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Análisis Espectral 1 / 20 METODOS PARAMETRICOS

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Análisis Espectral 1 / 20

METODOS PARAMETRICOS

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Modelos de Series Temporales“Serie Temporal” = “Señal Aleatoria Discreta”

.

Recordando el resultado que habíamos estudiado, el cual relacionaba la DEP de salida, con la DEP de entrada para un sistema lineal e invariante en el tiempo:

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Modelos de Series Temporales (Modelos Paramétricos)

Por lo tanto, bajo este modelo . . . y conociendo la función de transferencia del sistema LTI, entonces con este modelo nos diría todo acerca de la DEP.

La función de transferencia de un sistema LTI esta completamente determinada por un conjunto de parámetros {bk} y {ak}:

Si podemos asegurarnos que los procesos aleatorios que vamos a procesar pueden ser modelados como la salida de un sistema LTI con ruido blanco, entonces . . .

“Parámetros de Estimación” = “DEP estimada”

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Modelos Paramétricos para la DEPEl modelo paramétrico mas general para la DEP esta dado por:

La salida del sistema LTI nos proporciona un modelo en el dominio del tiempo para el proceso

Hay 3 casos especiales que son considerados para estos modelos:

* Autoregresivo (AR)* Promedio Móvil (MA)* Autoregresivo de Promedio Móvil (ARMA)

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Modelo Autoregresivo (AR) para la DEP

Si el modelo para el sistema LTI es restringido a tener únicamente polos, entonces:

El orden del modelo es p: Llamado modelo AR(p)

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Modelo de Promedio Móvil (MA) para la DEP

Si el modelo del sistema LTI esta restringido a tener únicamente ceros, entonces:

El orden del modelo es q: Llamado modelo MA(q)

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Modelo Autoregresivo de Promedio Móvil (ARMA)

Si el modelo del sistema LTI es permitido que tenga polos & ceros, entonces:

El orden del modelo es p,q : Llamado modelo ARMA (p,q)

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Modelo de la Autocorrelación de un Proceso

Hasta este punto hemos visto las relaciones entre:

* Modelo de la DEP * Modelo en el dominio del tiempo

De estos modelo podemos obtener un modelo para correspondiente para la autocorrelación:

Para obtener la autocorrelación multiplicamos ambos lados por y tomamos el valor esperado:

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Modelo de la Autocorrelación de un Proceso (cont.)

Para evaluar esto, escribimos x[n] como la salida de un filtro con entrada e[n]:

Hemos asumido un filtro causal para un modelo:

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Modelo de la Autocorrelación de un Proceso (cont.)

Usando este resultado, obtenemos las ecuaciones de Yule-Walker para el modelo ARMA:

Estas ecuaciones son la clave para estimar los parámetros del modelo.

Estudiaremos ahora simplificaciones de estos para los casos AR & MA.

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Modelo de Autocorrelación para un proceso AR

Estudiando el caso AR, hacemos q = 0 y obtenemos:

Ahora, vemos que

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Modelo de Autocorrelación para un proceso AR (cont.)

Si vemos que en k = 0, 1, . . ., p; para estas ecuaciones de Yule-Walker, obtenemos p + 1 ecuaciones simultaneas que pueden ser resultas para los parámetros del modelo de {ai} y :

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Modelo de Autocorrelación para un proceso MA

Estudiando el caso MA, hacemos p = 0 y obtenemos:

Pero, para el caso MA el sistema es un filtro FIR donde tenemos:

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Estimación Paramétrica de la DEPComo mencionamos anteriormente, la idea aquí es encontrar una buena estimación de los parámetros del modelo y entonces usar estos para obtener una estimación de la DEP. La idea básica es la misma independientemente si el proceso es AR, MA o ARMA.

Sin embargo, la derivación de la estimación de los parámetros es bastante complicada para los casos ARMA y MA. Así que solo consideraremos el caso AR, pero aun así nos basaremos en algún grado de pura intuición.

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Estimación Paramétrica de la DEP (cont.)

Mostraremos el método general AR: Dado los datos

1. Estimar la matriz de AC pxp de lo datos:

2. Resolver las ecuaciones AR de Yule-Walker para el modelo AR

3. Calcular la DEP estimada del modelo

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Estimación Paramétrica de la DEP – Caso AR

Dos métodos comunes (pero hay muchos mas):

Método de la “autocorrelación”

Estimar la autocorrelación usando:

Método de la “Covarianza”

Obtener la estimación usando:

Y resolvemos para: