DETERMINANTS1. INTRODUCTION.Le point de dpart de notre tude est le suivant :Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n rapport une base B et S=(v1,., vn) un systme de n vecteurs de E dfinis par leurs composantes dans la base B . On a dj tudi des techniques de dtermination du rang par des manipulations sur la matrice reprsentant S dans B .En particulier la mthode du pivot de Gauss nous ramne une matrice triangulaire quivalente, de rang n si et seulement si aucun des coefficients diagonaux nest nul.Il est alors naturel de se demander sil est possible de construire en marge de cette dmarche une expression synthtique portant sur les composantes initiales des vecteurs de S et dont lanalyse permettrait de dterminer simplement si S est son tour une base de E.(On peut penser au produit des lments de la diagonale de la matrice triangulaire obtenue)Bien sr on aimerait que lexpression en question ne dpende que des composantes initiales des vecteurs de S, et non pas de la suite de manipulations excute.On va voir que la rponse est positive mme sil faudra nuancer le qualificatif simple concernant les calculs effectuer. Par contre le champ dapplication de ces dterminants dpassera trs vite lobjectif premier , on les mettra profit pour linversion des matrices, la rsolution des systmes linaires, la thorie de la diagonalisation, dans les situations de la gomtrie Euclidienne gnralise (orientation de lespace, classification des isomtries).Il sagit donc dun outil extrmement riche mais dont la dfinition est un peu dlicate mettre en place. En effet si sur le plan thorique on ne fait que reprendre et amliorer dune certaine manire les ides de la mthode de Gauss, sur le plan pratique on est confront des problmes de notations quelquefois assez lourdes grer. Aussi nous commencerons dans cette introduction examiner la situation sur des espaces de petite dimension._ Pour n=1 le problme est vite rgl.Soit B =(e1) base dune droite vectorielle E. Le systme S rduit au seul vecteur v1=xe1 est libre si et seulement si v1 est non nul cest dire si x 0.On appelle alors dterminant de S dans la base Bla quantit detB (v1)=x._ Pour n=2.Considrons un systme S=(v1, v2) de deux vecteurs de E exprims dans la base B =(e1, e2) suivant :v1=xe1+ye2 et v2=xe1+ye2.a) Si x est non nul, la squence 1 2 2 1 11C x C C CxC transforme la matrice reprsentant S dans Ben la forme triangulaire

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xy x y xxy0 1.S sera alors libre si et seulement si la quantit xy-xy est non nulle. 191191b) Si x est nul et x diffrent de 0, un raisonnement symtrique en changeant les deux vecteurs donne :S libre xy-xy 0 xy-xy 0c) Enfin si (x, x)=(0, 0) , les deux vecteurs de S sont multiples du mme vecteur e2 et constituent donc un systme li. Remarquons que dans ce cas xy-xy=0.On dfinira donc naturellement ici le dterminant de S dans la base Bcomme llment de K not et reprsent par :detB (S)=xy-xy=y yx xCe qui prcde tablit lquivalence entre la dpendance linaire de S et lannulation de son dterminant._ Pour n=3. Soit B =(e1, e2, e3) base de E et S=(v1, v2, v3) systme dont la matrice reprsentative dans Best A=

,_

z z zy y yx x x. _ Si x non nul on effectue les manipulations sur colonnes suivantes :

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xz x z xxz x z xxzxy x y xxy x y xxyxxA C x C C C x C C CxC0 0 1enrmanttransfo11 3 3 1 2 2 1 1Cette matrice est donc de rang 3 si et seulement si ses deux dernires colonnes forment un systme libre, ou encore,vu ltude prcdente applique dans le plan engendr par (e2, e3 ), si le dterminant D=z x z x z x z xy x y x y x y x est non nul. _ Si x est nul mais quune des deux composantes x ou x est diffrente de 0, un raisonnement analogue en permutant v1 et v2 ou v1 et v3 aboutit la mme caractrisation de lindpendance du systme._ Enfin si x=x=x=0, les trois vecteurs de S sont combinaisons du mme systme (e2, e3 ) donc forment un systme li par application du thorme fondamental de la dimension.Remarquons que dans ce cas lexpression D ci dessus est nulle.On dfinira donc ici le dterminant de S dans la base Bcomme la quantit D apparaissant dans cette tude. Aprs calculs et regroupements adquats on peut donner de D les expressions suivantes :D=y yx xzz zx xyz zy yx + .(Dveloppement dit suivant la premire colonne)D=x y z y z x z x y y x z x z y z y x + + 192192Rgle dite de Sarus que lon retient en comptant positivement les produits des termes des diagonales descendantes et ngativement les produits des termes des diagonales ascendantes dans la matrice de Sarus :

