Démarche d’experts en résolution de problèmes.

© R. & M. Lyons

Janvier 2010

Qu’est-ce qu’un problème ?

C’est un ensemble d’éléments parmi lesquels ressortent des

données initiales, un état final à atteindre et un obstacle.

Comment résoudre un problème ?

Lorsque l’on observe les méthodes des experts, on constate

certaines étapes et certaines stratégies qui sont peu ou moins

présentes chez les novices.

Voici ces étapes et stratégies.

1. Assimiler le contexte en mettant de côté les données particulières du problème;

2. Déterminer la classe de problèmes dont fait partie le problème posé;

3. Déterminer des éléments de vérification qui serviront lors de l’élaboration de la solution;

4. Faire des pauses d’évaluation régulièrement.

RAPPEL

Les étapes et stratégies qui viennent d’être mentionnées ne sont pas les seules à intervenir, ce sont celles qui sont négligées

par les novices.

1ère étape

a) Assimiler le contexte du problème.

Par exemple, il s’agit d’un problème de budget.

Qu’est-ce qu’un budget ?

Quel est son rôle ?

Qui l’utilise ?

Quels en sont les éléments ?

Comment ces éléments sont-ils reliés entre eux ?

1ère étape

b) Construire la «carte» du problème.

Il s’agit d’articuler les éléments du contexte entre eux. Cela est réalisé sous la forme d’un organigramme.

Le problème de départ

Les revenus mensuels d’une famille s’élèvent à 6 000 $. Ses dépenses fixes s’élèvent à 3500 $. En frais de nourriture, elle dépense entre 850 $ et 1100 $; en frais de transports, entre 300 $ et 450 $; les autres dépenses varient entre 500 $

et 630 $. Ses REER coûtent 400 $ et ses placements sont de 200 $.

Cette famille réussit-elle à «boucler» son budget ?

Classe du problème

Il s’agit de déterminer si les sommes disponibles excèdent les dépenses fixes, les dépenses

variables et le total des épargnes fixes. Si c’est le cas, il y aura des sommes disponibles

pour les placements et les épargnes occasionnelles.

Dans le cas contraire, il faudra réduire les dépenses variables ou les épargnes

occasionnelles seront négatives, grugeant la réserve bancaire.

Les étapes de la solution

1. Insérer les données connues dans la «carte» du problème.

En fait, il y aura 2 cartes, une tenant compte des dépenses variables

minimum et l’autre des dépenses variables maximum.

Les étapes de la solution

2. Effectuer les calculs suivants pour chacune des «cartes» de la solution :

- A) Somme de la colonne des revenus;

- B) Somme des colonnes de dépenses;

- C) Additionner B au montant des REER et des placements;

- D) Faire la différence entre A et C.

Calculs à partir de la carte A

A) Revenus : 6000 $

B) Dépenses :

3500 $ + 850 $ + 300 $ + 500 $ = 5150 $

C) 5150 $ + 400 $ + 200 $ = 5750 $

D) A – C = 6000 $ - 5750 $ = 250 $

Il y a une épargne occasionnelle de 250 $.

Calculs à partir de la carte B

A) Revenus : 6000 $

B) Dépenses : 3500 $ + 1100 $ + 450 $ + 630 $ = 5680 $

C) 5680 $ + 400 $ + 200 $ = 6280 $

D) A – C = 6000 $ - 6280 $ = -280 $

Les dépenses excèdent les revenus. L’épargne occasionnelle sera négative, donc il faudra

puiser dans les réserves ou réduire certaines dépenses.

Points de vérification

1. Chaque item du budget est-il correctement pris en compte ?2. Le total de chaque colonne est-il correct ?3. A-t-on fait la somme des totaux des colonnes du centre ?4. A-t-on additionné à (3) le montant des REER et celui des

placements ?5. La différence entre le total des revenus et (4) a-t-elle été

établie ?6. Les résultats des divers calculs sont-ils réalistes par rapport à

une estimation rapide ?7. Lorsque le budget aura été balancé, la somme des revenus

est-elle égale à la somme des 3 autres colonnes ? (NOTE : Si le budget n’est pas «bouclé» les épargnes

occasionnelles seront négatives.)

Voici les cartes A et B complètes.

Vérification finale de la carte A

Somme des 3 dernières colonnes :

3500 $ + 1650 $ + 850 $ = 6000 $

Ce qui correspond aux revenus disponibles.

