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IPSA | Mini-projet de physique I Analogie ressort linéaire-spiral Cours de

M. Bouguechal

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INSTITUT POLYTECHNIQUE

DES SCIENCES AVANCEES

Département de physique

MINI-PROJET DE

PHYSIQUE I 1ERE PARTIE : RESSORT LINEAIRE

2EME PARTIE : RESSORT SPIRAL

(Module Ph 11)

Cours de M. Bouguechal

(Edition 2010 - 2011)

INSTITUT POLYTECHNIQUE DES SCIENCES AVANCEES

5 - 9, rue Maurice Grandcoing – 94200 Ivry sur Seine * Tél. : 01.44.08.01.00 * Fax : 01.44.08.01.13

Etablissement Privé d’Enseignement Supérieur Technique – SIRET N° 433 695 632 00011 – APE 803Z


M. Bouguechal

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MINI-PROJET DE PHYSIQUE I

ANALOGIE ENTRE UN RESSORT LINEAIRE ET UN RESSORT SPIRAL

1 ERE PARTIE : RESSORT LINEAIRE

A. OBSERVATIONS :

Un ressort soumis à une force de traction s’allonge. Dés que cette force cesse d’agir, le ressort

reprend sa forme initiale. C’est un phénomène reproductible. Cette déformation est dite

élastique. L’élasticité d’un corps est la propriété de se déformer sous l’action d’une force et de

reprendre sa forme initiale dés que cesse l’action de cette force ; l’élasticité d’un ressort est

limitée : si la force de traction est élevée, on observe après son relâchement une déformation

permanente du ressort qui ne reprend plus sa forme initiale.

Dans la vie courante, de nombreux objets sont élastiques :

Une lame de rasoir, de couteau..

Le ressort spiralé d’un réveil

Une latte en plastique, en bois

Une lame de scie

Un élastique

Une balle en caoutchouc, en mousse….

Un gaz …

En résumé

L’élasticité d’un corps est donc la propriété de se déformer sous l’action d’une force et de

reprendre sa forme initiale dès que cesse l’action de cette force ; cette propriété est limitée.

Réciproquement

Une force peut se définir comme toute cause capable de déformer un corps.

La force de traction exercée par la masse suspendue à un ressort provoque son allongement.

Le système adopte une position d’équilibre.

Un ressort est un organe ou pièce mécanique qui utilise les propriétés élastiques de certains

matériaux pour absorber de l'énergie mécanique, produire un mouvement, ou exercer un

effort ou un couple.

B. DIFFERENTS TYPES DE RESSORTS

Il existe différents types de ressort, quelques exemples :


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QUELQUES TYPES DE RESSORT

Res

sort

co

niq

ue

Res

sort

de

com

pre

ssio

n

Res

sort

hél

icoïd

al

Res

sort

de

tra

ctio

n

Res

sort

sp

iral

Res

sort

en

la

mes

Res

sort

en

co

up

elle

s

Res

sort

en

fil


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C. LES RESSORTS LINEAIRES

L’étude de la déformation du ressort implique les mesures de l’allongement du ressort en

fonction de la force de traction. Un index fixé à l’extrémité de la dernière spire du ressort se

déplace devant une règle graduée en mm. La visée s’effectuera avec l’œil placé au même

niveau que l’index mobile pour éviter toute erreur de parallaxe.

Voici à titre indicatif, un tableau de mesures :

Masse en g 0 50 100 150 200 250 300

Allongement (en cm) 0 1.5 3 4.5 6 7.5 9

Les masses sont données à 1% près

L’erreur sur la lecture de l’allongement est de 1mm près.

On prendra g = 9.81 N/kg et on considèrera que l’incertitude sur g est négligeable.

a. Etude de la force de rappel ou tension du ressort

1. Ecrire le bilan des forces à l’équilibre, représenter les vecteurs forces.

2. On demande de faire un tableau dans lequel doivent figurer les grandeurs suivantes :

La masse et son incertitude en kg, la force de traction et son incertitude, l’allongement et son

incertitude en m.

3. Représenter sur du papier millimétré la composante de la force de traction sur l’axe x

exercée par la masse en fonction de l’allongement, on représentera aussi les rectangles

d’incertitude et on tracera la courbe qui se rapproche au mieux.

4. Représenter sur la même feuille de papier millimétré la composante de la tension du

ressort (ou force de rappel) exercée par le ressort en fonction de l’allongement, on

représentera aussi les rectangles d’incertitude et on tracera la courbe qui se rapproche

au mieux.

5. Déterminer le coefficient de raideur du ressort (dureté du ressort) et déterminer

l’incertitude absolue et l’incertitude relative de cette mesure. Quelle est la signification

physique de cette constante ?