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y y yx x xz z zy y yx x x2) FORMES MULTILINEAIRES ALTERNEES.A) Vers une gnralisation.Il est facile de dceler des proprits algbriques communes aux trois dterminants que nous avons dfini prcdemment._ Il sagt dapplications f allant de En vers K. (A tout systme S de n vecteurs de E on associe un scalairef(S) )_ Ces applications agissent de manire linaire sur chacun des vecteurs composant le systme S, lesn-1 autres vecteurs tant fixs. (Proprit dite de multilinarit)Par exemple pour le dterminant dordre 3 considr comme fonction de v1 seul, les vecteurs v2 et v3 tant figs, on obtient une application K-linaire de E vers K dont la matrice dans le couple de base (B , {1K }) est( ) y x y x z x z x y z z y _ Pour n 2 , lchange de deux vecteurs du systme S transforme limagef(S) en loppos de sa valeur. (Proprit dite dalternance : ) ( ) ( pourconduitS f S f j i v vj i )La vrification est galement immdiate sur les formules tablies plus haut.Ces traits communs nous suggrent la dfinition gnrale suivante, pour n 2 :Dfinition:Si E est un K espace de dimension n , on appelle forme n-linaire alterne sur E toute application f de En vers le corps K satisfaisant aux proprits dcrites prcdemment de linarit par rapport chacune des n variables constituant le systme S et dalternance.B)Premires remarques.Si f est n linaire, alors f sera alterne si et seulement si f sannule sur tout systme S dont deux des composantesvectorielles sont identiques.Rappelons que les corps considrs sont supposs de caractristique nulle, donc quen particulier :1K -1K .(2.1k 0K)_ Supposons f alterne et considrons un systme S=(v1,, vn) tel que vi=vj pour un couple dindices distincts.193193La permutation de ces deux vecteurs au sein de S laisse donc S invariant, mais daprs lalternance doit changerf(S) en son oppos.On a donc ncessairementf(S)=- f(S) do lon tire 2f(S)=0K , cest dire (1K+1K) f(S)=0K.On en dduit alorsf(S)=0K vu lhypothse 2.1K 0K. _ Rciproquement si f(S) sannule ds que 2 vecteurs de S sont gaux, considrons deux indices distincts i i deti (ej , B(i, j))=) ,...., , ,..., ,..., , ( det1 1 1 1 1 + + n j j i j ie e e e e eIl sagt donc de limage par le dterminant dans la base Bi dun systme de vecteurs qui nest autre que ceux de cette mme base Bi mais lists en dsordre par rapport la situation initiale.197197Pour retrouver cet ordre originel il suffit dchanger successivement le vecteur en tte ej avec chacun des j-2 vecteurs e1,,ej-1 prcdant ej+1.Vu lalternance de deti on obtient donc terme lexpression :deti (ej , B(i,j))=(-1)j-2._ Si j + + 111) 2 , (1) 1 , (112) 2 , (1) 1 , ( 1 2 1) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ,..., , (n ii i jjjiin ii i jjjii nx x x x v v v fPuisque par hypothse v1=v2 , lexpression prcdente peut scrire S1+S2 avec :S1 la somme des ) 1 , ( ) 1 , (1) 1 (j ij ix x + correspondant aux couples de T1={(i, j) tels que ij }T1 tant en bijection avec T2 par la correspondance (i, j) (j, i) , il est facile den dduire lgalit S2=-S1Ainsi on a bien vrifi que f sannule sur S pour lequel les deux premiers vecteurs concident, ce qui achve la dmonstration.D) Consquences.1) Application ltude de lindpendance dun systme.Comme premire consquence de ce thorme nous pouvons maintenant noncer la caractrisation complte de lindpendance linaire pour un systme de n vecteurs.Si S est un systme de n vecteurs au sein dun K-espace E de dimension n et si Bdsigne une base quelconque de E, on a toujours lquivalence : S libre detB (S) 0_ On savait dj que le dterminant dans Bsannule sur tout systme li et donc que S est libre si son dterminant dans Best non nul._ Rciproquement, supposons S libre, donc base de E car son cardinal concide avec la dimension de cet espace. Le dterminant dans S est alors une forme n-linaire alterne sur E qui est donc multiple du dterminant dans B par un scalaire daprs le thorme fondamental.( ntant autre que le dterminant de Bdans S)En particulier on peut crire1K=detS(S)=detB (S) et par suite le dterminant dans Bde S est non nul.2) Formule du changement de base. Notation quotient.198198Si B1 et B2 sont deux bases du K-espace E, le thorme fondamental montre que le dterminant dans B2 est gal au produit du dterminant dans B1 par le scalaire qui nest autre que le dterminant de B1 dans B2. (Cest le schma que lon a appliqu ci dessus au couple (B ,S) ).Cette formule de passage est plus commode crire et mmoriser si on utilise la notation dite quotient dans laquelle on crira ( )BSdet pour dsigner le dterminant de S dans B.On rencontre aussi la version ) () (B DS D.La proportionnalit se traduit alors par la relation : Pour tout systme S de n vecteurs de E ,_

