AVRIL 2017

CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES

ITS Voie A

CORRIGÉ DE LA 1ère COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

Attention !

L’exercice n° 1 de la présente épreuve est obligatoire et toute note strictement

inférieure à 6 à cet exercice est éliminatoire (chaque question de l’exercice n° 1 étant

notée sur 1 point).

Globalement cet exercice n’entre toutefois que pour un cinquième dans la note

finale de cette première épreuve de mathématiques.

Exercice n° 1

1. Calculer la dérivée de )1( xArctgxxy en x=0.

On obtient : 1)0(et1

21 '

2

2'

y

x

xxArctgxy

2. Résoudre le système :

1

2

y

x

eyLnyxLnx

On obtient x=y, d’où exLnx , soit x=e=y (l’étude rapide de la fonction exLnx permet

de vérifier qu’il n’y a qu’une solution.

3. Calculer

1

0

)2( dxexI x

01)1(1)2(1

0

1

0

1

0

xxx exdxxedxexI (Intégration par parties, en posant :

xevxu ',

4. Calculer

n

kkn

Lim0 2

1

On a une suite géométrique de raison 1/2. Et 2/11

)2/1(1

2

11

0

nn

kk

qui tend vers 2

5. Un coureur à pied parcourt les 10 km en 35 minutes. Toutes choses étant égales par

ailleurs, quel sera son temps pour parcourir 21 km, sachant qu’il perdra 10 secondes chaque

kilomètre.

Si le coureur gardait la même vitesse sur 21 km que 10 km, il parcourrait la distance en :

35minutes*2 + (1/10)*35minutes, soit un temps de : 1h : 13 minutes et 30 secondes. Mais

il perd 10 secondes au kilomètre, donc au total il va perdre 3 minutes et 30 secondes.

Le temps sera donc de 1h :17 minutes.

6. Calculer dxxx

Lim

n

n 0

)1)(2(

1

On a : 2

1

1

1

)1)(2(

1

xxxx et

222

1

2

1

)1)(2(

1

00

LnLnn

nLnLim

x

xLnLimdx

xxLim

n

n

n

n

n

7. Résoudre l’équation suivante : 03

11

1

1

1

1

1

22

1

1

33

dtdttxdttxdttx

On a : 03

20

3

20

3

1 2

1

1

1

1

1

1

22

1

1

33

xdtdttxdttxdttx , soit 1x

8. Calculer x

xxLnLimx

232

, où Ln désigne le logarithme népérien.

02))/2/31(()23(23 2222

x

xLnLim

x

xxxLnLim

x

xxLnLim

x

xxLnLim

xxxx

9. Résoudre dans 2R le système suivant : 22 yxyxyx

On élève au carré l’équation yxyx pour obtenir :223 yxyx , soit

0',0)3( yxoùdxyxy

donc )0,0(),( yx

10. Pour quelles valeurs, la fonction numérique f définie pour x>0 par )()( 2 xLnxxf

est-elle convexe ?

Sa dérivée est égale à : xxLnxxf )(2)(' et la dérivée seconde à 3)(2)('' xLnxf

La fonction est convexe si sa dérivée seconde est positive soit 2/3 ex

Exercice n° 2

On considère la fonction numérique f définie par : 1

)1()(

x

xLnxf , où Ln désigne le

logarithme népérien.

1. Étudier les variations de f et tracer son graphe.

La fonction est définie pour x<1. La dérivée est égale à :2

'

)1(

)1(1)(

x

xLnxf qui s’annule pour

x=1-e. La fonction est décroissante de e 1, sur e/1,0 et croissante de 1,1 e sur

,/1 e . La droite d’équation x=1 est une asymptote verticale.

2. Calculer

0

1

)(e

dxxfI

2

1)(

2

1)(

11

2

0

1

eee

tLndtt

tLndxxfI

Exercice n° 3

1. Étudier la suite nnu 1)( définie par la relation de récurrence : )sin(1 nnn uuu et 10 1 u

On vérifie aisément par récurrence que : 10 1 nu et 1)sin(1 n

n

n uu

u. La suite est donc

décroissante et minorée, elle converge vers une limite l solution de l’équation : )sin(lll , soit

l=0.

2. Étudier la suite nnv 1)( définie par la relation de récurrence :

n

nn

u

uLnv 1

1

On a : )()sin(1 nnn uLnuLnv (car la suite nu tend vers zéro).

