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Lespace vectorielR

n

Exo7

R

n

Ce chapitre est consacr lensemble Rn vu comme espace vectoriel. Il peut tre vu de plusieursfaons :

un cours minimal sur les espaces vectoriels pour ceux qui nauraient besoin que de Rn, une introduction avant dattaquer le cours dtaill sur les espaces vectoriels, une source dexemples lire en parallle du cours sur les espaces vectoriels.

1. Vecteurs de Rn

1.1. Oprations sur les vecteurs

Lensemble des nombres rels Rest souvent reprsent par une droite. Cest un espace dedimension 1.

Le plan est form des couplesx1x2

de nombres rels. Il est not R2. Cest un espace deux

dimensions.

Lespace de dimension 3 est constitu des triplets de nombres relsx1x2x3

. Il est not R3.

Le symbolex1x2x3

a deux interprtations gomtriques : soit comme un point de lespace (figure

de gauche), soit comme un vecteur (figure de droite) :

x1x2x3

x1x2x3

On gnralise ces notions en considrant des espaces de dimension n pour tout entier positif

n= 1, 2, 3, 4, . . . Les lments de lespace de dimension n sont les n-uplesx1x2...xn

de nombres rels.

Lespace de dimension nest not Rn. Comme en dimensions 2 et 3, le n-uple

x1x2...xn

dnote aussi

bien un point quun vecteur de lespace de dimension n.

Soientu = u1u2...un

et v =

v1v2...vn

deux vecteurs de Rn.

1

http://www.youtube.com/watch?v=8J0pCiBu0vEhttp://www.youtube.com/watch?v=8J0pCiBu0vEhttp://www.youtube.com/watch?v=8J0pCiBu0vEhttp://www.youtube.com/watch?v=8J0pCiBu0vEhttp://www.youtube.com/watch?v=8J0pCiBu0vEhttp://www.youtube.com/watch?v=xCA2fFei2_Uhttp://www.youtube.com/watch?v=xCA2fFei2_Uhttp://www.youtube.com/watch?v=xCA2fFei2_Uhttp://www.youtube.com/watch?v=985k69XyA-chttp://www.youtube.com/watch?v=985k69XyA-chttp://www.youtube.com/watch?v=985k69XyA-chttp://www.youtube.com/watch?v=xCA2fFei2_Uhttp://www.youtube.com/watch?v=8J0pCiBu0vE

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2

Dfinition 1

Somme de deux vecteurs.Leur somme est par dfinition le vecteur u+ v=

u1 + v1...

un+vn

.

Produit dun vecteur par un scalaire.Soit R (appel unscalaire) : u=

u1

...un

.

Levecteur nulde Rn est le vecteur 0 =

0...0

.

Lopposdu vecteur u =u1...un

est le vecteuru=

u1...un

.

Voici des vecteurs dans R2 (ici = 2) : u

u

v

u+v

u

Dans un premier temps, vous pouvez noter u,v,0 au lieu de u, v, 0. Mais il faudra shabituerrapidement la notation sans flche. De mme, si est un scalaire et uun vecteur, on noterasouventuau lieu de u.

Thorme 1

Soientu =u1...un

,v =

v1...vn

et w =

w1...wn

des vecteurs de Rn et, R. Alors :

1. u+ v= v+u2. u+ (v+w) = (u+v)+w3. u+0 = 0+u= u4. u+ (u) = 05. 1 u= u6.

(

u)

=()

u

7. (u+ v) = u+ v

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3

8. (+) u= u+ u

u

v

v

u

u+v

Chacune de ces proprits dcoule directement de la dfinition de la somme et de la multiplicationpar un scalaire. Ces huit proprits font de Rn unespace vectoriel. Dans le cadre gnral, ce sontces huit proprits qui dfinissent ce quest un espace vectoriel.

1.2. Reprsentation des vecteurs de Rn

Soit u=u1...un

un vecteur de Rn. On lappelle vecteur colonneet on considre naturellement u

comme une matrice de taille n1. Parfois, on rencontre aussi desvecteurs lignes: on peut voir levecteurucomme une matrice 1n, de la forme (u1, . . . ,un). En fait, le vecteur ligne correspondant u est le transposuT du vecteur colonne u.

