Exercice s Probab i Lite

Exercices de Probabilite117 Mai 2010

Analyse combinatoire

1 Denombrement

1.1 ♠ Combien d’anagrammes2 peut-on composer en utilisant toutes les lettres du mot FILO-ZOFI, CARREAU, PERVERS, PEPERE?

1.2 Monsieur DELAPOUZE voudrait donner son nom a une nouvelle variete de citrouille. Pourdes raisons commerciales, ce nom doit comporter 4 lettres. On convient donc de former un nouveaunom en utilisant une partie des lettres du nom de Monsieur DELAPOUZE.

(a) Combien peut-on former de noms sans repetition de lettres?

(b) Combien peut-on former de noms differents?

(c) Combien peut-on former de noms dont les lettres sont dans le meme ordre que dans lenom de Monsieur DELAPOUZE?

1.3 Lors de la vente aux encheres d’une collection de 4 Dali, 5 VanGogh et 6 Picasso 5 collec-tionneurs se repartissent toutes les oeuvres. La journaliste en charge de couvrir l’evenement nenote que le nombre des Dali, van Gogh et Picasso acquis par chaque collectionneur. Combieny-a-t-il de repartitions possibles dans ces conditions?

1.4 ♠ Un club de football est compose de 20 joueurs dont 3 gardiens. Combien d’equipesdifferents de 11 joueurs comprenant obligatoirement un et un seul gardien peut-on former (On netient pas compte de la place des joueurs, sauf pour les gardiens qui ne peuvent jouer que dans lesbuts).

1.5 Le gouvernement d’un lointain pays est compose de 9 membres. Il est partage en deuxtendances opposees: les Incarnats (5 membres) et les Azureens (4 membres). Chez les premiersnous trouvons 2 femmes et 3 hommes tandis que le deuxieme groupe est compose de 2 femmes et 2hommes. Il se sont reunis pour envoyer une Delegation de 4 personnes a la Journee Internationalede la Femme qui se deroule chez eux.

(a) De combien de facons peut-on former cette Delegation si la parite Incarnats/Azureens etla parite Hommes/Femmes doivent etre respectees?

1Notes redigees par P. Lefevre et M. Saralegi-Aranguren. Vous trouverez une solution des exercices encadresdans http://saralegi.free.fr/Enseignement/ExercicesProbaSol/index.htm. Ils sont aussi dans Moodle. Les exercicesindiques par ♠ seront traites en TD, vous devez les preparer a l’avance.

2Meme s’ils n’ont pas de sens!

Exercices de Probabilite. 17 Mai 2010 2

1.6 ♠ Serge repartit les pages de publicite dans la revue L′EXPOINT . Pour ne pas indisposerles lecteurs, il ne peut pas placer deux pages de publicite a la suite. Sachant qu’il doit placer kpages de publicite differentes dans une revue qui en compte n, calculer le nombre de manieres dedisposer la publicite dans les cas suivants.

(a) On suppose que l’ordre des pages non-publicitaires entre elles est fixe et qu’il n’y a aucunecontrainte sur celui des pages publicitaires.

(b) On suppose que l’ordre des pages non-publicitaires entre elles est fixe ainsi que l’ordre despages publicitaires.

1.7 Dix chevaux numerotes de 1 a 10 sont au debut d’une course.

(a) Combien de tierces dans l’ordre sont-ils possibles?

(b) Parmi ces tierces, combien y en a-t-il ou le numero 2 est premier?

(c) Combien de tierces dans le desordre sont possibles?

1.8 ♠ On repartit 7 jetons numerotes de 1 a 7 dans trois urnes U1, U2 et U3.

(a) Combien y-a-t-il de repartitions sont possibles?

(b) Parmi ces repartitions, combien y en a-t-il ou

i) l’urne U1 reste vide?

ii) l’urne U1 est la seule a rester vide?

iii) une seule urne reste vide?

iv) deux urnes restent vides?

1.9 On repartit 7 jetons indistinguables dans trois urnes U1, U2 et U3.

(a) Combien y-a-t-il de repartitions sont possibles?

(b) Parmi ces repartitions, combien y en a-t-il ou

i) l’urne U1 reste vide?

ii) l’urne U1 est la seule a rester vide?

iii) une seule urne reste vide?

iv) deux urnes restent vides?

1.10 De combien de facons une personne peut-elle arranger deux bagues differentes sur l’index,le majeur et l’annulaire de sa main droite? (On suppose pour simplifier que ses 5 doigts ont lameme grosseur). Reprendre la question precedente avec un nombre quelconque de bagues.


1.11 De combien de manieres peut-on asseoir 8 personnes en rang si:

(a) aucune restriction n’est mise,

(b) les personnes A et B ne veulent pas etre cote a cote,

(c) les hommes ne doivent avoir que de voisines et inversement, en supposant qu’il y a 4hommes et 4 femmes,

(d) les hommes, qui sont au nombre de 5, doivent rester ensemble,

(e) les personnes forment 4 couples et chaque couple doit rester reuni?

(f) et si aucune couple doit etre ensemble?

1.12 Il y a ` livres sur une etagere. Nous en prenons f . De combien de facons peut-on le fairesi on ne prend pas deux livres contigus (cote a cote).

1.13 Considerons l’alphabet 1, . . . , n. Un mot est a1a2 · · · am est ordonne si a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤am.

(a) Combien de mots simples ordonnes de longueur m peut-on former?

(b) Combien de mots ordonnes de longueur m peut-on former? Aide: Etant donne le mota1a2 · · · am considerer le m-uple (a1, a2 − a1, . . . , am − am−1).

1.14 Considerons un alphabet E de cardinal n. Une combinaison avec repetition d’ordre mde E consiste a choisir m elements de E qui ne sont pas forcement differents. Par exemple, lescombinaisons d’ordre 2 avec repetition de E = a, b, c sont:

a et a, a et b, a et c, b et b, b et c, c et c.

On posera CRmn le nombre de combinaisons avec repetition d’ordre m de E.

(a) Montrer que CRmn = Cm

n+m−1.

1.15 Dans un Conservatoire, il y a n etudiants (n ≥ 1).

(a) Nous devons former un orchestre dans ce Conservatoire. Montrer qu’il y a 2n possibilites.

(b) Nous formons un orchestre assorti d’un soliste. Montrer qu’il y a n2n−1 possibilites.

(c) Nous formons un orchestre de k membres, avec k ≤ n, assorti d’un soliste. Monter qu’il ya kCk

n possibilites.

(d) En deduire le formule:n∑k=1

kCkn = n2n−1.


1.16 ♠ Soit E un ensemble a n elements.

(a) Etant donnee une partie A de E contenant p elements, determiner le cardinal des ensemblessuivants:

i) B ∈ P(E) / B ⊂ Aii) B ∈ P(E) / A ∩B = ∅iii) B ∈ P(E) / A ⊂ B

(b) Pour tout p ∈ N , determiner le cardinal de l’ensemble

(A,B) ∈ P(E)× P(E) / card A = p et A ∩B = ∅.

En deduire le cardinal de l’ensemble

(A,B) ∈ P(E)× P(E) / A ∩B = ∅.

(c) Calculer le cardinal de l’ensemble

(A,B) ∈ P(E)× P(E) / card A = p, card B = q et B ⊂ A.

1.17 Soient E et F deux ensembles de cardinal n et k respectivement.

(a) On determinera le nombre de bijections f : E → F (on suppose n = k).

(b) On determinera le nombre d’injections f : E → F (on suppose n ≤ k).

(c) On determinera le nombre de surjections f : E → F (on suppose n ≥ k).

Pour cette derniere question on pourra suivra la demarche suivante.

c1) Montrer que pour k ≥ 1 on ak∑i=1

CikS

in = kn, ou Sin est le nombre de surjections f : E →

1, . . . , i.

c2) Montrer que les egalites precedentes peuvent etre decrites par une egalite AX = Y , ou Aest une matrice d’ordre k × k et X et Y sont deux vecteurs.

c3) Montrer que les coefficients (bij) de A−1 sont bij = (−1)i+jCji .

c4) Montrer que Skn =k∑i=1

(−1)k+iCikin

2 Formules combinatoires

2.1 Calculer les sommes suivantes

n∑k=0

Ckn et

n∑k=0

(−1)kCkn.

