Transport dynamiquedansles conducteurs mésoscopiques ... · Pauli Heisenberg : eV. ττττ~ h eV...
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Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 1
Partie 1 : introduction et relaxation de charge d’une capacité mésoscopique
Partie 2 : inductance mésoscopique et injection d’électrons uniques
Transport dynamique dans les conducteurs
mésoscopiques :
aspects expérimentaux
Bernard Plaçais
Groupe de physique mésoscopique (MESO)
Laboratoire Pierre Aigrain, Ecole Normale Supérieure, Paris
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 2
Domaine vaste et sujet dynamique @gdr.fr
• Dynamique de charge dans conducteurs quantiques (ce cours)
• Conducteurs diffusifs (cours G. Montambaux)
• Electronique quantique et photons RF (cours M. Devoret, Saclay)
• Moments d’ordre supérieurs du bruit, susceptibilité de bruit (Reulet et al.,Orsay)
• Photo-détection électronique (MESO, Saclay, Orsay)
• Photo-détection GHz--THz (IEMN-Lille, LPS-Orsay, ce cours)
• Transport moléculaire (dynamique ?) (MPQ-Paris7, Néel-Grenoble)
• Dynamique du transport cohérent de spin (séminaire T. Kontos)
• Dynamique électro-mécanique (Grenoble, Barcelone)
• …./….
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 3
les conducteurs quantiques
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 4
Gaz bidimensionnel d’électrons (c.f. : F. Pierre)
Hétérojonction de semiconducteurs à modulation de dopage
Transport électronique balistique cohérent
µm 20l ; µm 10l ; nm 30~ ; cm1010n ; sVm 240µ eF-21311
s-1-12 ≈>−== ϕλ
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Rxx
RHM=1
2
B(T)
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 5
GaAs
AlGaAs
Confinement 2D
Interface
Br
k , x
Énergie
Niveaux de Landau
Fε
États de bord unidimensionnels
Dégénérescence de spin levée
Canaux de bord superbalistiques
(c.f. M. Büttiker, M. Goerbig, P. Roche)
x
Br
Er
driftVr
µm 100~ll ; m/s 10~V edgee5
drift qqsB
ne
B
E≤≈=
ε
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 6
nanotubes de carbone monoparois (MESO)
∆≈1eV
Electronic and transport properties of nanotubes, J.C. Charlier, X. Blase, S. Roche, RMP 79, 677 (2007)
eV
nm
v
kvh
9.2
076.0d
m/s10.8
E
0
22(nm)
50
0
=•
+=•
=•
±=•
γ
Nanotube (9,0) zigzag = métal
µm 1l ; m/s 10~V 6F >e
Métalliques ou semiconducteurs selon la chiralité
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 7
Nanotube semiconducteur (c.f. J.N. Fuchs)
∆≈1eV
(Charlier, Blase, Roche, RMP 2007)
( ) ( )
eV
nm
vv
v
kvhvm
F
9.2
076.0d
d
1
13
mm*
-
m/s10.8
* E
0
22(nm)
(nm)
0
gF0
50
20
220
=•
+=•
≤•
∆=•
=•
+±=•
γ
εε
Nanotube (10,0) zigzag = semiconducteur
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 8
Spectroscopie d’un nanotube semiconducteur
(c.f. T. Kontos)
0.8
0.65
0.5
0.35
0.2
0.05
VG (V)8
VSD(m
V)8
dI/dV
(4e2/h)8
Régime Fabry-Pérot
hvF/L
Blocage de CoulombEffet Kondo
balistique (le>1µm) , 4 modes, barrière Schottky aux contacts (Pd)
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 9
Plan du cours
A. Introduction à la dynamique mésoscopique1. Introduction2. Apport des hautes fréquences3. Mesurables
B. Techniques expérimentales1. Paramètres de diffusion2. Montages de mesure de signaux rf faibles
C. Admittance de conducteurs quantiques1. Relaxation de charge d’une capacité mésoscopique2. Inductance mésoscopique d’une barre de Hall3. Dynamique de transistors à nanotube de carbone
D. Manipuler des électrons uniques1. Injection d’électrons uniques2. Vers la détection d’électrons volants
cours 1
cours 2
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 10
Introduction
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 11
optique électronique cohérente
+-V
h
eVeI .=
eV
h=τ
1e 1e 1e 1e 1e ...