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211 2det det detBBBSBSou par) () () () () () (211 2B DB DB DS DB DS D On en dduit en particulier en prenant S=B2 que les dterminants,_

12detBB et,_

21detBB sont inverses lun de lautre.3) Inversibilit dune matrice carre.Si A est un lment de Mn(K), son rang est celui du systme S de ses n vecteurs colonnes considrs comme vecteurs de E=Kn dcomposs dans la base canonique B de cet espace.Daprs le thorme fondamental on peut donc dire que A est de rang n, ou encore est inversible, si et seulement si le dterminant de S dans B est non nul. Ce dterminant sera appel naturellement dterminant de la matrice A et est not det(A).Lintervention de cette notation permet de formuler de faon plus pratique la relation de dfinition par rcurrence des dterminants gnraux.En effet le dterminant dordre n not dans la dmonstration :( ) ) ( ),...., ( ), ( det1 3 2 + n i i i iv q v q v q nest autre que le dterminant de la matrice carre Ai obtenue partir de A en supprimant la premire colonne et la ligne dindice i.La construction se rsume alors :+ 11) 1 , (1) det( ) 1 ( ) det(n iii iiA x A

Formule dite du dveloppement suivant la premire colonne de A.4) Dterminant dun endomorphisme.Soit u un endomorphisme dun K-espace vectoriel E de dimension n et B une base de E.On vrifie trs facilement que lapplication de En vers K dfinie par :S=(v1,.,vn) ,_

BS u ) (detavec u(S)=(u(v1),., u(vn)) , est une application n-linaire alterne donc est multiple du dterminant dans la base B. Le coefficient multiplicatif sera le 199199scalaire,_

BB u ) (det cest dire le dterminant de la matrice A reprsentant u dans la base B.Pour tout systme S on a donc la relation (1) ( )BSABS udet ). det() (det ,_

Examinons linfluence dun changement de base. Si on repre maintenant lespace E laide dune nouvelle base B, on sait que le dterminant dans B dun systme quelconque sobtient en multipliant le dterminant dans B de ce mme systme par la constante =( )'detBBEn multipliant par les deux termes de lgalit prcdente (1) on obtient alors :Pour tout systme S de n vecteurs de E :( )'det ). det(') (detBSABS u

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En prenant S=B on en dduit que det(A)=det(A) avec A matrice reprsentant u dans B.Le dterminant de la matrice A reprsentant initialement u nest donc pas affect par le changement de base effectu. Il sagt dun invariant, au mme titre que la trace de la matrice, cest une constante attache lendomorphisme u et que lon appellera donc naturellement dterminant de cet endomorphisme. (notation det(u) )La caractrisation :A matrice carre inversible det(A) 0 se traduit alors par : lendomorphisme u est bijectif det(u) 0 .La relation de proportionnalit (1) se transcrit alors simplement : Pour tout lment Sde En et toute base B de E on a lgalit( )BSuBS udet ). det() (det ,_

5) Dterminant dun produit.Daprs ce qui prcde, si u et v sont deux endomorphismes de E et B une base de cet espace, on peut crire : det(vu)=( )) det( ). det() (det ). det() (det) (det u vBB uvBB u vBB u v