Les oprations de somme et de produit par un scalaire dfinies ci-dessus pour les vecteurs con-cident parfaitement avec les oprations dfinies sur les matrices :

u+v=

u1...un

+

v1...vn

=

u1 +v1

...un+vn

et u=

u1...un

=

u1

...un

.

1.3. Produit scalaire

Soientu =u1...un

et v =

v1...vn

deux vecteurs de Rn. On dfinit leur produit scalairepar

u | v = u1v1 +u2v2 + +unvn.

Cest un scalaire (un nombre rel). Remarquons que cette dfinition gnralise la notion de produitscalaire dans le plan R2 et dans lespace R3.

Une autre criture :

u | v = uT v=u1 u2 un

v1

v2...vn

Soient A= (ai j) une matrice de taille n p, et B = (b i j) une matrice de taille p q. Nous savonsque lon peut former le produit matriciel AB. On obtient une matrice de taille n q. Llmentdindicei jde la matrice AB est

ai1b1j +ai2b2j + +aipbp j .

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4

Remarquons que ceci est aussi le produit matriciel :

ai1 ai2 aip

b1j

b2j...

bp j

.

Autrement dit, cest le produit scalaire du i-me vecteur ligne de Aavec le j-me vecteur colonnedeB. Notons1, . . . ,nles vecteurs lignes formant la matrice A, et c1, . . . ,cqles vecteurs colonnesformant la matriceB. On a alors

AB =

1 | c1 1 | c2 1 | cq2 | c1 2 | c2 2 | cq

... ...

...n | c1 n | c2 n | cq

.

Mini-exercices

1. Faire un dessin pour chacune des 8 proprits qui font de R2 un espace vectoriel.

2. Faire la mme chose pour R3.

3. Montrer que le produit scalaire vrifieu| v = v|u,u+ v|w = u|w + v|w,u | v =u | vpour tout u,v,w Rn et R.

4. SoituRn. Montrer que

u

|u

0. Montrer

u

|u

=0 si et seulement si uest le vecteur

nul.

2. Exemples dapplications linaires

Soientf1: R

p R f2: Rp R fn: Rp R

nfonctions de pvariables relles valeurs relles ; chaque fiest une fonction :

fi: Rp

R, (x1,x2, . . . ,xp)

fi(x1, . . . ,xp)

On construit une applicationf: Rp Rn

dfinie parf(x1, . . . ,xp) =

f1(x1, . . . ,xp),... ,fn(x1, . . . ,xp)

.

2.1. Applications linaires

Dfinition 2

Une application f : Rp

Rn dfinie par f(x1, . . . ,xp)

=(y1, . . . ,yn) est dite une application

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linairesi

y1 = a11x1 + a12x2 + + a1pxpy2 = a21x1 + a22x2 + + a2pxp

... ...

... ...

yn =

an1x1 +

an2x2 + +

anpxp .

En notation matricielle, on a

f

x1

x2...xp

=

y1

y2...yn

=

a11 a12 a1pa21 a22 a2p

... ...

...an1 an2 anp

x1

x2...xp

,

ou encore, si on note X

=

x1

...xp

et A

Mn,p(R) la matrice (ai j),

f(X) =AX.

Autrement dit, une application linaire Rp Rn peut scrire XAX. La matrice A Mn,p(R) estappele lamatrice de lapplication linaire f.

Remarque

On a toujours f(0, . . . ,0) = (0, . . . , 0). Si on note 0 pour le vecteur nul dans Rp et aussidans Rn, alors une application linaire vrifie toujours f(0)

=0.

Le nom complet de la matrice A est : la matrice de lapplication linaire fde la basecanonique de Rp vers la base canonique de Rn !

Exemple 1

La fonction f: R4 R3 dfinie par

y1 = 2x1 +5x2 +2x3 7x4y2 = 4x1 +2x2 3x3 +3x4y3 = 7x1 3x2 +9x3

sexprime sous forme matricielle comme suit :

y1

y2

y3

=

2 5 2 74 2 3 37 3 9 0

x1

x2

x3

x4

.

