R E S U M E C H A P I T R E 2 6 D E T E R M I N A N T S - S Y S T E M E S

DETERMINANTS D ' ORDRES 2 ET 3 Déterminants d'une famille de vecteurs

Rappel : en dimension 2 , détB( u! , v! ) ≠ 0 ssi ( u! , v! ) est une base de E2.

en dimension 3 , détB( u! , v! , w! ) ≠ 0 ssi ( u! , v! , w! ) est une base de E3. Th 26.1 (propriétés des déterminants, opérations élémentaires sur les colonnes des déterminants) 1) détB( u! , u! ,w! ) = 0 (un déterminant est nul s'il a deux colonnes identiques)

2) (C1 ↔ C2) : détB( v! , u! , w! ) = − détB( u! , v! , w! ) (un déterminant change de signe si on échange deux colonnes.)

3) ( λ.Ci → Ci ) : détB(λ. u! , v! , w! ) = λ.détB( u! , v! , w! ) (si on multiplie une colonne par λ , le déterminant est multiplié par λ )

4) détB( u!

1+ u!

2 , v! ,w! ) = détB( u!

1 , v! , w! ) + détB( u!

2 , v! , w! )

5) (1. Ci + λ.Cj + µ.Cj → Ci ) : détB( 1. u! + λ. v! +µ. w! , v! , w! ) = détB( u! , v! ,w! ) (un déterminant ne change pas si on ajoute à une colonne une combinaison linéaire d'autres colonnes )

Déterminant d' un endomorphisme P26.2 Soit f ∈ L (E) et B et B ' deux bases de E (B = ),,( 321 eee

!!! et B ' = )',','( 321 eee

!!!)

Alors détB ( ( ), ( ), ( ))f e f e f e! ! !1 2 3 = détB ' ))'(),'(),'(( 321 efefef

!!!

D 26.1 Soit f ∈ L (E) et B une base de E. Alors dét(f) = détB ( ( ), ( ), ( ))f e f e f e

! ! !1 2 3

Th 26.3 Soit f ∈ L (E) et B une base de E

∀ ( u! , v! , w! ) ∈ E3 , détB(f( u! ),f( v! ),f( w! )) = dét(f).détB( u! , v! , w! ) Th 26.4 (propriétés des déterminants d' endomorphismes) Soit f et g deux endomorphismes de E. Alors : dét(g o f) = dét(g) . dét(f).

f est bijectif ssi dét(f) ≠ 0 et alors dét(f -1) = 1

det( )f

Déterminant d'une matrice

Définition :Si A = a b

c d

!

"#

$

%& , alors dét(A) =

a b

c d.Si A =

a a a

a a a

a a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

!

"

###

$

%

&&&

,alors dét(A) = a a a

a a a

a a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

Remarque : Si A = MatB (f) ,alors dét(A) = dét(f) Si A = MatB ( , , )

! ! !u u u1 2 3 , alors dét(A) = détB ( , , )

! ! !u u u1 2 3

Th 26.5 (propriétés des déterminants de matrices ) Si A et B sont deux matrices carrées d'ordre 2 ou 3 , alors : dét(A×B) = dét(A).dét(B).

A est inversible ssi dét(A) ≠ 0 et alors dét(A-1 ) = 1

det( )A.

dét(t A) = dét(A). dét(k.A) = kn .dét(A) avec n = 2 si A d'ordre 2 et n = 3 si A d'ordre 3.

SYSTEMES LINEAIRES Définitions , interprétations vectorielles d'un système.

Soit le système S: a x a y a z b

a x a y a z b

a x a y a z b

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

. . .

. . .

. . .

+ + =

+ + =

+ + =

!

"#

$#

(S peut être un système à n équations et p inconnues)

S peut s'écrire sous forme matricielle : A.X = B avec A = a a a

a a a

a a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

!

"

###

$

%

&&&

et B = b

b

b

1

2

3

!

"

###

$

%

&&&

Une solution du système S est un triplet (x,y,z) vérifiant l'ensemble des équations de S. A est appelée matrice du système Le rang du système est le rang de A. Le système A.X = [o] est appelé système homogène associé. Interprétations vectorielles :

Si A = MatB,B1

(f) ,X = MatB( u! ) et B = MatB1( b!

)

A.X = B ssi f( u! ) = b!

: 1er cas : une solution unique si f injective et b!

∈ Im(f)

2ème cas : une infinité de solutions si b!