Aide: utiliser la formule du binome.



[n/2]∑k=0

C2kn et

[(n−1)/2]∑k=0

C2k+1n .

Aide: calculer la somme et la difference.

2.3 Nous avons une urne remplie de boules numerotees de 1 a 2n. On en extrait n.

(a) Dans combien de cas le nombre plue eleve sera k? Ici, k ∈ 1, . . . , 2n.

(b) En deduire la formule2n∑k=n

Cn−1k−1 = Cn

2n.

(c) Demontrer cette formule a l’aide de la formule de Pascal.

2.4 Nous avons une urne remplie de boules numerotees de 1 a 2n. On en extrait n.

(d) Dans combien de cas le nombre plue eleve sera k? Ici, k ∈ 1, . . . , 2n.

(e) En deduire la formule


n∑k=0

kCkn et

n∑k=0

k2Ckn.

Aide: utiliser les egalites kCkn = nCk−1

n−1 et k2Ckn = k(k − 1)Ck

n + kCkn.

2.6 Dans un Conservatoire, il y a n etudiants (n ≥ 1).

(a) Nous devons former un orchestre dans ce Conservatoire. Montrer qu’il y a 2n possibilites.

(b) Nous formons un orchestre assorti d’un soliste. Montrer qu’il y a n2n−1 possibilites.

(c) Nous formons un orchestre de k membres, avec k ≤ n, assorti d’un soliste. Monter qu’il ya kCk

n possibilites.

(d) En deduire le formule:n∑k=1

kCkn = n2n−1.

2.7 Dans un promotion de n etudiants on doit choisir le groupe de ceux qui ont reussi ainsi quele majeur de promotion et le porte-parole.

(a) Montrer qu’il y a (n+ 1)n2n−2 facons de le faire.

(b) Relier cette question avec l’exercice pre-precedent.


2.8 Montrer queCpnC

qp = Cq

nCp−qn−q.

En donner une interpretation par denombrement.

2.9 Montrer que

Cn1,n2,...,nrn = Cn1−1,n2,...,nr

n−1 + Cn1,n2−1,...,nr

n−1 + · · ·+ Cn1,n2,...,nr−1n−1 .

2.10 Soit E un ensemble de n elements. Une partition de E est la donnee d’une famille desous-ensembles non vides A1, . . . , Ap verifiant:

- A1 ∪ · · · ∪ Ap = E, et

- Ai ∩ Aj = ∅ si i 6= j.

Le nombre de partitions de E est denote par Bn. C’est le nombre de Bell. On posera B0 = 0.

(a) Posons Pk les partitions de E dont le sous-ensemble contenant le nombre 1 contient kelements. Ici, k ∈ 1, . . . , n.Montrer que le cardinal de Pk est Ck−1

n−1Bn−k.

(b) En deduire la formula

Bn =n∑k=1

Ck−1n−1Bn−k =

n−1∑i=0

Cin−1Bi

2.11 Nous avons m ≥ 1 urnes indiscernables et n ≥ 1 jetons numerotes de 1 jusqu’a n. Nousdistribuons les jetons dans les urnes. Nous denotons par Jn,m le nombre de resultats possibles.Nous ecrirons J0,m = Jn,0 = J0,0 = 1.

(a) Montrer que le nombre de distributions possibles ou l’urne contient le 1 contient k elementsest

Ck−1n−1Jn−k,m−1.

Ici, k ∈ 1, . . . , n.(b) Montrer que

Jn,m =n∑k=1

Ck−1n−1Jn−k,m−1.

(c) Calculer Jn,m pour m = 1, 2 et 3.

Probabilite

3 Probabilite elementaire

3.1 Soit Ω un ensemble non vide muni d’une probabilite P . Considerons E et F deux sous-ensembles de Ω. Montrer les proprietes suivantes.

(a) P (F\E) = P (F )− P (E).

(b) P (E ∪ F ) = P (E) + P (F )− P (E ∩ F ).

(c) P (E ∩ F ) ≥ P (E) + P (F )− 1..

Attention!!. Il y a une propriete qui n’est pas toujours vraie ... il faudra trouver un contre-exemple.


3.2 Montrer

(a) P (E est realise seul ou F est realise seul) = P (E) + P (F )− 2P (E ∩ F ).

3.3 Soient A, B et C trois evenements tels que A ∪B ∪ C = Ω et A ∩B = A ∩ C = B ∩ C. Ensupposant que P (A) = 1/4 et P (B) = 1/2 calculer P (C).

3.4 ♠ Dans un jeu de tarot, on isole les 21 atouts numerotes de 1 a 21. On prend trois atoutsau hasard. Calculer la probabilite d’avoir:

(a) aucune carte multiple de 5: par exemple 1, 2, 3,(b) au moins une carte est multiple de cinq: par exemple 5, 17, 10,(c) un multiple de cinq et un multiple de sept (exactement): par exemple 10, 2, 14,(d) un multiple de cinq et un multiple de trois (exactement): par exemple 3, 19, 5 ou

15, 4, 13,(e) le 1 ou le 21: par exemple 1, 20, 21.

3.5 ♠ On pioche simultanement trois boules d’une urne contenant 4 boules blanches, trois boulesnoires et 2 boules rouges.

(a) Quelle est la probabilite d’obtenir exactement une boule blanche et une boule rouge?

(b) Quelle est la probabilite d’obtenir une boule blanche et une boule rouge?

3.6 Une urne A contient 3 boules noires et 4 boules rouges, alors que l’urne B en contient 7 et8 respectivement. On tire deux boules de chaque urne. Quelle est la probabilite que:

(a) les quatre boules soient de meme couleur,

(b) deux boules soient noires et deux rouges?

3.7 Une urne contient 4 boules blanches, 3 boules noires et 2 boules rouges. On effectue danscette urne trois tirages d’une boule avec remise. Quelle est la probabilite d’obtenir:

(a) trois boules de la meme couleur,

(b) trois boules de couleurs differentes?

3.8 Les trois mousquetaires (donc quatre personnes) ont melange leurs bottes dans le couloir del’Auberge. D’Artagnan se leve le premier et prend deux bottes au hasard3. Calculer la probabiliteque:

(a) les deux bottes soient les siennes,

(b) les deux bottes forment une paire,

(c) les deux bottes soient deux pieds droits,

(d) les deux bottes appartiennent a deux personnes differentes.

3A la fois, l’une apres l’autre, . . . , est-ce que cela change quelque chose?


3.9 Un restaurant chinois presente une carte comprenant 47 plats: 17 entrees, 20 plats principauxet 10 desserts numerotes de 1 a 47.

(a) Combien de menus complets peut-on constituer?

(b) On prend au hasard trois numeros differents compris entre 1 et 47. Calculer la probabilited’avoir une entree, un plat principal et un dessert, sans tenir compte de l’ordre.

3.10 On lance trois des non pipes. Calculer la probabilite des evenements:

(a) “Avoir trois numeros de meme parite”

(b) “Avoir un des numeros strictement superieur a la somme des deux autres”

(c) “La somme est 9”

(d) “La somme est 10”

3.11 M. Dupont et Mme. Dupond recoivent des invites pour dıner: M. Boucher, Mme. Bouchezet leurs deux enfants. Ils savent que parmi ces deux enfants il y une fille.

(a) Quelle est la probabilite pour que les deux enfants soient du meme sexe?

Mme. Dupond vient de se rappeler que, en fait, l’aıne est une fille.

(b) Quelle est la probabilite pour que les deux enfants soient du meme sexe?

Remarque. On supposera que la probabilite d’etre fille ou garcon est la meme: 1/2.

3.12 Meme exercice en supposant que la probabilite d’avoir un garcon est p.

3.13 On tire 13 cartes dans un jeu de 52 cartes. La probabilite que ce tirage soit depourvu au

moins d’une couleur est-elle egale aC1

4C1339

C1352

? Pourquoi?

3.14 On lance une piece; elle fait pile avec une probabilite p (et donc face avec une probabilite(1− p)). On appelle pn la probabilite que sur n lancers il y ait un nombre impair de “pile” .