Vérification finale de la carte B

Somme des 3 dernières colonnes :

3500 $ + 2180 $ + 320 $ = 6000 $

Ce qui correspond aux revenus disponibles.

Prenons un autre exemple

Deux personnes se partagent 520 $. Sachant que la première

personne reçoit 50 $ de plus que la seconde, quelle somme reçoit

chaque personne ?

A et B sont les 2 personnes.

Elles se partagent de façon inégale une somme d’argent. Une personne aura

donc plus que l’autre personne.

a) Assimiler le contexte du problème.

1ère étape

1ère étapeb) Construire la «carte» du problème.

A B

Classe du problème

Il s’agit de déterminer ce que recevront deux personnes à partir du partage inégal d’une

certaine somme d’argent.

Il y aura donc 3 parts, deux seront égales et la 3e représentera la différence entre ce

que chacun recevra.

La somme des 3 parts étant égale à la somme à partager.

Rappel du problème

Deux personnes se partagent 520 $. Sachant que la première

personne reçoit 50 $ de plus que la seconde, quelle somme reçoit

chaque personne ?

Les étapes de la solution1.Insérer les données connues

dans la carte du problème.

A B

50 $

520 $

Les étapes de la solution

2. Soustraire le montant qui représente la différence entre les 2 parts de la somme à partager.

3. Diviser la somme obtenue en (2) en deux parties égales.4. Insérer le nombre obtenu en (3) dans chacun des deux

carrés.5.La part de A est maintenant connue.

6. Trouver la part de B en additionnant ce qu’il y a dans les deux figures de droite.

7. Vérifier si la somme à partager est égale au total des 2 parts.

Les étapes de la solution

2. 520 $ - 50 $ = 470 $

3. 470 $ ÷ 2 = 235 $

4. Insérons 235 $ dans la carte.

Les étapes de la solution4.Insérer les nouvelles données

dans la carte du problème.

A B

50 $

520 $

235 $ 235 $

5. A recevra 235 $.

6. B recevra : 235 $ + 50 $ = 285$.

Les étapes de la solution

Validation de la solution

7. La somme des parts,

soit 235 $ + 285 $ = 520 $.

520 $ était exactement

la somme à partager.

La solution est valable.

Voici un 3e problème

La somme de deux nombres est 22 et leur produit est 105.

Quels sont ces nombres ?

1ère étape

a) Assimiler le contexte du problème.

Cette fois, il n’y a aucun contexte concret. Cependant, il faut pouvoir se donner une image mentale qui guidera la résolution du problème en permettant d’établir la

carte du problème.

1ère étape

a) Assimiler le contexte du problème.

Il faudra faire preuve de créativité afin de voir à quoi peut correspondre un tel énoncé dans notre environnement.

Cela est loin d’être évident mais essentiel si nous voulons que les maths aient du

sens.

1ère étape

a) Assimiler le contexte du problème.

L’énoncé mentionne le produit de 2 nombres.

Dans ce cas, ces deux nombres peuvent représenter les côtés perpendiculaires d’un rectangle et le produit représente

l’aire du rectangle.

1ère étapeb) Construire la «carte» du problème.

A

B

Produit

Classe du problème

Il s’agit de construire un rectangle dont l’aire est connue ainsi que la somme des longueurs de sa base

et de sa hauteur.

Les étapes de la solution

1. Insérer les données connues dans la «carte» du problème.

1ère étapeb) Construire la «carte» du problème.

A

B

105

A + B = 22

Les étapes de la solution

2.Trouver les facteurs du produit.

3.Séparer ces facteurs en deux groupes.

4. Faire le produit des facteurs de chaque groupe.

5. Prendre le cas où la somme des produits est égale à la somme des deux nombres

recherchés.

2. 105 = 3 × 5 × 7.

3.1 A : {3, 5} B : {7} ou

.2 A : {3, 7} B : {5} ou

Les étapes de la solution

.3 A : {5, 7} B : {3} ou

.4 A : {3,5, 7} B : {1}.

4.1 A = 15 B= 7 4.2 A = 21 B = 5

4.3 A = 35 B= 5 4.4 A = 105 B = 1

Les étapes de la solution

5. Seule la solution 4.1 a pour somme 22.

Les nombre 7 et 15 sont ceux que nous cherchons.

Validation

7

15

105

7 + 15 = 22 et 7 × 15 = 105

Les réponses respectent les données. Elles sont correctes.