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Le dterminant dun compos est donc le produit des dterminants.det(vu)=det(v).det(u)Lapplication de LK(E) vers K qui chaque endomorphisme associe son dterminant est donc un morphisme de la loi vers la loi produit dans K.Comme on a vu que u tait inversible si et seulement si det(u) 0, lapplication u det(u) apparat comme un morphisme du groupe ( GLK(E),) vers le groupe multiplicatif (K-{0}, . )On retrouve ainsi en particulierdet(IE)=1Ket u GLK(E) : ) det(1) det(1uu 2002006) Inversion dun automorphisme.Soit u un automorphisme de E de matrice reprsentative A dans la base B.Pour tout vecteur y de E, u-1(y)=x y=u(x)On va voir que la thorie des dterminants permet dexpliciter facilement les coordonnes de lantcdent x de y partir de celles de y.Posons n iii ie x x1. Par linarit de u il vient : n iii ie u x y1) (.Notons alors S le systme image ( ) ) ( ),....., ( ), (2 1 ne u e u e u et pour chaque indice i de {1,2,, n} dsignons par S(i, y) le systme obtenu partir de S en remplaant le vecteur u(ei) par y.Notons enfin S(i, j) le systme obtenu toujours partir de S en remplaant u(ei) par u(ej)Daprs la linarit du dterminant dans B par rapport la variable dindice i on peut crire la dcomposition :

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n jjj ijy iBSxBS1) , ( ) , (det detOr S(i, j) est un systme dont les composantes vectorielles dindice i et j sont identiques, son dterminant dans B sera donc nul pour i j daprs la proprit dalternance.Le seul terme non nul de la somme prcdente est donc celui dindice j=i. Remarquons alors que S(i, i) nest autre que le systme initial S dont le dterminant dans B est, par dfinition, le dterminant de lautomorphisme u.On en dduit la relation : i{1,, n} :( ) u BSxy iidetdet) , (