(a) Montrer que pn = p(1− pn−1) + (1− p)pn−1.

(b) En deduire pn en fonction de n et de p.

3.15 On jette n fois une piece de monnaie et on note fn le nombre de cas possibles ou deuxpiles n’apparaissent pas successivement.

(a) Combien vaut f1? f2?

(b) Montrer que fn = fn−1 + fn−2.

(c) Calculer fn et la probabilite pour que sur n lancers il y ait au moins deux piles successives.


3.16 ♠ On choisit au hasard un sous-ensemble de 1, . . . , n. Quelle est la probabilite que cesous-ensemble

(a) contienne 1 et 2,

(b) ne contienne ni 1 ni 2,

(c) contienne 1 ou 2?

3.17 Dans une population de n individus on preleve, au hasard, sans repetition et 2 fois de suitede maniere independante avec remise entre deux tirages, 2 groupes de cardinaux respectifs r et s.Quelle est la probabilite que les deux echantillons n’aient pas d’elements communs?

3.18 Lancement d’une piece equilibree. Trois differents points de vue.

A. ♠ On lance successivement n fois une piece equilibree.

(a) Decrire l’espace des resultats Ω.

(b) Calculer la probabilite de chaque resultat.

(c) Decrire la probabilite P .

(d) Calculer la probabilite d’obtenir exactement f faces.

(e) Supposons qu’on lance une infinite de fois cette piece. Quelle est la probabilite de n’obtenirque des faces.

B. On lance n pieces equilibrees d’un coup. On suppose que ces pieces sont descouleurs differentes.





C. On lance n pieces equilibrees d’un coup. On suppose que ces pieces sont egales.






3.19 Lancement de des. Trois differents points de vue.

A. On lance successivement n des equilibres.




(d) Calculer la probabilite d’obtenir exactement f fois la face numero 1.

(e) Supposons qu’on lance ce de une infinite de fois. Quelle est la probabilite de n’obtenir quedes faces paires.

B. On lance n des equilibres de couleurs differentes.





C. On lance n des equilibres. On suppose que ces des sont egaux.





3.20 Des boules dans des urnes. Quatre differents points de vue.

A. Nous avons les urnes U1, . . . , Un et les boules B1, . . . Bb. On place au hasard lesboules dans les urnes.




(d) Calculer la probabilite qu’il y ait exactement une urne non vide.

(e) Calculer la probabilite que les boules B1 at B2 se trouvent dans la meme urne.

(f) Calculer la probabilite que la premiere urne contienne exactement f boules.

B. Nous avons les urnes U1, . . . , Un et b boules indiscernables. On place au hasardles boules dans les urnes.






(e) Calculer la probabilite que la premiere urne contienne exactement f boules.

C. Nous avons 3 urnes indiscernables et les boules B1, B2, B3. On place au hasardles boules dans les urnes.




(d) Calculer la probabilite que les boules B1 at B2 se trouvent dans la meme urne.

(e) Calculer la probabilite qu’il y ait exactement une urne non vide.

D. Nous avons 3 urnes indiscernables et 3 boules indiscernables. On place au hasardles boules dans les urnes.





3.21 On distribue au hasard n boules indiscernables dans N urnes discernables. Calculer laprobabilite des evenements suivants :

(a) la premiere urne contient exactement k boules,

(b) la premiere urne est vide,

(c) les deux premieres urnes sont vides,

(d) les p premieres urnes sont vides,

(e) une urne est vide,

(f) aucune urne n’est vide,

(g) une urne exactement est vide.

3.22 On distribue au hasard b boules dans n urnes. Calculer la probabilite des evenementssuivants4 :

(a) la premiere urne contient exactement k boules,

(b) la premiere urne est vide,

(c) les deux premieres urnes sont vides,

(d) les p premieres urnes sont vides,

(e) une urne est vide,

(f) aucune urne n’est vide,

(g) une urne exactement est vide.

4Decider au prealable si les boules/urnes peuvent etre considerees differentes ou non.


3.23 Si 10 couples maries sont assis au hasard autour d’une table, calculer la probabilite queacune femme ne soit pas assise a cote de son mari.

3.24 Un de est jete jusqu’a ce que le numero 6 sorte. Notons En l’evenement ”le 6 sort pour la

premiere fois au n-ieme coup et pas avant”. Que signifie

(∞⋃n=1

En

)c

? Combien vaut sa probabilite?

3.25 Une personne se trouve devant une porte fermee a cle. Elle dispose d’un trousseau de ncles parmi lesquelles une seule ouvre la porte. Elle essaie les cles au hasard l’une apres l’autre(elle n’essaie pas deux fois la meme cle!). Quelle est la probabilite qu’elle ouvre la porte au k-iemeessaie?

3.26 Une urne contient au depart b > 0 boules blanches et n > 0 noires. On effectue des tiragesdans cette urne de la facon suivante: si la boule obtenue est blanche, on la remet, et si elle estnoire, on la remet et on rajoute b boules blanches. Quelle est la probabilite

(a) de ne tirer que des boules blanches,

(b) de ne tirer que des noires.

3.27 ♠ Considerons n amis, p courtes pailles et q longues pailles avec n = p + q. Chacun desamis prend a son tour une paille. Ceux qui tirent une courte paille perdent. Montrer que laprobabilite de perdre est independante de lordre dans lequel on choisit la paille.

4 Probabilite conditionnelle

4.1 Soient E, F et G trois evenements avec P (F ) 6= P (F ∩G) 6= 0.

(a) Montrer que l’on peut parler des probabilites conditionnelles

P (E/(F ∩G)), P (E/F ), P (G/F ), P (Gc/F ), et P (E/(Gc ∩ F )).

(b) Montrer la formule:

P (E/F ) = P (E/(F ∩G))P (G/F ) + P (E/(Gc ∩ F ))P (Gc/F ).

4.2 Soient Ω = a1, . . . , an et F = a1, . . . , am ⊂ Ω. Considerons P une probabilite sur Ωavec P (F ) > 0. Montrer qu’il existe une famille de nombres positifs p1, . . . , pm avec P (−/F ) =m∑i=1

piδai.

4.3 ♠ Soit P un probabilite definie sur N. Supposons que P (n, n + 1) = 3/2n+2 pour toutn ∈ N. Decrire P .

4.4 Soient Ω = a1, . . . , an et F = a1, . . . , am ⊂ Ω avec m > 0. Considerons P la probabiliteuniforme sur Ω. Montrer que:

(a) P (E/F ) =#(E ∩ F )

#F, pour tout E ⊂ Ω.


4.5 Pour depister une maladie, un laboratoire met au point un test. Malheureusement, il n’estpas parfait: la probabilite d’un ”faux negatif”, c’est a dire la probabilite que le test soit negatifpour un patient malade est 0, 9% et la la probabilite d’un ” faux positif”, c’est a dire la probabiliteque le test soit positif pour un patient sain est 5%.

La prevalence de la maladie dans la population est 0, 5%.

(a) Quelle est la probabilite pour qu’un patient dont le test se revele positif soit effectivementmalade?

(b) Quelle est la probabilite pour qu’un patient, dont deux tests successifs se revelent positifs,soit effectivement malade? On supposera que les deux test sont independants aussi bien chez lespatients malades que chez les patients sains5.

4.6 Nous avons deux urnes avec des boules rouges et vertes. La premiere urne (disons Urne1)contient une proportion p1 6= 0 de boules rouges tandis que la deuxieme urne (disons Urne2)contient une proportion p2 6= 0 de boules rouges. Nous choisissons au hasard une urne, en sachantque la premiere a une probabilite q ∈]0, 1[ d’etre choisie.

(a) Nous extrayons une boule de l’urne choisie. Il s’avere que cette boule est rouge. Quelleest la probabilite pour que l’urne choisie ait ete l’Urne1?

(b) Nous extrayons, avec remise, deux boules de l’urne choisie. Il s’avere que ces boules sontrouges. Quelle est la probabilite pour que l’urne choisie ait ete l’Urne1?

(c) Sous quelles conditions le resultat obtenu pour (b) est plus grand que celui obtenu pour(a)?

(d) Calculer (a) et (b) pour q = 0, 005, p1 = 0, 991 et p2 = 0, 05.