Pauli Heisenberg : eV . ττττ ~ h
Ve
ε
)(fR ε
εe-µL
µR)(fL ε
h
eG
2
=
25.8 kΩ >> 50Ω2e
hR =
quantum inside
mais
!!02 =∆I
Wave-packet approach to noise in multichannel mesoscopic systems,T. Martin, R. Landauer, PRB 45, 1742 (1992)
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 12
QPC : contrôle de la Dransmission d’un mode unique
eVD
eV
h=τ
1
0
2
exp1
−
∆
−−+≈
= ∑
V
VVD
Dh
eG
ng
n
n
n
-50 0 50 1000
1
2
3
Vg ( mV )
conductance ( e
2 / h )
états de bord = équipotentielles
12
Quantized transmission of a saddle-point constriction, M. Büttiker, Phys. Rev. B 41, 7906 (1990).
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 13
0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.20.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
Sample A
(SI-4kBT(4e2/h)D
2)/2eI
VG(V)
Bruit de partition quantique (c.f: M. Buttiker)
Shot noise supression in QPC, Reznikov et al. PRL’95, Kumar et al. PRL ’96, atomic contacts, van den Brom and Ruitenbeek PRL ‘99
Shot noise in Fabry-Pérot interférometers Based on carbon nanotubes, L. Hermann et MESO, PRL 99, 156804 (2007),
-50 0 50 1000
1
2
3
Vg ( mV )
conductance ( e
2 / h )
( ) fDeII ∆−=∆ 12 : unitéon dransmissi àpartition debruit du extinction 2
Contact ponctuel (2DEG) Interféromètre Fabry-Pérot (CNT)
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 14
Longueur de cohérence de phase
(c.f. P. Roche)
KLTL
Lm 20 à µm 20 ;
)(exp0 >−= ϕ
ϕ
νν
D1
S
BS1 M1
M2
BS2
D2
Direct measurement of the coherene ….., P. Roulleau, et al. PRL 100, 126802 (2008).
visibilité des franges des Mach-Zehnder
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 15
Apport des hautes fréquences
(ou des temps courts)
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 16
A(ωωωω) mesure le temps de résidence des électrons !!
Régime balistique:
L
Fv
ωτφ =tan
Fv
L=τ Temps de transit
Hz )(2 ns, .10 .10 v, m10 115F GqqsfqqssmqqsqqsLL ≈=≈⇒≈≈≤ −− πττµϕ
τVac Iac
Z(ω) K+++== KEjGV
IA
ac
ac 2ωω
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 17
Inductance d’un fil diffusif (c.f. G. Montambaux)
2/122
0
22 1
A(B) ; )((B)A(B) −
−−
−+=−≈D
iLL
Lh
eGBLjG B
ωδω
Weak-localization complex conductivity at 1GHz in disordered in Ag wires, J.B. Pieper, J.C. Price, J.M. Martinis, PRB 45, 3857 (1992).
High frequency conductivity of the high-mobility 2DEG, P. J. Burke et al. , APL 76, 745 (2000).
Temps de traversée d’un fil diffusif
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 18
2 terminaux - 2 contacts : inductance mésoscopique
( )ωτω jGEjGA +=+= 1
DS
Low frequency admittance of a quantized Hall conductor, T. Christen and M.Büttiker, PRB 53, 2064 (1996).
Low frequency admittance of a quantum point contact, T. Christen, M. Büttiker, PRL 77, 143 (1996)
Relaxation Time of a Chiral Quantum R-L Circuit, J. Gabelli, et al., PRL98, 166806 (2007)
(c.f. : section C.2)
Temps de traversée d’une barre de Hall
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 19
1 contact - 1 grille : capacité mesoscopique
( ) ( )ωτωωω jjCRCjCA q +=−= 1 2
Dynamic conductance and the scattering matrix of small conductors ,M. Büttiker, A. Prêtre, H. Thomas, PRL70, 4114 (1993).
