −2 0−1 0 −1

abc

=

000

⇐⇒

a+ c = 0b = 0

On a−−−−→M f (M) = (−x− z−1)

−→i +(−2y+2)

−→j +(−x− z+1)

−→k , donc on aura

−−−−→M f (M) ∈ ker(

−→f − IdE) ⇐⇒

(−x− z−1)+(−x− z+1) = 0−2y+2 = 0

⇐⇒

x+ z = 0y = 1

Donc Fix(g) est la droite affine D passant par le point A de coordonnées (0,1,0) et de vecteurdirecteur −→u = −−→i +

−→k . On sait que −→v =

−−−−→M f (M) pour n’importe quel point M ∈ Fix(g), donc il

suffit de prendre −→v =−−−→A f (A), par suite on aura −→v =−−→i +

−→k .

Ainsi, f = t−→v g = g t−→v , où g est la symétrie orthogonale par rapport à la droite affine D .

sur 78

3 M.HOUIMDI

3.8.2 Isométrie du plan affine euclidienLes déplacements

Rappelons que si E un espace euclidien orienté de dimension 2 et si u est un endomorphisme ortho-gonal de E, tel que det(u) = 1, alors il existe un unique θ ∈]−π,π], tel que la matrice de u par rapportà n’importe quel base orthonormale directe de E, s’écrit sous la forme,(

cosθ −sinθ

sinθ cosθ

)Notons aussi que dans ce cas, u s’appelle la rotation vectorielle d’angle θ.

Théorème 12Soient E2 un plan affine euclidien et f un déplacement de E2.

i) Si−→f = IdE , alors f est une translation.

ii) Si−→f 6= IdE , alors Fix( f ) est réduit à un unique point Ω.

Dans ce cas, on dit que f est la rotation de centre Ω et d’angle θ, où θ est l’angle de larotation vectorielle

−→f .

Preuvei) On sait qu’une application affine f est une translation, si et seulement si,

−→f = IdE .

ii) On sait qu’une application affine f possède un unique point fixe, si et seulement si, 1 n’est pasvaleur propre de

−→f . Puisque

−→f est une rotation vectorielle et

−→f 6= IdE , alors 1 n’est pas valeur

propre de−→f , donc f possède un unique point fixe.

Remarque 38Soient E2 un plan affine euclidien orienté et f une rotation de centre Ω et d’angle θ, alors on a

∀M ∈ E2, cosθ =

−−→ΩM ·

−−−−→Ω f (M)

‖−−→ΩM‖2

et sinθ =det(−−→ΩM,

−−−−→Ω f (M)

‖−−→ΩM‖2

Donc, tenant compte que ‖−−→ΩM‖ = ‖−−−−→Ω f (M)‖, θ est l’angle orienté formé par les vecteurs

−−→ΩM et

−−−−→Ω f (M).

sur 78

3 M.HOUIMDI

Les antidéplacements

Rappelons que si E un espace euclidien orienté de dimension 2 et si u est un endomorphisme ortho-gonal de E, tel que det(u) =−1, alors 1 et −1 sont valeurs propre de u et est une symétrie vectorielleorthogonale par rapport à ker(u− IdE).

Théorème 13Soient E2 un plan affine euclidien et f un antidéplacement de E2.

i) Si Fix( f ) 6= /0, alors Fix( f ) est une droite affine de E2 et f est une symétrie orthogonale parrapport à Fix( f ).

ii) Si Fix( f ) = /0, alors il existe un unique vecteur −→v ∈ ker(−→f − IdE) et une unique symétrie

orthogonale g, tels que,f = t−→v g = g t−→v

Dans ce cas, f s’appelle une symétrie glissée de vecteur −→v et de base Fix(g).