4.7 ♠ Une usine d’ampoules electriques possede trois ateliers A, B et C. L’atelier A assure 30%de la production. L’atelier B assure 20% de la production. L’atelier C assure 50% de la production.Il y a 5 % des ampoules produites par A qui sont defectueuses. Il y a 4 % des ampoules produitespar B qui sont defectueuses. Il y a 1 % des ampoules produites par C qui sont defectueuses.

(a) Calculer la probabilite qu’une ampoule produite par cette usine soit defectueuse.

(b) On choisit au hasard une ampoule produite par cette usine et on constante qu’elle estdefectueuse. Calculer la probabilite pour qu’elle sorte de l’atelier B.

4.8 Un marchand vend des articles dont 30 % proviennent d’un fournisseur A et 70 % d’unfournisseur B. On sait que 6 % de la production de A est defectueuse, contre 3 % seulement pourla production de B. Un client achete un article.

(a) Quelle est la probabilite que cet article soit defectueux?

(b) Sachant que cet article est defectueux, quelle est la probabilite qu’il provienne de B?

5C’est-a-dire, les deux tests sont conditionnellement independants selon l’evenement “le patient malade” et aussiselon l’evenement “le patient est sain”


4.9 On pose une question a un candidat choisi au hasard dans une population possedant uneproportion p de tricheurs. On admet que si cet individu est un tricheur, il connaıt a l’avance laquestion et sa reponse; sinon, il a une chance sur 12 de repondre correctement.

(a) Quelle est la probabilite que le candidat choisi donne la bonne reponse?

(b) Sachant que le candidat a repondu correctement, quelle est la probabilite qu’il ait triche.

4.10 Trois versions du meme probleme.

A. M. Dupont et Mme. Dupond recoivent des invites pour dıner: M. Boucher,Mme. Bouchez et leurs deux enfants.

(a) Quelle est la probabilite pour que les deux enfants soient des filles?

(b) M. Dupont et Mme. Dupond savent que parmi ces deux enfants il y une a fille. Quelleest la probabilite pour que les deux enfants soient du meme sexe?

(c) Mme. Dupond vient de se rappeler que, en fait, l’aıne est une fille. Quelle est la probabilitepour que les deux enfants soient du meme sexe?

B. La fratrie de M. Boucher, Mme. Bouchez est composee de n enfants.

(a) Quelle est la probabilite d’avoir n filles?

(b) En sachant qu’il y a (n− 1) filles, quelle est la probabilite d’avoir n filles?

(c) En sachant que les (n − 1) enfants les plus ages sont des filles, quelle est la probabilited’avoir n filles?

C. On lance n pieces de monnaie.

(a) Quelle est la probabilite d’obtenir n faces?

(b) En sachant qu’on a obtenu (n− 1) faces, quelle est la probabilite d’obtenir n faces?

(c) En sachant que les (n− 1)-premiers jets sont des faces, quelle est la probabilite d’obtenirn faces?

4.11 Nous avons trois urnes contenant de boules rouges et de boules vertes. La premierecontient une proportion p1 ∈]0, 1[ de boules rouges. La deuxieme contient une proportion p2 ∈]0, 1[de boules rouges. La troisieme contient une proportion p3 ∈]0, 1[ de boules rouges.

(a) Si l’on extrait une boule de la premiere urne et une boule de la deuxieme urne, quelle estla probabilite d’obtenir deux boules de couleurs differentes?

(b) On extrait maintenant une boule de chaque urne. On obtient deux boules rouges et uneboule verte. Quelle est la probabilite d’avoir tire une boule rouge de la troisieme urne?

4.12 Une urne contient au depart une boule blanche et une noire. On effectue des tirages danscette urne de la facon suivante: si l’on tire une boule blanche, on la remet dans l’urne avec uneboule blanche supplementaire, et on arrete le tirage des que la boule noire est obtenue. Quelle estla probabilite de s’arreter au nieme tirage?


4.13 ♠ Une urne contient des boules vertes et seulement des boules vertes. Une deuxieme urnecontient 30 boules vertes et 10 boules rouges. On choisit une urne au hasard et on extrait uneboule de cette urne au hasard.

(a) Quelle est la probabilite que cette boule soit verte? Quelle est la probabilite qu’elleprovienne de la premiere urne?

(b) Supposons qu’elle est verte. On reintroduit cette boule dans lurne. On extrait une boulea nouveau de cette meme urne. Quelle est la probabilite que cette boule soit rouge?

4.14 ♠ Considerons n urnes, chacune contenant V boules vertes et R boules rouges. On tireau hasard une boule de la premiere urne qui est introduite a son tour dans la deuxieme urne.Ensuite, on extrait une boule de la deuxieme urne qui est introduite dans la troisieme et ainsi desuite. Quelle est la probabilite de tirer une boule verte dans la n-ieme urne?

4.15 ♠ Considerons n amis, p courtes pailles et q longues pailles avec n ≤ p + q. Chacun desamis prend a son tour une paille. Ceux qui tirent une courte paille perdent. Montrer que laprobabilite de perdre est independante de lordre dans lequel on choisit la paille.

4.16 On doit choisir une commission de 3 personnes parmi un groupe de 6 femmes et 9 hommes.Pour cela on procede de la facon suivante.

Tout d’abord on choisit une des 6 femmes au hasard et on choisit un des 9 hommes au hasard.Ensuite, on ecrit le nom de chaque femme qui n’a pas ete choisie sur a papiers. De meme, onecrit le nom de chaque homme qui n’a pas ete choisi sur b papiers. On met tous ces papiers dansune urne et on tire un papier au hasard. Le nom indique sur ce papier correspond a la troisiemepersonne de la commission.

Question: Trouver des valeurs pour a et b de facon que chacune des 15 personnes ait la memeprobabilite d’etre choisie. Meme question avec f femmes et h hommes (on trouvera des conditionssur f et h car ce nest pas toujours possible davoir la meme probabilite pour toutes les personnes).

4.17 Une urne contient 3 boules rouges et 7 blanches. Betti et Aritz tirent une boule a tour derole, avec remise. Le premier des deux joueurs qui obtient une boule rouge gagne.

(a) Montrer que la probabilite de l’evenement G =“il existe un gagnant” vaut 1. On introduirales evenements Bn = “les n premieres boules tirees sont blanches” (pour n ∈ N∗), et on exprimeraG en fonction des Bn.

Soit maintenant C l’evenement “le joueur qui commence gagne”. On va calculer P (C) de deuxfacons differentes.

(b) (1ere methode) Pour n ∈ N, notons An l’evenement “les n premieres boules tirees sontblanches et la (n+ 1)-ieme est rouge”. Calculer P (An) pour tout n. Exprimer C en fonction desAn. En deduire la valeur de P (C).

(c) (2nde methode) Utiliser la formule des probabilites totales pour exprimer P (C) en fonctionde P (C/B), ou B est l’evenement “la premiere boule tiree est blanche”. Utiliser ensuite la symetriede jeu pour conclure.

4.18 Meme exercice sans remise.


4.19 Supposons que l’urne contient maintenant 3 boules rouges, 7 blanches et 10 vertes. Bettiet Aritz tirent une boule a tour de role avec remise jusqu’a ce qu’une boule rouge sorte. Si laboule sortie est blanche le joueur perd son tour mais si la boule sortie est verte le joueur rejoue.

(a) Montrer que la probabilite de ne jamais extraire une boule rouge est 0.

(b) Quelle est la probabilite pour que le joueur qui commence gagne?

4.20 Une urne contient n boules blanches et m boules rouges. On retire les boules une a une.

(a) Montrer que la probabilite que les boules rouges disparaissent en premier estn

n+m.

Cette fois l’urne contient n boules blanches, m boules rouges et k boules vertes. On retire lesboules une a une.

(b) Montrer que la probabilite que “les boules rouges disparaissent en premier” est egale ala probabilite de l’evenement : “les boules rouges disparaissent en premier et les boules vertes ensecond ou les boules rouges disparaissent en premier et les boules blanches en second”.

(c) Calculer la probabilite que les boules rouges disparaissent en premier et les boules vertesen second, en conditionnant par rapport a l’evenement : “les boules blanches disparaissent endernier”.