Exercice n° 4

Soit xLnxxf n

n )( , où n est un entier strictement positif et x un nombre réel strictement

positif.

1. Étudier les variations de nf et tracer son graphe

Sa dérivée est égale à : )1()( 1' xLnnxxf n

n , qui s’annule pour nex /1 . La fonction peut

être prolongée par continuité en zéro, en posant 0)0( nf et admettant en ce point une tangente

horizontale. Elle admet une branche parabolique à l’infini.

La fonction est décroissante de ne /1,0 sur

en

1,0 et croissante par la suite.

2. Étudier la convexité de nf

Sa dérivée seconde est égale à : )12)1(()( 2'' nxLnnnxxf n

n qui est nulle pour

)1(

21exp

nn

nx et la fonction est convexe après cette valeur.

3. Calculer e

nn dxxfI1

)(

Par intégration par parties, on obtient : )1()1(

1

11

1

2

11

1

n

e ne

n

n enn

dxn

xxLn

n

xI

Exercice n° 5

Soit la fonction numérique g définie par : ttLnttg 2)1()1()( .

1. Étudier les variations de g.

La fonction est définie pour t >-1 et sa dérivée est égale à : 3)1()(' tLntg qui est nulle

pour 13 et et 02)1( 33 eeg et 0)0( g . La fonction est décroissante pour

13 et et croissante pour 13 et

2. Soit la fonction numérique f définie par )1()( 2xLnxxf

Étudier les variations de f et tracer son graphe.

La fonction est impaire, donc son graphe est symétrique par rapport à l’origine et il suffit de

l’étudier sur les réels positifs.

Sa dérivée est égale à : 01

)(2)1()1(

1

1)(

2

2222

2

'

x

xgxxLnx

xxf

Son graphe admet une branche parabolique dans la direction Oy, avec f(0)=0 ;

3. Calculer 1

0

)( dxxfI

Par intégration par parties, on obtient : JLndxx

xxLn

xI

2

2

1

1)1(

2

1

0

2

31

0

22

Avec 22

1

2

1)1(

2

1

2)

1(

1

1

0

221

0

2

1

0

2

3

LnxLnx

dxx

xxdx

x

xJ

, d’où

2

12 LnI

Exercice n° 6

On considère les deux fonctions )()( exLnxf et 1)( xxg définies sur l’ensemble des

réels positifs.

1. Résoudre l’équation )()( xgxf

On considère la fonction : )()()( xgxfxh , sa dérivée est égale à :

1)(2

)(12

12

11)('

xex

exx

xexxh . Le dénominateur est positif et on pose

)(12)( exxxu , dont la dérivée est strictement négative, et u est à valeurs dans

,2 e . La dérivée de h est négative et seule x=0 est solution de l’équation.

2. Dans une course à pied de 15 km, après 15 minutes de course, les deux concurrents en

tête se trouvent sur une même ligne. Si x désigne la distance restante à parcourir, la

probabilité que le coureur A gagne la course est égale à )(

1

xf et pour le coureur B à

)(

1

xg. Cet énoncé a-t-il un sens? Qui a le plus de chance de gagner la course ?

On a, pour x positif, )(xf et )(xg minorés par 1 donc les valeurs )(

1

xf et

)(

1

xg sont

comprises entre zéro et 1 et peuvent correspondre à des probabilités.

Soit 1)()()( xexLnxgxfy sur R , d’après la première question y est

décroissante et négative. En conclusion: )()( xgxf .

Comme )()( xgxf , A à plus de chances de gagner la course.

Exercice n° 7

Étudier la convergence de la suite nnu 1)( définie par : n

n

nCn

u2

1 ,

où n

nC2 désigne le nombre de parties à n éléments pris parmi un ensemble à 2n éléments.

Il est clair que la suite nnu 1)( est positive. On a :

14

1

4)12)(22(

)1)(1(

1)1( 3

3

1

22

21

n

n

nn

nn

n

n

Cn

Cn

u

un

n

n

n

n

n

La suite nnu 1)( est donc décroissante et minorée par zéro, donc elle converge.

On pouvait le voir directement : 02

1

)!2(

!!10

2

1

1

1

2

nk

k

nn

nn

Cnu

n

nk

n

k

n

n

n (on a n-1 termes

au numérateur et n termes au dénominateur)

AVRIL 2017

CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES

ITS Voie A

CORRIGÉ DE LA 2ème COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

Exercice n° 1

On considère la fonction f définie sur l’ensemble des nombres réels positifs par :

x

xLnxf

1

)1()( , où Ln désigne le logarithme népérien.