Preuvei) Fix( f ) 6= /0 et 1 est une valeur propre de

−→f , donc Fix( f ) n’est pas réduit à un seul point. De

plus, Fix( f ) 6= E2, car−→f 6= IdE , donc Fix( f ) est une droite vectorielle et f est la symétrie

orthogonale par rapport à Fix( f ).ii) C’est une conséquence du théorème de décomposition.Exemples 21Soit f l’application affine de E2 définie analytiquement dans un repère orthonormé (O,

−→i ,−→j ) par,

x′ = 15(−3x+4y+6)

y′ = 15(4x+3+22)

Montrer que f est isométrie et déterminer sa nature.Soit A la matrice de

−→f par rapport à la base (

−→i ,−→j ), alors on a,

tAA =1

25

(−3 44 3

)(−3 44 3

)=

(1 00 1

)Donc A est une matrice orthogonale, par suite f est une isométrie. On a det(A) =−1, donc f est unantidéplacement.Soit M un point quelconque de coordonnées (x,y), alors on a

M ∈ Fix( f ) ⇐⇒

x = 1

5(−3x+4y+6)y = 1

5(4x+3y+22)

⇐⇒

4x−2y = 34x−2y =−22

Donc Fix( f ) = /0, par suite f est une symétrie glissée. Déteminons, donc, −→v et g, tels que

f = t−→v g = g t−→v

Pour cela, remarquons d’abord que ker(−→f − IdE) = a

−→i +b

−→j : b = 2a. Cherchons, donc, Fix(g),

M ∈ Fix(g) ⇐⇒−−−−→M f (M) ∈ ker(

−→f − IdE)

⇐⇒ 4x−2y+22 = 2(−8x+4y+6)⇐⇒ 2x− y+1 = 0

On sait que −→v =−−−−→M f (M) pour n’importe quel point M ∈ Fix( f ). Le point A de coordonnées (0,1)

appartient à Fix( f ), donc −→v =−−−→A f (A) = 2

−→i + 4

−→j et g est la projection orthogonal sur la droite

affine d’équation 2x− y+1 = 0.

sur 78

3 M.HOUIMDI

3.8.3 Isométries de l’espace affine de dimension 3

Les déplacements

Rappelons que si E est un espace euclidien orienté de dimesion 3 et si u est un endomorphismeorthogonal de E, tel que u 6= IdE et det(u) = 1, alors 1 est valeur propre de u de multiplicité 1 et si −→eest un vecteur unitaire propre associé à la valeur propre 1, alors, il existe un unique θ ∈]−π,π], telque la matrice de u par rapport à n’impote quelle base orthonormale directe dont le premier vecteurest égal à −→e , s’écrit sous la forme, 1 0 0

0 cosθ −sinθ

0 sinθ cosθ

Dans ce cas, u s’appelle la rotation vectorielle d’angle θ et d’axe ∆ = ker(u− IdE).

Remarque 39Soit u une rotation de E d’angle θ, alors d’après ce qui précède, il existe une base orthonormale deE, dans laquelle la matrice de u s’écrit sous la forme,1 0 0

0 cosθ −sinθ

0 sinθ cosθ

Donc on remarque que 1+2cosθ = trace(u)

Théorème 14Soient E3 un espace euclidien orienté de dimension 3 et f un déplacement de E3.

i) Si−→f = IdE , alors f est une translation de E3.

ii) Si−→f 6= IdE et Fix( f ) 6= /0, alors

−→f est une rotation vectorielle d’angle un certain θ∈],−π,π]

et ∆ = Fix( f ) est une droite affine de E3.Dans ce cas, f s’appelle la rotation affine d’angle θ et d’axe ∆.

iii) Si−→f 6= IdE et Fix( f ) = /0, alors il existe un unique vecteur−→v ∈ ker(

−→f − IdE) et une unique

rotation g d’angle θ et d’axe ∆, tels que,

f = t−→v g = g t−→v

Dans ce cas, f s’appelle un vissage d’angle θ, de vecteur −→v et d’axe ∆.

Preuvei) Vraie, par définition d’une translation.

ii)−→f est une rotation vectorielle, donc 1 est vecteur propre de

−→f de multiplicité 1, par suite, Fix( f )

une droite affine.iii) D’après le théorème de décomposition.