(d) En deduire la probabilite que les boules rouges disparaissent en premier”.

4.21 On tire des boules d’une urne qui contient b boules blanches, r boules rouges et v boulesvertes. Trouver dans chacun des deux cas suivants, la probabilite qu’une boule verte apparaisseavant qu’une boule rouge le fasse.

(a) Chaque boule est reintroduite dans lurne apres chaque tirage.

(b) Sans remise.

4.22 Une epreuve sportive consiste a atteindre une cible partagee en trois cases notees 1,2 et 3.Deux concurrentes Ainhoa et Nekane sont en presence, on admet qu’a tout coup chacune d’ellesatteint une case et une seule. Pour Ainhoa, les probabilites d’atteindre les cases 1,2 et 3 sont,dans cet ordre, en progression arithmetique de raison 1/4. Pour Nekane, les trois eventualites sontequiprobables.

(a) Quelle est la probabilite d’atteindre chaque cible?

(b) On choisit une des deux concurrentes, en admettant que la probabilite de choisir Ainhoaest la moitie de la probabilite de choisir Nekane. La concurrente choisie atteint la case 3. Quelleest le probabilite que cette concurrente soit Ainhoa ?

4.23 Quand on telephone chez Bixente, on a neuf chances sur dix de tomber sur son repondeur.Il utilise cet interlocuteur electronique lorsqu’il est la deux fois sur trois pour ne pas avoir arepondre a des importuns. Quand il est absent, il l’utilise toujours.

(a) On telephone chez Bixente. Calculer la probabilite qu’il soit present.

(b) On tombe sur son repondeur, calculer la probabilite qu’il soit present.


4.24 Nous avons deux urnes U1 et U2. La premiere contient le double de boules rouges que desvertes. La deuxieme ne contient que des boules rouges. On choisit une urne au hasard, tout ensachant, que la premiere a une probabilite p d’etre choisie et que la deuxieme a une probabilite1− p d’etre choisie. Ensuite, on extrait une boule de cette urne.

On sait que, a la fin de cette procedure, la probabilite d’obtenir une boule rouge est de 0,9.

(a) Quelle est la valeur de p?

(b) Si la boule obtenue est rouge, quelle est la probabilite pour qu’elle provienne de la premiereurne?

4.25 On pioche au hasard et simultanement deux points de l’ensemble E = u1, u2, . . . , un,ou l’on suppose que n ≥ 2.

(a) Sachant que u1 n’est pas l’un d’eux, quelle est la probabilite que u2 le soit?

(b) On choisit au hasard une partie quelconque de E. Sachant qu’elle ne contient pas u1,quelle est la probabilite que u2 y soit?

4.26 Un joueur lance un de equilibre avec 3m-faces numerote par: 1, 2, . . . , 3m. Il gagne s’ilobtient un multiple de 3. Sinon, il continue a jouer jusqu’au moment ou

- il obtient le resultat obtenu au premier tirage (par exemple 5− 1− 1− 1− 8− 4− 5), et ilgagne, ou

- il obtient un multiple de 3 (par exemple 5− 2− 4− 2− 7− 8− 1− 6), et il perd.

Il perd aussi dans le cas ou le jeu ne s’arrete pas.

Quelle est sa probabilite de gagner?

4.27 On jette deux des a la fois et on considere la somme des points obtenus. Si cette somme estegale a 7 ou 11 on gagne. Si elle est 2, 3 ou 12 on perd. Dans les autres cas la somme obtenue estappelee A et on continue a tirer les deux des jusquau moment on obtient ou bien 7 (et on perd)ou bien on obtient A (et on gagne). Quelle est la probabilite de gagner?

4.28 On tire une a une, les n boules numerotees (de 1 a n) d’une urne. On note Ai l’evenement“la i-eme boule tiree porte le numero i”, ou i ∈ 0, . . . , n.

(a) Decrire l’espace des resultats Ω et la probabilite P sous-jacente.

(b) Calculer chaque P (Ai).

(c) Calculer chaque P (Ai1 ∩ · · · ∩ Aik).

(d) Verifier la formule de Poincare.

(e) Determiner la probabilite qu’il n’y ait aucune renontre.

(f) Quelle est la limite du resultat precedent quand n tend vers l’infini?


4.29 Une urne contient une boule blanche et une boule noire. On considere qu’il y a equiproba-bilite de tirer l’une ou l’autre boule. Fixons k ∈ 0, . . . , n.

(a) Calculer la probabilite P (Ak,n) d’obtenir exactement k boules blanches au cours de ntirages successifs d’une boule avec remise.

(b) En deduire la probabilite P (Bk,n) qu’au moins k boules soient blanches parmi es n tirages.

L’urne contient maintenant deux boules choisies au hasard parmi deux boules blanches et deuxboules noires.

(c) Calculer la probabilite des evenements: E = “l’urne contient deux boules blanches”; F= “l’urne contient deux boules noires” et G = “l’urne contient une boule blanche et une boulenoire”.

On effectue dans cette urne une succession de tirages d’une boule avec remise.

(d) Calculer la probabilite P (Ck,n) que les n premiers tirages ont amene au moins k boulesblanches.

(e) On sait que Ck,n est realise. Calculer la probabilite pk,n que l’urne contienne deux blanches.

(f) Calculer limn→∞

p1,n et limn→∞

pn,n. Interpreter ces probabilites.

5 Independance

5.1 Montrer que si E,F sont independants alors il en sera de meme pour Ec, F et pourEc, F c.

5.2 Demontrer que deux elements E et F sont independants si et seulement si

P (E ∩ F )P (Ec ∩ F c) = P (E ∩ F c)P (Ec ∩ F ).

5.3 Considerons E et F deux evenements.

(a) Montrer que

E ∩ F,E ∪ F sont independants ⇐⇒ P (E ∩ F ) = 0 ou P (E ∪ F ) = 1.

(b) Montrer que si les evenements E,F sont independants alors

E ∩ F,E ∪ F sont independants ⇐⇒ P (E) = 0 ou P (F ) = 0 ou P (E) = 1 ou P (F ) = 1.

(c) Fixons a ∈ Ω et supposons P = δa la mesure de Dirac. Montrer que deux evenementsquelconques E,F sont toujours independants.

(d) Fixons a et b deux points disctincts de Ω et considerons la probabilite P =1

2δa +

1

2δb sur

Ω. Soient E et F deux evenements quelconques. Montrer que

E,F ne sont pas independants⇐⇒

a ∈ E\F et b ∈ F\E, ou

b ∈ E\F et a ∈ F\E, ou

a 6∈ E ∪ F et b ∈ E ∩ F ou

b 6∈ E ∪ F et a ∈ E ∩ F.


5.4 Soient A, B, et C trois evenements verifiant

P (A ∩B ∩ C) = P (A)P (B)P (C)

P (Ac ∩B ∩ C) = P (Ac)P (B)P (C)

P (A ∩Bc ∩ C) = P (A)P (Bc)P (C)

P (A ∩B ∩ Cc) = P (A)P (B)P (Cc).

Montrer que A, B et C sont independants.

5.5 Supposons A independant de B ∩ C et B ∪ C, puis B independant de C ∩ A et enfin Cindependant de A ∩B. Supposons , en outre, P (A), P (B) et P (C) strictement positifs. Alors A,B et C sont independants.

5.6 Soient A, B et C trois evenements tels que A et B sont conditionnellement independantsselon C, que A et C sont independants et que B et C sont independants.

(a) Montrer que P (A ∩B ∩ C) = P (A)P (B)P (C).

(b) Les evenements A, B et C sont-ils independants?

5.7 Soient E1, E2 et F trois evenements avec P (E2 ∩ F ) > 0. Montrer que

E1 et E2 sont conditionnellement independants selon F ⇐⇒ P (E1/E2 ∩ F ) = P (E1/F ).

5.8 Soient E1, E2 et F trois evenements avec P (F ) > 0. Montrer que

E1 et E2 sont conditionnellement independants selon F ⇐= E1 et E2 sont independants.

Et la reciproque?