Dynamic admittance of mesoscopic conductors: Discrete-potential model, A. Prêtre, H. Thomas, M. Büttiker, PRB54, 8130 (1996).
Violation of Kirchhoff’s Laws for a Coherent RC Circuit, J. Gabelli, et al., Science 313, 499 (2006).
S D
(c.f. : section C.1)
Temps de charge et résistance de relaxation de charge(cohérent et incohérent )
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 20
2 contacts - 1 grille : le transistor mesoscopique
T01
2
1
1
2
2 j1I
I ;
2ωω
+=−
=
=
=A
BCAD
I
V
DC
BA
I
V
V
Single Carbon Nanotube Transistor at GHz, J. Chaste et al. MESO, Nanoletters 8, 525 (2008)
Matrices S , Z, Y ou ABCD
G D
S
Agd
AdsAgs
(c.f. : section C.3)
Fréquence de transit
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 21
Polarisabilité d’anneaux mésoscopiques
( )( ) ( )
∆=+
∆+−=
πτϕϕωτ
λ
π
ελϕδα
2 ; /cos 1
/ln16)( 0
2
2j
LWEWRL
s
c
s
Thèse B. Reulet, Flux-dependent screening in Aharonov-Bohm rings, R. Deblock et al., PRL 84, 5379 (2000)
Theorie, K.B. Efetov, PRL 76, 1908 (1996)
Modèle diffusif, Y. Noat, B. Reulet and H. Bouchiat, EPL 36, 701 (1996)
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 22
Du bruit rf
à
la manipulation d’électrons uniques
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 23
Singularité à eV/h du bruit d’un QPC
Experimental Test of the High-Frequency Quantum Shot Noise Theory in a Quantum Point Contact
E. Zakka-Bajjani, J. Segala, F. Portier, P. Roche, and D. C. Glattli, A. Cavanna, Y. Jin, PRL 99, 236803 (2007).
( )
( )
−− →
−
−−
++
−−
−=
∑
∑
>>
+−
kT
hfhfeVDDG
e
hf
e
eVhf
e
eVhfDDGVTfS
i
ii
kThfV
kThfkTeVhfkTeVhfi
iiI
2coth12
1
2
1112),,(
0,
//)(/)(0
e−
12
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 24
Time-Resolved Detection of Single-Electron Interference, S. Gustavsson, R. Leturcq, M. Studer, T. Ihn, and K. Ensslin,
D. C. Driscoll and A. C. Gossard, Nanoletters 8, 2547 (2008)
Détection microseconde d’électrons uniques
Comptage d’électrons en sortie d’un interféromètre
classique dynamique
)( lent""
⇒
>> ϕττ
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 25
Injection nanoseconde d’électrons uniques :
expériences sur des paquets d’onde monoélectroniques
An on-demand single electron source, G. Fève et al. MESO, et al., Science 316, 1169 (2007).