Proposition 33Soient E un espace euclidien orienté et u une rotation de E d’angle θ et d’axe ∆ =Vect(−→e ) avec‖−→e ‖= 1. Alors

i) ∀−→x ∈ ∆⊥, u(−→x ) = cosθ−→x + sinθ

−→e ∧−→x .

ii) ∀−→x ∈ E, u(−→x ) = (1− cosθ)(−→e ·−→x )−→e + cosθ−→x + sinθ

−→e ∧−→xiii) L’angle de rotation θ est déterminée par

cosθ =trace(u)−1

2et ∀−→x /∈ ∆, sinθ =

det(−→e ,−→x ,u(−→x ))

‖−→e ∧−→x ‖2

sur 78

3 M.HOUIMDI

Preuvei) Soit −→x ∈ ∆⊥, alors −→x ·−→e = 0. Soit −→y =

−→x‖−→x ‖

, alors (−→e ,−→y ,−→e ∧−→y ) est une base orthonormale

directe de E dont le premier vectur est égal à −→e , par suite, la matrice de u par rapport à cettebase s’écrit sous la forme, 1 0 0

0 cosθ −sinθ

0 sinθ cosθ

Donc on voit que u(−→x ) = cosθ

−→x + sinθ−→e ∧−→x .

ii) Soit −→x ∈ E, alors −→x − (−→e ·−→x )−→e ∈ ∆⊥, donc d’après i), on obtient le résultat.iii) Soit −→x /∈ ∆, alors d’après i), on a u(−→x ) = (1− cosθ)(−→e ·−→x )−→e + cosθ

−→x + sinθ−→e ∧−→x , donc

u(−→x ) · (−→e ∧−→x ) = sinθ.‖−→e ∧−→x ‖2 avec u(−→x ) · (−→e ∧−→x ) = det(−→e ,−→x ,−−→u(x)).

Remarque 401. Soient E un espace euclidien orienté de dimension 3 et u une rotation de E d’angle θ et d’axe

∆, alors pour tout −→x ∈ ∆⊥, on a

cosθ =u(−→x ) ·−→x‖−→u ‖2 et sinθ =

det(−→e ,−→x ,−−→u(x))

‖−→x ‖2

2. Soit E3 un espace affine euclidien orienté de dimension 3 et f un déplacement de E3.a) Si f est une rotation de E3 d’angle θ et d’axe ∆ = D(A,−→u ) avec ‖−→u ‖= 1, alors

cosθ =trace(

−→f )−1

2et ∀M /∈ ∆, sinθ =

det(−→u ,−→AM,−−−−→A f (M))

‖−→u ∧−→AM‖2

b) Si f est un vissage de E3 d’angle θ de vecteur −→v et d’axe ∆, alors

∆ = M ∈ E3, :−−−−→M f (M) ∈ ker(

−→f − IdE)

Puis −→v =−−−−→M f (M) pour n’importe quel point M ∈ ∆.

Définition 32Soit E3 un espace affine euclidien de dimension 3. On appelle retournement de E , toute rotationd’angle π.

Remarque 41Soit f un retournement de E3 d’axe ∆, alors f est la symétrie orthogonale par rapport à ∆.

Exemples 22Soit E3 un espace euclidien de dimension 3, muni d’un repère orthonormé (O,

−→i ,−→j ,−→k ).

1. Soit f l’application affine de E3 définie analytiquement par,x′ = 1

3(−x+2y+2z−4)y′ = 1

3(2x− y+2z+2)z′ = 1

3(2x+2y− z+2)

Montrer que f est une rotation affine et déterminer l’axe et l’angle de f . Soit A la matrice de−→f par rapport à la base (

−→i ,−→j ,−→k ), alors

AtA =19

−1 2 22 −1 22 2 −1

−1 2 22 −1 22 2 −1

=

1 0 00 1 00 0 1

et det(A) = 1

sur 78

3 M.HOUIMDI

Donc f est un déplacement de E3. Soit M un point de E3 de coordonnées (x,y,z) dans le repère(O,−→i ,−→j ,−→k ), alors

M ∈ Fix( f ) ⇐⇒

4x−2y−2z+4 = 02x−4y+2z+2 = 02x+2y−4z+2 = 0

⇐⇒

2x− y− z+2 = 0x−2y+ z+1 = 0x+ y−2z+1 = 0

⇐⇒

2x− y− z+2 = 0x+ y−2z+1 = 0

Donc Fix( f ) est la droite passant par le point A de coordonnée (−1,0,0) et de vecteur directeur−→u =