5.9 ♠ Considerons une famille de n enfants, avec n ≥ 2. On appelle D l’evenement “la famillea des enfants de deux sexes” et F l’evenement “la famille a au plus une fille”. Pour quelle valeurde n les evenements D et F sont independants.

5.10 Soient U1 et U2 deux urnes contenant chacune 1 boule verte et 1 boule rouge. On effectueun tirage successif de deux boules de la facon suivante: on choisit d’abord une urne; s’il s’agit deU1 on tire avec remise; s’il s’agit de U2, on tire sans remise. Soit A l’evenement: la premiere bouletiree est rouge. Soit B l’evenement: la seconde boule tiree est verte. Soit C l’evenement: l’urneU1 est choisie. Montrer que:

(a) A et B sont independants conditionnellement a C.

(b) A et C sont independants.

(c) B et C sont independants.

(d) A et B ne sont pas independants


5.11 On tire une carte d’un jeu de 52 cartes, verifier que les evenements A= ”on obtient uncoeur” et B = ”on obtient un roi” sont independants.

5.12 On place les lettres A, B et C sur la droite reelle de facon aleatoire6. Considerons lesevenements

E = “La lettre A est situee a droite7 de la lettre B” et

F = “La lettre B est situee a droite de la lettre C”.

(a) Les evenements E et F sont-ils independants?

(b) Meme question si on place tout l’alphabet.

5.13 Un joueur professionel garde dans sa poche deux pieces: l’une equilibree et l’autre avecdeux piles. Il en prend une au hasard (les deux pieces ont la meme probabilite d’etre choisies) etla lance.

(a) Quelle est la probabilite d’obtenir pile?

(b) Supposons qu’on obtient pile. Quelle est la probabilite d’avoir choisi la piece truquee?

(c) Il lance une deuxieme fois la piece choisie au hasard. Il obtient a nouveau pile. Quelle estla probabilite d’avoir choisi la piece truquee?

(d) Les evenements “obtenir pile au premier tirage” et “obtenir pile au deuxieme tirage”sont-ils independants?

5.14 On dispose de trois pieces. La probabilite d’obtenir pile est respectivement 14

pour lapremiere, 1

3pour la deuxieme et 1

2pour la troisieme. On tire au hasard une piece et on la lance

trois fois. Sur les trois resultats on obtient deux fois pile et une fois face.

(a) Quelle est la probabilite d’avoir lance la premiere piece?

(b) Les evenements

- A = ”on lance la premiere piece”

- Z = ”on obtient deux piles et une face”

sont-ils independants?

5.15 On tire deux cartes d’un jeu de 52 cartes. Soit A l’evenement ”les deux cartes ont la

meme valeur” et B l’evenement ”les deux cartes ont la meme couleur”. Etudier l’independancedes evenements A et B dans les cas suivants:

(a) on remet dans le jeu la premiere carte avant de tirer la seconde,

(b) on tire les deux cartes simultanement.

6Toutes les configurations ont la meme probabilite d’apparaıtre.


5.16 ♠ Deux urnes A et B contiennent respectivement

- deux boules blanches plus n boules noires, et

- une boule blanche plus cinq boules noires.

On tire au hasard une boule de l’urne A et on la place dans l’urne B. On tire alors une boule deB, elle est blanche.

(a) Quelle est la probabilite que la boule transferee ait aussi ete blanche?

(b) Les evenements ”la premiere boule est blanche” et ”la deuxieme boule est blanche” sont-ilsindependants?

5.17 Soit n = pα11 · · · pαr

r un nombre entier et sa decomposition en facteurs premiers. SoitΩ = 1, . . . , n muni de la probabilite uniforme et Ai = k ∈ Ω / pi|k pour 1 ≤ i ≤ r.

(a) Calculer chaque P (Ai).

(b) Montrer que pour i 6= j les evenements Ai et Aj sont independants.

(c) Calculer la probabilite de l’evenement: B = k ∈ Ω / aucun pi divise k.

(d) En deduire la valeur de la fonction f : N→ N donnee par f(n) = cardB.

5.18 Soient n urnes dont chacune contient r boules rouges et v boules vertes. On fait passerune boule de la premiere urne dans la deuxieme; puis une boule de la deuxieme dans la troisieme,etc. Puis, de la derniere urne on retire une boule.

(a) Montrer que la probabilite que cette boule soit verte est v/v + r.

(b) Supposons n = 3. Les evenements ”la premiere boule est verte” et ”la troisieme boule estverte” sont-ils independants?

5.19 ♠ Une urne contient r > 0 boules rouges et v > 0 boules vertes. L’une de ces boulesest tiree au hasard. Quand on la remet dans l’urne, on y rajoute c nouvelles boules de la memecouleur. On tire une deuxieme boule. Montrer que la probabilite pour que la premiere soit rouge

sachant que la deuxieme est verte vautr

r + v + c. Les evenements

A : “la premiere boule est rouge” etB : “la deuxieme boule est verte”sont-ils independants?

5.20 On lance deux des non pipes, un rouge et un vert et on note les numeros obtenus. Soit lesevenements:A :“le de rouge amene un numero pair”,B : “le de vert amene un numero pair”,C : “la somme des numeros est paire”.Verifier que les evenements A,B et C sont independants deux a deux mais non independants.


5.21 ♠ Un point est choisi au hasard dans le carre MNOP . Soit I, J , K, L, les mileiuxrespectivement des segments [MN ], [NO], [OP ], [PM ]. On definit les evenementsA : “le point est dans le rectangle MNJL”,B : “le point est dans le rectangle MIKP”,C : “le point est dans le rectangle IJKL”.Etudier l’independance des evenements A, B, C.

5.22 On place un pion sur le point 0 de la droite. On le fait bouger dune unite ou bien adroite avec probabilite p 6= 1/2 ou bien a gauche avec probabilite 1− p. On reitere le procede defacon infinie. Quelle est la probabilite de retourner une infinite de fois au point 0? Suggestion:Considerer l’evenement rentrer au point 0 au bout de 2n pas.

Variables aleatoires

6 Fonction de repartition

6.1 ♠ Decrire la fonction de repartition d’une variable aleatoire X qui suit la loi uniforme surIma X = 1, 2, 3, 4.

6.2 Nous avons une piece de monnaie qui a une probabilite p de donner face quand on la lanceune fois. On la lance de facon succesive et on s’arrete des qu’on obtient face. Soit X la variablealeatoire qui compte le nombre de lancements effectues. On mettra X = 0 si on obtient toujoursde piles. Decrire la fonction de repartition de X.

6.3 ♠ La fonction de repartition d’une variable aleatoire X est donnee par:

FX(t) =

0 t < 0

t2

0 ≤ t < 1

23

1 ≤ t < 2

1112

2 ≤ t < 3

1 3 ≤ t

(a) Calculer P (X < 3, 5), P (X > 0, 5) et P (2 < X < 4, 258716948594578).

(b) Calculer P (X = t) pour tout t ∈ R.

(c) A-t-on Px = aδ1 + bδ2 + cδ3 pour certains a, b, c ∈ R?

(d) Que peut-on dire de Ima X?

6.4 La fonction de repartition d’une variable aleatoire X est donnee par:

FX(t) =

0 t < 1

t2

t2 + 1t ≥ 1


(a) Montrer que P (X = 1) = 1/2.

(b) Calculer P (X = t) pour chaque t ∈ R.

(c) A-t-on PX = 1/2δ1?

(d) Que peut-on dire de Ima X.

(e) Calculer P (t > 1).

6.5 Chacune des k urnes, numerotees de 1 a k, contient n boules identiques numerotees de 1 an. On extrait une boule de chaque urne et on note par Xi le numero de la boule tiree de l’urne i.On pose Max = max

1≤i≤kXi et Min = min

1≤i≤kXi.

(a) Donner la fonction de repartition et la loi de Max .

(b) Donner la fonction de repartition et la loi de Min .

6.6 ♠ Soient a et b deux nombres reels. Calculer la fonction de repartition de la variable aleatoireY = aX + b en fonction de celle de X.

6.7 Soit X une variable aleatoire. Soit b un point de R et (tn) une suite convergeant vers bavec tn 6= b pour tout n. Etudier la validite de l’egalite

P (X > b) = limn→∞

P (X > tn),

dans chacun des cas suivants.