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 26
Exemple : collisionneur à deux électrons(posters J. Splettstoesser, F. Parmentier)
A
AV
V
Time control ~ 0.1 ns (Lφ ~10 µm, Vd ~105 m/s)Energy control
QHE edge-state
QPC
contact
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 27
Mesurables rf
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 28
Capacité quantique
FE
E+-0=V
Ψ1 Ψ2géoC
)(EN
FE
0=q
0=q
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 29
Capacité quantique
FE
E+-
V∆
Ψ1 Ψ2géoC
)(EN
VeEF ∆+
q∆+
q∆−Ve∆
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 30
Capacité quantique
FE
E+-0=V
Ψ1 Ψ2géoC
)(EN
VeEF ∆+
q∆+
q∆−Ve∆
q∆
FE
µ∆+FE
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 31
Capacité quantique
FE
E+-0=V
N)( , 11
)(
1modes
2 ∝=
+∆=
∆+∆=∆ FQ
Qgéo
L ENeCCC
qeENe
qVeµ
Ψ1 Ψ2géoC
)(EN
VeEF ∆+
q∆+
q∆−
µC
1
géoC
qeVe
∆=∆
q∆
FE
µ∆+FE
CgéoCQ
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 32
inductance cinétique
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 33
- +
0=dsV
Ψ1 Ψ
2 0=∆qΨ1 Ψ
2
0=channelV
0=∆q
0≈geoC
Inductance cinétique
+k
)(EN +
FE
−k
)(EN −
1µ 2µ
FE=2µFE=1µ
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 34
- +
dsV
Ψ1 Ψ
2 0≈∆qΨ1 Ψ
2
2/dschannel VV =
0≈∆q
0≈geoC
Inductance cinétique
+k
géoC
)(EN +
FE
−k
2/Ve∆
)(EN −
1µ 2µ
dsF eVE +=2µ
FE=1µ
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 35
- +
dsV
Ψ1 Ψ
2 0≈∆qΨ1 Ψ
2
2/dschannel VV =
0≈∆q
0≈geoC
Inductance cinétique
+k
)(EN +
FE
−k
2/Ve∆
dsF eVE +=2µ
FE=1µ
)(EN −
1µ 2µ
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 36
- +
dsV
Ψ1 Ψ
2 0≈∆qΨ1 Ψ
2
2/dschannel VV =
0≈∆q
0≈geoC
Inductance cinétique
+k
)(EN +
FE
−k
2
Ve∆
dsF eVE +=2µ
FE=1µ
esFF
K
KF
NvENeL
ILeVeV
ENE
mod22
2
1
)(
1
2
1
22)(
∝=
=×
×=∆ +
)(EN −
1µ 2µ
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 37
- +
dsV
Ψ1 Ψ
2 0≈∆qΨ1 Ψ
2
0=channelV
0≈∆q
∞≈geoC
Cas sans interactions
+k
)(EN +
FE
−k
)(EN −
dsF eVE +=2µ
FE=1µ
1µ 2µ
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 38
- +
dsV
Ψ1 Ψ
2 0≈∆qΨ1 Ψ
2
2/dschannel VV =
0≈∆q
0≈geoC
Cas chiral
+k
)(EN +
FE
−k
)(EN −
1µ 2µ
+∆Ve−∆Ve
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 39
Ordres de grandeur
nanotubes) bord, decanaux : modes de nombre(petit
µH/m 1 ~µ mH/m 41
)8.10 4,N nanotubes graphène, cteurs,(nanocondu
pF/m 100 ~ ~ pF/m 400 2
02
5
0
2
≈>>≈=
==
≈≈=
geo
FQ
K
F
geoF
Q
LvC
L
v
Chv
NeC ε
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 40
Plan du cours
A. Introduction à la dynamique mésoscopique1. Introduction2. Apport des hautes fréquences3. Mesurables
B. Techniques expérimentales1. Paramètres de diffusion2. Montages de mesure de signaux rf faibles
C. Admittance de conducteurs quantiques1. Relaxation de charge d’une capacité mésoscopiques2. Inductance mésoscopique d’une barre de Hall3. Dynamique de transistors à nanotube de carbone
D. Manipuler des électrons uniques1. Injection d’électrons uniques2. Vers la détection d’électrons volants
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 41
Paramètres de diffusion
des photons sonde rf
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 42
Mesures 2 ports de paramètres de diffusion
Port 1 Port 2
a1 a2
b2b1
2
1
2221
1211
2
1
=
a
a
SS
SS
b
b
Port 1 Port 2
a1 a2
b2b1Z0 Z0A-1>>Z0
3-0
0
021 10 )A( Z ≤≈
+= ω
ZZ
ZS )/2A( Z- 0
0
011 ω≈
+−
=ZZ
ZZS )/2A( Z- 0
0
011 ω≈
+−
=ZZ
ZZS
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 43
Mesures 1-port (réflectométrie)
Measurement of the weak-localization complex conductivity in Ag wires, J.B. Pieper, J.C. Price, J.M. Martinis, PRB 45, 3857 (1992).