−→i +−→j +−→k . D’autre part, on a

cosθ =trace(

−→f )−1

2=−1

Donc θ = π, par suite, f est la rotation affine d’angle π et d’axe ∆ = D(A,−→u ).2. Soit f l’application affine de E3 définie analytiquement par,

x′ =−z+1y′ =−xz′ = y−2

Montrer que f est un vissage dont on déterminera l’axe et le vecteur. On vérifie facilement quef est un déplacement sans points fixes, donc f est un vissage. Soit −→v = a

−→i +b

−→j + c

−→k , alors

−→v ∈ ker(−→f − IdE) ⇐⇒

−c = a−a = bb = c

⇐⇒

a =−cb = c

Soient ∆ l’axe du vissage f et M un point de E3 de coordonnées x,y,z), alors on sait que,

M ∈ ∆ ⇐⇒−−−−→M f (M) ∈ ker(

−→f − IdE)

⇐⇒

−x− z+1 =−y+ z+2−x− y = y− z−2

⇐⇒

x− y+2z+1 = 0x+2y− z−2 = 0

Donc ∆ est la droite affine passant par le point A de coordonnées (0,1,0) et de vecteur directeur−→u =−−→i +

−→j +−→k . Donc le vecteur−→v du vissage f est défini par−→v =

−−−→A f (A) =

−→i −−→j −

−→k .

On remarque que −→w =−→i +−→k est un vecteur orthogonal à l’axe, donc l’angle θ du vissage est

déterminé par,

cosθ =trace(

−→f )−1

2=−1

2et sinθ =

det(−→u ,−→w ,−→f (−→w ))

‖−→u ‖‖−→w ‖2 =−√

32

Donc f est le vissage de vecteur −→v =−→i −−→j −

−→k d’axe ∆ = D(A,−→u ) et d’angle 4π

3 .

sur 78

3 M.HOUIMDI

Les antidéplacements

Rappelons que si E est un espace euclidien orienté et si u est un endomorphisme orthogonal, tel quedet(u) =−1, alors

i) Si 1 est valeur propre de u, alors 1 est de multiplicité 2 et u est la symétrie orthogonale par rapportau plan vectoriel ker(u− IdE).

ii) Si 1 n’est pas valeur propre de u et si −→e est un vecteur propre unitaire associé à −1, alors lamatrice de u par rapport à n’importe quelle base orthonormale directe dont le premier vecteurest −→e , s’écrit sous la forme, −1 0 0

0 cosθ −sinθ

0 sinθ cosθ

Donc u = r s = s r, où r est la rotation d’axe ∆ = ker(u+ IdE) et d’angle θ et s la symétrieorthogonale par rapport au plan vectoriel ker(u+ IdE)

⊥.L’angle θ est donc déterminé par,

cosθ =trace(u)+1

2et ∀−→x ∈ ker(u+ IdE)

⊥, sinθ =det(−→e ,−→x ,u(−→x ))

‖−→x ‖2

Théorème 15Soient E3 un espace affine euclidien de dimension 3 et f un antidéplacement de E3.

i) Si 1 est valeur propre de−→f et Fix( f ) 6= /0, alors Fix( f ) est un plan affine de E3 et f est la

symétrie orthogonale par rapport à Fix( f ).

ii) Si 1 est une valeur propre de−→f et Fix( f ) = /0, alors f s’écrit d’une manière unique sous la

forme,f = t−→v g = g t−→v

où−→v ∈ ker(−→f − IdE) et g est une symétrie orthogonale par rapport à un plan de direction

ker(−→f − IdE).

iii) Si 1 n’est pas valeur propre de−→f , alors f possède un unique point fixe Ω et f s’écrit d’une

manière unique sous la forme,f = r s = s r

où r est une rotation d’axe la droite passant par le point Ω et de direction ker(−→f + IdE)

et s la symétrie orthogonale par rapport au plan passant par le point Ω et de directionker(−→f + IdE)

⊥.Dans ce cas, on dit que f est une symétrie-rotation.