(a) La suite (tn) est decroissante.

(b) La suite (tn) est croissante.

(c) La suite (tn) est quelconque.

6.8 Soit X : Ω→ R une variable aleatoire de fonction de repartition FX . Determiner la fonctionde repartition de la variable aleatoire Y : Ω→ R definie par:

Y (ω) =

e si X(ω) < e

X(ω) si e ≤ X(ω) ≤ π

π si X(ω) > π.

7 Variables aleatoires discretes

7.1 La fonction de repartition d’une variable aleatoire X est donnee par:

FX(t) =

0 t < 0

12

0 ≤ t < 1

35

1 ≤ t < 2

45

2 ≤ t < 3

910

3 ≤ t < 3, 5

1 t ≥ 3, 5


Calculer P (X > π). Donner la loi de X.

7.2 ♠ La loi d’une variable aleatoire X est PX = 12δ0 + 1

3δe + 1

6δπ. Calculer P (X > π/e). Donner

la fonction de repartition de X.

7.3 Soit X : Ω→ N une variable aleatoire. Supposons que pour chaque n ∈ N on ait:

P (X = n) =

0 si n ≡ 2, 3 mod 4

c2−n si n ≡ 0, 1 mod 4.

Calculer la constante c. Donner la loi de X.

7.4 ♠ Soit X : Ω → N une variable aleatoire. Pour chacune des hypotheses suivantes (n ∈ N)calculer la loi de X.

(a) nP (X = n) = 4P (X = n− 1).

(b) P (X = n) = pP (X ≥ n).

(c) 4P (X = n+ 2) = 5P (X = n+ 1)− P (X = n) 8.

7.5 Soit X une variable aleatoire discrete qui suit une loi geometrique.

(a) Montrer que

P(X > n+ k

/X > k

)= P (X > n) pour tout n, k ∈ N∗.

(b) Une variable aleatoire verifiant la condition precedente est dite sans memoire. Soit main-tenant X : Ω→ N une variable aleatoire discrete. Montrer que

X est sans memoire ⇐⇒ X suit une loi geometrique.

7.6 ♠ Determiner la loi de la variable aleatoire Y = f(X) dans les cas suivants

(a) X ∼ B(p) f(x) = min(2x, x2).

(b) X ∼ B(6, p) f(x) = x2 − 3x+ 2.

(c) X ∼ P(λ) f(x) =1 + (−1)x

2.

(d) X ∼ G(p) f(x) = sin(πx/2).

7.7 Soit X une variable aleatoire qui suit la loi de Bernouilli de parametre p. Quelle est laprobabilite pour que le polynome 2x2 + xX +X2 ait une racine reelle?

7.8 Soit X la variable aleatoire qui represente la difference entre le nombre des faces et lenombre de piles apres n lancers d’une piece de monnaie. Donner la loi de X. On supposera quela piece n’est pas forcement equilibree et que la probabilite de donner face est p ∈ [0, 1].

8On pourra utiliser le fait qu’une suite (xn) definie par la relation 4xn+2 = 5xn+1 − xn, n ≥ 0, est de la formexn = a 1

4n + b, avec a, b ∈ R.


7.9 Une urne contient des boules numerotees de 1 a m. Supposons qu’on en tire n au hasardet sans remise (avec n ≤ m). Soit X la variable aleatoire qui designe le plus grand numero tire.Donner la loi de X.

7.10 ♠ Une urne contient des boules numerotees de 1 a 2m. On tire successivement les boulesavec remise jusqu’a ce qu’on obtient deux fois la meme boule. Soit X la variable aleatoire quidesigne le nombre des tirages effectues. Donner la loi de (X + 2m)/2.

7.11 Un groupe de n personnes (avec n ≥ 2) jouent au jeu suivant. Chacune d’entre elles lanceune piece de monnaie truquee qui a une probabilite p ∈ [0, 1] de donner face. Un joueur gagne sitous les autres joueurs ont un resultat contraire au sien. Par exemple, le premier joueur gagne s’ilobtient face et tous les autres pile. Soit X la variable aleatoire qui compte le nombre de partiesnecessaires pour avoir un gagnant. Determiner la loi de X.

7.12 ♠ Une urne contient k boules rouges et n − k boules vertes (1 ≤ k). On tire sans remisetoutes les boules. On considere X la variable aleatoire qui donne le rang de la derniere boulerouge tiree. Par exemple (avec k = 3 et n = 7):

X(RRV V V RV ) = 6 et X(RV RV RV V ) = 5.

Donner la loi de X.

7.13 ♠ On lance successivement et de facon independante une piece. La probabilite d’obtenirface est p. Soit X1 (resp. X2) la longueur de la premiere serie (resp. deuxieme serie). Par exemple:

X1(FFFFFFF︸︷︷︸7

CCCFFCFCCF · · · ) = 7 X2(FFFFFFF CCC︸︷︷︸3

FFCFCCF · · · ) = 3

X1(CC︸︷︷︸2

FFFFCFFCCFCFFFC · · · ) = 2 X2(CC FFFF︸︷︷︸4

CFFCCFCFFFC · · · ) = 4

(a) Calculer les lois de X1 et de X2.

7.14 On lance successivement et de facon independante une piece. La probabilite d’obtenir faceest p. Pour n ∈ N∗ on posera Xn la longueur de la n-ieme serie.

(a) Montrer que

P (X3 = i) =∑

j≥1,k≥1

P (X3 = i,X1 = j,X2 = k) = P (X1 = i).

pour tous i ∈ N et j, k ∈ N∗.(b) Conclure que X1 et X3 suivent la meme loi.

(a) Montrer que

P (X4 = i) =∑

j≥1,k≥1,`≥1

P (X4 = i,X3 = `,X1 = j,X2 = k) = P (X2 = i).

pour tous i ∈ N et j, k, ` ∈ N∗.(b) Conclure que X2 et X4 suivent la meme loi.

(c) Montrer que pour tout n ≥ 3 alors Xn et Xn−2 suivent la meme loi.


7.15 On choisit un nombre X au hasard dans 1, . . . , n et puis un nombre Y au hasard dans1, . . . , X. Donner la loi de Y .

7.16 Une urne contient 1 boule rouge et 1 boule verte au depart. L’une de ces boules est tireeau hasard. Quand on la remet dans l’urne, on y rajoute 1 nouvelle boule de la meme couleur. Etainsi de suite. Soit Xn la variable aleatoire qui donne le nombre de boules rouges obtenues aucours de n premiers tirages. Donner la loi de Xn.

8 Variables aleatoires continues

8.1 Un bus passe a un arret tous les 15 a partir de 7h00 (soit donc a 7h00, 7h15, 7h30, etc). Unvoyageur arrive au hasard entre 7h00 et 7h30 (suivant une loi uniforme). Quelle est la probabilitequil attende moins de 5? Quelle est la probabilite quil attende plus de 10? Pourquoi?

8.2 Lors d’un proces en attribution de paternite, un expert temoigne que la duree de la grossesse,en jours, c’est-a-dire le laps de temps entre la conception et la naissance de l’enfant, est dedistribution approximativement normale avec parametres µ = 270 et σ2 = 100. L’un des peresputatifs est en mesure de prouver son absence du pays pendant une periode s’etendant entre le290-ieme et le 240-ieme jour precedant l’accouchement. Quelle est la probabilite que la conceptionde l’enfant ait eu lieu plus de 290 jours avant sa naissance ou moins de 240 jours avant?

8.3 ♠ On suppose que la taille, en centimetres, d’un homme age de 25 ans est une variablealeatoire normale de parametres µ = 175 et σ2 = 36. Quel est le pourcentage d’hommes de 25ans ayant une taille superieure a 185 cm? Parmi les hommes mesurant plus de 180 cm, quelpourcentage d’entre eux depassent 192 cm?.

8.4 Supposons que dans la petite ville de Atarribia (village natal de M. Indurain) le nombrede spectateurs potentiels pour aller au velodrome suit une loi normale de parametres m = 125et σ = 16. Cette ville a decide de construire un velodrome. Quel nombre de places minimaldoit posseder cette salle si l’on veut qu’il n’y ait pas de spectateurs sans place, et ceci avec uneprobabilite de 99%.