amplitude)en 10% de (fuite
dB 20~isolation −
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 44
mesure de transmission en géométrie coplanaire
! parasite10~ )A( Z signalet @1GHzin/out isolation 60dB- -3021 ≥≈ ωS
Port 1 Port 2
a1 b2
Z>>Z0
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 45
Analyseurs de signaux vectoriels (VNA) &
mesures sous pointes rf (300K mais aussi 4K)
Microwave engineering, D.M. Pozar, ed.: J. Wiley and Sons, 3ième édition,
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 46
VNA et mesures en boîtier
Microwave engineering, D.M. Pozar, ed.: J. Wiley and Sons, 3ième édition,
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 47
Spectromètre rf de mesure admittance
3 cm3 mm
dc rf
local
G=X+iY
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 48
schémas de mesure de bruit
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 49
Montage mixte haute résolution (MESO-2008)
!!µK 45 1010
K 5
4)(2T
!!!µK 101010
K 5T
4 83
0S
4 834N
=×
≈≤
=×
≈∆
=
qqsk
Zefe
Hzqqssf
TN
δ
τδ
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 50
Adaptation impedance : ligne quart d’onde f>1GHz
(poster E. Zakka-Bajjani)
Experimental Test of the High-Frequency Quantum Shot Noise Theory in a Quantum Point Contact
E. Zakka-Bajjani, J. Segala, F. Portier, P. Roche, and D. C. Glattli, A. Cavanna, Y. Jin, PRL 99, 236803 (2007).
50-200Ω, 4-8 GHz (Saclay)
50-125Ω, 1-4 GHz (ENS)
Ω=≥
Ω≈==>>>
≥≈ 50 377 A ; 0
0
02sample021 Z
C
LZ
e
hAZS
vide
videvide ε
µ
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 51
Adaptation impedance : transformateur f<1 GHz
J. Chaste, Thèse UPMC, MESO
50-200Ω, 0.01-0.8 GHz (ENS)
NT-FET Ligne 200 ohmsLigne 50 ohms Ligne 50 ohmsLigne 50 ohms
Transfo Coil-Craft
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 52
Plan du cours
A. Introduction à la dynamique mésoscopique1. Introduction2. Apport des hautes fréquences3. Mesurables
B. Techniques expérimentales1. Paramètres de diffusion2. Montages de mesure de signaux rf faibles
C. Admittance de conducteurs quantiques1. Relaxation de charge d’une capacité mésoscopique2. Inductance mésoscopique d’une barre de Hall3. Dynamique de transistors à nanotube de carbone
D. Manipuler des électrons uniques1. Injection d’électrons uniques2. Vers la détection d’électrons volants
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 53
Relaxation de charge d’une capacitémésoscopique
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 54
Relaxation de charge d’une capacité mésoscopique
GV
GV
l < µµµµm exceV ( t )
I( t )
Br
Thèse J. Gabelli
Violation of Kirchhoff’s Laws for a Coherent RC Circuit, J. Gabelli, et al. MESO, Science 313, 499 (2006), ibid (Physica B 2006).
