CINEMATIQUE DU POINT MATERIEL

Automne 2007

Plan du coursI. Les caractéristiques du mouvement

1. Trajectoire et position2. Vitesse moyenne et vitesse instantanée

II. Base de Frénet 1. Vitesse et vecteur tangent2. Accélérations normale et tangentielle

III. Vitesse et accélération en coordonnées curvilignes

1. Coordonnées polaires2. Coordonnées cylindriques3. Coordonnées sphériques

IV. Loi de composition des vitesses

TRAJECTOIRED’UN POINT MATERIEL

M3

M1

M2

M4

1

2

3

e3

e2e1

O

R

TRAJECTOIRE

COORDONNEES CARTESIENNES

1

2

3

ey

ez

ex

O

M

z

m

y

x

Base : {ex ey ez} directe

Coordonnées du point matériel M :

M(x,y,z)

Vecteur position :

OM = x ex + y ey + z ez

Position et Vitesse d’un point materiel

1

2

3

e3

e2e1

O

R

M1(t)

M2(t+Δt)

r r (t)

r r (t +Δt)

Δr r trv m Δ

Δ=

rr

dtrdvr

r=

Δt 0

M

ACCELERATION NORMALE:MOUVEMENT CIRCULAIRE

ex

ey

n

nextτ

M0

sφ

O

R

Rtst )()( =φ

Vecteur tangent

Dérivation du vecteur tangent

Accélération normale

Vecteur position

BASE DE FRENET

Accélération tangentielle:

Accélération normale:

Trajectoire

Centres de courbure de latrajectoirePoint matériel

R 1

R 2

R 3

R 4

R 5

Vitesse :

ττ rr&

r

dtdssv ==

Trajectoire plane quelconque

Trièdre de Frenet:

τ, nb

x

x

Trièdre de Frenet:

BASE DE FRENETTrajectoire 3D Exemple : Hélice

τ, nb Plan osculateur

EXEMPLES DE COURBES EN COORDONNEES POLAIRES

Bifolium régulierφφρ 2sincos4a=

Cardioide( )φρ cos1+= a

Spirale hyperboliqueφ

ρ a=

Coordonnées polaires

COORDONNEES CYLINDRIQUES

1

2

3

ey

ez

ex

O

M

z

m

y

xρφ

z

ez

eρ

eφ

1

2

3

O

Mz

mρ

φ

z

Base : {eρ eφ ez} directeCoordonnées du point matériel M : M(ρ,φ,z)

OM = ρ eρ + z ez

vitesse radiale vitesse orthoradiale ou transverse

vitesse axiale

Vecteur position :

Vecteur vitesse :

Coordonnées cylindriques

EXEMPLES DE COURBES EN COORDONNEES CYLINDRIQUES

Solénoide torique

⎩⎨⎧

=+=

φφρ

nrznrR

sincos

J. Robinson

Hélice

⎩⎨⎧

==φ

ρbza

Spirulline

COORDONNEES SPHERIQUES3

1

2ey

ez

ex

O

Mz

m

y

xφ

er

eθ

eφ

eφθ

r 2

1

3

O

Mz

mφ

θr

Base : {er eθ eφ} directeM(r,θ,φ)

OM = r erVecteur position :

méridien

parallèle

Projeté ⊥ de er : eρ

θ

Coordonnées sphériques

ρθθ eee zrrrr sincos += zeee rrr θθ ρθ sincos −=

COORDONNEES SPHERIQUES

Coordonnées sphériques

vitesse radiale vitesse orthoradialeou transverse

vitesse méridienne

EXEMPLES DE COURBES EN COORDONNEES SPHERIQUES

Clélie⎩⎨⎧

==

φθ nRr

Spirale conique de Pappus

⎩⎨⎧

==αθφar

CHANGEMENTS DE COORDONNEESCartésien Cylindrique

ρ = x2 + y2

φ = Arc tanyx

z = z

Cylindrique Cartésien

x = ρcosφy = ρsinφz = z

Cartésien Sphérique

r = x2 + y2 + z2

θ = Arctanx2 + y2

z

φ = Arc tan yx

Sphérique Cartésien

x = r sinθcosφy = r sinθsinφz = r cosθ

LOI DE COMPOSITIONDES VITESSES

r v abs =

r v rel +r v e

avec :

( )ℜℜ=

=

=

ℜ

ℜ

/'

''

vvdtrdv

dtrdv

e

rel

abs

rv

vr

rr

ve est le même pour tous les points du référentiel

Changement de référentiel : mouvement d'entraînement en translation

Changement de référentiel : mouvement d'entraînement en rotation

Composition de mouvements : rotation + translation

Exemples :