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b. Etude du travail d’une force

1. Partie théorique

On considère le même ressort que précédemment. L’une de ses extrémités est reliée à un

solide ( S ) de masse m, l’autre extrémité étant fixée. L’ensemble repose sur un plan

horizontal très lisse de telle sorte que les frottements soient négligeables. Le corps est

immobile sur le plan et le ressort n’est pas déformé. On note M0 cette position d’abscisse x =

0.

1. Faire un schéma complet et étudier les forces agissant sur la masse m.

2. Le ressort est étiré sous l’action d’une force f, en un point M, d’abscisse x. On suppose

que le solide est déplacé à vitesse constante, ce qui peut être obtenu avec un

déplacement très lent. Comment expliquez-vous l’équilibre du solide au point M ?

faire un schéma, un bilan des forces et déterminer le vecteur f.

3. Le ressort est comprimé sous l’action d’une force f’, comment expliquez-vous

l’équilibre du solide ? faire un schéma, un bilan des forces et déterminer le vecteur f’.

4. Dire pourquoi on ne peut pas calculer le travail de la force f sur un déplacement M0M

par la formule : W = f. M0M

5. Donner l’expression du travail élémentaire δW pour un déplacement élémentaire δx.

6. Déterminer le travail qu’il faut fournir pour amener la masse m de la position M0 à la

position M.

7. Déterminer le travail de la force élastique (de rappel) ou tension du ressort subissant

un allongement progressif de la position M0 à la position M. Répondre à la même

question pour une compression et faire un graphique du travail en fonction de x.

2. Partie pratique

1. Calculer le travail qu’exerce un opérateur sur la masse m liée au ressort lorsque celui-ci

s’allonge progressivement de 0 à 4 cm puis le travail de la force élastique du ressort au

cours de ce déplacement. Conclusion.

2. Par quelle figure géométrique est représenté ce travail ?

3. Vérifier que l’on retrouve le même résultat.


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c. Etude de l’energie potentielle du ressort

On dit qu’une force F dérive d’une énergie potentielle Ep si l’on a :

x

pu

x

EF

si l’énergie potentielle ne dépend que de x.

Le travail élémentaire de la force de rappel du ressort ( ou tension du ressort ) est alors

égal à la diminution de son énergie potentielle, c’est à dire opposé à la variation d’énergie

potentielle.

δW =-dEp

On appellera variation d’une fonction sa valeur finale moins sa valeur initiale et diminution

sa valeur initiale moins sa valeur finale.

1. Ecrire l’expression de cette force dans le cas où l’énergie potentielle dépend de x.

2. Montrer que cette formule permet de déterminer l’énergie potentielle connaissant le

force.

3. En déduire la formule de l’énergie mécanique d’un ressort.

4. Faire un tableau regroupant toutes les forces dérivant d’un potentiel et l’expression de

leurs énergies potentielles.


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2 EME PARTIE : RESSORT SPIRAL

I. Présentation du système :

Ce système se compose d’un ressort spiral vertical, solidaire d’un axe horizontal. Une

extrémité du ressort spiral est fixe. Ce ressort est susceptible de subir des torsions c’est à dire

des rotations sur lui-même. La mesure de l’angle θ de rotation du ressort peut être déterminée

avec un rapporteur solidaire à l’axe de rotation. La force exercée en un point du disque

solidaire au ressort est donnée par le poids des différentes masses accrochées et la distance

entre la direction de la force et l’axe de rotation est mesurée avec une équerre. Toutes ces

données vont nous permettre de mesurer le moment de la force et donc le couple exercée sur

le ressort spiral afin de déterminer sa constante de torsion C.

Le ressort spiral type, à spires non jointives et donc sans frottement, est composé d'un ruban

de section rectangulaire encastré à une extrémité B et solidaire à l'autre extrémité 0 d'un axe

perpendiculaire au plan d'enroulement.

Le ressort spiral, initialement au repos, est soumis à un couple de forces qui peut prendre

différentes valeurs. Pour chacune des valeurs prises par le couple, la barre s’immobilise après

avoir tourné d’un angle θ que l’on peut mesurer avec un rapporteur.


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θ

d


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Résultats expérimentaux

Masse m ( kg )

Incertitude absolue sur m : Δm

Distance d (m )

Incertitude relative sur d : Δd/d en %

Angle θ (° )

Incertitude relative sur θ : Δ θ/ θ en %

Moment de la force F : M ( N .m )

Incertitude absolue sur Δ M ( N .m )

Les distances sont mesurées à 0.2 cm près, la masse est connue à 0,1g près et les angles

mesurés à 1°.

Exploitation :

1. Ecrire les vecteurs moment des différentes forces et le vecteur moment total et faire

une représentation vectorielle.