,_

Ces formules exprimant les coordonnes de lantcdent x de y par u sont dites de Cramer.On peut en donner une expression plus pratique en faisant appel la matrice A reprsentant u dans la base B. En effet le numrateur apparat alors comme le dterminant de la matrice carre obtenue partir de A en remplaant la colonne dindice i par la colonne des composantes de y dans B. Si on note A(i,y) cette matrice, on obtient finalement : i {1, ,n} : ) det() det() , (AAxy ii 3) TECHNIQUES DE CALCUL DES DETERMINANTS.Pour linstant le seul mode de calcul notre disposition est la formule dite du dveloppement suivant la premire colonne, qui nous a servi tablir le thorme fondamental.On va voir dans ce paragraphe quil existe dautres techniques dvaluation, gnrales comme le dveloppement suivant une colonne ou une ligne quelconque, ou adaptes des configurations particulires (matrices triangulaires, ou matrices dfinies par blocs).La connaissance de ces mthodes nest pas indispensable, surtout depuis lessor des logiciels de calcul formel, mais permet souvent de conduire plus efficacement le dveloppement ou la factorisation des dterminants tudis.201201Elle aide aussi sur le plan thorique renforcer la comprhension de la transposition des matrices.Les notations seront celles dveloppes dans la dmonstration du thorme fondamental.S systme de n vecteurs vj de E reprsent dans la base B par la matrice A de coefficient gnrique x(i, j)A) Dveloppement suivant une colonne quelconque.Nous crirons ici simplement det pour parler du dterminant dans la base B.Soit j{2, 3,, n}. Echangeons successivement le vecteur vj de S avec chacun des j-1 vecteurs le prcdant au sein de ce systme. On obtient terme un nouveau systme S tel que, vu la proprit dalternance :det(S)=(-1)j-1det(S).Remarquons dabord que la matrice A reprsentant S dans B est obtenue en portant en tte la colonne dindice j, les autres colonnes restant dans lordre initial.Supprimer la premire colonne de A revient donc supprimer la colonne dindice j de A.Dveloppons alors le dterminant de S suivant la premire colonne.det(S)=( ) ' det ) 1 (1) , (1in iij iiA x, avec pour Ai la matrice carre dordre n-1obtenue partir de A en supprimant la premire colonne et la ligne dindice i.Vu la remarque faite ci dessus, Ai =A(i, j) avec A(i, j) matrice dordre n-1 obtenue partir de A en supprimant la colonne dordre j et la ligne dindice i.Comme (-1)j 1.(-1)i 1=(-1)i+j , on obtient la formule de dveloppement suivant la colonne j :+ n iij i j ij iA x ABS1) , ( ) , () det( ) 1 ( ) det( ) det(B) Dveloppement suivant la premire ligne.Considrons lapplication f de En vers K qui tout systme S reprsent par A dans B fait correspondre le scalaire + n jjj jjA x S f1) , 1 ( ) , 1 (1) det( ) 1 ( ) (, avec A(1, j) dsignant comme prcdemment la matrice dordre n-1 obtenue en liminant de A la premire ligne et la colonne dindice j.Montrons que f est n-linaire alterne._ Linarit par rapport la variable dordre k .Pour j k le coefficient x(1, j) est fig et le dterminant de A(1, j) dpend linairement du vecteur vk de S .En effet det(A(1, j))=det(q1(Sj)) avec pour Sj le systme obtenu en supprimant de S le vecteur vj et q1 la projection dfinie par : x1e1+.