Remarque 42Un antidéplacement f de E3 peut-être caractérisé à l’aide de ses points fixes :

1. Si Fix( f ) est un plan affine, alors f est la symétrie orthogonale par rapport à ce plan affine.

2. Si Fix( f ) est réduit à un seul point A, alors f est une symétrie-rotation.

3. Si Fix( f ) = /0, alors f est une symétrie translation.

Exemples 23Soit E3 un espace affine euclidien orienté de dimension 3 muni d’un repère orthonormé (O,

−→i ,−→j ,−→k ).

Dans chacun des cas suivants, déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’applicationaffine f définie analytiquement par,

sur 78

3 M.HOUIMDI

a)

x′ = 1

3(2x+ y−2z+1)y′ = 1

3(x+2y+2z−1)z′ = 1

3(−2x+2y− z+2)

b)

x′ = 1

3(x+2y+2z+10)y′ = 1

3(2x+ y−2z−1)z′ = 1

3(2x−2y+ z−1)

c)

x′ = yy′ = z−1z′ =−x+1

Réponse :

a) Soit A la matrice de−→f par rapport à la base (

−→i ,−→j ,−→k ), alors

tAA =19

1 −21 2 2−2 2 −1

2 1 −21 2 2−2 2 −1

=

1 0 00 1 00 0 1

et det(A) =−1

donc f est un antidéplacement de E3. Soit M un point quelconque de coordonnées (x,y,z) parrapport au repère (O,

−→i ,−→j ,−→k ), alors

M ∈ Fix( f )⇐⇒ x− y+2z = 1

Donc Fix( f ) est le plan affine d’équation x−y+2z= 1, par suite, f est la symétrie orthogonalepar rapport à ce plan.

b) Soit A la matrice de−→f par rapport à la base (

−→i ,−→j ,−→k ), alors

tAA =19

1 2 22 1 −22 −2 1

1 2 22 1 −22 −2 1

=

1 0 00 1 00 0 1

et det(A) =−1

donc f est un antidéplacement de E3. Soit M un point quelconque de coordonnées (x,y,z) parrapport au repère (O,

−→i ,−→j ,−→k ), alors

M ∈ Fix( f ) ⇐⇒

2x−2y−2z = 105

22x−2y−2z = 1

Donc Fix( f ) = /0, par suite, f est une symétrie-glissée, donc f s’écrit sous la forme :

f = t−→v g = g t−→v avec −→v ∈ ker(−→f − IdE)

Soit −→w = a−→i +b

−→j + c

−→k , alors

−→w ∈ ker(−→f − IdE)⇐⇒ a = b+ c

Soit M un point quelconque de coordonnées (x,y,z), alors on aura,

M ∈ Fix(g) ⇐⇒−−−−→M f (M) ∈ ker(

−→f − IdE)

⇐⇒ −2x+2y+2z+10 = (2x−2y−2z−1)+(2x−2y−2z−1)⇐⇒ x− y− z = 2

Donc g est la symétrie orthogonale par rapport au plan affine d’équation x− y− z = 2 et onsait que −→v =

−−−−→M f (M) pour n’importe quel point M ∈ Fix(g), donc −→v = 2

−→i +−→j +−→k .

sur 78

3 M.HOUIMDI

c) On voit facilement que Fix( f ) est réduit au seul point A de coordonnées (0,0,1), donc f est unesymétrie-translation qui sécrit sous la forme f = r s = s r. Il est aussi facile de voir queker(−→f + IdE) = Vect(−→e1 −−→e2 +

−→e3) et que ker(−→f + IdE)

⊥ = Vect(−→e1 +−→e2 ,−→e2 +

−→e3). Donc sest la symétrie orthogonale par rapport au plan passant par le point A et de vecteurs directeurs−→u = −→e1 +

−→e2 et −→v = −→e1 +−→e2 et r est la rotation d’axe la droite passant par le point A et de

vecteur directeur −→e =−→e1 −−→e2 +−→e3 et d’angle θ défini par,

cosθ =1+ trace(

−→f )

2=

12

et sinθ =det(−→e ,−→u ,

−→f (−→u ))

‖−→e ‖‖−→u ‖2 =−√

32

Donc θ =−π

3 .