2. Compléter toutes les cases du tableau.

3. Représenter sur un graphique la norme du moment total en fonction de l’angle θ. On

représentera aussi les rectangles d’incertitude. L’angle sera exprimé en degrés.

4. Donner alors l’expression du vecteur-moment (ou couple) de torsion (moment

résistant) du ressort spiral en fonction de l’angle θ.

5. Calculer la constante de torsion du ressort spiral. Donner l’unité.

6. Ecrivez alors la condition d’équilibre de la barre.

Ressort linéaire Ressort spiral

Caractéristiques Translation selon l’axe Ox Rotation autour de l’axe Δ

grandeur grandeur

Cause du

mouvement Force ( N )

F =

Grandeur

fondamentale Masse

( kg)

déplacement linéaire ( axe ) : x angulaire : θ

Elément de

déplacement dx d θ

Relation entre la

cause et le

déplacement du

ressort


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1. Par analogie avec le ressort linéaire donner l’expression du travail élémentaire du

ressort spiral quand il tourne d’un angle élémentaire dθ.

Ressort linéaire Ressort spiral

Caractéristiques Translation selon l’axe Ox Rotation autour de l’axe Δ

grandeur grandeur

Travail

élémentaire δW =

Energie potentielle

élastique Epe = Epe =

Puissance

élémentaire dP = dP =

Energie cinétique

De la masse Ec = Ec =


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ANNEXE 1

Comment rédiger un compte rendu

Un compte rendu de TP n’est pas une suite de tableaux de valeurs numériques, ou de recopies

de phrases récupérées dans l’énoncé, mais toute une rédaction soignée sans fautes

d’orthographe, ni de grammaire, avec des résultats numériques et les erreurs associées, des

unités, une échelle pour la représentation graphique ou vectorielle et des interprétations.

Au cours des séances de TP, sont abordés :

Les rappels théoriques sur des notions de base.

Les expériences proprement dites.

Les exercices en rapport avec le TP.

Les rappels théoriques doivent figurer dans les comptes rendus. Ils vous aident à comprendre

les expériences et à les interpréter correctement, c’est donc une méthode d’interprétation des

résultats expérimentaux obtenus.

Les expériences doivent figurer dans les rapports. Une bonne présentation du compte rendu de

ces expériences doit contenir :

1. Le nom, le prénom, le classe, le groupe, la date et le titre du TP.

2. L’objectif du TP (vérification d’une loi, détermination d’une grandeur physique,

d’une constante..)

3. Une présentation détaillée, accompagnée d’un schéma, du protocole

expérimental, des appareils de mesure utilisés ainsi que de la manière dont ont

été faites les mesures ;

4. L’ensemble des résultats bruts doit être accompagné de leurs incertitudes

respectives. La valeur des incertitudes doit être justifiée par la nature des

instruments de mesure utilisés, des appareils jusqu’à l’observateur.

5. Les éventuels calculs, qui doivent être posés correctement, les incertitudes sur les

résultats calculés, et le nombre de chiffres significatifs des résultats doit être en

accord avec l’incertitude calculée ( par exemple ne pas écrire 12,24 ± 0,1; le 4 est

en trop ! )

6. Toutes les grandeurs physiques doivent avoir une unité que ce soit dans un calcul

ou dans une représentation graphique.

7. En conclusion, vous devez mettre des commentaires physiques sur les résultats et

le protocole. Utilisez des phrases courtes, claires et précises.

8. Vous pouvez, si cela est possible, comparer vos résultats à d’autres résultats et

faire une recherche sur le Web sur l’historique du TP, ses développements etc.


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ANNEXE 2

La mesure et les sources d’erreurs

1. Introduction :

Que signifie une expression du genre : l’intensité d’une force est de 12 N ?

Il y a d’abord un nombre composé de chiffres et d’unité, mais il y a aussi une comparaison

entre une quantité physique et une unité de mesure : le newton (défini par le système

international).

Mesurer revient donc à associer un nombre à une grandeur physique en comparant la grandeur

physique à mesurer et une unité de grandeur de base ou étalon.

Il existe une valeur exacte de la grandeur physique à mesurer mais cette valeur exacte n’est

pas toujours accessible ; pour une meilleure estimation de la valeur exacte d’une grandeur

physique, il est souhaitable de faire plusieurs mesures. La valeur moyenne peut être retenue

comme étant une bonne estimation de la valeur exacte. Le résultat obtenu n’est tout de même

qu’une estimation et il existe donc un écart entre la valeur mesurée et la valeur exacte : C’est

ce qu’on appelle l’erreur expérimentale ou l’incertitude qui ne peut être calculée que si on

connaît la valeur exacte.

2. Généralisation :

Soit Xa la mesure approchée d’une grandeur physique G et Xe la valeur exacte.