Exemple 2

Pour lapplication linaire identit Rn

Rn, (x1, . . . ,xn)

(x1, . . . ,xn), sa matrice associe

est lidentit In(car InX=X). Pour lapplication linaire nulle Rp Rn, (x1, . . . ,xp) (0,...,0), sa matrice associe est

la matrice nulle 0n,p(car 0n,pX= 0).

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6

2.2. Exemples dapplications linaires

Rflexion par rapport laxe(Oy)

La fonction

f: R2 R2xy xy

est la rflexion par rapport laxe des ordonnes (Oy), et sa matrice est

1 00 1

car

1 00 1

x

y

=xy

.

x

y

x

y

xy

O

Rflexion par rapport laxe(Ox)

La rflexion par rapport laxe des abscisses (Ox) est donne par la matrice

1 00

1

.

x

y

x

y

x

y

O

Rflexion par rapport la droite (y=x)

La rflexion par rapport la droite (y=x) est donne par

f: R2 R2,x

y

y

x

et sa matrice est 0 11 0

.

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7

x

y

x

y

y

x

(y=x)

O

Homothties

Lhomothtie de rapportcentre lorigine est :

f: R2 R2,x

y

x

y

.

On peut donc crire fxy

= 00

xy

. Alors la matrice de lhomothtie est :

00

.

x

y x

y

x

y

O

Remarque

La translation de vecteuru0v0

est lapplication

f: R2 R2,x

y

x

y

+u0

v0

=x+u0y+v0

.

Si cest une translation de vecteur non nul, cest--dire

u0v0

=

00

, alors ce nest pas une

application linaire, car f

00

=

00

.

Rotations

Soit f: R2 R2 la rotation dangle, centre lorigine.

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8

x

y

r

xy

x

y

O

Si le vecteurxy

fait un angle avec lhorizontale et que le point

xy

est une distance r de

lorigine, alors

x = r cosy = r sin

.

Sixy

dnote limage de

xy

par la rotation dangle , on obtient :

x = rcos(+)y = rsin(+) donc

x = r coscos rsinsiny = r cossin+ r sincos

(o lon a appliqu les formules de trigonomtrie pour cos(+) et sin(+)).On aboutit

x = xcosysiny = xsin +ycos donc

x

y

=

cos sinsin cos

x

y

.

Autrement dit, la rotation dangle est donne par la matricecos sinsin cos

.

Projections orthogonales

x

y

x

y

x

0

O

Lapplication

f: R2 R2,x

y

x

0

est la projection orthogonale sur laxe (Ox). Cest une application linaire donne par la matrice1 00 0

.

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9

Lapplication linaire

f: R3 R3,

x

y

z

x

y

0

est la projection orthogonale sur le plan (Oxy) et sa matrice est

1 0 00 1 00 0 0

.

y

z

x

xyz

x

y

0

O

De mme, la projection orthogonale sur le plan (Oxz) est donne par la matrice de gauche; laprojection orthogonale sur le plan (Oyz) par la matrice de droite :

1 0 00 0 00 0 1

0 0 00 1 00 0 1

.

Rflexions dans lespace

Lapplication

f: R3 R3,x

y

z

x

y

z

est la rflexion par rapport au plan (Ox y). Cest une application linaire et sa matrice est

1 0 00 1 00 0 1

.

De mme, les rflexions par rapport aux plans (Oxz) ( gauche) et (Oyz) ( droite) sont donnespar les matrices : 1 0 00 1 0

0 0 1

1 0 00 1 0

0 0 1

.

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10

Mini-exercices

1. Soit A =

1 21 3

et soit flapplication linaire associe. Calculer et dessiner limage par f

de

10

, puis

01

et plus gnralement de

xy

. Dessiner limage par fdu carr de sommets

00 1

0 1

1 0

1. Dessiner limage par fdu cercle inscrit dans ce carr.

2. Soit A =1 21

0 1 02 1 1

et soit flapplication linaire associe. Calculer limage par fde

100

,0

10

,0

01

et plus gnralement de

xyz

.

3. crire la matrice de la rotation du plan dangle 4 centre lorigine. Idem dans lespaceavec la rotation dangle 4 daxe (Ox).