8.5 M. Jones estime que le nombre total de milliers de kilometres (megametres) que peut par-courir une voiture avant qu’elle ne soit mise a la ferraille est une variable aleatoire exponentiellede parametre λ = 0, 05. Smith a une voiture dont il pretend qu’elle n’a roule que 10 megametres.Si M. Jones achete la voiture, quelle est la probabilite qu’il puisse encore l’utiliser pendant aumoins 20 megametres ? (Meme question avec X ∼ U([0, 40]).)

8.6 Soit X une variable aleatoire a densite

f(x) =

c(1− x2) −1 < x < 10 sinon

(a) Calculer la valeur de c.

(b) Calculer la fonction de repartition de X.

(c) Calculer P (X > 1/2).


8.7 ♠ Si X ∼ U(]− 1, 1[), trouver:

(a) P (|X| > 1/2).

(b) P (sin(πX/2) > 1/√

2).

(c) Calculer P (X2 < X).

(d) Meme exercice avec X ∼ E(λ).

8.8 Soit Y une variable aleatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle ]0,5[. Quelle est laprobabilite que les racines de l’equation 4x2 + 4xY + Y + 2 = 0 soient toutes deux reelles?

8.9 ♠ Soit X une variable aleatoire continue.

(a) Calculer la loi de Y = aX + b ou a, b ∈ R.

(b) Calculer la loi de Z = X2.

8.10 Soit X une variable aleatoire continue avec X ∼ U([−3, 4]).

(a) Calculer la loi de Y = arctanX.

(b) Calculer la loi de Z = max(X,X2).

(c) Calculer la loi de W = (−1)[X], ou [−] est la fonction partie entiere.

(d) Meme exercice si X ∼ E(λ), λ > 0.

8.11 Soit X une variable aleatoire continue avec fX(x) =1

π(1 + x2).

(a) Calculer la loi de Y = eX .

(b) Calculer la loi de Z = max(X,X3).

(c) Calculer la loi de W = (−1)Ent (X).

8.12 ♠ Soit X une variable aleatoire a densite fX(x) = λ2e−λ|x|.

(a) Calculer la loi de Y = ln(π2

+ arctanX).

(b) Calculer la loi de Z = ln |X|.

(c) Calculer la loi de W = cos(2π Ent (X)).

8.13 Considerons una variable aleatoire X avec X ∼ E(λ). Fixons n ∈ N∗ et ecrivons Yn =max(e(X−1), e2(X−1), . . . , en(X−1)).

(a) Montrer que P (Yn ≤ e−1) = 0.

(b) Calculer la fonction de repartition de Yn.

(c) Deduire que Yn est continue. Calculer fYn .


9 Moments

9.1 Calculer l’esperance et la variance de la variable aleatoire Xn se la page 26.

9.2 ♠ On tire une a une des boules d’une urne contenant 2 boules blanches et 3 boules noires. Oncontinue jusqu’a ce que toutes les boules restantes soient de la meme couleur. Soit X le nombre deboules qui restent. Calculer l’esperance de X. Meme question avec b boules blanches et n noires.

9.3 Un homme tirant sur une cible recoit 10 points si son coup est a moins de 1 cm du centrede la cible, 5 points s’il s’en eloigne de 1 a 3 cm et 3 points s’il s’en eloigne de 3 a 5 cm. Trouverl’esperance du nombre de points si les coups tires sont uniformement distribues sur un cercle de 8cm de rayon, centre sur la cible.

9.4 Un des jeux de des tres populaires dans les bars anglais est le ”chuck-a-luck”. Il consistepour la banque a lancer trois des. Un joueur peut parier sur n’importe quel resultat compris entre1 et 6. Si exactement un des ces trois des montre le chiffre prevu, le joueur recupere sa mise plusun montant equivalent. Si deux des montrent ce resultat, le gain net est de 2 pour 1. Si les troischiffres indiquent le chiffre prevu, le gain net est de 3 pour 1. Si aucun de ne montre le chiffrechoisi par le joueur, ce dernier perd. Calculer l’esperance de gain dans ce jeu.

9.5 Partant d’un ensemble de n elements, on choisit un sous-ensemble de maniere aleatoire (tousles sous-ensembles ont la meme probabilite d’etre choisis). Soit X le cardinal du sous-ensemblechoisi. Montrer que E(X) = n/2 et var (X) = n/4.

9.6 Calculer l’esperance et la variance d’une variable aleatoire X a densite fX dans les cassuivants:

(a) fX(x) =

x

4e−x/2 x > 0

0 x ≤ 0

(b) fX(x) =

c(1− x2) |x| < 1

0 |x| ≥ 1(on determinera c)

(c) fX(x) =

5

x2x > 5

0 x ≤ 5

(d) fX(x) =

1

2 cosx−π/2 ≤ x ≤ π/2

0 sinon

9.7 ♠ La densite de X est donnee par fX(x) =

a+ bx2 0 ≤ x ≤ 1

0 ailleurs. Si E(X) = 3/5, trouver

a et b.


9.8 ♠ Soit X une variable aleatoire a densite fX(x) = 1/2e−|x|.Calculer E(X) et var (X).

9.9 ♠ Soit X une variable aleatoire suivant la loi exponentielle de parametre λ. Soit Y =max(X,X2). Calculer E(Y ) et var (Y ).

9.10 Soit X une variable aleatoire continue de densite fX(x) =

c(4− x2) si |x| < 2

0 sinon.

(a) Montrer que c = 3/32.

(b) Calculer P (X < X2).

(c) Calculer l’esperance E(X).

(d) Calculer la loi de la variable aleatoire Y = X3.

(e) Calculer l’esperance E(Y ).

(f) Calculer la loi de la variable aleatoire Z = max(2X,X2).

9.11 Le temps de survie d’une savonnette mesure en jours est une variable aleatoire T definiepar sa densite

f(x) =

λ2t exp (−λt) si t ≥ 0

0 si t < 0.

(a) Verifier que f est une densite

(b) Determiner la fonction de repartition de F .

On suppose que E(T ) = 20.

(c) Calculer λ.

(d) Calculer l’ecart type de T .

(e) Calculer la probabilite pour qu’une savonnette dure plus de 30 jours en sachant qu’elletoujours la au bout de 10 jours.

9.12 Considerons X une variable aleatoire dont la densite est une fonction paire. Posons g : R→R la fonction definie par

g(x) =

x+ 1 si x > 0

0 si x = 0x− 1 si x < 0.

(a) Montrer que pour tout y ∈ [0, 1] on a

g(X) > y = X > 0 et g(X) < −y = X < 0,

et que pour tout y ∈ [1,∞[ on a

g(X) > y = X > y − 1 et g(X) < −y = X < 1− y.

(b) Montrer que E(g(X)) = E(X).


9.13 Soit X : Ω→ 0, 1 une variable aleatoire suivant la loi de Bernoulli de parametre p, c’est-a-dire X ∼ B(p). Soit Y : Ω→ N une variable aleatoire suivant la loi de Poisson de parametre λ,c’est-a-dire Y ∼ P(λ). Supposons que

P (X = i, Y = j) = P (X = i)P (Y = j)

pour tous les valeurs de i et j9.

(a) Calculer la loi de X + 2(1−X)·Y .

(b) Calculer l’esperance de X + 2(1−X)·Y .

9.14 Soit X : Ω → 0, 1 une variable aleatoire suivant la loi de Bernoulli de parametre p,c’est-a-dire X ∼ B(p). Soit Y : Ω→ N une autre variable aleatoire. Supposons qu’il existe λ > 0avec

(1) P (X = i, Y = j) =

(1− p)e−λλ

j

j!si i = 0

pe−λλj

j!si i = 1

0 si i 6= 0, 1

pour tout j ∈ N.

(a) Montrer que Y suit la loi de Poisson de parametre λ, c’est-a-dire, Y ∼ P(λ).

(b) Que peut-on dire des variables aleatoires X et Y ?

(c) Calculer la loi de ((1−X) · Y )! +X.

(d) Calculer l’esperance de ((1−X) · Y )! +X.

9On dit que les variables aleatoires X et Y sont independantes.

Exercice s Probab i Lite

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