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 55
Coefficient de rétrodiffusion s(ε) et densité
d’états dans la « cavité »
Boîte quantique
GV
Br
2ε
Φ π∆
=
2tD =
2
2
0
1
0
1
)/2cos(21
11
2
1)(
tséquidistan Lorenziens pics de série : 1D modèle
) 2( vec 1
)( )(
rr
r
d
dss
iN
are
ers
be
a
rt
tr
b
asi
i
i
+∆−−
∆==
∆=
−−
=⇒
−=
+
πεεπε
επϕε
εϕ
ϕ
ϕ
-0,90 -0,880
2
VG (V)
T=0 K
1/∆∆∆∆
Cq (K-1)
Transm
ission 1
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 56
Admittance basse fréquence (c.f. M. Buttiker)
( )( )
[ ] ( )
( )
( )
=<<==
==
+−≈+
=+
=
+−=
+=
+−+−=
∫∫∫
∫∫
∫
∫++
+
222
2222
22
32
2222
2
222
2
!!!! 2 ; )( : re températubasse à
)( )(2
; )(
)(11
1)(
)(2
)( )(
2)(
)()()()(1)(
De
hR
e
hRNeC
d
dfNed
d
dfNe
e
hdR
d
dfNedC
oCRjCjCR
jC
jCRA
d
dfNe
e
hd
d
dfNedig
d
dfh
d
dssh
d
dssd
h
eg
h
hffhssd
h
eg
LandauerqQ
ε
εεε
εεε
εεε
ωωωωω
ωω
εωεε
εεεωω
εω
εω
εεω
ωωεε
ωεεεω
Dynamic conductance and the scattering matrix of small conductors ,M. Büttiker, A. Prêtre, H. Thomas, PRL70, 4114 (1993).
Dynamic admittance of mesoscopic conductors: Discrete-potential model, A. Prêtre, H. Thomas, M. Büttiker, PRB54, 8130 (1996).
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 57
prise en compte de la capacitance géométrique série
)résonancesaux quantique capacité la de divergence la de (écrêtage
1
2
11
2
1
)(
1
)(
1
/)(
22
geoµ
geoQ
geo
geo
CC
jCe
h
jCjCe
h
jCgG
jCIV
I
UV
Ig
≤
+=++=
+=
−=
−=
ωωω
ωωω
ωδδδ
δδδ
ω
µ
CQ CgéoRq
Cµ
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 58
Vu par des électrons monochromatiques :
le régime cohérent (kT<<D∆) : Boîte quantique
GVGV
Br
2ε
Φ π∆
=
2
2
1
0
1
)/2cos(21
11)(
exp1
rr
rN
V
VVD
g
+∆−
−
∆=
∆
−−+=
−
πεε
-0,90 -0,880
2
VG (V)
T=0 K
1/∆∆∆∆
Cq (K-1)
Transm
ission 1
-0,90 -0,880
1
2
1/R
q (e2/h)
VG (V)
1
Transm
ission
T= 0 K
2
)( ; cte
2 ; )( q2
2 ετε
hNCR
e
hRNeC QqqQ =====
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 59
∆==×
∆=
=+∆−
−
∆= ∫
D
hCR
kTkT
e
h
D
R
kTkT
e
d
df
rr
redC
q
Q
~
~ ;
)2/(cosh4~1
)2/(cosh4)/2cos(21
1
~
2
2
2
2
2
22
τδε
δεεπεε
Effet de l’élargissement thermique de la source :
régime séquentiel (kT>>D∆)
-0,90 -0,880
2
VG (V)
1/∆∆∆∆
Transm
ission
Cq (K
-1)
1/4T
T=150 mK
1
-0,90 -0,880
1
2
x10
1/R
q (e2/h)
VG (V)
Transm
ission 1
T= 150 mK
2K====∆∆∆∆
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 60
résumé
téchappemend' tempsleest ~
~
)2/(cosh4
~1
; )2/(cosh4
~
)D(kT thermiquebrouillage régime
électron l' de résidence de tempslepar donnéest 2
)(
cte 2
; )(
niveaux) deslargeur D(kTcohérent régime
2
2
2
2
Q
222
∆==
∆==
∆≥
==
=<===
∆<<
D
hCR
kTkT
e
h
D
RkTkT
eC
hNCR
De
hR
e
hRNeC
q
Q
LandauerqQ
τ
δεδε
ετ
ε
Effet des interactions :
Mesoscopic charge relaxation, S.E. Nigg, R. Lopez, M. Büttiker, PRL 97, 206804 (2006) ; Quantum to classical transition of the
charge relaxation resistance of a mesoscopic capacitor, S.E. Nigg, M. Büttiker, PRB 77, 085312 (2008)
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 61
Les manipes
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 62