+xnen x2e2++xnen , le dterminant tant valu dans la base B1 =(e2,,en).202202Pour j=k. cest le dterminant de A(1, k) qui est alors fig, puisque la colonne reprsentant la composante variable vk a t limine. Par contre le coefficient x(1, k) premire composante de vk dans B dpend linairement de ce vecteur vk._ Alternance. Supposons que vl=vk pour l 1 les termes au dessus de la diagonale principale sont tous gaux aj+1-aj et ceux sur ou en dessous de cette diagonale sont nuls. On peut donc crire daprs la multilinarit : det(M)=) det( ) )......( )( (1 2 2 1 1A a a a a a an n n n , avec pour A une matrice dordre n dont la premire colonne nest autre que celle de M et pour laquelle toute colonne dindice j >1 est forme de 1 au dessus de la diagonale principale tandis que ses autre termes sont nuls.En dveloppant det(A) suivant la dernire ligne, dont seul le premier coefficient an est non nul, on obtient det(A)=(-1)n+1andet(T)avec pour T une matrice triangulaire suprieure dordre n-1 dont tous les coefficients diagonaux sont gaux 1.En conclusion :det(M)=(-1)n+1an.(an-an-1).(an-1-an-2)(a2-a1)=n jjj j na a a21) (21421412._ Si w appartient au sous-espace engendr par S, on pourra donc lcrire comme combinaison linaire w=1v1++kvk. Il sensuit par linarit que pour tout indice i >k on auraq(w)+pi(w)=1(q+pi)(v1)+..+k(q+pi)(vk) , do lon dduit que i est nul en tant que dterminant dun systme li._ Rciproquement, supposons chacun des n-k dterminants i nuls.Pour un indice i >k donn, le vecteur (q+pi)(w) est donc combinaison linaire du systme Si=( (q+pi)(v1),,(q+pk)(vk) ). En effet, limage par q de ce systme, soit (q(v1),.,q(vk)) est libre par hypothse. Il sensuit que Si est ncessairement libre. Or la matrice reprsentant Si dans Bi est forme des k premires colonnes de la matrice de dterminant i. Cette matrice dordre k+1 de dterminant nul et dont les k premires colonnes forment un systme libre est donc de rang k et sa dernire colonne sera combinaison des kpremires. On peut donc crire lgalit : (1) ) )( .( ....... ) )( .( ) )( .( ) )( (2 2 1 1 k iik iiiiiv p q v p q v p q w p q + + + + + + +.En appliquant lendomorphisme q cette galit on en dduit la relation(2) : (2)) ( . ..... ) ( . ) ( . ) (2 2 1 1 kiki iv q v q v q w q + + + car qpi=0 et qq=qAinsi le coefficient ij ne dpend pas de lindice i car il nest autre que la composante j sur q(vj) de q(w) dans la base (q(v1),.,q(vk) ). En revenant lgalit (1) on en dduit alors par diffrence, la relation pi(w)=1pi(v1)++kpi(vk)Enfin, en additionnant (2) avec les n-k galits prcdentes pour i variant de k+1 n on obtient finalement w=1v1+.+kvk qui assure lappartenance de w au sous-espace engendr par S.13. Dmonstration par rcurrence sur n._ Pour n=2 rsultat vident : 1 22111x xxx _ Supposons la proprit vraie pour un entier n 2 et examinons un dterminant de Vandermonde Dn+1 dordre n+1.Transformons dabord chacune des n premires lignes Li en Li -Ln+1. La premire colonne voit alors tous ses termes nuls sauf le dernier gal 1. En dveloppant suivant cette colonne on obtient donc Dn+1=(-1)n+2det(An) avec An carre dordre n dont le terme gnrique est a(i, j)=(xi)j-(xn+1)j.En utilisant la linarit suivant chaque ligne on peut alors sortir du dterminant de An chacune des diffrences xn+1-xi .215215Ceci conduit ) det( ) (11 1 nn iii n nB x x D