3.9 ExercicesExercice 36Le plan affine euclidien est rapporté à un repère (O,

−→i ,−→j ). Soient A,B et C les points de coordonnées

(2,−2,0), (4,2,6) et (−1,−3,0). Montrer que A, B et C sont non alignés et déterminer l’orthocentre,le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

Exercice 37Le plan affine euclidien E est rapporté à un repère orthonormé direct (O,

−→i ,−→j ). Soient D une droite

affine de E , A, B et C trois points non alignés de E . On note s la symétrie orthogonale par rapport àD .

1. Montrer que si s(A),s(B),s(C) = A,B,C, alors l’un des points A, B ou C est sur la droiteD et que deux des cotés du triangle ABC ont même longueur.

2. On suppose désormais que AB = AC = BC. Quelles sont les symétries axiales transformant letriangle ABC en lui même ?

3. En composant deux symétries convenables, montrer qu’il existe une rotation r vérifiant r(A) =B, r(B) =C et r(C) = A. Quel est son centre ?

4. Montrer qu’il n’existe qu’une seule rotation r vérifiant (A) = B, r(B) =C et r(C) = A. Quellessont les rotations transformant le triangle ABC en lui même ?

Exercice 38Le plan affine euclidien est rapporté à un repère (O,

−→i ,−→j ). Soient A,B et C trois points non alignés

de ce plan.1. Montrer qu’une application affine transformant le triangle ABC en lui même, possède au moins

le centre de gravité de ABC comme point fixe.2. Déterminer le groupe des isométries transformant le triangle ABC en lui-même.

a) Montrer que pour tout point M du plan, on a−→MA ·−→BC+

−→MB ·−→CA+

−→MC ·−→AB = 0

En déduire que les trois hauteurs d’un triangle ABC sont concourantes en un point H,appelé orthocentre du triangle ABC.

b) Soient Ω le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.et K le point défini par−→ΩK =

−→ΩA+

−→ΩB+

−→ΩC

Montrer que K est l’orthocentre H du triagle ABC.En déduire que les points Ω, H et G, centre de gravité du triangle ABC, sont alignés.La droite passant par les points Ω, H et G s’appelle la doite d’euler .

sur 78

3 M.HOUIMDI

3. Soient A, B et C les points de coordonnées (1,4), (−2,−3) et (4,−1). Vérifier que A, B et Csont non alignés et déterminer les coordonnées des points Ω, H et G.

4. Etant donnés deux points A et B et un point H du plan, à quelle(s) condition(s) existe-t-il ununique triangle dont A et B en soient sommets et H l’orthocentre..

Exercice 39Soit E un espace affine euclidien orienté de dimension 3, muni d’un repère orthonormé. Déterminerla perpendiculaire commune et la distance des droites D et D ′ définies par,

D :

x+ y+ z+1 = 02x+ y+5z = 2

, D ′ :

x+ y+ z = 22x+ y−5z = 3

D :

x+ y−3z+4 = 02x− z+1 = 0

, D ′ :

x = z−1y = z−1

D :

x+ y+ z = 1x+ y = 1

, D ′ :

x+ y−2z = 1x− y =−1

D :

x− y = 1 = 0z = 1

, D ′ :

x = 1y− z = 0

Exercice 40Soit E un espace affine euclidien orienté de dimension 3. Soient D et D ′ deux droites non coplanairesde E , dirigées respectivement par les vecteurs unitaires −→u et −→v , ∆ la perpendiculaire commune auxdroites D et D ′, H et H ′ les points d’intersection de ∆ avec D et D ′ et O le milieu du segment [H,H ′].

1. Soit θ l’angle non orienté formé par les vecteurs−→u et−→v . On rappelle que θ ∈]−π,π] est définipar

cosθ =−→u ·−→v‖−→u ‖−→v ‖

et sinθ =‖−→u ∧−→v ‖‖−→u ‖−→v ‖

a) Montrer que

‖−→u +−→v ‖= 2cosθ

2et ‖−→u −−→v ‖= 2sin

θ

2

b) On pose−→i =

−→u +−→v‖−→u +−→v ‖

,−→j =

−→u −−→v‖−→u −−→v ‖

et−→k =−→i ∧−→k

Montrer que (O,−→i ,−→j ,−→k est un repère orthonormé direct.