4. crire la matrice de la rflexion du plan par rapport la droite (y = x). Idem danslespace avec la rflexion par rapport au plan dquation (y= x).

5. crire la matrice de la projection orthogonale de lespace sur laxe (Oy).

3. Proprits des applications linaires

3.1. Composition dapplications linaires et produit de matrices

Soientf: Rp Rn et g : Rq Rp

deux applications linaires. Considrons leur composition :

Rq g Rp f Rn fg : Rq Rn.

Lapplication fgest une application linaire. Notons : A = Mat(f) Mn,p(R) la matrice associe f, B= Mat(g) Mp,q(R) la matrice associe g, C = Mat(fg) Mn,q(R) la matrice associe fg.

On a pour un vecteur XRq :

(fg)(X) =fg(X)

=f

BX

=A(BX) = (AB)X.

Donc la matrice associe fgest C =AB.Autrement dit, la matrice associe la composition de deux applications linaires est gale auproduit de leurs matrices :

Mat(fg) = Mat(f)Mat(g)

En fait le produit de matrices, qui au premier abord peut sembler bizarre et artificiel, est dfiniexactement pour vrifier cette relation.

Exemple 3

Soit f : R2 R2 la rflexion par rapport la droite (y =x) et soit g: R2 R2 la rotationdangle = 3 (centre lorigine).Les matrices sont

A = Mat(f) =

0 11 0

et B= Mat(g) =

cos sinsin cos= 12

3

232

12

.

Voici pour X=

10

les images f(X), g(X), fg(X), g f(X) :

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11

x

y

X=1

0

(y=x)g(X)

f(X)

fg(X)g f(X)

O

3

3

Alors

C=

Mat(fg)

=Mat(f)

Mat(g)

= 0 1

1 0

12

3

232 12

=

32

12

12 32 .

Notons que si lon considre la composition g falors

D = Mat(g f) = Mat(g)Mat(f) =

12

3

23

212

0 11 0

=

3

212

12

3

2

.

Les matricesC=ABet D=BAsont distinctes, ce qui montre que la composition dapplica-tions linaires, comme la multiplication des matrices, nest pas commutative en gnral.

3.2. Application linaire bijective et matrice inversible

Thorme 2

Une application linaire f : Rn Rn est bijective si et seulement si sa matrice associeA = Mat(f) Mn(R) est inversible.

Lapplication fest dfinie par f(X) =AX. Donc si fest bijective, alors dune part f(X) =YX= f1(Y), mais dautre part AX=Y X=A1Y. Consquence : la matrice de f1 est A1.

Corollaire 1

Si fest bijective, alors

Mat(f1) =

Mat(f)1.

Exemple 4

Soit f: R2 R2 la rotation dangle. Alors f1 : R2 R2 est la rotation dangle.On a

Mat(f) =cos sinsin cos ,

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12

Mat(f1) =

Mat(f)1 =

cos sin sin cos

=

cos() sin()sin() cos()

.

Exemple 5

Soit f: R2 R2 la projection sur laxe (Ox). Alors fnest pas injective. En effet, pour x fixet tout y R, f

xy

=x0. Lapplication fnest pas non plus surjective : ceci se vrifie aisment

car aucun point en-dehors de laxe (Ox) nest dans limage de f.

x

y

x

y

x

0

O

La matrice de f est

1 00 0

; elle nest pas inversible.

La preuve du thorme2est une consquence directe du thorme suivant, vu dans le chapitresur les matrices :

Thorme 3

Les assertions suivantes sont quivalentes :(i) La matrice A est inversible.

(ii) Le systme linaireAX=

0...0

a une unique solution X=

0...0

.

(iii) Pour tout second membreY, le systme linaire A X=Ya une unique solution X.

Voici donc la preuve du thorme2.

Dmonstration

Si A est inversible, alors pour tout vecteur Y le systme AX

=Ya une unique solution X,

autrement dit pour tout Y, il existe un unique Xtel que f(X) =AX=Y. fest donc bijective. Si Anest pas inversible, alors il existe un vecteur Xnon nul tel que AX= 0. En consquence

on a X= 0 mais f(X) = f(0) = 0. fnest pas injective donc pas bijective.