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+ +, avec pour coefficient gnrique de Bn : b(i, j)= +++101111) ( ) () ( ) (j kkk jikni njijnx xx xx xEffectuons alors la squence de remplacement : 1 1 + j n j jC x C C, pour j variant en dcroissant de n 2. Le terme gnrique de la ligne i pour j 2 devient alors :111 11111) , () () ( ) ( ) ( ) (+ ++++jii njijnni njijnj ixx xx xxx xx xcLa premire colonne de Bn ne comportant que des 1, det(Bn) est donc un dterminant de Vandermonde dordre n relatif la suite dindtermines x1,.,xn.Par hypothse de rcurrence on peut donc crire det(Bn)= < n j ii jx x1) ( , et par suite :Dn+1=+ < 1 1) (n j ii jx x, ce qui justifie lextension de la formule de calcul lordre n+1.14.a) Dmonstration facile par rcurrence sur n._ Pour n=2D(x)=( ) ) ( . .) ( ) () ( ) () 1 , 2 ( ) 2 , 1 ( ) 2 , 2 ( ) 1 , 1 () 2 , 2 ( ) 1 , 2 () 2 , 1 ( ) 1 , 1 (x a a a ax a x ax a x a dfinit videmment une fonction continue sur lintervalle I daprs les thormes sur la somme et le produit de fonctions continues sur un intervalle._ Supposons la proprit vraie pour un entier n 2 et examinons un dterminant fonctionnel D(x)=det(A(x)) dordre n+1. En le dveloppant suivant la premire colonne on obtient la formule classique : D(x)= + +11) 1 , (1)) ( det( ) ( ) 1 (n iii iix A x aAi(x) dsignant la matrice dordre n obtenue partir de A(x) en supprimant la premire colonne et la ligne dindice i. Daprs lhypothse de rcurrence, la fonction Di dfinie sur I par Di(x)=det(Ai(x)) est donc continue sur tout cet intervalle et ceci pour tout i de {1,, n+1}.D est donc bien continue sur I comme combinaison linaire de produits de fonctions continues.b) Ici aussi rcurrence sur n._ Pour n=2[a(1,1).a(2,2)-a(1,2).a(2,1)]=a(1,1).a(2,2)-a(1,2).a(2,1) +a(1,1).a(2,2)-a(1,2).a(2,1)Ceci daprs les rgles de drivation des produits et sommes de fonctions drivables.On obtient bien la technique de drivation annonce._ Supposons la proprit vraie lordre n et examinons avec les notations du a) un dterminant D(x) fonctionnel dordre n+1. La formule de dveloppement employe plus haut montre que D est drivable sur I suivant la formule :D(x)= + ++ ++ + + + 11) 1 , (111) 1 , (111) 1 , ( ) 1 , (1) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )] ( ) ( [ ) 1 (n iii iin iii iin iii i i iix D a x D a x D a x D a216216La premire somme est le dveloppement suivant la premire colonne du dterminant de la matrice obtenue en remplaant la premire colonne de A(x) par celle des drives des fonctions composantes la constituant. Etudions la deuxime somme. Daprs lhypothse de rcurrence on peut crire pour chaque i de {1,2,, n+1} : n jjj i ix A x D1) , ()) ( det( ) ( avec pour A(i, j)(x) la matrice obtenue en remplaant la colonne dordre j de Ai(x) par celle des drives, cest dire la matrice obtenue en supprimant la premire colonne et la ligne dordre i de la matrice Bj+1(x) dduite de A(x) en remplaant la colonne dordre j+1 par celle des drives des composantes.Par permutation des indices la deuxime somme scrit : ++ + n jjjn jjn iij i iix B x A a11111) , ( ) 1 , (1) ( det( )) ( det( ) 1 (On a donc bien D(x)= + 11)) ( det(n jjjx B conformment la formule attendue pour le rang n+1. Ceci achve la preuve par rcurrence.15. a) Dmonstration par rcurrence sur n. On notera o(i, j)(h) le terme gnrique de la matrice O(h) et a(i, j) celui de A._ Pour n=1 et n=2 les vrifications sont videntes. _ Supposons la proprit vraie lordre n et examinons la situation lordre suivant.En dveloppant suivant la premire colonne on a, toujours avec les notations classiques :det(A+O(h))= + ++ + 11) 1 , ( ) 1 , ( ) 1 , ( ) 1 , (1)) ( det( )] ( [ ) 1 (n iii i i iih O A h o aOr O(i,1)(h) est la matrice carre dordre n obtenue partir de O(h) en supprimant la premire colonne et la ligne dindice i. Ses coefficients sont donc tous ngligeables devant h en 0 et lhypothse de rcurrence permet alors dcrire det(A(i,1)+O(i,1)(h))=det(A(i,1))+o(h). On en dduit alors le dveloppement :) ( ) det( ) 1 ( )] ( ) )][det( ( [ ) 1 ( )) ( det(11) 1 , ( ) 1 , (111) 1 , ( ) 1 , (1h o A a h o A h o a h O An iii iin iii ii+ + + + + ++ +On obtient bien pour h voisin de 0 :det(A+O(h))=det(A)+o(h) ce qui conclut la rcurrence.b) Daprs ltude prcdente on peut dj crire le dveloppement au voisinage de 0 :det(In+hA+O(h))=det(In+hA)+o(h). On peut alors montrer facilement par rcurrence sur n larelation : det(In+hA)=1+trace(A).h+o(h). Ici aussi les vrifications initiales sont triviales et lhrdit se montre encore en dveloppant suivant la premire colonne. det(In+1+hA)=[1+ha(1,1)][1+trace(A(1,1))h+o(h)]+ + +12) 1 , (1) ( ]. [ ) 1 (n iii iih hD haEn effet la matrice obtenue en liminant de In+1+hA la premire ligne et la premire colonne nest autre que In+hA(1,1) laquelle on peut appliquer lhypothse de rcurrence.217217Quand au dterminant obtenu en liminant la premire colonne et la ligne dindice i >1, il peut scrire, en dveloppant suivant la premire ligne, sous la formehDi(h) avec Di fonction continue de h. En regroupant tous les termes ngligeables devant h en 0 on obtient finalement : det(In+1+hA)=1+h[a(1,1)+trace(A(1,1)]+o(h)=1+htrace(A)+o(h).En conclusion on a bien pour tout n : det(In+hA+O(h))=1+h.trace(A)+o(h)c) Si on note A(x)= ( ) ) (x Adxd la matrice obtenue en remplaant chacun des coefficients de la matrice variable A par sa drive au point x, on obtient trs facilement le dveloppement au voisinage de 0 : A(x+h)=A(x)+hA(x)+O(h).Si A(x) est suppose inversible on peut crire A(x+h)=A(x).[In+hA-1(x).A(x)+O(h)]On en dduit daprs la rgle du produit et ltude prcdente, la relation :det(A(x+h))=det(A(x)).[1+htrace(A-1(x).A(x))+o(h)]Ceci nest autre quun dveloppement dordre 1 de det(A(x+h)) au voisinage de h=0On en dduit la formule de drivation : ( ) ( )

