Cours de physique générale I Ph 11 29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I 2 ...

Cours de physique générale I Ph 11

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012 cours de Physique I

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Chapitre deux : Calcul de variation, calcul d’incertitude

1. Introduction et rappels2. Calcul d’incertitude 3. Calcul de petites variations


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1. Introduction et rappels

La dérivée d’une fonction mesure le taux de variation d’une fonction, elle est définie par :

différentielle de x

Dérivée :

différentielle de f

Il s’agit de l’écriture différentielle de la dérivée


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La dérivée f’(x) est égale à :

c’est la tangente trigonométrique de l’angle que fait la tangente à la courbe avec l’axe des abscisses x.

= tan ( α )


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Δx = xB-xA

Δy = yB-yA

A

B

xBxA

x

y

yA

yB

α

x0

y0


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On peut aussi écrire la variation infinitésimale de f, df suite à une variation infinitésimale de la variable x, dx :

df est appelé la différentielle de f.

Cette formule est importante car elle permet de déterminer la variation infinitésimale de f.


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Fonctions simples : f(x) Dérivées : Différentielle dy


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Pour les fonctions de fonctions, on utilise la formule suivante :


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Dérivées : Fonctions de fonctions


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La primitive de y = f(x) est la fonction F(x) défini par :


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Fonctions simples : f(x) Primitives :


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2. Calcul d’incertitude

On considère une grandeur physique G. Soit Gm sa mesure, soit Ge sa valeur exacte, la différence entre la valeur mesurée Gm et la valeur exacte Ge est appelée erreur absolue. Cette erreur absolue varie suivant les mesures.


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L’incertitude absolue δG est la limite supérieure de l’erreur absolue.L’erreur absolue et l’incertitude absolue ont une dimension et donc une unité en général.


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On appelle erreur relative le quotient de l’erreur absolue par la valeur exacte. L’incertitude relative est le quotient de l’incertitude absolue δG par la valeur mesurée Gm.L’erreur relative et l’incertitude relative s’expriment en général en pourcentage et n’ont pas de dimension.

A


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La conduite d’un calcul d’erreur se fait de la façon suivante.

A. Déterminer l’expression algébrique des erreurs ou des incertitudes d’une grandeur G en calculant les différentielles ou les différentielles logarithmiques.

a) d(ln(x)) = dx/x ceci est la différentielle logarithmique de x : on prend le logarithme népérien et on différencie.

b) d(ln(u)) = du/u


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B. Grouper les termes semblables par une mise en facteur des différents éléments dx, dy … etc.

B


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C. Passer aux incertitudes absolues (G) en prenant les valeurs absolues des coefficients des erreurs.

C


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D. Effectuer le calcul numérique et donner l’expression du résultat.

D


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Dérivée logarithmique de f Différentielle logarithmique de f

Exemple 0 : Calculer la dérivée logarithmique ainsi que la différentielle logarithmique des fonctions suivantes.f(x) = 5x ; f(x) = 7x2 ; f(x) = 3e5x ; f(x) = cos(x)


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Exemple 1 :Calculer l’incertitude relative sur la tension U aux bornes d’un conducteur ohmique sachant que l’incertitude relative de la résistance et de la mesure de l’intensité sont connues.


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A Déterminer l’expression algébrique des erreurs ou des incertitudes d’une grandeur G en calculant les différentielles ou les différentielles logarithmiques.

On utilise la loi d’Ohm : U = RI• On prend le logarithme népérien de l’expression :

• On prend la différentielle de l’expression obtenue :

• On différencie l’expression précédente :

,


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B. Grouper les termes semblables par une mise en facteur des différents éléments dx, dy … etc.

B


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C. Passer aux incertitudes absolues (G) en prenant les valeurs absolues des coefficients des erreurs.

C

• On remplace par δ :

δ U, δ R et δ I sont toujours positifs.

• On prend les valeurs absolues des coefficients de δU, δR et δI car cela correspond à la valeur maximale que l’on peut avoir sur l’incertitude.


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D. Effectuer le calcul numérique et donner l’expression du résultat.

D


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Exemple 2 : Déterminer l’incertitude relative du volume δV d’une sphère, suite à une incertitude sur son rayon δr.


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3. Calcul de petites variations

Le calcul de petites variations se fait en utilisant les différentielles ou différentielles logarithmiques. Les petites variations peuvent être positives ou négatives. Les exemples simples suivants montrent l’utilisation des différentielles pour calculer des petites variations.

Les variations relatives s’expriment en général en pourcentage et n’ont pas de dimension.


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Exemple 1 : Déterminer la variation relative de la période δT/T d’un pendule simple, suite à une petite variation de la longueur du fil δl/l, l’intensité de la pesanteur g étant constante et connue avec une bonne précision. On supposera que l’on a des petites oscillations.


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On sait que la période d’un pendule simple est donnée par :

On prend le logarithme népérien de l’expression :

On prend la différentielle de l’expression obtenue :

Application numérique : δl/l = 1/100


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Exemple 2 : Déterminer la variation relative de la période δT/T d’un pendule simple, suite à une petite variation de la longueur du fil δl/l et suite aussi à une petite variation de l’intensité de la pesanteur δg/g étant constante et connue avec une bonne précision. On supposera que l’on a des petites oscillations.


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2PH

YSIQ

UE

I

Fin de la leçon


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