∈ Imf et f non injective

u! = !u0 + w! avec !u0 : solution particulière de S.

et w! ∈ Ker(f) 3ème cas : pas de solution si b

!

∉ Im(f).

Si ),,(),,(),,( 332313332221223121111 aaacaaacaaac ===!!!

, S s'écrit : x c y c z c b. . .! ! ! !

1 2 3+ + = . D 26.2 (Système de Cramer). On dit que le système A.X = B à n inconnues et n équations est de Cramer si A est une matrice carrée inversible , c'est à dire si rg(A) = n , c'est à dire si Δ = dét(A) ≠ 0. Dans ce cas , le système admet une seule solution X = A–1.B. Résolution des systèmes .

Soit le système S: a x a y a z b

a x a y a z b

a x a y a z b

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

. . .

. . .

. . .

+ + =

+ + =

+ + =

!

"#

$#

et A = a a a

a a a

a a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

!

"

###

$

%

&&&

1er cas : Le système est de Cramer (A est une matrice carrée et dét(A) ≠ 0) L'unique solution du système peut être obtenue par les formules de Cramer :

On calcule Δ = dét(A) , Δx = b

b

b

1

2

3

a a

a a

a a

12 13

22 23

32 33

, Δy = a a

a a

a a

11 13

21 23

31 33

b

b

b

1

2

3

, Δz = a a

a a

a a

11 12

21 22

31 32

b

b

b

1

2

3

puis : x = !!

x ; y = !

!

y ; z = !!

z

L'unique solution du système peut aussi être obtenue par l'une des méthodes suivantes: X = A–1.B si la matrice inverse a déjà été calculée auparavant. en effectuant des opérations élémentaires sur les équations (sans avoir à écrire de systèmes équivalents)

2ème cas : Le système n'est pas de Cramer. 2 cas possibles : le système n'a pas de solutions.(système incompatible) le système a une infinité de solutions : on peut obtenir un système de Cramer par rapport à certaines inconnues. Il est indispensable d'écrire des systèmes équivalents pour obtenir d'éventuelles conditions de compatibilité On peut utiliser la méthode du pivot de Gauss à l'aide d'opérations élémentaires sur les équations du système. Systèmes homogènes Th 26.6 Soit le système S: A.X = [0] avec A ∈ Mn,p(K) L'ensemble des solutions de S est un sous-espace vectoriel de Kp de dimension (p − r) où p est le nombre d'inconnues et r est le rang du système , càd le nombre d'équations indépendantes.

DETERMINATION de A–1 D 26.3 La matrice d'une opération élémentaire est la matrice obtenue en effectuant l'opération élémentaire

sur In : In !op1

O1 Th 26.7 Soit A ∈ Mn(K), op1 une opération élémentaire et O1la matrice de l'opération élémentaire op1. Effectuer une opération élémentaire sur les lignes de A ( respectivement les colonnes de A) est équivalent à prémultiplier A par O1 (respectivement postmultiplier A par O1) 1ère méthode :

On résout le système : !!!

"

#

$$$

%

&

=

!!!

"

#

$$$

%

&

!!!

"

#

$$$

%

&

z

y

x

z

y

x

aaa

aaa

aaa

'

'

'

.

333231

232221

131211

c'est à dire A.X' = X

par rapport aux inconnues x',y' et z' et on écrit le résultat sous forme matricielle : X' = B.X On a alors : A–1 = B. 2ème méthode : On utilise la méthode du pivot : a a a

a a a

a a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1 0 0

0 1 0

0 0 1

!

"

###

$

%

&&&

→(opérations sur les lignes) →1 0 0

0 1 0

0 0 1

11 12 13

21 22 23

31 32 33

b b b

b b b

b b b

!

"

###

$

%

&&&

[A ⎜ I ] → [I ⎜ A-1 ] en effectuant des opérations sur les lignes 3èmeméthode

Si A = !"

#$%

&

dc

ba, alors IAdét

bcad

bcad

ac

bd

dc

ba).(

0

0. =!

"

#$%

&

'

'=!

"

#$%

&

'

'!"

#$%

& donc A–1 = !"

#$%

&

'

'

ac

bd

Adét )(

1

4èmeméthode Polynôme annulateur : si, par exemple, A3 – 3.A2 + 3.A – I = O alors A(A2 – 3.A + 3.I) = I et A-1 = A2 – 3.A + 3.I Remarque Si A = MB(f ) et si on détermine f –1 , alors A–1 = MB (f –1 )