Capa-méso
(B. Etienne, Y. Jin, LPN-Marcoussis)
Échantillon (LPN)
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 63
admittance à l’ouverture du
premier canal
D (transmission)10
f=1,5 GHz, T = 30 mK
-0.91 -0.90 -0.89 -0.88
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
B=1.28T
f = 1.5GHz
VG (V)
Im(G) -Re(G)
2)RC(1
C)GIm(
ω+ω
=
2
2
)RC(1
)C(R)GRe(
ω+ω
=
DBr
R C
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 64
Capacitif à forte transmission
Im(G)>>Re(G) (D→1)
D (transmission)10
f=1,5 GHz, T = 30 mK
-0.91 -0.90 -0.89 -0.88
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
B=1.28T
f = 1.5GHz
VG (V)
Im(G) -Re(G)
2)RC(1
C)GIm(
ω+ω
=
2
2
)RC(1
)C(R)GRe(
ω+ω
=
R C
DBr
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 65
résistif à faible transmission
Im(G)<<Re(G) (D→0)
D (transmission)10
f=1,5 GHz, T = 30 mK
-0.91 -0.90 -0.89 -0.88
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
B=1.28T
f = 1.5GHz
VG (V)
Im(G) -Re(G)
2)RC(1
C)GIm(
ω+ω
=
2
2
)RC(1
)C(R)GRe(
ω+ω
=
R C
DBr
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 66
« cross-over » vu dans un diagramme de Nyquist
RQ=cte
ωτ=ω=µ QQ
CRG
G
)Im(
)Re(
Vg
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 67
Calibration de la capacité de grille
Régime de basse transmissionLargeur des pics kBTDistance entre pics δVdc e2/Cµ
KC
e5.2
2
=µ
fF75.0C =µ
VG
Vdc
-1 0 1 2
0
1
2
3
4
0 100 200 300 400 5000,0
0,1
0,2
δδδδVdc(V)
νννν=1.5 GHz
T=40 mK
T=170 mK
T=295 mK
T=440 mK
G (a.u)
Vdc(V)
T0 200mK
ββββ= 2.25 K.V-1
Largeur(V)
T(mK)
≡
≈
µCe2
kT
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 68
Inversion de l’admittance et observation de la
résistance de relaxation de charge
Violation of Kirchhoff's Laws for a Coherent RC Circuit, J. Gabelli et MESO, Science. 313, 499 (2006)
A Quantum Mesoscopic RC Circuit Realized in a 2D Electron Gas, J Gabelli, et MESO, Physica E, 34, 576 (2006)
0
1
2
3
4
-0,74 -0,72-0,85 -0,84 -0,83
2
4
6
8
CSample E1ω/2π = 1.085 GHz
Rq= h / 2e2
A
Im(Z) (h/e
2 )Re(Z) (h/e
2 ) Sample E3ω/2π = 1.2 GHz
Rq= h / 2e2
D
Cµ = 2.4 fF
VG (V)
B
Cµ = 1 fF
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 69
Dépendance en f et comparaison au modèle 1D
KC
e5.0
2
=
KC
e5.2
2
=µ
K2=∆
fit using:fit using: )( GVD
0 896V mV= −
0 2.9V mV∆ =
-0,05
0,00
0,05
0,10
-0,91 -0,90 -0,89
-0,02
0,00
0,02
0,04
-0,2
-0,1
0,0
0,1
0,2
0,3
data modeling
f = 515 MHz
Conductance G (e2/h)
VG(V)
f = 180 MHz
f = 1.5 GHz
D0.003 0.1 0.3 0.7 0.90.02
Im(G)
-Re(G)
0
0
1( )
1G
G V V
V
D V
e
−−∆
=
+
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 70
conclusion
Seconde partie :
inductance mésoscopique et électrons uniques
• Expériences GHz pour étudier la dynamique du transport cohérent
• Importance de l’énergie cinétique (capacité et inductance mésoscopiques)
• Résistance de relaxation de charge ≠ résistance de Landauer
• Dynamique macroscopique est contrôlée par le temps de résidence électronique
• Effet des interactions (Kondo, FQHE, ….) : travail futur