3.3. Caractrisation des applications linaires

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Thorme 4

Une application f : Rp Rn est linaire si et seulement si pour tous les vecteurs u,v de Rpet pour tout scalaire R, on a

(i) f(u+ v) =f(u)+f(v),(ii) f(u) =f(u) .

Dans le cadre gnral des espaces vectoriels, ce sont ces deux proprits (i) et (ii) qui dfinissentune application linaire.

Dfinition 3

Les vecteurs

e1 = 10...0

e2 =

01

0...0

ep= 0...01

sont appels lesvecteurs de la base canoniquede Rp.

La dmonstration du thorme impliquera :

Corollaire 2

Soit f : Rp Rn une application linaire, et soient e1, . . . ,eples vecteurs de base canonique

de Rp

. Alors la matrice de f(dans les bases canoniques de Rp

vers Rn

) est donne par

Mat(f) =f(e1) f(e2) f(ep)

;

autrement dit les vecteurs colonnes deMat(f) sont les images par fdes vecteurs de la base

canonique (e1, . . . ,ep).

Exemple 6

Considrons lapplication linaire f: R3 R4 dfinie par

y1 = 2x1 +x2 x3y2 = x1 4x2y3 = 5x1 +x2 +x3y4 = 3x2 +2x3.

Calculons les images des vecteurs de la base canonique1

00

,0

10

,0

01

:

f

100

=

215

0

f

010

=

141

3

f

001

=

101

2

.

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14

Donc la matrice de fest :

Mat(f) =

2 1 11 4 05 1 10 3 2

.

Exemple 7

Soit f: R2 R2 la rflexion par rapport la droite (y=x) et soit gla rotation du plan dangle6 centre lorigine. Calculons la matrice de lapplication fg. La base canonique de R2 estforme des vecteurs

10

et

01

.

fg

10

=f

3

212

=

123

2

fg

01

=f

12

32

=

32

12

Donc la matrice de fg

est :Mat(f) =

12

32

32 12

.

Voici la preuve du thorme4.

Dmonstration

Supposons f: Rp Rn linaire, et soit Asa matrice. On a f(u+ v) =A(u+ v) =Au+Av = f(u)+ f(v)et f(u) =A(u) =Au =f(u).Rciproquement, soit f : Rp Rn une application qui vrifie (i) et (ii). Nous devons construire unematrice Atelle que f(u)

=Au. Notons dabord que (i) implique que f(v1

+v2

+ +vr)

=f(v1)

+f(v2)

+ + f(vr). Notons (e1, . . . ,ep) les vecteurs de la base canonique de Rp.Soit Ala matrice npdont les colonnes sont

f(e1),f(e2),..., f(ep).

Pour X=

x1

x2...xp

Rp, alors X=x1e1 +x2e2 + +xpep

et donc

AX = A(x1e1 +x2e2 + +xpep)= Ax1e1 +Ax2e2 + +Axpep= x1Ae1 +x2Ae2 + +xpAep= x1f(e1)+x2f(e2)+ +xpf(ep)= f(x1e1)+ f(x2e2)+ +f(xpep)= f(x1e1 +x2e2 + +xpep) =f(X).

On a alors f(X) =AX, et fest bien une application linaire (de matrice A).

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Mini-exercices

1. Soit f la rflexion du plan par rapport laxe (Ox) et soitg la rotation dangle 23 centre lorigine. Calculer la matrice de fgde deux faons diffrentes (produit de matrices et

image de la base canonique). Cette matrice est-elle inversible? Si oui, calculer linverse.Interprtation gomtrique. Mme question avec g f.2. Soit fla projection orthogonale de lespace sur le plan (Oxz) et soit gla rotation dangle

2 daxe (Oy). Calculer la matrice de fg de deux faons diffrentes (produit de ma-trices et image de la base canonique). Cette matrice est-elle inversible? Si oui, calculerlinverse. Interprtation gomtrique. Mme question avec g f.

Auteurs

Daprs un cours de Eva Bayer-Fluckiger, Philippe Chabloz, Lara Thomas de lcolePolytechnique Fdrale de Lausanne, rvis et reformat par Arnaud Bodin, relu par Vianney Combet.