L’erreur absolue sur X est ( Xa-Xe ) : c’est une grandeur algébrique, avec dimension et

unités

L’erreur relative sur X est ( Xa-Xe )/Xe ≈ (Xa-Xe )/Xa : c’est une grandeur algébrique,

sans dimension et sans unités : c’est un pourcentage.

SOURCES D’ERREURS ET INCERTITUDES

Nous ne possédons jamais la valeur exacte Xe d’une grandeur physique, les valeurs obtenues

expérimentalement sont approchées par une valeur Xa. La mesure dépend de plusieurs

facteurs : la qualité de l’appareil de mesure, la lecture éventuelle d’un cadran, le réglage et

l’ajustement du zéro, le calibrage…..

Pour tenir compte de ces différentes sources d’erreurs, on ajoute à notre mesure X une

incertitude absolue ΔX : c’est une grandeur positive de l’estimation de l’erreur maximale.

On indique cette incertitude à l’aide d’un intervalle de part et d’autre de la mesure ( ± ΔX )

donnant de très bonnes chances d’encadrer la valeur exacte. La mesure et son incertitude

s’expriment de la manière suivante :

X = Xa ± ΔX L’incertitude relative de X est ΔX/X

Il est possible aussi de faire un traitement statistique de l’erreur si on a plusieurs mesures de la

même grandeur.


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EXPRESSION NUMERIQUE D’UN RESULTAT, CHIFFRES SIGNIFICATIFS

Exemples :

Soit L = 12.50 cm : 4 chiffres significatifs, les zéros après comptent.

L = 0.125 m : 3 chiffres significatifs, les zéros avant ne comptent pas.

L = 0.1250 m : 4 chiffres significatifs.

L = (12.50 ± 0.05 ) cm ΔL = 0.05 cm : 1 chiffre significatif.

L = (0.1250 ± 0.0005 ) m ΔL = 0.0005 : 1 chiffre significatif.

Il est indispensable d’attribuer le même nombre de chiffres après la virgule pour la mesure et

son incertitude.

Le nombre de chiffres significatifs de l’incertitude absolue est limité ( 1 à 2 chiffres).

.


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ANNEXE 3

Conduite d’un calcul d’incertitudes

Pour conduire un calcul d’incertitude, il faut :

a) Déterminer par les différentielles ou les différentielles logarithmiques l’expression

algébrique des erreurs.

b) Si dans l’expression interviennent des erreurs liées, il faut regrouper les termes

semblables.

c) Il faut passer aux incertitudes absolues en prenant les valeurs absolues des

coefficients des différentielles.

d) faire le calcul numérique et donner l’expression du résultat.

Soit à déterminer une grandeur physique X du type :

cbkaX

Déterminons le logarithme népérien de l’expression :

Ln X = Ln k + α Ln a +β Ln b+γLn c

c

dc

b

db

a

da

k

dk

X

dX

Si k est une constante, dk = 0, on obtient alors :

c

dc

b

db

a

da

X

dX

On suppose que les grandeurs a, b et c ne sont pas liées.

Passage aux incertitudes absolues

c

c

b

b

a

a

X

X

Remarque :

Il est possible de faire le calcul en passant par les dérivées partielles et en utilisant la formule

suivante :

En posant X = f(a, b, c )


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dcc

fdb

b

fda

a

fdX

bacacb ,,,

1

,

1

,

1

,

cbkac

f

cbkab

f

cbkaa

f

ba

ca

cb

En remplaçant et en simplifiant, on obtient la même expression.

c

dc

b

db

a

da

X

dX

Soit à déterminer une grandeur physique X du type :

X = a + b + c ou X = a - b –c

Alors X

c

c

c

X

b

b

b

X

a

a

a

X

X


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ANNEXE 4

Les lois-types en physique

Le but de cette partie est de faciliter le passage de l’étape mesures avec calcul d’incertitude à

celle de la recherche d’une loi physique. Il existe différents lois-types :

Y = a x y = ax + b y = a/x y = ax2 etc.….

On essayera toujours de se ramener à une relation affine entre deux grandeurs x et y en faisant

un changement de variable.

Y = ax + b a et b sont des constantes.

Comment choisir les coefficients a et b pour que la relation y = ax + b donne une droite qui

passe au mieux au voisinage de tous les points.

1ère

méthode :

On porte les points sur un graphe, chaque point est représenté par un

rectangle de cotés 2Δx, 2Δy.

On trace la droite qui passe au mieux par les points expérimentaux.

2ème

méthode :

Utiliser la droite des moindres carrés : cela consiste à optimiser la fonction :

chercher a et b de telle sorte que S soit minimum.

baxxf

xfyN

S

ii

iii

)(

))((1 2

Les calculatrices ont un programme qui calcule a et b au sens des moindres

carrés.

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