Désormais E sera supposé muni de ce repère.

c) Vérifier que −→u = cos θ

2−→i + sin θ

2−→j et −→v = cos θ

2−→i − sin θ

2−→j

d) Montrer qu’il existe a ∈ R, tel que−→OH = a

−→k et−−→OH ′ =−a

−→k .

2. Soit M un point de coordonnées (x,y,z).

a) Exprimer d(M,D) et d(M,D ′) en fonction de x,y,z,a et θ.

b) Soit Σ l’ensemble des points M tels que d(M,D) = d(M,D ′). Trouver une équation carté-sienne de Σ.

3. Pour α ∈ R, on note Πα le plan d’équation z = α. On munit ce plan du repère (Oα,−→i ,−→j ), où

Oα est le point d’intersection de Πα avec la droite (Oz).

a) Soit M un point de Πα de coordonnées (x,y). A quelle condition M appartient-il à Σ ?

sur 78

3 M.HOUIMDI

b) Préciser l’intersection de Σ avec Πα.

4. PÃuur ϕ ∈ R, on pose −→u ϕ = cosϕ−→i + sinϕ

−→j et on considère le plan Π′ϕ dont le repère est

(O,−→u ϕ,−→k ).

a) A quelle condition un point M du plan Π′ϕ, de coordonnées (t,z), appartient-t-il à Σ ?

b) Préciser l’intersection de Σ avec Π′ϕ.

Exercice 41L’espace affine euclidien est muni d’un repère orthonormé R = (O,

−→i ,−→j ,−→k ). Soient P le plan affine

d’équation x− y+ z−1 = 0 et s la symétrie orthogonale par rapport à P .

1. Déterminer l’expression analytique de s par rapport au repère R .

2. Soit D la droite passant par O et de vecteur directeur −→u = 2−→i −−→j +

−→k . Déterminer s(D).

a-t-on s(D) = D ?

3. Soit D = D(A,−→v ), la droite passant par le point A et de vecteur directeur −→v . Trouver unecondition necessaire et suffisante sur −→v pour qu’on ait s(D) = D .

4. Si s(D) = D que peut-on dire de la réstriction de s à D ?

Exercice 42L’espace affine euclidien E3 est muni d’un repère orthonormé direct (O,


droites D1 et D2 définies par leurs équations cartésiennes :

D1 :

x+ y+ z = 1x+2y+ z = 2

, D2 :

x = 1x+2y+ z = 0

1. Soient s1 et s2 les symétries orthogonales par rapport aux droites D1 et D2. Déterminer lesmatrices de s1 et s2 par rapport au repère (O,

−→i ,−→j ,−→k ).

2. Soit f = s1 s2. Montrer que f est un vissage dont on précisera les éléments caractéristiques.

Exercice 43Soit f une application affine d’un espace euclidien, telle que pour tout point M, ‖

−−−−→M f (M)‖ soit

constant. Montrer que f est une translation.

Exercice 44L’espace affine euclidien E3 est rapporté à un repère orthonormé (O,


points A, B, C et D de coordonnées respectives (1,1,1), (−1,−1,1), −1,1,−1) et (1,−1,−1).

1. Montrer que les points A, B, C et D sont affinement libres.

2. Soit σ une permutation de l’ensemble A,B,C,D. Montrer qu’il existe une unique isométrief , telle que

f (A) = σ(A), f (B) = σ(B), f (C) = σ(C), et f (D) = σ(D)

3. Combien y a-t-il d’isométries de E3 qui conservent globalement le thétreidre ABCD ?

4. Soit f une isométrie qui conserve globalement le thétreidre ABCD. Montrer que f (O) = O.

5. Soit τ la permutation de A,B,C,D, tel que τ(A) = B, τ(B) = A, τ(C) =C et τ(D) = D.Caractériser l’isométrie f , telle que f (M) = τ(M) pour M ∈ A,B,C,D.