,_

) ( ). ( trace )). ( det( )) ( det(1x Adxdx A x A x Adxd16. _ Examinons dabord le cas particulier c=0. Le bloc infrieur gauche cA dordre n tant nul on a alors det( C )=det(aA).det(dA)=an.det(A).dn.det(A)=[det(A)].[det(B)]n_ Si c est non nul, transformons le bloc infrieur droit dA en 0 grce la squence de manipulations sur colonnes : i i n i nCcdC C + + , pour i variant de 1 n.Le bloc suprieur droit est chang dans cette opration enA acdb ) ( Effectuons alors la suite dchanges n i iC C+ pour i variant de 1 n afin de se ramener au cas o le bloc infrieur gauche est nul. On en dduit :det(C)=(-1)n) det( ) det() det() 1 ( ) det( . ) ( det A c AcBcA Acad bcnnn

,_

,_

On obtient bien det(C)=[det(A)]2.[det(B)]n.17. a) Soit k le plus petit entier tel que N k=0.(ordre de nilpotence de N). Nous allons montrer par rcurrence sur k que N est toujours semblable une matrice triangulaire suprieure de diagonale principale nulle._ Si k=1 la vrification est vidente puisque N=0._ Supposons la proprit vraie pour k et examinons le cas dune matrice N de Mn(K) dordre de nilpotence k+1. Notons f lendomorphisme de Kn reprsent par N dans la base canonique. Vu que f k+1=0 et f k 0 , la restriction g de f F=Im(f) est nilpotente dordre k. 218218Par hypothse de rcurrence il existe donc une base B de F telle que la matrice A reprsentant g dans B=(u1,., up)soit triangulaire suprieure de diagonale principale nulle.Compltons B en une base B de lespace total Kn. La matrice de f dans B est alors aussi du type demand. En effet ses p premires colonnes ne sont autres que celles de A compltes par des coefficients nuls, et limage par f dun vecteur de B-B est combinaison des vecteurs de Bpuisque ce systme est une base de Im(f).La proprit tudie se transmet donc bien du rang k au rang k+1.b) Daprs ce qui prcde, In+N sera semblable une matrice triangulaire suprieure dont tous les lments de la diagonale principale seront gaux 1. On a donc par conservation du dterminant lors dun changement de base :det(In+N)=1c) Ecrivons A+N=A(In+A-1.N). On en dduit det(A+N)=det(A).det(In+M) avec M=A-1.N.Par hypothse, N commute avec A et donc aussi avec A-1.Puisque N est nilpotente dordre k on peut donc crire la relation : M k=(A-1)k.N k=0. M est donc aussi nilpotente.Daprs b) on peut donc crire det(In+M)=1 , et par suite :det(A+N)=det(A).18. Si 1, j, j dsignent les trois racines complexes de lunit, on dduit immdiatement de lgalit polynmiale X 3-1=(X-1)(X-j)(X-j), la factorisation dans LK(E) suivante :f 3-IE=(f-IE)(f-jIE)(f-jIE). Il suffit en effet dappliquer le morphisme classique de K-Algbre reliant K[X] LK(E) et transformant X en f. fi 3-IE ntant pas injectif, son dterminant sera nul et on en dduit daprs le thorme du produit que det(f-IE).det(f-jIE).det(f-jIE)=0. Un des trois facteurs est donc ncessairement nul, ce qui assure la non injectivit de lendomorphisme f-IE pour au moins un de {1, j, j}.19. Effectuons la squence de manipulations sur les lignes :1 i i iL L Lpour i variant en dcroissant de n 2. Vu la relation fondamentale de construction du triangle de Pascal, le coefficient dindice j de la ligne i devient :_1-1=0 si j=1._21111 jijijiC C Csi 2 j i_ 1 0 iiCsi j=i+1._0 si j >i+1.219219En dveloppant alors ce dterminant suivant la premire ligne on obtient la relation :det(Tn)=det(Tn-1). On termine en calculant det(T2)=12 11 1Ainsi n 2 :det(Tn)=1.20. En utilisant la linarit par rapport la dernire colonne on peut dabord dcomposer Dn en la somme An+Bn des deux dterminants obtenus en remplaant respectivement la dernire colonne de la matrice dorigine dune part par une colonne forme uniquement de 1 et dautre part par la colonne dont tous les termes sont nuls sauf le dernier, gal n._ En dveloppant Bnsuivant cette mme dernire colonne, il vient : Bn=nDn-1._ En soustrayant chaque ligne de An la dernire ligne du tableau, on obtient un dterminant triangulaire infrieur dont les termes de la diagonale principale sont les entiers 1, 2,..., n-1, 1On en dduit immdiatement An=(n-1)! et par suite la relation de rcurrence : Dn=(n-1)!+nDn-1 valable pour tout n 2.Remarquons alors que cette relation peut scrire aussi: n nDnDn n1! ) 1 ( !1Par sommation, lindice variant entre 2 et n, on en dduit lgalit : n kknkDnD2111 !Or D1=2 . On en dduit la formule :

,_

+ ,_

+ n kkn kknknkn D1 211 !12 !220220