1. Étudier les variations de f et tracer son graphe.

La dérivée de la fonction est égale à : )1)(1(2

))1(2()('

xx

xLnxf

et elle est du signe du

numérateur qui s’annule pour 12 ex . La limite à plus l’infini est nulle. L’axe horizontal

donne une asymptote.

x 0 12 e

)(' xf + -

)(xf 0 2/e 0

2. Calculer 1

0

)( dxxfI

En posant xu 1 , on obtient :

)1222(444)( 2

1

2

1

1

0

LnuuLnuduuLndxxfI

3. Déterminer le nombre de solutions de l’équation 0)('' xf .

La dérivée seconde est égale à :

2/5

''

)1(4

))1(2(32)(

x

xLnxf

. Cette dérivée seconde est

nulle quand le numérateur est nul.

Soit 0))1(2(32 xLn ou encore 3/8)1( xLn , soit 13/8

0 ex . La fonction est

concave sur 0,0 x

Exercice n° 2

Soit la fonction f définie sur R par : 1

13)(

23

xxx

xxf

1. Étudier les variations de f et tracer son graphe.

On peut remarquer que le dénominateur s’écrit : )1)(1(1 223 xxxxx .

Sa dérivée est égale à : 223

2'

)1(

)233)(1(2)(

xxx

xxxxf qui s’annule uniquement en 1.

Le graphe de la fonction passe par les points de coordonnées (0,1) ; (1/3 ,0) et (1,-1/2). L’axe ox

est une asymptote horizontale et l’axe d’équation x=-1, une asymptote verticale.

x -1 -1 1

)(' xf - - +

)(xf 0

0

2. Trouver les constantes a, b, c qui vérifient : 11

)(2

x

c

x

baxxf

Par identification des polynômes, on obtient : a=-2 ;b=-1 et c=2.

3. Calculer 1

0

)( dxxfI

4

2)1(2)1()1

2

1

1

1

2()(

1

0

2

1

0

22

1

0

LnxLnxArctgxLndx

xxx

xdxxfI

Exercice n° 3

Soit la fonction f définie sur R par : x

xxf

1

1)(

2

.

1. Étudier les variations de f et tracer son graphe.

La fonction peut s’écrire : x

xx

xxf

1

21

1

1)(

2

. Cette fonction admet la droite

d’équation y=x-1 comme asymptote oblique et la droite x=-1 comme asymptote verticale.

Sa dérivée est égale à : 2

2

2

'

)1(

12

)1(

21)(

x

xx

xxf

et elle s’annule pour 21x .

Par ailleurs, 2

224)21(

f et

2

224)21(

f

Tableau des variations :

x 21 -1 21

)(' xf + - - +

)(xf

2. Montrer que le graphe de f admet un centre de symétrie que l’on précisera.

On pose 1;2 xXyY pour obtenir la fonction impaire : X

XY2

. Le point de

coordonnées (-1, -2) est donc un centre de symétrie.

3. Calculer 1

0

)( dxxfI

222

1)1(2

2)(

1

0

21

0

LnxLnxx

dxxfI

4. Étudier la suite )( nu définie par la relation de récurrence 0et)( 01 uufu nn.

Si la suite est convergente vers une limite l, alors cette limite vérifie : )(lfl , soit l=1.

La seule limite possible est donc 1. Tous les termes de la suite sont positifs.

Si 1alors,1ou00 nuu et la suite est stationnaire en 1.

On remarque que : n

n

nnu

uuu

1

11

Si 10 u . On suppose que 1nu , alors 0)1(11

11

2

1

nn

n

n

n uuu

uu , ce qui est

vrai. Par conséquent : 01

11

n

n

nnu

uuu . La suite est donc croissante et majorée, et elle

converge vers 1.

Si 10 u , par un raisonnement analogue, la suite est décroissante minorée et elle converge

vers 1.

5. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes C, l’équation : izf 1)(

On pose yixz , d’où )1)(1()(1 2 yixiyix , ce qui donne le système :

xyyx

yxyx

21

11 22

ou encore

xyyx

yxyx

21

0)1)((

Si 01 yx , alors dans la deuxième ligne, on obtient : 012 xx qui n’admet pas de

racines réelles.