6. Combien y a-t-il de rotations qui conservent globalement le thédreidre ABCD ? A quelles per-mutations de A,B,C,D correspondent-elles ?

7. Soit G le barycentre du triangle BCD. Montrer que la projection orthogonale de A sur au plan(BCD) est le point G.

sur 78

3 M.HOUIMDI

8. Soit f une rotation qui conserve globalement le thédreidre ABCD, telle que f (A) = A. Montrerque f (G) =G. En déduire toutes les rotations f qui conservent globalement le thédreidre ABCDet telles que f (A) = A.

9. Soit α la permutation de A,B,C,D, tel que α(A) = B, α(B) = A, α(C) = D et α(D) =C.Caractériser l’isométrie f définie par la permutation α.

10. Décrire, par leurs axes et leurs angles, toutes les rotations de E3 qui conservent globalement lethétreidre ABCD.

Exercice 45Soient E3 un espace affine euclidien de dimension 3, r1 et r2 deux retournements de E3 d’axes res-pectives ∆1 et ∆2.

1. a) Montrer que si ∆1 et ∆2 sont sécantes, alors r2 r1 est une rotation.b) Montrer que si ∆1 et ∆2 sont parallèles, alors r2 r1 est une translation.c) Montrer que si ∆1 et ∆2 sont non coplanaires, alors r2 r1 est un vissage.

2. Montrer que si r est une rotation différente de l’identité, alors r est la composée de deux retour-nements dont les axes ∆1 et ∆2 se coupent en un point de l’axe ∆ de r.

3. Soit −→u un vecteur de E. Montrer que la translation de vecteur −→u est la composée de deuxretournements d’axes parallèles.

4. Montrer que tout vissage est la composée de deux retournements.

Exercice 46Soit E3 un espace affine euclidien de dimension 3 muni d’un repère orthonormé direct (O,

−→i ,−→j ,−→k ).

Dans chacun des cas suivants déterminer l’expression analytique de l’application affine f , définie par,1. f est le demi-tour d’axe la droite ∆ passant par le point A de coordonnées (1,2,0) et de vecteur

directeur −→u =−→j −−→k .

2. f est la symétrie orthgonale par rapport au plan Π d’équation x+ y−2z = 0.3. f est la symétrie-rotation d’angle π

2 et d’axe la droite passant par le point de coordonnées(1,0,−1) et de vecteur directeur

−→i −2

−→j +−→k .

4. f est le vissage d’angle π

3 , de vecteur −→v =−→i −−→k et d’axe la droite ∆ passant par le point de

coordonnées (1,0,1).

Exercice 47Soit E3 un espace affine euclidien de dimension 3 muni d’un repère orthonormé direct (O,

−→i ,−→j ,−→k ).

Déterminer la nature des applications affines f suivants1.

x′ = 13(2x− y+2z)

y′ = 13(2x+2y− z)

z′ = 13(−x+2y+2z+3)

,

x′ = 1

9(7x+4y+4z+9)y′ = 1

9(4x−8y+ z+9)z′ = 1

9(4x+ y−8z+9),

x′ =−z+1y′ =−xz′ = y−2

2. x′ = 1

3(−x+2y+2z−4)y′ = 1

3(2x− y+2z+2)z′ = 1

3(2x+2y− z+2),

x′ = 1

3(x−2y+2z−6)y′ = 1

3(−2x+ y+2z−6)z′ = 1

3(2x+2y+ z+6),

x′ =−z+1y′ = xz′ = y−2

3. x′ = 1

3(2x−2y+ z+1)y′ = 1

3(2x+ y−2z+2)z′ = 1

3(x+2y+2z+5),

x′ = 1

3(2x+2y− z+α)

y′ = 13(−x+2y+2z+α−1)

z′ = 13(2x− y+2z+α−2)

,

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3 M.HOUIMDI

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GEOMETRIE ELEMENTAIRE · GEOMETRIE ELEMENTAIRE Mohamed HOUIMDI ... 3.8.3 Isométries de l’espace...

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