Si 0 yx , alors dans la deuxième ligne, on obtient : 0122 2 xx , soit yx

2

31

Exercice n° 4

On considère la fonction numérique f définie sur *R par :

x

xxf

11)(

1. Étudier les variations de f et tracer son graphe.

x

Lnxx

ex

xf

111

1)( et sa dérivée est égale à : )()1

11

1()(' xf

xLn

xxf

Le signe de la dérivée est celui de

xLn

xxu

11

1

1)( . On a : 0

)1(

1)(

2

'

xx

xu

La fonction u est strictement croissante de *R sur 0, et la fonction f est donc décroissante

de *R sur 0,1 . On peut prolonger f par continuité en zéro, en posant : f(0)=1.

2. La fonction f admet-elle un point fixe ?

Il faut donc résoudre l’équation xxf )( , à savoir : xLnx

Lnx

11 .

Soit 0)1(1 xLnxxLnx . On pose xLnxxLnxt )1(1 ,

puis 0)1(

1

1

'

xxx

xLnt et la fonction t est continue, strictement décroissante, à

valeurs dans R, elle admet donc une unique valeur nulle, et donc un seul point fixe pour la

fonction f.

Exercice n° 5

Soit a un nombre réel fixé non nul. On considère la suite )( nu définie par au 0 et la relation

de récurrence : nn uu

n eeu

2

1 .

1. Étudier la monotonie de la suite )( nu

On a : n

uu

nn ueeuu nn

2

1 . Posons xeexgxx 2)( . Sa dérivée est égale à :

)12)(1(12)( 2' xxxx eeeexg qui s’annule en zéro (minimum) et qui est toujours

positive. Par conséquent 01 nn uu et la suite est croissante.

2. Étudier le signe de la suite )( nu pour a négatif.

Si a = 0, la suite est stationnaire égale à 0.

Si a < 0, on vérifie par récurrence que 0nu , en effet 0)1(2

1 nnnn uuuu

n eeeeu

3. Étudier la convergence de la suite )( nu pour a négatif.

La suite étant croissante et majorée par zéro, elle converge vers une limite l solution de

l’équation ; g(l) = 0, soit l = 0.

4. On suppose que a > 0.

- Montrer que )(1 aguu nn

- Déterminer la limite de la suite )( nu

D’après la première question, la suite est croissante ainsi que la fonction g (sur les réels positifs),

donc )()( agug n , ce qui est l’inégalité demandée.

On a : )()(....)()( 1211 agnauuuuuau nnnnn .

La suite converge donc vers plus l’infini.

Exercice n° 6

Le profil d’un toboggan est modélisé par une fonction f définie sur l’intervalle 8,1 (unité de

mesure en mètres) par : xebaxxf )()( , où a et b sont deux entiers naturels.

1. Étudier les variations de f et tracer son graphe pour a = 3 et b = 1 (on étudiera également sa

convexité).

On obtient xexxf )32()('. Cette dérivée est toujours négative sur l’intervalle considéré

et la fonction est décroissante de 8,1 sur 8/25,/4 ee .

Sa dérivée seconde est égale à : xexxf )53()(''. La fonction est concave pour x < 5/3 et

convexe pour x > 5/3.

2. Déterminer la valeur de b pour que la tangente au graphe de f au point d’abscisse 1 soit

horizontale.

Il faut que la dérivée soit nulle en 1, soit xeabaxxf )()(' et 0)()1( 1' ebf , donc

b = 0.

3. On souhaite de plus que le haut du toboggan soit situé entre 3,5 et 4 mètres de haut.

Déterminer la valeur de a.

On a : xeaxxf )( et pour x = 1, 4)1(5,3

e

afy . Comme 7,2e , on obtient a = 10.

4. Le mur de soutènement du toboggan sera peint par un artisan sur une seule face (partie entre

le sol et le toboggan). Sur le devis proposé, l’artisan demande un forfait de 200 euros augmenté

de 30 euros par mètre carré peint. Quel sera le montant du devis (on donne 37,01

;7,2 e

e et

08 e ) ?

Calculons la surface à peindre, soit

8

1

10 dxexI x. En intégrant par parties, on obtient :

4,720901010801010 1_88

1

18

8

1

8

1

eeeeedxeexI xxx

Donc le devis sera de 200+30*7,4=422 euros.